electromagnetismo 2018 - materias.fi.uba.armaterias.fi.uba.ar/6209/download/clases/2-04-ondas en...

Electromagnetismo 2018

Ondas electromagnéticas

en medios materiales 2

Electromagnetismo 2018 Plan de la clase:

Ondas electromagnéticas en medios materiales 2 1 – Ecuación de ondas en medios materiales 2 – Ondas planas en medios materiales 3 – Ondas electromagnéticas en dieléctricos sin pérdidas 4 – Ondas electromagnéticas en dieléctricos con pérdidas 5 – Ondas electromagnéticas en conductores 6 – Efecto pelicular en buenos conductores 7 – Ondas electromagnéticas en plasmas diluidos 8 – Propagación de señales en medios 9 – Metamateriales

2

Ondas electromagnéticas 1 – Ecuación de ondas en medios materiales En un recinto en vacío sin fuentes de campo las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son ondas electromagnéticas.

En un recinto en un medio material sin fuentes de campo las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir:

donde J representan corrientes que eventualmente circulan por el recinto si hay conductividad por influencia del campo E. En el vacío, las relaciones de simple proporcionalidad entre E y D y entre H y B permiten simplificar estas ecuaciones. En un medio material, de peden establecer relaciones similares pero dependientes de la frecuencia. Por ello transformamos al dominio de la frecuencia:

donde Fs(r, t) representa cualquiera de los campos. 3

( , ) 0 ( , ) 0

( , ) ( , )( , ) 0 ( , ) ( , ) 0

t t

t tt t t

t t

D r B r

B r D rE r H r J r

( ) 0 ( ) 0( , ) ( )

( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0

s sj t

s

s s s s

t ej j

E r H rF r F r

E r H r H r E r

Ondas electromagnéticas 1 – Ecuación de ondas en medios materiales

Tomamos el rotor de la ley de Faraday:

Usamos la ley de Maxwell-Ampere y la expresión del rotor doble:

Como la divergencia se anula tenemos finalmente:

que es la ecuación de ondas en el dominio de la frecuencia, conocida como ecuación de Helmholtz.

Los materiales usados en la propagación y guiado de ondas son no magnéticos y la conductividad es aproximdamente constante hasta frecuencias de micoondas. Entonces, en lo que sigue vamos a considerar:

Se halla una ecuación de ondas idéntica para Hs: 4

( ) 0 ( ) 0( , ) ( )

( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0

s sj t

s

s s s s

t ej j

E r H rF r F r

E r H r H r E r

( ) 0s sj E H

2 ( ) ( ) ( ) 0s s sj j E E E

2 2 2( ) ( ) 0 con ( ) ( ) ( ) ( )s s j j E r E r

2 2( ) ( ) 0s s H r H r

0( ) ; ( ) cc

Ondas electromagnéticas 2 – Ondas planas en medios materiales Para ondas planas linealmente polarizadas:

y la ec. de Helmholtz se reescribe:

Una ecuación euleriana cuya solución es:

Esta solución es la suma de una onda progresiva y una onda regresiva, ambas con atenuación en la propagación por la presencia de pérdidas en el material.

De las ecs. de Maxwell obtenemos una solución similar para H:

se denomina impedancia intrínseca del medio. En general es una magnitud compleja, dependiente de la frecuencia y señala la existencia de un desfasaje entre los campos.

5

ˆ( ) ( )s sE z0

E r e2

2

20s

s

d EE

dz

0 0 0 0 0 0

ˆ ˆ( ) ( , )j t z j t z j t z j t zj z z z

sE z e t E e E e E e e E e e

E r e e

0

0 0 0 00 0 0 0

( )ˆ ( , )( , ) ;

( )

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( , ) ;j t z j t z j t z j t zz z

onda progresivatt j

onda regresiva

E E E Et e e e e e e

z E rH r

H r h h h z e

Ondas electromagnéticas 2 – Ondas planas en medios materiales

Como en el caso del vacío:

y las ondas planas linealmente polarizadas son transversales. Además, los campos son normales entre sí.

Parámetros básicos de las ondas planas armónicas en medios:

velocidad de propagación (velocidad de fase): vf() = / dispersión

longitud de onda: = 2/

profundidad de penetración: = 1/

La profundidad de penetración da una idea cuantitativa de la capacidad de penetración de la onda en el medio, debido a las pérdidas de energía de la onda al propagarse.

