ejercicios dinamica de fluidos

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Ejercicios fisica

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  • UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE INGENIERA Y ARQUITECTURA

    UNIDAD DE CIENCIAS BSICAS

    GGUUIIAA DDEE DDIISSCCUUSSIINN NN 22

    UNIDAD II DINMICA DE LOS FLUIDOS

    FFSSIICCAA IIII // 22001144

  • Unidad II. Dinmica de los Fluidos Fsica II. Ciclo I/2014

    A. Definir, explicar o comentar los siguientes conceptos. (Este literal es necesario que el estudiante lo conteste antes de recibir la discusin ya que lo utilizar para responder los literales (B) y (C))

    1. Dinmica de los fluidos 9. Flujo Viscoso 2. Flujo msico, flujo volumtrico 10. Fluido ideal

    3. Flujo estable 11. Lnea de corriente 4. Flujo no estable 12. Ecuacin de continuidad

    5. Flujo laminar 13. Caudal Gasto 6. Flujo turbulento 14. Ecuacin de Bernoulli

    7. Flujo rotacional 15. Teorema de Torricelli 8. Flujo irrotacional 16. Efecto de Venturi

    B. Dadas las siguientes preguntas, seale la respuesta correcta

    1) El flujo de masa de un fluido que entra en un lado de un contenedor es 3.0 kg/s; el que sale del otro lado del contenedor es 2.0 kg/s. Suponiendo que el contenedor est completamente lleno con lquido y que no haya otra forma de que entre o salga, podemos concluir que:

    a) el punto de entrada tiene una seccin transversal mayor que el punto de salida. b) la magnitud de la velocidad de entrada es mayor que la velocidad de salida. c) debe aumentar la densidad del fluido dentro del contenedor. d) el fluido es incompresible.

    2) Un largo tubo recto de seccin circular tiene un radio que vara a lo largo del tubo. En l hay un flujo estable, sin fuentes ni sumideros. En un punto p1 del tubo el radio es r1 y el flujo de

    masa por dicho punto es una constante . Ms adelante, en el tubo hay un punto p2

    donde el radio es .

    A) La razn de flujo

    2

    1

    dm

    dtdm

    dt

    es:

    a) 9 b) 3 c) 1 d) 1/9 e) dependiente de las densidades del fluido en los puntos p1 y p2

    B) La razn de las rapideces de flujo es:

    a) 9 b) 3 c) 1 d) 1/9

  • Unidad II. Dinmica de los Fluidos Fsica II. Ciclo I/2014

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    3) Una corriente estable de agua cae verticalmente de un tubo. Suponga que el flujo es incompresible. A una distancia d1 debajo de l la rapidez del agua es 1.0 m/s. A una distancia d2 debajo de l la rapidez del agua es 2.0 m/s. Cul es la razn de la seccin transversal del flujo a la distancia d1 con la seccin transversal del flujo a distancia d2?

    a) 4 c) b) 2 d)

    4) Una caja cuadrada de vino tiene una pequea salida en uno de los ngulos del fondo. Cuando la caja est llena y en una superficie plana, al abrir la salida el vino fluye con una

    rapidez de A) Ahora la caja est medio vaca y sigue colocada en una superficie plana. Cuando la

    salida se abra por completo, el vino fluir con una rapidez de:

    a)

    b)

    c)

    d)

    B) La caja sigue medio vaca, slo que ahora alguien la inclina 45 de modo que la salida se encuentra en el punto ms bajo. Cuando se abre totalmente la salida, el vino saldr fluyendo con una rapidez de:

    a)

    b)

    c)

    d)

    5) Indique cual de los siguientes literales, corresponde a una afirmacin correcta:

    a) La presin atmosfrica es la presin manomtrica de la atmsfera, medida con un barmetro.

    b) La presin absoluta es igual a la suma de la presin real y la presin atmosfrica. c) Las unidades en las que se expresa la presin atmosfrica siempre son

    atmsferas. d) La presin manomtrica es igual a la presin absoluta menos la presin

    baromtrica.

