elementos de la geoestadistica

8/7/2019 Elementos de la geoestadistica

1/19

INSTITUTO TECNOLGICO DE CIUDAD MADERODivisin Ciencias de la Tierra

TRABAJO:

Elementos De La Geoestadstica

Presentado por:Luis Ral Luna Alderete

Nmero de Control:05071050

MATERIA:Geoestadstica

CATEDRTICO:Ing. Emilio Eduardo Carreo y Galvn

Cd. Madero, Tamaulipas; a 23 De Junio De 2009


2/19

Introduccin

En el campo de las geociencias es comn encontrarvariables distribuidas espacialmente. Parael estudio de estas variables son usados diversos procedimientos geoestadsticos deestimacin y/o simulacin. Esto es, a partir de un conjunto de muestras tomadas enlocalizaciones del dominio en que se manifiesta un fenmeno a estudiar y consideradas

representativas de su realidad, que por lo general es siempre desconocida, estosprocedimientos permiten la descripcin o caracterizacin de las variables con dos finesdiferentes, primero, proporcionarvalores estimados en localizaciones de inters y segundo,generarvalores que en conjunto presenten iguales caractersticas de dispersin que los datosoriginales. La geologa y la minera es el campo tpico para la aplicacin de estos modelos,campo en el que surge y se desarrolla la Geoestadstica como ciencia aplicada. Se hacereferencia en esta monografa a los conceptos fundamentales de la Geoestadstica. Paraprofundizar en el tema puede ser consultada la bibliografa citada.

Problema que dio origen a la Geoestadstica

La bsqueda, exploracin y evaluacin de yacimientos minerales tiles es una de lasactividades fundamentales que toda empresa minera debe desarrollar durante su vida til,destacndose entre otras tareas: el pronstico cientfico en la localizacin de los yacimientosminerales tiles, la elaboracin de mtodos eficaces para la exploracin y la evaluacingelogo econmico de los yacimientos para su explotacin (Lepin y Ariosa, 1986; Armstrong yCarignan, 1997; Chica, 1987). Todo esto condicionado al agotamiento de los recursos productode la explotacin y a las fluctuaciones de las cotizaciones del mercado. Los trabajos debsqueda y exploracin se dividen en estadios que son resultado de la aplicacin de unprincipio importante del estudio del subsuelo, el Principio de Aproximaciones Sucesivas. Cadauno de los estadios culmina con la determinacin lo ms aproximada posible de los recursosminerales del yacimiento, actividad fundamental de las empresas gelogo - mineras conocidacomo clculo de recursos y reservas.

El desarrollo de la minera ha trado unido el perfeccionamiento de los mtodos de bsqueda

de los minerales tiles, y los de la determinacin de su cantidad y utilidad para la extraccin(Lepin y Ariosa, 1986), adems, el mundo minero se hace cada vez ms competitivo y lascompaas necesitan evaluar su potencial econmico (Berckmans y Armstrong, 1997). Existenactualmente dos formas de realizar el clculo de reservas, los mtodos clsicos y losmodernos. Como clsicos se pueden destacar, el de "Bloques Geolgicos" y el de "PerfilesParalelos" (Daz, 2001), stos se caracterizan por el uso de valores medios o mediaponderadas de los contenidos de la exploracin en bloques definidos convenientemente. Estosmtodos son eficientes cuando la informacin disponible presenta determinada regularidad,pero en la prctica, como se seala en Journel y Huijbregts (1978) y David (1977) la grandiversidad de formas en que se presentan los datos ha llevado a la utilizacin de tcnicasmatemticas y estadsticas para resolver un nico problema, estimar valores desconocidos apartir de los conocidos, para la estimacin y caracterizacin de los recursos y reservas. En losltimos aos muchas investigaciones se han desarrollado con este fin (Gotway y Cressie,

1993), existiendo mayor inters en las estimaciones a nivel local que a nivel global (Rivoirard yGuiblin, 1997). Claro est, no existe un mtodo por muy sofisticado que sea, que permitaobtener resultados exactos.

Nuestro objetivo ser discutir, los mtodos ms eficientes que proporcionen la mayorinformacin posible de los datos disponibles, es decir, los modernos, de los que se pueden citarentre los geomatemticos: El Inverso de la Distancia, Triangulacin, Splines, etc. An ms,buscando el mejor estimador que minimice la varianza del error de estimacin surge laGeoestadstica por los trabajos de G. Matheron en la Escuela Superior de Minas de Pars,basado en conceptos iniciales de trabajos de H.S. Sichel en 1947 y 1949, en la aplicacin de ladistribucin lognormal en minas de oro, seguido por la famosa contribucin de D.G. Krige en laaplicacin del anlisis de regresin entre muestras y bloques de mena. Estos trabajos fijaron labase de la Geoestadstica Lineal, adems, de la introduccin de la teora de funciones

aleatorias por B. Matern en el estudio de la variacin espacial de campos forestales. LaGeoestadstica se consolid y desarrollo en los ltimos 30 aos como ciencia aplicada casi
http://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTEShttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/sipro/sipro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtmlhttp://monografias.com/trabajos10/anali/anali.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/tain/tain.shtmlhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.342421403712572&pb=f05885378d3dca6d&fi=b0af01125dc6ac62&kw=valoreshttp://www.monografias.com/trabajos10/carso/carso.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/basda/basda.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/geologia/geologia.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/acti/acti.shtml#mihttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/fciencia/fciencia.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mono/mono.shtmlhttp://www.monografias.com/apa.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/conce/conce.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/fimi/fimi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/refrec/refrec.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mercado/mercado.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/desorgan/desorgan.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/costo/costo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/caes/caes.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/medios-comunicacion/medios-comunicacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/sisinf/sisinf.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/juti/juti.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/norma/norma.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/artcomu/artcomu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/travent/travent.shtmlhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.7655811901131868&pb=f5ebae25ce0c822a&fi=b0af01125dc6ac62&kw=orohttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtml#ANALIThttp://www.monografias.com/trabajos13/discurso/discurso.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/epistemologia/epistemologia.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTEShttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/sipro/sipro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtmlhttp://monografias.com/trabajos10/anali/anali.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/tain/tain.shtmlhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.342421403712572&pb=f05885378d3dca6d&fi=b0af01125dc6ac62&kw=valoreshttp://www.monografias.com/trabajos10/carso/carso.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/basda/basda.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/geologia/geologia.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/acti/acti.shtml#mihttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/fciencia/fciencia.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mono/mono.shtmlhttp://www.monografias.com/apa.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/conce/conce.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/fimi/fimi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/refrec/refrec.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mercado/mercado.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/desorgan/desorgan.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/costo/costo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/caes/caes.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/medios-comunicacion/medios-comunicacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/sisinf/sisinf.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/juti/juti.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/norma/norma.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/artcomu/artcomu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/travent/travent.shtmlhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.7655811901131868&pb=f5ebae25ce0c822a&fi=b0af01125dc6ac62&kw=orohttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtml#ANALIThttp://www.monografias.com/trabajos13/discurso/discurso.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/epistemologia/epistemologia.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml


