ejercicios resueltos
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LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS
Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco
La ecuación de la curva es del tipo , para la cual se necesita tener el valor de b, el semieje menor. Puesto que se conocen a y c, b se determina de la expresión que las relaciona:
1. Para encontrar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco en el punto (0, 3) y semieje mayor igual a 5, por las coordenadas del foco se sabe que el eje focal es
el eje y, y que la distancia del centro al foco es c = 3. Además, a = 5.
12
2
2
2
=+ay
bx
222 cab −=222 35 −=b
162 =b 12516
22
=+yx
2. Se pueden determinar todos los elementos que caracterizan a la elipse del ejemplo anterior y
representarla en el plano coordenado:
Centro: C(0, 0)
Eje focal: eje y
Vértices: V(0, 5) y V’(0, –5)
Focos: F(0, 3), F’(0, –3)
Distancia focal: 2c = 6
Longitud del eje mayor: 2a = 10
Longitud del eje menor: 2b = 8
Longitud de cada lado recto:
Excentricidad:
( )532
5162
=22ba
=2 2 3= < 1
5c a bea a
−= =
GRÁFICA EJEMPLO 2
3. La ecuación de la elipse con vértices V(4, 0) y V’(–4, 0) y excentricidad ¾ se puede obtener de la siguiente
manera:
Por los vértices se sabe que es una elipse con centro en el origen, que su eje focal es el eje x, y que a = 4.
Por la definición de la excentricidad: por lo tanto, , y c = 3. Entonces La ecuación es
ace =
443 c=
222 cab −= 734 222 =−=b
1716
22
=+yx
4. Para la elipse cuyo eje mayor coincide con el eje x y pasa por los puntos (4, 3) y (6, 2), al considerar la
fórmula
Como los puntos deben satisfacer la ecuación, se tiene: Para (4, 3): Para (6, 2): Éste es un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: a
y b. Para resolverlo se puede despejar b2 de las dos ecuaciones e igualar los valores para determinar el valor de a2:
12
2
2
2
=+by
ax
1342
2
2
2
=+ba 2 2
16 9 1..................... (1)a b+ =
1262
2
2
2
=+ba 2 2
36 4 1..................... (2)a b+ =
Cont….ejemplo 4.
De (1): De (2):
191622 =+ba
2222 916 baab =+
( ) 222 916 aab −=−
2 22
2 2
9 9 ... (3)16 16a aba a
= − =− −
143622 =+ba
2222 436 baab =+
( ) 222 436 aab −=−
2 22
2 2
4 4 ... (4)36 36a aba a
= − =− −
Cont….ejemplo 4.
Igualando (3) y (4): Este valor se sustituye, por ejemplo, en (4): La ecuación de la elipse es: Para definir sus elementos se requiere conocer el valor de c.
364
169
2
2
2
2
−=
− aa
aa ( ) ( )2 29 36 4 16a a− = −
2 29 324 4 64a a a a− = − 02605 2 =−a 5252602 ==a
( )3652524
3642
22
−=
−=aab 13
162082 ==b
11352
22
=+yx
222 cab −=22 bac −= 391352 =−=c
Cont….ejemplo 4. Los elementos de la elipse son:
Centro: C(0, 0)
Eje focal: Eje x
Vértices: V( , 0) y V’( , 0)
Focos: F( , 0), F’( , 0)
Distancia focal:
Longitud del eje mayor:
Longitud del eje menor:
Longitud de cada lado recto:
Excentricidad:
52 52−
39 39−
2c =2 392a = 2 52
2b = 2 1322ba
= 21
5226
=
aba
ace
22 −== 39
52=
Cont….ejemplo 4. GRÁFICA
V'(- 52 , 0) V( 52 , 0)
( 39,0)FF'( 39 ,0)−
5. Para la elipse cuyos vértices son V(6, 4) y V’(–2, 4) y sus focos los puntos F(5, 4) y F’(–1, 4), encontrar su ecuación, elementos y gráfica.
Como los vértices y los focos tienen la misma ordenada, la elipse tiene su eje mayor paralelo al eje x, de manera que la fórmula a utilizar es:
El centro de la elipse está en el punto medio de los
vértices (y de los focos) por lo tanto sus coordenadas son
( ) ( ) 12
2
2
2
=−
+−
bky
ahx
1 2
2x xx +
= = ( ) 2226=
−+
Cont…..ejemplo 5
• La distancia del centro a cualquiera de los vértices es el valor de a, de modo que:
• Y c es la distancia del centro a cualquiera de los focos:
• Para determinar la ecuación es necesario conocer el valor de b:
1 2
2y yy +
= = 4244=
+
426 =−=a
325 =−=c
222 cab −= 79162 =−=b 7=b
Para
x = 0
y1 = 6.3 y2 = – 1.7
(0, 6.3)
(0, –1.7)
Para
x = 4
y1 = 6.3 y2 = – 1.7
(4, 6.3)
(4, –1.7)
Para
x = 2
y1 = 6.65 y2 = 1.35
(2, 6.65)
(2, 1.35)
( ) ( )2 20 2 41
16 7y− −
+ =( )
411
74 2
−=−y 3
4=
4211682 =+− yy
043324 2 =+− yy 2218±
=y
( ) ( )2 24 2 41
16 7y− −
+ =( ) 174
164 2
=−
+y
( ) ( )2 22 2 41
16 7y− −
+ =( )240 1
16 7y −
+ =
( )241
7y −
=2 8 16 7y y− + = 4 7y = ±
Cont…ejemplo 5. GRÁFICA
6. Para la elipse cuyos vértices son los puntos (–3, 7) y (–3, –1) y la longitud de cada lado recto es 2 encontrar la ecuación, sus
elementos y su gráfica
Como los vértices tienen la misma abscisa la elipse es vertical ya que el eje mayor, y el focal, son paralelos al eje y. La ecuación que le corresponde es:
El centro es el punto medio del eje mayor Su abscisa es la misma de los vértices y su
ordenada es
( ) ( ) 12
2
2
2
=−
+−
aky
bhx
'VV
1 2
2y yy +
= =( ) 3217=
−+ C(-3, 3)→
Cont…..ejemplo 6.
