POUL ERIK PETERSEN

IElektricitet ogmagnetisme

5. UDGAVE 2006 BOGFONDENS FORLAG AIS

Elektricitet og magnetisme

ELEKTROTEKNIK I

Elektricitet og magnetisme5. udgave

POUL ERIK PETERSEN

KØBENHAVN

BOGFONDENS FORLAG NS2006

Lærebogsserjen “Elektroteknik.~ omfatter fig. bind:

Poul Erik PetersenPoul Erik PetersenPoul Erik PetersenPoul Erik Petersen:Carsten Dahl PetersenNiels Windel Kringelumog Carsten Dahl Petersen

Niels øllgaardPoul Erik Petersen

1. Elektricitet og magnetisme2. Elektriske målinger3. Elektriske maskiner4. Lys og varme5. Forsynings~et og transformerstationer

6. El-tekniske beregningerKortslutninger, fasekompenseringspændingsfald og selektivitet

7. Elektriske installationer8. El_installationsmateriel

Desuden foreligger i tilknytning til serien:

Poul Erik Petersenog Niels W.Kringefum:

Elektrote~ik Opgavesamling

ISBN 87-7463.003.25. udgave, 2. oplag 2008Copyright Poul Erik Petersen 1986Omslag: LM’deszgnTryk: lierrmann & FischerAnnoncer Scanpublisher AIS. Tlf 39 90 80 00

Fotografisk mekanisk, datateknisk eller anden gengjvels~ af denne bogeller dele heraf er ikke tilladt ifølge gældende dansk lov om ophav~r~~

Forlag og forhandling:Maskinmesterskolens Boghandel Bogfondens forlag AIS,Akademivej bygning 358, 2800 Lyngby.Tlf.39293o26 Fax39293091e-mail:~WWw.maskinmesterskolensbhdldk

Forordtil 5. udgave

Lærebogsserien “Elektroteknik” er udarbejdet med henblik på undervisningen i stærkstrømstekniske emner ved videregående tekniskeuddannelser.

Det er hensigten med bind i at give en indføring i den grundlæggende elektricitets- og magnetismelære samt gennemgå de beregningsmetoder, der vil blive anvendt i de øvrige bind.

Bogen forudsætter viden om fysik og matematik svarende til bl.a.Maskinmester- og Elinstallatøruddannelsernes pensum. Desuden forudsætter kapitlet om elektrokemi kendskab til kemiens grundbegreber.

I forhold til 4. udgave er der foretaget nogle få tilføjelser og rettelser iteksten, bl.a. er elektriske og magnetiske felters energiindholdomtalt. Dette har medført nogle mindre tilføjelser i inddeling ognummerering af nogle få kapitler. Kapitel og afsnitsnumre er iøvrigtikke ændret, men tilføjelserne har medført en mindre forskydning isidetallene.

Nogle af ændringerne skyldes ønsker fra undervisere og studerende, der anvender bogen. Disse kommentarer vil jeg gerne takkefor.

Hillerød, marts 2006Poul Erik Petersen

I Ii Ifl II

I ~ ___ - ___ —

Ill

i I

I ___

Drriflafrnpumpiuerb.

Forklaring afpricippet i 3-faset vekselstrøm “drejestrøm” ved ethydraulisk “Drei-phasenpumpwerk’:

Illustration fra Arthur Wilke: ‘Ole Elektricität, ihre Erzeugung undAnwendung in lndustrie und Gewerbe’~ Leipzig 1899.

Der er fortaget en enkelt tilføjelse på figuren.

• —I

• I I

-I

.. I.

I — — _;• —

• — i;. •_

_;•;__ • .,~

—I

—I

•Ii

• I

—I.

as~au~ajiojsp~OiipUI

— ——I

• —

• I

.1 .•

— —• .1

•I •I

—I •

• --I

-I

• I

•• I

—I

— —I I I —

_.

.1 • •

• • I

•~ I.

—I — — —

• • I

••

I -4• II

• — — — — e

•• I. • e e —

• •.

• •. •: •• — — —

— • • .— — I. I.

—

— e — — • • .. .. .•— — .. •. . — • .• . •a

116117119

—I —I

• - - 123• ;- - - 123

• • •- - - - •: -“ 125•, I~•’ • I - 126-I- 128- I I •~ - - •: • 129• I I •~ - - •: ••‘ 130-II.- - - I 132--I- 133

- I~I-• - •I• I I I- 137I. - 137

— 139

145145147148

I-- I I~ 152- •I• -- - - I I I 152

-. I 153I, I 155

- 157- I-I 157

-- I, 159•1 161

I- - 161• - - I 163

• 164- I 166

170170171

I 171- I 174

- 176I -• : 176

-I- -- - 178

179183

• • i i i ii. 186i . 186

• - i i.- 187

—i .

• - - 189• -. 189

• i- - 191193

• i — — — i i — —i 194195

-: i. •-- • 197197

• • • —: - — .. i. —— 199

--i- 205i - 205- - •- • -. 206

-i- • - 208• - 210

• - • 211•- - i i • 212

i’ i 214- i 215

215217218

• -. - 219• 221

221228

-. • ii- 229• • - 230

232234236

- 237238

240241243

1. Det fysiske grundlag

1.1 Stof

Som indledning til de efterfølgende afsnit gennemgas kort det fysiskegrundlag for stoffers magnetiske og elektriske egenskaber.

1.1.1 Stoffernes opbygningAlt forekommende stof kan inddeles således:

rAlt stof ~

I kemiskerene stoffer forbindelser r metaller

grundstoffer ~ metalloider1. ikke-metaller

Alle stoffer er opbygget af molekyler, som kan besta af et eller flereatomer. I et rent stof er alle molekyler ens, mens der i blandingerforekommer forskellige molekyler.

I kemiske forbindelser er hvert molekyle sammensat af forskelligeatomer, i grundstoffer indeholder molekylet udelukkende ens atomer.Der kendes i dag noget over hundrede grundstoffer. Alt stof er opbygget af disse få grundstoffer.

Følgende simple eksempel kan tjene som forklaring:Stofferne chlor og natrium er begge grundstoffer, og bestar derfor

hver for sig udelukkende af hhv. chlor-molekyler og natriumatomer.Chlor er en gasart, og dets atomer forbinder sig til molekyler, hvermed to atomer. Disse to grundstoffer chlor og natrium kan reageremed hinanden og danne den kemiske forbindelse natriumchlorid.

Dette stof, som er almindeligt køkkensalt, indeholder kun natriumchlorid.molekyler, og er altsa et rent stof. På lignende måde dannesvand som en kemisk forbindelse af de to gasformige grundstoffer ilt

11

(oxygen, 0) og brint (hydrogen, H).Tilsætter man nu saltet til vandet dannes en saltopløsning. Denne

opløsning er en blanding.Atomet kan altså betragtes som en mindste stofenhed, hvoraf alle

stoffer er opbygget. Imidlertid er også selve atomet deleligt, idet deter sammensat af de sakaldte elementarpartikler.

1.1.2 ElementarpartiklerDer kendes i dag mange elementarpartikler, men som grundlag forden almindelige elektroteknik er det tilstrækkeligt at betragte densimple atommodel, hvor der regnes med at atomet bestar af:

— Kernen, der indeholder et antal kernepartikler (nukleuner),protoner og neutroner.Elektroner, der er negativt ladede og befinder sig i kredsbaner(skaller eller orbitaler) omkring kernen.

Elektronens masse er ubetydelig i forhold til en kernepartikelsmasse. Hele atomets masse er derfor samlet i kernen. Summen afkernepartiklernes masse (den samlede masse af protoner og neutronet) kaldes atomets massetal. Hver elektronskal svarer til et bestemtenerginiveau, men der er kun plads til et bestemt antal elektroner ihvert niveau. Når et atoms yderste elektronskal er fyldt ud vil atometvære ikke være i stand til udveksle elektroner med andre atomer ogderved danne kemiske forbindelser. Overskydende elektroner i denyderste skal kaldes valenselektroner. Valenselektronerne bestemmeratomets elektriske egenskaber og dets evne til at danne kemiskeforbindelser.

Hvert grundstof betegnes med et stort bogstav eller med et stortbogstav efterfulgt af et lille:

Brint (hydrogen) Hnatrium Nakulstof (carbon) Ckobber (cuprum) Cujern (ferrum) Fe

Antallet af protoner bestemmer stoffets egenskaber, altså hvilketstof, der er tale om. Dette tal kaldes stoffets atomnummer. I detperiodiske system*) ordnes alle grundstofferne efter atomnummer.

*) se for eks. E.Rancke Madsen: Lærebog i kemi for maskinmestre.

12

Metallet aluminium, Al er et grundstof med tretten protoner i kernenog har derfor nummer 13 i det periodiske system.

Grundstofferne helium, neon, argon, krypton, xenon og radon ergasarter med “mættet” yderste elektronskal og indgår derfor ikke ikemiske forbindelser. Disse stoffer kaldes ædelgasser eller inaktiveluftarter.

Fig. 1.1.la. Brintatom (H) Fig. 1.1.lb. Lithiumatom (Li)Atomnr. I Atomnr. 3Massetal I Masseta! 7

1.1.3 LadningsbærereElektroner og protoner besidder elektrisk ladning, mens neutroner eruladede. Protonens og elektronens ladning er lige store, men af modsat art, hvilket viser sig ved at to elektroner gensidigt frastødes,mens en elektron og en proton tiltrækker hinanden. Protonens ladning betegnes positv og elektronens negativ.

Når atomet er i neutral eller uladet tilstand, er der lige sa mangeelektroner omkring atomkernen, som der er protoner i kernen. Deresladninger vil derfor ophæve hinanden, sa atomet udadtil virker somuden elektrisk ladning.

Hvis et atom tilføres eller mister en eller flere elektroner, får atometoverskud hhv, underskud af negativ ladning. Et atom eller et molekyle, der har mistet en eller flere elektroner, betegnes en positiv ion,mens et atom eller molekyle med overskud af elektroner kaldes ennegativ ion.

Det er disse ladede partikler, ionerne, der sammen med elektronerne udgør den elektriske strøm i strømførende væsker og gasser,idet de kan bringes til bevægelse under påvirkning af et elektrisk felt.Elektroner og ioner kaldes ladningsbærere.

13

1.1.4 IsotoperDet er som nævnt antallet af positive kernepartikler, protoner, derbestemmer, hvilket stof der er tale om. Mens antallet af protoner saledes altid er det samme for et bestemt grundstof, kan antallet afneutroner variere. Disse varianter af samme grundstof med forskelligt massetal kaldes isotoper.

Et kendt eksempel er grundstoffet carbon, C. Carbon, kulstof haratomnummeret 6, og må altså have seks protoner i kernen. I naturenfindes carbon overvejende med seks neutroner. Dette stof har masse-tallet 12 og kaldes kulstof-12. Carbon med syv eller otte neutronerforekommer også i mindre mængder. Disse to isotoper af grundstoffetcarbon betegnes kulstof-13 hhv. kulstof-14.

Isotopen kulstof-14 er radioaktiv, idet den langsomt omdannes tilkulstof.12. Forholdet mellem C-14 og C-12 i et arkæologisk fund kanderfor benyttes til aldersbestemmelse.

1.1.5 Tilstandsformer, temperaturStof kan befinde sig

— pa fast form— på flydende form (væske),— på luftform (gas),— som plasma.

De fleste stoffer kan afhængigt af temperaturen antage alle tre til.standsformer. Når et materiale tilføres energi i form af varme bringesdets molekyler til at svinge kraftigere, idet temperaturen stiger. Forelektrisk ledende materialer forårsager molekylernes forøgede svingninger ofte en nedsættelse af ledeevnen. I nogle materialer ophævesdette helt eller delvist af at temperaturstigningen frigør flere elektroner. En afkøling af et stof nedsætter styrken af molekylernes svingninger, hvilket betegnes at temperaturen falder.

Når svingningerne er bragt helt til ophør, kan temperaturen ikkenedsættes yderligere. Dette punkt ligger ved -273,16 °C og betegnesdet absolutte nulpunkt. Den senere omtalte kelvin-skala for temperatur har sin nulværdi i dette punkt, men samme afstand mellem inddelingerne som celsius-skalaen. Vands frysepunkt er altså ved Ca. 273kelvin og kogepunktet ved Ca. 373 kelvin.

Nogle stoffer mister fuldstændig den elektriske modstand ved temperaturer nær det absolutte nulpunkt. Disse stoffer betegnes super-eller supraledere.

14

En gas, som har en så ekstremt høj temperatur at den er næsten heltioniseret, betegnes en plasma. I denne tilstand bevæger ioner ogelektroner sig helt frit mellem hinanden.

1.2 Ledning af elektrisk strøm

I faste stoffer sker ledning ved bevægelse af frie elektroner fra lederens negative ende mod den positive. D.v.s. at selv om man af historiske årsager regner strømretningen i en ledning fra + mod , bestarstrømmen egentlig af negative ladninger, der bevæger sig i modsatretning.

Metallernes gode ledningsevne skyldes, at deres atomer er ordnet ien gitterstruktur med mange frie elektroner, hvorimod elektrisk isolerende materialer næsten ingen frie elektroner indeholder. Denenkelte elektron bevæger sig med en lav middelhastighed (ca. 3mmls), men virkningen forplanter sig gennem ledningen med enhastighed nær lysets hastighed (næsten 3 los mis).

En væske kan lede elektrisk strøm, hvis den indeholder en elektro-lyt, idet denne dissocieres (adskilles) og danner negative og positiveioner. Under pavirkning af en spænding vil positive ioner vandre moden negativ elektrode, og negative ioner mod en positiv elektrode.

I gasser kan ledning forega ved at der tilføres frie elektroner fra enelektrode. Ved en passende spændingsforskel opnår disse elektronerså megen bevægelsesenergi, at de er i stand til at frigøre flere elektroner ved kollision med gasmolekylerne. Der dannes saledes ved såkaldt stødionisering elektroner og positive ioner, der virker som bærere af den elektriske strøm.

Stof kan altså i alle tilstandsformer være i stand til at lede elektrisk strøm. Ledende gasser og væsker kaldes ionledere.

En nærmere beskrivelse af elektrolytisk strømtransport i væskerfindes i forbindelse med afsnittet om elektrokemi (afsn. 15).

loniserede gassers evne til at lede strøm udnyttes i de sakaldteluminescenslamper, og behandles i Bind 4: “Lys og varme” ved beskrivelsen af disse lyskilder.

2. Måleenheder og grundbegreber

2.1 SI-Enhedssystemet

Af hensyn til samarbejde indenfor handel, videnskab og teknik er detnødvendigt at have et fælles, internationalt målesystem. I dag anvendes næsten overalt ST (“Système International d’Unités”). Dette enhedssystem blev indført i Danmark i 1977, og anvendelsen af det erpåbudt ved lov. Der arbejdes stadig på forbedring af enhedssystemetsdefinitioner. Således er definitionen af den lystekniske grundenhedblevet ændret i 1979. Definitionen af meteren blev grundlæggendeændret i 1960.

Et praktisk målesystem må opbygges med så få basisenheder sommuligt. Af disse afledes så andre enheder, som man af praktiskegrunde må råde over. Enhederne fastlægges ved definition, og defineres således, at man til almindelig brug får nogle praktisk anvendeligetalstørrelser at arbejde med.

Basisenhederne skal fastlægges, så de er uforanderlige og kaneftermåles med meget stor nøjagtighed. Definitionen af en basisenhedkan derfor, som det fremgår af det følgende, være ret kompliceret.Endelig skal det bemærkes, at der af forskellige årsager undertidenanvendes enheder, der ikke er Sl-enheder. Dette bør dog undgås.

Det internationale enhedssystem er baseret på syv grundenheder:

Størrelse Enhed

længde meter mmasse kilogram kgtid sekund selektrisk strøm ampere Atemperatur kelvin Kstofmængde mol mollysstyrke candela ed

Fig. 2.1.1. SI-grundenheder.

16

Disse basisenheder defineres således som det fremgår af det følgende.Definitionens danske formulering er angivet i kursiv; dertil er føjeten kort uddybende bemærkning:

Længde: Enheden for længde er meteren. I meter [m] er defineretsom længden af den strækning, lyset tilbagelægger i vacuum i tiden1/299 792 458 sekund.

Af definitionen ses at man betragter lysets hastighed i det tommerum som en naturkonstant, d.v.s. en fast og uforanderlig størrelse.

Definitionen medfører omvendt, at lyset bevæger sig gennem vacuum med hastigheden 299 792 458 meter pr. sekund.

Masse: Enheden for masse er kilogram [kg]. I kilogram er massenaf den internationale prototype på kilogramloddet, som opbevares iParis.

Denne enhed er altsa baseret på sammenligning med en enkeltoriginal prototype, som er fremstillet af platin-iridium. Man har derfor fremstillet kopier, sekundære prototyper, til de enkelte lande, deranvender Sl. Der arbejdes internationalt pa at erstatte definitionenaf masseenheden med en definition, som ikke er afhængig af sammenligning med en prototype, men som i teorien kan eftergøres overalt og altid.

Tid: Enheden for tid er sekund. 1 sekund [s] er 9 192 631 770 gangeperioden afstrålingen ved overgangen mellem de to niveauer afhyperfinstrukturen i cæsium133 i grundtilstanden.

Den grundlæggende tidsenhed er nu defineret ved hjælp af sving.ningstallet af strålingen fra et atom under nærmere fastlagte forhold,idet dette tal, i modsætning til basis for tidligere anvendte definitioner er konstant. Antallet af perioder er valgt således, at varighedenaf 1 s svarer så nøjagtigt som muligt til den tidligere definition.

Elektrisk strøinstyrke: Enheden for elektrisk strømstyrke erampere [Af En ampere er defineret som strømstyrken af en konstantelektrisk strøm, der — når den løber i to parallelle, uendeligt lange ledere med forsvindende lille cirkulært tværsnit, som har en indbyrdesafstand på I meter og er anbragt i det tomme rum bevirker, at denene leder påvirker den anden med kraften 2 10 ~ newton for hvermeter.

Enheden for elektrisk strømstyrke er altsa defineret ved hjælp afto andre ST-enheder, længdeenheden meter og kraftenheden newton,N. Dette er muligt, da kraftenheden N er fastlagt på basis af grundenhederne m, kg og s.

17

Temperatur: Temperatur måles i kelvin. I kelvin 1K] er en273,16’ende del af den termodynamiske temperatur af vands tripelpunkt.Vands tripelpunkt er den temperatur, hvor der er ligevægt mellemvandets tre tilstandsformer, is, vand og vanddamp. Dette punkt, somer vands frysepunkt (nær 0 °C), ligger dermed ved omtrent 273 K.

Kelvinskalaen er valgt således at temperaturforskellen 1 °C er lig iK, men en temperaturangivelse i °C bliver Ca. 273 højere ved omregning til K.

Bemærk at betegnelsen grader ikke anvendes i kelvin-angivelser.Altså 10 °C (grader celsius), men 283 K (kelvin).

Stofmængde: Stofmængde måles i mol. I mol [mol] er den stofmængde i et system af given sammensætning, der består af lige såmange partikler som 0,012 kg af grundstoffet kulstof 12 (12C).

Denne definition anvendes fortrinsvist i kemien til angivelse af enmængde -et antal- af atomer, elektroner, ioner mm.

12 g ‘2C indeholder 6 1023 kernepartikler (omtrentligt).

Lysstyrke: Lysstyrke måles i candela [ccl]. i candela er lysstyrken ien given retning af en lyskilde, som udsender monokromatisk lys medfrekvensen 540.1012 hertz, og hvis strålingsstyrke i denne retning er1/683 wattpr. steradian.

Denne definition fra 1979 er udformet således, at den knyttes til deøvrige grundenheder, idet den er baseret pa den effekt i watt, derudstråles indenfor en defineret rumvinkel, af en lyskilde, hvisfrekvens svarer til det menneskelige øjes maksimale følsomhed.

Til de nævnte grundenheder kommer to supplerende enheder, somdefinerer enhederne radian og steradian for hhv. plane vinkler ogrumvinkler:

Vinkel: Plane vinkler måles i radianer. i radian (rad) er defineretsom den plane vinkel, som af en cirkel med centrum i vinklens top-punkt udskærer en buelængde lig cirklens radius.

Rumvinkel: Rumlige vinkler males i steradianer. i steradian (sr)defineres som den rumvinkel, der af en kugleflade med centrum irumvinklens toppunkt udskærer et areal lig arealet af et plant kvadrat, hvis side er lig kuglens radius.

Til disse vinkelenheder skal tilføjes:Maleenheden for plane vinkler grad (°) n/180 [rad] kan anvendessammen med Sl enhederne. I elektroteknikken bliver både ° og rad

18

anvendt. Enheden for rumvinkel er nærmere beskrevet i bind 4: “Lysog varme”.Som nævnt kan der af basisenhederne afledes sekundære enheder idet omfang, der er behov for det. Nogle enheder som tidsenhedernedag, time og minut accepteres på grund af deres alder og udbredelse.Det samme gælder enhederne ton og liter.Desuden accepteres visse enheder til brug indenfor specielle fagomrader. Eksempler herpå er sømil, knob og hektar.

I tabellen herunder er vist de afledede ST-enheder, der vil blive anvendt i de følgende afsnit.

Størrelse Enhed Definition

frekvens hertz Hz i Hz =

kraft newton N i N = i kg ~mIs2

tryk pascal Pa i Pa = i Nim2arbejde, energi,

varmemængde joule i J = i N ti

effekt watt W lWlJIs

reaktiv effekt vartilsyneladende effekt VA

elektrisk ladning coulomb C i C = i A selektromotorisk kraft,

elektrisk spænding volt V i V = i WIA

kapacitans farad F i F = i A sIVresistans, modstand ohm 0 i 0 = i VIA

konduktans siemens 5 i 5 = i ≤T’

magnetisk flux weber Wb i Wb = i V ~smagnetisk induktion,

fluxtæthed tesla T i T = i Wb/m2

induktans henry H i H = i V sIA

Fig. 2.1.2. Afledede Sl-enheder.

Bemærk at måleenhedernes navne enten skrives fuldt ud med lillebegyndelsesbogstav eller forkortet med stort begyndelsesbogstav oguden forkortelsespunktum.

19

Andre forkortelser, som f.eks. amp. i stedet for ampere, må ikke benyttes.

I stedet for skrivemåden lis kan skrives s i betydningen per sekund. På samme måde kan brøker i andre enhedsangivelser undgåsved anvendelse af potenser med negativt fortegn.

De maleenheder og forkortelser, der er nævnt i foranstående skema, vil blive forklaret i de afsnit, hvori de tilhørende elektriske ellermagnetiske begreber omtales.

2.2 Eksponentiel notation

Ved angivelse af eller regning med meget store eller meget sma tal-størrelser er det praktisk at anvende potenser af tallet 10:

eks.: 0,0005 Wb = 5 lO~ Wb = 0,5 l0~ Wb3000000 m = 3 . 10~ m.

Potenser bør være delelige med 3, d.v.s. der anvendes fortrinsvist l0~,106, l0~ o.s.v.

I skemaet herunder vises nogle potenser af 10 og de tilhørende præfixer, skrevet fuldt ud og forkortet:

1015 peta P1012 tera Tio~ giga G106 mega Mio~ kilo k102 hekto h101 deka da10-’ deci d10—2 centi ciO~ milli10—6 mieroiO~10-12 pico p

femto f

Fig. 2.2.1. Præfixer.

Eksempler på anvendelse af præfixer:

l0~ F = 1 nF = 1000 10—12 F = 1000 pF.1 km = io~ m = 106 mm1 GWh = io~ Wh = io~ 106 Wh = 1000 MWh

Det tilstræbes almindeligvis at anvende præfixer således, at talletforan får en værdi mellem 0,1 og 1000.Altså: 0,0025 10~ omskrives til enten 0,25 10 6 eller 250 10 ~.

Multiplikation og division af potenser af 10 foretages således:

ba . = 10a+b

ba= ba . py—b = 10a—b

Ved addition eller subtraktion ma tallene først omskrives, så de alle,som vist i flg. eksempel, indeholder samme potens af 10:

15,0 10 3+800 -10 ~ O,0004015,0 -10 ~+8,0 io~ 0,4010 ~—22,610~

2.3 Definition af elektriske basisenheder

Tre af de vigtigste elektriske måleenheder defineres således (foroversigtens skyld gentages her definitionen af basismaleenheden forstrømstyrke):

Elektrisk strøm:En ampere er defineret som strømstyrken af en konstant elektriskstrøm, der når den løber i to parallelle, uendeligt lange ledere medforsvindende lille cirkulært tværsnit, som har en indbyrdes afstand påi meter og er anbragt i det tomme rum bevirker, at den ene lederpåvirker den anden med kraften 2 10 7newton for hver meter.

Enheden for elektrisk strøm er baseret pa en gensidig kraftpåvirkning mellem strømførende ledere (se også afsn. 5.10). I definitionenindgår derfor kun de to grundlæggende enheder m og N.

Elektrisk spænding:En volt er defineret som spændingen over en leder, hvori der afsættesen effekt på I watt, når lederen gennemløbes af strømmen 1 ampere.

Definition af enheden for spænding kan ske ved hjælp af enhedenwatt, idet 1 W 1 J/s 1 N -iris (se afsn. 3.4).

21

Elektrisk modstand (resistans):En ohm er resistansen af en leder, hvis endepunkter har spcendingsforskellen i volt, når den gennemløbes af strømmen i ampere.

Denne definition er en omskrivning af Ohm’s lov, som bestemmerstrømstyrken som forholdet mellem spændingen over en leder ogdenne leders resistans:

U volt1= ~ [ampere ~

2.4 Specifik modstandFor en kobberleder med længde I = 1 m og tværsnitsarealet 8 = 1 m~er modstanden ca. 17,5 10 ~ 0 ved stuetemperatur (20 °C).

Dette er den specifikke modstand eller resistans 0Cu for materialetkobber med måleenheden [0 m2/mJ = [0 mj. Idet der anvendesgrundenheder er den specifikke resistans af et materiale bestemt somresistansen af en leder af det pågældende materiale med dimensionerne i = i m og 2= i m~.

Den specifikke modstand er temperaturafhængig, og angives itabeller almindeligvis ved 15 °C (eller undertiden ved 0° eller 20 °C).

Den specifikke resistans benævnes også resistiviteten. En vilkårligleders resistans er afhængig af materialets resistivitet Q, af lederenslængde I og af dens tværsnit 8:

R= [Oj.

Som det ses vokser resistansen proportionalt med lederens længde ogmindskes proportionalt med dens tværsnit.

For praktisk forekommende ledninger kan det forekomme besværligtat regne med tværsnitsareal i kvadratmeter. Tabeller angiver derforofte den specifikke resistans baseret på en leder med længden i = 1 mog tværsnittet 2 = 1 kvadratmiiiimeter. Da tallet, der indsættes for 8,derved bliver 106 gange større, skal Q være tilsvarende større.

For eksempel får kobbers resistivitet 0Cu den omtrentlige værdi0,0175 med måleenheden [0 ~mm2Inij.

Resistiviteten af praktisk ledningskobber varierer og afhænger afhårdhed og tilsatsmaterialer. JEC angiver som standardværdi 17,241

* I denne bog anvendes 8 for ledertværsnitsareal, og A for alle andre arealer.

22

[Cl -mm2lkm] for udgiødet kobber til kabeifremstilling (se iøvrigt bog8, El-installationsmateriel).I tabellen bilag E er resistiviteten angivet for en række materialer.

2.5 LedningsevneDen reciprokke værdi af resistiviteten Q for et materiale kaldes materialets specifikke ledningsevne eller konduktivitet y.

y = hp er altsa ledningsevnen af en leder med længden i = i meterog tværsnitsarealet 8 = i m2 (Ligesom ved resistivitet kan tabellerover materialers konduktivitet dog også være baseret på arealet 8 = imm2).

Ledningsevnen betegnes også konduktansen og har symbolet G.For en vilkårlig leder er den reciprokke værdi af lederens modstand:

Q_i_± [~-ç~1RU ~V

Ledningsevnen af en leder med længde i m og tværsnit 8 m2 kan beregnes af

8G=y7

Måleenheden for 0, der som vist er ampere pr. volt = Cl ~, har fået siteget navn Siemens, S.

Ved omskrivning af ovenstaende udtryk til

i

ses, at enheden for konduktivitet er siemens m/m2, hvilket kan forkortes til S/m.

Begrebet ledningsevne eller konduktans benyttes bl. a. ved bestemmelse af vands indhold af f. eks. salte.

På grund af disse opløsningers meget store resistans opgives konduktiviteten i tabeller ofte med måleenheden j.tS cm/cm2 eller i forkortet form uS/cm.

2.6 Resistansers temperaturafhængighedLedningsmaterialers elektriske modstand ændrer sig med temperaturen. I almindelighed forøges metallers modstand, når temperaturenstiger. Størrelsen af denne temperaturafhængighed angives vedmaterialets modstandstemperaturkoefficient a.

23

Hvis en modstand ved temperaturen 20 °C har størrelsen R20, kandens modstand RT ved temperaturen T °C findes af

RT = + a (T 20),

hvor a er materialets modstandstemperaturkoefficient ved 20 °C.Tabelværdien a kan opfattes som den forøgelse målt i (2, som enmodstand på i (2 af det pågældende materiale opnår ved en temperaturstigning på i K.

For kobber er ac~ = 0,004 00_i. I tabellen i bilag E bagest i bogener angivet omtrentlige værdier af a for en række almindeligt anvendte ledningsmaterialer.

Omformes ovenstående ligning til

AT=T-20= RT—R20a

ses at temperaturændringen i modstanden kan beregnes, når modstanden før og efter temperaturstigningen, samt materialets a værdikendes.

Modstandstemperaturkoefficienten a er ogsa i sig selv en temperaturafbængig størrelse, men til beregninger, hvor der ikke kræves stornøjagtighed, kan ovenstående formler anvendes indenfor de temperaturintervaller, der normalt forekommer i elektriske komponenter.Tabelværdier af a er oftest angivet ved 20°C, og kan anvendes vedtemperaturændringer på op til Ca. 150°C fra 20°. Ved større ændringer kan den ovenstående formel ikke bruges direkte, men må justeresfor ændring i ti-værdien.

Anvendelsen af formlerne er vist i eksemplerne 2.6 — 2.10 sidst iafsnit 2.

Glødetråden i en kultrådslampe har større modstand ved stuetemperatur end i varm tilstand. Dette indebærer, at temperaturkoefficienten ti for kultråd må have negativt fortegn.

Konstantan, der er en Cu-Ni-Mn legering, har en meget lav modstandstemperaturkoefficient. Konstantans resistans ændrer sigmeget lidt selv ved store temperaturændringer. Det er derfor velegnettil f.eks. reguleringsmodstande.

2.7 StrømtæthedStrømtætheden ~ i en leder angiver antallet af ampere pr. tværsnitsenhed, oftest angivet i Mmm2. Hvis en given cirkulær leders diameter øges til det dobbelte, fordobles dens overflade, og dermed fordoblesogsa dens varmeafgivelse. Samtidig falder lederens resistans til enfjerdedel. Forudsætter man nu uforandret strømtæthed J (d.v.s.strømstyrken I bliver 4 gange så stor) stiger den afsatte effekt P meden faktor 4, idet P = R (se afsn. 3.4).

Derfor ma strømtætheden nedsættes ved stigende tværsnit, hvislederens sluttemperatur skal være den samme.

Beregningseksempier til afsnit 2

Eks. 2.1Strømmen gennem en leder er 60 mÅ, når spændingsforskellen mellem lederens endepunkter er 1,5 V.Lederens resistans beregnes:

8=4 = o~d~o 25Q

Eks. 2.2Resistansen af en 500 m lang kobberleder med tværsnitsareal 0,75mm2 skal beregnes.

= 0,0175~% 11,70

Eks. 2.3Længden i af en 6 mm2 aluminiumstråd med resistansen R = 483mO bestemmes således:

I = Rf = 483 •10 ~0o29=~~’~ ~100m.

Eks. 2.4En modstand på 3,0 0 er viklet af en 15 m lang tråd med tværsnitsareal 2,5 mm2.Materialets specifikke modstand 0 bestemmes:

.8 -8 3,0 2,5 mm20 = 15 0,50 m

Eks. 2.5Den specifikke ledningsevne for kobber er

i 1 m= 0,0175 = 57,1

Eks. 2.6En kobbervikling har ved 15 °C modstanden 80,0 0. Der kan regnesmed a15 0,004Viklingens modstand ved 85 °C vil være

R’pRt+R~-a(T t)

80,0 + 80,0 •O,004 (85— 15) = 102,40

26

Eks. 2.7Et varmelegeme af kanthal skal ved 1000°C have modstanden 60,0 Ç2.For kanthal kan a sættes til 60 10 6, og der ses her bort fra ændringi a på grund af den store temperaturstigning.Modstandens størrelse under fremstillingen ved 15° skal bestemmes.

R15= RT = 60 56,7Ql+a(T—t) 1+60~10 6(1000 15)

Eks. 2.8Modstanden af en motorvikling af kobber er 420 ≤2 i kold tilstand.Under drift stiger modstanden til 475 Q.Temperaturstigningen i viklingen bestemmes:

4T RT R~ = 475 420 = 32,7°Ca 420 . 0,004

Eks. 2.9Hvor mange procent øges resistansen i en kobberleder, hvis temperatur under drift stiger fra 20° til 70°?

R70= R20G+a&)

= R20 (1 + 0,004 ‘50) = 1,2

Resistansen øges altså med 200o.

Eks. 2.10En temperaturfølers modstand er 132 0 ved 80 °C. Det oplyses at aved 0 °C er 0,004.Følerens modstand ved —20°C skal bestemmes.

Modstanden ved 0 °C beregnes:

________ 132

1+a0(T—0) 1+0,004~8O

Modstanden ved —20 °C er

R20=R0(1+cz0 ‘47)

=100(1+0,004(20 0))=92f≥

27

3. Jævnstromskredslob. Energi og effekt

3.1 Elektromotorisk kraft. Klemspænding

Når man ønsker drive en elektrisk strøm gennem et kredsløb, må deri kredsløbet indsættes en komponent, som er i stand til at påvirkekredsløbets frie ladninger til at bevæge sig gennem kredsen. En sådan komponent kaldes en spændingskilde, og den siges at indeholdeen elektromotorjsk kraft (EMK).

Den viste jævnstrømskreds (fig. 3.1.1) indeholder en spændingskilde, hvis elektromotoriske kraft er betegnet med E. Den elektromoto.riske kraft kan f.eks. være af kemisk art (batteri/akkumulator) elleraf elektromagnetisk art (jævnstrømsgenerator).

r~R

E

Den elektromotoriske kraft indeholdt i spændingskilden er somnævnt i stand til at pavirke elektriske ladninger til bevægelse i denlukkede kreds.

E er det arbejde, der af spændingskilden udføres på hver ladningsenhed. En spændingskildes elektromotoriske kraft er således densafgivne energi divideret med den ladningsmængde, der transporteresgennem den. Måleenheden er derfor joule pr. coulomb, hvilket er ligspændingsenheden volt.

En spændingskilde indeholder desuden uanset arten — en indremodstand r~, som medfører et indre spændingsfald proportionalt medstrømstyrken.

Fig. 3.1. I. Jævnstrømskredsløb.

28

Klemspændingen bliver derfor

UkIE Ir~.

Den elektromotoriske krafts størrelse kan bestemmes direkte ved ettomgangsforsøg, idet Uki = E ved I = 0.

Derefter kan den indre modstand r1 findes ved et belastningsforsøg,hvor Uki og I måles:

E Ukir~—

En spændingskildes EMK kan bl.a. skabes— kemisk (element, akkumulator)— elektromagnetisk (generator)

termisk (termoelement)magnetisk (Hall-element)ved belysning (solcelle)ved mekanisk tryk (piezoelement)

Når der i almindelighed anvendes betegnelserne spænding ellerspændingsfald menes mere præcist forskellen i potentiale mellem topunkter i et elektrisk kredsløb. Spændingen [Tab betyder således potentialet i punkt a (i forhold til et referencepunkt, gerne neutral jord)minus potentialet i punktet b i forhold til samme referencepunkt (seiøvrigt afsn. 6.2.3).

I metalliske ledere dannes strømmen ved bevægelse af elektroner,altså negative ladninger. Disse ladninger frastødes af spændingskildens negative pol og tiltrækkes af den positive. Ladningstransporten ikredsløbet foregår derfor fra til +. Alligevel regnes strømretningenpr. tradition modsat, d.v.s. som om strømmen bestod af positive ladninger.

3.2 Beregning af erstatningsmodstande

Jævnstrømskredse vil udover elektromotoriske kræfter indeholderesistanser i forskellige kombinationer. Disse resistanser udgøresdels af spændingskildens indre modstand, dels af tilledningernesmodstand og endelig af modstandene i de tilsluttede brugsgenstande.

At finde kredsens samlede modstand eller resistans svarer til atberegne en erstatningsresistans, d.v.s. at bestemme den modstand,der ved samme spænding vil optage samme strøm som kredsen.

29

3.2.1 Serieforbjndelse

Erstatningsmodstanden R~ for en serieforbindelse bestemmes på følgende måde, idet der benyttes, at den samlede spænding er lig summen af spændingerne over de enkelte modstande:

a b a b.~: O—~-O-o

I— U1 -4--. U2 —I-. (i3 .4

Fig. 3.2.1. Serieforbindelse at resistanser.

Med betegnelserne på figur 3.2.1 er

Uab = + U2 + U3

R~ I=R1 I+1?2 -I+R3 Jog ved division med I:

= + R2 + R3

En serieforbindelses samlede modstand beregnes altså som summenaf de enkelte modstande.

