energia de deformacion

ANÁLISIS ESTRUCTURAL

Energía de deformación

[Energía de deformación] ANÁLISIS ESTRUCTURAL

I. INTRODUCCIÓNEn el estudio del movimiento de las partículas discretas y cuerpos rígidos, se demuestra que muchos problemas pueden solucionarse más fácilmente usando principios y consideraciones de energía, que usando la formulación directa de las ecuaciones del equilibrio.

Definición. Energía de Deformación, es la energía almacenada en un sólido, en consecuencia del trabajo realizado por las acciones externas durante el proceso de deformación (Energía Interna). Si el material es elástico, se denomina Energía de Deformación Elástica.Resulta fundamental distinguir la manera en que pueden aplicarse las cargas externas:

Nota: Existe otra manera de aplicar las cargas: POR IMPACTO

1. Trabajo de Cargas Externas


Considerando un sólido deformable en equilibrio, sustentado mediante apoyos no elásticos.

La aplicación gradual (por incrementos) de las cargas, requiere:

Q - Wext = E2 – E1… (1) Primera Ley de la Termodinámica

Donde:Q: Cantidad de calor trasferido durante el proceso carga – deformación.

Wext: Trabajo realizado por el sistema de cargas externas durante el proceso carga – deformación.E2 – E1: Cambio en energía; la cual incluye Energía Potencial (altura), Energía Cinética (movimiento), Energía Interna (deformación).

2. Hipótesis Simplificatorias

a. Si el proceso carga – deformación es aproximadamente ADIABÁTICO (sin transferencias importantes de calor), puede aceptarse Q≈ 0.

b. Si el trabajo realizado por el centro de gravedad del sólido es despreciable durante el proceso carga – deformación (el centro de gravedad del sólido no cambia significativamente de posición), entonces el cambio en la energía corresponde únicamente al cambio en la energía interna.

c. Si el material es elástico (no necesariamente lineal) y no existe HISTÉRESIS, el cuerpo realiza una cantidad igual y contraria de trabajo durante los procesos de carga y descarga.

La primera Ley de la Termodinámica se expresa por:Wext = U …. (1.1)


Siendo U la energía interna almacenada en el sólido durante el proceso carga / deformación.

II. ENERGÍA DEBIDA A FUERZA NORMALConsideremos una barra prismática de material elástico lineal, sometida a la acción gradual de una fuerza axial centrada.

El trabajo realizado por la fuerza F, es:

Si, además, el material satisface La Ley de Hooke:

U = 12 F ( FL

EA) = F2 L

2 EA U = F2 L

2EA … (4)


Notas:

a. Observar que ∂U∂ F

= FLEA

= Δ

“La derivada parcial de la Energía de Deformación almacenada en un sólido de material elástico lineal, con respecto a una fuerza aplicada, es igual al desplazamiento del punto de aplicación de esa fuerza, medido en su dirección” (Segundo Teorema de Castigliano).

b. Es posible expresar la energía de deformación, (ec. 4), en función de otras variables.

- En función del σ

- En función del Cambio de Longitud

- En función de la Deformación Unitaria

(Siendo Vol el volumen inicial)

I.1.1. EjemploLas barras de la armadura representada tienen rigidez axial EA.

Determinar:


- La Energía de Deformación en términos del desplazamiento vertical del punto D.

- El desplazamiento vertical del punto D.- Las fuerzas en las barras de la armadura.

cos α= hLDC

→LDC= hcosα

=L AD

cos α=ΔDC

ΔVD →ΔDC=ΔV

D cosαΔAD=ΔV

D cos α ….( * )

U = EA2 LAD

ΔAD2 + EA

2 L DCΔDC

2 + EA2 h

ΔVD2

U =EA2 h

(1+2 cos3 α ) ΔVD2

a)Wext=1

2PΔV

D

P

FDCFAD a a

FH = 0 FAD= FDC

FV = 0

FAD cosaFDC cosa FDBP

2 FAD cosa FDBP

FDB

A ; E, G

F aplicada gradualmente

L

F

d

g

δKF '


12

PΔVD= EA

2 h(1+2cos3 α ) ΔV

D2

ΔV

D= PhEA ( 1+2cos3α )

b) Fuerzas:

De ( * ) Δ AD= Ph

EA ( 1+2cos3α )cos α

Como ΔAD=

F AD LAD

EA , obtenemos:

F AD= P cos2 α

1+2 cos3 α=F DC

FBD= P1+2cos3 α

I.2. Energía Debida a Fuerza CortanteConsideremos una barra prismática de material elástico lineal, en Estado

de Esfuerzo Cortante.

AB

L

T aplicada gradualmente


Dejando de lado el efecto de flexión (momentos), la fuerza F produce la distorsión , y el desplazamiento . Teniendo que:

U = ∫(V) τ2

2GdV

I.3. Energía Debida a Momento TorsorConsideremos una barra circular de material lineal elástico, con Módulo de

Rigidez G.

