Els triangles - 14Triangulos... · de la poligonal es denomina: vèrtex. Una poligonal tancada, de…

Download Els triangles - 14Triangulos... · de la poligonal es denomina: vèrtex. Una poligonal tancada, de…

Post on 11-Nov-2018

212 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Els triangles

  • Els triangles C.

    Es denomina amb la seqncia de vrtexs: ABC.

    C s un angle interior, denominat senzillament angle del triangle.

    'C s un angle exterior.

    El costat AB s oposat al vrtex C i a langle C .

    Propietats bsiques

    Cada costat del triangle s menor que la suma dels altres dos costats. La suma dels angles dun triangle s igual a 180. Un angle exterior s igual a la suma dels dos angles interiors que no li sn adjacents, ms 180.

    Punts i rectes importants

    Una altura dun triangle s una recta perpendicular a un dels seus costats i que cont el seu vrtex oposat.

    Les tres altures dun triangle es tallen en un punt. Aquest punt es denomina ortocentre i sindica amb la lletra H.

    La mediatriu dun costat dun triangle, com s sabut, s una recta perpendicular a aquest costat, que cont el seu punt mig.

    Les tres mediatrius dun triangle es tallen en un punt. Aquest punt es denomina circumcentre i sindica amb la lletra O.

    Una bisectriu dun triangle s, com s sabut, una recta que divideix un dels angles del triangle en dos diguals.

    Les tres bisectrius dun triangle es tallen en un punt. Aquest punt es denomina incentre i sindica amb la lletra I.

    Una mitjana dun triangle s una recta que passa pel punt mig dun dels seus costats i pel vrtex oposat.

    Les tres mitjanes dun triangle es tallen en un punt. Aquest punt es denomina baricentre i sindica amb la lletra G.

    Tipus de triangles

    Segons els angles Segons els costats

    Triangle obtusangle, que t un angle obts. Triangle escal, que t els tres costats de longitud diferent.

    Triangle acutangle, que t els tres angles aguts. Triangle issceles, que t dos costats iguals. Triangle rectangle, que t un angle recte. Triangle equilter, que t costats i angles iguals.

    El triangle rectangle

    Elements La hipotenusa dun triangle rectangle s el costat oposat a langle recte. Els altres dos costats, que formen langle recte es

    denominen catets.

    Importncia Tot triangle es pot descompondre de manera fcil en dos triangles rectangles.

    El teorema de Pitgores El quadrat de la hipotenusa (h) s igual a la suma dels quadrats dels catets (a i b). h2 = a2 + b2

    A B

    C

    'C

    B A D

    C

  • Les mesures dun triangle

    El permetre Lrea

    El permetre dun triangle s la longitud total dels seus costats.

    Lrea dun triangle s la superfcie limitada per els seus costats.

    Elements per a calcular lrea: La base del triangle pot ser qualsevol dels seus

    costats. Laltura corresponent a aquesta base s el

    segment perpendicular a la base, que t per extrems el vrtex oposat a la base i un punt de la base.

    Clcul del permetre: P = a + b + c Clcul de lrea:

    2b hA =

    Semblana de triangles

    Proporci entre dues segments: quocient entre les longituds dels segments.

    Proporcionalitat entre dos parells de segments: dos parells de segments sn proporcionals si la seva proporci s la mateixa.

    El teorema de Tales

    B C r' A r A' B' C

    r i r sn dues rectes que es tallen amb tres rectes paralleles. Els punts de tall de la recta r amb les paralleles es denominen A, B i C; els punts de tall de la recta r i les paralleles es denominen A, B i C. En aquestes condicions el teorema de Tales

    afirma que: ' '' '

    AC A CAB A B

    =

    A B' C' B C

    Aplicaci del teorema de Tales: si es talla un triangle ABC amb una recta parallela a un dels seus costats, es pot afirmar que:

    ' ' ' 'AB AC BCAB AC B C

    = =

    Els triangles semblants

    Dos triangles sn semblants si compleixen les propietats de semblana: Els parells de costats corresponents sn

    proporcionals. Els angles corresponents sn iguals.

    Aquests triangles sn semblants: A A' B' C' C B

    ' ' ' ' ' 'AB BC AC

    A B B C A C= =

    'A A= , 'B B= i C 'C=

    Criteris de semblana de triangles Primer criteri Dos triangles sn semblants si tenen dos angles iguals.

    Segon criteri Dos triangles sn semblants si tenen tres costats proporcionals.

