442

11 Radiación

11.1 Radiación del dipolo. . . . . . . . .

11.1.1 ¿Qué es la radiación? . . . .

11.1.2 La radiación del dipolo eléctrico.

11.1.3 La radiación del dipolo magnético.

11.1.4 La radiación de un origen arbitrario

11.2 cargas puntuales. . . . . . . . . . . . . . .

11.2.1 de energía radiada por una carga puntual.

11.2.2 La radiación de reacción. . . . . . . . .

11.2.3 La base física de la reacción de la radiación

Capítulo 11

Radiación

11.1 Radiación del dipolo

11.1.1 ¿Qué es la radiación?

En el capítulo 9 hablamos de la propagación de ondas electromagnéticas planas a través de

diversos medios de comunicación, pero nada se dijo sobre el origen de la onda. Al igual que todos

campos electromagnéticos, su fuente es una disposición de cargas eléctricas. Pero una carga en

reposo no genera ondas electromagnéticas, ni tampoco una corriente constante. Se requiere

acelerar las cargas, y las corrientes variables, como veremos más adelante. Mi propósito en este

capítulo es mostrar cómo este tipo de configuraciones producen las ondas electromagnéticas, es

decir, la forma en que irradian. Una vez establecidas, las ondas electromagnéticas se propagan en

el vacío "al infinito", llevando energía con ellas; la marca de la radiación es este flujo irreversible

de energía percibido lejos de la fuente. A lo largo de este capítulo, se asumirá que fuente esta

localizada cerca del origen. Imagine una capa esférica gigante, en el radio r (Fig. ll.I); la potencia

total que pasa a través de esta superficie es la integral del vector de Poynting:

0

1( ) S. a= (E B). aP r d d

443

La potencia radiada es el límite de esta cantidad como r tiende a infinito:

Esta es la energía (por unidad de tiempo) que se transporta hacia el infinito, y nunca regresa.

Ahora, el área de la esfera es , por lo que para la radiación

que se produzca el vector de Poynting debe disminuir (con r

grande) tan rápido como (si fuera , por ejemplo,

entonces P (r) disminuye como 1 / r, y sería cero). De

acuerdo con la ley de Coulomb, los campos electrostáticos

decrecen como (o incluso más rápido, si la carga total es

cero), y la ley de Biot-Savart dice que los campos magneto

estáticos disminuyen como (o más rápidamente) lo que

significa que para una configuración estática, por lo

que las fuentes estáticas no irradian. Sin embargo, las

ecuaciones de Jefimenko (10.29 y 10.31) indican que los

campos dependientes del tiempo tienen términos (que incluyen y ) que disminuyen como 1

/ r estos son los términos responsables de la radiación electromagnética.

El estudio de la radiación, entonces, consiste en elegir las partes de E y B que van como 1 /

r a grandes distancias de la fuente, construyéndolos desde el termino de S, integrando sobre

una gran superficie esferica2, y tomando el límite cuando . Voy a llevar a cabo este

procedimiento primero para dipolos oscilantes eléctricos y magnéticos, y luego, en la Secc. 11.2,

vamos a considerar el caso más difícil de la radiación el de acelerar una carga puntual.

11.1.2 La radiación del dipolo eléctrico

Imagine dos pequeñas esferas de metal separadas por una distancia d, y conectados por un hilo

fino (Fig. 11.2); en el tiempo t la carga en la esfera superior es q (t), y la carga en la esfera inferior

es -q (t). Supongamos ahora que la unidad de carga va ida y vuelta a través del alambre de un

extremo al otro, a una frecuencia angular :

El resultado es un dipolo eléctrico oscilante: 3

2 No tiene que ser una esfera, por supuesto, pero esto hace los cálculos mucho más fáciles. 3 puede ser que un modelo más natural sean cargas iguales y opuestas montado en un resorte, por ejemplo, de manera que q sea constante, mientras que d oscile, en lugar de al revés. Ese modelo conduciría al mismo resultado, pero hay un problema sutil en el cálculo de los potenciales retardados de una carga puntual en movimiento. Que sería mejor ahorrar para la sección. 11.2.

Donde es el valor máximo del momento dipolar.

lim ( ).radr

P P r

444

El potencial de retraso (Ec. 10.19) es

Donde, por la ley de los cosenos,

Ahora, para que este dipolo físico sea un dipolo perfecto, supondremos que la distancia de

separación es muy pequeña:

Aproximación 1: d« r.

Por supuesto, si d es cero no hay potencial, lo que queremos es una expresión de primer orden

para d. Por lo tanto

(11.8)

De ello se deduce que

(11.9)

Y

445

Aún más, en el límite del dipolo perfecto

Aproximación 2: d« c/w (Puesto que las ondas de frecuencia w tiene una longitud de onda λ = 2πc/ω, esto equivale a la exigencia d «λ.) En estas condiciones

Sustituyendo las ecuaciones. 11.9 y 11.11 en la ecuación. 11.5, se obtiene el potencial de un dipolo

oscilante perfecto:

En el límite estático el Segundo término reproduce la vieja fórmula para el potencial de

un dipolo estacionario (Ec. 3.99):

Este no es, sin embargo, el término que nos ocupa ahora, estamos interesados en los campos que

sobreviven a grandes distancias de la fuente, en la llamada zona de radiación: 4

(O, en términos de la longitud de onda, r »λ) En esta región el potencial se reduce a

4 Note que las aproximaciones 2 y 3 son sub aproximaciones, que hemos tomado, d «λ« r.

446

Mientras tanto, el potencial vector está determinado por la corriente que fluye por el alambre:

Refiriéndose a la figura. 11.3,

Debido a que en la integración se introduce un factor de d, podemos, en primera lugar,

sustituir el integrando por su valor en el origen:

(Tenga en cuenta que mientras que implícitamente se utilizan las aproximaciones 1 y 2,

para mantener sólo el primero orden en d, la ecuación. 11.17 no está sujeta a la

aproximación 3.)