  • Unidad II. Dinmica de los Fluidos Fsica II. Ciclo I/2014

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    6) En el flujo de fluidos, cuando los efectos de la friccin interna son nulos, se dice que el flujo es:

    a) Irrotacional c) Incomprensible b) No viscoso d) No estacionario

    7) Las ecuaciones de continuidad y de Bernoulli se basan, respectivamente en las leyes de conservacin de:

    a) Masa; Energa c) Energa; masa b) mpetu; Masa d) Masa; mpetu

    8) De la figura, en base a las ecuaciones de continuidad y Bernoulli para un flujo ideal, es correcto afirmar que:

    a)

    b)

    c)

    d)

    9) Para un fluido ideal circulando en la tubera mostrada, donde 1 23d d , con respecto a

    las velocidades en los puntos (1) y (2) es correcto afirmar que:

    a) b) c) d)

    10) Dada la siguiente figura; la presin en el punto (2) esta expresada en la ecuacin:

    a) 2 22 2 1 2 1 11

    2 P g h h Pv v

    b) 2 22 2 1 1 2 11

    2 P g h h Pv v

    c) 2 1 2 12 21 2 P g h h Pv v

    d) 1 2 12 22 2 11

    2 P g h h Pv v

  • Unidad II. Dinmica de los Fluidos Fsica II. Ciclo I/2014

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    11) Una corriente estable de agua cae verticalmente de un tubo. Suponga que el flujo es incompresible. De qu manera vara la presin en el agua con la altura en la corriente?

    12) Un fluido incompresible fluye en un tubo horizontal. En un punto del tubo la presin del fluido es y su rapidez es . Ms all, en la direccin en que se mueve el fluido, la

    presin es y la rapidez del fluido es . Qu puede concluirse respecto a la relacin

    entre y ?

    a) b) c) d) slo que 1 2p p

    13) Un flujo incompresible fluye en un tubo horizontal. En un punto del tubo la presin es . En otro punto del tubo la presin es . Qu se puede concluir respecto a las

    superficies de seccin transversal del tubo en el punto 1 y en el punto 2?

    a) 1 2A A

    b) 1 2A A

    c) Nada puede concluirse sobre la relacin entre 1A y 2A

    d) 1 2A A

    14) La ecuacin de continuidad representa para un fluido ideal:

    a) la conservacin de la energa b) la conservacin del calor c) la conservacin de la masa d) la conservacin de la velocidad

    15) La ecuacin de Bernoulli representa para un fluido ideal:

    a) la conservacin de la masa b) la conservacin del volumen del fluido c) la conservacin de la densidad d) la conservacin de la energa

    a) La presin en el agua es mayor en los puntos ms bajos de la corriente.

    b) La presin en el agua es menor en los puntos ms bajos de la corriente.

    c) La presin en el agua es igual en todos los puntos de la corriente.

    d) No se puede conocer la relacin de la presin por carecer de datos.

  • Unidad II. Dinmica de los Fluidos Fsica II. Ciclo I/2014

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    16) Considere la ecuacin de Bernoulli: 2

    ...2

    vph Cte

    g De acuerdo a como est escrita

    dicha ecuacin, en el sistema Internacional; se puede deducir que las unidades de cada trmino son:

    a) dinas cm

    b) m/kg c) m

    d) 2N m

    17) Las unidades SI en que se expresa el trmino P

    g es:

    a) m c) 2dinas cm

    b) 2N m d) 2m

    18) Al termino 2

    2

    v

    g se le conoce con el nombre de altura:

    a) dinmica b) geomtrica c) esttica d) piezomtrica

    19) La figura muestra una boquilla de una manguera por la que sale un fluido de densidad

    a una velocidad . Si el dimetro de la seccin ancha D1 comparado con el dimetro D2 del orificio de salida es D1 = 2D2, la velocidad 1v del fluido en la seccin ancha en

    trminos de 2v es:

    a) 1 21

    4v v

    b) 1 21

    2v v

    c) 1 22v v

    d) 1 24v v

    C. Conteste las siguientes preguntas, razonando su respuesta.

    1) En el flujo estable, el vector velocidad es constante en cualquier punto. Puede existir

    entonces un movimiento acelerado de las partculas del fluido? Explique. 2) Dos lanchas de remos que se mueven paralelamente entre s y en la misma direccin

    son arrastradas una hacia la otra. Dos automviles que se muevan paralelamente tambin son arrastrados entre s. Explique tal fenmeno con base en la ecuacin de Bernoulli.

