ELEKTROTEHNIKA

II GODINA

ELEKTROTEHNIKA

Predavači

Predavači: Dr Tihomir Latinović, dipl.ing.

Asistent: Dr Tihomir Latinović, dipl.ing.

KRATAK ISTORIJSKI RAZVOJ ELEKTROTEHNIKE

• 1831. godine Michael Faraday dokazuje da se pomoću

magneta može proizvesti električna struja

• 1879. godine Thomas Alva Edison – žarulja s ugljenom

niti

• 1882. godine Thomas Alva Edison – elektrana istosmjerne

struje

• 1884. godine – “budimpeštanska trojka” (Ganz) –

transformator

• 1888. godine – Nikola Tesla – dvofazni sustav

• 1890. godine Petrograd ima uličnu rasvjetu sa 66000

žarulja, koje su se napajale iz 10 centrala istosmjerne

struje

KRATAK ISTORIJSKI RAZVOJ ELEKTROTEHNIKE

• 1891. godine u Frankfurtu na Majni ostvaren je prijenos

izmjenične trofazne struje na udaljenosti 175 km

• 1895. godine prva hidroelektrana izmjenične struje –

velike snage na slapovima Niagare

• 1895. godine samo dva dana nakon Niagare proradila je

dvofazna elektrana na rijeci Krki

UVOD U ELEKTROTEHNIKU,OSNOVNI POJMOVI

• Važnost elektrotehnike, električke energije iinformatičke tehnologije (1. predavanje)informatičke tehnologije (1. predavanje)

• Istorijski pregled (1. predavanje)• Bohrov atomski model• Električna strujanja,učinci električne struje

JEDNOSTAVNI ISTOSMJERNI STRUJNI KRUG• šta je strujni krug, mehanizam uspostave struje u

čvrstim provodnicima, elementi,simboli• jačina i gustoća električne struje, vrste i vremenski

oblici, mjerne jedinice, trenutačne vrijednosti, oblici, mjerne jedinice, trenutačne vrijednosti, mjerenje

• Smjer električne struje• Električni napon, EMS, nastanak, simboli, smjerovi

unutarnjeg i vanjskog napona

OSNOVNI ZAKONI ELEKTRIČNOG STRUJANJA

• Električni otpor, fizikalna slika, zakon električnogotpora, specifični otpor i vodljivostotpora, specifični otpor i vodljivost

–Ohmov zakon–Električni otpor

Uvod u elektrotehniku- osnovni pojmovi -

• Električna energija se u aparatima -potrošačima, koristi za obavljanje radapotrošačima, koristi za obavljanje rada

• Električna energija dobija se u izvorima• Električna energija se lako prenosi čak i na

velike udaljenosti

Osnovni pojmovi

IZVOR VOD POTROSAC

Osnovni pojmovi

Električna strujanja• Prelazak elektrona s jednog mjesta na drugo

vodljivim putem• provodnici - materijali koji omogućuju prolaz

električne strujeelektrične struje• izolatori - ne provode električnu struju• u potrošačima pretvara se u druge oblike

energije vršeći korisne učinke

Učinci električne struje

• TOPLOTNITOPLOTNI• HEMIJSKI• MAGNETSKI

Učinci električne struje

• TOPLOTNI– zagrijavanje provodnika– zagrijavanje provodnika– prolazak struje kroz otpor– prolaskom struje kroz bilo koji provodnik stvara

se toplina

Učinci električne struje

• HEMIJSKI• HEMIJSKI– rastvaranje provodnika na sastavne dijelove– ELEKTROLIZA– elektroliti– provodnici druge vrste

Učinci električne struje

• MAGNETSKI– prolaskom struje kroz bilo koji provodnik oko – prolaskom struje kroz bilo koji provodnik oko

njega se stvaraju magnetske sile– magnetsko polje– nedjeljivo od električne struje

Jednostavni istosmjerni strujni krug

• Baterija - žarulja• simboli• šematski prikaz

šematski prikaz jednostavnog strujnog kruga

IZVOR

TROŠILO

VOD

jačina električne struje

• uslovljava učinak u električnim potrošačima

• Matematički izraz: QI =• Matematički izraz:

– I - jačina električne struje– Q - količina elektriciteta koja je kroz provodnik

prošla u vremenu t– t - vrijeme

t

QI =

Jedinica za mjerenje

• Jedinica za mjerenje jačine električne • Jedinica za mjerenje jačine električne energije je 1 A (amper), šta je ona električna struja , koja iz vodene otopine AgNO3 izluči u

jednoj sekundi 1,1180 mg srebra

Instrumenti za mjerenje

• AMPERMETAR• spaja se SERIJSKI• spaja se SERIJSKI

Količina elektriciteta i gustoća struje

tIQ ⋅=• Elementarni naboj -• Elementarni naboj -

naboj jednog elektrona e = -1,60 .10-19 As

AsC 11 =

tS

Q

S

I

⋅==Γ

Trenutna vrijednost jačine struje

dqi =

dt

dqi = •

Smjer električne struje

• Smjer struje - dogovorno od (+) prema (-)• Stvarni smjer kretanja elektrona je obrnut• Stvarni smjer kretanja elektrona je obrnut• Obzirom na smjer kretanja naboja struja

može biti istosmjerna ili izmjenična

Električni napon

• Razlika između polova (+) i (-) NAPON (U)• Jedinica za mjerenje Volt (V)• Jedinica za mjerenje Volt (V)• Instrument za mjerenje Voltmetar• Način priključivanja instrumenta paralelno

Unutarnji napon, EMS

• Različita električka stanja polova - potencijali• EMS - elektromotorna sila, uzrok pomicanja

naboja u izvorunaboja u izvoru• Djelovanjem EMS nastaje unutarnji ili proizvedeni

napon - E ili Uo

• Vanjski napon - napon koji djeluje na potrošaču - U

OMOV ZAKON

U=R

UI =

Električni otpor

• Električni otpor zavisi o :– materijalu provodnika– dužini provodnika– poprečnom presjeku– temperaturi S

lR ρ=20

Osvrt na prošlo predavanje - OSNOVNIZAKONI ELEKTRI ČNOG STRUJANJA

• Električni otpor, fizikalna slika, zakon električnog otpora, specifični otpor

• Ohmov zakon• Ohmov zakon

Elektri čni otpor, utIcaji na otpor, karakteristi čna optere ćenja izvora

• zavisnost električnog otpora o temperaturi• zavisnost otpora o ostalim fizikalnim veličinama,

supravodljivost, podaci i primjena, stalni i promjenljiviotpori, mjerenjeotpori, mjerenje

• Primjena temperaturne zavisnosti otpora• Nelinearni otpori, voltamperske karakteristike,

diferencijalni otpor• Prazni hod, opterećenje i kratki spoj izvora napona, pad

napona

Jačina električne struje

• Uzrokuje učinak u električnim potrošačima

• Matematički izraz:Q

I =• Matematički izraz:– I - Jačina električne struje– Q - količina elektriciteta koja je kroz provodnik

prošla u vremenu t– t - vrijeme

t

QI =

Instrumenti za mjerenje

• AMPERMETAR• spaja se SERIJSKI• spaja se SERIJSKI

Količina elektriciteta i gustoća struje

tIQ ⋅=• Elementarni naboj -• Elementarni naboj -

naboj jednog elektrona e = -1,60 .10-19 As

AsC 11 =

tS

Q

S

I

⋅==Γ

Trenutna vrijednost Jačine struje

dqi =

dt

dqi = •

Smjer električne struje

• Smjer struje - dogovorno od (+) prema (-)• Stvarni smjer gibanja elektrona je obrnut• Stvarni smjer gibanja elektrona je obrnut• Obzirom na smjer gibanja naboja struja

može biti istosmjerna ili izmjenična

Električni napon

• Razlika između polova (+) i (-) NAPON (U)• Jedinica za mjerenje Volt (V)• Jedinica za mjerenje Volt (V)• Instrument za mjerenje Voltmetar• Način priključivanja instrumenta paralelno

Unutarnji napon, EMS

• Različita električka stanja polova - potencijali• EMS - elektromotorna sila, uzrok pomicanja

naboja u izvorunaboja u izvoru• Djelovanjem EMS nastaje unutarnji ili proizvedeni

napon - E ili Uo

• Vanjski napon - napon koji djeluje na potrošaču - U

OMOV ZAKON

UI =

R

UI =

Električni otpor

I

UR =

• Električni otpor zavisi o :– materijalu provodnika– dužini provodnika– poprečnom presjeku– temperaturi S

lR ρ=20

zavisnost otpora - R

• materijal provodnika - ρ• dužina provodnika - l• dužina provodnika - l• poprečni presjek - S• temperatura - υ

ϑ

UTICAJ TEMPERATURE NA ELEKTRIČNI OTPOR

RRR ∆+= 20

αυ ⋅∆⋅=∆ RR ϑ 2020 αυ ⋅∆⋅=∆ RR

)1( 2020202020 αυαυ ⋅∆+⋅=⋅∆⋅+= RRRR

[ ])20(1 20 −⋅+⋅⋅= υαρS

lR

°−=∆ 20υυ

ϑϑ ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

Temperaturni koeficijent

υα

∆⋅∆=20 R

Rϑυ∆⋅20

20 R ϑ

zavisnost otpora metalnih provodnika o temperaturi

R

-273

0 20

τ=-234,5 °C ϑ°C

Mjerenje otpora - primjena• Mjerenje temperature namota električnih

strojeva• poznato ϑ1, mjeri se R1 i R2 - slijedi (za Cu):

