ejercicios resueltos de matematica

EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA Matemtica Bsica y Matemtica para Ciencias de la Salud MATEMATICA53.WEBNODE.CL

Claudio Gaete Peralta

2013

Claudio Gaete Peralta matematica53.webnode.cl

CLAUDIO GAETE PERALTA

MATEMATICA53.WEBNODE.CL

TABLA DE CONTENIDOSTABLA DE CONTENIDOSTABLA DE CONTENIDOSTABLA DE CONTENIDOS

INTRODUCCION ................................................................................................................... 3

ECUACIONES ........................................................................................................................... 4

EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................................... 8

FUNCIONES .............................................................................................................................. 9

EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................................. 18

LIMITES .................................................................................................................................... 20


CONTINUIDAD .................................................................................................................... 24


DERIVADAS ............................................................................................................................ 28


EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMTICA

3

INTRODUCCION

Estos apuntes fueron diseados con el fin de complementar el aprendizaje matemtico junto con lo visto en clases. Se presentan diversos ejercicios resueltos y propuestos, principalmente para carreras de Ciencias de la Salud.



ECUACIONES

1. Resuelva la ecuacin ! " # = 1.

Solucin: Como el discriminante de &' + & + 1 es negativo y el coeficiente que acompaa a &' es positivo, tenemos que &' + & + 1 > 0 para todo nmero real. De esta forma, no hay restricciones previas para resolver la ecuacin. Resolviendo, tenemos

&' + 5& + 6&' + & + 1 = 1/ (&' + & + 1) &' + 5& + 6 = &' + & + 1

5& + 6 = & + 1 4& = 5 & = 54 Lo que resuelve el ejercicio 2. Resuelva la ecuacin '4#' # = 54' Solucin: En primer lugar, debemos notar que tenemos las siguientes restricciones

2& + 1 0 & #' & 2 0 & 2

Con esto, tenemos que de existir una solucin, sta no puede ser #' ni 2. Procedamos a resolver la ecuacin. Multiplicando cruzado, tenemos que:

(2& 1)(& 2) = (2& + 1)(& + 3) 2&' 4& & + 2 = 2&' + 6& + & + 3 5& + 2 = 7& + 3 1 = 12& ##' = &


5

3. Resuelva la ecuacin (& + ;)' (& ;)' = (; +



5. Este ejemplo explica el por qu es necesario hacer restricciones antes de empezar a Este ejemplo explica el por qu es necesario hacer restricciones antes de empezar a Este ejemplo explica el por qu es necesario hacer restricciones antes de empezar a Este ejemplo explica el por qu es necesario hacer restricciones antes de empezar a resolver una ecuacin.resolver una ecuacin.resolver una ecuacin.resolver una ecuacin. Resuelva la ecuacin "E4FE #' + 'E4GE 5 5E4!E G = 0

Solucin: Tenemos que

6;' 7; + 12 + 2;' 4; + 3 3;' 5; + 4 = 0 6(; 3)(; 4) + 2(; 1)(; 3) 3(; 1)(; 4) = 0/ (; 3)(; 4)(; 1) 6(; 1) + 2(; 4) 3(; 3) = 0 6; 6 + 2; 8 3; + 9 = 0 5; 5 = 0 5; = 5 ; = 1

Con lo que habremos resuelto la ecuacin. Sin embargo, esta no puede ser solucin, pues,

tenemos que ; = 1 anula la expresin IJ KI + L, que forma parte de un denominador en la ecuacin que acabamos de resolver. De esta forma, la ecuacin no tiene solucin

6. La edad de Fernando es la mitad de la de Pedro. Hace tres aos Fernando tena un tercio de la edad que tendr Pedro en nueve aos ms. Cunto ser la suma de las edades en dos aos ms?