6

2 00 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 00 0

( ) ;

ˆ ˆ( ) ( , )

ˆ ˆ ˆ( , ) ;

j t z j t z j t z j t zj z z z

s

j t z j t z j t z j t zz z

j j j

E z e t E e E e E e e E e e


E r e e

H r h h 0 0ˆ ˆ e h z

0 E H


Parámetros de energía:

Nos interesan los valores medios del vector de Poynting y las densidades de energía almacenada y disipada en el campo electromagnético en la propagación:

La potencia que propaga la onda decrece con la propagación por las pérdidas. La velocidad con que se transporta la energía se llama velocidad de la energía vE y vale:

En una onda armónica que se propaga en un medio material infinito, la velocidad de propagación de la energía coincide con la velocidad de fase de la onda: 7

2

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 00 0

( ) ;

ˆ ˆ( ) ( , )

ˆ ˆ ˆ( , ) ;


s


j j j



E r e e


2 2 2*

0*

2 2*

( )ˆ1 1ˆ ˆ( ) Re Re

( )2 2 2 2

z onda progresivae

onda regresiva

E Ez EN r E H E z z

( ) ( )E emv N z u z

( ) ( ) ( )E f em Ev v u z N z v N z


Parámetros de energía:

Planteamos el balance de la potencia electromagnética dentro del paralelepípedo de la figura. Parte de la potencia que entra en la cara en z se pierde (por cualquier mecanismo) dentro del paralelepípedo y parte sale por la otra cara en z + Δz:

w() es la potencia media perdida por unidad de volumen dentro del paralepí-pedo, medida en una posición intermedia. Si Δz → 0 podemos usar la serie de Taylor truncada al primer término para obtener:

Como: 8

2

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 00 0

( ) ;

ˆ ˆ( ) ( , )

ˆ ˆ ˆ( , ) ;


s


j j j



E r e e


( ) ( ) ( ) ;N z S w S z N z z S z z z

( ) ( )d

w z N zdz

2

0( ) ( ) 2 ( )zz e w z N z N N

Ondas electromagnéticas 2 – Ondas planas en medios materiales. Resumen

velocidad de fase y longitud de onda

profundidad de penetración

impedancia intrínseca

vector medio de Poynting

densidad media de energía almacenada

densidad media de potencia perdida

9

( ) ( ) ( ) ( )0 00 0 0 0

2

0 0

ˆˆ( , ) ; ( , )

( ) ( ) ( ) ( ) ( = factor de propagación)

( = factor de atenuación)

z j t z z j t z z j t z z j t zE Et E e e E e e t e e e e

j j

E r e H r h

( ) 1 ( )

( ) ( ) ; ( ) 2 ( )fv

0( ) ( ) ( ) ( )ij e

2 2

0

2ˆ( )

2

zE ez

N z

( )( ) ( )em

E

N zu z N z

v

( ) 2 ( )w z N z

Ondas electromagnéticas 3 – Ondas electromagnéticas en dieléctricos sin pérdidas En este caso se tienen los parámetros:

real, = 0, = 0, (real)

Entonces:

donde 0 y 0 son el número de onda y la longitud de onda en el vacío. No hay pérdidas y la profundidad de penetración es infinita.

La velocidad de fase es:

donde n es el índice de refracción del medio usado en la óptica. La velocidad dela energia coincide con la velocidad de fase.

La impedancia intrínseca es:

El vector medio de Poynting es:

y la densidad media de energía almacenada en el campo:

10

0 0 0 0 00 r r r rc

0 0 0 ;f r rv c c n c n

0 0 0 0 00

00

376.73r r

2 22

0 0

2ˆ ˆ( )

22

zE e Ez

N z z

2 2

20 0 0

0

0

1( ) ( ) ( )

2 22em em

E Eu z N z u z E

Ondas electromagnéticas 3 – Ondas electromagnéticas en dieléctricos sin pérdidas

En este caso también podemos calcular la energía media a partir del teorema de Poynting:

Para ondas armónicas es real y no depende del tiempo, y podemos escribir: de donde obtenemos: Podemos relacionar H con E a través de la impedancia intrínseca:

y finalmente:

El primer sumando está asociado a la energía eléctrica y el segundo a la energía magnética. Vemos que la energía está equipartida entre ambos campos para un dieléctrico sin pérdidas.