3/19

exclusivamente en el campo minero, la cual ha sido ampliamente usada (Arik, 1992; Rivoirard yGuiblin, 1997), existiendo como ciencia aplicada que da respuesta a necesidades prcticas yconcretas. Se reconoce como una rama de la estadstica tradicional, que parte de laobservacin de que la variabilidad o continuidad espacial de las variables distribuidas en elespacio tienen una estructura particular (Journel y Huijbregts, 1978; Curran y Atkinson, 1998),desarrollndose herramientas matemticas para el estudio de estas variables dependientes

entre si, llamadas segn Matheron variables regionalizadas, quien elabor su teora como sepresenta en Matheron (1970), Journel y Huijbregts (1978), David (1977) y de Fouquet (1996).En resumen, la aplicacin de la teora de los procesos estocsticos a los problemas deevaluacin de reservas de distintos tipos de materias primas minerales y en general a lasciencias naturales en el anlisis de datos distribuidos espacial y temporalmente (Christakos yRaghu, 1996) dio origen a lo que hoy se conoce como Geoestadstica.

Geoestadstica, concepto

La Geoestadstica se define como la aplicacin de la Teora de Funciones Aleatorias alreconocimiento y estimacin de fenmenos naturales (Journel y Huijbregts, 1978), osimplemente, el estudio de las variables numricas distribuidas en el espacio (Chauvet, 1994),siendo una herramienta til en el estudio de estas variables (Zhang, 1992). Su punto de partidaes asumir una intuicin topo-probabilista (Matheron, 1970). Los fenmenos distribuidos en elespacio, la mineralizacin en un yacimiento mineral por ejemplo, presenta un carctermixto, uncomportamiento catico o aleatorio a escala local, pero a la vez estructural a gran escala (figura1).

Para ver el grfico seleccione la opcin "Descargar" del men superior

Se puede entonces sugerir la idea de interpretar este fenmeno en trminos de FuncinAleatoria (FA), es decir, a cada punto x del espacio se le asocia una Variable Aleatoria (VA)Z(x), para dos puntos diferentes x e y, se tendrn dos VAs Z(x) y Z(y) diferentes pero no

independientes, y es precisamente su grado de correlacin el encargado de reflejar lacontinuidad de la mineralizacin, o de cualquier otro fenmeno en estudio, de modo que el xitode esta tcnica es la determinacin de la funcin de correlacin espacial de los datos (Zhang,1992). Su estimador, El Krigeaje, tiene como objetivo encontrar la mejor estimacin posible apartir de la informacin disponible, y en efecto, el valorestimado obtenido Z*(x) de un valorrealy desconocido Z(x), consiste en una combinacin lineal de pesos asociados a cada localizacindonde fue muestreado un valor Z(xi) (i = 1,n) del fenmeno estudiado, observando doscondiciones fundamentales: 1.- que el estimador sea insesgado. E[Z* - Z] = 0, y 2.- que lavarianza Var[Z* - Z] sea mnima, consiguindose de este modo minimizar la varianza de errorde estimacin.

A diferencia de otros mtodos de interpolacin, como por ejemplo el inverso de la distancia, elkrigeaje utiliza en la estimacin las caractersticas de variabilidad y correlacin espacial del

fenmeno estudiado, por lo que su uso implica un anlisis previo de la informacin con elobjetivo de definir o extraer de esta informacin inicial un modelo que represente su continuidadespacial. Una vez logrado, estamos en condiciones de obtener el mejor valor posible en cadalocalizacin o bloque a estimar a partir de los datos medidos, acompaada de la varianza dekrigeaje como medida del error de la estimacin realizada (Armstrong y Carignan, 1997), lo quedistingue al krigeaje de otros mtodos de interpolacin (Abasov et al., 1990; de Fouquet, 1996;Carr, 1995).

Variables aleatorias regionalizadas

Continuando con el caso minero, la informacin inicial para realizar el clculo de reservas es elresultado del anlisis de los testigos de perforacin, o muestras de afloramiento, obtenido en

los laboreos de exploracin, que como una variable aleatoria puede tomar cualquier valordentro de un rango determinado. Esta es la caracterstica fundamental que distingue a este tipode variable, adems de su valor, una posicin en el espacio, hecho ste al que Matheron
http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metcien/metcien.shtml#OBSERVhttp://www.monografias.com/trabajos15/todorov/todorov.shtml#INTROhttp://www.monografias.com/trabajos11/contrest/contrest.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCEhttp://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANThttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.3243273513106727&pb=f925243c98c37def&fi=b0af01125dc6ac62&kw=materias%20primashttp://www.monografias.com/trabajos13/diferexi/diferexi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/carso/carso.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/comportamiento-humano/comportamiento-humano.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/dige/dige.shtml#evohttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/llave-exito/llave-exito.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.725694446355472&pb=7d0c16637bed30f1&fi=b0af01125dc6ac62&kw=valorhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.3763144557787347&pb=2bfe298a07a83102&fi=b0af01125dc6ac62&kw=pesoshttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metcien/metcien.shtml#OBSERVhttp://www.monografias.com/trabajos15/todorov/todorov.shtml#INTROhttp://www.monografias.com/trabajos11/contrest/contrest.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCEhttp://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANThttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.3243273513106727&pb=f925243c98c37def&fi=b0af01125dc6ac62&kw=materias%20primashttp://www.monografias.com/trabajos13/diferexi/diferexi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/carso/carso.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/comportamiento-humano/comportamiento-humano.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/dige/dige.shtml#evohttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/llave-exito/llave-exito.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.725694446355472&pb=7d0c16637bed30f1&fi=b0af01125dc6ac62&kw=valorhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.3763144557787347&pb=2bfe298a07a83102&fi=b0af01125dc6ac62&kw=pesoshttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtml


4/19

denomin Variable Aleatoria Regionalizada (Matheron, 1970), la cual est presente en lamayor parte de los estudios geolgicos (Pawlowsky et al., 1995) y fenmenos naturales (deFouquet, 1996). Al respecto en Journel y Huijbregts (1978) y David (1977) se dedica el captuloII y V respectivamente a la teora de la variable regionalizada. Captulos donde se presentan losconceptos fundamentales de la Geoestadstica, en la que particularmente Journel y Huijbregts(1978) plantea que la definicin de variable regionalizada como una variable distribuida en el

espacio es puramente descriptiva y envuelve una interpretacin probabilstica, refirindose aque, desde el punto de vista matemtico una variable regionalizada es simplemente unafuncin f(x) que toma valores en todos los puntos x de coordenadas (x i, yi, zi) en el espaciotridimensional. Sin embargo, es muy frecuente que estas funciones varen tan irregularmenteen el espacio que impiden un estudio matemtico directo, y se hace necesario realizar unanlisis de variabilidad de la informacin disponible, sugiriendo un estudio profundo de lafuncin variograma como veremos ms adelante.