La sección B gira el ángulo por efectos del torsor T

U =T 2 L2 GJ

U =GJ2 L

φ2

Si la sección transversal de la barra o si el torsor interno son variables a lo largo de la barra:

U=∫L

T 2 ( x )dx2 GJ ( X )

II. Métodos energéticos.II.1.Primer Teorema de Castigliano

"La derivada parcial de la Energía de Deformación, almacenada en un Sistema Elástico Lineal, con respecto a una carga aplicada, es igual al desplazamiento del punto de aplicación de la carga, medido en dirección de la carga misma".

En general, consideramos las hipótesis:- Material elástico lineal- Cargas gradualmente aplicadas- Procesos adiabáticos


- Apoyos suficientes para evitar desplazamientos de cuerpo rígido.Sólo consideramos los desplazamientos debidos a la deformación del

material.∂U∂ Δ

=P Primer Teorema de Castigliano

II.2.Segundo Teorema de Castigliano"La derivada parcial de la Energía de Deformación almacenada en un

sistema linealmente elástico, con respecto a una fuerza seleccionada (aplicada gradualmente) que actúa sobre el sistema, es igual al desplazamiento del punto de aplicación de esa fuerza en dirección de su propia recta de acción".

∂ U∗¿∂ P

=Δ ¿ Segundo Teorema de Castigliano

II.2.1. EjemploUna viga rígida está soportada por tres barras elásticas verticales. Cada

una de ellas tiene un área transversal A y módulo de elasticidad E, pero la barra central es la mitad de larga que las otras dos. Calcular el corrimiento horizontal originado por la fuerza horizontal P. Considerar que el corrimiento es pequeño comparado con las otras dimensiones del sistema.


Deformaciones unitarias: ε 1=ε3=

√L2+δ2−LL =√1+ δ2

L2−1

ε 2=√ L2

4+δ2−L

2L2

=√1+ 4 δ 2

L2 −1

Como 0, usamos la aproximación √1+U=1+ 1

2U

(Si U 0)

Con esto,ε 2=1+ 1

2 (4 δ2

L2 )−1=2 δ 2

L2

Los alargamientos inducidos en las barras serán: 1 = 3 = L1 y Δ2=

L2

ε2

Δ1= Δ3=L 1

2δ 2

L2=δ 2

2 L ; Δ2=

L2

2 δ 2

L2 =δ2

L

U=EA2 L

( Δ1 )2 2+⏟

2 barras iguales

EA2 L /2

( Δ2)2

: U =5 EA

4 L3δ 4

Aplicamos el Primer Teorema de Castigliano ∂U∂ δ

=P

∂∂δ ( 5 EA

4 L3 δ4)=P

Efectuando la derivada: 5 EA

L3δ 3=P

; de donde δ=3√ 0 .2 P

EA

II.3.Carga ficticia Los únicos desplazamientos que pueden encontrarse con el teorema de

Casng'iano son aquellos que corresponden a cargas que actúan sobre la estructura. Si queremos calcular un desplazamiento en un punto sobre una estructura donde no hay carga, debemos aplicarle una carga ficticia


correspondiente al desplazamiento deseado. El desplazamiento se determina evaluando la energía de deformación y tomando la derivada parcial con respecto a la carga ficticia. El resultado es el desplazamiento producido por las cargas reales y la carga ficticia en acción simultánea. Al igualar a cero la carga ficticia, obtenemos el desplazamiento producido sólo por las cargas reales.

II.3.1. EjemplosCalcular el desplazamiento horizontal del punto de aplicación de la carga P,

en el sistema representado. Las barras deformables, son de material linealmente elástico.

Las fuerzas en las barras deformables, son: F1=P a

d ; F2=Q−P a

d .Energía: U = U1 + U2

U=F1

2 L1

2 E1 A1+

F22 L2

2E2 A2 . Reemplazando valores, tenemos:


U =(P a

d )2

(a+ a2 )

2(1. 5 EA)+(Q−P a

d )2

(a )

2( EA ) ; simplificando:

U = P2 a3

2 d2 EA+ a

2 EA (Q−P ad )

2

Aplicando, ahora, el 2do Teorema de Castigliano:

ΔHB =∂ U

∂Q]Q=0

Hacer Q=0, significa restituir el sistema original de cargas (que no contiene a la fuerza Q ).

Luego: ΔH

B = aEA (Q−P a

d ) ]Q=0=− Pa2

EAd

II.4.Carga unitariaEl método consiste en aplicar una carga unitaria en el punto que deseemos

conocer su desplazamiento si nos piden el desplazamiento vertical y horizontal; se tiendra que paplicar una carga horizontal y vertical para cada calculo de desplazamiento, en el punto a analizar. Para la solución de problemas de desplazamiento por este método, se analiza primero el sistema con suscargas reales y luego solo con la carga unitaria asi la carga real se representa con F y la carga unitaria con con f.