11

0emu

t t t t t

E HD BE H E H

0 2 2

0

1

2

emuE H

t t t t t t

E HD BE H E H

2 2

0

1( , ) ( , ) ( , )

2emu t E t H t r r r

2

2 2 2 200 0 2

0

1 1 ( , ) 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2 2 2em

E tu t E t H t E t E t

rr r r r r

21( , ) ( , )

2emu t E t r r

Ondas electromagnéticas 4 – Ondas electromagnéticas en dieléctricos con pérdidas Cuando un campo electromagnético variable en el tiempo se propaga en un ma-terial dieléctrico, el campo eléctrico crea fuerzas sobre los electrones del medio. Los electrones se aceleran, extrayendo energía del campo y, como veremos más adelante, emiten una nueva radiación electromagnética. La energía de esta radiación proviene de la energía cinética de los electrones, e indirectamente del campo original. Éste ve así disminuida su energía y va decayendo a medida de que se propaga.

Entonces, desde el punto de vista del campo electromagnético original este pro-ceso, conocido como dispersión (scattering) resulta en una pérdida de energía.

En un dieléctrico con pérdidas: = ´ - j ” (complejo), = 0, = 0. Entonces:

Las pérdidas de energía están asociadas a la parte imaginaria de la permitividad, que en el modelo de Drude-Lorentz es proporcional al parámetro , que descri-be la “fuerza de frenado” por radiación sobre los electrones.

12

0 0

r r rj jc c

Ondas electromagnéticas 4 – Ondas electromagnéticas en dieléctricos con (bajas) pérdidas

Interesan los dieléctricos con bajas pérdidas, donde:

Entonces:

donde hemos desarrollado la raíz en serie de Taylor.

Tenemos entonces:

La longitud de onda y la velocidad de fase coinciden con los valores para dieléc-tricos sin pérdidas, si cambiamos . El factor de atenuación es pequeño y la profundidad de penetración es muy grande. La impedancia intrínseca es: El vector de Poynting y la densidad de energía almacenada medios resultan:

13

r r

0 0

1 12

r rr r

r r

j j jc c

0 0

0

; ;2

rr f

rr r

cv

c

r r

22 22

00 00 2

0

ˆ( ) ( ) ; ( )2 4

zz

r r

eE ez z u z

EN z N

0 0

r r rj jc c

0 0

2 2( ) 1 ;

2r

i j j

Ondas electromagnéticas 4 – Ondas electromagnéticas en dieléctricos con (bajas) pérdidas

En estas ecuaciones el doble signo corresponde a ondas progresivas y regresivas. Con la ecuación para volvemos a hallar que la energía electromagné-tica está en este caso equipartida entre campo eléctrico y magnético.

La densidad de potencia perdida es:

proporcional al factor . Las pérdidas aumentan con la frecuencia.

14

22 22

00 00 2

0

ˆ( ) ( ) ; ( )2 4

zz

r r

eE ez z u z

EN z N

eq

Materiales de uso en electrónica Materiales de uso en óptica

Material Frecuencia Permitividad relativa

Material Índice de refracción vs.

1.06 m 546.1 nm 365 nm

Agua destilada 3 GHz 76.7 0.157 PK 1.51519 1.52736 1.54503

Alumina (99.5%) 10 GHz 9.5 - 10.0 0.0003 PSK 1.54154 1.55440 1.57342

Arseniuro de galio 10 GHz 13.0 0.006 BK 1.50669 1.51872 1.53627

Polietileno 10 GHz 2.25 0.0004 K 1.50091 1.51314 1.53189

Cerámica (A-35) 3 GHz 5.60 0.0041 ZK 1.52220 1.53534 1.55588

Poliestireno 10 GHz 2.54 0.00033 BaK 1.55695 1.57124 1.59407

Lucite 10 GHz 2.56 0.005 SiO2 1.44968 1.46008 1.47435

r

tan

r

0 r

2 22 2

0 0 0

0

1 1( ) 2 ( ) 2 ( )

2 2 2

z zw z N z E e w z E e

Ondas electromagnéticas 5 – Ondas electromagnéticas en (buenos) conductores

En este caso se tienen los parámetros: = 0, = 0, real.

Entonces:

Nuevamente se presentan pérdidas, por el efecto Joule. Interesa el caso de los buenos conductores, donde los efectos de la conducción predominan frente a los efectos de la “corriente de desplazamiento”: En conductores metálicos, esta relación se cumple para frecuencias de interés práctico. La siguiente tabla muestra la frecuencia donde = 0: Entonces, para buenos conductores: y finalmente:

Los dos factores son iguales y fuertemente dependientes de la frecuencia.