En trminos tericos es oportuno aclarar que una variable aleatoria (VA) es una variable quepuede tomar ciertos valores de acuerdo a cierta distribucin de probabilidades. Un valor medidoen cada punto xi es considerado como una realizacin z(x i) de una VA Z(x i) cuya media esm(xi). En los puntos x donde no existen valores medidos es desconocida la propiedad que seestudia, pero estn bien definidos y pueden asimismo considerarse variables aleatorias Z(x). Al

conjunto de todas las mediciones z(x) en el rea de estudio de la variable regionalizada puedeconsiderarse como una realizacin particular del conjunto de VAs (Z(x), x rea de estudio). Aeste conjunto de VAs se llama Funcin Aleatoria y se escribe Z(x) (Journel y Huijbregts, 1978;Armstrong y Carignan, 1997). De modo que al extender el concepto de funcin aleatoria alespacio de una o ms dimensiones, aparece la nocin aleatoria y estructural de una variableregionalizada: primero Z(x) como VA y segundo que las VAs Z(x) y Z(x+h) no son en generalindependientes, si no que estn relacionadas por la estructura espacial de la variableregionalizada original Z(x).

Conceptos de variable aleatoria regionalizada

En el estudio de las variables aleatorias regionalizadas es importante presentar conceptos que

se sealan en Journel y Huijbregts (1978) y David (1977) y que son utilizados por la mayora delos autores donde se aplican los mtodos geoestadsticos como herramienta fundamental detrabajo.

Estos conceptos son:

Regin: se refiere al espacio en el cual existe y se estudia el fenmeno natural.

Localizacin: Es el punto de una regin en la cual se define una variable aleatoriaregionalizada.

Soporte Geomtrico: Est determinado por el elemento fsico sobre el cual se realiza la

determinacin de la variable aleatoria regionalizada, esto no es ms que la muestra unitaria,sobre la cual estudiaremos el atributo de inters.

Momentos de primer orden:

Si la funcin de distribucin de Z(xi) tiene una media definida, ser una funcin de lalocalizacin xi. m(xi) = E{ Z(xi)}

Momento de segundo orden:

Si la varianza (Var) de Z(xi) existe, entonces se define como el momento de segundo orden yser tambin una funcin de la localizacin xi.

Var{ Z(xi)} = E{ [Z(xi) - m(xi)] 2}
http://www.monografias.com/trabajos16/romano-limitaciones/romano-limitaciones.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/teca/teca.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/romano-limitaciones/romano-limitaciones.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/teca/teca.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml


5/19

Si la varianza de las variables Z(xi) y Z(xj) existe entonces la covarianza (Cov) de las stastambin existe y es funcin de las localizaciones xi y xj.

Cov[Z(xi), Z(xj)] = E{ [Z(xi) - m(xi)][Z(xj) - m(xj)]}

si xi = xj ; Cov[Z(xi), Z(xj)] = Var{ Z(xi)}

La funcin variograma o funcin estructural se define como la varianza de la diferencia Z(x i) -Z(xj).

Var{ Z(xi) - Z(xj)} = 2g (xi, xj}

la magnitud g (xi, xj} = Var{ Z(xi) - Z(xj)} se denomina semivariograma.

Tambin se puede definir el correlograma estandarizando, la covarianza para los valores xi - xj =h = 0 como: r (h) = C(h)/C(0) -1 r 1

donde: C(h) es la covarianza a la distancia h,

C(0) es la covarianza en el origen.

Existen relaciones entre estas medidas de correlacin:

g (h} = C(0) - C(h) con g (0) = 0

r (h) = 1 - g (h)/C(0)

1. Hiptesis de la Geoestadstica

Como la forma en que se presenta la informacin es muy diversa (Journel y Huijbregts, 1978),la geoestadstica se construye asumiendo condiciones de estacionaridad. Por lo que esnecesario aceptar el cumplimiento de ciertas hiptesis sobre el carcter de la funcin aleatoriao procesos estocsticos estudiados, llamadas Hiptesis de la Geoestadstica. Estas son segnJournel y Huijbregts (1978) y David (1977): La Estacionaridad Estricta, La Estacionaridad deSegundo Orden, La Hiptesis Intrnseca y los Procesos Cuasiestacionarios.

I- Estacionaridad Estricta. Se dice que Z(x) es estrictamente estacionaria si la funcin dedistribucin de probabilidades de las variables aleatorias regionalizadas Z(x i) son iguales entres, independiente de la localizacin x i, lo que requiere que los momentos de distinto orden paracada variable aleatoria regionalizada sean completamente independientes de la localizacin x i.Esta condicin como su nombre lo indica es demasiado restrictiva al estudiar la mayora de losfenmenos encontrados en la prctica.

II- Estacionaridad de Segundo Orden. Esta condicin es ms frecuente en la prctica, lamisma exige que:

1) E{ Z(xi)} = m, existe y no depende de la localizacin xi.

2) La funcin covarianza, Cov{ Z(x i) - Z(xj)} , exista y slo dependa de la longitud del vector h =xi - xj o sea.

C(h) = Cov{ Z(xi), Z(xj)} = E{ Z(xi), Z(xi+h)} - m2

Esta hiptesis requiere la estacionaridad slo para la media y para la funcin de covarianza dela variable aleatoria regionalizada. La segunda condicin implica, estacionaridad de la varianzay del variograma.
http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/tesisgrado/tesisgrado.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/hipotesis/hipotesis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/tesisgrado/tesisgrado.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/hipotesis/hipotesis.shtml


6/19

1o Var[Z(xi)] = E{ [Z(xi) - m]2} = C(0) " x

2o g (h) = E{ [Z(xi)]2} - E{ Z(xi), Z(xi+h)} " x

como E[Z(xi), Z(xi+h)] = C(h) + m2

y E[Z2(xi)] = C(0) + m2

g (h) = C(0) + m2 - (C(h) + m2)

g (h) = C(0) - C(h).

Como se observa en la ltima expresin g (h) y C(h), son dos herramientas que permitenexpresar la correlacin entre la variable aleatoria regionalizada Z(x i) y Z(xi+h), separadas por elvector h.

III- Hiptesis Intrnseca. Una funcin aleatoria Z(x) se dice intrnseca cuando:

a) Su esperanza matemtica existe y no depende de la localizacin xi.

E{ Z(x)} = m " x

b) Para todo vector h el incremento [Z(x+h) - Z(x)] tiene varianza finita y no depende de lalocalizacin xi:

Var{ Z(x+h) - Z(x)} = E{ [Z(x+h) - Z(x)]2} = 2g (h) " x

Cuando se cumple esta condicin se dice que la funcin aleatoria Z(x) es homognea. Estacondicin se encuentra con bastante frecuencia en la naturaleza, pues existen muchos

procesos que no tiene varianza finita y sin embargo, poseen una funcin variograma finita.

La estacionaridad de segundo orden, siempre implica la condicin intrnseca (homogeneidad),sin embargo la relacin inversa no siempre se cumple.

