el plano cartesiano
TRANSCRIPT
-PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO
-DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS-PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS
-PERÍMETROS Y ÁREAS
-LA FUNCIÓN LINEAL Y SU GRÁFICA
PARALELISMO, COINCIDENCIA Y PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS
-ECUACION PRINCIPAL Y ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
EJERCICIOS PROPUESTOS
POSICIÓN Y DIRECCIÓN DE UNA RECTA
CÁLCULO DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA, A PARTIR DE DOS PUNTOS
ECUACIÓN DE LA RECTA, A PARTIR DE DOS PUNTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA RESUMEN
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Esc SaleEsc Sale Mouse o Av. Pág. AvanzaMouse o Av. Pág. Avanza
x
y
1
2 3 4-4 -3 -2 -1 5-5
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
(1,2)
(3,4)
(4½,2½)
(-2,1)
(-5,3)
(-4,1½)
(-1½,-2)
(-4½,-1)
(-3,-3)(5,-3½)
(2,-2½)
(3,-1½)
x
y
1
2 3 4-4 -3 -2 -1 5-5
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
(1½, 2)
(-4½, 3)
(-1½, -3)
(2, -1½)
(5, 1)
(3½, -3½)
(-4, -2)
IDENTIFICA LOS PUNTOS QUE SE INDICAN Y LUEGO
COMPRUEBA.(-3, 3½)
x
y
x1 x2
y1
y2
P1
P2
PMy1 +y2
2
x1 +x2
2
EL PUNTO MEDIO PM ENTRE P1 y P2 TIENE COORDENADAS:
PM( , )x1 +x2
2y1 +y2
2
OBSERVA COMO SE DETERMINA EL PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS P1(x1, y1) y P2 (x2, y2)
OBSERVA COMO SE DETERMINA EL PUNTO MEDIO ENTRE LOS PUNTOS P1(2, 3) y P2 (6, 7)
SEGÚN FÓRMULA ANTERIOR:
PM( , )x1 +x2
2y1 +y2
2
ESTO ES:
PM( , )2 +62
3 +72
LUEGO:PM( 4 , 5 )
x
y
P1
P2
PM
2 6
3
7
4
5
x
y
2 4
2
6 8 10
4
6
8
-6
-4
-2
-10 -8 -6 -4 -2
37-4 = 3
6-2 =4
4
d
916 d
Según Pitágoras:
222 34 d
= 5
=5
APLICANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS, ES POSIBLE DETERMINAR LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO.
¡SIRVE EL TEOREMA DE PITÁGORAS! ¡AH!25d
x
y LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS SE OBTIENE COMO CONCLUSIÓN DEL PROCESO SIGUIENTE:
x1 x2
y1
y2
d
x2 -x1
x2 -x1
y2 -y1 y2 -y1
Aquí, Según Pitágoras:
d2 = (x2 - x1)2+ (y2 - y1)2
ESTO ES:
P1
P2
d = (x2 - x1)2+ (y2 - y1)2
ESTA ES LA FÓRMULA GENERAL PARA DETERMINAR
LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
SEAN LOS PUNTOS P1 y P2,, DE COORDENADAS (x1,y1) y (x2,y2)
CÁLCULO DE LA DISTANCIA ENTRE LOS PUNTOS P1(2, 3) y P2 (14, 8)
x
y
2 4 6 8 10 12 14
2
4
6
8
P1(2,3)
P2 (14, 8)
d
12
5
Según Pitágoras: d2 = (14 - 2)2 + (8 - 3)2 d=13
=13
SEAN LOS PUNTOS : A(-2, -4) B( 3, 8) C(6, 4)
EN UN PLANO, ESTO ES:
x
y
A
B
C
AL UNIR LOS VÉRTICES, MEDIANTE SEGMENTOS DE RECTA, SE DETERMINA EL TRIÁNGULO ABC
ENTONCES, EL PERÍMETRO DEL TRIÁNGULO ABC SE OBTIENE SUMANDO LA MEDIDA DE SUS LADOS AB, BC Y AC.
d = (x2 - x1)2+ (y2 - y1)2
PARA EL CÁLCULO DE ESTAS MEDIDAS, SE APLICA LA FÓRMULA DE DISTANCIA:
Continúa...
ENTRE LOS PUNTOS:
d = (x2 - x1)2+ (y2 - y1)2
APLICANDO LA FÓRMULA:
(3 - -2)2+ (8 - -4)2ABd 22 125
14425 169 13
A(-2, -4) B( 3, 8 )
BCd (6 - 3)2+ (4 - 8)2
LUEGO, CONSIDERANDO LOS PUNTOS:
22 )4(3
169 25 5
B( 3, 8 ) C(6, 4)
Continúa...
Y CONSIDERANDO LOS PUNTOS:
ACd (6 - -2)2+ (4 - -4)2 22 88
6464
A(-2, -4) C(6, 4)
128
CON LO CUAL SE CONCLUYE QUE EL PERÍMETRO DEL TRIÁNGULO QUE DETERMINAN LOS PUNTOS A,B,C, ES:
P= 13 + 5 +
P =
11,31
11,31
29,31Continúa...