    Tercer criteri Dos triangles sn semblants si tenen dos parells de costats proporcionals, i langle que formen s igual.

    a

    h

    b

    c

  • Pitgores i Tales Aquests dos grans pensadors grecs van donar els seus noms a dos dels principals resultats que permeten estudiar propietats molt interessants dels triangles: el teorema de Pitgores i el teorema de Tales. Tales va viure a Milet a les darreries del segle VII, encara que era de pares fenicis. Va ser, potser, el primer matemtic, filsof i cientfic grec. Sembla que va tenir, tamb, intervencions poltiques (per exemple, va proposar crear una sola sala de consells) i tcnics (va fer cavar una rasa perqu el riu fos transitable per tots dos costats); es diu que va visitar Egipte, per pot ser que aix fos un rumor (era un costum relacionar als savis amb Egipte, un dels primers centres de saviesa de lantiguitat); Plat diu que Tales va caure a un pou distret quan estava mirant les estrelles, i Aristtil assegura que Tales va guanyar diners amb un negoci de compraventa deines, per aquestes dues ancdotes probablement sn una pura stira fictcia. Tales va predir un eclipsi i va utilitzar mtodes per a esbrinar laltura de les pirmides; encara que alg li atribueix un llibre dastrologia, actualment es creu que aquest llibre no fou escrit per Tales, sin per Focus de Samos. Tales est considerat un dels set savis de lantiguitat grega.

    Segell grec de 1994 que representa la suposada efgie de Tales.

    Pitgores (aproximadament, 582-500 aC) va viure poc desprs de Tales; ambds sn considerats els iniciadors de la matemtica grega. Va fundar lescola pitagrica al sud de lactual Itlia, organitzaci que es guiava per lamor a la saviesa i especialment a les matemtiques i a la msica. Es diu que hi va haver una rebelli contra ells i en van cremar la seu. Alguns conten que el mateix Pitgores va morir a lincendi; uns altres, que va fugir i, desencantat, es va deixar morir de fam. En tot cas, aquests breus apunts biogrfics no sn ms que histries que repeteix la tradici, sense que puguin ser verificades per documents originals. A ms de formular el teorema que duu el seu nom, se li va atribuir una taula de multiplicar i lestudi de la relaci entre la msica i les matemtiques.

    Detall del quadre de Raffaello Sanzio (1483-1520) Scuola di Atene (1509-1510), on es pot observar Pitgores. Stanza della Segnatura, Palau Pontifici (Vatic).

  • Qu s un triangle?

    Un triangle s una figura tancada formada per tres segments, denominats costats, que suneixen en els extrems. Tot triangle t tres angles. Els costats i angles poden ser continus, si hi ha contacte entre ells, o oposats, si no hi ha contacte entre ells. La longitud de qualsevol costat s sempre menor que la suma de les longituds dels altres dos costats, i la suma dels angles dun triangle s sempre igual a 180 o rad.

    En el pla es poden dibuixar figures delimitades per segments units entre si, anomenats figures poligonals o, simplement, poligonals. Cadascun dels segments duna poligonal es denomina costat, mentre que cada punt duni entre dos segments de la poligonal es denomina vrtex. Una poligonal tancada, de manera que cada vrtex uneixi exactament dos segments, es denomina polgon.

    Un triangle s un polgon de tres costats (encara que el seu nom ens indica que t tres angles, fet que s equivalent). Habitualment, un triangle (i, en general, tot polgon) es denomina amb els vrtexs que el componen. Per exemple, el triangle de la imatge es denomina ABC.

    A B

    C Dos costats qualssevol dun triangle formen dos angles: langle interior i langle exterior. El primer s sempre convex (per exemple, ), mentre que el segon s sempre cncau (per exemple,

    C C

    'C ). La suma daquests dos angles s sempre de 360. En tot cas, quan es parla dels angles dun triangle, sempre es fa referncia als angles interiors.

    'C

    Un angle i un costat que no formen part de langle sn oposats. De la mateixa manera, un vrtex i un costat que no el contingui, tamb sn oposats. Per exemple, langle C i el costat AB sn oposats.

    Les propietats bsiques dun triangle sn: La longitud de qualsevol costat s sempre menor que la suma de les longituds

    dels altres dos costats.

    La suma dels angles dun triangle s sempre igual a 180 o rad.

    Cada angle exterior dun triangle s igual a la suma dels dos angles interiors que no li sn adjacents, ms 180.

    Quines sn les rectes i els punts notables dun triangle i com es troben?

    Les rectes principals dun triangle sn: altura o recta perpendicular a un dels seus costats i que cont el seu vrtex oposat; mediatriu o recta perpendicular a aquest costat que cont el seu punt mig; bisectriu o recta que divideix un dels angles del triangle en dos diguals: mitjana o recta que passa pel punt mig dun dels seus costats i pel vrtex oposat. Els punts dintersecci dels grups de tres rectes anteriors es denominen, respectivament, ortocentre, circumcentre, incentre i baricentre.

    Hi ha certes rectes importants que es poden representar a partir dels elements dun triangle:

    1

  • Una altura dun triangle s una recta perpendicular a un dels seus costats i que cont el seu vrtex oposat. Per exemple, r s una altura del triangle ABC, ja que s perpendicular a AB i passa per C.

    La mediatriu dun costat dun triangle, com s sabut, s una recta perpendicular a aquest costat, que cont el seu punt mig. Per exemple, s s la mediatriu de AC, ja que s perpendicular a aquest segment i passa pel seu punt mig, ACM .

    Una bisectriu dun triangle s, com s sabut, una recta que divideix un dels angles del triangle en dos diguals. Per exemple, t s una bisectriu dABC, ja que s la bisectriu de langle B .

