ejercicios y problemas de mecÁnica de fluidos colecciÓn de exÁmenes de … 2b... · 2017. 2....

pjgm

- rcl- 2014

Pedro Javier Gámez MonteroRoberto Castilla López

Gustavo Adolfo Raush Alviach

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

DE MECÁNICA DE FLUIDOS

COLECCIÓN DE EXÁMENES

DE INGENIERÍA AERONÁUTICA

pjgm

- rcl- 2014

pjgm

- rcl- 2014

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

DE MECÁNICA DE FLUIDOS

COLECCIÓN DE EXÁMENES

DE INGENIERÍA AERONÁUTICA

Pedro Javier Gámez MonteroRoberto Castilla López

Gustavo Adolfo Raush Alviach

Terrassa, 2013

pjgm

- rcl- 2014

© 2013 Pedro Javier Gamez-Montero, Roberto Castilla López, Gustavo Raush AlviachTodos los derechos reservados.

ISBN-13: 978-84-616-6971-4ISBN-10: 84-616-6971-1

4

pjgm

- rcl- 2014Índice general

Índice general 5

Índice de �guras 9

I Casos Prácticos 11

1 Parcial 1 131.1. Un tubo de Pitot en la cabina de un avión (2005-2006 2Q) . . . . . . . . . . . . . . 131.2. Dos platos y un líquido viscoso (2006-2007 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3. Un tubo capilar con mercurio (2006-2007 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Descarga de un depósito de agua (2007-2008 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5. Depósito con líquido y gas (2007-2008 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6. Un barco y un tubo sumergido (2008-2009 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7. Un modelo de una presa hidráulica (2008-2009 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8. Un tubo capilar con una expansión (2009-2010 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.9. Un tubo de aspiración en un ventilador (2009-2010 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . 161.10. Viscosímetro cónico (2010-2011 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.11. Un robot-mosca (2010-2011 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.12. Un cilindro �otante oscilando (2011-2012 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.13. Dos placas y aceite (2011-2012 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.14. Una bola ��otando� en una corriente de aire (2012-2013 1Q) . . . . . . . . . . . . . 171.15. Un tubo de Venturi vertical (2012-20132Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Parcial 2 192.1. Conducto convergente-divergente en un depósito de aire (2005-2006 2Q) . . . . . . 192.2. Ensayos con un per�l aerodinámico (2006-2007 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3. Una persona �otando en una corriente de aire vertical (2006-2007 2Q) . . . . . . . 192.4. Un proyectil en agua y en aire (2007-2008 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5. Un conducto convergente entre dos depósitos (2007-2008 2Q) . . . . . . . . . . . . 202.6. Una tobera convergente-divergente (2008-2009 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7. Condiciones de despegue de un avión (2008-2009 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.8. Un bache analizado con �ujo potencial (2009-2010 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . 212.9. Un anemómetro de cazoletas (2009-2010 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.10. Lámina de agua cayendo de un depósito (2010-2011 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . 222.11. Conducto convergente-divergente entre dos depósitos (2010-2011 2Q) . . . . . . . . 222.12. Arena en agua (2011-2012 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.13. Viscosidad de la pintura plástica (2011-2012 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.14. Secado de alambre con una tobera convergete-divergente (2012-2013 1Q) . . . . . . 232.15. Otra tobera convergente-divergente (2012-2013 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5

pjgm

- rcl- 2014

Índice general

II Problemas 25

1 Hidrostática y propiedades de los �uidos 271.1. Un instrumento para medir densidad y tensión super�cial (2007-2008 1Q) . . . . . 271.2. Un cojinete esférico (2007-2008 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3. Un �otador cilíndrico oscilatorio (2008-2009 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4. Un viscosímetro cónico (2009-2010 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5. Una compuerta en agua estrati�cada (2009-2010 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6. Capilaridad entre placas paralelas y en ángulo (2012-2013 2Q) . . . . . . . . . . . . 33

2 Leyes fundamentales 352.1. La hélice de un avión (2005-2006 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2. Una instalación de llenado de tanques (2005-2006 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3. Un casquete semiesférico sumergido (2006-2007 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4. Un submarino accidentado (2006-2007 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5. Un cilindro, un inyector y un de�ector móvil (2006-2007 2Q) . . . . . . . . . . . . 412.6. Un freno con aire comprimido para un vehículo (2007-2008 1Q) . . . . . . . . . . . 422.7. Un codo sumergido (2007-2008 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.8. Un inyector impactando en una brazo con cazoleta (2008-2009 1Q) . . . . . . . . . 452.9. Un depósito cónico, un cilindro y un conducto piezoeléctrico (2008-2009 2Q) . . . . 462.10. Una turbina de motor de avión muy simpli�cada (2008-2009 2Q) . . . . . . . . . . 472.11. Un juguete tipo hovercraft (2009-20010 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.12. Un cohete de agua (2009-2010 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.13. Un eyector, o bomba de chorro (2009-2010 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.14. Un per�l aerodinámico en un túnel de viento (2010-2011 1Q) . . . . . . . . . . . . 512.15. Una turbina en una presa hidráulica (2010-2011 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.16. Un rotámetro (2010-2011 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.17. Dos depósitos en disposición vertical (2011-2012 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.18. Una aeronave en atmósfera estándar (2011-2012 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.19. Un cohete de vapor para amortiguar un ascensor (2011-2012 2Q) . . . . . . . . . . 572.20. Dos depósitos y una válvula de aire (2011-2012 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.21. Una instalación anti-incendios en un aeropuerto (2012-2013 1Q) . . . . . . . . . . . 592.22. Un helicóptero (2012-2013 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.23. Un recipiente propulsado por un chorro de agua (2012-2013 2Q) . . . . . . . . . . . 61

3 Flujo con viscosidad dominante 633.1. Un émbolo y un cilindro (2004-2005 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2. Un cilindro vertical como viscosímetro (2006-2007 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3. Un pluviómetro ensayado con un �uido viscoso (2006-2007 2Q) . . . . . . . . . . . 663.4. Un pequeño amortiguador (2007-2008 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.5. Dos líquidos insmiscibles entre dos placas (2008-2009 1Q) . . . . . . . . . . . . . . 693.6. Transporte de aceite en una tubería (2008-2009 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.7. Una minibomba para dosi�cación farmacéutica (2010-2011 1Q) . . . . . . . . . . . 713.8. Un cojinete cilíndrico (2010-2011 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.9. Una selladora para una lámina metálica (2011-1012 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . 733.10. Una lámina entre dos �uidos viscosos (2012-2013 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4 Capa límite y �ujo externo 754.1. Un panel de abeja para el túnel aerodinámico (2005-2006 2Q) . . . . . . . . . . . . 754.2. Capa límite y una célula de carga (2006-2007 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3. La vela de un yate de competición (2006-2007 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.4. El rotor de un helicóptero (2007-2008 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.5. Un ala delta (2007-2008 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.6. Un aerogenerador y la capa límite atmosférica (2008-2009 1Q) . . . . . . . . . . . . 80

6

pjgm

- rcl- 2014

Índice general

4.7. Flujo uniforme penetrando entre dos placas (2008-2009 2Q) . . . . . . . . . . . . . 814.8. Un túnel aerodinámico (2009-2010 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.9. Un tubo de Pitot en un conducto curvo (2009-2010 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . 834.10. Una aleta en un per�l aerodinámico (2009-2010 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.11. Una cinta deslizante en los ensayos de F1 (2010-2011 1Q) . . . . . . . . . . . . . . 864.12. Capa límite turbulenta sobre una barra articulada (2010-2011 2Q) . . . . . . . . . 874.13. La paradoja de Gray (2011-2012 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.14. Un cilindro en un �ujo central (2012-2013 1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.15. Un protector para el radiador de un automóvil (2012-2013 1Q) . . . . . . . . . . . 904.16. Otro ala delta (2012-2013 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5 Flujo compresible 935.1. Tobera convergente-divergente de un cohete (2006-2007 1Q) . . . . . . . . . . . . . 935.2. Un túnel aerodinámico supersónico (2009-2010 2Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.3. Flujo de un depósito bloqueado con un Venturi (2011-2012 1Q) . . . . . . . . . . . 965.4. Tobera convergente-divergente parabólica (2011-2012 2Q) . . . . . . . . . . . . . . 97

Índice alfabético 99

7

pjgm

- rcl- 2014

pjgm

- rcl- 2014Índice de �guras

1.1. Esquema del instrumento para medir la densidad del �uido. . . . . . . . . . . . . . . . 281.2. Esquema del instrumento para medir la tensión super�cial. . . . . . . . . . . . . . . . 281.3. Esquema del cojinete esférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4. Esquema de los �otadores cilíndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5. Esquema del viscosímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6. Esquema de la compuerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.7. Esquema de las placas, paralelas y en ángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1. Esquema del depósito presurizado con la compuerta cuadrada cerrada . . . . . . . . . 372.2. Esquema completo de la instalación de llenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3. Esquema del casquete semiesférico y depósitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4. Esquema del submarino navegando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5. Esquema del submarino en el fondo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6. Esquema de la instalación del cilindro y el de�ector móvil. . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7. Esquema del vehículo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.8. Esquema de los conductos y el codo a 90º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.9. Esquema de los conductos y el codo a 90º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.10. Esquema de la instalación y detalle en corte del inyector y la cazoleta. . . . . . . . . . 452.11. Esquema de la instalación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.12. Esquema de la turbina del motor de avión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.13. Esquema del juguete tipo hovercraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.14. Esquema del cohete de agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.15. Esquema del túnel y del per�l aerodinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.16. Esquema de la turbina y la presa en el canal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.17. Esquema del rotámetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.18. Esquema inicial descarga y llenado de depósitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.19. Esquema �nal descarga y llenado de depósitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.20. Esquema del ascensor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.21. Esquema inicial de depósitos (no a escala). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.22. Esquema de la instalación con los diferentes ensayos. No está a escala. . . . . . . . . . 592.23. Esquema del helicóptero en vuelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.24. Esquema de recipiente y chorro. NO a escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1. Esquema de cilindro y pistón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2. Esquema del viscosímetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3. Esquema del viscosímetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4. Esquema del amortiguador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.5. Esquema del sistema.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.6. Esquema de la instalación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.7. Esquema de la minibomba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.8. Esquema del eje del cojinete y la base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9

pjgm

- rcl- 2014

Índice de figuras

3.9. Esquema de los depósitos, la lámina metálica y el aplicador. . . . . . . . . . . . . . . . 733.10. Detalle del aplicador (zona de estudio fuera de escala). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.11. Esquema de la lámina entre los dos �uidos viscosos. No está a escala. . . . . . . . . . . 74

4.1. Esquema de la placa y la célula de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2. Esquema del yate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3. Esquema del rotor del helicóptero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4. Esquemas de ala delta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.5. Esquema del aerogenerador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.6. Esquema de las placas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.7. Tubo de Pitot en el interior del conducto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.8. Esquema del per�l y la aleta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.9. Esquema del bloque modelo de F1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.10. Esquema de la barra y el �ujo incidente, en per�l y en planta. . . . . . . . . . . . . . . 874.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.12. Esquema del ala delta en per�l y en planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1. Esquema de la tobera convergente-divergente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.2. Esquema de la instalación del túnel aerodinámico supersónico. . . . . . . . . . . . . . 95

10

pjgm

- rcl- 2014

Parte I

Casos Prácticos

11

pjgm

- rcl- 2014

pjgm

- rcl- 20141

Parcial 1

1.1. Un tubo de Pitot en la cabina de un avión (2005-2006 2Q)

Un avión vuela a una altura tal que la densidad del aire exterior es de 0,85 kg/m3 y la presiónatmosférica exterior es de 6×104 Pa. El tubo de Pitot que hay instalado en el interior de la cabinadel avión indica una presión relativa de −180 mmHg (ver Figura). ¾A que velocidad está volandoel avión?

1.2. Dos platos y un líquido viscoso (2006-2007 1Q)

En la Figura se muestra el conjunto de dos platos y su geometría. El plato superior presentauna geometría de cilindro (con una super�cie plana) y está �jo. El plato inferior presenta unageometría de cilindro (con super�cie plana) y que gira coaxialmente respecto el plato superior. Elespacio entre ellos se mantiene lleno de un �uido de viscosidad µ. Se pide determinar la expresiónde la potencia absorbida por la resistencia viscosa cuando el plato inferior gira a la velocidadangular ω con la geometría presentada en la Figura.

1.3. Un tubo capilar con mercurio (2006-2007 2Q)

Un tubo capilar de vidrio se introduce en un depósito con mercurio. Calcular la altura h quedesciende el nivel del mercurio en el interior del capilar.

13

pjgm

- rcl- 2014

1. Parcial 1

1.4. Descarga de un depósito de agua (2007-2008 1Q)

En el depósito con agua de la �gura, el tanque está abierto a la atmósfera, y descarga por lasuper�cie 3 también a la atmósfera. Dadas h1, h2, d2 y d3 y suponiendo que la super�cie en 1 esmuy grande comparada con la de 2 y 3, ¾cuál es la presión en 2? ¾Cuánto tendría que valer h2para que la presión en 2 fuese mayor que la atmosférica? Aplicar al caso h1 = 1,5 m, h2 = 3 m,d2 = 30 cm y d3 = 40 cm.

1.5. Depósito con líquido y gas (2007-2008 2Q)

En el depósito de base cuadrangular L × L representado en la �gura es conocida la densidaddel gas ρgas, la densidad del líquido ρliquido, la altura H y el radio R. Se pregunta:

a) . ¾Qué presión P absoluta debe marcar el manómetro para que el caudal de salida sea nulo?Determinar la expresión.

b) . En la condición del apartado (a), se pide determinar la expresión de la fuerza horizontalsobre la super�cie semicilíndrica de radio R.

c) . Determinar la expresión de la fuerza vertical sobre la super�cie semicilíndrica de radio R.

14

pjgm

- rcl- 2014

1.6. Un barco y un tubo sumergido (2008-2009 1Q)

1.6. Un barco y un tubo sumergido (2008-2009 1Q)

Un barco se desplaza por agua (ρa = 1000 kg/m3) a velocidad vB = 15 m/s. El barco incorporaun tubo en forma de �L� cuya entrada se sitúa a h = 0,75 m por debajo de la super�cie libre. Enla parte superior del tubo, se encuentra una pequeña columna de mercurio (ρa = 13600 kg/m3) dealtura z = 0,1 m.

Tomando la aceleración de la gravedad de valor aproximado g = 10 m/s2 y las hipótesis adecua-das, se pregunta:

a) . ¾Altura H que se alcanzará en el tubo en forma de �L�?

1.7. Un modelo de una presa hidráulica (2008-2009 2Q)

Se quiere hacer unas pruebas con un modelo a escala 1:20 de una puerta aliviadero de unapresa hidráulica. Considerando que la viscosidad del agua no es importante, encontrad los númerosadimensionales que de�nen el problema.

a) . Si se tuviese en cuenta la viscosidad, ¾qué número adimensional se encontraría de formaadicional?

b) . Si en el prototipo la altura del agua es de 20 metros, ¾qué altura deberemos imponer en ellaboratorio?

c) . Si en el laboratorio hemos medido un caudal de 0,5 m3/s, ¾qué caudal se debe esperar en el

prototipo?

Nota: la gravedad es importante

1.8. Un tubo capilar con una expansión (2009-2010 1Q)

Una forma precisa de obtener un volumen muy pequeño de agua es mediante un capilar conuna expansión, como muestra la �gura. El ángulo α de la expansión hace que el agua no puedaseguir �trepando� por el capilar, y se queda a una altura H. Calculad, para un cierto ángulo de

15

pjgm

- rcl- 2014

1. Parcial 1

contacto θ entre el agua y el capilar, una cierta tensión super�cial de agua σ y un diámetro decapilar D, el ángulo mínimo α que deberá tener la expansión en función del valor de H.

1.9. Un tubo de aspiración en un ventilador (2009-2010 2Q)

En el esquema de la �gura se presenta el tubo de aspiración de un ventilador, compuesto deuna tobera y un conducto. En la garganta de la tobera, de diámetro D = 15 cm, se ha conectadoun manómetro de alcohol (780 kg/m3) que marca h = 70 mm. El ventilador aspira aire atmosférico.(ρ = 1,2 kg/m3 y µ = 1,5× 10−5 m2

/s).

