emelt matek temakorok 2015

Download Emelt Matek Temakorok 2015

Post on 16-Sep-2015

27 views

Category:

Documents

3 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

az emelt szintu matek erettsegi

TRANSCRIPT

  • Matematika emelt szint rettsgi tmakrk2015

    sszelltotta:Kovcsn Nmeth Sarolta

    (gimnziumi tanr)

  • 2Tjkoztat vizsgzknak

    Tisztelt Vizsgz!A szbeli vizsgn a ttel cmben megjellt tma kifejtst s a kitztt feladat megoldstvrjk el a vizsgzktl.

    A ttel cmben megjellt tmt logikusan, arnyosan felptett, szabad eladsban,nllan kell kifejteni.Ehhez a felkszlsi id alatt clszer vzlatot kszteni. Ebben tervezze meg a cmbenmegjellt tmakr(k)hz tartoz ismeretanyag rvid ttekintst, dolgozza ki azokat arszeket, amelyeket rszletesen kifejt, oldja meg a feladatot. A vizsgz a vzlatt feleletekzben hasznlhatja.

    A feleletben felttlenl szerepelnik kell az albbi rszleteknek: egy, a tmhoz tartoz, a vizsgz vlasztsa szerinti definci pontos kimondsa; egy, a tmhoz tartoz, a vizsgz vlasztsa szerinti ttel pontos kimondsa s bizonytsa; a kitztt feladat megoldsa; a tma matematikn belli vagy azon kvli alkalmazsa (tbb alkalmazs felsorolsa, vagy

    egy rszletesebb kifejtse).

    Ha a ttelhez tartoz kitztt feladat bizonytst ignyel, akkor ennek a megoldsa nemhelyettesti a tmakrhz tartoz ttel kimondst s bizonytst.Vizsgznknt szksges segdeszkz a ttelsorban szerepl feladatokhoz kapcsoldsszefggseket tartalmaz, a ttelcmekkel egytt nyilvnossgra hozott kplettr, tovbbszveges adatok trolsra s megjelentsre nem alkalmas zsebszmolgp.A ttelt a vizsgznak nllan kell kifejtenie. Kzbekrdezni csak akkor lehet, ha teljesenhelytelenl indult el, vagy nyilvnval, hogy elakadt.

    rtkelsA szbeli vizsgn elrhet pontszm 35. Az rtkels kzponti rtkelsi tmutat alapjntrtnik.

    Az rtkelsi szempontok:

    A felelet tartalmi sszettele, felptsnek szerkezete 10 pontA feleletben szerepl, a tmhoz ill definci helyes kimondsa 2 pontA feleletben szerepl, a tmhoz ill ttel helyes kimondsa s bizonytsa 6 pontA kitztt feladat helyes megoldsa 8 pontHa a felel a feladatot csak a vizsgztat segtsgvel tudja elkezdeni, akkor maximum5 pont adhat.Alkalmazsok ismertetse 4 pontEgy odaill alkalmazs megemltse 1 pont, ennek rszletezse, vagy tovbbi 2-3 l-nyegesen eltr alkalmazs emltse tovbbi 3 pont.Matematikai nyelvhasznlat, kommunikcis kszsg 5 pont

  • 3Matematika emelt szint szbeli vizsga tmakrei(ttelek) 2015.

    1. Halmazok, halmazmveletek. Nevezetes ponthalmazok a skban s a trben. ................. 4

    2. Vals szmok halmaza s rszhalmazai. Vges s vgtelen halmazok szmossga.Szmelmleti alapfogalmak s ttelek. ............................................................................. 11

    3. A matematikai logika elemei. Logikai mveletek. llts s megfordtsa, szksges selgsges felttel. .............................................................................................................. 16

    4. Hatvnyozs, hatvnyfogalom kiterjesztse, a hatvnyozs azonossgai.Az n-edik gyk fogalma. A ngyzetgyk azonossgai. Hatvnyfggvnyek sa ngyzetgykfggvny. ................................................................................................... 20

