Ekonometrija 1D

Ekonometrija, Doktorske studije

Predavač: Aleksandra Nojković

Beograd, školska 2012/13

Struktura predavanja

• Uvodna razmatranja• Jednostavna regresiona analiza i metod običnih

najmanjih kvadrata (metod ONK)• Klasični jednostavni linearni regresioni

model(KLRM)• Svojstva ocena dobijenih primenom metoda ONK

u KLRM• Statisticko zaključivanje u KLRM• Klasični višestruki linearni regresioni model• Pokazatelji kvaliteta ocenjenog modela• Testovi linearnih ograničenja na parametre• Testovi stabilnosti

Neke definicije termina ekonometrija

Naucna disciplina koja se bavi merenjima u ekonomiji.

Nastanak se vezuje osnivanje Ekonometrijskog društva 1930 godine (1933. god. pokreće se časopis “Econometrica”).

Nauka koja primenjuje metode matematičke statistike na ekonomske podatke u cilju analize

valjanosti postavki ekonomske teorije (Samuelson, Koopmans,Stone, 1954).

Osnovni zadatak ekonometrije jeste oživljavanje (engl. “to put empirical flesh and blood”) teorijskih struktura (Kennedy, 1998).

Još neke definicije

Ekonometrija označava primenu statistickih metoda na probleme koji interesuju ekonomiste (Ashenfelter, Levine and Zimmerman, 2003)

Problemi se javljaju: - makroekonomiji- mikroekonomiji i - finansijskoj ekonomiji.

Osnovni ciljevi ekonometrije

Utvrdivanje kvantitativne zavisnosti veličina u ekonomskoj relaciji

- Modeliranje ekonomskih velicina: koliko se promeni jedna veličina sa promenom druge.

Ispitivanje valjanosti postavki ekonomske teorije

- Testiranje konkurentnih hipoteza. Predvidanje buduceg kretanja ekonomskih

veličina na osnovu utvrđene kvantitativne veze.

Ekonometrijska istraživanja se zasnivaju na rezultatima sledećih naučnih disciplina:

Ekonomska teorija (matematicka ekonomija): teorije i ideje su formulisane u formi matematičkih jednacina (bez brojeva).

Ekonomska statistika: prikupljanje i obrada podataka.

Matematička (teorijska) statistika: izvodenje zaključaka o ekonomskim odnosima primenom statistickih metoda (merenje i testiranje hipoteza) na konkretne podatke.

Veza ekonometrije sa drugim naučnim disciplinama

Ekonomija vs. Ekonometrija: Prilagođavanje problemima ekonomskog života se se sastoji u specifikovanju stohastičkih elemenata u ekonomskom ponašanju.

Statistika vs. Ekonometrija: Korišćeni podaci se mogu interpretirati kao slučajan uzorak, na koji se primenjuju statistički metodi prilagođeni radu sa ekonomskim podacima (korigovani metodi statističke nalaize).

Metodologija ekonometrjskog istraživanja

Metodologija (faze) ekonometrijskog istraživanja

1. Izbor teorijskog modela2. Postavka ekonometrijskog modela3. Prikupljanje podataka4. Ocena parametara modela5. Ispitivanje valjanosti ocenjenog modela6. Predviđanje

Vrste podataka

Podaci vremenskih serija - Godišnji, kvartalni mesecni, dnevni, kako se

obavi transakcija. Podaci preseka (strukture, uporedni) - Vrednosti različitih promenljivih koje definišu

strukturu u datom trenutku vremena. Podaci panela - Kombinacija podataka vremenskih serija i

podataka preseka.

Jednostavna regresiona analiza

Regresiona analiza predstavlja osnovni metodološki okvir ekonometrijskog modeliranja.

Pretpostavimo da raspolažemo podacima o potrošnji i dohotku za odredeni broj slučajnih ispitanika period i da želimo da otkrijemo prirodu njihove međusobne povezanosti (primer: Asteriou and Hall (2007), str.47, tabela 4.2).

Cilj regresione analize jeste utvrđivanje prirode i forme povezanosti između promenljivih.

Primena jednostavne regresije

Pretpostavljamo da je veza između potrošnje i dohotka pozitivna. Hoćemo da opišemo potrošnju kao funkciju dohotka.