Si en la tobera se puede considerar que se presenta un coe�ciente de descarga de 0.95, se pide

a) . Caudal aspirado por el ventilador.

b) . Régimen del �ujo (número de Reynolds) en la garganta de la tobera.

1.10. Viscosímetro cónico (2010-2011 1Q)

Un cierto tipo de viscosímetro consiste en un cono sólido que se apoya y gira con un velocidadangular constante ω sobre una super�cie sólida plana �ja, tal como se muestra en la �gura.

16

pjgm

- rcl- 2014

1.11. Un robot-mosca (2010-2011 2Q)

El eje del cono es perpendicular al plano y su generatriz forma un ángulo θ con el mismo. Elradio de la base del cono es R. El espacio entre la super�cie del cono y la super�cie plana estáocupado por un líquido de viscosidad µ y densidad ρ. Midiendo el par M que hay que hacer paragira el cono con dicha velocidad angular, se puede calcular la viscosidad del �uido. Se pide:

a) . Encontrar la relación adimensional para el viscosímetro.

Se hace un primer ensayo en laboratorio con este viscosímetro con un �uido de viscosidad µ1 ydensidad ρ1 a una velocidad angular constante ω1. Si en un segundo ensayo, se utiliza el mismoviscosímetro, pero con un nuevo �uido de viscosidad la mitad del �uido del primer ensayo y aldoble de la velocidad angular que la del primer ensayo, se pide:

b) . ¾Qué densidad tendrá este nuevo �uido respecto al �uido del primer ensayo para que secumpla la semejanza dinámica?

1.11. Un robot-mosca (2010-2011 2Q)

La mosca de la fruta, Drosophila melanogaster, tiene unas alas muy pequeñas, de 2, 5 mm delargo y 0, 7 mm de ancho. Estas alas son batidas a 200 Hz, con una amplitud angular de 2, 8 raden aire (ν = 1,5× 10−5 m2

/s).Con este tamaño y a esta velocidad es difícil medir algo, así que, para estudiar la �uidodinámica

del vuelo de la mosca de la fruta se decide fabricar un robot-mosca, 100 veces mayor y probarloen aceite, con una viscosidad cinemática 10 veces mayor.

De�ne un número de Reynolds adecuado y calcula la velocidad a la que debe batir las alas elrobot-mosca para que el experimento con él sea dinámicamente similar al de la mosca real.

1.12. Un cilindro �otante oscilando (2011-2012 1Q)

Un cilindro de diámetro D �ota en posición vertical en un líquido. Cuando se desplaza lige-ramente el cilindro en la dirección vertical, éste oscila sobre su posición de equilibrio con unafrecuencia ω. Si se asume que esta frecuencia es función del diámetro D del cilindro, la masa mdel cilindro y el peso especí�co γ del líquido, se pide:

a) . Determinar una relación adimensional con las cuatro variables del problema.

b) . Si se aumenta el doble la masa del cilindro, ¾en cuánto aumenta o disminuye su frecuencia?

1.13. Dos placas y aceite (2011-2012 2Q)

Dos placas paralelas horizontales muy grandes están separadas por 1,5 cm de aceite (µ =0,05 Pa s) Una placa rectangular (30× 60 cm) muy delgada es arrastrada entre las dos placas �jas,a 0,5 cm y 1 cm de la otra. Calcula la fuerza que hay que ejercer sobre esta placa para mantenerlacon un movimiento horizontal de 0,4 m/s.

1.14. Una bola ��otando� en una corriente de aire (2012-2013 1Q)

En un juego de niñ@s, una bola esférica de diámetro D y de peso W , se mantiene suspendidaen el aire, de densidad ρa y viscosidad µa, mediante el �ujo de aire de velocidad V impulsadomediante un tubo en forma de �pipa de fumar� que se coloca en la boca. Se pide:

a) . Determinar una relación adimensional con las cinco variables del problema.

b) . Si se aumenta el doble el peso de la bola, ¾en cuánto debo aumentar o disminuir la velocidaddel �ujo de aire?

17

pjgm

- rcl- 2014

1. Parcial 1

1.15. Un tubo de Venturi vertical (2012-20132Q)

En un tubo de Venturi vertical hay instalado un manómetro diferencial con las sondas separadasuna distancia h = 10 cm, como se indica en la �gura. El diámetro de la tubería es D1 = 100 mmy el de la garganta D2 = 50 mm. Calcula el caudal que debe circular por la tubería para que elmanómetro marque 0. ¾Y si está instalado al revés, con el caudal hacia arriba?

18

pjgm

- rcl- 20142

Parcial 2

2.1. Conducto convergente-divergente en un depósito de aire(2005-2006 2Q)

Un conducto convergente-divergente comunica con el exterior el contenido de un tanque muygrande (en comparación con el conducto). El tanque está lleno de aire a una temperatura de 400 Ky una presión de 3× 105 Pa. El área de la garganta del conducto es de 0,05 m2. Considerando queel �ujo en el conducto es isentrópico y estacionario, calcular el caudal másico máximo que puedesalir del tanque.

2.2. Ensayos con un per�l aerodinámico (2006-2007 1Q)

El coe�ciente de sustentación se de�ne como CD =F

0,5ρV∞cL, donde F es la fuerza de sus-

tentación, ρ la densidad, V∞ la velocidad del �uido sin perturbar, c la cuerda y L la longitud.Un per�l aerodinámico A de cuerda c = 15 cm y longitud L = 20 cm es ensayado en un túnel de

viento obteniéndose un coe�ciente de sustentación de valor CD = 0,8 con las siguientes condicionesde ensayo para el aire: velocidad V∞ = 20 m/s, densidad ρaire = 1,2 kg/m3 y viscosidad dinámicaµaire = 1, 73× 10−5 kg/m·s.

En otra prueba, se ensaya un per�l aerodinámico B en un túnel hidrodinámico con las siguientescondiciones para el agua: densidad ρagua = 1000 kg/m3 y viscosidad dinámica µaire = 1, 14 ×10−3 kg/m·s. En este ensayo se obtiene la misma fuerza de sustentación que en el ensayo de aire. Silos dos per�les aerodinámicos (A y B) ensayados tienen la misma cuerda (tomada como longitudcaracterística del per�l) y producen la misma fuerza de sustentación, se pregunta:

¾Cuál es la longitud del per�l aerodinámico B ensayado en agua?

2.3. Una persona �otando en una corriente de aire vertical (2006-20072Q)

Estáis con un amigo/a vuestro/a en una cafetería tomando un café (o lo que más os guste).Vuestro/a amigo/a os comenta que ha visto un anuncio en televisión donde una persona �ota enel aire en posición horizontal por medio de la acción de una corriente de aire. También ha oído enla televisión en un programa de divulgación cientí�ca que un tal coe�ciente de arrastre tiene unvalor aproximado de uno para el caso que se presenta en el anuncio.

Como vuestro/a amigo/a sabe que eres ingeniero/a (o estáis estudiando esta disciplina) ospregunta que si es posible que le respondáis, allí mismo, en ese momento, la velocidad de lacorriente de aire necesaria para mantener una persona en la posición del anuncio.

Tu, amablemente, le contestas que sí. Tomas un bolígrafo prestado de tu amigo/a y sobre unaservilleta de papel le resuelves su enigma. Por supuesto, sin calculadora.

19

pjgm

- rcl- 2014

2. Parcial 2

Transcribe aquí la resolución del problema que has hecho para tu amigo/a sobre la servilletade papel. Estima también la potencia del ventilador necesaria.

2.4. Un proyectil en agua y en aire (2007-2008 1Q)

Un modelo de proyectil a escala 1:5 presenta un determinado coe�ciente de arrastre para undeterminado número de Mach cuando es ensayado en un tanque de agua (densidad del agua1000 kg/m3 y módulo de compresibilidad del agua 2,2× 109 Pa) de un laboratorio balístico.

¾Cuántas veces será mayor la fuerza de arrastre en el proyectil modelo en el agua comparadocon un proyectil prototipo disparado en el aire con el mismo número de Mach que en el agua(Temperatura aire 20 ◦C, presión en el aire 105 Pa, coe�ciente adiabático 1,4 y constante del gasaire 287 J/kg·K)?

Despreciar la in�uencia del número de Reynolds sobre el coe�ciente de arrastre y considerar elaire como gas perfecto.

2.5. Un conducto convergente entre dos depósitos (2007-2008 2Q)

Desde el depósito A de grandes dimensiones circula aire (R = 287 J/kg·K y γ = 1,4) a través deun tubo de sección recta de 21 cm2y una tobera convergente entre los puntos 1 y 2, al depósito B.En el depósito A la presión es de 3 kgf/cm2 y temperatura 57 ◦C. En el depósito B la presión es 1bar. En el punto 1 se ha medido la temperatura estática de valor 35 ◦C. Considerando que el �ujoen el tubo y la tobera convergente es isentrópico y adiabático, se pregunta:

a) . La temperatura del �uido en el punto 3

b) . Área en el punto 2 de la sección recta de salida de la tobera convergente

c) . ¾La presión en el punto 3 será mayor, igual o menor que la presión en el depósito A? ¾Porqué?

2.6. Una tobera convergente-divergente (2008-2009 1Q)

Una tobera convergente-divergente presenta un área de 0,006 m2 en la sección de salida. Elnúmero de Mach en esta sección es de 2.5. Las condiciones de remanso del aire (γ = 1,4) son900 kPa y 400 K. Se pide:

a) . Área en la garganta

b) . Presión de salida en la condición de diseño (tobera adaptada)

c) . Presión de salida si se quiere que produzca una onda de choque normal justo en esta sección

20

pjgm

- rcl- 2014

2.7. Condiciones de despegue de un avión (2008-2009 2Q)

2.7. Condiciones de despegue de un avión (2008-2009 2Q)

Un avión de 9000 kg de masa (todo incluido) y 40 m2 de super�cie útil de sustentación, debedespegar a una velocidad de 60 m/s. Los experimentos en el túnel de viento muestran que el per�lde las alas tiene unos coe�cientes de sustentación y arrastre con relación lineal con el ángulo deataque α, de la forma:

CL = 0,4 + 0,075α [◦]

y (para valores de α bajos)CD = 0,007 + 0,0085α [◦]

Tomando la densidad del aire de valor 1,25 kg/m3 y la gravedad de valor 10 m/s2, se pide calcularel ángulo de ataque que deben tener las alas en el despegue y la potencia necesaria en los motores.

2.8. Un bache analizado con �ujo potencial (2009-2010 1Q)

La teoría de �ujo potencial en un cilindro expresa las velocidades radial vr y tangencial vθ del�ujo externo de velocidad no perturbada U alrededor del cilindro en coordenadas cilíndricas como:

vr = U cos θ

(1− R2

r2

); vθ = −U sin θ

(1 +

R2

r2

)Para simular el �ujo sobre un �bache� bidimensional, se puede usar al �ujo alrededor de un

cilindro. El bache tendrá una altura R/2, donde R es el radio del cilindro.a) ¾Cuál deberá ser la �altura� h de la linea de corriente asociada a la super�cie sólida?b) ¾Cuál es el valor de la velocidad máxima Umax?

R

R/2

h

U

2.9. Un anemómetro de cazoletas (2009-2010 2Q)

Un anemómetro habitual está compuesto por dos semiesferas huecas dispuestas como se indicaen la �gura. Considerando que los coe�cientes de arrastre para una semiesfera son CD1 = 0,38cuando el aire incide sobre la parte convexa y CD2 = 1,42 cuando lo hace sobre la parte cóncava,estimad la velocidad del viento si el anemómetro gira a una velocidad de 150 rpm y el momentode rozamiento del eje de rotación se puede considerar nulo.

21

pjgm

- rcl- 2014

2. Parcial 2

U∞ ω

U∞

12 cm

4 cm

2.10. Lámina de agua cayendo de un depósito (2010-2011 1Q)

De un depósito de grandes dimensiones sale una lámina de agua que se desplaza por unasuper�cie irregular sin fricción tal y como se muestra en la �gura. Si la lámina de agua se puedeconsiderar que no varía su sección recta en todo el recorrido y �ujo irrotacional sobre la super�ciecurva de radio R, se pregunta

a) . Calcular el per�l de velocidades en la sección de estudio en la lámina.

b) . Calcular la diferencia de altura piezométrica entre los puntos F y G.

Datos: H = 3 m; R = 1 m; h = 10 cm

2.11. Conducto convergente-divergente entre dos depósitos (2010-20112Q)

En un depósito muy grande hay aire (γ = 1,4, r = 287 J/Kg·K) a una presión absoluta de 250 kPay una temperatura de 310 K. Este aire se descarga, a través de una tobera convergente-divergente,a otro depósito. El área del cuello de la tobera es de 5 cm2, y la descarga al segundo depósito

22

pjgm

- rcl- 2014

2.12. Arena en agua (2011-2012 1Q)

se realiza a través de un área de 17,5 cm2. Calcula la presión a la que deberá estar el segundodepósito si se desea que se produzca una onda de choque normal justo en este área de descarga.

2.12. Arena en agua (2011-2012 1Q)

En una corriente ascendiente de agua se introducen partículas de arena de densidad ρarenaaproximadamente esféricas con un diámetro medio D. Se pide determinar la expresión de la velo-cidad mínima del agua que arrastrará las partículas hacia arriba en función del diámetro mediode la partícula.

2.13. Viscosidad de la pintura plástica (2011-2012 2Q)

La clave para que la pintura plástica que se aplica en una pared no gotee es su viscosidad.Esta viscosidad aumenta en el tiempo debido a la evaporación del solvente. Supongamos que unacierta pintura, de densidad ρ = 1250 kg/m3, debe aplicarse en una capa de 0,1 mm sobre una paredvertical. Los expertos dicen que el goteo será inapreciable siempre que la velocidad de caida dela pintura sea menor que 2,5 mm/min. Calcula, suponiendo que la pintura es un �uido newtoniano,cuál debe ser entonces la viscosidad dinámica mínima en el momento de la aplicación para que nose produzca goteo

2.14. Secado de alambre con una tobera convergete-divergente(2012-2013 1Q)

En un proceso de secado de un alambre con aire (γ = 1, 4; R = 287 J · kg/K), se diseña unatobera convergente-divergente para que el alambre pase por su interior. La tobera se caracterizarámediante una distribución parabólica de su área A(x) en la forma:

A[m2]

= 0,008 + 0,012(x2 − x

)con 0 < x < 1 m

donde la sección de área mínima Ag se sitúa en la garganta para x = 0,5 m. El proceso de secadose debe realizar a temperatura inferior a 0 ◦C, y para ello, se conecta la tobera a un depósito deaire de grandes dimensiones con temperatura 20 ◦C, y con condiciones de trabajo de la toberasubsónica en la parte convergente y en la parte divergente, y condición sónica en la garganta. Enestas condiciones se pregunta:

a) . Calcular el número de Mach en la sección de la tobera donde se produce la temperatura de0 ◦C

b) . Calcular a qué velocidad de aire se produce el secado del alambre en el punto de temperatura0 ◦C

c) . Calcular la distancia x en la tobera donde la temperatura se mantendrá por debajo de 0 ◦C

2.15. Otra tobera convergente-divergente (2012-2013 2Q)

Una tobera convergente-divergente presenta un área de salida de 0, 01 m2, y el número de Machen esta sección es 4, 2. Las condiciones de remanso del �ujo de aire (γ = 1, 4) son T0 = 500 K yp0 = 650 kPa. Se pide

a) . Área en la garganta

b) . Flujo másico

c) . Presión de salida en condiciones de diseño (tobera adaptada)

23

pjgm

- rcl- 2014

pjgm

- rcl- 2014

Parte II

Problemas

25

pjgm

- rcl- 2014

pjgm

- rcl- 20141

Hidrostática y propiedades de los �uidos

1.1. Un instrumento para medir densidad y tensión super�cial(2007-2008 1Q)

Se está diseñando un instrumento para medir la densidad (ρf ) y la tensión super�cial (σf ) deun �uido. En la Figura 1.1 se presenta el esquema y su disposición para medir la densidad.

