ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ii (1)
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1
RELACIÓN DE EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden:
1) 2 x y x ye dx e dy 0
+ −+ −+ −+ −− =− =− =− =
Solución:
Para ver si es de variable separadas 2
2 2 20 divido por dx ´ 0 ´ v.separadasx y
x y x y x y x y x y
x y
e ee e dx e e dy e e e e y y e e
e e
− −−⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = = = ⋅
2 2 21integrando 2
2
y x y x y xe dy e dx e e C e e K− − −= − = + + =
2) 2 x y 2 x ye y 2e 1 0+ ++ ++ ++ +⋅ + + =⋅ + + =⋅ + + =⋅ + + =
Solución:
En este caso debido al 1 que hay sumando no puede ser de variable separadas. Veamos si es
exacta:
( )2x y 2x y 2x y 2x y
NM
e y´ 2e 1 0 2e 1 dx e dy 0+ + + +⋅ + + = + + =
�������������
2
2
2
2
x y
y
x y
x
M eExacta
N e
+
+
=
=
2
2 2
2
2 2
2 1( , ) ( )
2 ( ) 2 1 ´( ) 1 ( )
x y
x x y x y
x y
y
x y x y
x
f ef x y e dy e h x
f e
f e h x e h x h x x
++ +
+
+ +
= + = = +=
= + = + ⇒ = ⇒ =
∫
Luego la solución es 2x ye x K+ + =
3) (((( )))) (((( ))))xx 1 dy y e dx 0+ + − =+ + − =+ + − =+ + − =
Solución:
No es de v. separadas ni homogenea. Veamos si es exacta:
( ) ( ) yx
xNM
M 1y e dx x 1 dy 0 Exacta
N 1
= − + + = = �����������
( ) ( )( , ) 1 1 ( )1
( ) ´( ) ( )
x
x
y
x x x
x
f y ef x y x dy x y h x
f x
f y h x y e h x e h x e
= − = + = + += +
= + = − ⇒ = − ⇒ = −
∫
Luego la solución general es: ( )1 xx y e K+ − =
4) (((( ))))y cos x cos x dx dy 0− + =− + =− + =− + =
Solución:
1cos ( 1) ´ . cos (1 )
1
1 11 1
senx senx senx
x y y v separadas dy xdx Ln y senxy
k kLn senx e y k e y ke
y y
− −
− = − = − − =−
= = − = ⋅ = +− −
∫ ∫
2
5) 2
y 2 x 1 y= −= −= −= −
Solución:
V. separadas.
2 2 2
2
12 1 2 ( )
1
dyx y dy xdx arcseny x C y sen x C
dx y= − = = + = +
−
6) (((( )))) (((( ))))2 23 y 4 xy dx 2 xy x dy 0+ + + =+ + + =+ + + =+ + + =
Solución: Es homogenea porque todos los términos son de grado 2.
2
2
3 4´
2
y xyy
xy x
− −=+
Hacemos el cambio de variable y=ux y´u´x+u
22 2 2
2 2
3 4´
2
xu x uxu x u
ux x
− −+ = =+
( )2
2
3 4u
x
− −
( )2 1u +
2 2 2 23 4 3 4 2 5 5
´ V. separadas2 1 2 1 2 1
u u u u uu x u
u u u
− − − − − − − −= − = =+ + +
( )2
2 2
2 5 5 2 5
22 2 3 4
2 5 3
2 1 1 1 1
5 5
u C C y y Cdu dx Ln u u Lnx LnC Ln u u
u u x x x x x x
y yx C Cy yx y x yx C
x x x
+ = − + = − + = ⇒ + = + =++ = ⇒ + = ⇒ + =
7) (((( ))))2 4 3 31 0x y dx x y dy− + =− + =− + =− + =
Solución:
No es de v. separadas ni homogénea. Para ver si es exacta:
( )12 3 2 3 dxy y x2 4 3 3 ln xx
3 32 3N xM
M 4x y M N x y 1x y 1 dx x y dy 0 h(x) F.Integ. e e x
N xx yN 3x y
∫= −− + = = = = = ==
������������
( )3 4 4 3x y x dx x y dy 0 Exacta− + =
3 4 4 44 3
4 3
23 4 3 4
( , ) ( )4
´( ) ( ) ( )2
x
y
x
f x y x x yf x y x y dy h x
f x y
xf x y h x x y x h x x h x
= − = = +=
= + = − ⇒ = − ⇒ = −
∫
La solución será:
4 4 2
4 2
x y xK− =
8) 2xdy ydx 2x ydx+ =+ =+ =+ =
Solución:
( )22 0y x y dx xdy− + = No es de v. separadas ni homogénea.
( ) �
2
2 22
( 2 )
1 2 22 0 2 ( )
1
. .− −
= − − −− + = = = − ==
∫ =
��������
y y x
N xM
x dx x
M x M N xy x y dx x dy x h x
N xN
F Integ e e
3
( )( )
( )
2 2
2
2 2
2
2 2 2
2
2
2 2
2 0
2( , ) ( )
2 ( ) 2 ( ) 0 ( )
− −
−− −
−
− − −
− + =
= − = = +=
= − + = − = ⇒ =
∫
x x
x
x x x
x
y
x x x
x
e y x y dx xe dy
f e y x yf x y xe dy xye h x
f xe
f ye x ye h x e y x y h x h x C
2 2 2 2
2
ln− − −+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ − = − ⇒
= +
x x x Hxye C K xye H e x H Ln xy
xy
Ln xy F x
9)
2
3
3xy
x y 1====
+ ++ ++ ++ +
Solución:
( )2
2 3
22
0 33 1 0 1 ( ) .
