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Electrodinámica de unsuperconductor

Jesus Alberto Cazares Montes

Centro de Investigacion y Estudios Avanzados – IPN

Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 1

Plan de exposición

Introducción

Modelo de LondonEcuaciones de LondonEcuaciones para los campos eléctrico ymagnéticoCampos eléctrico y magnético en unsuperconductorEfecto Meissner

Número de superelectrones


Introducción

1933 Se descubre el efecto Meissner.


Introducción


1934 Los hermanos Fritz y Heinz Londondesarrollan la electrodinámica para unsuperconductor con la idea de describir el efectoMeissner:


Introducción



Hay que cambiar las leyes de la electrodinámica...


Introducción




Las leyes de Maxwell son siempre válidas!


Introducción




Las leyes de Maxwell son siempre válidas!

Hay que modificar la ley de Ohm.


Modelo de London

Hay dos tipos de electronesn = nn + ns


Modelo de London


Electrones "normales"nn


Modelo de London



Electrones "superconductores"ns

no contribuyen a la resistividad...


Modelo de London



Electrones "superconductores"ns

no contribuyen a la resistividad...

pueden acelerarse !!!!


Ecuaciones de London

mvs = eE



mvs = eE

y como J s = ensvs =⇒ vs =J s

ens



mvs = eE

y como J s = ensvs =⇒ vs =J s

ensse tendrá entonces

E =∂

∂t

(

m

e2nsJ s

)

=∂

∂t(∆J s)

siendo∆ =m

e2ns.


La ley de Faradaydice ∇ × E = −1

c

∂B

∂t



c

∂B

∂t

así, usandoE =∂

∂t(∆J s) tendremos

∇ ×

(

∂

∂t(∆J s)

)

=∂

∂t(∇ × (∆J s)) = −

1

c

∂B

∂t



c

∂B

∂t

así, usandoE =∂

∂t(∆J s) tendremos

∇ ×

(

∂

∂t(∆J s)

)

=∂

∂t(∇ × (∆J s)) = −

1

c

∂B

∂t

de donde

∇ × (∆J s) = −B

c


Ecuaciones para los campos eléctricoy magnético

La densidad total de corriente esJ = J s + Jn dondeJn = σE , así las ecuaciones de London

E =∂

∂t(∆J s) −

B

c= ∇ × (∆J s)




E =∂

∂t(∆J s) −

B

c= ∇ × (∆J s)

tomarán la forma

E =∂

∂t(∆J−∆Jn) ⇒

∂

∂t(∆J) = E+∆σ

∂E

∂t




E =∂

∂t(∆J s) −

B

c= ∇ × (∆J s)

tomarán la forma

E =∂

∂t(∆J−∆Jn) ⇒

∂

∂t(∆J) = E+∆σ

∂E

∂t

∇ × (J − σE) = −B

c∆⇒ ∇ × J = −

B

c∆+ σ

∂B

∂t

donde se ha usado la ley de Faraday.Mexico D.F. 6 de mayo del 2008– p. 7

De la ley de Ampère–Maxwell

∇ × B −1

c

∂E

∂t=

4π

cJ



∇ × B −1

c

∂E

∂t=

4π

cJ

se tiene

∇ × (∇ × B) −1

c

∂

∂t∇ × E =

4π

c∇ × J



∇ × B −1

c

∂E

∂t=

4π

cJ

se tiene

∇ × (∇ × B) −1

c

∂

∂t∇ × E =

4π

c∇ × J

o bien, usando la ley de Faraday

∇ × (∇ × B) = −1

c2

∂2B

∂t2+

4π

c∇ × J


así obtenemos

∇ × (∇ × B) = −1

c2

∂2B

∂t2+

4π

c

(

−B

c∆+ σ

∂B

∂t

)


así obtenemos

∇ × (∇ × B) = −1

c2

∂2B

∂t2+

4π

c

(

−B

c∆+ σ

∂B

∂t

)