Solucin: Denotemos por T, U las edades actuales de Fernando y Pedro, respectivamente. Tenemos que

I. T = V'

II. T 3 = #5 (U + 9)

Reemplazando la primera ecuacin en la segunda, tenemos que


7

U2 3 = 13 (U + 9) U2 3 = U3 + 3 U2 U3 = 6/ 6 3U 2U = 36 U = 36

Reemplazando este valor en la primera ecuacin, tenemos que T = 18. De esta forma, las edades actuales de Fernando y Pedro son 18 y 36 aos respectivamente. Por lo tanto, en dos

aos ms, sus edades sern de 20 y 38 aos y as, sumarn 58 aos

7. Resuelva la ecuacin #'(4#) + '(4#) = #G( 5) Solucin: En primer lugar, como restricciones, tenemos que & 1, & 3. La idea es poder sacar los denominadores, para poder trabajar con una ecuacin ms sencilla. Si

multiplicamos a ambos lados por (& 1)'(& + 3) habremos quedado libres de incgnitas en los denominadores y de esta forma podramos empezar a resolver la ecuacin. Si el lector(a) no

queda conforme y desea adems sacar los coeficientes de los denominadores, ser necesario

multiplicar a ambos lados por el mnimo comn mltiplo entre 2 y 4

>. ?. > (2,4) = 4 De esta forma, si multiplicamos a ambos lados de la ecuacin por 4(& 1)'(& + 3) podremos trabajar solamente con numeradores y no con denominadores:

12(& 1) + 2(& 1)' = 14(& + 3) / 4(& 1)'(& + 3)

2(& 1)(& + 3) + 8(& + 3) = (& 1)' 2(&' + 2& 3) + 8& + 24 = (&' 2& + 1) 2&' + 4& 6 + 8& + 24 = &' 2& + 1 &' + 14& + 17 = 0 Las races de esta ecuacin son = 4#G #'X' y &' = 4#G4#'X' , lo que resuelve el problema



EJERCICIOS PROPUESTOS

A. Resuelva las siguientes ecuaciones i. (& + 1)5 (& + 1)5 = 6&(& 3) ii. 7(18 &) = 6(3 5&) (7& + 21) 3(2& + 5) iii. 3 ' 1 5 = 7 & + ' iv. [2 \3 (& 2&)] + 4^ = 4 5& v. ! ! + " " #( ") = 3 B. En un curso de 40 alumnos, la mitad escribe, un quinto calcula y el resto lee. Cuntos alumnos leen? C. El triple de la edad que yo tena hace 2 aos es el doble de la que tendr dentro de 6 aos. Qu edad tendr en dos aos ms? D. La suma de la edad de una madre con las edades de sus dos hijas es 55 aos. La edad de la madre es el doble de la edad de la hija mayor y la suma de las edades de las dos hermanas es 25 aos. Calcular las edades.


9

FUNCIONES

8. Considere la funcin c(&) = E de f , donde ;, c = j k fel. Para determinar el recorrido, hagamos m = c(&) y despejemos & en funcin de m m = ;& +

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Caso 2: I s 0. En este caso, el recorrido de la funcin ser

10. La concentracin de cierto calmante suministrado mediante suero, vara en su efectividad en el tiempo segn

donde t es la concentracinpara que haga efecto durante milgramos por litro? . Grafique la problema. Solucin: Notemos que la grfica de la

parbola va hacia abajo. Adems, tenemos que el vrtice es

Con esto, tenemos que la porcin de

Segn la grfica, tenemos que la mxima concentracin de calmante es de

y se da al cabo de 3 horas. Notemos tambin que el intervalo de tiempo para el anlisis de la

concentracin del medicamente es

Para determinar el instante en que la concentracin es de 8 milgramos por litro

resolver la ecuacin

es decir,

CLAUDIO GAETE


En este caso, el recorrido de la funcin ser

jn?c $ v2, c/2 d'E0v

La concentracin de cierto calmante suministrado mediante suero, vara en su efectividad en el tiempo segn

t/w0 $ 2w' ( 6w

concentracin del calmante en el suero medida en milgramospara que haga efecto durante t horas. En qu instante la concentracin

Grafique la funcin e interprete resultados en el contexto del

grfica de la funcin es una parbola con a $ 21. Adems, tenemos que el vrtice es

x $ /2


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Debemos tener en cuenta que las races de una ecuacin cuadrtica se determinan por la

frmula

w = < c = | !5 , +|.

Recordemos que una funcin es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva. Veamos primero la

inyectividad. Sean }, ~ hi>c tales que {(}) = {(~). Es decir,

3} + 5 = 3~ + 5/()'3} + 5 = 3~ + 5/53} = 3~ /: 3} = ~Por lo que la funcin es inyectiva. La sobreyectividad es clara, en vista de que no hay un

codominio especificado3.

