ELETTROMAGNETISMO

MODELLO IDEALE:

1. QUANTITA' DI BASE: SORGENTI E CAMPI

2. REGOLE DI OPERAZIONE: CALCOLO VETTORIALE

3. RELAZIONI FONDAMENTALI: EQUAZIONI DI MAXWELL

QUANTITA' DI BASE••SORGENTISORGENTI

CARICA ELETTRICA A RIPOSO O IN MOVIMENTO• E' una proprietà fondamentale della materia• Esiste sotto forma di multipli della carica dell'elettrone:

e = 1,60·10-19 CCORRENTE ELETTRICA

i = dq / dt ADENSITA' DI CORRENTE J

• Misura la quantità di corrente che fluisce attraverso l'unità di superficie normale alla direzione del flusso di corrente

••CAMPICAMPI

ELETTRICO

MAGNETICO

Intensita' Di Campo Elettrico E [ V / m ]Densità di Flusso Elettrico D [ C / m2]Induzione Magnetica B [ T = V·s / m2 ]Intensità di Campo Magnetico H [ A / m ]

RELAZIONI FONDAMENTALI

0=⋅∇

=⋅∇

∂∂

+=×∇

∂∂

−==×∇

B

D

tDJH

tBErotE

ρ

0=⋅

=⋅

⋅∂

∂+=⋅

Φ−=⋅

∂∂

−=⋅

∫

∫

∫∫

∫∫

S

S

S

S

dSB

QdSD

dStDIldH

dtddS

tBldE

Forma IntegraleForma Differenziale

L. Faraday

L. Ampére

L. Gauss

L. Gauss

( )

∫ ∫

∫∫

⋅=⋅∇

⋅=⋅⋅∇

V S

S

SdAdVA

dASdA l l TEOREMA DI STOKES

TEOREMA DELLA DIVERGENZA

EQUAZIONI DI MAXWELL

IPOTESI SUI MEZZI MATERIALICONTINUI - OMOGENEI - ISOTROPI - LINEARI

Caratterizzati dalle seguenti grandezze scalari:γ conduttività [ S / m ]ε permettività [ F / m ]µ permeabilità [ H / m ]

EQUAZIONI COSTITUTIVE DEL MEZZO:

D = ε E B = µ HCOSTANTI UNIVERSALI:

•Velocità della luce nel vuoto c ≅ 3·108 m / s •Permeabilità del vuoto µ0 = 4π · 10-7 H / m•Permettività del vuoto ε0 = 1/(36π) · 10-9 F / m

sm4587922991

00

==εµ

c

RELAZIONI MISTE FRA GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI Es:

∫

∫

⋅=

⋅=

ldHI

ldEV BAAB

CAMPO MAGNETICO STAZIONARIOCAMPO MAGNETICO STAZIONARIO

BP

r

I

rI

H

HB

rI

B

πµ

πµ

22 =⇒

=

=Legge di Legge di BiotBiot--SavartSavart

TEOREMA DELLA CIRCUITAZIONETEOREMA DELLA CIRCUITAZIONE

INldHUm ⋅=⋅= ∫ (Ampére-spire)

Applicando il Teorema di Stokes

JHrot = Legge di Ampére in forma localeLegge di Ampére in forma locale

FLUSSO DI INDUZIONE

sdB

∫ ⋅=Φ S sdB

APPLICANDO L'INTEGRALE AD UNA SUPERFICIE CHIUSA:

B E' SOLENOIDALE

0=⋅∫s sdB Legge di GaussLegge di Gauss

APPLICANDO IL TEOREMA DELLA DIVERGENZA: 0=Bdiv• Diverse superfici che hanno lo stesso contorno, hanno lo stesso flusso

concatenato → Si parla di flusso concatenato con una linea chiusa

REGOLA DI MAXWELL• Il verso positivo dell'asse della bobina è quello in

cui avanza una vite destrogira che ruota nel verso positivo di percorrenza del filo

MEZZI NORMALI•DIAMAGNETICI µ r < ≅ 1 (Cu, Ag, Zn, Pb, …)•PARAMAGNETICI µ r > ≅ 1 (Mg, Al, Mn, …)•AMAGNETICI µ = µ0 = 4π·10-7 H/m•MEZZI ANOMALI

FERROMAGNETICI µ r >> 1 (Fe, Ni, …)