- Potrošnja: zavisna promenljiva/varijabla (Y) - Dohodak: nezavisna promenljiva/varijabla (X) U regresionoj analizi zavisna (Y) i nezavisna (X)

promenljiva imaju potpuno razlicitu poziciju (razlika sa korelacionom analizom).

– Promenljiva Y je stohastickog tipa, što znaci da je slucajna promenljiva koju karakteriše odredena raspodela.

– Promenljiva X uzima fiksirane vrednosti iz ponovljenih uzoraka. Ona nije stohasticke prirode.

– Postoji jednosmeran pravac uzrocnosti: samo X utice naY, dok Y ne utice na X.

Dijagram rasturanja tačaka sa paravom linijom

60

80

100

120

140

160

180

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

dohodak

po

tro

snja

Populaciona i uzorackaregresiona prava (jednačina)

Populaciona regresiona prava označava stvarnu stohastičku vezu izmedu datih promenljivih (sadrži stvarno b0 i b):

za i=1,2,..., n. Uzoračka regresiona prava opisuje vezu prema datom

uzorku:

Stvarni nivo zavisne promenljive je zbir ocenjenog nivoa i onoga što model nije ocenio (reziduala, obeležavaju kao ei).

Uzoracka regresiona prava (jednacina) se koristi za donošenje zakljucaka o parametrima populacione regresione jednacine.

iii bXbXY

00

iii eYY

deokistohastiič

i

deoisistematsk

i0i XY

Metod običnih najmanjih kvadrata(metod ONK)

Najcešce korišcen metod postavljanja prave i izbora regresionih koeficijenata jeste metod obicnih najmanjih kvadrata (ONK).

Ideja metoda: minimizirati zbir kvadrata odstupanja podataka od prave.

Ocene metodom ONK

Izvođenje ocena...

Ocene ONK:

n

ii

n

iii

n

i

n

iii

n

i

n

i

n

iiiii

x

yx

XXn

YXYXnb

1

2

1

1

2

1

2

1 1 1

XbYb

00

Ocena potrošne funkcije iz Eviews-a (Primer 1)

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 06/08/11 Time: 14:32 Sample: 1 20 Included observations: 20

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 15.11641 6.565638 2.302352 0.0335

X 0.610889 0.038837 15.72951 0.0000 R-squared 0.932182 Mean dependent var 115.5160

Adjusted R-squared 0.928415 S.D. dependent var 25.71292 S.E. of regression 6.879603 Akaike info criterion 6.789639 Sum squared resid 851.9210 Schwarz criterion 6.889212 Log likelihood -65.89639 Hannan-Quinn criter. 6.809076 F-statistic 247.4176 Durbin-Watson stat 2.283770 Prob(F-statistic) 0.000000

Interpretacija ocena bo i b?

b oznacava prirast zavisne promenljive po jedinici prirasta nezavisne.

bo oznacava nivo zavisne promenljive kada je nivo objašnjavajuće promenljive nula (dohodak je nula).

Sa rastom dohotka za jednu jedinicu potrošnja raste za 0.61 jedinica.

Ukoliko je nivo dohotka nula, potrošnja iznosi 15.12 jedinica.

Pretpostavke klasicnog linearnog regresionog modela (KLRM)

Pretpostavke KNLRM/KLRM o εi :

1. E(εi)=0, za svako i.2. Var(εi )=E(εi2)=σ2, za svako i.

3. Cov(εi,εj)=E(εiεj)=0, za svako i,j, tako da i≠j.4. E(εiXi)=0, za svako i.5. εi ~ N(0, σ2).

Implikacije navedenih pretpostavki

Ocena b je linearna funkcija slucajne promenljive Yi.

Posledice:

– Ocena b je slucajna promenljiva– Ocena b ima normalnu raspodelu.

Svojstva ocena koje su dobijeneprimenom metoda ONK

Ako su zadovoljene pretpostavke KLRM od 1. do 4. tada se primenom metoda ONK dobijaju najbolje linearne nepristrasne ocene (NLNO).

Šta to znaci?

• Ocena: b je ocena stvarne vrednosti parametra β.• Linearna: b je linearna funkcija raspoloživih podataka.• Nepristrasna: u proseku ocena b je jednaka parametru β.• Najbolja: ocena je efikasna (nepristrasna ocena sa najmanjom varijansom).