  • Unidad II. Dinmica de los Fluidos Fsica II. Ciclo I/2014

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    3) Al construir los "rascacielos", Qu fuerzas producidas por el movimiento del aire entre

    ellos, deben ser contrarrestadas? Cmo se hace esto? 4) Explique, mediante la ecuacin de Bernoulli, la accin de un paracadas para retardar

    la cada libre. 5) Por qu se vuelve ms angosta la corriente de agua al salir por un grifo? 6) Explique cmo la diferencia de presin entre las superficies baja y superior del ala de

    un avin depende de su altitud. 7) La acumulacin de hielo en el ala de un aeroplano puede reducir significativamente su

    fuerza ascensional. Explique (El peso del hielo no es lo que aqu importa). 8) Explique por qu el efecto destructivo de un tornado es mayor cerca del centro de la

    perturbacin que cerca del borde. 9) Es verdad que en las baeras situadas en el hemisferio norte el agua se drena con

    una rotacin en sentido antihorario y en las del hemisferio sur lo hacen en sentido horario? De ser as, explique y prediga lo que pasara en el ecuador.

    10) Explique por qu no es posible retirar el papel filtro del embudo de la figura soplando

    por el extremo angosto.

    11) De acuerdo con la ecuacin de Bernoulli, un aumento de velocidad debe estar asociado a una disminucin de la presin. Sin embargo, cuando ponemos la mano fuera de la ventanilla de un automvil en movimiento, aumentando la velocidad a la cual fluye el aire, sentimos un aumento de presin. Por qu no es esto una violacin de la ecuacin de Bernoulli?

    12) Explique por qu las pelotas de golf tienen hoyuelos. 13) Explique cules son los principios fsicos fundamentales que se aplican al estudio del

    flujo de un fluido? 14) Qu aproximaciones se hacen en relacin con el estudio de la dinmica de fluidos? 15) Diga si hay flujo, a travs de la superficie lateral de un tubo de corriente? Explique. 16) Explique si es vlida la ecuacin de continuidad para fluidos comprensibles? 17) Explique la relacin entre la velocidad y el rea para un fluido incompresible que fluye

    en un tubo de corriente de seccin variable y en rgimen de flujo estable.

  • Unidad II. Dinmica de los Fluidos Fsica II. Ciclo I/2014

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    18) Qu principio fsico expresa el Teorema de Bernoulli?

    19) Uno de los trminos que aparece en la ecuacin de Bernoulli es 2 v y se denomina presin dinmica. Demuestre que esta tiene unidades de presin y que coinciden con la energa por unidad de volumen.

    20) Siempre que es posible los aviones despegan y aterrizan en contra del viento. Por

    qu?

    D. Problemas propuestos

    Contenidos: 2.1 Conceptos generales del flujo de fluidos 2.2 Ecuacin de continuidad

    1) Fluye agua a 1.2 m s a travs de una manguera de 1.59 cm de dimetro. Cunto

    tiempo le tomar llenar una alberca cilndrica de 2m de radio hasta una altura de

    1.25 m?

    2) Un ducto de seccin transversal cuadrada 0.5 0.5m m se usa para cambiar cada 20 min el aire de una habitacin cuyas dimensiones son 4 3 3m m m cul es

    la velocidad del flujo de aire a travs del ducto?

    3) Fluye agua a una velocidad de 2.4m s a travs de una manguera de jardn de

    1.59cm de dimetro y emerge por una boquilla de 0.64cm de radio. Si la boquilla

    est dirigida verticalmente hacia arriba, a qu altura se elevara el agua?

    4) Por un tubo de 34.5 cm de dimetro se transporta agua que se desplaza a

    2.62 /m s . Cunto tardar en descargar 31,600 m de agua?.

    5) Una manguera de jardin que tiene un dimetro interno de 0.75 pulg est conectada a un aspersor que consta simplemente de un accesorio con 24 orificios, cada uno de 0.050 pulg de dimetro. Si el agua de la manguera tiene una velocidad de 3.5 pie/s. A qu velocidad sale por los orificios del aspersor?

    6) Una tubera de 15 cm de dimetro transporta agua a razn de80 /L s . La tubera se divide en dos ramas, una de 5 cm de dimetro en la cual la velocidad es 12 /m s y

    otra de 10 cmde dimetro. Determinar la velocidad del agua en sta seccin.

