electrostatica resueltos

Universidad Tecnológica Nacional FRSF

FÍSICA II Dpto. Materias Básicas - UDB FÍSICA

Autores: Mg Ing: Carlos Ciliberti - Ing. Carlos J. Suárez - Ing. Susana N. Roldán página 1 de 21

PROBLEMAS

RESUELTOS Ley de Coulomb Ley de Coulomb –– Campo Eléctrico Campo Eléctrico Ley de Gauss Ley de Gauss -- Potencial Eléctrico Potencial Eléctrico




1

LEY

DE

CO

ULO

MB

CA

MP

O E

LÉC

TR

ICO




ELECTROSTÁTICA

Ley de Coulomb – Campo Eléctrico

Problemas Resueltos

Problema Nº 1.

Una persona al caminar sobre una alfombra (en un día seco) adquiere una carga

negativa por fricción de 64 µC, al llegar a la puerta de salida siente una descarga. Podría decir

¿Cuántos electrones pasaron de la alfombra a la persona y de la persona a la puerta? e (carga

del electrón) = 1,6 .10-19 C

N (Nº de electrones) = 1419

6

10.410.6,1

10.64=

−

−

C

C

Problema Nº 2.

Dos esferas metálicas montadas sobre soportes aislantes están en contacto. ¿Cómo

podrían cargarse eléctricamente sin tocarlas? ¿De que signo será la carga que tendrán?

Dispongo de una varilla de plástico que he frotado y se encuentra cargada.

El primer paso es colocar las esferas de modo tal que estén en contacto,

tal como se ve en la figura.

El segundo paso será

acercar la varilla cargada a las esferas y por

inducción se separarán las cargas.

Seguidamente manteniendo la varilla quieta

separamos las esferas y posteriormente alejamos

la varilla y las cargas se distribuirán uniformemente en cada esfera.




a

Fg

L

Fe

Problema Nº 3.

Una carga punto q1 = +3.10-6 C se coloca a 12 cm de una segunda carga punto

q2 = -1,5.10-6 C. Calcular la magnitud dirección y sentido de la fuerza que obra sobre cada

carga.

Para calcular la magnitud utilizaremos la ley de Coulomb.

Nm

CC

C

mN

r

qqKF 8,2

)12,0(

10.5,110.310.9

22

66

2

29

221 ===

−−

Como los signos de las cargas son distintos la fuerza será de atracción y la dirección será la

recta que une ambas cargas.

Problema Nº 4.

Dos esferas de masa m = 10 g cuelgan de hilos de seda de

longitud L = 120 cm., poseen cargas idénticas q y por

repulsión están separadas x = 5 cm., tal como se muestra en

la figura. Diga cuanto vale q.

2r

qqKFe = gmFg =

021,02/

19,12

22 ===

−=

hx

tgmx

Lh φ

22

29 18,910.9

s

mg

m

CNK ==

CK

rgmtgq

F

Ftg

g

e 82

10.4,2 −===φ

φ

Problema Nº 5.

Una carga se dividirá en dos partes. ¿Cuál será la relación entre ellas, si separadas a cierta

distancia dada, se producirá una máxima repulsión coulombiana?

211

1221221 )(

r

qqqKFqqqqqq

r

qqF

−=−==+=

2220

221112

12

1

qqq

qqqq

r

qK

r

qK

dqdF ==⇒=⇒==−=

F F




Problema Nº 6.

Tres carga puntuales se hallan en los vértices de un

triángulo equilátero de lado a = 10 cm. Calcular la

fuerza resultante sobre la partícula 3.

q1 = 2.10-6 C ; q2 = 2.10-6 C ; q3 = 4.10-6 C

NFF

Na

qqK

a

qqKF

R 5.12cos2

20.72

322

31

==

===

θ

Problema Nº 7.

Dos pequeñas esferas de plástico tienen cargas positiva. Cuando están separadas 30 cm la

fuerza de repulsión es de F = 0,15 N. diga: a) ¿cuál es la carga de cada esfera? y b) ¿cuál

sería la carga de cada una si una de las esferas tiene tres veces la carga de la otra?