Nepristrasnost/Efikasnost/Konzistentnost

NepristrasnostOcene metoda ONK su nepristasne. To znaci da su oceneu proseku jednake parametrima koji se ocenjuju: E(b0)=β0 i E(b)= β. EfikasnostOcene metoda ONK su efikasne ocene. Ocena je efikasnaako je nepristrasna i ako ne postoji druga nepristrasnaocena koja poseduje manju varijansu. To je nepristrasna ocena sa najmanjom mogućom varijansom. KonzistentnostOcene metoda ONK su konzistentne. To znaci da sa porastomobima uzorka ocena konvergira u verovatnoci ka stvarnojvrednosti parametra. Nepristrasna ocena je konzistentna akonjena varijansa teži nuli sa porastom obima uzorka.

Asimptotska svojstva ocena

Asimptotska nepristrasnost: Ocena je asim. Nepristrasna ako postaje nepristrasna

sa rastom uzorka. Konzistentana - ako konvergira u verovatnoći ka

pravoj vrednosti parametra, kada n teži ka nuli:

Konzistentna: varijansa i pristrasnost (SKG) teže ka nuli kada obim uzorka teži ka beskonačnosti.

Asimptotska efikasnost: konzistentna ocena sa najmanjom asimptotskom varijansom (najbrže konvergira u verovatnoći ka β).

.nza,bE

.blimp

Osobine ocena dobijenih metodom NK i metodom MV

Ocene dobijene metodom NK imaju sve poželjne osobine u malim uzorcima.

Metod maksimalne verodostojnosti (MV) daje ocene parametara koje imaju poželjne asimptotske osobine: konzistentost i asim. efikasnost.

Metod MV se koristi kada su na raspolaganju veliki uzorci i kada se pretposavka o normalnoj distribuciji grešaka može smatrati opravdanom (u opštem slučaju pristrasne u malim uzorcima).

Kako merimo preciznost ocena?

Svaki drugi uzorak daje nove ocene parametara bo i b. Ako se sa promenom uzorka ocene malo razlikuju, onda one imaju malu varijansu i obratno.

Preciznost ocene se meri na osnovu ocene varijanse ocena.

Kvadratni koren iz ocene varijanse je standardna greška ocene.

Da bi se izračunale standardne greške ocena potrebno je prethodno oceniti varijabilitet slučajne greške modela.

U pitanju je ocena parametra (s2).2

Ocena varijanse slučajne greške modela (σ2) i ocene varijansi ocena parametara bo i b

Nepristrasna ocena σ2 je:

Sada možemo da analiziramo ocene varijansi ocena parametara bo i b:

222

0

1var

0

ib x

X

nssb

2

22var

ib x

ssb

2n

esˆ

n

1i

2i

22

Standardne greške ocena parametara biće manje ukoliko je:

Manji stepen stohastičnosti između Xi i Yi, odnosno manja ocena varijanse s2 (manji varijabilitet modela).

Veći varijabilitet objašnjavajuće promenljive Xi (suma kvadrata odstupanja X od aritmetilčke sredine).

Veći uzorak (n). Standardna greška ocene slobodnog člana zavisi

i od aritimeticke sredine podataka za X.(Podaci su udaljeniji od y-ose što je vrednost ove aritmetičke sredine veća. Rezultat: nepreciznija ocena slobodnog člana).

Statističko zakljucivanje u KLRM

Izvođenje zaključaka o svojstvima parametara osnovnog skupa na osnovu ocenjenih regresionih parametara.

Primer: Ocenjen je model oblika:

(6.57) (0.04)

Ocena 0.35 je (tackasta) nepoznatog parametra nagiba. Koliko je ta ocena pouzdana?

Odgovor na to pitanje daje standardna greška ocene.

ii XY 61.012.15

Testiranje hipoteze: osnovni elementi

Interesuje nas da li parametar nagiba uzima tacno odredenu vrednost.

Postavljamo dve hipoteze: nultu (oznaka H0) i alternativnu hipotezu (oznaka H1).

Nulta hipoteza je iskaz ciju valjanost ispitujemo, odnosno testiramo. Alternativna hipoteza obuhvata sva alternativna tvrđenja.

Na primer, interesuje nas da li se zavisna promenljiva menja u istom obimu kao i objašnjavajuca, odnosno da li je β jednako 1.