CR

R °−+⋅= 5,234)5,234( 11

22 ϑϑ

Voltamperske karakteristike• Grafički prikaz zavisnosti struje i napona

I (A

)

U (V)

Voltamperske karakteristike

• Statički otpor

I

URstat =

• Dinamički ili diferencijalni otpor

dI

dURdif =

IRstat =

Prazni hod i kratki spoj izvora• Pretpostavka: U=konst.• Opterećenje varira ovisno o vrijednostima

otpora• Granične vrijednosti• Granične vrijednosti

• R= 0• R= ∞

• Nominalne vrijednosti - In, Un R

UI =

Pad napona

RIU ⋅=R

V2

UR

V1

U

I

E

Pad napona

• Kad god kroz otpornik R, prolazi struja Jačinai I, pojavit će se na njegovim Jačinai I, pojavit će se na njegovim krajevima napon iznosa U=I.R

• Stezaljka na koju struja ulazi je pozitivna, a izlazna je stezaljka negativna

Idealni izvori

• Izvor sa stalnim unutarnjim naponom (EMS) NAPONSKI IZVORNAPONSKI IZVOR

• Izvor koji stvara stalan tok elektriciteta STRUJNI IZVOR

SASTAVLJENI STRUJNI KRUGOVIISTOSMJERNE STRUJE - serijski spoj otpora

Strujne i naponske prilike:I = I1 = I2U= U1+ U2U1 = I1.R1= I.R1U2 = I2U2 = I2.R2= I.R2U= I.R1+I.R2 = I.(R1+R2)U/I= R1+R2R= R1+R2

SASTAVLJENI STRUJNI KRUGOVI ISTOSMJERNE STRUJE - serijski spoj otpora

• U1 = I.R1 U2 = I. R2

– U1:U2 = R1: R2

• Za n serijski spojenih otpornika vrijedi:– U = U1+U2 +…..+ Un

– U1:U2 :……:Un = R1: R2 :…….: Rn

Vanjska karakteristika realnih naponskih izvora

RIUE ⋅+=vi RR

EI

+=

iRIUE ⋅+=

iRIEU ⋅−=

Paralelni spoj otpora• U1= U2=U• I=I1+I2

11UU +=+= )11

(2121 RR

UR

U

R

UI +=+=

)11

(21 RRU

I +=

)11

(1

21 RRR+=

Električna vodljivost

• Jedinica:

1 SIEMENSRG

1=1 SIEMENS1S = 1/Ω

l

SG ⋅=

ρ1

χρ

=1

omov zakon

IG = I

U = GUI ⋅=U

G =G

U = GUI ⋅=

PRVI KIRCHHOFFOV ZAKON

I2I5

54321 IIIII +=++

054321 =−−++ IIIII

C

I1 I3I4 0lg

1=∑ =

n

i iIa

Potencijal kao pomoćna računska veličina

• Napon koji vlada između dvije tačke je ustvari razlika potencijala

• Potencijal ϕa promatrane tačke a jednak je • Potencijal ϕa promatrane tačke a jednak je naponu između te tačke i po volji odabrane referentne tačke, za koju pretpostavljamo da ima potencijal - nula.

aaaaU ϕϕϕϕ =−=−= 000

omov zakon za element strujnog kruga

ERIU baab −⋅=−= ϕϕERIU baab +⋅=−= ϕϕ

A)

B)

∑∑ ==−⋅= n

i i

n

i iab EaRIU11

lg

baabU ϕϕ −=

ababba UU −=−= ϕϕ

DRUGI KIRHOFOV ZAKON• U zatvorenom strujnom krugu, koji može

biti dio ma kakve spojne šeme, algebarska suma svih unutarnjih napona izvora jednaka suma svih unutarnjih napona izvora jednaka je algebarskoj sumi svih potrošenih napona u otporima.

i

n

i i

n

i i RIaEa ⋅= ∑∑ == 11lglg

Primjena Kirhofovih zakona

• PRVI - se odnosi na struje koji se sastaju u jednoj točki (čvoru)jednoj točki (čvoru)

• DRUGI - se odnosi na napone jedne zatvorene konture

Neke primjene osnovnih zakona električnog strujanja

•WITSTONOV MOST•WITSTONOV MOST•POTENCIOMETAR•KOMPENZATOR

OSNOVE RJEŠAVANJA LINEARNIH MREŽA ISTOSMJERNE STRUJEMREŽA ISTOSMJERNE STRUJE

11/16/2009 1

• Uvodna razmatranja• Osnovne definicije• Direktna primjena Kirchhoffovih zakona

11/16/2009 2

• Direktna primjena Kirchhoffovih zakona• Metoda napona čvorova

Uvodna razmatranja

Električne mreže -Spojne šeme bilo kako povezanih izvora i otpornika, ako su otpornici linearni onda je i mreža linearna.

11/16/2009 3

Cilj:UPOZNATI KARAKTERISTIKE ELEKTRIČNE MREŽEI PRONAĆI OPTIMALNU METODU RJEŠAVANJA

Uvodna razmatranja

Postoje dvije osnovne mogućnosti rješavanja električnih mreža:

11/16/2009 4

• na osnovu poznatih podataka mreže potrebno je

izračunati struje, napone i snage ⇒ANALIZA • na osnovu poznatih struja i napona potrebno je odrediti

elemente mreže ⇒ SINTEZA

Osnovne definicije

• GRANA - dio električne mreže koji se sastoji samo od serijski spojenih izvora i otpora kroz koje u svakom trenutku prolazi struja iste jakosti

11/16/2009 5

svakom trenutku prolazi struja iste jakosti• ČVOR - točka u kojoj se sastaju barem tri ili više grana• KONTURA - bilo koji zatvoreni put sastavljen od nekoliko grana (nezavisne konture - svaka sljedeća razlikuje se od prethodnih barem za jednu granu)

Direktna primjena Kirchhoffovih

zakona

a

d

I3

I1I

I6Uz poznate E i R, izračunavaju se nepoznate struje

11/16/2009 6

bd

c

I4

I2

I5nepoznate struje primjenom I i II K.z.

g - broj granač - broj čvorovan - broj nezavisnih

kontura

Direktna primjena Kirchhoffovih zakona

Za izračunavanje struja u svim granama treba imatig linearnih nezavisnih jednačina.Postupak:1. Primjena I Kirchhoffovog zakona za struje u

11/16/2009 7

1. Primjena I Kirchhoffovog zakona za struje učvorovima ( ima ih č-1)

2. Primjena II Kirchhoffovog zakona za konture(ima ih n = g-č+1 = broj nezavisnih kontura)

Ukupan broj potrebnih jednačina (pri analizi):(č-1) + (g-č+1) = g

Primjena Kirchh.

Zakona na zadanu mrežu

R5

R3

c

b

I3

I5

I4E5

R1

I1

E1

a

I+

II+

mrežu

Primjer

11/16/2009 8

R4

d

4

E4

R2

I2

R6

E6

III+

Primjer1. Jednadžbe za čvorove (č-1) ⇒ a, b, c2. Jednadžbe za nezavisne konture

g = 6 č = 4 ⇒ n = 3Potrebno je 6 jednačina:

11/16/2009 9

Potrebno je 6 jednačina:Čvorovi a I6 - I1 - I2 = 0

b I3 + I4 - I6 = 0c I1 + I5 - I3 = 0

Konture I E1 + E5 = - I1R1 + I2R2 + I5R5

II -E4 + E5 = I3R3 - I4R4 + I5R5

III E4 + E6 = I2R2 + I4R4 + I6R6

11/16/2009 10

11/16/2009 11

11/16/2009 12

11/16/2009 13

11/16/2009 14

11/16/2009 15

11/16/2009 16

11/16/2009 17

11/16/2009 18

Metoda napona čvorovaOvom metodom, kao i metodom konturnih struja, smanjuje se broj jednačina koje treba rješavati - ubrzava se postupak.

Koristi se II Kirchhoffov zakon i Ohmov zakon primijenjenna svaku granu strujnog kruga, uz po volji odabran referentni

11/16/2009 19

na svaku granu strujnog kruga, uz po volji odabran referentničvor, za koji se odredi da mu je potencijal jednak nuli. Onda za sve ostale čvorove vrijedi:

ppppU ϕϕϕϕ =−=−= 000

I4

R8

R7R6

R5

R3

R2

R4

321

E1

I2 I3 I5I1

I8

I6E6 I7

11/16/2009 20

RRRR

R1

4E2 E3

Za primjer na slici, strujne (I K.z.) jednadžbe:1 I6+I8 = I1+I4

2 I2 = I6+I7+I8

3 I7 = I3+I5

Potencijalne relacije:ϕ1 = 0+E1-I1R1 ⇒ I1=(-ϕ1+ E1)

. G1

ϕ2 = 0-E2+I2R2 ⇒ I2=(ϕ2+ E2). G2

ϕ = 0+E -I R ⇒ I =(-ϕ + E ). G

11/16/2009 21

ϕ3 = 0+E3-I3R3 ⇒ I3=(-ϕ3+ E3). G3

ϕ1 = 0-I4R4 ⇒ I4=-ϕ1. G4

ϕ3 = 0-I5R5 ⇒ I5=-ϕ3G5

ϕ2 = ϕ1 +E6-I6R6 ⇒ I6=(ϕ1- ϕ2+ E6). G6

ϕ2 = ϕ3 -I7R7 ⇒ I7 =(ϕ3- ϕ2). G7

ϕ2 = ϕ1 -I8R8 ⇒ I8=(ϕ1- ϕ2). G8

Za bilo koji p-ti čvor električne mreže, koja ima č čvorova, opći oblik jednadžbe glasi:

pj

č

pjj pj

č

pjj jpjppp GEaGG ⋅=⋅−⋅ ∑∑

≠=

≠= 11 lgϕϕ

11/16/2009 22

Gdje je:Gpp - suma vodljivosti svih grana priključenih na čvor pGpj - suma vodljivosti svih grana izmeñu čvorova p i jEpj - unutarnji naponi priključeni na čvor p

Metoda konturnih struja

Metodu je uveo Maxwell, izvodi se iz Kirchhoffovihzakona, a polazi od naponskih jednačina za nezavisne

11/16/2009 23

zakona, a polazi od naponskih jednačina za nezavisnekonture, uz upotrebu strujnih jednačina za čvorove.

