elektrotehnika električna i magnetna polja godina/predmeti/203...2016, oktobar električno polje...
TRANSCRIPT
F
Univerzitet u Nišu Fakultet zaštite na radu
Dejan M. Petković
ELEKTROTEHNIKA e lekt r ična i magnetna polja
Rešeni zadaci
sa ispita, kolokvijuma i testova
Niš, 2018.
2(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
2016, Oktobar Električno polje dipola opada sa trećim stepenom – Polje električnog dipola 3. 2015, Oktobar Elektroskop – Elektrostatička sila 4. 2016, Januar Elektroskop - odnos naelektrisanja i odnos uglova 5. 2016, Oktobar Najmanje električno polje između dva istoimena tačkasta naelektrisanja – Elektrostatička ravnoteža 6. 2018, April Takasto naelektrisanje na osi naelektrisanog kružnog obruča – Elektrostatička ravnoteža 7. 2015, Oktobar Gromobransko uže – Teorema lika u ravnom ogledalu 8. 2013, Januar Rasprskavanje naelektrisanog mehura – Održanje količine naelektrisanja 9. 2012, Januar Sjedinjavanje naelektrisanih kapljica – Održanje količine naelektrisanja 10. 2015, Oktobar Rad elektrostatičkih sila u koaksijalnom vodu – Nezavisnost potencijala od puta integracije 11. 2013, Oktobar Podužna kapacitivnost dvožičnog voda i napon proboja – Kapcitivnost 12. 2016, Oktobar Električno polje kružnog prstena (ploča, ravan i obruč) – Električno polje 13. 2014, Mart Koaksijalni kružni obruči - Električno polje 14. 2016, Jun Koaksijalni kružni obruči – Homogeno električno polje 15. 2014, Januar Naelektrisana nit konačne dužine – Električno polje 16. 2013, Mart Naelektrisana poluprava – Električno polje 17. 2017, Mart Naelektrisana nit oblika ukosnice – Električno polje 18. 2015,Septembar Električno polje u ekscentričnoj šupljini – Homogeno električno polje 19. 2017, Decembar Električno polje u oblasti preklapanja naelektrisanja - električni dipol 20. 2012, Jun Zapreminski (površinski) homogeno naelektrisana sfera – Energija električnog polja 21. 2012, Septembar Tačkasto naelektrisanje u dielektričnoj lopti – Vezana naelektrisanja 22. 2012, Oktobar Naelektrisana lopta sa dielektričnim omotačem – Vezana naelektrisanja 23. 2012, Decembar Tačkasto naelektrisanje iznad dielektričnog poluprostora – Generalisana teorema lika 24. 2015, Oktobar Naelektrisana lopta u homogenom dielektriku – Vezana naelektrisanja 25. 2016, Jun Tačkasto naelektrisanje na granici dva dielektrika – Granični uslovi 26. 2016, Decembar Nelektrisana lopta u dvoslojnom dielektriku – Vezana naelektrisanja 27. 2017, Oktobar Naelektrisana provodna lopta u trodelnom dielektriku – Raspodela naelektrisanja 28. 2017, Septembar Promena geometrije ravnog kondenzatora – Energija električnog polja 29. 2014, April Unošenje neutralne elektrode u ravan kondenzator – Energija električnog polja 30. 2017, Februar Sferni kondenzator sa koncentričnim dvoslojnim dielektrikom – Kapacitivnost 31. 2017, April Koaksijalni kondenzator sa radijalno nehomogenim dielektrikom – Kapacitivnost, 32. 2017, April Sferni kondenzator sa radijalno nehomogenim dielektrikom – Kapacitivnost, vezana naelektrisanja 33. 2014, Januar Koaksijalni vod sa klinastim osloncem – Kapacitivnost, napon proboja 34. 2016, Jun Merenje visine tečnosti koaksijalnim kondenzatorom – Kapacitivnost 35. 2016, Oktobar Sferni kondenzator do polovine ispunjen dielektrikom – Kapacitivnost, napon proboja 36. 2012, Januar Ravan kondenzator sa poprečno dvoslojnim dielektrikom– Kapacitivnost, vezana naelektrisanja 37. 2014, Mart Ravan kondenzator sa uzdužno troslojnim dielektrikom– Kapacitivnost 38. 2016, Decembar Sferni kondenzator sa radijalno troslojnim dielektrikom – Kapacitivnost 39. 2016, Decembar Sferni kondenzator sa nesavršenim dielektrikom – Kapacitivnost i provodnost 40. 2013, April Koaksijalni kondenzator sa nesavršenim dielektrikom – Kapacitivnost i provodnost 41. 2015,Oktobar Poluloptasti uzemljivač – Otpornost i napon koraka 42. 2014, Oktobar Loptasti uzemljivač – Otpornost i napon koraka 43. 2016, Januar Polukružna kontura u homogenom magnetnom polju – Elektromagnetna sila 44. 2017, Septembar Naelektrisana čestica (elektron) – Magnetno polje 45. 2015, Oktobar Dva tačkasta naelektrisanja u paralelnom kretanju – Elektromagnetna sila 46. 2018, April Rotirajući naelektrisani kružni obruč – Električno i magnetno polje 47. 2013, Septembar Pravoliniski provodnik – Magnetno polje, vezane struje 48. 2012, Jun Kružna kontura - Magnetno polje 49. 2017, Oktobar Kružni disk - Magnetni moment i magnetno polje 50. 2016, Januar Strujne konture oblika pravilnog mnogougla – Magnetno polje 51. 2017, Septembar Trougaone konturre napajane polupravama – Magnetno polje 52. 2016, Septembar Kontura oblika kružne testere sa kružnim zupcima – Magnetno polje 53. 2016, Oktobar Kontura oblika kružne testere sa ravnim zupcima – Magnetno polje 54. 2013, Jun Pravougaona kontura – Magnetno polje 55. 2014, April Koncentrične kvadratne konture – Magnetno polje 56. 2016, Decembar Kontura oblika ravne testere – Magnetno polje 57. 2015, Septembar Kontura oblika ukosnice 1 – Magnetno polje 58. 2016, Mart Kontura oblika ukosnice 2 – Magnetno polje 59. 2016, Decembar Ugaona kontura – Magnetno polje 60. 2015, Oktobar Spiralna kontura – Magnetno polje 61. 2015, Septembar Koaksijalne kružne konture – Homogeno magnetno polje 62. 2013, Januar Solenoid – Magnetno polje, induktivnost, energija 63. 2018, Jun Toroid pravougaonog poprečnog preseka– Koeficijent samoindukcije 64. 2013, Oktobar Trakasta prenosna linija – Kapacitivnost i induktivnost 65. 2017, Februar Trougaona kontura u polju ukrštenih provodnika – Indukovana elektromotorna sila 66. 2016, Jun Kvadratna kontura između provodnika dvožičnog voda – Indukovana elektromotorna sila 67. 2016, Januar Testerast talasni oblik pobudnog polja – Indukovana elektromotorna sila 68. 2016, Oktobar Romboidna kontura u polju pravog provodnika – Indukovana elektromotorna sila 69. 2017, April Kvadratna kontura u promenljivom polju pravog provodnika – Indukovana elektromotorna sila 70. 2016, Mart linearni generator jednosmernog napona – Indukovana elektromotorna sila 71. 2015, Septembar Levitacija – Indukovana elektromotorna sila 72.
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 3(73)
E. 2016, Oktobar
Pokazati da električno polje u tačkama na osi električnog dipola, čiji je
moment dqp
, na velikim rastojanjima od dipola opada sa trećim stepenom rastojanja
dz z .
p
zE
d
p
zE
d
Rešenje
Potencijal – naelektrisanja
210
11
4 RR
q ili 21
12
04 RR
RRq
Za dRR 21, 2
21 rRR , cos12 dRR
20
cos
4 r
dq
1 zd
1R
2R
r
r
zd qq
1R
2R
r
r
Potencijal – dipol
const dqp
prp
)(grad
3
02
0 4
1ˆ
4
1
r
rp
r
rp
2
d
1R
2R
2R 1R
d
1R
2R
2R 1R2R 1R
rdd ˆcos
Električno polje na osnovu 2
30
grad4
1grad
r
rpE
Opšti oblik
35333
)3(-)grad(
11)grad(grad
r
p
r
rrprp
rrrp
r
rp
rrr ˆ3grad 43
rr ˆgrad
Električno polje na osnovu 2
350
)(3
4
1
r
p
r
rrpE
3 Opšti oblik
na osnovu 2
Električno polje na osnovu 1
ˆ1ˆgrad
rr
rE
Sferne koordinate
32
cos2
cos
rrr
, 22
sincos
rr
ˆsinˆ
cos2
4 330 r
rr
pE
4 Opšti oblik na osnovu 1
Za tačke na osi dipola koja se poklapa sa sa z osom je:
zzr ˆ
, zpp ˆ z
z
pE ˆ
1
4
23
0
Na osnovu 3
Za tačke na osi dipola koja se poklapa sa sa osom je: z
zr ˆˆ , 0 z
z
pE ˆ
1
4
23
0
Na osnovu 4
Za tačke na osi dipola koja se poklapa sa sa z osom je:
zr , 0 2
0
1
4 z
p
5 Na osnovu 1
Električno polje na osnovu 5
zz
E ˆ
z
z
pE ˆ
1
4
23
0
Na osnovu 5
Električno polje - dva raznoimena naelektrisanja z
RR
qE ˆ
11
4 22
210
6
Najjednostavniji od 4 data načina
Za tačke na osi dipola koja se poklapa sa sa z osom je:
221 2/dzR , 22
2 2/dzR
zdzdz
qE ˆ
2/
1
2/
1
4 220
Nakon izvršrnog oduzimanja u imeniocu se zanemaruje 2/d ,
22)2/( zdz
zdzdz
dzdzdzdzqE ˆ
2/2/
)2/()2/(
4 22
2222
0
Električno polje na osnovu 6 zz
pz
z
zdqE ˆ
2
4
1ˆ
2
4 30
40
qdp
4(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
E. 2015, Oktobar
Dve kuglice jednakih veličina i jednakih masa obešene su u vazduhu o niti jednakih dužina i zatim, dok su se dodirivale, naelektrisane su količinom nalektrisanja 2 q . Kuglice će se međusobno odbiti i niti će graditi ugao
mL
.
a) Odrediti količinu naelektrisanja na osnovu izmerenog ugla.
Skicirati grafik funkcije )(q
cF
cF
G
G
0
LL
qq cF
cF
G
G
0
LL
Rešenje
Ravnotzeža sistema 0F
gc FF
Tangencijalna komponenta gravitacione sile )2/tan()2/tan( mgGFg
Elektrostatička sila 20
2 1
4 R
qFc
Rastojanje između naelektrisanja )2/sin(2 LR
gF
G
cF
2/
L
2/R
gF
G
cF
2/
L
2/R
gc FF )2/tan()]2/sin(2[
1
4 20
2
mgL
q GFg /)2/tan(
Količina naelektrisanja u funkciji izmerenog ugla )2/tan()2/sin(4 0 mgLq
L
R 2/)2/sin(
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu.
Prikazan je deo grafika funkcije za 0 .
2tan
2sin)(~)(
fq , jer je const.4 0 mgL
Inače, funkcija je periodična ali ostale periode nisu od interesa.
2/
)(f
2
2/
)(f
2
2017, Decembar Za male vrednost uglova
)2/tan()2/sin(
)2/(sin)2/tan()2/sin()( 2/3 q
2/)2/tan()2/sin(
)2/tan(x
2/x)2/sin(x
2/
1
)2/tan(x
2/x)2/sin(x
2/
1
2/32/3 )2/(sin)2/tan()2/sin()( q
Odnos uglova za dve količine naelektrisanja
2/3
2
12/3
2
1
2
1
)2/sin()2/sin(
3/2
2
1
2
1
2
1
)2/sin()2/sin(
Ako je 2/12 qq 3
2
1 4
Ako je 12 2qq 32
1
4
1
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 5(73)
E. 2016, Januar
Dva jednaka tačkasta naelektrisanja, qqq 21 nalaže se na međusobnom
rastojanju . Jačina električnog polja je jednaka nuli na sredini duži koja spaja naelektrisanja ( , ) i u beskonačnosti). Prema Rolleovoj teoremi između takve dve tačke neprekidna funkcija ima ekstremna vrednost. Odrediti položaj tačaka u kojima električno polje ima ekstremnu vrednost.
a20r 0z
R
a
2E
1q 2q
a
E
1E
rz
R
a
2E
1q 2q
a
E
1E
rz
Rešenje
Električno polje tačkastog naelektrisanja- 2
0
1
4 R
qE
304
sinR
rq
R
rEEEr
Problem je rotaciono simetričan oko z ose. U polarnom koordinatnom sistemu vektor polja ima radijalnu
i aksijalnu komponentu . rE zE
3
04cos
R
aq
R
aEEEz
0zE U simetralnoj ravni aksijalne komponente se anuliraju. Radijalna komponenta ima dvostruku vrednost.
0z
2/322
0 )(2 ra
rqEr
z
Rrq a
rE
zE
E
z
Rrq a
rE
zE
E
22 raR
E
E
R
r rsin
E
E
R
a zcos
Jačina električnog polja zavisi samo od r koordinate. 0
)(d
d2/322
ra
r
r
U tački ekstremuma prvi izvod je nula.
0)(
2)(2
3)(
322
2/1222/322
ra
rrarra 02 22 ra
2
2ar
3341
4 20
max a
qEr
Elektrićno polje ima najveću vrednost u tačkama koje leže u simetralnoj ravni 0z i koje pripadaju kružnici
poluprečnika 2/2ar .
20
01
4 a
qE
2/32
0 ])/(1[
)/(2
ar
arEEr
Znak fukcije pokatuje smer polja u odnosu na pozitivan smer koordinatne ose
2/2
)33/(40/EE
2/2
)33/(40/EE
6(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
E. 2016, Oktobar
Na osi obruča poluprečnika , koji je naelektrisan količinom naelektrisanja , nalazi se tačasto naelektrisanje .
aq q
a) Odrediti silu kojom obruč deluje na naelektrisanje. b)
Odrediti rastojanje tačkastog naelektrusanja od centra obruča na kome sila ima ekstremnu vrednost.
Skicirati grafik funkcije po kojoj se menja sila.
F
z
r
q
aq
F
z
r
q
aq
Rešenje
Električno polje elementarnog naelektrisanja 2
0
1
4
dd
R
qE
Količina naelektrisanja ddd aqlqq , )2/( aqq
Rz
a
E
d zE
d
rE
d
qd
r
Rz
a
E
d zE
d
rE
d
qd
r
3
04
ddd
R
zq
R
zEEz
U tačkama na osi polje ima samo z komponentu. Komponente polja u radijalnom pravcu koje potiču od centralno simetričnih naelektrisanja se anuliraju.
d
)(4d 2/322
0 za
zaqEz
22 zaR
R
z
E
Ez d
dsin
Ukupno električno polje koje potiče od celog obruča
2
02/322
0
d)(4 za
zaqEz 20
zza
zaqEz ˆ
)(2 2/3220
ili zza
za
a
qEz ˆ
)(4 2/322
2
20
Električno polje - kružni obruč
Sila između naelektrisanja i obruča srazmerna je jačini polja koje obruč
stvara zEqF zz ˆ
z
za
za
a
qFz ˆ
)(4 2/322
2
20
2
Coulombova sila - naelektrisanje - obruč
Izraz za silu može da se napiše u skraćebnom obliku. je fiktivna sila između dva tačkasta naelektrisanja na rastojanju koje je jednako poluprečniku obruča.
0F zzfFFz ˆ)(0
Električno polje i sila su jednaki nuli u centru obruča, 0z i u tačkama u beskonačnosti, z
0)0( f
0)(lim
zfz
Prema Rolleovoj teoremi između dve nule, neprekidna funkcija ima ekstremnu vrednost.
0)(d
d
d
)(d2/322
za
z
zz
zf U tački ekstremuma
prvi izvod je nula.
0)(
2)(2
3)(
322
2/1222/322
za
zzazza
02 22 za 2
2az
33
20max
FFz
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu.
Prikazan je deo grafik funkcije 2/322/322
2
])/(1[
/
)()(
az
az
za
zazf
Funkcija ne neparna. Znak funkcije pokazuje smer sile u odnosu na z osu., ali pri tome treba voditi računa da izraz za silu uključuje negativan znak. Sila je, međutim, uvek privlačna.
0F
0/ FFz
2/2 az /
33
2 0/ FFz
2/2 az /
33
2
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 7(73)
E. 2018, April
Elektrostatički sistem se sastoji od tačkastog naelektrisanja i iste količine i
znaka naelektrisanja koje je prvo raspoređeno na obruču poluprečnika , a zatim na kružnoj ploči istog poluprečnika. Tačkasto naelektrisanje je u oba slučaja na osi
q
a
z (obruča, tj. ploče). Odrediti
a) silu između obruča i tačkastog naelektrisanja, b) silu između kružne ploče i tačkastog naelektrisanja, c) razliku ovih sila u tački na udaljenosti az centra.
b)
a)
qR
qd a
obrFd
qdqploF
d
b)
a)
qR
qd a
obrFd
qR
qd a
obrFdobrFd obrFd
qdqploF
dqdq
ploF
dqdq
ploF
d ploF
d
Rešenje
Eleektrična (Coulombova) sila između elementarnog naelektrisanja i tačkastog naelektrisanja
RR
qqF ˆ1
4d
d2
0
Elementarna naelektrisanja su centralno simetrično raspoređena. Komponente polja u radijalnom pravcu koje potiču od centralno simetričnih naelektrisanja se anuliraju
U tačkama na osi sila ima samo aksijalnu komponentu. 3
04d
ddRzq
RzFFz
Rz
r
F
d zF
d
rF
d
qd
r
Rz
r
F
d zF
d
rF
d
qd
r
R
z
E
Ez d
dsin
Ako su naelektrisanja ravnomerno rapoređena po obruču
aq
q2
lqq dd
d2
d aaq
q
Elementarna sila tačkasto naelektrisanje - obruč
d
)(24d
2/3220 za
zaaqq
Fz
Ukupna sila tačkasto naelektrisanje – obruč
2
02/322
0
d)(24 za
zqqFz
Ukupna sila tačkasto naelektrisanje – obruč 2/322
0
2
)(4 zazq
Fobr
Ako su naelektrisanja ravnomerno rapoređena po ploči 2a
q
Sq dd
ddd
2rr
a
Elementarna sila tačkasto naelektrisanje - ploča
dd
)(4d
2/32220
rrzrz
a
qqFz
Ukupna sila tačkasto naelektrisanje – ploča
a
zzr
rr
a
zqqF
02/322
2
02
0 )(
dd
4
Uvodi se oznaka
20
2
01
4 a
qF
Ukupna sila tačkasto naelektrisanje – ploča
2220
2
112 za
za
qFplo
Ukupne sile - normalizovano tačkasto naelektrisanje – obruč tačkasto naelektrisanje – ploča
2/320])/(1[
/azazFFobr
i
2/120
])/(1[/1azazFFplo
Ukupne sile u tački az tačkasto naelektrisanje – obruč tačkasto naelektrisanje – ploča
22
10FFobr i
2110FFplo
Razlika sila u tački az ploobr FFF
2431
0
FF
Ovaj deo zadatka (grafik) nije tražen na ispitu.