Koristimo sledeću notaciju: H0 : β =1

H1 : β ≠1

Raspodela verovatnoće ocenadobijenih metodom ONK

Standardizovanjem slučajnih promenljivih b i b0 dobijamo:

Medutim, varijanse ocena su su nepoznate velicine. Ako ih zamenimo odgovorajućim ocenama, tada dobijamo slučajne promenljive sa t-raspodelom (proveriti!)

)1,0(N:

bvar

b),1,0(N:

bvar

b

0

00

).2(:),2(:

0

00

nts

bnt

s

b

bb

Testiranje hipoteza: algoritam

Posmatramo model oblika:

Testiramo vaidnost hipoteze:

H0: β = β*, H1:β ≠ β*

Koraci u postupku testiranja:1. Ocenjujemo: b, b0, sb, sbo na poznati nacin.

2. Racunamo test-statistiku koristeci sledeću formulu:

gde je β * vrednost β u uslovima važenja nulte hipoteze.

),2(:

*

nt

s

bstatistikatest

b

.n,...,2,1iza,XY ii0i

Testiranje hipoteza: algoritam (nastavak)

3. Sastavni deo testiranja hipoteze je izbor nivoa značajnosti,koji se cesto oznacava sa To je verovatnoća odbacivanja nulte hipoteze u situaciji kada je ona tačna. Uobičajeno se koristi nivo značajnosti 5%.4. Definišemo pravilo odlučivanja, kriterijum po kojemodbacujemo nultu hipotezu. Ako je:

Odbacujemo H0 kao netačnu uz nivo značajnosti 5%.

5. Konačno sprovodimo testiranja. Ako izračunata test statistikaleži u oblasti prihvatanja nulte hipoteze, tada se nulta hipoteza neodbacuje. Obratno, ako izračunata teststatistika pripada kritičnoj oblasti testa, tada nultu hipotezu odbacujemo za dati nivoznačajnosti.

.

,025.0*

)2(

nb

ts

b

Specijalni tip hipoteze: t-odnos Pretpostavimo da nas interesuje:

H0: β = 0, H1:β ≠ 0.

Ako je tačna nulta hipoteza, tada objašnjavajuća promenljiva ne utiče na kretanje zavisne promenljive. Na ovaj način proveravamo opravdanost postavke modela.

U tom slučaju opšti oblik test statistike postaje t-odnos, zapravo odnos ocene i odgovarajuce standardne greške ocene:

).2(: nts

bodnoststatistikatest

b

Klasicni višestruki linearni regresioni model

Analiticki oblik višestrukog linearnog regresionog modela:

Parametri β1, β2,..., βk su parcijalni koeficijenti nagiba.

Na primer: ako se X1i poveća za jednu jedinicu, očekivana

promena Yi je β1 jedinica, pod pretpostavkom da se ne

menja uticaj ostalih objašnjavajućih promenljivih X2,X3,...,Xk.

.,...,2,1,...22110 nizaXXXY ikikiii

Pretpostavke KLRM (višestrukog)

1. E(εi)=0, za svako i.

2. Var (εi)=E(εi2)=σ2, za svako i.

3. Cov(εi,εj)=E(εiεj)=0, za svako i,j, tako da i≠j.

4. E(εiXi)=0, za svako i.

5. εi ~ N(0, σ2).

6. Ne postoji tačna linearna zavisnost izmedu objašnjavajucih promenljivih (ni jedna od objašnjavajucih promenljivih se ne može predstaviti kao linearna kombinacija ostalih).

Klasicni višestruki linearni regresioni model (matrična notacija)

U matričnoj notaciji:

y=Xβ + ε,gde su: y (nx1) vektor kolona; X (nxk) matrica; β(kx1) vektor kolona; ε (nx1) vektor kolona.

Matrica X: svaki red predstavlja vrednost svih eksplanatornih prom. koje odgovaraju jednoj opservaciji, a svaka kolona predstavlja sve vrednosti jedne eksplanatorne prom. u uzorku.

Pretpostavke KLRM u matričnoj notaciji

1) ε ~ N (0,Σ), gde je nula vektor kolona sa elementima jednakim nuli, a Σ je matrica (nxn).

2) E(εε’)=σ2In, gde je In jedinična matrica tipa (nxn), sa jedinicama na glavnoj dijagonali, sve ostalo su nule.

3) Elementi matrice X su nestohastički, sa vrednostima fiksiranim u ponovljenim uzorcima, a matrica (1/n)(X’X) je nesingularna i njeni elementi su konačni za bilo koju veličinu uzorka.