A partir de los potenciales, es un asunto sencillo calcular el campo.

447

(Se eliminó el primer y el último de los términos, de acuerdo con la aproximación 3.) Del mismo

modo,

Y por lo tanto

Mientras tanto

El segundo término también es eliminado por la aproximación 3, por lo tanto

Las ecuaciones 11.18 y 11.19 representan ondas monocromáticas de frecuencia ω viajando en la

dirección radial a la velocidad de la luz. E y B están en fase, son perpendiculares entre sí, y

transversales, la relación de sus amplitudes es Eo / Bo = c. Que es lo que se espera para las ondas

448

electromagnéticas en el espacio libre. (Estas son en realidad ondas esféricas, no ondas planas, y

su amplitud disminuye como 1/r a medida que avanzan. Pero para r grandes, son

aproximadamente planos en pequeñas regiones-como la superficie de la tierra es bastante plana,

a nivel local.)

La energía radiada por un dipolo eléctrico oscilante está determinada por la vector de

Poynting:

La intensidad se obtiene haciendo un promedio (en tiempo) durante un ciclo completo:

Tenga en cuenta que no hay radiación a lo largo del eje del dipolo (en este caso sinӨ =0) el perfil5

de intensidad toma la forma de una rosquilla, con su máximo en el plano ecuatorial (Fig. 11.4). La

potencia total radiada se encuentra mediante la integración de <S> sobre una esfera de radio r:

5 la coordenada “radial” en Fig.11.14 representa la magnitud de <S> (r fijo), es un función de Ө y de φ

La conservación de la energía es independiente del radio de la esfera, como era de esperar (con la

aproximación 3 estábamos anticipando el límite ).

Example 11.1

449

La fuerte dependencia de la fórmula de la potencia en la frecuencia es lo que explica el azul del

cielo. La luz del sol al pasar a través de la atmósfera estimula a los átomos a oscilar como

pequeños dipolos. La radiación solar incidente cubre una amplia gama de frecuencias (luz blanca),

pero la energía absorbida y vuelta a irradiar por los dipolos de la atmósfera es más fuerte en las

frecuencias más altas debido a la ω presente en la ecuación 4. 11.22. Es más intensa entonces en el

azul, que en el rojo. Es esta luz irradiada lo que usted ve cuando mira para arriba viendo al cielo, a

menos que, por supuesto, usted está mirando directamente al sol.

Debido a que las ondas electromagnéticas son transversales, los dipolos oscilan en un

plano ortogonal a los rayos del sol. En el arco celeste perpendicular a estos rayos, donde el azul es

más pronunciado, los dipolos oscilantes a lo largo de la línea de visión no envían radiación hacia el

observador (debido al sen2 (Ө) de la ecuación 11.21.); la luz recibida en este punto de

observación esta polarizada perpendicularmente a los rayos del sol (Fig. 11.5).

El enrojecimiento de la puesta del sol es la otra cara de la misma moneda: La luz del sol entrando por la tangente a la superficie de la tierra debe pasar por un tramo mucho más largo de la atmósfera que la luz solar que viene desde arriba (Fig. 11.6). En consecuencia, gran parte del azul ha sido eliminado por la dispersión y lo que queda es el rojo. Problema 11.1 Verificar que los potenciales retardados de un dipolo oscilante (ecuaciones 11.12 y 11.17) satisface la condición de calibre de Lorentz. No utilice la aproximación 3. Problema 11.2 La ecuación 11.14 se puede expresar en "coordinadas libres " de la forma

Hacerlo, y lo mismo para las ecuaciones. 11.17, 11.18. 11.19, y 11.21. Atmósfera (espesor exagerado)

450

Problema 11.3 Encuentra la resistencia a la radiación del cable que une los dos extremos del dipolo. (Esta es la resistencia que le daría la misma pérdida de energía promedio como calor en el dipolo oscilante, de hecho, la pierde en forma de radiación.) Demuestre que es la longitud de onda de la radiación. Para los cables en un radio común (por ejemplo, d = 5 cm), ¿debe preocuparse por la contribución de radiación a la resistencia total?

Problema 11.4 Un dipolo eléctrico giratorio se

puede considerar como la superposición de dos dipolos

oscilantes, uno a lo largo del eje x, y el otro a lo largo del

eje Y (Fig. 11.7), con el último desfasado en 90º:

Utilizando el principio de superposición y las ecuaciones.

11.18 y 11.19 (quizás en la forma sugerida por Prob. 11.2),

encontramos los campos de un dipolo de rotación.

También encontramos el vector de Poynting y la intensidad

de la radiación. Dibuje el perfil de intensidad en función

del ángulo polar Ө, y calcular la potencia total radiada.

¿Parece razonable la respuesta? (Tenga en cuenta que la potencia, es cuadrática en los campos, no

satisface el principio de superposición. En este caso, sin embargo parecería que sí. ¿Puede

explicar esto?)