1
0
az /
1
0/ FFobr
0/ FF
0/ FFplo
1
0
az /
1
0/ FFobr
0/ FF
0/ FFplo
8(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
E. 2015, Oktobar
Iznad dalekovoda montiran je uzemljeni provodnik (gromobransko uže). Provodnik poluprečnika se nalazi na visini od savršeno provodne zemlje. Pod dejstvom homogenog atmosferskog električnog polja u provodniku se indukuju naelektrisanja koja smanjuju primarno polje. Odrediti:
a ah 0E
a) podužnu gustinu indukovanih naelektrisanja, b) električno polje u tačkama na osi sistema, c)
slabljenje električnog polje u tački na osi sistema na polovini visine.
h0E
0
h0E
0
Rešenje
Potencijal električnog polja nastaje delovanjem primarnog polja i indukovanih naelektrisanja u užetu. Uricaj površine zemlje zameljuje se likom.
Jačina atmosferskog polja zEE ˆ00
Potencijal atmosferskog polja zE00 q
2R
1R
h
y
qz
-Original
-Lik
hz
q2R
1Rq
h
y
-Originalh
-Lik
221 )( hzyR Potencijal
sistema original-lik 1
2
00 ln
2 R
Rq
22
2 )( hzyR
Potencijal celog sistema 1 22
22
00 )(
)(ln
4 hzy
hzyqzE
0y
ahz
Tačka na površini provodnika
Provodnik je uzemljen, potencijal na površini je 0 0
2ln
2)(
00
a
ahqahE
ah ah 2
Realni odnosi
Iz uslova 0može da se odredi q )/2ln(
2 00 ah
qhE
uz gornje zanemarivanje
Indukovana naelektrisanja podužna gustina )/2ln(
2 00 ah
hEq zameniti u 1
Potencijal sa određenim - qkonačan izraz dobijen iz 1
22
220
0 )(
)(ln
)/2ln(2 hzy
hzy
ah
hEzE
Električno polje - vertikalna komponenta,
zz
Ez ˆ
z
hzyhzy
hzyh
ah
EEEz ˆ
])(][)([
)(2
)/2ln( 2222
22220
0
Električno polje – horizontalna komponenta,
yy
Ey ˆ
y
hzyhzy
hyz
ah
EEy ˆ
])(][)([
4
)/2ln( 22220
Električno polje - na osi sistema, 0y 0yE ,
20 )/(1
1
)/2ln(
21
hzahEEz
Električno polje - u tački , 0y 2/hz
)/2ln(3
81
0 ahE
Ez
`
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 9(73)
E. 2013, Januar
Mehur (od sapunice) poluprečnika i debljine zida a nalazi se na potencijalu . Odrediti potencijal na kome će se nalaziti kapljica koja se dobija kada se mehur rasprsne.
a b
Numerički podaci: , , V1a m01.0a μm3.3
a
aaq ,
bbbq ,
mehurkapljica
a
aaq ,
bbbq ,
mehurkapljica
Rešenje
Gaussov zakon – primenljen na sferu
0
d
q
SES
0
24
q
rE , ar qE
r
Gaussova površ
qE
r
Gaussova površ
Električo polje –
sferno naelektrisanje 20
ˆ
4 r
rqE
Potencijal - sferno naelektrisanje
r
rE
d r
q 1
4 0
Isto kao i za tačkasto naelektrisanje smešteno u centru sfere
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedenih formula.
Potencijal – mehur a
qaa
1
4 0 aqq , ar
Potencijal – kapljica b
qbb
1
4 0 bqq , br
Količina naelektrisanja – mehur aa aq 04
Količina naelektrisanja – kapljica ab aq 04 ab qq Količina naelektrisanja
se nije promenila
Potencijal – kapljica b
a
b
q abb
1
4
41
4 0
0
0
Potencijal – kapljica ab b
a 1
Zapremina – materijal mehura )33(
3
4
3
4)(
3
4 32233 aaaaVa
Zapremina – materijal mehur 24 aVa Zanemareno i kao
male veličine višeg reda
3 2
Zapremina – materijal kapljica 3
3
4bVb
Zapremine su iste ba VV 32
3
44 ba Količina materijala
se nije promenila Poluprečnik – kapljica 3 23 ab 2
Numerički primer mm10a
mm1b V1a V10b
pF11.0
pF11.1
b
a
C
C
10(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
E. 2012, Januar
Svaka od kapljica (na primer, od žive) nalazi se na potencijalu N a .
Odrediti potencijal na kome će se nalaziti kapljica koja se dobija kada se sve kapljice sakupe u jednu. Pretpostaviti da su sve kapljice sfernog oblika.
b
Numerički podaci: , V1a 8000N
aaq , aaq ,
bbq ,
b
bbq ,
b
Rešenje
Gaussov zakon – primenljen na sferu
0
d
q
SES
0
24
q
rE , r a q E
r
Gaussova površ
q E
r
Gaussova površ
Električo polje –
sferno naelektrisanje 20
ˆ
4 r
rqE
Potencijal - sferno naelektrisanje
r
rE
d r
q 1
4 0
Isto kao i za tačkasto naelektrisanje smešteno u centru sfere
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedenih formula.
Potencijal – svake od kapljica N a
qaa
1
4 0 Kolićina naelektrisanja
na svakoj od kapljica N aa aq 04
Kolićina naelektrisanja na svim kapljicama aa qNQ
Potencijal – novonastale kapljice b
qbb
1
4 0 Kolićina naelektrisanja
na novonastaloj kapljici bb bq 04
Ukupna količina naelektrisanja je ista ba qQ Odnos potencijala ab b
aN
Zapremina – svih kaplica N 3
3
4aNVa Poluprečnik
svake od kapljica N 33
41
VNa
Zapremina – novonastale kaplice 3
3
4bVb Poluprečnik
novonastale kaplice 33
4
Vb
Ukupna količina materijala je ista ba VV Odnos poluprečnika 3/1 N
b
a
Potencijal novonastale kaplice ab b
aN ab N 3/2
Numerički primer V400b
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 11(73)
E. 2015, Oktobar
U prostoru između elektroda koaksijalnog voda poluprečnika elektroda i respektivno, nalazi se tačkasto naelektrisanje q . Izračunati rastojanje
za koje je rad sila električnog polja od do isti kao od do .
aab
c a c c b
Isti problem rešiti u slučaju kocentričnih sfera.
c
a
b
q
E c
a
b
q
E
Rešenje
Gaussov zakon u integralnom obliku primeniti na koaksijalnu cilindričnu površinu
LS
lqq
SE d1
d00
Fluks vektora električnog polja postoji samo kroz omotač L
qLrE
0
2
, bra
S
Lq q
S
Lq q
U unutrašnjosti unutrašnjeg provodnika i van voda polje je jednako nuli.
rr
qE ˆ
1
2 0
, bra Električno polje u koaksijalnom vodu
Potencijal ne zavisi od puta integracije več samo od položaja tačke u polju i referentne tačke.
Pr
r
P
lr
rq
r
rqrE ln
2
d
2d
00
Pr je vektor položaja
referentne tačke.
Y
P
X
PXYXY r
r
r
rqU lnln
2 0
Razlika potencijala
X
YXY r
rqU ln
2 0
Ne zavisi od izbora referentne tačke.
Rad između dve tačke srazmeran je naponu između tih tačaka XY
Y
X
Y
X
XY qUrEqrFqA
dd
Napon (rad) od ar do cr a
cqUac ln
2 0
cbac UU Napon (rad) od cr do br c
bqUcb ln
2 0
Iz jednakosti napona (radova) sledi traženo rastojanje. bac
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu.
U unutrašnjosti unutrašnjeg provodnika i van voda polje je jednako nuli.
rr
qE ˆ
1
4 20
, bra
Napon (rad) od ar do cr
ca
qUac
11
4 0
cbac UU
Napon (rad) od cr do br
ac
qUac
11
4 0
Iz jednakosti napona (radova) sledi traženo rastojanje.
ab
bac
2
12(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
E. 2013, Oktobar
Otvoren dvožični vod ima provodnike jednakih poluprečnika . Rastojanje između provodnika je . Vod je priključen na napon U .
aad
a) Odrediti podužnu kapacitivnost voda. b) Odrediti najveći napon na koji vod može da se priključi, a da ne dođe
do pojave tihog ili naglog pražnjenja.
q
d
a a
RR
q
P
A Bq
d
a a
RR
q
PP
AA BB
Rešenje
Gaussov zakon u integralnom obliku primeniti na koaksijalnu cilindričnu površinu
LS
lqq
SE d1
d00
Fluks vektora električnog polja postoji samo kroz omotač L
qLrE
0
2
Električno polje linijskog naeleltrisanja r
r
qE ˆ
1
2 0
1
q
L
r
Gaussova površ
q
L
r
Gaussova površ
Potencijal u tački P od pozitivnog naelektrisanja Referentna tačka 0R
0
dR
R
rE
R
Rq 0
0
ln2
Potencijal u tački P od negativnog naelektrisanja Referentna tačka 0R
0
dR
R
rE
R
Rq 0
0
ln2
Ukupni potencijal u tački P ne zavisi od izbora 0R
R
Rqln
2 0
Kada je tačka na površini pozitivnog provodnika a
dqA ln
2 0
aR dR
Kada je tačka na povtšini negativnog provodnika d
aqB ln
2 0
dR aR
Napon na dvožićnom vodu BAU a
dqU ln
0
2
Podužna kapacitivnost U
qC
)/ln(0
adC
Pošto je može da se smatra da je u neposrednoj blizini provodnika polje isto kao i da je usamljen. ad
Električno polje sledi iz 1 i 2 )/ln(2 adr
UE i krE
ada
UE
)/ln(2max
Najveća jačina polja je za ar i manja je od kritične jačine, pa se odatle dobija najveći dozvoljeni napon krEadaU )/ln(2max
Numerički primer: , , mm5.2a m1d kV/cm30krE , kV87.89max U .
Inverzni problem: Za zadat maksimalni napon treba odrediti poluprečnik voda.
U ovom slučaju treba rešiti transcedentnu jednačinu koja nema analitičko rešenje. krE
Uada
2)/ln( max
Može su primeniti bilo koji numerički metod, ali se do približnog rešenja jednostavno dolazi i grafički. Neka je
kV120max U , i kV/cm30krE cm100dtada se sa grafika očitava . mm6.3a
]cm[a2.0 3.01.0
1
2
]cm[2
max
krEU
aa 100ln ]cm[
]cm[a2.0 3.01.0
1
2
]cm[2
max
krEU
]cm[2
max
krEU
a100a ln ]cm[
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 13(73)
E. 2016, Oktobar
Ravan kružni prsten poluprečnika i homogeno je naelektrisan površinskom gustinom naelektrisanja . Odrediti jačinu električnog polja u tačkama na osi prstena u sledećim slučajevima:
a
ab
a) 0a , , ab kružni prsten, b) 0a , , 0b kružna ploča, c) 0a , , b ravan sa kružnom rupom, d) 0a , , b neogranićena ravan, ab , , 0 zanemarljivno tanak kružni obruč.
z
b
zE
a
z
b
zE
a
Rešenje
Električno polje elementarnog naelektrisanja 2
0
1
4
dd
R
qE
Količina naelektrisanja dddd rrSq
Pre
sek
prst
ena
Rz
r
E
d
qd
zE
d
rE
d
qd
Rz
r
E
d
qd
zE
d
rE
d
qd 3
04
ddd
R
zq
R
zEEz
U tačkama na osi polje ima samo z komponentu. Komponente polja u radijalnom pravcu koje potiču od centralno simetričnih naelektrisanja se anuliraju.
2/3220 )(
dd
4d
zr
rrzEz
22 zrR
R
z
E
Ez d
dsin
Ukupno električno polje koje potiče od površine prstena
b
zzr
rrzE
a2/322
2
00 )(
dd
4
bra 20
Prvi integral je tablični i ima vrednost . Drugi integral se
rešava smenom
2222 zrt
2222
02 zb
z
za
zEz
Električno polje – kružni prsten opšti izraz
Kad je prvi sabirak u opštem izrazu je jednak jedinici.
0a
22
0
12 zb
zEz Električno polje –
kružna ploča
Kad drugi sabirak u opštem izrazu teži nuli.
b 2202 za
zEz
Električno polje – ravan sa rupom
Kad i prvi sabirak u opštem izrazu je jednak jedinici, a drugi sabirak teži nuli.
0a b
02
zE Električno polje – neograničena ravan
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu.
U opšti izraz treba zamenti . Svesti na zajednički
imenilac. ab
2222
2222
02222
0 )(
)(
2)(2 zaza
zazaz
za
z
za
zEz
2222
2222
2222
2222
0 )(
)(
)(
)(2 zaza
zaza
zaza
zazazEz
Racionalzacija brojioca
22222222
2
0 )(
1
)(
2
2 zazazaza
azEz
U brojiocu veličinu zanemariti, kao beskonačno malu veličinu drugog reda‚ i zameniti
2
q . U imeniocu zameniti . 0
2/3220 )(2 za
zaqEz
Električno polje –
kružni obruč
14(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
E. 2014, Mart
Kružni koaksijalni obruči, različitih poluprečnika , naelektrisani su jednakim po količini i znaku naelektrisanjima q . Rastojanje koordinatnog
početka od prvog obruča je i jednako je rastojanjima između centara obruča. Ao su data tri obruča (slika) odrediti električni polje
ia
d
a) u tačkama na zajedničkoj osi obruča b) u koordinatnom početku, ako je , aa 1 aa 22 i aa 33
Uopštiti prethodni rezultat za beskonačan broj obruča
z
2a
3a
q
1a
dd3 0d2z
2a
3a
q
1a
dd3 0d2
Rešenje
Količina naelektrisanja ddd aqlqq , aqq 2
Polje elementarnog naelektrisanja R
R
qE ˆ1
4
dd
20
, 22 )( zzaR
U tačkama na osi polje ima samo aksijalnu komponentu. 3
04
ddsindd
R
zzq
R
zzEEEz
E
drE
d0 z
R
z
a
qd
zE
dz
E
drE
d0 z
R
z
a
qd
zE
dz
22 )( zzaR
U tačkama na osi obruča, radijalne komponente polja koje potiču od centralno simetričnih elementarnih naelektrisanja se anuliraju. 0rE
U tačkama na osi obruča aksijalna komponenta je
(U centru je zz 0zE )
304
dd
R
zzqEz
q
R
zzEz d
4
13
0
304 R
zzqEz
2/3220 ])([
)(
2 zza
zzaqEz
ili aqq 2
304
dd
R
zzaqEz
2
03
0
d4 R
zzaqEz 3
0
)(
2 R
zzaqEz
2/3220 ])([4 zza
zzqEz
U tačkama na osi obruča, polje je zbir polja pojedinih obruča
zEEEE zzz ˆ)( 321
2/32210
1])([4 dza
dzqE z
2/322
202
])2([
2
4 dza
dzqE z
2/322
303
])3([
3
4 dza
dzqE z
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 15(73)
E. 2016, Jun
Dva kružna koaksijalna obruča jednakih poluprečnika se nalaze na međusobnom rastojanju. d Obruči su naelektrisani jednakim količinama naelektrisanja koja su suprotna po znaku.
a
qa) Odrediti jačinu električnog polja u centru sistema O .
b) Odrediti jačinu električnog polja u centru sistem aako je. 6ad . Skicirati grafik funkcije po kojoj se menja električno polje.
z
aa
O
2/d 2/d
q q
z
aa
O
2/d 2/d
q q
Rešenje
Električno polje elementarnog naelektrisanja 2
0
1
4
dd
R
qE
Količina naelektrisanja ddd aqlqq , )2/( aqq
U tačkama na osi polje ima samo z komponentu.
Komponente polja u radijalnom pravcu se anuliraju.
30
2/
4
d2/dd
R
dzq
R
dzEEz
za
O
z
qd
2/d
R
E
drE
d
zE
d
za
O
z
qd
2/d
R
E
drE
d
zE
d
22 )2/( dzaR
Električno polje koje potiče od pozitivno naelektrisanog obruča 2/322
0 ])2/([
)2/(
2 dza
dzaqEz
Električno polje koje potiče od negativno naelektrisanog obruča 2/322
0 ])2/([
)2/(
2 dza
dzaqEz
z2/d2/d
zO
z2/d2/d
zO
z2/d2/d
zO
Ukupno električno polje koje stvara par obruča
2/3222/322
0 ])2/([
2/
])2/([
2/
2 dza
dz
dza
dzaqEz
U centru sistema, 0z )(2])2/([2])2/([2 0
2/322
2
02/322
0
dfa
q
da
da
a
q
da
daqEz
Za 6ad 53
34
53
34
2)6(
2 000
Ea
qaf
a
qEz
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu.
Jedino za rastojanje
6ad
električno polje između obruča je u najvećem delu homogeno. Znak funkcije pokazuje orijentaciji polja u odnosu na z osu. 6ad 6ad 6ad
z z z
0/ EEz 0/ EEz0/ EEz
6ad 6ad 6ad
z z z
0/ EEz 0/ EEz0/ EEz
6ad
a2
6ad
a2
16(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
E. 2014, Januar
Nit dužine ravnomerno je naelektrisana količinom naelektrisanja . U tačkama na osi simetrije niti na rastojanju
L2 qr
a) odrediti električno polje, b) pokazati da se za rL isti rezultat dobija iz Gaussovog zakona, c) pokazati da se iz začaka Lr štap vidi kao tačkasto naelektrisanje.
0
rE
dE
d
zE
d
L
r
L
zq
qd0
rE
dE
d
zE
d
L
r
L
zq
qd
Rešenje
Električno polje elementarnog naelektrisanja 2
0
ˆ
4
dd
R
RzqE
20
cos
4
dd
R
zqEz
1 2
zd
R
zL0
qr
d
rE
d E
d
zE
d
sdr
1 2
zd
R
zL0
qr
d
rE
d E
d
zE
d
sdr
Komponenta električnog polja u aksijalnom pravcu
dcos1
4d
0 r
qEz
20
sin
4
dd
R
zqEr
Komponenta električnog polja u radijalnom pravcu
dsin1
4d
0 r
qEr
E
Ez
d
dcos ,
E
Er
d
dsin
R
rsin ,
z
R
z
s
d
d
d
dsin
Komponente električnog polja naelektrisane niti 12
0
sinsin1
4
r
qEz i 21
0
coscos1
4
r
qEr
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedenih formula.
221sinrL
r
R
r
12 sinsin 0zE
221cosrL
L
R
L
Kada je tačka polja na simetrali, tada je . 12
r
rE
1 1
LL
r
rE
1 1
LL
12 coscos 22
0
21
4 rL
L
r
qEr
Ako je rL
2)/(1
22222
LrrL
L r
qEr
1
2 0
Električno polje - rezultat primene Gaussovog zakona
Ako je Lr
r
L
rLr
L
rL
L 2
)/(1
22222
2
0
1
4
2
r
LqEr
Električno polje - tačkasto naelektrisanje,
Lqq 2
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu.
Ako je centralni ugao, tada je
2/)(1 i . 2/)(2
b je poluprečnik opisane kružnice.
2tan
1
2 0
b
qE
21
b
1bE
21
b
1bE
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 17(73)
E. 2013, Mart
Nit dužine ravnomerno je naelektrisana količinom naelektrisanja q . U tački na rastojanju
Lr od početka niti
a) odrediti električno polje, b) odrediti električno polje poluprave, L , c) pokazati da se iz tačaka Lr nit vidi kao tačkasto naelektrisanje.