33
dyy x y y
M xN
M N M xx dx x y dy h y F Integ e e
M xN x
− −= − ∫− + + + = = = − = = −=
������������
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 3
2
2 3
3
3 3
3 1 0
3( , ) 3 ( )
1
( ) ( 1) ( ) ( 1)
1
( ) ( 1) 1 1 2
y y
y
x y y
y
y
y y y y
y
y y y y y y
y
y
x e dx x y e dy
f x ef x y x e dx x e h y
f x y e
f x e h y x e y e h y y e
u y
du dyh y y e dy y e e dy y e e e y
dv e dy
v e
− −
−− −
−
− − − −
− − − − − −−
−
− + + + =
= − = − = − += + +
= + = + + ⇒ = +
= +=
= + = = − + + = − + − = − −=
= −
∫
∫ ∫
La solución es: ( ) ( )3 3 32 2 2y y y yx e e y K e x y K x y Ce− − −− + − − = ⇒ − − − = ⇒ + + =
10) 2 2 2
2 xyy
x y a====
− −− −− −− −
Solución:
( )2 2 22 4 2
2 0 ( )22
y x y
x
M x N M xxydx x y a dy h y
M xy yN x
= − −− + − − = = = − = −=
2
12ln
2
1. .
dyy yF Integ e e
y
−∫ = =
( )2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
22 0 1 0
2
2( , ) ( )
1
− + − − = ⇒ − + − − =
= − = − = − += − −
∫x
y
x x axydx x y a dy dx dy Exacta
y y y
xf
y x xf x y dx h y
y yx af
y y
4
2 2 2 2 2
2 2 2 2( ) 1 ( ) 1 ( )= + = − − = − − ⇒ = − +y
x x a a af h y h y h y y
y y y y y
La solución es :
2 22 2 2x a
y K x y Ky ay y
− − + = ⇒ + − =
11) 1
y´xcos y sen2y
====++++
Solución:
No es de v. separadas ni homogénea.
( )
cos
0 coscos 2 2 0 cos ( )
1cos
. .
y x y
x
ydy seny
M N M ydx x y sen y dy y h y
MN y
F Int e e− −
= −− + + = = = − = −=
∫ =
( )
( )
cos 2 2 0
( , ) ( )cos 2 2
cos
seny seny
seny
x seny seny
seny
y
seny
y
e dx e x y sen y dy
f ef x y e dx xe h y
f e x y sen y
f x y e
− −
−− −
−
−
− + + =
= − = − = − += +
= ⋅
∫
( ) cossenyh y e x y−+ =
( )
( ) ( ) ( )
2 2
( ) 4 cos
( ) 4 cos 4 4cos
4 4 4 1
seny
seny
seny t t t
t
t
t t seny seny seny
e sen y
h y e yseny
u t
du dtseny th y e ysenydy t e dt t e e
ydy dt dv e dt
v e
t e e seny e e e seny
−
−
− − − −−
−
− − − − −
+
==
=== = = = = − + =
= =
= −
= − − = − − = − −
∫ ∫ ∫
La solución ( ) ( )
( )4 1 4 4
4 4 4 4
seny seny seny
seny seny
xe e seny e x seny K
x seny Ke x Ke seny
− − −− + − − = − − − =
− − − = ⇒ = − − −
12) (((( ))))x senx seny dx cos ydy 0+ + + =+ + + =+ + + =+ + + =
Solución:
cos1 ( ) . .
0
dxy y x x
x
M y M Nh x F Int e e
NN
= − ∫= = ==
( )( )
cos 0
( , ) cos ( )cos
+ + + =
= + + = = +=
=
∫
x x
x
x x x
x
y
x
x
e x senx seny dx e ydy
f e x senx senyf x y e ydy e seny h x
f e y
f e seny ( )+ = + +x x xh x xe e senx e seny
5
( ) (*)
( )
cos cos coscos
cos
2 c
= ⋅ + =
==
= = = − = −=
=
= == == = − + = = − + −= =
= − =
= −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
x x
x x x x x
x
x
x x
x xx x x x x x
x x
h x x e dx e senxdx
u x
du dxxe dx partes xe e dx xe e
dv e dx
v e
u e u e
du e dx du e dxe senxdx e x e xdx e x e senx e senxdx
dv senxdx dv xdx
v x v senx
e senxdx ecos
os2
− ++ ⇒ =∫x x
x x e x e senxx e senx e senxdx
cos( )
2
x xx x e x e senx
h x xe e− += − +
La solución es :cos
2
x xx x x e x e senx
e seny xe e K− ++ − + =
13) 2 2x 2y 2xy y´ 0− + =− + =− + =− + =
Solución:
Es homogénea .
2 22´
2
y xy
xy
−=
´ ´
y ux
y u x u
== +
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 1 2 1 2 1 2 1´ ´
2 2 2 2 2
u x x u u u uu x u u x u
ux u u u u
− − − − −+ = = ⇒ = − = = −
22
2
2 2
1 1 1´ . 2 integrando
2
:
y Cu v separadas udu dx u Lnkx Lnkx Ln
u x x x x
CSol y x Ln
x
= − − = ⇒ − = ⇒ = − =
=
14) (((( ))))2 2 0y xy dx x dy+ − =+ − =+ − =+ − =
Solución:
Es homogénea.
2
2´
y xyy
x
+=
´ ´
y ux
y u x u
== +
2 2 22
2´
u x uxu x u u u
x
++ = = +
2 2
2
1 1 1 1´ integrando ln ln
ln
du xu x u u du dx Kx Kx
dx x u x u y
xy
Kx
= = = − = ⇒ − =
⇒ = −
6
15) (((( ))))2
yy´
x y====
++++
Solución:
No es de v. separadas ni homogénea.
( ) ( )
2
2
2
12ln
2
0
1 2 1( ) . .