451

11.1.3 La radiación del dipolo

magnético

Supongamos ahora que tenemos un lazo de alambre

de radio b (Fig. 11.8), en torno al cual dirigimos una

fuente de corriente:

Este es un modelo para el dipolo magnético oscilante,

donde

es el valor máximo del momento de dipolo magnético. El lazo está descargado, por lo que el

potencial escalar es cero. El potencial vector de retraso es:

Para un punto r directamente sobre el eje x (Fig. 11.8), A debe apuntar en la dirección y, dado que

los componentes x de los puntos situados simétricamente a cada lado del eje x, se cancelará. Por

lo tanto

(Cos φ’ sirve para elegir la componente y del dI’). Por la ley de los cosenos,

452

donde ψ es el ángulo entre los vectores r y b:

O sea: , y por lo tanto

Para un dipolo perfecto queremos que la espira sea extremadamente pequeña:

Tomando el termino de primer orden en el desarrollo de r tenemos:

Por consiguiente:

Y

Como antes, también asumimos que el tamaño del dipolo es pequeño en comparación con la

longitud de onda radiada:

En este caso

Insertando las ecuaciones. 11.30 y 11.32 en la ecuación. 11.27, y colocar el término de

segundo orden:

El primer término de la integral se anula;

453

El segundo término implica la integral de un coseno al cuadrado:

Poniendo esto, y observando que en general los puntos de A tienen la dirección de , se llega a la

conclusión de que el potencial vector de un dipolo magnético oscilante perfecto es:

En el limite estatico (ω=0), se obtiene la formula para el potencial de un dipolo magnético

(Ec. 5.85)

En la zona de radiacion:

el primer término de A es

insignificante, por lo que

A partir de A obtenemos, para r grande:

(se ha usado la aproximación 3 en el cálculo de B.) Estos campos están en fase, perpendiculares

entre sí, y se propagan transversalmente . Y la relacion entre sus amplitudes es: E0 /B0 =c, todo

esto era lo esperado en ondas electromagnéticas. Ellos son, de hecho, muy similares en estructura

a los campos de un dipolo eléctrico oscilante (ecuaciones 11.18 y 11.19), solo que ahora B está en

la dirección , mientras que E esta en la direccion , mientras que para los dipolos eléctricos es al

revés. El flujo de energía de la radiación del dipolo magnético es

454

y la potencia total radiada es de:

Una vez más, el perfil de intensidad tiene la forma de una rosquita (Fig. 11.4), y la potencia radiada

va como ω4. Hay, sin embargo, una diferencia importante entre los dipolos de radiación eléctricos

y magnéticos: Para las distribuciones de dimensiones comparables, la potencia radiada

eléctricamente es enormemente mayor. Comparando las ecuaciones. 11.22 y 11.40,

donde (recordar) , La amplitud de la corriente eléctrica en el caso

fue . Tomando para poder comparar, se tiene:

Pero es muy pequeño (aproximación 2), y en 11.42 esta al cuadrado!!! Por lo general,

entonces, se debe esperar que la radiación dipolar eléctrica sea mayor. Sólo cuando el sistema

está cuidadosamente ideado para excluir cualquier contribución eléctrica (como en el caso que

acabamos de tratar) la radiación del dipolo magnético se puede observar.

Problema 11.5 Calcular los campos eléctrico y magnético de un dipolo magnético oscilante sin

usar aproximación 3. [¿Qué es lo que le resulta familiar? Comparar Prob.. 9.33.]. Encuentre el

vector de Poynting, y muestran que la intensidad de la radiación es exactamente la misma

que la que tenemos con la aproximación 3.

Problema 11.6 Encuentra la resistencia a la radiación (Prob. 11.3) para el dipolo magnético

oscilante en la figura. 11.8. Exprese su respuesta en términos de ʎ y b, y comparar la resistencia a

la radiación del dipolo eléctrico.

Problema 11.7 Utilice la "dualidad" de la transformación del problema. 7,60, junto con los campos

de un dipolo eléctrico oscilante (ecuaciones 11.18 y 11.19), para determinar los campos que se

produciría por una oscilante "GiIbert" dipolo magnético (compuesto por cargas magnéticas iguales

y opuesta. en lugar de una espira de corriente eléctrica). Compare las ecuaciones. 11.36 y

11.37, y comente los resultado.

11.1.4 La radiación de una fuente arbitraria

En las secciones anteriores hemos estudiado la radiación producida por dos sistemas específicos:

dipolos eléctricos oscilantes y dipolos magnéticos oscilantes. Ahora quiero aplicar los mismos

procedimientos para una distribución de carga y de corriente que sea totalmente arbitraria, salvo

que esta localiza dentro de algunos volúmenes finitos cerca del origen (Fig. 11.9).

455

Donde

Como antes, supondremos que el punto campo r está muy lejos, en comparación con las

dimensiones de la fuente:

(En realidad, r’ es una variable de la integración; aproximación 1 significa que el valor máximo de

r’, ya que se extiende sobre la fuente, es mucho menor que r). Con este supuesto,

Por lo que

y

Desarrollando a ρ en serie de Taylor en t sobre el tiempo retardado en el origen,

Tenemos

donde el punto representa la diferenciación con respecto al tiempo. Los términos siguientes en la

serie serían

456

Podemos tomar siempre:

Para un sistema oscilante cada uno de estos cocientes es c / w, y recordando la vieja aproximación

2. Para el caso general es más difícil interpretar la ecuación. 11.50, sin embargo como una

cuestión de procedimiento en las aproximaciones 1 y 2 mantenemos sólo los términos de primer

orden para r'.

Reemplazando las ecuaciones. 11.47 y 11.49 en la fórmula para V (Ec. 11.43), y nuevamente

desechando el término de segundo orden:

La primera integral es simplemente la carga total, Q, en tiempo t0. Debido a que la carga se

conserva, Q es en realidad independiente del tiempo. Las otras dos integrales representan el

momento dipolar eléctrico en t0.

En el caso estático, los dos

primeros términos son las contribuciones monopolo y dipolo del desarrollo multipolar de V; el

tercer término, por supuesto, no debería estar presente.

