eletrônica - resposta em frequência - filtros passivos - cefet-sc.pdf

CENTRO FEDERAL DE EDUCAO TECNOLGICA DE SANTA CATARINA GERNCIA EDUCACIONAL DE ELETRNICA

Resposta em FreqnciaFILTROS PASSIVOS

AUTOR: PROF. FERNANDO LUIZ ROSA MUSSOI REVISO: PROF. CARLOS G. ESPERANA

EDIO 2.0

FLORIANPOLIS JULHO, 2004.

Gerncia Educacional de Eletrnica

Nota do Autor

O objetivo deste material fazer a apresentao terica e matemtica do comportamento dos circuitos

passivos filtrantes, disponibilizando ao professor tempo para uma abordagem mais prtica desses circuitos,

em laboratrio e atravs de simulao eletrnica.

Este material no tem a pretenso de esgotar, tampouco inovar o tratamento do assunto por ele abordado

mas, simplesmente, facilitar a dinmica de aula e a compreenso por parte dos alunos.

Este trabalho foi construdo com base nas referncias bibliogrficas, devidamente citadas ao longo do texto,

nas notas de aula e na experincia do autor na abordagem do assunto com os alunos.

Em se tratando de um material didtico elaborado em uma Instituio Pblica de Ensino, permitida a

reproduo do texto, desde que devidamente citada a fonte.

Quaisquer contribuies e crticas construtivas a este trabalho sero bem-vindas pelo autor.

[email protected]

Resposta em Freqncia Filtros Passivos

CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi

2

ndice

NOTA DO AUTOR.........................................................................................................................................................1

NDICE ............................................................................................................................................................................2

1. RESPOSTA EM FREQNCIA...............................................................................................................................4

1.1. RESISTOR QUANTO FREQNCIA:.........................................................................................................................4 1.2. CAPACITOR QUANTO FREQNCIA:......................................................................................................................5 1.3. INDUTOR QUANTO FREQNCIA: .........................................................................................................................5

2. RESSONNCIA..........................................................................................................................................................7

2.1. FREQNCIA DE RESSONNCIA:..............................................................................................................................7 2.2. EXERCCIOS:.........................................................................................................................................................12

3. FUNO DE TRANSFERNCIA..........................................................................................................................14

3.1. DIAGRAMA DE BLOCOS: .......................................................................................................................................14 3.2. FUNO DE TRANSFERNCIA: ..............................................................................................................................14 3.3. GRFICOS DA FUNO DE TRANSFERNCIA .........................................................................................................16 3.4. GANHO, ATENUAO E FASE ...............................................................................................................................17 3.5. DECIBEL (DB).......................................................................................................................................................18 3.6. FREQNCIA DE CORTE:.......................................................................................................................................21 3.7. EXERCCIOS:.........................................................................................................................................................22

4. FILTROS ...................................................................................................................................................................24

4.1. TIPOS DE FILTROS QUANTO TECNOLOGIA EMPREGADA:......................................................................................24 4.2. TIPOS DE FILTROS QUANTO FUNO EXECUTADA:.............................................................................................25

5. FILTROS PASSA-BAIXA .......................................................................................................................................26

5.1. FILTRO PASSA-BAIXA IDEAL ................................................................................................................................26 5.2. FILTRO PASSA-BAIXA RL .....................................................................................................................................27 5.3. FILTRO PASSA-BAIXA RC.....................................................................................................................................32 5.4. EXERCCIOS:.........................................................................................................................................................37

6. FILTRO PASSA-ALTA ...........................................................................................................................................40

6.1. FILTRO PASSA-ALTA IDEAL..................................................................................................................................40 6.2. FILTRO PASSA-ALTA RL.......................................................................................................................................41 6.3. FILTRO PASSA ALTA RC.......................................................................................................................................45 6.4. EXERCCIOS:.........................................................................................................................................................48



3

7. FILTRO PASSA-FAIXA..........................................................................................................................................50

7.1. FILTRO PASSA-FAIXA IDEAL.................................................................................................................................50 7.2. FILTRO PASSA-FAIXA SRIE: ................................................................................................................................51 7.3. FILTRO PASSA-FAIXA PARALELO..........................................................................................................................56 7.4. EXERCCIOS:.........................................................................................................................................................61

8. FILTRO REJEITA-FAIXA .....................................................................................................................................62

8.1. FILTRO REJEITA-FAIXA IDEAL: .............................................................................................................................62 8.2. FILTRO REJEITA-FAIXA SRIE...............................................................................................................................63 8.3. FILTRO REJEITA-FAIXA PARALELO .......................................................................................................................68 8.4. EXERCCIOS:.........................................................................................................................................................73

9. FATOR DE QUALIDADE.......................................................................................................................................74

9.1. EXEMPLOS:...........................................................................................................................................................75 9.2. EXERCCIOS:.........................................................................................................................................................76

10. LARGURA DE FAIXA E SELETIVIDADE ........................................................................................................78

10.1. EXERCCIOS........................................................................................................................................................79

APNDICE A - DIAGRAMAS DE BODE.................................................................................................................81

APNDICE B SRIES DE FOURIER ....................................................................................................................82

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ........................................................................................................................85



4

1. Resposta em freqncia

At aqui estudamos a resposta de tenso e corrente de um circuito de corrente alternada com

freqncia fixa, ou seja, no domnio do tempo e da freqncia. O objetivo desta unidade estudar

a resposta em freqncia, ou seja, o comportamento dos circuitos quanto variao da

freqncia dos sinais de tenso ou corrente aplicada (excitao).

Sabemos, do estudo dos componentes passivos, que o resistor o capacitor e o indutor

apresentam comportamentos tpicos quanto freqncia do sinal a eles aplicado, conforme

demonstra a figura 1.

(rad/s)f (Hz)

R ()XC ()XL ()

XL

R

XC

R

|XL| = |XC|

Figura 1.1 Comportamento da Resistncia, da Reatncia Indutiva e da Reatncia Capacitiva com a variao da

freqncia

1.1. Resistor quanto freqncia:

Sua resistncia independe da freqncia do sinal aplicado. Depende apenas da relao entre a

tenso e a corrente, conforme a Lei de Ohm:

IVR =

Portanto, graficamente seu comportamento expresso atravs de uma reta de resistncia



5

constante como na figura 1.1.

1.2. Capacitor quanto freqncia:

Sua reatncia capacitiva depende da freqncia do sinal aplicado. A variao da reatncia

capacitiva inversamente proporcional freqncia do sinal, conforme a expresso:

XC f CC

=

=

1 12

Pela figura 1.1 podemos perceber que:

quanto maior a freqncia do sinal aplicado, menor ser a reatncia capacitiva. Para

freqncias muito altas, o capacitor se comporta como um curto-circuito.

quanto menor a freqncia do sinal aplicado, maior ser a reatncia capacitiva. Para

freqncia zero (CC), o capacitor se comporta como um circuito aberto.

1.3. Indutor quanto freqncia:

Sua reatncia indutiva depende da freqncia do sinal aplicado. A variao da reatncia indutiva

diretamente proporcional freqncia do sinal, conforme a expresso:

X L f LL = = 2

Pela fig 1.1 podemos perceber que:

quanto maior a freqncia do sinal aplicado, maior ser a reatncia indutiva. Para

freqncias muito altas, o indutor se comporta como um circuito aberto.

quanto menor a freqncia do sinal aplicado, menor ser a reatncia indutiva. Para

freqncia zero (CC), o indutor se comporta como um curto-circuito.



6

Observao:

Devemos lembrar que a Resistncia, a Indutncia e a Capacitncia depende das caractersticas

construtivas do componente.

Exemplo 1.1: Para o circuito RLC srie da figura 1.2, analise sua resposta em freqncia preenchendo o quadro abaixo.

Dados: v(t) = 10.sen(.t) V ; R = 100; L = 10mH; C = 1F

Figura 1.2 Circuito RLC Srie

(rad/s)

f

(Hz)

R

()

|XL|

()

|XC|

()

ZEQ

() ret.

ZEQ

() polar

F.P. cos

IT

(A)

VR

(V)

PR

(W)

0

10

100

1K

9K

10K

11K

100K

1M



7

2. Ressonncia

Como percebemos, da anlise da resposta em freqncia do exemplo 1.1, existe uma

determinada freqncia em que as reatncias indutiva e capacitiva se anulam, pois so iguais em

mdulo e o circuito apresenta um teor resistivo puro (Fator de potncia unitrio). Neste caso, o

ramo LC se comporta como um curto-circuito e toda a tenso da fonte estar sobre o resistor,

provocando mxima dissipao de potncia. Essa condio chamada de Ressonncia.

A freqncia que provoca esta situao no circuito da figura 2 ( = 10.000 rad/s) chamada de

Freqncia de Ressonncia e dizemos que o circuito ressonante.

Assim um circuito RLC ressonante srie aquele que apresenta a menor oposio possvel

passagem de corrente eltrica numa determinada freqncia, a chamada Freqncia de

Ressonncia [1].

