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Pedro Javier Gámez Montero Roberto Castilla López
Gustavo Adolfo Raush Alviach
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS
Gustavo Adolfo Raush Alviach
© 2013 Pedro Javier Gamez-Montero, Roberto Castilla López, Gustavo Raush Alviach Todos los derechos reservados.
ISBN-13: 978-84-616-6971-4 ISBN-10: 84-616-6971-1
Índice general 5
Índice de guras 9
I Casos Prácticos 11
1 Parcial 1 13 1.1. Un tubo de Pitot en la cabina de un avión (2005-2006 2Q) . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2. Dos platos y un líquido viscoso (2006-2007 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Un tubo capilar con mercurio (2006-2007 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Descarga de un depósito de agua (2007-2008 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Depósito con líquido y gas (2007-2008 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6. Un barco y un tubo sumergido (2008-2009 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7. Un modelo de una presa hidráulica (2008-2009 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8. Un tubo capilar con una expansión (2009-2010 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.9. Un tubo de aspiración en un ventilador (2009-2010 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.10. Viscosímetro cónico (2010-2011 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.11. Un robot-mosca (2010-2011 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.12. Un cilindro otante oscilando (2011-2012 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.13. Dos placas y aceite (2011-2012 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.14. Una bola otando en una corriente de aire (2012-2013 1Q) . . . . . . . . . . . . . 17 1.15. Un tubo de Venturi vertical (2012-20132Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Parcial 2 19 2.1. Conducto convergente-divergente en un depósito de aire (2005-2006 2Q) . . . . . . 19 2.2. Ensayos con un perl aerodinámico (2006-2007 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3. Una persona otando en una corriente de aire vertical (2006-2007 2Q) . . . . . . . 19 2.4. Un proyectil en agua y en aire (2007-2008 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5. Un conducto convergente entre dos depósitos (2007-2008 2Q) . . . . . . . . . . . . 20 2.6. Una tobera convergente-divergente (2008-2009 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.7. Condiciones de despegue de un avión (2008-2009 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.8. Un bache analizado con ujo potencial (2009-2010 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.9. Un anemómetro de cazoletas (2009-2010 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.10. Lámina de agua cayendo de un depósito (2010-2011 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.11. Conducto convergente-divergente entre dos depósitos (2010-2011 2Q) . . . . . . . . 22 2.12. Arena en agua (2011-2012 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.13. Viscosidad de la pintura plástica (2011-2012 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.14. Secado de alambre con una tobera convergete-divergente (2012-2013 1Q) . . . . . . 23 2.15. Otra tobera convergente-divergente (2012-2013 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5
Índice general
II Problemas 25
1 Hidrostática y propiedades de los uidos 27 1.1. Un instrumento para medir densidad y tensión supercial (2007-2008 1Q) . . . . . 27 1.2. Un cojinete esférico (2007-2008 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3. Un otador cilíndrico oscilatorio (2008-2009 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4. Un viscosímetro cónico (2009-2010 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.5. Una compuerta en agua estraticada (2009-2010 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.6. Capilaridad entre placas paralelas y en ángulo (2012-2013 2Q) . . . . . . . . . . . . 33
2 Leyes fundamentales 35 2.1. La hélice de un avión (2005-2006 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2. Una instalación de llenado de tanques (2005-2006 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3. Un casquete semiesférico sumergido (2006-2007 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4. Un submarino accidentado (2006-2007 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5. Un cilindro, un inyector y un deector móvil (2006-2007 2Q) . . . . . . . . . . . . 41 2.6. Un freno con aire comprimido para un vehículo (2007-2008 1Q) . . . . . . . . . . . 42 2.7. Un codo sumergido (2007-2008 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.8. Un inyector impactando en una brazo con cazoleta (2008-2009 1Q) . . . . . . . . . 45 2.9. Un depósito cónico, un cilindro y un conducto piezoeléctrico (2008-2009 2Q) . . . . 46 2.10. Una turbina de motor de avión muy simplicada (2008-2009 2Q) . . . . . . . . . . 47 2.11. Un juguete tipo hovercraft (2009-20010 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.12. Un cohete de agua (2009-2010 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.13. Un eyector, o bomba de chorro (2009-2010 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.14. Un perl aerodinámico en un túnel de viento (2010-2011 1Q) . . . . . . . . . . . . 51 2.15. Una turbina en una presa hidráulica (2010-2011 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.16. Un rotámetro (2010-2011 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.17. Dos depósitos en disposición vertical (2011-2012 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.18. Una aeronave en atmósfera estándar (2011-2012 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.19. Un cohete de vapor para amortiguar un ascensor (2011-2012 2Q) . . . . . . . . . . 57 2.20. Dos depósitos y una válvula de aire (2011-2012 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.21. Una instalación anti-incendios en un aeropuerto (2012-2013 1Q) . . . . . . . . . . . 59 2.22. Un helicóptero (2012-2013 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.23. Un recipiente propulsado por un chorro de agua (2012-2013 2Q) . . . . . . . . . . . 61
3 Flujo con viscosidad dominante 63 3.1. Un émbolo y un cilindro (2004-2005 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2. Un cilindro vertical como viscosímetro (2006-2007 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3. Un pluviómetro ensayado con un uido viscoso (2006-2007 2Q) . . . . . . . . . . . 66 3.4. Un pequeño amortiguador (2007-2008 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.5. Dos líquidos insmiscibles entre dos placas (2008-2009 1Q) . . . . . . . . . . . . . . 69 3.6. Transporte de aceite en una tubería (2008-2009 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.7. Una minibomba para dosicación farmacéutica (2010-2011 1Q) . . . . . . . . . . . 71 3.8. Un cojinete cilíndrico (2010-2011 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.9. Una selladora para una lámina metálica (2011-1012 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.10. Una lámina entre dos uidos viscosos (2012-2013 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4 Capa límite y ujo externo 75 4.1. Un panel de abeja para el túnel aerodinámico (2005-2006 2Q) . . . . . . . . . . . . 75 4.2. Capa límite y una célula de carga (2006-2007 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.3. La vela de un yate de competición (2006-2007 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.4. El rotor de un helicóptero (2007-2008 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.5. Un ala delta (2007-2008 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.6. Un aerogenerador y la capa límite atmosférica (2008-2009 1Q) . . . . . . . . . . . . 80
6
Índice general
4.7. Flujo uniforme penetrando entre dos placas (2008-2009 2Q) . . . . . . . . . . . . . 81 4.8. Un túnel aerodinámico (2009-2010 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.9. Un tubo de Pitot en un conducto curvo (2009-2010 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.10. Una aleta en un perl aerodinámico (2009-2010 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.11. Una cinta deslizante en los ensayos de F1 (2010-2011 1Q) . . . . . . . . . . . . . . 86 4.12. Capa límite turbulenta sobre una barra articulada (2010-2011 2Q) . . . . . . . . . 87 4.13. La paradoja de Gray (2011-2012 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.14. Un cilindro en un ujo central (2012-2013 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.15. Un protector para el radiador de un automóvil (2012-2013 1Q) . . . . . . . . . . . 90 4.16. Otro ala delta (2012-2013 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5 Flujo compresible 93 5.1. Tobera convergente-divergente de un cohete (2006-2007 1Q) . . . . . . . . . . . . . 93 5.2. Un túnel aerodinámico supersónico (2009-2010 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.3. Flujo de un depósito bloqueado con un Venturi (2011-2012 1Q) . . . . . . . . . . . 96 5.4. Tobera convergente-divergente parabólica (2011-2012 2Q) . . . . . . . . . . . . . . 97
Índice alfabético 99
pj gm
- r cl - 2 01 4Índice de guras
1.1. Esquema del instrumento para medir la densidad del uido. . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2. Esquema del instrumento para medir la tensión supercial. . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3. Esquema del cojinete esférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4. Esquema de los otadores cilíndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5. Esquema del viscosímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.6. Esquema de la compuerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.7. Esquema de las placas, paralelas y en ángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1. Esquema del depósito presurizado con la compuerta cuadrada cerrada . . . . . . . . . 37 2.2. Esquema completo de la instalación de llenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3. Esquema del casquete semiesférico y depósitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4. Esquema del submarino navegando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5. Esquema del submarino en el fondo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.6. Esquema de la instalación del cilindro y el deector móvil. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7. Esquema del vehículo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.8. Esquema de los conductos y el codo a 90º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.9. Esquema de los conductos y el codo a 90º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.10. Esquema de la instalación y detalle en corte del inyector y la cazoleta. . . . . . . . . . 45 2.11. Esquema de la instalación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.12. Esquema de la turbina del motor de avión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.13. Esquema del juguete tipo hovercraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.14. Esquema del cohete de agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.15. Esquema del túnel y del perl aerodinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.16. Esquema de la turbina y la presa en el canal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.17. Esquema del rotámetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.18. Esquema inicial descarga y llenado de depósitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.19. Esquema nal descarga y llenado de depósitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.20. Esquema del ascensor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.21. Esquema inicial de depósitos (no a escala). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.22. Esquema de la instalación con los diferentes ensayos. No está a escala. . . . . . . . . . 59 2.23. Esquema del helicóptero en vuelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.24. Esquema de recipiente y chorro. NO a escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1. Esquema de cilindro y pistón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2. Esquema del viscosímetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3. Esquema del viscosímetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.4. Esquema del amortiguador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.5. Esquema del sistema.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.6. Esquema de la instalación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.7. Esquema de la minibomba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.8. Esquema del eje del cojinete y la base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9
Índice de figuras
3.9. Esquema de los depósitos, la lámina metálica y el aplicador. . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.10. Detalle del aplicador (zona de estudio fuera de escala). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.11. Esquema de la lámina entre los dos uidos viscosos. No está a escala. . . . . . . . . . . 74
4.1. Esquema de la placa y la célula de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2. Esquema del yate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.3. Esquema del rotor del helicóptero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.4. Esquemas de ala delta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.5. Esquema del aerogenerador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.6. Esquema de las placas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.7. Tubo de Pitot en el interior del conducto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.8. Esquema del perl y la aleta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.9. Esquema del bloque modelo de F1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.10. Esquema de la barra y el ujo incidente, en perl y en planta. . . . . . . . . . . . . . . 87 4.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.12. Esquema del ala delta en perl y en planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1. Esquema de la tobera convergente-divergente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.2. Esquema de la instalación del túnel aerodinámico supersónico. . . . . . . . . . . . . . 95
10
Parte I
Casos Prácticos
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Parcial 1
1.1. Un tubo de Pitot en la cabina de un avión (2005-2006 2Q)
Un avión vuela a una altura tal que la densidad del aire exterior es de 0,85 kg/m3 y la presión atmosférica exterior es de 6×104 Pa. El tubo de Pitot que hay instalado en el interior de la cabina del avión indica una presión relativa de −180 mmHg (ver Figura). ¾A que velocidad está volando el avión?