    7) Fluye agua por un tubo circular de seccin transversal variable, llenndolo en todos sus puntos. a) En un punto, el radio del tubo de 0.150 m . Qu rapidez tiene el agua

    en este punto si la razn de flujo volumtrico en el tubo es de 31.20 /m s ?, b) En otro

    punto, la rapidez del agua es de 3.80 /m s . Qu radio tiene el tubo en este punto?

    8) La figura muestra la confluencia de dos corrientes que forman un ro. Una corriente tiene un ancho de8.2 m , una profundidad de 3.4 m , y una velocidad de 2.3 /m s . La

    otra corriente tiene 6.8 m de ancho, 3.2 m de profundidad, y fluye a razn de

  • Unidad II. Dinmica de los Fluidos Fsica II. Ciclo I/2014

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    2.6 /m s . El ancho del ro es de 10.7 m y la velocidad de su corriente es de 2.9 /m s . Cul es su profundidad?

    9) U

    n ro de 21 m de ancho y 4.3 m de profundidad drena un terreno de 8,500 km2 donde la precipitacin pluvial promedio es de 49 cm/ao. Una cuarta parte de la precipitacin vuelve a la atmsfera por evaporacin, pero el resto llega

    finalmente al rio. Cul es la velocidad promedio de la corriente del ro?. Contenido 2.3 Ecuacin de Bernoulli

    10) Cunto trabajo efecta la presin al bombear 31.4 m de agua por un tubo de 13 mmde dimetro interno, si la diferencia de presin entre los extremos del tubo es

    de1.2 atm?

    11) Por una tuberia con un rea de seccin transversal de 24.20 cm circula el agua a una

    velocidad de 5.18 /m s . El agua desciende gradualmente 9.66 m mientras que el

    rea del tubo aumenta a 27.60 cm . a) Cul es la velocidad del flujo en el nivel

    inferior?, b) La presin en el nivel superior es de152 kPa ; halle la presin en el nivel

    inferior.

    12) Si una persona sopla aire a una velocidad de 15.0 /m s en la parte superior de una de

    las ramas de un tubo en U que contiene agua, cul ser la diferencia entre los

    niveles del agua en ambas ramas? Suponga que la densidad del aire es 31.20 /kg m.

    13) Las ventanas de un edificio de oficinas tienen 4.26 m por 5.26 m. En un da tempestuoso, el aire sopla a razn de 28.0 m/s al pasar por una ventana en el

    piso 53. Calcle la fuerza neta sobre la ventana. La densidad del aire es de 1.23 kg/m3.

    14) Qu presin manomtrica se requiere en una toma municipal de agua para que el chorro de una manguera de bomberos conectada a ella alcance una altura vertical de

    15.0 m? (Suponga que la toma tiene un dimetro mucho mayor que la manguera.)

    15) El agua de mar tiene un peso especfico de 64 lb/pie3. Dicha agua se bombea a travs de un sistema de tubos (vase la figura) a razn de 4 pie3/min. Los dimetros de los tubos en los extremos superior e inferior son de 2 pulg y 4 pulg respectivamente. El agua se descarga en la atmsfera en el extremo superior a una distancia de 6 pie por arriba de la seccin inferior. Cules son las velocidades del flujo en los tubos superior e inferior? Cules son las presiones en las secciones superior e inferior?

  • Unidad II. Dinmica de los Fluidos Fsica II. Ciclo I/2014

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    16) Un lquido fluye por un tubo horizontal cuyo radio interno mide 2.52 cm . El tubo se

    dobla hacia arriba a una altura de 11.5 m donde se ensancha y se conecta a otro

    tubo horizontal de 6.14 cm de radio interno. Cul debe ser el flujo de volumen, si es idntica la presin en los dos tubos horizontales?

    Contenido 2.4 Aplicaciones de la ecuacin de Bernoulli y la ecuacin de continuidad

    17) Un tubo de Venturi tiene un dimetro de 25.4 cm y una garganta de 11.3 cm de

    dimetro. La presin del agua en el tubo es 57.1 kPa y en la garganta es de32.6 kPa . Calcule el flujo volumtrico del agua a travs del tubo.

    18) Para el venturmetro mostrado en la figura, si el fluido que circula es agua y el fluido manomtrico es mercurio, calcular la altura h de la columna de mercurio, cuando

    22 22 , = 2 /A cm m sv y

    21 = 6A cm .