Para quaisquer valores de freqncia inferiores ou superiores a esta, o circuito srie apresentar

maior oposio corrente. Assim, em qualquer circuito RLC, ressonncia a condio existente

quando a impedncia equivalente puramente resistiva, ou seja, a tenso e a corrente nos

terminais de entrada (fonte) esto em fase e o fator de potncia unitrio (cos=1) [2].

No circuito RLC ressonante paralelo ocorre o contrrio do descrito acima, ou seja, a maior

oposio possvel a passagem da corrente.

2.1. Freqncia de ressonncia:

A Freqncia de Ressonncia a freqncia na qual um circuito RLC se comporta como um

circuito resistivo, ou seja, na qual o fator de potncia unitrio e, portanto, h a mxima

transferncia de potncia da fonte para a carga.

A Ressonncia pode ocorrer em circuitos RLC sries, paralelos ou mistos.

2.1.1. Ressonncia Srie:

Seja o circuito RLC srie como o apresentado na figura 1.2. A sua impedncia equivalente

determinada por:



8

C1jLjRXXRZ LCEQ

+=++=

O circuito srie ressonante quando Zeq = R e |XL| = |XC|, ou seja, a reatncia total deve ser nula, ento:

0C

1jLj =

C1jLj

=

C1L

=

1LC2 =

LC1

=

A freqncia de ressonncia num circuito RLC srie pode ser dada por:

R L C=

1.

(rad/s) ou CL

fR .21

=

(Hz)

Na figura 1.1 a freqncia de ressonncia R aquela onde as curvas de XL e XC se cruzam, ou

seja, quando |XL|=|XC|.

Se para o exemplo 1 traarmos as curvas de Z x e PR x obteramos os grficos da figura 2.1.



9

|Z| ()

(rad/s)

TEOR

CAPACITIVO

|Z| = R 100

TEOR

INDUTIVO

TEOR RESISTIVO

R = 10Krad/s

a) Curva Impedncia x Freqncia

(rad/s)

PR (W)

R = 10Krad/s

b) Curva Potncia x Freqncia

Figura 2.1 Resposta em Freqncia do circuito do Exemplo 1.1

Portanto, dos grficos da figura 1.1 e 2.1 podemos concluir que na ressonncia srie:

f < fR: o circuito apresenta teor capacitivo e a corrente est adiantada da tenso.

f > fR: o circuito apresenta teor indutivo e a corrente est atrasada da tenso.

f = fR: o circuito tem teor resistivo, a impedncia equivalente mnima e a corrente est em fase com a tenso. A corrente mxima e a tenso da fonte est toda sobre a

resistncia. A potncia dissipada no resistor ser mxima. H tenso no indutor e no

capacitor, iguais em mdulo, porm defasadas de 180o, anulando-se.

2.1.2. Ressonncia Paralela:

Seja um circuito RLC paralelo, como o apresentado na figura 2.2. A sua impedncia equivalente

dada por:

+

+

+

==

CL

CL

CL

CL

CLeq

XXXX

R

XXXXR

XXRZ ||||



10

Figura 2.2 Circuito Ressonante Srie

O circuito somente ser ressonante quando Zeq = R, ou seja, quando a reatncia equivalente do

paralelo do capacitor com o indutor for infinita (circuito aberto).

Exemplo 2.1: Encontre a expresso para o clculo da freqncia de ressonancia do circuito paralelo da figura 2.2.

Conclumos, ento, que a freqncia de ressonncia num circuito RLC paralelo pode ser dada por:

LC1

R = (rad/s) ou LCfR

21

= (Hz)

Exemplo 2.2: Para o circuito RLC paralelo da figura 2.2, analise sua resposta em freqncia

preenchendo o quadro e esboce os grficos da Zeq x e da PR x . Analise o comportamento do

circuito com relao variao da freqncia.

Dados: v(t) = 10.sen(.t) V ; R = 100; L = 10mH; C = 1F



11

(rad/s)

f

(Hz)

R

()

|XL|

()

|XC|

()

ZEQ

() ret.

ZEQ

() polar

F.P. cos

IT

(A)

VR

(V)

PR

(W)

0

10

100

1K

9K

10K

11K

100K

1M

|Z| ()

(rad/s)

Ra) Curva Impedncia x Freqncia

(rad/s)

PR(W)

R

b) Curva Potncia x Freqncia

Figura 2.3 - Resposta em Freqncia do circuito do Exemplo 2.2

Analisando a resposta em freqncia do circuito do exemplo 2.2, podemos concluir que na

ressonncia paralela:

f < fR: o circuito apresenta teor indutivo e a corrente est atrasada em relao a tenso.

f > fR: o circuito apresenta teor capacitivo e a corrente est adiantada em relao a tenso.

f = fR: o circuito tem teor resistivo, a impedncia equivalente mxima e a corrente no resistor mnima (igual a da fonte) e estar em fase com a tenso. A potncia dissipada

ser mxima. Existem correntes no indutor e no capacitor, iguais em mdulo, porm

defasadas de 180, anulando-se.



12

Ressonncia Mista:

Alm dos circuitos RLC srie e paralelo, outros circuitos tambm podem apresentar freqncia de

ressonncia.

Para determinarmos a equao para clculo da freqncia de ressonncia em circuitos mistos,

necessrio lembrarmos das condies para haver a ressonncia e, ento, procurarmos anular a

parte imaginria (reatncias) da equao.

A freqncia de ressonncia para o circuito RLC misto da figura 2.3 pode ser calculada por [2]:

Figura 2.4 Circuito Misto Ressonante

= 2

2

.1

LR

CLR

2.2. Exerccios:

2.2.1) Determine a freqncia de ressonncia em rad/s e em Hz para os seguintes casos:

a) L= 300 H e C= 0,005 F

b) L= 250 H e C= 400 pF

2.2.2) Qual o valor do indutor necessrio para obter a ressonncia 1500 kHz com uma

capacitncia de 250 pF?

2.2.3) Qual o capacitor que dever ser colocado em srie com um indutor de 500 mH para haver

ressonncia em 50 Hz?



13

2.2.4) Um circuito srie formado por R-125, L=800 mH e C=220pF. Qual o valor da

impedncia (e o teor) a ser colocado (e como) no circuito a fim de torn-lo ressonante a 10

kHz [2]?

2.2.5) Um circuito srie formado por R=30, L=0,382H e C=0,2F, determine:

a) Zeq em 550kHz

b) O capacitor C ser ligado em paralelo para provocar ressonncia numa freqncia

2.2.6) Seja circuito de ressonncia de um rdio AM tem uma bobina de 100H. Quais os limites de um capacitor varivel para que o rdio sintonize de 530kHz a 1600 kHz?

2.2.7) Um capacitor de sintonia pode variar de 20pF a 350pF [2].

a) Calcule a indutncia a ser ligada em srie para produzir a freqncia de ressonncia mais

baixa de 550 kHz.

b) Calcule a freqncia de ressonncia mais alta.

2.2.8) Determine a freqncia de ressonncia para os circuitos abaixo:



14

3. Funo de Transferncia

Os equipamentos e sistemas eletrnicos podem ser constitudos de vrios componentes e

circuitos. A fim de mostrar as funes desempenhadas pelos componentes, circuitos ou conjuntos

destes, usamos em anlise de circuitos, os diagramas de blocos.

3.1. Diagrama de Blocos:

Um diagrama de blocos de um equipamento ou sistema eletrnico uma representao das

funes desempenhadas por cada componente ou circuito e do fluxo dos sinais dos quais

estamos interessados e indica a inter-relao existente entre os vrios circuitos [4].

Exemplo 3.1:

Cada bloco desempenha uma funo ou um conjunto de funes e corresponde a um ou vrios

circuitos eletrnicos.

Quando se analisa um bloco, estamos interessados nas informaes (sinais de tenso e corrente)

presentes na sua entrada, na sua sada e na relao existente entre elas. Por exemplo, se

dispusermos de informaes sobre os valores de tenso e corrente de entrada de um circuito

(bloco) e poderemos obter os valores de tenso e corrente na sua sada, desde que conheamos

qual a relao existente entre entrada e sada proporcionada pelo bloco (circuito).

3.2. Funo de Transferncia:

Em um diagrama de blocos, todas as variveis do sistema so ligadas umas s outras atravs de

cada bloco. Assim, cada bloco pode ser representado por uma operao matemtica

relacionando os sinais de entrada e de sada.

Por exemplo, no bloco da figura 3.1 aplicado um sinal de tenso na entrada e estamos

interessados no valor de tenso que teremos na sada. Este valor depende da funo que o bloco

desempenha, ou melhor, da funo que desempenha o circuito que o bloco representa.



15

BLOCO 1Circuito 1

EntradaVe

SadaVs

Ve(t) = VP.sen(.t)

Figura 3.1 Representao por Bloco

Se, por exemplo, o bloco representar o circuito da figura 3.2, podemos relacionar

matematicamente o sinal de sada Vs em funo do sinal de entrada Ve por um divisor de tenso:

Figura 3.2 Circuito que desempenha a funo do bloco da figura 1

eL

Ls VjXR

XV

+=

Se relacionarmos a tenso de sada com a tenso de entrada, temos:

L

L

e

sjXR

XVV

+=

LjRLj

VV

e

s+

=

Como podemos perceber, a relao Vs/Ve depende da freqncia do sinal ().

