ejercicios-de-procesos (1)

CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO EN PAREDES PLANAS

1. Considere una pared de ladrillo de 4 m de alto, 6 m de ancho y 0.3 m de

espesor cuya conductividad térmica es k=0.8 W/m.°C. En cierto día, se miden

las temperaturas de la superficie interior y exterior de la pared y resulta ser de

14°C y 6°C respectivamente. Determine la velocidad de la perdida de calor a

través de la pared en ese día.

A=4m x 6 m =24m2

Rcond = 0.3 m

0.8 W /m° C x 24 m ² =

Q = (14 – 6)° C❑

=

Q = T 1−T 2R cond

Rcond = L

kA

2. Considere una casa de ladrillos calentada eléctricamente (k=0.40 Btu/h.pie.°F),

cuyas paredes tienen 9 pies de alto y 1 pie de espesor. Dos de las paredes tienen

40 pies de largo y las otras tienen 30 pies. La casa se mantiene a 70°F en todo

momento, en tanto que la temperatura del exterior varía. En cierto día se mide

la temperatura de la superficie interior de las paredes y resulta ser de 55°F, en

tanto que se observa que la temperatura promedio de la superficie exterior

permanece en 45°F durante el día por 10 h, y en 35°F en la noche por 14 h.

Determine la cantidad de calor perdido por la casa ese día. También determine

el costo de esa pérdida de calor para el propietario, si el precio de la

electricidad es de 0.09 dólar/kWh.

Hipótesis

La transferencia de calor a través de las paredes es constante desde las temperaturas

de la superficie de las paredes se mantienen constantes a los valores especificados

durante el período de tiempo considerado.

La transferencia de calor es unidimensional ya existirán los gradientes de temperatura

importantes en la dirección de los interiores a los exteriores.

Conductividad térmica de las paredes es constante.

Propiedades

La conductividad térmica de la pared de ladrillo se da a ser k = 0,40 Btu / h.pie. ° F .

Análisis

Consideramos que la pérdida de calor a través de sólo las paredes.

El área total de transferencia de calor es

A=2(50x9+35x9)=1530ft2

La tasa de pérdida de calor durante el día es

Q = (0.40Btu/h.pie.°F)(1530pie2) (55−45)

1 pie = 6120 Btu/h

La tasa de pérdida de calor durante la noche es

Qday= (0.40Btu/h.pie.°F)(1530pie2) (55−35)

1 pie = 12.240 Btu/h

La cantidad de pérdida de calor de la casa esa noche será

Qnigh= Q∆ t

Q=k . A t 1−t 2

L

Qday=k . A t 1−t 2

L

Q =Qnigh Δt=10Qday+ 14Qnigh = 10h.6120Btu/h + 14h.12.240Btu/h= 232.560Btu

A continuación, el coste de esta pérdida de calor para que se convierte en día

Costo = (232.560/3412kWh)($0.09/kWh) = $6.13

3. Considere una persona parada en un cuarto a 20°C con un área superficial

expuesta de 1.7 m2. La temperatura en la profundidad del organismo del cuerpo

humano es 37°C y la conductividad térmica de los tejidos cercanos a la piel es

alrededor de 0.3 W/m.°C. El cuerpo está perdiendo a razón de 150 W, por

conducción natural y radiación hacia los alrededores. Se toma como 37°C la

temperatura del cuerpo a 0.5 cm por debajo de la piel, determine la temperatura

de la epidermis de la persona.

Hipótesis

Existen 1 condiciones de funcionamiento estable.

El calor coeficiente de transferencia es constante y uniforme sobre

toda la expuesta superficie de la persona.

Las superficies circundantes están a la misma temperatura que la

temperatura del aire interior.

Generación de calor dentro de la capa externa gruesa 0,5 - cm del

tejido es insignificante

Propiedades

La conductividad térmica del tejido cerca de la piel es dado que k = 0,3 W / m.° C.

Q=k . A t 1−t 2

L

T2 = T1 - QLkA

Análisis

La temperatura de la piel se puede determinar directamente a partir de

T2 = 37°C –

(150W ) (0 .005m )

( 0 .3 Wm° C ) (1 .7m 2 ) =35.5°C

4. Está hirviendo agua en una cacerola de aluminio (k=237 W/m · °C) de 25 cm de

diámetro, a 95°C. El calor se transfiere de manera estacionaria hacia el agua

hirviendo que está en la cacerola a través del fondo plano de ésta de 0.5 cm de

espesor, a razón de 800 W. Si la temperatura de la superficie interior del fondo

es de 108°C, determine.

a) El coeficiente de transferencia de calor de ebullición sobre esa superficie

interior.

b) La temperatura de la superficie exterior del fondo.