Rc

Rb

C

B

Ic

I1

Ec

Ra

Ia

A I2

Ea

Ed

I

Eb

Ibg=6, č=4n=6-4+1=3

A I a+If=Id

B 0=Ib+If+Ib

C Id+Ie=Ic

11/16/2009 24

Re

d

I3

Ee

Rd

Rf

Ef

Id

Ie

Konturne struje(Ia, Ib, If)Meñašne struje

II K.z. samo za nezavisne konturne struje:1 IaRa+IcRc+IdRd=Ea-Ec-Ed

2 IbRb -IeRe -IcRc=-Eb-Ee+Ec

3 IfRf-IeRe+IdRd=Ef-Ee-Ed

Uvodi se označavanje:

11/16/2009 25

Uvodi se označavanje:Ra+Rc+Rd=R11 Rc=R12=R21

Rb+Re+Rc=R22 Re=R23=R32

Rf+Re+Rd=R33 Rd=R13=R31

E11=Ea-Ec-Ed E22=-Eb-Ee+Ec E33=Ef -Ee-Ed

I1R11+I2R12+I3R13=E11

I1R21+I2R22+I3R23=E22

I1R31+I2R32+I3R33=E33

Opšti oblik naponske jednačine za konturu:

kk

n

kll kllkkk ERIRI =⋅+⋅ ∑≠=1

11/16/2009 26

Ik - struja promatrane kontureI i - struja bilo koje druge kontureRkk -vlastiti otpor kontureRki -zajednički granični otpor izmeñu dviju konturaEkk - alg. Suma svih unutarnjih napona konture k, pri

čemu se sumiranje vrši u odabranom poz. smjeru

Obje metode daju iste rezultate, ali je povoljnijeračunati po metodi napona čvorova, kada je:

(č-1) < n

11/16/2009 27

(č-1) < n

dok se metodom konturnih struja računa u slučaju:n < (č-1)

• Uvodna razmatranja• Osnovne definicije• Direktna primjena Kirchhoffovih zakona

Prethodno predavanje:

11/16/2009 1

• Direktna primjena Kirchhoffovih zakona• Metoda napona čvorova• Metoda konturnih struja

Uvodna razmatranja

Električne mreže -Spojne šeme bilo kako povezanih izvora i otpornika, ako su otpornici linearni onda je i mreža linearna.

11/16/2009 2

Cilj:UPOZNATI KARAKTERISTIKE ELEKTRIČNE MREŽEI PRONAĆI OPTIMALNU METODU RJEŠAVANJA

Uvodna razmatranja

Postoje dvije osnovne mogućnosti rješavanja električnih mreža:

11/16/2009 3

• na osnovu poznatih podataka mreže potrebno je

izračunati struje, napone i snage ⇒ANALIZA • na osnovu poznatih struja i napona potrebno je odrediti

elemente mreže ⇒ SINTEZA

Osnovne definicije

• GRANA - dio električne mreže koji se sastoji samo od serijski spojenih izvora i otpora kroz koje u svakom trenutku prolazi struja iste jakosti

11/16/2009 4

svakom trenutku prolazi struja iste jakosti• ČVOR - točka u kojoj se sastaju barem tri ili više grana• KONTURA - bilo koji zatvoreni put sastavljen od nekoliko grana (nezavisne konture - svaka sljedeća razlikuje se od prethodnih barem za jednu granu)

Direktna primjena Kirchhoffovih zakona

Uz poznate E i R, izračunavaju se nepoznate struje primjenom I i II K.z.

11/16/2009 5

g - broj granač - broj čvorovan - broj nezavisnih

kontura

Direktna primjena Kirchhoffovih zakona

Za izračunavanje struja u svim granama treba imatig linearnih nezavisnih jednačina.Postupak:1. Primjena I Kirchhoffovog zakona za struje u

11/16/2009 6

1. Primjena I Kirchhoffovog zakona za struje učvorovima ( ima ih č-1)

2. Primjena II Kirchhoffovog zakona za konture(ima ih n = g-č+1 = broj nezavisnih kontura)

Ukupan broj potrebnih jednačina (pri analizi):(č-1) + (g-č+1) = g

Metoda napona čvorovaOvom metodom, kao i metodom konturnih struja, smanjuje se broj jednačina koje treba rješavati - ubrzava se postupak.

Koristi se II Kirchhoffov zakon i Ohmov zakon primijenjenna svaku granu strujnog kruga, uz po volji odabran referentni

11/16/2009 7

na svaku granu strujnog kruga, uz po volji odabran referentničvor, za koji se odredi da mu je potencijal jednak nuli. Onda za sve ostale čvorove vrijedi:

ppppU ϕϕϕϕ =−=−= 000

Metoda konturnih struja

Metodu je uveo Maxwell, izvodi se iz Kirchhoffovihzakona, a polazi od naponskih jednačina za nezavisne

11/16/2009 8

zakona, a polazi od naponskih jednačina za nezavisnekonture, uz upotrebu strujnih jednačina za čvorove.

opšti oblik naponske jednadžbe za konturu:

kk

n

kll kllkkk ERIRI =⋅+⋅ ∑≠=1

11/16/2009 9

Ik - struja promatrane kontureI i - struja bilo koje druge kontureRkk -vlastiti otpor kontureRki -zajednički granični otpor izmeñu dviju konturaEkk - alg. Suma svih unutarnjih napona konture k, pri

čemu se sumiranje vrši u odabranom poz. smjeru

Obje metode daju iste rezultate, ali je povoljnijeračunati po metodi napona čvorova, kada je:

(č-1) < n

11/16/2009 10

(č-1) < n

dok se metodom konturnih struja računa u slučaju:n < (č-1)

Današnje predavanje:

• Metoda superpozicije• Theveninov teorem• Nortonov teorem

11/16/2009 11

• Nortonov teorem• Millmanov teorem• Transfiguracija zvijezde i trokuta

Metoda superpozicije

U svakoj linearnoj mreži u kojoj ima više naponskih izvora može se zamisliti da je struja grane k jednaka algebarskoj sumi svih struja što bi ih u toj grani prouzročili pojedini naponi, svaki sam za sebe. Ovom metodom struja u jednoj grani izračuna se tako da se redom zamisle umrtvljenim svi naponi osim jednoga i

11/16/2009 12

redom zamisle umrtvljenim svi naponi osim jednoga i izračuna struju u promatranoj grani samo uz taj jedan napon. Tako se redom računaju struje i za ostale napone, a algebarska suma tih pojedinih struja bit će tražena struja promatrane grane. (Kod premoštenih izvora, moraju se zadržati njihovi unutarnji otpori.)

Theveninov teorem

Struja I u jednom otporu R neke linearne mreže može se odrediti tako da se cijela preostala mreža gledana sa stezaljki a i b otpornika R, nadomjesti jednim naponskim izvorom napona ET i unutarnjeg otpora RT. Tada se tražena struja izračuna iz izraza:

11/16/2009 13

Tada se tražena struja izračuna iz izraza:

RR

EI

T

T

+=

Da bi se odredile vrijednosti ET i RT ekvivalentnog izvora koji nadomještava svu preostalu mrežu, treba najprije iz zadane šeme odstraniti otpor R, tako da stezaljke a i b ostanu bez opterećenja. Napon ET pojavljuje se tada kao napon praznog hoda Uab na otvorenim stezaljkama a i b. Otpor RT jeotpor cijele preostale mreže, koji se može

11/16/2009 14

Otpor RT jeotpor cijele preostale mreže, koji se može izmjeriti sa stezaljki a, b kada je R odstranjen, a sve EMS premoštene.

Nortonov teorem

Prema ovom teoremu može se struja I u otporniku R izračunati tako da se cijela preostala mreža nadomjesti ekvivalentnim strujnim izvorom čija je struja IK, a unutarnji paralelni otpor RT.

11/16/2009 15

unutarnji paralelni otpor RT.

RR

RII

T

TK +

=

Struja IK nadomjesnog strujnog izvora odreñuje se kao struja koja teče kroz granu a - b, ako se odstrani otpor R, a stezaljke a i b spoje se vodičem bez otpora.

11/16/2009 16

Struja IK je dakle struja kratkog spoja stezaljki a i b.

Millmanov teorem

Upotrebljava se u slučajevima kada više paralelno spojenih trošila napaja više paralelno spojenih izvora. Takve mreže mogu se nadomjestiti mrežom koja ima samo dva čvora - sabirnice (“masivni vodiči zanemarivog otpora”).

11/16/2009 17

zanemarivog otpora”).Ovakva mreža može se riješiti metodom napona čvorova - za dva čvora, što predstavlja Millmanov teorem.

