Statistika Dan Probabilitas

Statistika Dan ProbabilitasEkspektasi

2014

EKSPEKTASIRasional

Dalam suatu percobaan tentu ada hasil yang diharapkan. Untuk mendapatkan hasil yang baik dan kesimpulan hasil yang akurat, maka percobaan statistika tersebut dilakukan berulang kali. Hal tersebut dimaksudkan untuk memperoleh suatu hasil yang benar-benar mendekati,sehingga kesimpulan yang dihasilkan valid. Ukuran yang menyatakan harapan dari hasil yang dapat diperoleh dari suatu percobaan statistika dinyatakan secara matematis sebagai ekspektasi matematika. Ekapektasi Matematik

Definisi Ekspektasi Matematika Suatu Peubah Acak Jika X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x), maka nilai harapan X atau harapan matematik X didefinisikan sebagai

Contoh 1 Tentukan nilai harapan banyaknya wanita dalam panitia yang terdiri dari 3 orang dipih secara acak 4 orang wanita dan 3 orang pria !

Solusi :

Misalkan X menyatakan banyaknya wanita yang terpilih, maka rumus peluang X adalah : , x = 0,1,2,3Sehingga, f(0)= dan

Jadi, E(X) = 0.

Ini artinya, bahwa, jika pemilihan tersebut diulang bekali-kali, maka rata-rata wanita terpilih adalah tiap pemilihan.

Contoh 2Hitunglah nilai harapan peubah acak X yang mempunyai fungsi pada:

f(X) =

Solusi: E(X) =

Definisi Ekspektasi Matematik Suatu Fungsi

Jika X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x), maka nilai harapan matematik fungsi g(x) dinyatakan sebagai

Contoh 3

Misalnya X suatu peubah acak dengan distribusi peluang sebagai berikut:

x0123

f(x)

Hitunglah nilai harapan peubah acak Y = X + 1Solusi: Karena X peubah acak diskret, maka

=

=

Contoh 4Diketahui X suatu peubah acak dengan fungsi padat peluang

f(X) =

Hitunglah nilai harapan g(X)=2X-1!

Solusi:

Definisi Ekspektasi Matematika dari Fungsi Peluang Gabungan

Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x), maka nilai harapan matematika fungsi g(X,Y) ditentukan oleh:

Contoh 5

Distribusi peluang gabungan peubah acak X dan Y sebagai berikut

Hitungalah nilai harapan g(X, T) = XY .

Solusi:

Contoh 6

Hitunglah untuk fungsi padat :

Solusi:

Sifat Ekspektasi Matematikaa. Jika a dan b konstanta, maka E(aX+b)-aE(X)+b b. Jika a = 0, maka E(b)=bc. Jika b = 0, maka E (aX) = aE(X)d. E[g(X)+ h(X)] = E[g(X)]+ E[h(X)] e. Jika g(X,Y) = X dan h(X,Y)=Y maka E(X+ Y)= E(X)+E(Y)f. Jika X dan Y dua peubah acak yang bebas, maka E(XY) = E(X)E(Y).

Bukti:

(sifat 3.1a terbukti)Bukti sifat berikutnya sebagailatihan mahasiswa. MomentDefinisi Moment Disekitar PusatJika X peubah acak, maka moment disekitar pusat X dibdefinisikan sebagai .

Jika k=0 maka dieproleh . Untuk X diskret, dan untuk X kontinu. Sekarang, jika k=1, maka

dan yaitu nilai harapan pubah acak X itu sendiri. Dengan demikian momen pertama di sekitar titik asal suatu peubah acak X ini menyatakan rataan peubah acak tersebut. Maka dari itu rataan ini ditulis dengan atau lebih sederhana saja. Jadi, .Definisi Moment Disekitar Rataan