Propiedades

La conductividad térmica de la bandeja de aluminio se da a ser k = 237 W / m.°C.

Análisis

a) El coeficiente de transferencia de calor de ebullición es

A = π (0.25 m) ²

2 = 0.0491m2

H = (800W )

(0.0491m2 ) (108−95 ) °C=¿1254W/m2 °C

b) La temperatura de la superficie exterior de la parte inferior de la sartén es

A = πD ²

2

Qconv=h . As (Ts - T L )

h = Q

A s (T s−TL ) L

Ts = Tinterior + QLkA

= 108°C + (800W )(0.005m)

(237W /m.°C )(0.0491m2) = 108.3°C

5. Se construye una pared de dos capas de tablaroca (k 0.10 Btu/h · ft · °F) de 0.5

in de espesor, la cual es un tablero hecho con dos capas de papel grueso

separadas por una capa de yeso, colocadas con 7 in de separación entre ellas.

El espacio entre los tableros de tablaroca está lleno con aislamiento de fibra de

vidrio (k 0.020 Btu/h · ft · °F). Determine

a) La resistencia térmica de la pared.

b) El valor R del aislamiento en unidades inglesas.

Q = k . A t 1−t 2

L

Propiedades

Las conductividades térmicas se les da a ksheetrock = 0.10 Btu / h⋅ft⋅ ° F y kaislamiento = 0,020

Btu / h⋅ft⋅ ° F.

Análisis

No se le da la superficie de la pared y por lo tanto consideramos una superficie por

unidad (A = 1 m2 ) . Entonces, el valor R de aislamiento de la pared se vuelve

equivalente a su resistencia termal , que se determina a partir de .

Rsheetrock = R1 = R3 = L1k1 ¿

0.7 /12 pie(0.10 Btu/h . pie. ° F ) =0.583pie2.°F.h /Btu

Rfibra de vidrio = R2 = L2k2 ¿

0.7 /12 pie(0.020 Btu/h . pie. ° F ) =29.17 pie2.°F.h /Btu

Rtotal = 2R1 + R2 =2 x 0.583 + 29.17 =30.34pie2.h.°F/Btu.

6. El techo de una casa consta de una losa de concreto (k =2 W/m · °C) de 3 cm de

espesor, que tiene 15 m de ancho y 20 m de largo. Los coeficientes de

transferencia de calor por convección sobre las superficies interior y exterior

del techo son 5 y 12 W/m2 · °C, respectivamente. En una noche clara de

invierno, se informa que el aire ambiente está a 10°C, en tanto que la

temperatura nocturna del cielo es de 100 K. La casa y las superficies interiores

de la pared se mantienen a una temperatura constante de 20°C. La emisividad

de las dos superficies del techo de concreto es 0.9. Si se consideran las

transferencias de calor tanto por radiación como por convección, determine la

razón de la transferencia de calor a través del techo y la temperatura de la

superficie interior de este último.

Si la casa se calienta mediante un hogar en el que se quema gas natural con una

eficiencia de 80% y el precio de ese gas es de 1.20 dólar/therm (1 therm = 105

500 kJ de contendido de energía), determine el dinero perdido a través del techo

esa noche durante un periodo de 14 h.

Propiedades

La conductividad térmica del hormigón se da a ser k = 2 W / m⋅ ° C. La emisividad de

ambos superficies de la azotea se da para ser 0.9

Análisis

Cuando la temperatura de la superficie circundante es diferente que la temperatura

ambiente , la red de resistencias térmicas enfoque se vuelve muy complicada en

problemas que implican la radiación.

Por lo tanto, voy a utilizar un enfoque diferente pero intuitivo. En funcionamiento

constante, transferencia de calor desde la habitación a la techo ( por convección y

radiación ) debe ser igual al calor transferir desde el techo hasta el entorno ( por

convección y radiación) , que debe ser igual a la transferencia de calor a través del

techo por conducción. Esto es

7.- Una sección de pared de 2m x 1.5 m de horno

industrial en el que se quema gas natural no está

aislada y se mide la temperatura en la superficie

exterior de esta sección, lo cual resulta ser de

80°C. La temperatura de la sala en donde está el

horno es de 30°C y el coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y

radiación es de 10 W/m2. °C. Se propone aislar esta sección de pared del horno con

aislamiento de lana de vidrio (k = 0.038 W/m. °C) con el fin de reducir la perdida de

calor es 90%. Si se supone que la temperatura de la superficie exterior de la sección

metálica todavía permanece alrededor de 80°C, determine el espesor del aislamiento

que necesita usarse. El horno opera en forma continua y tiene una eficiencia de 785. El

precio del agua natural es de 0.55 dólar/ therm ( 1therm = 105 kJ de contenido de

energía). Si la instalación del aislamiento costara 250 dólares por los materiales y la

mano de obra, determine cuanto tiempo tardara el aislamiento en pagarse por la

energía que ahorra.

