EMP Zadaci Za Vjezbu v2

Download EMP Zadaci Za Vjezbu v2

Post on 07-Jan-2016

9 views

Category:

Documents

1 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Wat are u waiting m(?

TRANSCRIPT

<ul><li><p>BojanTrkulja</p><p>Elektromagnetskapolja zadacizavjebu</p><p>Zagreb,2012</p></li><li><p>UDBENICISVEUILITAUZAGREBUMANUALIAUNIVERSITATISSTUDIORUMZAGRABIENSIS</p></li><li><p>BojanTrkulja</p><p>ElektromagnetskapoljazadacizavjebuISBN9789531841719Recenzenti:Prof.dr.sc.eljkotihProf.dr.sc.LiviounjiObjavljivanjeovogsveuilinogprirunikaodobrio jeSenatSveuilitauZagrebuodlukombr:380061/117122</p><p> Ovo djelo je dano na koritenje pod licencom Creative Commons Imenovanje-Nekomercijalno-Bez prerada 3.0 Hrvatska.</p></li><li><p> ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu</p><p>2</p><p>Sadraj1.Vektorskaanaliza.................................................................................................................................41.1Vektorskanotacijaialgebra..........................................................................................................41.2Koordinatnisustavi........................................................................................................................61.3Skalarnopolje................................................................................................................................71.4Vektorskopolje..............................................................................................................................71.5Nabla(Hamiltonov)operatoriLaplaceovoperator......................................................................81.6Integralniteoremi..........................................................................................................................81.7Vektorskeoperacijeukoordinatnimsustavima............................................................................81.8Zadacizavjebu...........................................................................................................................10</p><p>2.Statikoelektrinopolje....................................................................................................................142.1Osnovneveliinestatikogelektrinogpolja..............................................................................142.2Coulombovzakon........................................................................................................................142.3Jakostelektrinogpolja...............................................................................................................152.4Gaussovzakon.............................................................................................................................162.5ElektrinitokiodnosvektoraDiE..............................................................................................172.6Elektrinipotencijal,radienergijaustatikomelektrinompolju.............................................172.7Metodaodslikavanjanauzemljenojvodljivojplohi....................................................................202.8Uvjetinagranicidvamaterijalaustatikomelektrinompolju..................................................202.9Konvencijaooznaavanju...........................................................................................................212.10Rijeeniprimjeri.........................................................................................................................212.11Zadacizavjebu.........................................................................................................................30</p><p>3.Magnetostatika.................................................................................................................................423.1Osnovneveliinestatikogmagnetskogpolja.............................................................................423.2BiotSavartovzakon.....................................................................................................................423.3Ampereovzakon..........................................................................................................................