1
dyy x y y y
x
dy yydx x y dy
dx x y
M N Mh y F Int e e
M y yN
−
= ⇒ − + + =+
= − − ∫ = = ⇒ = = −=
2
2
2 2
11 0
1
1( , ) ( )
1
( ) 1 ( ) 1 ( )
x
y
y
xdx dy Exacta
y y
fy x
f x y dx h yx y y
fy
x xf h y h y h y y
y y
− + + =
= − = − = − += +
= + = + ⇒ = ⇒ =
∫
La solución: x
y Ky
− + =
16) yLnydx xdy 0+ =+ =+ =+ = con y(1)=1
Solución:
1´ .y yLny v separadas
x= −
( )1 1integrando
C
xC C
dy dx Ln Lny Lnkx Ln Lny y eyLny x x x
= − = − = ⇒ = ⇒ =
La solución particular: x=1 y=1 1 0Ce C= = 1y =
17) 2 2 22xyLny dx x y y 1 dy 0 + + + =+ + + =+ + + =+ + + =
Solución:
No es de v. separadas ni homogénea.
( ) 1 1ln2 1 2 2 2 1 1
( ) . .22
dyy x y y y
x
M x Lny N M x xLny xh y F Int e e
M xyLny y yN x
−= + − − − ∫ = = − = = ==
2
2
x 22 22
y2y
x2xLny dx y y 1 dy 0
y
f 2xLnyx
f (x, y) 2xLnydx x Lny h(y) f h´(y) h´(y) y y 1xyf y y 1
y
+ + + =
= = = + ⇒ = + ⇒ = +
= + +
∫
7
( )32
2y 1
h(y) y y 1 dy3
+⇒ = + =∫ La solución:
( )32
2y 1
x Lny K3
++ =
18) 2 2xy´ x y y= − += − += − += − +
Solución:
Es homogénea.
2 2
´x y y
yx
− +=
´ ´
y ux
y u x u
== +
2 2 22 2´ 1 ´ 1
x u x uxu x u u u u x u
x
− ++ = = − + ⇒ = −
( ) ( ) ( )
2
2
1 1 1´ 1 . integrando
1u u v separadas du dx arcsen u LnKx
x xu
yu sen LnKx sen LnKx y x sen LnKx
x
= − = =−
= ⇒ = ⇒ =
19) 21 y xy y´ 0+ + =+ + =+ + =+ + =
Solución:
No es de v. separadas ni homogénea.
21 y xy y´ 0+ + = 21
´y y y Bernoullix
−+ = − →
( ) y y x2 2 ln x
x
M 2y M Ndy y 11 y xy 0 1 y dx xydy 0 h(x) F.Int. e x
dx N xy xN y
= −+ + = ⇒ + + = = = = ==
( )( )2 2
2 2 2x 2
2y
22
x
2 2 2
x 1 y dx x ydy 0
f x 1 y x yf (x, y) x ydy h(x)
2f x y
xf xy h (x) h (x) x h(x)
2
x y xLa solución es K
2 2
+ + =
= + = = +=
= + ⇒ = ⇒ =
+ =
∫
20) (((( ))))4x 3y y´ 2y 3x 0− + − =− + − =− + − =− + − =
Solución:
Es homogénea. 4 3
´3 2
x yy
x y
−=−
´ ´
y ux
y u x u
== +
( )
2 2
2
2 2
2 22
2
4 3 4 3 4 3 4 3 3 2 4 6 2´ ´
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
3 2 1 1 1integrando: 4 6 2
4 6 2 2 4 6 2
4 6 214 6 2
x ux u u u u u u uu x u u x u
x ux u u u u
udu dx Ln u u LnKx Kx
u u x u u
x xy yy y
x x Kx x
− − − − − + − ++ = = ⇒ = − = =− − − − −
− = − − + = ⇒ =− + − +
− +− + = ⇒
1
K x= 2 22 3x xy y C⇒ − + =
8
21) (((( ))))2 2 3x y dy 1 xy dx= −= −= −= −
Solución:
( )12 2 dxy y x3 2 2 ln xx
2 22x
M 3xy M N xy 1xy 1 dx x y dy 0 F.Int. e e x
N xx yN 2xy
∫= −− + = = = = ==
( )2 3 3 2
2 3 3 3x 3 2
3 2y
22 3 2 3
x
x y x dx x y dy 0 Exacta
f x y x x yf (x, y) x y dy h(x)
3f x y
xf x y h (x) x y x h (x) x h(x)
2
− + =
= − = = +=
= + = − ⇒ = − ⇒ = −
∫
La solución es: 3 3 2x y x
K3 2
− =
22) 3xdy ydx 2x dx− =− =− =− =
Solución:
( ) 2
12ln
3
2
1 2 12 0 ( ) . .