Solución:

A = 2m x 1.5m = 3m2

L=?

Hallando “q” para el 1ercaso:

q = h x A (T2 – T2*)

q = 10W/m2°C x 3m2 (80°C – 30°C)

q= 1500 W

* Como la velocidad de transferencia de calor es constante se cumple que:

q1=T2−T 2

¿

LkA

− 1hA

* Como también la perdida de calor es 90% y el tiempo empleado en

ambos casos es igual.

Reemplazando:

(0.10 ) x1500 W = 80° C−30 °CL

0.038W

m° Cx3 m2

−1

10W

m2 °Cx 3m2

R.T.: Para el Sistema de analisis

RT=Rcond + Rconv

150W= 50° CL

0.114Wm° C

−1

30W°C

L

0.114Wm° C

+ 1

30W° C

= 50 °C150 W

L=0.114Wm° C

( 50° C150 W

− 1

30W° C

)

L=0.114Wm° C

(0.3° CW

)

L=0.0342 m

b)Precio de H2O natural= 0.55 dólar/therm x 1therm/105500 kJ =5.21x10-6

*Debo pagar 250 dólares, entonces la cantidad de calor que debo alcanzar para los

250 dólares es:

q= 250 dolares

5.21 x 10−6 dolareskJ

=47984644.91 kJ

q= 1500W (0.90)

q=1350W ahorro ---------------> 100 %

Pero tiene una eficiencia de 78,5%

Como la Pot. Expresa la cantidad de Eficiencia por unidad de tiempo:

P=q=1350 W x 0.785=1059.75W

t=WP

W : trabajo o energía

P: Potencia o velocidad de transferencia de calor (es análogo)

t=47989644.41 x103 J

1059.75Js

=45279211.99 s

t=12577.5589 horas= 524 dias

REDES GENERALIZADAS DE RESISTENCIA TÉRMICA

1. Una pared de 4m de alto y 6m de ancho consiste de ladrillos con una sección

transversal de 18 cm por 30 cm (K = 0.72 W/m °C) separados por capas de mezcla (K

= 0.22 W/m °C) de 3 cm de espesor. También se tienen capas de mezcla de 2 cm de

espesor sobre cada lado de la pared y una espuma rígida (K = 0.026 W/m2 °C) de 2 cm

de espesor sobre el lado inferior de la misma. Las temperaturas en el interior y el

exterior son de 22 °C y -4°C y los coeficientes de transferencia de calor por convección

sobre los lados interior y exterior son h1 = 10 W/m2 °C y h2 = 20 W/m2 °C,

respectivamente. Si se supone una transferencia unidimensional de calor se descarta la

radiación, determine la velocidad de transferencia de calor a través de la pared.

Solución:

Datos:

Considerando 1 m de espesor y 0.33 de altura de la pared que es representativo de toda

la pared.

K1 = 0.72 W/m. °C

K2 = 0.22 W/m. °C

K3 = 0.026 W/m. °C

h1 = 10 W/m2. °C

h2 = 20 W/m2. °C

L1 = 2 X 10-2 m

L2 = 18 X 10-2 m

A1 = 0.33 m2

A2 = 0.30 m2

A3 = 0.015 m2

T 1¿ = 22°C

T 2¿ = -4°C

Apared = 24 m2

Anotando la gráfica

T 1¿ = 24°C

T1 h2

T2

h1 T3

T4 T5

T 2¿ = -4°C

RConV1 RCon1 RCon2 RCon3 RConV2 RConV2

1h1 . A1

+ L1

K3 . A1 +

L1

K2 . A2 +

L2

K2 . A3 +

L2

K1 . A2 +

1h2 . A2

Anotamos la formula.

Rtotal = 1

h1 . A1 +

L1

K3 . A1 +

L1

K2 . A2 +

L2

K2 . A3 +

L2

K1 . A2 +

1h2 . A2

Reemplazando a Rtotal

Rtotal = 0.303 °C/w + 2.331 °C/w + 0.2755 °C/w + 0.8333 °C/w + 0.8333 °C/w +

0.1515 °C/w

Rtotal = 4.145 °C/w

Anotando la formula.

Q = T1

¿−T 2¿

Rtotal

Reemplazando a Q

Q = 22° c−−4 °C

4.145

Q = 6.272 w

Sabemos que la tasa de transferencia de calor de la pared es 0.33 m2 colocamos la

siguiente fórmula.

Qtotal = Q ( A pared

Tasa )Reemplazamos datos.