1.2. Dos platos y un líquido viscoso (2006-2007 1Q)
En la Figura se muestra el conjunto de dos platos y su geometría. El plato superior presenta una geometría de cilindro (con una supercie plana) y está jo. El plato inferior presenta una geometría de cilindro (con supercie plana) y que gira coaxialmente respecto el plato superior. El espacio entre ellos se mantiene lleno de un uido de viscosidad µ. Se pide determinar la expresión de la potencia absorbida por la resistencia viscosa cuando el plato inferior gira a la velocidad angular ω con la geometría presentada en la Figura.
1.3. Un tubo capilar con mercurio (2006-2007 2Q)
Un tubo capilar de vidrio se introduce en un depósito con mercurio. Calcular la altura h que desciende el nivel del mercurio en el interior del capilar.
13
1. Parcial 1
1.4. Descarga de un depósito de agua (2007-2008 1Q)
En el depósito con agua de la gura, el tanque está abierto a la atmósfera, y descarga por la supercie 3 también a la atmósfera. Dadas h1, h2, d2 y d3 y suponiendo que la supercie en 1 es muy grande comparada con la de 2 y 3, ¾cuál es la presión en 2? ¾Cuánto tendría que valer h2 para que la presión en 2 fuese mayor que la atmosférica? Aplicar al caso h1 = 1,5 m, h2 = 3 m, d2 = 30 cm y d3 = 40 cm.
1.5. Depósito con líquido y gas (2007-2008 2Q)
En el depósito de base cuadrangular L × L representado en la gura es conocida la densidad del gas ρgas, la densidad del líquido ρliquido, la altura H y el radio R. Se pregunta:
a) . ¾Qué presión P absoluta debe marcar el manómetro para que el caudal de salida sea nulo? Determinar la expresión.
b) . En la condición del apartado (a), se pide determinar la expresión de la fuerza horizontal sobre la supercie semicilíndrica de radio R.
c) . Determinar la expresión de la fuerza vertical sobre la supercie semicilíndrica de radio R.
14
1.6. Un barco y un tubo sumergido (2008-2009 1Q)
1.6. Un barco y un tubo sumergido (2008-2009 1Q)
Un barco se desplaza por agua (ρa = 1000 kg/m3) a velocidad vB = 15 m/s. El barco incorpora un tubo en forma de L cuya entrada se sitúa a h = 0,75 m por debajo de la supercie libre. En la parte superior del tubo, se encuentra una pequeña columna de mercurio (ρa = 13600 kg/m3) de altura z = 0,1 m.
Tomando la aceleración de la gravedad de valor aproximado g = 10 m/s2 y las hipótesis adecua- das, se pregunta:
a) . ¾Altura H que se alcanzará en el tubo en forma de L?
1.7. Un modelo de una presa hidráulica (2008-2009 2Q)
Se quiere hacer unas pruebas con un modelo a escala 1:20 de una puerta aliviadero de una presa hidráulica. Considerando que la viscosidad del agua no es importante, encontrad los números adimensionales que denen el problema.
a) . Si se tuviese en cuenta la viscosidad, ¾qué número adimensional se encontraría de forma adicional?
b) . Si en el prototipo la altura del agua es de 20 metros, ¾qué altura deberemos imponer en el laboratorio?
c) . Si en el laboratorio hemos medido un caudal de 0,5 m3 /s, ¾qué caudal se debe esperar en el
prototipo?
1.8. Un tubo capilar con una expansión (2009-2010 1Q)
Una forma precisa de obtener un volumen muy pequeño de agua es mediante un capilar con una expansión, como muestra la gura. El ángulo α de la expansión hace que el agua no pueda seguir trepando por el capilar, y se queda a una altura H. Calculad, para un cierto ángulo de
15
1. Parcial 1
contacto θ entre el agua y el capilar, una cierta tensión supercial de agua σ y un diámetro de capilar D, el ángulo mínimo α que deberá tener la expansión en función del valor de H.
1.9. Un tubo de aspiración en un ventilador (2009-2010 2Q)
En el esquema de la gura se presenta el tubo de aspiración de un ventilador, compuesto de una tobera y un conducto. En la garganta de la tobera, de diámetro D = 15 cm, se ha conectado un manómetro de alcohol (780 kg/m3) que marca h = 70 mm. El ventilador aspira aire atmosférico. (ρ = 1,2 kg/m3 y µ = 1,5× 10−5 m2
/s).
Si en la tobera se puede considerar que se presenta un coeciente de descarga de 0.95, se pide
a) . Caudal aspirado por el ventilador.
b) . Régimen del ujo (número de Reynolds) en la garganta de la tobera.
1.10. Viscosímetro cónico (2010-2011 1Q)
Un cierto tipo de viscosímetro consiste en un cono sólido que se apoya y gira con un velocidad angular constante ω sobre una supercie sólida plana ja, tal como se muestra en la gura.
16
- r cl - 2 01 4
1.11. Un robot-mosca (2010-2011 2Q)
El eje del cono es perpendicular al plano y su generatriz forma un ángulo θ con el mismo. El radio de la base del cono es R. El espacio entre la supercie del cono y la supercie plana está ocupado por un líquido de viscosidad µ y densidad ρ. Midiendo el par M que hay que hacer para gira el cono con dicha velocidad angular, se puede calcular la viscosidad del uido. Se pide:
a) . Encontrar la relación adimensional para el viscosímetro.
Se hace un primer ensayo en laboratorio con este viscosímetro con un uido de viscosidad µ1 y densidad ρ1 a una velocidad angular constante ω1. Si en un segundo ensayo, se utiliza el mismo viscosímetro, pero con un nuevo uido de viscosidad la mitad del uido del primer ensayo y al doble de la velocidad angular que la del primer ensayo, se pide:
b) . ¾Qué densidad tendrá este nuevo uido respecto al uido del primer ensayo para que se cumpla la semejanza dinámica?
1.11. Un robot-mosca (2010-2011 2Q)
La mosca de la fruta, Drosophila melanogaster, tiene unas alas muy pequeñas, de 2, 5 mm de largo y 0, 7 mm de ancho. Estas alas son batidas a 200 Hz, con una amplitud angular de 2, 8 rad en aire (ν = 1,5× 10−5 m2
/s). Con este tamaño y a esta velocidad es difícil medir algo, así que, para estudiar la uidodinámica
del vuelo de la mosca de la fruta se decide fabricar un robot-mosca, 100 veces mayor y probarlo en aceite, con una viscosidad cinemática 10 veces mayor.
Dene un número de Reynolds adecuado y calcula la velocidad a la que debe batir las alas el robot-mosca para que el experimento con él sea dinámicamente similar al de la mosca real.
1.12. Un cilindro otante oscilando (2011-2012 1Q)
Un cilindro de diámetro D ota en posición vertical en un líquido. Cuando se desplaza lige- ramente el cilindro en la dirección vertical, éste oscila sobre su posición de equilibrio con una frecuencia ω. Si se asume que esta frecuencia es función del diámetro D del cilindro, la masa m del cilindro y el peso especíco γ del líquido, se pide:
a) . Determinar una relación adimensional con las cuatro variables del problema.
b) . Si se aumenta el doble la masa del cilindro, ¾en cuánto aumenta o disminuye su frecuencia?
1.13. Dos placas y aceite (2011-2012 2Q)
Dos placas paralelas horizontales muy grandes están separadas por 1,5 cm de aceite (µ = 0,05 Pa s) Una placa rectangular (30× 60 cm) muy delgada es arrastrada entre las dos placas jas, a 0,5 cm y 1 cm de la otra. Calcula la fuerza que hay que ejercer sobre esta placa para mantenerla con un movimiento horizontal de 0,4 m/s.
1.14. Una bola otando en una corriente de aire (2012-2013 1Q)
En un juego de niñ@s, una bola esférica de diámetro D y de peso W , se mantiene suspendida en el aire, de densidad ρa y viscosidad µa, mediante el ujo de aire de velocidad V impulsado mediante un tubo en forma de pipa de fumar que se coloca en la boca. Se pide:
a) . Determinar una relación adimensional con las cinco variables del problema.
b) . Si se aumenta el doble el peso de la bola, ¾en cuánto debo aumentar o disminuir la velocidad del ujo de aire?
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1. Parcial 1
1.15. Un tubo de Venturi vertical (2012-20132Q)
En un tubo de Venturi vertical hay instalado un manómetro diferencial con las sondas separadas una distancia h = 10 cm, como se indica en la gura. El diámetro de la tubería es D1 = 100 mm y el de la garganta D2 = 50 mm. Calcula el caudal que debe circular por la tubería para que el manómetro marque 0. ¾Y si está instalado al revés, con el caudal hacia arriba?