A expresso que relaciona o sinal de sada com o sinal de entrada em um bloco, em funo

da freqncia angular chamada de Funo de Transferncia H().

Assim, a funo de transferncia H() para o bloco da figura 3.2 dada por:

LjRLj)(H

VV

e

s+

==

Com esta representao matemtica e de posse dos valores do resistor e do indutor, podemos

calcular o mdulo e a fase (ngulo) de tenso de sada para cada valor de freqncia dado.

Uma funo de transferncia H() pode relacionar:



16

Tenso de sada / Tenso de entrada: )()(

)(

e

sVV

H =

Tenso de sada / Corrente de entrada: )()(

)(

e

sIV

H =

Corrente de sada / Corrente de entrada: )()(

)(

e

sII

H =

Corrente de sada / Tenso de entrada: )()(

)(

e

sVI

H =

Com a Funo de Transferncia de um circuito conhecida, poderemos, por exemplo, avaliar o

sinal de sada em funo do sinal de entrada, tanto para o seu mdulo, ngulo e freqncia,

assim:

)(HVV es =

Exemplo 3.2:

Para o circuito da figura 3.2, determine o mdulo e o ngulo do sinal de sada para quando o sinal

de entrada tiver as freqncias =10 rad/s, =1000 rad/s e =100Krad/s sendo R=50 e

L=10mH. Ve(t)=20.sen(t).

3.3. Grficos da Funo de Transferncia

Como podemos perceber, a Funo de Transferncia H() um nmero complexo e pode ser

representado na forma polar (mdulo e fase) e nos permite fazer a anlise de resposta em freqncia de um circuito, ou seja, analisar o comportamento dos sinais em funo da variao da

freqncia.

Portanto, podemos representar graficamente a funo de transferncia atravs de grficos do

mdulo e da fase em funo da freqncia.



17

)()()( = HH

O grfico do mdulo da funo de transferncia com relao variao da freqncia e o grfico

do ngulo de fase da funo de transferncia com relao variao da freqncia para o circuito

da figura 3.2 tero a aparncia mostrada na figura 3.3:

(rad/s)f (Hz)

|H()|

Curva Caracterstica do Mdulo de H() - Ganho

(rad/s)f (Hz)

()

Curva Caracterstica do ngulo de H() - Fase

-45o

-90o

C

C

Figura 3.3 Curvas de Resposta em Freqncia para a Funo de Transferncia do circuito da Figura 3.2

3.4. Ganho, Atenuao e Fase

Como pudemos perceber, a funo de transferncia H() um nmero complexo e, como tal,

pode ser expresso (na forma polar) por um mdulo (amplitude) e um ngulo (fase).

3.4.1. Ganho e Atenuao

O mdulo da funo de transferncia chamado de Ganho, assim, o ganho a relao entre o mdulo do sinal de sada e o mdulo do sinal de entrada.

O ganho pode ser expresso como:



18

Ganho de tenso: e

s

VV

)(HGV ==

Ganho de corrente: e

s

II

)(HGI ==

Ganho de potncia: e

s

PP

)(HGP ==

Se o valor do ganho for maior que 1, o circuito um amplificador, ou seja, o sinal de sada

maior que o sinal de entrada.

Se o ganho for menor que 1 o circuito um atenuador, ou seja, o sinal de sada menor que o sinal de entrada.

Observao: como o Ganho uma relao entre duas grandezas de mesma natureza (mesma unidade) adimensional.

3.4.2. Fase:

A fase de uma funo de transferncia () o seu correspondente ngulo, ou seja, o ngulo

do nmero complexo na forma polar. Representa o adiantamento do sinal de sada em relao ao

sinal de entrada.

)()()( es +=

3.5. Decibel (dB)

No tpico anterior estudamos que o Ganho de uma funo de transferncia relaciona duas

grandezas de mesma natureza e , portanto, adimensional.

O Decibel uma forma de medir a relao entre duas grandezas fsicas de mesma natureza,

sendo adotado para expressar o ganho nas curvas de resposta em freqncia de circuitos

eletrnicos. O nome Decibel deriva do sobrenome de Alexander Grahan Bell.

O conceito de Decibel (dB) est ligado aos nossos sentidos, em especial audio [1]. O ouvido

humano no responde de forma linear aos estmulos que lhe so impostos (potncia sonora),

mas de forma logartmica. Por exemplo, se a potncia sonora sofrer uma variao de 1W para

2W, a sensao sonora no dobrar. Para que a sensao sonora dobre, a potncia associada a



19

ele dever ser multiplicada por dez, ou seja, variao de forma logartmica (1, 10, 100, 1000, ...).

Os logaritmos so usados para comprimir escalas quando a faixa de variao de valor muito

ampla e, tambm para transformar as operaes de multiplicao e diviso em operaes de

soma e subtrao, respectivamente.

Na anlise de circuitos eletrnicos comum usarmos a escala logartmica para expressar os

valores de Ganho, em Decibel.

O Decibel (dB) equivale a um dcimo de um Bel (B). O Bel relaciona dois nveis de potncia Pe e

Ps da seguinte forma [5]:

e

s

PP

logGP = (B)

Desta forma, se Ps=10.Pe o ganho de potncia vale 10 pois a sada dez vezes maior que a

entrada:

110logP

P10logGP

e

e==

=

Ento o ganho de potncia 1B, isto , Ps est 1 bel acima de Pe (temos uma amplificao de 1

Bel).

Para as grandezas que estudaremos, a unidade Bel muito grande, por isso, usamos o Decibel

atravs da seguinte equao:

=

e

sdB P

Plog10|GP

Desta forma, se Ps=1000.Pe, o ganho de potncia vale 1000 pois a sada mil vezes maior que a

entrada,, ento:

303101000log10|GP dB ===

E o ganho de potncia de 30 dB, isto , uma amplificao de 30 dB.

Por outro lado, se Ps=0,001Pe o ganho de potncia vale 0,001, pois a sada ser mil vezes menor

que a entrada, ento:

( ) 30310001,0log10|GP dB === O ganho de potncia de -30dB, ou seja, uma atenuao de 30 dB.



20

Consideremos um quadripolo (circuito com quatro terminais) representando um circuito eletrnico

com uma impedncia de entrada Ze e uma impedncia de sada (carga) Zs, conforme a figura

3.4.

~Pe Ps

Ve Vs

+

_

+

_

Ze Zs

Quadripolo

Figura 3.4 Quadripolo representando um circuito com uma entrada e uma sada

As potncias mdias de entrada e de sada so dadas por:

e

2e

e RV

P = e s

2s

s RV

P =

Observao: a potncia mdia (ativa) est relacionada apenas com a parcela resistiva da impedncia.

Calculando o Ganho de Potncia em dB, temos:

=

=

=

=

s

e2

e

s

s2

e

e2

s

e

2e

s

2s

e

sdB R

RVV

log10RV

RVlog10

RV

RV

log10PP

log10|GP

+

=

+

=

s

e

e

s

s

e2

e

sdB R

Rlog10

VV

log20RR

log10VV

log10|GP

Como o ganho de tenso a relao entre a tenso de sada e a tenso de entrada, podemos

concluir da equao acima, que o ganho de tenso de um quadripolo em dB calculado pela

expresso:

=

e

sdB V

Vlog20|GV

Da mesma forma, o ganho de corrente:

=

e

sdB I

Ilog20|GI



21

Observao:

!" Podemos desprezar a ltima parcela porque consideramos a condio de Casamento de

Impedncia, ou seja, situao de mxima transferncia de potncia, onde Re = Rs. Quando Re=Rs os ganhos de potncia e tenso sero iguais ( situao de mxima transferncia de

potncia).

( ) 01log10RR

log10s

e==

A classificao de equipamentos eletrnicos de comunicao, como por exemplo,

amplificadores e microfones, normalmente estabelecida em dB. A equao de ganho de

potncia em dB indica claramente uma relao entre dois nveis de potncia. Para uma Ps

especificada, deve haver um nvel de potncia de referncia (Pe). O nvel de referncia

normalmente aceito 1mW. A resistncia associada ao nvel de potncia de 1 mW 600

(valor de impedncia tpico de linha de transmisso de udio). Quando se adota 1mW como

nvel de referncia, comum a unidade dBm, como indica a equao:

=

600

sdBm |mW1

Plog10|GP

3.6. Freqncia de Corte:

definida como a freqncia na qual a potncia mdia de sada a metade da potncia de

entrada, ou seja, quando o Ganho de Potncia for 0,5. Matematicamente,

21

PP

GPe

s==

como: s

2s

s RV

P = e e

2e

e RV

P = , temos:

21

RV

RV

GP

e

2e

s

2s

==

Para RsRe, temos:

707,02

1VV

21

V

V

e

s2

e

2s ==



22

Portanto, na Freqncia de Corte;

Vs0,707.Ve ou 2

1GV =

Ento:

( ) 315,0log20V

V707,0log20

VV

log20|GVe

e

e

sdB ==

=

=

O Ganho de Tenso ser GV|dB= -3dB na freqncia de corte

Tambm podemos dizer que:

A Freqncia de Corte a freqncia na qual a tenso de sada aproximadamente

70,7% da tenso de entrada, ou seja, a freqncia que provoca um ganho de -3dB.