µ r è funzione del campo magnetico e quindi dipende dal punto di lavoro

B = f (H) NON LINEARE

SATURAZIONE

HC

-Br

Br

-HC

B

HHmax

-Hmax

tan-1µ0

HC: forza coercitivaBr: induzione residua

UN MATERIALE FERROMAGNETICO, ASSOGGETTATO AD UN MATERIALE FERROMAGNETICO, ASSOGGETTATO AD UN CICLO DI ISTERESI, ASSORBE UN LAVORO PER UNITA' UN CICLO DI ISTERESI, ASSORBE UN LAVORO PER UNITA' DI VOLUME PARI ALL'AREA DEL CICLO DI ISTERESI.DI VOLUME PARI ALL'AREA DEL CICLO DI ISTERESI.Dimostrazione

∫ ⋅=

⋅==

⋅⋅=⋅⋅⋅=Φ⋅⋅=Φ⋅=

Φ+Φ→Φ

dBHL

dBHv

dLdL

vdBHAdBlHdINdIdL

d

vol

vol

C

CCC Un incremento del flusso concatenato, dà luogo a:

incremento del lavoro speso per unità di volume

incremento di lavoro volumico speso nel ciclo

Poché H e B sono variabili di stato, tale lavoro non si ritrova sotto forma di energia magnetica accumulata nel materiale, ma viene convertito in CALORE DI ISTERESI.

SI E' TROVATO SPERIMENTALMENTE CHE IL LAVORO MASSICO ASSORBITO IN UN CICLO E'

nMvol BdL ⋅=η Formula di Formula di SteinmetzSteinmetz

η : dipende dal materialen : 1,8 ÷ 2,2

MATERIALIFERROMAGNETICI

DOLCI (Cicli di isteresi stretti)

DURI (Cicli di isteresi larghi)

MATERIALI DOLCIECCETTO CHE PER LE PERDITE PER ISTERESI, IL COMPOR-TAMENTO PUO’ ESSERE DESCRITTO MEDIANTE LACURVA NORMALE DI MAGNETIZZAZIONECURVA NORMALE DI MAGNETIZZAZIONE: LUOGO DEI PUNTI VERTICI DEI CICLI DI ISTERESI SIMMETRICI

B

H

GINOCCHIO

CURVA NORMALE DI MAGNETIZZAZIONE

Si possono utilizzare anche i dati in forma tabellare. Es: ACCIAIO FUSO 6425 0002,00

14410 0001,80

36535001,60

93012001,40

15506201,20

20004001,00

23702700,80

28201700,60

28601400,50

26601200,40

24001000,30

1780900,20

1140700,10

µ rH [A / m ]B [Wb / m2]

CIRCUITI MAGNETICI

• UN BIPOLO INDUTTIVO E' UN COMPONENTE CON 2 MORSETTI CHE NON DA' LUOGO A DISSIPAZIONE DI ENERGIA ED E' IDONEO AD IMMAGAZZINARE ENERGIA SOTTO FORMA DI ENERGIA MAGNETICA NEL SUO INTERNO E NEL MEZZO CIRCOSTANTE

• ATTRAVERSATO DA CORRENTE, GENERA LINEE MAGNETICHE CHIUSE CHE COSTITUISCONO IL FLUSSO MAGNETICO

• LO SPAZIO ENTRO CUI SI CHIUDONO LE LINEE MAGNETICHE RAPPRESENTA IL CIRCUITO MAGNETICOCIRCUITO MAGNETICO

• E' COSTITUITO DA MATERIALI MAGNETICI DOLCI

• SI RICONOSCE UN'ANALOGIA TRA CIRCUITI ELETTRICI E CIRCUITI MAGNETICI

• LE DIFFERENZE SOSTANZIALI SONO:In un circuito magnetico con f.m.m. concentrata il flusso varia da sezione a sezioneNON ESISTONO BUONI ISOLANTI MAGNETICI

CIRCUITO MAGNETICO INERTE

I N

1Φ 2Φ 3Φ

Se µr >> 1 si può immaginare chei flussi siano canalizzati nel nucleo ferromagnetico. E' un'ipotesi semplificativa

Per ogni tubo di flusso: Um = R mΦ → Φ = Gm UmPer ogni superficie chiusa: ΣΦ = 0Per ogni percorso chiuso: Σ Um = Σ I

N

I

L

ININS

dl

INdlS

IN

IN

m ⋅=⋅Φ⇒⋅=⋅⋅

⋅Φ

⇓

⋅=⋅⋅

Φ⇓

⋅=⋅

⇓

⋅=⋅

∫

∫

∫

∫

RL

L

L

L

µ

µ

µdlB

dlH (L. Ampére)

Analogia con la Legge di Ohm

R m = Riluttanza

Gm = 1/R m = Permeanza

ANALOGIA

CIRCUITI MAGNETICICIRCUITI MAGNETICI

F.M.M. (f )