    19) El tubo horizontal de la figura tiene un rea transversal de 240.0 cm en la parte ms

    ancha y de 210.0 cm en la constriccin. Fluye agua en el tubo, cuya descarga es de

    - 3 36.00 10 /m s ( 6.00 /L s ). Calcule a) la rapidez de flujo en las porciones ancha y

    angosta; b) la diferencia de presin entre estas porciones; c) la diferencia de altura

    entre las columnas de mercurio en el tubo con forma de U .

  • Unidad II. Dinmica de los Fluidos Fsica II. Ciclo I/2014

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    20) Un tubo de Pitot est montado en el ala de un aeroplano para determinar la velocidad

    del aeroplano con relacin al aire, el cual tiene una densidad de 31.03 /kg m . El tubo

    contiene alcohol e indica una diferencia de nivel de 26.2 cm . Cul es la velocidad del

    aeroplano respecto al aire? La densidad del alcohol es de 3810 /kg m .

    21) Un sifn es un aparato para sacar lquido de un contenedor que no queremos ladear. Funciona como se indica en la figura. Debe estar lleno el tubo inicialmente, una vez

    hecho esto el lquido fluir hasta que su nivel caiga por debajo de la abertura en A . El liquido tiene una densidad y una viscosidad insignificante; a) Con qu rapidez

    fluye por el tubo en C ?, b) Qu presin tiene en el punto ms alto B ?, c) Cul es

    la altura ms alta posible h a la que el sifn puede levantar el agua?

    22) La figura muestra un lquido que est siendo descargado por un orificio practicado en

    un tanque grande y situado a una distancia h bajo la superficie libre del lquido. El tanque est abierto por arriba. (a) Aplique la ecuacin de Bernoulli a una lnea de corriente lquida que una a los puntos 1, 2, y 3, y demuestre que la velocidad de

    salida es gh2 Esta ecuacin se conoce como la ley de Torricelli. (b) Si el orificio

    estuviese curvado directamente hacia arriba, A qu altura se elevara la lnea de corriente lquida? (c) Cmo afectara al anlisis la viscosidad o la turbulencia? Explique

  • Unidad II. Dinmica de los Fluidos Fsica II. Ciclo I/2014

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    23) Cul es la velocidad inicial de descarga del agua a travs de un orificio circular de -35 10 m de dimetro localizando a 3.4 m por debajo de la superficie libre del

    lquido contenido dentro del tanque?. Cul es el caudal?

    24) Un tanque sellado que contiene agua de mar hasta una altura de 11.0 m contiene

    tambin aire sobre el agua a una presin manomtrica de 3.00 atm . Sale agua del tanque a travs de un agujero pequeo en el fondo. Calcule la rapidez de salida del agua.

    25) En un depsito, el agua alcanza una altura de 4 pies. Sobre la superficie libre del agua

    hay aire a una presin manomtrica de 2120 / lglb pu , el depsito descansa sobre una

    plataforma situada 8 pies por encima del suelo. En una de las paredes laterales y

    justamente encima del fondo se abre un orificio de 20.5 lgpu , saliendo agua por dicho

    orificio. Dnde golpea el suelo el chorro de agua que sale del orificio? Supngase que permanecen constantes el nivel del agua y la presin dentro del depsito y que el efecto de la viscosidad es despreciable.

    26) Fluye agua continuamente de un tanque abierto como en la figura. La altura del punto 1 es de 10.0 m , y la de los puntos 2 y 3 es de 2.00 m . El rea transversal en el punto 2 es

    de 20.0480 m , en el punto 3 es de 20.0160 m . El rea del tanque es muy grande en

    comparacin con el rea transversal del tubo. Suponiendo que puede aplicarse la

    ecuacin de Bernoulli, calcule a) la rapidez de descarga en 3 /m s ; b) la presin

    manomtrica en el punto 2.

    27) Un francotirador dispara una bala de rifle contra un tanque de gasolina, haciendo un hoyo a 53.0 m debajo de la superficie de la gasolina. El tanque estaba sellado y se encuentra bajo una presin absoluta de 3.10 atm, como se aprecia en la figura. La gasolina almacenada tiene una densidad de 660 kg/m3. A qu velocidad comenzar a salir del hoyo?