3.2.2 Spændingsdelizig

Fig. 3.2.2 viser to serieforbundne resistanser R1 og R2. De to resistanser gennemløbes af samme strøm, som er bestemt ved

1=1?~ +R2

Spændingen ~ over modstanden R1 er

U1 = I -

Rio fr I I i

— U1 -i-- u2— U —

Fig. 3.22. Spændingsdeling mellem to resistanser.

30

Hvis de to ligninger kombineres, ses at spændingen over R1 kan udtrykkes ved

u1=u R1R1 +1?2

På lignende måde findes spændingen over resistansen R2

u ul?22 R1+R2

Resistanserne i en serieforbindelse deler den samlede spænding mellem sig direkte proportionalt med deres indbyrdes størrelse.

3.2.3 Parallelforbindelse

For en parallelforbindelse af to eller flere modstande kan den samlede modstand bestemmes som vist herunder.

a a

~ ~R2 ~R3 b

Fig. 3.2.3. Paralle!forbind&se af resistanser.

Iflg. Kirchhoffs l’ste lov (se afsn. 3.3) er den samlede strøm, der flyder til kredsen, lig med summen af parallelgrenenes strømme:

I = I~ + 12 + 13

I denne ligning indsættes modstandene ved hjælp af Ohm’s lov:

U U U U~=~+ +R~ 1?~ 1?2 1?~

Endelig divideres alle led med den fælles spænding U:

i i i i—=-—+ +R~ R1 1?2 1?~

31

Ved parallelforbindelse af kun to modstande kan formien for beregning af erstatningsmodstanden omskrives til følgende udtryk:

Ii

i i~i= 1?2 +

R~ R1 1?2 R1•R2 R1-R2

Den samlede modstand af to parallelforbundne modstande kan altsåberegnes som produktet af modstandene divideret med deres sum.

3.2.4 Strømdeling

Fig. 3.2.4 viser to parallelforbundne resistanser R1 og R2. Spændingen U er fælles for de to resistanser og kan udtrykkes somproduktet af den samlede strøm og parallelforbindelsens erstatningsmodstand

1?1 R2R1 +1?2

Strømmen gennem 1?~ erU

11 =

u

Fig. a2.4. Strømdeling mellem to resistariser.

Hvis de to ligninger kombineres, ses at strømmen gennem R1 kanudtrykkes ved

- R1-R2R1(R1 +R2)

i R2+R1R~ R1-R2

R1 -14~

32

Dette udtryk kan forkortes med R1:

11=1 R2R1 +R2

På lignende måde findes strømmen gennem resistansen R2

R1R2

Resistanserne i en parallelforbindelse deler den samlede strøm mellem sig omvendt proportionalt med deres indbyrdes størrelse, såledesat den store modstand fører den mindste strøm og omvendt.

3.3 KredslobsberegningerErstatningsmodstanden for sammensatte passive kredsløb (d.v.s.kredse uden elektromotoriske kræfter) beregnes ved anvendelse afformlerne i afsn. 3.2.1 og 3.2.3, idet parallelforbindelser erstattes afenkelte modstande, så der fremkommer en serieforbindelse. Den resulterende modstand findes som summen af disse modstande.

Ved beregninger på komplicerede elektriske kredsløb kan Ohm’s lovog de simple formler for serie— og parallelforbindelse være utilstrækkelige eller besværlige at anvende. Dette gælder især aktive kredsløb,d.v.s. kredsløb, der indeholder elektromotoriske kræfter.

Til løsning af sådanne problemer findes der en række hjælpesætninger eller regneregler, der ofte har navn efter den eller de, der harformuleret reglen.

I dette afsnit gennemgås tre almindeligt anvendte metoder, Kirchhoff’s og Theuenin ‘s love, samt Superpositionsloven.

3.3.1 Kirchhoffs love

Ved beregning af flermaskede netværk med flere elektromotoriskekræfter kan Kirchhoff’s love anvendes.

1. lov: Summen af strømmene, der flyder til et knudepunkt er ligsummen af strømmene, der flyder fra knudepunktet.Dette kan kort formuleres: El 0, idet der regnes med fortegn, således at for eks. strømmene til knudepunktet regnespositive og strømmene fra knudepunktet negative.

33

2. lov: I en lukket kreds er summen af de elektromotoriske kræfterregnet med fortegn lig med summen af spændingsfaldeneregnet med fortegn: LE — L(R 1).

Spændingsfaldene regnes positive i strømmens retning.

Den praktiske anvendelse af Kirchhoff’s love kan forega som vist i detfølgende eksempel:

Eks. 3.3.1 Anvendelse af Kirchhoff’s love er vist med eksempletfig. 3.3.1, hvori de tre ubekendte strømme ~ ‘~ og 13 skal bestemmes.

• • E1=1,5V

I E2=1,2V= 0,6 ohm

r2 = 0,8 ohm2,4 ohm

b

Fig. 3.3.1 Elektrisk kredsløb.

Bemærk at strømretningerne ikke kendes, men er valgt vilkårligt.Hvis en strøm efter beregningerne får negativt fortegn, betyder detblot, at strømmens retning er modsat den tilfældigt valgte.

1. lov anvendes på for eks. knudepunktet a:+ ‘2 = 13.

Der vælges lukkede kredse, og regneretninger i de lukkede kredse angives (vist stiplet på fig. 3.3.2).

2. lov opskrives for de to lukkede kredse:

D E1+E2r1j1 r212

—E2R13+r2J2

34

/ \

[1 +12±i~ ) )“-. —— r ~

C2

b

Fig. 3.3.2

13 erstattes med I~ + 12:

® E2R11+RJ2+r2~12

Talværdier indsættes:

~D 1,5+1,2—0,61~—0,8 ‘2

© 1,2=2,4 J1+2,4 •12+0,8 ‘2

~D 2,7=0,6 1~ 0,8 J2© —1,2=2,4 Ii+3,2 4

Ligning CD ganges med 4, hvorved 12 får samme koefficient (dog medforskelligt fortegn) i begge ligninger:

® 10,8= 2,4 1~ 3,2 12CD —1,2=2,411+3,2J2

Ved addition af de to ligninger udgår den ubekendte 12:

co+® 9,6=4,8J1+012

Heraf kan I~ findes:

— 4,8 —

Herefter kan 12 bestemmes, f. eks. af 1~ 2,0 indsat i ligning ©:

1,2=2,42,0+3,2 121,2 2,0 = 1,875 A

At ‘2 er negativ betyder blot, at stromretningen er modsat den valgteretning.

35

Størrelsen af den sidste strøm findes:

13 = 11 + 121~=2,0+( 1,875)0,125 A

Som kontrol beregnes spændingen Uab for hver gren:

Uab=El r1 1~=1,5 0,62,0=0,3V

Uab=E2—r2~I2=—1,2—O,8(1,875)=0,3V

Uab=Ia R=0,125 -2,4=0,3 V

Spændingen Uab skal naturligvis i alle tre tilfælde have sammeværdi. Er dette ikke tilfældet, er der fejl i løsningen.

3.3.2 Thevenin’s regel

Thevenin’s regel kan formuleres således: Et aktivt kredsløb, som ertilgængeligt i to punkter, kan erstattes af en enkelt spændingskildemed konstant elektromotorisk kraft og en serieforbundet indre modstand.

Den ækvivalente spændingskildes elektromotoriske kraft E er ligkredsløbets tomgangsspænding mellem de to punkter, d.v.s. denspænding, der kan måles mellem klemmerne uden tilsluttet ydre belastning.

Den indre modstand beregnes som kredsløbets modstand mellemde to klemmer, idet alle elektromotoriske kræfter (men ikke deresindre modstande) tænkes kortsluttet.

Thevenin’s regel anvendes med fordel, når man for eks. vil undersøge virkningen, hvis en enkelt komponent i et kompliceret netværkvarieres. Reglen betyder desuden, at et el forsyningsnet kan ækvivaleres med en enkelt spændingskilde, når virkningen af en kortslutning i nettet skal beregnes (Bind 5, “Forsyningsnet og transformer.stationer”, afsn. 9).

Eks. 3.3.2 Anvendelsen af Thevenin’s regel fremgar af fig. beregningseksempel:

Spændingsdeleren fig. 3.3.3 skal belastes med en variabel ydre mod.stand R~, idet udtaget pa R3 er fast placeret i midterstilling.

Spændingen Uab over udgangsklemmerne vil på grund af de indrespændingsfald variere med belastningsstrømmen.

36

J~RY

For at forenkle beregningen af Uab og strømmen for forskellige værdier af erstattes hele spændingsdeleren ved hjælp af Thevenin’sregel med en konstant spændingskilde ET i serie med en indre modstand RT (som vist fig. 3.3.5).

- Først beregnes tomgangsspændingen Uabo, når spændingsdelerener ubelastet, d.v.s. før tilsluttes:

Erstatningsmodstanden for R2 og R3 er

— R2 1?~ = 200•200 =100 ≤~R2+R3 200+200

UR2S findes ved spændingsdeling:

10050+100

Da udtaget på R3 er i midterstilling, er spændingen over udgangsklemmerne den halve af UR23:

Uabo = 0,5 16,0 = 8,0V

Med udtaget fast i midterposition på I?3 er det ækvivalente kredsløbselektromotoriske kraft ET 8,0 V.

- Den indre modstand findes som modstanden mellem klemmerne aog b (stadig uden at er tilsluttet), idet den elektromotoriske kraftE i spændingsdeleren tænkes kortsluttet (som vist fig. 3.3.4):

50fl

Fig. 3.3.3. Belastet spændingsdeler.

37

Parallelforbindelsen af R1 og R2 erstattes af en modstand R12:

= 5020040Q

R1+R2 50+200

B12 er serieforbundet med den ene halvdel af B3:

R123=R12+o,5 R3=40,0+o,5 200=140,oç~

+ R3

Endelig er denne serieforbindelse parallelkoblet med den anden halvdel af B3, og den samlede modstand mellem klemmerne a og b bliver:

R~rRabO_ 140•100 =58,33 Cl140+100

Erstatningskredsen for den oprindelige spændingsdeler ses nu på figur 3.3.5, hvor værdierne ET = 8,0 V og RT = 58,33 Cl er indsat.

Fig 3.3.5. Ækvivalent kredsløb for .spændingsdeleren fig. 3. a 3.

Forskellige værdier af af belastningsmodstan~e~ R~ kan nu tilsluttes,og beregningen af de forskellige strøm- og spændingsværdier kanforega meget enkelt.

Fig. 3.3.4. Beregning af4

38

3.3.3 Superpositionsloven

I et netværk, der indeholder et antal resistanser og elektromotoriskekræfter, kan strømmen i en vilkårlig resistans beregnes som summenaf de strømme, som de enkelte elektromotoriske kræfter vil fremkalde i resistansen. Man erstatter alle EMK’er undtagen én med enkortslutning og beregner de strømme, som denne ene EMK frembringer. Derefter gentages beregningerne med de øvrige elektromotoriskekræfter, én ad gangen. Endelig adderes i hver af resistanserne destrømme, som de enkelte EMKer har frembragt

Eks. 3.3.3 Anvendelse af superpositionslovenI kredsløbet fig. 3.3.6 skal strømmen 13 bestemmes.

Kredsløbets komponenter har fig. værdier:

E1= 205 V, E2= 209 VB1 = 2,0 0, B2 = 6,00, B3 = 500

13

Først tænkes den elektromotoriske kraft (men ikke resistansen) i elementet EJ2 kortsluttet (fig. 3.3.7). Den samlede modstand i den kreds,som EJ1 forsyner, er da

~E1 = R1 + 2,0+ 6,0~5O =7,3606,0 50

‘3,E1

Fig. 3.3.7. Samme kreds som fig. 3.3.6, men med E2 kortsluttet.

Fig. 3.3.6.

39

Strømmen i .fl3 bliver:

i = ____ ______ ______

El

Derefter kortsiuttes E1 og beregningen gentages:

ZRE2= R2 + R1 ~R3R1 +R3

= 6,0+ 2,O•502,0 + 50

7,92 Ç2

‘3.E2

Fig. 3. 3~ 8. Samme kreds som fig. 3.3.6, men nu med E1 kortsluttet.

Strømmen i 1?~ forårsaget af E2 er

3E2 —

ERE2

Den samlede strøm I~ i det oprindelige kredsløb er

-205 6,07,366,0+50 =2,985A

209 20

7,922,0+50 1,015A

13 = ‘3Ei + ‘3E2 = 2,985 + 1,015 = 4,00 A

3.4 Arbejde, energi og effekt

3.4.1 Arbejde og energi

Når for eks. en byrde løftes eller en væske varmes op udføres et arbejde, og der må tilføres energi. Energi er evnen til at udføre et arbejde.Den tilførte energi eller det udførte arbejde kan være:

mekaniskelektrisktermiskkemisk.

Arbejde og energi betegnes med symbolet W og måles med Sl—enheder i:

joule [i] = newton meter [Nm] = wattsekunder [Ws],samt i kalorier [call, som dog ikke er en Sl—enhed.

Afledede enheder fremkommer ved brug af præfixer, f.eks:kJ (1000 joule), MWh (1 000 000 watttimer).

Som eksempel pa foranstående modtager en kranmotor elektriskenergi, og bliver derved i stand til at udføre et arbejde, d.v.s. videregive energi til en byrde, der løftes. Imidlertid vil motorens afgivneenergi være mindre end den energi, som den tilføres i sammetidsrum. Energiforskellen afsættes i motoren og forårsager at denopvarmes. Energiens samlede størrelse er konstant, energi kan ikkegå tabt.

Alligevel betegnes forskellen mellem tilført og afgiven energi oftestsom tab, da den jo ikke udnyttes til det ønskede formål, nemlig athæve byrden.

Når byrden skal løftes, må den påvirkes med en kraft F, som erproduktet af dens masse ni og tyngdeaccellerationen g:

Fm ‘g [kgmIs2Ni

Det udførte arbejde affiænger af den strækning s, som kraften harbevæget byrden:

WFs [Nml

Energienheden kalorie [call er bestemt som den energimængde, dermedgår til at opvarme i g vand i 00 (fra 14,5 til 15,5°C).

Enheden kalorie har bl.a været meget anvendt til at angive energiindholdet i fødemidler, men er nu erstattet af Sl—enheden joule [JI.

41

3.4.2 Effekt

Effekt er arbej dsevne eller tilført/afgiven energi pr. tidsenhed, og dermed et mål for en brugsgenstands eller en maskines størrelse:

tEffekten er energiens omsætningshastighed. Effekt betegnes medsymbolet P og måles med Sl—enheder i

J/s, Nm/s, W.Desuden anvendes calls og hestekræfter [HKI.De to sidstnævnte er ikke ST—enheder, og bør ikke anvendes, menerstattes af JIs og kW.

Af P = W/t følger at W = P t, hvilket viser, at det samme arbejdekan udføres af en lille og en stor maskine. Den lille maskine skal blotvære i drift i længere tid end den store for at udføre det samme arbejde. En effekt på 1 watt betyder udførelse eller forbrug af arbejdsmængden 1 joule hvert sekund.

3.4.3 Omregning af enheder for energi og effekt

De i figur 3.4.la og 3.4.2b viste tabeller for bl.a. omregning af tidligere anvendte energi— og effektenheder til Sl—enheder er baseret påfig. omregningsværdier:

4,1868 J = 1 cal9,81 N = 1 kp (kilopond)736W = 1 HK.

Energi, arbejde

JWs kWh HKh kpm calNm

1J= 1 0,239lkWh= 3,6.106 1 860 101HKh= 736 3600 0,736 1lkpm 9,81 1lcal 4,1868 1

Fig. 3.4.1 a. Omregning af enheder for energi.

Effekt

Jisw

________________ Nm/s

1 JIs =

1 kW =

1 HK=

rlcal/s 4,1868

kW HK kpm/s calls

0,736

0,239

Fig. 3.4.1 b. Omregning af enheder for effekt.

3.4.4 Vinkelhastighed og drejningsmoment

En roterende bevægelses hastighed kan måles ved den vinkel, somden drejer hvert sekund. Hvis vinklen angives i radianer og ti er antal omdrejninger pr. sekund bliver vinkelhastigheden o, 2 ~r[rad/sl.

Denne rotation kan man frembringe ved at påvirke det roterendeemne, f.eks. en motoraksel, med et drejende moment eller drejningsmoment M.

Drejningsmomentet er produktet af en kraft F og den arm r,hvorpå kraften virker. Armen r måles som afstanden mellem rotationens centerlinie og kraftens angrebspunkt (se fig. 3.4.2).

Enheden for M er derfor newton meter, N m. For at undgå forveksung er det praktisk at anvende enheden J, og ikke Nm for arbejde.

F(0

Fig. 3.4.2. Moment som produkt af kraft og arm.

Når kraften F, der virker på armen r, har drejet akselen n omdrejninger, er der udført et arbejde, der er produktet af kraften F og vej-længde s, hvor s er n gange omkredsen af en cirkel med radius r:

W=F-s=F2,r-r-n [J].

Da disse n omdrejninger udføres pa t = i sekund er effekten

P=W/t=F~2gr n/tF-2,rr tt/i IJ/s=W].

Hvis man indsætter udtrykkene

MFr og w=2,rn

bliver

P=Mo, [W].

Af denne ligning kan man således bestemme en motors nominelledrejningsmoment, idet dens afgivne effekt og omdrejningshastighedved fuldlast fremgar af dens mærkeskilt (se iøvrigt bind 3, afsn. 3.6).

I praksis angives maskiners omløbshastighed ti pa skilt og i data-blade næsten altid med maleenheden omdr. pr. minut.Når ti indsættes som antal omdrejninger pr. minut ændres udtrykketfor effekten til

P = M - 2z - ti60

&5 Effekt og energi i en jævnstrømskreds

Det blev i afsnit. 3.i nævnt at den elektromotoriske kraft er detarbejde, der udføres pr. ladningsenhed:

wE—Q

Det samlede arbejde W er derfor produktet af den elektromotoriskekraft og ladningsmængden:

W=E QLadningsmængden er produktet af strømstyrken I og det tidsrum,hvori strømmen løber (dette uddybes i afsn. 4):

Q=I -t

44

Af de to sidstnævnte udtryk ses, at

W=E J

og ved division med t på begge sider af lighedstegnet fremkommer fig.udtryk for effekten:

wI [volt ampere=watt]

Den effekt, som en spændingskilde afgiver, er altså produktet af denselektromotoriske kraft og strømmen gennem den. Den afgivne effektforbruges dels i spændingskildens indre modstand, dels i de til.sluttede ledninger og belastninger.

En resistans, der tilsluttes spændingen U, vil gennemløbes afstrømmen I = U/R, og der afsættes derved effekten P i resistansen:

P=U1 [W=JIs].

Da U = I R kan dette udtryk omskrives:

P=IIR=PR 1W]

eller

p=u~ U2

Optages en konstant effekt P i tiden t [si bliver den samlede tilførteenergi

W=Pt [WsJ].

Denne energi omsættes til varme i resistansen. Resistansens temperatur vil derfor stige, indtil den energi, der hvert sekund afgives somvarme til omgivelserne, er lig med den tilførte.

3.6 Tab og virkningsgrad

Når energi omformes i en maskine, f.eks. fra elektrisk til mekaniskform kan det ikke ske uden tab. Forskellen 4W mellem den tilførte ogden afgivne (d.v.s. den udnyttede) energi omdannes til varme:

4WW1 IV2

Da IV P t kan dette udtrykkes ved effektværdier:

‘1P=P1-P2

45

Virkningsgraden betegnes med symbolet q og defineres som forholdetmellem afgiven og tilført effekt:

P2

Virkningsgraden q vil altid være mindre end 1.

a

Fig. 3.4.2. Effekifordeling.

Hvis man heri indsætter effekttabet zIP, kan virkningsgraden beregnes således:

P1-zlP ___

tab AP

Beregningseksempler til afsnit 3

Eks. 3.1En akkumulator har i tomgang klemspændingen U = 12,4 V.Ved belastning med 6,0 A falder klemspændingen til 11,2 V.Beregn akkumulatorens indre modstand.

E = U0 = 12,4V

____ 11,2 0,2 Ç2

I 6,0

Eks. 3.2Tre ens elementer, hver med E = 1,5 V og rj = 0,2 ø parallelforbindes.Parallelforbindelsen belastes med 4,5 A.Beregn klemepændingen U.

U—E— ~ =1,5—[4,5.0,2=1,2V

Eks. 3.3Tre elementer med E og r som i eks. 3.2 serieforbindes og belastesmed 1,5 A.Beregn klemspændingen U

U3 E 3 •I~r~3 1,5 31,50,2=3,6V

Eks. 3.4Tre resistanser på hhv. 200, 160 og 140 ø serieforbindes.Den samlede resistans beregnes:

R=R1+R2+R3=200+ 160+ 140500≤2

Eks. 3.5Tre resistanser på hhv. 125, 100 og 40 ø parallelforbindes.Den samlede resistans beregnes:

1 i 1~ +i__L+_L+J_. 0,043R R1 R2 R3 125 100 40

R 23,300,043

Eks. 3.6Beregn kombinationsmodstanden af en 12 kQ og en 10 kQ modstand iparallelforbindelse.

R= = 12•10 ~R1÷R2 12+10

Eks. 3.7En byrde på 120 kg løftes 12 m med et spil drevet af en elektromotor.Det udførte arbejde beregnes i J og i ‘Æh

W=F ~s= m •g •g 120 9,81 ~12 = 14126Nm

W=14126J=14126Ws= 14126 vJh=39~v\rjl3600

Eks. 3.8Energimængden 1 kWh skal omregnes til kcal:

lkWh=3600 ~io~ Ws0,239 ~3600 io~ cal1 kWh = 860,4 i0~ cal = 860,4 kcal

Eks. 3.9En resistans på 10 0 tilsluttes 230 V.Hvilken effekt afsættes i resistansen?

U2 2~2P= ~“ =5290WR 10

Eks. 3.10Et varmelegeme er mærket 1000 W ved 400 V.Varmelegemets resistans er

u2 4~2=1600

P 1000

Varmelegemet er tændt i 30 minutter.Den tilførte energi i ‘Æh er

W=P~ 0,5=SOOWh.

4. Det elektriske felt

4.1 Coulomb’s lov

Protonen i en atomkerne har, som tidligere omtalt, en positiv elektrisk ladning, og en elektron har en lige så stor negativ ladning. Etatom, der indholder lige sa mange elektroner, som der er protoner idets kerne, optræder ud ad til som elektrisk uladet.

Som grundenhed for den elektrisk ladning kunne det være naturligt at vælge ladningen af en proton, men størrelsen af denne ladninger meget ringe. I stedet er elektrisk ladning defineret ved hjælp af degrundlæggende enheder ampere, A og sekund, s.

I SI—enhedssystemet er enheden for elektrisk ladning benævntcoulomb med forkortelsen C.

i coulomb er lig i amperesekund, altså i A = i C/s, eller med andreord: Et tværsnit i en leder, der fører i A, vil hvert sekund passeres afladningsmængden i C. Ladningsmængden i C svarer til den samledeladning af Ca. 6 - 1018 elektroner.

Ladninger af samme polaritet vil frastøde hinanden, mens forskelligeladninger tiltrækker hinanden. Retningen af den kraft, hvormed toladninger påvirker hinanden, affiænger altsa af deres polaritet, menskraftens størrelse afhænger af ladningernes størrelse, samt af deresindbyrdes afstand.

For to punktformede ladninger, Q1 og Q2 med en indbyrdes afstanda gælder Coulomb’s lov for kraftens størrelse:

F = k- [newton].

I SI-malesystemet har faktoren k værdien

le4-.ir-s

hvor s er den såkaldte dielektrieitetskonstant eller permittivitet af detstof, hvori ladningerne befinder sig.

49

Permittiviteten e varierer afhængigt af det stof, der omgiver ladningerne og er altså en materialekonstant, der må findes i en tabel (se f.eks. bilag E). Permittiviteten for vacuum betegnes e,~ og er defineretved udtrykket

i= 2

C Pohvor c er hastigheden af elektromagnetisk stråling i vacuum, og Po’Sl har størrelsen 4~ 10 ~ (se kapitel 5). Dette giver e~ den omtrent-lige størrelse 8,85 - 10—12.

Andre materialers permittivitet angives normalt som en relativværdi tr’ hvormed e for det pagældende materiale kan beregnes:

6=60 tr

Den relative permittivitet Cr er et ubenævnt tal, d.v.s. uden måle-enhed, mens ~o har enheden farad pr. meter [F/m].

En ladning omgiver sig altsa med et elektrisk felt, således at andreladninger anbragt i dette felt vil blive påvirket med en kraft. Denelektriske feltstyrke betegnes E [volt pr. meter] og defineres somkraften på en enhedsladning:

r_newton[coulomb

En partikel med ladningen i C vil derfor blive pavirket med en kraftpå i N, nar den anbringes i et rum, hvori feltstyrken er i V/m.

Feltet afbildes med linier, idet der tegnes E feltlinier pr. m2, således at feltets styrke anskueliggøres ved kraftliniernes tæthed somantydet pa fig. 4.1.1.

Fig. 4.1.1. Eksempler på det elektriske felt om punkiformede ladninger.

Feltretningen er den retning, hvori en positiv ladning vil blive påvirket til bevægelse, hvis den anbringes i feltet. Efter denne definition

50

begynder feitlinierne ved den positive ladning og ender på den negative.

Af det foregaende følger at kraften pa en ladning Q2 er proportionalmed ladningens størrelse og med styrken af feltet på det sted, hvorladningen befinder sig:

F=E-Q2 IN=~C].

Desuden fremgar det af Coulomb’s lov, at en ladning Q2 i afstanden afra en anden ladning Q1 påvirkes med kraften

F= ~ [NI.4•,r•e•a

Ved sammenligning af disse to udtryk ses at feitstyrken E i afstandena fra en punktformet ladning Q1 er

E= 2 [VIm].4•,r-sa

Da E er antallet af feltlinier pr. m2 kan det samlede antal feltlinier Y~der udgår fra en ladning Q findes, idet det samlede areal af en kugle,der helt omslutter ladningen har arealet A = 4,ra2:

Q .4.ff.a2_~ [V ml4•,rsa 6

Hvis ladningerne er anbragt i vacuum, er e = ~ som nævnt. Sammeværdi kan med god tilnærmelse anvendes ved atmosfærisk luft.

4.2 Kondensatorer

Hvis to legemer, der er opladet med modsat polaritet, forbindes medet elektrisk ledende materiale, vil der strømme ladninger gennemdette materiale, indtil forskellen i polaritet er udlignet.

Er de to legemer derimod adskilt af et isolerende materiale (f.eks.tør atmosfærisk luft) består der en spændingsforskel mellem dem,som afhænger af deres ladninger, og i rummet mellem dem er der etelektrisk felt. To sådanne indbyrdes isolerede legemer kaldes enkondensator.

51

En kondensator kan, som vist fig. 4.2.1, bestå af to metalpiader anbragt overfor hinanden. Pladernes areal er A m2, og deres indbyrdesafstand er a m (se også sammenligningen med elektriske formler ibilag D).

Oplades pladerne med modsat polaritet med ladningen Q coulomb,er kraftlinietætheden eller den elektriske fluxtæthed i rummet mellem dem:

D [coulomb/m2].

Som det ses af dette udtryk, er D kun afhængig af tætheden af ladninger på kondensatorpladerne. Den elektriske feltstyrke E i rummetmellem pladerne afhænger desuden af materialets permittivitet ~

D

Fig. 4.2.1. Pladekondensator.

Alle feltlinier udgår fra den positive plade og ender pa den negative.Feltstyrken i rummet mellem pladerne vil da være

Q6 A-s

Det isolationsmateriale, der findes mellem kondensatorens plader,kaldes et dielektrikum. Hvis der mellem pladerne er vacuum eller atmosfærisk luft bliver e ‘b 1 - ‘b = 8,85 10 12•

Udfyldes rummet med et andet isolerende materiale nedsættesfeltstyrken, idet en del af pladernes ladning neutraliseres af ladningsfordeling i dielektrikummet.

52

Dette udtrykkes som tidligere nævnt ved dielektricitetskonstanten 6rfor det pågældende materiale:

A ~o

Idet E = Ula, hvor U er spændingsforskellen mellem pladerne forårsaget af ladningerne, fås•

U Q QA•e0•e,.aA-eosr U a

Størrelsen (A 6~ sr)/a er, som det fremgår af formien, udelukkendebestemt af mellemrummets materiale og dimensioner, og er derforkonstant for en konkret, færdigfabrikeret kondensator.

Sættes denne størrelse lig med en konstant C bliver

c = [coulomb/volt].U

A•s~.soKonstanten C — a kaldes kondensatorens kapacitans.

I dette udtryk for en kondensators kapacitans indgår som nævnt kunstørrelser, der fastlægges allerede ved fremstilling af kondensatoren.Værdien af C kan derfor, sammen med de øvrige data, angivesuden på kondensatoren.

Kapacitansens størrelse viser sammenhængen mellem ladningsmængden, der “lagres” i kondensatoren, og den spændingsforskel, derer over dens tilslutninger.

Måleenheden for C, coulomb/volt har sit eget navn: farad, F.i farad er en meget stor enhed, og praktisk forekommende konden

satorers størrelse angives derfor i jiF, nF eller pF.I stedet for betegnelsen kapacitans anvendes ofte i samme betyd

ning ordet kapacitet, der som bekendt kan betyde opbevaringsevne.Betegnelsen kapacitans skal foretrækkes.

En kondensator bestående af to parallelle plader med luft som dielektrikum har altså kapacitansen C A ej-ja [F]. Indføres der nu etisolationsmateriale, der udfylder hele rummet mellem pladerne oghar dielektricitetskonstanten ej. 3, stiger kapacitansen C med enfaktor 3.

Dette betyder at ved tilslutning til uændret spænding U over pladerne optages en tre gange så stor ladningsmængde, idet Q U C.

53

Derved bliver den elektriske fluxtæthed D også 3 gange så stor, mensden elektriske feltstyrke E = U/a er uændret. Dette forklares somovenfor nævnt ved såkaldt polarisation i dielektrikummet, idet detselektroner forskydes mod den positive plade og de positive kernermod den negative. Kondenstoren er derved i stand til at “binde” etstørre antal ladninger ved samme spænding.

Denne virkning er forskellig for forskellige dielektrika og er årsagtil at isolationsmaterialer har forskellig værdi af dielektricitetskonstanten 8r

KondensatortyperKondensatorer kan efter deres udførelse og efter arten af detanvendte dielektrikum opdeles i grupper. Der kan således skelnesmellem variable og faste kondensatorer.

Kondensatorer med variabel kapacitans udføres af aluminiumpladeog normalt med luft som dielektrikum. Et eksempel på en variabelkondensator er skitseret i fig. 4.2.2. Da dens dielektrikum er luft erkapacitansen givet ved

c= As0 (ii 1)

hvor n er antallet af plader. Det ene pladesæt kan drejes ind i mellemrummene i det andet, hvorved det fælles areal A og dermed kapacitansen C kan ændres.

Det antal, hvori variable kondensatorer fabrikeres, er meget lille set iforhold til antallet af kondensatorer med fast kapacitans.

Faste kondensatorer fremstilles i mange forskellige udførelser ogfor et utal af anvendelsesformål, med kapacitansværdier fra under i

Fig. 4.2.2. Variabel pladekondensator.

54

pF og op til flere hundrede gF, og for spændinger fra mindre end 10 Vtil mange kV.

Disse kondensatorer kan deles i to hovedgrupper:

- ikke-polariserede og

- polariserede kondensatorer.

Ikke-polariserede kondensatorer kan tilsluttes jævnspænding vilkårligt uden hensyn til spændingens polaritet og kan derfor også anvendes ved vekseispænding.

Ikke-polariserede kondensatorer udføres som

- papir og metal-papir kondensatorer- polyethylen-film kondensatorer

- keramiske kondensatorer

Papirkonclensatorer fremstilles ved en oprulning af tynd aluminiumsfolie med et isolerende papirlag imellem (fig. 4.2.3). Dette isolationslag, dielektrikummet gøres så tyndt som muligt for at gøre kapacitansen stor. Tykkelsen af både Al-folien og af papiret er nogle få pim. Detanvendte materiales gennemslagsfeltstyrke sætter dog en grænse for,hvor tyndt laget kan gøres (se også afsn. 4.5).

Metal-papir (MP) kondensatoren er en variant af den førnævnte, idetelektrodematerialet pådampes papiret i et meget tyndt lag. Dettemedfører mindre volumen, og desuden ødelægges kondensatoren ikkeved et indre overslag, idet det tynde Al-lag brændes bort omkringfejlstedet.

Al-to liePa’ir

jr IFig. 4.23. Papirkonderisator.

I stedet for papir som dielektrikum kan anvendes en tynd film afpolystyren, polypropylen e.l. Disse kunststoffer har både højere dielektricitetskonstant tr og højere gennemslagsfeltstyrke. Denne typekan derfor udføres med større kapacitans og for højere spænding iforhold til volumen end papirkondensatorer.

I keramiske konden.satorer anvendes dielektrika af forskellige keramiske materialer, baseret på barium- og titanoxider. Med dissematerialer opnås værdier af 6r pa fra ca. 10 og op til over 5000.

Keramiklegemet kan have form som et tyndt rør, en lille pladeeller en cirkulær skive, som påføres elektrodematerialet (fig. 4.2.4).Til sidst påloddes tilledninger og kondensatoren gives et fugtbeskyttende lag.

4.7nF5kV D

5 b c d

a.Rørkondensator. b-d. Skivekondensatorer (b og d vist uden ydre lag).

Fig. 4.24. Keramiske kondensatorer.

Elektrolytkondensatoren er eksempel på en polariseret kondensator.Den skal tilsluttes jævnspænding med korrekt polaritet, og kan normalt ikke anvendes ved vekselspænding.

Elektrolytkondensatorer har en positiv elektrode (anode) af aluminiumfolie. På anoden er ved elektrolyse dannet et tyndt spærrelag afaluminiumoxid. Dette lag fungerer som dielektrikum, og har endielektricitetskonstant ç = Ca. 10, og da laget er ganske tyndt, kander med elektrolytiske kondensatorer opnås høje kapacitansværdier.Den negative elektrode udgøres dels af en aluminiumfolie dels af enelektrolyt opsuget i en tynd papirfolie e.l.

I forhold til papir- og kunststofkondensatorer har elektrolytkondensatorer meget stor kapacitans pr. volumenenhed. Dette skyldesogså at elektrodernes areal forøges mange gange ved ætsning afmaterialeovefladen.

Ved anvendelse af tantal som elektrodemateriale og dermed tantaldioxid som dielektrikum kan man opnå et forhold mellem kapacitansog volumen, som er endnu bedre end for aluminium. For tantaldioxid

56

er dielektricitetskonstanten 8r = Ca. 24.Under drift vedligeholdes spærrelaget af en lille lækstrøm gennem

elektrolytten fra anode til katode. Hvis kondensatoren blot i kort tidtilsluttes med forkert polaritet nedbrydes oxidlaget, og kondensatoren ødelægges.

3Wa. Tilledninger af tråd. b. Kondensator med skrueklemmer for

Ydre bæger negativ, med motorer, glatning af strømforsyning mv.kappe afplasL

Fig. 4.2.5. Elektrolytkondensatorer.

Der findes specielt fremstillede elektrolytkondensatorer for vekselstrømstilslutning, som bl.a. er beregnet for start af i fasede motorer(se bind 3, “Elektriske maskiner”, afsn. 4.6). Disse elektrolytkondensatorer er ikke polariserede, men beregnet for tilslutning til veksel-spænding. Dette er muligt fordi bade anode- og katodefolien erdækket af et oxid-lag.

4.3 Op- og afladning af kondensatorer

4.3.1 Op— og afladning af kondensator med konstant strøm

Opladning med konstant strømI en del elektroniske apparater og instrumenter, som f.eks. oscilloskoper og fuktionsgeneratorer, oplades kondensatorer med konstantstrøm.Den elektriske strømstyrke i er udtryk for antallet af ladninger q,som pr. sekund transportere gennem et tværsnit af lederen:

isdt

57

Ved konstant strøm har strømmen den tidsuafhængige værdi I A.Antallet af ladninger vokser derfor med tiden t. Hvis det forudsættesat q er 0 til tidspunktet t = 0, er kondensatorens ladning proportionalmed tiden:

q—I•tKondensatorens spænding uc er proportional med ladningsantallet(se 4.2):

q IUC

Da strømmen I og kapacitansen 0 er konstante værdier stiger spændingen proportionalt med tiden.

Afladning med konstant strømNår den konstante strøm I ledes fra kondensatoren falder dens ladning:

dQ ~.

Ved integration af dette udtryk far manq Q I~t

hvor Q er kondensatorens ladning ved starten af afladningen.Kondensatorspændingen uC er

qUC

hvorafQI

UC

Hvis kondensatorspændingen er U = Q/C ved starten af afladningforløbet, ses at spændingen uC er en lineær funktion af tiden t:

UC

4.3.2 Op- og afladning gennem konstant resistans

Opladning fra fast spænding gennem konstant resistansEn kondensator 0 uden ladning og derfor med spændingen u0 0 Vtilsluttes en jævnspænding U gennem en resistans 1? (se fig. 4.3.1).

58

Da uC er nul, begrænses strømmen i indkoblingsøjeblikket to kun afresistansen

U

Efterhånden som der flyder ladning til kondensatoren, stiger densspænding UC mod U, og samtidigt falder strømmen imod 0 (t1).Den nu opladede kondensator aflades derefter gennem R, idet kontakten b lukkes til tiden t2.

