APLIKASI ALGORITMA NONLINEAR PROGRAMMING

UNTUK MENGOPTIMALKAN PARAMETER α DALAM METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL

SATU PARAMETER

EKA NOVI NURHIDAYATI

1208 100 040 Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember

2012

UJIAN TUGAS AKHIR

Latar Belakang

Pendekatan untuk menentukan parameter yang optimal biasanya secara coba dan salah (trial and error).

Makridakis (1999) menyatakan bahwa algoritma

nonlinear programming dapat menyelesaikan masalah optimasi parameter ini dengan baik.

Pada tugas akhir ini digunakan algoritma nonlinear programming untuk mendapatkan nilai parameter α yang optimal pada metode pemulusan eksponensial tunggal, yaitu metode dichotomous search dan interpolasi kuadrat.

Rumusan Masalah

Bagaimana menentukan parameter α yang optimal dalam metode pemulusan eksponensial tunggal dengan menggunakan algoritma nonlinear programming.

Batasan Masalah

Metode pemulusan eksponensial yang dipakai adalah metode pemulusan eksponensial tunggal.

Metode dalam algoritma nonlinear programming yang dipakai adalah metode dichotomous search (pencarian dikotomis) dan metode quadratic interpolation (interpolasi kuadrat).

Ukuran error peramalan yang digunakan adalah rata-rata kesalahan persentase absolut (Mean Absolute Percentage Error) yang selanjutnya disingkat MAPE.

Program yang dibuat pada tugas akhir ini dikerjakan dengan menggunakan software Matlab

(Lanjutan) Batasan Masalah

Asumsi yang digunakan pada pengerjaan tugas akhir ini adalah:

Pendekatan nilai didapatkan dari merata-ratakan lima data penelitian pertama, yaitu

.

Nilai panjang langkah dan error (pembatas berhentinya iterasi) dalam metode dichotomous search dan interpolasi kuadrat adalah sama,

yaitu =0,01 dan error=0,001%.

1F

5/)( 543211 XXXXXF

)(

Tujuan

Mendapatkan nilai α yang optimal dalam metode pemulusan eksponensial tunggal dengan menggunakan algoritma nonlinear programming yaitu metode dichotomous search (pencarian dikotomis) dan metode quadratic interpolation (interpolasi kuadrat).

Manfaat

Memberikan informasi mengenai penggunaan algoritma nonlinear programming dalam menyelesaikan permasalahan peramalan dengan menggunakan metode pemulusan eksponensial.

Metode Pemulusan Eksponensial Tunggal

Dengan nilai terletak antara 0 dan 1.

ttt FXF )1(1

Ukuran Error Peramalan

Ukuran error peramalan digunakan untuk mengevaluasi harga parameter peramalan.

Ukuran error yang dipakai adalah rata-rata kesalahan persentase absolut (mean absolute percentage error)

MAPE =

n

oi i

ii | .100%X

F-X|

Algoritma Nonlinear Programming

METODE DICHOTOMOUS SEARCH

(PENCARIAN DIKOTOMIS) 1. Titik dan sedemikian hingga, 2. dan 3. Setelah mendapatkan dan , terdapat tiga

kasus: a. b.

c.

xxxx LR

21

xx LR

2

21

xx

xL 2

21

xx

xR

xL xR

)(xLf )(xR

f

xxxxfxf RRL *1)()(

xxxxfxf LRL 2*)()(

xxxxfxf RLRL *)()(

Algoritma Nonlinear Programming

METODE QUADRATIC INTERPOLATION

(INTERPOLASI KUADRAT) 1. Dari persamaan fungsi kuadrat ,

dipilih titik , dan sehingga didapatkan:

+ , + dan + .

2. Dengan menyelesaikan , dan didapatkan nilai a dan b yang kemudian disubstitusikan ke .

Titik didapatkan dari dan titik dipilih berdasarkan syarat berikut:

atau

cbxaxxf 2)(

1x 2x 3x2

11)( xaxf cxb 12

22)( xaxf cxb 22

33)( xaxf cxb 3

)( 1xf )( 2xf )( 2xf

abx 2/*

xx 122x 3x

xxxfxf 1321 )()( xxxfxf 2321 )()(

Tidak

Selesai

Tidak

,

Tidak

Ya

Ya

Selesai

Tidak

Tidak

Ya

Tidak

Ya

Ya

Mulai

Tentukan nilai

dan e

Algoritma Metode

Dichotomous Search

,, 21

RL ,

RL 21 ,

R 2

L 1

lb 11

eE

)()( RL ff

)()( RL ff

lb 22

bb 21

%1002

22 xb

lbE

%1001

21 xb

lbE

0E

%1002

12 xb

bbE

212*

)( *min ff

Tabel Hasil Running Program dengan Metode Dichotomous Search

Iterasi ke- alpha1 alpha2 error (%) 1 0 0,5050 98,0198

2 0,2475 0,5050 104,0404

3 0,2475 0,3812 32,4590

4 0,2475 0,3194 19,3738

5 0,2475 0,2884 10,7259

6 0,2475 0,2730 5,6669

7 0,2552 0,2730 6,9483

8 0,2591 0,2730 5,3520

9 0,2591 0,2710 0,7134

10 0,2591 0,2701 0,3580

11 0,2590 0,2701 4,0385

12 0,2598 0,2701 3,9417

13 0,2598 0,2699 0,0448

14 0,2598 0,2699 0,0224

15 0,2598 0,2699 0,0112

16 0,2598 0,2698 0,0056

17 0,2598 0,2698 0,0028

18 0,2598 0,2698 3,8501

19 0,2598 0,2698 3,8494

20 0,2598 0,2698 3,8490

21 0,2598 0,2698 3,8488

22 0,2598 0,2698 3,8487

23 0,2598 0,2698 4,3737.