0
E
d
r
zqd
L
R
q
r
0
E
d
r
zqd
LL
R
q
r
Rešenje
Električno polje elementarnog naelektrisanja
20
ˆ
4
dd
R
RzqE
20
cos
4
dd
R
zqEz
1 2
zd
R
zL0
qr
d
rE
d E
d
zE
d
sdr
1 2
zd
R
zL0
qr
d
rE
d E
d
zE
d
sdr
Komponenta polja u aksijalnom pravcu
dcos1
4d
0 r
qEz
20
sin
4
dd
R
zqEr
Komponenta polja u radijalnom pravcu
dsin1
4d
0 r
qEr
E
Ez
d
dcos ,
E
Er
d
dsin
R
rsin ,
z
R
z
s
d
d
d
dsin
Komponente polja naelektrisane niti 12
0
sinsin1
4
r
qEz i 21
0
coscos1
4
r
qEr
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedenih formula.
1sin 1 Tačka je na pravoj , 0z2/1
0
rE
E
zE
z
2
L
r 1
r
0
rE
E
zE
z
2
L
r 1
r
rrL
qEz
11
4 220
2222 sin)sin(
Lr
r
0cos 1
2222 cos)cos(
Lr
L 22
0
1
4 rL
L
r
qEr
rrrL
11122
r
qEz
1
4 0
Ako (poluprava) L
Radijalna komponeta polja poluprave duplo je manja nego za pravu.
1
222
L
L
rL
L r
qEr
1
4 0
01111
222
rrrrL 0zE Ako je Lr
Iz udaljenih tačaka duž se vidi kao tačkasto naelektrisanje.
2
0
1
4 r
LqEr
, Lqq
r
L
rL
L
22
18(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
E. 2017, Mart
Polukružnica i dve poluprave koje je na krajevima tangiraju čine konturu koja je ravnomerno naelektrisana podužnom gustinom naelektrisanja q .
Odrediti električno polje u centru polukružnice O .
r
qO z
r
qO z
Rešenje
Električno polje elementarnog naelektrisanja
20
ˆ
4
dd
R
RzqE
20
cos
4
dd
R
zqEz
1 2
zd
R
zL0
qr
d
rE
d E
d
zE
d
sdr
1 2
zd
R
zL0
qr
d
rE
d E
d
zE
d
sdr
Komponenta polja u aksijalnom pravcu
dcos1
4d
0 r
qEz
2
0
sin
4
dd
R
zqEr
Komponenta polja u radijalnom pravcu
dsin1
4d
0 r
qEr
z
z
E
E
d
dcos ,
z
r
E
E
d
dsin
R
rsin ,
z
R
z
s
d
d
d
dsin
210
coscos1
4
r
qEr 12
0
sinsin1
4
r
qEz
Komponente polja i naelektrisane niti
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedenih formula.
2/1 120
sinsin1
4
r
qEz r
qEz
1
4 0
Pol
upra
va
rE
E
zE
z2
r1
rE
E
zE
z2
r1
2 21
0
coscos1
4
r
qEr
r
qEr
1
4 0
sin1
4
dd 2
0 r
rqEy
dsin1
4 0 r
qEy 0yE
Kru
žni l
uk
r
E
d
q
zE
d
yE
d
qd
z
y
r
E
d
q
zE
d
yE
d
qd
z
y
cos1
4
dd 2
0 r
rqEz
dcos1
4 0 r
qEz
sin1
2 0 r
qEz
0ˆ1
42ˆ
2sin
1
2 00
zr
qz
r
qEz
Kon
tura
E
q
r
E
q
r q
q
r
rE
q
q
r
rE
pola kružnice
2 x poluprava
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 19(73)
E. 2015, Septembar
Usamljena homogena zapremenska gustina naelektrisanja obuhvaćena je
sa dve ekscentrične sferne površine poluprečnika i , čiji se centri nalaze na ne međusobnom rastojanju d . Odrediti električno polje i to:
a ab
a) u unutrašnjosti manje sfere ako je , 0db) u unutrašnjosti manje sfere ako je 0d , c) u unutrašnjosti veće sfere ako je , 0dd) u tačkama van sfera.
a
d
ba
d
b
Rešenje
Pozitivno naelektrisana sfera sa ekscentričnom sfernom šupljinom (u kojoj nema naelektrisanja) može da se predstavi kao sfera puna sa pozitivnim naelektrisanjima u koju je utisnuta sfera koja sadrži negativna naelektrisanja. U šupljini je tada algebarski zbir svih naelektrisanja jednak nuli.
Gaussov zakon u integralnom obliku
VS
Vq
SE d1
d00
Količina naelektrisanja obuhvaćena zamišljenom sferom poluprečnika r je . Vq
crc
crrrE
,
,
3
44
3
3
0
2
Električno polje homogene zapreminske gustine naelektrisanja oblika sfere čiji je poluprečnik c .
crr
r
cE
crrrE
E
e
i
,ˆ3
,ˆ3
2
3
0
0
E
cr cr
cr E
cr cr
cr
U tački koja pripada šupljini električno polje se dobija kao vektroski zbir polja od svake sfere pojedinično, što je metod linearne superpozicije.
Unutrašnje električno polje pozitivno nealektrisane sfere bib rE
03
, brb
Unutrašnje električno polje nagativno nealektrisane sfere aia rE
03
, ara
Električno polje u šupljini
Ukupno: iaib EEE
drrE ab
00 3)(
3
br
ard
O
br
ard
O
U šupljini električno polje je homogeno i usmereno je u pravcu koji spaja centre sfera, drr ab
Ako je rastojanje centara jednako nuli, 0d , tj. ako su sfere koncentrične
za ar ibia EEE
0E
za bra ibea EEE
rr
arE ˆ
3 2
33
0
za br ebea EEE
rr
abE ˆ
3 2
33
0
U slučaju koncentričnih sfera do istih rezultata se dolazi i direktnom primenom Gaussovog zakona. Za tačke van sfera, , Gaussova površina obuhvata količinu naelektrisanja koja je srazmerna razlici zapremina sfera i nije od značaja da li je šupljina ekscentrična ili ne.
br
20(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
E. 2017, Decembar
Dve sfere jednakih poluprečnika naelektrisane su homogeno zapremenskim gustinama naelektrisanja i
a . Centri sfera se nalaze na
međusobnom rastojanju ad 2 , tako da se sfere delimično preklapaju. Odrediti električno polje
a) jedne sferne gustine naelektrisanja u tačkama van sfere, b) jedne sferne gustine naelektrisanja u tačkama unutar sfere, c)
u tačkama u oblasti preklapanja dve sfere.
d
d
Rešenje
Gaussov zakon integralni oblik
VS
Vq
SE d1
d00
VSE
0
1
Gaussova površina ar
3
0
2
3
44 rrE
rE03
E
ar ar
ar E
ar ar
ar
Gaussova
površina ar 3
0
2
3
44 arE
2
3
03 r
aE
3
3
4aq
Električno polje
arr
r
aE
arrrE
E
e
i
,ˆ3
,ˆ3
2
3
0
0
arr
r
qE
arra
rqE
E
e
i
,ˆ1
4
,ˆ4
20
30
iii EEE 21
12 rrd
110
220
ˆ3
ˆ3
rrrrEi
drr
12 d
1r
2r
d
1r
2r
Električno polje u oblasti peklapanja
)(3 12
0
rrEi
dEi
03
304 a
dqEi
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu.
Električno polje pomoću momenta dipola vektora polarizacije
PV
pd
V
qd
PEi
03
1
3
04
1
a
pEi
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 21(73)
E. 2012, Jun
Usamljena homogena zapremenska gustina naelektrisanja obuhvaćena je sfernom površinom
poluprečnika a .
Odrediti: a) električno polje u unutrašnjosti sfere, b) električno polje van sfere, c) energiju sadržanu u električnom polju.
a
E
a
E
Rešenje
Gaussov zakon integralni oblik
VS
Vq
SE d1
d00
VSE
0
1
Gaussova površina ar
3
0
2
3
44 rrE
rE03
E
ar ar
ar E
ar ar
ar
Gaussova površina ar
3
0
2
3
44 arE
2
3
03 r
aE
3
3
4aq
Električno polje
arr
r
aE
arrrE
E
e
i
,ˆ3
,ˆ3
2
3
0
0
arr
r
qE
arra
rqE
E
e
i
,ˆ1
4
,ˆ4
20
30
Energija V
VEW d2
1 20
ar
e
ar
i VEVEW d2
1d
2
1 20
20
Elementarna sferna zapremina
dddsind 2 rrV , 0 , 20
Električno polje zavisi samo od r
rrrrV d4ddsindd 22
00
2
a
e
a
i rrErrEW dd2
4 22
0
220
aa
qrr
rrr
a
rqW
a
a1
5
1
8d
1d
42
4
0
22
40
26
22
0
0
Energija
a
qW
0
2
20
3
aq
W0
2
406
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu.
Šuplja sfera (sferna ljuska) naelektrisana je količiniom naelektrisanja . q
U unutrašnjosti sfere električno polje je jednaka nuli, 0E za ar . Van sfere električno polje je isto kao i polje tačkastog naelektrsanja u centru.
0E
a E
0E 0E
a E
rr
qE ˆ
1
4 20
, Polje a ili rr
aE ˆ
2
2
0
, r r a
rrV d4d 2
Energija
aVr
rqVEW 2
0
22
0d
8d
2
1
a
qW
0
2
8
1
,
aq
W0
2
405
22(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
E. 2012, Septembar
U centru lopte, poluprečnika , od linearnog i homogenog dielektrika, dielektrične konstante , nalazi se
tačkasto naelektrisanje . Okolni prostor je vazduh.
a 1q
Odrediti:
a) električno polje u dielektriku,
b) električno polje u vazduhu, c) površinsku gustinu vezanih naelektrisanja,
zapreminsku gustinu vezanih naelektrisanja.
qa
10
qa
10
Rešenje
Generalisani Gauss kprimenjen na sferu
ov za on 0r qSD
S
d r
r
qD ˆ
1
4 2
,
r0
Električmo po rr
qE ˆ
1
4 21
1
lje u dielektriku 11 / DE
, ar 0
Električmo polje u vazduhu
rr
qE ˆ
1
4 20
0
00 / DE
,
ra
Vektor polarizacije 1010 )( EEDP
rr
qP ˆ
1
4 21
01
, ar 0
Površinska gustina vezanih naelektrisanja rPnPv ˆˆ
2
1
01 1
4 a
qv
, ar
Količina naelektrisanja na površini dielektrika. 24 aq vSv qqSv
1
01
Zapreminska gustina ezanih naelektrisanja vv
P
div 32div
ˆdiv~div
r
r
r
rP
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu.
0ˆ3
div1
graddivdiv33
1
43 r rr
rrr
rr r
r
3div
model3D
r
0v
,
r0
Ukupna količina vezanihnaelektrisanja je nula
0 VSvv qqq v qSv1
1
q
0qVv
Količina naelektrisanja u zapremini dielektrika
V
vv Vq d
Sledi, zapreminska gustina naelektrisanja je zgusnuta u centru sfere 0r
)(1
01 rqv
U stvari, za bilo koje r
0,4
0,0)(4
ˆdiv 2
r
rr
r
r
Diracova delta funkcija
za
0)( r 0r
1d)( V
Vr
)(d)()( afVarrfV
)0(d)()( fVrrf V
divPv
1
01
1
012
01 )(ˆ1
div rqrq
tru sfere
1 4 r
Ukupna količina naelektrisanja u cen qqqqqq VvC
1
0
1
01
Uticaj dielektrika zameniti ezanim naelektrisanji av m
Gaussov zakon ru primenjen na sfe ar 0 0
1 d
C
S
qSE
ar 0 rr
qE ˆ
1
4 21
1
,
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 23(73)
Gaussov zakon u diferencijalnom obliku )(4
44 12
11
r ˆ
divdiv rqrq
E
0,/
0,0div
1
1r
rE
E. 2012, Oktobar
Metalna lopta, poluprečnika , naelektrisana je količinom naelektrisanja ta g i homogenog dielektrika, e zduh.
a q . Lop je izolovana sferinim slojem linearnodiel ktrične konstante 1 i poluprečnika b . Okolni prostor je vaOd
qa
10
bq
a
10
b
re
a) električno polje u svim tačkama prostora,
šinsku i zapreminsku gustinu vezanih naelektrisanja,
diti:
b) povrc)
potencijal u centru lopte.
ssov zakon
Rešenje
Generalisani Gauprimenjen na sferu 0r
qSDS
d rr
qD ˆ
1
4 2
, r0
Električno polje u metalnoj sferi 0q 0unutraE ar 0
Električmo polje u dielektriku 11 / DE
r
r
qE ˆ
1
4 21
1
, bra
Električmo polje u vazduhu 00 / DE
r
r
qE ˆ
1
4 20
0
, rb
Vektor pola jerizaci 1010 )( EEDP
rr
qP ˆ
1
4 21
01
, bra
Površinska gustina vezanih naelektrisanja na površini ar
21
01
4ˆ
a
qPnP
arva
Površinska gustina vezanih naelektrisanja na površini br
21
01
4ˆ
b
qPnP
brvb
Zapreminska gustina vezanih naelektrisanja 0
ˆdiv
4div
21
01
r
rqPv
++
+
+
+
n
vbva
s
n
v
+
1 0
++
+
+
+
n
vbva
ss
n
v
+
1 0
Potencijal u centru
bba
qrErErlE
b
b
a
a
01101
00
111
4ddd0d
24(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
k od ravni koja
p
E. 2012, Decembar
Tač asto naelektrisanje q nalazi se u vazduhu, na visini h
ceo rostor deli na vazdušni deo 0 , 0z i dielektrični materijal 1 , 0z .
10
q
z
vh
10
q
z
vh
a) Odrediti površinsku gistinu vezanih naelektrisanja. editi privlačnu silu između naelektrisanja i ravni.
enjujući dielektrik savršenim provodnikom. b) Odrc) Proveriti rezultat zam
Rešenje
Vektor polarizacije PED
0 EDP E
)010 (
Vezana naelektrisanja nPv ˆ
zv EnE )(ˆ)( 0101
Električno polje potiče od tačkastog naelektrisanja i vezanih naelektrisanja
Polje od tačkastog naelektrisanja R
R
qE ˆ1
4 29
0
z
hr
hqE z ˆ
)(4 2/3220
0
Polje od vezanih naelektrisanja SSE v
0
2 zE vz ˆ
2 01
Normalna komponenta polja u dielektriku zzz EEE 10
Povtšins a gustina vezanih ae
kn lektrisanja
0
2/3220
01 2)(4)( v
vhr
hq
Kada se gornja jednačina eši po v r 2/322
01
01
)(2 hr
hqv
max/
qz
R h
zE0
0E
nr
zE1
zzE1
n
v
max/ max/
qz
R h
zE0
0E
nr
qz
R h
zE0
0E
nr
zE1
zzE1
n
v
zE1
zzE1
n
v
S
vv Sq d qhr
rrhqqv
01
01
02/322
2
001
01
)(
dd
2
Ukupna k čina vezanih naelektrisanja
oli
beskonačna ravan r0 , 0 2 qqv
01
01
20
1
4
dd
R
qqF v
dd)(r2
1
44d
322
2
01
01
0
2
30
rrh
hqd
R
hqF v
z SElementarna Coulombova sila naelektrisanje - ravan
0
322
2
0
2
01
01
0
2
)(
dd
24d
hr
rrhqFz
Ukupna Coulombov sa ila naelektrisanje - ravan 2
010
012
4
1
4 h
qF
++
+---
++
+---
Zamenjen izraz za vq 20 )2(
1
4 h
qqF v
, qqv
01
01
Sila je privlačna
Uticaj dielektrika je
z
h
h
z
moguće zameniti ekvivalentnim tačkastim naelektpostavljeno simetrično u na ravan razdvajanja - kao kod m
ledalu. Ovd ogledalo nije savršeno.
risanjem koje je e lika u ravnom
vqode
nosu teoreprovodnom og
q qh
hvq
Savršeno ogledalo
1 qqqv
01
01
1
lim Provodnik je moguće tretirati kao granični slučaj linearnog dielektrika
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 25(73)
vom, linearnom i izotropnom
lek
E. 2015, Oktobar
Usamljena pro dna lopta poluprečnika a naelektrisana je količinom naelektrisanja q i nalazi se u homogenodie
triku dielektrične konstante . Odrediti:
a) zapreminsku gustinu vezanih naelektrisanja v , b) površinsku gustinu vezanih naelektrisanja v ,
u svim tačkana prostora.
qvq
qvq
qvq
c) čno polje elektri E
Rešenje
Maxwellov vektor električnog pomeraja PED
0
U linearnim dielektricima EP
Konstitutivna veza ED
EDP
0
1
obijanje konstitutivne vezeD
Vektor polarizacije EEEP
)( 0 0
EE
EE
EEED
r
ee
0
000
00
)1()(
)(
Treća Maxwellova jednačina u integralnom obliku qSD
S
d
primenjena na u sfern površinu poluprečnika ar . 2
ˆ
4 r
rqD
, a
o slobodna naelektrisanja
Izvori vektora električnog pomeraja su sam
r
arr
rq
arE
,ˆ
4
,0
2
Električno polje metalne lopte
DE
1 nutrašnjosti polje je
Na metalnoj lopti naelektrisanja su ravnomerno raspoređena po površini. U ujednako nuli.
Iz 1 se dobija vektor polarizacije dielektrika 20
ˆ
4)(
r
rqP
,
ar
Površinska gustina vezanih naelektri jasan , ar ,
nPv ˆ
Pv 20
1
4)(
a
qv
Zapreminska gustina
dređivanje divergencijeO , 0r
vezanih naelektrisanja,
Pv
div
0v
033
ˆ33
graddiv1
divˆ
div
334
3
33
32
rrrrr
r
rrrr
r
r
r
r
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu
Metalna lopta je ravnomerno naelektrisana po površini. U dielektriku se, uz površinu lopte, formira niz elementarnih dipola čije dejstvo je po zapremini dielektrika anulirano, i ostaje samo površinski sloj vezanih naelektrisanja.
Ukupna količina naelektrisanja vtot qqq .
024 qaqq vtot
Električno polje metalne lopte u vakuumu potiče od slobodnih naelektrisanja. 20
0
ˆ
4 r
rqE
, r a
Električno polje metalne lopte u dielektriku potiče od svih naelektrisanja, slobodnih i vezanih. 20
02
0
ˆ
4
1ˆ
4 r
rq
r
rqE tot
Isti rezultat je već dobijen primenom treće Maxwellove jednačine tj. generalisanog Gaussovog zakona. 02
1
4E
r
qE
26(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
električnog pomeraja su ja Izvori vektora
samo slobodna naelektrisan . 2
ˆ
4 r
rqD
, r a
E. 2016, Jun
Tačka na razdvojnoj površini dva linearna lek olnog prostora odrediti
sto naelektrisanje q leži die trika. U svima tačkama ok
a) vektor električnog pomeraja,
E
E
2
1 EE
E
2
11
b) vektor električnog polja. veriti tačnost rezultata na primeru homogene sredine, c) Pro
021
Konzervativni karakter elektrostatičkog polja
Rešenje
0d C
lE
0h , 0 lElE 21
tt EE 21 1 tt DD 2112 3
Generalisani Gaus ov zakon s qSDS
d
0 , 0h
qSDS nn DD 21
q
D 21 2 nn EE 2211 4
l
h Cl
h C
hS
S
hS
S
Na ispitu se priznaje
upotreba ve edenih g ničnih uslova. ć izv ra
Pošto je polje radijalno iz prvgraničnog uslova sledi
og 21 EE 11
22 DD
qSDS
d qS
DS
DGeneralisani Gaussov zakon 22 21
S21
21S
S21S2121
21S
rDD 221 2 q 2
1
21
21
r
qD
Vektor električnog pomeraja u sredini 1 r
r
qD ˆ
)(2 221
11
Vektor električnog pomeraja u sredini 2 r
2r
qD
)(2 21
22
Vektor električnog polja u obe sredine je isti
2
2
1
1
DDE r
r
qE ˆ
)(2
12
21
rr
qE ˆ
4
12
0
Ako je sredina homogena
Rezultat koji se dobija i direktnom primenom Gaussovog zakona u vakuumu 021
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 27(73)
na om naelektrisanja i uronjena je do
ovi električne konstante
E. 2016, Decembar
Usamljena provodna lopta poluprečnika a naelektrisa je količin q
pol ne u tečni, linearni i homogeni dielektrik, di 1 . Gas iznad površine razdvajanja je
ođetak homogen i linearan i ima dielektričnu konstanru 2 . Odrediti:
a) električno polje E
u svim tačkana prostora, b)
c) raspodelu slobodnih naelektrisanja, površinsku gustinu vezanih naelektrisanja v ,
d) zapreminsku gustinu vezanih naelektrisanja v ,
q12
q12
e) površinsku vezanih gustinu naelektrisanja ako je 02 . veriti tačnost rezultata smatrajući da jef) Pro 021 .