PARA RESOLVER EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DEL ÁREA DEL TRIÁNGULO ABC ,
EXISTE UNA FÓRMULA QUE PERMITE DETERMINAR EL ÁREA DE CUALQUIER TRIÁNGULO
CUANDO LAS MEDIDAS DE SUS LADOS SE CONOCEN
ESTA ES, )()()( cpbpappA
AQUÍ:
es la mitad del perímetro del triángulo
son las medidas de los respectivos lados del triángulo ABC.
cba ,,
p
Continúa...
ASÍ, ENTONCES, CONSIDERANDO QUE LAS MEDIDAS
DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO ABC, SON:13, 5 y
11.31 Y QUE SU PERÍMETRO ES 29.31
CON LA FÓRMULA DE HERÓN:
)()()( cpbpappAREA
SE TIENE: 31,11a 5b 13c 66,14p
ESTO ES:
66,166,935,366,14 AREA
27,93= 780.47 =
EN UN PLANO DE COORDENADAS, SE TIENEN LOS PUNTOS A(-3, -2) , B (-2, 5) y C (7, -4)
x
y
-2
-6
4
2
-4
6
2 64 8-8 -4-6 -2
A
B
C
AL UNIR LOS VÉRTICES, MEDIANTE SEGMENTOS DE RECTA, SE DETERMINA EL TRIÁNGULO ABC.
¡DETERMINA SU PERÍMETRO Y LUEGO COMPRUEBA!
¡DETERMINA SU ÁREA
Y LUEGO COMPRUEBA!
Continúa...
ENTRE LOS PUNTOS:
d = (x2 - x1)2+ (y2 - y1)2
APLICANDO LA FÓRMULA:
(-2 - -3)2+ (5 - -2)2ABd 22 71
491 50 7,07
A(-3,-2) B( -2, 5 )
BCd (7 - -2)2+ (-4 - 5)2
LUEGO, CONSIDERANDO LOS PUNTOS:
22 )9(9
8181 162 12,72
C(7, -4)B( -2, 5 )
Continúa...
ADEMÁS, CON LOS PUNTOS:
ACd (7 - -3)2+ (-4 - -2)2 22 )2(10
4100 104 10,19
A(-3,-2) C(7, -4)
P = 7,07 + 12,72 + 10,19 =
ASÍ, ENTONCES, EL PERÍMETRO DEL TRIÁNGULO ABC ES:
29,98
Y CON LA FÓRMULA DE HERÓN:
)()()( cpbpappAREA
8,427,292,799,14 AREA
16,27= 264,7 =EL ÁREA DEL TRIÁNG. ES:
x
y
-2
4
2
6
2 6 4-8 -4-6 -2
UNA MANERA INGENIOSA PARA CALCULAR EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO, DIBUJADO EN UN PLANO, ES INSCRIBIRLO EN UN RECTÁNGULO.
SEA EL TRIÁNGULO: P(-6, -2) , Q (-3, 4) y R (5, 1)
AL INSCRIBIRLO EN UN RECTÁNGULO, SE TIENE:
AHORA, EL ÁREA DEL TRIÁNGULO PQR, SE OBTIENE CALCULANDO EL ÁREA DEL RECTÁNGULO Y LUEGO RESTÁNDOLE LAS ÁREAS DE LOS TRES TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS T1, T2 Y T3 QUE SE DETERMINARON
DEL RECTÁNGULO ES: 11 • 6 = 66DE LOS TRIÁNGULOS T1 + T2 + T3 ES:
T1T2
T3
12 + 9 + 16.5 = 37.5
ASÍ, EL ÁREA:
POR LO TANTO, EL ÁREA DEL TRIÁNGULO PQR ES:
66 - 37.5 = 28.5
x
y
-2
4
2
6
2 6 4-8 -4-6 -2
ANÁLOGAMENTE AL CASO ANTERIOR, SE PUEDE CALCULAR EL ÁREA DE UN CUADRILÁTERO, CON AYUDA DE UN RECTÁNGULO.
¡INTÉNTALO CON EL CUADRILÁTERO: A(-2, -3) , B(6, 0) , C (3, 4) y D (-5, 3) !
DC
A
B
¡LUEGO COMPRUEBA!
Área del rectángulo = 77
Área de T1 = 12
T1
T2
Área de T2 = 6T 3
T4
Área de T3 = 2.5
Área de T4 = 9
ASÍ, EL ÁREA DEL CUADRILÁTERO ABCD ES:
77 - 29.5 = 47.5
DETERMINAR LA DISTANCIA Y EL PUNTO MEDIO, ENTRE LOS PUNTOS SIGUIENTES:
1.- A(-4,-5) y B (2,3)
2.- C(-3,6) y D (9,1)
3.- E(1,-7) y F (10,5)
4.- G(-6,-2) y H (6,14)
5.- I(0,-4) y J (3,0)
6.- K(-1,1) y L (7,7)
DISTANCIA PUNTO MEDIO
10
13
16,27
20
5
10
(1, -1)
(3, 3½)
(5½, -1)
(0, 6)
(1½, -2)
(3, 4)
CALCULAR EL PERÍMETRO Y EL ÁREA, DEL POLÍGONO QUE RESULTA AL UNIR LOS PUNTOS SIGUIENTES:
7.- A(-4,-5), B (2,3) y C (1,-7)
8.- D(-3, 6), E (9,1) y F (6, 0)
9.- G(-6,-2), H (6,14) C(1,-7) y D(-3,6)
10.- A(-4,-5), H (6,14) F(6, 0) y D(-3,6)
PERÍMETRO ÁREA
25.42
26.97
49.18
48.26
25.96
17.47
127.5
46
EL PLANO CARTESIANO PERMITE DIBUJAR DIVERSOS TIPOS DE LÍNEAS, RECTAS Y CURVAS .