La barra AC está articulada en A (sin rozamientos). En el punto B se ha unido una barraBE que sostiene un depósito indeformable de volumen (Vd) y que siempre mantiene su posiciónvertical. El depósito tiene aire en su interior. El peso del depósito sin aire es de (Wd). En el puntoC se han unido barras CD para sostener un anillo de aluminio de volumen (Vr) que se encuentrasumergido en el �uido que contiene el tanque. La presión y la densidad en el interior del depósitoantes de hacer el ensayo son las mismas que el aire exterior: (P ∗0 ) y (ρ0). El equilibrio (α1) mostradoen la Figura 1.1 se alcanza haciendo el vacío en el depósito hasta obtener una presión y densidaddel aire en su interior de (P ∗i,1) y densidad (ρi,1). Todos las barras son indeformables y de peso yvolumen despreciable.

Si el proceso de hacer el vacío en el depósito se puede considerar isotérmico, se pide:

a) . Determinar la expresión que relaciona la densidad desconocida del �uido (ρf ) con la presiónen el interior del depósito (P ∗i,1)

b) . Calcular el valor de la densidad desconocida de un �uido si en un ensayo se ha medido unapresión en el interior del depósito de P ∗i,1 = 53800 Pa(abs). Utilizar los datos de la Tabla 1

En la Figura 1.2 se presenta el esquema del instrumento para medir la tensión super�cial (σf ) delmismo �uido. El depósito se ha instaurado de nuevo la presión y densidad (P ∗0 ) y (ρ0). A partir deaquí, se lleva a cabo de nuevo el vacío hasta alcanzar una nueva posición de equilibrio (α2) dondeel anillo de aluminio se sitúa en la interfase del �uido y el aire, como muestra la Figura 1.2.

Si el proceso de hacer el vacío en el depósito se puede considerar isotérmico, se pide:

a) . Determinar la expresión que relaciona la tensión super�cial desconocida del �uido (σf ) conla nueva presión en el interior del depósito (P ∗i,2)

b) . Calcular el valor de la tensión super�cial desconocida de un �uido si en un ensayo se hamedido una presión en el interior del depósito de P ∗i,2 = 50000 Pa(abs). Utilizar los datos dela Tabla 1

27

pjgm

- rcl- 2014

1. Hidrostática y propiedades de los fluidos

Figura 1.1: Esquema del instrumento para medir la densidad del �uido.

Figura 1.2: Esquema del instrumento para medir la tensión super�cial.

ρ0 = 1,2 kg/m3 dext = 110 mm dext = 100 mmK = 4 Vd = 1 m3 Vr = 6,5× 10−6 m3

Wd = 5 N ρ0 = 2700 kg/m3 P ∗0 = 105 Pa

Tabla 1.1: Datos del problema.

28

pjgm

- rcl- 2014

1.2. Un cojinete esférico (2007-2008 2Q)

1.2. Un cojinete esférico (2007-2008 2Q)

En la Figura 1.3, se muestra un cojinete de forma esférica de radio R. El lubricante es un aceitede viscosidad dinámica µ que se sitúa en la ranura e. Encontrad una expresión que relacione elmomento de rozamiento M en función de la velocidad angular ω.

Figura 1.3: Esquema del cojinete esférico.

29

pjgm

- rcl- 2014


1.3. Un �otador cilíndrico oscilatorio (2008-2009 1Q)

Un cuerpo de forma cilíndrica, con radio R y altura H, con una densidad menor que la delagua, está parcialmente sumergido en la misma, de forma que, en equilibrio, su centro de gravedad(CG) se encuentra a una profundidad h0 respecto del nivel del agua.

a) . Si subimos el cuerpo hasta una altura y0 <H

2, con respecto a la posición inicial del CG, y

lo dejamos caer, adquirirá un movimiento oscilatorio. Encontrad la ecuación diferencial deeste movimiento y la frecuencia.

b) . Repetid el cálculo del apartado a), pero ahora el cilindro se sumerge en un tubo de radioR1 > R, manteniéndose concéntricos, de forma que entre paredes hay una distancia e =R1 −R. Se puede considerar fricción menospreciable

c) . Encontrad la ecuación diferencial del apartado b) si no se considera menospreciable la fricciónviscosa haciendo las hipótesis adecuadas

Figura 1.4: Esquema de los �otadores cilíndricos

30

pjgm

- rcl- 2014

1.4. Un viscosímetro cónico (2009-2010 1Q)

1.4. Un viscosímetro cónico (2009-2010 1Q)

En la Figura 1.5 se presenta el esquema del prediseño de un viscosímetro. Las medidas geomé-tricas que se conocen del viscosímetro son: a, b, R1, R2, H y θ, donde

a� H; b� R1; θ < 3º

El viscosímetro está lleno de un �uido de viscosidad dinámica µ.Si se hace girar el viscosímetro a una velocidad angular constante ω , determinar, suponiendo

per�les de velocidades lineales, la expresión de la potencia absorbida por esfuerzo viscoso del �uidoen el viscosímetro presentado

Figura 1.5: Esquema del viscosímetro

31

pjgm

- rcl- 2014


1.5. Una compuerta en agua estrati�cada (2009-2010 2Q)

Se dispone de una compuerta rectangular vertical de altura L = 3 m, cuya parte superior estáa una profundidad H = 1 m respecto a la super�cie libre del agua a presión atmosférica. El anchode la compuerta es B = 2 m.

Si la densidad del líquido se mantiene constante respecto a la profundidad con valor ρ0 =1020 kg/m3, se pide 1:

a) . Calcular la fuerza sobre una cara de la compuerta

b) . Calcular el momento de la fuerza anterior respecto el punto A

Imaginemos que ahora la compuerta se sitúa en una piscifactoría donde hay una mezcla de aguasalada y dulce, de forma que su densidad varía linealmente con la profundidad. En la super�cielibre su valor es ρ0 = 1020 kg/m3 y en el fondo ρ1 = 1050 kg/m3, de forma que se tiene un gradienteβ = 7,5 kg/m4 y la densidad respecto la coordenada z queda como

ρ = ρ1 − β · z

Se pide ahora:

c) . Determinar la ley de la variación de la presión respecto la coordenada z. Calcular, entonces,la presión en el punto A

d) . Calcular la fuerza sobre una cara de la compuerta

e) . Calcular el punto de aplicación de la fuerza anterior respecto el punto A

f) . Calcular el momento de la fuerza anterior respecto el punto A

g) . Calcular los errores cometidos en fuerzas y momentos cuando se considera densidad constanteo densidad variable

Figura 1.6: Esquema de la compuerta

1Tomar la gravedad como 9,81 m/s2

32

pjgm

- rcl- 2014

1.6. Capilaridad entre placas paralelas y en ángulo (2012-2013 2Q)

1.6. Capilaridad entre placas paralelas y en ángulo (2012-2013 2Q)

En la Figura 1.7 se exponen dos montajes para estudiar la tensión super�cial entre un líquido-airesolido con placas. Para el montaje de placas en paralelo:

a) . ¾Cuál es la altura h a que asciende el líquido en la con�guración de placas en paralelo?Determinar primero la expresión de la altura en función de los parámetros de la Tabla 1.2 yposteriormente calcular la altura mediante los valores numéricos de la Tabla1.2.

b) . Expresar la relación de la altura h en función de las demás variables en forma adimensionalque caracteriza la con�guración de placas en paralelo.

c) . Si se experimentase este mismo montaje en la Luna (aprox. gravedad 6 veces más pequeña)y se desea que éste sea dinámicamente semejante, ¾qué altura cabría esperar que ascendierael líquido? Considerar que las propiedades físicas del �uido no cambian.

Para el montaje de placas en ángulo:

d) . ¾Cuál es la altura que asciende el líquido en la con�guración de placas en ángulo? Determinarla expresión de la altura y en función de la coordenada x

e) . Calcular la altura h para la coordenada x = B/2 tomando los datos de la Tabla 1.2.

A = 1 mm B = 420 mm C = 3 mm σ = 0,072 N/m g = 9,81 m/s2 ρ = 1000 kg/m3 θ = 60◦

Tabla 1.2: Datos para el problema.

Figura 1.7: Esquema de las placas, paralelas y en ángulo.

33

pjgm

- rcl- 2014

pjgm

- rcl- 20142

Leyes fundamentales

2.1. La hélice de un avión (2005-2006 2Q)

La fuerza de empuje FE producida por la hélice de un avión es función de las variables siguien-tes:

V0 Velocidad del aviónD Diámetro de la héliceρ Densidad del aireµ Viscosidad dinámica del airec Velocidad del sonidoω Velocidad angular de la hélice

Primeramente, se pide:

a) . Obtener los grupos adimensionales que caracterizan el proceso.

b) . Identi�car cada grupo adimensional obtenido y comprobar que, efectivamente, es adimen-sional.

Posteriormente, y para poder determinar las características más importantes de una hélice deavión real, se pretende diseñar un modelo a escala 1:1.5 de la hélice real. El modelo se ensaya anivel de mar donde las propiedades del aire son:

MODELO (aire)

MODELO (aire)

T0 = 15 ◦CP0 = 105 Pa(abs)

µ0 =1, 78× 10−5 Pa · s

El avión donde se encuentra la hélice real (prototipo) está pensado para volar a z = 4000 m dealtitud, donde las propiedades del aire bajo atmósfera estándar son:

PROTOTIPO (aire)

ρ

ρ0=

(T0 − βzT0

) gβr−1

µ0 =1, 73× 10−5 Pa · scon

β = 0,0065 K/m

g = 9, 81 m/s2

r = 287 J/kg·K

35

pjgm

- rcl- 2014

2. Leyes fundamentales

Ahora, se pide:

c) . Calcular la velocidad del sonido del prototipo. ¾Qué temperatura tiene el aire a esta altitud?

a) . Calcular la velocidad angular de la hélice del modelo si la hélice real (prototipo) gira a 3000rpm.

Por otra parte, la hélice del avión real (prototipo) se ha ensayado en un canal hidrodinámico(ρagua = 1000 kg/m3 y µagua = 0,001 Pa · s) desplazando la hélice por el canal con una velocidad de3,6 km/h con el objetivo de estudiar la resistencia mecánica de la hélice. Se pregunta:

e) . Admitiendo que la fuerza de empuje a la que está sometida la hélice real en el avión y en elcanal hidrodinámico son idénticas, averiguar las condiciones equivalentes de vuelo del avióna la altitud de (velocidad del avión real).

36

pjgm

- rcl- 2014

2.2. Una instalación de llenado de tanques (2005-2006 2Q)

2.2. Una instalación de llenado de tanques (2005-2006 2Q)

Una instalación de llenado de tanques consta de varios dispositivos. Un depósito de grandesdimensiones está presurizado a presión manométrica P contiene en su interior aire y agua (verFigura 2.1). En un instante inicial, una válvula de entrada y una compuerta cuadrada se encuentrancerradas. En esta situación y tomando los datos de la Tabla 1, se pide:

a) . Calcular el momento que se debe realizar sobre la compuerta cuadrada en su punto derotación A para mantenerla cerrada en la posición representada en la Figura 2.1.

Figura 2.1: Esquema del depósito presurizado con la compuerta cuadrada cerrada

Posteriormente, la válvula de entrada y la compuerta cuadrada se abren instantáneamente(despreciando el transitorio), el agua sale por una tobera de diámetro d e impacta con un álabe�jo que dirige el �ujo perfectamente hacia un tanque de llenado que en vacío tiene una masa M0

(ver Figura 2.2). El tanque se encuentra sobre una báscula. En esta situación y tomando los datosde la Tabla 2.1, se pide:

b) . Calcular el caudal por la válvula de entrada Q para mantener el nivel del agua H en elinterior del depósito constante si no se consideran pérdidas de energía.

c) . Calcular las reacciones que debe soportar el álabe.

d) . Si trascurrido un tiempo de la apertura de la compuerta cuadrada, en el tanque han entrado1.5 litros de agua, determinar cual es la lectura de la balanza 1 segundo más tarde.

P L M0 V H d ρagua

50000 Pa 0,2 m 1, 5 kg 1,5 l 2 m 10 mm 1000 kg/m3

Tabla 2.1: Datos del problema de llenado de tanques.

37

pjgm

- rcl- 2014


Figura 2.2: Esquema completo de la instalación de llenado

38

pjgm

- rcl- 2014

2.3. Un casquete semiesférico sumergido (2006-2007 1Q)

2.3. Un casquete semiesférico sumergido (2006-2007 1Q)

El casquete semiesférico de la Figura 2.3 tiene una masaM y se encuentra sumergido de formaparcial una distancia h respecto la super�cie libre del agua de un deposito inferior en el estadode equilibrio indicado. Sobre su parte cóncava incide centrado un chorro de agua de diámetro d ycaudal constante Q.

El chorro de agua sale de un ori�cio de diámetro d practicado en la base de un depósito superioren cuyo interior se encuentran dos �uidos: agua y aire. El agua permanece a una altura constanteL y el aire se mantiene a una presión constante que marca el manómetro de valor z [mmcHg].

Enumerando y razonando las hipótesis necesarias para simpli�car el problema y teniendo encuenta el formulario entregado y los datos presentes en la Tabla 2.2, se pide:

a) . Calcular el empuje ascendente que experimenta el casquete semiesférico debido a que seencuentra sumergido de forma parcial una distancia h.

b) . Calcular el caudal Q en [l/min] que sale del depósito superior y que mantiene el casquetesemiesférico sumergido de forma parcial la distancia h. No considerar ningún tipo de pérdidaspor fricción.

c) . Calcular la lectura del manómetro z en [mmcHg] para producir el caudal Q. Considerar quela única pérdida por fricción se produce en el ori�cio de salida del depósito superior y quese engloba toda en el coe�ciente de derrame, Cd = 0,6 .

Figura 2.3: Esquema del casquete semiesférico y depósitos.

d = 1 cm M = 0,1 kg h = 4 cm ρHg = 13600 kg/m3

R = 5 cm L = 20 cm Cd = 0,6 ρH2O = 1000 kg/m3


Formulario: Volumen de casqueste esfé-rico

V =πh2

3(3R− h)

39

pjgm

- rcl- 2014


2.4. Un submarino accidentado (2006-2007 2Q)

El submarino ruso �Plashchof� se encuentra tranquilamente navegando por aguas muy profun-das cuando tiene una avería muy grave e irreparable y se apagan todos los sistemas. Por suerte latripulación consigue salvarse, pero el submarino, debido a una cierta cantidad de agua que se haintroducido en el accidente, cae hacia el fondo sin salvación posible. La profundidad a la que seencuentra el submarino cuando ocurre la avería es H0 (ver Figura 1). La profundidad del mar enesa posición es HT . La masa del submarino, más la del agua introducida es M , y la densidad delagua ρ.

a) . Encontrad una expresión para la velocidad con la que el submarino colisiona contra el fondo.

b) . Si consideramos la compresibilidad del agua, ¾esta velocidad será igual, menor o mayor?¾Por qué?

Figura 2.4: Esquema del submarino navegando.

Cuando el submarino llega al fondo, la colisión es tan grande que se abre una grieta en la parteinferior del mismo, por donde entra más agua (ver Figura 2). Considerando que en todo momentoel aire del interior del submarino se encuentra a la misma temperatura y que, inicialmente, supresión es la atmosférica,

c) . Encontrad la ecuación diferencial que da el nivel de llenado del submarino en función deltiempo.

d) . ¾Hasta qué nivel se va a llenar el submarino?

Figura 2.5: Esquema del submarino en el fondo.

Pista: Puede ser muy conveniente idealizar la forma del submarino a una caja rectangular. Porotro lado, en todo momento la profundidad a la que se encuentra el submarino es muy superior ala altura del mismo.ç

40

pjgm

- rcl- 2014

2.5. Un cilindro, un inyector y un de�ector móvil (2006-2007 2Q)

2.5. Un cilindro, un inyector y un de�ector móvil (2006-2007 2Q)

En la Figura 2.6 se presenta una instalación de agua con un émbolo, un cilindro, un manómetrode mercurio y un de�ector móvil.

El émbolo es movido a velocidad constante mediante una fuerza en su brazo, de forma queimpulsa el agua del interior del cilindro hasta la salida del mismo. El chorro libre a la salida delcilindro pasa a través de la boca de un manómetro de mercurio y llega a un de�ector móvil dondese adapta hasta llevarlo a su salida. El de�ector móvil tiene una masa M y se desplaza medianteunas ruedas por un rail guía sin rozamiento.

