elektrostatika 2

5/21/2018 Elektrostatika 2

1/16

PREDAVANJE2 (PROF. D.KANDI,MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 1

1.Gausov zakon(osnovni zakon elektrostatike)

Gausova zakon je osnovni zakon elektrostatikih poljau vakuumu, koji omoguava neposred-no i veoma jednostavno odreivanje raspodele elektrinog polja i potencijala u nekim specijalnim,ali vanim sluajevima elektrostatikih sistema visokog stepena simetrije.

Pretpostavimo da zatvorena povr S, orijentisana prema spoljanosti obuhvaenog domena,obuhvatak punktualnih naelektrisanja Qi( k,i 1 ), m naelektrisanih povri Sjpovrinske gustineelektriciteta j( m,j 1 ) i nnaelektrisanih domenaVpzapreminske gustine elektriciteta p( n,p 1 )

koji se svi nalaze u vakuumu. Ukupno naelektrisanje Q koje obuhvata povrSje:

Q Q S V i

k

Vp

n

Sj

m

zz

i j j p pd d

pj1 11

.

Gausov zakon(integralni oblik):Izlazni fluks vektora jaine elektrinog polja u vakuumu,

kroz bilo koju zatvorenu povrjednak je koliniku ukupne koliine elektriciteta Q obuhva-

ene tom povri i dielektrine konstante vakuuma0. Veliina tog fluksa ne zavisi od usvoje-nog oblika povri i poloaja njome obuhvaenih naelektrisanja.(Dokaz je u udbeniku !).

E S z

dS

QGausov zakon

0.

Ako su elektrina optereenja kontinualno raspodeljena unutar domenaVomeenog zatvore-

nom povriSi ako je=(x,y,z) lokalna vrednost zapreminske gustine kontinualno raspodeljenihoptereenja unutar tog domena, tada se Gausov zakon formulie na sledei nain:

E S E S E z z zd d

Gausov zakon

, d div d ,

Teorema Gaus-Ostrogradskog

S V S V

V V1

0

odakle se dobija pretpostavljajui daV0, tj. da se domen Vkontrahuje oko bilo koje svoje take:

Gausov zakon(lokalni, ili diferencijalni oblik):U svakoj taki elektrinog polja u vakuumu,

koje stvaraju kontinualno raspodeljena naelektrisanja zapreminske gustine vai lokalna,odnosno diferencijalna relacija 0/div E .

Iz lokalnog oblika Gausovog zakona zakljuuje se da linije elektrinog poljaizviru iz taakau

kojima je zapreminska gustina naelektrisanja div E0, a da poniru u takama gde je tagustina div E0Izvori i ponori su takeprekidalinija elektrinog polja. Ako je u nekojtaki polja=0 (div E= 0), u njoj je linija polja neprekidna. Dakle, linije elektrinog polja suneprekidne samo u vakuumu izmeu taaka u kojima se nalaze naelektrisanja, dok se u supstanciji

prekidaju, bilo naslobodnim,bilo navezanim indukovanim naelektrisanjima. Slobodna naelektrisa-

nja na naelektrisanim metalnim povrima i telima mogu se slobodno premetati. Meutim, vezanaindukovana naelektrisanja, nastala polarizacijom supstancije pod uticajem stranog elektrinog po-

lja,tj. putemelektrostatike indukcije, trajno ostaju zarobljena uindukovanim elektrinim dipolima.

Iz Gausovog zakona u lokalnom obliku i relacije E= -gradV(x,y,z) generiu se Poasonova iLaplasova jednaina koje reiraju raspodele potencijala u polju kontinualno raspodeljenih opteree-

nja u vakuumu, lokalno okarakterisanih zapreminskom gustinom naelektrisanja :


2/16


2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

0

( ); 0 ( )V V V V V V

Poasonova jednaina Laplasova jednainax y z x y z

2.Metalni provodnici u elektrostatikom polju

Kodusamljenogmetalnog tela proizvoljnog oblika koje se nalazi u vakuumu, ili u bilo kojem

idealnom dielektriku, a naelektrisanog pozitivnom (sl. 1a) ili negativnom koliinom elektricitetaQ(sl. 1b) elektricitet se u stanju elektrostatike ravnotee rasporeuje iskljuivo na graninoj povriS.Takoe, tangencijalna komponenta elektrinog polja na povri tela mora biti ravna nuli.