Para determinar la funcin inversa, hagamos m = {(&). Con esto, tenemos que m = 3& + 5 /()'

m' = 3& + 5 m' 5 = 3& m' 53 = &

Por lo que {4#(&) = 4!5

3 Queda como ejercicio para el lector, determinar el recorrido de la funcin.



12. Determine la ecuacin de la recta que tiene pendiente 3 y pasa por el punto (1,0).

Solucin: Primero, debemos recordar que la ecuacin de la recta que pasa por el punto (;, viene dada por la frmula m < = >(& ;) Haciendo los reemplazos respectivos, tenemos que la ecuacin buscada es

m 0 = 3(& 1)

Es decir, m = 3& 3 (Ecuacin principal de la recta) o bien 3& m 3 = 0 (Ecuacin general de la recta)

13. D un ejemplo de una recta que sea perpendicular a la recta del ejercicio anterior.

Solucin: Dos rectas con pendientes ># y >', respectivamente, son perpendiculares, si el producto de sus pendientes es 1. De esta forma, la pendiente > de la recta buscada debe cumplir con 3> = 1 es decir, > = #5.

Con esto, tenemos que una recta perpendicular a la recta del ejercicio anterior sera de la

forma

y = #5 & + , j 14. Encuentre el punto de interseccin de las rectas m = 2& 3 e m = #G & + #'.

Solucin: En vista de que estas rectas no son paralelas (pues sus pendientes son distintas),

ambas rectas se intersectan (en un nico punto).

Resolvamos la ecuacin 2& 3 = 14 & + 12 2& 14 & = 12 + 3 74 & = 72 & = 72 47 & = 2 Reemplazando este valor en cualquiera de las dos ecuaciones de las rectas, tenemos que y = 1. As, el punto de interseccin es (2,1)


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15. Determine el valor de para que la recta & + ( + 1)m + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3& 2m 11 = 0 Solucin: Sean # , ' rectas dadas por #: & + ( + 1)m + 3 = 0 y ': 3& 2m 11 = 0

Para determinar la pendiente de la recta #, despejamos m :

& + ( + 1)m + 3 = 0 ( + 1)m = & 3 m = + 1 & 3 + 1

Siempre que 1. As, la pendiente de # es #. Anlogamente, la pendiente de ' es 5'.

Para que las rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser 1, es decir, + 1 32 = 1 + 1 = 23 3 = 2( + 1) 3 = 2 + 2 = 2

Con esto, tenemos que si = 2, las rectas sern perpendiculares

16. La natalidad de una regin ha ido disminuyendo linealmente en los ltimos aos. En 1995 fue de 35 nacimientos por cada 1.000 habitantes. En el ao 2000 fue de 33 por cada 1.000 personas. Supongamos que denota la natalidad por cada 1.000 personas y representa el tiempo medido en aos desde 1995. a) Determine la funcin lineal de natalidad4. b) Si el modelo lineal se mantiene igual. Cul ser la natalidad esperada para el ao 2015?

4 Note que como la natalidad disminuye linealmente en funcin del tiempo, la pendiente debe ser negativa.



Solucin: a) Como depende linealmente de , tenemos que = () = > + Para determinar los valores de > y , debemos tener en cuenta que si en 1995 (es decir, = 0) hubo 35 nacimientos por cada 1.000 habitantes, entonces reemplazando en la ecuacin, tenemos que

35 = > 0 + 35 =

Adems, en el ao 2000 (es decir, = 5) hubo 33 nacimientos por cada 1.000 habitantes, entonces reemplazando en la ecuacin, tenemos que

33 = > 5 + 35 2 = > 5

25 = >

Con esto, tenemos que = () = 25 + 35 b) Dado que = () = '! + 35 reemplazando = 20, tenemos que

= 25 20 + 35 = 8 + 35 = 27 As, la natalidad para el ao 2015 ser de 27 personas por cada 1.000 habitantes

17. Resuelva la siguiente ecuacin 2 # 34! = 6 Solucin: Aplicando logaritmo, tenemos que

log(2 # 34!) = log 6 log(2 #) + log(34!) = log 6 (& + 1) log 2 + (& 5) log 3 = log 6