IV- Procesos Cuasiestacionarios. En la prctica la funcin estructural, covarianza osemivariograma, es slo usada porlmites | h| b. El lmite b representa la extensin de laregin en la que el fenmeno estudiado conserva cierta homogeneidad del comportamiento deZ(xi). En otros casos, b pudiera ser la magnitud de una zona homognea y dos variables Z(x) yZ(x+h) no pueden ser consideradas en la misma homogenizacin de la mineralizacin si |h| > b.En tales casos, podemos, y verdaderamente debemos, estar satisfecho con una funcinestructural C(x,x+h) o g (x,x+h), lo que no es ms que estacionaridad local (para distancias hmenores que el lmite b). Esta limitacin de la hiptesis de estacionaridad de segundo orden (o

la hiptesis intrnseca si slo el variograma es asumido) a slo esas distancias |h| bcorresponde a la hiptesis de cuasiestacionaridad. Est hiptesis es verdaderamente uncompromiso de la escala de homogeneidad del fenmeno y la cantidad de datos disponibles.

En la prctica segn Armstrong y Carignan (1997) y Chica (1987) son dos las hiptesis quems se presentan: La Estacionaridad de Segundo Orden y la Hiptesis Intrnseca. Estascondiciones de estacionaridad se asumen en el desarrollo terico, en la prctica deben serverificadas en los datos antes de comenzar un estudio geoestadstico, para lo que se puederealizar un anlisis estadstico de la informacin, de modo que se refleje de as el grado deconfiabilidad en la aplicacin de estos mtodos.

Conocimiento del problema

Antes de comenzar un estudio geoestadstico se deben discutir todos los elementos queaporten conocimientos del problema a resolver, la estructura geolgica en que se desarrolla la
http://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/filo/filo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/lide/lide.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/filo/filo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/lide/lide.shtml


7/19

mineralizacin o el fenmeno en estudio, organizacin y verificacin de la informacindisponible y finalmente realizar el anlisis exploratorio de los datos.

Una vez obtenido los datos, es necesario que se controlen integralmente a fin de verificar deuna parte su exactitud y de otra su representatividad. Es importante que se est familiarizadocon los datos, discutir todos los elementos necesarios a fin de conocer el problema a resolver

(Armstrong y Carignan, 1997). En la minera los resultados son muy sensibles al nivel deinformacin usado (Carrasco-Castelli y Jara-Salame, 1998; Lantujoul, 1994), cualquiermodificacin involuntaria en la etapa inicial se refleja sistemticamente durante todo el estudio(Armstrong y Roth, 1997; Armstrong y Carignan, 1997).

Conceptos necesarios de estadstica bsica

Con el objetivo de conocer la informacin disponible se puede hacer un anlisis de laestadstica descriptiva (Krajewski y Gibbs, 1993; Journel y Huijbregts, 1978; David, 1977). Acontinuacin se presenta un resumen de los conceptos necesarios de estadstica bsica.

A: Clculos estadsticos o estadstica descriptiva. Permiten determinar si la distribucin de

los datos es normal, lognormal, o si no se ajustan a una distribucin estadstica, lo cual implicatenerconocimiento de:

1.- Numero de casos: Es el nmero de valores muestreados del fenmeno en estudio,representados por n y los datos por x i, i = 1, . . . , n, que llamamos distribucin.

2.- Rango de la distribucin: Es la diferencia entre el valor mximo y el mnimo.

3.- Media: Es la media aritmtica de la distribucin, dado por la frmula:

4.- Moda: Es el valor ms frecuente de la distribucin.

5.- Mediana: Es el valor para el cual la mitad de los datos son menores y la otra mitad estnpor encima de este valor.

Si ordenamos los datos en orden ascendente podemos calcular la mediana como.

X(n+1)/2 si n es impar.

M =

(Xn/2 + Xn/2+1)/2 si n es par.

La mediana es tambin llamada percentil 50, adems los datos no solo se dividen en dosgrupos, sino que se pueden dividir en cuatro partes, cuartiles, donde Q1 = percentil 25, Q2 =Mediana y Q3 = percentil 75, si los datos se dividen en 10, tenemos los deciles. De formageneral estas medidas se pueden calcular por: [ p(n+1)/100] sima observacin de los datosordenados ascendentemente, donde p es el percentil que se desea calcular.

6.- Varianza: Describe la variabilidad de la distribucin. Es la medida de la desviacin odispersin de la distribucin y se calcula por:
http://www.monografias.com/trabajos6/napro/napro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/beren/beren.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/epistemologia2/epistemologia2.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/marketing-hoy/marketing-hoy3.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/grupo/grupo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/napro/napro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/beren/beren.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/epistemologia2/epistemologia2.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/marketing-hoy/marketing-hoy3.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/grupo/grupo.shtml


8/19

La razn principal por la que se aboga por la divisin entre n-1 en la estimacin de la varianza,es porque proporciona un mejor estimado; si dividimos por n-1 nos referimos a la varianzamuestral S2 como un estimador insesgado de la varianza poblacional s 2. Esto significa que siun experimento fuera repetido muchas veces se podra esperar que el promedio de los valoresas obtenidos para S2 igualara a s 2. Por otra parte si dividimos entre n los valores obtenidospara S2 seran como promedio demasiado pequeo.

7.- Desviacin estndar: Describe la tendencia o dispersin de la distribucin. Es la medidade desviacin alrededor de la media. Se calcula por:

s =

8.- Coeficiente de asimetra: Describe la simetra de la distribucin relativa a la distribucinnormal. Se calcula por:

En la distribucin normal la asimetra tiene valor cero, un valor negativo indica una cola a laizquierda y un valor positivo indica una cola a la derecha.

9.- Curtosis: Describe el grado de esbeltez de la distribucin, tomado por lo general enrelacin a una distribucin normal, y se puede calcular por:

La distribucin normal tiene curtosis igual a tres, y es llamada mesocrtica. A las distribucionesms agudas, con colas relativamente anchas, se les llama leptocrticas, tienen valores decurtosis mayores que tres, y las distribuciones ms bien achatadas en el centro se llamanplaticrticas, tienen valores menores que tres, en ocasiones se acostumbra a definir la curtosiscomo a 4 - 3.

10.- Error estndar: Describe el grado de conocimiento de los datos y se puede calcular por:

e =

La distribucin normal tiene un valor de error estndar menor que 1.25 y la distribucinlognormal o una distribucin con tendencia positiva, tiene valores de error estndar mayores

que 1.25.

11.- Coeficiente de variacin: Es una medida de la variacin relativa de los datos y puede sercalculado por:

CV = S/Xm

y en porcentaje como: 100 CV = 100 (S/Xm) %

Proporciona una comparacin entre la variacin de grandes valores y la variacin de pequeosvalores. Las tcnicas de Geoestadstica Lineal que predomina en el campo de las geocienciasproducen los mejores resultados cuando el coeficiente de variacin es menor que uno, CV < 1.