Posmatrajmo usamljeno, elektrino neutralnometalno telo proizvoljnog oblika (na sl. 1c pri-

kazano crtkastim linijama), koje je uneto u homogeno elektrino poljeEu vakuumu (sl. 1d)ili bilokojem idealnom dielektriku.Posle unoenja posmatrano telo i dalje ostaje elektrino neutralno, aliusled elektrostatike indukcije u njemu dolazi do razdvajanja optereenja koja seneravnomernorasporeuju po povi tela. Povrinska gustinaindukovanih optereenjaitakva je da indukovano

polje Eikoje ona stvarajuu metalnom telu uvek ponitava spoljanje (strano) polje E(tj. E+Ei=0).Rezultujue polje izvan tela dobija se superpozicijom polja Ei Ei, usledega se modifikuje spektarhomogenog spoljanjeg poljaE(sl.1d). Tangencijalna komponenta polja na povri tela ne postoji.

Kod izolovanog sistema metalnih tela u vakuumu ili u idealnom dielektriku, od kojih su neka

naelektrisana, dok druga to ne moraju biti bez obzira da li je taj sistem izloen dejstvu

spoljanjeg homogenog ili nehomogenog elektrinog poljau stanju elektrostatike ravno-

tee ne postoji elektrino polje u unutranjosti niti njegova tangencijalna komponenta na po-vrima tela. Linije elektrinog polja u dielektriku uvek su normalne na granine povri tela.

h

S 0Naelektrisanisloj (Q > 0)

S

Metalno telo

cS

S

h

0Naelektrisanisloj (Q < 0)

S

Metalno telo

cS

S

S

S

E 0

Polo`aj u koji }e biti unetoelektri~no neutralno metalno telo

0

+--

++++

+++--

---

--

Metalno telo

Indukovana naelektrisanja

Modifikovano elektri~no polje

(a)

(b)

(c)

(d)

A B

C

D

E

SE

E

Sl. 1


3/16


Principi raspodele naelektrisanja na povrima metalnih tela su sledei:

U stanju elektrostatike ravnotee naelektrisanja se na metalnim telima rasporeuju uvek

tako da energija rezultantnog elektrinog polja bude minimalna(Tomsonova teorema).

Kada se u elektrino polje nepokretnih naelektrisanja i nepokretnih naelektrisanih metalnihtela unese neko elektrino neutralno metalno telo, ili telo na potencijalu nula, ukupna energi-

ja polja se smanjuje.

Sadaemo pomou Gausovog zakona odrediti intenzitet elektrinog polja na povri metalnogtela u vakuumu kod koga jepoznata raspodelapovrinske gustine naelektrisanja sl. 1a i 1b.

Neka jeScizabranacilindrina Gausova povrsa osnovicom vrlo male povrineS u fizikompogledui izvodnicom upravnom na graninu povrStela, iji deo duineh koji se nalazi u vaku-

umu, u graninom procesu tei nuli (h0). Iz Gausovog zakona tada sledi:

lim d

kada je > 0

kada je < 0hSc

E S

E S

S

E S

R

ST

U

VW

0 0E S E S E S

, . l q

Iz prethodne relacije sledi da je u oba sluaja jaina elektrinog poljaEu vakuumu u takama na

graninoj povri metalnog tela odreena kaoE=0. Iz iskustva je poznato da je na metalnim teli-ma povrinska gustina naelektrisanja najvea na delovima sa najmanjim poluprenikom krivine, ato suiljci. Odatle je jasno da e upravo na iljcima elektrino polje imati najvei intenzitet, to za

posledicu ima brojne primene u raznim oblastima tehnike (gromobrani, vazduhoplovstvo, itd.).

3. Neke primene Gausovog zakona

Elektrino polje i potencijal usamljene naelektrisane metalne sfere u vakuumu

Na sl. 2a i 2b prikazane su usamljene metalne sfere poluprenikaRkoje se nalaze u vakuumu

i naelektrisane su koliinama elektricitetaQ0, odnosnoQ0, respektivno. Zbog sferne simetrijesistema, elektricitet se u oba sluaja rasporeuje po povrima sferaravnomernosa povrinskom gu-

stinom naelektrisanjaQ/(4R2). Elektrino polje ne postoji unutar sfera, a izvan njih ono je zbogsferne simetrije sistema radijalnogkaraktera. Neka jeS usvojena sfernaGausova povrpolupre-nikarRkoncentrina sa datom sferom i orijentisana prema spoljanosti obuhvaenog domena.

ES 0

Q > 0

R

S

r

Q < 0

(a) (b)

R

r

0E

E E

E

E E

0 0

E

+++

++

+

++

++

+ + +++

++

++

++

+++

---

--

-

-

-

--

-- - -

- -

-

-

-

--

---

dSdS

Sl. 2


4/16

PREDAVANJE2 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD)

Poto su u svakoj taki povriSvektori E i dSistog pravca i smera (sl. 2a), fluks elektrinog polja Ekroz povrSi njegov intenzitet E= u takama na toj povri su:

E S FHG

IKJ z zd dS dS S SE E S r E

Q

E

Q

r

R

r r R4 4

2

0 02

0

2

, .