Transfiguracija zvijezde i trokuta

Otpori ponekad mogu biti u spojevima kada se ne mogu koristiti pravila ni za serijski ni za paralelni spoj. Spoj tri otpora može biti :- zvijezda

11/16/2009 18

- zvijezda- trokut

Ovisno o potrebi može se jedan spoj pretvoriti u drugi

1. TROKUT ⇒ ZVIJEZDA

312312

12311 RRR

RRR

++⋅=

RR ⋅

11/16/2009 19

312312

23122 RRR

RRR

++⋅=

312312

31233 RRR

RRR

++⋅=

2. ZVIJEZDA ⇒ TROKUT

3

212112 R

RRRRR

⋅++=

32 RRRRR

⋅++=

11/16/2009 20

1

323223 R

RRRRR

⋅++=

2

131331 R

RRRRR

⋅++=

Sljedeće predavanje:

ELEKTROSTATIKA

11/16/2009 21

ELEKTROSTATIKA

ELEKTROSTATIKA

11/16/2009 1

ELEKTRIČNI KAPACITET I KONDENZATORI

Priključak otvorenog voda na izvoristosmjernog napajanja

Elektrostatika je dio nauke o elektricitetu koji govori o pojavama što nastaju u prostoru u kojem električni naboji miruju.

11/16/2009 2

Polazi od osnovne činjenice da se:• raznoimeni el. naboji -privlače• istoimeni el. naboji - odbijaju

a b

Uc

+Q -Q

Kod priključka otvorenogvoda (a, b) na izvor stalnog istosmjernog napona - osjetljiviA-metar registrirat će kratkotrajan tok struje - strujni udarac.

11/16/2009 3

EA U

Struja “teče” do trenutka dok se ne uspostavi ravnoteža napona U i Uc.

I

R

UR

Strujni krug u kojem je uspostavljena dinamičkaravnoteža napona.

⇓

11/16/2009 4

EU

⇓Otvoreni vod -

statička ravnoteža

Količina elektriciteta Q koju primi svaki vodič otvorenog voda proporcionalna je naponu U:

Q = C . UC je faktor proprcionalnosti, a ovisi o karakteristikama

(obliku i grañi) otvorenog voda, naziva se:

11/16/2009 5

(obliku i grañi) otvorenog voda, naziva se:

ELEKTRIČNI KAPACITET VODA

Slijedi jedinica za kapacitet - FARAD :

V

AsF =

Sva tijela imaju odreñeni kapacitet koji se može mjeriti,za točno odreñeni kapacitet koriste se: KONDENZATORI

Pločasti kondenzator

SS

ε

11/16/2009 6

l

S

l

SC ⋅= ε

ε je dielektrična konstanta

S

lC ⋅=εVm

As

m

F

m

mF ==⋅2

jedinica⇒

11/16/2009 7

⇒dielektrična konstanta za vakuum:

Vm

As120 10854,8 −⋅=ε

Serijski spoj kondenzatora

C1 C2

U1 U2

Q1=Q2=QU=U1+U2

11/16/2009 8

E

U

∑=

=n

i iCC 1

11

Paralelni spoj kondenzatora

C

C2

U1=U2=UQ=Q1+Q2

∑=n

11/16/2009 9

E

U

C1 ∑=

=n

iiCC

1

ELEKTROSTATIKA

HOMOGENO ELEKTRIČNO POLJE

11/16/2009 1

HOMOGENO ELEKTRIČNO POLJE

Električno polje pločastog kondenzatora

I nakon uspostave statičke ravnoteže u izolacionom prostoru izmeñu dva suprotno nabijena tijela, postoje

11/16/2009 2

prostoru izmeñu dva suprotno nabijena tijela, postoje značajne fizikalne pojave - promatrat ćemo ih na primjeru pločastog kondenzatora priključenog na izvor istosmjernog napona.

• Izolator ⇒ vakuum• Izmeñu ploča uvodi se pokusni naboj -+ Q

,

• na naboj djeluje sila F

+Q -Q+QI

+ F

11/16/2009 3

• prostor izmeñu ploča kondenzatora u kojem su naboji izvrgnuti djelovanju mehaničkih sila je -ELEKTRIČNO POLJE

E

U

l

Općenito je električno polje prostor u kojem na mirujuće električne naboje djeluju mehaničke sile.

⇓

11/16/2009 4

⇓Ako je sila F na pokusni naboj u električnom polju nasvakom mjestu jednaka, takvo polje naziva se:

HOMOGENO ELEKTRIČNO POLJE

jačina ELEKTRIČNOG POLJA

Gibanje naboja pod djelovanjem sile je rad:A= F . ll

W=U . I . t =U . Q,

A=W ⇒ F . l= = U . Q, ⇒ F= Q

,. U/l

11/16/2009 5

A=W ⇒ F . l= = U . Q ⇒ F= Q . U/l

U/l=E - jačina električnog polja ⇒ F= Q,

. EE = F/Q

Jedinica - E = U/l (V/m)

Primjenom jednadžbi E=U/l i Q = C .U, uz C = ε0. S/l, izlazi:

δεε

⋅=⋅=00

11

S

QE

Q

11/16/2009 6

S

Q=δ

E⋅= 0εδ

Gustoća naboja na pločamakondenzatora:

SILNICE ELEKTRIČNOG POLJA

Prema Faradayu električno polje se može predočiti pomoću silnica polja, a to su

-Q+Q

11/16/2009 7

silnica polja, a to su zamišljene linije koje koje karakterizirajuvektor jačinai polja E.

EIdealizirana slika silnica el. Polja

pločastog kondenzatora

Sile električnog polja na električne naboje.Električna influencija.

Kao što sila djeluje na elementarne el. naboje u el. polju,tako će djelovati i na elementarne čestice materijala koji se nalazi u električnom polju.Različito će sila djelovati na električki vodljive materijale,

11/16/2009 8

Različito će sila djelovati na električki vodljive materijale, nego na izolatore.

Vodiči ⇒ električna influencijaGustoća influenciranog naboja - Q’/S’

Izolatori ⇒ polarizacija

+Q -QQI

E

E +++

---

11/16/2009 9

+++

---

SI

S S

Ako kod izolatora jačina električnog polja preraste unutarnju električnu silu, elektroni se odvajaju od jezgre, izolator postaje vodljiv, odnosno došlo je do

11/16/2009 10

jezgre, izolator postaje vodljiv, odnosno došlo je do proboja izolatora.

Vektor gustoće električnog pomaka

Učinak influencije ovisi o kutu polja E i površine materijala,pa gustoća influenciranog naboja ima vektorski karakter -D.D - vektor gustoće električnog pomaka.

D =Q’/S’

11/16/2009 11

D =Q’/S’

D = ε0. E

Qi = D . S = ε0. E . S

Električni potencijalNaboj +Q’ pomaknut u homogenom električnom poljuza udaljenost z prema pozitivnoj ploči, zbog suprotnogdjelovanja sile F potrošio je rad:

A’=F .z = Q’ .U/l .z Ako je naboj u položaju zimao energiju A, onda u

11/16/2009 12

Ako je naboj u položaju z0 imao energiju A0, onda u položaju z vrijedi:

A = A0 + Q’ .U/l .z /: +Q’

A/Q’ = A0 /Q’ + U/l .z Električni potencijal homogenog električnog polja:

ϕ = U/l .z + ϕ 0

∆ϕ =ϕ - ϕ 0 = U/l .z+Q-Q

+Q'

ϕ

11/16/2009 13

U

0 z l z

ϕ

ϕ 0

ϕ 1

ϕ 2 Ekvipotencijalne ravnine

Napon - razlika električnih potencijala

U = ϕ 1- ϕ 0

UAB = ϕ A- ϕ B

11/16/2009 14

ELEKTROSTATIKA (3)Pregled sadržaja dosadašnjih predavanja:

ELEKTRIČNI KAPACITET I KONDENZATORIHOMOGENO ELEKTRIČNO POLJEELEKTRIČNO POLJE PLOČASTOG KONDENZATORA

Predavanje br. 12

11/16/2009 1

ELEKTRIČNO POLJE PLOČASTOG KONDENZATORAJAKOST ELEKTRIČNOG POLJA SILE ELEKTRIČNOG POLJA NA ELEKTRIČNE NABOJEELEKTRIČNA INFLUENCIJAVEKTOR GUSTOĆE ELEKTRIČNOG POMAKAELEKTRIČNI POTENCIJALNAPON - RAZLIKA ELEKTRIČNIH POTENCIJALA

Priključak otvorenog voda na izvoristosmjernog napajanja

Elektrostatika je dio nauke o elektricitetu koji govori o pojavama što nastaju u prostoru u kojem električni naboji miruju.

11/16/2009 2

Polazi od osnovne činjenice da se:• raznoimeni el. naboji -privlače• istoimeni el. naboji - odbijaju

a b

Uc

+Q -Q

Kod priključka otvorenogvoda (a, b) na izvor stalnog istosmjernog napona - osjetljiviA-metar registrirat će kratkotrajan tok struje - strujni udarac.

11/16/2009 3

EA U

Struja “teče” do trenutka dok se ne uspostavi ravnoteža napona U i Uc.

I

R

UR

Strujni krug u kojem je uspostavljena dinamičkaravnoteža napona.