es decir

c2∇ × (∇ × B) +

4π

∆B + 4πσ

∂B

∂t+

∂2B

∂t2= 0


de forma similar, se puede obtener

c2∇ × (∇ × E) +

4π

∆E + 4πσ

∂E

∂t+

∂2E

∂t2= 0

c2∇ × (∇ × J) +

4π

∆J + 4πσ

∂J

∂t+

∂2J

∂t2= 0

4π

∆ρ + 4πσρ + ρ = 0


La solución para una EDO de segundo orden se proponeρ ∼ e−γt, así, de la ecuación de segundo orden paraρtendremos



γ2− 4πσγ +

4π

∆= 0



γ2− 4πσγ +

4π

∆= 0

de donde

γ1,2 =4πσ ±

√

16π2σ2 −16π∆

2

= 2πσ

(

1 ±

√

1 −1

∆πσ2

)


como√

1 −1

∆πσ2≈ 1 −

1

2

(

1

∆πσ2

)

+ · · ·


como√

1 −1

∆πσ2≈ 1 −

1

2

(

1

∆πσ2

)

+ · · ·

se tendrá

γ1,2 = 2πσ

(

1 ±

√

1 −1

∆πσ2

)

≈ 2πσ

(

1 ±

(

1 −1

2

1

∆πσ2

))


como√

1 −1

∆πσ2≈ 1 −

1

2

(

1

∆πσ2

)

+ · · ·

se tendrá

γ1,2 = 2πσ

(

1 ±

√

1 −1

∆πσ2

)

≈ 2πσ

(

1 ±

(

1 −1

2

1

∆πσ2

))

=

4πσ ≃ 1019seg−1

1

∆σ ≃ 1012seg−1


El tiempo de relajaciónτ se define por la más pequeñade las exponenciales

τ =1

γ2

≃ ∆σ ≃ 10−12seg


El tiempo de relajaciónτ se define por la más pequeñade las exponenciales

τ =1

γ2

≃ ∆σ ≃ 10−12seg

por lo que, cualquier carga que llegue a unsuperconductor deberá desaparecer en un tiempo de eseorden.


Campos eléctrico y magnético en unsuperconductor

Para un conductor

∇ · E = 4πρ = 0 =⇒ ∇ · J = −ρ = 0



Para un conductor

∇ · E = 4πρ = 0 =⇒ ∇ · J = −ρ = 0

ahora, recordando la identidad

∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) −∇2A

tendremos que siA esE , B ó J



Para un conductor

∇ · E = 4πρ = 0 =⇒ ∇ · J = −ρ = 0

ahora, recordando la identidad

∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) −∇2A

tendremos que siA esE , B ó J

∇ × (∇ × A) = −∇2A


así, las ecuaciones (utilizamosA para denotarE , B ó J )

c2∇ × (∇ × A) +

4π

∆A + 4πσ

∂A

∂t+

∂2A

∂t2= 0



c2∇ × (∇ × A) +

4π

∆A + 4πσ

∂A

∂t+

∂2A

∂t2= 0

tomarán la forma

c2∇

2A =

4π

∆A + 4πσ

∂A

∂t+

∂2A

∂t2



c2∇ × (∇ × A) +

4π

∆A + 4πσ

∂A

∂t+

∂2A

∂t2= 0

tomarán la forma

c2∇

2A =

4π

∆A + 4πσ

∂A

∂t+

∂2A

∂t2

por otro lado, si los campos son cuasi–estacionarios,entonces se tendrá

∇ × (∇ × A) +4π

∆c2A = 0


si consideramos la ecuación para un campo eléctricoestacionario, la ecuación anterior corresponde a