1
dxy y x x x
x
M M Nx y dx xdy h x F Int e e
N x xN
−= − ∫+ − = = = = = −= −
2
2
2
2 2
12 0
21
( , ) ( )1
( ) 2 ( ) 2 ( )
x
y
x
yx dx dy Exacta
x x
yf x
yxf x y dy h x
x xf
x
y yf h x x h x x h x x
x x
+ − =
= + = − = − += −
= + = + ⇒ = ⇒ =
∫
Luego la solución es: 2 3y
x K y x Kxx
− + = ⇒ = +
23) 2dy
+ y = xydx
Solución:
2´y y xy Bernoulli+ = 1 2 1 2
2
´´ ´ ´
zz y y z y y y
y
− − −−= = = − ⋅ ⇒ = −
2 1
2
´´ ´
z
zy xy z y x z z x Lineal
y
−−− + = ⇒ − = − ⇒ − = − →
��
F. int. dx xe e
− −∫ =
( ) ( )
´
1 11 1
1
x x x
x x x x x x
x x x x x
x
e z e z xe
d de z xe e z dx xe dx xe e C
dx dx
e z xe e C z x Ce x Ce yy x Ce
− − −
− − − − − −
− − −
− = −
= − ⇒ = − = + +
= + + ⇒ = + + ⇒ = + + ⇒ =+ +
∫ ∫
��������
9
x x x x x
x
x
u x
du dxxe dx xe e dx xe e
dv e dx
v e
− − − − −−
−
==
= = − + = − −=
= −
∫ ∫
24) (3 4 ) 0ydx x y dy+ + =+ + =+ + =+ + =
Solución:
Es homogénea. ´3 4
yy
x y
−=+
´ ´
y ux
y u x u
== +
2 23 4 4 4´ ´
3 4 3 4 3 4 3 4 3 4
ux u u u u u u uu x u u x u
x ux u u u u
− − − − − − − −+ = = ⇒ = − = =+ + + + +
2 2
3 4 1 1 3 4integrando ln
4 4 4
u udu dx du Kx
u u x u u
+ += − =− − +∫ (*)
( )( )
( ) ( )
3
2
2
3 4 3 13ln ln(1 ) ln 1
1
33 4 3 4 (1 )3 4 (1 )
11 1 1
udu du du u u u u
u u u u
Au u A B A u Buu A u Bu
Bu u u u u u u u
+ = + = + + = ++ +
=+ + + += = + = ⇒ + = + + =+ + + +
∫ ∫ ∫
(*) 3 3 3 44 4
43 4
1 1 1ln ln
(1 ) (1 )
xkx kx kx
u u u u y y
x x
= ⇒ = ⇒ = ⇒+ + +
3 44
K xy x y
=+
La solución es 4 3y y x C+ =
25) 2 2 23( ) 0
yxy x y arctg dx x dy
x
− + − =− + − =− + − =− + − =
Solución:
Es homogénea.
( )2 2
2
3
´
yxy x y arctg
xy
x
− + =
´ ´
y ux
y u x u
== +
2
´u x
u x u+ =23 x− 2 2u x+( )
2
arctgu
x( ) ( )
( )
2 2
32 3
3 3
3 1 ´ 3 1
1 1 1 1ln( ) ln
33 1
u u arctgu u x u arctgu
y Cdu dx arctgu Kx Kx arctg
x x xu arctgu arctgu
C y Ctg y x tg
x x x
= − + ⇒ = − +
= ⇒ − = ⇒ = ⇒ = − +
= ⇒ = ⋅
10
26) 0y y
y sen x dx x sen dyx x
+ − =+ − =+ − =+ − =
Solución:
Es homogénea. ´
yysen x
xy
yx sen
x
+ = ⋅
´ ´
y ux
y u x u
== +
1 1´ ´
u x senu x u senu u senu u senuu x u u x u
x senu senu senu
⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ = = ⇒ = − =⋅
1 u senu+ − ⋅ 1
senu senu=
1cos ln cos ln arccos ln
y C Csenu du dx u Kx y x
x x x x
= ⇒ − = ⇒ = ⇒ =
27) (((( )))) 41 1y´+ y = 1- 2x y
3 3
Solución:
Es una ecuación de Bernoulli.
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 4 3 4
4
4 3
4
3
3
´´ 3 ´ ´
3
´ 1 11 2 ´ (1 2 ) ´ 2 1 ( )
3 3 3
. .
´ 2 1
2 1 integrando 2 1
1 12 1 2 1
2 1
z
dx x
x x x
x x x x
x x
zz y y z y y y
y
zy x y z y x z z x lineal
y
F Int e e
e z e z e x
de z e x e z e x C
dx
z x Ce x Ce yy x
− − −−
−−
− −
− − −
− − − −
= = ⇒ = − ⇒ =−
+ = − ⇒ − = − − ⇒ − = −−
∫ =
⋅ − = −
⋅ = − ⇒ ⋅ = − − +
= − − + = − − + ⇒ =− −
���
xCe+
( ) ( ) ( ) ( )
2 1
22 1 2 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x
x
x
u x
du dxe x dx e x e dx e x e e x
dv e dx
v e
− − − − − −−
−
= −=
− = = − − + = − − − = − −=
= −
∫ ∫
28) 22 2 2 2
x 1 1 y 1 xdx dy 0
x y y yx y x y
+ + + + − =+ + + + − =+ + + + − =+ + + + − = + ++ ++ ++ +
Solución:
No es de v. separadas ni homogénea.
( )
( )
232 2
232 2
1
1
y
x
xyM
yx y
Exactaxy
Ny
x y
− = − +
− = −+
11
( )2 2
1/ 22 2
2 2
22 2
2 2
2 22 2 2 2
1 1
1 1( , ) ln ( )
1
ln ( )
1 1( ) ( ) ( ) ln
x
y
y
xf
x yx y x xf x y dx x x y dx x h y
y x x y yx yfy yx y
xx y x h y
y
y x y xf h y h y h y y
y y y yx y x y
−
= + + + = + + = + + + + + = + −
+
= + + + +
= − + = + − ⇒ = ⇒ =+ +
∫ ∫
La solución es 2 2 ln ln
xx y x y K
y+ + + + =
29)
2x 3y´ xy x e y− −− −− −− −+ = ⋅+ = ⋅+ = ⋅+ = ⋅
Solución:
Ecuación de Bernoulli . Hacemos un cambio de variable:
1 3 4 3
3
´´ 4 ´ ´
4
zz y y z y y y
y
+= = ⇒ = ⋅ ⇒ =
2 2 23 4
3
´´ 4 4 ´ 4 4 ( )
4
z
x x xzxy x e y z x y x e z xz x e lineal
y
− − − −+ = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅��
2
´ 4 4 xz xz x e−+ = ⋅ F. Integrante: 24 2xdx xe e∫ =
2 2 22 2´ 4 4x x xe z xze x e⋅ + = ⋅
( )2 2 2 2 2 22 2 24 integrando 2 +C 2x x x x x xde z x e e z e z e Ce
dx
− −⋅ = ⋅ ⋅ = ⇒ = +
2 24 22 x xy e Ce− −= +
30) 2 xy y´ 2y e⋅ − =⋅ − =⋅ − =⋅ − =
Solución:
1´ 2 xy y e y−− = ⋅ Ec. Bernoulli 1 1 2 ´
´ 2 ´ ´2
zz y y z y y y
y
+= = ⇒ = ⋅ ⇒ =
1 2 4 4´2 ´ 4 2 ´ 4 2 ( ) . .