3.7. Exerccios:

3.7.1) Determinar, a partir da funo de transferncia, o ganho de tenso adimensional e em dB

e a fase do sinal para o circuito abaixo para as freqncias de 60Hz, 1700Hz e 10kHz e

compare os resultados. Sejam R=5 e L=3mH.

3.7.2) Determinar, a partir da funo de transferncia, o ganho de tenso adimensional e em dB

e a fase do sinal para o circuito do exerccio 1, invertendo as posies do resistor com o

indutor, para as freqncias de 60Hz, 1700Hz e 10kHz e compare os resultados. Sejam:

R=50 e L=25mH.

3.7.3) Um quadripolo tem ganho de tenso de 10 dB. Se a tenso de entrada 5V, qual a

tenso de sada ?

3.7.4) Qual a potncia e dB quando a relao entre Ps/Pe : 1/1000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100 e

1000 ?

3.7.5) Determine a funo de transferncia, o mdulo e a fase do sinal para =100 rad/s,



23

=1000 rad/s e =100Krad/s considerando o circuito abaixo. Ve(t)=10.sen(t)



24

4. Filtros

At aqui estudamos o comportamento dos circuitos RLC mistos em regime permanente

(freqncia constante), a resposta em freqncia dos componentes passivos e a ressonncia que

ocorre nos circuitos.

Existem vrias configuraes simples de circuitos, tambm chamadas de redes, que so de

grande importncia principalmente para os circuitos eletrnicos. Estas redes (circuitos) so

chamadas de Filtros.

Na sua definio mais simples, Filtro um circuito que apresenta um comportamento tpico em funo da freqncia do sinal a ele aplicado, permitindo a passagem de sinais com certas

freqncias, enquanto suprime sinais com outras freqncias [3].

Os filtros so basicamente compostos por impedncias interligadas (redes) e o comportamento

destes circuitos depende do valor das resistncias, capacitncias e indutncias envolvidas e da

maneira como so interligadas.

Os filtros so classificados quanto tecnologia e componentes empregados na sua construo e

quanto funo que dever ser executada por ele num circuito eletrnico [2].

4.1. Tipos de filtros quanto tecnologia empregada:

a) Filtros Passivos: So os filtros construdos apenas com os elementos passivos dos circuitos, ou seja, resistores, capacitores e indutores.

b) Filtros Ativos: So os filtros que empregam na sua construo elementos passivos associados a algum elemento ativo amplificador, como por exemplo, transistores e amplificadores

operacionais.

c) Filtros Digitais: So os filtros que empregam tecnologia digital na sua construo, implementados atravs da programao de um sistema microprocessado.



25

4.2. Tipos de Filtros quanto funo executada:

a)Filtros Passa-Baixas;

b)Filtros Passa-Altas;

c)Filtros Passa-Faixa (Passa-Banda);

d)Filtros Rejeita-Faixa (Rejeita-Banda);

Nesta apostila estudaremos em maiores detalhes os Filtros Passivos que, como vimos, so aqueles circuitos capazes de selecionar determinadas faixas de freqncias usando apenas

componentes passivos.

O ganho dos filtros passivos geralmente menor ou igual a 1, com algumas excees.



26

5. Filtros Passa-Baixa

Um Filtro Passa-Baixa Passivo um circuito que permite a passagem de sinais de tenso e

corrente somente em freqncias abaixo de um certo limite, atenuando os sinais cuja freqncia ultrapassar esse valor.

Esse valor limite de freqncia a Freqncia de Corte (C) do filtro.

5.1. Filtro Passa-Baixa Ideal

Para sinais de freqncias abaixo da freqncia de corte do filtro, o ganho unitrio, ou seja, o

mdulo do sinal de entrada igual ao de sada. Para freqncias acima da freqncia de corte o

ganho zero, ou seja, o mdulo do sinal de sada atenuado at zero.

Na prtica, porm, no se obtm resposta em freqncia de um filtro passa-baixa ideal como

apresentado na figura 5.1.

GV(dB)

(rad/s)c

0

1

Figura 5.1 Curva de Resposta em Freqncia para um Filtro Passa Baixa Ideal

Simbologia Usual:

Ve Vs Ve Vs



27

5.2. Filtro Passa-Baixa RL

Um circuito RL passivo como o apresentado na figura 5.2 pode comportar-se como um filtro

passa-baixa real.

Para sinais de baixa freqncia o indutor apresenta baixa reatncia, XL > R e seu comportamento

tende a um circuito aberto. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada estar sobre o

indutor e a tenso sobre o resistor de sada ser muito pequena. Podemos dizer que o circuito

impede a passagem de sinais de altas freqncias.

Figura 5.2 Circuito de um Filtro Passivo Passa-Baixa RL

5.2.1. Ganho e Fase

Para este circuito a tenso de sada em funo da tenso de entrada pode ser dada pela

expresso:

eL

es VLjR

RXRVR

V +

=

+

=

ou ainda:

LjRR

VV

e

s

+=

Se fatorarmos a expresso, dividindo tanto o numerador como o denominador por R, temos:



28

RLj1

1RR

LjRR

VV

e

s

+=

+=

Portanto, esta expresso a Funo de Transferncia de um Filtro Passa-Baixo RL, na forma

fatorada:

( )RLj1

1H+

=

Sabemos que a funo de transferncia um nmero complexo e que o ganho de tenso o

mdulo da funo de transferncia na forma polar, e a fase o ngulo.

Observao: Para determinarmos o mdulo e o ngulo de um nmero complexo devemos lembrar:

( ) ( )22 aginriaImalReMdulo +=

=

alReaginriaImarctgngulo

Para encontrarmos o mdulo precisamos obter a raiz quadrada da soma dos quadrados das

partes real e imaginria, tanto do numerador como do denominador. Assim,

( )22

2

22

RL1

1

RL1

01GVH

+

=

+

+==

Portanto, a expresso para o Ganho de Tenso de um Filtro Passa-Baixa RL :

2

RL1

1GV

+

=

Para obtermos a Fase precisamos subtrair o ngulo do numerador com o ngulo do denominador.



29

Estes ngulos so calculados pelo arco tangente (tg -1) do quociente da parte imaginria pela

parte real.

=

=RLarctg0

1RL

arctg10arctg

Portanto, a expresso para a Fase de um Filtro Passa-Baixa RL :

=

RLarctg

5.2.2. Freqncia de Corte:

Sabemos que o ganho na freqncia de corte :

707,02

1|GVc

==

Ento:

2

c RL1

12

1

+

=

elevando ao quadrado ambos os lados da expresso e operando a expresso para isolarmos C,

temos:

2

c RL1

121

+

=

2RL1

2

c =

+

12RL 2

c =

11RL

c ==

Portanto, a Freqncia de Corte para um Filtro Passa-Baixa RL dada por:



30

LR

c =

Na freqncia de corte ( = C), a fase ser:

( )1arctgRL

LRarctg

RLarctg c =

=

=

!45=

5.2.3. Curvas Caractersticas:

Com a expresso do ganho e da fase podemos traar as curvas de resposta em freqncia do

Filtro Passa-Baixa RL, como indicam as figuras 5.3a e 5.3b.

(rad/s)

GV

1

0,707

c 0

Figura 5.3a Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RL Ganho de Tenso

(rad/s)

-45o

c

0

-90o

Figura 5.3b Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RL Fase



31

!" Ganho:

0GV

707,02

1GV

1GV0

c

=

===

==

!" Fase:

( )( )( ) !

!

!

90arctg

451arctg

00arctg0

c

==

===

===

Tambm podemos traar a curva de resposta em freqncia do Ganho em dB de um Filtro

Passa-Baixa RL usando uma escala logartmica, como indica a figura 5.4.

(rad/s)GV|dB-3

c0

10.c 100.c

-20

-40

Figura 5.4 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RL

Ganho de Tenso em dB (escala logartmica

Pela curva da resposta em freqncia para o ganho em dB de um Filtro Passa-Baixa, podemos

perceber que aps a freqncia de corte, cada vez que a freqncia aumenta de um fator de 10,

o ganho diminui em 20dB. Dizemos que h uma atenuao de 20dB por dcada de aumento da

freqncia.

Tambm podemos usar uma aproximao do grfico da figura 5.4 atravs de retas, chamadas

Assntotas. O grfico de resposta em freqncia aproximado por retas assintticas chamado

Diagrama de Bode, como o apresentado na figura 5.5 para o Filtro Passa-Baixa RL.



32

(rad/s)GV|dB-3

c0

10.c 100.c

-20

-40

Figura 5.5 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RL

Ganho de Tenso em dB (escala logartmica)

Diagrama de Bode aproximao por assntotas

5.3. Filtro Passa-Baixa RC

Um circuito RC como o apresentado na figura 5.6 pode comportar-se como um Filtro Passivo

Passa-Baixa.

Para sinais de baixa freqncia, o capacitor apresenta alta reatncia, XC >> R e seu

comportamento tende a um circuito aberto. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada

estar sobre o capacitor de sada. Podemos dizer que o circuito apresentado deixa passar sinais

de baixa freqncia.