Mientras tanto, el potencial vector es

Como se verá en un momento, basta tomar el término de primer orden en r' para reemplazar

por r en la integral:

De acuerdo con Prob.5. 7, la integral de J es la derivada temporal del momento dipolar, por lo que

Ahora se ve por qué no era necesario llevar la aproximación de más allá del orden cero

p ya es de primer orden en r', y cualquier refinamientos sería correcciones de segundo orden. A

continuación debemos calcular los campos. Una vez más, estamos interesados en la zona de

radiación (es decir, en los campos que han sobrevivido a grandes distancias de la fuente), por lo

que se mantendrán sólo aquellos términos que van como 1/r: aprox 3 descartar terminos 1/r2 en

E y B. Por ejemplo, el campo Coulombiano,

457

Procedente del primer término en la Ec.11.51, no contribuye a la radiación electromagnética. De

hecho, la radiación proviene enteramente de los términos en los que distinguimos t0 en el

argumento. De la ecuación. 11.48 se deduce que

y por lo tanto

Del mismo modo,

mientras que

Así que

Donde esta evaluado en el tiempo y

En particular, si usamos coordenadas esféricas, con el eje z en la dirección de ,

entonces

El vector de pointing es

y la potencia radiada total es de

Recuerde que E y B son perpendiculares entre sí, transversales a la dirección de propagación ,

y estan relacionados por E/B=c por ser campos de radiacion.

458

Example 11.2

(a) En el caso de un dipolo eléctrico oscilante,

Y recordar los resultados de la sección 11.1.2

(b) Para una carga puntual q, el momento dipolar es

donde d es la posición de q con respecto al origen. En consecuencia,

donde a es la aceleración de la carga. En este caso, la potencia radiada (Ec. 11.60) será

Esta es la famosa fórmula de Larmor; Voy a deducirla otra vez, por un camino diferente, en la

próxima sección. Tenga en cuenta que la potencia radiada por una carga puntual es proporcional

al cuadrado de su aceleración. Lo que he hecho en esta sección equivale a una expansión

multipolar de los potenciales retardados, llevado al orden más bajo de r' capaz de producir

radiación electromagnética (campos que van como 1/r). Este resulta ser el término del dipolo

eléctrico. Debido a la conservación de la carga, un monopolo eléctrico no irradia, si la carga no se

conserva, el primer término de la ecuación 11.51 sería el siguiente

y nos encontraremos con un campo de monopolo proporcional a 1/r:

Se podría pensar que en una esfera cargada, cuyo radio oscila habría radiación dentro y fuera,

pero no, en el exterior, según la ley de Gauss, es exactamente independientemente

de las fluctuaciones en el tamaño. (En el análogo acústico, por cierto, los monopolos no irradian:

presenciar el croar de una rana toro.)

Si el momento dipolar eléctrico tiende a desaparecer (o, en todo caso, si su derivada segunda es

cero), entonces no hay radiación dipolar eléctrica, y hay que mirar hacia el próximo término: el de

segundo orden en r'. Llegado el caso, este término se puede separar en dos partes, uno de los

cuales se relaciona con el momento magnético dipolar de la fuente, el otro a su momento

cuadrupolar eléctrico. (El primero es una generalización de la radiación magnética dipolar que

hemos considerado en la Sección. 11.1.3.) Si las contribuciones del dipolo magnético y del

cuadrupolo eléctrico se desvanecen, se considerara el termino (r’)3. Esto produce cuadrupolo

magnético y la radiación octopolar eléctrica... y así sucesivamente.

459

Problema 11.8 Aplicar las ecuaciones. 11.59 y 11.60 para girar el dipolo del problema. 11.4.

Explicar las discrepancias evidentes con su respuesta anterior.

Problema 11.9 Un anillo no conductor circular (radio b) se encuentra en el plano xy, centrado en

el origen. Lleva una densidad de carga lineal λ = λ0 sen φ, donde λ0 es constante y φ es el ángulo

azimutal de costumbre. El anillo esta ahora girando a una velocidad angular constante w sobre el

eje z. Calcular la potencia radiada.

Problema 11.10 Un electrón se libera del reposo y cae bajo la influencia de la gravedad. En el

primer centímetro, ¿qué fracción de la energía potencial se pierde por radiación?

Problema 11.11 Como modelo para la radiación

cuadrupolar eléctrica, consideremos dos dipolos

eléctricos oscilantes orientados en forma opuesta,

separados por una distancia d, como se muestra en la

figura. 11.10. Utilizar los resultados de la sec 11.1.2 para

los potenciales de cada dipolo, pero tenga en cuenta que no

se encuentran en el origen. Manteniendo sólo los términos

de primer orden en d:

(a) Hallar los potenciales escalar y vectorial.

(b) Buscar los campos eléctricos y magnéticos.

(c) Encuentre el vector de Poynting y la potencia

radiada. Dibuje el perfil de intensidad en función de Ө.

Problema 11.12 Una corriente I(t) fluye alrededor del anillo circular de la figura. 11.8. Deducir la

fórmula general para la potencia radiada (análoga para la ec 11.60), expresar la respuesta en

función del momento magnético dipolar(m(t)) de la espira.

