ekspansi multipole

22
TEORI MEDAN ELEKTROMAGNETIK I FISIKA FMIPA UNHAS

Upload: merah-mars-hiiro

Post on 03-Dec-2014

1.850 views

Category:

Education


73 download

DESCRIPTION

 

TRANSCRIPT

TEORI MEDAN ELEKTROMAGNETIK I

FISIKA FMIPA UNHAS

HENDRI (H211 09 011)

AIDA (H211 09 012)

NETHA SHELLA SABONO (H211 09 013)

NUR HARMILA SARI (H211 09 015)

DJUNNAIDIN (H211 09 016)

ARIFAH SARAHAN (H211 09 101)

KELOMPOK V

FISIKA FMIPA UNHAS

EKSPANSI MULTIPOLE

FISIKA FMIPA UNHAS

Ekspansi multipole merupakan rangkaian

matematik yang mewakili fungsi yang

tergantung pada sudut.

PENDAHULUAN

FISIKA FMIPA UNHAS

y V(P) = ….. ? P Jika r’ >> r

Titik observasi sangat jauh dari lokasi

distribusi r’ r muatan.

0 x

potensial yang dihasilkan tampak seperti yang diberikan oleh muatan titik dengan muatan total Q

V(P) =

Contoh Soal

r

Q

04

1

FISIKA FMIPA UNHAS

Bagaimana jika muatan total Q = 0 ?Tentu V 0Persoalan bagaimana V menjadi nol ?Tinjau dipole muatan.

Gambar muatan dipole

- Q

+ Q

R

P

-

S

+

FISIKA FMIPA UNHAS

=

Untuk r >> s suku ketiga dapat diabaikan

Uraian binomial

r

q

r

q

4

1V

0)p(

CosrS2

Sr

222

2

22

r4

SCos

r

S1r

2

1

Cosr

S1

r

11

Cosr

S

r 21

11

Cosr

S112

FISIKA FMIPA UNHAS

dengan demikian diperoleh pendekatan dari potensial di titik P, yaitu

V(P) =

Jadi potensial oleh suatu dipole pada jarak yang jauh besarnya berbanding lurus dengan .

20 r

CosS.q

4

1

2r

1

FISIKA FMIPA UNHAS

Tinjau distribusi muatan sembarang :Potensial di titik P

dapat dinyatakan sebagai berikut

=

P

0

r'r

Cosrrrr

dtV p

'2'22

0)(

2

.1

4

1

Cos

r

r2

r

r1r

'2'2

FISIKA FMIPA UNHAS

Atau dimana

Selama P terletak jauh dari distribusi

muatan, sehingga dapat dilakukan

ekspansi binomial sebagai berikut:

=

atau dinyatakan dalam r, , dan r’

Koefisien dari deret di atas adalah

Polinomial Legendre.

1r

Cos

r

r

r

r2

''

1

2

1

111

r

....

16

5

8

3

2

11

1 22 r

...

''

16

52

8

32

2

11

1232'2'''

Cosr

r

r

rCos

r

r

r

rCos

r

r

r

r

r

FISIKA FMIPA UNHAS

Polinomial Legendre, yaitu

Jadi

atau secara eksplisit

)Cos(Pnr

'r

r

11 ~

0n

n

~

01

0

'1

4

1

n

n

ndtCosPnr

rVp

...

2

1

2

3'

1'

11

4

1 22

320

dCosrr

dCosrr

dr

Vp

FISIKA FMIPA UNHAS

Uraian kutub ganda potensial V dalam deret

pangkat .

Suku pertama (n = 0)

suku monopole

Suku kedua (n =1)

suku dipole

Suku ketiga (n = 2)

suku quadrupole

Suku keempat (n = 3)

suku oktopole

r

1

r

1~V

2r

1~V

4r

1~V

3r

1~V

FISIKA FMIPA UNHAS

Hasil integrasi suku pertama dalam

penjabaran menghasilkan muatan pertama

terhadap potensial dapat dituliskan :

A. SUKU MONOPOLE

r

QPVmono

04

1)(

FISIKA FMIPA UNHAS

Bila muatan total sama dengan nol, maka

kontribusi pada medan di titik yang jauh

paling menonjol berasal dari suku kedua

yang dikenal sebagai suku dipole, yaitu

B. SUKU DIPOLE

dtCos'rr

1

4

1)P(V

20

dip

FISIKA FMIPA UNHAS

Suku kuadrupole sebanding dengan .

Dalam penjabaran multipole kontribusi

suku ini diberikan oleh :

C. SUKU KUADRAPOLE

dt

2

1Cos2

3)'r(

r

1.

4

1)P(V 2

30

Kuad

3r

1

FISIKA FMIPA UNHAS

Jika muatan total (Q 0)

Potensial didominasi oleh suku monopole

(untuk r yang besar).

=

dtr

PVmono

1

4

1)(

0 r

Q

04

1

FISIKA FMIPA UNHAS

Jika muatan total Q = 0

Potensial didominasi oleh suku dipole (jika

momen dipole ).

: sudut antara

atau dapat ditulis

dimana

dtCos'rr

1

4

1)P(V

20

dip

'r.rCos'rrdan'r

20

dip r4

r.P)P(V

dtrP '

FISIKA FMIPA UNHAS

dtrr

rPVdip

.'.ˆ

1.

4

1)(

20

Momen dipole ditentukan oleh ukuran,

bentuk dan kerapatan dari distribusi

muatan.

- Muatan volume :

- Muatan permukaan :

- Muatan titik :

P

dtrP '

Ad.'rP

~

1nii rqP

FISIKA FMIPA UNHAS

Dipole Dipole fisis

Dipole murni

DIPOLE LISTRIK

: Vektor dari (-) ke (+)

Untuk Dipole Fisis : subtitusi

Vdip = ke

Untuk Dipole Fisis : (Dua muatan berlawanan tanda )q

- q

+ q'r

'r

'rq'rqP

sqrrq.)''(

S

S

20

)( 4

ˆ.)(

r

rPPV dip

sqP

204

ˆ.)(

r

rsqPVdip

2

04

1

r

Cossq

204

1

r

Cossq

FISIKA FMIPA UNHAS

Tentukan aproksimasi paling sederhana

yang berlaku untuk potensial ditempat yang

jauh dari 0.

Jadi ;

;

Untuk Dipole Murni

q

-q

3 q

-2q-2qd

dd

d

Y

X

0qq3q2q2Q tot

j)dq2qd2(k)qdqd3(P

kqd ˆ2

20 r

r.P

4

1V

CosPr.P

20

2

4

1

r

CosqdV

Sekian&

Terima kasih

FISIKA FMIPA UNHAS