Para sinais de altas freqncias, o capacitor apresenta baixa reatncia, XC



33

5.3.1. Ganho e Fase:

Para este circuito, a tenso de sada em funo da tenso de entrada pode ser dada pela

expresso:

eec

cs V

Cj1R

Cj1

VXR

XV

+

=

+=

ou ainda:

Cj1R

Cj1

VV

e

s

+

=

Se fatorarmos esta expresso, dividindo tanto o numerador como o denominador por R, temos:

RCj11

RCj1RCj

RCj1

RCj11

RCj1

RR

Cj1R

Cj1

VV

e

s

+=

+

=

+

=

+

=

Portanto esta expresso a Funo de Transferncia de um Filtro Passa-Baixa RC, na forma

fatorada:

( )RCj1

1H+

=


mdulo da funo de transferncia na forma polar, e a fase o ngulo da funo de

transferncia.

Portanto, a expresso para o ganho de tenso e fase para um Filtro Passa-Baixa RC so,

respectivamente:

( )2RC11GV+

=



34

( )RCarctg =

5.3.2. Freqncia de Corte:

Sabemos que o ganho na freqncia de corte :

707,02

1|GVc

==

Ento:

( )2cRC11

21

+=

Elevando ao quadrado ambos os lados e operando a expresso para isolarmos C, temos:

( )2cRC11

21

+=

( ) 2RC1 2c =+ ( ) 12RC 2c = ( ) 11RCc ==

Portanto, a Freqncia de Corte para um Filtro Passa-Baixa RC pode ser dada por:

RC1

c =

Na freqncia de corte ( = C), a fase ser:

( ) ( )1arctgRCRC1arctgRCarctg c =

==

!45=



35



filtro Passa-Baixa RC. Assim, se:

!" Ganho:

0GV

707,02

1GV

1GV0

c

=

===

==

!" Fase:

( )( )( ) !

!

!

90arctg

451arctg

00arctg0

c

==

===

===

Ento as formas de onda que representam a variao do ganho de tenso e da fase em funo

da variao da freqncia num Filtro Passa-Baixa RC, sero as apresentadas nas figuras 5.7a e

5.7b.

(rad/s)

GV

1

0,707

c 0

Figura 5.7a Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RC Ganho de Tenso



36

(rad/s)

-45o

c

0

-90o

Figura 5.7b Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RC Fase

Traando a curva do Ganho de Tenso em dB em funo da freqncia para o Filtro Passa-Baixa

RC, obtemos a curva da figura 5.8. Percebemos que, aps a freqncia de corte, h uma

atenuao de 20dB por dcada da freqncia do sinal aplicado. Na figura 5.9 temos o Diagrama

de Bode, ou seja, a curva do ganho em dB aproximado por retas.

(rad/s)GV|dB-3

c0

10.c 100.c

-20

-40

Figura 5.8 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RC


(rad/s)GV|dB-3

c0

10.c 100.c

-20

-40

Figura 5.8 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RC


Diagrama de Bode aproximao por assntotas



37

Como podemos perceber, a expresses das funes de transferncia na forma fatorada para

Filtros Passa-Baixa, tanto RL como RC so semelhantes. O que difere o coeficiente do termo

j. No filtro RL esse coeficiente (L/R) e no filtro RC (RC). Se chamarmos esse coeficiente da

funo de transferncia de podemos concluir que:

=

1c

Desta forma, podemos calcular a Freqncia de Corte a partir do coeficiente do termo imaginrio

da funo de transferncia de qualquer filtro, na forma fatorada.

Observao:

Notamos que a forma das curvas dos filtros passa-baixa RL e RC so iguais. O que as

diferenciam a freqncia de corte, que depende dos componentes utilizados na construo

dos filtros RL ou RC.

5.4. Exerccios:

5.4.1) Para o filtro Passa-Baixa RL abaixo, determine [6]:

a) Funo de transferncia (na forma fatorada);

b) Freqncia de corte em rad/s e em Hz;

c) Curvas caractersticas;

d) Freqncia para um ganho de tenso de 60dB.

Vs

-

+

Ve

-

+

R110

L11mH

5.4.2) Para o filtro abaixo, determinar [6]:

a) Tipo de filtro e explicar o seu funcionamento;



38

b) Funo de transferncia (na forma fatorada);

c) Freqncia de corte em rad/s e em Hz;

d) Curvas caractersticas;

e) Freqncia para um ganho de tenso de 23dB.

+

-

Ve

+

-

VsC100uF

R

10

C100uF

R

10

5.4.3) Dado o circuito abaixo, pede-se [1]:

a) A freqncia de corte (em rad/s e em Hz);

b) A funo de transferncia na forma fatorada;

c) A expresso do ganho;

d) A curva de resposta em freqncia do ganho em dB;

e) A freqncia quando a diferena de fase entre o sinal de entrada e sada for 45o;

f) A tenso complexa (fasor) na sada, para Ve=100oV e =2c.

Vs

-

+

Ve

-

+

R11k

L1100mH

5.4.4) Projete um filtro Passa-Baixas RC com fc = 1kHz (dica: adote R=10k) [1].

5.4.5) Projete um filtro Passa-Baixas RL de forma que a freqncia de corte seja de 3kHz (dica:

adote R=2,5k) [1].

5.4.6) Projete um filtro Passa-Baixas para uma freqncia de corte de 2kHz a partir de um

capacitor de 4,7pF [1].

5.4.7) Dado o circuito abaixo, determine [6]:

a) A funo de transferncia na forma fatorada;

b) A freqncia de corte (em rad/s e em Hz0;

c) A curva caracterstica;



39

d) Identifique o tipo de filtro e explique o seu funcionamento.

+

-

Ve

+

-

Vs

L12.4mH

R18C22uF

L12.4mH

R18C22uF



40

6. Filtro Passa-Alta

Um Filtro Passivo Passa-Alta um circuito que permite a passagem de sinais de tenso e

corrente somente em freqncias acima de um certo limite, atenuando os sinais cujas freqncias estiverem abaixo desse valor.

Esse valor limite de freqncia a Freqncia de Corte (c) do filtro.

6.1. Filtro Passa-Alta Ideal

Para sinais de freqncias acima da freqncia de corte do filtro, o ganho unitrio, ou seja, o

mdulo do sinal de entrada igual ao de sada. Para freqncias abaixo da freqncia de corte o

ganho zero, ou seja, o mdulo do sinal de sada atenuado at zero.

Na prtica, porm, no se obtm resposta em freqncia de um filtro passa-alta ideal como a

apresentada na figura 6.1.

GV(dB)

(rad/s)c

0

1

Figura 6.1 Curva de Resposta em Freqncia para um Filtro Passa Alta Ideal

Simbologia Usual:

Ve Vs Ve Vs



41

6.2. Filtro Passa-Alta RL

Um circuito RL como o apresentado na figura 6.2 pode comportar-se como um filtro passa-alta

real.

Vs

-

+

Ve

-

+

L

R

Figura 6.2 Circuitos de um Filtro Passivo Passa-Alta RL

Para sinais de alta freqncia, o indutor apresenta alta reatncia (XL>>R) e seu comportamento

tende a um circuito aberto. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada estar sobre o

indutor de sada. Podemos dizer que o circuito deixa passar sinais de alta freqncia.

Para sinais de baixa freqncia, o indutor apresenta baixa reatncia (XL



42

Portanto, esta a expresso da funo de transferncia de um Filtro Passa-Alta RL, na forma

fatorada:

( )L

Rj1

1H

=


mdulo da funo de transferncia na forma polar e a fase o ngulo.

Portanto, as expresses para o ganho de tenso e a fase para um filtro Passa-Alta RL so,

respectivamente;

2

LR1

1GV

+

=

+=L

Rarctg

6.2.2. Freqncia de Corte

Sabemos que o ganho na freqncia de corte ;

707,02

1|GVc

==

Ento, para um filtro Passa-Alta RL:

2

cLR1

12

1

+

=

Operando esta equao, encontramos a expresso para a Freqncia de Corte de um Filtro

Passa Alta RL:

LR

c =

Na freqncia de corte (=c) a fase ser:



43

( )1arctgL

LR

RarctgL

Rarctg =

=

=

!45+=

Observao:

Na expresso da funo de transferncia H() na forma fatorada para o Filtro Passa-Alta RL, o

coeficiente de na parte imaginria L/R. Portanto:

LR

RL11

c ==

=

conforme foi visto anteriormente.

6.2.2. Curvas Caractersticas


Filtro Passa-Alta RL, como indicam as figuras 6.3a e 6.3b.

(rad/s)

GV

1

0,707

c0

Figura 6.3a Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Alta RL Ganho de Tenso



44

(rad/s)

+45o

c

0 +90o

Figura 6.3b Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Alta RL Fase

!" Ganho:

1GV

707,02

1GV

0GV0

c

=

===

==

!" Fase:

( )( )( ) !

!

!