Para CV > 1 se recomiendan tcnicas de Geoestadstica no Lineal.


9/19

12.- Prueba Chi-Cuadrado: Permite determinar si la distribucin es normal, lognormal o algunaotra distribucin probabilstica, es su lugar puede ser usada la prueba "Kolmogorov Smirnov"como se refleja por muchos autores es ms robusta.

13.- Prueba t-Student: Permite determinar si en una distribucin bimodal las medias de laspoblaciones son estadsticamente diferentes.

B: Construccin de grficos estadsticos: Estos grficos permiten ilustrar y entender lasdistribuciones de los datos, identificar datos errados, valores extremos, los mismos incluyen:

1.- Mapa base, seccin cruzada y vista en perspectiva: Son usados para visualizar larelacin espacial en 2 y 3 dimensiones, permiten encontrar errores en la informacin.

2.- Histogramas: Son usados para ver las caractersticas descriptivas de la distribucin. Es ungrfico de barras donde en las abscisas aparecen los lmites de las clases y en las ordenadaslas frecuencias correspondientes a cada clase.

3.-Frecuencia acumulativa: Usado para identificar el tipo de distribucin muestral y ayuda a

determinar si estn presentes poblaciones mixtas. Es un grfico de lmite de clase contrafrecuencia acumulada.

En el caso de grficos estadsticos es til usar los grficos de frecuencia absoluta, relativa,acumulativa y el diagrama de dispersin, como se presenta en muchos sistemas.

Todos estos elementos permiten decidir sobre las condiciones de estacionaridad vistasanteriormente. Muchos autores slo toman como elementos fundamentales de estadsticabsica que: la media y la mediana tome valores prximos; el coeficiente de variacin seainferior a 1; la distribucin de los datos est prxima a la curva normal y no existan valoresextremos que afecten el desarrollo del anlisis estructural.

El anlisis estructural

El anlisis estructural o estudio variogrfico segn (Armstrong y Carignan, 1997) estcompuesto por:

El clculo del semivariograma experimental. El ajuste a este de un modelo terico conocido.

El clculo del semivariograma experimental es la herramienta geoestadstica ms importanteen la determinacin de las caractersticas de variabilidad y correlacin espacial del fenmenoestudiado (Chica, 1987), es decir, tener conocimiento de como la variable cambia de unalocalizacin a otra (Lamorey y Jacobsom, 1995; Issaks & Co.,1999), representando el til ms

importante de que dispone el geoestadstico para el anlisis del fenmeno mineralizado o de lavariable de distribucin espacial en estudio (Sahin et al.,1998; Genton, 1998a). Este anlisistiene como condicionantes: la distribucin estadstica, la existencia de valores aberrantes oanmalos, la presencia de zonas homogneas o posibles zonaciones en la distribucin de lasleyes.

Puede ser calculado inicialmente el semivariograma medio, global u "omnidireccional" (ver ElSemivariograma Experimental), proporcionando una idea inicial de la variabilidad espacial delos datos, siendo el ms idneo para representar u obtener una estructura clara y definida.Posteriormente deben ser calculados los semivariogramas en diferentes direcciones, puede sercalculado en 4 direcciones separadas 45 con tolerancia angular de 22.5, comenzando por 0(figura 2a) hasta encontrar la direccin de mxima o mnima variabilidad (figura 2b), pueden sercalculados tambin, ms especficamente, en 8 direcciones separadas por 22.5. Una forma

rpida y prctica de visualizar la existencia de anisotropa es mediante el clculo del "Mapa deVariogramas" (Frykman y Rogon, 1993; Homand-Etienne et al.,1995; Isaaks & Co.,1999), elcual adems permitir obtener la direccin inicial aproximada para el clculo de los
http://www.monografias.com/trabajos16/kaizen-construccion/kaizen-construccion.shtml#CARATERhttp://www.monografias.com/trabajos11/estadi/estadi.shtml#METODOShttp://www.monografias.com/trabajos14/flujograma/flujograma.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/tole/tole.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/kaizen-construccion/kaizen-construccion.shtml#CARATERhttp://www.monografias.com/trabajos11/estadi/estadi.shtml#METODOShttp://www.monografias.com/trabajos14/flujograma/flujograma.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/tole/tole.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtml


10/19

semivariogramas direccionales, permitiendo un anlisis adecuado de anisotropa.Posteriormente, dependiendo de la

continuidad espacial, es suficiente slo calcular dos semivariogramas separados 90.

Ahora, el semivariograma experimental obtenido no es utilizado en el proceso de estimacin,

debe ser ajustado a ste uno a varios modelos tericos, obtenindose un modelo o funcinanaltica que caracteriza la continuidad espacial de la variable estudiada. Los modelos devariograma terico utilizado en el proceso de estimacin o simulacin deben satisfacer ciertascondiciones, es decir tienen que ser "definido positivo" o de "tipo positivo" (Deutsch, 1994;Myers, 1992; Cressie y Grondona, 1992) de lo contrario puede existir el riesgo de encontrarvarianzas negativas que no tienen sentido (Armstrong y Carignan, 1997). En general el ajuste amodelos tericos para la determinacin de los parmetros del semivariograma se realiza deforma visual. En ocasiones se efectan ajustes polinomiales por el mtodo de los mnimoscuadrados u otras variantes, que aunque se encuentra el mejor ajuste, no siempre se verifica lacondicin de que el variograma obtenido sea siempre de tipo positivo, siendo insatisfactorio(Genton, 1998b), por lo que se recomienda el uso de modelos autorizados. Finalmente debeobtenerse uno o varios modelos de variogramas con los correspondientes valores de meseta yalcance. El modelo de variograma seleccionado debe representar fielmente los aspectos que

se suponen importantes del variograma experimental (Wackernagel, 1995), que sern usadosposteriormente en el proceso de estimacin o simulacin.

El semivariograma experimental

El variograma se define como la media aritmtica de todos los cuadrados de las diferenciasentre pares de valores experimentales separados una distancia h (Journel y Huijbregts, 1978),o lo que es lo mismo, la varianza de los incrementos de la variable regionalizada en laslocalizaciones separadas una distancia h.

Var{Z(x+h)-Z(x)} = 2g (h)

La funcin g (h) se denomina semivariograma, la cual puede ser obtenido por la expresin.

donde: Np(h) es el nmero de pares a la distancia h.

h es el incremento.

Z(xi) son los valores experimentales.

xi localizaciones donde son medidos los valores z(xi).

Esta expresin de g (h) representa el til ms importante en todo estudio geoestadstico(Armstrong y Carignan, 1997; Weerts, y Bierkens, 1993; Chica, 1987). Su clculo no consisteen una simple evaluacin de su expresin, segn se plantea en (Krajewski y Gibbs, 1993;Journel y Huijbregts, 1978; David, 1977; Xie y Myers, 1995a; Pannatier, 1993) esta operacinest relacionada con los elementos siguientes:

La direccin en la que ser calculado el semivariograma, uno o dos ngulos quedefinen una direccin en el espacio a y/o b con tolerancias angulares da y/o db . Elsemivariograma calculado usando tolerancia angular de 90 se denomina"semivariograma medio", "global" u "omnidireccional" como ya se indic.