PERMEANZA G m

RILUTTANZA R m

FLUSSO Φ

Um = R m Φ

ΣΦ = 0

Σ Um = ΣR m Φ

CIRCUITI ELETTRICICIRCUITI ELETTRICI

F.E.M. (E)

CONUTTANZA G

RESISTENZA R

CORRENTE I

U = RI

ΣI = 0

ΣV = Σ RI

ESEMPIO3Φ2Φ1Φ

N1 lt N2

I1 I2

lg lg

lc

Ag Ag

Ac

3Φ2Φ

1ΦN1I1

R cR c

R t

R c

R g R g

R c

R gR g

N2I2'

'

( ) ( )( ) ( )

=Φ⋅+−Φ⋅+=Φ⋅++Φ⋅+

=Φ−Φ−Φ

⋅=−

⋅=⋅=⋅=

2232

1131

321

0

2222

0

1;'2

1;1;1

ININ

AAAA

tcgc

tcgc

t

tg

c

tcc

g

gg

c

cc

RRRRRRRR

lR

llR

lR

lR

''

'µµµµ

E' UN SISTEMA NON LINEARE

IPOTESI SUI CIRCUITI MAGNETICI

• SI TRASCURANO GLI EFFETTI DI BORDO

• LA LUNGHEZZA DI CIASCUN TRATTO SI CONSIDERA COINCIDENTE CON LA LINEA MEDIA

• IL NUCLEO DI MATERIALE FERROMAGNETICO VIENE CONSIDERATO UN TUBO DI FLUSSO

• L'INDUZIONE VIENE CONSIDERATA COSTANTE TRATTO PER TRATTO

PROBLEMI

•• PROBLEMA DIRETTOPROBLEMA DIRETTO: Trovare le amperspire necessarie a generare un assegnato valore di induzione (es: al traferro)

•• PROBLEMA INVERSOPROBLEMA INVERSO: Trovare il valore dell'induzione (al traferro) note le amperspire di eccitazione

ELETTROMAGNETI: RELE', IMPIANTI DI SOLLEVAMENTO ROTTAMI, …Sono dispositivi con funzioni sia di protezione che di manovra

CIRCUITI PER MAGNETI PERMANENTI

CIRCUITI MAGNETICI PER MACCHINE ELETTRICHE: Trasformatore, Macchine Asincrone, …

PROBLEMA DIRETTO:NOTO IL FLUSSO RICAVARE LE AMPERSPIRE

Esempio: L'ELETTROMAGNETE

NI

Φ

t

Hp: Φ costante in tutto il nucleo

( )

⋅+

⋅Φ=+Φ=

tf

ft A

tA

NI0µµ

lRR f

Noto Φ:

→Φ

=

=→Φ

=

ff

tt

tt

AB

BHA

B0µ

Si legge µ

PROBLEMA INVERSO:NOTE LE AMPERSPIRE RICAVARE IL FLUSSO

Esempio: L'ELETTROMAGNETE

Φ

NI1Φ

2Φ3Φ

VΦ

( )1NI ( )2NI ( )3NI

( )VNI

GRAFICAMENTE:

CARATTERISTICA DIMAGNETIZZAZIONE TOTALEDEL CIRCUITO

ESEMPIO

la a

l

I

t

N

Calcolare il coefficiente di autoinduzione della bobina di N = 1000 spire

Hp: non ci sono flussi dispersi

As/m75002300700400250180HWb/m21,61,41,21,00,80,6B

Tabella di magnetizzazione del ferro al silicio

t = 3 mma = 20 mml = 50 mmI = 2 A

ΦRf Rt

NIlf = 4l = 200 mm = 0,2 mS = a·a = 400 mm2 = 4·10-4 m2

µ0 = 4·π· 10-7 H/mNI = 2000 As

continua…

BHtBHNI fff ⋅+=+⋅= 32,23872,00µ

l

3819,7175001,63342,2523001,42864,797001,22387,324001,01909,862500,81432,391800,6

(NI)tHB

Interpolando:

mH H

Wb

163163,0

102633,3

8158,08,02,086,195932,2467

86,19592000

4

==Φ

=

⋅=⋅=Φ

=+⋅−

−=

−

INL

SB

B

Φ Flusso PrincipaleΦd1 Flusso Disperso PrimarioΦd2 Flusso Disperso SecondarioΦ1 Flusso Concatenato con una Spira Primaria Φ2 Flusso Concatenato con una Spira Secondaria