460

11.2 cargas puntuales

11.2.1 energía radiada por una carga puntual

En el capítulo 10 se deducen los campos de una carga puntual q en movimiento arbitrario

(ecuaciones 10.65 y 10.66):

Donde y

El primer término de la ecuación. 11.62 se llama el campo de velocidades, y la segunda (con el

triple producto vectorial) se llama el campo de aceleraciones. El vector de Poynting es

Sin embargo, no todo este fujo de energia constituye la radiacion, parte de ella es sólo la energía

llevada a lo largo del campo por la partícula que se mueve. La energía radiada es esa cosa que, en

efecto, se separa de la carga y se propaga hacia el infinito. (Es como las moscas que se

reproducen en un camión de basura: Algunas de ellas rondan el camión, ya que hacen sus

rondas; mientras que otras se largan a volar y no vuelven nunca más). Para calcular la potencia

total radiada por la partícula en el tiempo tr, trazamos una enorme esfera de radio (fig. 11.11),

centrada en la posición de la partícula (en el tiempo tr), tomando el intervalo adecuado

para la radiación que llega a la esfera, y en ese instante se integra el vector de Poynting sobre

la surface.6 He utilizado la notación tr porque, de hecho, este es el tiempo retardado para todos

los puntos de la esfera en el tiempo t. Ahora, el área de la esfera es proporcional a 2, por lo que

cualquier término en S que va como 1/ 2 dará un resultado finito, sino términos como 1/ 3 o

1/ 4 no contribuirá nada en el límite . Por esta razón, sólo los campos de aceleración

representan la radiación verdadera (de ahí su otro nombre, los campos de radiación):

6Note el sutil cambio en la estrategia: En Secta. 11.1 hemos trabajado desde un punto fijo (el origen), pero aquí, me pareció más

apropiado utilizar la ubicación (en movimiento) de la carga. Las implicaciones de este cambio de perspectiva se aclararán en un

momento.

461

Los campos de velocidad transportan energía, sin

duda, Los campos de velocidad transportan

energía, con seguridad, como la carga se mueve

esta energía es arrastrada a lo largo de su

recorrido, pero no es la radiación. (Es como las

moscas que se quedan con el camión de la basura.)

Ahora Erad es perpendicular con , por lo que el

segundo término del ejemplo. 11.64 desaparece:

Si la carga está instantáneamente en reposo (en el

tiempo tr), entonces y

En este caso

Donde Ө es el angulo entre y a, no se radia energia hacia delante o hacia atrás en la

direccion del movimiento, mas bien, es emitida en forma de una rosquilla sobre la dirección

de la aceleración instantánea (Fig. 11.12).

462

La potencia total radiada es, evidentemente,

Esto, de nuevo, es la fórmula de Larmor, que hemos obtenido anteriormente por otra vía

(Ec. 11.61). A pesar de que se derivó del supuesto de que v = 0. Las ecuaciones. 11,69 y 11,70

en realidad son una buena aproximación, siempre y cuando v « c. Un tratamiento exacto del

caso v ≠ 0 es más difícil,7 tanto por la obvia razón de que Erad es más complicado, y también por la

razón más sutil de que Srad la tasa a la cual la energía pasa a través de la esfera, no es la misma

que la velocidad a la que la energía salió de la partícula. Supongamos que alguien está disparando

un chorro de balas por la ventana de un coche en movimiento (Fig.11.13). La velocidad Nt a la

que las balas impactan un blanco estacionario no es la misma que la velocidad Ng a la que

dejó el arma, debido al movimiento del coche. De hecho, usted puede comprobar fácilmente que

Ng = (1 – v/c) Nt , si el coche se está moviendo hacia la meta, y

Para las direcciones arbitrarias (en este caso v es la velocidad del coche, c es la de las balas -en

relación con el suelo- y es un vector unitario que va del coche a la meta). En nuestro caso, si

dW/dt es la tasa a la cual la energía pasa a través de la esfera de radio , entonces la tasa a la

cual la energía dejó la carga fue

7En el contexto de la relatividad especial, la condición v = 0 representa simplemente una elección astuta del

sistema de referencia, sin pérdida esencial de la generalidad. Si usted puede decidir cómo se transforma P, se puede

deducir el resultado general (Lienard); para v = 0, la fórmula de Larmor.

463

(He usado Eq.1O.71 para expresar una ). Pero

que es precisamente la razón de Nt con Ng; es un factor puramente geométrico (el mismo que

en el efecto Doppler). La potencia radiada por la partícula en un parche de superficie

en la esfera es por consiguiente

Donde es el angulo solido en el que esta energía se irradia. La integración sobre Ө y φ para obtener la potencia total radiada no es nada fácil, y por una vez me limitaré a citar la respuesta:

Donde Esta es la generalización de Lienanf de la fórmula de Larmor (a la

que se reduce cuando v<<c). El factor significa que la energía radiada aumenta

enormemente cuando la velocidad de la partícula se aproxima a la velocidad de la luz.

Example 11.3

Supongamos que v y a están alineados de forma instantánea (en tr ), como por ejemplo, en

movimiento en línea recta. Encontrar la distribución angular de la radiación (Ec. 11.72) y la

potencia total emitida.

Solución: En este caso, por consiguiente

Ahora o sea En particular, si tomamos v en la dirección del eje z, se tiene,

Donde Esto es consistente, por supuesto, con la ecuación. 11.69, en el caso de v = O. Sin

embargo, para v muy grande , la rosquilla de radiación (Fig. 11.12) se estira hacia fuera y

se acelera por el factor como se indica en la figura. 11.14. Aunque todavía no hay radiación precisamente en la dirección de avance, la mayor parte se concentra en un cono cada vez más estrecho sobre la dirección de avance (véase Prob. 11.15).

464

La potencia total emitida se encuentra

integrando la ecuación. 11.74 en todos los

ángulos:

La integral sobre ϕ es 2π, la integral sobre

θ se realiza con la sustitución x = cos θ:

Integrando por partes los productos se llega a la conclucion que:

Este resultado es consistente con la fórmula Lienard (Ec. 11.73), para el caso de v y a colineales.

Tenga en cuenta que la distribución angular de la radiación es la misma si la partícula se está

acelerando o desacelerando; sólo depende del cuadrado de a, y se concentra en la dirección de

avance (con respecto a la velocidad), en ambos casos. Cuando un electrón de alta velocidad

impacta en un blanco de metal se desacelera rápidamente, emite la llamada radiación de

frenado. Lo que he descrito en este ejemplo es esencialmente la teoría clásica de la radiación de

frenado.