Poto su u svakoj taki povri Svektori Ei dS istog pravca, ali suprotnog smera (sl. 2b), flukselektrinog polja Ekroz povrSi njegov intenzitetEu takama na toj povri su:

E S FHG

IKJ

z zd d dS S S

E S E S r E Q

E Q

r

R

rr R4

4

2

0 02

0

2

|

, .

Ako je r-vektor poloaja taaka izvan sfere u odnosu na njen centar, onda se iz prethodnih re-

lacija zakljuuje da je elektrino polje u vakuumu E=Qr/(40r3) (r=r R isto kao da ga generie

usamljeno punktualno naelektrisanje Q postavljeno u centar sfere.

Potencijal takeXsa vektorom poloaja rXu odnosu na centar sfere (rX=|rX| R) ireferentnutakuusvojenu u beskonanosti, dat je izrazom:

X

X 3 2

0 0 X 0 X

dd

4 4 4XX r r

Q Q dr Q RV

r r r r

r rE r .

Iz poslednje relacije zakljuuje se da sve take na rastojanju Rr od centra sfere pripadaju istoj

ekvipotencijalnoj povri potencijala V=Q/(40r)=R2/(0r). Poto u sferi nema elektrinog polja,

tadasve njene takepripadaju ekvipotencijalnom domenu potencijala V=Q/(40R)=R/0, rauna-tom u odnosu na referentnu taku u beskonanosti. Za metalnu sferu u vakuumu, radijusaR=1 [cm]i naelektrisanu koliinom elektriciteta Q=0,1 [nC], na sl. 3 i 4 prikazane su raspodele jaine polja

E=E(r) i potencijala V=V(r), respektivno, u funkciji rastojanja r taaka od centra sfere, pri emu je0 10

-9/(36) [F/m].

[cm]1,0

[cm]14 2

0

rE

r,r

QE

Sl. 3


5/16


[cm]1[V],90

[cm]14

0

rV

r,r

QV

Sl. 4

Elektrino polje i potencijal usamljenog neogranienog pravog metalnog cilindra u vakuumu,

krunog poprenog preseka naelektrisanog konstantnom povrinskom gustinom elektriciteta

Na sl. 5a i 5b prikazan je naelektrisan metalni cilindar krunog poprenog preseka zajedno sa

spektrom odgovarajueg elektrinog polja, u sluajevim kada je 0 i kada je 0, respektivno.U unutranjosti cilindra ne postoji elektrino polje, dok u vakuumu linije tog polja moraju biti u-

pravne na graninu povrSccilindra. Posledica aksijalne simetrije sistema jeste i aksijalna simetri-

nost spektra elektrinog polja u vakuumu. Tada se Gausova povrS0 S1S2moe usvojiti u obli-ku koaksijalnog cilindra krune osnovice poluprenikar(rR) i visineh.

h h

R R

r r

0

(a) (b)

E

E E

E

E E

E

E

E

EE

E

dS0

dS2

dS1

S0S0S1 S1

S2 S2

SC

dS1

dS2

Sl. 5

Primenom Gausovog zakona na cilindar prikazan na sl. 5a ( 0) dobija se:


6/16


E S E S

z zd d d d

0 1 2S S S S S S

E S E S E S E rh Q Rh

r R

0 0 0

0 0 0 0

0 0

2 2

, ;

0

; 0 [V/m],R

E , r R E r R

r

.

Primenom Gausovog zakona na cilindar prikazan na sl. 5a ( 0) dobija se:

E S E S

zd d d d0 1 2S S S S S S

E S E S E S E rh Q Rh

r R

0 0 0

0 0 0 0

0 0

2 2

;

0 0

; 0 [V/m],R R

E , r R E r Rr r

.

Ako je r-vektor poloaja izvodnice neke koaksijalne cilindrine povri u elektrinom polju uodnosu na osu metalnog cilindra odreen pravcem i normalnim odstojanjem od ose metalnogcilindra, tada je zarR vektor jaine elektrinog polja u takama dute izvodnice dat izrazom

E=[R/(0r2)]r, dok je zarR,E=0.

