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IntroduccionTipos de elasticidades

Factores que afectan las elasticidadesRelaciones entre las elasticidades

Ecuacion de SlutskyEjemplos

Elasticidades

Erix Ruiz

Septiembre de 2012

Erix Ruiz Elasticidades

Contenido

1 Introduccion

2 Tipos de elasticidadesElasticidad precio de la demandaElasticidad precio cruzadaElasticidad ingreso

3 Factores que afectan las elasticidades

4 Relaciones entre las elasticidadesElasticidades y participacion del ingresoAgregacion de Engel y de CournotHomogeneidad

5 Ecuacion de Slutsky

6 EjemplosVulnerabilidad Alimentaria y ElasticidadesRelacion entre el gasto y la elasticidadElasticidades para algunos alimentos en el Peru

Introduccion

Los economistas tratamos de entender el comportamiento de los agentes(consumidores, empresas, gobierno, etc.) a traves de modelos matematicossimplificados.

Estos modelos nos permiten entender las decisiones de los agenteseconomicos y las variables que afectan estas decisiones.

Ası, es posible saber, con cierta generalidad, el efecto del cambio enalguna variable sobre las decisiones de los agentes.

No todos los agentes reaccionan de la misma forma ante el cambio dealguna variable (sensibilidad). Lo cual tiene efectos a nivel agregado(mercados, industrias, paıs)

Una forma de medir esta sensibilidad es a traves del calculo deelasticidades.

Introduccion

Ası, una elasticidad mide la sensibilidad de los agentes economicos antecambios en distintas variables.

Como tenemos distintos agentes economicos ademas de marcos de analisis(estatico, dinamico), se pueden definir varios tipos de elasticidades.

La estimacion de elasticidades a partir del uso de bases de datos yherramientas econometricas es de particular importancia en el analisisaplicado para la toma de decisiones a nivel publico y privado.

Introduccion

Elasticidad precio de la demandaElasticidad precio cruzadaElasticidad ingreso

Elasticidades en la teorıa del consumidor

Recordemos que a partir del modelo de maximizacion de utilidad (ominimizacion de gasto) se pueden derivar las demandas marshallianas (ohicksianas).

Ası, las demandas marshallianas dependen del vector de precios y delingreso de los consumidores. Las demandas hicksianas dependen del vectorde precios y el nivel de utilidad.

Podemos definir la elasticidad precio de demanda de un bien (i = 1 · · ·N.)como:

εi =∆ %xi (p, I )

∆ %pi=

∆xi (p, I )

pixi (p, I )

Si el cambio en el precio es pequeno y la funcion de demanda esdiferenciable, se puede aproximar la elasticidad a la siguiente expresion:

εi ≈∂xi (p, I )

pixi (p, I )

=∂ ln xi (p, I )

∂ ln pi(2)

εi =∆ %xi (p, I )

∆ %pi=

∆xi (p, I )

pixi (p, I )

=∂ ln xi (p, I )

∂ ln pi(2)

εi =∆ %xi (p, I )

∆ %pi=

∆xi (p, I )

pixi (p, I )

=∂ ln xi (p, I )

∂ ln pi(2)

εi =∆ %xi (p, I )

∆ %pi=

∆xi (p, I )

pixi (p, I )

=∂ ln xi (p, I )

∂ ln pi(2)

Ası, las demandas pueden clasificarse de acuerdo con el valor que tenga laelasticidad precio de demanda.

Factores como las preferencias y la posibilidad de sustitucion contribuyen aexplicar la elasticidad precio.

Por otro lado, los bienes pueden estar relacionados y en esa medida loscambios en el precio de un bien pueden afectar la demanda de otro bien.

Este efecto cruzado se puede capturar a traves del calculo de la elasticidadprecio cruzada, que se define como:

εij =∆ %xi (p, I )

∆ %pj=

∆xi (p, I )

pjxi (p, I )

De manera similar a la elasticidad precio, la elasticidad precio cruzadapuede expresarse como:

εij ≈∂xi (p, I )

pjxi (p, I )

=∂ ln xi (p, I )

∂ ln pj(4)

εij =∆ %xi (p, I )

∆ %pj=

∆xi (p, I )

pjxi (p, I )

=∂ ln xi (p, I )

∂ ln pj(4)

εij =∆ %xi (p, I )

∆ %pj=

∆xi (p, I )

pjxi (p, I )

=∂ ln xi (p, I )

∂ ln pj(4)

εij =∆ %xi (p, I )

∆ %pj=

∆xi (p, I )

pjxi (p, I )

=∂ ln xi (p, I )

∂ ln pj(4)

εij =∆ %xi (p, I )

∆ %pj=

∆xi (p, I )

pjxi (p, I )

=∂ ln xi (p, I )

∂ ln pj(4)

La elasticidad precio cruzada permite caracterizar los bienes a partir de surelaciones de complementariedad o sustitucion.