Rešenje
Generalisani Gaussov zakon qSDS
d 2 qrEE 2211 2 1
Granični uslov na površini između dielektrika tt EE 21 Polje je radijalno, pa EEE 21 2 Granični uslov na površini provodnika /nE 3 trašnjosti
provodnika polje je nula 4 U unu 0E
Na ispitu se priznaje upotreba zvedenih graničnih uslova.
već i
Iz 1 i 2 sledi: Vektor električnog poljau obe sredine je isti.
r , ar
qE
)(2
12
21
ED 11 r
,
ED 22
Slobodna naelektrisanjana gornjoj polulopti (3)
EE ns 2222 , ( ar ) 221
22 )(2 a
qs
Slobodna naelektrisanja na donjoj polulopti (3) EE ns 1111 , ( ar ) 2
21
11 )(2 a
s
q
EDP
0 Vektor polarizacije dielektrika EEEP
)( 0 0
Jačina polarizacije na površini ar r
a
qP ˆ
)(2 221
0
Spoljašnja normala dielektrika uz površinu lopte usmerena je ka centru lopte
Vezana naelektrisanjuz gornju poluloptnu
a EPnv )(ˆ 022
221
202 )(2 a
qv
Vezana naelektrisanja uz donju poluloptnu EPnv )(ˆ 011
2
21
101 )(2
qv
a
Vezana naelektrisanja - zapreminska gusrtina 0
ˆdiv~-div
2v r
rP
Na ispitu se priznaje ranije izveden rezultat
210
02 )(2 a
qs
210
11 )(2 a
qs
0v , 02 v
02 Na razdvojnoj površinivezanih naelektrisanja. Vektonormale površine i polarizasu pod pravim uglom. Naelektrisanja
nema ri
cije
se vezuju uz površinu donje polulopte. Vektor normale je usmeren ka centru lopte.
210
101 )(2 a
qv
02
2s1s1v
0E1
01 v
P
n
P
n
P
n
P
n
P
n
P
n
02
2s1s1v
0E1
01 v
02
2s1s1v
0E1
01 v
P
n
P
n
P
n
P
n
P
n
P
n
28(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
021 0P , 0v , 012 vv , 212
4 asss
q , r
r 20
aE s ˆ
2
.
r
m ktrisana je količinom naelektrisanja . Centar lopte se azi redine su homogeni i linearn dielekt čije dielektrične sta
E. 2017, Oktoba
Usa ljena provodna lopta poluprečnika a naeledina. S
qricinal na osi koja predstavlja tromeđu sre i
kon
nte su 1 , 2 i 3 . Odrediti:
a) električno polje E
u svim tačkana prostora, naelektrisanja,
d) e se lopta nalazi, lopte.
veriti tačnost rezultata, sm ći da je
b) raspodelu slobodnih c) raspodelu ukupnih naelektrisanja,
potencijal na kom2
q1
3
a
2
q1
3
a
e) kapacitivnost f) Pro atraju 0321 .
Rešenje
Generalisani Gaussov zakon qSDS
d 1 qrEEE 233 )2( 2211
Granični uslov na površini između dielektrika tt EE 21 Polje je radijalno, pa je 2
321 EEE
E
Granični uslov na površini provodnika /nE 3 U unutrašnjosti
provo polje je nula 4dnika 0E
Na ispitu se priznaje up
otreba čnih uslova. već izvedenih grani
Iz 1 i 2 sledi: Vektor električnog polja u svim sredinama je isti.
rr
qE ˆ
)2(
12
321
ar
ED 11
ED 22
ED 33
EDE ns 11111 , ar 2321
11 )2( a
qs
ar 2321
22 )2( a
qs
Raspodela slobodnih
naelektrisanja (3) EDE ns 22222 ,
EDE ns 33333 , ar 23212( a
32 )
qs
Raspodela ukupnog ) naelektrisan je ravn 2
321
0
)2( a
qt
(totalnog
ja omerna Evst 0 , ar
Potencijal u okolini lopte, ar Potencijal lopte, ar
Potencijal,
r
rE
d r
q
)2(
1
321 , a
qar )2(
1
321
Kapacitivnost lopte,
arqC
/ aC )2( 321
rr
qr
r
qE ˆ
4
1ˆ
)2(
12
02
321
, ar
Provera rezultata
a
qar 4
0
1
0321
aaC 0321 4)2(
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 29(73)
E. 2017, Septembar
Elektrode ravanog kondenzatora se nalaze na međusobnom rastojanju i lju e puta v e oja
između elektroda, i to ako je denzator stalno priključen na izvor napajanja ,
n sa izvor napajanja pre razmi
dećprik čene su na napon U . Zatim se elektrode postav na 1x
rast nje. Odrediti energiju kondenzatora pre i posle promene rastojanja
a) kon
Ucanja elektroda.
U U U U
Ub) kondenzator isključe a
Rešenje
inama Energija elektru linearnim sred
ičnog polja VDEW d2
1d
VEW d
2
1d 2
Vd2
UW d
1d
2
2
Sdd
UW 2
2
2
1
2
2
1U
d
SW Energija električnog polja
kondenzatora.
SdV , dUE / , dSC / . 2
2
1CUW
U
qC
C
qW
2
2
1
Na ispitu se priznaje upotreba v
eć izvedene formule.
Kapacitivnost kondenzatora metrije pre i posle promene geo d
SC 1
xd2S
C 12 x
1CC
Kondenzator priključen na izvor - napon je stalan. 2
11 2
1UCW 2
221
UCW 2
2
12 2
1UC
xW
Energija kondenzatora se smanjuje x puta. 12
1W
xW Uloženi me anički rad uvećava energiju h
izvora napajanja.
Kondenzator isključen sa izvora - količina naelektrisanja je stalna.
1
2
1 2
1
C
qW
2
2
21 q
W 2 C
1
2qx2 2 C
W
Energija kondenzatora se povećava Uloženi mehanički rad uvećava energiju
polja u kondenzatoru. puta. 12 xWW x
30(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
nalaze se na međusobnom rasrojanju U elektrodni prostor se po
E. 2014, April
ndenzatora površina Elektrode ravanog ko S .ddo lovine unese treća, neutralna, elektroda istih dimenzija i debljine ddn .
Dipos
elek i le
talno priključen na izvor napajanja denzator isključen sa izvora napajanja pre unošen elektrode,
ode zanemarljiva, tj.
trik u kondenzatoru je vazduh. Odrediti energiju kondenzatora preunošenja treće elektrode, i to ako je
nd
d
nd
d
U , U
a) kondenzator sb) kon jac) debljina neutralne elektr 0nd .
Rešenje
d
SC 00
d
S
d
S
Kapacitivnost kondenzatora - neutralne elektrode pre unošenja
0
00 U
qC
Energija u kondenzatoru - pre unošenja neutralne elektrode 2
000
20
000
1
2
1
2
1UC
C
qUqW
2
Kapacitivnost novonastalih kondenzatora posle unošenja neutralne elektrode
2d
1d2d
2/S 2/S
2d
1d2d
2/S 2/S
2/1 SS dd 1
d
SC
201 01 2
1CC
2/ 2 SS 2/)(2 ndd d
ndd
SC
02
ndd
dCC
02
1C
2C
2
C
1C
2C
C
2
Ekvivalemtna kapacitivnost mešovite veze kondenzatora
22
221 CC
CCCCe
21 2
1CCCe )(2
20
n
ne dd
ddCC
U opštm slučaju 0nd 0CCe Ako je kondenzator stalno priključen na izvor napajanja naelektrisavanje neutralne elektrode izvršiće se na račun energije izvora. Napon ostaje iisti, a
ćava.
ukupna energija se pove 0
202
1WUCW ee
Ako kondenzator nije priključen na izvor napajanja naelektrisavanje neutralne ondenzatoru. Količine naelektrisanja
ergija se smanjuje. 0
20
2
1W
C
qW
ee elektrode izvršiće se na račun energije u k
ostaju iste (preraspodeljene), a ukupna en
U specijalnom slučaju 0nd 0CCe 0WWe
tka nije tražen na ispitu
Ovaj deo zada
U opštem slučaju, predstavljanje kondenzatora p ć mešovite veze nije moguće. To se pokazuje uslova na svim razdvojnim površinama.
omo uispitivanjem graničnih
Granični uslovi
Razdvojna površina 10 | 10 EE
01
2
012
21 EE 1
≠ Razdvojnapovršina
20 20 ?
| EE
2
0C2C
1C
Razdvojna površina 2
1
2211 EE
2211 EE
0C2C
1C
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 31(73)
ovremeno zadovoljeni samo ako je Uslovi 1 i 2 su jedn , tj. ako je u tom delu dielektrik homogen. 21
denzator, poluprečnika i , priključen je na jednosmerni on voslojan sa poluprečnikom dvo konstantama
E. 2017, Februar
Sferni kon a
ič
ac
nimnap U . Dielektrik u kondenzatoru je draz jne površi cba i dielektr 1 i 2 . Odred
iti:
a) električno polje u oba dielektrična sloja, b) kapacitivnost kondenzatora,
c
b
a12
U
c
aa12
b
U
uprečnik razdvojne površine tako da maksimalna elekt čna polja u oba sloja budu jednaka, d) površinsku gustinu vezanih naelektrisanja na razdvojnoj površini dva dielektrika. c) pol ri
Rešenje
Generalisani Gaussov zakon qSdDS
2
ˆ
4
qD
r
r za cra
Električno polje - u dielektrinom sloju
1 211
1
ˆ
4
1
r
rqDE
za bra
Električno polje - u dielektričnom sloju 2 2
222
ˆ
4
1
r
rqDE
za crb
Električno polje je jednako nuli za
i
ar 0 cr .
c
a
rEU d
c
b
b
a
c
a
rErErEU
ddd 21 Napon između elektroda =
ima
zbir napona po slojev
c
b
b
ar
rq
r
rqU 2
22
1
d
4
d
4 cb
bcq
ba
abqU
21 44
Kapacitivnost - recipročna vrednost
q
U
C
1 cb
bc
ba
ab
C
21 4
1
4
11
Redna veza dva sferna kondenzatora
),,( 1 ba i ),,( 2 cb
21
111
CCC
2 1U
2 1U
Ako je dielektrik homogen 21
cb
bc
ba
ab
C 4
11
ac
caC
4
Najveće vrednosti električnog polja u slojevima 2
11
1
4max a
qE
i 2
22
1
4max b
qE
Poluprečnik razdvojne površine dielektrika maxmax 21 EE 21 / ab
Vektor polarizacije - u dielektrinom sloju 1 2
1011011011101
ˆ
4)()(
r
rqEEEEDP
Vektor polarizacije - u dielektrinom sloju 2 2
2022022022202
ˆ
4)()(
r
rqEEEEDP
Vezana naelektrisanja – površinska gustina na razdvojnoj površini,
221
21021 4
)(ˆ)(
b
qnPP
brv
br
32(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
E. 2017, April
priključen je na stalni napon
Koaksijalni kondenzator poluprečnika a i b a U .
Dielektrična konstanta se menja po zakonu a
r)( .
r
a) Pokazati da je u kondenzatoru električno polje kons
r
b
a)(r
q
r
b
aa)(r
q
tantno.
insku gistinu vezanih naelektrisanja. azati da je ukupna količina vezanih naelektrisanja jednaka nuli.
b) Odrediti podužnu kapacitivnost kondenzatora. c) Odrediti površinske gistine vezanih naelektrisanja.
Odrediti zaprem
Pok
Gaussov zakon ndar
Rešenje
Generalisani primenjen na cili qSdD
S
r
rq
r
r
L
qD
ˆ
2
ˆ
2
za bra
Električno polje DEr
)( 1
r
r
r
qE
ˆ
)(2
r
ar)(
Na ispitu se p aj
rizn e upotreba v vedene form le. eć iz u
Električno polje – zameni kada se )(r
a
rqE
ˆ
2
Napon b
a
rEU d
b
a
rra
qU dˆ
2
a
abqU
2
Gustina naelektrisanja ab
aUq
2
Podužna kapacit niv ost U
qC
ab
aC
2
Električno polje – kada se zameni q r
ab
UE ˆ
const.E
Vektor polarizacije EDP
0 ErP
0)( Er
aP
0
Gustina vezanih naelektrisanja uz pozitivnu elektrodu )( arPva Eva )( 0
Gustina vezanih naelektrisanja uz negativnu elektrodu )( brPvb E
b
avb
0
Ovaj deo zadatka nij
e tražen na u. ispit
r
r
raEv ˆdivPv
div
Zapreminska gustina vezanih naelektrisanja
ˆdiv 0
2div1ˆ
2div11
graddiv1
divˆ
div 232222 rrr
rrr
rrrr
rr
r
r
r
3div r
zzyyxxr ˆˆˆ
1div1ˆ1
grad 2 rr
div1
div1
divˆdiv r
rrr
rr
rr
rr
rr2div r
yyxxr ˆˆ
Zapreminska gustina vezanih naelektrisanja rEv
10 , 0r 2D cilindar
Ukupna količina vezanih naelektrisanja
V
vbvbavav VSSq d , aLSa 2 , bLSb 2 , rrLV d2d
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 33(73)
0d1
222)( 000 b
b
a
v rrr
LEbLEa
aLEq
Sferni kondenzator poluprečnika i priključen je na stalni napon
E. 2017, April
a ab U .
Dielektrična konstanta se menja po zakonu 2
)(2
r
ar .
tno.
šinske gistine vezanih naelektrisanja. rediti zapreminsku gistinu vezanih naelektrisanja. azati da je ukupna količina vezanih naelektrisanja d aka nuli.
a) Pokazati da je u kondenzatoru električno polje konstanb) Odrediti kapacitivnost kondenzatora. c) Odrediti povr
r
b
a)(r
r
b
aa)(r
Od
Pok
je n
ssov zakon primenjen na sferu
Rešenje
Generalisani Gau qSdD S
2
ˆ
4 r
rqD
za bra
Električno polje Dr
E
)(
12
ˆ
)(4 r
r
r
qE
2
2
)(r
ar
Na ispitu se p ajrizn e upotreba već izvedene formule.
Električkada se zam
no polje – eni )(r 2
ˆ
4 a
rqE
Napon b
a
rEU d
b
a
rra
qU dˆ
4 2 24 a
abqU
Količina naelektrisanja ab
aUq
2
4
Kapacitivnost U
qC
ab
aC
2
4
Električno polje – kada se zameni q r
ab
UE ˆ
const.E
Vektor polarizacije EDP
0 ErP
0)( Er
aP
02
2
Gustina vezanih naelektuz pozitivnu elektrodu
risanja )( arPva Eva )( 0
Gustina vezanih naelektrisanja uz negativnu elektrodu Eb
avb
02
2
)( brPvb
Ovaj deo zadatka nije tražen na isp u.
it
r
r
raEPv
div
Zapreminska gustina vezanih naelektrisanja v d
ˆdiv 02
2 ˆiv
3div1ˆ
3div11
graddiv1
divˆ
div3433332
rrr
rrr
rrrr
rr
r
r
r
2div r
yyxxr ˆˆ
1di v1ˆ1
grad 2 rr
div1
div1
divˆdiv r
rrr
rrr
r
rr
rr
3div r
zzyyxxr ˆ ˆˆ
Zapreminska gustina anja vezanih naelektris r
Ev2
0 , 3D sfera 0r
Ukupna količina vezanih naelektrisanja ,
V
vbvbavav VSSq d , 24 aSa , 24 bSb rV d4d 2 r
34(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
0d1
844)( 20020
a
v rb2
22
b
rrEbEa
aEq
E. 2014, Januar
U koaksijalnom vodu, poluprečnika a i ab , unutrašnji vod je pvodnice klina grade ugao
ričvršćen za spoljašnji pomoću klinastog ncoslo a dielektrične konstante 1 . Iz . Ostatak prostora je vazduh.
Vod j diti:
c) avnost rezultata za slučaj
e priključen na jednosmerni napon U . Odre
b
0 1a
b
0 11aa
a) električno polje u delu sa vazduhom i u delu sa dielektrikom, b) podužnu kapacitivnost voda.
Proveriti ispr eve 0 i 2 . jom ekvivalentnom vezom se može predstviti kapacitivnost? liki najveći napon na koji vod može biti priključen?
d) Ko
Ko
Rešenje
Generalisani Gaussov zakon qSDS
d qSDSD 1100
Granični uslov ka
Polje je radijalno, pa na površini između dielektri tt EE 21 EEE 21
Jačina električnog pomeraja i ED 00 ED 11
Iz Gaussovog zakona sledi ESES q 100 1 1100 SS
qE
Deo površine zamišljenog cilindra, centralni ugao rLS 1
Deo površine zamišljenog cilindra, centralni ugao 2 rLS )2(0
Električisto u vazduh
Gaussova površ
no polje – u i dielektriku r
rq
r
r
L
qE
ˆ
)2(
ˆ
)2( 0101
L
r L
r
Napon b
a
rEU
d a
bqU ln
)2(01
Podužna kapaci )/ln(
)2(01
abC
tivnost
U
qC
Kapacitivnost - paralelna veza dva kondenzatora
)/ln(
)2(
)/ln(01
ababC
Specijalni slučaj, 0 , u vodu je samo vazduh. )/ln(
2 0
abC
U
0
1
U
0
11
)/ln(
2 1
ab
2 , Specijalni slučaj, Cu vodu je samo dielektrik.
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu
Pri kritičnoj jačini polja oko e rode se formira jonizova aterija postaje provodna, pa . Taj proces (kor a) traje sve d olje, zbog sve manje
ednosti. Za jačine polja veće od kritičnog dolazi do skoka varanice.
lekt ni sloj i monnaelektrisanja počinju da napuštaju elektrodu ok p
naelektrisanja, ne oslabi ispod kritične vr
Najveća jačina polja je na unutrašnjoj elektrodi. a
qE
1
)2(01max
kr EE max
Najveće podužno leknae trisanje. )2(01max aEq kr
Najveći dozvoljeni napon zavisi od odnosa ab / . a
baE
a
bqU kr lnln
)2(01max
max
Vazduh
kV/cm30krE
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 35(73)
abran Za pravilno ododnos poluprečnika dobija se teorijski maksimum.