Potencijal bilo koje take Xna omotau neograniene cilindrine povri krunog preseka i

radijusarX R, koaksijalne sa metalnim cilindromu sluaju kada sereferentna taka(npr.Y)nalazi na rastojanjurYrXod ose cilindraodreen je u oba sluaja sa sl. 5a i 5b izrazima:

Rrr

rR

r

drR

r

RV

r

r

r

r

Y

X

XX

Y

00

2

0

X ,lnd

dY

X

Y

X

rrrE ; .,ln X

Y

0

X RrR

rRV

Iz prethodnih relacija zakljuujemo da se referentna takaY ne moe nalaziti u beskonanosti, ali dase moe usvojiti da ona bude npr. na omotau cilindra (rY=R). Tada je:

Rrr

RR

r

rR

r

lR

r

RV

R

r

r

r

r

r

Y

X

XX000

2

0

X ,lnddd

d

X

Y

X

Y

X

lrlE ;

V=0 [V], rXR,

gde je usvojena radijalna putanja integracije odXdoYza koju je(r, dl)=i dl= -dr. Veliina Q*==2Rpredstavlja podunu gustinu naelektrisanja cilindra. Kada je referentna takaYna omotaucilindra, arvektor poloaja taaka u polju u odnosu na njegovu osu (r=r), tada je:

2

0

, ( , )2

Q*R r R

r

r

E E 0 ;

0

ln ,2

Q* RV r R

r

(V=0 [V], r R).

Za takav jedan cilindar kod koga jeR=1 [cm], a poduna gustina naelektrisanjaQ*=1 [nC/m],

na sl. 6 i 7 prikazane su funkcijeE=E(r)=E iV=V(r), respektivno, gde je0 10-9/(36) [F/m].


7/16


Sl. 6

Sl. 7

Elektrino polje i potencijal usamljenog sfernog domena vakuumu homogeno naelektrisanog

sa konstantnom zapreminskom gustinom elektricitetaOvdeemo pretpostaviti da je naelektrisanjeQhomogeno rasporeeno u vakuumu (sl. 8) unu-

tar sferne povri poluprenikaRsa zapreminskom gustina elektriciteta=Q/(4R3/3). Za raspodeluelektrinog poljaEi potencijalaV(r) dobijaju se sledei rezultati (videti izvoenje u udbeniku !):

3

3 3

0 0 0 0

, ; , ;3 4 4 3

Q Q Rr | | R r | | R

R r r

E r r r E r r r

2

20 0

) (3 ), ; ( ) , ,

8 4

Q r QV r r R V r r R

R R r

gde jervektor poloaja taaka u odnosu na centar homogeno naelektrisanog sfernog domena.


8/16


(a) (b)

S S

R RQ > 0 Q < 0

r r

E

E

E

E

E

E

E

E

0

dS2

dS1 dS1

S1 S1

dS2

S2 S2

r1 r1

r2 r2

Sl. 8

Za homogeno rasporeeno naelektrisanjeQ=0,1 [nC] u vakuumu u sferi poluprenika R=1[cm], na sl. 9 i 10 prikazane su funkcijeE=E(r)=|E| iV(r), respektivno, gde je010

-9/(36) [F/m].

Sl. 9

Sl. 10


9/16


Elektrino polje homogeno naelektrisanih ravni u vakuumu

Linije elektrinog polja usamljenih homogeno naelektrisanih ravni u vakuumu (sl. 11a i 11b)moraju biti normalne na te ravni, odakle se zakljuuje da svaka od ravni predstavlja jednu ekvipo-tencijalnu povr. Zbog simetrije sistema, sve druge ekvipotencijalne ravni moraju biti paralelne sa

posmatranim ravnima, a intenzitet elektrinog polja mora biti isti u takama podjednako udaljenimod odgovarajue ravni. Na sl. 11a i 11b crtkastim linijama predstavljene sucilindrinepovriSc=S0S1S2sa osnovicama konane povrineS=S1=S2=|S1|=|S2 | i izvodnicama konane duine, kojesu paralelne linijama polja i upravne na odgovarajuu naelektrisanu ravan koja te izvodnicepolovi.Intenzitet elektrinog poljaEisti je u svim takama na osnovicama cilindara, tj.E=E1=E2=EE,gde su Ei E vektori jaine polja na osnovicamaS1iS2, respektivno. Poto su vektorski elementidS0povri omotaaS0cilindra upravni na linije elektrinog polja, to jeflukspolja kroz taj omotaravan nuli.