Strømmen bliver i slutteøjeblikket

men efterhånden som kondensatoren aflades, falder uC og dermedstrømmen i mod nul (anvendelse af små bogstaver, f. eks. u, i og p,angiver at der er tale om øjebliksværdier af størrelser, der varierer itid. Se også afsn. 7).

Fig. 4.3.1. Op— og afladekurver for kondensator.

Af det ovennævnte fremgår at spændingen over en kondensator ikkekan ændres momentant.

Ligningerne for strøm og spændingsforløbene ved ind- og udkobling af en kapacitiv kreds har flg. udseende, idet Kirchhoffs 2. lov eranvendt:

I

u

t

59

Afladning gennem konstant resistans

Under hele afladningsforløbet er

ucR i,hvor små bogstaver her og i det følgende angiver øjebliksværdier.Desuden gælder følgende sammenhæng:

i ~dt=-dq,

hvilket betyder at øjebliksværdien af strømmen gange en (uendelig)kort del af afladningstiden er lig et lille fald i ladningen. (Ligesom detgræske bogstav 4 i tidligere afsnit er anvendt til at angive en lille ændring i en fysisk størrelse, benyttes bogstavet d altså for en uendeliglille ændring. I øvrigt henvises til lærebøger i differentialregning.)

Af formlen for C (afsn. 4.2) følger at

dq = C duc,

hvilket udtrykker at faldet i ladning medfører et fald i kondensatorens spænding. Heri indsættes —i dt = dq:

-i dtCdu~.

i—-ti dt

Ved indsættelse

ucRi RC~

Ved integration (som ikke vises her) af denne differentialligning fas

uc=Uoe RC

Tallet e er grundtallet for de naturlige logaritmer og har værdienomtrentligt 2,72. U0 er kondensatorens spænding ved afladningsfor.løbets begyndelse.

Under afladningen vil kondensatorens spænding til tiden t R 0være faldet til

UC UT0 e1 U0 ~O,368.

På dette tidspunkt er kondensatorspændingen u~ altså 36,8% af If0.

Ved opladning gælder pa lignende måde:

Uuc+R iTT— i,IJ_UC+fl ‘~‘ dt

og ved integration

ucUo(1e RC)

Til tiden t = R C er 12C steget til 63,2°o af U.Tiden t = R C [sekunder] betegnes tidskonstanten i-, og er altså bestemt ved størrelsen af resistansen og kapacitansen.

4.3.3 Energi i opladet kondensator

Ved opladning tilføres en kondensator elektrisk energi. Den tilførteenergimængde lagres i den opladede kondensators felt. Under opladningen er øjebliksværdien af effekten p produktet af strømmen i ogkondensatorens spænding uc:

p = u~. iLadningen q på kondensatoren er produktet af dens kapacitans C ogspændingen UC

q = C

Strømmens øjebliksværdi er udtryk for det antal ladninger, der løbertil kondensatoren hvert sekund

dt dt

Den energi W, som tilføres kondensatoren i tidsrummet T er:

w = —

I dette udtryk indsættes den ovennævnte ligning for strømmen i

W ~ -C~-~-dt ~_4c[uC2(T)_uC2(o)]

Ved begyndelsen af opladningen (7~O) er energi og kondensatorspænding nul.Kondensatorens indhold af elektrisk energi er derfor

w=.~c.Uc2

nar den er opladet til spændingen U0.

61

4.4 Kondensatorer i serie- og parallelforbindelseNår der i en kreds indgår to eller flere kondensatorer i serie- ellerparallelforbindelse, kan man erstatte disse kondensatorer med enenkelt. I det følgende vises formlerne for beregning af en sådanækvivalent kapacitans, først for serieforbundne, derefter for parallel-forbundne kondensatorer.

4.43 Serieforbindelse af kondensatorer

Serieforbundne kondensatorer er opladet med samme ladning:

U1.C1= U2C2Den samlede spænding over serieforbindelsen er lig summen afspændingerne over de enkelte kondensatorer.

For to kondensatorer (som fig. 4.4.1) gælder derfor:

U= U1 +

hvoraf

ÆÆ~Æo~ c1 c2

og ved division med Q:i i i

cl c2 cs+ _____

— ° <. ? ° +

- + +

Fig. 4.4.1. Serieforbindelse at kondensatorer.

Generelt kan den ækvivalente kapacitans for ii. serieforbundne kapacitanser beregnes af

Ved serieforbindelse af kondensatorer bliver den resulterende kapacitans mindre end den mindste af de enkelte kapacitanser.

62

4.4.2 Parallelforbindelse af kondensatorer

Parallelforbundne kondensatorer er tilsluttet samme spænding.Parallelforbindelsens samlede ladning er lig summen af kondensatorernes ladning:

Q=Q1+Q2hvoraf

U U ~C1+ U •C2

og ved division med U:

= +

ep+ -

____ + -

s ? + -

+ -

Fig. 4.4.2. Parallelforbindelse af kondensatorer.

Ved parallelforbindelse af n kondensatorer bliver den resulterendekapacitans lig summen af de enkelte kapacitanser:

cp = ci + c2 + ~

4.5 Spændingsfordeling over forskellige dielektrika.Gennemslagsfeltstyrke

4.5.1 Spændingsfordeling

I det foregående er der blevet regnet med at der mellem kondensatorpladerne er et homogent dielektrikum, d.v.s. med ensartet tr•

I fig. 4.5.1 er vist to kondensatorplader, hvorimellem der er anbragt to forskellige dielektrika. Der kan som eksempel være placeretet lag PVC, som ikke udfylder hele mellemrummet, således at resten

tu

63

består af atmosfærisk luft. De to lag har tykkelsen hhv. a1 og a2,samt dielektricitetskonstanterne 60 og 6~~c-Antallet af ladninger pr. fladeenhed er ens på de to kondensatorplader:

= E1 ~=E2 6pvc

Hvis der regnes med at dielektricitetskonstanten for den anvendtePVC-isolation er 5, betyder det at

6PVC = = 5 60

Af disse ligninger ses, at den elektriske feitstyrke i luftlaget bliver 5gange så høj som feltstyrken i isolationslaget:

= - —5-6o

Feltstyrken i hvert materialelag er lig spændingsfaldet pr meter:

ILL 5Uj3j7~~

6o tpvc ~

[ai 4.a2]

Fig. 4.5.1. Spændingsfordelingover to dielektrika. ________________

Hvis som i eksemplet fig. 4.5.1 de to lag har samme tykkelse (a1vil altså 5/6 af den samlede spænding ligge over luftlaget.

64

4.5.2 Gennemslagsfeltstyrke

Et dielektrikum kan normalt tåle meget store spændinger pr. mm,men for alle materialer er der en grænse for hvor stor en elektriskfeltstyrke, materialet kan tåle, før der sker overslag. Denne størsteværdi betegnes materialets gennemslagsfeltstyrke.

Gennemslagsfeltstyrken i atmosfærisk luft er Ca. 2 106 V/m, for etisolationslag af PVC eller gummi kan den være Ca. 20 106 VIm.

Feltstyrken i luftlaget kan altså være højere end luftens gennemslagsfeltstyrke, uden at gennemslagsfeltstyrken for gummilaget overskrides. Der sker altsa ikke gennemslag mellem pladerne. Men daluftens gennemslagsfeltstyrke er overskredet, frembringes der sakaldt “stille’ udladninger, korona, i luftlaget, hvorved luften ioniseresog danner ozon, O~.

Denne ozon kan nedbryde nogle isolationsmaterialer og føre tilgennemslag mellem pladerne.

Der kan pa denne måde ske ødelæggelse af et kabel, hvis der underfabrikationen eller under udlægning er dannet et lille hulrum, en“lunke”, mellem metallederen og isolationen. Er luftstrækningen lilleog spændingen høj kan der dannes udladninger i hulrummet, somefterhånden nedbryder isolationen.

Overalt hvor der findes en potentialforskel mellem to ledende emner med et dielektrikum imellem, vil der være en kondensatorvirkning. Det er tilfældet mellem lederne i et kabel eller i et luftiedningsnet indbyrdes, og mellem disse ledere og jorden.

Omkring luftledninger kan gennemslagsfeltstyrken overskrides,uden at der sker overslag til jordede dele, men derved dannes korona,som kan både ses og høres.

4.5.3 Homogene og inhomogene felter

Når en kapacitans udgøres af to parallelle plader, hvis arealer er meget større end deres indbyrdes afstand, vil det elektriske felt mellempladerne overalt have samme styrke; feltet siges at være homogent(dette gælder dog ikke nær pladernes kanter, fig. 4.5.2)

Er pladerne derimod af uregelmæssig facon bliver feltstyrkenstørst nær spidser og kanter. Muligheden for at gennemslagsfeltstyrken overskrides med et overslag til følge er størst ved sådanne fremtrædende punkter (fig. 4.5.3).

65

+

+

+

+

+

+

+IFig. 4.5.2.

Fig. 4.5.4 viser et eksempel på, at det kan være nødvendigt at udforme elektriske konstruktionsdele, således at stærke elektriske felter ikke forekommer. Når et hojspændingskabel skal forsynes medendemuffe, kan man ikke blot gerne kablets skærm, idet der medspænding på kablet ville opstå så store feltkoncentrationer ved kan.ten af skærmen, at kabelisolationen ville blive nedbrudt. Styring afdet elektriske felt kan f.eks. foretages som vist på figuren ved at anbringe en konus af isolationsmateriale om lederen.

a.Ieder b. lederisolation c. konus d. halviedende isotationslag.

Fig. 4.5.3.

Fig. 4.5.4. Feitstyring ved kabelmuffe.

4.6 Statisk elektricitet

Hvis to stykker elektrisk isolerende materiale gnides mod hinanden,bliver begge elektrisk opladede, hver med sin polaritet. Et tidligtkendt eksempel herpå er opladning af en klump rav ved gnidningmed et stykke stof eller skind. Opladningen ytrer sig ved at ravklumpen tiltrækker små papirstykker o.l. Er der tale om to forskelligematerialer, der gnides mod hinanden, kan det forudsiges hvilket derbliver positivt og hvilket der bliver negativt opladet, idet man (mednogen usikkerhed) kan opstille isolatorer i en såkaldt triboelektrisk(gnidningselektrisk) række. F.eks. bliver glas og plexiglas positive,mens teflon bliver negativt ladet. Abenbart bliver der ved gnidningenfjernet elektroner fra glassets overflade, mens teflon får overskud afelektroner.

Den opsamlede ladningsmængde afhænger bl.a. af, hvor stor friktion, der er mellem overfladerne.

Spændingsforskellen, der opstar mellem de to isolatorer indbyrdeseller i forhold til jordpotentiale bestemmes af kapacitansen og ladningsmængden: U = Q/C.

En person stående på isolerende skosaler har en kapacitans på omkring 200 pF til jord, og kapacitansen af isoleret opstillede metaldelekan være op til Ca. 1 nF. I tør luft vil der ofte opsamles tilstrækkeligelektrisk ladning til at give en spænding pa 5 10 kV i forhold til jord.Overskrides luftens gennemslagsfeltstyrke vil der det pågældendested ske overslag til jord i form af en gnist. Den udladede energi-mængde er for lille til at medføre personfare, men gnisten føles ubehagelig pa huden.

I pulver, der strømmer gennem kanaler eller hvirvles op i en beholder, kan der også ved gnidning mellem partiklerne opstå statiskelektricitet. Hvis dette fører til udladning, kan der ske en antændelseaf pulveret, der så brænder med eksplosiv hastighed.

Samme problem findes, hvor en væske med lille ledningsevnestrømmer gennem rør. En eksplosion kan forekomme, hvis væskensdampe er eksplosive, og der sker en udladning med tilstrækkeligtenergiindhold til at antænde dampene.

Beregningseksempler til afsnit 4

Eks. 4.1Gennem en 2,5 mm2 ledning strømmer på 5 sekunder en ladning på75 coulomb.Hvad er strømtætheden J i ledningen?

i=~ ~5=15At 5I 15

J~ ~j=6AJmm2

Eks. 4.2En kondensator på 6 jiF er tilsluttet en jævnspænding på 24 V.Hvilken ladning befinder sig på hver af kondensatorens plader?

Q=CU=6~106~24=1.44’10°C=144gC

Eks. 4.3En luftkondensator består af 6 plader, hver med arealet 8 cm2.Afstanden mellem de enkelte plader er 0,75 mm.

Kapacitansen C beregnes:.

A 810~Ce0;(n—1) 8,S5 10 120,75 10 3(6 1)

C47,2 .1012 F = 47,2 pF

Eks. 4.4En kondensator består af to plader med en 0,2 mm tyk PVC-folieimellem. Hver af pladerne har arealet 0,4 m2.For isolationsmaterialet PVC kan regnes med 6r — 6.Kondensatoren tilsluttes 1200 V jævnspænding.Beregn kondensatorens kapacitans Csamt den elektriske feltstyrke E mellem pladerne.

A

8,85 1012 602.10 ~ = 106 10 ~ 106 nF

E ~1~%-a 6000 103V/m 6000 kV/m

Eks. 4.5En kondensator på 4 jaF serieforbindes med en resistans pa 5 Mfl.Serieforbindelsen tilsluttes en jævnspænding på 230 V.Beregn serieforbindelsens tidskonstant nBeregn desuden strømmen 10 i indkoblingsøjeblikket.

r = R C=5 .1064 .1~6 — 2osekunder

J_Asr.eo_4Glo6A_4G~

Eks. 4.6To kondensatorer, C1 = 20 jsF og C2 = 45 pY serieforbindes.Beregn den resulterende kapacitans C~.

C1 ~C2 20 45C8 C1+Cj20+45 —13,8 1sF

Eks. 4.7Tre kondensatorer, alle med C — 50 jaF parallelforbindes.Beregn den resulterende kapacitans Ci,.

C~=C+C+C=3C=350=150,aF.

Eks. 4.8Et stødspændingsapparat skal levere energien 1,25 J ved spændingen5,0 kV. Hvor stor skal kondensatorens kapacitans være.

W = 1,25 =0,10.106 F =0,1j.iFL/24J2 1A.50002

Eks. 4.9En fotoblitzlampe forsynes fra en 450 pY kondensator, som er opladettil 800 V. Hvor meget energi tilføres fotolampen.

W=I2CJJ2=12450.1068002—144[Ws=J]

5. Det magnetiske felt

5.1 Magnetisme

Som bekendt findes der materialer, jern, nikkel o.a., der lader sigmagnetisere og er i stand til at beholde en større eller mindre del afmagnetismen efter at den ydre påvirkning er ophørt. Materialetsmagnetisering giver sig synligt udslag i, at to magneter påvirkerhinanden med en kraft til frastødning eller tiltrækning. En magnet erogså i stand til at tiltrække emner af f.eks. jern. Denne virkningpasserer igennem andre materialer og igennem vacuum, og virkerover større eller mindre afstand, afhængigt af magnetens styrke.

Til beskrivelse af denne virkning indføres begrebet magnetisk felt,analogt med elektrisk felt og tyngdefelt, som ogsa kan medføre kraftpavirkning over afstand.

Traditionelt opfattes magnetismen i et stykke jern som forårsagetaf en “ensretning” af en mængde smamagneter, der i forvejen findes imaterialet. I de såkaldt magnetisk bløde materialer vender størstedelen af småmagneterne tilbage til de oprindelige retninger, når denydre påvirkning ophører, mens andre, af f.eks. hardt stal, beholdermagnetismen. Disse sidstnævnte er til gengæld vanskeligere atmagnetisere. På grund af deres evne til at forblive magnetiske kaldesde permanente magneter.

I de såkaldt ferromagnetiske stoffer findes der små områder, magnetiske domæner, som ved magnetiseringen vendes i samme retning.Alle andre stoffer pavirkes kun i uhyre ringe grad af magnetfelter.

I dag beskrives magnetismen som en virkning af elektronernesspin om egen akse og om atomkernen. I permanente magneter dannes det magnetiske felt således af et stort antal elektriske ladninger ibevægelse. På samme måde dannes der magnetfelter om ledere, hvorider løber en strøm.

70

5.2 Magnetiske felt om en stromforende leder

5.2.1 Bestemmelse afmagnetfeltets retningOmkring en strømførende leder vil der være et magnetisk felt. Dettekan påvises ved f.eks. at anbringe en kompasnål (som er en permanent magnet, se herom senere) i nærheden af lederen. Dette forsøgblev første gang udført og beskrevet i 1820-21 af H.C.ørsted, som derved påviste sammenhængen mellem elektricitet og magnetisme.

Kompasnålen vil søge at stille sig på tværs af strømretningen. Tilbestemmelse af nalens retning kan formuleres fig. regel:

Højre hand anbringes langs med lederen med fingrene i strøm-mens retning og håndfladen mod kompasnålen, idet lederenbefinder sig mellem hånden og kompasnålen. Nalens nordpolvil da drejes til tommelfingersiden (se fig. 5.2.1).

Kompasnålen vil søge at stille sig, så dens felt er i samme retningsom feltet, der er fremkaldt af strømmen i lederen. Dette felt måderfor være rettet som vist på fig. 5.2.1.

w

Fig. 5.2.1. Feltretning om strømførende leder.

Til en nem bestemmelse af retningen af feltet om en strømførendeleder kan man anvende skrue- eller proptrækkerreglen:

En proptrækker tænkes skruet gennem lederen i strømmensretning. Proptrækkerens omdrejningsretning angiver da felt-retningen.

5.2.2 Magnetfeltets styrkeMagnetisk flux øDet magnetiske felt kaldes også den magnetiske flux, og betegnesmed symbolet ø. Magnetfluxen måles i weber, Wb. Magnetfeltet kan,ligesom det elektriske felt, afbildes ved feitlinier, dog danner magnetfeitlinier lukkede kredse.

Fluxtætheden BFluxtætheden er antallet af feltlinier pr. arealenhed og angiver altsåstyrken eller koncentrationen af feltet i et område. Fluxtæthedenbetegnes med symbolet B og males i Wb/m2. Denne måleenhed harfaet eget navn: tesla, T.

Fluxtætheden beregnes som forholdet mellem det totale felt og detareal A, hvori magnetfeltet ø findes:

‘~ Vwebertesla

ALm2

Permeabiliteten PoEt materiales evne til at lede det magnetiske felt angives ved tallet ,u.u kaldes permeabiliteten eller den specifikke ledningsevne overformagnetfeltlinier. Permeabiiteten af det tomme rum kaldes vacuumpermeabilteten Po•Po er en naturkonstant og har i SI-enhedssystemet størrelsen

Po =4,r~1O 7[Vs/Am]

Permeabiiteten af atmosfærisk luft og andre materialer er omtalt iafsnit 5.3.

Fluxtcetheden omkring en lederFluxtætheden i et punkt i rummet om en (uendelig lang) strømførende leder er bestemt af strømmens størrelse I, af materialet hvorilederen er anbragt samt af afstanden a til lederens centerlinie:

B= 1.Po I~4g.1O ~ 1.2.1o ~ ET]2,r•a 2g•a a

I formlen er anvendt vacuumpermeabiliteten ~ men selvom lederener omgivet af atmosfærisk luft vil fejlen være uden betydning, daluften har praktisk taget samme permeabilitet.som vacuum (se afsnit5.3). Afstanden a indsættes i meter.

Figur 5.2.2 viser hvorledes fluxtætheden B vokser lineært fra lederens centrum til overfladen og derefter aftager mod nul udenforlederen.

B

r a

Fig. 5.2.2. Magnetfeltet i og omkring en strømførende leder.

Anbringes en anden strømførende leder i det magnetfelt, der omgiverden første, vil lederne gensidigt pavirke hinanden med en kraft (seherom afsnit 5.10). Dette forhold har dannet grundlag for definitionaf måleenheden ampere.Figur 5.2.3 viser hvorledes magnetfeltet forløber i og omkring enledersløjfe.

4,‘(Di ,

i /

I’ “bS \ i / i’/ —. ‘ I /

, ~ “s ~ i , ~t’ .-.~ ~I I ‘‘~ I?’

i (.) I I i I i i‘ /iiii~~ /

‘ ‘...- —, / i I ‘ ~_. ‘ /— I I ‘ — /

/ i ‘/ i

Fig. 5.2.3. Magne tfeltet i en lukket strømførende ledersløjfe.

Hvis lederen vikles op til en spole, vil felterne om de enkelte vind-inger tilsammen danne et resulterende magnetfelt, hvis retning kanfindes ved spolereglen:

Man griber om spolen med højre hånd med fingrene istrømmens retning. Feltretningen er da til tommelfinger-siden.

Fig. 5.2.4. Feltet i en kort spole.

5.3 Den magnetiske kreds

Fig. 5.3.lb viser jernkernen til et relæ. Funktionen er nærmere forklaret i afsnit 12.7.

I fig. b.3.la er vist en ring, der tænkes tæt beviklet med en strøm-førende spoles vindinger. Derved vil magnetfeltet næsten udelukkende forløbe i ringen.

I Ii I

11 Ia. Ringkeme b. Relækerne

Fig. 5.3.1. Eksempler på magnetiske kredse.

Ringkernen tænkes fremstillet af umagnetisk materiale. Den har ettværsnitsareal på A m2, og længden af dens centerlinie er I m. Spolenhar vindingstallet N, hvori der løber en jævnstrøm I. Produktet afstrømmen og det antal vindinger, hvori den løber, kaldes amperevindingstallet I N. Styrken af magnetfeltet bliver da proportionalmed amperevindingstallet:

I~N=Rm •Ø

Størrelsen I N betegnes som den magnetomotoriske kraft Fm analogt med den elektromotoriske kraft i elektriske kredsløb. Pa lignende måde kan proportionalitetsfaktoren Rm opfattes som en magnetisk

74

modstand, hvis størrelse afhænger af ringens materiale, samt af denstværsnitsareal og længde:

IRm_MA

Den magnetiske modstand R~ benævnes også ringens reluktczns.Reluktansen Rm er forholdet mellem amperevindingstallet og fluxenø og har dermed måleenheden A/Wb = A/Vs. Som det vil fremgå afafsnit 5.8 kan denne enhed også skrives H ~.

Ved sammenligning med formler for elektriske kredse kan drages følgende paralleller (se også bilag 5):

Elektrisk kreds: Magnetisk kreds:

E=RI Fm~Rm•ø

E—~I I Fm Ø9 pA

Det kan i ord formuleres saledes, at den magnetomotoriske kraft Fmdriver et felt ø gennem en magnetkreds med den magnetiske modstand Rm.

Denne modstand, reluktansen, afhænger af kredsens længde ogtværsnit samt af materialekonstanten p, der som omtalt i foregåendeafsnit angiver materialets ledningsevne for magnetiske feltlinier. pbenævnes permeabiliteten, hvilket betyder gennemtrængeligheden.

Permeabiliteten i vacuum Po har som tidligere nævnt størrelsen4,r 10 ~ [Vs/Am = N/A21 (se også afsnit 5.10).

Endelig kan den magnetiske fluxtæthed B = ø/A sammenlignes medstrømtætheden j = liS i en elektrisk leder.

Af det forannævnte følger, at

I N=pA

Dette udtryk divideres pa begge sider af lighedstegnet med længdenI, og B ØIA indsættes:

I•N1I ~p Ap

Nu indføres betegnelsen feltstyrken H for amperevindingstallet pr.meter. Der fremkommer da følgende sammenhæng:

~ B=HuP

hvor fluxtætheden B er det samlede felt divideret med ringens tværsnit.

Materialers evne til at lede magnetiske felter udtrykkes ved en faktor

Mr (ts-relativ), som angiver hvor mange gange et stofs magnetiskeledningsevne er bedre end ledningsevnen i vacuum.

Næsten alle materialer, bortset fra nogle ganske få, deriblandt jernhar omtrentligt samme magnetiske ledningsevne som vacuum.

For alle disse umagnetiske materialer (herunder atmosfærisk luft)gælder derfor med meget god tilnærmelse regnes med at

~u =p~,=4,r iO~ [N/A2=Vs/Aml.og

Pr = Z iPo

Umagnetiske materialers reluktans er derfor meget stor og felter idisse materialer er ofte svage. Kræves der stærkere magnetfelter måderfor så stor en del som muligt af magnetkredsløbet udfyldes med etmagnetisk godt ledende materiale som f.eks. jern.

Jern, nikkel, cobolt samt en del legeringer med disse materialerhar en høj permeabilitet og dermed en lille reluktans. Disse materialer benævnes ferromagnetiske.

5.4 Magnetisering af jern

Erstatter man det umagnetiske kernemateriale i spole med en jern-kerne, men bibeholder samme strøm i samme antal vindinger pr.meter (d.v.s. H er uændret), vil fluxen øog dermed fluxtætheden Bforøges kraftigt.

Det skyldes som nævnt i 5.3, at et ferromagnetisk materiale somjern har meget større ledningsevne overfor feltet end f.eks. atmosfærisk luft eller vacuum har.Tallet Mr er som nævnt for et bestemt materiale forholdet mellemdette materiales js-værdi og Mo~ Mr er derfor et ubenævnt tal.

76

Er jernets ledningsevne f.eks. 600 gange bedre end Po’ udtrykkesdette ved

P =Pr ‘~o 600 ~4,r 10 7=ca. 7,5 10~

Der er imidlertid kun lineær sammenhæng mellem H og B op til envis fluxtæthed, hvis størrelse afhænger af materialet. Forsøges yderligere magnetisering, vil der gradvist indtræde mætning, svarende tilat ~u falder. Der anvendes derfor magnetiseringskurver, som de i fig.5.4.1 viste eksempler. Magnetiseringskurver må i praksis fremstillespa grundlag af konkrete målinger.

1,8

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

B[Tj

H [Av/mJ

0 1 2 3 4 5 6 7 8~10~

a. Siliciumlegeret stålplade (ankerblik). b. Støbejern.

Fig. 5.4.1. Eksempler på magnetiseringskuiver.

Når et ferromagnetisk materiale opvarmes vil det ved en bestemttemperatur, curie-temperaturen miste sine ferromagnetiske egenskaber, idet g. bliver omtrent 1. Curie-temperaturen er for forskelligematerialer fra 400 til Ca. 900°C.

Forholdene ved magnetisering med vekselstrøm, herunder hysteresesløjfen og jerntab beskrives i afsnit 12.

5.5 Dimensionering al’ magnetiske kredseEn magnetisk kreds kan være ensartet i hele sin længde eller indeholde materialer med forskellig reluktans. F.eks. opbygges transformere oftest saledes, at magnetfeltet udelukkende forløber i magnetisk godt ledende jern (se bind 3, kapitel 2). I andre tilfælde er detnødvendigt, at der indgår en eller flere luftspalter i den magnetiskekreds. Det er tilfældet i nogle elektriske måleinstrumenter og i alleroterende maskiner. Magnetkredsen i et relæ, en kontaktor eller enmagnetventil indeholder en luftstrækning, hvis længde ændres nårkomponenten aktiveres.

Almindeligvis kendes dimensionerne og materialet, der skal anvendes. Udgangspunktet for dimensioneringen er som regel krav omen vis flux ø eller en vis fluxtæthed B i en bestemt del af magnet-kredsen.

Opgaven er da normalt at bestemme den nødvendige magnetomotoriske kraft Fm, d.v.s. hvilken strømstyrke i hvor mange vindinger.

I fig. 5.3.la er vist en lukket ringkerne med en vikling fordelt påhele kernens længde. Derved kan der regnes med at magnetfeltetudelukkende forløber i kernen. I praksis er spoler ofte koncentrert omet kortere stykke af kernen og der ma da regnes med at en størreeller mindre del af feltet forløber gennem luften eller gennem eventuelle andre metaldele.

Dette kaldes spredning og den del af feltet, der ikke udnyttesbenævnes spredningsfeltet. Spredningens størrelse udtrykkes vedspredningsfaktoren ø: Værdien af c bestemmes i reglen eksperimentelt, da den oftest er meget kompliceret at beregne.

I det følgende er vist et eksempel på dimensionering af en magnetiskkreds, hvori der indgår en luftspalte.

Eks. 5.5.1 Eksempel på beregning af magnetisk kredsI luftgabet i den viste jernkerne (fig. 5.5.1) ønskes en fluxtæthed BL =

0,4 Wb/m2.Ved denne fluxtæthed regnes der i dette eksempel med at jernets

permeabilitet er givet ved Mr = 1200.Spolens vindingstal N skal beregnes, idet der forudsættes en

strømstyrke 1=0,5 A.Som det fremgår af skitsen, samles spolen pa et kort stykke af

jernkernen. Der må derfor regnes med at en mindre del af feltliniernesluttes i luften om spolen, i stedet for at passere gennem jernet. Der

78

kompenseres for dette ved et tillæg til den beregnede magnetomotoriske kraft. Det gøres ved at gange med spredningsfaktoren c(pkt. g).

Når feltet skal passere luftgabet, må der regnes med en vis feltspredning, d.v.s. feltet spredes over et areal, der er lidt større endjernkernens tværsnit (pkt. b).

I eksemplet regnes med:Spredningsfaktor c: 1,2 d.v.s. at der tillægges 200oFeltspredning ved luftgab: 15°o

Kernedimensioner:a = 2 cmb =8 mmc = 8 cm

Metode og rækkefølge i beregningerne fremgår af flg. punkter a til h:

a) Den gennemsnitlige magnetvej i jernet l,j bestemmes:

lj=4(c ‘4a—’4a) b

= 4 (8— 1— 1) —0,8 = 23,2 cm — 0,232 m.

Luftgabets længde er = 8 mm — 8 10 ~ m.

b) Det areal AL, som feltet spredes over i luftspalten, beregnesved et tillæg (her valgt 15°o) til jernets tværsnit:

Aja a2 .1022.102= 4 10~m~4=1,15 A~= 4,6 1o~ m2

c) Den magnetiske flux ø beregnes af den ønskede fiuxtæthed iluftgabet og tværsnittet AL:

Ø=BLAL=O,4 4,6 -10~= 1,84 10~ Wb

Denne fiux har samme størrelse i hele den magnetiske kreds (se dogpkt. g).

iJ

Jb

Fig. 5.5.1 La~

79

Fluxtætheden i jernkernen kan derfor nu beregnes:

d) fluxtætheden B~ = = 1,84• 10 —0,46 TA~ 4•10 “

e) Herefter findes feitstyrken, d.v.s. amperevindingstallene pr.meter for luftgabet og for jernkredsen:

= BL 0,4 318,3 i0~ Av/m

Po 4,r~10 ‘~

B~ = 0,46 =305Av/m

PO?~r 42r’10 ~.1200(I dette regneeksempel er Mr for jernet opgivet som en talværdi. Ipraksis anvendes en kurve, der viser B — f (B) for det pågældendemateriale.)

f) Nu findes amperevindingstallene, de magnetomotoriskekræfter:

F~j = = 305 ‘0,232 = 70,8 Av

FmL=HL 1L =318,3 ~10~8 10’32546,4Av

IF~ = F~j + FmL = 70,8 + 2546,4 = 2617,2 Av.

g) Det samlede amperevindingstal ganges nu med sprednings-faktoren o som tager højde for, at en del af feltet ikke forløberi jernet, men sluttes om spolens vindinger:

EFm c = 2617,2 ~1,2 = 3140 Av

h) Da strømstyrken er forudsat, kan det nødvendige vindingstalfindes ved at dividere det beregnede amperevindingstal medstrømmen:

EF 3140N m 6280 vindinger.

I 0,5

5.6 Permanente magneter

Nogle stoffer er i stand til at beholde de magnetiske egenskaber efterat magnetiseringen med et ydre felt er ophørt. Disse permanentemagneter fremstilledes tidligere udelukkende af hårdt stål. I daganvendes mest legeringer af jern med Al, Ni, Co og Nb. Der kan ogsåtilsættes Cu for at gøre materialet mindre sprødt og dermed bedreegnet til bearbejdning.Desuden fremstilles ferritmagneter, hvis bestanddele er jernilter medbarium, Ba eller strontium, Sr. Ferritmagneter kan være tilsat etplastisk materiale, hvorved der fremkommer magneter, som erfleksible og let kan bearbejdes.

Endelig er der ved forbindelser af cobolt, Co, med grundstoffernefra gruppen de sjældne jordarter, opnået meget stabile magneter,d.v.s. magneter med stor coercitivfeltstyrke. Et eksempel herpa ermagneter af SmCo5 (se fig. 5.6.2).

To almindeligt kendte magnetformer er stangmagneten og hesteskomagneten. Sidstnævnte kan forsynes med polsko for at gøre luft-afstandene så små som muligt.

Permanente magneter anvendes i måleinstrumenter, småmotorer,højttalere og mikrofoner, magnetiske lejer og koblinger og til mangeandre formål. Magneternes udformning og dimensioner ma i hvertenkelt tilfælde tilpasses det apparat, det skal anbringes i. Et eksempel på anvendelse i et drejespoleinstrument er vist i fig. 5.6.4 (se ogsåbind 2).

Fig. 5.6.1. Stangmagnet og hesteskomagnet.

Permanente magneter kan helt eller delvist miste magnetismen vedmekanisk pavirkning som slag og rystelser eller ved opvarmning.Den temperatur, ved hvilken magneten begynder at miste sin magne-

81

tisme kaldes Curie-temperaturen Den kan, afhængigt af det materiale, der er tale om, variere fra Ca. 200°C op til ca. 900°C.

Til at karakterisere en permanent magnets egenskaber benyttesbl.a. følgende tre begreber (fig. 5.6.2):

Remanensen, Dr, som er den fluxtæthed, der resterer når magnetiseringen er tilendebragt.

Coercitivfeltstyrken, der er den feitstyrke, som vil afmagnetiserematerialet helt.

Det maximale energiproduivt (BR)max, som måles i kJ/m3.Denne værdi beregnes som det største produkt af sammenhørende

B- og H-værdier på afmagnetiseringskurven og er et mål for magnetens styrke sat i forhold til dens rumfang.

Fig. 5.6.2. Eksempler på afmagnetiseririgskurver for permanente magneter.

Magnetfelter om permanente magneter er af samme art som feltetom strømførende spoler og afbildes lige som disse ved lukkede linier.

Magnetens ender betegnes som dens nord- og sydpol, valgt såledesat feltlinierne i luften går fra N til S (d.v.s. i magneten går felt-linierne fra S til N). En N-pol eller en S-pol kan ikke eksistere alene(i modsætning til positive eller negative elektriske ladninger).

1,8

1.6

1,4

1.2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0H

800 700 600 500 400 300 200 100 0

82

Overskæres en magnet dannes der to nye magneter med hver sitpolpar. To ens poler frastødes og to forskellige poler tiltrækker hinanden.

En N-pol anbragt mellem en hesteskomagnets poler vil altsa blivepåvirket af en kraft, der vil søge at bevæge den fra hesteskomagnetens N-pol mod dens S-pol. Denne krafts retning definerer feltetsretning.

a :Fig. 5.6.3. a. Feltlinier mellem forskellige og ens magnetpoler.

b. med magnetisk ledende materiale i luftgabet

Kompasnålen er en permanent magnet, hvis anvendelse beror på atJordkloden også er en magnet. Jordens magnetfelt har en styrke påca. 30- 70 1iT, mindst ved ækvator og størst ved polerne.

Oprindeligt har kompasnålens N-pol faet navn efter, at den visermod Jordens geografiske nordpol. Da jo forskellige poler tiltrækkerhinanden, ligger altsa Jordens magnetiske sydpol ved den geografiskenordpol. Iøvrigt har Jordens magnetfelt tidligere haft modsat polaritet og vil få det igen. De magnetiske poler flytter sig med en hastighed på Ca. 10km pr. ar.

- Permanentmagnet

- Blødt jern

Fig. 5.6.4. Magnetisk kreds med permanent magnet fordrejespoleinstrument (se bind 2).

b

83

5.7 InduktionI de foregående afsnit er beskrevet, hvorledes magnetfelter forårsagesaf strømførende ledere eller af permanente magneter. Fælles for disseer at feltet skyldes bevægelse af elektriske ladninger. Er dennebevægelse jævn, vil feltet være konstant.Feltet er en egenskab ved rummet, uanset om dette er udfyldt af etmateriale, f. eks. luft, eller om rummet er lufttomt.

—/C\—~ ø

— _j~- —--

Fig. 5.7.1.

Betragtes et tilfældigt fladeareal A vinkelret på feltretningen, kanfelttætheden B igennem fladen beregnes af

[TI.

Fladen A tænkes afgrænset af en lukket linie (fig. 5.7.1). Sker der enændring af feltets styrke vil der langs denne (vilkårlige) lukkede linieinduceres en elektromotorisk kraft. Størrelsen af den elektromotoriske kraft afhænger af den hastighed, hvormed feltet gennem fladenændres.

Det skal bemærkes at dette sker helt uafhængigt af, om der erelektrisk ledende materiale til stede; men hvis det betragtede arealomkranses af en elektrisk leder, vil den inducerede elektromotoriskekraft medføre en elektrisk strøm i denne leder.

5.7.1 Induceret elektromotorisk kraft i lederHvis en leder udsættes for et varierende magnetfelt, vil der induceresen elektromotorisk kraft i lederen. Feltvariationen kan opnås ved atændre feltets styrke eller ved at bevæge lederen i forhold til feltet.

Feltets absolutte størrelse er uden betydning, det er alene ændringshastigheden i Wb/s, der bestemmer den inducerede spændingsstørrelse.

84

Dette kan udtrykkes:

ie~=4~ r!~=~dt L s

Bevæges en leder med konstant hastighed i et homogent magnetfelt,kan der skrives en speciel udgave af denne almene formel:En del (lederlængden 1) af en ledersløjfe bevæges en vejlængde Aa, ogpasserer dermed arealet A = 4~ i. Derved skærer den et antal felt-linier 4.1~

4tP=B A=B 1 4s.