15

r

Metal (m)-1 ft (Hz)

Cobre (Cu) 5.88107 1.061018

Plata (Ag) 6.21107 1.111018

Aluminio (Al) 3.65107 6.871017

2

0 0 0 0 0 0j j j j

2

0 0 0j j

0 0:t t J D t E E H J J D

0 0 01 2 2j j j


Tenemos:

La longitud de onda y la velocidad de propagación son pequeñas en un conduc-tor respecto de sus valores en el vacío. La velocidad es depende fuertemente de la frecuencia dispersión. La profundidad de penetración es: y decae con la frecuencia y la conductividad del material. La impedancia intrínseca vale: La siguiente tabla presenta valores de , vf y |η| para cobre a varias frecuencias:

16

r

0; 2j

01 2

f vf |η|

100 Hz 11016 6.5 mm 4.08 m/s 3.610-6 Ω

1 MHz 1.081012 65 m 408.2 m/s 3.610-4 Ω

1 GHz 1.08109 2.05 m 1.3104 m/s 0.011 Ω

1 THz 1.08106 65 nm 4.08105 m/s 0.36 Ω

0

0 0 00 0

0

1 11 2 2

j jj c

0 00 0 0 0

0 0

2 22 ; 2

2 2fv c c


En el caso de buenos conductores, el vector de Poynting medio es:

La densidad de potencia media perdida es: que podemos escribir:

O sea, la expresión de las pérdidas por efecto Joule que habíamos hallado para corrientes cuasi-estacionarias.

Como la permitividad y la permeabilidad de un conductor se asimilan a las del vacío, la energía almacenada es:

En valor medio:

Como predomina el segundo término (energía magnética) frente al pri- mero (energía eléctrica). 17

r

00 0; 2 ; 2 ; 1

2j j

2 2 22 2 2

0 0 0

2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ( )

442

z z zE e E e E ez z

N z z N z

2 2 /

0( ) 2

2

zE ew z N

/ /

0 0 1( ) ( )

2 2

z zJ e E ew z w z

J E

2 2

0 0

1( , ) ( , ) ( , )

2emu t E t H t r r r

2 2* *

0 0 0 0

2 2 2 2 22

0 0 0 0

( ) Re 4 Re 4

4 1 4

emu z E E H H E H

E E E

0

Ondas electromagnéticas 6 – Efecto pelicular en (buenos) conductores

Vamos a analizar nuevamente la distribución de corriente en un resistor cilindrico de radio a y longitud L » a, que transporta una corriente alterna a lo largo de su eje.

Suponemos que el material es un buen conductor y que el campo E en su interior es longitudinal, y no depende de z, porque el resistor es muy largo ni depende de φ (simetría cilíndrica). Entonces:

y no hay fuentes de campo dentro del resistor. Entonces las ecs. de Maxwell en el dominio de la frecuencia llevan a la ec. de Helmholtz para E:

En coordenadas cilíndricas queda:

Si tomamos: u = γρ la ecuación diferencial queda:

18

r

2

2 2 2 2

2

1ˆ ˆ 0 0z z

z z z

s s

s s s

d E dEd dE E E

d d d d

z z

2 2

2 2 2 2 2

2 20 0z z z z

z z

s s s s

s s

d E dE d E dEE u u u E

d d du du

ˆ( , ) ( ) ( ) 0z

z

sj t

s s

Et E e

z

E r z E r

2 2

0( ) ( ) 0 ; (1 ) 2z zs sE E j j r r

Ondas electromagnéticas 6 – Efecto pelicular en (buenos) conductores

Esta es la ecuación de Bessel para n = 0. Por lo tanto, la solución (que debe ser regular para = 0) es:

Estas funciones de Bessel de argumento complejo se conocen como funciones de Kelvin. La corriente dentro del resistor resulta:

En la figura se grafica el módulo de la densidad de corriente (relativa al valor para = 0) en función del radio a para un resistor de cobre, y a distintas frecuencias.

La variación de la “sección efectiva” del resistor hace que aumente la resistencia y disminuya la inductancia interna con la frecuencia.