Homogeno naelektrisanaravan u vakuumu

E2

E1

Homogeno naelektrisanaravan u vakuumu

E2

E1

Dve homogeno i raznorodno naelektri-sane, paralelne ravni u vakuumu

E

(a) (b)

(c)(1) (2)

E

1

2

-polje ravni (1)

-polje ravni (2)

(I) (III) (II)

dEI

EII

=0

EIII=0

dS0dS0 S0 S0

S1 S1 S2

S2

Sl. 11

U sluaju kada je 0, primenom Gausovog zakona na povrSc(sl. 11a), pokazuje se da jeintenzitet elektrinog poljaEove naelektrisane ravni isti u svim takama polja:

E S E S E S E S E S E S

S S S S S S

S S

E S E S E S E S E S S

E

c

d d d d d d

d d

0 1 1 2 2 1 1 2 2z z z z

z z

0 1 2 1 2

1 2

0

1 1 2 2 1 1 2 2

0 0

22

.

U sluaju kada je 0, primenom Gausovog zakona na povrSc(sl. 11b), pokazuje se da jeintenzitet elektrinog poljaEte naelektrisane ravni, takoe, isti u svim takama polja:

E S E S E S E S E S E SS S S S S S

S S

E S E S E S E S E S S

E

c

d d d d d d

d d

0 1 1 2 2 1 1 2 2z z z z

z z

0 1 2 1 2

1 2

0

1 1 2 2 1 1 2 2

0 0

22

|.


10/16


Zahomogenoiraznorodnonaelektrisane paralelne ravni (1) i (2) u vakuumu (sl. 11c) sa povr-

inskim gustinama naelektrisanja ( ), na osnovu principa superpozicije zakljuujemo da sepolja tih ravni ponitavaju u oblastima I i III, tj. da je EI=EIII=0, dok je u oblasti II rezultantno poljehomogeno i orijentisano od pozitivno prema negativno naelektrisanoj ravni. Intenzitet polja u oblas-

ti II jeEII=2E=/0.

Neka je d(d=d)orijentisano rastojanjeizmeu homogeno naelektrisane ravni (1) na potenci-jaluV1i paralelne homogeno naelektrisane ravni (2) na potencijalu V2mereno u pravcu i smerulinija elektrinog polja (sl. 11c). Razlika potencijala tih ravni, tj. napon izmeu njih, po definiciji je

U12=V1-V2=EIId=EIId. Dakle, intenzitethomogenogelektrinog poljaEIIje kolinikmodula razlikepotencijalataaka na istoj liniji polja i njihovog meusobnog rastojanja d.

Kada ravni na sl. 11c postajukonaneplanparalelne ravne povri lineinih dimenzija znatnoveih od njihovog meusobnog rastojanjad, tada se moe smatrati da elektrino polje i daljeprak-tinone postoji u oblastima I i III, a da je u oblasti II onopriblino homogenozbog pojaveivinog

efekta. Taj efekat u ovom sluaju izaziva pojavu nehomogenosti elektrinog polja i zakrivljavanjelinija polja u blizini obodakonanihplanparalelnih naelektrisanihpovri(1) i (2).

4.Elektrini dipoli

Elektrini dipol je sistem od dva punktualna naelektrisanja Q (Q> 0)i-Q koja se nalaze na

rastojanju d. Dipol karakterie elektrini momentp=Qd, gde je dvektor poloaja pozitivnog

naelektrisanja Q u odnosu na negativno -Q(d=d)i zove se i orijentisana duina dipola.

Stranoelektrino polje usled indukcije izaziva u dielektrinojsupstanciji polarizaciju moleku-la. Zbog toga se polarizovana supstancija u elektrinom pogledu moe predstaviti ekvivalentnimmnotvomindukovanih dipola u vakuumukoji osciluju oko ravnotenih poloaja sa amplitudama i

frekvencijama koje zavise od temperature sredine.

Neka se dipolorijentisane duinedi elektrinog momentap=

=Qdnalazi se uhomogenomelektrinom polju Eu vakuumu(sl. 12). Kulonove sile koje deluju na naelektrisanjaQi -Qre-

dom su F1=QEi F2= -QE, a njihovi momenti u odnosu nabilo kojutakuO' u polju suM1=Q(r1 E) i M2= -Q(r2 E).Kako jeF1+F2=0i M=M1+M2=Q(r1-r2) E=Qd E=pE,to jeM=M=pEsin, gde jep=p=Qd. Odatle se zakljuuje:(a) Ako se dipol nae u stranomhomogenomelektrinom po-ljuEna njega nee delovati nikakva mehanika sila, alie se

pojaviti mehaniki momentM=pEkoji tei da dipol posta-vi u pravcu i smeru polja.MomentMje invarijantan u odnosu

Sl. 12 na izbor referentne takeO' za koju se odreuje, a rotacija di-

pola za ugaou naznaenom smeru odvija se oko oseOO1upravne na ravan crtea i orijentisaneod posmatraa (to je predstavljeno simbolom """odlazea strela"), tako da se vrhovi vektorapi Enajkraim putem poklope.