Qtotal = 6.272 w ( 24 m2

0.33m2 )Qtotal = 456.2 w

2. Una pared de 12 m de largo y 5 m de alto está constituida de dos capas de tabla roca

(K = 0.17 W/m. °C) de 1 cm de espesor, espaciados 12 cm por montantes de madera (K

= 0.11 W/m °C) cuya sección transversal es de 12 cm por 5cm. Los montantes están

colocados verticalmente y separados 60 cm, y el espaciado entre ellos está lleno con

aislamiento de fibra de vidrio (K = 0.034 W/m °C). La casa se mantiene a 20 °C y la

temperatura ambiental en el exterior es de -5°C. Si se toma los coeficientes de

transferencia de calor en las superficies interior y exterior de la casa como 8.3 y 3.4

W/m2 °C, respectivamente, determine.

a) La resistencia térmica de la pared, si se considera una sección representativa de

ella y,

b) La velocidad de la transferencia de calor a través de la pared.

Datos:

K1 = 0.17 W/m. °C

K2 = 0.22 W/m. °C

K3 = 0.026 W/m. °C

h1 = 8.3 W/m2. °C

h2 = 3.4 W/m2. °C

L1 = 8.3 X 10-2 m

L2 = 3.4 X 10-2 m

A1 = 0.33 m2

A2 = 0.30 m2

A3 = 0.015 m2

T 1¿ = 20°C

T 2¿ = -5°C

Apared = 60 m2

Anotando la gráfica

T 1¿ = 20°C

T1 h2

T2

h1 T3

T4 T5

T 2¿ = -5°C

RConV1 RCon1 RCon2 RCon3 RConV2 RConV2

1h1 . A1

+ L1

K3 . A1 +

1L1

K2 . A2

+

1L2

K2 . A3

+ L2

K1 . A2

+ 1

h2 . A2

Anotamos la formula.

Ri=1hi A

=1

(8 .3 W/m2 .° C )(0 .65 m2)=0 . 185 °C/W

R1=R4=R placa=LkA

=0 . 01 m

(0 .17 W/m . °C )( 0. 65 m2)=0 . 090° C/W

R2=Rplatino=LkA

=0 .12 m(0 . 11 W/m . °C )(0.05 m2)

=21 .818 ° C/W

R3=R ffibradevidrio=LkA

=0 .12 m(0.034 W/m . °C )(0 . 60 m2)

=5 .882 ° C/W

Ro=1ho A

=1(34 W/m2 .o C )(0 .65 m2)

=0 .045° C/W

1Rmedio

=1R2

+1R3

=121 . 818

+15 . 882

Rmedio=4 .633 ° C/W

Rtotal=R i+R1+Rmid+R4+ Ro=0 . 185+0 . 090+4 .633+0 . 090+0 . 045=4 . 858 °C/W ( 1 m×0 . 65 m)

Q=T ∞1−T ∞2

R total

=[ 20−(−5 ) ]°C4 . 858 ° C/W

=5 .15 W

Entonces tasa constante de transferencia de calor a través de toda la pared se convierte

en:

Qtotal=(5 .15 W )(12 m)(5 m )

0.65 m2=475 W

3. Se va construir una pared de 10 in de espesor, 30 pies de largo y 10 pies de alto,

usando ladrillos solidos (K= 0.40BTU/h.pies.°F) con una sección transversal de 7 pulg.

Por 7 pulg. ; o bien , ladrillos de idéntico tamaño con nueve orificios cuadrados llenos

d aire (K= 0.015BTU/h.pies.°F) que tienen 9 pulg. De largo y una sección transversal

de 1.5 pulg. Se tiene una capa de mezcla (K= 0.10BTU/h.pies.°F) de 0.5 pulg de

espesor entre dos ladrillos adyacentes, sobre los cuatro lados y sobre los dos de la

pared. La casa se mantiene a 80°F y la temperatura ambiental en el exterior es de 30

°F. Si los coeficientes transferencia de calor en las superficies interior y exterior de la

pared son 1.5 y 4 BTU/h.pie2.°F respectivamente. Determine la velocidad transferencia

de calor a través de la pared construida de.

a) Ladrillos sólidos y

b) Ladrillo con orificios llenos de aire.