0lnd aa
d
b
a ea
b krE
e
bU
maxmax
Za merenje visine tečnosti se koristi koaksijalni kondenzator koji je načinjen jalne cevčice visine
0
1
Hh
0
1
Hh
E. 2016, Jun
Hod koaksi i unutrašnjeg i spoljašnjeg poluprečnika i . Izračunati koliko se promeni kapacitivnost kada se kondenzator napuni
nte
a do b
visine h tečnošću dielektrične 1 . konsta
Rešenje
Generalisani Gaussov zakon qSDS
d qSDSD 100 1
Granični uslov ka
Polje je radijalno na površini između dielektri tt EE 10 EEE 10
Jačina električnog pomeraja ED 00 i ED 11
Iz Gaussovog zakona sledi qESES 1100 1100 SS
qE
Deo površine zamišljenog cilindra u vazduhu 00 2 rLS
Deo pov šlršine zami jenog cilindr ielektriku a u d 11 2 rLS
r
1
0 E
1L
0L
E
q
Gaussova površ
r
1
0 E
1L
0L
E
q
Gaussova površ
U
0
1
U
0
1
Električno polje – u isto u vazduhu i dielektrik r
r
LL
qE
ˆ
2 1100
Napon EUb
a
r
d a
b
LL
qU ln
2 1100
Kapacitivnost U
q C
)/ln( ab
2 1100 LLC
Kapacitivnost - paralelna veza dva kondenzatora
)/ln(
2
)/ln(
2 1100
ab
L
ab
LC
ja sa tekstom zadatka treba zameniti Radi usaglašavan hHL 0 i hL 1
Kapacitivnost – kada nema tečnosti, 0h )/ln(
2 00 ab
HC
Kapacitivnost – kada kada ima tečnosti, 0h Hr0
hC )1(1 C
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu
Prilikom uranjanja u tečnost slobodna naelektrisanja se se prerasporede na sledeći način
0S
00d
qSE
rL
qE
1
2 00 0
0
1
11d
q
SES
11
1
00
0
L
q
L
q
rL
qE
1
2 11
11
10 EE
1100
000 LL
Lqq
qqq 10 Ukupna količina slobodnih naelektrisanja 1100
111 LL
Lqq
36(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
ktobar
ni ktroda i do polovine je ispunjen d k e je vazduh. O d
E. 2016, O
Sfer kondenzator poluprečnika ele a ab iele trikom dielektrične konstante 1 . Ostatak zapremindre iti:
a) kapacitivnost kondenzatora, veći napon na koji konde za r može da se priključ
c) raspodelu slobodnih naelektrisanja.
ab
0
1a
ba
b0
1
b) naj n to i,
Rešenje
Generalisani Gaussov zakon qSDS
d qSDSD 1100 bra
Granični uslov na površini između dielektrika Polje je radijalno
tt EE 10 EEE 10
Jačina električnog pomeraja 0 ED 0 i ED 11
Iz Gaussovog zakona sledi ES qES 00 11 1100 SS
qE
Deo površine zamišljene sfere u vazduhu 2 0 22/ rSS
Deo površine zamišljene sfere u dielektriku 21 22/ rSS
Gaussova površ
1E0Er2/S
2/S
Gaussova površ
1E0Er2/S
2/S
Električno polje – isto u vazduhu i dielektriku 2
10
ˆ
)(2 r
rqE
, ba r 1
Napon b
EU
a
r
d
ba
qU
11
)(2 10
2
Kapacitivnost U
qC
ab
baC
)(2 10
Kapacitivnost - 3 U
0
1
tora paralelna veza kondenza
110 22
ab
ba
ab
baC
U
0
1
Najjače električno polje e za asledi iz 1 j r krE
a
qE
210
max1
)(2
Proboj u vazduhu nastaje pri V/m103 6krE
Količina naelektrisanja krEaq )(2 02
max 1
Najveći dozvoljeni napon sledi iz 2 )(max ab
b
aEU kr Zavisi od odnosa ba /
Teorijski najveća vrednost 0d
d max a
U ab 2
2maxmaxa
EU kr
Količina naelektrisanja u vazdušnom delu, iz 2 i 3 U
ab
baq
00 2
10
00
Količina naelektrisanja ielektričnom delu, iz 2 i 3 u d
Uab
baq
11 2
10
11
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu.
0C je kapacitivnost kondenzatora kada je samo sa vazduhom, a 1C
je kapacitivnost kada je ceo ispunjen dielektrikom 01 r
ne napun g kondenzatora, iz 3
. Kapacitivnost do polovi
jeno
)1(2
1)(
2
1010 rd CCCC
Kondenzator do polovine napunjen tečnim dielektrikom priključen je na napon . Zatim se napon isključi, dU
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 37(73)
. Premereni napon na kondenzatoru je sada a dielektrik ispusti 0U .
Dielektrična konstanta 000 qCUCq ddd U 1/2 0 dr UU
E. 2012, Januar
Ravnan kondenzator, sa rastojanjem između elektroda d , čije su po ršine , priključen
vopre
od čnim konstantama
Sčno je na jednosmerni napon U . Dielektrik u ko
eljen na dva jednaka bloka sa dindenzatoru p
je p elektri 1
1
1
2
d
U1
1
2
d
U
i 2 . Odred
sanja, c) raspodelu vezanih naelektrisanja,
acitivnost kondenzatora.
iti:
a) električno polje u oba dielektrika, b) raspodelu slobodnih naelektri
d) kap
Rešenje
Granični uslov 21 | tt EE 21
Električno polje je jednako u oba bloka
d
UEEE
21
Napon je isti bez obzira na put integracije
tE2
tE1
U
d
1
2
EdlElEU 2
1
2
2
1
1 dd
tE2
tE1
U
d
1
2
Površinska gustina slobodnih naelektrisanja uz 1
d
U ED 1111 Površinska gustina
slobodnih naelektrisanja uz 2 d
UED 2222
Površinska gustina vezanih naelektrisanja u 1
d
UEEEDPv )( 01010111
Površinska gustina vezanih naelektrisanja u 2
d
UEEEDPv )( 02020222
Površinska gustina
slobodnih i vezanih naelektrisanja uz 1
d
U
d
U
d
Uv 001111 )(
Površinska gustina slobodnih i vezanih
z
naelektrisanja u 2
d
U
d
U
d
Uv 002222 )(
Kapacitivnost
22
1)(
12121
SS
Uqq
UU
qC
d
S
d
SS
d
US
d
U
UC 2121 2
1
2
1
22
1
Kapacitivnost
može da se predstavi 2
1
2
1
kao paralelna veza dva kondenzatora 21 CCC
38(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
E. 2014, Mart
Ravan kondenzator, priključen na stalni napon U , ispunjen je dielektrikom propustljivosti i debljine . Zbog nesavršenosti obrade elektroda između
elektroda i dielektrika pojavljuju se dva vazdušna procepa debljine . 1 1d
0d
a) Koliki je odnos jačina električnog polja u procepu i dielektriku?
b)
Odrediti kapacitivnost kondenzatora.
0
U
0
1d 0d
1
0d
0
U
0
1d 0d
1
0d
Rešenje
Generalisani Gaussov zakon qSdD
S
qDS S
qD D
Električno polje – u vazdušnim procepima S
qDE
000
0
0
E 0
Električno polje – u dielektriku S
qDE
111
1
1
E 1
Napon 020 EdEEU
1
1
0
02
d
S
qd
S
qU
Površinska gustina naelektrisanja
1
1
0
12 ddU
0110
10
2
dd
U
Električno polje 0 i 1
0110
10 2
dd
UE i
0110
01 2
`
dd
UE 1
0
10 EE
11
002
1
d
S
d
S
U
q
C
Kapacitivnost – recipročna vrednost
010
1111
CCCC
010
U
010
U
Kapacitivnost = redna veza tri kondenzatota
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu.
Jačina polarizacije u dielektriku 10110 )( EEDP
1
01P
Zapreminska gustina vezanih naelektrisanja 0div Pv
Polarizacija je homogena
(ne zavisi od koordinata)
Površinska gustina vezanih naelektrisanja
1
01Pv Sa znakom minus uz pozitivnu elektrodu i obrnuto
Ukupna količina vezanih naelektrisanja VSSq vvvv 0vq , što mora uvek da bude
Električno polje u dielektriku 1
11
E
1111
S
qDE 1
Električno polje u dielektriku
001
vukupnoE Dielektrik se zameni vakuumom, a uticaj dielektrika se zameni vezanim naelektrisanjima
Ukupna površinska gustina naelektrisanja uz pozitivnu elektrodu
1
0
1
01ukupno
Električno polje u dielektriku
110
0
01
ukupnoE
što je poznat rezultat 1
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 39(73)
E. 2016, Decembar
U sfernom kondenzatoru, poluprečnika i , dielektrični sloj, dielektrične konstante , i poluprečnika i c , ne naleže uz elektrode tako da se pojavljuje nepoželjni vazdušni procep. Kondenzaator je priključen na jednosmerni napon U . Odrediti
a ad b1 b
a) električno polje u delovima sa vazduhom i u delu sa dielektrikom, b) kapacitivnost kondenzatora. Skicirati grafik promene električnog polja.
0
01
abcd
0
010
010
01
abcd
Rešenje
Generalisani Gaussov zakon qSdDS
2
ˆ
4 r
rqD
za dra
Električno polje u vazduhu uz unutrašnju elektrodu 2
000
ˆ
4
1
r
rqDE
za bra
211
1
ˆ
4
1
r
rqDE
Električno polje u dielektriku za crb
Električno polje je jednako nuli za
ar 0 i . dr Električno polje u vazduhu uz spoljačnju elektrodu 2
000
ˆ
4
1
r
rqDE
za drc
Napon između elektroda d
a
rrE
d)( U
Napon između elektroda je zbir parcijalnih napona
d
c
c
b
b
ar
r
r
r
r
rqU 2
02
12
0
ˆ1ˆ1ˆ1
4
Reciproćna vrednost kapacitivnosti dc
cd
cb
bc
ba
ab
q
U
010 4
1
4
1
4
1
Kondenzator je serijska veza tri sferna kondenzatora 321
1111
CCCC
010
U
010
U
Ovaj deo zadatka nije tražen na itu isp
Ovde je radi jednostavnosti skiciran grafik Eq
04 , tako da je
20 14
rE
q za i bra drc
200 14
rE
q
za crb b c
r
a
E
d
2/ 0
b c
r
a
E
d
2/ 0
40(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
. 2016, Decembar
ferni kondenzator poluprečnika i ispunjen je linearnim,
E S a ab homogenim i nesavršenim dielektrikom čija je dielektrična konstanta , a provodnost . Kondenzator je priključen na jednosmerni napon U . Odrediti
a) kapcitivnost kondenzatora, denzatora),
b) provodnost dielektrika (odvodnost kon c) odnos kapacitivnosti i provodnosti.
b a
U
b aa
U
Rešenje
Gaussov zakon
qSE
S
d 2
ˆ
4 r
rqE
, bra
qrE 24
Napon b
a
rEU
d ba
abqU
4
U
qC
ab
baC
4 Kapacitivnost
2
ˆ
4 r
rqJ
2
ˆ
4 r
rqJ
EJ
Ohmov zakon
S
SJI
d
qI 2
24
4 r
rqI
Jačina struje
U
IG
ab
baG
4 Provodnost
G
C Odnos GC /
I
q
I
U
U
q
G
C
Do istih odnosa dolazi se i na sledeći način:
U
qC
Kapacitivnost
U
IG
I
q
G
C
Provodnost
d
SC
Kapacitivnost
q
d
U q
S I
q
d
U q
S I
esavršen dielektrik=
Provodnost n=nesavršen provodnik
d
SG
G
C
I
q
G
C
Odnos / dimenziono predstavlja vreme ( tIq / ) i naziva e relaksacije. Od tog odnosa zavisi ojom n otiču u
se vrembrzina k aelektrisanja vezana uz elektrode obliku struje.
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 41(73)
E. 2013, April
Koaksijalni vod poluprečnika i ispunjen je linearnim, homogenim i nesavršenim dielektrikom čija je dielektrična konstanta
a ab , a provodnost .
Vod je priključen na jednosmerni napon U . Odrediti
a) podužnu kapcitivnost voda, b) podužnu provodnost dielektrika, c) odnos podužne kapacitivnosti i provodnosti.
b2
a2
b2
a2
Rešenje
Gaussov zakon – primenjen na cilindar
q
SES
d
Lq
rLE 2
Električno polje r
rqE
ˆ
2
, bra
Napon b
a
rEU
d a
bqU ln
2
Podužna kapacitivnost
U
qC
)/ln(
2
abC
Gaussova površ
a
q r L
Gaussova površ
a
q r L
Ohmov zakon – gustina struje EJ
r
rqJ
ˆ
2
Jačina struje S
SJI
d r
rLqI
2
2
LqI
Provodnost U
IG )/ln(
2
ab
LG
Podužna provodnost L
GG )/ln(
2
abG
Odnos GC /
2
)/ln(
)/ln(
2 ab
abG
C
G
C
42(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
E. 2015, Oktobar
Poluloptasta elektroda poluprečnika načinjena je od savršenog provodnika i ukopana je u električno homogenu zemlju specifične provodnost . U elektrodu utiče struja kvara
a
I .
a) Za datu dužinu koraka odrediti naveći napon koraka . kl kU
b)
Odrediti prelaznu otpornost između elektrode i okolne sredine. uzR
kU
J
a
I
kU
J
a
kU
JJJ
a
II
Rešenje
Gustina struje ISJS
d ISJ 2
1 2
ˆ
2 r
rIJ
Ohmov zakon EJ
2
ˆ
2 r
rIE
Napon između proizvoljnih tačaka
b
a
rEU
d
ba rr
IU
11
2 1
Potencijal elektrode ara br
a
Ia
1
2
r
J
S
d
S2
1
S2
1r
J
S
d
S2
1
S2
1
Otpornost I
R auz
a
Ruz
2
1
Napon koraka sledi iz 1
rra
kab lrr )(2 k
kk lrr
lIU
Najveći napon koraka ar )(2 k
kk laa
lIU
)( k
kuzk la
lIRU
Numerički primer: , , S/m01.0 m5.0a A100I , m8.0kl 32uzR , V1969kU
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 43(73)
E. 2014, Oktobar
Loptasta elektroda poluprečnika načinjena je od savršenog provodnika i ukopana je na dubinu u električno homogenu zemlju specifične provodnost . U elektrodu utiče struja kvara
ah
I .
a) Odrediti tačke na površini zemlje gde je električno polje najveće.
b)
Za datu dužinu koraka odrediti naveći napon koraka . kl kU
I
kU
J
h a
I
kU
JJJ
h a
Rešenje
Pošto je uzemljivač duboko ukopan u zemlju, gustina struje i električno polje mogu potražiti kao za usamljena sfernu elektroda u homogenoj provodnoj sredini.
Gustina struje ISJS
d IJS 2
ˆ
4 r
rIJ
Ohmov zakon EJ
2
ˆ
4 r
rIE
Uticaj površine zemlje zamenjuje se uticajem simetrično postavljenog lika, alise vazduh zamenjuje zemljom. Teorema lika u ravnom ogledalu.
Električno polje uzemljivača 2
1
11
ˆ
4 R
RIE
22
1 )( zhrR
Električno polje lika uzemljivača 2
2
22
ˆ
4 R
RIE
22
2 )( zhrR
h
h
2R
1R
E
2E
1E
Original
Lik
r
z
h
h
2R
1R
E
2E
1E
Original
Lik
z
r
Na površini zemlje
0z 2221 hrRR 2221
1
4 hr
IEE
Električno polje ima samo horizontalnu komponentu.
2/32211)(2
)ˆ,cos(2hr
rIrREE
Električno polje je jednako nuli za i 0r r . Prema Roleovoj teoremi između dve nule neprekidne funkcije postoji ekstremna (ovde je to maksimum) vrednost.
0d
d
r
E
2
hr 2max
33
1
h
IE
Polje je najveće u tačkama na kružnici datog poluprečnika.
Napon izmešu dve tačke na površini zemlje
22
222
1
2/322
11
2)(
d
2
2
1hrhr
I
hr
rrIU
r
r
Najveći napon koraka se dobija za:
21
hr i kl
hr
22
Približno najveći napon koraka je klEU maxmax
Numerički primer: , , S/m01.0 m A1005h I , m1kl 25VkU
44(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
B. 2016, Januar
Kroz konturu oblika polukružnice poluprečnika protične stalna struja jačine
aI . Kontura se u celosti nalazi u poprečnom homogenom magnetnom
polju jačine B .
a) Odrediti ukupnu silu kojom polje deluje na konturu. b) Pokazati da dobijeni rezultat važi za bilo koji zatvorenu konturu
IB
z
yIB
z
y
Rešenje
Magnetna sila na strujni element BlIF
dd
Magnetna sila na strujnu nit BLIBlIFY
X
d X Y
L
LX Y
L
L
Magnetna sila na zatvornu konturu 0d
BlIF
C
Niz diferencijalnih dužina formira zatvoreni poligon vektora. 0d
C
l
0d
l , Obiml d
Pojašnjenja koja slede nisu tražena na ispitu.
U konkretnom slučaju xBB ˆ
Element dužine prečnika ydd yl
Element dužine luka ˆdˆdd all
Magnetna sila koja deluje na element prečnika poluktužnice zyIBxyIBBlIF ˆd)ˆy(ddd 1
Magnetna sila koja deluje na element luka poluktužnice )ˆˆ(ddd 2 xIBaBlIF
komponenta u pravcu y yaIBF y ˆcosdd 2
komponenta u z pravcu zaIBF z ˆsindd 2
I
B
1dF
zF2d
z
y
yF2d
2dF
I
B
1dF
zF2d
z
y
yF2d
2dF
Ukupna magnetna sila na prečnik zyIBF
a
ˆda
1
zIBaF ˆ21
Ukupna magnetna sila na na luk u pravcu y yIBaF y ˆdcos
0
2
02
yF
Ukupna magnetna sila na na luk u z pravcu zIBaF z ˆdsin
0
2
zIBaF z ˆ22
Ukupna magnetna sila na celu konturu zy FFFFFF 22121
0
F
Do istog rezultata dolazi se i na sledeči način:
xBB ˆ
zy ˆcosˆsinˆ
)ˆˆ(ddd 2 xIBaBlIF
zIBayIBazIBaF ˆ2ˆdcosˆdsin00
2
xzyx ˆ)ˆcosˆsin(ˆˆ
y
r
z
y
r
z
yzx ˆcosˆsinˆˆ 0ˆ2ˆ221
zIBazIBaFFF
0d)ˆcosˆsin(ˆd2
0
zyC
,
2dd2
0C
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 45(73)
B. 2017, Septembar
Usamljena čestica poluprečnika i naektrisanja se kreće u vakuumu
stalnom brzinom . Odrediti
a q
v
a) jačinu magnetnog polja u okolini čestice,
b) energiju magnetnog polja,
v
r
B
q
v
r
B
q
c) ukupnu energiju utrošena za ubrzavanje čestice? Rešenje
Biot-Savartov zakon – polje strujnog elementa. 2
0 ˆd
4d
r
rlIB
Veza između jačine struje i brzine naosilaca naelektisanja. vql
t
qlI
dd
d
dd
Biot-Savartov zakon – polje elementarnog naelektrisanja. 2
0 ˆ
4
dd
r
rvqB
Magnetno polje – naelektrisana čestica u kretanju 2
0 sin
4 r
vqB
Energija magnetnog polja VHBWm d2
1d
VBWm d2
1d 2
0
Energija magnetnog polja – naelektrisana čestica u vakuumu
HB
0
Vr
vqWm d
sin
42
1d
2
20
0
Rešavanje integrala
I
cos
dcossindsin
d)cos1(sindsin
2
23
33
23
2
2
cos32cos
dcossin2cos
dsind,cos
omintegracij mparcijalno
dcossin
III
I
VU
I
3cos3
1I
33 cos3
1cosdsin
3
4dsin
0
3
Element sferne zaprimene dddsind 2 rrV
Energija magnetnog polja – u elementarnoj zapremini
dddsin
32d
2
322
20 r
rvqWm
2
00
32
222
0 ddsind
32a
mr
rvqW Energija magnetnog polja –
u celom prostoru oko čestice, ra , 0 , 20 .