  • Unidad II. Dinmica de los Fluidos Fsica II. Ciclo I/2014

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    28) Un depsito cerrado, con agua hasta una altura de 5 pies, contiene tambin aire por

    encima del agua, a una presin manomtrica de 2580 /lb pie . El agua sale por un

    orificio colocado en el fondo, de rea 21.6 lgpu . Determine la velocidad de salida del

    lquido.

    29) Una cubeta cilindrica, abierta por arriba, tiene 25.0 cm de altura y 10.0 cm de

    dimetro. Se hace un agujero circular con rea de 21.50 cm en el centro del fondo de

    la cubeta. Se est virtiendo agua en la cubeta mediante un tubo, a razn de - 4 32.40 10 /m s . A qu altura subir el agua en la cubeta?

    30) Hay agua hasta una altura H en un tanque abierto grande con paredes verticales. Se

    hace un agujero en una pared a una profundidad h bajo la superficie del agua. a) A qu distancia R del pie de la pared tocar el piso el chorro que sale?, b) A qu distancia sobre la base del tanque podra hacerse un segundo agujero tal que el chorro que salga por l tenga el mismo alcance que el que sale por el primero?

    31) Suponga que el aire pasa sobre la superficie superior del ala de un aeroplano con un flujo estable. La densidad relativa del aire puede suponerse constante e igual a

    - 31.3 10 . Si la velocidad del aire que pasa por la cara inferior del ala es 90 /m s .

    Cul es la velocidad requerida sobre la cara superior del ala de un avin moderno para

    producir una sustentacin de2100 /Kg f m ?

    32) El ala de un avin mide 25 ft de largo y 5 ft de ancho y experimenta una fuerza de sustentacin de 800 lb. Cul es la diferencia entre las presiones en la superficie superior e inferior del ala?

  • Unidad II. Dinmica de los Fluidos Fsica II. Ciclo I/2014

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    33) Suponga que el aire 31.29 kg m

    fluye hacia atrs por la superficie superior del ala de un avin a 36 m/s. El aire en movimiento que pasa por la superficie inferior del ala tiene una velocidad de 27 m/s. Si el ala tiene un peso de 2700 N y un rea de 3.5 m2, Cul es la fuerza de empuje sobre el ala?

    34) El diseo moderno de aviones exige una sustentacin, debida a la fuerza neta del aire

    en movimiento sobre el ala, de cerca de 2000 N por 2m de rea de ala. Suponga que

    aire (densidad = 31.20 /kg m ) fluye por el ala de un avin con flujo de lnea de

    corriente. Si la rapidez de flujo por la cara inferior del ala es de 120 /m s , qu rapidez debe haber sobre la cara superior para obtener una sustentacin

    de 22000 /N m ?

    35) Un avin tiene una superficie de ala (en todas ellas) de 212.5 m . A cierta velocidad del

    aire, ste fluye sobre la superficie superior del ala a 49.8 /m s y sobre su superficie

    inferior a 38.2 /m s . a) Determine la masa del avin. Suponga que va a velocidad constante y que los efectos del empuje dinmico relacionados con el fuselaje y la cola son pequeos. Explique el transporte si el avin, volando a la misma rapidez del aire, est; b) en vuelo a nivel, c) elevndose a 15 y d) descendiendo a 15. La densidad del

    aire es 31.17 /kg m .

    DESARROLLO DE LA DISCUSIN No 2 (Primera Parte) UNIDAD II DINMICA DE LOS FLUIDOS

    (2.1 a 2.3.1) SEMANA 4 TIEMPO ACTIVIDAD CONTENIDOS

    100minutos

    El docente inicia la actividad dando lugar a la participacin de los estudiantes tal como se explica en el programa; seccin IV.2 Discusin de problemas.

    B: 6, 14, 7, 1, 2, 10 y 16 C: 1, 17, 16, 15 y 18 D: 2, 5, 8, 10, 12 y 15

    DISCUSIN No 2 (Segunda Parte)

    UNIDAD II DINMICA DE LOS FLUIDOS (2.4 a 2.4.5)

    SEMANA 5 TIEMPO ACTIVIDAD CONTENIDOS

    100 minutos

    El docente inicia la actividad dando lugar a la participacin de los estudiantes tal como se explica en el programa; seccin IV.2 Discusin de problemas.

    B: 8, 9 y 4 C: 2, 6, 7, 15 y 20 D: 19, 21, 30 y 35