    5. A logaritmus fogalma s azonossgai. Az exponencilis s a logaritmusfggvny. ........ 28

    6. Egyenletmegoldsi mdszerek, ekvivalencia, gykveszts, hamis gyk.Msodfok s msodfokra visszavezethet egyenletek. ................................................. 32

    7. Adatsokasg, a ler statisztika jellemzi, diagramok. Nevezetes kzepek. ..................... 37

    8. Szmsorozatok s tulajdonsgaik (korltossg, monotonits, konvergencia).Nevezetes szmsorozatok, vgtelen mrtani sor. .............................................................. 42

    9. Fggvnyek loklis s globlis tulajdonsgai. A differencilszmts s alkalmazsai. .. 47

    10. A hasonlsg fogalma s alkalmazsai hromszgekre vonatkoz ttelekbizonytsban. ................................................................................................................. 53

    11. Derkszg hromszgek. A hegyesszgek szgfggvnyei. A szgfggvnyekltalnostsa. .................................................................................................................... 58

    12. Hromszgek nevezetes vonalai, pontjai s krei. ............................................................ 66

    13. sszefggsek az ltalnos hromszgek oldalai kztt, szgei kztt, oldalai s szgeikztt. ............................................................................................................................... 71

    14. Hrngyszgek, rintngyszgek, szimmetrikus ngyszgek. ....................................... 74

    15. Egybevgsgi transzformcik. Konvex sokszgek tulajdonsgai, szimmetrikussokszgek. ......................................................................................................................... 79

    16. A kr s rszei, kr s egyenes klcsns helyzete (elemi geometriai trgyalsban).Kerleti szg, kzpponti szg, ltszg. ......................................................................... 84

    17. Vektorok, vektormveletek. Vektorfelbontsi ttel. Vektorok koordinti.Skalris szorzat. ................................................................................................................ 90

    18. Szakaszok s egyenesek a koordintaskon. A lineris fggvnyek grafikonja saz egyenes. ........................................................................................................................ 95

    19. A kr s a parabola a koordintaskon. Kr s egyenes, parabola s egyenes klcsnshelyzete. Msodfok egyenltlensgek grafikus megoldsa. ........................................... 100

    20. Trelemek tvolsga s szge. Trbeli alakzatok. Felszn- s trfogatszmts. .............. 107

    21. A terlet fogalma. Terletszmts elemi ton s az integrlszmts felhasznlsval. . 114

    22. Kombinatorika. Binomilis ttel. Grfok. ......................................................................... 120

    23. A valsznsg-szmts elemei. A valsznsg kiszmtsnak kombinatorikusmodellje. Nevezetes eloszlsok (binomilis, hipergeometrikus). ...................................... 126

    24. Bizonytsi mdszerek s bemutatsuk ttelek bizonytsban. ....................................... 130

  • 41. Halmazok, halmazmveletek.Nevezetes ponthalmazok a skban s a trben.

    Vzlat:I. Halmazok, rszhalmazok

    n elem halmaz rszhalmazainak szmaII. Halmazmveletek (komplementer, uni, metszet, klnbsg, Descartes-szorzat), mveletek

    tulajdonsgaiIII. Nevezetes ponthalmazok: kr (gmb), prhuzamos egyenespr (hengerfellet), szakaszfelez

    merleges egyenes (sk), kzpprhuzamos, szgfelez, parabolaIV. Egyb ponthalmazok: ellipszis, hiperbola, 3 ponttl, illetve 3 egyenestl egyenl tvolgra

    lv pontok, ltkrvV. Alkalmazsok

    Bevezets:A halmazelmlet a matematikn bell viszonylag j terletnek szmt, precz kidolgozsra csaka XIX. szzad vgn kerlt sor. Ahhoz, hogy a halmazelmlet nll tudomnygg vljon, annaka felismerse kellett, hogy a matematika minden ga klnbz halmazokkal foglalkozik.