Otra medida de sensibilidad de interes es la que esta relacionada con losingresos. De manera similar a los casos anteriores, esta se define como:

ηi =∆ %xi (p, I )

∆ %I=

∆xi (p, I )

xi (p, I )(5)

Se puede expresar la elasticidad ingreso como:

ηi ≈∂xi (p, I )

xi (p, I )=∂ ln xi (p, I )

∂ ln I(6)

ηi =∆ %xi (p, I )

∆ %I=

∆xi (p, I )

xi (p, I )(5)

xi (p, I )=∂ ln xi (p, I )

∂ ln I(6)

ηi =∆ %xi (p, I )

∆ %I=

∆xi (p, I )

xi (p, I )(5)

xi (p, I )=∂ ln xi (p, I )

∂ ln I(6)

Factores que afectan las elasticidades

Sustituibilidad. La existencia de mas bienes sustitutos hace que lademanda sea mas elastica, e inversamente, si hay menos sustitutos laelasticidad sera menor.

Importancia del bien en la canasta de consumo. Los consumidores noestan muy preocupados en los precios de aquellos bienes que representanuna proporcion pequena de sus gastos; su demanda por ellos tiende a serinelastica. Inversamente, cuando mas representativo es el gasto, maselastica es la demanda.

Ajuste en el tiempo. A medida que los consumidores disponen de mastiempo para reaccionar a los cambios en los precios de un bien, es masfacil encontrar otros sustitutos, y por lo tanto la demanda sera maselastica, e inversamente. Ası, podemos distinguir entre la elasticidad decorto plazo y la elasticidad de largo plazo.

Necesarios y de lujo. Los bienes que son necesarios para los consumidorestienden a ser mas inelasticos que los de lujo o de consumo esporadico.

Elasticidades y participacion del ingresoAgregacion de Engel y de CournotHomogeneidad

Relaciones entre las elasticidades

Elasticidades de demanda y participacion del ingreso

Sea xi (p, I ) la demanda Marshalliana del consumidor para el bien i . Entoncessean:

ηi =∂xi (p, I )

xi (p, I )

εij =∂xi (p, I )

pjxi (p, I )

y sean:

si = pi xi (p,I )I

tal que si ≥ 0 y∑n

i=1 si = 1.

ηi denota la elasticidad ingreso de demanda del bien i , εij es la elasticidadprecio de demanda del bien i . Si i 6= j , εij es la elasticidad precio cruzada dedemanda del bien i respecto de pj . si es la participacion del ingreso.

Agregacion en la demanda del consumidor

Sea x(p, I ) el sistema de demandas Marshallianas del consumidor. Sean ηi , εij ,y si , para i , j = 1, · · · , n definidos previamente. Entonces, las siguientesrelaciones deben cumplirse:

1 Agregacion de Engel:n∑

siηi = 1.

2 Agregacion de Cournot:n∑

siεij = −sj

j = 1, · · · , n.

siηi = 1.

siεij = −sj

j = 1, · · · , n.

siηi = 1.

siεij = −sj

j = 1, · · · , n.

Homogeneidad

A partir de la propiedad de homogeneidad y utilizando el Teorema de Euler, sededuce:

n∑j=1

pj∂xi (p, I )

∂pj+ I

∂xi (p, I )

∂I= 0

lo cual es equivalente a:

n∑j=1

εij + ηi = 0.

Esta formula expresa que un mismo porcentaje de cambio en todos los preciose ingreso no produce cambios en la demanda.