Pretpostavke KLRM u matričnoj notaciji (nastavak)

Po prvoj pretpostavci, greška je N distribuirana, a očekivana vrednost je nula za sve opservacije.

Po drugoj pretpostavci, matrica varijansi i kovarijansi grešaka različitih opservacija definisana je kao:

-Pretpostavka sadrži dve ranije pretpostavke: odsustvo autokorelacije i homoskedstičnost. Po trećoj pretpostavci, vrednosti regresora su fiksne za date

opservacije, broj opservacija je veći od broja parametara za ocenjivanje i nema perfektne linearne zavisnosti između regresora.

.I

00

00

00

EEE

EEE

EEE

E 2

2

2

2

2nn2n1

n22221

n12121

'

Primena metoda ONK

Primenom metoda ONK dobijaju se najbolje linearne nepristrasne ocene.

Vektor originalnih vrednosti y se može zapisati kao zbir objašnjenih i neobjašnjenih vrednosti modelom:

Da bismo dobili ocene parametara β1, β2,..., βk potrebno je da odredimo minimum rezidualne sume kvadrata:

u odnosu na ocene parametara β1, β2,..., βk.

,eˆXy

,ˆX'X'ˆyXˆ2yýˆXyˆXye'ee '''n

1i

2i

Primena metoda ONK (nastavak)

Izvođenje ocena....

Vektor ocena je:

).'()'( 12

1

yxxx

b

b

b

b

k

Određivanje standardnih grešaka ocena u višestrukom modelu

U višestrukom modelu ocene varijanse σ2 je:

U višestrukom modelu ocene varijansi vektora ocena je:

122 ')(var

xxssb b

kn

e'esˆ 22

Specifičan tip t-testa: t-odnos Kao i u slucaju jednostavnog modela, i u višestrukoj regresiji

se koristi test-statistika oblika:

Pretpostavimo da je hipoteza od interesa: H0: βi = 0, H1:βi ≠ 0 i=1,2,...,k. U uslovima validnosti nulte hipoteze test-statistika je:

Buduci da je u pitanju kolicnik ocene i odgovarajuce standardne greške te ocene, ova statistika se naziva t-odnos. Na ovaj način se proverava značajnost pojedinačnog uticaja svake od objašnjavajucih promenljivih na zavisnu promenljivu.

).(:*

knts

bstatistikatest

ib

ii

).(: knts

bstatistikatest

ib

i

Korelacija u jednostavnom i višestrukom modelu

Za jednostavni model važi:

U višestrukom modelu sa npr. dve objašnjavajuće promeljive X1 i X2, važi da koeficijent parcijalne korelacije između Y i X1 (koeficijent prvog reda ili koef. korelacija po odbitku uticaja X2) odgovara znaku ocenjenog regresionog koeficijenta :

Videti Primer 2, zavinost Y od X1 i X2.

.s

sb

s

sˆry

x

y

xxy

11 b

.11 rr

rrrr 2

XX

2

YX

XXYXYX

XYX

212

2121

21

Pokazatelj kvaliteta regresije: koeficijent determinacije

• Koji deo varijacija zavisne promenljive je objašnjen modelom, odnosno varijacijama nezavisne promenljive?

• Odgovor na to pitanje daje koeficijent determinacije R2. • Ukupni varijabilitet zavisne promenljive definiše se na sledeći

način:

• Ukupni varijabilitet zavisne promenljive može se predstaviti kao zbir dve komponente:

1. Varijabilitet zavisne promenljive koji je objašnjen modelom:

2. Varijabilitet zavisne promenljive koji nije objašnjen modelom, rezidualna suma kvadrata).

i

i yyUSK 2

i

i yyOSK 2ˆ

i

ii

ii eyyRSK 22ˆ

Koeficijent determinacije R2 (II)

RSKOSKUSK

eyy2eyyyy

yyyyyy

0

it

ii

2i

i i

2i

2i

e

iiii

i

Koeficijent determinacije R2 (III)

Dakle, USK = OSK + RSK

Koeficijent determinacije predstavlja udeo objašnjenog u ukupnom varijabilitetu:

Kako je: OSK = USK - RSK, imamo:

R2 se uvek nalazi u intervalu od 0 do 1.