CKrF

qr

qKFa 6

2

2

2

10.22,1) −===

CqCK

rFq

r

qK

r

qqKFqqb 6

17

2

22

22

221

21 10.1,210.0,73

33) −− ======

Problema Nº 8.

Un objeto pequeño que posee una carga de -4,0 nC experimenta una fuerza hacia abajo de

5,0 10-8 N cuando se la coloca en un lugar donde existe campo eléctrico. a) ¿Cuál es la

magnitud y dirección del campo eléctrico en ese punto?, b) ¿Cuál sería la magnitud y la

dirección de la fuerza que actuaría sobre un protón colocado en ese punto del campo

eléctrico? qp = 1,6 10-19 C

C

N

C

N

q

FEa 5,12

10.0,4

10.5)

9

8

=== −

−

Hacia arriba

NCC

NqEFb p

1819 10.0,210.6,15,12.) −− === Hacia arriba

a

q3

q1

FF2

q2

F1




Problema Nº 9.

Una carga puntual q1 = -6,0 nC está en el origen de coordenadas y una segunda carga puntual

q2 = 4,9 nC está sobre el eje x en x = 0,8 m. Encuentre el campo eléctrico en magnitud y

dirección en cada uno de los puntos sobre el eje x: a) x = 0,2 m; b) x = 1,2 m y c) x = -0,2 m.

izquierdalaadirigidoxejeelsobreCN

r

q

r

qKEEE

r

qKEa 3

21

12

2

2122

10.47,1) −=

+=+==

derechalaadirigidoxejeelsobreCN

m

C

m

C

C

mNEEEb 39

22222

29

12 10238,0102,1

0,6

4,0

9,410.9) =

−=−= −

)10.30,1100,1

9,4

2,0

0,610.9) 39

22222

29

21 bidemCN

m

C

m

C

C

mNEEEc =

−=−= −

Problema Nº 10.

Dadas dos cargas colocadas como se indica en la figura indicar los punto donde el

campo eléctrico es nulo. a = 50 cm

Veremos los tres casos posibles:

a) A la izquierda de las cargas. No tendremos solución por ser mayor la carga de la

izquierda.

b) Entre las cargas. El campo producido por cada carga tiene idéntica dirección.

c) A la derecha en este caso deberemos encontrar a que distancia x ambos campos son

idénticos en magnitud y opuestos en sentido.

( )mxxx

x

qK

xa

qKEE 86.005,023 2

22

21

21 ==−−=+

=

a

q1 = -5q

x

q2 =2q




Problema Nº 11.

Se dispara un electrón como muestra la figura entre dos placas con una velocidad v =

6.106 m/s y un ángulo È = 45º . El campo eléctrico E = 2.103 N/C, la distancia entre las placas

es d = 2 cm y la longitud de las mismas l = 10 cm.

Calcule:

a) Si el electrón pega en alguna de las placas y

b) b) En que punto lo hace.

a) Para decir si el electrón llega a pegar en la placa

superior veremos si la energía cinética que posee es mayor o menor que el trabajo que

hace el campo sobre el.

θθ cos00 vvsenvv xy ==

eriorplacalaenpegaráelectróneldcmeE

vmyyeEyFvmK y

y sup5,222

12

2 >=====

cmxdvm

xeE

v

xvtatvy

v

xtb

xx

yy

x7,1

2

1

2

1)

20

2

0

020

0==+=+==

Problema Nº 12.

Una carga q1 = 16 nC esta en el orígen, una segunda carga desconocida está en x = 3 m y una

tercera carga q3 = 12,0 nC está en x = 7 m. ¿Cuál es la magnitud y signo de la carga

desconocida si el campo neto en x = 9 m E = 18 N/C en dirección de x +?

nCqC

N

r

q

r

q

r

qKEEEE 0,4318

23

322

1

1321 −==

++=++=

Problema Nº 13.