18
Parcial 2
2.1. Conducto convergente-divergente en un depósito de aire (2005-2006 2Q)
Un conducto convergente-divergente comunica con el exterior el contenido de un tanque muy grande (en comparación con el conducto). El tanque está lleno de aire a una temperatura de 400 K y una presión de 3× 105 Pa. El área de la garganta del conducto es de 0,05 m2. Considerando que el ujo en el conducto es isentrópico y estacionario, calcular el caudal másico máximo que puede salir del tanque.
2.2. Ensayos con un perl aerodinámico (2006-2007 1Q)
El coeciente de sustentación se dene como CD = F
0,5ρV∞cL , donde F es la fuerza de sus-
tentación, ρ la densidad, V∞ la velocidad del uido sin perturbar, c la cuerda y L la longitud. Un perl aerodinámico A de cuerda c = 15 cm y longitud L = 20 cm es ensayado en un túnel de
viento obteniéndose un coeciente de sustentación de valor CD = 0,8 con las siguientes condiciones de ensayo para el aire: velocidad V∞ = 20 m/s, densidad ρaire = 1,2 kg/m3 y viscosidad dinámica µaire = 1, 73× 10−5 kg/m·s.
En otra prueba, se ensaya un perl aerodinámico B en un túnel hidrodinámico con las siguientes condiciones para el agua: densidad ρagua = 1000 kg/m3 y viscosidad dinámica µaire = 1, 14 × 10−3 kg/m·s. En este ensayo se obtiene la misma fuerza de sustentación que en el ensayo de aire. Si los dos perles aerodinámicos (A y B) ensayados tienen la misma cuerda (tomada como longitud característica del perl) y producen la misma fuerza de sustentación, se pregunta:
¾Cuál es la longitud del perl aerodinámico B ensayado en agua?
2.3. Una persona otando en una corriente de aire vertical (2006-2007 2Q)
Estáis con un amigo/a vuestro/a en una cafetería tomando un café (o lo que más os guste). Vuestro/a amigo/a os comenta que ha visto un anuncio en televisión donde una persona ota en el aire en posición horizontal por medio de la acción de una corriente de aire. También ha oído en la televisión en un programa de divulgación cientíca que un tal coeciente de arrastre tiene un valor aproximado de uno para el caso que se presenta en el anuncio.
Como vuestro/a amigo/a sabe que eres ingeniero/a (o estáis estudiando esta disciplina) os pregunta que si es posible que le respondáis, allí mismo, en ese momento, la velocidad de la corriente de aire necesaria para mantener una persona en la posición del anuncio.
Tu, amablemente, le contestas que sí. Tomas un bolígrafo prestado de tu amigo/a y sobre una servilleta de papel le resuelves su enigma. Por supuesto, sin calculadora.
19
2. Parcial 2
Transcribe aquí la resolución del problema que has hecho para tu amigo/a sobre la servilleta de papel. Estima también la potencia del ventilador necesaria.
2.4. Un proyectil en agua y en aire (2007-2008 1Q)
Un modelo de proyectil a escala 1:5 presenta un determinado coeciente de arrastre para un determinado número de Mach cuando es ensayado en un tanque de agua (densidad del agua 1000 kg/m3 y módulo de compresibilidad del agua 2,2× 109 Pa) de un laboratorio balístico.
¾Cuántas veces será mayor la fuerza de arrastre en el proyectil modelo en el agua comparado con un proyectil prototipo disparado en el aire con el mismo número de Mach que en el agua (Temperatura aire 20 C, presión en el aire 105 Pa, coeciente adiabático 1,4 y constante del gas aire 287 J/kg·K)?
Despreciar la inuencia del número de Reynolds sobre el coeciente de arrastre y considerar el aire como gas perfecto.
2.5. Un conducto convergente entre dos depósitos (2007-2008 2Q)
Desde el depósito A de grandes dimensiones circula aire (R = 287 J/kg·K y γ = 1,4) a través de un tubo de sección recta de 21 cm2y una tobera convergente entre los puntos 1 y 2, al depósito B. En el depósito A la presión es de 3 kgf/cm2 y temperatura 57 C. En el depósito B la presión es 1 bar. En el punto 1 se ha medido la temperatura estática de valor 35 C. Considerando que el ujo en el tubo y la tobera convergente es isentrópico y adiabático, se pregunta:
a) . La temperatura del uido en el punto 3
b) . Área en el punto 2 de la sección recta de salida de la tobera convergente
c) . ¾La presión en el punto 3 será mayor, igual o menor que la presión en el depósito A? ¾Por qué?
2.6. Una tobera convergente-divergente (2008-2009 1Q)
Una tobera convergente-divergente presenta un área de 0,006 m2 en la sección de salida. El número de Mach en esta sección es de 2.5. Las condiciones de remanso del aire (γ = 1,4) son 900 kPa y 400 K. Se pide:
a) . Área en la garganta
b) . Presión de salida en la condición de diseño (tobera adaptada)
c) . Presión de salida si se quiere que produzca una onda de choque normal justo en esta sección
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2.7. Condiciones de despegue de un avión (2008-2009 2Q)
2.7. Condiciones de despegue de un avión (2008-2009 2Q)
Un avión de 9000 kg de masa (todo incluido) y 40 m2 de supercie útil de sustentación, debe despegar a una velocidad de 60 m/s. Los experimentos en el túnel de viento muestran que el perl de las alas tiene unos coecientes de sustentación y arrastre con relación lineal con el ángulo de ataque α, de la forma:
CL = 0,4 + 0,075α []
y (para valores de α bajos) CD = 0,007 + 0,0085α []
Tomando la densidad del aire de valor 1,25 kg/m3 y la gravedad de valor 10 m/s2, se pide calcular el ángulo de ataque que deben tener las alas en el despegue y la potencia necesaria en los motores.
2.8. Un bache analizado con ujo potencial (2009-2010 1Q)
La teoría de ujo potencial en un cilindro expresa las velocidades radial vr y tangencial vθ del ujo externo de velocidad no perturbada U alrededor del cilindro en coordenadas cilíndricas como:
vr = U cos θ
( 1 +
R2
r2
) Para simular el ujo sobre un bache bidimensional, se puede usar al ujo alrededor de un
cilindro. El bache tendrá una altura R/2, donde R es el radio del cilindro. a) ¾Cuál deberá ser la altura h de la linea de corriente asociada a la supercie sólida? b) ¾Cuál es el valor de la velocidad máxima Umax?
R
R/2
h
U
2.9. Un anemómetro de cazoletas (2009-2010 2Q)
Un anemómetro habitual está compuesto por dos semiesferas huecas dispuestas como se indica en la gura. Considerando que los coecientes de arrastre para una semiesfera son CD1 = 0,38 cuando el aire incide sobre la parte convexa y CD2 = 1,42 cuando lo hace sobre la parte cóncava, estimad la velocidad del viento si el anemómetro gira a una velocidad de 150 rpm y el momento de rozamiento del eje de rotación se puede considerar nulo.
21
2. Parcial 2
2.10. Lámina de agua cayendo de un depósito (2010-2011 1Q)
De un depósito de grandes dimensiones sale una lámina de agua que se desplaza por una supercie irregular sin fricción tal y como se muestra en la gura. Si la lámina de agua se puede considerar que no varía su sección recta en todo el recorrido y ujo irrotacional sobre la supercie curva de radio R, se pregunta
a) . Calcular el perl de velocidades en la sección de estudio en la lámina.
b) . Calcular la diferencia de altura piezométrica entre los puntos F y G.
Datos: H = 3 m; R = 1 m; h = 10 cm
2.11. Conducto convergente-divergente entre dos depósitos (2010-2011 2Q)
En un depósito muy grande hay aire (γ = 1,4, r = 287 J/Kg·K) a una presión absoluta de 250 kPa y una temperatura de 310 K. Este aire se descarga, a través de una tobera convergente-divergente, a otro depósito. El área del cuello de la tobera es de 5 cm2, y la descarga al segundo depósito
22
2.12. Arena en agua (2011-2012 1Q)
se realiza a través de un área de 17,5 cm2. Calcula la presión a la que deberá estar el segundo depósito si se desea que se produzca una onda de choque normal justo en este área de descarga.
2.12. Arena en agua (2011-2012 1Q)
En una corriente ascendiente de agua se introducen partículas de arena de densidad ρarena aproximadamente esféricas con un diámetro medio D. Se pide determinar la expresión de la velo- cidad mínima del agua que arrastrará las partículas hacia arriba en función del diámetro medio de la partícula.