Solución:

Dibujamos nuestra Gráfica:

Datos:

Sistema: Britanico

A1= 0.3906 pie2

A2=7.5 pulg×0.5 pulg=3.75 pulg2×1 pie2

144 pulg2=0.0260 pie2

A3=7 pulg× 0.5 pulg=3.5 pulg2×1 pie2

144 pulg2 =0.02431 pie2

A4=7 pulg×7 pulg=49 p ulg2 ×1 pie 2

144 pulg2 =0.3403 pie2

Aespacios=9(1.5 pulg ×1 pie

12 pulg )×(1.55 pulg×1 pie

12 pulg )=0.1406 pie2

Aladrillos=49 pulg2×1 pie2

144 pulg2 −0.1406=0.1997 pie 2

L1=0.5 pulg×1 pie

12 pulg=0.04166666667 pie

L2=9 pulg×1 pie

12 pulg=0.75 pie

L3=9 pulg×1 pie

12 pulg=0.75 pie

L4=9 pulg ×1 pie

12 pulg=0.75 pie

h1¿=1.5

BTU

pie2×° F

h2¿=4

BTU

pie2×° F

Kmezcla=0.10BTU

pie× ° F

K ladrillo=0.40BTU

pie× ° F

Kaire=0.15BTU

pie ×° F

Solución:

a)

q=(T 1

¿−T 2¿)

Rtotal

Rtotal=R1¿+R1+RMEDIO+R5+R2

¿

R1¿= 1

h1¿ × A

= 1

1.5 BTU

pie2 ×° F

×0.3906 pie2=1.7068

° FBTU

R1=R5=L

K mezcla× A= 0.04166666667 pie

0.10BTU

pie× ° F×0.3906 pie2

=1.0667° F

BTU

R2 mezcla=L

Kmezcla× A2

= 0.75 pie

0.10BTU

pie× ° F× 0.260 pie2

=288.4615° F

BTU

R3 mezcla=L

Kmezcla× A3

= 0.75 pie

0.10BTU

pie× ° F× 0.243 pie2

=308.5150° F

BTU

R4 ladrillo=L

K ladrillo× A4

= 0.75 pie

0.40BTU

pie ×° F× 0.3403 pie2

=5.5098° F

BTU

R2¿= 1

h2¿ × A

= 1

4 BTU

pie2 ×° F

×0.3906 pie2=0.6400

° FBTU

1RMEDIO

= 1R2

+ 1R3

+ 1R4

= 1

288.4615° F

BTU

+ 1

308.5150° F

BTU

+ 1

5.5098° F

BTU

=0.1882

RMEDIO=5.3134° F

BTU


¿

Rtotal=1.7068° F

BTU+1.0667

° FBTU

+5.3134° F

BTU+0.6400

° FBTU

+1.0667° F

BTU=9.7936

° FBTU

q=8 O° F−30 ° F

9.7936° F

BTU

=5.1054 BTU

Si:

5.1054 BTU 0.3906 pie2

q 300 pie2

q=300 pie2 ×5.1054 BTU0.3906 pie2 =3921.1981 BTU

a)

q=(T 1

¿−T 2¿)

Rtotal

R4 espacios=L

Kaire × Aespacios

= 0.75 pie

0.015BTU

pie× ° F× 0.140 pie2

=355.6188° F

BTU

R5 ladrillo=L

K ladrillo × A4

= 0.75 pie

0.40BTU

pie×° F×0.1997 pie2

=9.3891° F

BTU

1RMEDIO

= 1R2

+ 1R3

+ 1R4

+ 1R5

= 1

288.4615° F

BTU

+ 1

308.5150° F

BTU

+ 1

355.6188° F

BTU

+ 1

9.3891° F

BTU

Rmedio=8.618° F

BTU


¿=13.0992° F

BTU

q=(80 ° F−30 ° F )

13.0992° F

BTU

=3.817 BTU

Si:

3.817 BTU 0.3906 pie2

q 300 pie2

q=300 pie2 ×3.817 BTU0.3906 pie2 =2931.6436 BTU

4. Considere una pared de 5 m de alto, 8 m de largo y 0.22 m de espesor cuya sección

transversal representativa se da e(n la figura. Las conductividades térmicas de los

diversos materiales usados, en W/m. °C, son kA =kF = 2, kB =8, kC =20, kD = 15 y kE

=35. Las superficies izquierda y derecha de la pared se mantienen a las a las

temperaturas uniformes de 300°C y 100°C, respectivamente. Si transferencia de calor a

través de la pared es unidimensional, determine.

a) La velocidad transferencia de calor a través de ella;

b) La temperatura en el punto en el que se encuentran las secciones B, D y E, y

c) La caída de temperatura a través de la sección F. Descarte cualquiera resistencias por

contacto entre las interfaces

Solución:

La figura representa una porción de 12cm extraído de la pared de 5cm de alto

0,12m q1

5m q t

q t=q1 x5

0,12

Hallando el área de cada pared

Área A=Área F=8mx 0,12 m

AA=AF=0,96 m2

ÁreaC=Área B=8mx 0,04 m

Ac=AB=0,032 m2

Área D=Área E=8mx 0,06 m

Ac=AB=0,48 m2

Calculando la velocidad de transferencia de calor desde la pared interior hasta la

pader exterior:

q¿T1−T 5

Rtotal

Rtotal=R A+RCBC+RDE+RF

Entonces:

RA=LA

K A x AA

= 0,01m

2w

m0Cx0,96 m2

=5,208 x10−3 °Cw

RCBC=[ 1RC

+ 1RB

+ 1RC ]

−1

RB=LB

KB x AB

= 0,05 m

8w

m0 Cx0,032 m2

=0,195312°Cw

RC=LC

KC x AC

= 0,05m

20w

m0Cx0,032 m2

=0,078125° Cw

RD=LD

K D x AD

= 0,1 m

15w

m0 Cx 0,48m2

=0,013889° Cw

RE=LE

K E x A E

= 0,1 m

35w

m0Cx 0,48 m2

=5.952 x10−3 °Cw

RF=LF

K F x AF

= 0,06 m

2w

m0 Cx 0,96m2

=0,03125° Cw

Hallando RCBC :

RCBC=[2(0.078125)−1+(0.195312)−1 ]−1

RCBC=0.0325521° Cw

Hallando RDE

RDE=[(0.013889)−1+(5.952 x10−3)−1 ]−1

RDE=4,16649 x 10−3 °Cw

Entonces el RT es:

RT=5,208 x10−3 °Cw

+0.0325521°Cw

+4,16649 x10−3 °Cw

RT=0.073°Cw

Hallando ’’ q1 ' ' :

q1=T 1−T 5

Rtotal

q1=300 ° C−100 °C

0.073° Cw

= 2739,726027 w

Entonces:

q total=q1 x5 m

0,12m

q total=2739,726027 wx5 m

0,12 m

q total=114155,2511 w

b¿

q1=T 1−T 3

R A+RCBC

2739,726027w=T 1−T3

(5,208 x10−3+0.0325521 ) °Cw

T 3=T 1−103,0747273 °C

T 3=300 °C−103,0747273 ° C

T 3=196,9252722 °C

c ¿

q1=T 4−T 5

RF

T 4=T 5+RF xq1

T 4=100+ (0.03125 ) x(2739,726027)

T 4=185,6164393 ° C

5. La ropa hecha de varias capas delgadas de tela con aire atrapado entre ellas , con

frecuencia llamada ropa para esquiar, es de uso común en los climas fríos porque es

ligera, elegante y un aislador térmico muy eficaz. De modo que no es sorprendente que

esa ropa haya reemplazado en gran parte los antiguos abrigos gruesos y pesados.

Considere una chaqueta hecha d cinco capas de tela sintética (k= 0.13 W/m.°C) de 0.1

mm de espesor con un espacio llano de aire (k= 0.026 W/m.°C) de 1.5 mm de espesor

entre ellas. Si la temperatura de la superficie interior de la chaqueta es de 28°C y el

área superficial es de 1.1m2, Determine la velocidad de la perdida de calor a través de

ella cuando la temperatura en el exterior es de -5 °C y el coeficiente de transferencia

de calor en la superficie exterior es de 25W/m2.°C.

¿Cuál sería su respuesta si la chaqueta estuviera hecha de una sola capa de tela

sintética de 0.5 mm de espesor? ¿Cuál sería el espesor de una tela de lana (k=

0.035W/m.°C) si la persona debe lograr el mismo nivel de comodidad térmica usando

un grueso abrigo de lana en lugar de una chaqueta para esquiar de cinco capas?

Solución:

Dibujamos nuestra gráfica.

Datos:

TELA AIRE

1 2 3 4 5

k=0.13 wm. °C k=0.026 w

m. ° C

T 1=28 °C

h2=25 w

m2 °C T 2¿=−5 °C

25

k=0.13w

m°C

L=0.1 mm

A=1.1m2

k=0.026w

m° C

L=1.5 m

H 2=25w

m2° C

q=t1−t2

¿

R total

……. (I)

Para hallar la Resistencia total:

Rtotal=5 ( 0.0001 m

0.13w

m °C )+4 ( 0.015 m

0.026w

m °C×1.1 m2 )+( 1

25w

m° C× 1.1 m2 )

Rtotal=2.1378°Cw

Reemplazar los datos en (I):

q= 33 ° C

2.1378° Cw

q=15.44 w

a) Para una sola capa en la chaqueta:

q=t1−t2

¿

R total

Rtotal=R tela−Rconvecc ion

R total=( 0.0001 m

0.13w

m° C×1.1 m2 )+( 1

25w

m2 × 1.1m2 )Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza

26

Rtotal=0.0371°Cw

Hallamos que para una capa de lana:

q= 33 ° C

0.0371° Cw

q=889,4879 w

b) espesor de una tela de lana (k= 0.035W/m.°C) si la persona debe lograr el mismo nivel

de comodidad térmica usando un grueso abrigo de lana en lugar de una chaqueta para

esquiar de cinco capas.