443.4Magnetskitok..............................................................................................................................453.5Gaussovzakonumagnetskompolju...........................................................................................453.6Uvjetinagranicidvamagnetskamaterijala................................................................................463.7Magnetskikrugovi.......................................................................................................................463.8Vektorskimagnetskipotencijal...................................................................................................483.9Sileustatikommagnetskompolju.............................................................................................493.10Energijastatikogmagnetskogpolja.........................................................................................503.11Prorauninduktiviteta...............................................................................................................51</p></li><li><p> ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu</p><p>3</p><p>3.12Proraunmeuinduktiviteta.....................................................................................................513.13Zadacizavjebu.........................................................................................................................60</p><p>4.Elektromagnetizam...........................................................................................................................744.1Faradayevzakonelektromagnetskeindukcije............................................................................744.2Maxwellovejednadbeudiferencijalnomobliku.......................................................................754.3Maxwellovejednadbeuintegralnomobliku.............................................................................754.4Relacijegrae..............................................................................................................................764.5PoyntingovteoremiPoyntingovvektor......................................................................................764.6Jednadberavnogvalaurealnimdielektricimaivodiima.........................................................764.7Jednadberavnogvalausredstvimabezgubitaka.....................................................................784.8Zadacizavjebu...........................................................................................................................82</p><p>Popisliterature......................................................................................................................................93</p></li><li><p> ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu</p><p>4</p><p>1. Vektorskaanaliza1.1 Vektorskanotacijaialgebra</p><p>Uokviruovezbirkeuvodisesljedeanotacija.Zavektore,veliinekojeosimiznosa</p><p>imaju zadan i smjer, koristi se podebljani kurziv, npr. vektor A. Jedinini vektor,oznaava semalim slovoma, je bezdimenzionalna veliina koja slui za obiljeavanjesmjera vektora. Tako se primjerice Kartezijev koordinatni sustav karakterizirajedininimvektorimaaxusmjeruosix,ayusmjeruosiyiazusmjeruosiz.OpenitovektorAmoemouKartezijevomkoordinatnomsustavupisatiuobliku:</p><p> . (1.1)VeliinavektoraAodreenajeizrazom:</p><p> || , (1.2)ajedininivektorusmjeruvektoraAmoemoodreditiizrazom:</p><p> || </p><p>(1.3)</p><p>Zbrajanjeioduzimanjevektoraizvodisepremajednadbi:</p><p> (1.4)Vrijede zakoni asocijativnosti, distributivnosti i komutativnosti u vektorskimoperacijama:</p><p>(1.5)</p><p>Pritomjekskalarnakonstanta.Skalarni produkt dva vektoraA iB je skalarna veliina, odreena veliinomvektora ikosinusommanjegkutaizmeunjih:</p><p> ||||cos, (1.6)</p></li><li><p> ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu</p><p>5</p><p>UKartezijevomkoordinatnomsustavuvrijedi: , (1.7)jer je skalarni produkt dva jedinina vektora u istom smjeru jednak , a urazliitimsmjerovima VektorskiproduktdvavektoraAiBjevektorskaveliina,odreenaveliinomvektoraisinusommanjegkutaizmeunjih: ||||sin,. (1.8)PritomjejedininivektorusmjerenokomitonaravninukojurazapinjuvektoriAiB.UKartezijevomsustavukoristimozaizraunvektorskogproduktaizraz:</p><p>. (1.9)</p><p>Smjervektoramoemoodreditipravilomdesneruke.Kaiprstdesnerukepostavimousmjervektora,asrednjiprstu.Tadapalacpokazujesmjervektora,premaslici1.1.