2.13. Viscosidad de la pintura plástica (2011-2012 2Q)
La clave para que la pintura plástica que se aplica en una pared no gotee es su viscosidad. Esta viscosidad aumenta en el tiempo debido a la evaporación del solvente. Supongamos que una cierta pintura, de densidad ρ = 1250 kg/m3, debe aplicarse en una capa de 0,1 mm sobre una pared vertical. Los expertos dicen que el goteo será inapreciable siempre que la velocidad de caida de la pintura sea menor que 2,5 mm/min. Calcula, suponiendo que la pintura es un uido newtoniano, cuál debe ser entonces la viscosidad dinámica mínima en el momento de la aplicación para que no se produzca goteo
2.14. Secado de alambre con una tobera convergete-divergente (2012-2013 1Q)
En un proceso de secado de un alambre con aire (γ = 1, 4; R = 287 J · kg/K), se diseña una tobera convergente-divergente para que el alambre pase por su interior. La tobera se caracterizará mediante una distribución parabólica de su área A(x) en la forma:
A [ m2 ]
) con 0 < x < 1 m
donde la sección de área mínima Ag se sitúa en la garganta para x = 0,5 m. El proceso de secado se debe realizar a temperatura inferior a 0 C, y para ello, se conecta la tobera a un depósito de aire de grandes dimensiones con temperatura 20 C, y con condiciones de trabajo de la tobera subsónica en la parte convergente y en la parte divergente, y condición sónica en la garganta. En estas condiciones se pregunta:
a) . Calcular el número de Mach en la sección de la tobera donde se produce la temperatura de 0 C
b) . Calcular a qué velocidad de aire se produce el secado del alambre en el punto de temperatura 0 C
c) . Calcular la distancia x en la tobera donde la temperatura se mantendrá por debajo de 0 C
2.15. Otra tobera convergente-divergente (2012-2013 2Q)
Una tobera convergente-divergente presenta un área de salida de 0, 01 m2, y el número de Mach en esta sección es 4, 2. Las condiciones de remanso del ujo de aire (γ = 1, 4) son T0 = 500 K y p0 = 650 kPa. Se pide
a) . Área en la garganta
b) . Flujo másico
c) . Presión de salida en condiciones de diseño (tobera adaptada)
23
pj gm
Parte II
pj gm
Hidrostática y propiedades de los uidos
1.1. Un instrumento para medir densidad y tensión supercial (2007-2008 1Q)
Se está diseñando un instrumento para medir la densidad (ρf ) y la tensión supercial (σf ) de un uido. En la Figura 1.1 se presenta el esquema y su disposición para medir la densidad.
La barra AC está articulada en A (sin rozamientos). En el punto B se ha unido una barra BE que sostiene un depósito indeformable de volumen (Vd) y que siempre mantiene su posición vertical. El depósito tiene aire en su interior. El peso del depósito sin aire es de (Wd). En el punto C se han unido barras CD para sostener un anillo de aluminio de volumen (Vr) que se encuentra sumergido en el uido que contiene el tanque. La presión y la densidad en el interior del depósito antes de hacer el ensayo son las mismas que el aire exterior: (P ∗0 ) y (ρ0). El equilibrio (α1) mostrado en la Figura 1.1 se alcanza haciendo el vacío en el depósito hasta obtener una presión y densidad del aire en su interior de (P ∗i,1) y densidad (ρi,1). Todos las barras son indeformables y de peso y volumen despreciable.
Si el proceso de hacer el vacío en el depósito se puede considerar isotérmico, se pide:
a) . Determinar la expresión que relaciona la densidad desconocida del uido (ρf ) con la presión en el interior del depósito (P ∗i,1)
b) . Calcular el valor de la densidad desconocida de un uido si en un ensayo se ha medido una presión en el interior del depósito de P ∗i,1 = 53800 Pa(abs). Utilizar los datos de la Tabla 1
En la Figura 1.2 se presenta el esquema del instrumento para medir la tensión supercial (σf ) del mismo uido. El depósito se ha instaurado de nuevo la presión y densidad (P ∗0 ) y (ρ0). A partir de aquí, se lleva a cabo de nuevo el vacío hasta alcanzar una nueva posición de equilibrio (α2) donde el anillo de aluminio se sitúa en la interfase del uido y el aire, como muestra la Figura 1.2.
Si el proceso de hacer el vacío en el depósito se puede considerar isotérmico, se pide:
a) . Determinar la expresión que relaciona la tensión supercial desconocida del uido (σf ) con la nueva presión en el interior del depósito (P ∗i,2)
b) . Calcular el valor de la tensión supercial desconocida de un uido si en un ensayo se ha medido una presión en el interior del depósito de P ∗i,2 = 50000 Pa(abs). Utilizar los datos de la Tabla 1
27
1. Hidrostática y propiedades de los fluidos
Figura 1.1: Esquema del instrumento para medir la densidad del uido.
Figura 1.2: Esquema del instrumento para medir la tensión supercial.
ρ0 = 1,2 kg/m3 dext = 110 mm dext = 100 mm K = 4 Vd = 1 m3 Vr = 6,5× 10−6 m3
Wd = 5 N ρ0 = 2700 kg/m3 P ∗0 = 105 Pa
Tabla 1.1: Datos del problema.
28
1.2. Un cojinete esférico (2007-2008 2Q)
1.2. Un cojinete esférico (2007-2008 2Q)
En la Figura 1.3, se muestra un cojinete de forma esférica de radio R. El lubricante es un aceite de viscosidad dinámica µ que se sitúa en la ranura e. Encontrad una expresión que relacione el momento de rozamiento M en función de la velocidad angular ω.
Figura 1.3: Esquema del cojinete esférico.
29
1. Hidrostática y propiedades de los fluidos
1.3. Un otador cilíndrico oscilatorio (2008-2009 1Q)
Un cuerpo de forma cilíndrica, con radio R y altura H, con una densidad menor que la del agua, está parcialmente sumergido en la misma, de forma que, en equilibrio, su centro de gravedad (CG) se encuentra a una profundidad h0 respecto del nivel del agua.
a) . Si subimos el cuerpo hasta una altura y0 < H
2 , con respecto a la posición inicial del CG, y
lo dejamos caer, adquirirá un movimiento oscilatorio. Encontrad la ecuación diferencial de este movimiento y la frecuencia.
b) . Repetid el cálculo del apartado a), pero ahora el cilindro se sumerge en un tubo de radio R1 > R, manteniéndose concéntricos, de forma que entre paredes hay una distancia e = R1 −R. Se puede considerar fricción menospreciable
c) . Encontrad la ecuación diferencial del apartado b) si no se considera menospreciable la fricción viscosa haciendo las hipótesis adecuadas
Figura 1.4: Esquema de los otadores cilíndricos
30
1.4. Un viscosímetro cónico (2009-2010 1Q)
1.4. Un viscosímetro cónico (2009-2010 1Q)
En la Figura 1.5 se presenta el esquema del prediseño de un viscosímetro. Las medidas geomé- tricas que se conocen del viscosímetro son: a, b, R1, R2, H y θ, donde
a H; b R1; θ < 3º
El viscosímetro está lleno de un uido de viscosidad dinámica µ. Si se hace girar el viscosímetro a una velocidad angular constante ω , determinar, suponiendo
perles de velocidades lineales, la expresión de la potencia absorbida por esfuerzo viscoso del uido en el viscosímetro presentado
Figura 1.5: Esquema del viscosímetro
31
1. Hidrostática y propiedades de los fluidos
1.5. Una compuerta en agua estraticada (2009-2010 2Q)
Se dispone de una compuerta rectangular vertical de altura L = 3 m, cuya parte superior está a una profundidad H = 1 m respecto a la supercie libre del agua a presión atmosférica. El ancho de la compuerta es B = 2 m.
Si la densidad del líquido se mantiene constante respecto a la profundidad con valor ρ0 = 1020 kg/m3, se pide 1:
a) . Calcular la fuerza sobre una cara de la compuerta
b) . Calcular el momento de la fuerza anterior respecto el punto A
Imaginemos que ahora la compuerta se sitúa en una piscifactoría donde hay una mezcla de agua salada y dulce, de forma que su densidad varía linealmente con la profundidad. En la supercie libre su valor es ρ0 = 1020 kg/m3 y en el fondo ρ1 = 1050 kg/m3, de forma que se tiene un gradiente β = 7,5 kg/m4 y la densidad respecto la coordenada z queda como
ρ = ρ1 − β · z
Se pide ahora:
c) . Determinar la ley de la variación de la presión respecto la coordenada z. Calcular, entonces, la presión en el punto A
d) . Calcular la fuerza sobre una cara de la compuerta
e) . Calcular el punto de aplicación de la fuerza anterior respecto el punto A
f) . Calcular el momento de la fuerza anterior respecto el punto A
g) . Calcular los errores cometidos en fuerzas y momentos cuando se considera densidad constante o densidad variable
Figura 1.6: Esquema de la compuerta
1Tomar la gravedad como 9,81 m/s2
32
1.6. Capilaridad entre placas paralelas y en ángulo (2012-2013 2Q)
1.6. Capilaridad entre placas paralelas y en ángulo (2012-2013 2Q)
En la Figura 1.7 se exponen dos montajes para estudiar la tensión supercial entre un líquido- airesolido con placas. Para el montaje de placas en paralelo:
a) . ¾Cuál es la altura h a que asciende el líquido en la conguración de placas en paralelo? Determinar primero la expresión de la altura en función de los parámetros de la Tabla 1.2 y posteriormente calcular la altura mediante los valores numéricos de la Tabla1.2.
b) . Expresar la relación de la altura h en función de las demás variables en forma adimensional que caracteriza la conguración de placas en paralelo.
c) . Si se experimentase este mismo montaje en la Luna (aprox. gravedad 6 veces más pequeña) y se desea que éste sea dinámicamente semejante, ¾qué altura cabría esperar que ascendiera el líquido? Considerar que las propiedades físicas del uido no cambian.
Para el montaje de placas en ángulo:
d) . ¾Cuál es la altura que asciende el líquido en la conguración de placas en ángulo? Determinar la expresión de la altura y en función de la coordenada x
e) . Calcular la altura h para la coordenada x = B/2 tomando los datos de la Tabla 1.2.
A = 1 mm B = 420 mm C = 3 mm σ = 0,072 N/m g = 9,81 m/s2 ρ = 1000 kg/m3 θ = 60
Tabla 1.2: Datos para el problema.
Figura 1.7: Esquema de las placas, paralelas y en ángulo.