15

& log 2 + log2 + &log3 5 log3 = log6 & log 2 + &log3 = log6 + 5 log3 log2 &(log 2 + log 3) = log6 + 5 log3 log 2 & = log 2 + log3log 6 + 5 log 3 log 2 = log6log 14582 =

log 6log 729

Lo que resuelve el ejercicio

18. Resuelvalasiguienteecuacin logG(& + 1) + logG(&) = 12

Solucin: En primer lugar debemos notar que tenemos dos restricciones, debido al dominio de

la funcin logaritmo:

& + 1 > 0 & > 0 Intersectando ambas condiciones, llegamos a que & > 0. De encontrar una solucin, debe entonces, ser positiva.

logG(& + 1) + logG(&) = 12 logG\(& + 1)(&)] = 12

(& + 1)(&) = 4#' &' + & = 2 &' + & 2 = 0

Lo que nos da una ecuacin cuadrtica, cuyas races son = 1 y &' = 2. En vista de que & > 0, tenemos que la solucin a nuestra ecuacin es & = 1 19. SeanA, > 0.Sic = A(1 + r),demuestreque = 4(# ) .Solucin: Aplicando logaritmo, tenemos que



log ? = logA(1 + ) log ? = log + log(1 + )

log ? log = log(1 + )/:log(1 + ) log c log Alog(1 + ) =

Con lo que se tiene la igualdad.

20. Una Isapre calcula que el nmero de sus afiliados (w) , despus de t aos, est dada por : (w) = 100.000(0,04),! a) Cuntos afiliados tiene inicialmente la Isapre? b) Cuntos afiliados tendr despus de 3 aos? c) Al cabo de cuntos aos habrn 30.000 afiliados? Solucin: a) A(0) = 100.000 b) A(3) = 100.000(0,04),!5 = 100.000(0,04)#,! 25.298 c) Para esto, resolvemos la ecuacin

30.000 = 100.000(0,04),!/: 100.000 0,3 = (0,04),! Aplicando logaritmo, tenemos

log 0,3 = 0,5w log(0,04) log 0,3log 0,04 = 0,5w/: 0,5 0,324 w


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21. Se llev a cabo un experimento para estudiar el efecto de cierto medicamento para disminuir la frecuencia cardaca en adultos y se obtuvo los siguientes resultados

Dosis administrada en mg 0,5 0,75 1 1,25 Disminucin frecuencia cardaca (latidos por minuto) 9,05 10,075 11,1 12,125

Suponiendo que los datos siguen un modelo lineal, determine

a) La funcin que representa el problema b) Interprete la pendiente de la recta en trminos de la tasa de cambio c) Si se administran 2 mg, Cul es la disminucin en la frecuencia cardaca? d) Para qu dosis la frecuencia cardaca disminuye en 10 latidos por minuto?

Solucin:

a) Denotemos por F a la frecuencia cardaca, la cual depende linealmente de la cantidad de medicamento en milgramos, que denotaremos por C. De este modo, tenemos la siguiente relacin T = T(t) = >t +

Adems la pendiente de esta recta ser > = #,F!4,!,F!4,! = #,'!,'! = 4,1. Para calcular el valor de , usando la tabla vemos que, por ejemplo 9,05 = 4,1 0,5 + 7 =

De este modo, T(t) = 4,1t + 7

b) El valor de la pendiente se interpreta del siguiente modo: por 1 mg de medicamento,

hay una disminucin en la frecuencia cardaca de 4,5 latidos por minuto.

c) T(2) = 4,1 2 + 7 = 15,2 d) 10 = 4,1 t + 7. Luego, t = 0, 73170



EJERCICIOS PROPUESTOS A. Dada las siguientes funciones, calcule los valores indicados

c(2), c(1), c(0), si c(&) = # 5 #' , (1), (#5), si (&) = (5&5 + &' + #F)' { #G , {(7), {(7) , si {(&) =

&G + 5, & 0

# , 0 s & s 7## , & > 7

B. La temperatura (medida en grados Celsius), que experimenta cierto cultivo de bacterias, vara de acuerdo a (&) = (& 2)' + 1 donde &, representa el tiempo de exposicin a fuentes de energa calrica. a) Seale el intervalo de tiempo en que la temperatura del cultivo se mantiene positiva. b) Despus de cunto tiempo la temperatura es mxima? c) Realice la grfica de la funcin e interprete en el contexto del problema.