Hastigheden er u = Aa/At, hvilket betyder at Aa = v At.Det antal feltlinier, der overskæres, er derfor

Aø=B i u At,

hvoraf40— =B i v ~ E-B i vAt

Den inducerede elektromotoriske kraft er altså produktet af fluxtætheden B, lederlængden i og hastigheden u vinkelret pa feltet.

Fig. 5.7.2. Ledersløjfe bevæget i et magneffelt.

Dette tænkte forsøg kan også opfattes således:Spolen omslutter ved bevægelsens start ø~ feltlinier, og efter bevægelsen ~2’ hvorved ændringshastigheden af feltet gennem spolen bliver

-Eilt

idet den inducerede spænding naturligvis er den samme, uansethvordan forsøget betragtes.

Retningen af den spænding, der induceres i et lederstykke, sombevæges igennem et magnetfelt, kan findes ved højrehåndsreglen(generatorreglen):

Hold højre hånd langs lederen, så feitlinierne går ind ihåndfladen og tommelfingeren peger i lederens bevægelsesretning. Fingrene vil da være i den inducerede spændings retning.

5.7.2 Faradays forsøgUdsættes en spole for et stigende magnetfelt (f.eks. ved at en permanent magnet nærmes til den) vil der i hver vinding induceres en elektromotorisk kraft. Denne har en sådan retning, at den forsøger atmodvirke det stigende felt. Hvis magneten atter fjernes og feltet ispolen derved falder, prøver den inducerede spænding at opretholdefeltet.

Størrelsen af inducerede spænding bestemmes som tidligere beskrevet af den hastighed, hvormed feltet ændres, mens retningen afden kan findes ved spolereglen (afsn 5.2).

‘jr

Fig. 5.7.3. Faradays forsøg.

Ovennævnte forsøg kaldes Faradays forsøg efter den engelske fysiker,der første gang udførte det.

5.7.3 Lenz’ lovSom beskrevet induceres der kun spænding, sålænge magnetfeltetændres, og da med en sådan retning, at spændingen forsøger atmodvirke den feltændring, der har fremkaldt den.Denne regel for spændingens retning kaldes Lenz’ lov og udtrykkesved et negativt fortegn, hvorefter øjebliksværdien af den induceredespænding i N vindinger er

e- AØN [%~T]

Hvorvidt den inducerede elektromotoriske kraft frembringer enstrøm, afhænger af om der er elektrisk ledende dele i feltets område,men er det tilfældet, vil strømmens retning være sådan, at ændringen af feltet modvirkes.

Hvis magnetfeltet i et stykke jern øges eller mindskes, induceresder iflg. Lenz lov såkaldte hvirvelstrømme i jernet.

Fig. 5.7.4 illustrerer virkningen af benz’ lov på en spole (2), der befinder sig i en anden spoles (1) magnetfelt.

Hvis strømmen i spole i forøges, stiger magnetfeltet, hvilket medfører at der induceres en modsat rettet strøm i spole 2, men kun sålænge feltet ændres. Hvis strømmen i spole i mindskes, vil strøm-retningen i spole 2 fa samme retning som strømmen i spole i, saledesat svækkelsen af feltet modvirkes.

b. I~ konstanta. I~ forøges c: I~ mindskes

Fig. 5.7.4. Lenz’ lov.

5.7.4 HvirvelstromnieHvis en metalpiade bevæges gennem et magnetfelt eller udsættes foret varierende magnetfelt induceres der elektromotoriske kræfter ipladen. Derved opstår der strømme i jernet, som på grund af deresforløb kaldes hvirvelstrømme. Disse strømme vil iflg. Lenz’ lov værerettet således at de modvirker den feltændring, der har fremkaldtdem. Hvirvelstrømme vil derfor dæmpe bevægelsen af en metalplade,der føres gennem et magnetfelt.

Figur 5.7.5 viser hvorledes der induceres hvirvelstrømme i etstykke metal, der bevæges gennem et magnetfelt. Når metallet falderned gennem feltet mellem magnetpolerne (feltretning ind i papiret påfiguren til højre) vil der i metalstykkets enkelte dele induceres spændinger, hvis retning er bestemt ved Lenz’ lov. De hvirvelstrømme, derderved skabes i metalstykket vil medføre at hastigheden af faldet nedgennem feltet dæmpes.

Hvirvelstrømme udnyttes bl.a. til at dæmpe spolens bevægelse i etdrejespoleinstrument og skivens rotation i en kWh-måler (se bind 2,Elektriske målinger, kap. 2 og 8).

‘IV

PM

Fig. 5.7.5. Hvirvelstrømme i metaldel, der bevægesgennem et magneffelt.

I jernkernen i en vekselstrømsspole vil det vekslende magnetfeltinducere hvirvelstrømme, som vil kunne medføre kraftig opvarmningaf kernen. For at begrænse hvirvelstrømmene fremstilles jernkerner

88

for transformere, vekselstrømsmaskiner mv. ikke af massivt jern,men opdeles i et antal tynde plader, som er elektrisk isolerede frahinanden. Derved gøres strømvejen for hvirvelstrømmene lang ogmed lille tværsnitsareal.

5.8 Selvinduktion

I det foregaende er beskrevet, hvorledes et varierende ydre magnet-felt påvirker en ledersløjfe eller en spole.

Magnetfeltet i en spole kan imidlertid også variere, fordi strømmeni spolen selv ændres. Dette vil på samme made fremkalde en induceret elektromotorisk kraft e~, som er proportional med feltændringenpr. tidsenhed:

dø— —N

Ved hjælp af de formler, der blev vist i afsnit 5.3 kan magnetfiuxen ø

udtrykkes således:

I ~Nø=B ~A=H ~ ~A

En lille ændring di af spolestrømmen medfører en ændring dø affeltet:

dø=di

Højre side i dette udtryk indsættes i stedet for dø i formlen for deninducerede spænding es, som derved bliver udtrykt ved hjælp afstrømændringen pr. tidsenhed:

diN diN2~ dii p•A•N di ~ p•A

N2 .~.i . A kan regnes konstant for små ændringer i feltet.

Denne størrelse kaldes spolens selvinduktionskoefficient eller induktans L.

L= N2~p•A

89

Som det ses af formien, afhænger L udelukkende af kernens materiale og dens dimensioner, samt af spolens vindingstal. For en færdigudført spole er L derfor en fast størrelse, som kan stemples på densskilt og oplyses i dens datablad.

voitse uflMaleenheden i 51 for induktansen L er ampere , der har faetbetegnelsen henry, H.

Det ses, at hvis en spole har induktansen L = 1 H, vil der induceresen elektromotorisk kraft e5 på 1 V, hvis strømmen i spolen øges ellermindskes med 1 A pr. sekund. Denne e~ vil iflg. Lenz’ lov være rettetsaledes, at den søger at modvirke den ændring i feltet, der harfremkaldt den.

Bifilar modstandTrådviklede modstande må, for at fylde mindst muligt, vikles op ispoleform. Derved dannes et resulterende magnetfelt, hvilket sombeskrevet medfører at modstanden udover sin resistivitet ogsa far eninduktans, således at der induceres en modelektromotorisk kraft,hvis strømmen i modstanden ændres. Hvis denne virkning ønskesundgået kan modstandstråden opvikles bifilart, som vist fig. 5.8.1.Derved får tråde ved siden af hinanden modsat strømretning, og deres magnetfelter ophæver hinanden.

Fig. 5.8. I. Bitilar vikling.

5.9 Kraftpåvirkning på en leder i et magnetfeltEn strømførende ledning er som beskrevet tidligere omgivet af etmagnetfelt (se fig. 5.2.1). Hvis lederen anbringes i feltet mellem tomagnetpoler (fig. 5.9.1) vil lederens og magnetens feltlinier overlejresog danne et resulterende felt (bla feltlinier). Dette medfører atlederen påvirkes af en kraft F på tværs af magnetfeltet. Magnetenpåvirkes samtidigt af en lige så stor, men modsat rettet kraft.

90

Fig. 5.9.1. Strømførende lederi magnetfelt.

Kraftens retningRetningen af kraften på lederen kan findes ved venstrehåndsreglen (motorreglen):

Hold venstre hand langs lederen, så feltlinierne går ind ihåndfladen og fingrene er i strømmens retning. Kraftensretning vil da være til tommelfingersiden.

Da der sker en gensidig kraftpåvirkning mellem felt og leder, vilmagnetsystemet søge at bevæge sig modsat lederen.

Kraftens størrelseEn leder med længden I meter anbringes i et magnetfelt med fluxtætheden B tesla. Der sendes en strøm på I ampere gennem lederen.Lederen vil da blive påvirket med en kraft F, som søger at bevæge lederen i forhold til magnetfeltet. Kraftens størrelse er bestemt ved

F=B Ii [NI.

Dette udtryk kan vises ved at betragte det arbejde, der skal udføresnår en lukket ledersløjfe trækkes gennem et magnetfelt:

Ledersløjfen fig. 5.9.2 bevæges mod venstre med hastigheden i.’.

Strømmen, der derved induceres, giver sammen med feltet en kraft Fmod højre på den del af lederen, der befinder sig i feltet. Der måderfor trækkes mod venstre med en kraft Faf samme størrelse, for atgive den jævne bevægelse med hastigheden v.

Størrelsen af kraften kan udledes ved at sætte det mekaniske arbejde, som kraften udfører i et bestemt tidsrum, lig med den elektriske energi, der i samme tid afsættes i lederen, som vist i det følgende.

91

NV Im/sl

I iFig. 5.9.2. Leclersøjefe bevæget gennem magnetfelL

Kraften F bevæger lederen gennem magnetfeltet med hastigheden u.Ved denne bevægelse induceres i lederen en elektromotorisk kraft E=B i ~

Danner lederen en lukket kreds med den samlede resistans R, vilder løbe en strøm I, bestemt ved E = I B.

Heraf følger at

IB=B 1 •v,

ogda vs/t

I R=B •l

Den i lederen udviklede effekt er

J2 R=I B i!

Foretages bevægelsen med konstant hastighed over tidsrummet t bliver det elektriske arbejde

P 1? •t=I B i ~s

Dette elektriske arbejde er lig det mekaniske arbejde, som kraftenudfører over vejlængden s:

Wmek=Wel ~ Fs—1B 1s.

og ved division med s pa begge sider af lighedstegnet:

F=B11 [N].

5.10 Kraftpåvirkning mellem stromferende ledereSom omtalt omgiver en strømførende leder sig med et magnetfelt. Enanden strømførende leder, som anbringes i dette felt, påvirkes af enkraft. Omvendt vil denne anden leders felt påvirke den første leder,således at der sker en gensidig tiltrækning eller frastødning.

en»

Fig. 5.10.1. Feltlinier om strømførende lederpar oggensidig kraftpå virkning mellem lederne ved

a. samme strømretningb. modsat strømretning.

Ved hjælp af venstrehåndsreglen kan findes, at parallelle ledere medsamme strømretning tiltrækkes hinanden og ved modsat strømretning frastødes.

Størrelsen af den gensidige kraftpåvirkning kan bestemmes somfølger:

Fluxtætheden B i afstanden a fra en leder, der fører en strøm I~ eriflg. afsn. 5.2

B 11 .112~ a

Kraften på en anden leder med strømmen 12, der der anbringes iafstanden a fra den første er

F=B J 1

a. b.

93

Heri indsættes ovennævnte udtryk for B:

F ~ ______ •12,r~a 2,ra

Hvis lederne er anbragt i vacuum, skal ji sættes lig pr-, — 4,r 10 ~.

Udtrykket for kraftpåvirkningen mellem to strømførendelederebliver da:

4,r•10 7.j~ ~2 ~ 2•10 7112~2z•a a

Sættes 1~ = ‘2 = 1 A og a — 1 m findes kraften pr. m:

F=2~104 N

Dette resultat stemmer overens med definitionen på enheden ampere(afsnit 2.3). Af det ovenstående ses at det er den valgte definition påstrømstyrke, der er årsag til at vacuumpermeabiliteten i SI-enhedssystemet har fået den præcise værdi Po = 4g 10 ~.

5.11 Magnetfeltets energiindhold

5.11.1 Ind- og udkobling afspolerEn spole med resistans R og selvinduktionskoefficient L tilsluttes enjævnspænding U, idet afbryderen a sluttes til tidspunktet to. Strømmen kan ikke øjeblikkeligt nå sin maksimale værdi I = U/R, fordider, sålænge strømmen vokser, induceres en modelektromotoriskkraft e9. Dette kan tages som udtryk for at det tager nogen tid at opbygge magnetfeltet. Nar strømmen er blevet konstant (efter t1)begrænses den kun af B, da ç 0.

Til tidspunktet t2 åbnes afbryderen a. Det magnetiske felt kan ikkeforsvinde øjeblikkeligt. Der induceres i spolen en elektromotoriskkraft, hvis retning er bestemt af, at den søger at vedligeholde feltet.

Er der anbragt en diode over spolen (fig. 5.11.1), vil der i dennelukkede kreds kunne løbe en strøm, indtil feltets energi er opbrugt.

U+e~=R i

Heri indsættes ligningen for den inducerede spænding:

di- L

diU =R i

t

Udelades dioden vil afbrydelse af kontakten ci medføre en høj ændringshastighed af strømmen og dermed en stor induceret spænding

die = - ~ L,

hvilket medfører gnistdannelse over bryderkontakterne.

I

L L

Fig. 5.11.1. Ind- og udkobling af spole.

Ligningerne, der beskriver forløbet af strømmen i en spole under ind-og udkobling, kan opskrives ved hjælp af Kirchhoffs 2. lov:

Ved indkobling

+R R

95

Ved integration (vises ikke her) af den fremkomne ligning fås fig.udtryk for strømmens øjebliksværdi:

EteL)

Eti—I(1 e L )

Ved udkobling

Da der afbrydes for tilslutningen til forsyningsspændingen er U = 0.

= R i

og ved integrationR

i = e

Forholdet LII? benævnes tidskonstanten r med enheden sekunder.

i — I ~e

Indsættes t = r i ovenstående formler ses, at strømmen under ind-kobling vil være steget til

i=I(1 —e 1) — 1(1 0,368),

svarende til 63,20o af sin maksimale værdi. Under udkoblingen erstrømstyrken efter samme tid faldet til

i1e ‘=10,368

Strømmen gennem en spole kan altså på grund af induktansen ikkeændres momentant.

5.11.2 Energi oplagret i en stromførende spoles magnetfeltEt magnetfelt skabes i og omkring en spole, når spolen tilføres energii form af en elektrisk strøm. Når feltet igen nedbrydes frigives energien, som beskrevet i afsnit 5.11.1. Den frigivne energi kan bl.a. forårsage en gnist eller lysbue over det kontaktsæt, der afbryder spole-strømmen.

Når spolestrommen vokser og magnetfeltet opbygges gælder somvist i det foregående afsnit

U+e~R i ~ UR i—e~

Heri indsættes ligningen for den inducerede spænding, udtrykt vedspolens induktans og strommens ændringshastighed:

di= - L

U=R•i÷4~L

I tiden dt tilføres spolen en energi dW, der kan beregnes som produktet af dt i og spændingen U:

dW — U. idt = R• i. idt + 4-EL idtdt

Denne ligning integreres over tidsrummet t = 0 til tiden t = T, hvorstrømmen praktisk talt har nået sin maksimale værdi. Integralet afR .i2dt er den energi, der som stromvarme afsættes i spoletråden. Detsidste led er den energi, der oplagres i spolens magnetfelt:

w=(2Lidt_~L[i2(t T) i2Q 0)]

Da i = 0 ved t = 0 og i = I når feltet er blevet konstant er feltets magnetiske energi

W=4L12

5.12 Induktanser i serie- og parallelforbindelse

I lighed med hvad der er vist for resistanser og kondensatorer kander udledes formler for beregning af serie- og parallelforbundneinduktanser.

5.12.1 Serieforbindelse af induktanserI fig. 5.12.2 er vist to seriekoblede induktanser L1 og L2 og dereserstatning Lres. Alle induktanserne er ideelle, d.v.s. der ses bort fraden resistans, der er i praktiske spoler.

L L2 L~

Fig. 5.12.1. Serie forbindelse af induktanser.

For hver af de to viste induktanser gælder:

di die1 ~L1 og e2= ~jL2

og da strømmen må ændre sig med samme hastighed i de serieforbundne spoler er

di die1+e2= jj(L1÷L2)— ~jLres

Den resulterende induktans er lig summen af de serieforbundne spolers induktanser:

Lres = L1 + L2.

5.12.2 Parallelforbindelse af induktanser

To eller flere induktanser i parallelforbindelse kan erstattes af enenkelt. Den følgende formel forudsætter, at der er tale om ideelleinduktanser uden serieresistans.

L

K >

Fig. 5.12.2. Parallelforbindelse af induktanser.

+u

L2

98

Ifølge Kirchhoff’s 1. lov er til enhver tid i = i1 + i2, og dermed

— ÷dt dt dt

heraf følger

= -~- +Lres L1 L2

Da spændingen over hver af de parallelforbundne spoler er densamme, kan e = u forkortes bort:

i i i

Induktanser kan altså ved serie- og parallelforbindelse behandlesefter samme regler som gælder resistanser.

Beregningseksempler til afsnit 5

Eks. 5.1En træring med cirkulært tværsnit bevikles med en spole med 8000vindinger jævnt fordelt.Ringens ydre diameter er 12 cm og den indre diameter 10 cm.Stromstyrken i spolen er 0,8 A.Det magnetiske felt i den beviklede ring skal beregnes.

Først bestemmes den magnetomotoriske kraft:

F~=I N=0,8 8000=6400Av

Ringens tværsnitsareal er42 i2

21••t. = 2Z•~Å =0,785cm2=0,785 10 ‘~m24 4

idet diameteren af ringen er ‘/2 (12 10) — 1 cm.

Ringenslængdeerl=~ d~Id=2r 1134,6cm—34,6 .102 m

Reluktansen bestemmes:— i — 34,6.102 — 9

Rm ~Mo ~A — 10 ~ 0,785 io~ —3,51 10

Til sidst beregnes fluxen som forholdet mellem den magnetomoriskekraft og reluktansen:

‘= i~= 3,51 ~i0~ = 1,82 10 6 Wb —1,82 gWb

Eks. 5.2Træringen i eks. 5.1 erstattes med en jernring med samme dimensioner. Der kan regnes med Mr = 1200.Hvilket amperevindingstal kræves for at opnå samme felt i ringensom fundet i eks. 5.1?

i 34,6 . 10—2 6Rm=p0 Mr ~A 10 ~ 1200 0,785 •io~ = 2,93 10

Fm = Rm 0=2,93 .106 1,82 .10-6 5,3 Av

Eks. 5.3

Fluxtætheden i en luftspalte i en magnetisk kreds er 0,8 T. Hvad erfeitstyrken?

= 4n~10 ~ = 637 ~1O~ Av/m

Eks. 5.4På grundlag af magnetiseringskurven fig. 5.4.1 skal Mr bestemmes forstøbejern ved en fluxtæthed på 0,6 T.

B 0,6 0,3•10 ~H 2•10

pO,3.lO =239

Po 4,r’lO ~

Eks. 5.5En 12 cm lang leder bevæges med hastigheden 30 mis vinkelret påfeltretningen gennem et magnetfelt med fluxtætheden 0,15 T.Den inducerede spænding beregnes:

EB 1 v=0,15 0,12 300,54V

Eks. 5.6I en spole med 1000 vindinger øges feltet i løbet af 10 ms fra 0,6 til0,8 mWb.Størrelsen af den i hver vinding inducerede spænding er:

— 40 (0,8 0,6)10~1oio~ —0,02V

Den samlede spænding, der induceres i spolen er:

Espoje = E N= 0,02 •1000 —20V

Eks. 5.7Find selvinduktionskoefficienten L af en spole med med 850 vindin.ger viklet på en jernring med middellængden 45 cm og tværsnitsarealet 5 cm2.Der regnes med Mr 1000.

L=N Pr jig A 8502 ~1000•4,r~10 ~•5•10~ =1,OHI 0,45

101

Eks. 5.8En spole fører en jævnstrøm på 0,2 A. Denne strøm falder med jævnhastighed til 0 på 0,1 s, hvorved der induceres en elektromotoriskkraft på 1,2V.

Spolens induktans L skal bestemmes.

E 1,2L= = (0~ =0,6 H

dt Ço,i)Hvad er spolens energiindhold, mens strømstyrken er 0,2 A

W 34 L .j2 = ‘/2 0,6 0,22 = 0,012 J = 12 mJ

Eks. 5.9Bestem kraften, der virker på en leder, hvori der løber en strøm på 20A, idet 150 mm af lederen befinder sig i et magnetfelt med fluxtætheden B = 0,75 T.

F=B I 1=0,75 20 0,150=2,25 N

Eks. 5.1010 cm af en ledersløjfe med samlet resistans 0,4 ≤2 bevæges i 2 sekunder gennem et homogent magnetfelt med en jævn hastighed på 6 misvinkelret på feltlinierne.Feltets fluxtæthed er 300 mT.

Bestem: Den inducerede spænding EStrømmen i i lederenKraften F, der virker pa lederenDet udførte arbejde W

E=B 1 ~ = 0,3 0,1 6 = 0,18 V

i- — - -04 A— R — 0,4 —

F=B I 1=0,3 0,45 0,1= 0,0135 N

WFsFu t 0,01356 2 0,162Nm

6. Vekselstrømsteori

6.1 Fremstilling af vekselspænding og -strom

I afsnit 5.7 blev det beskrevet, hvorledes der i en spole, som udsættesfor et varierende magnetfelt, induceres en elektromotorisk kraft e,hvis størrelse afhænger af feltets ændringshastighed og af spolensvindingstal:

e =

dt

I det specielle tilfælde, at en leder bevæger sig med konstant hastighed vinkelret på feltlinierne i et homogent magnetfelt, er den inducerede EMK konstant og har værdien E = B I v.

L___

iFig. 6.1.1. Roterende !edersløjfe i magnetfelt.

På fig 6.1.1 har ledersløjfen form som et rektangel, hvis lange siderbevæger sig på tværs af et homogent felt, når sløjfen roterer om denstiplede linie.

Vinkelhastigheden er konstant. Hastigheden af en slojfeside påtværs af feltet findes ved opløsning af bevægelsen i to komposanter,en komposant vinkelret på feltet og en i feltets retning (fig. 6.1.2).Kun den del af bevægelsen, der er vinkelret på feltretningen skærerfeltlinier, således at der induceres en elektromotorisk kraft.

s

103

Hastighedens komposant på tværs af feltet kan for alle punkter påcirkelbevægelsen skrives (se fig. 6.1.2):

v sina,idet u er hastigheden i tangentens retning. øjebliksværdierne af deninducerede elektromotoriske kraft kan nu findes af

e = B I v sina

Ved a = 00 og a = 180° (hvor lederen bevæger sig i feltets retning) ersina = 0, derfor er e = 0.

Fig. 6.1.2. Hastighed på tværs af feltet som funktion af vinklen.

Emax opnås ved sina = +1 eller 1, altså når a er 90° eller 270Indsættes Emax = B i u i i udtrykket for øjebliksværdien af e,

ses at e = Emax sina. En funktion af denne art kaldes sinusformet,og dens graf kan konstrueres som vist fig. 6.1.3.

Tiden for et fuldt gennemlob af cirklen (som her svarer til en omdrejning af sløjfen) kaldes periodetiden T [sJ, og da denne tid svarer til360° ses at

t aT — 360°

v VGOSa

0°

Antallet af hele perioder pr. sekund betegnes frekvensen f, altsa:

og f=4 [s’Hz]

Er f.eks. f 50 Hz bliver periodetiden T = 0,020s —20 ms.

Af forholdet — følger at a = 360 f t, idet 4 erstattes af f.

Da 360° svarer til 2~ radianer, kan formlen for den elektromotoriskekraft omskrives til

e = Emax sin (2ir f t).

Dette udtryk skrives ofte pa formen

e = Emax sin (w

idet vinkelhastigheden w = 2ir - f.På lignende måde angives andre sinusformede elektriske og magnetiske størrelser, for eks.

u = Umax• sin (w

= ‘max sin (t» Ø og

≠ 0max5~U~» t).

En vekselspænding eller -strøm har foruden maksimalværdien, somnævnt ovenfor, følgende karakteristiske værdier:

Fig. 6.1.3. Konstruktion af sinuskurve.

105

Effektivværdien, der er lig størrelsen af den jævnspænding ellerjævnstrøm, der giver samme effekt i samme resistans.

I afsn. 6.1.1 vises, at for en sinusformet spænding er Ueff ~max

Da effektivværdien er langt den mest benyttede, udelades som regelindexet off’ når dette ikke kan medføre uklarhed.

Middelværdien er middelværdien af de numeriske øjebliksværdierover en hel periode.

I afsn. 6.1.2 vises for sinusformede spændinger følgende sammen-hæng:

2Uffl~d ~

Formfaktoren har symbolet ~ og er forholdet mellem effektivværdiog middelværdi:

~

Umi

For sinusform er 1,11.2q~

De ovennævnte formler, hvori der som eksempel er anvendt spændinger, gælder på lignende måde for strømme.

max.eff.

mid.

Fig. 6.1.4. Forhold mellem maksimal, effektiv og middelværdi.

6.1.1 EffektivværdiTil betegnelse af en sinusformet strøms eller en spændings størrelsebenyttes effektivværdien. En strøms effektivværdi er fastlagt således,at den er lig med størrelsen af den jævnstrøm, der i samme tid afsæt

t

106

ter samme energi i samme modstand. Dette gælder på lignende mådefor spænding.

Ud fra denne forudsætning kan forholdet mellem maksimalværdiog effektivværdi findes:

~ R t = j2 1? t

og ved division med R:

~ t=i~t

Som fig 6.1.5 viser er t = .f ~ t, idet begge er udtryk forsamme areal.

Heraf følger

12— I 2 ~ J — maxi2 max

Dette viser, at en sinusformet vekselstrøm i samme tid udfører samme arbejde som en jævnstrøm, hvis størrelse er lig vekselstrømmensmaksimalværdi divideret med kvadratroden af 2. Man definerer derfor effektivværdien af en sinusformet strøm således:

j — maxeffq7

og på lignende måde

u — max

T2‘max

‘i

‘max

i = f (t)

Fig. 6.1.5. Bestemmelse af effektivværdi.

107

Denne sammenhæng kan også vises ved integration saledes:Arealet under i2 - kurven i tiden Tbestemmes

T ‘eff = i: i2dt = ~ ~in2wtcu

Som nævnt tidligere er T tiden for en hel periode svarende til en vinkel på 3600 eller i radianer 2,r.

Ligeledes erstattes wt = 2z f - t af vinklen a, hvorefter beregningen bliver saledes:

2irI~ = ~ fsin2acza

2 12ff= ‘max 1~a — ~ srn2aj0

Ir~ax(Æ_±sin47t o+~sino)

Parantesens tre sidste led er alle lig 0:

2z I~j~ I~ax -ir

Ligningen divideres med 2n-pa sider aflighedstegnet:

I 2—~J2et! — 2 max

‘eff rJj~~Imax

6.1.2 MiddelværdiBeregning af middelværdi foretages lettest ved integration over enhalvperiode af arealet under i-kurven:

= ‘max ~sinwtdt

- ‘mjd ‘max fsinacia

‘max [ cosa]~

1rnax ( cos,r (—cos 0)) = ‘max 2i 2

‘mid 1max ~

108

Pa fig. 6.1.6 ses placeringen af middelværdi-linien, således at arealet‘mid 2Ter lig arealet under sinuskurven i samme tid.

Det bemærkes, at en beregning af en sinuskurves middelværdi tagetover en hel periode vil give resultatet 0. Beregning af middelværdierhar fortrinsvis interesse i forbindelse med ensrettede vekselstrømmeog -spændinger. Fig. 6.1.7 viser en enkeltensretning.

Da hver anden halvperiode mangler, er ‘mid = ~‘max

Fig. 6.1.7. Enkeltensretning. Fig. 6.1.8. Dobbeltensretning.

Ved dobbeltensretning vendes hver anden halvperiode, og kurven bliver som vist fig. 6.1.8.

Formfaktoren bliver for denne kurveform som for sinusform:

—~—11L‘mid 2~

I

I

t

Fig. 6.1.6. MiddelværdL

I

PT

t2T T 2T

6.2 Vektorer. Potentialdiagrammer

6.2.1 VektorerI vekselstrømsteorien er vektorbegrebet, som det vil fremga af defølgende afsnit, et uundværligt hjælpemiddel ved beregning.

En vektor er et liniestykke med retningsangivelse, og er bestemtved sin størrelse (liniestykkets længde) og sin retning (angivet meden pil i liniens ene ende).

Vektorer anvendes til beregning af retningsbestemte størrelser(f.eks. kræfter) eller størrelser, der varierer i tid (f.eks. sinusformedespændinger og strømme). Ved kompleks regning (se afsn. 14) anvendes desuden begrebet kompleks impedans. Denne impedans er entidsuaffiængig vektor.

For at fastlægge en vektors længde ma der vælges en skala, for enspændingsvektor f.eks. i volt/cm. Retningen fastlægges i forhold til envalgt referencelinie. Vektoren kan under beregningerne flyttes(parallelforskydes) efter behov, salænge dens længde og retning ikkeændres.

Normalt skal der tegnes to eller flere vektorer. Man anvender dablot den, der tegnes først som referencevektor. De øvrige vektorerafsættes så med retning i forhold til denne referenceretning.

Alle spændingsvektorer skal afsættes med samme antal volt pr.længdeenhed, ligesom alle strømvektorer skal have samme skala i f.eks. ampere/cm.

Nar vektorer optræder i formler må det markeres, at der er tale omen vektorstørrelse.

I denne bog betegnes en vektor med en streg over symbolet: F ,U -

RegnereglerVed tegning af vektordiagrammer for vekselstrømskredsløb som vist ide følgende kapitler anvendes addition og subtraktion af vektorersamt multiplikation af en vektor med en skalar.

En vektor ganges med et tal (en skalar) ved at vektorens længdeganges med tallet, mens retningen bibeholdes. Hvis f.eks. en kraftvektor F ganges med tallet a, bliver resultatet en vektor med sammeretning, men med en længde, som er a gange større. I fig. 6.2.1 erdette vist med a 2. Hvis ci er et negativt tal, får vektoren “pilen iden anden ende”, d.v.s. den drejes 1800.

110

= 2.5

Fig 6.2.1. Multiplikation med skalar.

Addition af vektorer kan ske grafisk som vist fig. 6.2.2. Til venstre ervektorerne tegnet ud fra samme punkt og danner et parallellogram;til højre er vektorerne tegnet i forlængelse af hinanden. Som det seser resultatet ens. Vektorernes sum kan nu findes ved maling pategningen eller ved beregning med anvendelse af trigonometriskeformler.

~u2

u3 = +

Fig 6.2.2. Addition af vektorer.

Subtraktion sker ligesom ved addition, idet der gøres brug af, at envektor, der ganges med ( 1) beholder uændret længde, men får “pileni den anden ende’.

Udtrykket 77 —77 omskrives til I~ + (—‘2)~ hvorefter de to vektorer77 og —77 adderes som vist fig. 6.2.3.

- 12

u1

\\ U3

u2

Fig 6.23. Subtraktion af vektorer.

6.2.2. FaseforskydningI vekselstrømskredse optræder der ofte faseforskydning. Det vil sige,at to sinusformede størrelser, f.eks. to spændinger eller en spændingog en strøm, ikke følges ad i tid. De opnår ikke deres maksimalværdisamtidigt og har ikke nulgennemgang samtidigt (se fig. 6.2.4 og6.2.5).

Summen af to spændinger U1 og ~j2 kan findes ved at lægge øjebliksværdierne u1 og u2 sammen som vist fig. 6.2.4, ligesom effekt.kurven kan tegnes som produktet af strømmens og spændingensøjebliksværdier (fig. 6.2.5).

Dette arbejde forenkles meget, hvis man i stedet lader kurvernerepræsentere ved vektorer og foretager beregningerne på dissevektorer. Hvis en vektor med længden Umax eller ‘max roterer medvinkelhastigheden &, kan øjebliksværdien u hhv, i findes ved projektion af vektoren ind pa en akse vinkelret på tidsaksen (Fig. 6.2.6).

Spændinger og strømme skal så blot afsættes ud fra en fælles tids-akse, hvad enten denne tegnes eller ej.

\

1-~/ I

I II

a

II

I

Fig. 6.24. Summen af to Fig. 6.2.5. Produktet af strøm ogspændinger. spænding.

u U max

Fig. 6.2.6. øjebé’iksværdi ved projektion af max. værdL

Som regel afsættes vektorerne med en længde lig med effektiv-værdien, altså maksimalværdien divideret med ‘[2. Resultatet afberegningerne vil da også være givet som en effektivværdi.

Herunder (fig. 6.2.7) ses, hvordan vektordiagrammerne ser udsvarende til de to kurvegrafer fig. 6.2.4 og 6.2.5.

- Ures

p U2

U

Fig. 6.27. Vektordiagrammer for kurverne fig. 6.2.4 og 6.2.5.

Når vektordiagrammerne er tegnet, kan beregningerne foretages vedhjælp af trigonometriske formler.

6.2.3 PotentialdiagrammerEthvert punkt i et elektrisk kredsløb har et potentiale, en spændingsforskel i forhold til potentialet i et referencepunkt. Dette referencepotentiale kan være jord- eller stelpotentiale, eller den ene tilslutningsklemme i spændingsforsyningen, eller et andet vilkårligt valgtpunkt.

00

113

b

Fig. 6.2.8.

Ved spændingen Ua i et punkt a forstås punktets potentiale i forholdtil kredsens referencepunkt.

Til illustration betragtes først jævnstrømskredsløbet fig. 6.2.8.Kredsens referencepunkt er mærket 0, og har potentialet ~j0~

Potentialet i punkt b er E1 højere end refencepotentialet:

UbUo+El ~ Us U0E1

Spændingsforskellen Ub — U0 mellem punkterne b og 0 betegnesUbo, hvor punktet med højest potentiale (b) skrives først i indekset.

Potentialet i punktet a er

Ua=Uo~E2r~Ua~~Uo= E2

hvoraf Uao =

eller Uoa — E2.

Spændingsforskellen Uba (med højest potentiale i b) beregnes af

Uba=UbO Uao~Ei (E2)=E1+E2

Punktet c’s potentiale er

UC=Ub R2I=Ub UbC

For vekselstromskredse kan anvendes de samme fortegnsregler, ideten spændingsvektor tegnes, så det højeste potentiale svarer til vektorpilen.

Elektromotoriske kræfter hæver potentialet i spændingsvektorensretning. Impedanser, der gennemløbes af strøm, forårsager et spæn

0

a

114

dingsfald i strømmens retning. Dette spændingsfald er produktet afimpedansen og strømmen

b

Z1 Uba

0

z2

Fig. 6.2.9. Vekselstrømskredsløb med vektordiagram.

Ved simple kredse kan det ofte være underordnet i hvilken rækkefølge spændingerne tegnes, men skal man grafisk eller ved beregningbestemme spændingsforskellen mellem to punkter i et sammensatkredsløb, er det vigtigt at vektorerne tegnes i korrekt rækkefølge.

6.3 Kirchhoff’s love anvendt på vekselstrømskredse

Idet der tages hensyn til, at strømme og spændinger skal regnes somvektorer, kan Kirehhoff’s love formuleres således for vekselstrømskredse:

1.lov: Summen af strømmene, der flyder til et knudepunkt, er ligmed summen af strømmene, der flyder fra knudepunktet, idetstrømmene skal regnes som vektorer:

110

2.lov: I en lukket kreds er summen af de elektromotoriske kræfter,regnet som vektorer, lig med summen af spændingsfaldene,regnet som vektorer:

lE LAU

Kirchhoffs love har som forudsætning de metoder, der beskrives ikapitlerne 7 til og med 11.

115

6.4 Vekselstromskredse, impedans

En vilkårlig kreds, der påtrykkes en sinusformet spænding U og derved gennemløbes af strømmen I, siges at have impedansen Z = U/I(Ohm’s lov for vekselstrømskredse).

Impedansen eller vekselstromsmodstanden Z er altså forholdetmellem spændingens og strommens effektivværdier, og måleenhedenfor Z er volt pr. ampere — ohm. Fig. 6.4.1 viser det generelle tegningssymbol for impedans.

z-0-

Fig. 6.4.1. ImpedanssymboL

Impedansen af en kreds er, udover ved denne numeriske værdi,karakteriseret ved den faseforskydningsvinkel ~, den forårsager mellem spænding og strøm.

Enhver impedans kan tænkes sammensat af en eller flere af følgende ideelle komponenter:

Navn Symbol Vektordiagram

Resistans, R U“ohmsk” modstand —

Induktiv reaktans XL 0L

—‘~uu~-

Kapacitiv reaktans x~ =

IHFig. 6.4.2. Ideelle komponenter.

Som vektordiagrammerne viser, tegnes spænding og strøm i fase vedren resistans, mens spændingen over en induktiv reaktans er 90foran strømmen og spændingen over en kapacitiv reaktans er 90efter strømmen. Som det ses, indgår de tidligere beskrevne begreberinduktans (selvinduktion) L og kapacitans C i formierne. Endvidereses det, at impedansen af en kreds, der indeholder en reaktans, erfrekvensafhængig.

Begreberne induktiv og kapacitiv reaktans beskrives nærmere i defølgende afsnit.