00arctg

451arctg

90arctg0

c

==

===

+===

A curva de resposta em freqncia para o Ganho de Tenso em Decibis pode ser dada pela

expresso j conhecida:

( )GVlog20|GV dB =

Assim, pelas curvas da figura 6.4 podemos perceber que cada vez que a freqncia aumenta de

um fator de 10, o ganho aumenta em 20dB, at chegar freqncia de corte c. H, portanto, um

ganho de 20dB por dcada de aumento da freqncia.



45

(rad/s)GV|dB

-40

c0

0,1.c 10.c

-20

-3

0,01.c

Figura 6.4 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Alta RL


A figura 6.5 apresenta o Diagrama de Bode para o Ganho em dB para um Filtro Passa-Alta RL.

(rad/s)GV|dB

-40

c0

0,1.c 10.c

-20

0,01.c

Figura 6.5 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Alta RL


Diagrama de Bode - Aproximao por Assntotas

6.3. Filtro Passa Alta RC

Um circuito como o apresentado na figura 6.6 pode comportar-se como um Filtro Passa-Alta RC

real.

Vs

-

+

Ve

-

+

R

C

Figura 6.6 Circuito de um Filtro Passivo Passa-Alta RC real



46

Para sinais de alta freqncia, o capacitor apresenta baixa reatncia capacitiva (XCR) e o seu

comportamento tende a um circuito aberto. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada

estar sobre o capacitor e a tenso sobre o resistor de sada ser muito pequena. Podemos dizer

que o circuito impede a passagem de sinais de baixa freqncia.

6.3.1. Ganho e Fase

Para o circuito da figura 6.6, a tenso de sada em funo da tenso de entrada pode ser dada

pela expresso:

ec

es V

Cj1R

RXRVR

V

+

=

+

=

ou ainda:

Cj1R

RVV

e

s

+

=

Se fatorarmos esta expresso, dividindo tanto o numerador como o denominador por R, temos:

RCj11

1

RCj

1R

RR

VV

e

s

+

=

+

=

Portanto, a Funo de Transferncia de um Filtro Passa-Alta RL, na forma fatorada :

( )RC1j1

1H

=


mdulo da funo de transferncia na forma polar, e a fase o ngulo.



47

Portanto, as expresses para o ganho de tenso e a fase para um filtro Passa-Alta RC so,

respectivamente:

2

RC11

1GV

+

=

=RC1arctg


Sabemos que o ganho na freqncia de corte ;

707,02

1|GVc

==

Ento, para um filtro Passa-Alta RC:

2

cRC11

12

1

+

=

Operando esta equao, encontramos a expresso para a Freqncia de Corte de um Filtro

Passa Alta RC:

RC1

c =

Na freqncia de corte (=c) a fase ser:

( )1arctgRC

RC1

1arctgRC1arctg =

=

=

!45+=



48

Observao:

Na expresso da funo de transferncia H() na forma fatorada para o Filtro Passa-Alta RC, o

coeficiente de na parte imaginria RC. Portanto:

RC11

c =

=

conforme foi visto anteriormente.



Filtro Passa-Alta RC, e concluiremos que forma das curvas dos filtros Passa-Alta RL e RC so

idnticas. O que as diferenciam o valor da a Freqncia de Corte, que depende dos componentes utilizados na construo dos filtros RL ou RC.

6.4. Exerccios:

6.4.1) Para o circuito abaixo, determine [1]:

a) Tipo de filtro e funcionamento;

b) Funo de transferncia na forma fatorada;

c) Freqncia de corte (em rad/s e em Hz);

d) Expresso do ganho e fase;

e) Tenso de sada para Ve=50oV e =1,5c;

f) Esboar o grfico de ganho em dB em funo de uma variao de freqncia.

Vs

-

+

Ve

-

+

L110mH

R110k

6.4.2) Projetar um filtro passa-alta com freqncia de corte de 200Hz [1]. Use um capacitor de



49

0,1F.

6.4.3) Projete um Filtro Passa-Alta a partir de um indutor de 50mH para que a freqncia de

corte seja 500Hz [1].

6.4.4) Esboce a curva de resposta em freqncia para o ganho do circuito abaixo.

Vs

-

+

Ve

-

+

R115k

C10.01uF

6.4.5) Analisar o desempenho do filtro abaixo, sabendo que o tweeter tem boa resposta acima de

3kHz [6].

Ve

-

+

SPK18 ohm

C12.2uF



50

7. Filtro Passa-Faixa

Um Filtro Passivo Passa-Faixa um circuito que permite a passagem de sinais de tenso e

corrente com freqncias situadas numa faixa intermediria, atenuando os sinais com freqncias abaixo ou acima dessa faixa.

Essa faixa intermediria delimitada por uma freqncia de corte inferior (CI) e uma freqncia

de corte superior (CS).

7.1. Filtro Passa-Faixa Ideal

Para sinais de freqncia intermediria, ou seja, acima da freqncia de corte inferior e abaixo da

freqncia de corte superior do filtro, o ganho unitrio, portanto, o mdulo do sinal de sada

igual ao de entrada.

Para sinais de freqncias abaixo da freqncia de corte inferior ou acima da freqncia de corte

superior o ganho do filtro nulo, ou seja, o mdulo do sinal de sada totalmente atenuado.

Na prtica, porm, no se obtm resposta em freqncia de um filtro passa-faixa ideal como a

apresentada na figura 7.1.

GV(dB)

(rad/s)CI

0

1

CIR

Figura 7.1 Curva de Resposta em Freqncia para um Filtro Passivo Passa Alta Ideal

Simbologia Usual:

Ve Vs Ve Vs



51

7.2. Filtro Passa-Faixa Srie:

Um circuito RLC como o apresentado na figura 7.2 pode comportar-se como um Filtro Passivo

Passa-Faixa real.

-

+

VsVe

-

+

R

CL

Figura 7.2 Circuito de um Filtro Passivo Passa-Faixa Srie

Um Filtro Passa-Faixa baseado na Ressonncia que ocorre entre indutores e capacitores em circuitos CA.

Para sinais de freqncias baixas o indutor do circuito da figura 7.2 apresenta baixa reatncia

indutiva e tende a comportar-se como um curto-circuito, porm, o capacitor apresenta alta

reatncia capacitiva e tende a comportar-se como um circuito aberto. Desta forma, a maior

parcela da tenso de entrada estar sobre o capacitor e a tenso sobre o resistor de sada ser

muito baixa, ou seja, o sinal ser atenuado. Podemos dizer que o circuito impede a passagem

de sinais de baixa freqncia.

Para sinais de freqncias altas o capacitor apresenta baixa reatncia capacitiva e tende a

comportar-se como um curto-circuito, porm, o indutor apresenta alta reatncia indutiva e tende a

comportar-se como um circuito aberto. Desta forma, a maior parcela de tenso de entrada estar

sobre o indutor e a tenso sobre o resistor de sada ser muito baixa, ou seja, o sinal ser

atenuado. Podemos dizer que o circuito impede a passagem de sinais de alta freqncia.

Para sinais de freqncias intermedirias, ou seja, sinais cujas freqncias estiverem numa faixa

prxima Freqncia de Ressonncia do circuito, o indutor e o capacitor juntos apresentaro

baixa reatncia e tendero a comportarem-se como um curto circuito, como estudado no captulo

sobre Ressonncia. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada estar sobre o resistor de

sada. Podemos dizer, ento, que o circuito deixa passar sinais dentro de uma determinada faixa

de freqncia.

7.2.1. Ganho e Fase




52

pela expresso:

eCL

es V

Cj1LjR

RXXR

VRV

++

=

++

=

ou ainda:

Cj1LjR

RVV

e

s

++

=

tirando o mnimo mltiplo comum e fatorando a expresso obtemos:

( )RC

LC1j1

1

RCjRCjLC1

RCjRCj

RCjLC1RCj

Cj1LCjRCj

RVV

22222e

s

=

+

=

+

=

++=

Portanto, a Funo de Transferncia para um Filtro Passa-Faixa, na forma fatorada :

( )

=

RCLC1j1

1H2

Sabemos que a funo de transferncia um nmero complexo e que o Ganho de Tenso o mdulo da Funo de Transferncia e a Fase o ngulo, na forma polar.

Portanto, as expresses para o Ganho de Tenso e a Fase para um filtro Passa-Faixa Srie so,

respectivamente:

22

RCLC11

1GV

+

= ou 22

RCLC11

1GV

+

=

=

RCLC1arctg

2



53


Sabemos que o Ganho na Freqncia de Corte :

707,02

1|GVc

==

Ento, para um Filtro Passa-Faixa RLC srie:

22

RCLC11

12

1

+

=

Elevando ao quadrado ambos os lados e operando esta equao, encontramos:

2RC

LC1122=

+

1RC

LC122=

1RC

LC1 2 =

RCLC1 2 =

Esta igualdade nos fornece duas equaes:

=

=+

01RCLC

01RCLC2

2

Como a expresso do ganho de 2a ordem, obtemos duas equaes do 2o grau, cada uma com

duas solues que correspondero Freqncia de Corte Superior e Freqncia de Corte

Inferior do Filtro Passa-Faixa Srie:

( )LC2

LC4RCRC 2CI

+=

( )LC2

LC4RCRC 2CS

++=



54

7.2.3. Freqncia Central

A chamada Freqncia Central de um Filtro Passa-Faixa ocorre justamente na Freqncia de

Ressonncia.