C. Graficar la funcin c(&) = 5&' + 6& 3, indicando su vrtice, zona de crecimiento y decrecimiento, cortes con el eje X e Y, si es posible. D. Encuentre la ecuacin de la recta que es perpendicular a la recta de ecuacin 3& + 2m 1 = 0 y pasa por el punto (1, '5 ). Grafique esta recta.


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E. Determine cul de las siguientes parbolas corta al eje X. Fundamente su respuesta a) m = &' + 9& + 18 b) m = &' 8& + 20 c) m = &' 15& + 54 d) m = 2&' + 8& + 7 e) Todas cortan al eje F. Resuelva la ecuacin log'(7& 1) log'(3& + 5) = 1. G. El valor de reventa V de un equipo radiogrfico se comporta de acuerdo a la ecuacin V = 750.000e4,!, en que t son los transcurridos desde el momento de la compra. a) Cul es el valor original del equipo radiogrfico? b) Cul es el valor esperado de reventa, despus de 5 aos? c) Despus de cuntos aos el valor de reventa ser de $250.000? H. Encuentre el valor numrico de

n #' + log5 127 + log! 125 logF 1343 I. Despus de que un estudiante con un virus gripal regresa a un campo universitario aislado de 3000 estudiantes, el nmero de estudiantes infectados despus de t das, se pronostica por (w) = 30001 + 2999n4,X! En qu perodo de tiempo se estima que los infectados lleguen aproximadamente a 1000 estudiantes?



LIMITES

22. Determine el valor de los siguientes lmites: a) lim# 4#4# Solucin:

lim# & 1& 1 = lim# & 1& 1 & + 1& + 1 = lim# & 1(& 1)& + 1 = lim# 1& + 1 = 12 b) limX 4'4X Solucin:

limX & 2& 8 = limX & 2& 8 &' + 2& + 4&' + 2& + 4 = limX & 8(& 8) (&' + 2& + 4) = limX 1&' + 2& + 4 = 112

c) lim45 44#' G 5 Solucin:

lim45 &' & 12&' + 4& + 3 = lim45 (& 4)(& + 3)(& + 1)(& + 3) = lim45 & + 4& + 1 = 12

d) lim41 542241

Solucin:

lim4# & + 5 2&' 1 = lim4# & + 5 2&' 1 & + 5 + 2& + 5 + 2 = lim4# & + 5 4(& 1)(& + 1)& + 5 + 2 = = lim4# & + 1(& 1)(& + 1)& + 5 + 2 = lim4# 1(& 1)& + 5 + 2 = 18


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23. Suponga que el tamao de una poblacin en el instante w es (w) = ;w + w , w 0

Siendo ; y constantes positivas. Suponga que el tamao lmite de la poblacin es lim (w) = 1,24 10" y que en el instante w = 5, el tamao de la poblacin es la mitad del tamao lmite. Utilice la informacin anterior para determinar el valor de las constantes ; y .

Solucin: 1,24 10" = lim (w) = lim ;w + w = lim ;w + 1 = ; Por lo que 1,24 10" = ;. Adems, sabemos que (5) = 1,24106' = 0,62 10". Es decir, 25 + 5 = 0,62 10" 250,62 10" = + 5 4,032258065 104! = + 5 5 24. Determine la existencia de lim# c(&), donde c(&) = |4#| G4'4#


c(&) =

1 & + 4 2&' 1 , & s 1

& 1 + 4 2&' 1 , & > 1

Analizando los lmites laterales, tenemos



lim# c(&) = lim# 1 & + 4 2&' 1 = lim# 1 & + 4 2&' 1 1 & + 4 + 21 & + 4 + 2 = lim# (1 & + 4 4)(& + 1)(& 1)(1 & + 4 + 2 = lim# 1 &(& + 1)(& 1)(1 & + 4 + 2 = lim# (& 1)(& + 1)(& 1)(1 & + 4 + 2 = lim# 1(& + 1)(1 & + 4 + 2 = 18 Mientras que

lim# c(&) = lim# & 1 + 4 2&' 1 = lim & 1 + 4 2&' 1 & 1 + 4 + 2& 1 + 4 + 2 = lim# (& 1 + 4 4)(& + 1)(& 1)(& 1 + 4 + 2 lim# & 1(& + 1)(& 1)(& 1 + 4 + 2 = lim# 1(& + 1)(& 1 + 4 + 2) = 18 En vista de que los lmites laterales son distintos, lim# c(&) no existe