x
y
-2
-6
4
2
-4
6
2 64 8-8 -4-6 -2
LA IMPORTANCIA DE LOS GRÁFICOS RADICA EN QUE PERMITEN DAR HA CONOCER, MEDIANTE UN IMPACTO VISUAL, DIVERSAS SITUACIONES, COMO SER: ESTADO DE UNA EMPRESA, COMPRA VENTA DE PRODUCTOS, MOVIMIENTO DE UN MÓVIL, ÍNDICES DE PRODUCIÓN, NACIMIENTO, MORTALIDAD, INTERESES, PRECIPITACIONES Y OTROS CASOS; QUE PERMITEN A SIMPLE VISTA OBTENER INFORMACIÓN VÁLIDA, PARA LA TOMA DE DESICIONES.
x
y
100
200
300
400
E F M A M J J A S
EN EL GRÁFICO DE LA FIGURA, SE INDICAN LOS MILES DE PARES DE CALZADO VENDIDOS POR UNA FÁBRICA, ENTRE LOS MESES DE ENERO Y SEPTIEMBRE DEL AÑO 2005.
MILES
MESES
LAS LÍNEAS PERMITEN UNA MEJOR APRECIACIÓN DE LA SITUACIÓN.
¿EN QUÉ MES LAS VENTAS ESTUVIERON MÁS BAJAS?
¿EN QUÉ MES LAS VENTAS ESTUVIERON MEJOR?
¿QUÉ PRODUCCIÓN DE CALZADO DEBE ASEGURAR LA EMPRESA PARA EL PRÓXIMO PERÍODO?
LOS DIFERENTES TIPOS DE LÍNEA, QUE SE DIBUJAN EN UN PLANO CARTESIANO, SE PUEDEN ESCRIBIR ALGEBRAICAMENTE, DE ACUERDO A SU FORMA:
* LAS LÍNEAS RECTAS SE ESCRIBEN DE LA FORMA:
baxxf )( DONDE, IRba ,
xY ADEMÁS,
ES UNA VARIABLE INDEPENDIENTE A LA CUAL SE LE PUEDEN DAR DIFERENTES VALORES, PARA OBTENER RESPECTIVOS VALORES DE )(xfEN UN PLANO CARTESIANO, LOS VALORES QUE SE LE VAYAN ASIGNANDO A LA VARIABLE xSE UBICAN EN EL EJE DE LAS X, A PARTIR DE DONDE SE UBICA, EN EL EJE Y, SU VALOR )(xfCON LO CUAL: )(xfy
A TODAS LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS SE LES DENOMINA FUNCIONES.
)(xfy
EN PARTICULAR, A LAS FUNCIONES baxxf )(QUE REPRESENTAN LÍNEAS RECTAS, SE LES DENOMINA FUNCIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO.
Sea la función lineal: 52)( xxf
En una tabla de valores; esto es:
32)( xxfx ))(,( xfx1
4
2•1 - 3= -1 (1, -1)
2•4 - 3= 5 (4, 5)
x
y
1 4-1
5
ASÍ, SU GRÁFICA ES:
52)( xxf
¡OBSERVA!
43)( xxf
43)( xxfx ))(,( xfx0
5
3•0 - 4= -4 (0, -4)
3•5 - 4= 11 (5, 11)
52)( xxf
52)( xxfx ))(,( xfx
-2•0 + 5= 50 (0, 5)
-2•3 + 5= -13 (3, -1)
SI:
ENTONCES:
SI:
ENTONCES:
GRAFICAMENTE; ESTO ES:
x
y
3 5-1
-4
5
11
43)( xxf
52)( xxf
EN UN PLANO CARTESIANO, GRAFICA LAS RECTAS CORRESPONDIENTES A CADA UNA DE LAS FUNCIONES LINEALES SIGUIENTES:
3)( xxf
12)( xxf
3)( xxf
12)( xxf x
y
-2
-6
4
2
-4
6
2 64 8-8 -4-6 -2
¡LUEGO COMPRUEBA! ¿QUÉ PUEDES CONCLUIR?
x
y
-2
-6
4
2
-4
6
2 64-4-6 -2
EN EL PLANO, LAS LÍNEAS SE DIBUJAN DE IZQUIERDA A DERECHA Y PRESENTAN UNA INCLINACIÓN ASCENDENTE O DESCENDENTE, DENOMINADA COEFICIENTE DE DIRECCIÓN O PENDIENTE DE LA RECTA, CUYO VALOR NUMÉRICO SE REPRESENTA CON LA LETRA m.
AL PUNTO DONDE LAS RECTAS CORTAN AL EJE
DE LAS Y SE LE DENOMINA COEFICIENTE DE POSICIÓN Y SU VALOR
NUMÉRICO SE REPRESENTA CON LA
LETRA n.