Una pequeña esfera de masa m = 0,6 g tiene una carga q = 3 . 10-10 C,

pende de un hilo de seda de longitud L = 8,0 cm. El otro extremo del

hilo está unido a una gran lámina aislante vertical que posee una

densidad superficial de cargas ó = 25,0 10-6 C/m2. ¿Cuándo la esfera

está en equilibrio que ángulo formará el hilo con la lámina?

º12,4072,022 00

====== θεσ

θεσ

gm

q

gm

qE

F

FtgE

g

L

v

E

d

++++++++++++

Fg

L

Fe




l

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

y

P

α

α

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + dq1

r

dq2

y

r

dE1x

dE1y dE2y

dE2x

dEdE2dE1

P

Problema Nº 14.

Una varilla no conductora de longitud finita L (m) tiene una carga total Q ( c) uniformemente

distribuida a lo largo de ella. Calcular el campo eléctrico en un punto P perpendicular a la

barra, a una distancia y en el punto medio.

Cada dq genera en el punto N un dE(vector)

∧→

= rr

dqk

Ed2

1 como dxdq

LQ

.λλ =⇒=

222 yxr +=

( )22 yx

yry

sen+

==α

Del análisis de la gráfica se observa que el campo E es:

( ) ( )2222.

..

12.2

yx

y

yx

dx

ksendEdE

++==

λα

( )∫+

=2

322

..2

yx

dxk

yE

λ,aplicando los valores a los extremos de integración obtendremos el

valor del campo.

( )222 . yxy

xE

+=




+

+

+

+

dq2

++

+ +

dq1

a

+

++

+

++ + +

+

++

P

r

x+

++

+

+

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

N

dEd

dq

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

d

N

Problema Nº 15.

Una barra no conductora de longitud L (m) tiene una carga por unidad de longitud igual ë (C/m)

y una carga total Q (C). Calcular el campo eléctrico en un punto N a lo largo del eje de la barra

a una distancia d del extremo izquierdo.

Cada dq genera en el punto N un dE(vector)

∧→

= rr

dqk

Ed2

1 como dxdq

L

Q.λλ =⇒=

( )

+

−=

−==== ∫∫ ∫

+=

= Lddkxkx

dx

r

dqk

dEEdLx

dx

111.122

λλλ

( )LddQ

kE

+=

.1

Problema Nº 16.

Un anillo de radio a (m), tiene una carga positiva uniformemente distribuida, con una carga

total Q(C). Calcule el campo eléctrico en un punto p a lo largo del eje “x” a una distancia d del

centro del anillo.




Cada dq genera dE en P, pero debido a la simetría de carga el campo resultante es el que se

observa.

∧→

= rr

dqk

Ed .1

2 como dsdq

L

Q.λλ =⇒=

φcos.1

2r

dqk

dEx = ( )22 xar += y ==r

xφcos

( ) ( )2222

1

xa

x

xa

ds

kdE

++=

λ, integrando

( ) 2

122

.

xak

xQE

+= Que ocurriría en el caso de que “x” sea mucho mayor que “a”

Problema Nº 17.

Un dipolo eléctrico esta formado de dos cargas eléctricas de magnitud q = 1.20 nC separadas

una distancia de 22.0 mm. El dipolo se encuentra dentro de un campo eléctrico externo E =

1.50 N/C, si el momento del dipolo forma 30º con la dirección del campo. Determinar:

a) ¿Cuál es el momento que ejerce el campo en el dipolo?

b) ¿Cuál es el trabajo que debe hacer un agente externo para dar al dipolo un ángulo de 30º a

partir de una posición inicial colineal con el campo (es decir á = 0º)

x

dq2

dq1

dE

dE2x

dE2

dE1

a

P

r

r

dE2y

dE1y dE1x




a) Ep ×=Τ qap 2= ( momento del dipolo)

αsenEaq .....2=Τ

30.10.50,1.10.20,2.10.20,1.2 526 sen−−−=Τ

[ ]Nm310.96,3 −=Τ

b) [ ]0cos30cos.cos..º30

º0+−=−==Τ= ∫ ∫∫

=

=pEdpEdpEsendW

f

i

φ

φ

φ

φφφφφφ

[ ]JW 410.30,5 −=




2

LEY

DE

GA

US

S




ELECTROSTÁTICA

Ley de Gauss

Problemas Resueltos

Problema Nº 18.