6.5 Induktiv reaktans

Den viste kreds (fig. 6.5.1) indeholder en spole med induktansen Lsamt en resistans R, som er så lille, at den kan sættes til 0 ohm.Spolen er tilsluttet en sinusformet u = Umax sina, som forårsager enstrøm i kredsen. Da i R = 0 må tilslutningsspændingen u og deninducerede spænding e~ være lige store og i modfase:

L (seafsn. 5.8).

R=O

L

Fig. 6.5.1. Vekselstrømskreds med iriduktans.

Idet u = Umax sinwt indsættes, kan ligningen omskrives til

di Umnx~= L sinwt

Ved integration af denne ligning findes følgende udtryk for strømmen:

Umax 1 coswt—L a

Umax sin (wtcoL 2

117

Sættes nu 2z f L = ai’L = XL, ses at strømkurven er sinusformetmed maksimalværdj Uma2XL, samt at den er faseforskudt 90° bagudfor spændingskurven u.

Herefter kan XL skrives som forholdet mellem effektivværcljerne afstrøm og spænding:

q=XL=2~.f.L

XL, som benævnes reaktansen, eller mere præcist den induktivereaktans, har måleenheden volt pr. ampere = ohm.

Herunder er tegnet kurverne for strømmen i, magnetfeltet ø, deninducerede spænding e5 samt u, alle som funktioner af cx = at

Kurveforløbene er bestemt således: Strømmen i forudsættes sinusformet, feltkurven ø følger strømmen og har derfor også sinusformmed nulgennemgang samtidigt med i.

Den elektromotoriske kraft er bestemt af e~ = dildt. e-kurven fårderfor maksimum, hvor i-kurven har sin største hældning i faldenderetning. Endelig er ii = —e8. Disse to kurver er altså ens, men i mod-fase.

Af kurverne fremkommer det viste vektordiagram. Dette tegnesnormalt med anvendelse af effektivværdier. Det ses at I er 90° efterU, d.v.s. med faseforskydningsvinkel ç’ = 90° induktiv.

u

lE8

Fig. 6.5.2. Kun’er og vektordiagram for ren induktiv kreds.

Vektordiagrammet er tegnet med effektivværdier, og der ikke anvendt samme skalaværdier i V/cm og A/cm som i kurvediagrammet.

118

6.6 Kapacitiv reaktans

En ideel kondensator med kapaciteten C tilsluttes en vekseispændingu = Umax sina. Den af strømmen tilførte ladningsmængde q opladerkondensatoren til spændingen u~. Sammenhængen mellem dissestørrelser er

i = (se afsn. 4.3).

Da der ikke er resistans i kredsen er ti + UC = 0, hvilket kan omskrives til uC = —ti.

Da tilslutningsspændingen ti forudsættes at have sinusform, kanudtrykket for strømmen i omskrives til:

i = c d(U~ sinai t)

Fig. 6.6.1. Vekselstrømskredsmed kapacitans.

Ved differentiation af denne ligning fås fig, udtryk for strømmensøjebliksværdi:

i = C ~ wcoswt

hvilket kan omformes til

Umax sin(a2 +

1.O)C

Sætter man nu

i X~

forenkles udtrykket for strømmens øjebliksværdi til

~ sin(tvt + ‘~) Imax sin(wt +

Heraf ses at strømkurven har sinusform med maksimalværdjenUmadXc, samt at den er faseforskudt 900 foran spændingskurven u.Herefter kan X~ skrives som forholdet mellem effektivværdjerne afstrøm og spænding. X~ benævnes den kapacitive reaktans og har ligesom den induktive reaktans måleenheden ohm.

Kurveforløbene fig. 6.6.2 er bestemt af i = C dt og u = UfJ, da derikke er resistans i kredsen.

Af kurverne og det tilhørende vektordiagram ses, at strømmen i er900 forud for klemspændingen ii, d.v.s. faseforskydningsvjnklen çü er90° kapacitiv.

N

Fig. 6.6.2. Kuiver og vektordiagram for ren kapacitiv kreds.

Vektordiagrammet er tegnet med effektivværdier, og der ikke anvendt samme skalaværdier i V/cm og A/cm som i kurvediagrammet

Beregningseksempler til afsnit 6

Eks. 6.1En sinusformet spænding har Umax = 2120V og f 162/a Hz.Bestem øjebliksværdien u til tiden 20 ms efter at u = 0 (i stigende retning):

u= Umaxsifl(27t•f•t)

= 2120 sin (2 ~r .162/3.0,020) = 2120 0,866 — 1836V

Vinklen blev her indsat i radianer. I stedet kan vinklen beregnes igrader:

a=36~t = 360 t ~f= 360 ~0,020 .162/3= 120

u= Umax sin a2120 sin 120° 1836V

Eks. 6.2En sinusformet spænding har effektivværdien U = 230 VMaksimalværdien bestemmes:

Umax=’T2 U=’[2 ~230=325,3V

Eks. 6.3Bestem middelværdien af en sinusformet strøm med maksimalværdien 12,0 A.

‘mid ~ •Imax= 2 12,0—7,64A

Eks. 6.4Find impedansen af en komponent, der ved tilslutning til 220 V, 50Hz gennemløbes af en strøm på 1,50 A.

z=q = j-g~ =146,7Q.

Eks. 6.5Spændingen over en induktiv reaktans XL er 60,0 V, 50 Hz og strømmen gennem den er 350 mA.

Induktansen L skal bestemmes.

U 60,0XL= I 0,350 171,40

L = XL 171,4 0,546 H2,r•f 2,r50

Eks. 6.6Gennem en ideel kondensator, C — 20 1.tF løber en strøm I = 0,50 Aved frekvensen f 200 Hz.Bes~em effektivværdien af spændingen over kondensatoren.

1 106Xc 39,802ir~f•C 2,r~200•20

U1 Xc0,50 39,8 = 19,9V.

7. Beregning af vekselstrømskredseved vektordiagrammer

Enhver vekselstrømskomponent eller -kreds kan tænkes sammensataf elektromotoriske kræfter samt en kombination af resistanser,induktanser og kapacitanser. Disse “byggeklodser” sammensættes tilet ækvivalentskema, som med god tilnærmelse kan erstatte den virkelige kreds, således at man lettere og mere overskueligt kan gennemføre beregninger på den. Sammensætningen af ækvivalentskemaet afhænger naturligvis af, hvor nøjagtige beregninger, derønskes foretaget.

Eksempelvis vil man ved netfrekvens ofte beskrive en spole sombestående af en resistans og en induktans i serie. En kondensatorkan man ækvivalere med en parallelforbindelse af en kapacitans ogen meget stor resistans. I praksis er kondensatorers faseforskydningsvinkel så tæt på 900, at man oftest regner parallelresistansenuendelig stor.

Elektriske maskiners viklinger indeholder spændingsfald, som kanopfattes som serieforbundne resistanser og induktanser, og det samme gælder luftledninger i elektriske fordelingsnet. Men både for luft-ledninger og kabelnet må desuden regnes med kapacitanser mellemlederne indbyrdes og mellem hver leder og jord.

De følgende afsnit beskriver metoder til at foretage beregninger paforskellige typer af ækvivalentskemaer.

Ved regning på en virkelig komponent eller kreds ma denne førstomsættes til et ækvivalentskema, som med den ønskede nøjagtighedkan erstatte kredsen, og beregningsmetoderne kan så anvendes pådette skema.

7.1 Serieforbindelse af resistans og induktans

Strømmen ler fælles for komponenter i serie. Den samlede spændinger lig summen af spændingerne:

U = I•R + I - XL = U~ +

123

•

flR

u~XL

Fig. 7.1.1. Resistans og induktansi serieforbindelse.

Spændingen over resistansen I. R er i fase med strømmen, ogspændingen over den induktive reaktans er faseforskudt 90° foranstrømmen.

LT findes som summen af vektorerne I. R og I . XL.

Ved division med strømmen I fremkommer impedanstrekanten fig.7.1.3. Kredsens samlede impedans er

Uz-I

Den samlede faseforskydning beregnes af

Rcos~,=~ eller tanç~= .1?

Da spændingsvektorerne danner en retvinklet trekant, gælder følg.ende formler:

(J2 = UR2 + UL2

UR = U eos~, (den “ohmske” spænding)

UL = U sinq, (den induktive spænding)

XL

Fig. 7.1.3. Impedanstrekant.

uUL

Fig. 7.1.2. Vektordiagramfor fig. 7.1.1.

R

124

Lignende sammenhænge gælder for impedanstrekanten (fig.7.1.3):

22= .R2 + XL2

R = Z cos~

XL = Z sing~

7.2 Serieforbindelse af resistans og kapacitans

Fig. 7.2.1 viser en serieforbindelse af en resistans og en ideel kapacitans.

R

xc

Fig. 7.2.1. Resistans og kapacitans i serieforbindelse.

spænding over en serieforbindelse er lig summen afover de enkelte serieforbundne komponenter:

Spændingen over resistansen afsættes i fase med strømmen. Denkapacitive spænding er faseforskudt 900 efter strømmen. Spændingenover hele serieforbindelsen findes som summen af vektorerneI~R og ~

u

Den samledespændingerne

U = LR + I Xc = UR + Uc

Fig. 7.2.2. Vektordiagram for fig. 7.2.1.

Siderne i impedanstrekanten finder man ved at dividere spændingsvektorerne med I.

Kredsens samlede impedans er som tidligere vistUz-I

og faseforskydningsvinklen findes af

Rcos~,= ~ eller tan~ B

R

xcFig. 7.2.3. Impedanstrekant.

Analogt med formlerne for en induktiv kreds er:

og

U2 = UR2 + U02

UR = U cosç,

U~ = U sinq’ (den kapacitive spænding)

Z2 = B2 + Xc2

R=Z •cos~

X~ = Z sinp

7.3 Serieforbindelse af resistans, induktansog kapacitans

Ifig. 7.3.1 er alle tre ideelle komponenter koblet i serieforbindelse.

Den samlede spænding over serieforbindelsen er lig vektorsummen afde enkelte spændinger.

ti J.R+J.XL+I.X UR+UL+Uc

z

126

Spændingsvektordiagrammet konstrueres saledes:Strømvektoren I tegnes, hvorefter spændingerne afsættes. Den

ohmske spænding tegnes i fase med strømmen, den induktive 90foran og den kapacitive 900 bagud for strømmen.

R

XL

TXC

Fig. 7.3.1. Resistans, induktans og kapacitans i serieforbindelse.

Fig. 7.3.3. VektordiagramXL <~‘C

Hvis XL > Xc vil den resulterende spænding ET være forud for I.Den resulterende faseforskydning er induktiv.

Er XL < Xc bliver den resulterende faseforskydning kapacitiv, ogstrømmen gennem kredsen er forud for spændingen.

Serieforbindelsens impedanstrekant får man som tidligere vist vedat dividere spændingsvektorerne med I.

Af figurerne ses at:

og(P=UR2+(UL Ud2

.Z2=R2+(XL X&2.

u

uc ULUL

Fig. 7.3.2 VektordiagramXL>Xc.

u uc

127

Fig. 7.3.5. ImpedanstrekantXL<XC.

7.4 Serieresonans

Betragtes formien for spændingerne i en serieforbindelse, der indeholder en induktans og en kapacitans, ses at sidste led i formlenbliver 0, såfremt den induktive og den kapacitive spænding er ligestore: UL = U~.

Dette er ensbetydende med at XL = X~,eller

2,rf•L=2~ . f• C

For givne værdier af L og C vil der være en frekvens, resonansfrekvensen f0, ved hvilken XL = X~. Denne frekvens findes af ovenstående udtryk ved isolation af f på venstre side af lighedstegnet:

i° — 2njT~ö

Bemærk at L og C skal indsættes i grundenhederne, henry og farad.

Fig. 7.4.1. Vektordiagram,serieresonans. U~

z

R

RXL X~

Fig. 7.3.4. Impedanstrekantx >x~.

z XCXL

UR = U

Ved resonans bliver kredsens faseforskydningsvinkel O~, da

RRcos~o=~ = = 1.

Ved resonansfrekvensen optager kredsen den største strøm, kun bestemt ved resistansen, da Z — R. Ved alle andre frekvenser er strømmen mindre.

Såfremt R 0 bliver også den samlede impedans Z 0, og serieforbindelsen optræder derfor som en kortslutning overfor en spændingmed frekvensen f0.

7.5 Parallelforbindelse af resistans og induktans

Spændingen U er fælles for de to parallelforbundne komponenter RogX~.

Strømmene i disse to komponenter kan beregnes af:

U UI~~og ‘L~

Fig. 7.5.1. Parallelforbindelse af resistans og induktans.

Den samlede strøm er den vektorielle sum af’R og ‘L (Kirchhoff’s 1.lov):

~

Strømmen ‘R er i fase med U, mens ‘L ~ induktansen erfaseforskudt 90° bagud for U. Oa strømmene derfor er vinkelrette pahinanden kan størrelsen af den resulterende strøm I beregnes af

12 i2÷P

129

Fig. 7.5.2. Vektordiagramtil fig. 7.5.1.

Som det fremgår af vektordiagrammet kan faseforskydningsvinklenfor den samlede forbindelse findes af

cosço =

og kredsens samlede impedans er

I

7.6 Parallelforbindelse af resistans og kapacitans

Fig. 7.6.1 viser en resistans, som er parallieforbundet med en ideelkapacitans.

Fig. 7.6.1. Parallelforbind&se af resistans og kapacitans.

Spændingen U er fælles for R og X4~, og strømmene kan beregnes af:

U Uog

Den samlede strøm er vektorsummen af disse to strømme:

+ I4~

130

Kondensatorstrømmen I~ tegnes 900 foran U.Af vektordiagrammet fig. 7.6.2 ses at

12 j2 +j~

samt atiflcOsço= ~

Den samlede impedans er

I

Fig. 7.6.2Vektordiagram til fig. 7.6.1.

Impedansen Z for en kreds, der som de ovenfor beskrevne, består afen ren resistans og en ren induktans eller kapacitans i parallel, kanberegnes således:

(I)2(J~2(J~2 ±~*+.kL~UJ I~UJ I~U} Z2 R’~ X2

og effektfaktoren får fig. ligning:

U‘it B Zcosq, —

JURz

131

7.7 Parallelforbindelse af resistans, induktansog kapacitans

Strømmene i hver af de parallelforbundne komponenter beregnes somforholdet mellem spændingen og komponentens impedans:

ii UR’ ‘L

Uog

~XL Xc

Fig. 7.7.1. Parallelforbindelse at resistans, induktans og kapacitans.

Fig. 7.7.2. Vektordiagram til fig. 7.7.1.

De tre strømme lægges sammen vektorielt:

~ + IC

Den resulterende strøm beregnes af vektordiagrammet:

P1R2+(IL 1~)2

c L

132

Bemærk at der er tale om ideelle komponenter. Såfremt der i seriemed en af reaktanserne er indskudt en resistans, er der tale om enblandet forbindelse som beskrevet i afsn. 8.1.

Kredsens impedans og faseforskydningsvinkel beregnes:

Uz-I

iacos~, =

7.8 Parallelresonans

I ovennævnte udtryk for den samlede strøm til en kreds, der indeholder en induktans og en kapacitans i parallelforbindelse, bliversidste led lig med 0, hvis den induktive og den kapacitive strøm erlige store: ‘L = ‘c Dette er (som ved serieresonans) ensbetydendemed at XL = X~. Formlen for den frekvens f0, der medfører at XL ogXc er lige store, er derfor den samme som ved serieresonans:

1fo = _______

2g~ö

Ved parallelresonans bliver faseforskydningsvinklen O~, da

cosço=

og ‘‘R

U

Fig. 7. al. Vektordiagram, paraltelresonans.

UKredsens samlede impedans er Z =

Hvis R kan regnes uendelig stor bliver ‘R 0, og parallelforbindelsenvil sa optræde som en uendelig stor impedans overfor en spændingmed frekvensen f.

Bemærk: ‘L — Ic er ikke 0, selvom den samlede strøm er forsvindende lille.

Der er ved udledning af formlen for resonans forudsat, at spolenkan regnes som en ren induktans, d.v.s. at dens resistans er ubetydelig.

Selv når der ikke kan ses bort fra spolens resistans, beregnes resonansfrekvensen stadig som den værdi af f, der giver mindst strøm.Dette indtræffer, nar spolens wattløse strøm og kondensatorstrøm.men er lige store. Resonansfrekvensen vil være højest ved Rspoie = 0,

og falder ved stigende værdier af spoleresistansen. Den resulterendestrøm vil være i fase med spændingen, og faseforskydningsvinklen eraltså 0°.

Beregningseksempler til afsnit 7

Eks. 7.1En resistans og en ideel induktans er serieforbundet. Ved den anvendte spænding og frekvens er spændingerne over disse to komponenter hhv. UR = 80 V og UL = 60 V.

Strømmen er 4,0 A.Beregn impedanserne R og XL og den samlede Z.

- Beregn den samlede spænding U og faseforskydningsvinkel ep forserieforbindelsen

R = = 5 =200

XL— I 4,0 150

Z=gR2+X~ =,J202+152 =250

U=IZ= 4,0 ~25=1OOVR 20

cosç’=~ = ~g =0,8

o= 36,9°

Eks. 7.2En resistans R = 30 kO parallelforbindes med en ideel kondensatormed kapacitansen C = 4,0 nF.Parallelforbindelsen sluttes til spændingen 1500 V, 800 Hz.

- Beregn strømmen i resistansen og i kondensatoren.- Beregn den samlede strøm.- Beregn parallelforbindelsens samlede impedans.

Xc = formel = 49,7 10~ 0 49,7 kO

U 1500R = 30 io~ 0,050A

U 1500Xc 49,7 = 0,030A

i = ..J4 +I~ =,J0,0SO~ +0,0302 0,058A

~= q = = 25,9 i0~0 = 25,9

Eks. 7.3En serieforbindelse bestar af en spole med R = 5,0 0 og L — 203 mH,samt en ideel kondensator med C = 50 1iF.

- Bestem kredsens resonansfrekvens f0.

f i = i = 50Hz2~~Jrë 2,rgo,203-50.i0 6

Spændingen over serieforbindelsen er 80 V med frekvensen f0.- Beregn strømmen i serieforbindelsen.- Beregn spændingerne over spolen og over kondensatoren.

z= gK+(x~_x~)2 = R =5,00

~.!L ~~2i6,0AR 5,0

Zspoie — gR2 + X~ = ,J5,02 + 63,82 = 64,00

Usp~aie = I Zspoie = 16,0 64,0 = 1024V

U~= I ~X~= 16,0 63,8 1021V.

8. Blandede enfasede forbindelser

8.1 Parallelforbundne seriekredse

I figur 8.1.1 er vist en ohmsk-induktiv kreds (acb) parallelforbundetmed en ohmsk-kapacitiv kreds (adb); desuden er det med stipledelinier antydet, hvorledes der efter behov kan tilføjes yderligere kredsei parallelkobling med de to første.

I det følgende er vist beregninger og vektordiagrammer for de toførste kredse alene.

— — t —1~- —

- -. .- -

Fig. 8.1.1. Parallelforbundne kredse.

De enkelte serieforbindelsers impedans og faseforskydning bestemmes:

Z1 = ~JR? +4,

Z2 = + x~,

cosq,1 =

cos~t,2 =

xc

b

Indsættes der flere kredsløb i parallel med de to første beregneimpedansen og effektfaktoren på samme måde.Strømmene bestemmes for hver enkelt kreds:

U Uog ‘2

£11 £12

Vektordiagrammet for parallelforbindelsen kombineres af de to (ellerflere) seriekredses diagrammer, idet spændingen Uab er fælles.

Den samlede strøm I findes som den vektorielle sum af I~ og 12:

~

for eksempel ved at opløse strømmene i deres komposanter i spændingens retning (~~) og vinkelret pa spændingen (~~~)• Dette ernærmere beskrevet i afsnit 9.

.E1~11 C05491+12 •CO5Ç~2

~ sinço1 ‘2 sinço2

og ved hjælp af Pythagoras’ sætning:

I = g(zI)2 +(Z1~i)2

Uba

2

I I~~2

l~I2~4 qp’Fig. 8.1.2. Vektordiagram til fig. 8.1.1.Opløsning af strømme i komposanter.

Spændingerne over hver komponent kan nu beregnes og indtegnes,hvorved punkterne c og d fremkommer. Da de to spændinger i kreds

138

i star vinkelret pa hinanden, ligger punkt c på en halvcirkel med diameteren ~~ab og centrum midt på Uab. Det samme gælder punktet d.

Parallelforbindelsens resulterende impedans er

zI

og dens faseforskydningsvinkel tp (vinklen mellem [Tab og 1) beregnesaf

2’1~C05(O =

I

Kredsen kan efter samme princip udvides med et vilkårligt antal forbindelser tilsluttet parallelt.

d

a

b

8.2 Serieforbindelse med paralleikredse

I fig. 8.2.1 ses et eksempel på en seriekobling, hvori der indgår enparallelkreds.

Erstatningsimpedansen Zaf for den viste kreds ønskes beregnet,idet R- og X-værdier forudsættes bekendte.

— —

Fig. 8.1.3. Vektorcilagram til fig. 8.1.1.

XL2

Først beregnes impedans og effektfaktor for de to parallelkoblede forbindelser:

~2 2Z2 —~R2 +XL2 og CO5Ç0~=~

~2 2 &z3 —~R3 +XcJ og cosç’3 =~3

Der kan nu beregnes en serieforbindelse Zbe, der kan erstatte parallelforbindelsen mellem punkterne b og e.

Først vælges en spænding U’be over parallelforbindelsen. De tostrømme ~2 og f~ beregnes og adderes vektorielt. Spændingen Ube

kan vælges vilkårligt, men bør gives en værdi, som medfører atstrømmene får talstørrelser, der er nemme at arbejde videre med.

Impedansen Zbe findes derefter ved at dividere den valgte spænding Ube med den beregnede resulterende strøm 1’~:

z Ubebejr

Erstatningsimpedansen Zbe skal have en effektfaktor bestemt ved

CO5~e = hvor zr~ — ‘2w +

Den ækvivalente serieforbindelses komponenter beregnes:

Rbe = CO5~%~

og Xbe

a XL1 f

Fig. 8.2.1.

Ved indsættelse af disse to komponenter mellem punkterne b og e fåsen ren serieforbindelse, der har samme impedans og effektfaktor somden oprindelige parallelforbindelse (dog forudsat uændret frekvens):

Xbe

a R~ —‘?j?j?3’_ f

Fig. 8.2.2 Kredsløbet fig. & 2.1. omregnet til serieforbindelse.Reaktansen Xôe kan være enten induktiv eller kapacitiv.

Om Xbe skal være induktiv eller kapacitiv afgøres lettest ved atbetragte retningen af~

Bemærk at de med’ mærkede strømme og spændinger er foreløbigeregnestørrelser, ikke de endelige værdier.

Den samlede impedans findes af serieforbindelsesformlen:

Zaf = ~J(R1 + Rbe)2 + (XL1 ± Xbe)2

Kendes Uaf kan den resulterende strøm I~ nu beregnes:

‘~Zaf

Herefter bestemmes spændingerne over de enkelte komponenter:

Uab=I1 R1

Ube=I1 •Zbe

Uee=Ii CXLI

Strømmene ‘2 og 13 findes:

, Ube12 ~

L2

i U~13

L3

De resterende spændingerer:

UbC=I2 R2

Vektordiagrammet konstrueres således:Spændingen over parallelforbindelsen UbE og strømmene 12 og 13

afsættes hhv. ç~ og ~ faseforskudt. 11 findes ved strømmenes parallellogram.

Ub~ og t1bd afsættes i fase med strømmene, Uce og Ude vinkelret på.Tilsidst tegnes Uab i samme retning som I~, og Uef tegnes forskudt900 forud for strømmen 1~.

f

e

Uce = 12

Ubd = 13

= 13

• XL2

• xc

4,-,

Fig. 8.2.3. Vektordiagram forkredsløbet fig 8.2.1.

Beregningseksempler til afsnit 8

Eks. 8.1En spole med impedansen 120 Q og cos ç~ = 0,8 ved 50 Hz parallelforbindes med en resistans pa 192 0.Parallelforbindelsen tilsluttes 48 V, 50 Hz.Den samlede strøm, impedans og faseforskydning skal beregnes.

U 48Strømmen i spolen er ‘b = = = 0,40 A, og

strømmen i resistansen er ‘R = = 0,25 A

Den samlede strøms komposanter bestemmes

= ‘b CO5Ç9L + ‘R = 0,40 0,8 + 0,25 0,57A

= 4, -sin~ + 0 = 0,40 ~0,6 + 0 = 0,24A

I =g(1J~)2 +(ZI~i)2 = g0,572 +0,242 = 0,62 A

48 77,60I 0,62

— EI~ 0,57cosç’— 0,92

I 0,62

o= 23,2

Eks. 8.2En spole med resistansen 60 0 og reaktansen 80 0 ved 50 Hz parallelforbindes med en kapacitiv reaktans på 100 0 ved 50 Hz.

I serie med denne parallelkreds sættes en resistans på 20 0. Idetden samlede kreds tilsluttes 230 V, 50 Hz, skal kredsens strømstyrkeberegnes.

Spolens impedans er

zL=lJR2+X~ =,J602+802 — iooo

Spændingen over parallelforbindelsen vælges:

U’= 100V

143

Ved denne valgte spænding vil strømmene i kredsens to grene blive

U’ 100 U’ 100“I. 1,0 A og r~=___~=_-_-—1,o A

ZL 100 X~ 100

Spolens faseforskydning beregnes:

R 60

ZL 100

= TL ‘eos~ = 1,0 ‘0,6 =0,6 A

= ~ ‘sinç~ — I’~ = 1,0 0,8 — 1,0 = —0,2 A

(Den wattløse strøms negative fortegn viser at parallelforbindelsen er kapacitiv)

Ir4i~F~)2 +(Zft~1)2 =,JO,62 +(_0,2)2 = 0,63 A

Parallelforbindelsens impedans kan nu findes:

Z =~- -~- 1580“ I’ 0,63

og dens faseforskydningsvinkel~I’~ 0,6

cos~o = = — = 0,952p j~ 0,63

= 17,8°

Parallelforbindelsen kan erstattes af en serieforbindelse af en resistans = Z~ ‘cos~ og en kapacitiv reaktans X~, = sin~,.Kredsens samlede impedans beregnes:

Z=~fri~+R~)2 +x

Z = j(20 + 158• cosl7,8)2 + (158 sinl7,8)2

1770

Den samlede strøm, som parallelforbindelsen optager er

i U 230 1,30AZ 177

9. Effekt i vekselstrømskredse

9.1 Effektkurven

I en kreds, der indeholder induktans eller kapacitans, vil der værefaseforskydning mellem spænding og strøm. Derfor kan udtrykket foreffekt i en jævnstrømskreds, P = U I ikke anvendes umiddelbart, daspændings- og strømkurven ikke følges i tid.

Derimod kan effektkurvens øjebliksværdier findes ved multiplikation af ojebliksværdier for spænding med de samtidige øjebliksværdier for strøm:

p=u -i

/ ‘ — ‘

F’mid

i ‘

I ~

“—i—.—.—

I iI i

pt

~‘~~~~1

I] a

Fig. 9.1. I. Eksempel på effektkurve.

Spændings- og stromkurver forudsættes sinusformede, altså

u = Umax sinaog

~‘max -sin(a--~,),

idet ço er den vinkel, som strømmen er faseforskudt efter spændingen.

145

Disse udtryk indsættes i formien for effekt:

P = Ugj~ sina ‘max sin (~z q*,

og ved anvendelse af hjælpeformierne bilag B omformes dette til

c) Differensen mellem a) og b).

Fig. 9.1.2.

~mId =

U I COS(P

I dette udtryk er det første led konstant (d.v.s. uafbængig af a), mensdet sidste led er en cosinusfunktion, som svinger med en frekvens,der er den dobbelte af netfrekvensen.

Fig. 9.1.2 viser, hvorledes effektkurven kan tænkes sammensat afen konstant værdi, ~mjd og en cosinusformet værdi, der svinger omnullinien.

Sidste led har middelværdien 0, og middelværdien af p-kurven erderfor lig ligningens første led:

1~mid = Umax 1’ ~ COSg’

Umax ‘max 2 cos(2a ç)

I

PUmax ~max ~

a) Middelværdien af effektkurven b)UIvos(2a r~~)

p = f (t)

Da kan omskrives til —~--- —~---, kan formien for effekten ændres til

p — max maxmid — ~ COS~9

— U 1 C0549,

idetmax u max

Den effekt, der afsættes i en toleder belastning med faseforskydningsvinklen ~,, kan altsa skrives

P U -1 -cosç

hvor U og I er effektivværdier (indeks mid udelades normalt, såledesat middelværdien af effekten blot betegnes 1’).

Da U cos~, = I Z - cosç’ = I R kan P udtrykkes som ved jævnstrøm:

P= P -R.

9.2 Wattstrøm og wattiøs strøm

I fig. 9.2.1 er vist vektordiagrammet for en induktiv komponent tilsluttet spændingen U. Den optagne strøm ler komponentens faseforskydningsvinkel ~ bagud for U. Strømmen I er opløst i to komposanter, den ene ved projektion ind på spændingens retning, og den andenvinkelret herpa.

u

Iw I

Fig. 9.2.1. Strømmen I opløst i watt- og wattløs komposant.

I foregående afsnit blev vist, at formien for effekten er

P = U •1 •cosç,

Da I cos~ er strømmens projektion ind pa spændingens retning sesat effekten kan opfattes som spændingen U ganget med strømmenskomposant i Us retning. Denne strømkomposant i spændingens retning kaldes wattstrømmen 1~, hvorefter effektformlen kan skrives:

P=U •1~,

hvor I~ = I cosçoL

Strømmens komposant vinkelret på spændingen kaldes den wattiøsestrøm ‘wi’ og har formlen 4i = I sinq~.

Vinklen p er faseforskydningsvinklen mellem en spændingskurve ogden tilhørende strømkurve. ç, er derfor et udtryk for den tid, der forløber fra ti har øjebliksværdien Umax sina og til strømmen i nar dentilsvarende del aflmax.

Størrelsen cosço har derfor kun mening ved sinusform, hvor manofte betegner den effektfaktoren.

9.3 Virkeeffekt, reaktiv effekt og tilsyneladende effekt

Herefter haves de tre effektbegreber

Virkeeffekt = watteffekt: P = U •1~ = U •1 cosç’ [WIReaktiv effekt = wattløs effekt: Q = U l.,,~ = U I sinço[var]Tilsyneladende effekt: S = U ~I [VAI.

Af disse formler følger at P, Q og 8 kan afbildes som siderne i enretvinklet trekant, samt at

82= P2 + Q2Forholdet mellem aktiv effekt og tilsyneladende effekt er defineret

som effektfaktoren 2:

2=P

U.I

Heraf fremgar, at for sinusformet spænding og strøm er 2 cos~z Somnævnt kaldes cosço derfor også effektfaktoren.

148

Reaktiv effekt betegnes også blindeffekt, og kan være induktiv ellerkapacitiv. Nar betegnelsen effekt anvendes uden nærmere specifikation, f.eks. i forbindelse med en maskine, menes normalt virkeeffekten P.

Undertiden ses den tilsyneladende effekt S benævnt skineffekt.Denne betegnelse bør undgås, idet det samme ord undertiden benyttes for virkningen af strømfortrængning i ledninger.

Effekttrekanten fremkommer når I, 4 og 4~ ganges med U (fig.9.3.1).

49 = Q0 resistiv

- ° I

Fig. 9.3.1. Effektdiagram.

P.

,/~ “•1

Q

9Q0 induktiv 90° kapacitiv

Fig. 9.3.2. Effektkuå’ver ved forskellige faseforskydningsvinkler.

149

p

~ .4.—

1~~

/

— I— i—

I ~I ~I I

~1— —

a

ç— 45° induktiv

p

—I

Fig. 9.3.2 viser eksempler pa effektkurvens forløb ved forskelligefaseforskydningsvinkler. Effektkurven p = f (a) har positiv værdi nåru og i har samme fortegn, og negativ værdi når u og i har forskelligtfortegn. Ved 90 faseforskydning (ren induktiv eller kapacitiv belastning) svinger p-kurven om 0-aksen, således at effektens middelværdier 0.

Dette svarer til at effektformlens første led, U •1 cosç, er 0.

Ved resistiv belastning (ç, = 0) er effekten hele tiden rettet fra forsyning til belastning. Ved induktiv eller kapacitiv reaktiv belastningskifter effektretningen uafbrudt med to gange netfrekvensen (se fig.9.3.2).

Beregningseksempler til afsnit 9

Eks. 9.1En spole er mærket: 42 V, 50 Hz,

18W, 0,6 A.Ved tilslutning til nominel spænding og frekvens skal bestemmes:Faseforskydningsvinklen q’~strommens komposanter 1~ og ‘wi’

den tilsyneladende effekt S og den reaktive effekt Q.

P 18cosç = — = 0,714

U•I 420,6çg= 44,40

1w =1 cosç’ = 0,6 0,714 0,43 A

I~i =Isinço = 0,6 0,70 0,42 A

S =UI=42 0,6=25,2 VA

Q = U J sinç, = U 1wi42 0,42 17,6var

Eks. 9.2For en 1-faset induktiv belastning er opgivet, at ved 230 V, 50 Hz erS 1200VAogQ~720var.Ved indsættelse af en kondensator parallelt over belastningen ønskesen effektfaktor cosQ.’ 0,9.Bestem kondensatorens størrelse i var og dens kapacitans i ~sF.

cosço = 0,9 ~ g’ 25,84°

P=qS2_Q2~=g12OO2_72O2 = 960W

ZQ = P tanç~ = 960 tan 25,84° = 465 var

Qc = QL — ZQ = 720 465 = 255varry2 )2A2

Xc=~—=~”~ 207,5 (2Qc 255

1 _________ = 15,3 .10-6 F15,3pF

2ir.f.Xc 2,r50207,5

10. 3-faset vekseispænding og -strøm

10.1 Den 3-fasede generators princip

Frembringelse af 3-faset vekseispænding kan i princippet foregå somfølger.

Den tidligere beskrevne ledersløjfe (afsnit 6), der drejes i et magnetfelt, suppleres med to lignende sløjfer.

Alle tre sløjfer roterer i samme homogene magnetfelt med sammehastighed, men forskudt indbyrdes + af 3600 = 1200 (fig. 10.1.1).

Derved frembringes tre ens sinusformede spændinger, blot vil devære indbyrdes tidsforskudt en trediedel af en periodetid (fig. 10.1.2).

N 00 2U~ULS

Fig. 10.1.1. Fig. 10.1.2.

Disse tre ens “en-fasede generatorers” spændinger kan som tidligerevist repræsenteres ved vektorer, hvis længde er lig med effektivværdien E (Emax divideret med ~Ji).

s

Vektorerne skal tegnes 120° forskudt, men har ikke noget fællespunkt, da sløjferne ikke er elektrisk forbundne (fig. 10.1.3)

I praksis er de tre sløjfer erstattet af tre faseviklinger med et stortantal vindinger. Hver af disse tre viklinger har begge ender ført ud tilet klembræt. Da alle seks ender er tilgængelige, er der mulighed forat koble de tre generatorviklinger i stjerne- eller trekantkobling:

Fig. 10.1.4. Stjernekobling. Fig. 10.1.5. Trekaritkobling.

Den praktiske udførelse af vekselstrømsgeneratorer er beskrevet ibind 3: ‘Elektriske maskiner”.

10.2 Stjerneforbindelse af generator

Der kan føres fire ledere ud fra den À-koblede generator.Spændingerne benævnes som vist fig. 10.2.1. Lederen, der er ført tilstjernepunktet betegnes nulleder (N), mens de tre ledere fra viklingernes anden ende kaldes faselederne eller blot faserne L1, L2 og L3.

U Li

Fig. io.i.a

Li

L2

L3

LI

L2

L3

A

153

L2 = ULI N —UL2 N

ULl~ = ULIN- U~N

Fig. 10.2.2. Bestemmelse afnetspænding.

UL N+(UL2N)

Som antydet pa vektordiagrammet fig. 10.2.2 kan netspændingenL2 tegnes ved at fasespændingernes vektorpile forbindes. På lig

nende måde kan de to andre netspændinger konstrueres, så det komplette vektordiagram fremkommer (fig. 10.2.3):

ÅU~L3 UL3L1

Spændingerne mellem faseledere og nulleder betegnes under ét somfasespændingen U~, ligesom spændinger mellem to faseledere kaldesnetspændingen U,~.

Li

L2

UL NL3

UNN

Fig. 10.2.1. Stjerneforbundet generator.

(4 er spændingsforskellen mellem to faseledere og kan derfor beregnes således (vises her kun for spændingsforskellen mellem faselederne L1 og L2):

-u L2-N ~-

L1-N U Li

U L3-N U L3 UL2

Fig. 102.3.

154

0,5 U~ = Uf cos 30°

U~=U~~2 cos30°

U~=Uf~JT. Lif

10.3 Trekantforbindelse af generator

Forholdet mellem fasespændingerne (d.v.s. spændingerne over de enkelte viklinger) og netspændingerne kan beregnes ved hjælp af fig.10.2.4:

ufl

Fig. 10.2.4.

Ved trekantkobling er kun tre ledere ført ud, og derfor er kun de treviklingsspændinger til rådighed. Som det fremgar af diagrammet fig.10.3.2 er netspænding U~ = viklingsspændingen.

Li

L2UL3.Ll

L3

Strømmenes beregning i de to koblinger foregar som det vises undertrefasede belastninger, afsnit 11.