q=T1−T 2

¿

Rlana−Rconveccion

Rlana=T 1−T 2

¿

q−Rconveccion

LKA

=T 1−T 2

¿

q−Rconvecci on

L=(T1−T 2¿

q− 1

h A )kA

L=( 33° C15.44 w

− 1

25w

m° C× 1.1 )× 0.035

wm°C

L¿0.08m¿80mm

6. Un horno de 5 m de ancho, 4 m de alto y 40 m de largo usado para curar tubos de

concreto está hecho con paredes y techo de concreto (k=0.9W

m.℃). El horno se

mantiene a 40℃ por la inyección de vapor de agua caliente en él. Los dos

extremos del horno, con un tamaño de 4 m× 5 m, están hechos de lámina metálica

Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza

27

de 3 mm de espesor cubierto con espuma de estireno (k=0.033W

m.℃) de 2 cm de

espesor.

Los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre las superficies

interior y exterior del horno son de 3000W

m2 .℃ y 25

W

m2 .℃, respectivamente. Si

se descarta cualquier pérdida de calor a través del piso, determine la razón de la

pérdida de calor del horno cuando el aire ambiente está a −4℃.

Ri=1

hi . A i

= 1

(3000W

m2 .℃ ) (40m ) (13−1.2 ) m=0.0071× 10−4 ℃

W

Rconcreto=L

k . A= 0.2m

(0.9W

m2 .℃) [ (40 m ) (13−0.6 m ) ]

=4.480× 10−4 ℃W

Ro=1

ho . Ao

= 1

(25W

m2 .℃) [ (40 m ) (13 m ) ]

=0.769 ×10−4 ℃W

Rtotal=R i+Rconcreto+Ro=(0.0071+4.480+0.769 ) ×10−4=5.256 × 10−4 ℃W

Qlados=T i−T e

R total

=[ 40−(−4 ) ]℃

5.256 ×10−4 ℃W

=83.700 W

La pérdida de calor a través de la superficie con espuma de poli estireno del horno:

Ri=1

hi . A i

= 1

(3000W

m2 .℃ ) [ (4−0.40 ) (5−0.4 )m2 ]=0.201×10−4 ℃

W


28

Rpoliestireno=L

k . A= 0.02 m

(0.033W

m2.℃)[ ( 4−0.2 ) (5−0.2 ) m2 ]

=0.0332℃W

Ro=1

ho . Ao

= 1

(25W

m2 .℃) [4 x 5 m2 ]

=0.0020℃W

Rtotal=R i+R poliestireno+Ro=( 0.201× 10−4+0.0332+0.0020 )=0.0352℃W

QSuperfie externa=T i−T e

Rtotal

=[ 40−(−4 ) ]℃

0.0352℃W

=1250 W

Entonces la cantidad total de transferencia de calor del horno es:

Qtotal=Qlados+2QSuperfie externa=83.700+2 ×1250=86.200 W

7. Considere una lámina de vidrio epóxico(k=0.10Btu

h . pies .℉ ) de 6 in _ 8 in cuyo

espesor es de0.05 pulg. Con el fin de reducir la resistencia térmica a través de su

espesor, se van a plantar en todo el tablero rellenos cilíndricos de cobre (k_ 223 Btu/h ·

ft · °F) de 0.02 in de diámetro, con una distancia de centro a centro de 0.06 in.

Determine el nuevo valor de la resistencia térmica del tablero de vidrio epóxico para la

conducción del calor a través de su espesor como resultado de esta modificación.

Atotal=( 612 pie )( 8

12 pie )=0.333 pie2


29

n=Número derellenos de cobre= 0.33 pie2

( 0.0612

pie)( 0.0612

pie)=13.333

Acobre=nπ D2

4=13.333×

π ( 0.0212

pie)2

4=0.0291 pie2

Avidrio epoxico=Atotal−Acobre=0.333−0.0291=0.3042 pie2

Las resistencias térmicas son:

Rcobre=L

k . A=

0.0512

pie

(223Btu

h . pie2 .℉)( 0.0291 pie2 )

=0.00064 h .℉Btu

Rvidrio epoxico=L

k . A=

0.0512

pie

(0.10Btu

h . pie2 .℉) (0.3042 pie2)

=0.137h .℉Btu

Por lo tanto:

1R lámina

= 1Rcobre

+ 1Rvidrio epoxico

= 10.00064

+ 10.137

→ Rlámina=0.00064 h .℉Btu

RESISTENCIA TÉRMICA POR CONTACTO

1. Se mide la conductancia térmica por contacto en la interfase de dos placas de

cobre de 1 cm de espesor y resulta ser de 18000W

m2 .℃ Determine el espesor de

la placa de cobre cuya resistencia térmica sea igual a la de la interfase entre las

placas.