33
pj gm
Leyes fundamentales
2.1. La hélice de un avión (2005-2006 2Q)
La fuerza de empuje FE producida por la hélice de un avión es función de las variables siguien- tes:
V0 Velocidad del avión D Diámetro de la hélice ρ Densidad del aire µ Viscosidad dinámica del aire c Velocidad del sonido ω Velocidad angular de la hélice
Primeramente, se pide:
a) . Obtener los grupos adimensionales que caracterizan el proceso.
b) . Identicar cada grupo adimensional obtenido y comprobar que, efectivamente, es adimen- sional.
Posteriormente, y para poder determinar las características más importantes de una hélice de avión real, se pretende diseñar un modelo a escala 1:1.5 de la hélice real. El modelo se ensaya a nivel de mar donde las propiedades del aire son:
MODELO (aire)
MODELO (aire)
µ0 =1, 78× 10−5 Pa · s
El avión donde se encuentra la hélice real (prototipo) está pensado para volar a z = 4000 m de altitud, donde las propiedades del aire bajo atmósfera estándar son:
PROTOTIPO (aire)
β = 0,0065 K/m
2. Leyes fundamentales
Ahora, se pide:
c) . Calcular la velocidad del sonido del prototipo. ¾Qué temperatura tiene el aire a esta altitud?
a) . Calcular la velocidad angular de la hélice del modelo si la hélice real (prototipo) gira a 3000 rpm.
Por otra parte, la hélice del avión real (prototipo) se ha ensayado en un canal hidrodinámico (ρagua = 1000 kg/m3 y µagua = 0,001 Pa · s) desplazando la hélice por el canal con una velocidad de 3,6 km/h con el objetivo de estudiar la resistencia mecánica de la hélice. Se pregunta:
e) . Admitiendo que la fuerza de empuje a la que está sometida la hélice real en el avión y en el canal hidrodinámico son idénticas, averiguar las condiciones equivalentes de vuelo del avión a la altitud de (velocidad del avión real).
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2.2. Una instalación de llenado de tanques (2005-2006 2Q)
2.2. Una instalación de llenado de tanques (2005-2006 2Q)
Una instalación de llenado de tanques consta de varios dispositivos. Un depósito de grandes dimensiones está presurizado a presión manométrica P contiene en su interior aire y agua (ver Figura 2.1). En un instante inicial, una válvula de entrada y una compuerta cuadrada se encuentran cerradas. En esta situación y tomando los datos de la Tabla 1, se pide:
a) . Calcular el momento que se debe realizar sobre la compuerta cuadrada en su punto de rotación A para mantenerla cerrada en la posición representada en la Figura 2.1.
Figura 2.1: Esquema del depósito presurizado con la compuerta cuadrada cerrada
Posteriormente, la válvula de entrada y la compuerta cuadrada se abren instantáneamente (despreciando el transitorio), el agua sale por una tobera de diámetro d e impacta con un álabe jo que dirige el ujo perfectamente hacia un tanque de llenado que en vacío tiene una masa M0
(ver Figura 2.2). El tanque se encuentra sobre una báscula. En esta situación y tomando los datos de la Tabla 2.1, se pide:
b) . Calcular el caudal por la válvula de entrada Q para mantener el nivel del agua H en el interior del depósito constante si no se consideran pérdidas de energía.
c) . Calcular las reacciones que debe soportar el álabe.
d) . Si trascurrido un tiempo de la apertura de la compuerta cuadrada, en el tanque han entrado 1.5 litros de agua, determinar cual es la lectura de la balanza 1 segundo más tarde.
P L M0 V H d ρagua
50000 Pa 0,2 m 1, 5 kg 1,5 l 2 m 10 mm 1000 kg/m3
Tabla 2.1: Datos del problema de llenado de tanques.
37
2. Leyes fundamentales
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2.3. Un casquete semiesférico sumergido (2006-2007 1Q)
2.3. Un casquete semiesférico sumergido (2006-2007 1Q)
El casquete semiesférico de la Figura 2.3 tiene una masaM y se encuentra sumergido de forma parcial una distancia h respecto la supercie libre del agua de un deposito inferior en el estado de equilibrio indicado. Sobre su parte cóncava incide centrado un chorro de agua de diámetro d y caudal constante Q.
El chorro de agua sale de un oricio de diámetro d practicado en la base de un depósito superior en cuyo interior se encuentran dos uidos: agua y aire. El agua permanece a una altura constante L y el aire se mantiene a una presión constante que marca el manómetro de valor z [mmcHg].
Enumerando y razonando las hipótesis necesarias para simplicar el problema y teniendo en cuenta el formulario entregado y los datos presentes en la Tabla 2.2, se pide:
a) . Calcular el empuje ascendente que experimenta el casquete semiesférico debido a que se encuentra sumergido de forma parcial una distancia h.
b) . Calcular el caudal Q en [l/min] que sale del depósito superior y que mantiene el casquete semiesférico sumergido de forma parcial la distancia h. No considerar ningún tipo de pérdidas por fricción.
c) . Calcular la lectura del manómetro z en [mmcHg] para producir el caudal Q. Considerar que la única pérdida por fricción se produce en el oricio de salida del depósito superior y que se engloba toda en el coeciente de derrame, Cd = 0,6 .
Figura 2.3: Esquema del casquete semiesférico y depósitos.
d = 1 cm M = 0,1 kg h = 4 cm ρHg = 13600 kg/m3
R = 5 cm L = 20 cm Cd = 0,6 ρH2O = 1000 kg/m3
Tabla 2.2: Datos del problema.
Formulario: Volumen de casqueste esfé- rico
V = πh2
2. Leyes fundamentales
2.4. Un submarino accidentado (2006-2007 2Q)
El submarino ruso Plashchof se encuentra tranquilamente navegando por aguas muy profun- das cuando tiene una avería muy grave e irreparable y se apagan todos los sistemas. Por suerte la tripulación consigue salvarse, pero el submarino, debido a una cierta cantidad de agua que se ha introducido en el accidente, cae hacia el fondo sin salvación posible. La profundidad a la que se encuentra el submarino cuando ocurre la avería es H0 (ver Figura 1). La profundidad del mar en esa posición es HT . La masa del submarino, más la del agua introducida es M , y la densidad del agua ρ.
a) . Encontrad una expresión para la velocidad con la que el submarino colisiona contra el fondo.
b) . Si consideramos la compresibilidad del agua, ¾esta velocidad será igual, menor o mayor? ¾Por qué?
Figura 2.4: Esquema del submarino navegando.
Cuando el submarino llega al fondo, la colisión es tan grande que se abre una grieta en la parte inferior del mismo, por donde entra más agua (ver Figura 2). Considerando que en todo momento el aire del interior del submarino se encuentra a la misma temperatura y que, inicialmente, su presión es la atmosférica,
c) . Encontrad la ecuación diferencial que da el nivel de llenado del submarino en función del tiempo.
d) . ¾Hasta qué nivel se va a llenar el submarino?
Figura 2.5: Esquema del submarino en el fondo.
Pista: Puede ser muy conveniente idealizar la forma del submarino a una caja rectangular. Por otro lado, en todo momento la profundidad a la que se encuentra el submarino es muy superior a la altura del mismo.ç
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2.5. Un cilindro, un inyector y un deector móvil (2006-2007 2Q)
2.5. Un cilindro, un inyector y un deector móvil (2006-2007 2Q)
En la Figura 2.6 se presenta una instalación de agua con un émbolo, un cilindro, un manómetro de mercurio y un deector móvil.
El émbolo es movido a velocidad constante mediante una fuerza en su brazo, de forma que impulsa el agua del interior del cilindro hasta la salida del mismo. El chorro libre a la salida del cilindro pasa a través de la boca de un manómetro de mercurio y llega a un deector móvil donde se adapta hasta llevarlo a su salida. El deector móvil tiene una masa M y se desplaza mediante unas ruedas por un rail guía sin rozamiento.
Conocidas las dimensiones presentadas en la gura y recogidas en la Tabla 1, y tomando las hipótesis convenientes, se pide:
a) . La fuerza necesaria a realizar en el émbolo para mantener la velocidad del chorro a la salida constante
b) . Determinar la fuerza necesaria para mantener el deector inmóvil.
c) . ¾Seguirán las ruedas del deector móvil tocando en el rail guía? Demostrarlo.
d) . Si se elimina la fuerza necesaria para mantener inmóvil el deector, determinar la ecuación diferencial de la velocidad que alcanzará el deector en función del tiempo
Importante: Despreciar los efectos de pérdida de energía por fricción en la supercie del deector
D1 = 5 cm H = 40 cm L = 1,5 m D2 = 25 cm ρagua = 1000 kg/m3 M = 20 kg h = 30 cm ρHg = 13600 kg/m3 β = 30
Tabla 2.3: Datos del problema del deector móvil.
Figura 2.6: Esquema de la instalación del cilindro y el deector móvil.
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2. Leyes fundamentales
2.6. Un freno con aire comprimido para un vehículo (2007-2008 1Q)
Se quiere probar un sistema de frenado para un vehículo, consistente en un depósito con aire comprimido que impulsa aire en el sentido contrario a la marcha, como indica la Figura 2.7.
Figura 2.7: Esquema del vehículo.
El depósito, de volumen V , está inicialmente lleno de aire a presión absoluta p0 y temperatura T y, la descarga de aire, a partir de t = 0 s, se realiza a través de la tobera de sección Sc con una velocidad vc constante e igual a la inicial (hipótesis de trabajo). Si la masa inicial total (contando también el aire) del vehículo es M0, y éste se mueve a una velocidad v0 , se pide:
a) . La velocidad de descarga del aire
b) . La expresión de la presión en el interior del depósito en función del tiempo
c) . La expresión de la masa total del vehículo en función del tiempo
d) . La ecuación diferencial que describe la variación de la velocidad del vehículo en el tiempo
e) . La expresión de la velocidad del vehículo en función del tiempo suponiendo que la masa inicial de aire es muchísimo menor que la del vehículo
f) . La variación de la velocidad del vehículo cuando se ha descargado todo el aire del depósito
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2.7. Un codo sumergido (2007-2008 2Q)
2.7. Un codo sumergido (2007-2008 2Q)
Entre los dos conductos de igual sección constante S representados en la Figura 2.8, se ha instalado un codo a 90º mediante las bridas A y B. Por los dos conductos y el codo circula subsónicamente y estacionariamente un gas de constante R a temperatura constante y conocida T . En los manómetros A y B la presiones son conocidas y de valor absoluto pA y pB , respectivamente. La velocidad vA a la entrada del codo, brida A, es conocida. La presión exterior es la atomosférica patm.