USK

RSK

USK

RSKUSK

USK

OSKR

12

2i

i

i

2i

2

yy

e1R

i

2i

i i

2i

2i eyyyy

.y

y

USK

OSKR

2i

2i2

Ekstremni slučajevi: R2 = 0 i R2 = 1

ty

y

tx

ty

tx

Ograničenja u primeni R2 kao pokazatelja kvaliteta regresije

1. R2 se uvek povećava sa dodavanjem novih objašnjavajućih promenljivih:

Regresija 1: yi = β0 + β1x1i + β2x2i + εi

Regresija 2: yi = b0 + β1x1i + β2x2i + β3x3i + εi

R2 će uvek biti veći u regresiji 2, bez obzira na to kakva jeeksplanatorna snaga nove objašnjavajuće promenljive.

To je sasvim jasno iz sledećih izraza:

.1

2R

rrrrrr

2

XX

XXYXYX

2

YX

2

YX2

21

212121

Ograničenja u primeni R2 kao pokazatelja kvaliteta regresije (nastavak)

- Odnosno, izraženo preko parcijalnih koeficijenata korelacije:

2. R2 je krajnje nepouzdan pokazatelj u regresionoj analizi vremenskih serija kada vrednost, na primer 0.999, ne mora nužno pokazivati ništa.

,1R rrr2

XYX

2

YX

2

YX

2

1211

Korigovani koeficijent determinacije R2

Koriguje se koeficijent determinacije sa ciljem dobijanja pokazatelja koji se neće neopravdano povećavati sa rastom broja objašnjavajućih promenljivih.

Novi pokazatelj: korigovani koeficijent determinacije

Korigovani koeficijent determinacije je uvek manji od običnog koeficijenta determinacije. Koeficijenti su jednaki samo za jednostavni model bez slobodnog člana.

2R

2

i

2i

i

2i

2

i

2i

i

2i

2

R1kn

1n1

)1n/(yy

)kn/(e1R

yy

e1R

Ispitivanje kvaliteta regresije na osnovu koeficijenta determinacije:

Hipoteze od interesa:

Nulta hipoteza: regresija nije statistički značajna (zajednički uticaj objašnjavajućih promenljivih nije statistički značajan).

Alternativna hipoteza: objašnjavajuće promenljive ostvaruju statistički značajan uticaj na kretanje zavisne promenljive (bar jedan od parametara je značajno različit od nule).

0: tacnanije :

0:0...:2

101

20210

RHHhipotezaH

RHH k

Ispitivanje kvaliteta regresije na osnovu koeficijenta determinacije (II)

Relevantna statistika

Pravilo odlučivanja: Ako je izračunata vrednost date statistike veća

od kritične vrednosti F-raspodele sa k-1 i n-k stepeni slobode, tada se nulta hipoteza odbacuje uz izabrani nivo značajnosti.

)/()1(

)1/(

)/(

)1/(

)/(var

1)-(klitet / varijabiObjasnjeni

2

21

1

1

knR

kRF

knRSK

kOSKF

knijabilitetniNeobjasnjeF

kkn

kkn

kkn

Testovi linearnih ograničenja na parametre

Ekonomski kriterijumi često zahtevaju da koeficijenti u ocenjenom modelu zadovoljavaju izvesna ograničenja (npr. konstantni prinosi u Cobb-Douglasovoj funkciji; odsustvo iluzije novca (zbir elastičnosti tražnje s obzirom na nominalni dohodak i cene je jednak nuli i sl.)).

Dva alternativna postupka:1) Oceniti f-ju ne vodeći računa o ograničenjima, a zatim

testirati da li ocenjeni koeficijenti zadovoljavaju zahtevane resrikcije.

2) Oceniti model sa inkorporiranim ograničenjima, a zatim testirati značajnost razlike između ocena takvog modela (pod ograničenjem) i modelom bez ograničanje.

Testovi linearnih ograničenja na parametre (nastavak)

Pri testiranju jednog ograničenja (jednostavna nulta hipoteza) koristi se t-test.

U slučaju testa više ograničenja (kad je nulta hipoteza složena) F-statistika.

Prvi postupak testiranja

Jedno postavljeno ograničenje: H0: c’β=r ; H1: c’β≠r,

gde je c’ vektor konstanti specifikovanih da odgovaraju ograničenju, a r poznata konstanta.

Npr. Hipoteza o konstantnim prinosima (β1+β2=1) u Cobb-Douglasovoj f-ji Q=β0Kβ1Lβ2 se definiše:

c’=[1 1], β’=[β1 β2], r =1.