Dos largos cilindros concéntricos de radios a = 1cm y b = 3 cm, poseen una carga superficial ó

= 6.10-6 C/m2 de signos opuestos. Calcule utilizando Gauss:

a) el campo E para r = 0,5 cm

b) el campo E para r = 2,0 cm y cual es su dirección

c) el campo E para r = 3,5 cm

d) ¿Cuál debe ser la energía cinética de un protón para que pueda girar entre lo dos

cilindros en forma estable? ¿Cuál es el signo de las cargas en cada cilindro, donde se

encuentran las carga y cual es la dirección

y sentido del campo?

a) Si trazo una superficie gaussiana cilíndrica

con r < a no encerraré cargas y por lo tanto

E=0.

b) En este caso como encierro cargas debo

usar Gauss para calcular E

∫ ====CN

r

aE

lalrE

qAdE 5

000

10.39,32

2.ε

σεπσ

πε

rr

c) En este caso trazo una superficie gaussiana cilíndrica de radio r > b y en ella la carga

neta encerrada por la misma es nula y por lo tanto E = 0

d) Jqa

vmKr

qaqE

rv

mFF pppec

6

0

2

0

2

10.42,521 −======

ε

σ

ε

σ

El cilindro exterior tendrá cargas positivas y se encuentran en la cara interior del mismo. El

cilindro interior tendrá cargas negativas y estarán en la cara exterior del mismo. Por lo tanto el

campo será radial y apuntará hacia el centro.

ar

b




Problema Nº 19.

Tres grandes láminas aislantes paralelas tienen densidades de carga superficiales de

+ó1=0,02 C/m2; +ó2=0,01 C/m2 y -ó3=0,02 C/m2 . Las láminas adyacentes están a 0,3 m entre

si.

Calcule el campo eléctrico neto (magnitud dirección) debido a las tres láminas en los puntos P,

R, S y T acorde con la figura.

izquierdalahaciaCN

EEEEa P8

0

3

0

2

0

1321 10.64,5

222) −−=+−−=+−−=

εσ

εσ

εσ

derechalahaciaCN

EEEEb R9

0

3

0

2

0

1321 10.69,1

222) =+−=+−=

εσ

εσ

εσ

derechalahaciaCN

EEEEc S9

0

3

0

2

0

1321 10.82,2

222) =++=++=

εσ

εσ

εσ

derechalahaciaCN

EEEEdooo

T8321

321 10.64,5222

) =−+=−+=ε

σε

σε

σ

Problema Nº 20.

Se tiene un cascaron esférico no conductor con una distribución de cargas no uniforme igual a

r = a r (C/m3). Calcular la expresión del campo eléctrico para los puntos situados:

a) 0 < r <r1 b) r1 < r <r2 c) r2 < r

d) realizar una gráfica de E = f(r)

004..) 2

0

===∫ ErEq

AdEa πε

rr

( ) ( )2

0

41

4

0

41

4

0

2

0

2

0 4

4.4..) 11

r

rraE

rradrrradvrE

qAdEb

r

r

r

r

εεπ

ε

π

ε

ρπ

ε−

=−

====∫

∫∫rr

0,15

RP0,150,15 0,15

TS0,15 0,15




( )2

0

41

42

4dim)

r

rraEientoprocemismoelaplicamosc

ε

−=

d)

0

20

40

60

80

0 10 20 30r

E

Problema Nº 21.

Una carga punto de 1.10-6 C se encuentra en el centro de una superficie gaussiana cúbica de

50 cm de arista. ¿Cuál es el flujo de E para dicha superficie?

CmN

mN

C

Cq 25

2

212

6

0

10.12,1

10.85,8

10.1===Φ

−

−

ε

Problema Nº 22.