El incremento o paso en el clculo del semivariograma h y su tolerancia lineal dh, serecomienda que el valor de dh sea la mitad del incremento inicial.
http://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCEhttp://www.monografias.com/trabajos13/ripa/ripa.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCEhttp://www.monografias.com/trabajos13/ripa/ripa.shtml


11/19

Una distancia, que representa la distancia mxima a que pueden estar alejados lossegundos puntos del par con respecto a la lnea que define la direccin de clculo,conocido como ancho de banda.

La distancia Lmax hasta la cual ser calculado del semivariograma. Se recomienda questa sea la mitad de la distancia entre las muestras ms alejadas (Armstrong yCarignan, 1997; Krajewski y Gibbs, 1993), aunque dependiendo de la geometra del

fenmeno regionalizado en algunos casos puede ser calculado hasta una distanciasuperior.

Definido los elementos anteriores, se evala la expresin del semivariograma para todos lospares de localizaciones separadas a la distancia h que cumplan las siguientes condiciones:

1.- La distancia entre las localizaciones xi y xi+h sea mayor que h-dh y menor que h+dh, o loque es lo mismo, el segundo punto del par est incluido en el espacio definido por h-dh y h+dhencontrndose el primer punto del par en el origen o (figura 3), este origen se mueve entre lasmuestras a analizar.

2.- El ngulo formado entre la lnea que une los dos puntos del par y la direccin 0o debe estar

incluido entre a -da y a +da (figura 4).

3.- La distancia entre el segundo punto del par y la lnea que define la direccin de clculo delsemivariograma no debe superar el ancho de banda (Deutsch y Journel, 1998) (figura 5).

Finalmente se representan grficamente los valores de g (h) en funcin de h.

El grfico de g (h) tiene las siguientes caractersticas segn (Armstrong y Carignan, 1997;Krajewski y Gibbs, 1993; Curran y Atkinson, 1998) (figura 6).

Pasa por el origen (para h=0, g (h)=0) Es en general una funcin creciente de h.

En la mayor parte de los casos g (h) crece hasta cierto lmite llamado meseta, en otros casospuede crecer indefinidamente. El comportamiento en el origen puede tener diferentes formas,las cuales son segn Journel y Huijbregts (1978), Armstrong y Carignan (1997), Chica (1987)(figura 7):

Parablico: Caracteriza a una variable muy regular, siendo continua y diferenciable.

Lineal: Caracteriza a una variable continua, pero no diferenciable, es decir menos regular.

Discontinuidad en el origen: "Efecto de pepita", es el caso en que g (h) no tiende a cerocuando h tiene a cero. Representa a una variable muy irregular.

Discontinuo puro: Llamado tambin ruido blanco, representa el caso de mayor discontinuidad,siendo el caso limite de ausencia de estructura, donde los valores de dos puntos cualesquierano tienen correlacin alguna.

Construccin del semivariograma experimental en 2D

A continuacin se presentan ocho pasos para la construccin del semivariograma experimentalpara datos distribuidos en dos dimensiones, resultado del anlisis realizado en la bibliografaconsultada.

Sea Z(x) una funcin aleatoria con N variables aleatorias regionalizadas Z(x i) donde x = { x, y}

es la localizacin y Z(xi) es el valor medido correspondiente. Dados una direccin a travs deun ngulo a en la cual se desea calcular el semivariograma, da una tolerancia angular, dh unatolerancia lineal y el ancho de banda.
http://www.monografias.com/trabajos10/geom/geom.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/contamacus/contamacus.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/geom/geom.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/contamacus/contamacus.shtml


12/19

Se proponen los siguientes pasos:

1.- Calcular la cantidad de pares de datos posibles por: Np = N(N-1)/2

2.- Para cada par, calcular la distancia entre las localizaciones correspondientes por:

i = 1, . . . , Np

almacenando para cada i:

- P1: Nmero del primer punto del par,

- P2: Nmero del segundo punto del par,

- d: Valor de la distancia entre los dos puntos del par.

- Angulo a que fija la direccin de la recta que pasa por los dos puntos del par.

3.- Ordenar ascendentemente el grupo de datos anteriores por la distancia.

4.- Calcular la amplitud mxima del semivariograma Lmax como Lmax = Dmax/2, donde Dmax es ladistancia a que estn separadas las localizaciones ms lejanas. Esto es la mxima distanciacalculada en el paso (2), o lo que es lo mismo, el ltimo valor despus del ordenamiento delpaso anterior.

5.- Fijar una distancia h inicial conocida como paso o incremento del semivariograma, serecomienda la distancia promedio entre las muestras contiguas. Para los mltiplos de estadistancia ser calculada g (h), por la expresin del semivariograma. Esto indica la cantidad de

puntos a procesar en el semivariograma, el cual se puede obtener como Lmax / h

6.- Calcular la expresin del semivariograma para todos los pares almacenados en el paso (2)que cumplan las condiciones siguientes:

a. La distancia d sea mayor que h-dh y menor que h+dh, es decir, h-dh d h+dh. Siesta condicin se cumple examinar la condicin b, de lo contrario continuar con ladistancia siguiente.

b. El ngulo a formado entre las lneas que parten del primer punto del par en ladireccin 0o y la que pasa por los dos puntos del par en la direccin positiva, es decir,en contra de las manecillas del reloj, sea mayor que a -da y menor que a +da , es decir,a -da a a +da . Si esta condicin se cumple examinar la condicin c, de locontrario continuar con la distancia siguiente

c. La distancia entre el segundo punto del par y la lnea que pasa por el primer punto enla direccin a no supere el ancho de banda.

Observaciones:

Note que como los datos almacenados en el paso (2) estn ordenadosascendentemente por la distancia, este paso se interrumpe cuando la distanciasiguiente sea mayor que h+dh, y aqu precisamente, comienza la prxima iteracin.

Al interrumpir este paso calcular el semivariograma con los pares que cumplieron lascondiciones a, b y c, as obtenemos un valor de g (h) correspondiente al incremento hactual.
http://www.monografias.com/trabajos14/dinamica-grupos/dinamica-grupos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/dinamica-grupos/dinamica-grupos.shtml


13/19

7.- Incrementar la distancia h en su propio valor, es decir, h ser el prximo mltiplo del hinicial. Si el nuevo valor de h no supera el valor de L. Regresar al paso (6) de lo contrariocontinuar el siguiente paso.

8.- Al finalizar el paso (7) debemos tener para cada valor transitado por h un valor calculado deg (h), los cuales sern representados en un grfico X-Y donde en la abscisa representan los

valores de h y en la ordenada los de g (h). Obteniendo as el semivariograma experimental oemprico para una direccin, incremento y tolerancias definidas.