CIRCUITI MUTUAMENTE ACCOPPIATI

L1 L2

i1 i2

v1v2

M

+=

+=

dtdiL

dtdiMv

dtdiM

dtdiLv

22

12

2111

+=

+=

2212

2111

ILjIMjV

IMjILjV

ωω

ωω

2dΦ1dΦ

Φ

N1 N2

1I 2I

Φ+Φ=Φ

Φ+Φ=Φ

22

11

d

d

Φ+Φ=Φ

Φ+Φ=Φ

2222

1111

dc

dc

NN

NN

continua…

Φ+Φ=Φ

Φ+Φ=Φ

2222

1111

dc

dc

NN

NN

ma:

( )( )( )

=Φ=Φ

+=Φ

2222

1111

2211

ININ

ININ

dd

dd

m

GG

G Gm permeanza del circuito magneticoGd1 permeanza costante (percorso in aria)Gd2 permeanza costante (percorso in aria)

( ) ( )( ) ( )

++=Φ++=Φ

⇒2222221122

1111221111

INNININNINNININN

dmc

dmc

GGGG

( )( )

=+=+=

m

md

md

NNMNLNL

GGGGG

21

2222

12

11 Induttanza propria del circuito 1Induttanza propria del circuito 2Mutua induttanza

poniamo:

⋅+⋅=Φ⋅+⋅=Φ

⇒1222

2111

IMILIMIL

c

c

continua…

⋅+⋅=Φ⋅+⋅=Φ

1222

2111

IMILIMIL

c

c

Se siamo in condizioni dinamiche:

⋅+⋅=Φ

⋅+⋅=Φ

dtdiM

dtdiL

dtd

dtdiM

dtdiL

dtd

c

c

122

2

211

1

⋅+⋅=

⋅+⋅=⇒

dtdiM

dtdiLv

dtdiM

dtdiLv

1222

2111

Si possono definire le induttanze di dispersione dei due circuiti.

Dalle

⋅=⋅=Φ=Φ⋅=⋅=Φ=Φ

222222222

11112

1111

ILINNILINN

dmddcd

dmddcd

GG

==

⇒2

222

12

11

mdd

mdd

NLNL

GG

ESEMPIO N1 = 75 spireN2 = 100 spireR = 105 H-1

R = 50 ΩC = 150 µFE = 10 Vf = 50 Hz

CΦBΦ

AΦ

N2 N1 e(t)RC

Calcolare la potenza attiva e reattiva erogate dal generatore sinusoidale e(t). Sia R la riluttanza di ogni tronco. Hp: trascurare i flussi dispersi.

22IN2Φ R

R R

22IN 1Φ

2I 1I

Φ⋅−Φ⋅=⋅Φ⋅−Φ⋅=⋅

2111

1222

22

RRRR

ININ

Φ⋅−

⋅−Φ⋅=⋅

⋅−Φ=Φ

222

211

2221

22

2

RR

R

RININ

IN

222222211 3242 Φ⋅+⋅−=Φ⋅−Φ⋅+⋅−=⋅ RRR INININ

⋅+

⋅=

⋅+

⋅+

⋅−=Φ

⋅+

⋅=Φ

RRRRR

RR

32

332

322

32

31122112222

1

22112

INININININ

ININ

⋅+

⋅=Φ=Φ

⋅+

⋅=Φ=Φ

RR

RR

32

3

32

31

21221

111

222121

222

ININNN

ININNN

c

c

==

==

==

H 025,03

H 0667,032

H 0375,032

21

22

2

21

1

R

R

R

NNM

NL

NL

ωL1 = 2π f L1 = 11,78 Ω ; ωL2 = 20,94 Ω ; ωM = 7,85 Ω1 / ω C = 21,22 Ω

L1 L2

M1I 2I R

CE

⋅−⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅=

22122

211

0 ICjIRIMjILj

IMjILjE

ωωω

ωω

( )

VAR W 264,8769,0264,8769,068,8483,0010

68,8483,028,0500

85,710

28.05094.20085,778,1110

*1

121

21

==+=°∠⋅°∠=⋅=

°−∠=∆−

=

⋅−+⋅=⋅+⋅=

QPjIES

jj

IIjIj

IjIj

&

0 0

0 0

cost)21

21(

)21

21(

)()(

2

1

221

22221

211

22221

211

22122111

2211

≥≥

≥−≥

+++=

++=

=+++=

Φ+Φ=

LL

MLLW

ILIMIILW

ILIMIILd

dILMdIIMdIdILIdL

dIdIdL

m

m

cc

ENERGIA ASSOCIATA A DUE CIRCUITI ACCOPPIATI

Passività

lavoro elettrico assorbito ai morsetti in una trasformazione elementare

differenziale esatto della funzione di stato

stato zero

Dalla:

coefficiente di accoppiamento

Se

Se

accade se Gm=0 cioe’ se:•i due induttori sono a grande distanza•gli assi sono disposti perpendicolarmente

accade quando l’accoppiamento e’ perfetto: cioè tutto il flusso concatenato con uno dei due circuiti si concatena anche con l’altro