⇓

11/16/2009 4

EU

⇓Otvoreni vod -

statička ravnoteža

Količina elektriciteta Q koju primi svaki vodič otvorenog voda proporcionalna je naponu U:

Q = C . UC je faktor proporcionalnosti, a ovisi o karakteristikama

(obliku i grañi) otvorenog voda, naziva se:

11/16/2009 5

(obliku i grañi) otvorenog voda, naziva se:

ELEKTRIČNI KAPACITET VODA

Slijedi jedinica za kapacitet - FARAD :

V

AsF =

Sva tijela imaju odreñeni kapacitet koji se može mjeriti,za točno odreñeni kapacitet koriste se: KONDENZATORI

Pločasti kondenzator

SS

ε

11/16/2009 6

l

S

l

SC ⋅= ε

ε je dielektrična konstanta

S

lC ⋅=εVm

As

m

F

m

mF ==⋅2

jedinica⇒

11/16/2009 7

⇒dielektrična konstanta za vakuum:

Vm

As120 10854,8 −⋅=ε

Serijski spoj kondenzatora

C1 C2

U1 U2

Q1=Q2=QU=U1+U2

11/16/2009 8

E

U

∑=

=n

i iCC 1

11

Paralelni spoj kondenzatora

C

C2

U1=U2=UQ=Q1+Q2

∑=n

11/16/2009 9

E

U

C1 ∑=

=n

iiCC

1

Električno polje pločastog kondenzatora

I nakon uspostave statičke ravnoteže u izolacionom prostoru izmeñu dva suprotno nabijena tijela, postoje

11/16/2009 10

prostoru izmeñu dva suprotno nabijena tijela, postoje značajne fizikalne pojave - promatrat ćemo ih na primjeru pločastog kondenzatora priključenog na izvor istosmjernog napona.

• Izolator ⇒ vakuum• Izmeñu ploča uvodi se pokusni naboj -+ Q

,

• na naboj djeluje sila F

+Q -Q+QI

+ F

11/16/2009 11

• prostor izmeñu ploča kondenzatora u kojem su naboji izvrgnuti djelovanju mehaničkih sila je -ELEKTRIČNO POLJE

E

U

l

Općenito je električno polje prostor u kojem na mirujuće električne naboje djeluju mehaničke sile.

⇓

11/16/2009 12

⇓Ako je sila F na pokusni naboj u električnom polju na

svakom mjestu jednaka, takvo polje naziva se:

HOMOGENO ELEKTRIČNO POLJE

JAKOST ELEKTRIČNOG POLJA

Gibanje naboja pod djelovanjem sile je rad:A= F . ll

W=U . I . t =U . Q,

A=W ⇒ F . l= = U . Q, ⇒ F= Q

,. U/l

11/16/2009 13

A=W ⇒ F . l= = U . Q ⇒ F= Q . U/l

U/l=E - jakost električnog polja ⇒ F= Q,

. EE = F/Q

Jedinica - E = U/l (V/m)

Primjenom jednadžbi E=U/l i Q = C .U, uz C = ε0. S/l, izlazi:

δεε

⋅=⋅=00

11

S

QE

Q

11/16/2009 14

S

Q=δ

E⋅= 0εδ

Gustoća naboja na pločamakondenzatora:

SILNICE ELEKTRIČNOG POLJA

Prema Faradayu električno polje se može predočiti pomoću silnica polja, a to su

-Q+Q

11/16/2009 15

silnica polja, a to su zamišljene linije koje karakteriziraju vektor jakosti polja E.

EIdealizirana slika silnica el. Polja

pločastog kondenzatora

Sile električnog polja na električne naboje.Električna influencija.

Kao što sila djeluje na elementarne el. naboje u el. polju,tako će djelovati i na elementarne čestice materijala koji se nalazi u električnom polju.Različito će sila djelovati na električki vodljive materijale,

11/16/2009 16

Različito će sila djelovati na električki vodljive materijale, nego na izolatore.

Vodiči ⇒ električna influencijaGustoća influenciranog naboja - Q’/S’

Izolatori ⇒ polarizacija

+Q -QQI

E

E +++

---

11/16/2009 17

+++

---

SI

S S

Ako kod izolatora jakost električnog polja preraste unutarnju električnu silu, elektroni se odvajaju od jezgre, izolator postaje vodljiv, odnosno dolazi do

11/16/2009 18

jezgre, izolator postaje vodljiv, odnosno dolazi do proboja izolatora.

Vektor gustoće električnog pomakaUčinak influencije ovisi o kutu polja E i površine materijala,pa gustoća influenciranog naboja ima vektorski karakter -D.D - vektor gustoće električnog pomaka.

D =Q’/S’

11/16/2009 19

D =Q’/S’

D = ε0. E

Qi = D . S = ε0. E . S

Električni potencijalNaboj +Q’ pomaknut u homogenom električnom poljuza udaljenost z prema pozitivnoj ploči, zbog suprotnogdjelovanja sile F potrošio je rad:

A’=F .z = Q’ .U/l .z Ako je naboj u položaju zimao energiju A, onda u

11/16/2009 20

Ako je naboj u položaju z0 imao energiju A0, onda u položaju z vrijedi:

A = A0 + Q’ .U/l .z /: ( +Q’ )

A/Q’ = A0 /Q’ + U/l .z Električni potencijal homogenog električnog polja:

ϕ = U/l .z + ϕ 0

∆ϕ =ϕ - ϕ 0 = U/l .z+Q-Q

+Q'

ϕ

Ekvipotencijalne ravnine

Napon - razlika električnih potencijala

11/16/2009 21

U

0 z l z

ϕ

ϕ 0

ϕ 1

ϕ 2 U = ϕ 1- ϕ 0

UAB = ϕ A- ϕ B

NEHOMOGENO ELEKTRIČNO POLJEElektrično polje u kojem se jakost polja E mijenja odtočke do točke naziva se nehomogeno električno polje.

Sve do sada izvedene zakonitosti za homogeno polje vrijede

11/16/2009 22

Sve do sada izvedene zakonitosti za homogeno polje vrijedei za nehomogeno, ali se mijenjaju prostorno - pa je potrebnou nehomogenom polju izdvojiti infitezimalno mali dio, za koji se može tvrditi da u njemu vladaju prilike homogenog polja.

Kuglasti kondenzator

r1

r2

+Q

-Q

1ϕ2ϕdr

ϕϕ d+

ϕ

U = ϕ 1- ϕ 2

11/16/2009 23

EU

Jednadžba:S

lQU

⋅⋅=

0ε

11/16/2009 24

πε 20 4r

drQdU

⋅⋅=postaje: ⇒ )

11(

4 210 rr

QU −=

πε

U

QC =⇒ ⇒

12

2104

rr

rrC

−⋅⋅= πε

Kapacitet osamljene kugle

12 rr ⟩⟩Kapacitet kuglastog kondenzatora radijusa R:

11/16/2009 25

Kapacitet kuglastog kondenzatora radijusa R:

RC ⋅= 04πε

Jakost električnog polja kuglastog kondenzatora

Ar

E

1QE ⋅=

11/16/2009 26

+Q

Ar

Električno polje točkastog naboja

204 r

E ⋅=πε

Coulombov zakon

Sila F kojom električno polje jakosti E, stvoreno od točkastognaboja Q, djeluje na pokusni naboj Q’ u točki A jednaka je:

'11''

QQQQEQF

⋅⋅=⋅⋅=⋅=

11/16/2009 27

20

20

'

4

11

4''

r

QQ

r

QQEQF

⋅⋅=⋅⋅=⋅=πεπε

Za slučaj da je umjesto vakuuma drugi materijal , vrijedi:

rεεε ⋅= 0

ENERGIJA ELEKTROSTATSKOG POLJA

•PRIKLJUČAK KONDENZATORA NA ISTOSMJERNI NAPON

•ENERGIJA NABIJENOG KONDENZATORA

Predavanje br. 13

11/16/2009 1

•ENERGIJA NABIJENOG KONDENZATORA

•SILE U ELEKTRIČNOM POLJU PLOČASTOG KONDENZATORA

•ODNOS ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE PRI NABIJANJU KONDENZATORA

Budući da na naboje u električnom polju djeluje mehanička sila F, očito je da električno polje

posjeduje odeñenu količinu energije

11/16/2009 2

posjeduje odeñenu količinu energije ⇒ ELEKTRIČNA ENERGIJA

PRIKLJUČAK KONDENZATORA NA ISTOSMJERNI NAPON

C

Na izvor istosmjernog napona U sklopkom se uključuje kondenzator

u

11/16/2009 3

E

U

R

uključuje kondenzator C, uz otpor strujnog kruga R.

PRIJELAZNA POJAVA

Uvid u strujne i naponske prilike omogućuje nam primjenadrugog Kirchhoffovog zakona:

Σ napona = Σ i . R

U - u = i . R

11/16/2009 4

uCq ⋅= duCdq ⋅=C

qu =

dt

dqi =

dt

duCi =Uz:

Naponska jednačina glasi:

Rdu

CuU ⋅⋅=−

11/16/2009 5

Rdt

duCuU ⋅⋅=−

dt

duCRuU ⋅=−Ili:

Iz naponske diferencijalne jednadžbe koja prikazuje ovisnost napona na kondenzatoru o vremenu, pa se može odrediti u = f (t), a zatim i q (t), i (t).

Konstanta RC, ima dimenziju vremena:(RC) = Ω As/V = s

11/16/2009 6

(RC) = Ω As/V = s

pa se naziva vremenska konstanta ⇒ τ = R . C

Naponska jednačina sada ima oblik:

τdt

uU

du =−

Integriranjem kojega se dobije:tuU −=−

11/16/2009 7

τt

U

uU −=−ln

Odnosno u eksponencijalnom obliku:

τt

eU

uU −=−

Konačno slijedi:

)1( τt

eUu−

−⋅=Kao i za ostale veličine:

t−

11/16/2009 8

)1( τt

eQq−

−⋅=

τt

eIi−

⋅=

Sve promjenljive veličine prikazanog strujnog kruga mijenjaju se po eksponencijalnom zakonu.