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Calcule el valor de los siguientes lmites (si es que existen) A. lim || B. lim'F 454'F C. lim & + 1 & D. lim ' 5 # E. lim# c(&), donde c(&) =

4#4# , & s 1& + & + 2, & > 1

F. lim #4#4



CONTINUIDAD

25. Considere la funcin c(&) =

&' & + 1, & 5& 1 9 && 5 , 5 s & 9

&' 11& + 18& 9 , & > 9

Estudie la continuidad en j de c. Solucin: Debemos analizar la continuidad en los puntos & = 5 y & = 9, en vista de que en el resto de los puntos, la funcin es continua.

Continuidad en & = 5: Haciendo uso de lmites laterales, tenemos que lim! c(&) = lim! &' & + 1 = 25 5 + 1 = 21

Mientras que

lim! c(&) = lim! & 1 9 && 5 = lim! & 1 9 && 5 & 1 + 9 && 1 + 9 & = lim! (& 1) (9 &)(& 5)& 1 + 9 & = lim! 2& 10(& 5)& 1 + 9 & = lim! 2(& 5)(& 5)& 1 + 9 & = lim! 2& 1 + 9 & = 22 + 2 = 12

En vista que los lmites laterales son distintos, lim! c(&) no existe y por lo tanto, c no es continua en & = 5.

Continuidad en & = 9: Nuevamente, haciendo uso de los lmites laterales, tenemos que

lim c(&) = lim & 1 9 && 5 = 84 = 22


25

Por otro lado,

lim c(&) = lim &' 11& + 18& 9 = lim (& 9)(& 2)& 9 = lim & 2 = 7

En vista que los lmites laterales son distintos, lim c(&) no existe y por lo tanto, c no es continua en & = 9

26. Dada la siguiente funcin {(&) =

&5 ;5& ; , & > 1

& ;& ; , & s 1

Defina { de modo que sea continua en & = 1. Solucin: Debemos definir el valor de {(1) para que la funcin sea continua en x = 1. Para esto, se debe cumplir que {(1) = lim# {(&) = lim# {(&) Ahora bien,

lim# {(&) = lim# 4 E4E = lim# p 4 E4E E E E E q = lim# 4E(4E) E E = = lim# 1&' + & ; + ;' = 11 + ; + ;'

lim# {(&) = lim# 4E4E = 1 + ; + ;' Luego, necesitamos que5 11 + ; + ;' = 1 + ; + ;' (1 + ; + ;') 1 + ; + ;' = 1 1 + ; + ;' + ; + ; ; + ; ;' + ;' + ;' ; + ;' ;' = 1 ;' + ; + ; ; + ; ;' + ;' + ;' ; + ;' ;' = 0

5 El lector observador se dar cuenta que ; = 0 es una solucin inmediata de la ecuacin, sin la necesidad

de hacer mayores clculos.



; ; + ;' + ; + ;; + ;G + ;' + ;'; = 0 Entonces, uno puede ver que una solucin a esta ecuacin debe cumplir que ; = 0, es decir, ; = 0. Con esto, la funcin

{(&) =

&5 1& 1 , si& > 11, & = 1& 1& 1 , si& < 1

Es continua en & = 1

27. Calculeelvalordelim; + && ;

Solucin: Por continuidad de la funcin raz, tenemos que

lim; + && ; = lim ; + && ; = lim ;& + 11 ;& = lim11 = 128. Dadalafuncin

(&) = &' 4& + 3& 3 , & 35, & = 3 Determinesilafuncinescontinuaen& = 3.Solucin: Para que la funcin sea continua en & = 3, debe de ocurrir que lim5(&) = (3) = 5Ahora bien, tenemos que lim5 (&)=lim5 &24&+3&3 = lim5 (4#)45)45 = lim5(& 1) = 2 5

Por lo tanto, no es continua en & = 5


27


A. Considere la funcin c(&) =

& 1& 1 , 0 s & s 1; , & = 1

12 &5 + & 1, & > 1

Determine el valor de ; para que la funcin sea continua en & = 1 B. Dada la funcin

{(&) = & + &'|&| , & 0

0, & = 0

Determine si { es o no continua en & = 0.



