C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, S~rie II b, p. 483-488, 1998 Comportement des mat~riaux, rh~ologie/Behavlour of materials, theology

P

Elaboration de nouvelles lois de comportement pour les lastom res : principe et avantages Julie LAMBERT-DIANI, Christian REY

Laboratoire de mod61isation et m6eanique des structures, URA CNRS 1776, 4, place Jussieu, 75252 Paris codex 05, France E-mail : jlambert@ccr.jussieu.fr, rey@ccr.jussieu.fr

(Requ le 21 novembre 1997, accept6 aprbs r6vision le 2 mars 1998)

(i

i l l ~

ii~i i:i ~ i ~

R~sum~. L'6tude ph6nom6nologique du comportement de caoutchoucs d6form6s en traction simple, cisaillement pur et traction 6qui-biaxiale, a donn6 lieu ~t une repr6sentation g6n6rale de la fonction de densit6 d'6nergie de d6formation associ6e au comportement hyper61astique des mat6riaux 61astom6res. Une nouvelle approche a permis de cons- truire une forme g6n6rique de la fonction de densit6 d'6nergie de d6formation. Cette famille de fonctions est parfaitement adapt6e ~ la repr6sentation th6orique du compor- tement de nombreux 61astom~res, et ce, pour diff6rents types de chargement. En outre, notre d6marche conduit ?~ une identification simple et rapide des param~tres de cette famille de fonctions. © Acad6mie des Sciences/Elsevier, Paris

~lastom~res / hyper~lasticit~ / incompressibilit~ / grandes d~formations / identification

Abstract.

New phenomenological behaviour laws for elastomeric materials: principle and benefits of the model

A phenomenological study of deformed rubber in uniaxial tension, pure shear and equi-biaxial tension, leads to a generalized strain energy density representation for hyperelastic elastomeric material behaviour. A strain energy density function ]amily is built with a new process. It is particularly well adapted for representing experimental data of different types of loading, and so, fi~r a wide class of elastomers. Besides, parameter identification of this family of strain energy density functions is simple and fast. © Academic des Sciences/Elsevier, Paris

elastomers / hyperelasticity / incompressibility / large deformations / identification

Note pr~sent~e par Georges DUVAUT.

1251-8069/98/03260483 © Acad6mie des Sciences/Elsevier, Paris 483

j. Lambert-Diani, C. Rey

Abridged English Version

Hyperelastic elastomeric material behavior is usually represented by a strain energy density function, W. W is a function [1] of the strain invariants 11, 12 and 13; however, assuming the incompressibility of the material, 13 stays constant throughout the material, 13 = 1. The stress-strain relation derives from W [equation (1)], stresses appear to be functions of the partial derivatives of W with respect to I 1 and 12. Based on remarks in Rivlin and Saunders [2], Kawabata and Kawai [4] and Obata et al. [3] on large deformations, these derivatives are dealt with separately; derivative of W with respect to I~ being a function of Ii, denoted f(11 ), while derivative of W with respect to 12 being a function of 12, denoted 9(12 ) [equation (2)].

Considering the three classical experiments of Treloar [6], the non-zero principal stress is given according to equation (3). During a uniaxial tension loading, the/z-depending part is almost negligible before the contribution of the ll-depending part into the stresses [2, 51]. Thus f is determined using the uniaxial tension experiment and setting 9 equal to zero. Using Treloar's data [6], the values of ln ( f ) are calculated and are fitted by a second order polynom of (11 - 3 ) (figure 1); f is generalized in the exponential function of a polynom of ( Ii - 3 ) [equation (4)]. Theoretical results calculated using this functionffi t perfectly uniaxial tension and pure shear data, but the equi-biaxial tension data are underestimated. Such results could have been expected plotting experimental data of r/A 1 [equation (3)] for the three classical experiments (figure 2). The function 9 is then deter- mined using equi-biaxial data to improve theoretical results.

Values of ln( 9 ) are calculated using experimental data [equation (5)]. The function ln( 9 ) is a linear function of ln( 12 ) [equation (6)], whose parameters are easily identified (figure 3). Thus 0 is generalized into the exponential [equation (7)] of a polynom of ln(12). Substituting 9 by its exponential function in the equi-biaxial stress formula gives perfect results concerning the equi- biaxial tension test. Uniaxial tension and pure shear theoretical results are almost unchanged. Finally W is defined by equation (8). Numerical values of the parameters of W are given in table I, and results are plotted in figure 4. Note that good results have always been obtained [6-9] with n = 2 and m = 1 [equation (8)].

Our method gives a generalized function of the strain energy density which has been efficient for numerous rubber materials, and the parameter identification is simple and fast. But the real success of it is that it can be adapted to any kind of elastomer experimental data. The function f is fitted on an experiment with only one stretch ratio strictly greater than one, while the function 9 is determined on another experiment with two stretch ratios being strictly greater than one. This process has been applied with success on the plane strain (Identification of)') and the uniaxial (Identification of 9) compression experiments presented by Arruda and Boyce [7].