Figura 2.8: Esquema de los conductos y el codo a 90º
En estas condiciones y tomando las hipótesis apropiadas, se pide:
a) . Determinar la velocidad a la salida del codo vB en función únicamente de las variables conocidas expuestas en el enunciado
b) . Determinar las fuerzas en magnitud y dirección que el gas ejerce sobre el codo en función únicamente de las variables conocidas expuestas en el enunciado
c) . Determinar el calor por unidad de tiempo que el gas cede al ambiente a través de las paredes en función únicamente de las variables conocidas expuestas en el enunciado
En una posterior instalación representada en la Figura 2.9, el codo se ha instalado en el interior de un depósito a presión. El volumen externo del codo es Vc. El codo se encuentra rodeado de agua de densidad ρagua de forma que la brida B del codo queda sumergida a una profundidad conocida H desde la interfase aire-agua del depósito. Durante el ensayo, un manómetro marca la presión en el interior de la cámara de aire del depósito p0 también conocida.
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2. Leyes fundamentales
Figura 2.9: Esquema de los conductos y el codo a 90º
Si las condiciones del gas en el interior de los conductos y del codo no cambian, y tomando las hipótesis apropiadas, se pide:
d) . Determinar únicamente la reacción vertical sobre el codo en función de las variables conocidas expuestas en el enunciado
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2.8. Un inyector impactando en una brazo con cazoleta (2008-2009 1Q)
2.8. Un inyector impactando en una brazo con cazoleta (2008-2009 1Q)
En la Figura 2.10, se muestra una instalación de un inyector de diámetro de salida d por donde sale un chorro de agua proveniente de un depósito grande cuya supercie libre se encuentra a una cota H respecto al inyector. El chorro de agua impacta sobre una cazoleta unida a un brazo de radio R que gira a velocidad angular ω.
Tomando las hipótesis adecuadas, se pide:
a) . Menospreciando la fricción en la tubería, encontrad la velocidad del agua a la salida del inyector
b) . Suponiendo que el chorro de agua sale hacia atrás con un ángulo de 180º y con la misma velocidad de entrada en la cuchara (no hay fricción), calculad el momento que realiza el chorro, suponiendo una velocidad de rotación del brazo ω constante
c) . Calculad la velocidad de rotación para la cual la potencia trasmitida será máxima, y la expresión para esta potencia
d) . Aplicar los apartados anteriores a los datos de la Tabla 1
Figura 2.10: Esquema de la instalación y detalle en corte del inyector y la cazoleta.
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2. Leyes fundamentales
2.9. Un depósito cónico, un cilindro y un conducto piezoeléctrico (2008-2009 2Q)
En la Figura 2.10 se presenta el esquema del prediseño de una nueva instalación. La instalación consiste en un depósito cónico de ángulo θ de sección circular y lleno de un líquido.
En la parte superior, un pistón sólido de sección S penetra en la supercie libre con una velocidad U(t) función del tiempo denida por la expresión
U [m/s] = B · t [s]
donde B es una constante. En la parte inferior y conectado mediante una tubería de diámetro muy pequeño, se encuentra un conducto hecho de material piezoeléctrico tal que su área A (que se mantiene uniforme en toda la longitud L del conducto) puede variar en el tiempo de forma arbitra- ria mediante la aplicación de cierto voltaje al conducto. Supongamos que mediante la aplicación de un voltaje conveniente el área del conducto A(t) varía en el tiempo de forma monótonamente decreciente expresado como
A(t) [ m2 ]
[ m2 ] −K · t [s]
donde A0 es el área inicial y K es una constante. Asumiendo que el ujo en el interior del conducto es en todo momento incompresible e inviscido,
se pide:
a) . Determinar la expresión de la evolución de la altura de la supercie libre en función del tiempo tomando como tiempo inicial el instante en el que el pistón toca la supercie libre y el área del conducto piezoeléctrico es A0
1.
1Se pueden considerar las siguientes hipótesis adicionales:
El diámetro de la tubería es muy pequeño
La supercie del pistón es muy pequeña en comparación con la supercie del depósito cónico
La longitud L del conducto piezoeléctrico es constante
No hay fugas
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2.10. Una turbina de motor de avión muy simplicada (2008-2009 2Q)
2.10. Una turbina de motor de avión muy simplicada (2008-2009 2Q)
En la turbina de un motor de reacción, de 1 metro de diámetro, los gases de la cámara de combustión entran con una velocidad de 15 m/s, y una temperatura de 1100 K, y salen con una velocidad de 60 m/s, y una temperatura de 550 K. El ujo de gas es de 35 kg/s. Se puede asumir que los gases de combustión se comportan como ideales, con cp = 1000 J/kg·K y r = 285 J/kg·K, de forma que la variación de entalpía es h = cpT y p = ρrT . Se pide calcular:
a) . La fuerza de empuje que sufre la turbina
b) . La potencia que se genera en el eje de la turbina
Figura 2.12: Esquema de la turbina del motor de avión.
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2. Leyes fundamentales
2.11. Un juguete tipo hovercraft (2009-20010 1Q)
Un fabricante de juguetes quiere diseñar un disco que se deslice sin rozamiento por el suelo, tipo hovercraft. El disco tendrá un ventilador en el interior que dará un caudal, con una cierta presión. El disco tiene una masa M , con pilas incluidas, un diámetro D y se quiere que se mantenga a una distancia e del suelo. Suponiendo que no hay pérdidas por rozamiento y haciendo otras hipótesis oportunas, calcular, usando las leyes de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía:
a) . la presión, pc, que el ventilador debe crear en la cámara de aire
b) . el caudal Q que debe dar el ventilador
c) . la potencia P consumida por el motor
d) . aplicar los resultados anteriores al caso numérico presentado en la tabla 2.4
Masa M Diámetro D Altura e Densidad ρ
75 gr 45 mm 0,25 mm 1,2 kg/m3
Tabla 2.4: Datos del problema del hovercraft.
Figura 2.13: Esquema del juguete tipo hovercraft.
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2.12. Un cohete de agua (2009-2010 2Q)
2.12. Un cohete de agua (2009-2010 2Q)
En la Cité des Sciences de París hay un experimento muy interesante: un cohete propulsado verticalmente por agua, inyectada por la presión de un depósito de aire comprimido. El depósito de agua tiene una capacidad máxima. Si se llena por completo, el tiempo de impulsión es mayor, pero el cohete pesa mucho inicialmente. Si se llena poco, el cohete pesa menos, pero es impulsado durante un tiempo menor. Existe una cantidad óptima de agua para la cual el impulso es óptimo, y el cohete alcanza su altura máxima antes de caer. Pero no es esto lo que vamos a calcular.
Supongamos que inicialmente llenamos el cohete con una cantidad de agua, hasta un nivel h0. Son conocidas también la presión del aire comprimido, p, que se supondrá constante en todo momento, las secciones del depósito de agua, S, y de la tobera de escape, Se, el nivel máximo del depósito de agua, H, y la masa del cohete sin agua, Mc. A éstas variables hay que añadir la densidad del agua, ρ, y la gravedad g. Los efectos de la viscosidad del agua y el aire se consideran menospreciables.
a) . Escribid de forma adimensional, una relación de la altura máxima a la que llegará el cohete como función del resto de variables. Considerad que la variable independiente importante es el llenado inicial del depósito de agua, h0.
b) . Calculad el tiempo que tardará el depósito en vaciarse si el aire comprimido está a una presión p ρgH.
c) . Escribid la ecuación diferencial para la velocidad del cohete durante el tiempo de impulsión, considerando que Mc ρSH.
d) . Escribid la ecuación para la altura del cohete z(t) durante el tiempo de impulsión.
e) . Escribid esta ecuación en forma adimensional.
Nota 1: Los cálculos se pueden simplicar bastante usando las aproximaciones de primer orden√ 1 + x ≈ 1 + 2x, y ln(1 + x) ≈ x, para x→ 0.
Nota 2: Los números adimensionales usados en d) no tienen porqué coincidir con los usados en a).
Figura 2.14: Esquema del cohete de agua.
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2. Leyes fundamentales
2.13. Un eyector, o bomba de chorro (2009-2010 2Q)
Un eyector, o bomba de chorro, puede, sin partes móviles, extraer un uido de un depósito. El principio es simple: el uido que sale por una tobera, a gran velocidad, arrastra el uido circundante, creando un ujo en la tubería de salida del depósito. Se considera un depósito de agua, abierto a la atmósfera. Se usa un eyector para bombear este agua por una tubería a una altura H por encima del nivel de agua. Por el eyector, de radio r1 sale un caudal Q1 de agua en la sección A. La tubería de extracción del agua tiene un radio r2 = 2r1.
a) . Suponiendo que el agua arrastrada forma un perl lineal, como se muestra en la gura, obtener una expresión para el caudal succionado, Q2, en relación al caudal del eyector, Q1. Calcula la velocidad media del agua bombeada en la sección A, v2.