En el ejemplo siguiente tengo una esfera no conductora de radio r1 y posee distribución

uniforme de cargas negativas y rodeándola un cascaron esférico conductor de radios r2 y r3 .

La superficie externa del cascaron exterior está conectada a tierra.¿Calcule:

a) E para 0 < r < r1

b) E para r1 < r < r2

c) E para r2 < r < r3

d) E para r3 < r

00

3

3

0 334

4..)ε

ρε

πρπ

εr

Er

rEq

AdEa ===∫rr




200

2

41

4.)r

qE

qrEb

επεπ ==

0) =Ec

0) =Ed

Problema Nº 23.

Un cable coaxial largo consiste en un conductor cilíndrico interior de radio a y un cilindro

exterior de radio interior b y radio exterior c. El cilindro exterior está montado sobre soportes

aislantes y no tiene carga neta. El cilindro interior tiene una carga positiva uniforme por unidad

de longitud ë. Calcule el campo eléctrico E para:

a) a < r < b ;

b) b < r < c

c) c < r

d) dibuje una gráfica de E = f(r) desde r = 0 a r = 2 c

e) encuentre cual es la carga por unidad de longitud para la cara interior y exterior del cilindro

externo.

rE

llrE

qAdEa

000 22.)

επλ

ελ

πε

===∫rr

0) =Eb

rEc

02)

επλ=

e) cara exterior + ë Cara interior –ë

E

r0 1 2 3 4 5 6 70

1 0




3

PO

TE

NC

IAL

ELÉ

CT

RIC

O




ELECTROSTÁTICA

Potencial Eléctrico

Problemas Resueltos

Problema Nº 24.

Se tienen dos cargas q = 1 .10-10 C, ubicadas sobre una recta a una distancia 2y ; (y = 1 cm)

entre ellas. Sobre una línea perpendicular a la

recta (punto A) se coloca un electrón a una

distancia x = 10 cm., con una v0 = 2.106 m/s

dirigido hacia las cargas. ¿Diga con que velocidad

llegará a la recta de unión ( punto B) si sólo recibe

influencia de dichas cargas?

La fuerza de atracción que ejercerá la carga q1

está dada por la ley de Coulomb

( ) 2/122

222

21

121

1

cos

cos2cos2

yx

xyxr

r

eqKFFestotalacciónla

r

eqKF

+=+=

===

θ

θθ

La velocidad final la calcularemos por la conservación de la energía, teniendo en cuenta que la

fuerza que ejercen las cargas q1 sobre el electrón varían con la distancia x. Por ello debemos

calcular el trabajo realizado sobre la partícula realizando un balance de energía.

( )

( ) ( )

( ) s

m

m

eqKvv

finalmentequedandom

eqK

yz

dzm

eqKI

dxxdzzxhagoegrarpoderparadxyx

xm

eqKI

nteseparadameoperemosyegrallaaIllamemos

dxFm

vvdxFvmvmWKK

yx

yx

B

A

x

x

B

A

6

0

1,0

120

2

1,0

0

11,0

0 2/32

1

1,0

0

22/322

1

20

220

20

10.54,72/122

4

2/122

42

2int4

int

2.

21

21

1

1

=+=

−=+

=

==+

=

+=+=+=

+

+∫

∫

∫∫

X

A

y

B

r




Problema Nº 25.

Una lámina no conductora infinita tiene una densidad superficial ó = 1.10-7 C/m2. ¿Qué

separación tienen dos superficies equipotenciales entre las cuales hay una diferencia de

potencial de 5 Volts?

Dado que el campo producido por la lámina cargada en puntos alejados de los bordes es

uniforme, podemos:

∫ −−

−

=−

=====−B

A ABABABAB mmC

mNCVdVddEldEVV 3

27

2212

0

10.885,0/10.1

/10.83,8.2.55

2..

εσrr

Problema Nº 26.