Fig. 10.3.1. Trekaniforbundet generator. Fig. 10.3.2.

Beregningseksempel til afsnit 10

Eks. 10.1En 3-faset generator har viklingsspændingen 133 V.Nominel viklingsstrøm er 10 A.Find generatorens afgivne netspænding, netstrøm og ydelse i kVAved fuld last, nar generatoren er stjernekoblet.

Strømmene i netlederne er de samme som viklingsstrømmene:

= 10 A

= Uf ~ï = 133 j~ = 230 V

Den samlede ydelse er summen af de tre viklingers ydelse:

S=3•Uf~—~•U~ .I~

= ~J~230 10 = 4000 VA

11. 3-fasede belastninger

11.1 Symmetrisk stjerneforbundet belastning

Tre impedanser med samme impedans Z og samme faseforskydningsvinkel «9 er koblet i X-forbindelse og sluttet til et 4-leder net som vistfig. 11.1.1.

En 3-faset forbruger, der på denne måde belaster de tre faser ensartet bade med hensyn til strøm og faseforskydning, kaldes symmetrisk.

Li

L2

L3

N

Fig. 11.1. I. Symmetrisk belastning ved 3 ens impedanseri stjerneforbindelse.

Strømmene i de tre impedanser er numerisk lige store og beregnes af:

7 —T —T _Lii‘10’20’30 Z

Strømmene indtegnes på spændingsvektordiagrammet,strøm tegnes forskudt Ø° efter fasespændingen.

uu~v12

Fig. 11.1.2. Vektordiagram til fig. 11.1.1.

idet hver

Strømmene i de fire netledere beregnes ved Kirchhoff’s 1. lov (knudepunktsligningen):

‘Ll=’lO’ ‘L2’20 og ‘L3’30

4=-rio ‘20 ‘30

Da disse tre strømvektorer er lige store og indbyrdes forskudt 120°,er deres vektorsum lig nul, altså I~ = 0. Ved symmetrisk stjerneforbundet belastning går der ikke strøm i nullederen. (For at undgå forveksling med begrebet nominel’ strøm, ‘N’ i betydningen fuldlaststrøm eller mærkestrøm for en forbruger, er strømmen i nettets N-leder her betegnet ~d)

I det følgende er betegnelserne ‘Li’ 42 og 4~ benyttet, når det gælder strømmen i en bestemt netleder. Når der blot er tale om strømmen i netlederne generelt, som f.eks. ved symmetrisk belastning erogså anvendt betegnelsen I,,.

Det er i det foregående forudsat, at strømmene i de tre faselederer rent sinusformede uden indhold af overharmoniske svingninger (sherom i afsn. 12.6).

158

11.2 Symmetrisk trekautforbundet belastning

Tre ens impedanser (d.v.s. samme Z og samme er forbundet i Aforbindelse og sluttet til et 3- eller 4-leder net (fig. 11.2.1):

JULFig. 11.2.1. Symmetrisk belastning ved 3 ens impedanser i

trekantforbindelse.

Strømmene i de enkelte belastningsimpedanser beregnes. Disse trestrømme er numerisk lige store, og bliver i det følgende under étbenævnt If:

T—r —I —I£f212 23 31 z

Strømmene indtegnes på vektordiagrammet forskudt ~o° efter net-spændingerne.

Fig. 11.22. Vektordiagram med belastningsimpedansemesstrømme indtegnet.

LI

L2

L3

N

Ii

159

Iflg. Kirchhoff’s knudepunktsligning er

‘Li = ‘12 —131,

‘L2 = ‘23 —‘12

og ‘L3=’31’23

Sammenlægges de tre ligningers venstre og højre sider hver for sigses at summen af de tre strømme er 0.

Ved hjælp af disse ligninger kan vektordiagrammet nu tegnesfærdig, således at de tre netlederstrømme ~ 4~ og ‘L3 kan konstrueres.

I fig. 11.2.3 er den grafiske bestemmelse af strømmen vist for neleder bl.

/ ~ LI/

/

112

(p I~ /

‘ / ~31I’

Fig. 11.2.3. Grafisk bestemmelse af netstrøm (vist for netleder L 1).

Denne strøm tegnes efter ligningen ‘bl ‘12 ~ d.v.s som summenaf vektoren 112 og en vektor lig med ~ dog drejet 180°. Af figurenfremgår at ‘bl er faseforskudt Ø° efter fasespændingen UL1 r4~ samt at

I~=2 Jfcos30°’JïJf

På lignende made kan de to andre netlederes strømme bestemmes.

11.3 Effektberegning ved symnietrisk belastning

Bade ved Å- og ved A-kobling af tre ens impedanser kan den samledeeffekt, der optages, beregnes som 3 gange den effekt, der afsættes ihver af de enkelte impedanser.

Stjernekobling:

S=3UfIf 3

P3 •Uf 1ç eosq74~ U~ I~ COS(O

[VA]

Q3 •Uf If sinç~~Jä U~ I,~ -sin~~ [var]

Trekantkobling:

S=3 •U~ I~3 ~ =~J3U~ I~ [VM

P=3 U11 •If Cos~O=~J5U~ I~ cos~ ~W1

Q3 (4 4 sinço= ~ U~ I~ sinp [var]

Bemærk at uanset kobling er udtrykket for den samlede effekt detsamme, og at faseforskydningsvinklen ç, i begge tilfælde er vin/denmellem fasespcending og netstrøm.

11.4 Usymmetrisk belastning

Når et antal impedanser med forskellig impedans og/eller forskelligeffektfaktor tilsluttes et 3- eller 4-leder net er belastningen ikke symmetrisk, og man kan ikke benytte de simple formler, der blev udledt ide foregående afsnit. I stedet må strømmene i netlederne bestemmesenkeltvis som vist i følgende eksempel.

Li

L2

L3

N

Fig. 11.4.1. Eksempel på usymmetrisk belastning.

Z1 p1 Z11 (p11 Ziii Piii

161

Tre forskellige impedanser, Z1, Z11 og Z111 med de respektive faseforskydningsvinkler ço1, ç~ og Qm~ tilsluttes et 4-leder net pa vilkarligmåde, f. eks. som vist fig. 11.4.1.

Strømmene i de enkelte impedanser beregnes som forholdet mellem impedansens størrelse Z og den spænding lJ~ eller U~, der er overimpedansen:

Fig. 11.4.2. Vektordiagram til fig. 11.4.1.(kun med strømmene i belastningerne indtegnet).

Strømmene indtegnes på vektordiagrammet (fig. 11.4.2) med deresfaseforskydningsvinkel i forhold til den spænding, de hver for sig ertilsluttet.

Til beregning af netstrømmene kan i dette eksempel fig. knudepunktsligninger opstilles på grundlag af de valgte strømretninger:

10 —

12 —

23 —

‘Ll — ‘10 ~ ‘12ir ~ ‘12

70=-rio

På grundlag af de opstillede vektorligninger tilføjes de vektorer, derer nødvendige for at netstrømmene kan bestemmes grafisk (fig.11.4.3):

-Ii.

Fig. 11.4.3. Vektordiagram til fig. 11.4.1.(med netstrømmene konstrueret ud fra vektorligningeme).

Netstrømmene kan nu udmåles med størrelse og retning, eller kanberegnes, idet der opstilles ligninger for de figurer, strømmene danner.

11.5 Beregning af effekt ved usymmetrisk belastning

Effekterne kan beregnes særskilt for de enkelte impedanser som produktet af spændingen over impedansen, strømmen gennem den, samtimpedansens effektfaktor.

F. eks. for en belastning tilsluttet mellem fase Li og N:

P1= Uf 1j~ •cosQ’l,

eller P1=Z1 ~

UL \

Ipli

‘2

(pil’

\ 23

‘L2

163

Dette gøres for samtlige belastninger, hvorefter den samlede effekt Pfindes som summen:

P~=P1+P11+P1j~+.... [Wj.På lignende måde beregnes den samlede reaktive effekt Q, blot indsættes sinço i stedet for C059 i formlerne:

Qn=Qi+Qii+Qiu+.... Ivar].

Effekten kan også beregnes særskilt for hver fase, for eks. for fase Li:

= Uf ‘ni C05Ç91,

hvor çol er vinklen mellem UL1.N og ‘nl•

Den samlede effekt bliver for de tre faser:

P~—P1+p2+p3 [Vil,og Q~=Q1+Q2+Q3 [var].

Denne beregning af P~ svarer til maling af den samlede effekt medtre wattmetre (se bind 2, “Elektriske målinger”, afsn. 7.4).

I de viste eksempler er regnet med positiv faseforskydning, d.v.s.induktiv last, men formlerne er lige så gyldige for belastninger medkapacitanser.

Uanset om den samlede effekt beregnes som summen af effekterne,der tilføres gennem de tre faser, eller som summen af de enkelte belastningers effektforbrug, skal resultatet naturligvis blive det samme.

11.6 Stjerne-trekant transformation af resistivebelastninger

En trekantkoblet belastning bestående af 3 ens resistanser optageren strøm fra nettet, som kan skrives

In=&

Den strøm, en stjernekoblet belastning af 3 ens resistanser optager,er

1Uf U~

164

Heraf findes ved omskrivning

RA= %~/ï/’ og RÅ = ______

Forudsættes nu at U,~ og I~ har samme størrelse i de to udtryk, findesved division:

En symmetrisk, trekantkoblet belastning lader sig altsa erstatte af enstjerneforbundet, når de enkelte resistanser gøres 3 gange mindre.

Omvendt må modstandene i en trekantforbindelse være 3 gangestørre end modstandene i den stjerneforbindelse, den skal erstatte.For usymmetriske belastninger lader det sig også ret enkelt gøre atomregne en trekantforbindelse til en ækvivalent stjerneforbindelse ogomvendt.

Forudsætningen for at en trekantkoblet og en stjernekoblet resistivbelastning kan erstatte hinanden er, at resistansen mellem to tilslutningspunkter i den ene kobling er lig med resistansen mellem desamme to punkter i den anden kobling.

Dette giver nedenstående formler, som ikke udledes her:

Omregning Lx —> X+ +

R20 = I?~ + B23 +

B31B30 — R12 + R~3 +

B4 3—— eller R~=3 ~RÅ~Å ~

I i

—

1R10

23 2

Fig. 11.6.1. Omregning til ækvivalent stjerneforbindelse.

165

i

Fig. 11.6.2. Omregning til ækvivalent trekaniforbindelse.

Omregning X -> A= + 1?2o 1?30 + l?so

1?23 =

=

R10 . + + .

1?10 •1?2o +R20 -R30 +R~ -R10

Hvis man specielt indsætter tre lige store resistanser i et af disse tosæt formler fremkommer den førnævnte sammenhæng for symmetriske belastninger:

RA=3 -RÅ.

Stjerne-trekant transformation kan pa lignende måde foretages vedimpedanser, der ikke er rent resistive. Dette kan dog kun gennemføres rimeligt let ved anvendelse af kompleks beregning.

Fremgangsmaden beskrives i afsn. 14.

11.7 Thevenins regel anvendt på vekselstromskredse

Thevenins regel kan, som omtalt i afsn. 3.3.2, anvendes pa vekselstrømskredse, idet der blot regnes med vektorer for både elektromotoriske kræfter og strømme. Ogsa ved anvendelse af Thevenin’s regelkan kompleks regning benyttes (afsn. 14).

3 2 3 2

166

I stærkstrømsteknikken benyttes metoden ofte til beregning af strømme ved jordsiutning eller kortslutning i net.

Denne anvendelse belyses med flg. eksempel:Samleskinnen B i en 50/60 kV transformerstation (fig.11.7.1)

forsyner et fordelingsanlæg (C) gennem et højspændingskabel medresistansen RK og reaktansen XK.

Fig. 11.7.1.

Impedansen mellem samleskinnen B og stjernepunktet i de generatorer, der forsyner nettet, er opgivet til ZN = 0,5 Q ved cosç~ 0,20.

Den største kortslutningsstrøm, der kan forekomme ved en kortslutning i pkt. C skal beregnes.

- Den samlede impedans set fra C ind mod generatorernes stjerne-punkt findes (fig. 11.7.2), idet generatorernes elektromotoriske krafttænkes kortsluttet:

Nettets resistive og reaktive del beregnes:

RNZN eosço0,5 •O,200,10Q

XNZN ~sing’0,5 •O,980,49Q

For kablet opgives (eller findes som tabelværdier):

RK = 1,6 ~

XK=O,SQ

RN XN B

Fig. 11.7.2.

Den samlede impedans £Z findes:

22 =g(RN +RK)2 +(XN +XK)2

=g(O,l+l,6)2+(O,49+O,5)2 = 1,97 Q

- Spændingskildens EMK skal beregnes som den fasespænding, derer i pkt.C før fejlen indtræffer. Denne spænding kendes normalt ikkenøjagtigt, og i stedet kan med rimelig tilnærmelse anvendes nettetsnominelle spænding:

— ufl — 10.000 —

,f~ — ~ji 1,97 —2930k

Beregningseksempler til afsnit 11

Eks. 11.1Til et 4-ledernet, 400/230 V, 50 Hz forbindes i stjernekobling tre ensimpedanser, hver med Z = 1000 og cosç’= 0,7 induktiv.Strømmene i netlederne samt den samlede effekt skal beregnes.

1f z— ioo— 2,3

I~ = 4 = 2,3A

P =Ji U~ J~ ~cosço= ‘.Jii 400 •2,3 0,71115W.

Eks. 11.2Beregningerne i eks. 11.1 skal gentages, denne gang dog med de treimpedanser forbundet i trekantkobling.

z — ioo~ 4,OA

= T~ i~ = ‘Ji 4,0 = 6,93A

P =J~ U~ I~ cos~= qä 400 6,930,7=3360W.

Sammenlign resultatet med eks. 11.1. Hvorfor er forholdet mellem deberegnede effekter ikke præcis 3?

Eks. 11.3Tre resistanser i trekantkobling har flg. værdier (der er benyttet betegnelserne fra fig. 11.6.1):

= B23 = 1000 og B31 = 2000.

Den ækvivalente stjerneforbindelse skal beregnes.

B — B12 — 100•200 — 500

__________ — 400 —

— B23 100•100 — 250400 —

B — B31~B23 200100 — 500400 —

12. Spoler med jernkerne

12.1 Jerntab

Erstatningsskemaet for en spole kan som tidligere vist (afsnit 7.1tegnes som en serieforbindelse af en resistans og en induktiv reaktans, hvorved spændingsvektordiagrammet og impedanstrekantenhar udseende som vist fig. 12.1.1 og 12.1.2.

lx: _Fig. 12.1.1. Vektordiagram. Fig. 12.1.2. Impedanstrekant.

Spole uden jemkerne. Spole uden jemkerne.

Det er her forudsat, at spolen ikke indeholder jernkerne.Effekttrekanten kan fremstilles ved at impedanstrekantens siderganges med strømmen i anden potens, f.eks. P = P R.

Det skal erindres, at den induktive spænding I XL repræsentererden inducerede spænding E~ = — døldt N, forårsaget af det vekslende

0= 1~XL

I~R

Fig. 12.1.3. Effekttrekant. Spole uden jernkerne.

magnetfelt. Ved spoler uden jernkerne er strøm og magnetfelt i fase,og bade strøm- og feltkurven er sinusformet.

Indføres der en jernkerne i spolen, bliver den optagne effekt størreend strømvarmetabet: P> .P Reu. Forskellen skyldes at der afsætteseffekt i jernet ved den stadige ommagnetisering, der finder sted vedet vekselfelt. Jerntabet ~Fe kan derfor bestemmes som forskellenmellem det samlede effektforbrug og det beregnede strømvarmetab ispolen:

1~ Rcu=PPcu.

Den samlede effekt, der afsættes i spolen er

= ~Cu + P~.

Pc~ er strømvarmetabet (‘kobbertabet’) i spolens vindinger, og ~Fe erjerntabet, som består af

hvirvelstrømstab oghysteresetab.

12.1.1 HvirvelstrømstabNår jernet udsættes for vekslende magnetfelter induceres der elektromotoriske kræfter, som fremkalder hvirvelstrømme i kernen.Dette effekttab afsættes som varme i jernkernen. Hvirvelstrømstabeter proportionalt med frekvensen i 2’den potens: ~hv =

Hvirvelstrømstabet kan reduceres ved øget resistans mod hvirvelstrømmene, hvilket man opnar ved at lamellere jernkernen (d.v.s.kernen sammensættes af Ca. 0,2-0,4 mm tynde plader isoleret frahinanden) eller ved tilsætning af silicium til jernet, hvorved detsspecifikke elektriske modstand øges.

12.1.2 HysteresetabDen stadige ommagnetisering (100 gange i sekundet ved 50 Hz), derfinder sted ved vekselstrøm, kræver tilførsel af energi -der udføres etarbejde. Når spolestrømmen ændres, er de magnetiske domæner i jernet kun med forsinkelse i stand til at følge ændringen. Dettefænomen kaldes hysterese. Forløbet kan for forskellige magnetiskmaterialer illustreres ved optegning af en magnetiseringskurve, ensåkaldt hysteresesløjfe.

For hver hele periode gennemløbes hysteresesløifen, der viser fluxtætheden B som funktion af amperevindingstallet pr. meter, feitstyr.ken H.

Det ses, at feltet ændres proportionalt med strømmen ved laveværdier af H, hvorefter kurven afbøjes på grund af tiltagende mætning af jernet. Forsøges magnetisering udover den tilnærmelsesvistretlinede del af kurven, forvrænges både strømmens og magnetfeltetssinusform.

a. Vacuum, b. Blødt jern. c. Stål med høj coercitivkraft.

Fig. 12.1.4. Eksempler på hysteresesløffer.

Desuden ses af hystereseslojfen, at fluxen og strømmen ikke er i fase.Når strømmen i spolen og dermed feltstyrken H sænkes til nul, falderfluxtætheden B kun lidt; først når strømstyrken er øget i modsatretning, bliver B reduceret til 0 T. Denne faseforskydning mellem feltog strøm får, som det senere vises, indflydelse på vektordiagrammet.

Endelig viser hysteresesløjfen, at der ikke er lineær sammenhængmellem H og B. Dette medfører en forvrængning af strømkurven, somvil fa et stigende indhold af overharmoniske svingninger (se afsn.12.6). Jo mere jernkernen drives mod mætning, jo mere deformeresstrømkurven.

Det kan vises, at hysteresesløjfens areal er et mål for effekttabet.

Hvis frekvensen forøges, vil sløjfen blive gennemløbet et tilsvarendestørre antal gange pr. sekund. Hysteresetabet vokser altså proportionalt med frekvensen:

PhY=k2 ~f

Fig. 12.1.5 viser et eksempel på en hysteresesløjfe. Kurven gennemløbes ved vekselstrømsmagnetisering i den med pile markerede retning. Den stiplede linie antyder forløbet ved førstegangsmagnetisering.

På hysteresesløjfen er markeret to størrelser, der som omtalt iafsnit 5.6 er karakteristiske for et magnetisk materiale:

Remanensen B~ betegner den magnetiske f’luxtæthed, når strømmen og dermed feltstyrken Her nul.Coercitivkraften H~ er den H-værdi, der kan fjerne remanensen, oger dermed et udtryk for, hvor let materialet lader sig afmagnetisere.

[A~iind/m]

B [Ti

Fig. 12.1.5. Hysteresesløjfe.

12.2 Vektordiagrammer for spole med jernkerne

Foretages maling af spændingen U, strømmen I og den tilførte effeP for en spole med jernkerne, kan effekttrekanten konstrueres af

SUI og Q,J52_p2•

Hvis derefter trådresjstansen Rcu bestemmes ved en jævnstrømmåling kan strømvarmetabet beregnes:

~cu=~ Rcuer en del af den samlede effekt P, som vist på effekttrekante

Den resterende del af P er da jerntabet ~Fe• Divideres effekterne mstrømmen Ifremkommer spændingsvektorerne (fig. 12.2.2).

Fig. 12.2.1. Effekttrekant. Spole medjernkerne.

Som det ses, tegnes den ohmske spænding I R~ uændret i fase medI, mens den induktive spænding I XL E~ danner en vinkel mindreend 9Q0 med strømmen. Arsagen hertil er, at P26 skal være vinkelretpå feltets retning, og dette er som nævnt en vinkel bagud for strømmen.

~CtJ ~Fe

I Z

Fig. 12.2.2. Vektordiagram. Spole medjernkerne.

Hvis ~Fe udgør en lille del af den samlede effekt, kan der uden særligfejl regnes på de retvinklede diagrammer, der er vist fig. 12.2.3 og12.2.4. Her betegnes XLeff den ‘effektive” reaktans og RFe er enregnestørrelse svarende til jerntabet.

Rcu

Reif

XLeff

Fig. 12.2.3. Vektordiagram.Spole med jemkerne.

Fig. 12.2.4. Impedanstrekarit.Spole med jernkeme.

Den “effektive modstand” Reif = Rcu + RFe er på samme måde en regnestørrelse, svarende til det samlede effekttab. Den effektive modstand kan derfor beregnes af

PReff = J2

På samme måde er den “effektive reaktans” bestemt vedQ

XLeff=

For sammenligningens skyld vises fIg. erstatningsskemaer fig. 12.2.5.

Trådmodstanden:

Tråden viklet i spoleform:

Spolen med jernkerne:

Rcu

I I

_____ XL

I I

Rcu RFO XLeU

-v

Fig. 12.2.5.

Reif

[XLz

FRcu IRFe RFe

175

Som nævnt er hysteresetabene proportionale med sløjfens areal,d.v.s. for en given remanens vil tabene blive mindre, jo smallere sløjfen er. En smal hysteresesløjfe opnås ved tilsætning af silicium til jernet, hvilket samtidig bidrager til nedsættelse af hvirvelstrømstabene.

Da jerntabene -udover frekvensafhængigheden- er afhængige affluxtætheden, angives tabene i datablade enten som antal watt pr. kgjern ved en bestemt B-værdi eller i form af en kurve, der viser tabet iwatt pr. kg som en funktion af B.

12.3 Afmagnetisering

Hvis et magnetisk materiale ønskes afmagnetiseret kan det ske vedat anbringe det i en spole med vekselstrøm, hvis styrke gradvist redu.Ceres.

Derved gennemløbes mindre og mindre hysteresesløjfer, indtil fluxtæthed og feltstyrke samtidigt er nul.

12.4 Strømfortrængning

I en leder, hvori der løber en vekselstrøm, vil strømtætheden væremindst ved lederens centrum og tiltage ud mod overfladen af lederen.Dette medfører, at der ma regnes med større modstand overfor vekselstrøm end overfor jævnstrøm.

Dette skyldes de magetfelter, der dannes i lederen når den førerstrøm. Ved vekselstrøm i en kobber. eller aluminiumleder ændresmagnetfeltet proportionalt med strømmen. Disse magnetfelter indu

Fig. 12.3. I. Afmagnetiseringsforløb.

176

cerer spændinger i overensstemmelse med Lenz’ lov (afsni 5.7) Fig.12.4.1 viser et tænkt ringformet udsnit af et ledertværsnit, hvori derfindes et magnetfelt e, som er frembragt af strømmen i.

Omkring magnetfeltet induceres elektromotoriske kræfter, somnærmest lederens centerlinie er rettet modsat lederstrømmen i.Strømtætheden bliver derfor mindsket i lederens inderste dele ogstørre ud mod overfladen.

Noget lignende opstår i en leder, der anbringes saledes i jern, atfeltlinierne koncentreres om en del af lederens tværsnit (fig 12.4.2).Den del af tværsnittet, hvorom der er de færreste feltlinier, vil få denstørste strømtæthed.

e

Fig. 124.2. Strømfortrængriing i rektangulærleder i jern.

Strømfortrængningen i en leder er mere udpræget, jo højere frekvensstrømmen har. Dette udnyttes i vekselstrømsmotorer med kortslutningsrotor, idet rotorfrekvensen under startforløbet falder fra netfrekvens til næsten nul, hvorved rotormodstanden ændres (Bind 3,“Elektriske maskiner”, afsn. 4).

Ved beregninger på spændingsfald må der også tages hensyn tilstrømfortrængningens indflydelse. I denne forbindelse betegnes virkningen ofte skindeffekt eller skineffekt (af engelsk: skin effect), ogdens størrelse oplyses for et givet kabel som en tabelværdi (se bind 6).

Fig. 12.4.1. Strømfortrængning i cirkulær leder.

177

12.5 Variabel reaktans

Af udtrykket XL = 2~ f L ses, at reaktansen (og dermed den samlede impedans) af en spole kan varieres på to måder:

- ved ændring af frekvensen f, eller- ved ændring af selvinduktionskoefficienten L.

En simpel metode til ændring af L bestar i at indføre en variabel luft-spalte i magnetkredsen, idet L bliver mindre, jo ringere magnetiskledeevne, kredsen har.Selvinduktionskoefficienten eller induktansen L er bestemt ved

L= IV2

Reaktansen XL ændrer sig proportionalt med L, dermed ændres ogsåimpedansen Z. En forøgelse af luftspalten i en jernkerne vil derformedføre voksende strøm.

En anden metode går ud på at mætte jernet mere eller mindre vedhjælp af formagnetisering med jævnstrøm.

dø diAf e og

følger at

L= døNdi

ø=B A

de

IllN

Fig. 12.5.1. Idealiserot magnetiseringskuive.

Betragtes den idealiserede magnetiseringskurve ø = f(1), ses det atforholdet dø/dl i ethvert punkt af kurven er lig med dens hældning idette punkt.

Det betyder, at hvor kurven er stejl (ved små værdier af II) er L ogdermed XL stor. Ved stigende magnetisering flader kurven ud pågrund af tiltagende mætning, hvorved L falder mod 0.

Dette skyldes egentlig, at jo mere jernet nærmer sig mætningstilstand, jo mindre vil feltet forholdsmæssigt ændre sig ved enændring af strømmen, og jo mindre modelektromotorisk kraft vil derblive induceret. Når jernet er fuldstændigt mættet, vil en mindrevariation i strømmen overhovedet ingen feltvariation medføre.

XL kan altså på denne måde varieres fra en maximal værdi til omtrent 0. Dette princip udnyttes i transduktoren, hvormed man vedændring af små styrestrømme kan regulere store effekter.

Transduktorprincippet beskrives nærmere i bind 3, “Elektriskemaskiner”, afsnit 2.8). Transduktoren anvendt ved måling af storejævnstrømme omtales i bind 2, “Elektriske målinger”, afsn. 4.4).

12.6 Regelmæssige kurveformer medoverharmoniske svingninger

Forbindes en generator med sinusformet spænding i serie med enjævnspændingskilde vil den resulterende spænding kunne bestemmes grafisk ved sammenlægning af øjebliksværdierne:

U u1=f(t) u~f(t)

ti1 I U2Umax2~S~flO)t

U= f(t)

u~~\ 4N 4N1~ \%~~J ~

Fig. 12.6.1. Addition af spændingskur.’er.

179

Som det ses, bliver sinuskurvens 0-linie blot forskudt en afstansvarende til jævnspændingens værdi. Den resulterencie kurve kanbetegnes som en jævnspænding med overlejret vekselled. Omvendkan en sådan kurve tænkes opdelt i en jævnspænding og en vekselspænding.

Overlejres en vekselspænding med frekvensen f med en anden sinusformet spænding, hvis frekvens er et helt antal gange f, bliver rsultatet en regelmæssig svingning, d.v.s. en spænding med ens perioder.Den resulterende kurveform er afhængig af de enkelte spændingeramplitude (max.værdi) og forholdet mellem deres frekvenser.

H~’\ç2≥f

~

Fig. 12.6.2 Eksempler på regelmæssige kurver med 3’die harmoniske.

Ligesom vekseispændinger kan sammensættes til regelmæssigesvingninger som vist, kan alle regelmæssige svingninger omvendtopløses i en såkaldt grundsvingning og et antal overharmoniskesvingninger, alle med sinusform.

Strømkredse, der indeholder spoler med jernkerne, har en kurve-form, der afviger fra sinusform på grund af jernets ulineære magnetiseringskarakteristik. Eksempelvis indeholder transformerstrømmebade 3’die, 5’te, 7’ende og højere harmoniske.

Specielt giver en tomgående transformer et stort indhold af 3’dieharmoniske svingninger i strømkurven.En sadan forvrænget kurveform medfører målefejl i instrumenter,hvis visning afhænger af korrekt sinuskurve. Et eksempel herpå erden type vekselstroms-amperemetre, som maler strømmens middel.værdi, men giver visning pa en skala, som er inddelt i effektivværdier, idet der er multipliceret med formfaktoren 1,11. Disse instrumenter vil vise ukorrekt ved måling på kurver med indhold af overharmoniske svingninger.

Fig. 12.6.3. Kurve med 5’te harmonisk oversvingning.

Strengt taget kan strømme og spændinger, der ikke har sinusform,ikke afbildes som vektorer, men ma ved beregning erstattes afsinuskurver med samme effektivværdi som de virkelige kurver.

Overharmoniske i symnietrisk belastet 3-faset, 4-leder netI afsnit 11.1 blev vist at strømmen J~ i nullederen i et 4-leder net bliver nul ved symmetrisk belastning. Imidlertid er dette kun gældende,når netstrømmene er perfekt sinusformede. Hvis de tilsluttede belastninger forvrænger netstrømmenes kurveform, kan dette medføre

t

181

en betydelig strøm i nullederen. Som det er illustreret i fig. 12.6.4 vilnetledernes indhold af 3’die harmoniske blive adderet, således atnullederen bærer summen af de overharmoniske. På lignende mådebidrager 6, 9, 12 og 15 harmoniske til strømmen i nullen. Derimodhar overharmoniske svingninger, som ikke er delelige med 3, ingenbetydning for strømmen i nullederen.

Resulterende strøm nul eder

Fig. 12.6.4. Strøm i nulleder fremkaldt af 3’die harmoniskei symmetrisk belastede netledere.

Det kan vises at effektivværdien af en periodisk, men ikke-sinusformet vekselstrøm er lig med kvadratroden af kvadratsummen af deenkelte harmoniskes effektivværdier:

1~ er et evt. jævnstrømsled. Effekttabet i en leder kan som sædvanligbestemmes med den beregnede værdi af L

Brugsgenstande, som indeholder elektronisk fasereguleringsudstyr, f.eks. motorstyringer, lys- og varmereguleringer o.l., vil belastenettet med strømme med stort indhold af oversvingninger.

RRR

12.7 Magneters trækkraft

Fig. 12.7.1 viser en hesteskoformet elektromagnet med anker afblødtjern. Kraften F, hvormed magnet og anker tiltrækker hinanden,kan vises at være

B2AF L~ [N]

BL er fluxtætheden i luftmellemrummet, A dets tværsnitsareal og p~er permeabiliteten i luft (egentlig vacuumpermeabiliteten). I formlenindgår altså kun luftmellemrummets værdier, og den gælder også vedpermanente magneter. Hvis kraftpåvirkningen får ankeret til atnærme sig magneten stiger fluxtætheden BL, mens F stiger med kvadratet på BL. n

Ff A Ff

Fig. 12.7.1. Elektromagnet.

Selvom strømmen i elektromagnetens spole afbrydes, kan ankeret“klæbe” til magneten på grund af remanent magnetisme og den meget tætte kontakt mellem magnet og anker. Dette kan man forhindreved at anbringe et tyndt lag umagnetisk materiale, f.eks. plast ellermessing på magnetens polender.

I vekselstrømsmagneter varierer BL omtrentlig sinusformet.Kraften F kommer til at variere efter kvadratet på sinuskurven og

dermed være nul to gange i hver periode (fig. 12.7.2).Ankeret i et vekselstrømsrelæ vil derfor komme til at “klapre1’ med

en frekvens på to gange netfrekvensen. Dette kan undgås vedopdeling af hver af magnetpolerne i to dele og anbringelse af enkobberring eller -vikling om den ene del (fig. 12.7.3). Feltet i den der-

183

ved dannede “skyggepol” er forskudt omtrent 900 efter hovedfeltet pgrund af den inducerede strøm i kortslutningsringen. Det samledfelt fra en po1 er nu summen af hovedfeltet og skyggepolens felDette felt er konstant over den værdi, der er nødvendig for at holdankeret tiltrukket.

f(t)

Fig. 12.7.2. Kurveform.Fluxtæthed B og kraft F..

Fig. 12.7.3. Polben medkortslutningsring.

I praksis fordeles en spoles vindinger oftest ikke over hele kernenlængde, men samles pa en spoleform(fig.12.7.4). Der må derfor regnemed et spredningsfelt, som vist i eksemplet afsnit 5.5, idet en del afmagnetfelt forløber uden for jernkernen.

a. Jemkeme med kortslutningsringe for relæ

b. Spole viklet pàspoleform

Fig. 12.7.4.

Beregningseksempel til afsnit 12

Eks. 12.1En spole med jernkerne bruger 38 W ved tilslutning til 110 V, 50 Hz.Strømmen i spolen er 1,20 A.Viklingens tradmodstand er målt med jævnstrøm til 12 Q.

Spolens impedans, effektive resistans og reaktans samt strømvarmetab og jerntab skal bestemmes.

~= q = ijo = 91,70

Reff= = 1,202 = 26,40

XLeff = ~JZ2 — Reff2 = ..]91,72 26,42 = 87,80

P = 1,202 12 = 17,3W

~Fe””Cu38 17,3=20,7W

185

13. Gensidig induktion.Transformerprincippet

13.1 Gensidig induktion

I afsnit 5.7 blev omtalt hvorledes en strømændring i en spole (1) medfører en ændring af det magnetiske felt og dermed inducerer en elektromotorisk kraft:

— — tit ‘~‘1

Det blev også vist (fig. 5.7.4), at der ligeledes vil induceres en elektromotorisk kraft i en anden spole (2), der er anbragt sa nær, at den påvirkes af af feltet fra den første spole (1). Spændingen, der induceres iden ene spole, er proportional med strømmmens ændringshastighed iden anden spole:

-~‘e2—— tit IVI og e1—— tit

Proportionalitetsfaktoren M kaldes den gensidige induktionskoefficient og måles ligesom selvinduktionskoefficienten L i henry, H.

Hvis en strømændring på i ampere pr. sekund i den ene spole medfører en induceret elektromotorisk kraft på i volt i den anden, harspolerne en gensidig induktion M i H.

Det kan vises, at hvis spolerne er anbragt så tæt, at det totalemagnetfelt er fælles, er

M= .,/L1 •L2

øges afstanden mellem de to spoler, reduceres den gensidige pavirkning. Det vil da kun være en del af spolernes felter, der er fælles.Denne fælles del af magnetfeltet kaldes ofte hovedfeltet. Ud over hovedfeltet vil der om hver spole være et såkaldt spredningsfelt.

Jo mindre de to spoler påvirker hinanden, jo mindre bliver den gensidige induktion. Dette kan udtrykke ved en koblingsfaktor /e:

M k ~JL1 L2 ,hvor 0 ≤ k ≤ 1.

Koblingsfaktoren k er nær i ved ‘fast’ koblede spoler, og falder, nårspoler f3ernes fra hinanden. k = 0 betyder, at spolerne ingen gensidigpåvirkning har.

13.2 Transformerprincippet

To spoler med vindingstallene N1 og N2 tænkes anbragt så tæt, at detmagnetiske felt kan betragtes som fælles for spolerne.

Spole i tilsluttes en vekselspænding u1 = Uimax sina, hvorvedden gennemløbes af strømmen i1 = sin (a—~1). Hvis der regnesmed forsvindende lille resistans i spolerne bliver ç~ = 90°.

N1ItU Ml

ri ni iii ri tit• [.1 i 141 — ~ Is ~ I I~I~i s s iLIII ITT ti I ITV V

ul u2

Fig. 13.2 I. Spoler med fælles magneffelL

Det magnetiske felt ø, der følger strømmen, vil inducere en elektromotorisk kraft

e1-dø/dt N1,

og da der her ses bort fra trådens resistans (R = 0) er = u1.

Det samme felt inducerer i spole 2 en elektromotorisk kraft

e2=—dø/dt N2.

Eftersom der her ikke her regnes med spændingsfald i spolerne,bliver klemspændingen u2 e2.

Kurveformer og vektordiagram får fig. udseende (fig. 13.2.2 og 3):

ule1=e2~n e

= E2~ n

Fig. 13.2.2. Kurveformer Fig. 13.2.3. Vektordiagram(eff værdier).

Af førnævnte ligninger fremkommer ved division fig. forhold:

— N2 — u2 —

Forholdet ii kaldes omsætningsforholdet.

Det må understreges, at ovennævnte gælder for den ideelle transformer i tomgang. For den praktiske transformer under varierende belastning må der regnes både med et resistivt og et induktivt spændingsfald i begge viklinger. Dette behandles i bind 3, “Elektriske maskiner”, kapitel 2.

188

14. Beregning af vekselstromskredseved komplekse tal

14.1 Indledning

Sinusformede vekselstrømme og -spændinger kan som beskrevet i afsnit 7 afbildes som tidsvektorer, idet vektorlængden sættes lig effektivværdien, og retningen fastsættes ud fra et koordinatsystem.

Dette såkaldte rektangulære koordinatsystems akser fastlæggesofte ved placering af den først tegnede vektor. Alle følgende vektorertegnes ud fra denne første. Denne metode blev anvendt ved beskrivelsen i afsn. 7 til 10. Ved serieforbindelser blev det valgt at placerestrømmen vandret, mens der ved simple parallelforbindelser blevgået ud fra en spændingsvektor, tegnet lodret. Undertiden vælgerman at begynde med en kendt strøm- eller spændingsvektor, som eroplyst for en enkelt komponent eller en mindre del af den samledekreds.