3)( xxf
12)( xxf
3)( xxf
12)( xxf
EN LAS FUNCIONES LINEALES baxxf )(EL VALOR DE LA PENDIENTE COINCIDE CON EL VALOR DEL COEFICIENTE a DE x Y EL VALOR DEL COEFICINTE DE POSICIÓN COÍNCIDE CON EL TÉRMINO b
1
2
-1
-2
-3
3
1
1
FUNCIÓN LINEALPENDIENTE
(m)COEF. DE POSICIÓN
(n)
COMPLETA LA TABLA CON EL VALOR DE LA PENDIENTE Y EL COEFICIENTE DE POSICIÓN DE CADA UNA DE LAS FUNCIONES SIGUIENTES:
FUNCIÓN LINEALPENDIENTE
(m)COEF. DE POSICIÓN
(n)
53
2)( xxf
32
1)( xxf
74
3)( xxf
17
5)( xxf
23
2)( xxf
5
3
-7
-1
-2
23
34
23
-1 2
-5 7
EN UN PLANO CARTESIANO, GRAFICA LAS RECTAS CORRESPONDIENTES A CADA UNA DE LAS FUNCIONES LINEALES SIGUIENTES:
x
y
-2
-6
4
2
-4
6
2 64 8-8 -4-6 -2
73)( xxf
13)( xxf
53)( xxf
¿QUÉ PUEDES DECIR DE SUS PENDIENTES?
¿POR QUÉ LAS RECTAS SON PARALELAS?
¿DÓNDE CORTAN, LAS RECTAS, AL EJE Y?
EN GENERAL, SIEMPRE QUE DOS O MÁS RECTAS PRESENTEN LA MISMA PENDIENTE Y DISTINTO COEFICIENTE DE POSICIÓN, PODEMOS ASEGURAR QUE ESTAS SON PARALELAS; ES DECIR, NUNCA SE INTERSECTAN.
CUANDO DOS RECTAS COÍNCIDEN EN EL VALOR DE AMBOS COEFICIENTES (PENDIENTE Y POSICIÓN), SE DICE QUE ÉSTAS SON COINCIDENTES EN TODA SU EXTENSIÓN.
EJEMPLO:
92)( xxf
52)( xxf
m = 2
m = 2
n = 9
n = -5
EJEMPLO:
43)( xxf m = 3
m = 3
n = 4
43)( xxf n = 4
AHORA, GRAFICA LAS RECTAS CORRESPONDIENTES A CADA UNA DE LAS FUNCIONES LINEALES SIGUIENTES:
x
y
-2
-6
4
2
-4
6
2 64 8-8 -4-6 -2
13
2)( xxf
42
3)( xxf
¿QUÉ PUEDES DECIR DE SUS PENDIENTES?
¿QUÉ POSICIÓN PRESENTAN LAS RECTAS, UNA RESPECTO DE LA OTRA?
¿FORMAN UN ÁNGULO DE 90°?
EN GENERAL, SIEMPRE QUE EL VALOR DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA CORRESPONDA CON EL VALOR DEL OPUESTO AL INVERSO MULTIPLICATIVO DE OTRA RECTA, PODEMOS ASEGURAR QUE ESTAS SON PERPENDICULARES; ES DECIR, SE INTERSECTAN FORMANDO UN ÁNGULO DE 90°.
EJEMPLO:
24
3)( xxf
73
4)( xxf
34m =
m = - 43
NOTA QUE AL MULTIPLICAR AMBAS PENDIENTES, EL PRODUCTO ES -1. = -13
4 -4
3
EN ADELANTE, LAS FUNCIONES nmxxf )(SE ESCRIBEN COMO nmxy CUYA IGUALDAD
RECIBE EL NOMBRE DE ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA.
PENDIENTE (m)
COEF. DE POSICIÓN (n)
ECUACIÓN PRINCIPAL
4
-1
23
-5 7
3
23
-3 4
-23
12
5
432 xy
143 xy
32
75 xy
532 xy
21
3 xy
CUANDO UNA ECUACIÓN PRINCIPAL PRESENTA COEFICIENTES FRACCIONARIOS, ES POSIBLE EVITARLOS APLICANDO PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES.
EJEMPLO: SI: 432 xy ·3
1223 xy )2( x
)2(122)2(3 xxxy
1223 xyESTO ES: 1232 yx
·(-1)
A ESTA EXPRESIÓN DE LA RECTA, SE LE DENOMINA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
A PARTIR DE UNA ECUACIÓN GENERAL, TAMBIÉN ES POSIBLE DETERMINAR SU ECUACIÓN PRINCIPAL
1232 yxSI: )2( x
)2(12)2(32 xxyx xy 2123 )
31
(
xy32
4
ESTO ES: 432 xy
LA ECUACIÓN PRINCIPAL
DE LA RECTA
CONSIDERANDO QUE LA PENDIENTE DE UNA RECTA SE REPRESENTA POR LA LETRA m, Y QUE EL COEFICIENTE DE POSICIÓN SE REPRESENTA POR LA LETRA n; COMPLETA, SEGÚN CORRESPONDA, LA TABLA SIGUIENTE:.
m ECUACIÓN GENERALn ECUACIÓN
PRINCIPAL
13 2
343 xy
73
3 xy
25
-12
2x - 3y = 6
231 xy
-3 4 3
x - 3y = -6
3x + 4y = 12
21x - 7y = 3
21
52 xy 4x - 10y = 5
-373
-2 2 3
232 xy
x
y
x1 x2
y1
y2
P1
P2
LA PENDIENTE m DE UNA RECTA TAMBIEN SE PUEDE OBTENER A PARTIR DE DOS PUNTOS CONOCIDOS DE ELLA:
SEAN ESTOS: P1(x1, y1) y P2 (x2, y2)
12 xx
12 yy
ASÍ, m =12
12
xxyy
EN UN PLANO, ESTO ES:
SE DEFINE A LA PENDIENTE DE LA RECTA COMO EL CUOCIENTE ENTRE LA MEDIDA DEL CATETO OPUESTO, AL
ÁNGULO , Y LA MEDIDA DE SU CATETO ADYACENTE.