1. Introduction-relation de comportement

Le comportement hyperElastique des matEriaux 61astombres peut &re dEcrit par une fonction de densitE d'Energie de deformation, W. Pour un matEriau homogbne, isotrope et satisfaisant au principe d'objectivitE, Rivlin [1] a montrE que W est une fonction des invariants principaux (I112, 13) du tenseur des dilatations, C -- F r F , o~ F est le tenseur gradient de deformation. Par ailleurs, il est classiquement suppose que les matEriaux 61astomEres sont soumis h une liaison interne d'incom-

484

Lois de comportement pour les ~lastom~res

pressibilit6 qui se traduit par la relation 13 = 1, de sorte que la fonction densit6 d'6nergie de d6formation W ne d6pend que des invariants Ii et 12. La relation contrainte-ddformation d6rive alors de cette fonction W selon :

OW adj F ) = 2 { F OW OW} = ~ - p ( ~ + ( I 1 F - F C ) ~ - p ( a d j ( F ) ) (1)

off p e s t un multiplicateur de Lagrange, a d j ( F ) = d e t ( F ) F - r , est l'op6rateur adjoint, et ~es t le premier tenseur de Piola-Kirchhoff.

Lors de la repr6sentation th6orique du comportement des mat6riaux 61astom~res, la difficult6 r6side donc dans la d6finition de la fonctionnelle W ou plus pr6cis6ment, d'apr6s l'6quation (1), dans la d6termination des d6riv6es partielles de la fonctionnelle par rapport aux invariants 11 et 12.

Rivlin et Saunders [2] ont montr6 que la d6riv6e partielle de la fonction W par rapport h 12 est ind6pendante de 11 et d6croissante selon 12 lorsque 12 > 6, et que la d6riv6e partielle de la fonction W par rapport ~t 11 est constante pour 11 < 12. En outre, les r6sultats de Obata et al. [3] et de Kawabata et Kawai [4] montrent que lors de grandes d6formations, il semble raisonnable d'intro- duire les fonctions f et O telles que :

OW ~//W1 = f ( l l ) et ~-2- 2 = g ( h ) (2)

2. Identification de la fonction f ( l 1 )

Consid6rant les exp6riences de traction uniaxiale, cisaillement pur et traction 6qui-biaxiale, la contrainte principale non nulle peut s'6crire selon :

7: = Al( )t ) f( I l) + A2(). ) 9( /2) (3)

off 2 est une 61ongation principale strictement supdrieure h 1, et les fonctions Al (2 ) et A2(2 ) ddpendent de l'exp6rience consid6rde.

Or, Rivlin et Saunders [2] et Fukahori et Seki [5] ont montr6 que, OW/OI~ >> OW/OI 2. En outre, dans le cas d'un essai de traction uniaxiale, le rapport des coefficients A j ( 2 ) et A2( 2 ) vaut 2. D6s lors, le terme A2( ,~)0(12) est n6gligeable et l'identification de la fonction f(I1 ) est men6e sur l'essai de traction uniaxiale (figure 1). On observe qu'une fonction polynomiale en I1 - 3, reprdsente de faqon tr6s satisfaisante les valeurs expdrimentales de ln( r/Al )

(4)

L'expression polynomiale de la fonction In (f( 11 ) ) permet une identification simple et rapide des param~tres a i de notre mod61e (tableau I). La fonction f ainsi obtenue a 6galement permis une bonne repr6sentation de l'essai de cisaillement pur mais a donn6 une sous-estimation de la contrainte de l'essai de traction 6qui-biaxiale. Le trac6 (figure 2) des valeurs exp6rimentales de r/A1(Z ) pour les trois essais pr6c6demment cit6s, nous permettait de pr6voir de tels r6sultats. Nous nous proposons d6s lors d'identifier la fonction 0(/2 ) sur l'essai de traction 6qui-biaxiale.

485

J. L a m b e r t - D i a n i , C . R e y

T a b l e a u I. Coefficients th6oriques des fonctions f( 1~ ) et 0(12 )-

Table I. Theoretical coefficients of f ( I t ) and g( 12 )functions.

Exp6riences exp ( a 0 ) (MPa) a 1 a 2 exp ( b 0) (MPa) bl

Treloar [6] 1,594 10- 1 -7 ,998 10 -3 4,711 10 -4 5,950 10 2 -5 ,455 10- i

- 0 .80

-1 .20

. 7

"a" - - - 1.60

- 2 . 0 0 0

' '

n I n I n 20 40 60

I1-3

Fig. 1

0 .3

0 .2 boo

0.1 I

0

Trac t ion 6qui-biaxia le

C i sa i l l emen t pur • q,

"\ • ." • \

[ I

10 I s - 3

F i g . 2

Tract ion uniaxia le

Figure 1. Identification de ln ( f ( l 1 ) ) pour l'exp6rience en traction uniaxiale [6].