Conocidas las dimensiones presentadas en la �gura y recogidas en la Tabla 1, y tomando lashipótesis convenientes, se pide:

a) . La fuerza necesaria a realizar en el émbolo para mantener la velocidad del chorro a la salidaconstante

b) . Determinar la fuerza necesaria para mantener el de�ector inmóvil.

c) . ¾Seguirán las ruedas del de�ector móvil tocando en el rail guía? Demostrarlo.

d) . Si se elimina la fuerza necesaria para mantener inmóvil el de�ector, determinar la ecuacióndiferencial de la velocidad que alcanzará el de�ector en función del tiempo

Importante: Despreciar los efectos de pérdida de energía por fricción en la super�cie del de�ector

D1 = 5 cm H = 40 cm L = 1,5 mD2 = 25 cm ρagua = 1000 kg/m3 M = 20 kgh = 30 cm ρHg = 13600 kg/m3 β = 30◦

Tabla 2.3: Datos del problema del de�ector móvil.

Figura 2.6: Esquema de la instalación del cilindro y el de�ector móvil.

41

pjgm

- rcl- 2014


2.6. Un freno con aire comprimido para un vehículo (2007-2008 1Q)

Se quiere probar un sistema de frenado para un vehículo, consistente en un depósito con airecomprimido que impulsa aire en el sentido contrario a la marcha, como indica la Figura 2.7.

Figura 2.7: Esquema del vehículo.

El depósito, de volumen V , está inicialmente lleno de aire a presión absoluta p0 y temperaturaT y, la descarga de aire, a partir de t = 0 s, se realiza a través de la tobera de sección Sc con unavelocidad vc constante e igual a la inicial (hipótesis de trabajo). Si la masa inicial total (contandotambién el aire) del vehículo es M0, y éste se mueve a una velocidad v0 , se pide:

a) . La velocidad de descarga del aire

b) . La expresión de la presión en el interior del depósito en función del tiempo

c) . La expresión de la masa total del vehículo en función del tiempo

d) . La ecuación diferencial que describe la variación de la velocidad del vehículo en el tiempo

e) . La expresión de la velocidad del vehículo en función del tiempo suponiendo que la masainicial de aire es muchísimo menor que la del vehículo

f) . La variación de la velocidad del vehículo cuando se ha descargado todo el aire del depósito

42

pjgm

- rcl- 2014

2.7. Un codo sumergido (2007-2008 2Q)

2.7. Un codo sumergido (2007-2008 2Q)

Entre los dos conductos de igual sección constante S representados en la Figura 2.8, se hainstalado un codo a 90º mediante las bridas A y B. Por los dos conductos y el codo circulasubsónicamente y estacionariamente un gas de constante R a temperatura constante y conocida T .En los manómetros A y B la presiones son conocidas y de valor absoluto pA y pB , respectivamente.La velocidad vA a la entrada del codo, brida A, es conocida. La presión exterior es la atomosféricapatm.

Figura 2.8: Esquema de los conductos y el codo a 90º

En estas condiciones y tomando las hipótesis apropiadas, se pide:

a) . Determinar la velocidad a la salida del codo vB en función únicamente de las variablesconocidas expuestas en el enunciado

b) . Determinar las fuerzas en magnitud y dirección que el gas ejerce sobre el codo en funciónúnicamente de las variables conocidas expuestas en el enunciado

c) . Determinar el calor por unidad de tiempo que el gas cede al ambiente a través de las paredesen función únicamente de las variables conocidas expuestas en el enunciado

En una posterior instalación representada en la Figura 2.9, el codo se ha instalado en el interior deun depósito a presión. El volumen externo del codo es Vc. El codo se encuentra rodeado de aguade densidad ρagua de forma que la brida B del codo queda sumergida a una profundidad conocidaH desde la interfase aire-agua del depósito. Durante el ensayo, un manómetro marca la presión enel interior de la cámara de aire del depósito p0 también conocida.

43

pjgm

- rcl- 2014


Figura 2.9: Esquema de los conductos y el codo a 90º

Si las condiciones del gas en el interior de los conductos y del codo no cambian, y tomando lashipótesis apropiadas, se pide:

d) . Determinar únicamente la reacción vertical sobre el codo en función de las variables conocidasexpuestas en el enunciado

44

pjgm

- rcl- 2014

2.8. Un inyector impactando en una brazo con cazoleta (2008-2009 1Q)

2.8. Un inyector impactando en una brazo con cazoleta (2008-20091Q)

En la Figura 2.10, se muestra una instalación de un inyector de diámetro de salida d por dondesale un chorro de agua proveniente de un depósito grande cuya super�cie libre se encuentra a unacota H respecto al inyector. El chorro de agua impacta sobre una cazoleta unida a un brazo deradio R que gira a velocidad angular ω.

Tomando las hipótesis adecuadas, se pide:

a) . Menospreciando la fricción en la tubería, encontrad la velocidad del agua a la salida delinyector

b) . Suponiendo que el chorro de agua sale hacia atrás con un ángulo de 180º y con la mismavelocidad de entrada en la cuchara (no hay fricción), calculad el momento que realiza elchorro, suponiendo una velocidad de rotación del brazo ω constante

c) . Calculad la velocidad de rotación para la cual la potencia trasmitida será máxima, y laexpresión para esta potencia

d) . Aplicar los apartados anteriores a los datos de la Tabla 1

Figura 2.10: Esquema de la instalación y detalle en corte del inyector y la cazoleta.

45

pjgm

- rcl- 2014


2.9. Un depósito cónico, un cilindro y un conducto piezoeléctrico(2008-2009 2Q)

En la Figura 2.10 se presenta el esquema del prediseño de una nueva instalación. La instalaciónconsiste en un depósito cónico de ángulo θ de sección circular y lleno de un líquido.

En la parte superior, un pistón sólido de sección S penetra en la super�cie libre con unavelocidad U(t) función del tiempo de�nida por la expresión

U [m/s] = B · t [s]

donde B es una constante. En la parte inferior y conectado mediante una tubería de diámetromuy pequeño, se encuentra un conducto hecho de material piezoeléctrico tal que su área A (que semantiene uniforme en toda la longitud L del conducto) puede variar en el tiempo de forma arbitra-ria mediante la aplicación de cierto voltaje al conducto. Supongamos que mediante la aplicaciónde un voltaje conveniente el área del conducto A(t) varía en el tiempo de forma monótonamentedecreciente expresado como

A(t)[m2]

= A0

[m2]−K · t [s]

donde A0 es el área inicial y K es una constante.Asumiendo que el �ujo en el interior del conducto es en todo momento incompresible e inviscido,

se pide:

a) . Determinar la expresión de la evolución de la altura de la super�cie libre en función deltiempo tomando como tiempo inicial el instante en el que el pistón toca la super�cie libre yel área del conducto piezoeléctrico es A0

1.

Figura 2.11: Esquema de la instalación.

1Se pueden considerar las siguientes hipótesis adicionales:

El diámetro de la tubería es muy pequeño

La super�cie del pistón es muy pequeña en comparación con la super�cie del depósito cónico

La longitud L del conducto piezoeléctrico es constante

No hay fugas

46

pjgm

- rcl- 2014

2.10. Una turbina de motor de avión muy simpli�cada (2008-2009 2Q)

2.10. Una turbina de motor de avión muy simpli�cada (2008-2009 2Q)

En la turbina de un motor de reacción, de 1 metro de diámetro, los gases de la cámara decombustión entran con una velocidad de 15 m/s, y una temperatura de 1100 K, y salen con unavelocidad de 60 m/s, y una temperatura de 550 K. El �ujo de gas es de 35 kg/s. Se puede asumirque los gases de combustión se comportan como ideales, con cp = 1000 J/kg·K y r = 285 J/kg·K, deforma que la variación de entalpía es ∆h = cp∆T y p = ρrT . Se pide calcular:

a) . La fuerza de empuje que sufre la turbina

b) . La potencia que se genera en el eje de la turbina

Figura 2.12: Esquema de la turbina del motor de avión.

47

pjgm

- rcl- 2014


2.11. Un juguete tipo hovercraft (2009-20010 1Q)

Un fabricante de juguetes quiere diseñar un disco que se deslice sin rozamiento por el suelo, tipohovercraft. El disco tendrá un ventilador en el interior que dará un caudal, con una cierta presión.El disco tiene una masa M , con pilas incluidas, un diámetro D y se quiere que se mantenga a unadistancia e del suelo. Suponiendo que no hay pérdidas por rozamiento y haciendo otras hipótesisoportunas, calcular, usando las leyes de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía:

a) . la presión, pc, que el ventilador debe crear en la cámara de aire

b) . el caudal Q que debe dar el ventilador

c) . la potencia P consumida por el motor

d) . aplicar los resultados anteriores al caso numérico presentado en la tabla 2.4

Masa M Diámetro D Altura e Densidad ρ

75 gr 45 mm 0,25 mm 1,2 kg/m3

Tabla 2.4: Datos del problema del hovercraft.

Figura 2.13: Esquema del juguete tipo hovercraft.

48

pjgm

- rcl- 2014

2.12. Un cohete de agua (2009-2010 2Q)

2.12. Un cohete de agua (2009-2010 2Q)

En la �Cité des Sciences� de París hay un experimento muy interesante: un cohete propulsadoverticalmente por agua, inyectada por la presión de un depósito de aire comprimido. El depósitode agua tiene una capacidad máxima. Si se llena por completo, el tiempo de impulsión es mayor,pero el cohete pesa mucho inicialmente. Si se llena poco, el cohete pesa menos, pero es impulsadodurante un tiempo menor. Existe una cantidad óptima de agua para la cual el impulso es óptimo,y el cohete alcanza su altura máxima antes de caer. Pero no es esto lo que vamos a calcular.

Supongamos que inicialmente llenamos el cohete con una cantidad de agua, hasta un nivelh0. Son conocidas también la presión del aire comprimido, p, que se supondrá constante en todomomento, las secciones del depósito de agua, S, y de la tobera de escape, Se, el nivel máximodel depósito de agua, H, y la masa del cohete sin agua, Mc. A éstas variables hay que añadir ladensidad del agua, ρ, y la gravedad g. Los efectos de la viscosidad del agua y el aire se consideranmenospreciables.

a) . Escribid de forma adimensional, una relación de la altura máxima a la que llegará el cohetecomo función del resto de variables. Considerad que la variable independiente importante esel llenado inicial del depósito de agua, h0.

b) . Calculad el tiempo que tardará el depósito en vaciarse si el aire comprimido está a unapresión p� ρgH.

c) . Escribid la ecuación diferencial para la velocidad del cohete durante el tiempo de impulsión,considerando que Mc � ρSH.

d) . Escribid la ecuación para la altura del cohete z(t) durante el tiempo de impulsión.

e) . Escribid esta ecuación en forma adimensional.

Nota 1: Los cálculos se pueden simpli�car bastante usando las aproximaciones de primer orden√1 + x ≈ 1 + 2x, y ln(1 + x) ≈ x, para x→ 0.

Nota 2: Los números adimensionales usados en d) no tienen porqué coincidir con los usados ena).

Figura 2.14: Esquema del cohete de agua.

49

pjgm

- rcl- 2014


2.13. Un eyector, o bomba de chorro (2009-2010 2Q)

Un eyector, o bomba de chorro, puede, sin partes móviles, extraer un �uido de un depósito.El principio es simple: el �uido que sale por una tobera, a gran velocidad, �arrastra� el �uidocircundante, creando un �ujo en la tubería de salida del depósito.Se considera un depósito de agua, abierto a la atmósfera. Se usa un eyector para bombear esteagua por una tubería a una altura H por encima del nivel de agua. Por el eyector, de radio r1 saleun caudal Q1 de agua en la sección A. La tubería de extracción del agua tiene un radio r2 = 2r1.

a) . Suponiendo que el agua arrastrada forma un per�l lineal, como se muestra en la �gura,obtener una expresión para el caudal succionado, Q2, en relación al caudal del eyector, Q1.Calcula la velocidad media del agua bombeada en la sección A, v2.

H

A B

A

r1r2 = 2r1

1

2

B

3

b) . En la sección 3, el agua se ha mezclado su�cientemente y el per�l de velocidades se puedeconsiderar de nuevo uniforme. Calcula v3 en términos de Q1.

c) . Suponiendo ahora que el per�l en 2 es uniforme e igual a v2, calcula la presión en 2, p2.

A

r1r2 = 2r1

1

2

d) . El chorro de eyector sale por 1 a la misma presión que hay en la tubería, p2. Estima el valorde la presión en 3, p3, en términos de Q1 considerando que no hay rozamiento con las paredesde la tubería.

e) . Calcula la potencia que se trans�ere al agua bombeada en términos de H y Q1.

Nota: Se conocen los valores de H, los diámetros de las tuberías y el caudal Q1 del eyector. El valor de Hes mucho mayor que los diámetros de las tuberías.

50

pjgm

- rcl- 2014

2.14. Un per�l aerodinámico en un túnel de viento (2010-2011 1Q)

2.14. Un per�l aerodinámico en un túnel de viento (2010-2011 1Q)

En la Figura 2.15 se presenta el esquema de la sección de un túnel de viento subsónico de venaabierta en el que se ha emplazado un per�l aerodinámico NACA 0015 de cuerda c y envergadurab con la intención de medir la fuerza de arrastre y determinar el coe�ciente de arrastre.

Usualmente, el per�l de la fuerza de arrastre sobre un modelo aerodinámico se suele mediremplazando el modelo en una balanza aerodinámica. El caso que se presenta en la Figura 2.15pretende ser bidimensional xy, y la fuerza aerodinámica puede determinarse mediante la medicióndel per�l de velocidades aguas arriba (Sección 1 en Figura 2.15) y aguas abajo �estela- (Sección 2en Figura 2.15) del modelo, tomando el �uido como incompresible.

La técnica empleada en este ensayo para la medición del per�l de velocidades en la estela delper�l aerodinámico es conocida con el nombre de Laser Doppler Velocimetry (LDV). La mediciónse ha realizado en la Sección 2 (Figura 2.15) a la distancia óptima del borde de salida del per�lpara obtener una precisión correcta del per�l de velocidades medido.

En el túnel de viento de la Figura 2.15, la velocidad del aire no perturbado aguas arriba delper�l es constante y de valor U . Además, se ha constatado que la velocidad de la estela se iguala

a la velocidad del aire no perturbado paran

c= ±1

4, donde n es la distancia en la dirección y en

la sección 2 de la estela, y que la velocidad medida en la coordenada y = 0 es u (y = 0) =3

4U .

A partir de los datos experimentales obtenidos de la medición de la velocidad en diferentespuntos de la estela en la dirección y mediante LDV, se ha llevado a cabo una regresión de losmismos a una curva cuadrática del tipo

u(y) = Ay2 +B u [m/s] ; y [m]

donde A y B son dos constantes, obteniéndose así una función aproximada del per�l de velocidadesen la estela.

El ensayo se ha realizado con aire a presión p y temperatura T constantes y uniformes. Además,se asumirá que las presiones en la sección 1 y 2 son prácticamente las mismas y que el per�laerodinámico se encuentra su�cientemente alejado de las paredes del túnel.

Figura 2.15: Esquema del túnel y del per�l aerodinámico

Se pide:

a) . Determinar la expresión de los coe�cientes A y B del per�l de velocidades procedente de la re-gresión de los datos experimentales. Posteriormente, calcular los valores numéricos mediantelos datos de la Tabla 2.4

b) . Escribid de forma adimensional el per�l de velocidades

c) . Si el área de estudio a la salida se concentra en la estela (2n×b), sección 2 Figura 2.15, deter-minar la expresión del caudal másico. Posteriormente, calcular el valor numérico mediantelos datos de la Tabla 2.4

51

pjgm

- rcl- 2014


d) . Determinar la expresión de la altura h en el área de estudio a la entrada (2h× b), sección 1Figura 2.15. Posteriormente, calcular el valor numérico mediante los datos de la Tabla 2.4

e) . Determinar la expresión de la fuerza de arrastre que se produce en el per�l aerodinámico enel ensayo. Posteriormente, calcular el valor numérico mediante los datos de la Tabla 2.4

f) . Determinar la expresión del coe�ciente de arrastre tomando como área proyectada del per�laerodinámico el producto de la cuerda c por la envergadura b.

g) . Si en vez de llevar a cabo los ensayos con aire (1,5×10−5 m2/s) se emplease agua (1000 kg/m3,

10−6 m2/s) a la misma presión y temperatura, calcular la fuerza de arrastre que se produciría

en el per�l aerodinámico

U = 10 m/s b = 70 cm T = 20 ◦C

c = 20 cm p = 1 bar(abs) R = 287 J/kg·K

Tabla 2.5: Datos del problema

52

pjgm

- rcl- 2014

2.15. Una turbina en una presa hidráulica (2010-2011 1Q)

2.15. Una turbina en una presa hidráulica (2010-2011 1Q)

En un canal abierto, de ancho B, se instala un turbina en la base de una presa, como se indicaen la �gura 2.16. Por la turbina circula un caudal de agua Q, y la altura del canal de agua antesy después de la turbina es h1 y h2 , respectivamente. Calcular, haciendo las hipótesis oportunas,

a) . La velocidad del agua en el canal antes y después de la turbina.

b) . La fuerza F que debe soportar la presa.

c) . La potencia W que genera la turbina.

d) . Aplicar los resultados al caso concreto expuesto en la Tabla 2.6.