Pada iterasi ke-23 nilai error kurang dari

0,001%, maka iterasi berhenti setelah

iterasi ke-23 dengan α yang optimal

sama dengan 0,2648 dan MAPE sama

dengan11,8261%. Jadi jumlah iterasi

pada program dengan metode

dichotomous search adalah 23 iterasi.

Algoritma Metode

Interpolasi Kuadrat

Ya

Selesai

Tidak

Tidak

Ya

Tidak

Selesai

Ya

Tidak

Tidak

Ya Selesai

Ya

Selesai

Mulai

Tentukan

dan e

,, 21

12

01 atau 11

02 atau 12

)()( 21 ff 13

23

03 atau 13

*s

elamass )(** *

1 s

**s

Hasil Running Program Dengan Metode Interpolasi Kuadrat

Tabel Hasil Running Program dengan Metode Interpolasi Kuadrat

Pada iterasi ke-empat nilai error kurang dari 0,001%. Maka iterasi berhenti setelah iterasi ke-empat dengan hasil yang optimal sama dengan 0,2649 dan nilai MAPE sama dengan 11,8261%. Jadi jumlah iterasi pada program dengan metode interpolasi kuadrat adalah empat.

Iterasi ke- alpha1 alpha2 alpha3 optimal error (%)

1 0,1000 0,1100 0,1200 0,2397 100

2 0,2397 0,2497 0,2597 0,2553 6,1298

3 0,2553 0,2653 0,2753 0,2649 3,6023

4 0,2649 0,2749 0,2549 0,2649 2,0751.

Analisis Hasil

Penentuan metode mana yang lebih efektif di antara metode dichotomous search dan interpolasi kuadrat dilihat pada iterasi ke berapa nilai error

akhirnya kurang dari 0,001%.

Berdasarkan hasil di atas maka metode interpolasi kuadrat lebih efektif daripada metode dichotomous search untuk mendapatkan parameter α yang optimal dalam metode pemulusan eksponensial tunggal.

Kesimpulan

Berdasarkan keseluruhan analisis hasil yang telah dilakukan dalam penyusunan tugas akhir ini, dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

1. Jumlah iterasi yang dibutuhkan untuk mendapatkan α yang optimal dengan menggunakan metode dichotomous search adalah 23 iterasi dengan hasil α

optimal sama dengan 0,2648 dan

MAPE sama dengan 11,8261%.

(Lanjutan) Kesimpulan

2. Sedangkan dengan menggunakan

metode interpolasi kuadrat, jumlah iterasi yang dibutuhkan hingga mendapatkan parameter α yang optimal adalah empat iterasi, dengan hasil parameter α yang

optimal adalah 0,2649 dan MAPE

sama dengan 11,8261%.

3. Jadi metode yang lebih efektif untuk

mendapatkan parameter α yang optimal dalam metode pemulusan eksponensial adalah metode interpolasi kuadrat dengan jumlah iterasi yang lebih sedikit, sehingga waktu yang dibutuhkan lebih efisien.

Saran

Pertimbangan yang dapat dipakai untuk pengembangan atau penelitian ke depan, yaitu

1. Obyek penelitian dapat dikembangkan pada metode pemulusan eksponensial dengan multiparameter .

2. Metode nonlinear programming yang digunakan adalah metode untuk mencari nilai optimal dengan multi-variabel.

Daftar Pustaka

Bertsekas, D.P. 1999. Nonlinear Programming Second Edition. Athena Scientific: Massachusetts.

Makridakis, S. dan Wheelwright, S.C. 1989. Forecasting Methods for Management, 5 ed. John Wiley & Sons, Inc: New York.

Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, Victor E. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan. Erlangga: Jakarta.

Raharja, A., Angraeni,W., dan Vinarti, R. A. 2010. Penerapan Metode Exponential Smoothing Untuk Peramalan Penggunaan Waktu Telepon Di Pt.Telkomsel Divre3 Surabaya. <URL:http://www.digilib.its.ac.id/detil.php?id=14344&q=single%20exponential%20smoothing.html>. [Diakses pada 8 Desember 2011, pukul 11.42 WIB]

Sharma, S. 2006. Applied Nonlinear Programming. New Age International (P) Ltd., Publishers: New Delhi.

The Jin Ai. 1999. Optimasi Peramalan Pemulusan Eksponensial Satu Parameter Dengan Menggunakan Algoritma Nonlinear Programming. JURNAL TEKNOLOGI INDUSTRI. VOL. III, No. 3, hal: 139–148. <URL:http://www.uajy.ac.id/jurnal/jti/1999/3/3/doc/1999_3_3_1.doc.html>.[ Diakses pada tanggal 17 Maret 2011, pukul 17.25 WIB]

Zainun, N. Y. dan Majid, M. Z. A. 2003. Low Cost House Demand Predictor. Universitas Teknologi Malaysia.