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ContenidoAlgunos conjuntos numericos importantes

Objetivos

El Conjunto de los Numeros Reales

Carlos A. Rivera-Morales

Precalculo I

Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales


Objetivos

Tabla de Contenido

Objetivos

1 Algunos conjuntos numericos importantesRelaciones entre conjuntos numericosLa Recta Numerica RealPropiedades de los Numeros Reales



Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:

algunos conjuntos numericos de importancia para laPrecalculo I

numeros naturales (N)numeros cardinales (C)numeros enteros (Z)numeros racionales (Q)numeros irracionales (I)numeros reales (R)

relaciones entre los conjuntos anteriores

la recta numerica real

propiedades de cuerpo de los numeros reales



Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:


numeros naturales (N)

numeros cardinales (C)numeros enteros (Z)numeros racionales (Q)numeros irracionales (I)numeros reales (R)






Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:


numeros naturales (N)numeros cardinales (C)

numeros enteros (Z)numeros racionales (Q)numeros irracionales (I)numeros reales (R)






Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:


numeros naturales (N)numeros cardinales (C)numeros enteros (Z)

numeros racionales (Q)numeros irracionales (I)numeros reales (R)






Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:


numeros naturales (N)numeros cardinales (C)numeros enteros (Z)numeros racionales (Q)

numeros irracionales (I)numeros reales (R)






Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:


numeros naturales (N)numeros cardinales (C)numeros enteros (Z)numeros racionales (Q)numeros irracionales (I)

numeros reales (R)






Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:


numeros naturales (N)numeros cardinales (C)numeros enteros (Z)numeros racionales (Q)numeros irracionales (I)numeros reales (R)






Relaciones entre conjuntos numericosLa Recta Numerica RealPropiedades de los Numeros Reales


Algunos conjuntos numericos de importancia para elcurso Precalculo I:

Numeros Enteros Positivos o Numeros Naturales oNumeros de Conteo.N = {1, 2, 3, ...}Numeros enteros no negativos o Numeros CardinalesC = {0, 1, 2, 3, ...}Numeros EnterosZ ={... ,-3,-2,-1,0,1, 2,3,...}






Numeros Enteros Positivos

o Numeros Naturales oNumeros de Conteo.N = {1, 2, 3, ...}Numeros enteros no negativos o Numeros CardinalesC = {0, 1, 2, 3, ...}Numeros EnterosZ ={... ,-3,-2,-1,0,1, 2,3,...}






Numeros Enteros Positivos o Numeros Naturales

oNumeros de Conteo.N = {1, 2, 3, ...}Numeros enteros no negativos o Numeros CardinalesC = {0, 1, 2, 3, ...}Numeros EnterosZ ={... ,-3,-2,-1,0,1, 2,3,...}






Numeros Enteros Positivos o Numeros Naturales oNumeros de Conteo.

N = {1, 2, 3, ...}Numeros enteros no negativos o Numeros CardinalesC = {0, 1, 2, 3, ...}Numeros EnterosZ ={... ,-3,-2,-1,0,1, 2,3,...}






Numeros Enteros Positivos o Numeros Naturales oNumeros de Conteo.N = {1, 2, 3, ...}

Numeros enteros no negativos o Numeros CardinalesC = {0, 1, 2, 3, ...}Numeros EnterosZ ={... ,-3,-2,-1,0,1, 2,3,...}






Numeros Enteros Positivos o Numeros Naturales oNumeros de Conteo.N = {1, 2, 3, ...}Numeros enteros no negativos o Numeros Cardinales

C = {0, 1, 2, 3, ...}Numeros EnterosZ ={... ,-3,-2,-1,0,1, 2,3,...}






Numeros Enteros Positivos o Numeros Naturales oNumeros de Conteo.N = {1, 2, 3, ...}Numeros enteros no negativos o Numeros CardinalesC = {0, 1, 2, 3, ...}

Numeros EnterosZ ={... ,-3,-2,-1,0,1, 2,3,...}






Numeros Enteros Positivos o Numeros Naturales oNumeros de Conteo.N = {1, 2, 3, ...}Numeros enteros no negativos o Numeros CardinalesC = {0, 1, 2, 3, ...}Numeros Enteros

Z ={... ,-3,-2,-1,0,1, 2,3,...}






Numeros Enteros Positivos o Numeros Naturales oNumeros de Conteo.N = {1, 2, 3, ...}Numeros enteros no negativos o Numeros CardinalesC = {0, 1, 2, 3, ...}Numeros EnterosZ ={... ,-3,-2,-1,0,1, 2,3,...}





Algunos conjuntos numericos de importancia para elcurso Precalculo I:(Continuacion)

Numeros RealesR = {x|x se puede escribir como un numero decimal}Numeros RacionalesQ = {x|x es un numero real que se puede expresar de la

formap

q, donde p y q son numeros enteros, con q 6= 0}

Q = { pq| p y q son enteros con q 6= 0}

Numeros IrracionalesI = {x|x es un numero real que no se puede escribir comoel cociente de dos numeros enteros (esto es, como unafraccion comun)}






Numeros Reales

R = {x|x se puede escribir como un numero decimal}Numeros RacionalesQ = {x|x es un numero real que se puede expresar de la

formap









Numeros RealesR = {x|x se puede escribir como un numero decimal}

Numeros RacionalesQ = {x|x es un numero real que se puede expresar de la

formap









Numeros RealesR = {x|x se puede escribir como un numero decimal}Numeros Racionales

Q = {x|x es un numero real que se puede expresar de la

formap










formap










formap



Numeros Irracionales

I = {x|x es un numero real que no se puede escribir comoel cociente de dos numeros enteros (esto es, como unafraccion comun)}







formap








Notas:

Todo numero racional tiene una forma decimal que terminao es repetitiva. Ademas, todo decimal que termina o esrepetitivo representa un numero racional.