Como sabemos, para haver Ressonncia Srie necessrio que as Reatncias Capacitiva e

Indutiva do circuito se anulem e se comportem como um curto-circuito, ou seja:

0Xeq =

|X||X| CL =

Nesta situao o ganho ser unitrio, pois, como podemos perceber, no circuito da figura 7.2 toda

a tenso de entrada estar disponvel na sada. Assim,

1|GVR=

1

RCLC1

1

12

R

2R

=

+

1RC

LC11

2

R

2R

=

+

1RC

LC11

2

R

2R

=

+

0RC

LC12

R

2R

=

0LC1 2R =

1LC2R =

LC1

R =

Como esperado, obtivemos para a Freqncia Central a mesma expresso j conhecida para o

clculo da Freqncia de Ressonncia.



55


Com a expresso do Ganho e da Fase, podemos traar as curvas de resposta em freqncia

para o Ganho e a Fase de um Filtro Passa-Faixa RLC Srie, como indicam as figuras 7.3a e 7.3b.

(rad/s)

GV

1

0,707

R0 CSCI

BW

Figura 7.3a Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Faixa RLC Srie Ganho de Tenso

(rad/s)

-90o

CI 0

+90o

-45o

+45o

R

CS

Figura 7.3b Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Faixa RLC Srie Fase

( )

==

=

== !90arctg

01arctg

0GV0VX0

SC

( )

==

== !90arctg

0GV0VX SL

( )

==

=== !0arctg

1GVVV eSR

A curva do Ganho de Tenso em dB para um Filtro Passa-Faixa RLC Srie apresentada na



56

figura 7.4. Se utilizarmos o Diagrama de Bode para representar o Ganho de um Filtro Passa-

Faixa obtemos o grfico da figura 7.5.

(rad/s)GV|dB

-3

R0

CSCI

BW

Figura 7.4 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Faixa RLC Srie

Ganho de Tenso em dB Escala Logartmica

(rad/s)GV|dB R0

CSCI

BW

Figura 7.5 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Faixa RLC Srie

Ganho de Tenso em dB Escala Logartmica

Diagrama de Bode Aproximao por Assntotas

A curva de resposta em freqncia para o ganho em Decibis pode ser dada pela expresso j

conhecida:

( )GVlog20|GV dB =

7.3. Filtro Passa-Faixa Paralelo

Um circuito RLC como o apresentado na figura 7.6 pode comportar-se como um Filtro Passa-

Faixa Real.



57

-

+

-

Ve

+

VsCLR

Figura 7.6 - Circuito de um Filtro Passa-Faixa RLC Paralelo

Para sinais de freqncias baixas, o capacitor da figura 7.6 apresenta reatncia elevada e seu

comportamento tende a um circuito aberto, porm, o indutor apresenta baixa reatncia e seu

comportamento tende a um curto-circuito. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada

estar sobre o resistor e a tenso de sada ser muito baixa, ou seja, o sinal ser atenuado.

Podemos dizer que o circuito impede a passagem de sinais de baixa freqncia.

Para sinais de freqncias altas, o indutor apresenta reatncia elevada e seu comportamento

tende a um circuito aberto, porm, o capacitor apresenta baixa reatncia e seu comportamento

tende a um curto-circuito. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada estar sobre o

resistor e a tenso de sada ser muito baixa, ou seja, o sinal ser atenuado. Podemos dizer que

o circuito impede a passagem de sinais de alta freqncia.

Porm, para sinais de freqncias intermedirias, ou seja, sinais cujas freqncias estiverem

prximas ao valor da Freqncia de Ressonncia do circuito, o indutor e o capacitor juntos

apresentaro alta reatncia e seus comportamentos tendero a um circuito aberto, como

estudado no captulo sobre Ressonncia Paralela. Desta forma, a maior parcela da tenso de

entrada estar sobre o circuito LC ressonante de sada. Podemos dizer, ento, que o circuito

deixa passar sinais dentro de uma determinada faixa de valores de freqncias.

7.3.1. Ganho e Fase


pela expresso:

( ) ( ) =++

=

+

++

+

=

+

+

+

=

CLCL

CL

CL

CLCL

CL

CL

CL

CL

CL

CL

e

sXXXXR

XX

XXXXXXR

XXXX

XXXX

R

XXXX

VV



58

=

+

=

+

=

+

+

=

LC

CL

LC

CjLC1R

LC

CL

CL

CjLC1R

CL

Cj1Lj

Cj1LjR

Cj1Lj

22

=

+

=

LRLCRj1

1

LjRLCR1

122

A Funo de Transferncia de um Filtro Passa-Faixa RLC Paralelo, na forma fatorada :

( )

=

LRLCRj1

1H2

As expresses para o Ganho de Tenso e a Fase so, respectivamente:

22

LRLCR1

1GV

+

=

=

LRLCRarctg

2


Sabemos que o Ganho na Freqncia de Corte :

707,02

1|GVc

==

Ento, para um Filtro Passa-Faixa RLC Paralelo:



59

22

LRLCR1

12

1

+

=

Elevando ao quadrado ambos os lados e operando esta equao, encontramos:

2LRLCR1

22=

+

1LRLCR 2 =

LRLCR 2 =

0RLRLC2 =

01RLLC2 =

Esta igualdade nos fornece duas equaes. Como a expresso do Ganho de segunda ordem,

obtemos duas equaes de segundo grau, cada uma com duas solues que correspondem

Freqncia de Corte Superior e Freqncia de Corte Inferior do Filtro Passa-Faixa Paralelo.

LC2

LC4RL

RL 2

CI

+

=

LC2

LC4RL

RL 2

CS

+

+=


A chamada Freqncia Central de um Filtro Passa-Faixa ocorre justamente na Freqncia de

Ressonncia.

Como sabemos, para haver Ressonncia Paralela, necessrio que a impedncia equivalente do circuito ressonante seja infinita, ou seja, um circuito aberto. Para que isso ocorra necessrio

que as reatncias capacitiva e indutiva do circuito se anulem:



60

CL XX =

tal que:

=

+

=

CL

CLEQ XX

XXX

Nesta situao o Ganho do circuito da figura 7.6 unitrio, ento;

1|GVR=

1

LRLCR

1

12

R

2R

=

+

1LRLCR

12

R

2R

=

+

0LRLCR

R

2R

=

0RLCR 2R =

RLCR2

R =

LC1

R =

LC1

R =

Como esperado, obtivemos para a Freqncia Central a mesma expresso j conhecida para a

Freqncia de Ressonncia de um circuito RLC.


Com a expresso do Ganho e da Fase podemos traar a curva da resposta em freqncia para o

Ganho, Ganho em dB e a Fase de um Filtro Passa-Faixa RLC Paralelo. As curvas resultantes



61

sero semelhantes quelas curvas para um Filtro Passa-Faixa Srie, como apresentadas nas

figuras 7.3a, 7.3b, 7.4 e 7.5.

7.4. Exerccios:

7.4.1) Seja o Filtro Passa-Faixa abaixo, determinar [6]:

a) A freqncia de ressonncia;

b) As freqncias de corte inferior e superior;

c) As curvas caractersticas;

d) A freqncia para um Ganho de Tenso GV=0,1;

e) A tenso de sada instantnea vs(t) para ( )tsen2)t(ve = e freqncia de 167Hz.

Vs

+

-

-

Ve

+

R110

C110uF

L10.1 H

7.4.2) Use os componentes do filtro do exerccio anterior para implementar um Filtro Passa-Faixa

Paralelo e determinar:

a) A freqncia de ressonncia;

b) A freqncia de corte;

c) A curva caracterstica;

d) A freqncia para um Ganho de Tenso GV=0,1;

e) A tenso de sada instantnea vs(t) para ( )tsen2)t(ve = e freqncia de 167Hz. f) Compare o comportamento dos dois filtros.



62

8. Filtro Rejeita-Faixa

Um Filtro Passivo Rejeita-Faixa um circuito que atenua, impede a passagem de sinais de

tenso e corrente com freqncias situadas numa faixa intermediria, permitindo a passagem

de sinais com freqncias acima ou abaixo dessa faixa. Essa faixa intermediria delimitada por

uma Freqncia de Corte Inferior (CI) e uma Freqncia de Corte Superior (CS).

8.1. Filtro Rejeita-Faixa Ideal:

Para sinais de freqncias intermedirias, ou seja, acima da Freqncia de Corte Inferior e abaixo

da Freqncia de Corte Superior do filtro, o Ganho nulo, portanto, o mdulo do sinal de sada

totalmente atenuado (zero).

Para sinais de freqncias abaixo da Freqncia de Corte Inferior ou acima da Freqncia de

Corte Superior, o Ganho do filtro unitrio, ou seja, o mdulo do sinal de sada igual ao de

entrada.

Na prtica, porm, no possvel obter a Resposta em Freqncia de um Filtro Rejeita-Faixa

Ideal, como a apresentada na figura 8.1.