La longitud de su eje mayor es la distancia entre sus vértices:
Como la longitud de cada uno de sus lados rectos es 2, se tiene:
y la longitud de su eje menor es 2b = 4 La ecuación de esta elipse es: Para determinar las coordenadas de los focos se
calcula el valor de c a partir de la expresión:
a = 4→( ) 8172 =−−=a
22 = 2ba
( )422 2 =b 4282 ==b 2=b
( ) ( ) 1163
43 22
=−
++ yx
222 cba +=
Cont….ejemplo 6.
• Por lo tanto, los focos son los puntos:
• su excentricidad es:
222 bac −= 124162 =−=c 3212 ==c
( )3, 3 2 3F − + ( )' 3, 3 2 3F − −
23
432===
ace
Cont…ejemplo 6. GRÁFICA
7. Encontrar la ecuación de la elipse que tiene centro en (1, 2), uno de los focos es (6, 2) y pasa por el punto (4, 6),
Como el centro y el foco tienen la misma ordenada, el eje focal y el eje mayor son paralelos al eje x. Por tanto, la ecuación que corresponde a esta curva es:
Al sustituir las coordenadas del centro (h, k) = (1, 2): Hay que determinar a2 y b2.
( ) ( ) 12
2
2
2
=−
+−
bky
ahx
( ) ( ) 1212
2
2
2
=−
+−
by
ax
Cont….ejemplo 7.
Como el punto (4, 6) pertenece a la elipse, satisface su ecuación:
Para obtener una ecuación con una sola incógnita,
se hace la sustitución
( ) ( ) 126142
2
2
2
=−
+−
ba1169
22 =+ba
2 2 2b a c= −
Cont…ejemplo 7.
Para determinar su gráfica se localizan los vértices, los focos y el centro, y se sabe que su eje mayor mide 2a = 2(4) = 8 y su eje menor,
de manera que los puntos de intersección de la elipse con su eje menor son
Cada uno de sus lados rectos mide: Otros puntos de la elipse, con valores aproximados
de la ordenada, son:
2b = 2 7
( )2, 4 2 7B + ( )' 2, 4 2 7B −
22ba
= 5.3414
=
8) Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0, 3) y F’(0, –3), y cada uno de sus lados rectos igual a 9. Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal es el eje y. El centro se encuentra en el punto medio entre ellos: C(0, 0). • La distancia c es:
• El lado recto es:
330 =−=c2 2 2b a c= −
922 −= ab
,
92 2
==abLR
• Sustituyendo:
• El valor negativo de a no se considera puesto que a es una longitud. Por tanto a = 6.
( ) 992 2
=−
aa
01892 2 =−− aa ( ) ( ) ( )( )( )22
182499 2 −−−±−−=a
4159
4144819 ±
=+±
=a 6424
1 ==a
23
46
2 −=−=a
• La ecuación de la elipse es:
922 −= ab
279362 =−=b
13627
22
=+yx
9) Los focos de una elipse son los puntos F(3, 8) y F’(3, 2) y la longitud de su eje menor es 8. Encuentra la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices y su excentricidad. • El eje focal es paralelo al eje y. • El centro tiene la misma abscisa que los focos: h = 3. La distancia entre los focos es: k = 2 + c = 2 + 3 = 5 → C(3, 5) 2b = 8 b = 4
8 2 32
c −= =
222 cba += 259162 =+=a
• Ecuación de la elipse:
• Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3, 10); V’(h, k – a) = (3, 5 – 5) = (3, 0)
• Excentricidad:
( ) ( ) 1255
163 22
=−
+− yx
cea
= =53
10) Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (4, 0) es igual a la mitad de su distancia a la recta x – 16 = 0 e interpreta el resultado. • Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0):
• Distancia del mismo punto (x, y) a la recta x – 16 = 0:
1d = ( ) ( )22 04 −+− yx
2d =2116
+
−x
El lugar geométrico descrito es una elipse horizontal con centro en el origen, eje mayor igual a 2(8) = 16 y eje menor igual a
1 212
d d= ( )2 24x y− + = ( )1 162x −
( ) ( )2 22 14 164
x y x− + = −
( )2563241168 222 +−=++− xxyxx
21 8 644x x= − +
2 23 484x y+ =
( )
2 23 14 48 48x y
+ = 14864
22
=+yx
482
11) Un arco con forma de semi-elipse tiene una altura máxima de 45m y un claro de 150m. Encuentra la longitud de dos soportes verticales situados de manera que dividan en claro en tres espacios iguales. Si el eje x es la base del arco (el eje focal de la
elipse) y el origen es su punto medio, la ecuación es del tipo , con el
semieje mayor, a = 75 y el semieje menor, b = 45.
Para que el claro se divida en tres partes iguales, la distancia de los soportes a cada vértice y entre ellos debe ser de 50m.
12
2
2
2
=+by
ax
• La ecuación es: 1
20255625
22
=+yx
Para determinar la altura de los soportes, se hace x = 25 en la ecuación y se despeja el valor de y:
Puesto que y es una longitud (la altura de los
postes), se toma sólo la raíz positiva.
( )2 2251
5625 2025y±
+ = 120255625
625 2
=+y
120259
1 2
=+y
98
2025
2
=y
18009
162002 ==y 230=y