DERIVADAS

29. Dada la funcin c(&) = & , encuentre el valor de c(2) mediante su definicin. Solucin: Tenemos que

c(2) = lim' c(&) c(2)& 2 = lim' & 2& 2= lim' & 2& 2 & + 2& + 2 = lim' & 2(& 2)& + 2 = lim' 1& + 2 = 122 30. Encuentre la ecuacin de la recta tangente y normal a la funcin c(&) = & , en el punto (2,1) Solucin: Recordemos lo siguiente

Ecuacin de la recta tangente a una funcin f(x) en el punto (?, c(?))

j: m c(?) = c(?)(& ?) Ecuacin de la recta normal a una funcin f(x) en el punto (?, c(?))

j: m c(?) = 1c(?) (& ?) Con esto, por el ejercicio anterior, tenemos que c(2) = #''. Luego,

j: m c(2) = c(2)(& 2)


29

m 2 = 122 (& 2) m = 122 & 12 + 2

Mientras que j:m c(2) = 1c(2) (& 2) m 2 = 22(& 2)

m = 22& + 52 31. Encuentreladerivadadelafuncin(&) = n # ln(3&' + 2)

Solucin: Haciendo uso de la frmula del producto y de la regla de la cadena, tenemos que

(&) = e # ln(3&' + 2) + | "5 'v e #32. Calculeunpolinomiodesegundogrado(&) = ;&' +



Solucin: Haciendo uso de la regla de la cadena, tenemos que

{(w) = '4'4' ! 34. Un equipo de investigacin mdica determina que w das despus del inicio de una epidemia (w) = 10w5 + 5w + w personas estarn infectadas. A qu razn se incrementa la poblacin infectada en el noveno da?


(w) = ggw = 30w' + 5 + 12w En w = 9 se tiene que ff 2435, 16. Esto significa que pasados 9 das la poblacin de bacterias est aumentando a una razn aproximada de 2435, 16 por da. 35. Sea c(&) = &' + ;& + 0 para todo nmero real, ya que su discriminante es negativo y el coeficiente que acompaa a &' es positivo. Ahora, buscamos los puntos crticos:

c(&) = 2& + 1&' + & + 1 = 0 2& + 1 = 0 & = 12 Adems, tenemos que c(&) > 0 si y solamente si & > #' por lo que la funcin es creciente en el intervalo v #' , |. Anlogamente, la funcin es decreciente en el intervalo v, #'|. Derivando nuevamente, tenemos que


31

c(&) = 2(&' + & + 1) (2& + 1)'(&' + & + 1)' = 2&' + 2& + 2 4&' 4& 1(&' + & + 1)' = 2&' 2& + 1(&' + & + 1)'

Luego, c(&) > 0 2&' 2& + 1 > 0 2&' + 2& 1 < 0 2& 4' #'G & 4'4#'G < 0 & 1 + 32 & 1 32 < 0 & 1 32 ,1 + 32

Por lo que la funcin es convexa en el intervalo v4#45' , 4# 5' | y as, cncava en j v4#45' , 4# 5' | Notemos que los puntos de inflexin son = 4#45' y &' = 4# 5' , pues en estos puntos, c(&) = 0




A. Derive la funcin c(&) = (4& + 3&')5'+n + & (Ayuda: Use la frmula de la suma de funciones, junto con la regla de la cadena) B. Determine la ecuacin de la recta tangente y normal a la curva de la funcin {(&) = n + & en el punto (0,1). C. Encuentre la ecuacin de la recta tangente y normal a la curva de la funcin c(&) = #5 ! + ln & en el punto (1, 5X) D. Derive la funcin c(&) = (4&' + 7)! ln(7 + & + &X). (Ayuda: Use la frmula del producto de funciones, junto con la regla de la cadena) E. Se introduce una poblacin de 500 bacterias en un cultivo, creciendo en nmero de acuerdo con la funcin U(w) = 500 p1 + 4w50 + w'q donde w se mide en horas. Hallar a qu ritmo est creciendo la poblacin cuando han pasado 120 minutos. F. Para cada una de las funciones siguientes determinar: los intervalos en donde es creciente y decreciente, los intervalos en donde es cncava y convexa, los puntos en donde alcanza sus mximos y mnimos locales y un bosquejo de la grfica. c(&) = &5 3& + 3 c(&) = &G 32& + 48 c(&) = & c(&) = &' + '

ejercicios resueltos de matematica

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