220
12vq
aWm
Ukupna energija – potrebna za ubrzavanje čestice 2202202
62
1
122
1vq
amvq
amvWW km
Ekvivalenta mehanička masa
Naelektrisanu česticu je teže pokrenuti i ubrzati nego česticu iste mase koja nije naelektrisana.
Po jednoj teoriji elektron ima samo masu koja je posledica njegovog naelektrisanja, a
me
6
e20
Naelektrisanje i masa elektrona su eksperimentalno utvrđeni, , , a
za magnetnu permeabilnost je izračunato , pa je moguće odrediti poluprečnik
. Međutim, za klasični poluprečnik elektrona se uzima 3/2 puta veća vrednost, čime se usaglašavaju numeričke konstante,
C106.1e 19
m
kg101.9 31em
/104 70
m108.1 15a
m1081.24
e 152
0
em
a
46(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
B. 2015, Oktobar
Dva istimena tačkasta naelektrisanja kreću se paralelno istim brzinama , međusobnom rastojanju
q vr . U tački gde je jedno od naelektrisanja naći:
a) odnos električnog i magnetnog polja,
b) razliku električne i magnetne sile. c) Kolika treba da je brzina da bi naelektrisanja zadržala svoje putanje?
eF
eF
mFv
v mF
r
q
qeF
eF
mFv
v mF
r
q
q
Rešenje
Biot-Savartov zakon – polje strujnog elementa. 2
0 ˆd
4d
r
rlIB
Veza između jačine struje i brzine naosilaca naelektisanja. vql
t
qlI
dd
d
dd
Biot-Savartov zakon – polje elementarnog naelektrisanja. 2
0 ˆ
4
dd
r
rvqB
Magnetno polje – maksimalna jačina. 2
0max 4 r
vqB
B
v
r
q
ME
S B
v
r
q
ME
S
Električno polje – maksimalna jačina. 2
0max 4 r
qE
Odnos maksimalnih jačina polja vE
B00
max
max 00
1
c
Brzina svetlosti u vakuumu
Odnos maksimalnih jačina polja pomoću brzine svetlosti u vakuumu. 2
max
max
c
v
E
B
Magnetna (Lorentzova) sila BvqFm
Coulombova (električna) sila EqFe Elektromagnetna sila
Odnos maksimalnih sila max
max
Eq
Bqv
F
F
e
m 2
2
c
v
F
F
e
m
Rezultantna sila – razlika sila
e
meme F
FFFFF 1
Čestice će nastaviti pravolinijsko kretanje ako se kreću brzinom svetlosti. U suprotnom će se razići.
2
2
1c
vFF e eFF , em FF
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu.
Neka se nosioci naelektrisanja kreću kroz dva paralelna, neograničeno duga provodnika, tada sledi
Električno polje - podužnog naelektrisanja r
qE
1
2 0
Električna sila na drugi provodnik po jedinici dužine
r
qEqFe
1
2 0
2
v
v
q q
v
v
q q
Magnetno polje - podužnog naelektrisanja
r
qv
r
IB
1
2
1
200
vqI
Magnetna sila na drugi provodnik po jedinici dužine
r
vqBIFm
1
2
220
vqI
Jačina struje
Jednakost sila - čestice se kreću brzinom svetlosti
r
q
r
vq 1
2
1
2 0
2220
cv
00
1
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 47(73)
B. 2018, April
Obruč poluprečnika , naelektrisan količinom naelektrisanja , rotira oko
svog centra stalnom ugaonom brzinom . Za tačke na osi obruča odrediti
a q
a) jačinu električnog polja, b) jačinu magnetnog polja, c) odnos aksijalnih komponenti polja u tački az .
qd
B
d
a
R
E
d
z
z
qd
B
d
a
R
E
d
z
qd
B
d
a
R
E
d
z
z
Rešenje
Tok naelektrisanja je stacionaran i stvaraju električno polje kao da su statička.
Iz Coulombovog zakona električno polje 2
02
0
ˆd4
ˆ
4d
dR
Rlq
RRq
E
Obrtni naelektrisani obruč stvara magnetno polje je predstavlja stalnu struju.
Iz Biot-Svartovog zakona magnetno polje 2
0ˆd
4d
RRlI
B
Komponente polja u radijalnom pravcu koje potiču od centralno simetričnih naelektrisanja se anuliraju.Ostaju samo aksijalne komponente polja.
Aksijalna komponenta električnog polja sindd EEz 3
0
d4
dR
lzqEz
Aksijalna komponenta magnetnog polja cosdd BBz 3
0 da4
dR
lIBz
a
E
d zE
d
rE
d
qdr
Rz
a
E
d zE
d
rE
d
qdr
Rz
Rz
EEz
dd
sin
zB
dB
d
a
rB
d
lIdr
R
zzB
dB
d
a
rB
d
lIdr
R
z
Ra
BBz
dd
cos Električno polje celog obruča
C
z lRzq
E d4 3
0
302 R
azqEz
Magnetno polje celog obruča
C3
0 da4
lR
IBz 3
20
2 RaI
Bz
2
0C
2add al
Jačina struje preko ugaone i linijske brzine
2q
Tq
I vqaqI
Magnetno polje u tački az
az
zR
avqB
3
20
2 2/3223 )( zaR
Električno polje u tački az
az
zR
aqE
3
2
021
Odnos jačina polja u tački az 200
cvv
EB
azz
z
gde je c brzina svetlosti
00
1
c
48(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
B. 2013, Septembar
Kroz pravolinijski neferomagnetni linearni provodnik, poluprečnika i magnetne permeabilnosti , protiče stalna struja
a 1I . Odrediti:
a) magnetno polje u svim tačkama prostora, b)
gustine vezanih struja.
Rešenje
Generalisani Ampèreov zakon
S
dd SJlHC
Magnetitaciono polje u provodniku
2
22 r
a
IrH
ˆ
2 21a
rIH
, ar
Magnetitaciono polje u vazduhu
2
22 a
a
IrH
ˆ1
20 r
IH
, ar
Ampèreove konture
ar ar
a1 0
Ampèreove konture
ar ar
a1 0
ˆ
2 21
1a
rIB
111 HB
Magnetno polje u provodniku ar,
Magnetno polje u vazduhu
ˆ1
20
0 r
IB
000 HB
ar ,
Linearni materijali
Magnetizacija MHB
0
1HBM
0
1 Kod većine provodnika
(osim feromagnetika) je , pa je vrlo 0
110
1
1HBM
ˆ2
12
0
11
a
rIMMagnetizacija
u provodniku r a,
Magnetizacija
približno:
20
1 2 a
rIB
00
00
1HBM
01 M , 00 M ar , u vazduhu
Do istog rezultata se dolazi i na sledeći način
HHHHHB rmm
000 )1()(
0m
Linearni materijali Magnetna susceptibilnost
HM m
, za materijale
110
1
rm 0m , za vakuum
11 HM m
Magnetizacija 00 0 HM
ˆ2
ˆ2
122
0
11
a
rI
a
rIM m
ar,
Površinska gustina vezanih struja
za
Iz
a
IJ m
Sa ˆ2
ˆ2
10
1
arSa nMJ
ˆ1
Zapreminska gustina vezanih struja
za
Iz
a
IJ m
a ˆˆ122
0
1
1rot MJ a
Ukupna jačina vezanih struja 022 aJaJI Saaa (što mora da bude)
zr MrMMzr
zrr
rM
ˆˆˆ
1rot
z
rzr
zrr
rM ˆ2
00
ˆˆˆ
1rot
2
1
zn ˆˆˆ nz
n
nz
n n
Paramagneti materijali (na primer, Al, 1.000022 ) imaju pozitivnu suceptibilnost, dok diamagnetni
materijali (na primer, Cu, r
0.999994r ) imaju negativnu suceptibilnost, pa su gustine vezanih struja suprotnih smerova.
.
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 49(73)
B. 2012, Jun
Kružna kontura poluprečnika , naelektrisana količinom naelektrisanja , rotira oko ose stalnom ugaonom
brzinom stvarajući stalnu struju jačine
a q
I . Odrediti magnetno polje u tačkama na osi konture:
a) koristeći Biot-Savartov zakon, b) koristeći dipolnu aproksimaciju. c) Pokazati da se za veoma udaljene tačke na oba načina dobija isti rezultat. d) Rezultate prikazati pomoću jačine struje i pomoću ugaone brzine.
Odrediti žiromagnetni odnos konture.
Rešenje
Biot-Savartov zakon – magnetno polje strujnog elementa. 2
0ˆd
4d
R
RlIB
lRl d|ˆd|
20 d
4d
R
lIB
lI
d
rBd
Bd
aR
zBd
lI
d
rBd
Bd
aR
zBd
Komponente polja u radijalnom pravcu od dijametralno suprotnih elemenata se anuliraju.
R
a
R
lIBB z 2
0 d
4dd
22 zaR
Ostaje samo komponenta polja u aksijalnom pravcu zl
za
aIB ˆd
)(4d
2/3220
Magnetno polje kružne konture
aalL
2dd2
0
L
lza
aIB d
)(4 2/3220 z
za
aIB ˆ
)(2 2/322
20
az 222 zza z
z
aIB ˆ
2 3
20
Magnetni moment kružne konture zmzIaSIm ˆˆ2
Magnetno polje u dalekoj zoni- dipolna aproksimacija ]ˆ)ˆ(3[
4 30 mrrmr
B
ˆsinˆcosˆ rz ]ˆˆcos3[4 3
0 zrr
mB
z
r
m
r
z
z
r
m
r
z
Magnetno polje kružne konture
dipolna aproksimacija 2Iam ]ˆsinˆcos2[
4 30
rr
mB
Polje u dalekoj zoni
U tačkama na osi: zr , zr ˆˆ , 0 z
z
aIB ˆ
2 3
20
3
0
2 z
mB
Jačina struje koju stvara rotirajuća kružna kontura
aqqq
T
qI
2/2
Magnetni momment rotirajuće kružne konture
232
2ˆ a
qaqzIam
tm
m
L
q
B
tm
m
L
qtm
m
L
q
B
Magnetno polje rotirajuće kružne konture
2/322
30
)(2 za
aqB
Magnetno polje rotirajuće kružne konture u dalekoj zoni
az m
zz
aqB
3
03
30 1
22
tm - masa tela
Moment impulsa
2amL t
Žiromagnetni odnos. Ne zavisi od i . Isti je za sva tela. a
tm
q
L
m
2
2/32230 )/(/ zaaBB Tačno
Polje u centru konture 2
00
qB
330 // zaBB Približno
00/ BB
az /
1tačno
dipolnaaproksimacija
daleka zona4
00/ BB
az /
1tačno
dipolnaaproksimacija
daleka zona4
50(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
B. 2017, Oktobar
Kružna ploča, poluprečnika , ravnomerno naelektrisana količinom naelektrisanja , rotira oko ose stalnom
ugaonom brzinom .
a q
a) Odrediti magnetno polje u tačkama na osi elementarne kružne strujne konture, smatrajući da je opticana strujom Id .
b) Jačinu struje izraziti pomoću površinske gustine rotirajućih naelektrisanja.
c) Odrediti magnetno polje u tačkama na osi rotirajuće kružne ploče. d) Rezultat prikazati pomoću jačine polja u centru ploče. e) Odrediti magnetni moment kružne ploče.
f) Odrediti magnetno polje kružne ploče u dalekoj zoni.
R
B
d
Id
z
r
R
B
d
Id
z
r
Rešenje
Biot-Savartov zakon – magnetno polje strujnog elementa. 2
0ˆd
4d
R
RlIB
lRl d|ˆd|
20 d
4d
R
lIB
lI
d
rBd
Bd
rR
zBd
lI
d
rBd
Bd
rR
zBd
Komponente polja u radijalnom pravcu od dijametralno suprotnih elemenata se anuliraju.
R
r
R
lIBB z 2
0 d
4dd
22 zrR
Postoji samo komponenta polja u aksijalnom pravcu. zl
zr
rIB ˆd
)(4d
2/3220
Magnetno polje kružne konture
rlL
2d
L
lzr
rIB d
)(4 2/3220 z
zr
rIB ˆ
)(2 2/322
20
Ploča je mnoštvo strujnih kontura polprečnika r sa strujama )(d rI rr
rr
T
qI d
)/2(
d2dd
Magnetno polje elementarne strujne konture 2/322
30
)(
d
2d
zr
rrB
Magnetno polje zbir polja svih strujnih kontura.
a
zr
rrB
02/322
30
)(
d
2
Magnetno polje rotirajuće kružne ploče zz
za
zaB ˆ2
2
2 22
220
Rešavanje integrala
2/322
3
)(
d
zr
rrI
22 rzt , rrt d2d
2/3
2
2/3
d
2
d
2
1
t
tz
t
ttI
Czr
zrI
22
22 2
zza
zaI
a2
222
22
0
Magnetno polje u centru rotirajuće kružne ploče z
aB ˆ
20
0
Magnetno polje u tačkama na osi rotirajuće kružne ploče
az
az
azBB /2
)/(1
)/(212
2
0
Magnetni moment elementarne kružne konture
zrISIm ˆddd 2
, rrI dd
Magnetni moment kružne ploče
4d
4
0
3 arrm
a
00/ BB
az /
1tačno
dipolnaaproksimacija
daleka zona4
00/ BB
az /
1tačno
dipolnaaproksimacija
daleka zona4
Magnetno polje u dalekoj zoni- dipolna aproksimacija ]ˆ)ˆ(3[
4 30 mrrmr
B
zmm ˆ
, zr , zr ˆˆ
Magnetno polje u dalekoj zoni u tačkama na osi ploče z
z
az
z
mB ˆ
8ˆ
2 3
40
30
3
04
1
z
aBB
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 51(73)
B. 2016, Januar
Kroz konturu oblika pravilnog tougla protiče stalna struja . Oko
mnogougane kotutre opisana je kružna kontura sa jačinom struje .
Poluprečnik opisane kružne konture je . Jačina magnetnog polja
n nI
cIa B u
zajedničkom centru je jednaka nuli.
a) Odrediti vezu između jačina struja u konturama.
Retultat proveriti za granični slučaj n .
cI
a
mI
O
cI
a
mI
O
Rešenje
Biot-Savartov zakon – magnetno polje strujnog elementa. 2
0ˆd
4d
R
RlIB
Pomoću trigonometrijskih veza sledi
lR
dsin
d
, rR
sin1
dsin4
d 0
r
IB
Magnetno polje strujne duži. 21
0 coscos4
r
IB 1
Za tačke na osi simetrije je i 12 )2/cos( br , pa sledi
Magnetno polje na osi simetrije strujne duži.
2tan
20
b
IB 2
B
Ir
B
Ir
r
lI
d
21 R r
lI
d
21 R
21
b
1b 21
b
1b
d4
d2
0 aa
IB
ˆdd al
d|ˆd| arl
Biot-Savartov zakon – magnetno polje kružnog luka, poluprečnika i centralnog ugla . a
a
I
a
IB
4d
40
0
0 3 lI
d
ad
lI
d
ad
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedenih formula.
Magnetno polje u centru kružne konture
a
IB c
c 20
Magnetno polje (u centru kružnice) jedne stranice pravilnog n tougla
na
I
na
IB nn
n
tan22
2tan
200
1
Magnetno polje (u centru kružnice) nm stranica pravilnog tougla n
na
ImB n
mn 2
2tan
20
Magnetno polje (u centru kružnice) svih stranica tougla nm n
n
n
a
I
na
InB nn
n
tan
22
2tan
200
Struje u kružnici i touglu su suprotnih smerova. Jačine polja treba da budu jednake.
n nc BB
n
nII nc
tan
Za tougao postaje kružnica n n nnn
nn
nc In
n
nI
n
nII
)/(
)/sin(lim
)/cos(
1limtanlim
Na ispitima u različitim rokovima su razmatrani i neki specijalni slučajevi
6n 6m
6tan
6
nc II
4n 2m
4tan
2
nc II
3n 2m
3tan
2
nc II
52(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
I
Ob
a
I
Ob
I
Ob
a
I
Ob
b
I
Ob
I
Ob
b
B. 2017, Septembar
Žičana kontura oblika trougla napaja se u jednom temenu stalnom strujom jaćine I . Smatrati da je kontura pravilan jednakostranični trougao sa poluprećnikom opisane kružnice b , i da su provodnici za napajanje poluprave, Povezivanje napojnih provodnika na konturu može da se izvrši na četiri načina. U centru zamišljene kružnice, u tački , odreiti jačinu magnetnog polja koje potiće od
O
a) poluprave, b) jednakostraničnog trogla. c) celog sistema
I
Ob
d
I
Ob
I
Ob
d
I
O
cb
I
Ob
I
O
cb
Rešenje
Biot-Savartov zakon - magnetno polje strujnog elementa. 2
0ˆd
4d
R
RlIB
Pomoću trigonometrijskih veza sledi
lR
dsin
d
, rR
sin1
dsin4
d 0
r
IB
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedene formule.
Magnetno polje na rastojanju r od ose strujne duži. 21
0 coscos4
r
IB
Za tačke na osi simetrije je 12 i )2/cos( br , pa sledi
Magnetno polje u tačkama na osi strujne duži.
2tan
20
b
IB
B
Ir
B
Ir
r
lI
d
21 R r
lI
d
21 R
21
b
1b 21
b
1b
Magnetno polje (u centru kružnice) jedne stranice pravilnog tougla n
nb
IB n
tan
20
1
Magnetno polje (u centru kružnice) celog pravilnog tougla n
nb
InBn
tan
20
Magnetno polje u centru jednakostraničnog trougla
3tan
2
3 0
b
IBT 3n
Magnetno polje na rastojanju b od početka poluprave.
b
IBP
40 2/1 , 2
slučaj poluprava – trougao – poluprava
smerovi polja rezultantno polje konačan izraz
a PTP BBBB 1332
0
b
IB
b PTP BBBB 332
0
b
IB
c PTP BBBB 1332
0
b
IB
d PTP BBBB 332
0
b
IB
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 53(73)
B. 2016, Septembar
Kontura oblika zupčanika sa zubaca opticana je stalnom strujom n I . Počeci zubaca leže na kružnici poluprečnika , a njihovi krajevi na kružnici poluprečnika . Na slici je prikazana kontura za
aab 4n .
a) Odrediti jačinu magnetnog polja u tački . O b) Koliko je polje u tački O ako je . ba c) Koliko je polje u tački O ako n .
n/I O a
b
n/I O a
b
Rešenje
Biot-Savartov zakon - magnetno polje strujnog elementa. 2
0 ˆd
4d
r
rlIB
a
r
d
lI
da
r
d
lI
d
Magnetno polje na osi strujnog elementa 0B
rl
dd
0|ˆd| rl
Magnetno polje kružnog luka, poluprečnika i centralnog ugla .
a
a
I
a
aIB
4d
40
02
0
ˆdd al
d|ˆd| arl
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedene formule.