Prvi postupak testiranja: t-test

Nulta hipoteza se testira ispitujući da li se ocenjene vrednosti parametara statistički značajno razlikuju od pretpostavljenih, sledećom statistikom testa:

gde se podrazumeva da je linearna kombinacija jednaka pretpostavljenoj vrednosti u nultoj hipotezi(r),a u imeniocu je standardna devijacija te linearnekombinacije regresionih parametara.

),kn(t~c)x'x('cˆ

rˆ'c*t

1

)ˆ'c(

Primer 3. Cobb-Douglas-ova funkcija

Ako je Cobb-Douglasova proizvodna funkcija oblika Y=β0Kβ1Lβ2 eu, gde je

Y proizvodnja, K kapital i L rad, ocenjena na bazi podataka za SAD za period 1Q1960-1Q1991 (primer: Asteriou and Hall (2007), str.81, vezba 5.5):

U pitanju je dvojno-logaritamski model u kome parametri modela β1 i β2 predstavljaju koeficijente elastičnosti proizvodnje u odnosu na kapital i rad.

Sa povečanjem kaptala za 1% proizvodnja se poveća za 0,38%, odnosno da povećanjem rada za 1% proizvodnja se poveća za 0,62%.

)088.0()008.0(

968.0RLlog624.0Klog383.0514.4Ylog 2

Primer CD funkcije (nastavak)

a) Testirati statističku značajnost pojedinačnog uticaja rada i kapitala na proizvodnju, na nivou značajnosti α = 0,05.

b) Testirati statističku značajnost istovremenog uticaja objašnjavajućih promenljivih na zavisnu, na nivou značajnosti α = 0,05.

c) Testirati hipotezu da rad ostvaruje dvostruko manji efekat na kretanje proizvodnje u odnosu na kapital.

d) Testirati hipotezu da su u datoj grani industrije prinosi konstantni (β1+β2=1). Predložiti pojednostavljenje funkcije ako se ocenjuje pod datim ograničenjem.

Drugi postupak testiranja

Za testiranje više ograničenja primenjuje se princip ocenjivanja modela sa i bez ograničenja.

Nulta i alternativna hipoteza se definišu na sledeći način: H0: Rβ=r ; H1: Rβ≠r,

gde je R poznata matrica tipa (g x k) i ranga g (g je broj ograničenja), a r je vektor kolona poznatih g < kelemenata. Npr. ukoliko u je modelu sa tri objašnjavajuće

promenljive g=2, odnosno testiramo dva ograničenja(β1=β2 i β3=0), tada su u nultoj hipotezi:

.000r;;100

011R '

321'

Drugi postupak testiranja: F-test

Distinkcija između nulte i alternativne hipoteze

H0: Rβ=r ; H1: Rβ≠r, vrši se pomoću sledeće F statistike:

gde se oznaka (O) odnosi na model sa ograničenjem, oznaka (B) na model bez ograničenja, a g je broj ograničenja.

,F~

kn/R1

g/)RR(

kn/e

g/eeF g

kn2B

2O

2B

2B

2B

20*

Primer CD funk. (nastavak)

Pri ocenjivanju funkcije uz ograničenje da su prinosi konstantni (β1+β2=1) dobijena je rezudualna suma kvadrata 0.332. Testirati značajnost razlike tako dobijenih ocena i ocena NK bez ograničenja na parametre (u kome je rezidualna suma kvadrata iznosila 0.331).

Testiranje stabilnosti ocena

Za ispitivanje stabilnosti ocena pri povećanju uzorka koristi se F-statistika testa (složena hipoteza).

Dve verzije Chow testa.

Chow test (prva verzija: engl. Chow forecast test)

Pretpostavimo da je prvobitni uzorak n1, a za period predviđanja imamo još dodanih n2 opservacija (ukupno n=n1+n2), videti Primer 4.

Nulta hipoteza da su reg. parametri ostali nepromenjeni i u proširenom modelu:

H0: β1=β,

testira se ispitujući značajnost rezidualne sume kvadrata iz Proširenog (indeks 0) i prvobitnog uzorka (indeks 1):

.gn,nF~

gn/e

n/eeF 12

121

21

20* 2

Chow test (druga verzija: engl.Chow breakpoint test)

Testira se prisustvo strukturnog loma (preloma) u tački X*, koja deli uzorak veličine n na dva poduzorka, veličine n1 i n2.