Construccin del semivariograma en tres dimensiones 3D

Para la construccin del semivariograma 3D es necesario incorporar a la direccin del clculoun nuevo ngulo b que permita fijar unido al ngulo a una direccin en el espaciotridimensional. El ngulo b debe variar entre -90o y 90o, teniendo en cuenta que los valoresextremos coinciden con la direccin vertical y son independientes de la direccin del ngulo a

La construccin del semivariograma 3D es similar al 2D con cambios en dos de sus pasospresentados anteriormente:

1.- En el paso 2: el clculo de la distancia se sustituye por:

Almacenar para cada i adems: Otro ngulo b que fija junto al ngulo a la direccin de larecta que pasa por los dos puntos del par en tres dimensiones.

2.- En el paso 6 punto b, la direccin que contiene a los dos puntos del par debe estar incluidaen el ngulo slido formado por la direccin del clculo del semivariograma y la tolerancia da ,con centro en el primer punto del par.

En el caso del clculo del semivariograma en tres dimensiones, an cuando tericamentepueden ser calculados, en la prctica nos encontramos una direccin que juega un rol diferentea la del resto (Armstrong y Carignan, 1997). En el caso minero las variaciones a travs de losestratos es diferente a su comportamiento a lo largo de un estrato, esto unido a la forma en quese realiza la exploracin, varios pozos distanciados decenas de metros y cada uno contiene unconjunto de muestras mineralizadas con una longitud del orden de 1 m. Es recomendableentonces analizar est direccin por separado y desarrollar un anlisis de variabilidad espacialen la direccin vertical, es decir, perpendicular a la estructura geolgica y otro anlisis en ladireccin horizontal, a lo largo de la estructura geolgica, utilizando en este caso compsitos dela zona de inters, realizando adems, un anlisis de anisotropa. Elementos que permitirndescribir la variabilidad en tres dimensiones.

1. Problemas ms comunes encontrados en el clculo desemivariograma

De lo expresado hasta aqu, adems de lo planteado en muchos textos de geoestadstica, sepuede obtener la impresin de que es fcil el clculo del semivariograma experimental(Armstrong y Carignan, 1997). La fuente de problemas que se pueden presentar en larealizacin del un anlisis estructural es muy variada, lo que est en correspondencia con lavariedad de casos que se presentan en la naturaleza. Algunos de los problemas ms comunesdiscutidos en Armstrong y Carignan (1997) son:

El valor idneo del incremento h: Una inadecuada seleccin de h puede proporcionar unsemivariograma errtico, aunque no se puede dar un criterio exacto o aproximado sobre cual el

mejor valor de h, es recomendable recalcular g (h) para distintos valores de h, hasta encontraruna forma suavizada del mismo.
http://www.monografias.com/trabajos5/selpe/selpe.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/selpe/selpe.shtml


14/19


15/19

una lnea paralela a la abscisa y que se ajuste a los puntos de mayor valor del semivariogramay su valor se lee en la interseccin de esta lnea con la ordenada.

El Alcance (Range): La distancia h para la cual las variables Z(x) y Z(x+h) son independientes,se denomina alcance y se representa por (a), es decir, las distancias para la cual los valores dela variable dejan de estar correlacionados, o lo que es lo mismo, la distancia para la cual el

semivariograma alcanza su meseta.

El alcance siempre tiene valor positivo y puede ser obtenido a partir de la interseccin de laslneas descritas en los puntos anteriores, ese punto ledo en la abscisa es una fraccin delpropio alcance, fraccin que se detallara posteriormente en la explicacin de los modelostericos

Modelos tericos de semivariogramas

Los modelos tericos de semivariogramas admisible o autorizados ms utilizados en la prcticase presentan en Journel y Huijbregts (1978) en los que coinciden Krajewski y Gibbs (1993),Deutsch y Journel (1998), Bacchi y Kottegoda (1995), Wackernagel (1995), Armstrong y

Carignan (1997), Myers (1991c), Kiyono y Suzuki (1996). Atendiendo a las dos caractersticasms importantes en el modelado de semivariogramas que son segn Journel y Huijbregts(1978): 1.- Su comportamiento en el origen, el cual puede ser linear, parablico y con Efecto dePepita y 2.- La presencia o ausencia de meseta. Estos modelos son:

Efecto de Pepita: Corresponde a un fenmeno puramente aleatorio (ruido blanco), sincorrelacin entre las muestras, cualquiera sea la distancia que las separe, (figura 9), donde Crepresenta el valor de la meseta.

g (h) = 0 h = 0

= C | h | > 0

Modelo Esfrico: Este modelo es probablemente el ms utilizado, es una expresin polinomialsimple, en su forma representada en la figura 10, se puede observar un crecimiento casi linealy despus a cierta distancia finita del origen se alcanza una estabilizacin, la meseta. Latangente en el origen encuentra a la meseta en el punto de abscisa (2/3)a, donde a representael valor del alcance.

g (h) = C [ (3/2)(h/a) - (h/a)3 ]h a

C h > a

Modelo Exponencial: Este modelo a diferencia del esfrico crece inicialmente ms rpido ydespus se estabiliza de forma asinttica (figura 11). Como la meseta no se alcanza a unadistancia finita, se usa con fines prcticos el "alcance efectivo" o "alcance prctico" a, valor quese obtiene en el punto de abscisa para el cual el modelo obtiene el 95% de la meseta, con unvalor a=3a, donde a es el parmetro de escala. La tangente en el origen encuentra a la mesetaen el punto a=(1/3)a.

g (h) = C [1 - Exp(-|h|/a)] |h| > 0

Modelo Gaussiano: Este es un modelo extremadamente continuo (figura 12), inicialmentepresenta un comportamiento parablico en el origen, despus al igual que en el modeloExponencial se alcanza la meseta de forma asinttica. El alcance prctico tiene un valor de a=1.73a, que es el valor de la abscisa donde se alcanza el 95% de la meseta.

g (h)= C [ 1 - Exp(-|h|2/a2)] |h| > 0


16/19

Modelo con funcin potencia: Este es un modelo sin meseta, su forma se representa en lafigura 13, para valores de a correspondientes a 0.5, 1.0 y 1.5.

g (h) = |h|a con a ]0, 2[

Para el valor de a =1 en el modelo anterior se obtiene el modelo Lineal, al cual no tiene ni

meseta ni alcance. Ahora por efectos prcticos, sin embargo, muchos programas informticosdenotan la pendiente del modelo lineal con la relacin C/a (figura 14).

g (h) = (C/a) |h|

Se han presentado los modelos ms usados en la prctica, aunque se debe sealar, existenotros modelos que son ampliamente descritos en el manual de referencias del sistemageoestadstico Isatis.

Estos modelos pueden ser ajustados individualmente, aunque es posible encontrar en laprctica aplicaciones donde a los semivariogramas experimentales se les debe ajustar ms deun modelo terico, es decir, a travs de superposicin, nombrndose estructuras imbricadas

(Krajewski y Gibbs, 1993; Journel y Huijbregts, 1978; David, 1977).