19

r

0

2

2 2

2

; (1 ) 2

0z z

z

s s

s

u j j

d E dEu u u E

du du

/4

0 0 0 0 0( ) ( ) ( )z

j

sE E J E J e

0 0

/4

0

( ) ( )

1

zs

j

J E J

e j

Ondas electromagnéticas 7 – Ondas electromagnéticas en plasmas diluidos Un plasma diluido se puede modelar mediante una permitividad equivalente:

En muchos casos la dilución lleva a que Γ 0 (baja probabilidad de colisión) y:

donde ωp es la frecuencia de plasma. Para ω > ωp, el material se comporta como un dieléctrico de permitividad real (sin pérdidas), de forma que, en analogía con este caso podemos escribir:

La velocidad de propagación de las ondas es:

que la velocidad de las ondas en el plasma es mayor que la velocidad de la luz en el vacío, y que sólo para la velocidad tiende a c0.

20

r

2 2

0

0 2 2 2 21

p p

eq j

2 2 2

0 01 ; eq p p Ne m

2 2 2 2

0 0 0 0: 0 1 1p eq eq p p

0

2 2 2 2

0 1 1f

p p

cv

Ondas electromagnéticas 7 – Ondas electromagnéticas en plasmas diluidos

La impedancia característica del plasma diluido es:

mayor que la impedancia del vacío. Los campos eléctrico y magnético de una onda plana linealmente polarizada, ar-mónica y progresiva son: Para ω < ωp encontramos que:

• La permitividad equivalente es negativa, y el número de onda es imaginario.

• La velocidad de propagación y la impedancia intrínseca son imaginarias.

• Los campos son ondas evanescentes que no se propagan:

La frecuencia de plasma es un límite inferior para la propagación de ondas en el plasma. La frecuencia de plasma de la ionósfera es del orden de 108 s-1.

21

r

2 2 2 2 2 2

0 0 0: 1 1 ; 1p eq p p f pv c

0 0 0 0

2 2 2 2:

1 1p

p p

c

( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ: ( , ) ; ( , ) ;j t z j t z

p

Et E e t e

0 0 0 0E r e H r h e h z

ˆ ˆˆ ˆ ˆ: ( , ) ; ( , ) ;j t z j t z

p

Et E e e t e e

0 0 0 0E r e H r h e h z

Ondas electromagnéticas 8 – Propagación de señales en medios Una onda plana armónica, linealmente polarizada, tiene un campo eléctrico de la forma:

vf es la velocidad de fase en el medio donde se da la propagación, generalmente dependiente de la frecuencia.

Un paquete de ondas es una señal limitada en el tiempo y en la frecuencia, como se ve en la figura.

Se puede describir mediante una superposición de ondas armónicas en el tiempo (representación de Fourier):

Denominamos señal de banda estrecha a aquélla donde el ancho de banda del espectro es pequeño frente a su frecuencia central: En una señal de este tipo: donde F() es la transformada de Fourier de E(0, t):

22

r

( )( , ) ; ( ) ( )j t z

o fE z t E e v

( )( , ) ( ) ; ( ) ( )j t z

fE z t F e d v

2 1 0 1 2( ) 2

(0, ) ( ) j tE t F e d

2

1

( ) ( )( , ) ( ) ( ) ; ( ) ( )j t z j t z

fE z t F e d F e d v

Ondas electromagnéticas 8 – Propagación de señales en medios

Si el intervalo de frecuencias es pequeño, se puede

expresar la función () como un desarrollo de Taylor en ese intervalo:

y entonces:

Operamos con la fase dentro de la integral: Y entonces: Cambiamos de variable en la integral e introducimos la nueva variable t’:

23

r

0

2 1 0 1 2 0 0( ) 2 ( ) ( ) ...d

d

2

1

( )( , ) ( ) ; ( ) ( )j t z

fE z t F e d v

2 2

0 0 0

0

1 1

( )( )

0 0 0( , ) ( ) ( ) ; ( ) ;j t zj t zE z t F e d F e d d d

0 0 0 0 0 0 0 0 0( ) ( )t z t t t z t z

2

0 0 0 0

0

1

( )

0 0 0( , ) ( ) ; ( ) ;j t z j t z

E z t e F e d d d

2

0 0

0

1

0 0 0 0 0( , ) ( ) ; ( ) ; ;j t z j tE z t e F e d d d t t z


Pero la integral vale E(0, t’) y nos queda:

Vemos que, aparte de un factor de fase de amplitud unitaria, la señal se propaga sin distorsión con una velocidad que llamamos velocidad de grupo:

donde 0 es la frecuencia central de la banda del paquete. El conjunto (el "centro de masa" del "paquete" de ondas) viaja con vg, mientras que cada componente de frecuencia viaja con su correspondiente vf (ω).