= tg () Donde es la inclinación
de la rectaUSANDO UNA CALCULADORA: = tg -1 (m)
SI: P1(1, 4) y P2 (5, 12)
ENTONCES, LA PENDIENTE DE LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS P1 y P2 SE PUEDE DETERMINAR APLICANDO LA FÓRMULA:
m =12
12
xxyy
ESTO ES:
m =12 - 45 - 1 = 8
4 2=
DETERMINA, LA PENDIENTE DE LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS P1 (3, 7) y P2 (8, 22) APLICANDO LA FÓRMULA:
m =12
12
xxyy
¡VEAMOS!
m =22 - 78 - 3 = 15
5
m = 3
PARA LOS PUNTOS P1 (3, 7) y P2 (8, 2); EN UN PLANO CARTESIANO, SE TIENE:
x
y
3 9
7
2
P1
P2
2221 65PP
5
6
61
21PP
m -56
¿PORQUÉ LA PENDIENTE DA NEGATIVA?
¿QUÉ SIGNO TIENE LA PENDIENTE CUANDO LA RECTA ES ASCENDENTE?
x
y
LA ECUACIÓN DE UNA RECTA TAMBIÉN SE PUEDE OBTENER A PARTIR DE DOS PUNTOS CONOCIDOS DE ELLA:
SEAN ESTOS PUNTOS : P1 (1, 2) y P2 (9, 7)
1 9
2
7
EN UN PLANO, ESTO ES:
P1
P2
y
SI SE UBICA EN LA RECTA UN PUNTO CUALQUIERA (x,y), SE DETERMINA UN NUEVO TRIÁNGULO RECTÁNGULO, CON LO CUAL SE PRESENTAN DOS ALTERNATIVAS PARA EL CÁLCULO DE LA PENDIENTE;x - 1
9 - 1
y - 2
7 - 2
m = y - 2x - 1 =
7 - 29 - 1
ESTO ES :
8y - 16 = 5x - 5
DE DONDE: 5x - 8y = -11
x
ASÍ:
x
y
EN GENERAL, A PARTIR DE DOS PUNTOS , LA ECUACIÓN DE UNA RECTA SE OBTIENE COMO CONCLUSIÓN DE LO SIGUIENTE:
SEAN LOS PUNTOS CONOCIDOS : P1(x1, y1) y P2 (x2, y2)
x1 x2
y1
y2
P1
P2
EN UN PLANO, ESTO ES:
x2 - x1
y2 - y1
AL UBICAR EN LA RECTA UN PUNTO CUALQUIERA (x,y), SE DETERMINA UN NUEVO TRIÁNGULO RECTÁNGULO, CON LO CUAL SE PRESENTAN DOS ALTERNATIVAS PARA EL CÁLCULO DE LA PENDIENTE;
x
x - x1
y - y1
m = =y - y1
x - x1
y2 - y1
x2 - x1
DE DONDE SE OBTIENE LA FÓRMULA PARA OBTENER LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
y - y1 =y2 - y1
x2 - x1
·(x - x1)
y
ASÍ:
SEAN LOS PUNTOS : P1(2, 3) y P2 (7, 9)
ENTONCES, SEGÚN LA FÓRMULA: y - y1 =y2 - y1
x2 - x1
·(x - x1)
SE TIENE:y - 3 =
9 - 37 - 2
·(x - 2)
ESTO ES: y - 3 =65 ·(x - 2) ·5
5y - 15 = 6x - 12
DE DONDE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA ES: 6x - 5y = -3
¡COMPRUEBA QUE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS : P1(1, 6) y P2 (5, 7) ES x - 4y = -23 !
EN LA ECUACIÓN : y - y1 =y2 - y1
x2 - x1
·(x - x1)m
ESTO ES: y - y1 = m ·(x - x1)
IGUALDAD QUE TAMBIÉN PERMITE DETERMINAR LA ECUACIÓN DE UNA RECTA, A PARTIR DE UN PUNTO
CONOCIDO Y SU PENDIENTE CONOCIDA
EJEMPLO: SI UNA RECTA PASA POR EL PUNTO (5, -2) y
TIENE PENDIENTE m = 4; ENTONCES:
DE ACUERDO A: y - y1 = m ·(x - x1)
SE TIENE: y - -2 = 4 ·(x - 5)DE DONDE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA ES:
4x - y = 22
EN VIRTUD DE TUS AVANCES, EN LOS TEMAS CONSIDERADOS, INTENTA COMPLETAR LA TABLA DE DOBLE ENTRADA, A PARTIR DE LOS DATOS QUE SE APORTAN.