2
z
x x x dx xzy e y z y e z z e lineal F Int e e
y
− − −∫− = ⋅ ⇒ − = ⇒ − = =��
4 4 3´ 4 2x x xe z z e e− − −⋅ − ⋅ =
( )4 3 4 3 4
2 4
2 22 integrando
3 3
2
3
x x x x x x
x x
de z e e z e C z e Ce
dx
y e Ce
− − − −⋅ = ⋅ = − + ⇒ = − + ⇒
= − +
12
31) 2(1 )dy
x x y xydx
− + =
Solución:
21 xy´ y y Bernoulli
x
+− = 1 2 1 2 2´ ´ ´ ´− − −= = ⇒ = − ⋅ ⇒ = −z y y z y y y z y
( )2 2 21 x 1 xz´y y y divido por y z´ z 1 Lineal
x x
+ +− − = − ⇒ + = −
h
xx C x
h
1 x 1 x dz 1 xz z´ z 0 z´ z v.sep. z
x x dx x
1 1 xdz dx Lnz Lnx x C Lnzx x C
z x
Kezx e Ke z
x
−− + −
+ + ++ = = − = −
+= − ⇒ = − − + ⇒ = − +
= = =
-x x x -x
p 2
x x
k(x)e xk´(x)e xk(x)e k(x)ez Variación de constantes z= z´
x x
1+xsustituyo en z´+ z 1
x
xk´(x)e xk(x)e
− −
− −
− −=
= −
− -xk(x)e− -x
2 2
k(x)e
x x+
x
2
xk(x)e
x
−+
( )x x -x
x x xp
-x -x
-x
-x
1
xe e e x 1k (x) xe k(x) xe e z
x x
ke x 1 ke x 1Luego : z deshaciendo el cambio
x x x
1 ke x 1 xy
y x ke x 1
= −
− + − += − ⇒ = − − ⇒ = =
− + − += + =
− += ⇒ =− +
32) ( )( ) ( )2 2 21 1 0x yy e dx e dy y dy+ − − − =
Solución:
( ) ( )( )2 2 2 21 1 1 0x yy e dx y e y dy+ + − − + =
( )( )
( )( )
2
2
2 2
2 2
2 2 2
2 22
1´ Variables separadas
1 1
1 1 1
1 11
+=
− + +
− + + = − + = + ++
x
y
y
x y x
yy e
y e y
y e y ydy e dx e dy e dx
y yy
2 2 21 1arctan 1
2 2
y xy Ln y e e C− + + − =
33) 1 1 0x x
y y xe dx e dy
y
+ + − =
Solución:
x / y x / y x / y x / yy x2 2
x 1 x x xM e N e 1 e e Exacta
y y yy y
= − = − + − = −
13
( )x / y
xx / y x / yx / y
x / yy
x / yy
f 1 e
f (x, y) 1 e dx x ye h(y)e xf e
y
f e
= +
= + = + +⋅= −
=
∫
y−
x / y
2
e x
y
⋅ x / yh´(y) e+ =x / ye x
y
⋅−
x / y
h´(y) 0 h(y) K
f (x, y) x ye C Solución
⇒ = =
= + =
34) ( ) ( )2 3 22 3 7 3 0xy y dx xy dy− + − =
Solución:
No es de variables separadas ni homogénea. Para ver si es exacta:
( )
( )( )
2 2 2 2y x y
2 3 22
x
2
M 4xy 9y N M 3y 4xy 9y 6y 4xyCon fact. int .
M 2xy 3y y 2x 3yN 3y
2y 3y 2x 2h(y)
y 2x 3y y
= − − − − + − = = = − −= −
− −= = =−
Luego admite un factor integrante 2
12Lndy
2Lnyy y
2
1e e e
y
−−∫ = = =
( )
( )
2
x
2
y 2
y 2 2 2
2
72x 3y dx 3x dy 0 Exacta
y
f 2x 3y
f (x, y) 2x 3y dx x 3yx h(y)7f 3x
y
7 7 7 7f 3x h (y) 3x h (y) h(y) dy
y y y y
7La solución es f (x, y) x 3yx C
y
− + − =
= − = − = − += −
= − + = − → = ⇒ = =−
= − − =
∫
∫
35) ( )2 4 ´ 2 8x y x xy+ = −
Solución:
( )
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2
4
2 42 2 44
2 4
2xy´ 1 4y variables separadas
x 4
1 2x 1 2xdy dx dy dx
1 4y 1 4yx 4 x 4
1 1Ln 1 4y Lnk(x 4) Ln Lnk(x 4)
4 1 4y
1 1 Fk(x 4) 1 4y 1 4y
1 4y k(x 4) (x 4)
1 Gy Solución
4 (x 4)
= −+
= ⇒ = ⇒− −+ +
− − = + ⇒ = + ⇒−
= + ⇒ − = ⇒ − = ⇒− + +
= ++
∫ ∫
14
36) 2´ tan cos 0y y x y x− + =
Solución.