I, U

i, u

11/16/2009 9

t0 τ τ2 τ3 τ5τ4

Kada bi se kondenzator nabijen na napon U ispraznio preko otpora R, napon i struja se mijenjaju kao:

τt

eR

Ui

−⋅−=τ

t

eUu−

⋅=

11/16/2009 10

ReUu ⋅=

Smjer struje pražnjenja suprotan je smjeru struje nabijanja

ENERGIJA NABIJENOG KONDENZATORA

Cilj: Izračunati energiju nabijenog kondenzatora.

Opća formula za energiju: W = U . I . t = U . Q

Naponska jednačina: U = I .R + u.

11/16/2009 11

i . dt = dq

U = I .R + u / i . dt

U . i . dt = i2 . R . dt + q/C . dq

Wizv = i2 . R . dt + 1/C . q. dqEnergija izvora:

Ukupna energija dobit će se integriranjem u granicama,za t, od 0 do ∞, i za q, od 0 do Q.

∫∫ ⋅+⋅⋅=∞ Q

izv dqqC

dtRiW 2 1

11/16/2009 12

∫∫ ⋅+⋅⋅=izv dqqC

dtRiW00

2

1 2Q

CWW toplizv +=

Električna energija nabijenog kondenzatora je:

22 UQCUQW ===

11/16/2009 13

222

UQCU

C

QWel ===

Prostorna gustoća električne energije, odnosno količina energije po jedinici volumena, w, je:

2222 EUUl

SUCW

w el ⋅=⋅=⋅⋅⋅

=⋅== εεε

11/16/2009 14

2222 2

E

l

UU

lSlU

V

C

V

Ww el ⋅=⋅=⋅

⋅=⋅== εε

Uz supstituciju, D = εE :

εε

⋅=⋅=⋅=

222

22 DEDEw

SILE U ELEKTRIČNOM POLJU PLOČASTOG KONDENZATORA

F

+Q -QE

Ako se pozitivna ploča pomakne za dl, sila F izvrši rad: dA = Fdl, čime

11/16/2009 15

dl

F

εS

izvrši rad: dA = Fdl, čime je potrošena energija el. polja sadržana u volumenu dV = Sdl

SdlE

dWel ⋅⋅=2

2

ε

dAdWel =

E⋅ 2ε

11/16/2009 16

dlFdlSE ⋅=⋅⋅⋅2

2ε

⇒ sila za cijelu ploču:S

QS

EF

⋅⋅=⋅⋅=

εε

22

22

S

QS

EF

⋅⋅=⋅⋅=

εε

22

22

Sila na jedinicu površine, ili električni tlak:

22 EDDEF ⋅==⋅= ε

11/16/2009 17

222

22 EDDE

S

F ⋅=⋅

=⋅=ε

ε

ODNOS ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE PRI NABIJANJU KONDENZATORA

Iz energetske jednadžbe nabijanja kondenzatora

2.

QUWQU topl

⋅+=⋅

11/16/2009 18

2.topl

slijedi:

2.

QUWtopl

⋅= ⇒.. eltopl WW =

ZADATAK

Tri nenabijena kondenzatora kapaciteta C1= 10 µF, C2= 6 µF i C3= 4 µF, spojena su u kombinaciju prema slici a) i priključena na izvor napona U = 100 V.

11/16/2009 19

priključena na izvor napona U = 100 V.Nakon toga kondenzator C3 se odspaja, preokreće i uz očuvan naboj ponovno priključuje paralelno kondenzatoru, kao na slici b).

Koliku promjenu napona na C1 uzrokuje takav postupak?

E

U

C1

C2 C3

a EU

C1

C2 C3

b

11/16/2009 20

C2 C3

b

C2 C3

a

a) b)

ELEKTROTEHNIKA 2

1. Magnetska polja2. Izmjenične struje i naponi3. Simbolički račun4. Višefazni sustavi

predavanje br. 1

11/16/2009 1

4. Višefazni sustavi5. Nesinusoidalne veličine6. Izabrana poglavlja

•Električne mreže i postrojenja•Električni strojevi

1. MAGNETSKA POLJA

Magnetske veličine

•PERMANENTNI MAGNETI I ELEKTROMAGNETITreći osnovni učinak električne struje je stvaranje magnetskog polja u okolini vodiča i u samome vodiču kroz koji prolazi struja.

11/16/2009 2

polja u okolini vodiča i u samome vodiču kroz koji prolazi struja.Uz električko polje uvijek postoji i magnetsko

⇒ ELEKTROMAGNETSKO POLJE

Magnetsko polje je prostor u kojem se opažaju učinci magnetskog polja,dva su osnovna:

- učinak mehaničkih sila- elektromagnetska indukcija

Neutralna zona

Neutralna zona

Pol

•Polovi magneta su meñusobno suprotni.•Istoimeni polovi se odbijaju.•Raznoimeni polovi se privlače.

11/16/2009 3

Pol

Magnetska os

•Raznoimeni polovi se privlače.•Na sjevernom geografskom polu, nalazi se južni magnetski pol i obrnuto.•Navoj kroz koji protice električna struja ponaša se isto kao permanentni magnet -elektromagnet. (slika 11.5)

Magnetske silnice

Magnetske silnice su same u sebe zatvorene linije, bez početka i završetka.(sl. 11.7)

Ako magnet djeluje na sitne čestice željezne piljevine

11/16/2009 4

Ako magnet djeluje na sitne čestice željezne piljevine one se postave u nizove - linije koje točno pokazuju djelovanje magnetske sile u prostoru.

Tangenta na silnicu u odreñenoj točki odreñuje pravac sile, a smjer je uvijek od sjevernog pola prema južnom.

11/16/2009 5

Magnetski tok i gustoća silnica

Ukupni broj silnica kroz zadanu plohu je magnetski tok, a označava se s Φ.Skup svih silnica - zove se ukupni tok magneta Φ0.S - površina okomita na tok magnetskih silnica

11/16/2009 6

S - površina okomita na tok magnetskih silnicaB - gustoća silnica - jačina magnetskog polja

SB

Φ=

MAGNETNO POLJE

svako kretanje elektrona izaziva nastajanje orijentiranog magnetnog polja

11/16/2009 7

magnetna orijentiranost pojedinih molekula nema utjecajana kemijska i tehnička svojstva magnetnog materijala

zagrijavanjem iznad neke kritične temperature (točka Currie)gube se magnetna svojstva (Fe 650°°°° - 700°°°°C)

magnetni dipol

Sila u magnetskom polju je vektorska veličina, kako nastaje pod uticajem jačine polja B, mora se i veličina B smatrati vektorom -B.Veličina B može :• u svakoj tački promatranog prostora biti jednaka po

⇒

11/16/2009 8

veličini i po smjeru ⇒ HOMOGENO POLJE• se mijenjati od točke do točke ⇒ NEHOMOGENO POLJE

Ako silnice ulaz na plohu S pod uglom α onda vrijedi:

αcos⋅⋅=Φ SB Sl. 11.9.

11/16/2009 9

Ako se ploha prikaže kao S, onda je:Φ = B . S

Za nehomogeno polje vrijedi:dΦ = B . dS

11/16/2009 10

dΦ = B dS

∫ ∫ ⋅=Φ=ΦS S

dSBd

Jedinice za mjerenje toka i gustine

Magnetski tok :Φ = ( Vs) = Wb (Weber)

11/16/2009 11

Gustoća magnetskog toka :

Tm

Vs

m

Wb

SB ===Φ=

22Tesla

Slika magnetskog polja, pravilo desnog vijka

Magnetsko polje ravnog provdnika(sl. 11.11)

11/16/2009 12

Magnetsko polje je nedjeljiv pratilac električne struje i ne može se izbjeći, ali se može poništiti strujom suprotnog smjera. (sl. 11.17)

orijentacija polja oko vodiča protjecanog strujom

11/16/2009 13

pravilo desne ruke ili pravilo desnog vijka

Jaka magnetska polja dobijaju se pomoću zavojnice.(sl. 11.18 i 19)

11/16/2009 14

magnetno polje svitka

11/16/2009 15

prikazivanje struje i magnetnog polja oko pojedinog vodiča

11/16/2009 16

MAGNETNI KRUG

Magnetsko polje torusnog namotaja.Radi lakšeg definisanja i mjerenja toka, namotaj se oblikuje oko torusne jezgre. Za ovakav torusni namotaj, može se uzeti da se sve silnice zatvaraju

11/16/2009 17

namotaj, može se uzeti da se sve silnice zatvaraju unutar namotaja. (sl. 11.21)

Iz mjerenja slijedi da tok Φ ovisi:-direktno proporcionalno o jačini struje (I), broju zavoja (N) i poprečnom presjeku (S)- obrnuto proporcionalno o dužini (l)- o materijalu kojim je ispunjena šupljina namotaja (µ)

toroidni svitak

11/16/2009 18

nema rasipnog magnetnog toka

Što se matematički može izraziti formulom:

µ⋅⋅⋅=Φl

SNI

µ je magnetska permeabilnost ili magnetska provodljivost

11/16/2009 19

µ je magnetska permeabilnost ili magnetska provodljivost

S

lNI

⋅

⋅=Φ

µ1 ⇒ R

EMS

S

lE

I =⋅

=

χ1

na oblik polja utječe imagnetna vodljivost materijala

vodljivost mag. polja - magnetna permeabilnost

H

B=µ

B - magnetna indukcija (gustoća) (T)

H - jakost magnetnog polja (intenzitet) (A/m)

SB

ΦΦΦΦ====

ΦΦΦΦ - magnetni tok (Vs)

S - presjek magnetne jezgre (m2)