ECUACIÓN GENERAL
ECUACIÓN PRINCIPALP1(x1, y1) P2(x2, y2)
(6, 2) (1, 5)
m
2(-1, 3)
-3(7, 1)
(-3, 4) (5, -2)
(4, 0) (1, -1)
3x + 5y = 28
3x + 4y = 7
x - 3y = 4
53
553 xy
223 xy 3x + y = 22
43
143 xy
2x - y = -552 xy
31
131 xy
LA DISTANCIA ENTRE UN PUNTO P1(x1, y1) Y UNA RECTA DE ECUACIÓN CONOCIDA ax + by = c SE PUEDE DETERMINAR APLICANDO LA FÓRMULA :
d =a x1 + b y1 - c
a2 + b2
LA DISTANCIA, ENTRE EL PUNTO P(2, 3) Y LA RECTA DE ECUACIÓN CONOCIDA 5x + 12y = 7, APLICANDO LA FÓRMULA ES:
d =5 ·2 + 12 · 3 - 7
52 + 122
d = 3
UNA FUNCIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO, GRÁFICAMENTE, ES UNA RECTA QUE SE PUEDE EXPRESAR ALGEBRAICAMENTE EN FORMA DE ECUACIÓN PRINCIPAL
(y = mx + n) Y/O EN FORMA DE
ECUACIÓN GENERAL ( ax + by =c ).
DOS O MAS RECTAS SON PARALELAS SI Y SOLO SI TIENEN LA MISMA PENDIENTE Y DISTINTO COEFICIENTE DE POSICIÓN.
EN EL PRESENTE PROGRAMA, TE HABRÁS DADO CUENTA QUE:
DOS O MÁS RECTAS PARALELAS QUE TIENEN EL MISMO COEFICIENTE DE POSICIÓN SON COINCIDENTES EN TODA SU EXTENCIÓN (es una misma recta)
DOS RECTAS SON PERPENDICULARES SI Y SOLO SI EL PRODUCTO ENTRE SUS
PENDIENTES DA -1,
54
3 xy
2043 yx
12 xy
32 xy x
y
532 yx
1064 yx x
y
13
2 xy
72
3 xy
ADEMÁS, LA ECUACIÓN DE UNA RECTA SE PUEDE OBTENER A PARTIR DE :
UN PUNTO CONOCIDO P1(x1, y1)
Y SU PENDIENTE CONOCIDA m.y - y1 = m ·(x - x1)
DOS PUNTOS CONOCIDOS
P1(x1, y1) Y P2(x2, y2) y - y1 =
y2 - y1
x2 - x1
·(x - x1)
d =a x1 + b y1 - c
a2 + b2
Y, LA DISTANCIA ENTRE UN PUNTO P1(x1, y1) Y UNA
RECTA DE ECUACIÓN CONOCIDA ax + by = c SE PUEDE DETERMINAR APLICANDO LA FÓRMULA :
CORRESPONDE A DOS IGUALDADES ALGEBRAICAS, EN FORMA DE ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS, QUE PRESENTAN LAS MISMAS VARIABLES O INCÓGNITAS Y QUE BUSCA DETERMINAR, MEDIANTE ALGÚN PROCEDIMIENTO APROPIADO, EL VALOR DE AMBAS INCÓGNITAS QUE SATISFACEN LA IGUALDAD DE LAS ECUACIONES.
SU FORMA ES:
222
111
cybxa
cybxa
IRcbacba 222111 ,,,,,
DONDE,
EJEMPLO: EN EL SISTEMA,
2552
923
yx
yx
LOS VALORES QUE SATISFACEN AMBAS IGUALDADES A LA VEZ SON:
5x 3yY
¡PARA COMPROBAR, SE REEMPLAZAN LOS VALORES EN CADA ECUACIÓN!
Y LAS INCÓGNITAS SON: x, y
LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS PUEDEN RESULTAR DE LA INTERPRETACIÓN DE PROBLEMAS COMO LOS SIGUIENTES:
SI EN UN CIRCO INGRESARON 600 PERSONAS, CANCELANDO $500 LOS ADULTOS Y $300 LOS NIÑOS, REUNIÉNDOSE $220000. ¿CUÁNTOS NIÑOS Y CUÁNTOS ADULTOS INGRESARON?
N + A = 600
300N + 500A = 220000
INTERPRETACIÓN
POR DOS NOVILLOS Y CINCO CABALLOS, SE CANCELARON $640000. SI LA DIFERENCIA ENTRE EL COSTO DE UN NOVILLO Y UN CABALLO ES $40000. ¿CÚANTO COSTARÁN 12 NOVILLOS Y UN CABALLO, AL MISMO PRECIO ANERIOR?
2N + 5C = 640000
INTERPRETACIÓN
N - C = 40000
LA SUMA DE LAS EDADES ENTRE DOS PERSONAS ES 100 AÑOS Y SU DIFERENCIA ES 20 AÑOS. ¿CUÁLES SON SUS EDADES?
INTERPRETACIÓN
E1 + E2 = 100
E1 - E2 = 20
PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES SE PUEDEN UTILIZAR DIFERENTES PROCEDIMIENTOS. EN ESTE PROGRAMA SE ESTUDIAN LOS SIGUIENTES:
MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR IGUALACIÓN, POR SUSTITUCIÓN, POR REDUCCIÓN Y POR DETERMINANTE.