La seleccin del modelo y los parmetros apropiados a las caractersticas del semivariogramaemprico, para ser usados en la interpolacin geoestadstica que veremos posteriormente es elpunto ms importante en el proceso planteando (Arik, 1990), adems, esta seleccin esfundamental en el caso particular de la minera donde se presentan yacimientos: conirregularidad en la densidad de barrenos; sin una adecuada perforacin; con alta asimetra enla distribucin o que carecen de un modelado geolgico propio. Al respecto se refieren muchosautores sobre el efecto negativo que puede tener en la estimacin el uso del krigeaje sin unestudio de estructura espacial y la seleccin adecuada del modelo de semivariograma y susparmetros.

Validacin del modelo terico

Como el ajuste de los modelos tericos al semivariograma experimental, se realiza de formavisual o interactiva, variando los valores Co (efecto de pepita), C + Co (meseta) y a (alcance),hasta coincidir con los parmetros que mejor se ajustan, es conveniente validar el modeloseleccionado y los parmetros meseta y alcance escogidos. Al respecto se discute la validacincruzada en Journel y Huijbregts (1978), Armstrong y Carignan (1997), Bacchi y Kottegoda(1995), Myers (1991b), Deutsch y Journel (1998), Xie y Myers (1995b), Kiyono y Suzuki (1996),Host (1995), Lajaunie (1997), Madani (1998), Carr (1994).

El mtodo de validacin cruzada ha sido ampliamente utilizado para evaluar el grado debondad de un modelo de semivariograma y reconocido como un mtodo ptimo de estimacinde sus parmetros. La operacin de validar un semivariograma terico ajustado a uno

experimental siempre toma mucho tiempo, ste se considera como el ltimo de los pasosimportantes del anlisis de variabilidad, debido a que una vez obtenido este resultado serutilizado en la estimacin por krigeaje en cualquiera de sus variantes.

Validacin cruzada

Sea Z(x) una funcin aleatoria estacionaria con semivariograma g (h), su funcin de covarianzaC(h) viene dada por C(h) = s 2 - g (h) donde s 2 es la varianza de Z(x). Sea Zx1, Zx2,...,Zxn losvalores de Z(x) en n puntos medidos. La validacin cruzada consiste en suprimir el i-simovalor medido Z(xi) y estimarlo a partir del resto de los datos. El valor estimado Z*(xi) se calculapor krigeaje, procedimiento explicado ms adelante.

Si se repite este proceso para los N puntos, se pueden calcular n errores de validacin:

E(xi) = Z*(xi)- Z(xi)i = 1, 2, . . . , N.
http://www.monografias.com/trabajos14/trmnpot/trmnpot.shtmlhttp://www.monografias.com/Computacion/Programacion/http://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/todorov/todorov.shtml#INTROhttp://www.monografias.com/trabajos5/estat/estat.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/meti/meti.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/trmnpot/trmnpot.shtmlhttp://www.monografias.com/Computacion/Programacion/http://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/todorov/todorov.shtml#INTROhttp://www.monografias.com/trabajos5/estat/estat.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/meti/meti.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtml


17/19

As se van probando diferentes valores de los parmetros del semivariograma hasta que loserrores de validacin cumplen los siguientes criterios estadsticos: (Journel y Huijbregts, 1978;David, 1977; Armstrong y Carignan, 1997).

1. El error medio, dado por T1 = (1/n) i=1,n [Z(xi) - Z*(xi)], debe ser aproximadamente iguala cero.

2. El error medio cuadrado, dado por T2 = (1/n) i=1,n [Z(xi) - Z*(xi)]2, debe ser pequeo.3. La medida, T3 = (1/n) i=1,n { [Z(xi) - Z*(xi)]/s } 2, debe ser igual a uno.4. La medida, T4 = Corr{ [Z(xi) - Z*(xi)]/s , Z*(xi)} , debe ser cero.5. La medida, T5 = Corr{ Z(xi), Z*(xi)} , debe ser uno.

Otros autores slo plantean que las medidas fundamentales son la indicada por T1 y T3,(Lamorey y Jacobsom, 1995; Bacchi y Kottegoda, 1995).

Ajuste automtico

El ajuste de modelos de semivariogramas se puede realizar tambin de forma automtica. Esta

ha sido presentada por varios autores, en la que se sugieren una forma particular de aplicar elmtodo de los mnimos cuadrados y as obtener el modelo y sus parmetros, teniendo encuenta que el modelo obtenido sea definido positivo, como ya se ha indicado. La efectividad deestos se describe y argumenta en Gotway (1991) y Zhang (1995). Una comparacingeneralizadora se presenta en Zimmerman y Zimmerman (1991) donde se comparan variosmtodos para estimar los parmetros del semivariograma entre visuales y automticos.

Ahora, el ajuste realizado de forma automtica no tiene porque reportar mejores resultados enel proceso de estimacin, recomendndose en Journel y Huijbregts (1978) y Lantujoul (1997)y otros validar el modelo seleccionado de acuerdo al estimador a utilizar. Un criterio decisivo,independiente de la forma utilizada en la eleccin del modelo terico y sus parmetros, es silugar a dudas, emplear el mtodo de la validacin cruzada con el estimador a utilizar en elproceso de estimacin, discutido anteriormente.

Anlisis de anisotropa

Conviene aqu realizar un anlisis sobre el comportamiento de la variabilidad del atributo enestudio. Se conoce que el semivariograma describe las caractersticas de continuidad espacialde la variable regionalizada en una direccin, pero este comportamiento pueden variar segn ladireccin que se analice, como se discute en Journel y Huijbregts (1978), David (1977),Zimmerman (1993), Krajewski y Gibbs (1993). Se exige por este motivo un anlisis delcomportamiento de la continuidad en distintas direcciones, el Anlisis de Anisotropa.

Cuando el semivariograma calculado en diferentes direcciones (norte-sur, este-oeste, y endirecciones intermedias de 45 o de 22.5, con tolerancia de 22.5o), muestra similar

comportamiento, se dice que el fenmeno es Isotrpico, cuando muestran diferentescomportamientos es Anisotrpico (Krajewski y Gibbs, 1993). Los tipos de anisotropas mscomunes son la Geomtrica y la Zonal. (Krajewski y Gibbs, 1993; Journel y Huijbregts, 1978;Armstrong y Carignan, 1997)

Anisotropa Geomtrica: Est presente cuando los semivariogramas en diferentes direccionestiene la misma meseta pero distintos alcance (figura 15).

Anisotropa Zonal: Est presente cuando los semivariogramas en diferentes direcciones tienediferentes mesetas y alcances (figura 16).

Al respecto en (Zimmerman, 1993), se hace un estudio profundo de los tipos de anisotropa,proponiendo una nueva terminologa. En estos casos conviene realizar transformaciones decoordenadas con el objetivo de obtener modelos Isotrpicos (Journel y Huijbregts, 1978; Chica,1987; Armstrong y Carignan, 1997).


18/19


19/19

elementos de la geoestadistica

Documents