(b) Neka je potencijal stranog polja na mestu naelektrisanjaQ,V+, a na mestu naelektrisanja -Q,V-.

Potencijalna energija dipola Wdu stranom elektrinom poljuEjednaka je radu kojispoljanje sileizvre premetajui dipol, tj. naelektrisanjaQ i -Qiz beskonano udaljenih taaka nultog potencija-la, u take gde se ta naelektrisanja nalaze na sl. 12 (PREDAVANJE 1, str. 14). Dakle, imamo:

W Q V V Q V

d Q E d Q p E d+

d( ) ( ) ( ) cos

E d p E ,

E

Dipol u elektri~nom homogenom polju

Q

-Q

d

V

V

+

-

r1

r2

F1

F2

O'

OO1M


11/16


gde jeEd-komponenta stranog polja Ena mestu negativnog naelektrisanja -Q, raunata u pravcu i

smeru orijentisane duined. U posmatranom sluaju jeWd0,to znai da je pri postavljanju dipo-la u poloaj na sl. 12 rad spoljanjih sila negativan, tj. da su zapravo Kulonove (elektrostatike) silete koje su izvrile (pozitivan) rad u tom procesu na raun ukupne energije elektrostatikog sistema.

(c) Meutim, kada se dipol nae u stranomnehomogenomelektrinom polju Ena njega pored me-

hanikog momenta deluje i sila F=grad(pE) (izvoenje ove relacija dato je u udbeniku). Ovakvoponaanje dipola u nehomogenom elektrinom polju koristi se kod jonizacionih preiavaa vaz-duduha (tzv. elektrostatikih precipitatora; izgled i rad ovih precipitatora opisani su u udbeniku).

Posmatrajmo usamljeni dipolu vakuumu koji se ne nalaziu stranom elektrinom polju, vega sm stvara (sl. 13).Potencijal i elektrino polje koje ovaj dipol stvara u takiXdati su relacijama:

X

O-Q

Qd

r

0

, ,

2

r d

r d /

r d

Vr

Q Q

1

40

0

3

p rp d, , ;

E p r r p

LNM

OQP

1

4

3

0

5 3( )

r r.

Sl. 13

5.Dinamika elektrona u elektrostatikom polju

Posmatrajmo vertikalan otklonski elektrostatiki sistem na sl. 14 koji obrazuju dve planpara-lelne metalne ploe na rastojanjudznatno manjem od njihovih lineinih dimenzija. Ploe su priklju-ene na konstantan naponUizanemarujui ivini efekat, elektrino polje izmeu ploa praktino e

biti homogeno sa intenzitetomE=U/d.

KA

V0

d

D

U > 0

x-osa

y-osa

0

L

M

P

Fluorescentnizastor (ekran)

0'

vE

0

Elektronska termoemisija v

/ 2 / 2

Sl. 14

U otklonski sistem ulee elektron u pravcu i smerux-ose (koordinatni sistemx0yje u ravni

crtea) brzinomv0(v0


12/16


pri brziniv0bude priblino jednaka njegovoj masi u mirovanjum0(mm0v0


13/16


Take tela pripadaju ekvipotencijalnom domenu potencijalaV. Raspodelu polja Ei potencijala utakama izvan tela reiraju relacije poznate izPREDAVANJA1. Ako se ukupno naelektrisanjeQtela

promenixputa (x-konaan, realan, nenegativan broj),tj. postaneQ'=xQ, tada vektor jaine poljaEutakama izvan tela ostaje isti po pravcu i smeru, ali se prema Gausovom zakonu njegov intenzitet,takoe, promenix puta, dok u unutranjosti tela i dalje nema polja. Na povri tela intenzitet polja

postajeE'=xE=x||/0, to znai da se i povrinska gustina naelektrisanja na telu promenix puta ipostane'=xOdatle se lako zakljuuje i da se raspodela potencijala u svim takama polja prome-nix puta, tako da potencijal tela postajeV'=xV. Poto je na osnovu prethodnogQ'/V'=Q/V, to smodoli do zakljuka da je potencijalV usamljenogmetalnog tela direktnoproporcionalannjegovomnaelektrisanjuQ. Pozitivna veliinaC=Q/V, koja ne zavisi ni odQ, ni odV, vejedino od oblika idimenzija tela, zove seelektrina kapacitivnost tela.Jedinica zakapacitivnostjeFarad[F]. Videe-mo docnije da kada se naelektrisano metalno telo nalazi u nekom dielektriku, a ne u vakuumu, tadakapacitivnost tela,osim od oblika i veliine tela, zavisi takoe i od osobina dielektrika kao sredine.