2552
923
yx
yx 239 x
y
yx
5252
POR IGUALACIÓN DE LA VARIABLE y, SE TIENE:
239 x
5252 x Amplificando por el m.c.d.10
45 - 15x = 4x - 50 + 15 x + 50
45 + 50 = 4x + 15x
95 = 19x 5 = x
PARA EL SISTEMA:
REEMPLAZANDO x = 5, EN CUALESQUIERA DE LAS ECUACIONES INICIALES, SE OBTIENE EL VALOR y = -3
2552
923
yx
yxPARA EL SISTEMA:
EN EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN SE DESPEJA UNA DE LAS INCÓGNITAS EN CUALESQUIERA DE AMBAS ECUACIONES Y SE REEMPLAZA EN LA OTRA ECUACIÓN.
239 x
y
REEMPLAZANDO EN LA SEGUNDA ECUACIÓN, SE TIENE:
52 x 25)239
( x
5015454 xxESTO ES:
2
+ 45
15x = 50 + 45
15x = 95 x = 5
REEMPLAZANDO x = 5, EN LA ECUACIÓN 3x + 2y = 9
SE TIENE:
5
15 + 2y = 9 2y = -6 y = -3
EN EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN SE BUSCA IGUALAR LOS COEFICIENTES DE UNA MISMA INCÓGNITA EN AMBAS ECUACIONES, A SU MÍNIMO COMÚN U OTRO MÚLTIPLO EN COMÚN, MEDIANTE AMPLIFICACIÓN, PARA LUEGO SUMAR O RESTAR, SEGÚN CONVENGA, DE MANERA QUE QUEDE UNA SOLA ECUACIÓN CON UNA SOLA INCÓGNITA.
2552
923
yx
yxEN EL SISTEMA:
EL MÍNIMO COMÚN ENTRE LOS
COEFICIENTES DE LAS y ES 10
5
2
15x + 10 y = 45
4x - 10 y = 50 +19x = 95
x = 5
REEMPLAZANDO x = 5, EN LA ECUACIÓN QUE SE CONSIDERE MÁS SIMPLE; EN ESTE CASO EN,
3x + 2y = 95
15 + 2y = 9 -15
2y = 9 -152y = -6
y = -32
1
EN EL SISTEMA:
EN EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR DETERMINANTES SE PUEDEN DETERMINAR LAS INCÓGNITAS, APLICANDO EL CONCEPTO DE DETERMINANTE, CON AYUDA DE LOS COEFICIENTES QUE PRESENTAN LAS ECUACIONES, DE ACUERDO AL PROCEDIMIENTO SIGUIENTE:
3x + 2y = 92x - 5y = 25
x =3
2
2
-5
2
-5
9
25=
9 · -5-
25 · 23 · -5
-2 · 2
x =-45 - 50
-15 - 4=
-95
-19
x = 5
REEMPLAZANDO x = 5, EN CUALESQUIERA DE LAS ECUACIONES INICIALES, SE
OBTIENE EL VALOR y = -3
EL VALOR DE y TAMBIÉN SE PUEDE OBTENER AL RESOLVER LA EXPRESIÓN:
y =3
2
2
-5
3
2
9
25=
75 - 18
-15 - 4
57
-19
y = -3
TODA ECUACIÓN NO SIMPLIFICADA, DEBE SER ESCRITA EN SU FORMA GENERAL, PARA UNA MEJOR OPERACIÓN DE LA MISMA.
EJEMPLO: EN LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO:
)4,09(6,125,225,03,0 xyx3
14
13
2
2
1
5
2
)5
29(
3
52
2
5
4
1
3
1 xyx
3
2152
2
5
4
1
3
1 xyx 12
4 x - 3 y + 30 = 24 - 180 x + 8 + 180x - 30
184 x - 3y = 24 + 8 - 30
ESTO ES: 184 x - 3 y = 2 SU FORMA GENERAL
EN UN CIRCO INGRESARON 600 PERSONAS, CANCELANDO $500 LOS ADULTOS Y $300 LOS NIÑOS, REUNIÉNDOSE $220000. ¿CUÁNTOS NIÑOS Y CUÁNTOS ADULTOS INGRESARON?
N + A = 600
300N + 500A = 220000
INTERPRETACIÓN
DESARROLLO, POR SUSTITUCIÓN:
N = 600 - A
300 (600-A) + 500A = 220000
180000 - 300A + 500A = 220000
200A = 220000 - 180000
200A = 40000
A = 200ESTO ES: ADULTOS
200 Y NIÑOS 400
POR DOS NOVILLOS Y CINCO CABALLOS, SE CANCELARON $640000. SI LA DIFERENCIA ENTRE EL COSTO DE UN NOVILLO Y UN CABALLO ES $40000. ¿CUÁL ES EL PRECIO DE UN CABALLO Y EL PRECIO DE UN NOVILLO?
2N + 5C = 640000
INTERPRETACIÓN
N - C = 40000
DESARROLLO, POR REDUCCIÓN:
5
+
7N = 200000 + 640000
7N = 840000 N = $120000
ESTO ES: NOVILLO $120000 Y CABALLO $ 80000
LA SUMA DE LAS EDADES ENTRE DOS PERSONAS ES 100 AÑOS Y SU DIFERENCIA ES 20 AÑOS. ¿CUÁLES SON SUS EDADES?.
INTERPRETACIÓN
E1 + E2 = 100E1 - E2 = 20
DESARROLLO, POR REDUCCIÓN:
+
2E1 = 120
E1 = 60
ESTO ES:
UNA EDAD ES 60 AÑOS Y LA OTRA ES 40 AÑOS
POR LA VENTA DE 3 TORTAS Y 6 EMPANADAS SE CANCELARON $17100. SI EN OTRA VENTA DE 2 TORTAS Y 9 EMPANADAS SE CANCELAN $ 13150, ¿CUÁL ES EL PRECIO DE CADA PRODUCTO?.