11/16/2009 20

S - presjek magnetne jezgre (m2)

lN

H⋅⋅⋅⋅==== ΙΙΙΙ

I - struja (A)

N - broj namotaja svitkal - duljina svitka (m)

rµµµµµµµµµµµµ ⋅⋅⋅⋅==== 0

(H/m) 104 70

−−−−⋅⋅⋅⋅==== ππππµµµµ

apsolutna

relativna (za zrak 1)

Fe

Sila u magnetnom polju - (pravilo lijeve ruke)

sila ovisi o razlicigustoće silnica magnetnog poljas jedne i dugestrane vodiča

lBFdx

dxlBidF ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====→→→→⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==== ΙΙΙΙ

F - sila (N)

11/16/2009 21

sila ⇒ mehanički rad ⇒ pretvaranje električneenergije u mehanički rad (elektromagneti ielektromotori)

strane vodiča

(((( ))))Nm rFM ⋅⋅⋅⋅====

M - momentr - krak sile (polumjer rotora) (m)

Inducirani napon

pravilo desne ruke(generatorsko pravilo)

gibanjem vodičakroz magnetno polje

11/16/2009 22

dtd

uiΦΦΦΦ==== dslBd ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====ΦΦΦΦ dtvds ⋅⋅⋅⋅====uz i

vlBU i ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==== za gibanje stalnom brzinom okomito na smjer silnica

mRS

lNI Θ=⋅

⋅=Φ

µ1

11/16/2009 23

Rm - magnetski otpor magnetskog krugaI .N - broj amperzavoja namotaja - AZ (A),

magnetomotorna sila

Magnetska permeabilnostkarakteriše materijal,

za vakuum µ 0= 4π10-7 Vs/Am,za bilo koji materijal: µ = µ r µ 0

11/16/2009 24

Magnetska pobuda

0µ⋅⋅⋅=Φl

SNI

µ⋅⋅=Φ NI

11/16/2009 25

0µ⋅⋅=Φl

NI

S

HB ⋅= 0µl

NIH

⋅=

Budući da je stvorena gustina B vektor, a faktor µ0 je konstanta, slijedi da je i veličina H - vektor, pa je:

B = µ0. H

Osnovna jednadžba magnetskog kruga može se napisati u obliku:

11/16/2009 26

u obliku:IN= Φ . Rm analogija sa električnim strujnim krugom E= I . R IN= H . L (iz H=IN/l), slijedi da je:

H . L = Φ . Rm (Φ . Rm = V - magnetski napon)

H . L = V

ELEKTROMAGNETIZAMpredavanje br. 2

Zakon proticanjaBiot - Savartov zakon

Helmholtzovi namotaji

11/16/2009 1

Helmholtzovi namotaji

ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJALenzov zakon

Napon pomicanja

Zakon proticanja

Jednačina H . l = V odnosi se na zatvorenu silnicu dužine l u homogenom magnetskom polju (torus).U nehomogenim poljima (sl. 11.22)B se mijenja po cijeloj dužini silnice, a prema tome mijenja se i H, pa

11/16/2009 2

cijeloj dužini silnice, a prema tome mijenja se i H, pa se jednačina može primijeniti na element dužine l.

dV = H . dl

∫ ⋅= dlHV

Biot - Savartov zakon

Kao i zakon proticanja Biot - Savartov zakon povezuje jačinu struje (I) i magnetsku pobudu (H). Bit zakona je u tome da se nastajanje magnetske pobude i magnetske gustoće može shvatiti tako da svaki element dl vodiča kroz

11/16/2009 3

koji protiče struja I, dakle svaki element struje Idl, stvara u prosmatranoj tački polja A jedan doprinos dH za ukupnu pobudu H. (sl.11.30)Rezultantna pobuda H od svih elemenata provodnika bit će jednaka integralu svih pojedinih dH.Ovi zakonom može se izračunati magnetsko polje ma kako oblikovanog provodnika.

Matematički formulisan Biot - Savartov zakon glasi:

2

sin

4

1

r

dlIdH

α⋅⋅⋅Π

=

11/16/2009 4

I … jakost struje u vodičudl … element vodičar … udaljenost elementa vodiča dl do točke Aα … kut izmeñu elementa dl i spojnice r

Primjena Biot - Savartovog zakona na kružni navoj kroz koji protiče struja

(Sl. 11.32)

2

sin

4

1

r

dlIdH

α⋅⋅⋅Π

=Iz osnovne jednadžbe

pojednostavljenjem (zbog centralne simetrije, sinα=1):

11/16/2009 5

dlr

IdH ⋅

Π=

24

r

Ir

r

Idl

r

IH

22

44 22=Π⋅

Π=⋅

Π= ∫

Helmholtzovi namotaji

(Sl. 11.35)

Ako dva jednaka, tanka, okrugla namotaja s jednakim brojem zavoja N i koji imaju istu struju I smjestimo koaksijalno, tako

11/16/2009 6

zavoja N i koji imaju istu struju I smjestimo koaksijalno, tako da su im središta razmaknuta na udaljenosti R jednakoj njihovim radijusima, dobit ćemo u osi x na znatnoj dužini meñu namotajima približno konstantnu vrijednost gustoće B.Magnetsko polje dobiveno na ovakav način, koristi se u mjernoj tehnici gdje se želi imati približno jednolično polje.

ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJALenzov zakon

Elektromagnetska indukcija je pojava da se u zatvorenom zavoju stvara ili inducira napon ako se mijenja magnetski tok što ga obuhvaća zavoj. Veličina tog napona zavisi samo o brzini promjene magnetskog toka. d

eΦ−=Predznak minus objašnjava Lenzov

11/16/2009 7

dte −=Predznak minus objašnjava Lenzov

zakon:

Smjer induciranog napona uvijek je takav da se od toga napona stvorena struja svojim magnetskim učinkom protivi promjeni magnetskog toka zbog kojeg je došlo do induciranja napona.

(Sl. 11.37 i 38)

Napon pomicanja

Pomicanjem zavoja u homogenom magnetskom polju gustoće B, u zavoju se inducira napon. (sl. 11.42)

Za vrijeme dt zavoj se pomakne iz položaja 1 u položaj 2, a pri tom se magnetski tok promjenio za -dφ=dS B, gdje je dS površina magnetskog polja koju je zavoj napustio pri gibanju. Tu površinu možemo prikazati kao umnožak ds l,

11/16/2009 8

gibanju. Tu površinu možemo prikazati kao umnožak ds l, gdje su: l dužina stranica a zavoja, koja je presijecala magnetske silnice okomitom brzinom v, a ds prevaljeni put za vrijeme dt, pa je v=ds/dt.

lBdt

ds

dt

BdS

dt

de ⋅⋅=⋅=Φ−= lBve ⋅⋅=

ELEKTROMAGNETIZAM

predavanje br. 3

• Samoindukcija• Proračun koeficijenta L - induktiviteta

11/16/2009 1

• Meñusobna indukcija

ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJALenzov zakon

Elektromagnetska indukcija je pojava da se u zatvorenom zavoju stvara ili inducira napon ako se mijenja magnetski tok što ga obuhvaća zavoj. Veličina tog napona zavisi samo o brzini promjene magnetskog toka. d

eΦ−=Predznak minus objašnjava Lenzov

11/16/2009 2

dte −=Predznak minus objašnjava Lenzov

zakon:

Smjer induciranog napona uvijek je takav da se od toga napona stvorena struja svojim magnetskim učinkom protivi promjeni magnetskog toka zbog kojeg je došlo do induciranja napona.

e

Φ

Φd

Inducirani napon u zavoju pri porastu magnetskog toka što ga zavoj obuhvaća

11/16/2009 3

e

φga zavoj obuhvaća

e

ΦΦd Inducirani napon u

zavoju pri smanjivanju magnetskog toka što

11/16/2009 4

e

φ magnetskog toka što ga zavoj obuhvaća

Napon pomicanja

Pomicanjem zavoja u homogenom magnetskom polju gustoće B, u zavoju se l

v

1 2dt

B

11/16/2009 5

u zavoju se inducira napon.

VV

l

ds

B

1 2

Za vrijeme dt zavoj se pomakne iz položaja 1 u položaj 2, a pri tom se magnetski tok promjenio za -dφ=dS B, gdje je dS površina magnetskog polja koju je zavoj napustio pri gibanju. Tu površinu možemo prikazati kao umnožak ds l, gdje su: l dužina stranica a zavoja, koja je presijecala magnetske silnice okomitom brzinom v, a ds prevaljeni

11/16/2009 6

magnetske silnice okomitom brzinom v, a ds prevaljeni put za vrijeme dt, pa je v=ds/dt.

lBdt

ds

dt

BdS

dt

de ⋅⋅=⋅=Φ−= lBve ⋅⋅=

Za odreñivanje smjera induciranog napona koristi se pravilo dlana desne ruke.

ev

Postavimo li desnu ruku tako da nam magnetske silnice udaraju u dlan, a

11/16/2009 7

B

vispruženi palac da pokazuje smjer brzine, onda preostali ispruženi prsti pokazuju smjer induciranog napona.

Samoindukcija

Samoindukcija ili vlastita indukcija je pojava da se i u samom svitku kroz koji prolazi promjenljiva struja inducira napon zbog promjenljivog toka Φ što ga je proizvela vlastita struja toga svitka.

11/16/2009 8

proizvela vlastita struja toga svitka.