</p><p>Slika1.1Pravilodesneruke</p><p>B</p><p>A</p><p>an</p></li><li><p> ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu</p><p>6</p><p>1.2 Koordinatnisustavi</p><p>ZaproblemekojisuusvojojgeometrijipravokutniuputnojekoristitivespomenutiKartezijevkoordinatnisustav.Meutim,problemizakojejegeometrijaosnosimetrina(cilindrina) ili centralno simetrina (sferna) bi rjeavanjem u Kartezijevom sustavupostalibespotrebnokompleksni.</p><p>Utusvrhuuvodimodvanovakoordinatnasustava,cilindriniisferni.Ucilindrinomje sustavu toka odreena sa skupom koordinata , , , a u sfernom sa skupomkoordinata, , .Kutovimoguimativrijednostiuintervalima:0 2, 0 ,Definicijakoordinatazasvatrisustavaprikazanajeslikom1.2. Slika1.2Prikazkoordinatnihsustava </p><p>Slika1.3DiferencijalnielementuKartezijevomkoordinatnomsustavu </p><p>Slika1.4Diferencijalnielementucilindrinomkoordinatnomsustavu sin </p><p>Slika1.5Diferencijalnielementusfernomkoordinatnomsustavu</p><p>dr</p><p>rd</p><p>z</p><p>xy</p><p>z z</p><p>xy y</p><p>xx</p><p>y</p><p>z</p><p>P(x,y,z)z</p><p>r</p><p>P, , P, , </p><p>r</p><p>z</p><p>x</p><p>ydxdy</p><p>dz</p><p>P</p><p>z</p><p>xy</p><p>Pdz</p><p>rd</p><p>z</p><p>xy</p><p>drrsin()d</p><p>P</p></li><li><p> ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu</p><p>7</p><p>1.3SkalarnopoljeAkosvakojtokiprostorailidijelaprostoraPpridruimobrojanuvrijednost(skalar),</p><p> ,takvopridruivanjenazivamoskalarnimpoljem.Primjerskalarnogpoljajepoljegustoe,temperature,elektrinogpotencijala(slika1.5).</p><p>Slika1.5ElektrinipotencijaluokolininabijenekugleradijusaR</p><p>1.4VektorskopoljeAkosvakojtokiprostoraPpridruimovektorA:</p><p> ,timejedefiniranovektorskopolje.Primjerivektorskogpoljasupolje tekuinekojastruji (slika1.6),elektrinopolje imagnetskopolje(slika1.7).</p><p> Slika1.6PoljefluidaSlika1.7Poljepermanentnogmagneta</p><p>R</p><p>NS</p><p>[V]</p><p>x[m]</p><p>y[m]</p></li><li><p> ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu</p><p>8</p><p>1.5Nabla(Hamiltonov)operatoriLaplaceovoperatorNabla operator je simboliki vektor koji se koristi kod prostornog diferenciranja, a njegovaupotrebapojednostavljujeraunanjeuvektorskojanalizi.Zaoperatoregradijenta,divergencijeirotacijezaskalarnufunkcijuivektorskufunkcijuvrijedi:</p><p>(1.10)</p><p>Laplaceovoperatorjeskalarnikvadratnablaoperatora. (1.11)Laplaceov operator pridruuje skalarnim i vektorskim funkcijama sumu drugih parcijalnihderivacija.1.6IntegralniteoremiGaussovteorem:</p><p>(1.12)</p><p>VolumenVokruenjezatvorenomplohomSnakojojjedefinirananormalan.Stokesovteorem</p><p>(1.13)</p><p>PovrinaSobrubljenajezatvorenomkrivuljomcnakojojjedefinirandiferencijalnielementdl.1.7VektorskeoperacijeukoordinatnimsustavimaKartezijevkoordinatnisustav</p><p>(1.14)</p><p>(1.15)</p><p>(1.16)</p><p> (1.17)</p><p>BojanTypewritten Text</p><p>BojanTypewritten Text</p><p>BojanTypewritten Text</p><p>BojanTypewritten Text</p><p>BojanTypewritten Text</p></li><li><p> ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu</p><p>9</p><p>Cilindrinikoordinatnisustav</p><p>1 </p><p>(1.18)</p><p> 1 </p><p>1 </p><p>(1.19)</p><p> 1 </p><p>1 </p><p>(1.20)</p><p> 1 </p><p>1</p><p>(1.21)</p><p>Sfernikoordinatnisustav</p><p>1 </p><p>1</p><p>(1.22)</p><p> 1</p><p> 1 </p><p>1</p><p>(1.23)</p><p> 1 </p><p>1 </p><p>1</p><p> 1 </p><p>(1.24)</p><p> 1</p><p>1</p><p>1</p><p>(1.25)</p></li><li><p> ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu</p><p>10</p><p>1.8Zadacizavjebu1.1 Dvasuradijvektorarir'zadanaslikom.OdreditevektorR=rr'ijedininivektor</p><p>aRusmjeruvektoraR.</p><p>Rj. 2 ; 23 </p><p>16 </p><p>16 </p><p>1.2 ZatokuT(2,1,3)zadanuuKartezijevomkoordinatnomsustavuodredikoordinateucilindrinomisfernomkoordinatnomsustavu.Rj. 2,236; 0,464; 3; 3,742; 0,641; 0,464</p><p>1.3 Zazadanevektorskefunkcije 2 i odrediteutokiT(3;1;1):</p><p>a) ABb) A+Bc) d) </p><p>Rj.a) 7 b) 2 5 c) 5d) 7</p><p>1.4 Integracijom odredite povrinu S definiranu u sfernom koordinatnom sustavu s</p><p> 1,5m; 0 2; .