2T + 9E = $ 13150
INTERPRETACIÓN
3T + 6E = $ 17100
DESARROLLO, POR DETERMINANTES
T =3
2
6
9
6
9
17100
13150=
153900
27
T = $ 5000
E = $ 350
-78900
- 12
LOS PROCESOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO, CON DOS INCÓGNITAS, NO SIEMPRE SE PUEDEN APLICAR INMEDIATAMENTE. HAY CASOS EN LOS CUALES LAS ECUACIONES DEBEN PLANTEARSE EN FUNCIÓN DE NUEVAS VARIABLES O INCÓGNITAS, DENOMINADAS VARIABLES AUXILIARES, PARA FACILITAR LA APLICACIÓN DE LOS PROCEDIMIENTOS.
EJEMPLO: EN EL SISTEMA,
71
4
2
1
51
2
2
3
yx
yx
SI SE CONSIDERA:
2
1
x m
Y
1
1
yn
SE TIENE EL SISTEMA:
3m - 2n = 5m + 4n = -7
LAS SOLUCIONES DE ESTE NUEVO SISTEMA SE REEMPLAZAN EN:
mx
2
1n
y
1
1
PARA OBTENER LOS VALORES DE x Y DE y DEL SISTEMA INICIAL.
Y
EN EL SISTEMA,
4115
5
14
7
2115
2
14
8
yx
yx
SI:
14
1
xm Y
115
1
yn
SE TIENE EL SISTEMA AUXILIAR,
8m - 2n = 2
7m + 5n = 4
POR SUSTITUCIÓN DE m, QUEDA:
8
22 nm
45)8
22(7
n
n8
14 + 14n + 40n = 32 -14
54n = 183
1n
115
1
3
1
y3115 y ( )2
5y - 11 = 9
REEMPLAZANDO EN:115
1
yn
SE TIENE:
DE DONDE, y = 4
ANÁLOGAMENTE x = 3
SON DE LA FORMA:
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
IRDONDE,
SUS COEFICIENTES
EJEMPLO: EN EL SISTEMA, LOS VALORES QUE SATISFACEN TODAS LAS IGUALDADES A LA VEZ SON:
¡PARA COMPROBAR, SE REEMPLAZAN LOS VALORES EN CADA ECUACIÓN!
2x + 3y - 5z = 18
5x - 4y + 2z = -4
x - y - 7z = 6x = 2 y = 3 Y z = -1
Y SUS INCÓGNITAS SON: x,y,z
2x + 3y - 5z = 18
5x - 4y + 2z = -4
x - y - 7z = 6
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS.
EN EL SISTEMA:IGUALANDO LOS COEFICIENTES DE y AL MÍNIMO COMÚN ENTRE ELLOS, SE TIENE:
4
3
12
8x + 12y - 20z = 72
15x - 12y + 6z = -12
12x - 12y - 84z = 72
+
23x - 14z = 60SUMANDO O RESTANDO DE A DOS ECUACIONES, CONVENIENTEMENTE, SE OBTIENE EL SISTEMA:
-
3x + 90z = -84
APLICANDO CUALESQUIERA DE LOS MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS SE OBTIENEN LOS VALORES:
x = 2
z = -1FINÁLMENTE, REEMPLAZANDO LOS VALORES DE x Y DE z, EN CUALESQUIERA DE LAS TRES ECUACIONES INICIALES, SE OBTIENE EL VALOR DE y.
y = 3
SISTEMAS DE ECUACIONES LITERALES¡OBSERVA Y ANALIZA!
(a + b)x - (a - b)y = 4ab
(a - b)x + (a + b)y = 2a2 - 2b2
(a + b)
(a - b)
Igualando los coeficientes de las y a su MCM que es a2 -b2 , a fin de aplicar la reducción de coeficientes, se tiene:
+
[(a + b)2 + (a - b)2 ]x = 4ab (a + b) + [2a2 - 2b2] (a - b)
(2a2 +2b2)x = 4ab (a + b) + 2(a2 - b2) (a - b)
2(a2 + b2)x = 2(a + b) [2ab + (a - b)2]
2(a2 + b2)x = 2(a + b) [a2 + b2]1
2(a2 + b2)
x = a + bEsto es:Continúa ...
(a - b)x + (a + b)y = 2a2 - 2b2
x = a + b
Ahora, remplazando el valor obtenido de x en cualquiera de las ecuaciones, se tiene que:
Como , entonces en ;
(a - b)(a + b) + (a + b)y = 2a2 - 2b2
Se tiene:
a2 -b2 + (a + b)y = 2a2 - 2b2
(a + b) y = a2 - b21
(a + b)y = a - bEsto es:
Luego el conjunto solución es: {(a+b, a-b)}
AL FINALIZAR EL ESTUDIO DEL PLANO CARTESIANO,FUNCIONES LINEALES Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO;TE INVITAMOS A INCREMENTAR
TUS CONOCIMIENTOS EN OTROS TÓPICOS DE LA MATEMÁTICA, MEDIANTE EL ESTUDIO DE
PROGRAMAS COMO ÉSTE. Solicítame copia de este u otros al email
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