Veamos algunosejemplos:√

4 = 2 = 2.01

3= 0.3333 · · ·

3.14160 = 0.03.121212 · · · (Decimal repetitivo o periodico.)−3.232332333233332





Notas:

Todo numero racional tiene una forma decimal que terminao es repetitiva. Ademas, todo decimal que termina o esrepetitivo representa un numero racional.Veamos algunosejemplos:

√4 = 2 = 2.0

1

3= 0.3333 · · ·






Notas:

Todo numero racional tiene una forma decimal que terminao es repetitiva. Ademas, todo decimal que termina o esrepetitivo representa un numero racional.Veamos algunosejemplos:√

4 = 2 = 2.0

1

3= 0.3333 · · ·






Notas:


4 = 2 = 2.01

3= 0.3333 · · ·






Notas:


4 = 2 = 2.01

3= 0.3333 · · ·

3.1416

0 = 0.03.121212 · · · (Decimal repetitivo o periodico.)−3.232332333233332





Notas:


4 = 2 = 2.01

3= 0.3333 · · ·

3.14160 = 0.0

3.121212 · · · (Decimal repetitivo o periodico.)−3.232332333233332





Notas:


4 = 2 = 2.01

3= 0.3333 · · ·

3.14160 = 0.03.121212 · · · (Decimal repetitivo o periodico.)

−3.232332333233332





Notas:


4 = 2 = 2.01

3= 0.3333 · · ·






Un numero decimal que no termina y tampoco esrepetitivo se denomina numero irracional. Un numeroirracional no se puede expresar como una fraccion.

Veamosalgunos ejemplos de numeros irracionales:√

2√5

π ≈ 3.1416e (Numero de Euler)(Base natural de exponentes)e ≈ 2.718286−√

7−3.232332333233332...(Suponga que el patron continua.)





Un numero decimal que no termina y tampoco esrepetitivo se denomina numero irracional. Un numeroirracional no se puede expresar como una fraccion.Veamosalgunos ejemplos de numeros irracionales:

√2√5







Un numero decimal que no termina y tampoco esrepetitivo se denomina numero irracional. Un numeroirracional no se puede expresar como una fraccion.Veamosalgunos ejemplos de numeros irracionales:√

2

√5








2√5








2√5

π ≈ 3.1416

e (Numero de Euler)(Base natural de exponentes)e ≈ 2.718286−√







2√5

π ≈ 3.1416e (Numero de Euler)(Base natural de exponentes)

e ≈ 2.718286−√







2√5

π ≈ 3.1416e (Numero de Euler)(Base natural de exponentes)e ≈ 2.71828

6−√







2√5


7

−3.232332333233332...(Suponga que el patron continua.)






2√5






Relacion entre los conjuntos anteriores

Numeros Reales

Por lo tanto, N ⊆ C ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R .Ademas, R = Q ∪ I .




Relacion entre los conjuntos anteriores

Numeros Reales





Nota: Un numero real cualquiera acepta diferentesclasificaciones.





Ejercicio: Coloque correctamente los siguientes numeros en eldiagrama.

√3, −7, 4.5, 7.333..., 7π,

√64, 0, 3

√6, 3√

64,√−4





Ejercicio: Clasifique los siguientes enunciados en Cierto oFalso. Si contesta Falso, explique por que.

1 -7 es un numero racional.

2 0 es un numero entero.

3√

16 representa un numero racional.

4 −5.333... es un numero entero.

5√

2 es un numero racional.

6 18 es un numero cardinal.

7 2.434334333 es un numero racional.

8 2.434334333433334... es un numero racional.

9 Todo numero irracional es un numero real.





La Recta Numerica Real:

Definicion: La recta numerica real es una correspondenciauno a uno o biunıvoca entre el conjunto de los numeros reales yel conjunto de puntos de una lınea o recta.

A cada numero real le corresponde un punto unico de larecta.

A cada punto de la recta le corresponde un numero realunico.

El punto es la grafica del numero real.

El numero real es la coordenada del punto.





La Recta Numerica Real





Ejemplo: Indique la localizacion aproximada de cada uno delos siguientes numeros reales.

−3, 103 , 1.2,

1

5, π,√

17, −4

5

Solucion:





Ejemplo: Sin hacer uso de la calculadora, ordene los siguientesnumeros de menor a mayor.

2π,√

37, 6,20

3, 5.9, 6.4× 100

El orden correcto es:





Ejercicios:A. Indique la localizacion aproximada de cada uno de lossiguientes numeros reales.

B. Sin hacer uso de la calculadora, ordene los siguientesnumeros de menor a mayor.





Contestaciones:




Propiedades de los Numeros Reales




Propiedades de los Numeros Reales

Ejercicios Sugeridos para Practica:

Pag. A - 11 y siguientes: 1 al 72 (impares).


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