    Una mitjana dun triangle s una recta que passa pel punt mig dun dels seus costats i pel vrtex oposat. Per exemple, u s una mitjana del triangle ABC, ja que passa per A i pel punt mig de BC, BCM .

    Una altura, una mediatriu, una bisectriu i una mitjana dun triangle ABC

    A B

    C

    r

    A B

    C t

    A

    B

    C MBC u

    A B

    C

    s

    MAC

    Aquestes rectes compleixen aquestes propietats: Les tres altures dun triangle es tallen en un punt. Aquest punt es denomina

    ortocentre i sindica amb la lletra H.

    Les tres mediatrius dun triangle es tallen en un punt. Aquest punt es denomina circumcentre i sindica amb la lletra O.

    Les tres bisectrius dun triangle es tallen en un punt. Aquest punt es denomina incentre i sindica amb la lletra I.

    Les tres mitjanes dun triangle es tallen en un punt. Aquest punt es denomina baricentre i sindica amb la lletra G.

    Ortocentre, circumcentre, incentre i baricentre dun triangle

    2

  • Quins sn els principals tipus de triangles?

    Els triangles es poden classificar segons quins siguin els seus angles; en aquest cas, es distingeixen els triangles obtusangles, acutangles i rectangles. Tamb es poden classificar segons quins siguin els seus costats; en aquest cas, es distingeixen els triangles escalens, issceles i equilters.

    Els triangles es poden classificar a partir dels seus angles o dels seus costats. La classificaci a partir dels seus angles s la segent: Triangle obtusangle: aquell que t un angle obts. Els altres dos sn angles

    aguts.

    Triangle acutangle: aquell que t els tres angles aguts.

    Triangle rectangle: aquell que t un angle recte. Els altres dos angles sn complementaris.

    obtusangle acutangle rectangle

    Segons quins siguin els seus costats, els triangles es poden classificar en: Triangle escal, que t els tres costats de longitud diferent. De la mateixa

    manera, els seus tres angles sn diferents.

    Triangle issceles, que t dos costats iguals. Igualment, t dos angles iguals.

    Triangle equilter, que t costats i angles iguals. En aquest cas, cadascun dels angles mesura 60.

    escal issceles equilter

    3

  • Com es calcula el permetre i lrea dun triangle?

    El permetre dun triangle s la suma de les longituds dels seus costats, i lrea dun triangle s la mesura de la seva extensi. Per al clcul de lrea dun triangle sha de multiplicar la seva base per la seva altura i dividir-la entre 2.

    El permetre dun triangle (i, en general, de qualsevol polgon) s la suma de les longituds dels seus costats. Lrea dun triangle (o de qualsevol polgon) s la mesura de la seva extensi. La unitat del SI per a mesurar lrea s el metre quadrat i el seu smbol s m2. Aquesta unitat es defineix a partir del metre: lextensi que ocupa un metre quadrat s igual a la dun quadrat que t 1 m de costat. El sistema dunitats drea deriva del m2, de manera que per a obtenir-ne una qualsevol, es multiplica lanterior (en el quadre, la unitat inferior) per 102:

    Unitats Smbol Equival a Equival a. 1 m 1 m2

    quilmetre quadrat km2 1000000 m2 106 m2 hectmetre quadrat hm2 10000 m2 104 m2 decmetre quadrat dam2 100 m2 102 m2 metre quadrat m2 1 m2 100 m2 decmetre quadrat dm2 0,01 m2 102 m2 centmetre quadrat cm2 0,0001 m2 104 m2 millmetre quadrat mm2 0,000001 m2 106 m2

    1 m

    La taula es podria estendre cap amunt amb unitats majors, i cap avall amb unitats menors. Habitualment, sutilitzar la lletra P per a referir-se al permetre duna figura. Aix, per exemple, si un triangle t costats 7 cm, 8 cm i 9 cm, el seu permetre ser igual a: P = 7 + 8 + 9 = 24 cm En general, el permetre dun triangle de costats a , b i c s igual a P = a + b + c. Normalment, lrea duna figura sindica amb la lletra A. Per a calcular lrea de qualsevol triangle hem de recrrer al clcul de lrea dun triangle rectangle. Si sobserva aquesta figura, es pot comprovar que el rectangle est format per dos triangles rectangles: a. b Lrea del rectangle s igual a ab; desprs lrea de cada triangle rectangle s igual a la meitat, s a dir, lrea dun triangle s igual a: A = ab/2 essent a i b els costats que formen langle recte del triangle rectangle.

    4

  • Aquest fet ens permet calcular lrea de qualsevol triangle, ja que sempre es pot descompondre en dos triangles rectangles a partir duna de les seves altures, tal com mostra la imatge: h a c Una vegada determinada la recta altura, a partir daquesta es pot calcular lrea del triangle: La base del triangle s el costat sobre el qual la recta altura cau en perpendicular.

    En lexemple, la base s la suma de a + c.

    Respecte de la base anterior, laltura s el segment perpendicular que t un extrem en el vrtex oposat a la base, i laltre sobre aquesta base. En aquest cas, laltura s h.

    Lrea del triangle ser igual a lrea dels dos triangles rectangles marcats, s a dir, ah/2 + ch/2 = (a +...