2 1 2 1 2 2
2 2 2
´ tan cos ´ ´ ´ ´
´ tan cos
´ tan cos
1 1´ tan 0 . tan tan
cos cos cos
( )cos
− − −− = − = = ⇒ = − ⇒ = −− − = − −
+ ⋅ =
+ ⋅ = ⇒ = − ⇒ = −
= + = ⇒ =
=
∫ ∫h
h
p p
y y x y x Bernoulli z y y z y y y z y
z y y x y x divido por y
z x z x Lineal
z z x z V Separadas dz x dx dz x dxz z
Lnz Ln x LnC LnC x z C x
z z C x ´ ( ) cos ( )
´ tan cos
( ) cos ( )
= −
+ ⋅ =
−
px z C x x C x senx
sustituimos en z x z x
C x x C x senx tan ( ) cos+ ⋅x C x x cos
( ) cos cos ( ) 1 ( ) cos
=
= = ⇒ = ⇒ =p
x
C x x x C x C x x z x x
La solución general será: z Ccos x xcos x= + Deshaciendo el cambio:
( ) ( )1 1
C x cos x yy C x cos x
= + ⇒ =+
37) sin cos ´ cos 0y y y
x y y xx x x
− + =
Solución:
( )
y yycos x sen
y=uxx xy´ Homogénea
y y´=ux+ux cos
x
ux cosu xsenu u cos u senu senuu´x u u
x cosu cosu cosu
senu cosu 1 cosu 1u´x v. sep. du dx du dx
cosu senu x senu x
k yLn senu Ln sen
x x
− ⋅ = ⋅
− −+ = = = −
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒
= ⇒ =
∫ ∫
k yx sen k solución
x x
⇒ ⋅ =
38) ( )2 sin 0ydx x y dy+ − =
Solución: 11
Lndyy x y y2y
x
M 2 N M 1 1h(y) f .int : e e
M 2yN 1 y
−∫= − = − = ⇒ = ==
sin2 0
2
( , ) 2 2 ( )sin
+ − =
=
= = += −
∫x
y
yxydx dy Exacta
y y
f y
f x y y dx x y h yyxf
y y
15
=y
xf
y( )+ = x
h yy
sin sin( )
sin( ) 2cos
Solución: 2 2cos
− ⇒ = −
−= =
+ =
∫
y yh y
y y
yh y dy y
y
x y y C
39) ´ 2 cos 2 siny xy x x x− = −
Solución:
Es una ecuación lineal
2
2 2 2
2 2
2h
xh
x x xh
x x
1 1y y´ 2xy 0 dy 2xdx dy 2xdx Lny x k
y y
y Ce
y y C(x)e y´ C (x)e C(x)2xe sustituyendo en y´ 2xy cos 2xsenx
C´(x)e C(x)2xe
− = = ⇒ = ⇒ = +
=
= = + − = −
+
∫ ∫
2x2xC(x)e−
( )22 xx
cos x 2xsenx
C(x) cos x 2xsenx e dx cos x e dx−−
= −
= − = ⋅∫ ∫2 2x xsenx e cos x e dx− −+ ⋅ − ⋅∫
2 2 2
2
2
x x xx
x
u senx
du cos xdx
2xsenxe dx senx e cos x e dxdv 2xe dx
v e
− − −−
−
==
− = = ⋅ − ⋅= −
=
∫ ∫
Con lo cual 2 2x x
py senx e e senx−= ⋅ ⋅ =
La solución general de la ecuación lineal es : 2x
y Ce senx= +
40) sec 0y
x y dx xdyx
+ − =
sujeta a y(1)=0
Solución. Es homogénea.
sec
sec 0 ´
sec 1´ sec ´ sec
´ ´ cos
yx y
dy y xx x y y
dx x x
y ux x u uxu x u u u u x u
y u x u x u
+ − + = =
= ++ = = + ⇒ = == +
1 1cos cos ln ln
yu du dx u du dx senu Kx sen Kx
x x x
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
∫ ∫
16
41) ( ) ( )4 0x y dx x y dy− + + =
Solución:
Es homogénea y uxy x ux x u 1
y´ u´x uy´ u´x ux 4y x 4ux 1 4u
= − − −= + = == ++ + +
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2
2 22 2 2
2 2
u 1 1 4u 1 4u 1 1 4u 1u´x u du dx du dx
1 4u 1 4u x x1 4u 1 4u
1 1arctg 2u Ln 1 4u LnKx arctg(2u) Ln(1 4u ) 2LnKx
2 2
2y x 4y C 2yarctg L Ln arctg Ln x 4y Lnx
x xx x
− − − + += − = ⇒ − = ⇒ − =+ + + +
− − + = ⇒ + + = −
+ + = ⇒ + + −
∫ ∫
2LnC Lnx= −
( )2 22yarctg Ln x 4y F
x
+ + =
42) ( )3
2 2
10
1
dy y
dx xy x
++ =+
Solución:
( ) ( )3 2
32 2 2
1 1
11 1
dy y ydy dx
dx yxy x x x
+= − ⇒ = −++ +
Variables separadas
( )2
3 2
1
1 1
ydy dx
y x x= −
+ +∫ ∫
( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
22 2
2 2
22
1Descomposición en fracciones simples:
1
11
11 1
0
1 1 ( ) 1 0
1 1
1 1
11
=+
+ + ++= + =++ +
+ =+ + + = + + + = ⇒ = = → = −
= −++
∫ dxx x
A x Bx C xA Bx C
x xx x x x
A B
A x Bx C x A B x Cx A C
A B
x
x xx x
( )
2
3 2
3 2
233
1
1 1
1 1(1 ) 1
3 2
11
= − ++ +
+ = − + + +
++ =
∫ ∫ ∫y x
dy dx dxy x x
Ln y Lnx Ln x LnK
K xy Solución
x
17
43) 2sen(xy) xycos(xy) x cos(xy)y´ 0+ + =
Solución:
( ) ( )( )2
2 2
2
( ) cos( ) cos 0
cos( ) cos( ) ( ) 2 cos( ) ( )
2 cos( ) ( )
M N
y
x
sen xy xy xy dx x xy dy
M x xy x xy x ysen xy x xy x ysen xyExacta
N x xy x ysen xy
+ + =
= + − = −
= −
���������������� ���������
( ) ( ) ( )
( )
22
( ) cos( )( , ) cos ( )
cos
x
y
x
f sen xy xy xyf x y x xy dy xsen xy h x
f x xy
f sen xy
= + = = +=