Magnetno polje u centru date konture stvaraju samo kružni lukovi.
Bez obzira na broj zubaca ukupna dužina luka svih zubaca je uvek ista. Ukupni centralni ugao je uvek isti.
Rezultat ne zavisi od . n
Što je isto kao da je
1n ,
a
b
IB
a
b
IB
Magnetno polje kružnog luka poluprečnik a , centralni ugao
a
IBa
40
Magnetno polje kružnog luka poluprečnik b , centralni ugao
b
IBb
40
ba BBB
Magnetno polje kružnog luka poluprečnik a , centralni ugao n/
na
IBa
40
ba
IB
11
40
Magnetno polje kružnog luka poluprečnik b , centralni ugao n/
nb
IBb
40
ba nBnBB
ba
Dakle, problem je rešen na dva načina.
U slučaju jednakih poluprečnika, , dobija se poznat razultat za magnetno polje u centru kružne strujne konture.
ba
a
IB
20
Do istog rezultata se dolazi i direktnom primenom Biot-Savartov zakona.
a
I
a
IB
2d
40
2
0
0
54(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
B. 2016, Oktobar
Kontura oblika zupčanika sa zubaca opticana je stalnom strujom n I . Počeci zubaca leže na kružnici poluprečnika , a njihovi krajevi na kružnici poluprečnika . Na slici je prikazana kontura za
aab 4n .
a) Odrediti jačinu magnetnog polja u tački . O b) Koliko je polje u tački O ako je . ba c) Koliko je polje u tački O ako je i ba n .
b
aOI
n/
b
aOI
n/
Rešenje
Biot-Savartov zakon - magnetno polje strujnog elementa. 2
0ˆd
4d
R
RlIB
Pomoću trigonometrijskih veza sledi
lR
dsin
d
, rR
sin1
dsin4
d 0
r
IB
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedene formule.
Magnetno polje na rastojanju r od ose strujne duži. 21
0 coscos4
r
IB
Za tačke na osi simetrije je 12 i )2/cos( br , pa sledi
Magnetno polje u tačkama na osi strujne duži.
2tan
20
b
IB
B
Ir
B
Ir
r
lI
d
21 R r
lI
d
21 R
21
b
1b 21
b
1b
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedene formule.
Magnetno polje u centru date konture stvaraju samo tetive unutrašnje i spoljašnje kružnice.
Magnetno polje koje potiče od tetiva kružnice poluprečnika . a
na
InBa 2
tan2
0
Magnetno polje koje potiče od tetiva kružnice poluprečnika . b
nb
InBa 2
tan2
0
Magnetno polje u centru date konture. n
In
baB
2tan
2
11 0
Ako je dobija se pravilan poligon
ba
Magnetno polje u centru pravilnog poligona sa stranica. n2
na
InB
2tan0
kad poligon degeneriše u kružnicu.
n
Magnetno polje u centru kružnice. a
IB
20 1
2tan
2lim
n
nn
1
/
/tanlim
tanlim
cos
sinlim
sinlim1
000
nx
nx
x
x
xx
x
x
xnxxx
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 55(73)
B. 2013, Jun
Kroz pravougaonu konturu, stranica i , protiče stalna struja a2 b2 I . Odrediti jačinu magnetnog polja u centru konture i to:
a) u opštem slučaju, b) ako je , tj kada pravougaonik degeneriše u kvadrat, ba c)
ako je , tj kada pravougaonik degeneriše u dvožični vod. ba
b2I
O
a2
b2I
O
a2
Rešenje
Biot-Savartov zakon - magnetno polje trujnog elementa.
20
ˆd
4d
R
RlIB
Pomoću trigonometrijskih veza sledi
lR
dsin
d
, rR
sin1
dsin4
d 0
r
IB
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedene formule.
Magnetno polje strujne duži. 21
0 coscos4
r
IB 1
Za tačke na osi simetrije je i 12 )2/cos( br , pa sledi
Magnetno polje na osi simetrije strujne duži.
2
tan2
0
b
IB 2
B
Ir
B
Ir
r
lI
d
21 R r
lI
d
21 R
21
b
1b 21
b
1b
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedene formule.
Manetno polje – stranica pravougaonika a2 pomoću 1 ili 2
22
0
2 bab
aIBa
ba /)2/(tan
da /cos 1
12 coscos b
a
d1 2
ab
a
d1 2
a
Manetno polje - stranica pravougaonika b2pomoću 1 ili 2
22
0
2 baa
bIBb
22 bad
Za stranicu b2 oznake i b asamo zamene mesta
Magnetno polje – centar pravougaonika ba BBB 22 22
0 11
ba
IB
Magnetno polje – centar kvadrata ba , ba BB
a
IB
20
, stranica kvadrata je a2
Magnetno polje – na sredini dvožičnog voda
ba , tj. a 0bB
b
IB
1
20
, rastojanje provodnika dvožičnog voda je b2
56(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
B. 2014, April
Date su žičane konture oblika kvadrata, kroz koje u istom smeru protiču stalne struje jačina I . Kvadrati su postavljeni tako da temena manjeg kvadrata leže na sredinama stranica većeg kvadrata. Najmanji kvadrat ima
stranicu dužine , tj. poluprečnik opisane kružnice a 2/ab .
a) Odrediti jačinu magnetnog polja B u tački centra simetrije.
Uopštiti rezultat za proizvoljan broj i n n kvadrata.
1
2
0I
a1
2
0I
a
Rešenje
Biot-Savartov zakon - magnetno polje strujnog elementa. 2
0ˆd
4d
R
RlIB
Pomoću trigonometrijskih veza sledi
lR
dsin
d
, rR
sin1
dsin4
d 0
r
IB
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedene formule.
Magnetno polje strujne duži. 21
0 coscos4
r
IB 1
Za tačke na osi simetrije je 12 i )2/cos( br , pa sledi
Magnetno polje na osi simetrije strujne duži.
2tan
20
b
IB 2
B
Ir
B
Ir
r
lI
d
21 R r
lI
d
21 R
21
b
1b 21
b
1b
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedene formule.
Magnetno polje stranice kvadrata pomoću (1) a je stranica
2/ar , 4/1 , 4/31
a
IB
0
2
2
Magnetno polje stranice kvadrata pomoću (2) b je pp opisane kružnice
2/ ,
( 2/ab )
b
IB
2
0
Magnetno polje u centru kvadrata pomoću (1)
a
IB
00 22
Magnetno polje u centru kvadrata pomoću (2)
b
IB
00 2
2/
4/4/
ba
b2/
4/4/
ba
b
Za magnetno polje u zajedničkom centru više kvadrata upotrebimo, na primer, drugi oblik:
Za svaki sledeći kvadrat menja se samo pp opisane kružnice 0
)1(
2
1BB , 0
)1()2(
2
1
2
1BBB , 0
)2()3(
22
1
2
1BBB
Ukupno magnetno polje ne zavisi od međusobnih položaja kvadrata
...
4
1
22
1
2
1
2
110BB
Magnetno polje - prva tri kvadrata
b
IBB
003 )23(
2
23
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu
Očigledno da pp opisanih kružnica formiraju geometrisku progresiju 1
2
1r količnik dva
susedna člana
Geometrijska progresija
1...1 nn rrS
Zbir geometrijske progresije 222/11
1
2
1
0
k
k
r
rS
n
n
1
1
Magnetno polje - beskonačno mnogo kvadrata
b
IB
0)22( r
SS nn
1
1lim , 1|| r
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 57(73)
B. 2016, Decembar
Kroz konturu oblika testere sa zubaca protiče stalna struja n I . Gornja ivica zubaca poklapa se sa pravom koja sa osom testere gradi ugao . Na slici je prikazan oblik sa po po dva zupca levo i desno od centra konture . O
a) Odrediti jačinu magnetnog polja u centru konture.
Odrediti jačinu magnetnog polja u centru konture ako n .
a4
a2 a3
I
O a a4
a2 a3
I
O a
Rešenje
Biot-Savartov zakon - magnetno polje strujnog elementa. 2
0 ˆd
4d
r
rlIB
O
lI
dr
O
lI
dr
Magnetno polje na osi strujnog elementa 0B
rl
dd
0|ˆd| rl
Magnetno polje na rastojanju r od ose strujne duži. 21
0 coscos4
r
IB
2/1
2/2
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedene formule.
Magnetno polje u centru date konture stvaraju samo vertikalni elementi.
Magnetno polje jedne vertikalne ivice date konture.
sin4
0
x
IB
Magnetno polje para simetričnih vertikalnih ivica.
sin2
0
x
IB
Magnetno polje svih vertikalnih ivica, ...,3,2, aaax
...3
1
2
11sin
20
a
IB
O
lI
d
1
2
xO
lI
d
1
2
x
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu
Taylorov red
1
1
!
)()()(
n
nn
n
axafxf
Taylorov red u okolini 0a
1
1
!
)0()(
n
nn
n
xfxf
Taylorov red funkcije )1ln()( xxf
1
1)1()1ln(
n
nn
n
xx . 1|| x , 1x
Za 1x ...3
1
2
11
)1(2ln
1
1
n
n
n
Magnetno polje svih vertikalnih ivica, ...,3,2, aaax 2lnsin
20
a
IB
58(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
B. 2015, Septembar
Strujna kontura se satoji od kružnog luka, poluprečnika r i centralnog ugla , i dve poluprave koje tangiraju kružni luk na njegovim krajevima. Kroz
konturu protiče stalna struja 2
I .
a) Odrediti jačinu magnetnog polja u tački . Ob)
Objasniti rezultate za 0 , i 2/ .
r
2
Ir
2
I
Rešenje
Biot-Savartov zakon - magnetno polje strujnog elementa. 2
0 ˆd
4d
r
rlIB
B
Ir
B
Ir
Magnetno polje kružnog luka, poluprečnika r .
r
IB
40 r
Ir I
Magnetno polje na rastojanju r od ose strujne duži. 21
0 coscos4
r
IB
Ir1 2
Ir1 2
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedenih formula.
Magnetno polje na rastojanju r od početka poluprave.
r
IB
4
0 2/1 , 2
Magnetno polje dve polovine luka i dve poluprave. )1(
242
42 000
r
I
r
I
r
IB Magnetno polje
date konture.
Strujna kontura se sastoji od dve poluprave, koje u magnetnom smislu čine jednu pravu, i dela kružnice. Magneto polje je uvek usmereno u ravan crteža.
I
0
r
I
0
r
I
r2/
I
r2/
r
Ir
I
Poluprava + Poluprava = Prva
Poluprava + polukružnica + poluprava
Poluprava + kružnica + poluprava
r
IB
2
0 r
I
r
IB
4200
r
I
r
IB
2200
Dve poluprave se u geometrijskom i magnetnom smislu spajaju u jednu pravu.
Dve poluprave na suprotim stranama sa suprotnim smerovima struja daju polje kao i jedna prava.
Kroz dve poluprave struja je suprotnog smera, ali je i tačka sa druge strane. Smer polja se ne menja.
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 59(73)
B. 2016, Mart
Strujna kontura se satoji od kružnog luka, poluprečnika r i centralnog ugla , i dve poluprave od kojih jedna tangira kružni luk na njegovom početku, a
druga na njegovom kraju je u radijačnom pravcu. Kroz konturu protiče stalna struja
I .
a) Odrediti jačinu magnetnog polja u tački , rj. centru kružnog luka. Ob)
Objasniti rezultate za , 0 2 i 2 .
I
r
O
I
r
O
3
1
2
I
r
O
I
r
O
3
1
2
Rešenje
Magnetno polje – Biot-Savartov zakon 2
0 ˆd
4d
r
rlIB
B
Ir
B
Ir
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedenih formula.
Magnetno polje - kružnog luka, 2.
r
IB
40 r
Ir I
Magnetno polje - na rastojanju od ose strujne duži.. a 21
0 coscos4
r
IB
Ir1 2
Ir1 2
Magnetno polje - poluprave u pravcu tangente, 1.
r
IB
4
0 2/1 , 2
Magnetno polje - poluprave radijalnom pravcu, 3. 0B 1 , 2
Magnetno polje - celog sistema. )1(
1
44
1
4000
r
I
r
I
r
IB
Zavisnost jačine magnetnog polja od vrednosti centralnog ugla kružmog luka
0
I
I0
I
0 0
I
I
2
I
I
2I
I
4
I
I 4
I
I
6
I
I 6
I
I
r
I
r
IB
0
2
1
400
r
I
r
IB
1
2
1
400
r
I
r
IB
2
2
1
400
r
I
r
IB
3
2
1
400
60(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
B. 2016, Decembar
Beskonačno dug provodnik, kroz koji protiče stalna struja I , savijen je (kao na slici) tako da kraci grade ugao . Tačke A i B nalaze se na simetrali ugla i na rastojanju od temena.
2a
a) Odrediti magetno polje u tački A. b) Odrediti magetno polje u tački B. c) Koji rezultat se dobija za . 2/
Skicirati funkciju po kojoj se polje menja u zavisnosti od ugla .
I
2aA B
I
2aA B
Rešenje
Biot-Savartov zakon - magnetno polje strujnog elementa. 2
0 ˆd
4d
r
rlIB
B
Ir
B
Ir
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedene formule.
Magnetno polje na rastojanju r od ose strujne duži. 21
0 coscos4
r
IB
Ir1 2
Ir1 2
Magnetno polje u tačka A od jednog (gornjeg) kraka.
sin
cos1
40
a
IB
1
2 sinar
2
r
1
a
A
2
r
1
a
AA
Magnetntno polje u tačka A od oba kraka.
2tan
20
a
IBA
Magnetno polje u tački B od jednog (gornjeg) kraka.
sin
1cos
40
a
IB
1
2 sinar
2r1
a B
2r1
a BB
Magnetntno polje u tački B od oba kraka.
2cot
20
a
IBB
Za kraci su kolinearni i dobija se magnetno polje strujne niti.
2/ a
IBBB BA
20
0 Biot-Savartov zakon
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu
Magnetno polje
u tački A
Prikazani su grafici promene magnetnog polja u tačkama A i B u funkciji ugla koji zaklapaju poluprave opticane stalnom strujom.
Magnetno polje u tački B
0/ BB
2/
0/ BB
2/
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 61(73)
B. 2015, Oktobar
Kontura opticana stalnom strujom I se sastoji od koncentričnih kružnih lukova i radijalnih segmenata koji spajaju kraj jednog luka sa početkom sledećeg. Centralni ugao lukava je , a poluprečnici su , , ..., . ia 2a na
U centru sistema odrediti Oa) jačinu magnetnog polja,
b) jačinu magnetnog polja ako je ,aiai ni ,1 c) smer magnetnog polja,
jačinu magnetnog polja ako je ,iaai ni ,1 i n .
I
2a 5aO 1a
I
2a 5aO 1a 2a 5aO 1a Rešenje
Biot-Savartov zakon - magnetno polje strujnog elementa. 2
0 ˆd
4d
r
rlIB
a
O
d
lI
d
a
O
d
lI
d
Magnetno polje na osi strujnog elementa 0B
rl
dd
0|ˆd| rl
Magnetno polje kružnog luka, poluprečnika i centralnog ugla .
a
a
I
a
aIB
4d
40
02
0
ˆdd al
d|ˆd| arl
Na ispitu se priznaje upotreba već izvedene formule.
Magnetno polje u centru date konture stvaraju samo kružni lukovi.
Magnetno polje i -tog kružnog luka.
ii a
IB
40
Taylorov red
1
1
!
)0()(
n
nn
n
xfxf
Magnetno polje svih lukova.
...111
4 321
0
1 aaa
IBB
n
ii
Magnetno polje svih kružnih lukova ako je aiai
na
IB
1...
3
1
2
11
40
1
1)1()1ln(
n
nn
n
xx
11 x Magnetno polje je usmereno od ravni slike i određeno je smerom struje u prvom kružnom luku. Doprinos sledećeg luka je manji, i tako dalje.
1x
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu
Magnetno polje svih kružnih lukova ako n 2ln
40
a
IB
1
1)1(2ln
n
n
n
62(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
B. 2015, Septembar
Dva kružna koaksijalna obruča jednakih poluprečnika se nalaze na međusobnom rastojanju . Kroz obruče teku stalne struje istog smera i iste jačine
ad
I . Odrediti jačinu magnetnog polja
a) u centru sistema , Ob) u centru sistema , ako je . O ad Skicirati grafik promene magnetnog polja u aksijalnom pravcu.
z
O
d
II
a
z
O
d
II
a
Rešenje
Biot-Savartov zakon - magnetno polje strujnog elementa. 2
0ˆd
4d
R
RlIB
U tačkama na osi polje ima samo z komponentu.
Komponente polja u radijalnom pravcu se anuliraju.
),cos(d
dRa
R
a
B
Bz
ˆdd al
d|ˆd| aRl
R
a
R
aIBz 2
0 d
4d
I
a
rB
d
zB
d
B
dR
O
z2/d
l
d
d
zI
a
rB
d
zB
d
B
dR
O
z2/d
l
d
d
z
Magnetna polja svakog od obruča posebmo. Centri obruča su pomereni u odnosu na koordinatni početak.
2/322
30
])2/([2 dza
a
a
IBz
22 )2/( dzaR
2
03
20 d
4 R
aIBz
2/322
30
])2/([2 dza
a
a
IBz
22 )2/( dzaR
Magnetna polja u centru svakog od obruča
a
IB
20
0
2/dz
Magnetna polja oba obruča se sabiraju jer su snerovi struja isti.
z2/d2/d
zO
R Ra
z2/d2/d
zO
R Ra
2/322
3
2/322
3
0)])2/([)])2/([
)(dza
a
dza
aBzBz
0z 2/322
3
0 )])2/([
2)(
da
aBzBz
Magnetno polje u centru sistema
0z , ad 55
160BBz
Magnetno polje u centru sistema, ad .
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu.
Jedino za rastojanje
ad
magnetno polje između obruča je u najvećem delu homogeno. Za to rastojanje obruči čine Helmholtzov par.
0/ BBz 0/ BBz0/ BBz
ad ad ad
0/ BBz 0/ BBz0/ BBz
ad ad ad
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 63(73)
B. 2013, Januar
Gusto motani solenoiod sa vazdušnim jezgrom, površine poprečnog preseka i dužine S Sl , ima namotaja (beskonačni solenoid). Kroz solenoid protiče stalna struja jačine
NI . Odrediti
a) jačinu magnetnog polja u solenoidu,
b) induktivnost solenoida, c) energiju magnetnog polja pomoću jačine polja, d)
energiju magnetnog polja. pomoću induktivnosti solenoida.
I
S
l
I
S
l
Rešenje
Ampèreov zakon IlBC
0d
NIBklBhBl 02
.cos)cos(0
2
.cos)0cos(
Magnetno polje beskonačni solenoid NIlB 0
l
NIB 0
Energija VHBWm
2
1 VBWm
2
02
1
l
B
C
I
h
Ampèreova kontural
lC
B
I
h
C
B
I
h
Ampèreova kontura
Sl
l
NIWm
2
002
1
S
l
INWm
22
02
1
Fluks kroz jedan namotaj SB
S
l
NI0
Induktivnost solenoida I
NL
l
SNL
2
0
Energija 2
2
1LIWm 2
2
02
1I
l
SNWm
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu
Kod kratkih solenoida magnetno polje van solenoida nije nula! Magnetno polje elementarne kružne strujne konture
2/322
20
))((
d
2d
zza
za
L
NIBz
Magnetno polje na osi kratkog solenoida
L
L
zzza
z
L
NIaB
2/322
20
))((
d
2 I
z
21
zdz
a
Iz
21
zdz
a
210 coscos2
L
NIBz
Integral se rešava smenom
cotazz , 2sin/d/d az
L
NI
20
L
NI0
z
L
NI
20
L
NI0
z
2222
0
)2/(
2/
)2/(
2/
2
1
Lza
Lz
Lza
Lz
L
NIBz
Magnetno polje na osi beskonačnog solenoida je isto duž cele ose!