Si la relación de dispersión () es lineal:

y ambas velocidades coinciden. Este es el caso de la propagación de ondas en el vacío, y en dieléctricos sin pérdidas donde la permitividad no varía apreciable-mente con la frecuencia dentro del ancho de banda de la señal en consideración.

24

r

2

0 0

0

1

0 0 0 0 0( , ) ( ) ; ( ) ; ;j t z j tE z t e F e d d d t t z

0 0 0 0

0

0 0 0 0( , ) (0, ) (0, ) ; ( ) ;j t z j t z d

E z t E t e E t z ed

00

0

11g

dv

d d d

1( ) ( ) ( )f gA v v A


Si la relación de dispersión () no es lineal: las velocidades de fase y de grupo no coinciden y el paquete de ondas se deforma. Hay dispersión y pérdida de información.

En general, podemos decir que puede haber dispersión en la propagación de la señal a través de un medio por tres motivos: • El medio es fuertemente dispersivo. Ej.: medios con fuertes pérdidas. • El medio no es dispersivo pero hay fronteras que modifican la relación de

dispersión. Ej.: guías de onda. • El medio no es muy dispersivo y no hay fronteras, pero la señal es de banda

ancha y no es posible truncar el desarrollo de Taylor en el término lineal. Por ejemplo, un pulso gaussiano se deforma si no se puede despreciar la derivada segunda de () :

25

r

00

0 0 0

1( ) ; ( ) 1 ; es la frecuencia central de la bandaf g

dv v

d d d

2

2

22 2

020

20, ,

t zt

j zff t f e f z t e

j z


Podemos escribir la velocidad de grupo en función de la velocidad de fase. En primer lugar usamos la dependencia de vf con :

• dispersión normal: son los medios en donde

• dispersión anómala: son los medios en donde

Cuando hay dispersión normal (pequeña) el paquete se distorsiona poco al viajar por el material y su identidad se mantiene.

Cuando la dispersión es normal y grande o se trata de dispersión anómala la señal se distorsiona tanto que e ocasiones es imposible recuperar la información. En tal caso surge la duda de si la noción de velocidad de grupo tiene sentido como parámetro que describe la propagación de energía e información

26

r

fv

0

0

0

0

0

0

0

( )1 1( )

1( )

f

g g

ff

f

vv v

d dvd v

d v dd

0 f

g f

dvv v

d

0 f

g f

dvv v

d


Dispersión en dieléctricos

dieléctricos sin pérdidas:

En la mayoría de los dieléctricos sin pérdidas (o de muy bajas pérdidas) usados en la ingeniería electromagnética, la permitividad varía poco con la frecuencia dentro de las frecuencias de uso, por lo que la relación de dispersión es lineal y no hay dispersión apreciable.

dieléctricos con pérdidas: Podemos escribir:

Se produce dispersión cerca de las frecuencias de resonancia o “bordes de absorción” del modelo de Drude-Lorentz, donde ’ tiene derivada negativa respecto de la frecuencia (dispersión anómala) y se produce el pico de absorción, ligado con ”.

En esta región la velocidad de grupo puede ser infinita o nega-tiva. En la figura se grafica vf y vg en función de la frecuencia reducida = /0 para un material de Drude-Lorentz con /0 = 1 y cc = 0.5.

27

r

0 0( ) r c

0

0 0 0 0( ) ; ( )f r g

dnv c n n v c n

d


Dispersión en conductores

vf aumenta como la raíz de la frecuencia. Entonces dvf /d es positiva y hay dis-persión anómala.

La velocidad de grupo vale:

confirmando que es un caso de dispersión anómala.

Dispersion en plasmas diluidos:

Debemos calcular para > p, donde hay propagación.

Como la velocidad de grupo es menor que la velocidad de fase, los plasmas diluidos presentan dispersión normal. Obsérvese que el producto de ambas velocidades vale: En la figura se ilustra el comportamiento de ambas velocidades

con la frecuencia. La abscisa es = /p y la gráfica vale para > 1.