1 0

0 0

10 0

21

21

221

===

==

=

≤≤≥−

kLL

kMLL

Mk

kMLL

dd

CIRCUITI EQUIVALENTI

Ponendo:

induttanza di dispersione primaria

induttanza di dispersione secondaria

induttanza di magnetizzazione

( )( )

×

++=

++=

=

=

=

++=++=

2

11

2

12

22222

21

21

21111

21

2222

112

1

22221212

221112

11

NNI

NNINILΦ

INNINILΦ

LN

LN

LN

ININNΦINNINΦ

mdC

mdC

mm

dmd

dmd

mmdmC

mmmdC

G

G

G

G

G

GGGGGG

rapporto spire

grandezze secondarie riferite al primario

DOPPIO BIPOLO EQUIVALENTE

2

1

21

22

22

21111

12

12

1

2

2

122

2

122

1

2

2

1

2

12

2

1

21

21111

NNn

nIIL

nILnnΦ

IILILΦ

INNI

NN

NNN

NNIL

NN

NN

NNΦ

NN

INNILILΦ

mdC

mdC

mdC

mdC

=

++=

++=

+⋅+⋅⋅=

++=

G

1dL2

2dLn

mL1cΦ nII 2

1 +2cn Φ⋅

2cn Φ⋅nI2

22

dLnnI21I

n

derivando le e assumendo il funzionamento in regime sinusoidale:

Ricordando che IL TRASFORMATORE IDEALE

n:1

TRASPARENTE ALLE POTENZE

++=

++=

nIILj

nILjnVn

nIILjILjV

md

md

21

22

22

21111

ϖϖ

ϖϖ1I

1djX

1V mjX

22

djXn nI2

nI

I 21 +

2Vn ⋅

1I

1V

2I

2V2

1

21

211

NN

nI

nI

VnV=

−=

=

( ) 0*1

1*11

*22

*1121 =−⋅+=+=+= In

nVIVIVIVSSStot &&&

TRASFORMAZIONE DELLE IMPEDENZE

n:1

Un’impedenza applicata ai morsetti secondari di un trasformatore ideale puo’ essere sostituita da un’impedenza ai morsetti primari senza che il funzionamento complessivo venga alterato, eviceversa.RIASSUMENDO:

per portare una grandezza secondaria al primario:

2n

per portare una grandezza primaria al secondario:

2I2V

1I

1V'222

1

12

1

1

2

22

1

11

Zn

Z

IV

nInnV

IVZ

&&

&

=

=⋅==

2Z&2

2'2 ZnZ && =

22'

22'

22'

2 :;; ZnZnIIVnV && === Impedenza:Corrente:Tensione

12"11

"11

"1

1:;;1 Zn

ZInIVn

V && === Impedenza:Corrente:Tensione

Estendendo questi concetti al circuito equivalente prima ricavato:

n:1

n:1

TRASFORMATORE INDUTTIVO:Reattanza di dispersione primariaReattanza di dispersione secondariaReattanza di magnetizzazioneRapporto di trasformazione

1I1djX

22

djXn

1V mjXnI

I 21 +

2Vn 2V

2I

1I1djX

1V mjX '21 II + '

2V

'2I 2djX

2I

2V

:1dX:2dX:mX

:n

nI2

Poiche’ e’:

si ha:

n:1

( )( )

=+=+=

===

m

mmd

mmd

mm

mdd

mdd

NNMNLNL

NLNLNL

GGG

GG

GGG

21

2222

1211

21

2222

1211

−=−=−+=

=⋅⋅=

nMLnLnnMLNNNL

nMNNNN

NNL

d

mmmdd

mm

22

22

121

211

211

111

2

2

1

GGG

G

1I nML −1 nMLn −22

nI2

nM nI

I 21 +

2Vn 2V

2I

1V

Ricordando il significato delle varie induttanze

( )

secondariodispersoflusso:primariodispersoflusso:

principaleflusso:magneticocircuitodelpermeanza:

2222

1111

2211

ININ

ININ

mdd

mdd

m

m

GG

GG

=Φ=Φ

Φ

+=Φ

1dΦ2dΦ

Φ

n:1

1dL 2dL

mL

Se i flussi dispersi sono nulli:

n:1 ACCOPPIAMENTO PERFETTO

TRASFORMATORE PERFETTO

Se circuito aperto

n:1TRASFORMATORE IDEALE

mL

NL mmm ∞→=∞→ GG 21

IN REGIME SINUSOIDALE

n:1

EQUAZIONI DEL TRASFORMATORE INDUTTIVO

1I1dLjϖ

1E−1V mLjϖ2En−

22

dLjn ϖ

2Vn

nI2

2I

2V

+−==

+−=

−=Φ−=

Φ−=

nIILjEnE

nILjnEnVn

EILjVNjENjE

m

d

d

2121

22

222

1111

22

11

ϖ

ϖ

ϖϖϖ

nNN

EE ==

2

1

2

1

n:1

Si definiscono f.e.m. primaria e secondario quelle generate negli avvolgimenti primario e secondario dal flusso principale:

Con questa definizione le equazioni del trasformatore induttivo diventano

la f.e.m. prodotta dal flusso principale e’ vista come f.c.e.m. indotta, mentre le f.e.m. dovute ai flussi dispersi sono viste come c.d.t.

1i1dL

22

dLn

1e−1v mL2ne−

2nv

ni2

2i

2v

;dtdNe

dtdNe

ϕϕ2211 −=−=

+−==

−−−=

−=

nii

dtdLnee

ni

dtdLnnenv

edtdiLv

m

d

d

2121

22

222

11

11

Trasformatore Reale

Caratteristiche costruttive

Nucleo:realizzare l’accoppiamento attraverso un circuito magnetico di

materiale ferromagnetico e quindi di bassa riluttanza:riduce le linee di flusso dispersoper la sua elevata permeabilità magnetica relativa consente una drastica riduzione della corrente di magnetizzazione richiesta per sostenere il flusso principale

Forme costruttive piu’ comuni

Nucleo a colonne Nucleo a mantello (o corazzato)

lamierini di acciaio speciale (da trasformatore) da alcuni millimetri (piccolissima potenza) a 0.35-0.5 mmlamierini isolati mediante carta (0.03 mm) o vernici per piccolitrasformatori (fino a qualche kVA) si affida l’isolamento allo strato di ossidodrogaggio con silicio (qualche percento): cifra di perdita ˜ 1 W/kg (per 1 Wb/m2 e 50 Hz) (le lamiere normali arrivano a 3 W/kg)

giunto piallato giunto intercalato

per piccole potenze < 1 kVA

nucleo bobinato a colonne nucleo bobinato a mantello

Avvolgimenti

rame o alluminiosezione circolare o a piattina

Configurazioni

concentricoalternato

AT ATBTBT BT

BT

BT

AT

AT

concentrico alternato

Raffreddamento

Esistenza o meno di un fluido intermediarioEsistenza o meno di mezzi che attivano la trasmissione del calore

aria raffreddamento naturale1) 2)

olio forzato o artificiale

a) aria- naturale convezione naturale+ irraggiamentoalette metalliche intorno agli avvolgimentisolo per piccole potenze e tensioni modeste: S<150-200 kVA V<10 kV

b) aria-artificiale ventilatorimedie potenze

c) olio-naturale cassone pieno d’olioS=5-6000 kVA V fino a 70 kV

d) olio-artificiale circuito idraulico + scambiatore di caloreS= 10 – 400 MVA V>70 kV

Hp:Ferro Ideale

Rame Ideale

Pfe=0accoppiamento perfetto

Pcu=0

TRASFORMATOREIDEALE

Il circuito equivalente del trasformatore reale si ottiene rimuovendo le ipotesi di ferro ideale e di rame ideale

∞→µ

1I 2I−

1V 2V

( )

Φ=−=Φ=−=

=

222

111

11 cos

NjEVNjEV

tVtv M

ϖϖ

ϖ

MMM

MMM

fNNfNE

fNNfNE

Φ=Φ=Φ=

Φ=Φ=Φ=

2222

1111

44.42

22

44.42

22

πϖ

πϖ

FERRO NON IDEALERiluttanza del circuito magnetico non nulla (permeanza finita)Legame flusso-amperspire non lineare (isteresi)Perdite per isteresi e correnti parassite non nulle

Corrente magnetizzante non nullaCorrente magnetizzante non sinusoidale (deformata)Potenza dissipata nel nucleo sotto forma di calorePresenza di flussi dispersi che si chiudono prevalentemente in aria