Si una carga q se distribuye uniformemente en un volumen esférico no conductor de radio R,

demostrar que el potencial a una distancia a del centro (siendo a < R)

está dado por:

( )3

0

22

8

3

R

aRqV

επ

−=

Para ese cálculo utilizaremos la expresión que nos relaciona el

potencial con el campo:

∫−=−R

aaR rdEVVrr

. (1)

Pero para poder integrar necesitamos conocer la ley de variación del campo E dentro de la

esfera, para ello utilizaremos Gauss.

300

3

3

2

0 4

1343

4

4.R

rqE

R

qr

rEq

AdEεπε

ππ

πε

====∫rr

Reemplazando E en (1)

[ ]223

03

0 84Ra

R

qdrr

R

qVV

R

aaR −=−=− ∫ επεπ (2)

VR podemos calcularla y reemplazarla en la ecuación (2)

[ ] [ ]

[ ]3

0

22

2223

0

223

000

8

3

2884

14

1

R

aRqV

RaRR

qRa

R

q

R

qV

R

qV

R

aR

επ

επεπεπεπ

−=

+−=−−==




Problema Nº 27.

Se tienen dos esferas metálicas cargadas y separadas entre sí lo suficiente para que la

influencia mutua sea despreciable. La esfera A tiene: un radio rA = 10 cm. y qA = 1.10-9 C, la B

tiene rB = 15 cm. y una qB = 1.10-10 C.

Calcule:

a) El potencial en cada una de las esferas y la d.d.p. entre ellas.

b) Si dichas esferas se conectan entre si por medio de un alambre conductor fino, diga en

que sentido circularan las cargas.

c) Diga cuales son los potenciales de A y B luego de haberlas conectado.

d) ¿Cuáles son los valores de E en la superficie de cada una?

a.

( )

( )VVV

Vm

C

C

mN

r

qV

Vm

C

C

mN

r

qV

BA

B

BB

A

AA

860

4015,0

10.110.9

41

9001,0

10.110.9

4

1

2

10

2

29

0

2

9

2

29

0

=−

===

===

−

−

επ

επ

b. Las cargas circularan de A a B porque el potencial de VA > VB

c. Al conectar con un alambre conductor las cargas se distribuirán hasta que los

potenciales se igualen.

( )

( )

CqC

rr

Cq

Cqr

rqqC

r

rq

r

qCrqquedanosdoreemplazanyqCq

qqCqqqtotalaclacomor

q

r

qVV

A

B

AB

BB

ABB

B

AB

A

BBBBA

BABAB

B

A

ÁBA

10'109

'

9''

'9'

'9''9'

''9''

''

10.4,410.6,61

10.1,1

10.1,110.1,1

10.1,110.1,1

10.1,1arg

−−−

−−

−−

−

==+

=

=+−=

−=−=

+==+===

d. m

V

r

qE

m

V

r

qE

B

BBB

A

AAA 263

4396

4 02

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Problema Nº 28.

Ahora que conocemos sobre potencial resolveremos el problema Nº 20 de una manera muy

sencilla. De acuerdo a la definición de diferencia de potencial, sabemos que el trabajo que

realizaré para ir de un punto de potencial VA a otro de potencial VB será la energía cinética que

obtendrá la partícula cargada.

Calculamos: VA y VB

( )( )

sm

mK

vvmJeVVvmK

VVVVy

qKVV

yx

qK

rq

KV

AB

ABBA

621720

12/122

11

10.8,72

21

10.9,221

1,16218029,1722

====−+=

=−===+

==

−

Mg. Ing Carlos Ciliberti Ing. Carlos J. Suárez

Ing. Susana N. Roldán

Bibliografía: FÍSICA PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS E INGENIERÍA. Parte II D. Halliday y R. Resnick, 5ª edición 1964. Compañía editorial continental Méjico FÍSICA. Parte II D. Halliday y R. Resnick, 3ª edición 1982. Compañía editorial continental Méjico FÍSICA. Tomo II R. A. Serway 4º edición Mc Graw Hill. FÍSICA. Tomo II D. Tipler, Compañía editorial Reverté.

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20010 −==+=

electrostatica resueltos

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