</p><p>Rj.7,07m2</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>r</p><p>r'</p><p>R</p><p>(4,3,3)</p><p>(2,2,2)</p></li><li><p> ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu</p><p>11</p><p>1.5 Integracijom odredite u cilindrinom koordinatnom sustavu volumen V podrujadefiniranogs1m 3m; ; 1m 2m.Rj.6,28m3</p><p>1.6 Za zadane vektore 2 3 2i 2 odredite projekciju</p><p>vektoraB na vektorA imanji kut izmeu vektora primjenom relacije za skalarniproduktvektoraAiB.Rj.0,485;101,42</p><p>1.7 Zavektoreizzadatka1.6odreditemanjikutizmeuvektoraAiBprimjenomizraza</p><p>zavektorskiprodukt.Rj.101,42(napomena:primjenomvektorskogproduktadobivajusedvarjeenja78,58 i 101,42 zbog svojstava funkcije sinus, od kojih je samo jedno tono.Primjenomskalarnogproduktakaou6.zadatkudobivasejednorjeenje.Rezultatjelakoprovjeritiskiciranjemvektora.)</p><p>1.8 Neka je vektor 2 1. Odredite vektor u toki (7; 5; 1) i</p><p>njegovuprojekcijunavektor 2 3 2.Rj.7, 5, 1 7 6; </p><p>1.9 Odreditepovrinudijelavaljkasteplohe,odreenesradijusomr=3m,visinomh=2m</p><p>ikutem10 100.Rj.S=3m2</p><p>1.10 Za vektor 5 i vektor 4 odredite takav da je kut izmeu</p><p>vektoraAiBjednak45.Rj. 4</p><p>1.11 Odreditejedininivektorizmeutoaka(2;5;2)i(14;5;3).</p><p>Rj. </p><p>1.12 Zakojesuvrijednostiivektori:</p><p> 2 2 4i 2paralelni?</p><p>Rj. 1; 1.13 Za koje su vrijednosti vektori 2 2 2 i 2 </p><p>meusobnookomiti?Rj. 3</p></li><li><p> ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu</p><p>12</p><p>1.14 Neka je zadano skalarno polje . Odredite gradijent polja , </p><p> utoki(2;1;1).</p><p>Rj.1 1 11.15 Zadanojevektorskopolje 2.Odreditejedininivektorutoki</p><p>(2;30;2)uKartezijevomsustavu.Rj.0,8 0,46 0,37</p><p>1.16 Zavektorskopoljeizzadatka1.15odreditepovrinuzakojuvrijedi|| 8.</p><p>Rj.r=1,3cilindrinaploha.1.17 U toki P prostora dva su vektora definirana u sfernom koordinatnom sustavu</p><p>jednadbama 2 3 5 i 1 5 3. Odredite skalarnukomponentuvektoraBusmjeruvektoraA.Rj.5,19</p><p>1.18 Odreditevektorkoji jeutokiPokomitnaravninukojuodreujuvektoriA iB iz</p><p>zadatka1.17.Rj.0,914 0,057 0,4</p><p>1.19 Izrazite vektorsko polje u koordinatama cilindrinog</p><p>sustavautokiP 6, 60, 4.Rj.93 9 12</p><p>1.20 Unutarsfereradijusa0,2mnalazisenabojvolumnegustoe </p><p>.Odredite</p><p>ukupninabojunutarsfere.Rj.Q=0,394C</p><p>1.21 Odreditegradijentpolja, , 2 6 11.</p><p>Rj.2 6 61.22 Odreditegradijentpolja, , sin 4.</p><p>Rj. cos 1.23 Odreditegradijentpolja, , 2rcos 5 2.</p><p>Rj.2 cos 2 sin .</p><p>1.24 Odredite gradijent skalarnog polja , , 3 u toki (2; 1; 1) usmjeruvektora2 2 Rj. </p></li><li><p> ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu</p><p>13</p><p>1.25 Odredite linijski integral vektorskog polja , , poduiniodtokeA(0;1;2)doB(1;0;2).Rj.1,5</p><p>1.26 Odredite linijski integral vektorskog polja , , 2 2 2po</p><p>krunomlukuodtokeA(1;0;1)doB(0;1;1).Sreditekrunoglukajeutoki(0;0;1).Rj.4</p><p> 1.27 Odreditetokvektorskogpolja, , 4 2 2krozjedininu</p><p>kocku0 , , 1.Rj.2</p><p>1.28 Odreditedivergencijuvektorskogpolja:</p><p>, , cos3 sin3 Rj.2sin3</p><p>1.29 Odreditedivergencijuvektorskogpolja, , 2 sinutokix=0,8.</p><p>Rj.1,371.30 Odrediterotorvektorskogpolja, , 3 .</p><p>Rj. 31.31 Odrediterotorvektorskogpolja, , 5 cos 2.</p><p>Rj. 1.32 Odredite linijski integralvektorskogpolja, , 2pozatvorenoj</p><p>krivuljiodreenojtokama(0;0;0),(1;0;0)i(0;1;0).Smjerobilaskadefiniranjeredoslijedomtoaka.Rj. </p></li><li><p> ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu</p><p>14</p><p>2.Statikoelektrinopolje2.1OsnovneveliinestatikogelektrinogpoljaStatiko elektrino polje uvjetovano je postojanjem raspodjele mirujuih elektrinihnabojakaoizvorapoljauprostoru.U Tablici 2.1. nalazi se podsjetnik vanijih veliina u statikom elektrinom polju injihovihiznosaukolikojerijeokonstantama.</p><p>Oznaka Veliina Mjernajedinica Dielektrinostvakuuma 8,8541012 F/m Relativnadielektrinost 1Q Elektrininaboj C Linijskagustoanaboja C/m Povrinskagustoanaboja C/m2 Volumnagustoanaboja C/m3E Jakostelektrinogpolja V/mD Gustoaelektrinogtoka C/m2C Elektrinikapacitet F Elektrinipotenci...</p></li></ul>