RAME NON IDEALEResistività del rame diversa da zero

Potenza attiva dissipata negli avvolgimenti sotto forma di calore

CIRCUITO EQUIVALENTE

R1: resistenza equivalente dell’avvolgimento primarioR’2=n2R2 con R2 resistenza dell’avvolgimento secondarioXd1=ϖLd1 con Ld1 induttanza di dispersione primariaX’d2=n2 Xd2 ; Xd2=ϖLd2 con Ld2 induttanza di dispersione secondariaG: conduttanza trasversale (mette in conto le perdite nel ferro)B=1/Xm; Xm=j ϖLm con Lm induttanza di magnetizzazioneI0: corrente a vuotoIm: corrente magnetizzanteE’2=nE2

1I 1dX 1R 2'dX 2'R 2'I

1E− GfI mI

0I

'2E−B '

2-V

2I−

2V1V

mettono in conto le perdite per effetto Joule negli avvolgimenti primario e secondario, che sono proporzionali al quadrato delle correnti . Devono essere inseriti in serie. G tiene conto delle perdite nel ferro per isteresi e per correnti parassite, circa proporzionali al quadrato dell’induzione e quindi del flusso

potenza volumica dissipata nel ferron=1.8-2.2

e poiche’

La potenza dissipata nella conduttanza G e’:

per questo G viene inserita in parallelo

21 RR ;

21 II e

222 dBfBfp MnM ⋅⋅⋅+⋅⋅= βη

22MMfe BP Φ≡≡

M

M

NfENfE

Φ⋅=

Φ⋅=

22

11

44.444.4 2

221 EEPfe ≡≡

22

21 'GEGEP ==

RENDIMENTO

dipendente dal caricoindipendente dal carico

Il rendimento massimo si ha in corrispondenza alla potenza apparente nominale

Rendimenti altiCrescono al crescere della potenza nominale

Valori tipici

pu

p

pu

u

e

u

PPP

PPP

PP

+−=

+== 1η fecup PPP +≅

fe

cu

PP

η

nS S2

21cos

cosKSKS

S++

=ϕ

ϕη

MVAkVASn 501%99%92 −=−= perη

FUNZIONAMENTO A VUOTO

Secondario aperto: non e’ percorsa da corrente

corrente a vuoto (la percentuale descresce al crescere della potenza del trasformatore)

Nell’avvolgimento primario passa

e’ fortemente sfasata in ritardo rispetto a perche’ il circuito e’ fortemente induttivo

0I 1dX 1R

1E−nV1 GfI

'2

'2

'2 djXRZ +=&

BmI

0I

20V

nII 10 %124 −=

0I

1E−0I

2202211 ;; EVNjENjE −=Φ⋅=Φ⋅= ϖϖ

DIAGRAMMA FASORIALE

La caduta di tensione al primario e’ piccolissima (pochi %°) e puo’, in certi casi, essere trascurata

Im e’ prevalente rispetto a If

0I 1dX 1R

1E−nV1 G BfI mI

0I

20V

01IjX d

1V01IR

1E−

0IfI

mI

2E

Φ

PROVA A VUOTOo Trascurando le perdite di eccitazione R1I0

2 rispetto a quelle nel ferro GE1

2 (rapporto di poche unità per mille)o Trascurando la potenza reattiva richiesta per l’eccitazione del flusso

disperso rispetto a quelle necessarie a sostenere il flusso principale

Il circuito equivalente del trasformatore nel funzionamento a vuoto e’ il seguente:

Ammettenza a vuoto primaria

W A

V VT

0I

11 EV −=fI

G BmI

0I

20V

mjBGY +=&

W A

V1 V2Twattmetroamperometro voltmetro

In corrispondenza alla tensione nominale, le letture degli strumenti forniscono i dati sufficienti a ricavare i parametri trasversali del circuito equivalente del trasformatore: G e B

Spesso non e’ necessario effettuare la prova a vuoto in quanto i dati della prova vengono riportati nella TARGA del trasformatore

21

210

01

01

)(...