Problema 11.13

(a) Supongamos que un electrón se desaceleró a una tasa constante de una cierta velocidad

inicial hasta cero. ¿Qué fracción de su energía cinética inicial se pierde con la radiación?

(El resto es absorbido por lo que mantiene el mecanismo de aceleración constante.)

Supongamos v0 « c para que la fórmula de Larmor se puede utilizar.

(b) Para tener una idea de los números involucrados, supongamos que la velocidad

inicial es térmica (alrededor de 105 m/s) y el electrón pasa a una distancia de 30 0A.

¿Qué puede concluir acerca de las pérdidas por radiación, de los electrones en un

conductor común?

Problema 11.14 En la teoría de Bohr del hidrógeno, el electrón en su estado fundamental debía

viajar en un círculo de radio de 5 x10-11m, se mantendrá en órbita por la atracción de Coulomb de

los protones.

465

De acuerdo con la electrodinámica clásica, este electrón debe irradiar, y por lo tanto caer en

espiral hacia el núcleo. Demostrar que v « c para la mayoría de los disparos (por lo que se puede

utilizar la fórmula de Larmor), y calcular la vida útil del átomo de Bohr. (Suponga que la

trayectoria es esencialmente circular.)

Problema 11.15 Encuentra el ángulo θmax en el cual se emite la radiación máxima, en el ejemplo.

11.3 (ver fig. 11.14). Demostrar que para velocidades ultrarrelativista (cerca de c),

¿Cuál es la intensidad de la radiación en esa dirección máxima (en el caso ultrarrelativista), en

proporción con la misma cantidad de una partícula instantáneamente en reposo? Dé su respuesta

en términos de ϒ.

Problema 11.16 En el Ex. 11.3 asumimos que la velocidad y la aceleración son (de forma

instantánea, por lo menos) colineales. Llevar a cabo el mismo análisis para el caso en que son

perpendiculares. Elija los ejes de modo que v se encuentra a lo largo del eje z y a en el eje x (Fig.

11.15), de manera que

Compruebe que P es consistente con la fórmula Lienard. [Answer:

Para velocidades relativistas la radiación más fuerte alcanzó su máximo en la dirección

de avance (Fig. 11.16). La aplicación más importante de estas fórmulas es el movimiento circular

en este caso la radiación se denomina radiación sincrotrón. Para un electrón relativista la radiación

barre los alrededor como el faro de una locomotora en movimiento.

11.2.2 La radiación de reacción

De acuerdo con las leyes de la electrodinámica clásica, una carga acelerada irradia. Esta radiación consume energía, esto se hace a expensas de la energía cinética de la partícula. Bajo la influencia de una fuerza dada, por lo tanto, una partícula cargada se acelera menos que una neutra de la misma masa. La radiación, evidentemente, ejerce una fuerza (FRAD) tras la carga, una fuerza de retroceso, algo así como el tiro de un arma de fuego.

466

En esta sección vamos a deducir la fuerza de reacción de radiación a partir de la conservación de la energía. Luego, en la sección siguiente voy a mostrar el verdadero mecanismo responsable, y deducir la fuerza de reacción de nuevo en el contexto de un modelo simple.

Para una partícula no relativista (v « c) la potencia total radiada viene dada por la fórmula de Larmor (Ec. 11.70): La conservación de la energía sugiere que ésta es también la velocidad a la que la partícula pierde energía, bajo la influencia de la fuerza de reacción de la radiación Frad:

Digo "sugiere" deliberadamente, ya que esta ecuación es en realidad incorrecta. Para nosotros la

potencia radiada se calcula por la integración del vector de Poynting sobre una esfera de radio

"infinito"; en este cálculo los campos de velocidad no jugaron ningún papel, ya que disminuyen

con demasiada rapidez en función de para hacer ninguna contribución. Pero los campos de

velocidad llevan energía que simplemente no se transporta hasta el infinito. A medida que la

partícula se acelera y desacelera la energía se intercambia entre él y los campos de velocidad, al

mismo tiempo, la energía es irreversiblemente radiada lejos por los campos de aceleración. La

ecuación 11.77 sólo tiene en cuenta este último, pero si queremos saber la fuerza de retroceso que

ejerce sobre los campos de la carga, pero si queremos saber la fuerza de retroceso que se ejerce por

los campos en la carga, debemos tener en cuenta la potencia total perdida en cualquier instante

no sólo la parte que con el tiempo se escapa en forma de radiación. (El término "reacción de

radiación" es un nombre inapropiado. En realidad, deberíamos llamarla la reacción de campo. De

hecho, pronto verá que Frad se determina por la derivada temporal de la aceleración y puede ser

distinto de cero, incluso cuando la propia aceleración instantánea es cero, de modo que la partícula

no irradia.)

La energía perdida por la partícula en un intervalo de tiempo dado, entonces, debe ser igual a la

energía llevada por la radiación, más la energía extra que se ha bombeado en los campos de

velocidad. 8 Sin embargo, si estamos de acuerdo en considerar sólo intervalos en los que el

sistema vuelve a su estado inicial, entonces la energía en los campos de velocidad es la misma en

ambos extremos, y sólo la pérdida neta tiene la forma de radiación. Por lo tanto la ecuación.