Q = 6 m3/s h1 = 5 m h2 = 1,5 m B = 3 m

Tabla 2.6: Datos del problema de la pres y la turbina.

Figura 2.16: Esquema de la turbina y la presa en el canal.

53

pjgm

- rcl- 2014


2.16. Un rotámetro (2010-2011 2Q)

En la Figura 2.17.A se presenta el esquema de un rotámetro que es un instrumento para lamedición del caudal. El rotámetro presentado consiste en un tubo de vidrio de área variable encuyo interior existe un �otador que, bajo la acción del �ujo, se eleva en el tubo tronco-cónico devidrio vertical hasta alcanzar una cierta posición de equilibro que depende del caudal. Mediantela calibración del tubo de vidrio con una escala, el rotámetro proporciona una medida fácilmentevisible del caudal.

Se desea hacer un estudio del �otador de un rotámetro existente. Para ello se sabe que cuandoel �otador está situado en equilibrio en la posición esquematizada en la Figura 2.17.B, se mide uncaudal de QP = 31 l/min en la escala del tubo de vidrio, con una sección en la parte inferior del�otador (marca 1 Figura 1.B) de área A1 = 12 cm2 y una sección anular entre la parte superiordel �otador y el tubo (marca 2 Figura 2.17.B) de área A2 = 14,5 cm2.

Se pide:

a) . Si en este primer análisis no se tienen en cuenta los efectos de las fuerzas viscosas del �uido,calcular el volumen del �otador si el �uido es agua para el caudal QP = 31 l/min. Tomar losdatos de la Tabla 2.7 que sean necesarios.

b) . Si en un segundo análisis si se tuviesen en cuenta los efectos de las fuerzas viscosas del �uido,¾qué efecto se produciría en el cálculo del volumen del �otador respecto al del apartadoanterior a)?

Razonar y argumentar la opción escogida sin hacer ningún cálculo numérico. (MÁXIMO 3 LÍ-NEAS)

Figura 2.17: Esquema del rotámetro.

QP = 31 l/min A1 = 12 cm2 A2 = 14,5 cm2

ρagua = 1000 kg/m3 ρ�otador = 7800 kg/m3


54

pjgm

- rcl- 2014

2.17. Dos depósitos en disposición vertical (2011-2012 1Q)

2.17. Dos depósitos en disposición vertical (2011-2012 1Q)

En la Figura 2.18 se presenta el esquema de dos depósitos. El depósito A descarga agua, através de la tubería C, en el depósito B. El depósito A es de grandes dimensiones y la altura HA

puede considerarse constante. El depósito B tiene una de sección SB y la tubería C tiene unasección de SC .

En esta situación y si se desprecia todo tipo de pérdida de energía, se pide:

a) . Determinar la expresión del tiempo de llenado del depósito B desde que está vacío a unaaltura genérica z < HB

b) . Tomando los datos de la Tabla 1, calcular el tiempo empleado de llenado del depósito Bdesde que está vacío hasta una altura z = 250 mm

Figura 2.18: Esquema inicial descarga y llenado de depósitos

En la Figura 2.19 se presenta el esquema de los dos depósitos y tuberías anteriores. En estanueva situación, el nivel de la super�cie libre del depósito B ha sobrepasado la salida de la tuberíaC.

En esta nueva situación y si se desprecia todo tipo de pérdida de energía, se pide:

c) . Determinar la expresión del tiempo de llenado del depósito B en función de la altura h desdela altura hi > HB hasta un altura genérica hf < HD

d) . Tomando los datos de la Tabla 1, calcular el tiempo empleado de llenado del depósito Bdesde la altura inicial hi = 700 mmhasta una altura �nal hf = 1250 mm

Figura 2.19: Esquema �nal descarga y llenado de depósitos

55

pjgm

- rcl- 2014


2.18. Una aeronave en atmósfera estándar (2011-2012 1Q)

Una aeronave con un motor tipo turboreactor, de masaM , supuesta constante, tiene que volara una cierta altura Z, con velocidad horizontal va. La sección de salida de los gases por la toberaes Ag, y la sección de entrada del aire al turboreactor es Ae. Se puede menospreciar la masa decombustible añadida al aire, de forma que el gas que se expulsa es, básicamente, el mismo aire queha entrado.

La fuerza de rozamiento con la atmósfera es proporcional a la densidad del aire circundante, alcuadrado de la velocidad de la aeronave y al área total proyectada en la dirección del movimiento,Aa,

FD =1

2CDρv

2aAa

Suponiendo una atmósfera estándar, T (z) = T0 − βz,

a) . Calcular la velocidad de escape de los gases, vg, necesaria para mantener la velocidad de laaeronave a esta altura.

b) . Calcular la potencia proporcionada por el turboreactor.

c) . Aplica los resultados anteriores al caso particular de la tabla 2.8

M 2500 kgAa 4 m2

Ae 1 m2

Ag 0, 5 m2

va 150 m/sZ 3000 mT0 288 Kβ 6, 5× 10−3 K/mp0 101325 PaCD 0, 25


56

pjgm

- rcl- 2014

2.19. Un cohete de vapor para amortiguar un ascensor (2011-2012 2Q)

2.19. Un cohete de vapor para amortiguar un ascensor (2011-2012 2Q)

Se diseña un mecanismo para amortiguar la caida de un ascensor en caso de accidente. Este

mecanismo se basa en un cohete de vapor de agua. El agua se mantiene almacenada a alta tempe-

ratura y presión, y cuando se pone en contacto con la presión atmosférica a través de una tobera

se vaporiza y se expulsa a gran velocidad.

La tobera se diseña de forma que el vapor de agua sale a una velocidad ~vv, que se puede

considerar constante.

Este cohete se acciona cuando el ascensor, de masa total M (incluidos pasajeros, cohete y

agua) cae en caida libre y alcanza una cierta velocidad crítica ~vc.

a) . Estima el �ujo másico de vapor de agua necesario si consideráramos que la masa del ascensor

y la velocidad se van a mantener constantes.

b) . Sin embargo, la masa del ascensor no se va a mantener constante, ya que se está eliminandoagua. Evalúa la expresión para la masa del ascensor en función del tiempo, suponiendo queel �ujo másico calculado se va a mantener constante.

c) . Por otro lado, la velocidad del ascensor tampoco se va a mantener constante. Evalúa laexpresión de la velocidad del ascensor en función del tiempo.

d) . Dados los datos de la tabla, calcula la velocidad del cohete y la masa de agua consumida alcabo de 10 segundos.

M0 vv vc

1500 kg 2000 m/s 3 m/s

~vv

Figura 2.20: Esquema del ascensor.

57

pjgm

- rcl- 2014


2.20. Dos depósitos y una válvula de aire (2011-2012 2Q)

En la Figura 2.21 se presenta el esquema de dos depósitos. El depósito A está abierto a laatmósfera y está conectado con el depósito B a través de una tubería con agua. En un instanteinicial 0, el depósito B se mantiene cerrado mediante una válvula y en su interior un gas, de formaque la super�cie libre del depósito A está en HA0 y en el depósito B está en HB0. El depósito Atiene una de sección SA y el depósito B tiene una de sección SB .

Si ahora se abre la válvula, se estimará que la pérdida de presión ∆P a través de la mismasigue la siguiente ley

∆P [Pa] = KQ[m3/s]2

donde Q es el caudal volumétrico de gas que �uye por la válvula.En esta situación de válvula abierta y partiendo de la posición de las super�cies libres de los

depósitos representadas en la Figura 2.21 y si se desprecia todo tipo de pérdida de energía, se pide:

a) . Determinar la expresión del tiempo que tardará el agua en ocupar todo el depósito B. Eneste primer cálculo, despreciar la energía cinética de las super�cies libres de ambos depósitos.

b) . Tomando los datos de la Tabla 1, calcular el tiempo empleado de llenado del depósito B conla expresión obtenida en el apartado anterior.

Figura 2.21: Esquema inicial de depósitos (no a escala).

HA0 = 3 m HB0 = 1 m HC0 = 1 m

SA = 4SB SB = 0,05 m2 K = 109 Pa/(

m3

s

)2


58

pjgm

- rcl- 2014

2.21. Una instalación anti-incendios en un aeropuerto (2012-2013 1Q)

2.21. Una instalación anti-incendios en un aeropuerto (2012-2013 1Q)

En un aeropuerto, la dotación de bomberos está trabajando en el diseño de una instalacióncontra incendios. En un primer diseño, llevan a cabo el Ensayo A de la Figura 2.22. El depósitopresenta una super�cie grande abierta a la atmósfera por la parte superior y puede descargar agua(ρ = 1000 kg/m³, µ = 0,001 Pa · s) a la atmósfera por el ori�cio de la parte inferior de diámetroD = 100 mm. Si se desea obtener un caudal QA = 1800 l/min, se pregunta:

a) . Calcular la altura constante hA que se debería mantener en el depósito. Tomar el coe�cientede descarga del ori�cio Cd = 0,61.

En un segundo diseño, llevan a cabo el Ensayo C de la Figura 2.22. Una manguera de longitudL = 20 m, diámetro interior D = 100 mm, y cuya rugosidad absoluta es de e = 0,01 mm, se haconectado al depósito. Si se desea que para una presión en el manómetro de PC = 0 bar(rel) denuevo obtener un caudal QA = 1800 l/min, se pregunta:

b) . Calcular la nueva altura constante hC que se debería mantener en el depósito. No tenga encuenta para este cálculo los efectos del ori�cio ni tampoco el de ninguna pérdida de presiónsecundaria.

En un tercer diseño, llevan a cabo el Ensayo E de la Figura 2.22. El diseño de�nitivo del depósitotiene una super�cie de S1 = 3 m2 (que se puede considerar grande) y se llenará de agua inicialmentea hE = 3 m. Además, se ha instalado una bomba cuya curva característica es:

HB [m.c.a.] = 60− 2000(QB

[m3/s

])2Si, manteniendo la misma tubería (tomar en este caso el factor de fricción conocido de valorconstante f = 0,02), se mantiene una presión en el manómetro de PE = 5 bar(rel), se pregunta:

c) . Calcular el tiempo que se dispone hasta que el depósito se vacíe de agua, es decir de la alturainicial hE = 3 m a 0 m.

Figura 2.22: Esquema de la instalación con los diferentes ensayos. No está a escala.

59

pjgm

- rcl- 2014


2.22. Un helicóptero (2012-2013 1Q)

Un helicóptero de masa M tiene un rotor de diámetro D. Para poder elevarse del suelo, el

rotor debe mover el aire con una cierta velocidad v vertical hacia abajo.

a) . Calcula esta velocidad para una cierta densidad del aire, en condiciones estándar, ρ0.

b) . Calcula las presiones producidas en la parte superior y la inferior del rotor, y la potenciadesarrollada por el mismo.

c) . Si la velocidad máxima que puede crear el rotor és un 50% mayor que la calculada en elprimer apartado y la densidad del aire atmosférico sigue la ley de la atmósfera estándar,

ρ = ρ0

(1− Bz

T0

) grB−1

estima la altura máxima teórica en la que este helicóptero puede mantenerse en vuelo.

d) . Realiza los cálculos para los datos numéricos de la tabla.

M D p0 T0 B r

2000 kg 12 m 1,013× 105 Pa 288,16 K 0,0065 K/m 287 J/KgK

Figura 2.23: Esquema del helicóptero en vuelo.

60

pjgm

- rcl- 2014

2.23. Un recipiente propulsado por un chorro de agua (2012-2013 2Q)

2.23. Un recipiente propulsado por un chorro de agua (2012-2013 2Q)

Un recipiente cilíndrico, de área transversal A y masa menospreciable, está lleno de agua hasta

una altura h0. En la base del recipiente hay un ori�cio tapado, de sección Aj (Aj � A), como

indica la �gura. En el instante t = 0 se destapa el ori�cio y el recipiente empieza a desplazarse,

sobre unas ruedas que se pueden considerar libres de rozamiento, debido al chorro del ori�cio. Se

puede suponer que el coe�ciente de descarga del ori�co es CD = 1.

a) . Calcula la velocidad del chorro del ori�cio en función del tiempo.

b) . Calcula la ecuación del movimiento del recipiente y la velocidad que tiene cuando terminade salir el chorro.

c) . Realiza los cálculos para los datos numéricos de la tabla.

h0 A Aj

2 m 1 m2 0,5 cm2

Figura 2.24: Esquema de recipiente y chorro. NO a escala.

61

pjgm

- rcl- 2014

pjgm

- rcl- 20143

Flujo con viscosidad dominante

3.1. Un émbolo y un cilindro (2004-2005 2Q)

Un pistón empuja a un �uido en el interior de un cilindro tal y como se muestra en la Figura3.1. El cilindro tiene un diámetro D. El émbolo del pistón tiene una anchura L. El juego (huelgo)que hay entre el émbolo y el interior del cilindro es e, teniendo presente que este juego es muchomás pequeño que el diámetro del cilindro. El pistón se mueve a una velocidad constante vp. El�uido en la cámara tiene una viscosidad µ y se mantiene a una presión Pc.

Figura 3.1: Esquema de cilindro y pistón.

Primeramente, se pide:

a) . Suponiendo que no existen fugas por el juego e entre el émbolo del pistón y el interior delcilindro (en otras palabras, como si no existiera juego), calcular el caudal Q que se impulsapor la tubería de la cámara.

Ahora, teniendo presente el juego e entre el émbolo del pistón y el interior del cilindro,se pide:

b) . Esquematizar en una �gura el �ujo que se establece por el juego e entre el émbolo del pistóny el interior del cilindro.

63

pjgm

- rcl- 2014

3. Flujo con viscosidad dominante

c) . Determinar la expresión del per�l de velocidades que se produce en el juego e entre el émbolodel pistón y el interior del cilindro.

d) . Determinar una expresión para el caudal que se fuga por el juego e entre el émbolo del pistóny el interior del cilindro, en función de la velocidad del pistón, la presión en la cámara, laviscosidad del �uido y la geometría del cilindro y el pistón. Aplicar esta expresión paradeterminar el valor del caudal de fuga para los datos del caso concreto de la Tabla 2.2.

e) . Determinar una expresión del juego e entre el émbolo del pistón y el interior del cilindrotal que el caudal de fuga sea nulo. Aplicar esta expresión para determinar el valor del juegopara los datos del caso concreto de la Tabla 2.7.

D = 63 mm e = 0,02 mm µ = 0,05 Pa · sL = 30 mm vp = 0,05 m/s Pc = 150 bar


Nota importante: Dado que el juego e entre el émbolo del pistón y el interior del cilindro esmucho más pequeño que el diámetro del cilindro D, suponer que la super�cie del émbolo y la delinterior del cilindro son planas y paralelas entre sí.

64

pjgm

- rcl- 2014

3.2. Un cilindro vertical como viscosímetro (2006-2007 1Q)

3.2. Un cilindro vertical como viscosímetro (2006-2007 1Q)

Un posible viscosímetro sería simplemente un cilindro, de diámetro D, en posición vertical(ver Figura 1). En la cara superior del cilindro se vierte un caudal Q de un líquido de densidadρ (conocida y constante) y viscosidad dinámica µ, que queremos determinar. El �uido cae por lasuper�cie lateral formando una película de espesor e una vez se ha estabilizado el �ujo. Se pide:

a) . Razonar que el espesor y, por lo tanto, el per�l de velocidad del �ujo en la pared lateral, seestabiliza llegando a un valor límite constante.

b) . Encontrar el per�l de velocidades en función del espesor e y de las propiedades del �uido.

c) . Derivar, conocido el caudal Q, una relación entre el espesor e y la viscosidad µ.