Elasticidades y la Ecuacion de Slustky

Ecuacion de Slutsky

Recuerde que la Ecuacion de Slutsky permite identificar los efectos sustitucione ingreso (directos o cruzados) a partir de las relaciones entre las demandasmarshallianas y las demandas hicksianas. En especıfico, la Ecuacion de Slutskyes:

∂x∗i (p, I )

∂pj=∂xh

i (p, I )

∂pj− x∗

j (p, I )∂x∗

i (p, I )

Manipulando podemos expresar la Ecuacion de Slutsky en terminos deelasticidades (multiplicamos a ambos lados por

pjx∗i (p,I ) y luego multiplicamos y

dividimos la segunda expresion del lado derecho por Ix∗i (p,I ) ). Ası, llegamos a la

siguiente expresion:

εij = εhij − sjηi

Elasticidades y la Ecuacion de Slustky

Ecuacion de Slutsky

Notese que si i = j tenemos la siguiente expresion:

εi = εhi − siηi

Ası, si el bien es normal (ηi > 0), entonces la demanda marshalliana es maselastica que la demanda hicksiana. Si el bien es inferior (pero el efectosustitucion domina al efecto ingreso), (ηi < 0), la demanda marshalliana esmenos elastica que la demanda hicksiana.

Vulnerabilidad Alimentaria y ElasticidadesRelacion entre el gasto y la elasticidadElasticidades para algunos alimentos en el Peru

¿Cual es el efecto de un shock de precios en los alimentos en los hogaresperuanos?

Note que para saber el impacto de un shock en los precios de los alimentosen los hogares, es necesario identificar la relacion entre el gasto y laelasticidad de un bien.

Al respecto, note que el gasto en un bien i es: Gi = pix∗i (p, I ). Si hay un

incremento en el precio del bien i se tiene:

∂pi= x∗

i (p, I ) + pi∂x∗

i (p, I )

Lo que se puede expresar como:

∂pi= x∗

i (p, I )(1 + εi )

∂pi= x∗

i (p, I ) + pi∂x∗

i (p, I )

∂pi= x∗

i (p, I )(1 + εi )

∂pi= x∗

i (p, I ) + pi∂x∗

i (p, I )

∂pi= x∗

i (p, I )(1 + εi )

∂pi= x∗

i (p, I ) + pi∂x∗

i (p, I )

∂pi= x∗

i (p, I )(1 + εi )

Como εi < 0, podemos evaluar la relacion entre la elasticidad precio y elgasto en un bien a traves de la siguiente expresion:

∂pi= x∗

i (p, I )(1− |εi |)

Ası, se puede afirmar que si la demanda de un bien es inelastica, el gastoen ese bien aumenta cuando hay un aumento en el precio. Si la demandadel bien es elastica, el gasto en ese bien disminuye. Si la demanda esunitaria, el gasto en el bien no se altera ante cambios en el precio.

Como εi < 0, podemos evaluar la relacion entre la elasticidad precio y elgasto en un bien a traves de la siguiente expresion:

∂pi= x∗

i (p, I )(1− |εi |)

Ası, se puede afirmar que si la demanda de un bien es inelastica, el gastoen ese bien aumenta cuando hay un aumento en el precio. Si la demandadel bien es elastica, el gasto en ese bien disminuye. Si la demanda esunitaria, el gasto en el bien no se altera ante cambios en el precio.

Teniendo en cuenta la relacion entre el gasto y la elasticidad precio de unbien, para saber cual es el efecto sobre los hogares de una crisisalimentaria (escasez de oferta, incremento en precios) es necesario sabercuan elasticas son las demandas de alimentos en el caso peruano.

En un estudio publicado por GRADE en el ano 2009 se evaluo estasituacion. Las elasticidades fueron calculadas a partir de la estimacion defunciones de demanda. Se utilizo informacion de la Encuesta Nacional deHogares (ENAHO) que ejecuta el Instituto Nacional de Estadıstica eInformatica (INEI). La ENAHO es una encuesta que recoge informacionsocioeconomica de los hogares peruanos. Esto incluye informacion sobrelas fuentes de ingreso y gasto (agrupados en distintos rubros).

Debe tenerse en cuenta que en algunos casos la demanda de ciertos bienespor parte de un hogar es cero. Ası, en el estudio se utilizo una estrategia deestimacion que permitir el tratamiento adecuado de este tipo de contextos.

Figura: Elasticidades para algunos alimentos en el Peru (GRADE,2009)

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