11.77, mientras que incorrecta de forma instantánea, es válida en la media:

con la condición de que el estado del sistema es idéntico en t1 y t2. En el caso de movimiento

periódico, por ejemplo, debemos integrar a un número entero de ciclos completos9. Ahora, el

8 En realidad, mientras que el campo total es la suma de los campos de velocidad y aceleración, E = Ev+ Ea, la energía es proporcional a E

2 = Ev

2 + 2EV. Ea + Ea

2 y contiene tres términos: la energía almacenada en los campos de velocidad solamente (Ev

2), energía radiada a

distancia (Ea2), y un cruce de términos Ev.Ea. En aras de la simplicidad, Me refiero a la combinación (Ev

2 + 2EV. Ea) como "energía

almacenada en los campos de velocidad". Estos términos van como 1/ 4 y 1/ 3, respectivamente, por lo que ninguno de los

dos contribuye a la radiación. 9 Para el movimiento no periódico la condición de que la energía en los campos de velocidad sea el mismo en el instante t1 y t2 es más

difícil de lograr. No es suficiente que las velocidades y aceleraciones instantáneas sean iguales, ya que los campos más lejanos dependen de v y a en los tiempos iniciales. En principio, entonces, v y a y todas sus derivadas deben ser

idénticos en t1 y t2. En la práctica, ya que el campo de velocidad disminuye rápidamente con , basta que v y a sean los mismo durante un breve intervalo de tiempo antes de la t1 y t2.

467

El lado derecho de la ecuación.

11.78 se puede integrar por

partes:

El término frontera se retira, ya que las velocidades y las aceleraciones son idénticas a las T1 y T2,

por lo que la ecuación. 11.78 se

puede escribir de forma

equivalente como

La ecuación 11.79 ciertamente se cumplirá si

Esta es la fórmula de Abraham-Lorentz

para la fuerza de reacción de la radiación. Por supuesto, la ecuación. 11.79 no prueba la

ecuación. 11.80. No dice absolutamente nada sobre el componente de Frad perpendicular a v, y

solo cuenta el tiempo medio de la componente paralela promedio, por otra parte, en intervalos de

tiempo muy especial. Como veremos en la siguiente sección, hay otras razones para creer en la

fórmula de Abraham-Lorentz, pero por ahora lo mejor que puede decirse es que representa la

forma más simple que la fuerza de reacción de radiación podría tomar, compatible con la

conservación de la energía. La fórmula de Abraham-Lorentz tiene implicaciones

preocupantes, que no es del todo entendida casi un siglo después de que la ley fue propuesta

por primera vez. Supongamos una partícula que no está sujeta a ninguna fuerza externa, a

continuación, la segunda ley de Newton dice

a partir de donde se sigue que

(En el caso del electrón, τ = 6 x 1O-24 s.) La aceleración de forma espontánea aumenta

exponencialmente con el tiempo! Esta conclusión absurda se puede evitar si insistimos en que ao =

0, pero resulta que la exclusión sistemática de tales soluciones fuera de control tiene una

consecuencia aún más desagradable: Si se aplica una fuerza externa, la partícula comienza a

responder antes de que actúe la fuerza! (Ver Prob.. 11.19.) Esta preaceleracion sin causa

hace saltar la pistola solo por un corto periodo de tiempo τ; sin embargo, es algo (en mi

opinión) filosóficamente repugnante que la teoría deba tolerar en absoluto. 10

10Estas dificultades persisten en la versión relativista de la ecuación de Abraham-Lorentz, que pueden derivarse comenzando con la

fórmula Lienard en lugar de Larmor (véase Prob. 12,70). Tal vez nos están diciendo que no puede haber tal cosa como una carga

puntual en la electrodinámica clásica, o tal vez es un presagio de la aparición de la mecánica cuántica. Para las guías de la literatura

véase el capítulo Felipe Pearle en Teplitz D., ed, ectromagnetism l, Caminos a la Investigación (Nueva York: Plenum de 1982.) y Am F.

Rohrlich. J. Ph, vs 65. Carlos I (J 997).

468

Example 11.4

Calcular la radiación de amortiguación de una partícula cargada sujeta a un resorte de

frecuencia natural ω0, debido a la frecuencia ω. Solución: La ecuación del movimiento es

Con el sistema oscilando en la frecuencia ω,

por consiguiente

Por lo tanto

y el factor de amortiguamiento ϒ está dada por

[Cuando escribí Fdamping =-ϒmv, atrás en el Cap. 9 (Ec. 9.152), Supuse que, para simplificar, el

amortiguamiento es proporcional a la velocidad. Ahora sabemos que la radiación de

amortiguamiento, por lo menos, es proporcional a . Pero poco importa: para oscilaciones

sinusoidales cualquier número par de derivadas de v lo seria también, ya que todas son

proporcionales a v.]

Problema 11.17

(a) Una partícula de carga q se mueve en un círculo de radio R a una velocidad

constante v. Para sostener el movimiento, debe, por supuesto, proporcionar una fuerza

centrípeta mv2 / R; ¿qué fuerza adicional (Fe) tiene que ejercer, con el fin de

contrarrestar la reacción de la radiación? [Es más fácil de expresar la respuesta en

términos de la velocidad instantánea v.] ¿Qué potencia (Pe) tiene que proporcionar esta

fuerza extra? Comparar Pe con la potencia radiada (utilizar la fórmula de Larmor).

(b) Repita el inciso (a) para una partícula en movimiento armónico simple de amplitud

A y frecuencia angular ω(w (t) = A cos (wt)ẑ). Explicar la discrepancia.

(c) Consideremos el caso de una partícula en caída libre (g aceleración constante).

¿Cuál es la fuerza de reacción de radiación? ¿Cuál es la potencia radiada? Comentar sobre

resultados.

Problema 11.18

(a) Suponiendo (improbablemente) que ϒ es totalmente atribuible a la radiación de

amortiguación (Ec. 11.84), mostrar que la dispersión óptica de la amortiguación es

"pequeña" (ϒ<< ω0). Suponga que las resonancias correspondientes se encuentran en, o

casi en, la gama de frecuencias ópticas.

(b) Usar los resultados de los pro. 9.24, y calcular el ancho de la región de dispersión

anómala, para el modelo del problema. 9.23.