U jednom zavoju inducirani napon jednak je e = - (dΦ /dt), a ako su svi zavoji jednako obuhvaćeni promjenljivim tokom Φ , bit će napon samoindukcije cijelog svitka jednak:

dt

dNe

Φ⋅−=

Ako za dΦ uvrstimo dΦ =di. N/Rm onda je:

dt

di

R

Ne

m

⋅−=2

dt

diLe ⋅−=

NL

2

=

11/16/2009 9

mR

NL =

L ovisi samo o konstrukciji i geometrijskim dimenzijama svitka, pa zato L nazivamo koeficijentom samoindukcije ili vlastitim induktivitetom svitka.

Jedinicakojom se mjeri induktivitet L je henri - H. Iz jednadžbe slijedi:

di

dteL

⋅=dt

diLe ⋅−=

pa je:s

VsH ⋅Ω==

11/16/2009 10

sA

H ⋅Ω==

Namotaj ima induktivitet 1H, ako se pri linearnoj promjeni jačine struje za iznos jednog ampera tokom jedne sekunde inducira u namotaju napon od jednog volta.

Osim osnovne jednačine mR

NL

2

=

L se može prikazati i na drugi način:

R

NI ⋅=ΦR

N

I=Φ

⇒ ⇒

I

NL

Φ⋅=

11/16/2009 11

mR mRI IL =

Ako je ψψψψ ukupni ili ulančani tok:

IL

Ψ=

Smjer napona samoindukcije (Lenzov zakon) je takav da se od toga napona stvorena struja protivi promjeni zbog koje je napon

+di

φ

Φd

e

11/16/2009 12

koje je napon induciran. Kako je ovdje uzrok induciranju napona promjena jakosti struje, bit će e suprotno di.

Proračun koeficijenta L za karakteristične primjere iz prakse.

Obično je problem na jednostavan način izračunati ukupan tok ψ , jer se silnice u nehomogenom polju rasporeñuju na vrlo složen način, osim u slučaju torusnog namotaja, pa je induktivitet torusnog namotaja omotanog

11/16/2009 13

namotaja, pa je induktivitet torusnog namotaja omotanog oko neferomagnetskog materijala kojem je µ = µ0 :

)(ln1021

227 Hr

raNL ⋅⋅⋅⋅= −

Dvožični dalekovod dužine l i rezultantna jačine magnetskog polja

11/16/2009 14

R

dlIln0 ⋅

Π⋅⋅=Φ µ

R

dl

ILv ln0 ⋅

Π⋅

=Φ=µ

HlL 710−⋅=

11/16/2009 15

HlLu710−⋅=

HR

dlLLL uv

710)1ln4( −⋅+⋅=+=

Praktično se koristi: mHl

LL /'=

Induktivitet koaksijalnog kabla

11/16/2009 16

mHr

rL /10)

2

1ln2(' 7

0

1 −⋅+⋅=

MEðUSOBNA INDUKCIJA

11/16/2009 17

Pojava kada se zbog promjene jačine struje u jednom (primarnom) namotaju indukuje napon u nekom drugom (sekundarnom) namotaju zove se -MEðUSOBNA INDUKCIJA

Uz pretpostavku da su oba namotaja smještena tako da su

11/16/2009 18

Uz pretpostavku da su oba namotaja smještena tako da su sve silnice magnetskog toka što ga proizvodi primarni namotaj potpuno povezane ili ulančene sa svim namotajima sekundarnog , onda je sekundarni napon:

dt

dNe

Φ⋅−= 22

Uvrštenjem Φ = i1N1/Rm dobija se:

dt

di

R

NNe

m

1212 ⋅⋅−=

gdje je:21 M

NN =⋅

11/16/2009 19

1221 M

R

NN

m

=⋅

pa je:

dt

diMe 1

122 ⋅−=

dt

diMe 2

211 ⋅−=

MMM == 21

11/16/2009 20

21 LLkM ⋅=

Pretpostavka da sav magnetski tok primarnog namotaja prolazi i kroz sve zavoje sekundarnog namotaja redovno neće biti ispunjena, jer

11/16/2009 21

neće biti ispunjena, jer se silnice magnetskog toka izlazeći iz primarnog namotaja naglo razilaze na sve strane u prostoru ⇒ rasipni tok

21 LLkM ⋅=

LL

Mk

⋅=

11/16/2009 22

21 LL ⋅

za idealnu vezu k = 1za nepotpunu vezu k < 1

ELEKTROMAGNETIZAM

predavanje br. 4

• Priključak induktivnog svitka na izvor napona• Prekid struje u induktivnom svitku• Rezultantni induktivitet više svitaka• Ravni provodnik kroz koji prolazi struja u magnetskom

11/16/2009 1

polju• Sila magnetskog polja na el. naboje u gibanju• Hallov napon• Tvari u magnetskom polju, permeabilnost• Krivulja magnetiziranja• Magnetski krug• Energija magnetskog polja

Priključak induktivnog svitka na izvor konstantnog napona

Iz e = L(di/dt) slijedi da se napon samoindukcije pojavljuje samo kod promjenljive struje, ipak utjecaj induktiviteta L mora se uzeti u obzir i u krugovima istosmjerne struje, u trenucima kada se mijenja vrijednost jakosti struje.

11/16/2009 2

trenucima kada se mijenja vrijednost jakosti struje.

Dva su granična slučaja:

priključenje strujnog kruga s induktivitetom L na izvor konstantnog napona U

prekidanje postojeće struje I u strujnom krugu s induktivitetom L

(sl. 11.57)

)1( /τteIi −−⋅=

R

L=τ

11/16/2009 3

(sl. 11.58)

Prekid struje u induktivnom svitku

a) kratkim spajanjem(sl. 11.59)

τ/teIi −⋅=

11/16/2009 4

b) otvaranjem strunog kruga

(sl. 11.60 i 11.61)

τ/teIi −⋅=

Rezultantni induktivitet više svitaka

Serijski spoj svitaka

∑=++= iLLLLL 321

11/16/2009 5

Paralelni spoj svitaka

∑

∑=++=iLLLLL

11111

321

SILE U MAGNETSKOM POLJU

1. Ravni vodič protjecan strujom

Ravni vodič duljine l, sav se nalazi u homogenom magnetskom polju, položen okomito na magnetske silnice. Sila kojom magnetsko polje djeluje na taj vodič je:

11/16/2009 6

lIBF ⋅⋅=Smjer sile odreñuje se pravilom lijeve ruke.

2. Elektrodinamičko djelovanje dviju struja

(sl. 11.70)

Meñusobno vodiči djeluju jedan na drugoga silom:

II ⋅⋅⋅= −

11/16/2009 7

a

IIF 217102

⋅⋅⋅= −

Električna struja ima jakost jedan amper (A), ako prolazeći kroz veoma dug i veoma tanak vodič djeluje u vakuumu na isto takvu paralelnu struju na udaljenosti od jednog metra silom po jednom metru duljine vodiča. NF 7102 −⋅=

3. Sila magnetskog polja na el. naboje u gibanju

Stvorena sila na vodič protjecan strujom u stvari je sila kojom magnetsko polje djeluje na naboj u gibanju.

QI =

11/16/2009 8

BvQF

Bt

lQl

t

QBF

lIBFt

I

⋅⋅=

⋅⋅=⋅⋅=

⋅⋅=

=

4. Hallov napon

Kada se pločicai izrañena od vodiča ili poluvodiča protjecana strujom, postavi u magnetsko polje, na njoj će se pojaviti napon koji djeluje okomito na ravninu što je čini smjer struje i smjer magnetskog polja.

11/16/2009 9

Ova pojava naziva se Hallov efekt, a stvoreni napon je Hallov napon.

(sl. 11.78)

MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU1. Apsolutna i relativna permeabilnost

permeabilnost vakuuma µrelativna permeabilnost µ0 = 4. 10-7 Vs/Amapsolutna permeabilnost materije µr

2. Feromagnetizam - Ampereova teorija

11/16/2009 10

2. Feromagnetizam - Ampereova teorijaAko šupljinu unutar svitka ispunimo umjesto vakuumom, npr. željezom, pri istoj jakosti struje kroz svitak, porast će tok Φ i gustoća B. Slijedi da je prisustvo željeza proizvelo dodatnu uzbudu. Ampere je postavio teoriju elementarnih struja unutar materije, koje se u magnetskom polju orijentiraju u smjeru polja H.

(sl. 11.84)

3. Krivulja magnetiziranja željeza

Feromagnetski materijali imaju vrlo visoku permeabilnost, koja nije konstantna već se mijenja sa stupnjem magnetiziranosti materijala.

µ⋅⋅⋅=Φl

SNI ⇒ HB ⋅= µ ⇒ )(HfB =

11/16/2009 11

l

(sl. 11.85)

Iza koljena krivulje magnetiziranja feromagnetski materijal je zasićen.

4. Magnetska histereza

Ako željezo jednoličnim smanjivanjem struje razmagnetiziramo, nakon prvog magnetiziranja, vrijednosti B i H ne mijenjaju se po istoj krivulji koja je dobivena kod prvog magnetiziranja. Željezo nastoji zadržati stanje prijašnje magnetičnosti, zbog čega dolazi do zaostajanja B u odnosu na H ⇒ magnetska histereza.

11/16/2009 12

zaostajanja B u odnosu na H ⇒ magnetska histereza.

(sl. 11.88)

Magnetski krug

Mogući zadaci:1. Za zadani tok Φ izračunati potreban broj amperzavoja Θ=IN2. Za zadani broj amper zavoja Θ=IN, odrediti Φ u jezgri

11/16/2009 13

(sl. 11.90)

ENERGIJA MAGNETSKOG POLJA

(sl. 11.101)

IILWm ⋅

Ψ=⋅Ψ=⋅=22

11/16/2009 14

LWm ⋅

===222