Figura 3.2: Esquema del viscosímetro.

Nota: Si se supone e � D, se puede hacer una aproximación bidimensional del problema quesimpli�ca mucho los cálculos.

65

pjgm

- rcl- 2014


3.3. Un pluviómetro ensayado con un �uido viscoso (2006-2007 2Q)

Se está diseñando un nuevo pluviómetro. Para ello, se ha construido un modelo como el mos-trado en la Figura 3.3. Para ensayarlo, se ha utilizado un �uido viscoso que se hace caer por los dosplanos inclinados. A una distancia adecuada, plano abajo, el �ujo está plenamente desarrolladoy se considera paralelo al plano. La inclinación de los planos inclinados es θ , de manera que seforman dos láminas de �uido de profundidad h y anchura b. Todo el �ujo procedente de los dosplanos inclinados es recogido en un depósito y su salida se produce por un tubo de longitud L ydiámetro d (ver Figura 3.3b).

Tomando las hipótesis convenientes, se pide:

a) . Determinar la expresión del �ujo másico que recogen las dos paredes (planos inclinados)cuando el �uido viscoso forma en ambas una película de espesor h, tomando la anchura bmucho mayor que el espesor de la película h y los ejes coordenados presentados el zoom dela Figura 3.3b.

En un ensayo, se ha medido un caudal Q = 10 l/min. Para este caudal, se pide:

b) . Calcular la diferencia, pérdida, de presión ∆P que se produce en el tubo por el paso de estecaudal.

Antes de construir el prototipo (pluviómetro real) se desea hacer un estudio mediante el análisisdimensional y semejanza. El prototipo a construir será a escala 2:1. Para ello, se pide:

c) . Identi�car las variables básicas en términos de geometría, �uido y prestaciones, y calcularlos números adimensionales. Para ello, no tener en cuenta en esta primera aproximación, losefectos de la gravedad ni los posibles efectos debidos a la tensión super�cial.

Sabiendo que el �uido de trabajo para el prototipo será agua, se pide:

d) . Calcular el caudal y la pérdida de presión que se producirá en el tubo del prototipo cuandoel �uido de trabajo sea agua.

d = 20 mm H = cte µ�uido viscoso = 0,1 Pa · s µagua = 0,001 Pa · sL = 750 mm Q = 10 l/min ρ�uido viscoso = 870 kg/m3 ρagua = 1000 kg/m3


66

pjgm

- rcl- 2014

3.3. Un pluviómetro ensayado con un �uido viscoso (2006-2007 2Q)

a)

b)

Figura 3.3: Esquema del viscosímetro.

67

pjgm

- rcl- 2014


3.4. Un pequeño amortiguador (2007-2008 2Q)

Se está trabajando en el diseño de un pequeño amortiguador cuyo esquema básico está repre-sentado en la Figura 3.4. El amortiguador consta de un pistón �jo concéntrico en el interior de unacamisa móvil. El volumen superior que crea el pistón y la camisa está lleno de aceite. El pistón yla camisa presentan una holgura e debido a la tolerancia de fabricación.

En el pistón se ha mecanizado un tubo capilar de diámetro muy pequeño que conecta la cámaracon la parte inferior del pistón. La geometría principal del amortiguador está representada en laFigura 3.4.

Cuando la camisa se mueve concéntricamente hacia el pistón a velocidad U constante, tomandolas hipótesis apropiadas y en el instante representado en la Figura 3.4, se pide:

a) . Determinar la expresión del per�l de velocidades del caudal de fuga que se puede produciren la holgura e entre pistón y camisa en función de la presión en la cámara

b) . Determinar la expresión del caudal de fuga que se puede producir en la holgura e entre pistóny camisa en función de la presión en la cámara

c) . Determinar la expresión del caudal de fuga que se puede producir en el tubo capilar dediámetro d en función de la presión en la cámara

d) . Si la camisa tiene una masa M , determinar la expresión de la fuerza F que se debe realizarsobre la camisa para mantener su velocidad constante U

e) . Tomando los datos de la Tabla 3.3, calcular el valor de la magnitud de la fuerza F

U = 1 mm/s D = 60 mm d = 0,5 mmL = 10 mm M = 1 kg ρ = 900 kg/m3 µ = 0,03 Pa · s


Figura 3.4: Esquema del amortiguador.

68

pjgm

- rcl- 2014

3.5. Dos líquidos insmiscibles entre dos placas (2008-2009 1Q)

3.5. Dos líquidos insmiscibles entre dos placas (2008-2009 1Q)

Dos líquidos inmiscibles e incompresibles circulan, debido a un gradiente de presión de�nidopor la presión en la entrada P0 y la presión a la salida PL situados a una distancia L, en ladirección x de una estrecha rendija horizontal de altura 2b (2b � L) y anchura - en la direcciónperpendicular al papel - muy grande, tal y como se muestra en la Figura 1.

La mitad de la altura de la rendija está llena del líquido A (la fase más densa y más viscosa),y la otra mitad está ocupada por el líquido B (la fase menos densa y menos viscosa).

Se pide:

a) . Determinar el per�l de velocidades de cada líquido.

Figura 3.5: Esquema del sistema..

Nota 1: Despreciar la acción de la gravedad.Nota 2: En la interfase (y = 0) debe cumplirse también la condición de no deslizamiento y la

3ª ley de Newton.

69

pjgm

- rcl- 2014


3.6. Transporte de aceite en una tubería (2008-2009 2Q)

Se desea transportar un aceite por el interior de una tubería a largas distancias. Para ahorraren el consumo de potencia requerida en este transporte se propone lubricar el interior de la tuberíamediante una �na capa de otro �uido inmiscible (por ejemplo agua) con una viscosidad menor ala del aceite de forma que envuelve el aceite y lubrica el movimiento. En la Figura 3.6 se muestraun esquema del interior de la tubería.

El aceite tiene una viscosidad alta µo. El agua tiene una viscosidad menor µw. La densidad deambos �uidos es aproximadamente la misma ρo = ρw = ρ. La tubería tiene un radio interior Rwy el radio para la interfase entre aceite y agua es Ro. Para que exista �ujo de aceite, se impone en

la tubería un gradiente de presión∂P

∂z= −∆P

L.

Asumiendo que la tensión super�cial puede ser despreciada, y así en todo momento agua yaceite son perfectamente concéntricos a la tubería y que el �ujo está totalmente desarrollado enla tubería, se pide1

a) . La condición para considerar que el �ujo en la tubería será viscoso

b) . Las condiciones de contorno en la interfase, conocido que ésta debe cumplirse la condiciónde no deslizamiento y la 3ª ley de Newton

c) . Determinar la expresión del per�l de velocidades para el agua y para el aceite

d) . Determinar la expresión de la velocidad en la interfase

e) . Determinar la expresión de la fuerza de rozamiento sobre la pared interior de la tubería

f) . Determinar la expresión del caudal volumétrico de aceite

g) . Si se desea optimizar el transporte de aceite, ¾cuál deberá ser el valor del radio de la vena deaceite Ro que maximiza el caudal volumétrico de aceite en la tubería? Tomar como conocidosy constantes µo, µw y ρo = ρw = ρ. Tomar como impuesto una valor constante del gradientede presión

Figura 3.6: Esquema de la instalación.

1Nota: Adoptar el Sistema de Coordenadas propuesto en la Figura 3.6.

70

pjgm

- rcl- 2014

3.7. Una minibomba para dosi�cación farmacéutica (2010-2011 1Q)

3.7. Una minibomba para dosi�cación farmacéutica (2010-2011 1Q)

En la Figura 3.7 se presenta el esquema de una minibomba para la dosi�cación farmacéuticade un �uido viscoso donde se indican sus dimensionas básicas. La minibomba consta, básicamente,de un cuerpo o cilindro, un émbolo de diámetro D y una aguja capilar de longitud L y diámetrointerior d. Cuando el émbolo se mueve a una velocidad constante vemb en la dirección indicada enla �gura, por el extremo de la aguja capilar sale un caudal constante y conocido Qcap, y por elextremo opuesto, existe un caudal de fuga debido a la holgura e entre el émbolo y el interior delcilindro. La carrera máxima del émbolo es C.

Dado que la holgura e entre el émbolo del pistón y el interior del cilindro es mucho más pequeñaque el diámetro del émbolo D, se puede suponer que la super�cie del émbolo y la del interior delcilindro son planas y paralelas entre sí.

Conocida la viscosidad del �uido µ y la densidad ρ constantes, se pregunta:

a) . Con los datos de la Tabla 1, ¾se puede considerar �ujo laminar en el interior de la agujacapilar? ¾Por qué?

b) . Determinar la expresión de la presión en la cámara Pc que se establece en la minibomba.Posteriormente, calcular el valor numérico mediante los datos de la Tabla 1

c) . Determinar la expresión del per�l de velocidades en la holgura entre émbolo e interior delcilindro en función de la carrera x.

d) . Determinar la expresión del caudal de fugas en la holgura entre émbolo e interior del cilindroen función de la carrera x.

e) . ¾En qué punto de la carrera del émbolo el caudal de fugas será un 0,5 % del caudal del capilarQcap? Calcular el valor numérico mediante los datos de la Tabla 1.

f) . Se pretende conectar el émbolo de la minibomba a un mecanismo que le produce un movi-miento sinusoidal harmónico de�nido por

x = C sin (2πft)

donde f es la frecuencia y t el tiempo. Tomando las hipótesis convenientes, se pide determinarla ecuación diferencial y las condiciones de contorno que permitirían encontrar el nuevo per�lde velocidades en la holgura entre émbolo e interior del cilindro. NO SE PIDE resolver laecuación diferencial.

Figura 3.7: Esquema de la minibomba.

71

pjgm

- rcl- 2014


3.8. Un cojinete cilíndrico (2010-2011 2Q)

En la Figura 3.8 se presenta el esquema de un eje cilíndrico de radio R1 y longitud L (perpen-dicular al papel) que es soportado mediante la distribución de presiones creada entre entre cilindroy base. El �ujo de aceite se suministra de forma continua mediante la entrada de un caudal vo-lumétrico constante Q a lo largo de una ranura de longitud L en el centro de la base (longitud Lperpendicular al papel). El �ujo de salida se produce de forma simétrica través del huelgo e entrela base de radio R2 y el eje de radio R1 y entre los ángulos θa y θb , tal y como se muestra en laFigura 3.8.

Dado que el huelgo e entre cilindro y base es más pequeño que el radio del cilindro, se puedesuponer que la super�cie del cilindro y la super�cie de la base son planas y paralelas entre sí.

Si la carga del cilindro es F , se pide:

a) . Determinar, sin sustituir ningún valor numérico, la expresión del per�l de velocidades en elhuelgo

b) . Determinar, sin sustituir ningún valor numérico, la expresión de la distribución de presionesen el huelgo en función del ángulo θ y del caudal volumétrico Q

c) . Determinar, sin sustituir ningún valor numérico, la expresión del caudal volumétrico Q quese debe suministrar para soportar la carga F .

d) . Tomando los datos de la Tabla 3.4, calcular el valor del caudal Q en [l/min]

Figura 3.8: Esquema del eje del cojinete y la base.

R1 = 50 mm R2 = 50,5 mm θa = 15 ◦ θb = 75 ◦

L = 500 mm F = 500 N ρselladora = 900 kg/m3 µselladora = 0,3 Pa · s


Nota:´x cos (x)dx = cos (x) + x sin (x)

72

pjgm

- rcl- 2014

3.9. Una selladora para una lámina metálica (2011-1012 1Q)

3.9. Una selladora para una lámina metálica (2011-1012 1Q)

En la Figura 3.9 se presenta el esquema de la aplicación de una selladora a una lámina metálica.La lámina metálica, de ancho L, es trasportada por dos rodillos pasando por el depósito A, porel aplicador subiendo hacia el depósito B. La velocidad de trasporte U se mantiene constante,de forma que la selladora (�uido viscoso) se aplica en las dos caras de la lámina metálica en elaplicador (ver Figura 2).

En el aplicador (ver Figura 3.10), la lámina metálica pasa centrada a una distancia e igualde las dos paredes. El espesor de la lámina metálica se puede considerar despreciable. En estasituación, se pide:

a) . Determinar la expresión de velocidad de transporte U óptima para que no se produzca �ujode selladora entre el los depósitos A y B (no caudal de selladora en el aplicador). Calcularel valor numérico de velocidad de transporte U óptima tomando los datos de la Tabla 1

b) . Determinar la expresión de la fuerza de rozamiento en la lámina metálica para la situacióndel apartado a). Calcular el valor numérico de la fuerza de rozamiento tomando los datos dela Tabla 1.

L = 2 m h = 0,5 m e = 1 mm ρselladora = 900 kg/m3 µselladora = 0,3 Pa · s


Figura 3.9: Esquema de los depósitos, la lámina metálica y el aplicador.

Figura 3.10: Detalle del aplicador (zona de estudio fuera de escala).

73

pjgm

- rcl- 2014


3.10. Una lámina entre dos �uidos viscosos (2012-2013 2Q)

En la Figura 3.11 se expone el esquema de un montaje de una lámina situada entre dos �uidosviscosos, solución colorante

(990 kg/m3 y 0,001 Pa · s

)y aceite

(9885 kg/m3 y 0,028 Pa · s

), que a

su vez se encuentran entre un tambor superior y otro inferior. La altura de la película de solucióncolorante es h = 1 mm y la de aceite es b = 0,5 mm, y en ambos casos para una profundidad(perpendicular al papel) de W = 2 m.

La lámina (de espesor y peso despreciables) es transportada, arrastrada, horizontalmente a unavelocidad constante U mediante el caudal constante Q = 830 l/min de solución colorante viscosa.Este caudal es conducido a la zona de imprimación de longitud L = 600 mm en la que se produceuna pérdida de presión de ∆p = 0,5 bar. Se pide:

a) . Calcular la velocidad de arrastre constante U de la lámina para las condiciones expuestas.

b) . Calcular el caudal de aceite arrastrado.

c) . Calcular el esfuerzo cortante del aceite con la super�cie del tambor superior.

d) . Si se sustituye el aceite por una grasa cuya ecuación reológica es:

τ = K

(dudy

)ncon K = 58 y n = 0,835 para τ en [Pa], calcular el esfuerzo cortante de la grasa con lasuper�cie del tambor superior.

Figura 3.11: Esquema de la lámina entre los dos �uidos viscosos. No está a escala.

74

pjgm

- rcl- 20144

Capa límite y �ujo externo

4.1. Un panel de abeja para el túnel aerodinámico (2005-2006 2Q)

En el túnel aerodinámico del Laboratorio de Mecánica de Fluidos queremos instalar un �panelde abeja� (honeycomb), que es un tablero formado por pequeños conductos paralelos al �ujo medio.Su �nalidad es eliminar la rotación del �ujo y los �ujos secundarios, y dirigir el �ujo medio en ladirección axial. Normalmente, los conductos tienen forma hexagonal, y de ahí su nombre.

Dado que el panel de abeja se instala antes de la contracción del túnel, la velocidad en el mismosuele ser baja. Considerando un diámetro del túnel D, y un panel de abeja de lado a y longitud l,estimar:

a) . La longitud máxima (lmax) que puede tener el panel de forma que la capa límite formada enlos conductos pueda ser considerada laminar para una velocidad no perturbada U .

b) . La fuerza que ejerce el aire sobre el panel de abeja.

c) . La pérdida de presión sufrida por el aire al atravesar el panel de abeja, y el coe�ciente de

pérdida de presión, K =∆P12ρU

2.

d) . Aplicar los resultados de los apartados anteriores al caso particular del túnel del laboratorio,donde D = 120 cm, U = 15 m/s, a = 0,95 cm y l = 7 cm .

Nota: el área de un hexágono de lador a es A = 3√

3a2

2.