Jika X peubah acak, maka moment disekitar rataan X dibdefinisikan sebagai

Untuk k=2 atau momen kedua di sekitar rataan, yaitu , akan memberikan gambaran pengukuran sekitar rataan. Oleh sebab itu untuk selanjutnya ini dinamakan variansi peubah acak X dan dinyatakan dengan atau lebih singkat saja. Jadi . Akar positif dari variansi ini akan memberikan suatu ukuran yang disebut dengan simpangan baku atau standar deviasi.Teorema Varians

Jika peubah acak bebas, maka

Bukti:

Contoh 7Tentukan variansi X, jika X menyatakan banyaknya buah mangga yang harus diambil oleh Dilla dari dalam tas yang berisi 4 mangga dan 3 jeruk, jika dia mengambil 3 buah sekaligus !

Solusi: Distribusi peluangnya adalah :

x0123

f(x)

Jadi

Contoh 8 Diketahui fungsi padat peluang peubah acak X dinyatakan sebagai :

hitunglah Rataan dan Variansi

Solusi

Sehingga diperoleh rataan dan varians

Definisi Kovarians

Jika X dan Y dua peubah acak bebas dengan rataan dan , maka kovarians peubah acak X dan Y didefinisikan sebagai

Teorema KovariansJika X dan Y dua peubah acak bebas dengan rataan dan , maka kovarians peubah acak X dan Y dapat ditentukan dengan

Bukti:

Contoh 9Dimas mengambil 2 buah pensil secara acak dari sebuah kotak yang berisi tiga pensil warna biru, dua warna merah dan tiga warna kuning. Jika X menyatakan pensil warna biru dan Y warna yang diambil, hitunglah kovariansi dua peubah tersebut!

Solusi: Distribusi pelang gabungannya sebagai berikut:

X

Y0

1

2

0

1

2

Sehingga (lihat nilai harapan peubah acak gabungan X dan Y)

Jadi

Contoh 10 TEntukan kovariansi peubah acak X dan Y yang fungsi padat peluang gabungannya dinyatakan sebagai

dan sehingga

Sifat Varians

a. Jika X pebuah acak dengan distribusi leluang f(x), maka variansi g(X) adalah

b. Jika X suatu peubah acak dan b suatu tetapan, maka

c. Jika X suatu peubah acak dan a suatu konstanta, maka

d. Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x,y), maka

e. Jika X dan Y penuh acak yang bebas, makan

Teorema Teori ChebyshevPeluang bahwa setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpngan baku dari nilai rataan adalah paling sedikit , yaitu

Bukti :

Menurut definisi variansi,

karena integral tak negatif. Kemudian dengan atau dengan dalam kedua integral lainnya, maka . Jika ruas kanan dibagi dengan , maka diperoleh sehingga

dengan demikian terbuktilah teorema Chebyshev.

Contoh 11 : Suatu peubah acak X mempunyai rataan variansi sedangkan distribusinya tidak diketahui. Hitunglah a. P(-4 11.0705

6. Perhitungan (

(catatan : Gunakan tabel seperti ini agar pengerjaan lebih sistematik)

kategori :

(-)(-)(-)/

sisi-1 20 20 0 0 0

sisi-2 22 20 2 4 0.20

sisi-3 17 20-3 9 0.45

sisi-4 18 20-2 4 0.20

sisi-5 19 20-1 1 0.05

sisi-6 24 20 416 0.80

SYMBOL 83 \f "Symbol"120120-----------------------1.70

( hitung = 1.70

7.Kesimpulan :

( hitung = 1.70 < ( tabel

Nilai ( hitung ada di daerah penerimaan

diterima; pernyataan dadu setimbang dapat diterima.

Contoh 4 :

Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1. Jika 500 kg adonan yang dihasilkan, diketahui mengandung 275 kg Coklat, 95 kg Gula, 70 kg Susu dan 60 kg Krim, apakah mesin itu bekerja sesuai dengan perbandingan yang telah ditentukan? Lakukan pengujian dengan taraf nyata = 1 %.

Solusi :

1.

:perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1

:perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim SYMBOL 185 \f "Symbol" 5 : 2 : 2 : 1

2.Statistik Uji (

3.Nilai SYMBOL 97 \f "Symbol" = 1 % = 0.01

4.Nilai Tabel (

k = 4; db =k -1 = 4-1= 3

db = 3;SYMBOL 97 \f "Symbol" = 0.01 SYMBOL 174 \f "Symbol" ( tabel = 11.3449

5.Wilayah Kritis= Penolakan jika ( hitung > ( tabel (db; ()

( hitung > 11.3449

6. Perhitungan (

kategori :

(-)(-)(-)/

Coklat275250*) 25625 2.50

Gula 95100 -5 25 0.25

Susu 70100 -30900 9.00

Krim 60 50 10100 2.00

(500500------------------- 13.75

*)Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 :1

Dari 500 kg adonan SYMBOL 174 \f "Symbol" Nilai ekspektasi Coklat = 5/10 x 500 = 250 kg

Nilai ekspektasi Gula = 2/10 x 500 = 100 kg

Nilai ekspektasi Susu = 2/10 x 500 = 100 kg

Nilai ekspektasi Krim = 1/10 x 500 = 50 kg

( hitung = 13.75

7. Kesimpulan :

( hitung > ( tabel ( 13.75 > 11.3449)

ditolak,

diterima.

Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ( 5 : 2 : 2 :1

Uji Kebebasan dan Uji Beberapa Proporsi

Uji kebebasan antara 2 variabel memiliki prinsip pengerjaan yang sama dengan pengujian beberapa proporsi.

(Berbeda hanya pada penetapan Hipotesis awal dan hipotesis alternatif)

Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif

A.Uji Kebebasan :

: variabel-variabel saling bebas

:variabel-variabel tidak saling bebas

BUji Beberapa Proporsi :

: setiap proporsi bernilai sama

:ada proporsi yang bernilai tidak sama

Rumus Uji

Data dalam pengujian ketergantungan dan beberapa proporsi disajikan dalam bentuk Tabel Kontingensi.

Bentuk umum Tabel Kontingensi SYMBOL 174 \f "Symbol" berukuran r baris x k kolom

derajat bebas = (r-1)(k-1)

r : banyak baris

k : banyak kolom

: frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j

: frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j

Perhitungan (

Contoh 5 :

Kita akan menguji kebebasan antara faktor gender (jenis kelamin) dengan jam kerja di suatu pabrik. Tabel kontingensi dapat dibuat sebagai berikut :pria wanitaTotal Baris

Kurang dari 25 jam/minggu 2.33

2 2.67

35

25 sampai 50 jam/minggu 6.07

7 6.93

613

lebih dari 50 jam/minggu 5.60

5 6.40

712

Total Kolom1416 Total Observasi=

30

*) Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi

Perhatikan cara mendapatkan frekuensi ekspektasi!

Apakah ada kaitan antara gender dengan jam kerja?

Lakukan pengujian kebebasan variabel dengan taraf uji 5 %

Ukuran Tabel Kontingensi di atas = 3 x 2 ( 3 baris dan 2 kolom)

db = (3-1)(2-1) = 2 x 1 = 2

Solusi :

1.

: Gender dan Jam kerja saling bebas

: Gender dan Jam kerja tidak saling bebas

2.Statistik Uji = (

3.Nilai SYMBOL 97 \f "Symbol" = 5 % = 0.05

4.Nilai Tabel ( db = 2; SYMBOL 97 \f "Symbol" = 0.05 SYMBOL 174 \f "Symbol" ( tabel = 5.99147

5.Wilayah Kritis : Penolakan

SYMBOL 174 \f "Symbol" ( hitung > ( tabel

( hitung > 5.99147

6.Perhitungan (

frekuensi harapan untuk :

pria, < 25 jam =

pria, 25-50 jam =

pria, > 50 jam =

wanita, < 25 jam =

wanita, 25-50 jam =

wanita, > 50 jam =

Selesaikan Tabel perhitungan ( di bawah ini.

kategori :