=
∫
( )cosxy xy+ ( ) ( )h x sen xy+ = cos( )xy xy+
( )´( ) 0 ( )
:
h x h x K
Luego la solución es xsen xy C
= =
=
44) 4y´ y x y
x= +
Solución:
1/ 24´y y xy
x− = (Bernoulli) Hacemos el cambio:
1 1/ 2 1/ 2
1/ 2
1/ 2
1 ´´ ´ ´
12
2
z y y
zz y y y
y
−
−
−
= =
= ⋅ ⇒ =
1/ 2
1/ 2
´ 4
1
2
zy xy
xy−
− =
2
12-x
2
2 1´ (Lineal) Factor Integrante e
2
Lndxx
xz z e
x x
∫− = ⇒ = =
2 3 2 2
1 2 1 1 1 1 1´
2 2 2
dz z z Integrando z Lnx C
x dx xx x x x
− = = = +
2 22 1/ 2 2
2 2
x xz Lnx Cx y Lnx Cx= + = +
45) 2 2y y y yxysen y cos dx x sen yx cos dy 0
x x x x
− + − =
Solución:
Es homogénea. Despejo y´
2
2
y yy cos xysin
x xy´
y yx sin yx cos
x x
− =
−
Hacemos el cambio y=ux y´=u´x+u
2 2 2 2
2 2
u x cos u ux sin u u cos u u sin uu´x u
sin u u cos ux sin u ux cos u
− −+ = =
−−
( )2 2 2u u cos u sin uu cos u u sin u 2u cos u 2u sin uu´x u 2u
sin u u cos u sin u u cos u sin u u cos u
−− −= − = = =−
− − −
18
x C
x C 2x 2C 2x
1 1 1 1du dx Lnu x C Ln x C e
2u 2 u u
u e u e y kxe
+
− − − − −
= − = + = + =−
= = =
46) yy´
2y ln y y x=
+ −
Solución:
( ) y
xM N
x
y
y
M 1ydx 2y ln y y x dy 0 Exacta
N 1
f yf (x, y) ydx yx h(y)
f 2y ln y y x
f x
= − − + + − = = −
= − = − = − += + −
= −
∫
�� ������������
h (y) 2y ln y y x+ = + −
2 2 2 2 22y y y y y
h(y) 2 y ln ydy 2 ln y y ln y2 2 4 2 2
= + = − + = −
∫2y
2+
2 2 2 2
2
u ln y
1du dy
y y y 1 y yy ln ydy partes ln y dy ln y
dv ydy 2 2 y 2 4
yv
2
=
== = = − = −
=
=
∫ ∫
Con lo cual la solución es: 2yx y ln y C− + =
47) ( ) ( )3x y 2 y´ x 1 0+ − + − =
Solución:
Esta ecuación se puede resolver de dos formas, como reducible a homogénea o bien como
exacta.
( )
3x y 2 0 x x 13x y 2y´ x 1 y 1 cambio :
x 1 0x 1 y y 1
3 x 1 y 1 2 3x yy ´ homogénea
x 1 1 x
∗
∗
∗ ∗ ∗ ∗∗
∗ ∗
− − + = = +− − + = ⇒ = = − − =− = −
− + − + + − −= =+ −
Resolvemos:
( )
2 2
y ux3x y 3x uxy u´x u 3 u
y´ u´x ux x
1 1 1 1u´x 3 2u V.sep. du dx du dx
3 2u x 3 2u x
1 C CLn 3 2u Lnx LnC Ln 3 2u Ln 3 2u
2 x x
K y K K3 2u deshaciendo el cambio 3 2 3x 2y
x xx x
K 3x K 3xy y
2x 2 22x
∗∗
∗
= − − − −= + = = − −= +
= − − = − ⇒ = −+ +
+ = − + ⇒ + = ⇒ + =
+ = + = ⇒ + =
= − → = −
∫ ∫
19
Con lo cual la solución de la ecuación de partida será: K 3(x 1)
y 12(x 1) 2
−+ = −−
También se podría haber resuelto como exacta.
48) ( )2 22 3xy dx 4x ydy 0+ − =
Solución:
7
17 Ln
dxy y x x2x2 7
x
M 6xy M N 14xy 7 1h(x) F.Int. e e
N 2xN 8xy 4x y x
−∫= − = = − = = == − −
2
3 2
2
2x 3 2
y
2
x 2
2 3y 4ydx dy 0 Exacta
x xx x x x
2 3yf
4y 2yx x x xf (x, y) dy h(x)
x x x x4yf
x x
3yf
x x
+ − =
= +
= − = − += −
=
∫
2
3 2
2 3yh´(x)
x x x x+ = +
3 4
2 4h(x) dx
x x 9x x
−⇒ = =∫
Luego la solución es: 2
2
4 3
2y 4 2C y Cx x
x x 9x x 9x− − = ⇒ = −
49) ( )nxnyy´ e 1 x
x 1− = +
+
Solución:
( )
( )
nx
h
n nh
n ´ n n 1p p p
nx
ny´ y e 1 x lineal
x 1
n n 1 n 1 ny y´ y 0 y´ y v.sep. dy dx dy dx
x 1 x 1 y x 1 y x 1
Lny nLn(x 1) LnC LnC(x 1) y C(x 1)
y y C(x) (x 1) y C´(x) (x 1) C(x) n(x 1)
nsustituyendo en y´ y e 1 x
x 1
C´(x) (x 1)
−
− = ++
− = = = ⇒ =+ + + +
= + + = + ⇒ = +
= ⋅ + = ⋅ + + ⋅ +
− = ++
⋅ +
∫ ∫
n n 1C(x) n(x 1) −+ ⋅ + n 1C(x) n(x 1) −− ⋅ + ( )nx
x x x np
e 1 x
C (x) e C(x) e y e (x 1)
= +
= = ⇒ = ⋅ +
La solución general de la ecuación será: ( )n xy x 1 (e C)= + +
20
TRAYECTORIAS ORTOGONALES
Hallar las trayectorias ortogonales a las siguientes familias de curvas:
50) 2 2x y C+ =+ =+ =+ =
Solución:
Calculamos la pendiente y´ en cualquier punto (x,y) .Para ello derivamos la función
implícitamente respecto a x. 2 2 ´ 0 ´x
x y y yy
+ ⋅ = ⇒ = −
La pendiente de la trayectoria ortogonal será: 1
m− , osea la nueva familia de curvas
ortogonales tendrá por pendiente ´y
yx
=
Para calcular dicha familia resolvemos la ecuación diferencial anterior, que en este caso, es
de v. separadas.