75

pjgm

- rcl- 2014

4. Capa límite y flujo externo

4.2. Capa límite y una célula de carga (2006-2007 1Q)

En el �ujo de aire a 20 ◦C y 1 atm de presión (µ = 1,5× 10−5 m2/s) sobre una placa plana (ver

Figura 4.1) se usa una célula de carga para determinar el esfuerzo tangencial producido en la capalímite. A 2 metros del borde de inicio de la capa límite se mide un esfuerzo tangencial de 2,1 Pa.

a) . Suponiendo que la capa límite es laminar, calcular la velocidad U del �ujo incidente.¾Esválida la hipótesis de capa límite laminar? ¾Por qué?

b) . Suponiendo ahora capa límite turbulenta desde el inicio de la misma, volver a calcular U y,

c) . calcular el espesor de la capa límite sobe la célula de carga.

Figura 4.1: Esquema de la placa y la célula de carga.

76

pjgm

- rcl- 2014

4.3. La vela de un yate de competición (2006-2007 2Q)

4.3. La vela de un yate de competición (2006-2007 2Q)

En la última Copa América, los yates tienen una vela principal que puede considerarse de formarectangular. Queremos estimar el arrastre que produce esta vela cuando el yate está en reposo.

Para simpli�car, supondremos que la vela está perfectamente alineada con el viento (ángulo deincidencia cero), y que, debido a las interferencias del yate, el mástil, etc..., la capa límite sobre lamisma es en todo momento turbulenta.

El problema principal reside en el hecho de que, como la vela es muy alta, la distribución develocidad no es uniforme, sino controlada por la capa límite atmosférica, que debe considerarsetambién turbulenta.

Con las dimensiones de la Figura 4.2, estima:

a) . el valor de la fuerza de arrastre producido por la vela y el coe�ciente de arrastre y

b) . el error que se cometería si se considerase la velocidad del viento incidente como uniforme.

c) . Aplica los resultados anteriores al caso particular de los datos de la Tabla.

H 30 mh0 2 mδ 100 mL 7 mU∞ 10 m/s

Figura 4.2: Esquema del yate.

Nota 1: Considerar la capa límite atmosférica como la aproximación en potencia u(y) =

U∞

(yδ

) 17

.

Nota 2: Una vela tiene 2 caras.

77

pjgm

- rcl- 2014


4.4. El rotor de un helicóptero (2007-2008 1Q)

Aproximemos el rotor de un helicóptero como dos placas rectangulares planas de longitud 2R,ancho L y espesor menospreciable, cruzadas en el centro formando un ángulo recto (ver Figura 1).

a) . Asumiendo que el número de Reynolds crítico de la capa límite sobre la super�cie de lasplacas es 106, calculad la velocidad angular a la que deberá girar al rotor para que toda lacapa límite en las palas sea laminar.

b) . En el caso del apartado a), calculad el espesor máximo de esta capa límite en el externo decada pala y

c) . el momento que debemos hacer sobre el eje del rotor para mantener este movimiento, asícomo la potencia necesaria.

d) . Calculad la velocidad máxima de rotación para que no sea necesario considerar la compre-sibilidad del aire (Ma < 0.3)

e) . En el caso del apartado d), asumiendo que toda la capa límite sobre las palas es turbulenta,y con la aproximación de per�l de velocidad con potencia 1/7, calculad la potencia necesariapara mantener esta velocidad.

f) . Aplicad los resultados anteriores al caso:

ρ 1,2 kg/m3

µ 1,5× 10−5 Pa · sR 5 mL 0,3 mc 340 m/s

Figura 4.3: Esquema del rotor del helicóptero.

78

pjgm

- rcl- 2014

4.5. Un ala delta (2007-2008 2Q)

4.5. Un ala delta (2007-2008 2Q)

Se quiere fabricar un ala delta de altura H y de base 2B como se muestra en la Figura 4.4a.De las pruebas en laboratorio, con aire en condiciones estándar se sabe que la capa límite sobreeste material es turbulenta a partir de un cierto Recr. Se pide:

a) . Encontrar una expresión para el coe�ciente de arrastre CD del ala en función de ReH paraReH < Recr

b) . Si la velocidad es tal que una parte de la capa límite es turbulenta, el ala se puede dividir en3 regiones como se muestra en la Figura 4.4b. Utilizar este esquema para estimar el valor delcoe�ciente de arrastre CD del ala en función de ReH para ReH > Recr. El resultado puedeexpresarse en función de BI y Lcr.

(a) Esquema del ala delta (vista en planta)

(b) Esquema de las regiones del ala delta (vista en planta)

Figura 4.4: Esquemas de ala delta.

Nota: Para la capa límite turbulenta usar la aproximación de per�l de velocidadesv

V=(yδ

) 17

.

79

pjgm

- rcl- 2014


4.6. Un aerogenerador y la capa límite atmosférica (2008-2009 1Q)

Se está trabajando en el prediseño de un aerogenerador como el presentado en la Figura 4.5.El aerogenerador consiste en cuatro palas de área H ×L y espesor muy pequeño. Para simpli�car,se supondrá que las palas están perfectamente alineadas con el viento (ángulo de incidencia cero).

Debido a que el aerogenerador será de altura considerable, la distribución de velocidad deviento no se puede considerar uniforme, sino controlada por la capa límite atmosférica, que debeconsiderarse turbulenta con la aproximación en potencia,

u (y)

U∞=(yδ

) 17

En una primera fase del prediseño, se estudiará únicamente la pala inferior con la marca 1 enla Figura 4.5, y las dimensiones R y h se consideraran despreciables. Con las dimensiones de laFigura 4.5, se pide:

a) . Si se desea que la pala con marca 1 trabaje bajo una capa límite que en todo momento sealaminar, determinar la expresión para el valor máximo de su longitud L.

Si L es tal que la capa límite en todo momento es laminar,

b) . Determinar la expresión de la fuerza de arrastre producida en la pala con marca 11.

c) . Determinar la expresión del coe�ciente de arrastre de la pala con marca 1.

d) . Determinar la expresión del par de freno que se debe realizar debido al arrastre sobre la palacon marca 1.

e) . Aplicar las expresión anteriores para el caso particular de los datos: H = 15 m, L = 50 cm,δ = 100 m, U∞ = 10 m/s, ρ = 1,2 kg/m3 y µ = 1,5× 10−5 m2

/s

Figura 4.5: Esquema del aerogenerador.

1Nota: Una pala tiene 2 caras.

80

pjgm

- rcl- 2014

4.7. Flujo uniforme penetrando entre dos placas (2008-2009 2Q)

4.7. Flujo uniforme penetrando entre dos placas (2008-2009 2Q)

Un �ujo uniforme V∞ en la dirección x penetra entre dos placas planas paralelas y lisas siendosu altura D en la dirección y. La capa límite creada crece hasta llegar a la zona media entreplacas. En este momento, la capa límite inferior y superior interaccionan y se evita su posteriorcrecimiento. Suponiendo que la velocidad de entrada es uniforme y que la velocidad en el exteriorde la capa límite no es afectada por la misma, se pide:

a) . Considerando que Rex crítico es 106, calcular el ReD ≡V∞D

νpara el cual el �ujo desarrollado

entre las placas es turbulento.

b) . Conocida la ley logarítmica, v+ = 1κ ln y+ + B, y menospreciando los efectos de la subcapa

laminar, encontrad una relación entre τp y V∞ en la zona de �ujo turbulento completamentedesarrollado2

c) . Si en la zona de �ujo desarrollado se mide un esfuerzo tangencial τp = 20 Pa con aire(1,25 kg/m3 y 1,5× 10−5 m2

/s), estimad el valor V∞ y ReD y el espesor de la subcapa laminarasumiendo y+ ≈ 10(κ = 0,4 y B = 5)

Figura 4.6: Esquema de las placas.

2Nota: ˆln (Ax) dx = x ln (Ax) − x

lımx→0

x lnx = lımx→0

lnx1x

= 0

81

pjgm

- rcl- 2014


4.8. Un túnel aerodinámico (2009-2010 1Q)

El túnel de viento de un laboratorio de aerodinámica tiene una sección de prueba cerradade sección transversal cuadrada, de lado L = 450 mm constante. La velocidad de �ujo libre (noperturbado) en la entrada de la sección es U1 = 25 m/s, y las mediciones muestran en este puntouna capa límite de espesor δ1 = 9 mm, con un per�l turbulento, en forma de �potencia 1/7�. El

gradiente de presiones en toda la sección de prueba se ha medido comodpdx

= −0,0015 mm.c.a./mm.

Se pide3

a) . Calcular, usando la forma aproximada de potencia, el esfuerzo de pared y los espesores dedesplazamiento y cantidad de movimiento en el punto 1.

b) . Calcular la velocidad de fricción u∗, y la y+ hasta la que se extiende la capa límite en elpunto 1.

c) . Calcular el gradiente del espesor de cantidad de movimiento,dθdx

, en el punto 1.

d) . Evaluar el espesor de la capa límite en la parte �nal de la sección de prueba, punto 2, situadouna distancia D = 300 mm aguas abajo del punto 1.

e) . Si se quiere mantener la capa límite en el interior de la sección de prueba con espesoruniforme, estimar el valor del gradiente de presión necesario, que será creado mediante unaconveniente divergencia de la sección transversal del conducto.

3Nota: aire en condiciones estándar, ρ = 1,225 kg/m3 y µ = 1,5 × 10−5 m2/s.

82

pjgm

- rcl- 2014

4.9. Un tubo de Pitot en un conducto curvo (2009-2010 1Q)

4.9. Un tubo de Pitot en un conducto curvo (2009-2010 1Q)

En la Figura 4.7a se presenta el esquema de una instalación compuesta por un conducto desección recta cuadrada de lado L. El conducto está formado por un tramo recto seguido por untramo curvo de radio medio Rm. En la parte inferior del tramo curvo se ha instalado un tubo dePitot de diámetro D. El tubo de Pitot tiene un ori�cio situado a un radio Rp.

En el tramo recto del conducto se puede considerar �ujo uniforme. Sin embargo, en el tramocurvo se va a suponer un �ujo de vórtice libre. Si por el conducto circula un caudal de aguaconstante Q, se pide:

a) . Determinar la expresión del per�l de velocidades en la sección del conducto donde el tubode Pitot está instalado, radial entre puntos A y B

b) . Determinar la expresión la diferencia de altura piezométrica en la sección del conducto dondeel tubo de Pitot está instalado, radial entre puntos A y B

c) . Tomando los datos de la Tabla 4.1, calcular el valor de la velocidad para el radio Rp dondeestá situado el ori�cio

d) . Tomando los datos de la Tabla 4.1, calcular la diferencia de altura piezométrica entre lospuntos A y B

Se estudia ahora la parte del tubo de Pitot que se encuentra dentro del conducto (pintado de colorgris en la �gura) y no teniendo en cuenta la in�uencia del ori�cio, entonces se puede considerar estaparte del tubo de Pitot como un cilindro de altura L/2 y diámetro D. El coe�ciente de arrastre enfunción de Reynolds puede aproximarse al resultado experimental presentado en la Figura 4.7b.Se pide:

e) . Determinar la expresión del momento que se produce en la base (marcada en el esquema dela Figura 4.7a) del tubo de Pitot

a) . Tomando los datos de la Tabla 1, calcular el valor de del momento que se produce en la base

L = 2 m h = 0,5 m e = 1 mm ρselladora = 900 kg/m3 µselladora = 0,3 Pa · s


Nota: la parte cilíndrica del tubo de Pitot en el interior del conducto se comporta como �ujoexterno.

83

pjgm

- rcl- 2014


(a) Esquema de la instalación.

(b) CD del �ujo alrededor de un cilindro.

Figura 4.7: Tubo de Pitot en el interior del conducto.

84

pjgm

- rcl- 2014

4.10. Una aleta en un per�l aerodinámico (2009-2010 2Q)

4.10. Una aleta en un per�l aerodinámico (2009-2010 2Q)

En la Figura 4.8 se presenta el esquema que pretende hacer el estudio de las pequeñas �aletas�que a veces se colocan sobre la super�cie de un per�l aerodinámico.

El modelo propuesto a estudio son dos placas planas delgadas lisas, una en posición horizontalrespecto al �ujo no perturbado y otra placa en posición vertical, formando un ángulo de 90º conla placa horizontal, tal y como se muestra en la Figura 4.8.

Un �ujo de de aire de velocidad constante U = 40 m/s incide sobre la placa horizontal y suspropiedades físicas se pueden considerar constantes (1,2 kg/m3 y 1,5× 10−5 m2

/s ).Se pide para diseñar y dimensionar la placa plana vertical:

a) . Calcular la fuerza de arrastre que se produce en la placa plana horizontal debido únicamentea la capa límite laminar, desde el borde de ataque a Xlam. Tener en cuenta las dos caras dela placa y que el ancho de la placa plana horizontal es de b = 220 mmb = 220 mm.

b) . Calcular la distancia Xini a la que se debe situar el inicio de la placa plana vertical de formaque esta distancia sea 20 veces la distancia Xlam de la capa límite laminar formada en laplaca plana horizontal Xini = 20Xlam.

c) . Calcular la altura H de la placa plana vertical en el punto Xini que corresponde al espesorde la capa límite turbulenta.

d) . Supongamos ahora que a partir del punto Xini la capa límite turbulenta sobre la placa planahorizontal no evoluciona más, de forma que su per�l de velocidades cumple un per�l expo-

nencial del tipo u(y) =(yδ

) 17

donde δ ≡ H se mantiene constante a partir de Xini. Además,

supongamos que la capa límite en todo la placa plana vertical es turbulenta. Entonces, cal-cular la longitud B de la placa plana vertical para que la fuerza de arrastre producida en ellasea la misma que la obtenida en el apartado a). Tener en cuenta las dos caras de la placa.

e) . Calcular el coe�ciente de arrastre de la placa plana vertical.

Figura 4.8: Esquema del per�l y la aleta.

85

pjgm

- rcl- 2014


4.11. Una cinta deslizante en los ensayos de F1 (2010-2011 1Q)

En los túneles aerodinámicos para F1 se usa una cinta deslizante para evitar la formación dela capa límite que falsearía los resultados., modi�cando, entre otros el �efecto suelo�.

Se quiere estimar el error que se comete en el cálculo del CD cuando no se pone en marcha lacinta deslizante. Se va a considerar como �coche� de F1, a escala 1:2, un bloque de dimensiones1000×500×2500 mm (ancho × alto × largo), y separado del suelo una distancia de 50 mm. La sec-ción de pruebas del túnel es rectangular, y tiene una altura de 3000 mm. La capa límite turbulentaformada en esta sección está completamente desarrollada, de forma que se puede considerar quesu espesor es la mitad de la altura de la sección de pruebas, 1500 mm. En la mitad de la secciónde pruebas, la velocidad del aire (1,25 kg/m3 y 1,5× 10−5 m2

/s) es de 80 m/s.

a) . Usando la aproximación de capa límite turbulenta en forma de potencia 1/7, estima lavelocidad de incidencia del aire en la parte inferior, vb, y en la parte superior, vt, del bloque.

b) . Justi�cad, usando como referencia el valor de CD obtenido de la Tabla 4.2 y un valor pro-medio de la velocidad entre la parte inferior y la parte superior, que el arrastre por fricciónen las paredes del bloque debido a las capas limites creadas, es menospreciable. Consideradestas capas límites como turbulentas.

c) . Calculad la fuerza de arrastre, usando elementos de bloque en forma de capas horizontalesy el valor de CD de la Tabla 4.2, sobre el bloque.

d) . Calculad el coe�ciente de arrastre y comparad con el valor de la Tabla 4.2.

Tabla 4.2: Coe�cientes de arrastre, basados en el área frontal, para secciones rectangulares.

Figura 4.9: Esquema del bloque modelo de F1.

86

pjgm

- rcl- 2014

4.12. Capa límite turbulenta sobre una barra articulada (2010-2011 2Q)

4.12. Capa límite turbulenta sobre una barra articulada (2010-20112Q)

Una barra de diámetro D y longitud L se mantiene de forma vertical con su centro a una alturaH > L/2 del suelo. Sobre la barra incide un �ujo horizontal de aire (conocidas ρ y µ). La barraestá articulada por su centro sobre un eje paralelo al suelo y normal al �ujo.

Se sabe que el �ujo incidente es una capa límite turbulenta, con una velocidad no perturbadaU∞ y un espesor en la posición de la barra δ.

Con los valores de la tabla 4.3, y con la hipótesis de que la barra no afecta de forma apreciablea la capa límite, calcular:

a) . El valor del esfuerzo tangencial sobre el suelo, justo debajo de la barra, τp .

b) . El espesor de la subcapa laminar, δl, creada en el suelo debajo de la barra.

c) . El rango de frecuencias de los vórtices de von Kármàn que genera la barra.

d) . Considerando que el coe�ciente aerodinámico de arrastre para un cilindro es CD = 1,17,estimar el momento en el eje de rotación que crea este �ujo sobre la barra.