(-)(-)(-)/

P, < 25 22.33 -0.330.10890.1089/2.33 = 0.0467

P, 25 - 50 76.07 0.930.8649 0.1425

P, > 50 55.60-0.600.36 0.0643

W, < 25 32.67 0.330.1089 0.0408

W, 25-50 66.93-0.930.8649 0.1249

W, >50 76.40 0.600.36 0.0563

SYMBOL 83 \f "Symbol"----------------------------( hitung = 0.4755

7.Kesimpulan

( hitung < ( tabel (0.4755 < 5.99147)

( hitung ada di daerah penerimaan

diterima, gender dan jam kerja saling bebas

Catatan : Kesimpulan hanya menyangkut kebebasan antar variabel dan bukan

hubungan sebab-akibat (hubungan kausal)

Richki Khresna

21090112190032 18

_1338819635.unknown

_1338832921.unknown

_1338853068.unknown

_1338855162.unknown

_1338883573.unknown

_1338884290.unknown

_1338884779.unknown

_1338887279.unknown

_1338887487.unknown

_1338887545.unknown

_1339222270.unknown

_1338887517.unknown

_1338887378.unknown

_1338887243.unknown

_1338887270.unknown

_1338887194.unknown

_1338884375.unknown

_1338884762.unknown

_1338884338.unknown

_1338883824.unknown

_1338884168.unknown

_1338884266.unknown

_1338883871.unknown

_1338883713.unknown

_1338883803.unknown

_1338883694.unknown

_1338855406.unknown

_1338883275.unknown

_1338883293.unknown

_1338857352.unknown

_1338855362.unknown

_1338855381.unknown

_1338855236.unknown

_1338853338.unknown

_1338854498.unknown

_1338855030.unknown

_1338855138.unknown

_1338854513.unknown

_1338854984.unknown

_1338853374.unknown

_1338853116.unknown

_1338853088.unknown

_1338852429.unknown

_1338852757.unknown

_1338852768.unknown

_1338853029.unknown

_1338852744.unknown

_1338833191.unknown

_1338833563.unknown

_1338832931.unknown

_1338829056.unknown

_1338832612.unknown

_1338832751.unknown

_1338832853.unknown

_1338832700.unknown

_1338829239.unknown

_1338830448.unknown

_1338829190.unknown

_1338820240.unknown

_1338820262.unknown

_1338820426.unknown

_1338819714.unknown

_1338819778.unknown

_1338820101.unknown

_1338819694.unknown

_1291059593.unknown

_1291059630.unknown

_1291059641.unknown

_1337957400.unknown

_1338811177.unknown

_1338819560.unknown

_1337958112.unknown

_1338180182.unknown

_1337957455.unknown

_1291060457.unknown

_1337952264.unknown

_1337956662.unknown

_1337956681.unknown

_1337956647.unknown

_1291060462.unknown

_1291060467.unknown

_1291059654.unknown

_1291059659.unknown

_1291059660.unknown

_1291059655.unknown

_1291059642.unknown

_1291059634.unknown

_1291059637.unknown

_1291059638.unknown

_1291059636.unknown

_1291059632.unknown

_1291059633.unknown

_1291059631.unknown

_1291059611.unknown

_1291059618.unknown

_1291059623.unknown

_1291059626.unknown

_1291059620.unknown

_1291059613.unknown

_1291059617.unknown

_1291059612.unknown

_1291059600.unknown

_1291059602.unknown

_1291059609.unknown

_1291059610.unknown

_1291059608.unknown

_1291059601.unknown

_1291059595.unknown

_1291059599.unknown

_1291059594.unknown

_1291059561.unknown

_1291059585.unknown

_1291059591.unknown

_1291059592.unknown

_1291059586.unknown

_1291059563.unknown

_1291059576.unknown

_1291059562.unknown

_1291059556.unknown

_1291059558.unknown

_1291059559.unknown

_1291059557.unknown

_1291059551.unknown

_1291059552.unknown

_1291059550.unknown