1 1ln lndy dx y kx y kx
y x= ⇒ = ⇒ = Familia de rectas
51) 2 22x y C− =− =− =− =
Solución:
2 1 1 14 2 ´ 0 ´ . ´
2 2 2
1ln ln ln ln
2
x y dy yx y y y Pend ort y dy dx
y x dx x y x
k ky x k y
x x
− ⋅ = ⇒ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −
= − + = ⇒ =
52) 2x Cy====
Solución:
Derivo respecto a x 2 2
2
´
x x 2y2x Cy´ despejo C en x Cy C 2x y´ y´
y y x
xy Calculo la familia que tieneestas pendientes
2y⊥
= = = ⇒ = ⋅ ⇒ =
= −
22
22
x xy´= var. separadas 2ydy xdx 2ydy xdx y C
2y 2
xy C familia de elipses
2
− = − ⇒ = − ⇒ = − +
+ =
∫ ∫
21
53) xy ce====
Solución:
x
x
x
yy´ Ce despejo C en la ecuación de la familia C sustituyo
e
yy´
e
= =
= xe ´
2
1y´ y y
y
1 yy´ v.sep. ydy dx ydy dx x C parábolas
y 2
⊥= ⇒ =− ⇒
=− = − ⇒ = − ⇒ = − +∫ ∫
54) a
yx
====
Solución:
2
a y xy´ despejo a a yx y´
x= − = ⇒ = −
2x
´y xy
x y⊥= − ⇒ =
Las trayectorias ortogonales tienen de pendiente: 2 2
2 2´2 2
x dy x y xy ydy xdx K x y C
y dx y= ⇒ = ⇒ = ⇒ = + ⇒ − = hipérbolas
55) ny ax====
Solución:
n 1 n 1 ´
n n
y y ny xy´ anx despejoa a sustituyo y´ nx y
x nyx x
− −⊥
−= = = = ⇒ =
Las trayectorias ortogonales tienen de pendiente: 2 2
2 2´2 2
x dy x ny xy nydy xdx K x ny C
ny dx ny= − = − ⇒ = − ⇒ = − + ⇒ + =
56) 2 2y x cx= += += += + :
Solución: 2 2 2 2
2 2´
2 2
y x y x2y y´ 2x c despejoc c sustituyo 2y y´ 2x
x x
x y 2xyy´ y
2xy x y⊥
− −⋅ = + = ⋅ = +
+ −= ⇒ =+
Las trayectorias ortogonales tienen de pendiente: 2 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 3´ homogénea ´ ´
1 1 1 1
xy ux u u u u u u uy u x u u x u
x y x u x u u u u
− − − − − − − − −= + = = ⇒ = − = =+ + + + + +
( )2 2
3
3 3
3 33 3
1 1 1 1 1integrando ln 3 ln
3 3 3
1 1ln ln
3 3
u udu dx du dx u u Kx
u u x u u x
xKx Kx
u u u u
+ += = ⇒ − − − =− − − −
= ⇒ = ⇒− − − −
∫ ∫
2 33 3K x
yx y=
− −2 33yx y C⇒ + =
22
57) 2 2x y 2ay+ =+ =+ =+ =
Solución: 2 2x y
2x 2y y´ 2ay´ despejo a a 2x 2y y´ 22y
++ ⋅ = = ⇒ + ⋅ =2 2x y
2
+
2 2 2 2 2 2´
2 2
y´y
x y x y 2xy y xy´ 2y 2x y´ 2x y´ y
y y 2xyx y⊥
+ − −− = ⇒ = ⇒ = ⇒ = −
Las trayectorias ortogonales tienen de pendiente:
( )
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2
22 2
2 2 2 2 2
1´ ´
2 2 2
1 1 2 1´
2 2 2
2 1 1integrando ln 1 ln ln ln
1 1
1
1
− − −= + = = ⇒
− − − − −= − = =
= ⇒ − + = ⇒ =− − +
= ⇒ = ⇒ = ⇒ + =+ + +
y x u x x uy homogénea u x u
xy ux u
u u u uu x u
u u u
udu dx u kx Kx
u x u
x xKx Kx K x y Cx
u x y x y
Luego las trayectorias ortogonales a circunferencias desplazadas al eje OY son
circunferencias desplazadas al eje OX.
58) Calcular las trayectorias ortogonales a la familia 1
Cxy
x=
+
( ) ( )2 2
(1 ) (1 )´
1 1
(1 )
´
C x Cx C y xy Como C
xx x
y x
y
+ − += = =+ +
+
=( ) 21
x
x+pendientes de la familia dada
(1 )
y
x x=
+
( )2
2 2 3 2 2 3
(1 )Las pendientes de las trayectorias ortogonales tendrán la forma: ´
Resolvemos dicha ecuación diferencial
Trayectorias ortogonales2 2 3 2 2 3
x xy
y
ydy x x dx
y x x y x xK K
+= −
= − −
= − − + ⇒ + + =