ΔvM =∑

i=1

n F i Li

E i A iƒi

Calcular el corrimiento del rodillo en la armadura representada. Considerar el material con módulo elástico E = 2.1×106 kg/cm2 para todas las barras.

A1 = A2 = A3 = A5 = A7 = 12.7 cm2A4 = A6 = 6.35 cm2


-) Calculamos las fuerzas axiales realesF1 = – 8,481 F2 = – 14,788F3 = 18,116 F4 = 5,997F5 = – 8,404 F6 = 4,241F7 = 16,357 (expresadas en kg) (Se obtienen resolviendo la armadura con las cargas reales)

- ) Calculamos los Factores de Fuerza Unitaria (adimensionales)

El corrimiento del Rodillo estará dado por:

Δ=∑i=1

7 Fi Li

Ei Aiƒi ; es decir:

P1

P2

P3


Δ= 1E [ F1 L1

A1ƒ1+

F2 L2

A2ƒ2+

F3 L3

A3ƒ3+

F4 L4

A4ƒ4+

F5 L5

A5ƒ5+

F6 L6

A6ƒ6+

F7 L7

A7ƒ7 ]

(Puesto que E es el mismo para todas las barras)(Las longitudes o son datos o se calculan por relaciones geométricas).Reemplazando los datos numéricos en la sumatoria y simplificando,

obtenemos: = – 1.397 cm

II.5.Principio del Trabajo MínimoEl Principio del Trabajo Mínimo (Teorema de Menabrea) establece que: "En

un sistema linealmente elástico, con elementos redundantes o hiperestáticos, el valor de una fuerza hiperestática es aquel que hace mínima la Energía Total de Deformación almacenada en el sistema".

Consideremos una armadura hiperestática interna (externamente determinada) sometida a un Sistema de Fuerzas externas gradualmente aplicadas. El material de las barras se considera linealmente elástico.

Requerimos encontrar las Fuerzas en las barras de la armadura.

Procedimiento:Determinamos el grado u orden de hiperestaticidad interna.(Número de barras existentes – Número de barras de la condición estática)"Liberamos" tantas barras como es el grado de hiperestaticidad interna. En

cualquier caso, la armadura resultante (denominada armadura primaria) debe ser Estable e Isostática Interna.

P1

P2

P3

"X" es la fuerza axial en la barra suprimida (llamada barra redundante o hiperestática)X

X

X

X

Barra hiperestática (suprimida)L; E; A


Se "reemplazan" las barras suprimidas por sus Fuerzas Internas.

Se evalúa la Energía de Deformación en la armadura primaria, en función de las cargas realmente aplicadas y de las fuerzas redundantes.

U = U(P1, P2, P3, . . ., X)Se calcula el "cambio de distancia" entre los nudos que definen la "barra

suprimida", por aplicación del Segundo Teorema de Castigliano∂U∂ X

=Δ'

Consideramos la condición de Compatibilidad Geométrica.

Luego:

∂U∂ X

+ XLEA

=0

∂∂ X (U + X2 L

2 EA )=0

Donde, X2 L2 EA es la energía almacenada en la barra suprimida.

U: energía de deformación en la armadura primaria.


Por tanto:∂

∂ X (UTOTAL )=0; denominado Principio del Trabajo Mínimo.

El principio del Trabajo Mínimo debe usarse tantas veces como es el número de elementos redundantes. Asimismo, puede aplicarse en sistemas hiperestáticos internos y/o externos.

II.5.1. EjemploHallar las reacciones externas y las fuerzas internas en las barras de la

armadura representada. Considerar la misma rigidez axial en todas las barras (EA).

Se trata de una armadura hiperestática externa.Seleccionamos una componente de reacción como la redundante.Por ejemplo la reacción R2.

Encontramos la energía total:U = ƒ(P, R2)


Fuerzas Internas:

F1=R2−2 P; F2=√2(P−R 2) ; F3=P ¿}¿¿(∗)¿

La energía total, es: U =∑

i=1

6 F i2 Li

2 Ei Ai . Reemplazando valores y simplificando, tenemos:

U = a2 EA [( R2−2 P )2+2√2( P−R2 )

2+3 P2+2√2 P2]

Principio del trabajo mínimo: ∂U∂ F2

=0 (puesto que R2 fue considerada la

reacción redundante).

2(R2 – 2P) + 4√2 (P – R2)(–1) = 0

de donde R2=( 1+√2

1+2√2 )(2 P )

Reemplazando este valor en las ecuaciones (), obtenemos:

F1=− 2√21+2√2

P;

F2=− √21+√2

P; F3=P

F4=−P ; F5=√2 P ; F6=−P

Mediante las ecuaciones de equilibrio para toda la armadura, pueden obtenerse las reacciones externas (puesto que R2 ya es conocida). Encontraremos:

R1=− 2√21+2√2

P;

R3=2√2

1+2√2P

;R4=− P

1+2√2

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