Porede se sume kvadrata reziduala dobijene ocenjivanjem dve odvojene regresije na bazi skupa opservacija n1 i n2, sa onom dobijenom iz polazne regresije na osnovu svih n opservacija:

gde je g broj parametara u polaznoj regresiji.

,g2nn,kF~

g2nn/ee(

g/ee(eF 12

2122

21

22

21

20*

Osnovni princip rekurzivne regresije (rekurzivnih NK)

Postavljena jednačina sa k-parametara se ocenjuje počevši od prvih k opservacija.

Svaki put se dodaje po jedna opservacija i na taj način koristi sve veći uzorak iz raspoloživog skupa od n (T) podataka.

U svakom koraku se ocenjuje sledeća očekivana vrednost zavisne promenljive.

Na taj način (prognoziranjem “jedan korak unapred”) određuje se rekurzivni rezidual, kao razlika stvarne i ocenjene vrednosti.

Ocenjeni regresioni koeficijenti, dobijeni pri tim iteracijama, nazivaju se rekurzivni koeficijenti.

Rekurzivna reziduali

Analiza stabilnosti koja se zasniva na primeni NK:

1) Rekurzivni reziduali2) Kusum (CUSUM) test3) Kusum (CUSUM) na kvadrat4) Rekurzivni koeficijenti

Videti Primere 4 i 5.

Rekurzivni reziduali

Rekurzivni reziduali – ucrtavaju se oko nulte linije (njihove srednje vrednosti) za svaku iteraciju (na X osi je prestavljena je veličina uzorka).

Ucrtavaju se zajedno sa granicom od plus i minus dve standardne greške.

Reziduali izvan ovih granica sugerišu nestabilnost ocenjenog modela u datoj opservaciji.

Rekurzivna reziduali (nastavak) Za ustanovljene tačke odstupanja izvan granica,

potrebno je značajnost preloma proveriti Chow-ovim testom:

gde je n1 broj opservacija, a suma rezidualnih

kvadarata u prvom periodu ima u indeksu 1, suma rezidualnih kvadrata za sve opservacije (n1+n2) u indeksu

ima o, dok je g broj parametara koji se ocenjuje.

Viša vrednost F* statistike od tablične ukazuje na slabu moć prognoze prethodno ocenjenog modela, odnosno na značajnu nestabilnost parametara (promenu strukture u datoj tački).

.gn,nF~

gn/e

n/eeF 12

121

21

20* 2

CUSUM test Alternativno, može se koristiti i test koji se zasniva

na kumulativnoj sumi svih prethodnih rekurzivnih reziduala, deljenih njihovom dotadasnjom standardnom greškom.

Grafički prikaz ove sume, zajedno sa graničnim linijama na nivou od 5% značajnosti, ukazuje da li su parametri modela stabilni.

Ako vektor parametara ne ostaje konstantan u celom uzorku, ucrtana linija će značajno odstupati od srednje vrednosti (nulta linija) i istupati izvan kritičnih vrednosti.

CUSUM na kvadrat Kao statistika testa može se koristiti i suma

kvadrata rekurzivnih reziduala (kusum-skraćenica od kumulativna suma) do svake opservacije (t) u odnosu prema ukupnoj sumi kvadrata reziduala za ceo uzorak (T).

Očekivana vrednost te statistike raste od nule za t=k do jedinice za t=T.

Odstupanje izvan granica pri nivou značajnosti od 5% sugeriše nestabilnost, bilo regresionih parametara bilo varijanse reziduala.

Rekurzivni koeficijenti Predstavljaju ocene regresionih koeficijenata dobijene

počevši od najmanjeg mogućeg uzorka (n=k), sa sve više opservacija uključenih u uzorak za ocejivanje.

Posebnim grafikonima su dati pojedinačni rekurzivni koeficijenti u jednačini, uz granični pojas od plus i minus dve standardne greške.

U slučaju strukturnog loma, ovi crteži pokazuju velika odstupanja koeficijeta od prethodnog nivoa ( ili čak i promenu smera njihovog kretanja pri dodavanju novih opservacija).

Ukoliko je u posmatranom uzorku došlo do strukturne promene, neophodno je korigovati početnu fomulaciju modela (uvođenjem veštačkih ili drugih egzogenih promenljivih, odnosno uvođenjemenovih jednačina u model).