Potencijal usamljene metalne sfere poluprenika R u vakuumu, naelektrisane koliinom elek-

triciteta Q je V=Q/(40R)u odnosu na referentnu taku u beskonanosti. Kapacitivnost te

sfere prema prethodnom je C=40R, gde je -9/(36) [F/m]. Za kapacitivnost Zemljekao provodne sfere srednjeg poluprenika R=6 370 [km]izraunava se CZ708 [F].Kapa-citivnost relativno velike usamljene metalne sfere poluprenika R=90 [cm]u vakuumu, vrlo je

mala, svega oko100 [pF].

Ako se u vakuumu obrazujesistemoddvametalna tela 1 i 2 proizvoljnog oblika, naelektrisa-

na koliinama elektricitetaQ1=Q> 0 iQ2= Q(sl. 15a i 15b) do potencijala V1i V2, respektivno,tada se u prostoru oko tih tela formira elektrino polje. Napon, tj. razlika potencijala tih tela je:

U U V V

X

X

z12 1 21

2

E ld > 0,

gde je putanja integracijeproizvoljna, odbilo kojetakeX1na telu 1, dobilo kojetakeX2na telu 2.Ako u blizini tih tela ne postoje drugi provodnici ili naelektrisanja, linije polja polaze sa pozitivno

naelektrisanog tela, zavravaju se na negativnom i upravne su na povrima tela.

1

2

V1Q

V2

-Q

EU

dlQ

V1

-Q dl E

U

(a) (b)

V2

1

2

Sl. 15

Sistem od dva odvojena metalna tela, ili dve odvojene grupe meusobno povezanih metalnih

tela proizvoljnog oblika zove se elektrini kondenzator, a sama tela, odnosno povezane grupe,zovu se elektrode. Elektrode se mogu nalaziti, ili u vakuumu, ili u nekom drugom dielektriku.

Poto kod kondenzatora, takoe, vladaju linearni odnosi izmeuQ, E,iV, to se i kondenza-tori na osnovu prethodnog mogu okarakterisatipozitivnomfizikom veliinom definisanom kao:

C QU

QV V

Q

X

X:

d

z1 21

2

E l

,


14/16


koja se zoveelektrina kapacitivnost kondenzatora. Putanja integracije u prethodnoj relaciji je pro-

izvoljnaodbilo kojetakeX1na elektrodi 1, dobilo kojetakeX2na elektrodi 2.

Kapacitivnost kondenzatora je funkcija oblika, dimenzija i meusobnog poloaja elektroda,

kao i osobina dielektrika u kome se elektrode nalaze. Jedinica za kapacitivnost je Farad[F].

Problem odreivanja kapacitivnosti kondenzatora sa elektrodama proizvoljnog oblika svodi sena odreivanje raspodele potencijala u elektrinom polju. Kod kondenzatora sa elektrodama najjed-nostavnije geometrije (ploast, sferni i cilindriannajee se sreu u praksi), kapacitivnost jemogue odrediti i elementarnim metodama, toe biti pokazano. Inae, za vrlo velike radne naponenajee se koriste kondenzatori sa vakuumom, ili kvalitetnom keramikom kao dielektricima.

Sferni i cilindrini kondenzatori sa vakuumskim ili vazdunim dielektrikom ponekad se koris-te kao standardi kapacitivnosti, poto je njihovu kapacitivnost mogue tano odrediti na osnovu di-

menzijauz dodatak tzv. zatitnih prstenova za smanjenje uticajaivinog efekta.

7.Odreivanje kapacitivnosti kondenzatora sa elektrodama specijalne geometrije

(a)Ploast ili ravan vakuumski kondenzator

Na sl. 16a prikazan je ploast vakuumski kondenzator sa elektrodama u obliku planparalelnihmetalnih ploa 1 i 2 povrineSpostavljenih na odstojanjudi naelektrisanih koliinama elektrici-

tetaQ(Q> 0). Ako se pretpostavi da jed=|d| znatno manje od lineinih dimenzija ploa, tada semoe se smatrati da je povrinska gustina naelektrisanjana unutranjim povrimaploa praktino

konstantna i jednakaQ/S( > 0), da elektrino polje postoji samo u prostoru izmeu ploa ida je ono homogeno sa intenzitetomE=|E|=/0=Q/(0S) (ivini efekat se zanemaruje). Neka jeV1

potencijal ploe 1 sa naelektrisanjem Q, aV2potencijal ploe 2 sa naelektrisanjem -Q. Kod odre-ivanja naponaUizmeu ploa moe se usvojiti bilo koja putanja integracije,od bilo koje takeX1na elektrodi 1 do bilo koje takeX2na elektrodi 2. Meutim, kada se usvoji da se putanja integraci-

je po pravcu i smeru poklapa sa linijama polja, dobija se:

U=V1-V2= E lz dXX

1

2

=Ed=Ed=(d)/0=(Qd)/(0S) C=Q/U=0S/d.