∇ × (∇ × E) +4π

∆c2E = 0



∇ × (∇ × E) +4π

∆c2E = 0

pero, de la ley de Faraday

∇ × E = −1

c

∂B

∂t



∇ × (∇ × E) +4π

∆c2E = 0


∇ × E = −1

c

∂B

∂t= 0 =⇒ E = 0



∇ × (∇ × E) +4π

∆c2E = 0


∇ × E = −1

c

∂B

∂t= 0 =⇒ E = 0

es decir,en un superconductor no existen camposelectricos



∇ × (∇ × E) +4π

∆c2E = 0


∇ × E = −1

c

∂B

∂t= 0 =⇒ E = 0

es decir,en un superconductor no existen camposelectricos (esto, no implica que no exista corrienteeléctrica).


como ya se vió, para campos cuasi–estacionarios

∇ × (∇ × A) +4π

∆c2A = 0

∇ × (∇ × A) = −∇2A



∇ × (∇ × A) +4π

∆c2A = 0

∇ × (∇ × A) = −∇2A

así se obtendrán ecuaciones de la forma

∇2A =

4π

∆c2A



∇ × (∇ × A) +4π

∆c2A = 0

∇ × (∇ × A) = −∇2A

así se obtendrán ecuaciones de la forma

∇2A =

4π

∆c2A

cuya solución es del tipo

e−

√

4π

∆c2x


Efecto Meissner

Analicemos dicha ecuación para el campo magnético

∇2B =

4π

∆c2B con solución e

−

√

4π

∆c2x


Efecto Meissner


∇2B =

4π


−

√

4π

∆c2x

la longitud de penetraciónλL del material es

λL = c

√

∆

4π∼ 10−6cm


Efecto Meissner


∇2B =

4π


−

√

4π

∆c2x


λL = c

√

∆

4π∼ 10−6cm

es decirel campo magnetico desaparece continuamenteen la superficie del superconductor


Efecto Meissner


∇2B =

4π


−

√

4π

∆c2x


λL = c

√

∆

4π∼ 10−6cm

es decirel campo magnetico desaparece continuamenteen la superficie del superconductor (efecto Meissner).



De las ecuaciones de London, encontramos que

∆ =m

nse2, por lo que

λL = c

√

∆

4π=

c

e

√

m

4πns



De las ecuaciones de London, encontramos que

∆ =m

nse2, por lo que

λL = c

√

∆

4π=

c

e

√

m

4πns

o bien

ns =mc2

4πe2λ2L


Laurman y Schoenberg encontraron experimentalmente(1947) que la longitud de penetraciónλ depende de latemperatura como

λ(T ) = λo

[

1 −

(

T

Tc

)4]−1/2

siendoλo una constante que depende del material,


Laurman y Schoenberg encontraron experimentalmente(1947) que la longitud de penetraciónλ depende de latemperatura como

λ(T ) = λo

[

1 −

(

T

Tc

)4]−1/2

siendoλo una constante que depende del material, así[

1 −

(

T

Tc

)4]−1

=

(

λ(T )

λo

)2

=

(

no

ns

)


o bien

ns = no

[

1 −

(

T

Tc

)4]

es decir, el número de superelectrones tiende a cero siT → Tc y tiende a un valor constante siT → 0


o bien

ns = no

[

1 −

(

T

Tc

)4]

es decir, el número de superelectrones tiende a cero siT → Tc y tiende a un valor constante siT → 0

3210

5

x

4

3

5

2

1

40


Conclusiones

Se estableció un tipo de electrones (superelectrones)que no contribuyen a la resistividad.


Conclusiones


Se encontraron las ecuaciones de London, querelaciona la densidad de corriente de lossuperelectrones con los campos eléctrico ymagnético, estableciéndose las ecuaciones para laelectrodinámica de los campos eléctrico ymagnético.


Conclusiones



Se calcularon los campos eléctrico y magnético enun superconductor, explicándose así, el efectoMeissner.


Conclusiones



Se calcularon los campos eléctrico y magnético enun superconductor, explicándose así, el efectoMeissner.

Se determinó el número de superelectrones enfunción de la temperatura.


Por su atención...

GRACIAS !!


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