469

Problema 11.19 Con la inclusión de la fuerza de reacción de la radiación (Ec. 11.80), la segunda ley

de Newton para una partícula cargada se

Donde F es la fuerza externa que actúa sobre la partícula.

(a) En contraste con el caso de una partícula sin carga (a = F / m), la aceleración (como la posición y

velocidad), ahora debe ser una función continua de tiempo, incluso si cambia la fuerza de forma

abrupta. (Físicamente, la amortiguación de la reacción de radiación fuera de cualquier cambio

rápido en a) Demostrar que a es continua para cualquier tiempo t, mediante la integración de la

ecuación de movimiento de (t - ε) a (t + ε) y tomando el límite de ε→0

(b) Una partícula está sometida a una fuerza constante F, desde el tiempo t = 0 hasta el tiempo T.

Encuentre la solución más general a (t) de la ecuación de movimiento en cada uno de los tres

períodos: (i) t <0, (ii) 0<t <T <, (iii) t> T.

(c) Imponer la condición de continuidad (a) en t = 0 y t = T. Demuestre que usted puede eliminar el

fuera de control en la región (iii) o evitar la preaceleracion en la región (i), pero no ambos.

(d) Si decide eliminar el fuera de control, ¿Cuál es la aceleración en función del tiempo, en cada

intervalo? ¿Qué tal la velocidad? (Esta última debe, por supuesto, ser continua en t = 0 y t = T.)

Suponga que la partícula estaba originalmente en reposo: v (-∞) = 0.

(e) Representar a(t) y v(t), tanto para una partícula sin carga como para una partícula (no fuera de

control) cargada, bajo la acción de esta fuerza.

11.2.3 El Fundamento físico de la reacción de la radiación

En la última sección derive la fórmula de Abraham-Lorentz para la reacción de la radiación, con la

conservación de la energía. No hice ningún intento por identificar el mecanismo realmente

responsable de esta fuerza, excepto para señalar que debe ser un efecto de retroceso de los

campos propios de la partícula actuando a espaldas de la carga. Por desgracia, los campos de una

carga puntual se desplazan con la partícula por lo que es difícil ver cómo se puede calcular la

fuerza que ejercen.11 Vamos a evitar este problema, considerando una distribución de carga

extendida, para que el campo sea finito en todas partes, al final, vamos a tomar el límite cuando el

tamaño de la carga tiende a cero. En general, la fuerza electromagnética de una parte (A) sobre

otra parte (B) no es igual y opuesta a la fuerza de B sobre A (fig. 11.17). Si la distribución se divide

en trozos infinitesimales y los desequilibrios se suman para todos los pares, el resultado es una

fuerza neta de la carga sobre sí misma. Esta es la auto-fuerza, que resulta de la distribución de la

tercera ley de Newton dentro de la estructura de la partícula, explicando la reacción de la

radiación. Lorentz originalmente calculó la autofuerza electromagnética usando una distribución

de carga esférica, lo cual parece razonable, pero hace que las matemáticas sean bastante

incómodas. 12 Porque sólo estoy tratando de determinar el mecanismo involucrado, voy a utilizar

un modelo menos realista: una "pesa" en que se divide la carga q total en dos mitades separadas

11 Se puede hacer por un promedio apropiado del campo, pero no es fácil. Véase T. Boyer H., Am. J. Phys. 40, 1843 Referencias (1972),

y que allí se cita. 12

Véase JD Jackson, electrodinámica clásica, 3 ª ed., Secc. 16.3 (Nueva York: John Wiley, 1999).

470

por una distancia fija d

(Fig. 11.18). Esta es la

disposición más simple

posible de la carga que

permite (desequilibrio

de fuerzas internas

electromagnética) que

el mecanismo

esencial funcione.

No importa que es un

modelo poco probable

para una partícula

elemental: en el límite (d→0), cualquier modelo debe conducir a la fórmula de Abraham-Lorentz,

en la medida que la conservación de la energía solamente dicta esa la respuesta.

Supongamos que la pesa se mueve en la dirección x, y está (instantáneamente) en reposo

en el tiempo retardado. El campo eléctrico en (1) debido a (2) es

(Ec. 10.65), donde

de manera que

En realidad, sólo estamos interesados en la componente x de E1, ya que la componente y se

cancelará cuando agreguemos las fuerzas en los dos extremos (por la misma razón, no

necesita preocuparse por las fuerzas magnéticas). Ahora

y por lo tanto

Por simetría, E2x = E1x "por lo que la fuerza neta sobre la mancuerna es

471

Hasta ahora todo es exacto. La idea ahora es desarrollar en potencias de d; cuando el

tamaño de la partícula tiende a cero, todas las potencias positivas desaparecerán. Usando el

teorema de Taylor

Por lo que tenemos,

donde T = t - tr, para abreviar. Ahora T se determina por la condición de tiempo retardado

de esta manera

Esta ecuación nos da d, en términos de T, pero tenemos que "resolverla " para T en función de d.

Hay un procedimiento sistemático para hacer esto, conocido como la reversión de la serie, 13 pero

podemos conseguir los dos primeros términos más informalmente de la siguiente manera:

Haciendo caso omiso de todas las potencias más altas de T,

usando esto como una aproximación para la término cúbico,

y así sucesivamente. Evidentemente

Volviendo a la ecuación. 11.91, se construye la serie de potencias de l en términos de d:

Poniendo esto en la ecuación. 11.90, Se concluye que

Aquí a y ȧ son evaluados en el tiempo retardado (tr), pero es fácil volver a escribir el resultado en

términos de tiempo presente t:

l3 Véase, por ejemplo, la Convención de Norma Tablas Matemáticas (Cleveland: CRC Press).

472

y se deduce que

El primer término de la derecha es proporcional a la aceleración de la carga;