28

r

0 01 2 2fv

20

0

0 0 0 0

4 22 4 22 2 2g f

dv v

d

2

0

1 pc

20

0 0 02

1; 1

1f g p

p

c dv c v c c

d d d

2

0g fv v c

Ondas electromagnéticas 9 – Metamateriales

Se denominan metamateriales a diversos tipos de materiales artificiales diseña-dos y construidos para presentar propiedades (aún) no halladas en materiales naturales. Actualmente, estos materiales permiten manejar ondas de sonido o electromagnéticas de maneras nuevas e imposibles de obtener sin ellos. En este curso usamos la interpretación restringida de metamateriales, referida a materia-les con índice de refracción negativo.

Por sus propiedades electromagnéticas, en la naturaleza hay materiales de los siguientes tipos: a) Estos son los materiales “normales” o RH, así llamados por-que E, H y forman una terna derecha (right-handed). b) Por ejemplo, plasmas donde se producen ondas evanescen-

tes por debajo de la frecuencia de plasma. c) También se producen ondas evanescentes en ferritas que se comportan como plasmas para la permeabilidad magnética. Pero nunca se han hallado materiales donde simultáneamente < 0 y < 0. En 1968 Victor Veselago demostró teóricamente que estos materiales (si existieran) no contradirían las leyes de la física.

29

r

Ondas electromagnéticas 9 – Metamateriales

En un material RH los campos E, H y el vector de onda β forman una terna derecha. Por ejemplo, para una onda plana progresiva que se propaga según +z en un material sin pérdidas:

En un metamaterial: y resulta:

Vemos que ahora los vectores forman una terna izquierda, y el vector de Poynting y el vector de onda son opuestos.

Además, como la velocidad de fase vale y tiene el sentido del vector β, y la velocidad de la energía tiene el sentido del vector de Poynting, ambas velocidades también son opuestas en un material LH (ondas retrógradas).

30

r

( ) ( ) ; ( ) ( ):

ˆ ˆ, , , , ;t t t N t

β E r H r β H r E rRH

N r E r H r r z β z

,

( ) ( ) ; ( ) ( ):

ˆ ˆ, , , , ;t t t N t

β E r H r β H r E rLH

N r E r H r r z β z

ˆf v β

Ondas electromagnéticas 9 – Metamateriales – Propiedades ópticas básicas

Supongamos una onda que incide oblicuamente sobre el plano de separación entre un material RH y un material LH. Las componentes tangenciales de los campos E y H deben conservarse. Esto implica que se conservan por separado amplitud y fase de los vectores. En el caso de la fase esto implica la conservación de la componente de β paralela a la interfaz.

Como en el material LH hay una onda retrógrada, la única posibilidad es la que indica la figura, y la onda refractada se mantiene en el mismo semiplano, respecto de la normal, de la onda incidente. En verde se dibujan los vectores N y β si el medio (2) fuera también RH. Los ángulos θi y θr se miden desde la normal hacia el vector de onda, de modo que si tomamos θi positivo, θr debe ser negativo. La conservación de la componente tangencial de β se escribe:

y entonces n2 debe ser negativo. Decimos que los metamateriales presentan un índice de refracción negativo:

31

r

1 2 1 1 2 2 1 2sen sen sen sen sen seni r i r i rn n

0 material r rn c RH

LH

Ondas electromagnéticas 9 – Metamateriales – Modelo LT

El modelo circuital de una línea de transmisión (LT) sin pérdidas es el de la figura. Las ecuaciones en el dominio de la frecuencia que describen su comportamiento son:

La relación de dispersión es lineal y las velocidades de fase y de grupo coinciden y son independientes de la frecuencia.

El modelo de la figura (observar cómo se definen los componentes distribuidos) lleva a las siguientes ecuaciones en el dominio de la frecuencia:

La relación de dispersión es no lineal y las velocidades de fase y de grupo son opuestas (ondas retrógradas) y varían fuertemente con la frecuencia. Por ello este modelo puede describir propiedades de metamateriales. 32

r

1

0 0 0 0 0

0

, ; ,

; 1 ;

j t z j t z j t z j t z

R R f g R R R R

v z t V e V e i z t Z V e V e

L C v v L C Z L C

1

0 0 0 0 0

2

0

, , ,

1 ; ;

j t z j t z j t z j t z

L L f g L L L L

v z t V e V e i z t Z V e V e

L C v v L C Z L C


El modelo general de una línea de transmisión (LT) es el de la figura. Las ecuaciones en el dominio de la frecuencia que describen su comportamiento son:

En particular, un modelo adecuado para describir metamateriales es el siguiente, llamado CRLH (Composite Right/Left - Handed). Entonces:

Es instructivo ver el comportamiento asintótico de en función de la frecuencia:

La estructura es LH a baja frecuencia y RH a alta frecuencia. 33

r

0 00 0 0

0 0

0

, ; ,

;

j t z j t z j t z j t zV Vv z t V e V e i z t I e e

Z Z

ZY Z Z Y

1 ; 1R L R LZ j L j C Y j C j L

1 1R L R LZY j L j C j C j L

0 : 1 1 con 1

: con

L L LH LH L L

R R RH RH R R

j C j L L C

j L j C L C


El número de onda para una onda progresiva se puede escribir como:

Para que haya propagación de ondas en la estructura, el número de onda debe tener parte real positiva para una onda progresiva. Si es imaginario pura no hay propagación porque la velocidad de propagación es también imaginaria pura.

Por lo tanto vemos por inspección que se da una estructura de bandas de frecuencia permitidas y prohibidas para la propagación:

34

r

2 2 2 2 2 2 2

1 1

1 11 1 ; ;

R L R L

R R se sh se sh

R L L R

ZY j L j C j C j L

L CL C L C

si min , hay propagación

si min , max , no hay propagación

si max , hay propagación

se sh

se sh se sh

se sh


El número de onda para una onda progresiva se puede escribir como:

La figura muestra la variación de con la frecuencia en una estructura CRLH con los parámetros:

Obtenemos:

Vemos que se presenta un banda prohibida entre ambas frecuencias donde es imaginario puro. La estructura se comporta como LH para frecuencias inferiores y como RH para frecuencias superiores.

Si cambiamos los parámetros para igualar ambas frecuencias, se obtiene la relación de dispersión de la izquierda, sin banda prohibida. Esta estructura se denomina balanceada. Sigue siendo una relación de dispersión no lineal.

35

r

2 2 2 2 2 2 21 11 1 ; ;R R se sh se sh

R L L R

L CL C L C

2.5 ; 1.2 ; 2.5 ; 1R R L LL nH m C pF m L nH m C pF m

0 0

10 1 10 1

45.64 , 50

1 2 10 , 1 1.827 10

R R R L L L

se R L sh L R

Z L C Z L C

L C s L C s

Ondas electromagnéticas 9 – Metamateriales – Estructuras experimentales

Con objetivos de aplicaciones electrónicas se han implementado diversas estructuras que se basan en repetir celdas del tipo del modelo LT.

La estructura 1D (a) fue construida en 2000 y la 2D (b) en 2001 en la Universidad de California en San Diego. Estas estructuras se basan en una “celda” formada por una barra vertical, que actúa como la capacidad serie de la celda teórica y un resonador de aro partido (split ring resonator - SRR) formado por dos aros concéntricos circulares o cuadrados con aberturas, que actúan como la inductancia paralela de la celda teórica. Por el tamaño de las celdas, estas estructuras trabajan a frecuencia de microondas.

Otra estructura, usada para ondas milimétricas u ópticas es la llamada fishnet, donde se combinan ambos elementos en un solo plano. Se usan técnicas comunes de litografía por haces electrónicos para crear capas de la estructura sobre un sustrato de cuarzo, dieléctrico de MgF2 (n = 1.38) y capas de oro.

36

r

Ondas electromagnéticas 9 – Metamateriales – Aplicaciones

Las aplicaciones actuales se concentran en las bandas de frecuencia de microondas y ondas milimétricas por las posibilidades de fabricación.

Se han presentado prototipos de dispositivos en antenas y sistemas de antenas, y diversas estructuras de propagación guiada que incluyen operación en bandas duales, mejoras en el ancho de banda de la estructura convencional, estructuras multicapa, etc.

Una aplicación muy publicitada ha sido el dispositi-vo de la figura, en donde una larga tira de celdas se ha enrollado en forma de cilindro. Iluminado a lo largo de un radio con una onda plana de micro-ondas, el cilindro ha guiado la radiación evitando que pasara por su hueco. En las figuras se muestra la propagación de la onda sin y con el dispositivo. Un objeto situado en el hueco de la estructura sería invisible a las ondas. Esta propiedad se denomina cloaking, y ha disparado numerosos estudios para lograr capas de invisibilidad. 37

r

electromagnetismo 2018 - materias.fi.uba.armaterias.fi.uba.ar/6209/download/clases/2-04-ondas en...

Documents