I det komplekse talsystem er referencen en vandret liggende akse,og når der i de følgende afsnit opgives en vinkel skal den regnes udfra denne vandrette linie. En vektor med vinklen 00 skal altså tegnesvandret pegende mod højre, mens 90° betyder at vektoren er drejet90° mod uret, således at den peger lodret opad.

Først repeteres kort brugen af vektorer, som det blev vist i kap. 7til 10, ved hjælp af et almindeligt eksempel på en parallelforbindelse

Fig. 14.1.1. Parallelforbundne impecianser.

af to impedanser (fig. 14.1.1). Spændingen er fælles for de to impdanser. Strømmen i hver af de to grene tegnes ud fra spændingmed korrekt vinkel og med anvendelse af samme skala (ampere pmm).

Sammenlægning af de to strømme kan foregå ved hjælp af cosinusrelationen, som vist i afsnit 9. Den samlede strøm kan også findes,idet begge strømme opløses i en komposant i spændingens retning(I~) og i en komposant vinkelret på spændingen (4i).

Nu kan wattstrømme og wattløse strømme adderes hver for sig,hvorefter den resulterende strøm beregnes ved Pythagoras formel, dade to komposanter danner kateter i en retvinklet trekant.

u u

I,

Fig. 14.1.2 Addition afstrømvektorer. Fig. 14. i.3~ Addition af I~ og ‘wI~

På lignende made kan en resulterende spænding over en serieforbindelse af en resistans og en reaktans findes som den vektorielle sum aspændingen over hver af komponenterne.

Som eksemplerne viser vil en vektor være fuldstændigt bestemt vedenten

-dens længde og vinkel i et polært koordinatsystem(eks.:Iogço)

eller-dens koordinater i et retvinklet koordinatsystem(eks.: I~ og ~

14.2 Komplekse tal

Vort “almindelige” talsystem kan afbildes pa en tallinie, der fra 0strækker sig uendeligt langt til begge sider, gerne tegnet med depositive tal stigende mod højre og de negative mod venstre. Man kanbetegne talsystemet som én-dimensionalt.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 i 2 3 4 5 6 7 6 9I I I I I I I I I I I I

Fig. 14.2.1. Tallinien.

I det komplekse talsystem, som kan kaldes to-dimensionalt, er heleplanet udfyldt med tal. Et punkt i planet kan angives ved dets koordinater, således at der til et hvert punkt svarer et talpar.

Koordinaten på den almindelige talakse (som gerne tegnes vandret) kaldes punktets reelle del. Den anden af punktets to koordinaterkaldes den imaginære del.

Imaginæretals akse

(x,jy)

y - i

reelletals akse

x

Fig. 14.2.2. Det komplekse talpian.

Nar det komplekse talsystem anvendes i elektroteknikken, betegnesden imaginære del ved et j foran koordinaten. Et komplekst tal kanskrives på formen

ï =x+jy,

hvor x er tallets reelle del (koordinaten i det “almindelige” reelle tal-system), mens y er tallet z’s imaginære del (koordinaten pa den ima

191

ginære akse). I matematisk litteratur anvendes i i stedet for jbetegnelse af imaginærdelen.

Den viste skrivemåde af tallet z kaldes sumform.

Det komplekse tal ï kan afbildes ved en vektor med længden zmed vinklen Lv i forhold til de reelle tals akse:

ir=z v

Denne måde at angive et komplekst tal på kaldes produktform.

Den numeriske værdi I z~ er vektorens længde og kaldes modulus.Vinklen ~ er vinklen mellem vektoren og den reelle talakse, ogkaldes argumentet.

I det følgende udelades tegnet for numerisk værdi, saledes at udtryk som dette blot skrives:

ï zv

Af fig. 14.2.3 ses følgende sammenhænge:

x=z ~cosv,

y=z sinv

og

Der er således mange lighedspunkter mellem de trigonometriskmetoder, der anvendes ved regning på vekselstrømskredse, og kompleks regning.

Im

y(x.jy)

Fig. 14.2.3.

Rex

192

I det følgende vil det blive vist, hvorledes man ved anvendelse afkompleks regnemåde direkte kan benytte de formler, der kendes frajævnstrømsteorien.

14.3 Regneregler

Addition og subtraktionNår komplekse tal skal lægges sammen eller trækkes fra hinandenskrives tallene på sumform, hvorefter realdelene sammenlægges ellerfratrækkes for sig, og de imaginære dele for sig.

= x1 + jy1

= + jy2

Summen eller differensen af disse to komplekse tal er

ï1±F2(x1 x2)+j(y1 Y2)

Multiplikation og divisionKomplekse tal, som skal ganges eller divideres, skrives på produkt-form:

~Z2 ~2 ~‘2

De numeriske værdier ganges hhv. divideres, mens vinklerne (argumenterne) lægges sammen hhv, trækkes fra hinanden:

ïI •Ï2 =z1 ~ ______

z1,’z2 =z1/z2 ,v1 i’2

Tallet ï x + JO indeholder kun en reel del, og kan skrives på produktform xJQ’.

ï 0 + ji j er omskrevet på produktform lz2pj’, og er et rent imaginært tal, da reeldelen er 0.

Af xJQ 1 90 =x .1/0+900 =x/9Q jxses, at multiplikation medden imaginære enhed j svarer til en drejning mod uret pa 90°. Tilsvarende vil division med j give en drejning af vektoren på 90° med uret.

Opløftning afj til 2.den potens giver følgende resultat:

j2j j=1~p~’ 1~Q =1/180 = i

Multiplikation med j2 medfører altså en drejning på 180°.

(af ovenstående følger i øvrigt at — j)

Konjugeret værdiVed effektberegning med komplekse tal anvendes, som det ses i afsnit14.3.3, begrebet konjugeret værdi. Ved den konjugerede værdi af etkomplekst tal forstås et tal med samme realdel, men med modsatfortegn foran imaginærdelen.

Det konjugerede tal til tallet ï skrives ~*•

Til tallet ï = x + jy svarer skrevet på sumform det konjugerede t

= x — jy. På produktform svarer til tallet ï =z ~ det konjugeretal ~*=z ~i.

14.4 Komplekse tal anvendt på vekselstromskredseEn sinusformet spænding u U sin (2,rf+ v1) kan repræsenteres af det komplekse tal U =U/j, hvor U er effektivværdien afspændingen, mens v1 er dens vinkel i forhold til referencen (u1 = 00,

hvis U placeres på de reelle tals akse). Når denne spænding på-trykkes en komponent, forårsager den en strøm i komponenten, sompå kompleks form kan skrives I ‘/!a~ Forholdet mellem spændingen i volt og strømmen i ampere betegnes impedansen, som medkompleks notation betegnes Z , og måles i ohm.

_UIvi UZ= L__=—/Vi_V2 =Z/2,

I/y-~I

hvor ç er den vinkel, som strømvektoren er faseforskudt efter spændingen.

194

På sumform skrives impedansen

Z -R+jX1~ [Ç2j

Her er realdelen R komponentens resistans, “ohmske modstand”,mens XL — 2 r f L er den induktive reaktans. På lignende måde erimpedansen af en delvis kapacitiv komponent

Z.R-jXc= Z/~q, hvor 90°<cp<O°.

Herunder er i skemaform vist den komplekse skriveform for de renekomponenter resistans, induktiv reaktans og kapacitiv reaktans bådepå sumform og produktform:

ZR+jO Z=O+jXL 2’=O-jXc

Z’RLQ~ Z.Xc/90’

14.4.1 Beregning af impedans

Serieforbindelse af impedanserImpedanserne skrives på sumform:

Z R+jX,

hvorefter impedansernes realdele adderes for sig og imaginærdelenefor sig. Ved addition af imaginærdelene skal man være opmærksompå fortegnet, idet en kapacitiv komponent som nævnt har negativimaginærdel.

~ =ER+SjX,

Den resulterende impedans kan derefter om nødvendigt omskrives tilproduktform:

2’res Zres I Ç9res.

195

Parallelforbindelse af impedanserErstatningsimpedansen for et antal parallelforbundne impedanserkan beregnes ved reciprokformlen som beskrevet for resistanser iafsn. 3:

i I I

4es =Zi zVed parallelforbindelse af to impedanser kan evt, benyttes formien

z =~i~~2res

Stjerne-trekant transformationOmformning af en stjerneforbindelse af impedanser til en ækvivalenttrekantforbindelse eller omvendt kan foregå efter de samme formlersom for resistanser (se afsn. 11):

A-*À

Z12 =

Z23

z12 .z31—

z12 +z23 +z31

z20

zao

= Z23Z12

Z12 +~23 +Zsl

= z31.z23ZJ~2 +Z23 +~31

.z20 + Z20.:Z30 + Z3o

Z20

Z 10 Z20 + Z20 ~Z3o + Z3o .ZlO

z3o

zIo Z20 + Z20 .Z3o + Z3O •Z 10

zIO

zlO .zIO

i

3 2

14.4.2 Beregning af spænding og strømSpændingen over en impedans kan som sædvanlig beregnes som produktet af strøm og impedans. Dette kan ske med begge værdier entenpå sumform eller på produktform. På samme måde kan strømmengennem en impedans findes som forholdet mellem spænding ogstrøm.

Sammenlægning af flere spændinger eller strømme foregar på samme måde som beskrevet for addition af impedanser. De enkeltespændinger eller strømme opskrives på sumform, og realdele og imaginærdele adderes hver for sig.

14.4.3 Beregning af effektSom det blev vist i afsnit 9 kan man for en 2-leder belastning beregneden tilsyneladende effekt (eller skineffekt) som produktet af spændingens og strømmens effektivværdier:

S=UI [‘JA]

Virkeeffekten og den reaktive effekt findes ved multiplikation medhhv. cosç~ og sinç:

PS cosp [W] og Q=S sinq’ [var].

Dette er med kompleks skrivemade pa sumform

hvor der anvendes positivt fortegn for Q ved induktiv effekt og negativt ved kapacitiv effekt.

AL

Z12zlo

2

Fig. 14.4.1.

~-1jt —wi —

— I Qind

1~

Fig. 14.4.2

På produktform udtrykkes den tilsyneladende effekt

~r s~

hvor faseforskydningsvinklen ç’ er positiv for en induktiv forbruger ognegativ for en kapacitiv.

Beregning af den komplekse størrelse af den tilsyneladende effektved multiplikation af spændingens og strømmens komplekse værdiergiver resultatet

(17 Uffj.IJfl~=U.I/VI__~‘2,

Dette resultat er ikke lig med effekten, da den resuterende vinkifølge regnereglerne afsnit 14.3 er lig summen af spændingens ostrømmens vinkler. I formlen for beregning af effekt er faseforskydningsvinklen ç, vinkelforskellen mellem spændings- og strømvektorerne:

/9 = V1— U2.

Derfor beregnes den tilsyneladende effekt i stedet som produktet aspændingen U og strømmens konjugerede værdi I ~:

s _U.I*=u~.I, v2 =U.I/Vj V2 = U•Iff

Ved anvendelse af denne formel (og v1 = 0) bliver fortegnet for Q positivt ved induktiv last og negativt ved kapacitiv belastning, d.v.s deer resultatmæssig overensstemmelse med den tidligere gennemgåedmetode.

s

P

14.4.4 Kompleks beregning af 3-fasede belastninger.Ved 3-fasede systemer vælges som regel fasespændingen UL1.N somreference. De to andre fasespændinger er forskudt hhv. 1200 og 240°bagud for denne spænding, og der kan skrives fig. sæt ligninger:

N =UfLQV

UL2_N =Uf/—12O_V

UL3_N =UfI—240_V

Netspændingen UL1L2 kan bestemmes som spændingsforskellen mellem fasespændingerne UL1 N og UL2 N~

Ubi L2 UL1 N UL2 N =UL1 NLQ~ V

Pa samme måde bestemmes de to øvrige netspændinger. Derefterkan, som gennemgået i afsn. 11, de enkelte belastningers strømmebestemmes. Til sidst findes netlederstrømmene ved hjælp af Kirchhoffs knudepunktslov.

Et 3-faset, 4-leder usymmetrisk tilfælde er vist gennemregnet ieksempel 14.5.

Ved tegning af vektordiagrammer skal referencevektoren (vektoren,der har argumentet 0) iflg. det forgående placeres på reeltals-aksen,dvs, vandret mod højre. I praksis kan referencevektoren dog tegnessom det ønskes, f.eks. lodret. Alle følgende vektorers vinkel er såangivet ud fra denne retning.

De fleste regnemaskiner er forsynet med funktionsknap [Pa’R], medhvilken man let omregner fra polære koordinater (produktform) tilrektangulære koordinater (sumform) og omvendt.

I de følgende beregningseksempler er anvendt omregning mellempolære og reaktangulære koordinater som vist, men indtastningen erikke vist.

Pa regnemaskiner med kompleks funktion kan såvel indtastningensom visningen af beregningsresultatet ske valgfrit på sumform ellerproduktform.

Beregningseksempler til afsn. 14

Eks. 14.1

U = 400 VI og ç’ skal beregnes.

R=80Q XL=6OQIEH_r0:~w_1Spændingsvektoren vælges som reference: U

Z=R+JXL=80+j60=loo,36,87 0

y~_ 4O0J~ ~4,0,—36,87Z 100 ,36,87

400 0

Strømmen er 4,0 A, og faseforskudt 36,87° efter spændingen.

Eks. 14.2

I den viste parallelkreds er= 300 0, ço~~ = 30° (ind.) og X~ = 450 0

Spændingen over forbindelsens klemmer er U = 90 V.Alle strømme, den samlede impedans og kredsens faseforskydnings.vinkel skal bestemmes.

Spændingen sættes som reference: U 90 0 V

— U 900°Z~ 4501—90°

i =J~I, ~ =(0,260+0) +j( 0,150+0,200)

0,260 +jO,050 = 0,265 ~I0,9 A

xc

- U‘sp ;;-

L~sp

90J~°= 0,300/—30

300 /2ff 0,260 jO,150 A

0 + jO,200 A

200

Resultatet viser at den samlede strøm er 265 mA, og faseforskudt10,9° forud for spændingen.Impedansen kan findes ved Ohms lov:

~ JL 9OLQ~ =340~—1O,9’ = 334 j64,3 0.I 0,265j10,9°

Impedansen kunne også findes ved anvendelse af formien for paral.lelforbindelse af to impedanser:

Eks. 14.3

2’= Z~pZzsp +zc

= 300~Q~•450/ — 90°= 340/ —10,9 0.

260+j150+0—j450

11 =1,OA=3300= 1100

XL = 190,60X~1=X~2= 190,60

eg_____

Spændingen t1ad og den resulterende faseforskydningsvinkel mellemUad og I skal beregnes.

Som referencevektor bruges her den kendte strøm 11, som derforskrives:

Ji =1,0/9f A

Z1 =R1+jX~=330+j190,6=38l,lj~Q.~ 0

~ ‘R2jXc2 110 j190,6 220,1/60° 0

XL

201

= .Y~ = 381,1f~ 1,0~Q~ —381,1 30

‘2 = Ubd = 381,1L~Q~ = 1,73L~Q jl,73AZ2 220,1/— 600

J=71+l2=1,O+j1,73=2,OL~Q A

t1ab Zc .7—190,6/—90_°.2,0L~’=38l ,2 30 V

Uad = Uab + Ubd = 381,2/— 300 + 381,1~Q

= 330,1 —j190,6 + 330,0 +j190,6

= 660,1 +j0 = 660,1JQ~V

Den samlede spænding over hele kredsen er 660 V og i fase medstrømmen J~, som er 60° bagud for I. Kredsens faseforskydning erderfor 60° kapacitiv.

Spændingsforskellen mellem punkterne b og c kan findes f. eks. således:

UbC =iI .W1 =l,OjQf.330~f’=330+j0V

U~ ‘2 .R~ =l,73JQ~’.I10JQl9O3L2Q~0+i190~3’V

Uce ~thi,c —U~ 330+jO (0+j190,3)=330 j190,3380,9L~L V

Eks. 14.4

Tilsyneladende effekt S, virkeeffekt P og blindeffekt Q skal beregnesfor den viste parallelkreds:

U= 380V, 50Hz.Z~~=760Q~ «‘~~=3O°X~ = 1900 Cl

Xc

y L380~051_300 Ap ~ 760/~ff

r~ —~~-— 380&~ =0,2J2Q~ Ax~ 19001—90°

S~ U I~ 3so~p~ . 0,5/~Q l9Of~Q~ = 164 + j95 VA

Sc —U 1c 38OJQ~’0,2/ —90 76/__90°0 j76 VA

ES—164+0+j(95—76)=164+j19=165~~ VA.

Kredsens samlede effektværdier er:S165VA,P164WogQ 19 var.Faseforskydningsvinklen er 6,6° (induktiv).

Eks. 14.5

Til et 4-leder net, 3 400/230 V er tilsluttet tre forbrugere som vist.Strommene i de fire netledere skal bestemmes.

Li

L2

L3

N

—0- -I____ ____

ZAl6O/Q~fl ZBll5/~O°fl Zc115j~0°fl

Fasespændingen UL1.N vælges som reference. De to andre fasespændinger er dermed forskudt hhv. 120° og 240° bagud:

ULI_N =230JQ’ V

UL2N =230/—120_° V

ETL3_N =230, —240 0 V

Spændingen over belastning A er netspændingen UL1L2:

ilL! L2 ~LI~N UL2 N =230JQ~—230/--120_°—400 30 V

— — N — 230/—120‘B— — — _______

ZB 115L~9_

- UL3NIc= —

ZC

ki TA

— 230/—240— 115j~9

2,50~92 A

2,0/—270 A

‘L2 ‘B’A =2,00/—150° 2,50~Q

= —1,73 —jl,0 —(2,16 +jl,25)= —3,89— j2,25 = 4,5/ —150°

‘L3 =Yc =2,00/—270°A

A

= + = —(2,00/ 150 + 2,00/ 270

= ( 1,73 jl,0+0+j2,0)=1,73—jl,0= 2,0/ 30

— ULI L2 =400—=2,50J2p~A160 JQj’

2,0/—150 A

A

15. Elektrokemi

15.1 Elektrolyse

Indledningsvis erindres om at alt stof er opbygget af atomer. Iflg. densimple atommodel bestar atomet af en kerne af elektrisk positiveprotoner og neutrale neutroner. Omkring kernen findes i varierendeafstand fra kernen kredsløb (orbitaler) af elektroner. Elektronerne ernegativt ladede, og da der normalt er lige så mange elektroner somder er protoner i kernen, ophæver ladningerne hinanden, således atatomet ud ad til er uelektrisk.

I formlerne i dette afsnit indgår betegnelser både for atomer, molekyler og ioner. Der anvendes i kemiske formler fIg. skrivemade:

Et atom angives ved et eller to bogstaver afledt af stoffets latinskenavn: ilt, oxygen : 0. De fleste gasarter, også ilt, vil i fri tilstand danne molekyler, idet to atomer “deler” deres elektroner. Udtrykket foret iltmolekyle er 02. På lignende måde danner frit brint, hydrogenmolekylet H2.

Mister atomet en eller flere elektroner får atomet overskud af positive ladninger. der er dannet en positiv ion. Optager et atom elektroner dannes en negativ ion. Ikke blot enkelte atomer, men også atomgrupper kan danne ioner. Når et brintmolekyle dissocieres, sker detefter formlen H2 — 2W. Denne skrivemåde viser, at molekylet er adskilt i to atomer, som begge har mistet en elektron og derved har faeten positiv ladning.

ElektrolytterEn elektrolyt er et stof, som ved opløsning i vand eller i smeltet tilstand er helt eller delvist ioniseret. Dette gælder for eks. kemiske forbindelser som syrer, baser og salte, der dissocieres, d.v.s. adskillesunder dannelse af ioner, når de opløses i vand.

Ved dissociationen dannes både positive og negative ioner.

205

Som eksempler kan nævnes følgende:Kogsalt NaC1 bliver i vandopløsning dissocieret og danner ionerneNa~ og C1, hvilket skrives

NaC1 —, Na~ + Cl

Svovlsyre H2S04 dissocieres i vand saledes

H2504 —, 2H~ + S042

De positive hydrogen-ioner H+ dannes ved, at hvert H-atom mistersin ene elektron, som medgår til at danne sulfat-ionen S042

Da ioner er elektrisk ladede, kan vand, der indeholder en elektrolyt, lede elektrisk strøm.

Nedsænkes et stykke af metallet zink (Zn) i en vandig opløsning afsvovlsyre vil zinken opløses af syren under dannelse af brint og zinksulfat.

Dette foregår egentlig ved at Zn-atomerne afgiver elektroner, somoptages af elektrolyttens H+~ioner, hvorved der dannes positive Znioner og fri brint:

Zn + 2H+ Zn2+ + H2.

Heraf ses, at zink har større evne end brint til at danne positive ionerved afgivelse af elektroner. Der bruges udtrykket, at zink er mereelektropositivt end brint.

Anvendes i stedet for svovlsyre en opløsning af saltet kobbersulfat(CuSO4) vil opløsningen indeholde positive Cu2~-ioner.

Reaktionen med zink vil da være

Zn+Cu2+_* Zn2t+Cu,

hvilket viser, at zink er mere elektropositivt end kobber.

15.2 Metallernes spændingsrække

Hvis en metalstang anbringes i en opløsning, der indeholder ioner afsamme metal, vil der mellem metallet og opløsningen opstå enspændingsforskel, som afhænger af det pågældende metals evne til,under afgivelse af elektroner, at danne positive ioner.

Ud fra denne egenskab kan metallerne ordnes efter faldende elektropositivitet, hvorved de danner metallernes spændingsrække.

Udover metallerne er hydrogen (brint, H) medtaget i listen. Potentialet af hydrogen sættes pr. definition til 0 V, og metallernes potentialer angives i forhold hertil.

206

I praktiske spændingskilder, som eksempelvis blyakkumulatorer, erdet ofte ikke rene metaller, men f.eks. kemiske forbindelser, der danner elektroder.

I fig. 15.2.1 er angivet en del metaller ordnet efter faldende elektropositivitet. For den fuldstændige spændingsrække samt potentialer afspecielle elektroder henvises til kemiske tabelværker.

Metal Potentialevolt

Lithium 3,05Natrium 2,71Magnesium 2,37Aluminium 1,66Zink 0,76Jern 0,44Tin 0,14Hydrogen, brint 0,00Kobber 0,34Kviksølv 0,79Sølv 0,80Platin 1,2

Fig. 15.2.1. Del af metallarnes alektrokemiske spændingsrække.

De beskrevne kemiske forhold danner grundlaget for elektrolyse,±vs. adskillelse og uddragning af bestanddelene i en elektrolyt.

Herved kan fremstilles rene metaller og gasarter. Ved elektrolysekan emner påføres et tyndt metallag, som det sker ved forkromningog forzinkning, ogsa kaldet koldgalvanisering. Ligeledes er metallersog metalforbindelsers varierende evne til at danne ioner årsag tilkorrosion, men er samtidigt forudsætningen for det galvaniske element og blyakkumulatoren.

Disse emner omtales nærmere i det følgende.

15.3 Fremstilling af metaller ved elektrolyse

Et metal kan ved elektrolyse udvindes af en opløsning eller en smelteaf et salt af det pågældende metal.

I elektrolytten, der indeholder positive ioner af metallet, anbringesto elektroder, som tilsluttes en ydre jævnstrømsforsyning. De positivemetalioner vil da søge mod den negative elektrode, hvor de modtagerelektroner og afsættes som metalatomer.

Elektroderne i elektrokemiske celler benævnes ofte anode og katode. Disse to begreber defineres ud fra strømretningen, således atstrømmen i cellen går fra anode til katode.

Den afsatte mængde metalatomer er proportional med ladningsmængden, eller med andre ord: Det udfældede metals masse m afhænger af metallets atommassetal, af strømmen og af den tid, hvoriprocessen løber:

mk I~thvoraf

k = rn j milligrami. t [ampere . sekund

Den elektrokemiske konstant k kan for et givet metal beregnes medkendskab til metallets valens og atommassetal.

En række k-værdier er eksperimentelt bestemt af Faraday, og kbenævnes derfor ogsa Faraday’s konstant. I skemaet fig. 15.3.2 erangivet størrelsen af k for nogle almindeligt anvendte metaller.

Fig. 15.3.1. Metaifremstilling ved elektrolyse.

Metal kmg!A~s

Sølv 1,118Zink 0,338Kobber 0,329Jern 0,289Krom 0,179

Fig. 15.3.2.

Udfældning af sølv af en soivnitratopløsning har tidligere dannetgrundlag for definition af enheden for elektrisk strøm, idet i A varbestemt som den strømstyrke, der på 1 sekund udskiller 1,118 mgsølv.

Ved elektrolyse anvendes jævnspændinger på nogle få volt, menmed store strømstyrker, idet jo strømmen bestemmer den udskiltematerialemængde pr. tidsenhed.

Fremstilling af kobberSom positiv elektrode (anode) anvendes råkobber, d.v.s. Ca. 990o rentCu, mens den negative elektrode (katoden) er af helt rent kobber.Elektrolytten er kobbersulfat (CuSO4) i vandig opløsning. De positivekobberioner Cu2t søger mod katoden og udfældes her som rent kobber. Ved anoden gar kobberioner ud i opløsningen. Under processengendannes altså elektrolytten, mens anoden forbruges.

Ved denne såkaldte raffinering fremstilles elektrolytkobber, der ernæsten lOO0o rent Cu.

Cu

C u2~

A K

A: anode K: katode

Fig. 15.3.3. Raffinering af kobber.

Elektrodeprocesserne kan skrives således:

Ved anoden: Cu —, Cu2+ + 2eog

ved katoden: Cu2+ + 2e —, Cu

Kobberet kan også udfældes af CuSO4 ved anvendelse af uopløseligeelektroder. Anoden eller begge elektroder kan være af kulstof ellerplatin. Elektrodematerialet deltager sa ikke i de kemiske processer.Der vil som ovenfor beskrevet udfældes Cu ved katoden, men vedanoden frembringes ilt (02), idet vandet sønderdeles:

21120 -4 02+4H~+4e.

Da der ikke tilføres kobberioner fra anoden, må der tilsættes kobbersulfat til elektrolytten under processen.

Fremstilling af aluminiumAluminium kan fremstilles ved elektrolyse af smeltet aluminiumoxid(A1203). Begge elektroder er af kulstof og tager ikke del i de kemiskeprocesser. Elektrolyttens aluminiumioner A1s+ aflejres ved katodensom metallisk Al, mens oxygenionerne 02 forbinder sig med anodenskulstof. Elektrodeprocesserne kan skrives:

Ved anoden: 3C ÷ 602 —, 3C02 + 12eog

ved katoden: 4A13~ + 12e -÷ 4A1

Gassen CO2 bobler op ved anoden, hvor den kan opsamles.

15.4 Galvanisk påføring af metallag

Efter samme princip som ved fremstilling eller raffinering af metalkan metalgenstande påføres et tyndt lag af et mere ædelt metal. Formålet kan være at forhindre korrosion af emnet eller at give detsoverflade større slidstyrke eller et pænere udseende.

Ved såkaldt galvanisering palægges elektrolytisk et tyndt lag zinkpå for eks. et emne af jern, der derved beskyttes mod at ruste. Andreeksempler pa overfladebehandling er forsølving og forkobring, sidstnævnte især som grundlag for en efterfølgende fornikling, forsølving

210

eller forgyldning. Meget anvendt er forkromning, som, for at hæftebedre, ofte foretages oven på en forudgående fornikling.

Ved elektrolysen er emnet, der skal påføres et beskyttende lag,katode. Elektrolytten er en opløsning af et salt af det metal, der skalpaføres. Ledningsprocessen i elektrolytten kan fremmes ved tilsætning af svovlsyre (surt bad) eller natriumhydroxid (basisk bad). Anoden kan, som ved forkobring, forbruges eller kan være uopløselig.

Udover som nævnt platin og kulstof anvendes bl.a. blyantimon somuopløselig anode. Når anoden ikke kan levere metalionerne, må elektrolytten stadig fornyes, efterhånden som den forbruges.

GalvanoplastikAftryk af ikke-ledende emner kan fremstilles ved elektrolyse, idetemnets overflade gøres ledende ved påføring af et tyndt lag grafit.Emnet placeres som katode i et elektrolytisk bad, der indeholderioner af det metal, aftrykkes ønskes udført i.

15.5 Elektrolytisk fremstilling af gasarter

Kemisk rent vand (H20) er ikke elektrisk ledende, men tilsættes foreks. et salt som natriumhydroxid (NaOH) dissocieres dette og dannerionerne Na+ og OH . Disse ioner deltager i den elektrolytiske proces,men gendannes, således at mængden er konstant.

+111 —

9

2C1 —,C12+2r 2H20+2e —*H2+20H

Fig. 15.5.1. Elektrolytisk fremstilling af klor og brint.

Ved katoden dannes frit brint, hydrogen (H2) og ved anoden ilt, oxygen (02). Disse frie gasser bobler op ved elektroderne, hvor de kan op-

211

samles. Som elektroder ved denne såkaldte vandsønderdeling kananvendes platin.

Pa lignende made kan gasarten klor (Cl2) dannes ved elektrolyse afnatriumklorid (NaC1) i vandopløsning. De negative Cl -ioner går modden positive elektrode, anoden, hvor der dannes frit klor. Derimod erNa+.ionerne sa stabile, at de ikke aflades ved katoden. I stedet spaltes vandet, og der dannes hydrogen ved katoden.

15.6 Galvanisk tæring, korrosion

Som tidligere beskrevet vil zink, der befinder sig i en opløsning, derindeholder kobberioner, afgive elektroner og derved omdannes frametallisk zink til zinkioner. Disse zinkioner træder ud i elektrolytten,hvor de efterhanden erstatter kobberionerne:

Zn + Cu2+ ~ Zn~4 + Cu

Zinken vil altså under processen tæres bort, da det er mere elektro-positivt end kobber.

Generelt vil et mere elektropositivt metal tæres, hvis det bringes ikontakt med ioner af et mindre elektropositivt metal. Et almindeligteksempel herpå er tæring af jern. Jerndele, der er i berøring med fugtighed, tæres, da vandet normalt indeholder opløsninger af forskelligesalte.

Et lignende problem opstår, hvor elektriske ledere af forskelligematerialer samles med en klemme. Da aluminium er mere elektro-positivt end kobber, vil en samling af disse to materialer udsættealuminiummet for tæring.

Fig. 15.6.1. Klemme med pressesamling af Al- og Cu-leder (NKT).

En sådan samling vil ofte være udsat for fugtighed, hvorved der dannes et elektrolytisk kredsløb med Ad-lederen som anode. Det er derfornødvendigt at anvende specielle klemmer, der er udført således at derikke kan trænge fugtighed ind til samlingen mellem de to materialer.

~~t-.—- b)4~

212

Endvidere monteres klemmen med Al-parten øverst, så regnvandløber fra Al mod Cu, ikke omvendt. Derved undgås at fugtigheden vedAl-parten indeholder kobberioner.

Metaldele i jord, f.eks. vandrør, kan blive udsat for elektrolytisktæring. Det kan ske, hvis vandrøret befinder sig i nærheden af køre-skinner ved jævnstrømsdrevne sporvogns- eller jernbaneanlæg. Hvisen del af returstrømmen på en strækning kommer til at løbe i vand-røret, sker der tæring, hvor strømmen igen forlader røret. Den fugtigejord er elektrolyt i kredsen og vandrøret er anode.

+

<>F~\_)

Fig. 15.6.2. Tæring ved vagabonderende strømme.

Som omtalt beskyttes jern ofte mod korrosion ved koldgalvanisering,d.v.s. palægning af et tyndt zinklag. Hvis zinklaget gennembrydes, såfugten kan trænge ind til jernet, opstar et elektrolytisk kredsløb (fig.15.6.3). Da zink er mere elektropositivt, altsa lettere end jern dannerpositive ioner, bliver zinken anode og jernet katode i kredsen; de posi~tive Zn-ioner søger mod katoden og afsættes på jernet, hvorved brud.det i beskytteseslaget kan heles.

Zn /\ Zn

Fig. 15.6.3.

Sn /\ Sn

Havde det beskyttende lag været af et metal, der står efter jern ispændingsrækken, f.eks. tin (Sn), ville jernet have været anode. Derville da ske gennemtæring af jernet.

213

15.7 Katodisk beskyttelseJernkonstruktioner, der er placeret i fugtige omgivelser som jord ellerhavvand, korroderes idet der afgives Fe2+.ioner til den omgivendeelektrolyt. Denne korrosion kan formindskes betydeligt ved anbringelse af stykker af et mere elektropositivt metal i nærheden af dejerndele, der skal beskyttes. Jernet vil da blive katode i den elektrolytiske kreds og dets afgivelse af ioner forhindres.

Et eksempel herpå er beskyttelse af en nedgravet tank ved anbrin.gelse af zinkanoder. Returforbindelsen etableres ved et isoleret kabelmellem jerntank og zinkanode. Efter samme princip beskyttes varmtvandsbeholdere ved montering af en magnesiumanode i beholderen.

På skibsskrog anbringes zinkplader i nærheden af eventuelle messing- eller bronzedele, da jernskroget ellers ville blive udsat for tæring ved sadanne dele af mere ædelt metal.

Katodisk beskyttelse foretages ofte med påtrykt spænding, idetjerndele og beskyttelsesanoder tilsluttes en lav jævnspænding medanoderne mest positive (fig. 15.7.2). Der vil da ga en jævnstrøm gennem vandet til jerndelene, som derved forhindres i at afgive ioner.

+

Fig. 15.7.2. Katodisk beskyttelsemed påtrykt spænding.

Anoderne kan være såkaldte offeranoder, der efterhånden forbrugesog ma fornyes. Der kan i stedet bruges permanente anoder af grafit,som ikke tæres væk. Offeranoder i jord omgives af anodefyld, somkan bestå af kokssmuld eller en blanding af gips og ler. Anodefyldet,der er anbragt i en lærredssæk, medfører en mindre overgangsmodstand til den omgivende jord.

Zn2

Fig. 15.7.1. Beskyttelse af tankmed offer-anode.

214

15.7.1 PolarisationEn jordelektrodes modstand kan bestemmes ved en samtidig malingaf strøm og spænding (se bind 2: ‘Elektriske målinger”, afsn. 10).

Anvendes der jævnstrøm til denne måling, vil man se at strømmentil elektroden er langsomt faldende under målingen, svarende til enstigende modstand. Dette skyldes sakaldt polarisation, forarsaget afen ophobning af positive ioner ved overfladen af den elektrode, derdanner katode. Ved bestemmelse af jordelektroders modstand anvendes derfor vekselstrøm.

15.8 Primære elementer

Ved primære elementer forstås elektrokemiske energikilder, der ibrugstiden omdanner den indeholdte kemiske energi til elektriskenergi. Når den kemiske energi, som elementet er ‘født’ med, er opbrugt, kasseres det. Det kan i princippet ikke genoplades.

Elementets bestanddele er i princip en elektrolyt og to elektrodermed forskellig elektroposivitet.

Fig. 15.8.1. Volta-søjle. Rekonstruktionaf Alessandro Voltasoriginale element fra 1800.

Det tidligste element var volta-søjlen, der består af en stabel zink- ogkobberskiver, skiftevis anbragt og med skiver af papir eller tøj imellem. Elektrolytten, der er en svag syre- eller saltopløsning, er opsugeti de porøse papir- eller tøjskiver. Virkemaden kan beskrives ved opstillingen fig. 15.8.2, som forestiller et galvanisk element. Denne type

215

blev anvendt i praksis før tørelementets opfindelse. En zinkplade (Zn)og en kobberplade (Cu) er anbragt i en opløsning af svovisyre. I vanddissocieres syren og danner ionerne H+ og S042 . Da zinken er mereelektropositiv end kobberet strømmer der i den ydre forbindelseelektroner fra Zn til Cu. Zinkpladen er blevet anode og kobberpladenkatode.

De negativt ladede sulfat-ioner søger mod zinkanoden, hvor deafgiver elektroner under dannelse af zinksulfat:

Zn2+ + S042 —, ZnSO4.

Zinkpladen vil altsa efterhanden forbruges.Ved katoden opsamles de positive hydrogenioner, som ved optagel

se af elektroner danner fri brint:

2H~+2e—, H2

Elementets elektromotoriske kraft er Ca. 1,1 V, bestemt af afstandenmellem Zn og Cu i spændingsrækken.

Fig. 15.8.2. Galvanisk element,princip.

I praksis ville processen hurtigt gå i stå, idet der ophobes hydrogenioner omkring katoden. Dette virker som en modelektromotoriskkraft, og i det almindelige tørelement fjernes disse ioner, idet de gar iforbindelse med katodematerialet.

Det almene princip i primære elementer kan skitseres ssom vist i fig.15.8.3.

15.8.1. LeClanché’s element. Torelementer,I 1860’erne fremstillede franskmanden LeClanché en vådcelle, dvs, etelement med aben beholder og med elektrolyt i form af en syreopløsning. Danskeren Hellesen forbedrede i 1880’erne LeClanchés elementved udvikling af et tørelement. I tørelementet undgås ulemperne vedden ætsende, flydende syre, idet elektrolytten er salmiak (NH4C1) op-suget i porøst materiale. Desuden er elementet indeholdt i et lukketbæger, således at det kan anvendes i en vilkårlig position. I nyere tider det også blevet forsynet med en udvendig stalkappe. Elementetselektromotoriske kraft er Ca. 1,6 V og den indre modstand er af størrelsesorden 0,01 til 0,30 ohm.