L
NI
Lza
Lz
Lza
Lz
L
NIB
Lz
0
2222
0
)2/(
2/
)2/(
2/
2
1lim
64(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
B. 2018, Jun
Torusni namotaj čini navoja oko pravougaonog jezgra permeabilnosti N . Debljina jezgra je , a nutrašnji
i spoljašni poluprečnici su i . Odrediti koeficijent samoindukcije i to
d
a ab
a) tačno, uzimajući u obzir da magnetno polje zavisi od rastojanja,
b) približno, računajući polje po srednjoj liniji torusa. c) Uporediti rezultate u slučaju . 2/ ab Pokazati da za tanke toruse, , tačna formula daje
rezultat koji se dobija za solenoid. aba
ab
d
ab
d
Rešenje
Ampèreov zakon IlBC
0d
Magnetno polje beskonačni solenoid
NIlB 0 l
NIB 0
◄
Magnetno polje toroid NIBr 0
2
0
d
rNI
B20
◄
d
r
d
rr
rl 2 , rdS d
Fluks kroz poprečni presek tačno
ab
abdIN
rrdIN
SBb
a
b
a
t lnln2
d2
d 0
◄
srednja linija i poprečni presek
2)(2 ba
l )( abdS
20
dIN
Fluks kroz poprečni presek približno
abab
ababdIN
Sl
INSBp
)(2)(22 0
◄
tačno
abL
ab
IN
Lt lnln 00
◄
0
20
0 2L
dNI
NL
◄
Koeficijent samoindukcije I
NL
približno abab
Labab
IN
Lp
)(2)(20
0 ◄
2ln0 t tačno Kada je 2/ ab
32
0 p približno 2ln
23
p
t
p
t
LL
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu
Taylorov red uopšte
1
1
!
)0()(
n
nn
n
xfxf
1
1)1()1ln(
n
nn
nx
x , 11 x Taylorov red funkcije )1ln()( xxf
Kada 0x
xxxxx ...
32)1ln(
32
61
2
1
ab /4
0/ LLt
pt LL /
0/LLp
61
2
1
ab /4
0/ LLt
pt LL /
0/LLp 0/LLp 0/LLp
Kada je aba aab
aab
ab
ab
1ln)11ln(ln
Koeficijent samoindukcije za tanke toroide
lSN
aabdNLt
22
2
što je induktivnost solenoida poprečnog preseka: )( abdS dužine: al 2
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 65(73)
B. 2013, Oktobar
Prenosna linija sastoji se od dva veoma duga paralelna trakasta provodnika jednakih širina , koja se nalaze na međusobnom rastojanju . Linija je priključena na jednosmerni napon.
hhd
Naelektrisanja su po površinama traka ravnomerno raspoređena i kreću se stalnim brzinama u suprotnim smerovima formirajući tako dva strujna plašta.Odrediti: a) podužnu induktivnost , Lb) podužnu kapacitivnost C . c) Pokazati da je proizvod konstantan. CL
d
h
l
I I
d
h
l
I I
Rešenje
Ampèreov zakon S
0
C
dd SJlB
Magnetno polje strujne ravni (plašt) hJBh S02 SJB 02
1
Magnetno polje između dve ravni SJB 0
Površinska gustina struje
h
IJS
h
IB 0
B
B
SJ
C
S
Am
père
ova
kont
ura
B
B
SJSJ
C
S
Am
père
ova
kont
ura
Energija magnetnog polja
1
V
m VBW d2
1 2
0
h
ldIhld
h
IWm
202
0
0 22
1
Energija (induktora) magnetnog polja 2 2
2
1LIWm
h
ldILI 202
22
1
Mag
netn
o po
lje
Podužna induktivnost h
d
l
LL 0
Gaussov zakon SSESS
d1
d0
Električno polje naelektrisane ravni
0
2
S
ES 02
E
Električno polje između dve ravni
0
E
Površinska gustina naelektrisanja
hl
q hl
qE
0
E
E
Gaussova površina
l
E
E
Gaussova površina
l
Energija električnog polja 1
V
e VEW d2
20 lh
dqWe
2
02
1
Energija (kondenzatora) električnog polja
2 C
qWe
2
2
1
C
q
lh
dq
22
0 2
1
2
1
Ele
ktričn
o po
lje
Podužna kapacitivnost d
h
l
CC 0
Proizvod podužnih karakterustika 200
1
cCL
00
1
c , brzina svestlosti u vakuumu.
66(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
B. 2017, Februar
Kroz dva pravolinijska provodnika, ukrštena pod pravim uglom, protiču stalne struje I . Žičana kontura oblika pravouglog jednakokrakog trougla katete postavljena je tako da pravac hipotenuze zaklapa uglove od a 4/ sa oba provodnika. Teme konture koje je najbliže mestu ukrštanja provodnika nalazi se na rastojanju od oba provodnika (kao na slici). Kontura se od početnog položaja udaljava brzinom u pravcu koji ima hipotenuza. Odrediti indukovanu elektromotornu silu u konturi.
v
v
I
I
aa
v
I
I
aa
Rešenje
Elektromotorna sila – Faradayev zakon
yx vvttttt
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d-
d
d
d
d 212121
Udeo vertikalnog provodnika
a
xSxB )(d)(1
Magnetno polje – Biot – Savartov zakon
x
IxB
1
2)( 0
Površina konture xxh )( , xxxS d)()(d
Fluks
aa
Iln
20
1
Izvod fluksa po pomeraju
a
a
aIln
2d
d 01
a
xvI
xa
Sd
B
a
xvI
xa
Sd
B
B
2/2vvx
Udeo horizontalnog provodnika
a
ySyB )(d)(2
Magnetno polje – Biot – Savartov zakon
y
IyB
1
2)( 0
Površina konture yayh )( , yyayS d)()(d
Fluks
aa
aa
Ilnln
20
2
Izvod fluksa po pomeraju
)(ln
2d
d 202
a
aa
a
aI
yv
a
I
a
y
Sd
B
yv
a
I
a
y
Sd
B
B
2/2vvy
Komponente brzina su jednake
2
2
d
d
d
d 21 v
2
2vvv yx
Indukovana elektromotorna sila
2
2
)(2
20 v
a
aI
Smer indukovane struje za date smerove struja u provodnicima
Udaljavanjem od provodnika magnetno polje slabi. Indukovana ems ima takav smer da se protivi promeni. Indukovana struja u konturi ima smer koji pojačava polje, tj. smer kazaljki na satu.
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 67(73)
B. 2016, Jun
Kvadratna kontura stranice se nalazi između dva neograničeno duga prava provodnika koji su na međusobnom rastojanju . Struja u provodnicima, koji su ustvari deo konture koja se u beskonačnosti zatvara, se menja po zakonu .
aati )(
b 2tIm sin
Odrediti indukivanu elektromotornu silu u kvadratnoj konturi. i to: a) tačno, uzimajući u obzir da polje opada sa rastojanjem od provodnika, približno, smatrajući da je polje u okviru konture konstantno. Proceniti grešku između tačne i približne vrednosti za ab 10 .
~
b
b
a
)(ti
V ~
b
b
a
)(ti
VV
Rešenje
Udeo oba provodnika je isti
ab
B dS2
Površina konture ah , yayS d)(d
Tačan proračun )(yBB
Magnetno polje – Biot – Savartov zakon
y
iyB
1
2)( 0
Sd
)(ti
Bb
b
a
)(ti
y
Sd
)(ti
B
Bb
b
a
)(ti
y
Fluks – tačan izraz b
aba
i
y
ya
iab
b
lnd 00
tfa
i
b
aa
i
00 1ln
b
aft 1ln
Približan proračun const.)( yBB
Magnetno polje – Biot – Savartov zakon
b
iyB
1
2)( 0
Fluks – približan izraz
b
aiy
b
aiab
b
200 d
BS2
pfa
i
b
aa
i
00
b
af p
Indukovana elektromotorna sila
t
ifa
t d
d
d
d 0
tff ili pff
Za tIti m sin)( tb
aa
Im
cos1ln0 tff
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu.
Taylorov red
1
1
!
)0()(
n
nn
n
xfxf
)1ln()( xxf
1
1)1()1ln(
n
nn
n
xx , 11 x
1b
ax ...
3
1
2
11ln
32
b
a
b
a
b
a
b
a
3.0
a5
1.0
a10 b
2.0
)/1ln( baba /
3.0
2.0ba /ba /
a5
1.0)/1ln( ba )/1ln( ba
a10 b
Za 1/ ba ostatak reda može da se zanemari.
Za ab 10 ...100004
1
10003
1
1002
1
10
1
10
11ln
Pro
cena
gre
ške
koja
se či
ni k
ada
se
tačn
a fu
nkci
ja z
amen
i pri
bliž
nom
Za ab 10 1.0pf , 095.01.1ln tf %5100
t
pt
f
ff
68(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
B. 2016, Januar
Kroz prav neograničeno dug provodnik protiče promenljiva struja ,
učestanosti i amplitude , čiji je talasni oblik dat na slici. Žičana
kontura povtšine nalazi se na rastojanju
)(ti
f mI
S Sr od provodnika tako da se može smatrati da je jačina magnetnog polja u okolini konture stalna. Odrediti inukovanu elektromotornu silu u konturi.
Numerički podaci: , A10mI m1r , , 2m01.0S Hz50f
)(timI
0 tTTk
)(timI
0 tTTk
10 k
Rešenje
Fluks BSSBS
d
Magnetno polje – Biot – Savartov zakon
r
iB
1
20
Indukovana ems – Faradayev zakon
t
i
r
S
t d
d
2d
d 0
B
)(ti
r
SB
)(ti
r
S
Jednačina talasnog oblika prava kroz dve tačke )( 1
12
121 tt
tt
iiii
Nastajanje struje )0,0(A , ),( mIkTB T
tI
ki m
1 kTt 0
Nestajanje struje ),( mIkTB , )0,(TC
T
tI
ki m 1
1
1 TtkT
Indukovana ems
TtkTk
kTtk
T
I
r
S m
,1
1
0,1
20
Numerički primer mV12
0
T
I
r
S m
)(t
)(ti
)(t
)(ti
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 69(73)
B. 2016, Oktobar
Kroz neograničeno dug i prav provodnik u trenutku 0t struja poćinje da
nestaje po zakonu . Pored provodnika se nalazi nepomična žičana kontura oblika, dimenzija i položaja kao na slici. Otpornosti konture je
kteIti 0)( , 1const.k
R . Odrediti:
a) zakon promene indukovane struje u konturi,
b)
smer (u smeru kazaljki na satu ili suprtno) indukovane struje.
a
a
a
a
i
B
a
a
a
a
i
B
Rešenje
x
iB
1
20
SBd
kteIti 0)( kiekIt
i kt 0d
d
R
k
tRiin d
d1
Sd
x
0x0x a
bSd
x
0x0x a 0x0x a0x a
b
xbS dd 0
001 ln
2 x
axb
i
1
abx 0 xaS dd 2ln2
01 a
i
Sd
x
0x0x a
bSd
x
0x0x a 0x0x a0x a
b
xxxa
bS d)(d 0
0
0002 ln1
2 x
ax
a
xb
i
2
abx 0 xaxS d)(d )2ln1(2
02
ai
Sd
x
0x0x a
bSd
x
0x0x a 0x0x a0x a
b
xxxa
bbS d)(d 0
0
0003 ln11
2 x
ax
a
xb
i
3
abx 0 xxaS d)2(d )2ln21(2
03
ai
4
321 2ln2
01 a
i
5
215 ai
2
05 5
R
kiin
6
316 )2ln31(2
06
ai
6R
kiin
Smer indukovane struje ima smer kazaljki na satu.
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu.
U slučaju naglog nestanka struje u provodniku ( ) indukovana elemtromotorna sila (struja) može da ima veoma velike vrednosti i to je glavni uzrok skoka varnice prilikom isključivanja uređaja.
1k
t0
kiiin ~
kteIi 0
0kI
0I t0
kiiin ~
kteIi 0
kiiin ~
kteIi 0
0kI
0I
70(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
B. 2017, April
Kroz pravolinijski provodnik protiče promenljiva struja , . Paralelno sa provodnikom, na
rastojanju
ktmeIti )( 1k
x , nalazi se žičana kontura oblika kvadrata, stranice . aKontura se stalnom brzinom udaljava od početnog položaja po pravcu koji je normalan na provodnik. Odrediti elektromotornu silu u konturi
v
a) indukovanu usled promene polja,
b) indukovanu usled kretanja konture.
c) Odrediti odnos indukovanih komponenti.
d)
Numerički podaci: , , A1mI H1k z m1 ax , m/s1v .
v
x xa
B
)(ti
a
x
v
x xaxa
B
)(ti
a
x
Rešenje
vxtt
x
xtt
d
d
d
d
Elektromotorna sila – Faradayev zakon
Statička indukcija Dinamička indukcija
Magnetno polje – Biot – Savartov zakon
x
titxB
1
2
)(),( 0
Fluks S
SB
d xaS dd
Fluks
ax
xx
xa
titx
d
2
)(),( 0
x
axa
titx
ln
2
)(),( 0
Statička indukcija ktms eIk
x
axa
t
i
x
axa
t
ln2d
dln
200
Dinamička indukcija ktmd eIv
axx
aiv
axx
av
x
)(2)(2
20
20
Ukupna indukovana elektromotorna sila
)(ln
2
)()(
20
axx
av
x
axak
tit
Odnos indukovanih komponenti
x
ax
a
axx
v
k
d
s
ln)(
Numerički primer 2ln2
d
s
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 71(73)
B. 2016, Mart
Dve paralelne provodne šine, zanemarljive otpornosti i međusobnog rastojanja nalaze se poprečnom homogenom magnetnom polju jačine a B . Provodnik koji kratkospaja šine ima otpornosr R i pod dejstvom vučne sile klizi bez trenja stalnom brzinom . Odrediti v
a) indukovanu elektromotornu silu, b) vučnu silu koja je potrebna za kretanje provodnika, c) bilans snaga. d)
Numerički podaci: , mT1B 1R , m/s1v , m1.0h
vv
Rešenje
Elektromotorna sila – Faradayev zakon
td
d hBv
t
xhBhx
tBBS
t
d
d)(
d
d)(
d
d
Jačina struje – Ohmov зakon
RI
R
hBvI
Smer struje – Lenzov zakon Smer kazaljki na satu. Magnetna sila
je u ravnoteži sa vučnom silom.
Magnetna sila – Lorentzov zakon BhIFm
R
vhBIhBFm
2)( 1
Električna snaga – Jouleov zakon IPJ
R
hBvPJ
2)(
v
I
mF
0F
0x
A
RB
h
v
I
mF
0F
0x
A
RB
h
Mehanička snaga – rad u jedinici vremena )(
d
dxF
tP mM
R
hBvvFP mM
2)(
Numerički primer mV1.0 , W10 JM PP
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu.
U jednom trenutku ( ) vučna sila prestane da deluje, 0t 00 F . Klizač nastavlja kretanje po inerciji sve dok
ga magnetna sila ne zaustavi. Neka je masa klizača . m
Ravnoteža sila 0maFm R
tvhBFm
)()( 2
1
Jednačina kretanja 0d
)(d)(
)( 2
t
tvmtv
R
hB 0)(
)(
d
)(d 2
tvmR
hB
t
tv 0
d
dCv
t
v
tCtv
tvd
)(
)(d 1)(ln CCttv
za 0t je vtv )(
Rešavanje diferncijalne jednačine
mR
hBC
2)(
vCttv ln)(ln Ct
v
tv
)(ln Ctvetv )(
Konačno rešenje tmR
hB
evtv
2)(
)(
)()( thBvt )()( tvR
hBtI
Električna energija 2
0
)(2
22
0
2
2
1d
)(d(t)
2
mvtevR
hBtIRW
tmR
hB
Kinetička energija
72(73) D. M. Petković, Elektrotehnika
B. 2015, Septembar
Pravougaona kontura, dimenzija i mase , kroz koju protiče struja stalne jačine
Lh mI slobodno visi tako da se delimično nalazi u poprečnom
homogenom magnetnom polju jačine B . Odrediti
a) jačinu struje tako da kontura lebdi,
brzinu pada konture kada se struja prekine (otpornost konture je R ).
I
B
G
h
L
I
B
G
h
L
Rešenje
Sila težine Newtonov zakon gmG
zgg ˆ
Magnetna sila Loretzov zakon BlIF
dd xBB ˆ
x
z
yx
z
y G
B
G
G
B
Magnetna sila leva ivica yIhBF ˆ
yxz ˆ)ˆ(ˆ
Magnetna sila desna ivica yIhBF ˆ
yxz ˆ)ˆ(ˆ F
dlI
d
B
F
d
lI
d B
F
dlI
d
B
F
dlI
d
B
F
d
lI
d B
F
d
lI
d B
Magnetna sila gornja ivica zILBF ˆ
zxy ˆ)ˆ(ˆ
Magnetna sila donja ivica, 0B 0ˆ
zILBF zxy ˆ)ˆ(ˆ
0B
lI
d F
d
F
d
lI
d
B
0B
lI
d F
d
0B
lI
d F
d
F
d
lI
d
B
F
d
lI
d
B
Ravnoteža sila 0F
0ˆ)( zmgILBF
LBmgI /
Ovaj deo zadatka nije tražen na ispitu.
Kretanjem konture na dole indukuje se struja takvog smera da magnetna sila podiže konturu. Priraštaj fluksa je negativan i indukkovana ems se protivi toj promeni.
Ravnoteža sila 0F
gmamF
////
F
G
I
B
////
F
G
I
B
Indukovana struja i elektromotorna sila
td
d )(
d
dhL
tB LBv ,
R
LBvI
Magnetna sila ILBF R
vLBF
2)(
Jednačina kretanja (ODJ prvog reda) mg
t
vmv
R
LB
d
d)( 2
gt
v
mR
LBv
d
d)( 2
mR
LBC
2)(
Homogeni deo 0d
dCv
t
v 1lnln CCtv CteCv 1
Varijacija konstante )(11 tCC CtCt CeCet
C
t
v 11
d
d
d
d
Nehomogeni deo (konstanta ) 1C gCeCCeCe
t
C CtCtCt 11
1
d
d 21 Ce
C
gC Ct
Opšte rešenje (konstanta ) 2C CtCtCtCt eC
C
geCe
C
geCv
221 za 0t
je 0v
Konačno rešenje
C
gC 2 Cte
C
gv 1
mR
LBC
2)(
Rešeni zadaci sa ispita, kolokvijuma i testova 73(73) Studenti Nemanja Bogdanović (11028), Stefan Kostadinović (13108), Milica Cvetković (13035), Đurić Stefan (16174) i Đorđević Jovana (16158) su uočili greške koje su u ovom tekstu već ispravljene.
Hvala. DMP
Literatura
[1] Dejan M. Petković, Dejan D. Krstić: Elektrostatika – treće izdanje, Fakultet zaštite na radu, Niš, 2014.
[2] Dejan M. Petković: Elektromagnetizam, Fakultet zaštite na radu, Niš, 2016.