)(

VBP

VfPmmfIBV

IfV

Mfe ⇒≡

=≡≡

≡=

parabola

zionemagnetizzadinormalecurva

22

21

0

1

0

GYB

VPG

VIY

m

n

n −=⇒=

=&

0P0InV1

0I0P 0P

0I

nV11V

FUNZIONAMENTO IN CORTO CIRCUITO

Se applicassimo:

Si deve applicare una tensione tale che

: Tensione di corto circuitodecresce al crescere della potenza

Se

Se

puo’ essere trascurata rispetto ad e cioe’: si trascurano le perdite nel ferro rispetto a quelle nel rame

nI1 1dX 1R 2'dX 2'R 2'I

ccV1 1E−fI

G BmI

'2E−

0'2 =V

nnccccn ; IIIIV 21211 307 volte; −=→

ccV1 nn IIII 2211 == ;

ccV1ncc VV 11 %153 −=

ncccc

nn

IIVVIIVV

10011

1011

%182.1%124−=⇒=

−=⇒=

1I 2I0I

0I

Si trascura la potenza reattiva necessaria a sostenere il flusso principale rispetto a quella richiesta per sostenere i flussi dispersi

Il circuito equivalente diventa:

Impedenza di corto circuito primaria

nI1 1dX 1R 2'dX 2'R

))()( '''21

'21

'ccccddcc jXRXXjRRZ +=+++=&

ccV1

PROVA IN CORTO CIRCUITO

W A

V T

e’ circa una retta passante per l’origine

dipende dalle riluttanze dei circuiti magnetici percorsi dai flussi dispersi costanti perche’ prevalentemente in aria

parabola:In corrispondenza della corrente nominale:

I dati vengono riportati nella targa:

nI1 ncc IV 11 ⇒

)( 11 IfV =ccP1V

ccP

1V

nI11I

piccolo)('

'''

cc

cccccc X

RXZ ≅&

)( 1IfPcc = 2IPP cccu ≡=

2'2''21

'

1

1' ; ccccccn

cccc

n

cccc RZX

IP

RI

VZ −=⇒== &&

cccc PV ;1

FUNZIONAMENTO A CARICO

n:1

Note:

Nota Bene: Bm non e’ costante

1I 1dX 1R

1E−1VfI

G BmI0I

'2E−

2'dX 2'R 2'I

'2-V

2I−

2V

11IjX d

1V11IR

1E− 1I'2I

fI0I

mIΦ

2I 2V2E

22 IR

22 IjX d

22 ; IV

+=++−=

+−=+=−=−=−

++=−

'201

11111

10

2'21

'2

'2

'2

'2

'2

)()(

)(

IIIIjXREV

EjBGIIIEnEE

IjXR-VE

d

fm

d

11IjX d

1V11IR

1E−1I

'2I

fI0I

mIΦ

2I 2V2E

22 IR

22 IjX d

-V’2

'2

'2 IR

'2

'2 IjX

+=++−=

+−=+=−=−=−

++=−

'201

11111

10

2'

21

'2

'2

'2

'2

'2

)()(

)(

IIIIjXREV

EjBGIIIEnEE

IjXR-VE

d

fm

d

DIAGRAMMA FASORIALE FUNZIONAMENTO A CARICO

DATI DI TARGA

Circuito equivalente a Γ

Generalmente i risultati delle prove di collaudo vengono forniti in valori percentuali:

della potenza nominale

della potenza nominale

della corrente nominale

della tensione nominale

1I '2I−

'ccZ&

Y& '2V1V

1I

1V Y&

"ccZ& 2I−

2V

%%%

%

0

0

cc

cc

VIPP

ESEMPIO DI TARGA

222

1

02

1

0

2'2''2

1'2

1'

0

0

20

1

100%;

100%

100%;

100%

%%%

%

GYBVSPG

VSIY

RZXSVPR

SVVZ

VIPP

(VA)SVVn

mn

n

n

n

ccccccn

ncccc

n

ncccc

cc

cc

n

n

−=⇒⋅=⋅=

−=⇒⋅=⋅=

=

circuitocortodiTensionevuotoaCorrenteramenelPerditeferronelPerdite

nominaleapparentePotenza

vuotoaionetrasformazdiRapporto

ESEMPIO NUMERICO

I dati di targa di un trasformatore monofase sono:

Determinare il circuito equivalente

2.0cos%;4.0%%;8.1%%;4%;504026012

00 ======= ϕPPVHzfkVASV

kVn ccccn;;

SGYBSVIY

AV

PIIVP

oppure

GtgBtgGBS

VPGWSPP

RZXIPR

IVVZ

AUSIWSPP

mn

nn

mm

nn

ccccccn

cccc

n

cccc

nnn

cccc

; 6222

1

0

2

01

000010

06

21

000

2"2""22

'

2

20"

202

1044.51055.5

1066.62.012000

160cos

cos

;1011.1;16040000100

4.0100

%

0676.085.153

720;85.153

260100

4100

%

85.153260

40000;72040000100

8.1100

%

−−

−

−

⋅=−=⋅==

⋅=⋅

==⇒=

=→=⋅=====

Ω=−=⇒==⋅=⋅=

====⋅=⋅=

ϕϕ

ϕϕ