Tørelementets opbygning fremgår af fig. 15.8.4. Anoden er udformet som et bæger af zink. Anodereaktionen bliver derfor

Zn —, Zn2++2e

Katoden er mere kompliceret opbygget. Midt i zinkbægeret er anbragt en stang af kulstof, som danner elementets positive po1.

Omkring kulstangen er en pose med fint formalet brunsten. Brunsten, hvis kemiske navn er mangandioxid (Mn02) er et billigt og meget anvendt katodemateriale. Den ret komplicerede katodeproces,som ikke beskrives her, resulterer i at positive hydrogen-ioner fraelektrolytten gar i forbindelse med brunsten under optagelse af elektroner.

Pa grund af katodematerialet kaldes elementet også et brunstens

Fig. 15. 8.3.Primærelement, princip.

element.

I Topdæksel2 Asfa!t!ukke

2 3 Ekspansionsrum3 4Katode4 5 Stålkappe

6 Ekspansionsrør

6 7Zinkanode8 Elektrolyt9 Kulstang

8 10 Bunddæksel9

10 Fig. 15.8.4. Salmiakbrunstenselement.

Som figur 15.8.4 viser er elementet hermetisk lukket med en asfaltpakning. Der er derfor øverst i elementet et ekspansionsrum, der kanoptage trykvariationer samt opsamle fri brint og evt. vanddamp.

Brugen af brunstensbatterier er stadig aftagende til fordel foralkaliske batterier.

15.8.2. Alkaliske elementerAfløseren for det almindelige brunstens-tørelement er det alkaliskeelement (‘alkaline battery’), der som elektrolyt anvender en opløsningaf kaliumhydroxid (KOR).

1. Positiv po!2. Separator

2 3. Stålkappe3 4. Anodemateriale

5. Elektrolyt6. Katodemateriale7. Leder8. Overtrykventi!

6 9. Negativ po!7

8

Fig. 15.8.5. A!kalisk e!ement(DURACELL).

Det alkaliske element har større energiindhold pr. rumfangsenhedend salmiakelementet, men på grund af en kompliceret elektrodekonstruktion er det dyrere at fremstille. Det alkaliske brunstenselementkan bedre end salmiakelementet tåle hårde belastninger og ermindre følsomt overfor lave temperaturer. De første alkaliske elementer indeholdt kviksølv, men der er nu udviklet elementer heltuden tungmetallerne kviksølv og cadmium.

c. d. e. f.

a. b. c. d. e. f.

Brun- _________ R03 R6 R14 R20 6F22 3R12sten ______ AAA M C D 9V 45VAlka- IEC: LRO3 LR6 LR14 LR2O 6LR61 3LR12line ANSI: MÅ M C D 9V 45V

Fig. 15.8.6. Betegnelser på gængse batteristørrelser.

15.8.3. Andre primære elementerDer arbejdes stadig på videreudvikling af elementer, og mange materialer er taget i anvendelse eller forsøgt anvendt som elektrodemateriale eller elektrolyt.

Mange nye typer elementer er udformet som minaturebatterier, pagrund af deres form kaldet knapceller.

219

I figur 15.8.7 er vist et eksempel på udformning af en knapcelle.

Minuspol

Anode

Membran

Separator

Fig. 15.8.7. Opbygning af knapc&Ia.

KviksolvelementI kviksølvelementet er elektrolytten også alkalisk, almindeligvis kaliumhydroxid eller natriumhydroxid. Anoden er som ved andre primærelementer af zink, men til katoden bruges kviksølvoxid (HgO el.ler Hg20). Nominel spænding er 1,35 V. Energiindholdet er 2 til 3gange større end for et traditionelt tørelement af samme størrelse.Desuden er spændingen under afladning næsten konstant, indtilelementet er opbrugt. På grund af kviksølvindholdet er elementetklassificeret som miljofarlig. Det anvendes dog endnu i nogle høreSapparater og ældre kameraer.

Sølv-oxid elementSølv~oxid batteriet er udformet som knapcelle og har i lighed medkviksølvelementet zinkanode og alkalisk elektrolyt Det har da ogsåegenskaber som kviksølvelementet, men en nominel spænding på 1,5V, som holdes næsten konstant i hele batteriets levetid. Anvendelsesområdet er høreapparater, ure, regnemaskiner mm.

Zink-luft elementI modsætning til andre knapcellebatterier er Zn-luft batterier ikkelukkede enheder, da det behøver ilt fra den omgivende atmosfære.Ved opbevaring før brug ma knapcellen derfor være forseglet for atundgå selvafladning. Forseglingen fjernes når cellen tages i brug.

Zn.luft elementer anvendes specielt til høreapparater og personsøgere. De har meget lang lagerlevetid og større kapacitet end tilsvarende kviksølvelementer. Batteriets spænding er ca. 1,4 V.

220

Lithium elementLithium er det metal, der har den højeste elektroposivitet, og detanvendes derfor som anodemateriale både i primære og sekundærebatterier. Lithiumelementer som primærbatterier fremstilles somknapceller og cylinderformede (AA eller mindre) f.eks. i meget tyndeudgaver til montage pa kredsløbskort.

En almindelig type er Lithium-mangandioxid batteriet, som udføres med de nominelle spændingsværdier 1,5, 3 og 9V. En andenudgave er lithium-thionyl-klorid cellen, som har en cellespænding på3,6 V og en energitæthed på op til 800 mWhlcm3, hvilket er ca. 10gange så meget som tørelementet. Lithiumbatterier kan lagres ekstremt længe og kan anvendes ved temperaturer fra ca. —40 til +60 C.

Anvendelsesmulighederne er mange, fra kameraer, bærbar TV ogcomputere til batteridrevet håndværktøj.

15.9 Sekundære elementer, akkumulatorer

Til forskel fra de i det foregaende afsnit omtalte primære elementerer sekundære elementer eller akkumulatorer genopladelige, d.v.s. dekemiske processer er reversible, således at de elektrodematerialer,der omdannes under brug, kan gendannes, når elementet opladesmed strømretning modsat afladestrømmen.

15.9.1. BlyakkumulatorenDenne type akkumulator er den ældste og stadig blandt de hyppigstanvendte former for genopladeligt element. Et akkumulatorbatteribestar af et antal serie- og parallelforbundne elementer eller celler,hver med en elektromotorisk kraft pa ca. 2 V.

Blyakkumulatorbatterier findes aktuelt i forskellige udformninger:- batterier med gitterplader, hvor det aktive materiale som pasta er

presset ind i pladerne.- batterier med rørpladeelektroder, hvor det aktive materiale er

anbragt i porøse rør.Begge typer udføres- med tilgængelig elektrolyt på væskeform, og med mulighed for

vandpåfyldning og maling af massefylde. Disse batterier skalanbringes på vandret flade med påfyldningspropper opad.

221

- som “lukkede”, ventilerede batterier med elektrolytten gelet elleropsuget i separatorer. Cellerne er lukkede med ventiler, som forhindrer gasafgivelse og lufttilgang. Batterier af denne type kanmonteres stående eller liggende pa siden.

Et typisk batteri med gitterplader og fri elektrolyt er i hovedsagenopbygget af fig. dele (fig. 15.9.1):

- En syrefast batterikasse af sort ebonit (hardgummi) eller af polypropylen, der kan være gennemsigtig eller farvet. Nederst i batterikassen er et slamrum, hvor løse partikler kan opsamles udenrisiko for, at de danner kortslutninger.

- Et antal serie- og parallelkoblede celler, hver indeholdende noglepositive og negative elektroder. Elektroderne udføres oftest somgitre af blyantimon med de aktive materialer afsat i gitrenesmellemrum. I de såkaldte rørpladebatterier er de positive pladeropbyggede af perforerede plastrør, som indeholder det aktivemateriale.

- Separatorer af syrefast, mikroporost materiale, som adskiller deenkelte plader i cellen.

- Polbroer, der elektrisk forbinder cellerne, samt en negativ og enpositiv poltap til ydre tilslutninger.

- En elektrolyt, der består af meget ren svovlsyre opløst i destilleret eller demineraliseret vand.

Virkemåde

Den opladede blyakkumulatorEn opladet og brugsklar akkumulator har en tomgangsspænding påCa. 2,05 til 2,12 V. På den positive elektrode er afsat blyoverilte(blydioxid, Pb02) i gitteret, mens den negative elektrode indeholdermetallisk bly i form af blysvamp (Pb). Blyoverilten giver den positiveelektrode en mørkebrun farve, mens blysvampen er metalgrå.

Syrekoncentrationen er høj, idet elektrolytten indeholder 37°o

svovlsyre svarende til en massefylde på 1,28 g/ml (se ogsa fig. 15.9.2).Svovlsyren er dissocieret næsten fuldstændigt i sine ioner:

H2S04 —, 2}I~ + S042

Indvendig polbro syreprop Dæksel

Poltap esaJ~

Pladebærer

Minusplade(metallisk grå)

Plusplade(mørkebrun)

Batterikasse Slamsamlermed fodliste Kunststof

Celleadskillelse Ophøjet kant separator

Fig. 15.9.1. Blyekkumulator (Bosch).

Afladning af akkumulatorenAfladning sker, når en elektrisk brugsgenstand tilsluttes mellem akkumulatorens positive og negative po1. Der vil da ga strøm i den ydrekreds fra plus til minus. Som bekendt er det egentlig negative lad.ninger i form af elektroner, der går modsat strømretningen.

Under afladningen ændres de aktive materialer på elektrodegitrenesom følger:

Ved den positive elektrode tilføres elektroner, blyoverilten dissocieres og de derved frigivne ilt-ioner danner vand ved forbindelse medbrint-ioner fra elektrolytten:

Pb02 + 4W1 + 2e -÷ Pb2~ + 2H20,

hvorefter Pb-ionerne sammen med elektrolyttens sulfationer dannerblysulfat:

Pb2~ + 5042 —> PbSO4.

Pa den negative elektrode dannes også blysulfat, samtidig med at derafgives elektroner til den ydre kreds

Pb —* Pb2~+2e

ogPb2~ + S042 -. PbSO4

Ovenstaende kan sammenfattes til:

-ved begge elektroder dannes blysulfat (PbSO4).-ved den positive pol dannes vand, hvorved syrekoncentrationen falder.

Opladning af akkumulatorenAkkumulatoren tilsluttes en spændingsforsyning således at strømretningen under opladningen bliver fra den positive til den negative pol ielektrolytten.

Den negative elektrode tilføres elektroner fra spændingsforsyningen og positive hydrogen-ioner fra elektrolytten, hvorved der dannessåkaldt blysvamp samt svovisyre:

PbSO4 + 2H~ + 2e —, Ph + H2804.

Fra den positive elektrode afgives elektroner, blysulfaten dissocieres og Pb2+.ionerne forbinder sig med vandets ilt til blyoverilte(Pb02), mens sulfationerne og vandets brintioner danner svovlsyre:

PbSO4 + 2H20—> Pb02 + H2S04 + 2H~ + 2e

Dette er sammenfattet:

-ved den positive elektrode dannes blyoverilte (Pb02).-ved den negative elektrode dannes metallisk bly (Ph).-ved begge elektroder dannes svovlsyre, hvilket får syrekoncentrationen til at stige.

En bruttoformel for op- og afladeprocesserne under ét kan skrives:

afladn

Ph + Pb02 + 2H2S04 > 2PbSO4 + 2H20opladn

Kontrol af ladetilstand med syremålerVed at måle elektrolyttens massefylde kan man konstatere batterietsladetilstand. Hertil anvendes et hydrometer, som er forsynet med ensvømmer med skala.

Massefylde Ladetilstand Frysepunkt C

1,265-1,290 1/1 opladet oa. 601,235-1,265 3/4 opladet Ca. —401,205-1,235 1/2 opladet oa. 301,175-1,205 1/4opladet oa. 201,140-1,175 afladet oa. 121,100-1,140 totalt afladet oa. 7

Fig. 15.9.2

Tabellen figur 15.9.2 viser forholdet mellem massefylde, ladetilstandog frysepunkt (kilde: LYAC).

KapacitetEn akkumulators størrelse males i amperetimer (Ah), hvilket er denladningsmængde, der under visse angivne forhold kan aftages fra akkumulatoren under brug.

Kapaciteten afhænger af

- afladestrømmen- elektrolyttens massefylde og temperatur- afladeforløbet (kontinuert eller intermitterende)- batteriets alder.

Normalt regnes regnes med en afladetid på 3 eller 10 timer, hvorafnominel afladestrøm kan findes som kapaciteten divideret med denangivne tid.

Kapaciteten er stærkt afhængig af temperaturen, og er f. eks. ved15 C kun Ca. det halve af kapaciteten ved +20 C.

VirkningsgradAkkumulatorbatteriers virkningsgrad beregnes enten som forholdetmellem afgiven og tilført ladning i Ah:

Da afladespændingen er lavere end spændingen under opladningmedfører sidstnævnte udtryk den lavest beregnede virkningsgrad.For blyakkumulatorer kan normalt regnes med q~ — 85°o og q~ =

750o omtrentligt.

Op- og afladningsforlobPa grund af den indre modstand i cellerne må der påtrykkes akkumulatoren en højere spænding ved opladning end den klemspænding,der er til stede over klemmerne ved afladning. Den opladede celle haren tomgangsspænding på Ca. 2,1 V. Under brug falder klemspændingen indtil Ca. 1,75 V, hvorefter genopladning bør finde sted. Under ladning stiger spændingen pr. celle til Ca. 2,4 V, hvor gasningsfasen påbegyndes. Herefter stiger spændingen ret hurtigt mod Ca. 2,7 V, samtidig med at der sker en kraftig gasudvikling i cellen. De gasser, derudvikles, er ilt ved de positive plader og brint ved de negative.

afgiven I‘lAh = tilført j 1000

eller som forholdet mellem afgiven og tilført energi i Wh:

— afgiven U~ I. g

— tilført u 100’~’o

18v

16

0,

14

12

10 80 100%

opladet

Fig. 15.9.3. Op- og afladeforløb for 12 V batteri (Bosch).

0 20 40 60

af ladet Ladet Istand

226

Når gasningen begynder, må ladestrømmen nedsættes til en trediedelaf normal ladestrøm, og ladningen indstilles, når elektrolyttensmassefylde ikke stiger mere.

En overopladning vil kunne ødelægge batteriet, idet der lokalt kanske en forøgelse af syrekoncentrationen, som angriber både plader ogseparatorer. Desuden kan den kraftige gasudvikling løsrive blyoverilte fra de positive plader.

Da en blanding af brint og atmosfærisk luft kan være eksplosiv, mået akkumulatorrum være forsynet med effektiv udluftning. Udluftningen skal også tjene til at f3erne de mikroskopiske dråber syre, derafgives fra elektrolytten, og dermed undgå at metaldele i batteri-rummet ætses.

SelvafladningDer foregår til stadighed en selvafladning i cellerne, som medfører etkapacitetstab på ca. ‘2 ~O pr. døgn.

Dette kan der kompenseres for ved automatisk efterladning, så.kaldt drypladning. Et batteri, der ikke er i brug, må med regelmæssige mellemrum genoplades, så det ikke aflades fuldstændigt vedselvafladning. Selvafladningen skyldes, at der både på de positive ogpå de negative plader dannes lokalelementer, som aflader pladerne.

Tillades for kraftig afladning, evt. pa grund af selvafladning, bliverdet flnkrystallinske blysulfat ødelagt, det bliver inaktivt og kan ikkelængere ved genopladning omdannes til blyoverilte hhv. blysvamp.

VedligeholdelseBortset fra såkaldt vedligeholdelsesfri batterier, skal akkumulatorerregelmæssigt efterfyldes med demineraliseret vand, så elektrolyttenaltid dækker elektroderne helt. Batterierne må iøvrigt holdes rene ogtørre, da der ellers dannes sulfatforbindelser omkring poltappene ogman risikerer krybestrømme eller ekstern kortslutning.

Såkaldt vedligeholdelsesfri batterier er konstrueret således at gas,der frigøres under op- eller afladning, rekombinerer og danner vand.Under normale driftsforhold er det derfor ikke nødvendigt atefterfylde med væske. Batterikassen kan derfor være helt lukket,men er dog forsynet med sikkerhedsventil, sa et evt. overtryk kanudlignes.

15.9.2 Nikkel-cadmiuzu akkumulatorenSom navnet angiver, udgøres NiCd-akkumulatorens kemisk aktivematerialer af nikkel- og cadmiumforbindelser.

Elektrolytten består af kemisk rent kaliumhydroxid (KOR) opløst idestilleret eller demineraliseret (deioniseret) vand. Elektrolytten eraltså i modsætning til blyakkumulatorens basisk. NiCd-batteriet betegnes derfor som basisk eller alkalisk batteri.

Elektroderne er stålplader med mange små ‘lommer’, der indeholder det aktive materiale. Elektrodepladerne kan dog også værefremstillet ved sintring af nikkelpulver, hvilket giver en porøs overflade, hvorpå det aktive materiale kan udfældes elektrolytisk.

Det aktive materiale er på den positive plade nikkel-hydroxid og påden negative plade metallisk cadmium, som ved afladning ændres tilcadmiumhydroxid.En bruttoformel for materialeændringene under op- og afladning kanskrives:

atladn -

2NiOOH + Cd + 2H20 ‘ 2Ni(OH)2 + Cd(OH)2opladn

Som det se, dannes der ved opladning vand, men dog så lidt, at elektrolyttens styrke kun synker ubetydeligt.

En NiCd-akkumulator har efter opladning en tomgangsspændingCa. 1,36V pr. celle.

Fig. 15.9.4 viser et ekempel på en NiCd-akkumulator for industrielle formål. NiCd genopladedelige batterier fremstilles i sammeudgaver som primærbatterier (se eksemplet fig. 15.9.5)

Kapaciteten af NiCd-akkumulatoren er ikke så afhængig af afladningstid og elektrolyttemperatur som en blyakkumulators kapacitet.Ved 20 C er kapaciteten stadig ca. 75°o af normal kapacitet.Virkningsgraden er omtrentligt: ,j~ = 7O~o og qwh = 550o.

Hverken under- eller overopladning er normalt skadeligt for NiCdbatteriet, men ved overopladning stiger vandforbruget pa grund afgasning. Det oplyses normalt at et NiCd-batteri skal aflades helt førgenopladning (“memory-effekten”). I modsat fald kan batteriet misteevnen til at levere fuld ladning. NiCd-akkumulatorer kan op- ogaflades ca. 1000 gange.

Cadmium er et meget miljøskadeligt tungmetal. Cd-indholdet erderfor en væsentlig ulempe og årsag til at der udvikles mere miljøvenlige genopladelige batterier til erstatning for NiCd-batteriet.

h

~~~1~~

Fig. 15.9.4. N1Cd-akkumulator (SAFT).

15.9.3 NiMH-batteriNikkel-metalhydrid batteriet har en opbygning mage til et NiCdbatteri. Den positive elektrodes aktive materiale er nikkel-hydroxidsom i NiCd-batteriet, men i stedet for cadmium er den negative elektrodes aktive materiale hydrogen, brint. Da det ikke indeholdercadmium eller andre tungmetaller er det mindre skaldeligt formiljøet, men også dyrere end NiCd-batteriet.

229

Pluspol

Nogle metallegeringer er i stand til ved normalt tryk og temperaturat optage store mængder brint. Metal-brint.forbindelsen betegnesmetalhydrid. Elektrolytten kan være en opløsning af bl.a. natriumhydroxid.

Den resulterende proces kan skrives

afladnNi(OH)20 + M > NiOOH + MHabs

opladn

I dette reaktionsskema star M for den brint-absorberende metal.legering og Habs er absorberet brint.

Elektrolytten deltager ikke selv i reaktionen, og dens mængdeændres ikke under processen.

Kapaciteten er mere end 50 WIkg, hvilket er Ca. dobbelt så megetsom for NiCd.batterier. NiMH-batterier har i modsætning til NiCDingen problemer med “memory”-effekt. Elementspændingen er 1,2 V.

15.9.4 Lithium-ion batteriDet genopladelige Li-ion batteri består af tre lag viklet op til cylin.derform eller som lag i en rektangulær beholder. Den positive elektrodes vigtigste komponent er lithium-coboltoxid eller lithiummanganoxid, og den negative er dannet af specielt kulstof. Disse to eradskilt af en separator med en organisk opløsning som elektrolyt.

KapslingMinuspol

eleltrode

Separator

Positiv elektrode

Fig. 15.9.5. Cylindrisk genopladeligt element (NICd og NiMb!).

230

Andre materialekombinationer anvendes dog også. Under afladningtransporteres Li~-ioner fra den negative til den positive elektrode, ogunder opladning i modsat retning.

Cellespændingen er 3,6 V, hvilket medfører at Li-ion batteriet ikkealtid direkte kan erstatte andre batterityper.

På grund af en energitæthed, der er meget højere end for andrebatterityper er anvendelsen stærk stigende, især til bærbart udstyrog lignende, hvor lav vægt af strømforsyningen er vigtig.

Bilag A

SYMBOLLISTE

vinkel a, fi, ço rad,rumvinkel £2 srlængde, afstand 1, a mstrækning, vejlængde s mareal A m2areal af ledertværsnit 2 m2, mm2tid t shastighed v misvinkelhastighed radlsacceleration a mis2tyngdeacceleration g mis2periodetid Tomdrejningshastighed ti omdr.lmin.tidskonstant i- sfrekvens f Hz, sresonansfrekvens f0 Hz, smasse ni kgkraft F Nmoment, drejningsmoment M N marbejde, energi W Jeffekt P €Jis, Wtemperatur T, t K, °C

elektrisk strøm I Astrømtæthed J A/mm2elektromotorisk kraft E Vspænding, potentialforskel U Velektrisk ladning Q Celektrisk flux Celektrisk forskydning D Cim2elektrisk feltstyrke E VImladningstæthed Cim2kapacitans C F

232

vacuumpermittivitet tja F/mrelativ permittivitet -

permittivitet £ = ~0 6r F/mresistans, modstand r, R ohm, 0specifik modstand, resistivitet Om, C2mm2/m

modstandstemperaturkoefficient a K ~, °C ~konduktans, ledningsevne G Bspecifik ledn.evne, konduktivitet y SIm

magnetomotorisk kraft Fm A, Avmagnetisk felt, flux ø Wbmagnetisk fluxtæthed B Wblm2, Treluktans Rm AIWb, H ~magnetisk felstyrke H Alminduktans, selvinduktion L Hvacuumpermeabilitet H/mrelativ permeabilitet Mr -

permeabilitet P = Po Mr H/mspredningskoefficient -

vindingstal N -

omsætningsforhold n -

impedans Z ohm, 0induktiv reaktans XL ohm, 0kapacitiv reaktans Xc ohm, 0faseforskydningsvinkel rad,effektfaktor 2 -

tilsyneladende effekt S VAreaktiv effekt, blindeffekt QL~ Qc varvirkningsgrad q -

øjebliksværdi, strøm og spænding i, umax.værdi, amplitude ‘max’ Umn

effektivværdi I, Unumerisk middelværdi ‘mid’ Umid

strøm- og spændingsvektor I, iinumerisk værdi I’I~ IU~

233

bcosC = —

ac

sinC = —

ac

tanC —

Bilag B

Trigonometriske formler

cosinus-relationen:a2~b2+c2 2bccosA

a

a) Retvinklede trekanter

= b2 ÷ c2 (Pythagoras’ sætning)

b C

b) Alle trekanter

sinus-relationen:a = b c

sinA sinB sinC

B

c

A

B

ac

Ac

c) Nogle hjælpeformier

cos(x+y)cosx cosy sinx sinycos(x—y)cosxcosy+sinxsinycosxcosy=’2cos(x+y)+ 2cos(x—y)sinx -siny’2cos(x y) 2cos(x+y)

d) Trigonometriske funktioners fortegn

kvadrant: I II III IV

sinv + +

cosv + — +

tanv + — +

180

e) Nogle almindeligt anvendte værdieraf trigonometriske funktioner

u 00 300 45° 60° 900 180°

sinv 0 I ~ 1 02 2 2

cosv 1 I 0 —12 2 2

tanv 0 1 ~ 0

235

Bilag C

Det græske alfabet

Alla Aa aBeta B/3 bGamma gDelta 48 dEpsilon Et’ korteZeta ZÇ zEta Hq langt eTheta *96 thJota I, iKappa KK kLambda AÄ. iMy Mp mNy Nv nKsi H4~ ksOmikron Oo kort oPi 17,z- pRho rSigma Su sTau Tv tYpsilon Fu yFi øçoØ PhKhi £1 k(kh)Psi ~w p5Omega £2 ø langt o

Elektrisk strøm Magnetisk felt Elektrisk feltI Q

+( 0— N[3 s +-t3 [1—Tværsnitsareal Tværsnitsareal af Areal af kondenaf leder S magnetisk kreds A sator plader A

Længde af leder Magnetvejens Afstand mellem‘~ længde I kondensatorplader a

Stromtæthed Magnetisk ElektriskJ=L fluxtæthed B=— fluxtæthed

S A AKonduktivitet Permeabilitet Permittivitet

7=1 I’ =14e

Modstand, Reluktansresistans B = =

S 6u•AOhms lov

u=i•t IN=øS ,u•A e•A

Magnetisk B Elektrisk Dfeltstyrke H = — feltstyrke E = —

•11 8

Analogier mellem formler for elektrisk strøm, magnetisk felt og elektrisk felt.

Bilag E

Materialekonstanter

Isolationsmaterialer

Gennemsiags Specifik Dielektricitetsfeitstyrke modstand konstant

Symbol E 0 81.

Måleenhed kV/mm MQm -

olie 10-30 iO~-1O~ 2-3glimmer 15-90 Ca. 1010 59porcelæn ca. 30 Ca. 1010 6steatit 20-45 1012 6,5keramik (BaO-Ti02) >io~ 10-300keramik (BaTiO3) >io~ 500-10.000glas 10 30 103~1012 3-12olieimprægn. papir 40 Ca. 4polyrvinylklorid Ca. 20 106 4-10plexiglas 15-20 io3 3mylarfolie Ca. 180 1010 Ca. 3epoxystebeplast Ca. 30 io~ Ca. 6gummi 20 io7 4silikonelak 20-70 106.109 Ca. 3atmosfærisk luft Ca. 2 1,000536

Orienterende værdier for opgaveregning ol.

Fysisk Masse- Varme- Smelte- Smelte- Længde Resistivitet Modstands

størrelse {~1de ~‘lde punkt varme udv. specifik modstand temperaturkoefficient ved 20°C koefficient

Symbol: p c u a p a

Måleenhed: kglm3 kJ/(kg°C) °C kJlkg flm ≤) mm2/m

Aluminium 2,7 io~ 0,92 659 400 23 10—6 29 iW9 0,029 3,7 -

Bly 11,3 io3 0,13 327 25 29 10—6 210- 1W9 0,210 4,1 10 ~Guld 19,3 io3 0,13 1063 65 14 10—6 22- io9 0,022 3,4-

Jern 7,8 io3 0,46 1528 270 12 10—6 140 io° 0,140 6,4 10 ~KanthalAl 7,1 io~ 1600 27,8 10—6 1,45 10—6 1,45Kobber (ledning) 8,9 i03 0,39 1083 210 18- 10—6 17,5 io9 0,0175 4 10 ~Konstantan 8,9 - io3 0,41 1275 14 10—6 488 io9 0,488 5 10—6Kromnikkel 8,4- io~ 0,46 1400 14 10—6 1,05 10—6 1,05 0,13 1W3Kviksølv 13,6 io3 0,14 39 11 960 1W9 0,960 0,9 io3Manganin 8,4 io3 0,41 960 17 10—6 420 10~ 0,420 30 10—6Platin 21,4 io~ 0,13 1773 114 9 10—6 90 1W9 0,090 4 io3Sølv 10,5 io~ 0,25 961 88 20 10~ 15,8- io9 0,0158 4 io—3‘fin 7,3 io~ 0,22 232 60 27 10—6 200 io9 0,200 4,6- io3Wolfram 19,3 - io3 0,14 3380 4,5 10—6 55 io9 0,055 4 - io3Kul (glødetråd) 1,6- io3 40 10—6 40 0,4 10 ~Zink 7,1 io3 0,39 419 110 36- 10 6 62,5 10 ~ 0,0625 3,9 10Vand 1 io3 4,19 0Is 0,9 io3 2,10 0 335 51 10—6

Orienterende værdier for opgaveregning o.l.

Navneliste

Blaise Pascal (1623-1662), fransk filosof og matematiker

Anders Celsius (1701-1744), svensk naturvidenskabsmand, astronom

Isaac Newton (1642-1727), engelsk fysiker og matematiker

Ch. A. de Coulomb (1736-1806), fransk ingeniør og fysiker

James Watt (1736-1819), skotsk ingeniør og opfinder

Luigi Galvani (1737-1798), italiensk læge

Alessandro Volta (1745-1827), italiensk fysiker

André M. Ampère (1775-1836), fransk matematiker, biolog og fysiker

Hans Christian Ørsted (1777-1851), dansk fysiker, den første direktørfor Polyteknisk Læreanstalt

Georg Simon Ohm (1789-1854), tysk fysiker

Michael Faraday (1791-1867), engelsk fysiker

Joseph Henry (1797-1878), amerikansk fysiker

H.F.E. Lenz (1804-1865), baltisk-russisk fysiker

Wilhelm Weber (1804-1891), tysk fysiker

W. von Siemens (1816-1892), tysk elektrotekniker

James P. Joule (1818-1889), engelsk fysiker

Gustav R. Kirchhoff (1824-1887), tysk fysiker

Will. Thomson, lord Kelvin (1824-1908), engelsk fysiker

Nicolai Tesla (1856-1943), kroatisk elektrotekniker, arbejdede i USA

Léon Thévenin (1857-1926), fransk ingeniør

Heinrich Hertz (1857-1894), tysk fysiker

Listen omfatter kun personer, der er omtalt i teksten eller har givet navntil en måleenhed, der er anvendt i bogen.

Supplerende litteratur

Sven Andersson: “Elektroteknikkens grundbegreber’,Polyteknisk Forlag, 1972

Poul Thomsen: “Elektricitet og magnetisme”, Gyldendal, 1972

Poul Thomsen: “Matematik til anvendelse i fysik og teknik”,Gyldendal, 1967

Viggo Tarnow: “Elektricitet og magnetisme”, Teknisk Forlag, 1985

E. Rancke-Madsen: “Lærebog i kemi for maskinmestre”,Gads Forlag, 1984

Kurt Bodi: “Analog og digitalteknik”, Bogfondens Forlag, 1990

“Lærebog i katodisk beskyttelse”, Korrosionscentralen, 1975

N. Balslev: “Elektroteknisk materiallære”, Akademisk Forlag, 1964

Niels Jonassen: “Statisk elektricitet”, Polyteknisk Forlag, 1981

F.Beck & K.J.Euler: “Elektrochemische Energiespeicher”,VDE-Verlag, Berlin 1984

Poul Andersen (red.) m. ti.: “El.Ståbi”, 3.udg.,Nyt Teknisk Forlag, 2004

Stikordsregister

afladning, akkumulator 223 elektrode 208afladning, kondensator 58, 60 elektrolyse 205afmagnetisering 176 elektrolyt 205akkumulator 221 elektrolytkondensator 56alkalisk element 218 elektromotorisk kraft 28,100ampere,definition 17, 21, 94 elektron 12, 205amperevindingstal 74 elektropositivitet 206anode 208 elementarpartikel 12anodef~’ld 214 elementer, primære 215, 219arbejde 41 elementer, sekundære 221atomkerne 12 energi 41, 44atomnummer 12 energi, elektrisk felt 61

batteristørrelser 219 energi, magnetisk felt 96bifilarvikling 90 energiprodukt, magneter 82

ensretning 109blindeffekt 149blyakkumulator 221 exponential notation 20brunsten 217 Faradays forsøg 86brunstensbatteri 217 Faradays konstant 208

faseforskydning 112coercitivfeltstyrke 82, 173 faseforskydningsvinkel 112corona 65 fasespænding 154eosw 145ff felt, elektrisk 49Coulomb’s lov 49 felt, magnetisk 70Curie-temperatur 77, 82 feltspredning 79

definitioner, Sl 17, 21 feltstyrke 76dielektricitetskonstant 49 ferritmagnet 81dielektrikum 52 ferromagnetisme 76dissociation 205 flux 72drejningsmoment 43 fluxtæthed 72

effekt 42, 45, 145, 161, 163, 197 formfaktor 106frekvens 105effektdiagram 145

effektfaktor 148 galvanisering 210effektiv reaktans 175 galvanisk element 216effektiv modstand 175 galvanisk tæring 212effektivværdi 106 galvanoplastik 211

243

gasningsfase 226 kobbertab 174gennemslagsfeltstyrke 63 kompasnål 71, 82generatorregel 86 komplekse tal 189ffgensidig induktion 186 kondensator 51grundsvingning 179 konduktans 23

konduktivitet 23harmoniske svingninger 179hvirvelstrømme 88 konjugeret værdi 194

korona 65hvirvelstrømstab 171korrosion 213hysteresesløjfe 172, 173 kortslutningsring 184

hysteresetab 171 kraft 41, 43, 90højrehåndsregel 86 kviksølvelement 220

imaginærdel 191ladetilstand, akkumulator 225impedans 116, 195

indre modstand 28 ladning 13, 44, 50induktans 89 ladningsbærer 13

LeCianché’s element 217induktans, variabel 178induktion 84 ledningsevne 23

Lenz’ lov 87induktiv reaktans 116, 117lithium-celle 221ion 13, 205lithium-ion element 230isotop 13

jernkerne 170 magnet, permanent 81jerntab 171 magnetiseringskurver 77, 173

magnetisme 70kapacitans 53 magnetomotorisk kraft 74kapacitet, akkumulator 225 maksimalværdi 104, 106kapacitet, kondensator 53 middelværdi 106, 108kapacitiv reaktans 116, 119 modstandstemp.koefflcient 24katode 208 molekyle 11katodisk beskyttelse 214 moment 43kelvinskala 14, 17 motorregel 91keramisk kondensator 56 MP-kondensator 55kernepartikel 12 mætning, magnetisk 77, 179Kirchhoff’s love, jævnstrøm 33Kirchhoffs love, vekselstrøm netspænding 154115 neutron 12

NiCd-akkumulator 228klemspænding 28 NikkelMetalhydrid 229klæbning, magneter 183 NiMH-aklcumulator 229knapcelle 220

244

ohm, definition 22 selvafladning 227Ohm’s lov 22 selvinduktion 89omregning af enheder 42 selvinduktionskoefficient 89opladning, akkumulator 224 serieforbindelse 30, 123, 139opladning, kondensator 57, 58 serieforbindelse,overharmonisk svingning 179 induktanser 98

papirkondensator 55 kondensatorer 62parallelforbindelse 31, 129, 137 resistanser 30parallelforbindelse, spoler 98

induktanser 98 serieresonans 128kondensatorer 63 SI-grundenheder 16resistanser 31 Sl, afledede enheder 19spoler 98 sinuskurve 105

parallelresonans 133 skineffekt 149periode 104 skrueregel 71periodetid 104 skyggepol 184permanent magnet 81 specifik ledningsevne 23permeabilitet 72 specifik modstand 22permittivitet 49 spoleregel 73polarisation 215 spredningsfelt 78, 184potentiale 113, 207 spændingsdeling 30produktform 192 spændingsrækken 206proptræklcerregel 71 statisk elektricitet 67primærelement 215, 219 stjernekobling, belastning 157proton 12 stjernekobling, generator 153præfïx 20 stjerne-trekant

raffinering 209 -transformation 164, 196reaktans, induktiv 116, strømdeling 32strømfortrængning 176reaktans, kapacitiv 116, 119 strømtæthed 24reaktans, variabel 178 strømvarmetab 171, 174reaktiv effekt 148 sumform 192realdel 191reluktans superposition 39symmetrisk belastning 157remanens 82, 173 sølv-oxid element 220resistans 22, 116resonans 128, 133 tab 45resonansfrekvens 128, 133 tantalkondensator 56

sekundærelement 221 temperaturafhæng. resistans 23Thevenin’s regel 36, 166

245

tidskonstant 61, 96 vinkelhastighed 43tilstandsformer 14 virkeeffekt 148tilsyneladende effekt 143 virkningsgrad 45transduktor 179 virkningsgrad, akkumulator 225transformer 187 volt, definition 21trekantkobling, belastning 159 voltasøjle 215trekantkobling, generator 155 wattløs strøm 147trækkraft, magneter 183 wattstrøm 147tørelement 217

zink-luft element 220udladning 65, 67usymmetrisk belastning 161 ækvivalent forbindelse 123ff

vandsønderdeling 212 øjebliksværdi 104vektorer 110, 123 ørsteds forsøg 71venstrehåndsregel 91

ø, Q1’ --

—

.— Ut~ llh

4

III

1jfl:4)

g

BLIV INSPIRERET..9

~—H1

Ci

i.,j~! k»)’;tZ~fr r

I

Med Over 25 Jr, erfaring erLINAK verdens førendeproducent af elektriskelineære acWatore~ ton,via en elmotor et gear ogen spindel laver en lineærbevægelse.

BEVÆGELSE DER GØR HELE FORSKELLENActuatorsystemer fra LINAK kan håndtere enhver tænkelig hæve-, sænke-,justerings- eller reguleringsopgave, 1400 dedikerede medarbejdere påverdensplan arbejder hver dag på at løse spændende opgaver inden forhospitals- og plejesektoren, kontormøbelsektoren og industrien generelt.

www. Ii n a k - d kLINAI( MWE IMPROVE YOUR LIFE

ftff~i

- 4L~-gr

‘~rt -!

/1 ‘~