H
1
2
B
3
b) . En la sección 3, el agua se ha mezclado sucientemente y el perl de velocidades se puede considerar de nuevo uniforme. Calcula v3 en términos de Q1.
c) . Suponiendo ahora que el perl en 2 es uniforme e igual a v2, calcula la presión en 2, p2.
A
1
2
d) . El chorro de eyector sale por 1 a la misma presión que hay en la tubería, p2. Estima el valor de la presión en 3, p3, en términos de Q1 considerando que no hay rozamiento con las paredes de la tubería.
e) . Calcula la potencia que se transere al agua bombeada en términos de H y Q1.
Nota: Se conocen los valores de H, los diámetros de las tuberías y el caudal Q1 del eyector. El valor de H es mucho mayor que los diámetros de las tuberías.
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2.14. Un perl aerodinámico en un túnel de viento (2010-2011 1Q)
2.14. Un perl aerodinámico en un túnel de viento (2010-2011 1Q)
En la Figura 2.15 se presenta el esquema de la sección de un túnel de viento subsónico de vena abierta en el que se ha emplazado un perl aerodinámico NACA 0015 de cuerda c y envergadura b con la intención de medir la fuerza de arrastre y determinar el coeciente de arrastre.
Usualmente, el perl de la fuerza de arrastre sobre un modelo aerodinámico se suele medir emplazando el modelo en una balanza aerodinámica. El caso que se presenta en la Figura 2.15 pretende ser bidimensional xy, y la fuerza aerodinámica puede determinarse mediante la medición del perl de velocidades aguas arriba (Sección 1 en Figura 2.15) y aguas abajo estela- (Sección 2 en Figura 2.15) del modelo, tomando el uido como incompresible.
La técnica empleada en este ensayo para la medición del perl de velocidades en la estela del perl aerodinámico es conocida con el nombre de Laser Doppler Velocimetry (LDV). La medición se ha realizado en la Sección 2 (Figura 2.15) a la distancia óptima del borde de salida del perl para obtener una precisión correcta del perl de velocidades medido.
En el túnel de viento de la Figura 2.15, la velocidad del aire no perturbado aguas arriba del perl es constante y de valor U . Además, se ha constatado que la velocidad de la estela se iguala
a la velocidad del aire no perturbado para n
c = ±1
4 , donde n es la distancia en la dirección y en
la sección 2 de la estela, y que la velocidad medida en la coordenada y = 0 es u (y = 0) = 3
4 U .
A partir de los datos experimentales obtenidos de la medición de la velocidad en diferentes puntos de la estela en la dirección y mediante LDV, se ha llevado a cabo una regresión de los mismos a una curva cuadrática del tipo
u(y) = Ay2 +B u [m/s] ; y [m]
donde A y B son dos constantes, obteniéndose así una función aproximada del perl de velocidades en la estela.
El ensayo se ha realizado con aire a presión p y temperatura T constantes y uniformes. Además, se asumirá que las presiones en la sección 1 y 2 son prácticamente las mismas y que el perl aerodinámico se encuentra sucientemente alejado de las paredes del túnel.
Figura 2.15: Esquema del túnel y del perl aerodinámico
Se pide:
a) . Determinar la expresión de los coecientes A y B del perl de velocidades procedente de la re- gresión de los datos experimentales. Posteriormente, calcular los valores numéricos mediante los datos de la Tabla 2.4
b) . Escribid de forma adimensional el perl de velocidades
c) . Si el área de estudio a la salida se concentra en la estela (2n×b), sección 2 Figura 2.15, deter- minar la expresión del caudal másico. Posteriormente, calcular el valor numérico mediante los datos de la Tabla 2.4
51
2. Leyes fundamentales
d) . Determinar la expresión de la altura h en el área de estudio a la entrada (2h× b), sección 1 Figura 2.15. Posteriormente, calcular el valor numérico mediante los datos de la Tabla 2.4
e) . Determinar la expresión de la fuerza de arrastre que se produce en el perl aerodinámico en el ensayo. Posteriormente, calcular el valor numérico mediante los datos de la Tabla 2.4
f) . Determinar la expresión del coeciente de arrastre tomando como área proyectada del perl aerodinámico el producto de la cuerda c por la envergadura b.
g) . Si en vez de llevar a cabo los ensayos con aire (1,5×10−5 m2 /s) se emplease agua (1000 kg/m3,
10−6 m2 /s) a la misma presión y temperatura, calcular la fuerza de arrastre que se produciría
en el perl aerodinámico
U = 10 m/s b = 70 cm T = 20 C
c = 20 cm p = 1 bar(abs) R = 287 J/kg·K
Tabla 2.5: Datos del problema
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2.15. Una turbina en una presa hidráulica (2010-2011 1Q)
2.15. Una turbina en una presa hidráulica (2010-2011 1Q)
En un canal abierto, de ancho B, se instala un turbina en la base de una presa, como se indica en la gura 2.16. Por la turbina circula un caudal de agua Q, y la altura del canal de agua antes y después de la turbina es h1 y h2 , respectivamente. Calcular, haciendo las hipótesis oportunas,
a) . La velocidad del agua en el canal antes y después de la turbina.
b) . La fuerza F que debe soportar la presa.
c) . La potencia W que genera la turbina.
d) . Aplicar los resultados al caso concreto expuesto en la Tabla 2.6.
Q = 6 m3 /s h1 = 5 m h2 = 1,5 m B = 3 m
Tabla 2.6: Datos del problema de la pres y la turbina.
Figura 2.16: Esquema de la turbina y la presa en el canal.
53
2. Leyes fundamentales
2.16. Un rotámetro (2010-2011 2Q)
En la Figura 2.17.A se presenta el esquema de un rotámetro que es un instrumento para la medición del caudal. El rotámetro presentado consiste en un tubo de vidrio de área variable en cuyo interior existe un otador que, bajo la acción del ujo, se eleva en el tubo tronco-cónico de vidrio vertical hasta alcanzar una cierta posición de equilibro que depende del caudal. Mediante la calibración del tubo de vidrio con una escala, el rotámetro proporciona una medida fácilmente visible del caudal.
Se desea hacer un estudio del otador de un rotámetro existente. Para ello se sabe que cuando el otador está situado en equilibrio en la posición esquematizada en la Figura 2.17.B, se mide un caudal de QP = 31 l/min en la escala del tubo de vidrio, con una sección en la parte inferior del otador (marca 1 Figura 1.B) de área A1 = 12 cm2 y una sección anular entre la parte superior del otador y el tubo (marca 2 Figura 2.17.B) de área A2 = 14,5 cm2.
Se pide:
a) . Si en este primer análisis no se tienen en cuenta los efectos de las fuerzas viscosas del uido, calcular el volumen del otador si el uido es agua para el caudal QP = 31 l/min. Tomar los datos de la Tabla 2.7 que sean necesarios.
b) . Si en un segundo análisis si se tuviesen en cuenta los efectos de las fuerzas viscosas del uido, ¾qué efecto se produciría en el cálculo del volumen del otador respecto al del apartado anterior a)?
Razonar y argumentar la opción escogida sin hacer ningún cálculo numérico. (MÁXIMO 3 LÍ- NEAS)
Figura 2.17: Esquema del rotámetro.
QP = 31 l/min A1 = 12 cm2 A2 = 14,5 cm2
ρagua = 1000 kg/m3 ρotador = 7800 kg/m3
Tabla 2.7: Datos del problema.
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2.17. Dos depósitos en disposición vertical (2011-2012 1Q)
2.17. Dos depósitos en disposición vertical (2011-2012 1Q)
En la Figura 2.18 se presenta el esquema de dos depósitos. El depósito A descarga agua, a través de la tubería C, en el depósito B. El depósito A es de grandes dimensiones y la altura HA
puede considerarse constante. El depósito B tiene una de sección SB y la tubería C tiene una sección de SC .
En esta situación y si se desprecia todo tipo de pérdida de energía, se pide:
a) . Determinar la expresión del tiempo de llenado del depósito B desde que está vacío a una altura genérica z < HB
b) . Tomando los datos de la Tabla 1, calcular el tiempo empleado de llenado del depósito B desde que está vacío hasta una altura z = 250 mm
Figura 2.18: Esquema inicial descarga y llenado de depósitos
En la Figura 2.19 se presenta el esquema de los dos depósitos y tuberías anteriores. En esta nueva situación, el nivel de la supercie libre del depósito B ha sobrepasado la salida de la tubería C.
En esta nueva situación y si se desprecia todo tipo de pérdida de energía, se pide:
c) . Determinar la expresión del tiempo de llenado del depósito B en función de la altura h desde la altura hi > HB hasta un altura genérica hf < HD
d) . Tomando los datos de la Tabla 1, calcular el tiempo empleado de llenado del depósito B desde la altura inicial hi = 700 mmhasta una altura nal hf = 1250 mm
Figura 2.19: Esquema nal descarga y llenado de depósitos
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2. Leyes fundamentales
2.18. Una aeronave en atmósfera estándar (2011-2012 1Q)
Una aeronave con un motor tipo turboreactor, de masaM , supuesta constante, tiene que volar a una cierta altura Z, con velocidad horizontal va. La sección de salida de los gases por la tobera es Ag, y la sección de entrada del aire al turboreactor es Ae. Se puede menospreciar la masa de combustible añadida al aire, de forma que el gas que se expulsa es, básicamente, el mismo aire que ha entrado.
La fuerza de rozamiento con la atmósfera es proporcional a la densidad del aire circundante, al cuadrado de la velocidad de la aeronave y al área total proyectada en la dirección del movimiento, Aa,
FD = 1
2 CDρv
2 aAa
Suponiendo una atmósfera estándar, T (z) = T0 − βz,
a) . Calcular la velocidad de escape de los gases, vg, necesaria para mantener la velocidad de la aeronave a esta altura.
b) . Calcular la potencia proporcionada por el turboreactor.
c) . Aplica los resultados anteriores al caso particular de la tabla 2.8
M 2500 kg Aa 4 m2
Ae 1 m2
Ag 0, 5 m2
va 150 m/s Z 3000 m T0 288 K β 6, 5× 10−3 K/m p0 101325 Pa CD 0, 25
Tabla 2.8: Datos del problema.