Egzaktno reavanje problema raspodele polja kod ploastog kondenzatora, gde bi se vodio raun i oivinom efektu, skopano je sa velikim tekoama i potrebom za primenom specijalnih numerikihmetoda iz matematike. Na sl.16b prikazana je raspodela potencijala u polju ploastog kondenzatora.

++ -

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

E

dQ V, ,

1 Q V, ,- 2

X1

X2dl

U V V 1 2

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

++ -

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

E

d

V x V Ud

x( ) 1

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

x osa

0 d(a) (b)

V2V

1

Mogu}a putanjaintegracije

0 0S

S1 2

Sl. 16


15/16


(b)Sferni vakuumski kondenzator

Na sl. 17 prikazan je sferni vakuumski kon-denzator sa elektrodama 1 i 2 u obliku metalne

sfere i tanke, metalne, koncentrine sferne lju-

ske, respektivno. Njegove elektrode mogu bitii dve tanke, metalne, koncentrine sferne ljus-ke. Spoljanji poluprenik elektrode 1 jeR1, aunutranji poluprenik elektrode 2 jeR 2(R1 0 iQ2= -Qdo potencijala

V1 iV2, respektivno, pri emu jeU=V1-V2 na-pon kondenzatora.

-Q

0

E

2

S

V2

dS

1

R1

R2

Q

Or

V1

U

Sl. 17

Pimenom Gausovog zakona na proizvoljnu koncentrinu sfernu povrpoluprenikar>R2, lako se

pokazuje da elektrino polje ne postoji izvan kondenzatora, a naravno nema ga ni kada jer < R1.Polje je zbog sferne simetrije sistema radijalno u vakuumskom prostoru izmeu elektroda, a njegov

intenzitet u takama koncentrine sferne povriSpoluprenikar(R1,R2) mogue je odrediti, ta-koe, pomou Gausovog zakona:

E S E r

zd dS S

E S E r Q

E Q

r

Q

r4

4 4

2

0 02

03

, r=|r| (R1,R2),

gde jervektor poloaja taaka na povriSu odnosu na centar elektrostatikog sistema (takaO).NaponU=V1-V2izmeu elektroda 1 i 2, kapacitivnost C, jaina poljaEi njena maksimalna

vrednostEmax, kod ovog kondenzatora dati su sledeim relacijama:

U=V1-V2= E r r r

HG

IKJz z zd

d d d

R

R

R

R

R

R

R

RQ

r

Q r r

r

Q r

r

Q

R R1

2

1

2

1

2

1

2

4 4 4 4

1 1

0

3

0

3

0

2

0 1 2 ,

C=Q

U

R R

R R

4 01 2

2 1

, E U

r

R R

R RE E r R

U R

R R R

E

2

1 2

2 1

12

1 2 1

, ( )( )

max .

U posebnom sluaju kadaR2 , dobija se od poznati izraz za kapacitivnost usamljene metalnesfere poluprenikaR1,C= 40R1kod koje se intenzitet polja u vakuumu zar R1menja po za-konuE=UR1/r

2 i gde jeEmax=E(r=R1)=U/R1.

(c)Cilindrini vakuumski kondenzator(odseak koaksijalnog voda)

Prv metalni cilindar 1 krunog poprenog pre-seka i upalj koaksijalni metalni cilindar 2, obavelike duine u odnosu na unutranji prenikspoljanjeg provodnika (sl. 18), obrazuju koak-

sijalan vodkoji se koristi kao transmisioni sis-

tem u telekomunikacijama. Odseak voda dui-ne predstavlja cilindrini kondenzator. Ako se

elektrode 1 i 2 prikljue na konstantan naponU,

one se opterete koliinama elektricitetapodunegustine Q1'=Q' > 0 iQ2'= -Q', do potencijalaV1i

V2 , redom (U=V1-V2je napon kondenzatora).

r

V1

V2

0

R1

R2

E

E

S dS

1

U

Sl. 18

-Q'

Q'

2


16/16


Primenom Gausovog zakona na proizvoljno usvojenu, koaksijalnu cilindrinu povrpoluprenikar

>R2i duine lako se pokazuje da elektrino polje ne postoji izvan kondenzatora, a naravno nema

ga ni kada jer

elektrostatika 2

Documents