GV(dB)

(rad/s)CI

0

1

CIR

Figura 8.1 Curva de Resposta em Freqncia para um Filtro Passa Alta Ideal

Simbologia Usual:

Ve Vs Ve Vs



63

8.2. Filtro Rejeita-Faixa Srie


Rejeita-Faixa Real.

Vs

+

-

-

+

Ve

C

L

R

Figura 8.2 Circuito de um Filtro Rejeita-Faixa Srie

Um Filtro Rejeita-Faixa baseado na Ressonncia que ocorre entre indutores e capacitores em circuitos CA.

Para Sinais de Freqncias Baixas o indutor do circuito da figura 8.2 apresenta baixa reatncia

(tende a um curto-circuito), porm, o capacitor apresenta alta reatncia e tende a comportar-se

como um circuito aberto. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada estar sobre o

capacitor e a tenso sobre o resistor ser muito baixa, ou seja, a tenso de sada ser

praticamente igual tenso de entrada. Podemos dizer que o circuito permite a passagem de

sinais de baixa freqncia.

Para Sinais de Freqncias Altas o capacitor apresenta baixa reatncia e tende a comportar-se

como um curto-circuito, porm o indutor apresenta alta reatncia e tende a comportar-se como

um circuito aberto. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada estar sobre o indutor e a

tenso sobre o resistor ser muito pequena, ou seja, a tenso de sada ser praticamente igual

tenso de entrada. Podemos dizer que o circuito permite a passagem de sinais de alta

freqncia.

Porm, para Sinais de Freqncias Intermedirias, ou seja, sinais cujas freqncias estiverem

numa faixa prxima Freqncia de Ressonncia do circuito, o indutor e o capacitor juntos

apresentaro baixa reatncia e tendero a comportar-se como um curto-circuito, como estudado

no captulo sobre Ressonncia Srie. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada estar

sobre o resistor e a tenso de sada ser praticamente nula, ou seja, o sinal ser atenuado.

Podemos dizer, ento, que o circuito impede a passagem (rejeita) sinais dentro de uma

determinada faixa de freqncias.



64

8.2.1. Ganho e Fase:


pela expresso:

( )( )CL

eCLs XXR

VXXV

++

+=

ou ainda:

++

+

=

Cj1LjR

Cj1Lj

VV

e

s

Fatorando a expresso, obtemos:

+

=

++

=

+

+

=

LC1RCj1

1

Cj1LC

R

1

1

Cj1Lj

R1

1VV

22e

s

Portanto, a Funo de Transferncia para um Filtro Rejeita-Faixa Srie, na forma fatorada :

( )

+

=

LC1RCj1

1H

2

Sabemos que a funo de transferncia um nmero complexo e que na forma polar, o Ganho

de Tenso o mdulo da funo de transferncia e a Fase o ngulo da funo de

transferncia.

Portanto, as expresses para o Ganho de Tenso e a Fase para um Filtro Rejeita-Faixa Srie

so, respectivamente;

2

2LC1RC1

1GV

+

= ou 2

2LC1RC1

1GV

+

=

=

LC1RCarctg 2



65


Sabemos que o Ganho de Tenso na Freqncia de Corte :

707,02

1|GVC

==

Ento, para um Filtro Rejeita-Faixa RLC Srie;

2

2LC1RC1

12

1

+

=

Elevando ao quadrado ambos os lados e operando esta equao, encontramos;

2LC1

RC12

2=

+

1LC1

RC2 =

LC1RC 2=

01RCLC2 =

Esta igualdade nos fornece duas equaes do segundo grau:

01RCLC2 =+

01RCLC2 =

Como a expresso do Ganho de segunda ordem, obtivemos duas equaes de segundo grau,

cada uma como duas solues que correspondero Freqncia de Corte Inferior e Freqncia

de Corte Inferior do Filtro Rejeita-Faixa RLC Srie.

( )LC2

LC4RCRC 2CI

+=



66

( )LC2

LC4RCRC 2CS

++=


A chamada Freqncia Central de um Filtro Rejeita-Faixa ocorre justamente na Freqncia de

Ressonncia.

Como sabemos, para haver Ressonncia Srie necessrio que as Reatncias Capacitiva e

Indutiva do circuito se anulem e se comportem como um curto-circuito, ou seja:

CL XX =

Nesta situao o Ganho ser nulo, pois, como podemos perceber do circuito da figura 8.2 a

reatncia total da sada ser zero e o seu comportamento tender a um curto-circuito e a tenso

de sada ser nula e toda a tenso de entrada estar sobre o resistor.

Assim, para que a expresso do Ganho seja igual a zero necessrio que o termo do

denominador seja igual a um valor infinito, ento:

0GV =

0

LC1RC

1

12

2R

R

=

+

01 =

Para que se verifique esta igualdade, o denominador deve ser infinito. Para tanto, o denominador

do termo dentro da raiz quadrada deve ser igual a zero, pois uma diviso por zero um nmero

infinito. Assim:

0LC1 2R =

1LC2R =

LC1

R =



67

Como esperado, obtivemos para a Freqncia Central de um Filtro Rejeita-Faixa Srie a mesma

expresso j conhecida para o clculo da Freqncia de Ressonncia.


A partir das expresses do Ganho e da Fase, podemos traar as curvas de resposta em

freqncia para o Ganho e a Fase de um Filtro Rejeita-Faixa RLC Srie, como indicam as figuras

8.3.a e 8.3b.

(rad/s)

GV1

0,707

R0 CSCI

BW

Figura 8.3a Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Rejeita-Faixa RLC Srie Ganho de Tenso

(rad/s)

-90o

CI

0

+90o

-45o

+45o

R CS

Figura 8.3b Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Rejeita-Faixa RLC Srie Fase

!" Ganho:

( )

==

=

= !00arctg

10arctg

1GVVVX0

esC



68

( )

==

=

=

=

!00arctg1arctgarctg

1GVVV0X

2

esL

=

=

=

!900RC

arctg

0GV0VR

S

R

A resposta em freqncia para o Ganho em dB apresentada na figura 8.4. Na figura 8.5

podemos verificar o Diagrama de Bode para representar o Ganho em dB de um Filtro Rejeita-

Faixa Srie.

-3 BW

(rad/s)GV|dB R0

CSCI

-

Figura 8.4 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Rejeita-Faixa RLC Srie


BW

(rad/s)GV|dB R0

CSCI

-

Figura 8.5 Diagrama de Bode - Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Rejeita-Faixa RLC Srie


8.3. Filtro Rejeita-Faixa Paralelo


Rejeita-Faixa Real.



69

Vs

+

--

Ve

+ C

L

R

Figura 8.6 Circuito de um Filtro Rejeita-Faixa RLC Paralelo

Para Sinais de Freqncias Baixas, o capacitor do circuito da figura 8.6 apresenta reatncia

capacitiva elevada e seu comportamento tende a um circuito aberto, porm, o indutor apresenta

baixa reatncia indutiva e tende a comportar-se como um curto-circuito. Desta forma, a maior

parcela da tenso de entrada estar sobre o resistor de sada. Podemos dizer que o circuito

permite a passagem de sinais de baixas freqncias.

Para Sinais de Freqncias Altas, o indutor apresenta reatncia indutiva elevada e tende a

comportar-se como um circuito aberto, porm, o capacitor apresenta baixa reatncia capacitiva e

tende a comportar-se como um curto-circuito. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada

estar sobre o resistor de sada. Podemos dizer que o circuito permite a passagem de sinais de

alta freqncia.

Porm, para Sinais de Freqncias Intermedirias, ou seja, para sinais cuja freqncia estiver

numa faixa prxima Freqncia de Ressonncia do circuito, o indutor e o capacitor juntos

apresentaro alta reatncia e ambos tendero a comportarem-se como um circuito aberto, como

estudado no captulo sobre Ressonncia Paralela. Desta forma, a maior parcela da tenso de

entrada estar sobre o circuito LC ressonante e a tenso sobre o resistor de sada ser

praticamente nula, ou seja, o sinal ser atenuado. Podemos dizer, ento, que o circuito impede a

passagem de sinais (rejeita sinais) de uma determinada faixa de freqncias.

8.3.1. Ganho e Fase


pela expresso:

( )=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

CL

CL

CL

CL

CL

CLe

s

XXRXX

1

1

RXXXX

RR

RR

XXXX

R

RVV



70

+

=

+

=

+

+

=

+

+RLCR

Lj1

1

RLCR

CjCL

1

1

Cj1LCR

CL

1

1

Cj1LjR

Cj1Lj

1

1

2

22

A Funo de Transferncia de um Filtro Rejeita-Faixa Paralelo, na forma fatorada :

( )

+

=

RLCRLj1

1H

2

As expresses para o Ganho de Tenso e a Fase so, respectivamente;

2

2RLCRL1

1GV

+

=

=

LRLCRarctg

2


Sabemos que o Ganho de Tenso na Freqncia de Corte :

21707,0|GV

C==

Ento para um Filtro Rejeita-Faixa Paralelo:

2

2RLCRL1

12

1

+

=

Elevando ao quadrado e operando esta equao, temos;

2RLCR

L12

2=

+


CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

eletrônica - resposta em frequência - filtros passivos - cefet-sc.pdf

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