D 1 cmL 10 cmH 25 cmδ 50 cmU∞ 50 m/sρ 1,25 kg/m³

µ 1,8× 10−5 kg/m·s

Tabla 4.3: Valores numéricos del problema

Figura 4.10: Esquema de la barra y el �ujo incidente, en per�l y en planta.

87

pjgm

- rcl- 2014


4.13. La paradoja de Gray (2011-2012 2Q)

En los años 40 el zoólogo Sir James Gray llamó la antención sobre el hecho de que la velocidad de

los del�nes sólo puede ser mantenida con una potencia muscular muy superior a la correspondiente

a su masa muscular, comparándola con la potencia de otros mamíferos. Ésta es la conocida como

la paradoja de Gray.

Los del�nes pueden llegar a desarrollar una velocidad, sumergidos en agua, de 11 m/s. Se puedesimpli�car la forma de un delfín a un elipsoide de revolución de 2 metros de largo y una relaciónmáxima de espesor/longitud de 1:6.

a) . Según los datos experimentales, el coe�ciente de arrastre de un elipsoide estas características,con super�cie lisa, es, para �ujo turbulento, CD ≈ 0,1. Calcula la potencia que necesitadesarrollar un delfín para mantener su velocidad.

b) . Otra posibilidad es que, debido a la rugosidad super�cial del elipsoide, el �ujo se separemucho más tarde y el arrastre sea debido, principalmente, a la fricción. Como caso extremose puede considerar que todo el arrastre es debido a la fricción producida por la capa límiteturbulenta. Sabiendo que el volumen de un elipsiode de revolución es

V =4

3πab3

y que su área es

A = 2πb2 +2πa2b√a2 − b2

arcsin

(√a2 − b2a

)donde a es el semieje mayor de la elipse y b el semieje menor, calcula las dimensiones de unasuper�cie plana equivalente, el coe�ciente de arrastre y la potencia necesaria para mantenerla velocidad.

c) . Los músculos que realizan esta potencia para nadar se encuentran en la espina y tienen unamasa típica de 36 kg. Asumiendo que tienen una e�ciencia del 75 %, calcula la potencia porunidad de masa muscular que desarrolla un delfín en el segundo caso (arrastre por fricción).Compara con el caso de 40 W/kg de un hombre corriendo y saca conclusiones.

Este problema ha sido adaptado de uno propuesto en el libro �Aerodynamics for EngineeringStudents�, de Houghton y Carpenter.

A título informativo, últimamente la paradoja de Gray se ha resuelto de forma experimental yse ha llegado a la conclusión de que no hay tal paradoja: los del�nes realmente desarrollan muchamás potencia muscular que la mayoría de los mamíferos.

88

pjgm

- rcl- 2014

4.14. Un cilindro en un �ujo central (2012-2013 1Q)

4.14. Un cilindro en un �ujo central (2012-2013 1Q)

Para bajo número de Reynolds (Re / 100) el coe�ciente de arrastre para un cilindro , con �ujoperpendicular a su eje, se puede aproximar como

CD ≈10

Re

Un cilindro, de masa M , con radio R, y altura L (mucho mayor que R) en la dirección z, seencuentra sometido a la acción de un �ujo bidimensional con forma de fuente, de intensidad m,centrado en (x = 0, y = 0)

vr =m

r

y con viscosidad ν.El cilindro se halla, para t = 0, a una distancia r0 del centro de coordenadas.

a) . Suponiendo que Re < 100, ¾Que fuerza actúa sobre el cilindro en el instante inicial?

b) . Encuentra la ecuación diferencial que relaciona la velocidad del cilindro, vc, con su distanciaal origen de coordenadas, r

c) . En los primeros instantes, en que la velocidad del cilindro es muy pequeña, la ecuacióndiferencial se puede resolver de forma sencilla. Encuentra la forma de vc(r) para tiempo muypequeño

d) . ¾Como se comportará esta vc(r) para tiempos mayores? ¾Tenderá de forma asintótica a unvalor constante, o tenderá a in�nito? ¾Tendrá un máximo? ¾O varios? ¾Y un mínimo?

89

pjgm

- rcl- 2014


4.15. Un protector para el radiador de un automóvil (2012-2013 1Q)

Se está trabajando en el prediseño de un protector de radiador de un coche formado por placasverticales como el mostrado en el esquema de la Figura 1. Cada placa se ha predimensionadoa L = 100 mm y B = 400 mm, y cuyo espesor e se considerará despreciable. Para caracterizareste protector, se ensaya en aire a condiciones normales

(1, 2 kg/m3, 1, 8× 10−5 Pa · s

)y para una

velocidad de U0 = 120 km/h. Se pregunta:

a) . Calcular la separación entre placas mínima Hmin para que el espesor de cada capa límiteformada entre dos placas se encuentren al �nal de las mismas, es decir, para x = L.

Se decide que la separación entre placas sea superior a la mínima y de valor H = 15 mm. Así, sesabe que la velocidad U0 no se mantiene constante a medida que avanza entre las placas debidoal crecimiento de la capa límite. Se pide:

b) . Evaluar la nueva velocidad U∗ entre las placas en el punto x = L. Para ello, calcula primeroel espesor de desplazamiento y utiliza este valor y su concepto para evaluar U∗.

c) . Calcular la fuerza de arrastre que se produce en cada placa. Tomar en este caso la aproxi-mación de velocidad constante sobre toda la placa, U0.

Por último, se desea caracterizar aerodinámicamente de forma aproximada la protección del ra-diador. Si la protección del radiador dispondrá de un número de placas n = 33 placas y el área depaso de �ujo para todo el radiador se toma una super�cie aproximadamente S = B×D = 0,2 m2,se pide

d) . Proponer y estimar el coe�ciente de arrastre global del radiador

e) . Calcular la diferencia de presiones que se producirá en el �ujo a través del radiador

f) . Calcular la potencia mínima requerida por un ventilador si el coche está inmóvil y el �ujode U0 es generado por el ventilador

Figura 4.11

90

pjgm

- rcl- 2014

4.16. Otro ala delta (2012-2013 2Q)

4.16. Otro ala delta (2012-2013 2Q)

Un ala delta tiene una envergadura s y una longitud l, con forma de triángulo (Figura 4.12).

Considerando que es una super�cie plana, el coe�ciente de sustentación y el de arrastre se pueden

aproximar como

Cl =Cl0

1 +Cl0πAR

; Cl0 = 2πα

Cd = Cd0 +C2l

0, 7πAR; Cd0 = 1, 28 sin(α)

donde AR =s2

Aes la relación de aspecto del ala (A es la super�cie de la misma) y α es el

ángulo de incidencia, en radianes.Un piloto quiere volar con este ala delta en una super�cie plana con un viento en contra, con

velocidad vw, corriendo a una velocidad vp. El peso del ala y el piloto es W .

a) . Con los datos de la tabla, calcula la velocidad de viento necesaria para anular el peso yempezar a elevarse.

b) . Si el piloto no modi�ca ni la dirección, ni el ángulo de incidencia, calcula el tiempo quetardará en pararse.

ρ s l α W vp

1, 2 kg/m3 10 m 4 m 15◦ 100 Kg 5 m/s

Figura 4.12: Esquema del ala delta en per�l y en planta.

91

pjgm

- rcl- 2014

pjgm

- rcl- 20145

Flujo compresible

5.1. Tobera convergente-divergente de un cohete (2006-2007 1Q)

Se dispone de los datos básicos de diseño de la boquilla de propulsión para un cohete a operara 20 km de altitud. La expresión para la fuerza de empuje en una boquilla de propulsión de uncohete se determina mediante balance integral de cantidad de movimiento obteniéndose,

FE = mus + (ps − pamb)Ss

donde, FE es la fuerza de empuje, m es el �ujo másico de los gases de combustión a través dela boquilla, us es la velocidad de los gases de combustión a la salida de la boquilla, ps la presióna la salida de la boquilla, pamb es la presión atmosférica ambiente que rodea la boquilla y Ss es elárea de salida de la boquilla

La boquilla consiste en una tobera convergente-divergente (ver Figura 5.1), cuya parte conver-gente está conectada a la cámara de combustión y la parte divergente tiene su salida a la atmósfera(salida de la boquilla). El hidrógeno líquido y el oxigeno se queman en la cámara de combustiónproduciendo gases de combustión a 30 bar de presión y 3500 K de temperatura.

El área de la garganta de la tobera es de Sg = 0,4 m2. El área de salida de la tobera, estádiseñada para que la presión a la salida de la boquilla sea exactamente igual a la presión atmosféricaambiente que rodea la boquilla, que a la altura de diseño a operar de 20 km tiene un valor poratmósfera estándar de 5529 Pa.

Se debe asumir que el �ujo a través de la tobera es isentrópico y adiabático, teniendo unarelación de calores especí�cos de valor γ = 1,22 y la constante de los gases r = 520 J/kg·K. Asumirtambién que el �ujo a través de la tobera es el máximo.

Teniendo en cuenta todo lo expuesto, se pide:

a) . ¾Está bloqueada la tobera?

b) . Calcular los valores de temperatura, densidad y velocidad del sonido en la sección de lagarganta

c) . Calcular el �ujo másico

d) . Calcular el número de Mach a la salida de la boquilla

e) . Calcular la fuerza de empuje

f) . Calcular el área de salida de la boquilla

Se piensa en construir un modelo a escala 1:10 de la boquilla y se ensaya en un laboratorio. En elensayo, se mantienen las condiciones de presión y temperatura en la cámara de combustión y de�ujo másico máximo. Además, se hace la hipótesis de que la boquilla consigue que la presión a lasalida de la tobera sea exactamente igual a la presión atmosférica ambiente que rodea la boquilla.En estas condiciones y aplicando análisis dimensional y semejanza, se pide:

93

pjgm

- rcl- 2014

5. Flujo compresible

g) . Calcular la fuerza de empuje que se mediría en el modelo

Figura 5.1: Esquema de la tobera convergente-divergente.

94

pjgm

- rcl- 2014

5.2. Un túnel aerodinámico supersónico (2009-2010 2Q)

5.2. Un túnel aerodinámico supersónico (2009-2010 2Q)

En un túnel aerodinámico supersónico, el aire en un depósito de volumen V = 1 m3 es calentadoy presurizado hasta las condiciones T0 = 500 K y p0 = 30 bar. La sección de prueba es cuadradade 15 cm de lado y se quiere poder llegar a Ma=4 en la misma

a) . ¾Cuál deberá ser el área de la garganta? ¾Cuál será el �ujo másico en el instante inicial? (1punto)

b) . ¾Qué presión deberemos tener en el depósito de descarga si queremos que se produzca unaonda de choque normal justo en la sección de prueba? ¾Con qué velocidad y temperaturadescargará el aire en este caso?

c) . ¾Qué presión máxima deberemos tener en el depósito de descarga si no queremos que seproduzca ninguna onda de choque, al menos inicialmente?

d) . Si la presión en el depósito de descarga es de 10 mbar, ¾durante cuánto tiempo tendremosMa=4 en la sección de prueba?

e) . Insertamos un obstáculo en forma de cuña de 2 × 15◦ = 30◦ bidimensional en la secciónde pruebas, como se muestra en la �gura. ¾Qué angulo formará la primera onda de choqueoblicua creada? ¾Cuánto vale Ma2?

h = 15 cmT0 = 500Kp0 = 30barV = 1m3

θ = 15◦β1

2

Figura 5.2: Esquema de la instalación del túnel aerodinámico supersónico.

95

pjgm

- rcl- 2014

5. Flujo compresible

5.3. Flujo de un depósito bloqueado con un Venturi (2011-2012 1Q)

Un depósito muy grande de aire se encuentra en condiciones p0 y T0. Un cierto �ujo másico deeste aire, m, se hace circular por un conducto.

a) . Encuentra una relación entre el �ujo másico m, el área del conducto, A, y el número de Machen el mismo, Ma. Exprésala en forma adimensional.

b) . Si p0 = 101 kPa, T0 = 293 K y el �ujo másico tiene que ser m = 120 kg/s con un Ma = 0,5,calcula el diámetro del conducto circular.

c) . Si queremos bloquear el �ujo, manteniendo el mismo m, insertamos un tubo Venturi. ¾Quédiámetro tendrá que tener el estrechamiento del tubo Venturi?

d) . Si el tubo Venturi que insertamos tiene un diámetro de estrechamiento menor que el calcu-lado, ¾qué ocurrirá? ¾se mantendrá m? ¾Será mayor o menor?

96

pjgm

- rcl- 2014

5.4. Tobera convergente-divergente parabólica (2011-2012 2Q)

5.4. Tobera convergente-divergente parabólica (2011-2012 2Q)

Un depósito a 500 K alimenta con aire (γ = 1,4) a una tobera convergente-divergente que seha diseñado mediante una distribución parabólica de su área en la forma

A(x)[m2]

= 1 + 2(x− 1)2 ,con 0 ≤ x ≤ 2 m

donde la sección de área mínima Ag se sitúa en la garganta para x = 1 m.En la sección de salida de área As , situada enx = 2 m, se conoce una presión de estancamiento

p0s = 188 kPa y una presión estática ps = 174 kPa cuando el gasto másico es de 584 kg/s.Se pide

a) . Dibujar un esquema de la tobera y marcar los puntos importantes en la misma que seránutilizados en los posteriores apartados.

b) . Determinar la velocidad en la sección de salida vs (x = 2 m)

c) . ¾Está la tobera bloqueada? Contestar la pregunta calculando la presión en el depósito p0d

d) . ¾Está la tobera adaptada (condiciones de diseño)? Contestar la pregunta calculando la pre-sión que habría en la sección de salida ps,adaptada si la tobera estuviese adaptada.

e) . ¾Existe una onda de choque en la tobera? Si es así, determinar la posición x en la que sesitúa en la tobera.

97

pjgm

- rcl- 2014

pjgm

- rcl- 2014Índice alfabético

émbolo, 63, 71

aceite, 70aerogenerador, 80ala delta, 79, 91aleta, 85amortiguador, 68anemómetro, 21

barra articulada, 87bomba de chorro, 50

célula de carga, 76capa límite, 76, 90capa límite atmosférica, 77, 80capa límite turbulenta, 79, 86�88capilar, 71casquete semiesférico, 39cilindro, 63, 71, 89cinta deslizante, 86coe�ciente aerodinámico, 87coe�ciente de arrastre, 88�90cohete, 93cohete de agua, 49cohete de vapor, 57cojinete cilíndrico, 72compuerta, 32conducto curvo, 83conducto piezoeléctrico, 46

de�ector móvil, 41

efecto suelo, 86esfuerzo tangencial, 76, 81espesor de cantidad de movimiento, 82espesor de desplazamiento, 82, 90eyector, 50

�ujo bloqueado, 96freno con aire comprimido, 42fugas, 63

hélice de un avión, 35helicóptero, 60, 78

honeycomb, 75hovercraft, 48

instrumento para medir densidad y tensiónsuper�cial, 27

inyector, 45

líquidos insmiscibles, 69ley logarítmica, 81llenado de tanques, 37

minibomba, 71

onda de choque, 97onda de choque normal, 95onda de choque oblicua, 95

panel de abeja, 75paradoja de Gray, 88per�l aerodinámico, 51, 85pistón, 46, 63placas, 81presa hidráulica, 15

rotámetro, 54rotor, 78

selladora, 73subcapa laminar, 81, 87

túnel aerodinámico, 75, 82túnel aerodinámico supersónico, 95tobera adaptada, 97tobera bloqueada, 97tobera convergente-divergente, 93, 97tubería, 70tubo capilar, 13, 15tubo de Pitot, 13, 83tubo Venturi, 96turbina, 47, 53turboreactor, 56

válvula de aire, 58vórtices de von Kármàn, 87

99

pjgm

- rcl- 2014

Índice alfabético

vela, 77velocidad de fricción, 82Viscosímetro, 16viscosímetro, 31, 65

yate, 77

100

pjgm

- rcl- 2014

ejercicios y problemas de mecÁnica de fluidos colecciÓn de exÁmenes de … 2b... · 2017. 2....

Documents