Figure 1. Identification of In(f( 11 ) ) for the uniaxial tension experiment [61.

I i I i

20 30

Figure 2. Valeurs de In ( r /A 1 ) pour les expgriences de Treloar [6].

Figure 2. Values of In (z /A 1 ) for Treloar's experiments [61.

3. Identification de la fonction g(12)

D'aprbs 1'expression de la contrainte [6quation (3)], la fonction 9( 12 ) est d6finie selon :

r - f ( I 1 ) A l ( ; t ) 0 ( / 2 ) = A e ( Z ) (5 )

Les valeurs de ln( g( 12 )) , calcul6es ~t partir des donn6es exp6rimentales et des valeurs thEoriques associ6es h la fonction f ( l~ ) - identifi6e sur l'essai de traction simple -, sont report6es sur la

figure 3, en fonction de ln( 12 ). On observe (figure 3) qu'une simple fonction affine de la forme :

i n ( 0 ( 1 2 ) ) = b 0 + b l ( l n ( • 2 ) ) (6)

486

Lois de comportement pour les ~lastombres

-1.0

-3.0

-5.0

-7.0 1.0

~ 1 ' 1 ' 1 ' 1 '

Eq. (6)

2.0 3.0 4.0 5.0 ln(I2)

Fig. 3

8.0

6.0

k 4.0

2.0

6.0 0.0

' ' ' ' ' ' ' ' ' l ' ' / l l

* " °Expdriences / y 1

cisaillement p u ~ - ~ / ' 4

racti°n equi-biaxiale V f l ' "~

t ' " n simpl

2 3 4 5 6 7 8 ),

Fig. 4

Figure 3. Identification de In (0(I2)) pour l'exp6rience de traction 6qui-biaxiale [6].

Figure 3. Identification of In (g(12 ) ) f o r the equi-biaxial tension experiment 161.

Figure 4. Identification des exp6riences de Treloar [6] (caoutchouc naturel).

Figure 4. Identification of Treloar's experiments [6] (natural rubber).

permet de trbs bien repr6senter les valeurs calcul6es. La fonction O est alors d6finie puis g6n6ralis6e selon :

g( I2 ) = exp ( b° ) l~l ; g( I2 ) = exp { 2 bi( ln l2 )i (7)

Le r6sultat de l'identification des param~tres bi de l'6quation (6) sur les donn6es de Treloar [6] est r6capitul6 darts le tableau I. D6s lots, les r6sultats tMoriques de notre mod61e repr6sentent parfaite- merit les r6sultats exp6rimentaux de Treloar [6], pour l'essai de traction 6qui-biaxiale. En outre, on observe que l'adjonction de cette fonction g(/2 ) ne modifie pas de mani6re significative les r6sultats obtenus pr6c6demment sur les essais.de traction simple et de cisaillement pur. La corr61ation entre les donn6es exp~rimentales et les r6sultats th6oriques de notre mod61e est tr~s bonne (figure 4) pour l'ensemble des essais 6tudi6s. On peut remarquer 6galement que, m~me pour les faibles ddformations, les rfsultats sont tr6s satisfaisants (figure 4) et cela bien qu'au cours de notre d6marche nous ayons syst6matiquement n6glig6 les points associds ~i de telles d6formations (figures 1 et 2).

Une telle ddmarche a 6t6 6galement appliqu6e avec succ6s sur d'autres donn6es exp6rimentales. En particulier, sur les exp6riences d'Arruda et Boyce [7], les fonctions f et 9 sont identifi6es respective- ment sur les essais de compression en d6formation plane (comme en cisaillement pure t en traction simple, une seule 61ongation est strictement supdrieure h 1) et compression uniaxiale (comme en traction 6qui-biaxiale, deux 61ongations sont strictement supdrieures h 1). Cela nous conduit proposer une nouvelle expression g6n6rique de densit6 d'6nergie W sous la forme suivante :

(8)

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J. Lambert-Diani, C. Rey

I1 est/t noter que, pour l'ensemble des donnres exprrimentales [6-9], d'excellents rrsultats ont toujours 6t6 obtenus pour n = 2 et m = 1.

4. Conclusion

Une nouvelle forme grnrrique de densit6 d'rnergie parfaitement adaptre ~ la reprrsentation throri- que du comporternent des matrriaux hyperrlastiques incompressibles a 6t6 prrsentre, accompagnre d'une stratrgie simple et rapide d'identification des paramrtres de notre module. Celle-ci repose sur l'identification de la fonction f ( I i ), sur une exprrience ol) seule une 61ongation principale est suprrieure h 1, puis l'identification de la fonction g(12) sur une autre exprrience oh deux 61ongations principales sont suprrieures ~ 1.

R6f6rences bibliographiques

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