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2.19. Un cohete de vapor para amortiguar un ascensor (2011-2012 2Q)
2.19. Un cohete de vapor para amortiguar un ascensor (2011-2012 2Q)
Se diseña un mecanismo para amortiguar la caida de un ascensor en caso de accidente. Este
mecanismo se basa en un cohete de vapor de agua. El agua se mantiene almacenada a alta tempe-
ratura y presión, y cuando se pone en contacto con la presión atmosférica a través de una tobera
se vaporiza y se expulsa a gran velocidad.
La tobera se diseña de forma que el vapor de agua sale a una velocidad ~vv, que se puede
considerar constante.
Este cohete se acciona cuando el ascensor, de masa total M (incluidos pasajeros, cohete y
agua) cae en caida libre y alcanza una cierta velocidad crítica ~vc.
a) . Estima el ujo másico de vapor de agua necesario si consideráramos que la masa del ascensor
y la velocidad se van a mantener constantes.
b) . Sin embargo, la masa del ascensor no se va a mantener constante, ya que se está eliminando agua. Evalúa la expresión para la masa del ascensor en función del tiempo, suponiendo que el ujo másico calculado se va a mantener constante.
c) . Por otro lado, la velocidad del ascensor tampoco se va a mantener constante. Evalúa la expresión de la velocidad del ascensor en función del tiempo.
d) . Dados los datos de la tabla, calcula la velocidad del cohete y la masa de agua consumida al cabo de 10 segundos.
M0 vv vc
~vv
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2. Leyes fundamentales
2.20. Dos depósitos y una válvula de aire (2011-2012 2Q)
En la Figura 2.21 se presenta el esquema de dos depósitos. El depósito A está abierto a la atmósfera y está conectado con el depósito B a través de una tubería con agua. En un instante inicial 0, el depósito B se mantiene cerrado mediante una válvula y en su interior un gas, de forma que la supercie libre del depósito A está en HA0 y en el depósito B está en HB0. El depósito A tiene una de sección SA y el depósito B tiene una de sección SB .
Si ahora se abre la válvula, se estimará que la pérdida de presión P a través de la misma sigue la siguiente ley
P [Pa] = KQ [ m3 /s ]2
donde Q es el caudal volumétrico de gas que uye por la válvula. En esta situación de válvula abierta y partiendo de la posición de las supercies libres de los
depósitos representadas en la Figura 2.21 y si se desprecia todo tipo de pérdida de energía, se pide:
a) . Determinar la expresión del tiempo que tardará el agua en ocupar todo el depósito B. En este primer cálculo, despreciar la energía cinética de las supercies libres de ambos depósitos.
b) . Tomando los datos de la Tabla 1, calcular el tiempo empleado de llenado del depósito B con la expresión obtenida en el apartado anterior.
Figura 2.21: Esquema inicial de depósitos (no a escala).
HA0 = 3 m HB0 = 1 m HC0 = 1 m
SA = 4SB SB = 0,05 m2 K = 109 Pa/ (
m3
s
)2
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2.21. Una instalación anti-incendios en un aeropuerto (2012-2013 1Q)
2.21. Una instalación anti-incendios en un aeropuerto (2012-2013 1Q)
En un aeropuerto, la dotación de bomberos está trabajando en el diseño de una instalación contra incendios. En un primer diseño, llevan a cabo el Ensayo A de la Figura 2.22. El depósito presenta una supercie grande abierta a la atmósfera por la parte superior y puede descargar agua (ρ = 1000 kg/m³, µ = 0,001 Pa · s) a la atmósfera por el oricio de la parte inferior de diámetro D = 100 mm. Si se desea obtener un caudal QA = 1800 l/min, se pregunta:
a) . Calcular la altura constante hA que se debería mantener en el depósito. Tomar el coeciente de descarga del oricio Cd = 0,61.
En un segundo diseño, llevan a cabo el Ensayo C de la Figura 2.22. Una manguera de longitud L = 20 m, diámetro interior D = 100 mm, y cuya rugosidad absoluta es de e = 0,01 mm, se ha conectado al depósito. Si se desea que para una presión en el manómetro de PC = 0 bar(rel) de nuevo obtener un caudal QA = 1800 l/min, se pregunta:
b) . Calcular la nueva altura constante hC que se debería mantener en el depósito. No tenga en cuenta para este cálculo los efectos del oricio ni tampoco el de ninguna pérdida de presión secundaria.
En un tercer diseño, llevan a cabo el Ensayo E de la Figura 2.22. El diseño denitivo del depósito tiene una supercie de S1 = 3 m2 (que se puede considerar grande) y se llenará de agua inicialmente a hE = 3 m. Además, se ha instalado una bomba cuya curva característica es:
HB [m.c.a.] = 60− 2000 ( QB
[ m3/s
])2 Si, manteniendo la misma tubería (tomar en este caso el factor de fricción conocido de valor constante f = 0,02), se mantiene una presión en el manómetro de PE = 5 bar(rel), se pregunta:
c) . Calcular el tiempo que se dispone hasta que el depósito se vacíe de agua, es decir de la altura inicial hE = 3 m a 0 m.
Figura 2.22: Esquema de la instalación con los diferentes ensayos. No está a escala.
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2. Leyes fundamentales
2.22. Un helicóptero (2012-2013 1Q)
Un helicóptero de masa M tiene un rotor de diámetro D. Para poder elevarse del suelo, el
rotor debe mover el aire con una cierta velocidad v vertical hacia abajo.
a) . Calcula esta velocidad para una cierta densidad del aire, en condiciones estándar, ρ0.
b) . Calcula las presiones producidas en la parte superior y la inferior del rotor, y la potencia desarrollada por el mismo.
c) . Si la velocidad máxima que puede crear el rotor és un 50% mayor que la calculada en el primer apartado y la densidad del aire atmosférico sigue la ley de la atmósfera estándar,
ρ = ρ0
( 1− Bz
) g rB−1
estima la altura máxima teórica en la que este helicóptero puede mantenerse en vuelo.
d) . Realiza los cálculos para los datos numéricos de la tabla.
M D p0 T0 B r
2000 kg 12 m 1,013× 105 Pa 288,16 K 0,0065 K/m 287 J/KgK
Figura 2.23: Esquema del helicóptero en vuelo.
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- r cl - 2 01 4
2.23. Un recipiente propulsado por un chorro de agua (2012-2013 2Q)
2.23. Un recipiente propulsado por un chorro de agua (2012-2013 2Q)
Un recipiente cilíndrico, de área transversal A y masa menospreciable, está lleno de agua hasta
una altura h0. En la base del recipiente hay un oricio tapado, de sección Aj (Aj A), como
indica la gura. En el instante t = 0 se destapa el oricio y el recipiente empieza a desplazarse,
sobre unas ruedas que se pueden considerar libres de rozamiento, debido al chorro del oricio. Se
puede suponer que el coeciente de descarga del orico es CD = 1.
a) . Calcula la velocidad del chorro del oricio en función del tiempo.
b) . Calcula la ecuación del movimiento del recipiente y la velocidad que tiene cuando termina de salir el chorro.
c) . Realiza los cálculos para los datos numéricos de la tabla.
h0 A Aj
Figura 2.24: Esquema de recipiente y chorro. NO a escala.
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pj gm
Flujo con viscosidad dominante
3.1. Un émbolo y un cilindro (2004-2005 2Q)
Un pistón empuja a un uido en el interior de un cilindro tal y como se muestra en la Figura 3.1. El cilindro tiene un diámetro D. El émbolo del pistón tiene una anchura L. El juego (huelgo) que hay entre el émbolo y el interior del cilindro es e, teniendo presente que este juego es mucho más pequeño que el diámetro del cilindro. El pistón se mueve a una velocidad constante vp. El uido en la cámara tiene una viscosidad µ y se mantiene a una presión Pc.
Figura 3.1: Esquema de cilindro y pistón.
Primeramente, se pide:
a) . Suponiendo que no existen fugas por el juego e entre el émbolo del pistón y el interior del cilindro (en otras palabras, como si no existiera juego), calcular el caudal Q que se impulsa por la tubería de la cámara.
Ahora, teniendo presente el juego e entre el émbolo del pistón y el interior del cilindro, se pide:
b) . Esquematizar en una gura el ujo que se establece por el juego e entre el émbolo del pistón y el interior del cilindro.
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- r cl - 2 01 4
3. Flujo con viscosidad dominante
c) . Determinar la expresión del perl de velocidades que se produce en el juego e entre el émbolo del pistón y el interior del cilindro.
d) . Determinar una expresión para el caudal que se fuga por el juego e entre el émbolo del pistón y el interior del cilindro, en función de la velocidad del pistón, la presión en la cámara, la viscosidad del uido y la geometría del cilindro y el pistón. Aplicar esta expresión para determinar el valor del caudal de fuga para los datos del caso concreto de la Tabla 2.2.
e) . Determinar una expresión del juego e entre el émbolo del pistón y el interior del cilindro tal que el caudal de fuga sea nulo. Aplicar esta expresión para determinar el valor del juego para los datos del caso concreto de la Tabla 2.7.
D = 63 mm e = 0,02 mm µ = 0,05 Pa · s L = 30 mm vp = 0,05 m/s Pc = 150 bar
Tabla 3.1: Datos del problema.
Nota importante: Dado que el juego e entre el émbolo