    Kidolgozs:

    I. Halmazok, rszhalmazok

    A halmaz s a halmaz eleme alapfogalom, ezeket a kifejezseket nem definiljuk. De a halmazmegadsnak szigor kvetelmnye van: egy halmazt gy kell megadnunk, hogy minden szbajhet dologrl egyrtelmen eldnthet legyen, hogy az adott halmazhoz tartozik vagy sem.A halmazokat nyomtatott nagybetvel, a halmaz elemeit kisbetvel jelljk a kvetkez mdon:A = {a; b; c}, ebben az esetben a A, x A.

    Halmaz megadsi mdjai:

    Elemeinek felsorolsval: A = {0; 2; 4; 6} Az elemeit egyrtelmen meghatroz utastssal: B = {egyjegy pratlan szmok} Szimblumokkal: A = {xx2 - x - 6 = 0}, B = {xx2 > 9} Venn-diagrammal:

    A

    1

    2

    DEFINCI: Kt halmaz egyenl, ha ugyanazokat az elemeket tartalmazzk.

    DEFINCI: Az elem nlkli halmazt res halmaznak nevezzk.Jele: { } vagy .

    DEFINCI: Az A halmaz rszhalmaza a B halmaznak, ha A minden eleme a B halmaznak is eleme.Jele: A B.

  • 5DEFINCI: Az A halmaz valdi rszhalmaza a B halmaznak, ha A rszhalmaza a B-nek, de nemegyenl vele.Jele: A B.

    Tulajdonsgok: Az res halmaz minden halmaznak rszhalmaza: A. Minden halmaz nmaga rszhalmaza: A A. Ha A B s B A, akkor A = B. Ha A B s B C, akkor A C.

    TTEL: Az n elem halmaz sszes rszhalmazainak szma: 2n (n N).

    BIZONYTS I.: A bizonytst teljes indukcival vgezzk, amelynek lnyege, hogy elszr belt-juk egy konkrt n esetre az lltst, majd azt mutatjuk meg, ha az llts igaz egy tetszlegesn-re, akkor igaz az t kvet (n + 1)-re is, azaz bizonytjuk az llts rkldst.Az res halmaznak egyetlen rszhalmaza van: nmaga (20 = 1).Egy egyelem halmaznak 2 rszhalmaza van: az res halmaz s nmaga (21 = 2).Egy ktelem halmaznak 4 rszhalmaza van: az res halmaz, 2 egyelem halmaz s nmaga(22 = 4).Tegyk fel, hogy egy k elem halmaznak 2k db rszhalmaza van. Bizonytani kell, hogy ezrkldik, vagyis egy (k + 1) elem halmaznak 2k + 1 db rszhalmaza van.Tekintsk az elbbi k elem halmazt. Ekkor ha az eddigi elemek mell egy (k + 1)-edik ele-met tesznk a halmazba, akkor ezzel megktszerezzk a lehetsges rszhalmazok szmt, hi-szen az j elemet vagy kivlasztjuk az eddigi rszhalmazokba, vagy nem. Vagyis a (k + 1)elem halmaz rszhalmazainak szma 2 2k = 2k + 1, amit bizonytani kvntunk.

    BIZONYTS II.: Az n elem halmaznak 0n db 0 elem, 1

    n db 1 elem, 2n db 2 elem,

    1n

    n db n - 1 elem,

    nn

    db n elem rszhalmaza van, mert n elembl k db-ot kivlasztanink

    -flekppen lehet.

    gy az sszes rszhalmazok szma: + + + + + ...0 1 2 1n n n n n

    n n.

    Vizsgljuk meg n2 -t:

    ( ) 0 1 1 2 2 1 1 02 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 10 1 2 1nn n n n n nn n n n nn n = + = + + + + + , amiegyenl + + + + + ...0 1 2 1

    n n n n nn n

    -nel a binomilis ttel miatt.

    II. Halmazmveletek

    DEFINCI: Azt a halmazt, amelynek a vizsglt halmazok rszhalmazai, alaphalmaznak vagyuniverzumnak nevezzk. Jele: U vagy H.

    DEFINCI: Egy A halmaz komplementer halmaznak az alaphalmaz azon elemeinek halmazt

    nevezzk, amelyek az A halmaznak