K cobre=386W

m .℃

Tomando en cuenta que la resistencia térmica de contacto es inversa a la conductividad

de contacto, la resistencia térmica de contacto se determina que es:

Rc=1hc

= 1

18000W

m2 .℃

=5.556 ×10−5 m2 .℃W

La resistencia térmica de una placa plana es R= LK


30

L=kR=K Rc=(386W

m.℃ )(5.556 ×10−5 m2 .℃W )=0.0214 m=2.14 cm

2. Seis transistores de potencia idénticos con caja de aluminio están sujetos a uno

de los lados de una placa de cobre k=386W

m.℃ de 20 cm ×30 cm y 12 cm de

espesor, por medio de tornillos que ejercen una presión promedio de 10 Mpa. El

área de la base de cada transistor es de 9 c m2 y cada uno de ellos está colocado

en el centro de una sección de 10 cm ×10 cm de la placa. La aspereza de la

interfase se estima que es de alrededor de 1.4 mm. Todos los transistores están

cubiertos por una capa gruesa de plexiglás, el cual es un mal conductor del calor

y, por consiguiente, todo el calor generado en la unión del transistor debe

disiparse hacia el ambiente, que está a 23 °C , a través de la superficie posterior

de la placa de cobre. El coeficiente combinado de transferencia de calor por

convección/radiación en la superficie posterior se puede tomar como 30W

m2 .℃.

Si la temperatura de la caja del transistor no debe sobrepasar 75 °C , determine la

potencia máxima que cada transistor puede disipar con seguridad y el salto de

temperatura en la interfase caja-placa.


31

- Seis transistores, están unidos en una placa de cobre, para una temperatura

máxima de 75℃ , las conductividades térmicas son constantes.

K cobre=386W

m .℃

hc=49.000W

m2 .℃

Areade contactoentre la caja y la placa=9 cm2 Y la zona de la placa para cada

transistor es ¿100 cm2

- La red de resistencia consiste en los tres tipos de resistencia en serie, por lo tanto

se determinan de la siguiente manera:

Resistencia de contacto

Rcontacto=1

hc Ac

= 1

(49.000W

m2 .℃ ) (9 ×10−4 m2 )=0.00227

℃W

Rplaca=L

k . A= 0.012 m

(386W

m.℃) (0.01 m2 )

=0.0031℃W

Rconveccion=1

ho A= 1

(30W

m2 .℃ ) (0.01 m2 )=3.333

℃W

- La resistencia térmica total es entonces:

Rtotal=Rcontacto+Rplaca+Rconvección=0.0227+0.0031+3.333=3.359℃W

- La resistencia térmica de la placa de cobre es muy pequeña y puede ignorarse,

entonces la cantidad de transferencia de calor se determina que es:

Q= ∆TRtotal

=(75−23 )℃

3.359℃W

=15.5 W

∆ T interfase=Q × Rcontacto=(15.5 W )(0.0227℃W )=0.35℃

3. Dos barras de aluminio k=176W

m.℃ de 5 cm de diámetro y 15 cm de largo, con

las superficies esmeriladas, se comprimen una contra la otra con una presión de

20 atm. Las barras están encerradas en un manguito de aislamiento y, por tanto,

la transferencia de calor desde las superficies laterales es despreciable. Si las

superficies superior e inferior del sistema de dos barras de mantienen a las


32

temperaturas de 150 °C y 20 °C , respectivamente, determine a) la razón de la

transferencia de calor a lo largo de los cilindros en condiciones estacionarias y

b) la caída de temperatura en la interfase.

k=176W

m.℃

hc=11.400W

m2 .℃

Rcontacto=1

hc Ac

= 1

(11.400W

m2 .℃ )[ π (0.05 m )2

4 ]=0.0447

℃W

Rplaca=L

k . A= 0.15m

(176W

m.℃)[ π (0.05 m )2

4 ]=0.4341

℃W

Q= ∆ TR¿ tal

= ∆ TRcontacto+2 Rplaca

=(150−20 )℃

(0.0447+2 × 0.4341 ) ℃W

=142.4 W

∆ T interfase=Q × Rcontacto=(142.4 W )(0.0447℃W )=6.4℃

4. Una placa de cobre (k=386 W /m ·° C) de 1 mm de espesor está comprimida

entre dos tableros de material epóxico (k=0.26W /m·° C) de 5 mm de espesor y

tienen un tamaño de 15 cm ×20 cm . Si se estima que la conductancia térmica

sobre ambos lados de la placa de cobre es de 6 000 W /m·° C, determine el error

en el que se incurre en la resistencia térmica total de la placa si se ignoran las

conductancias térmicas por contacto.


33

- El error implicado en la resistencia térmica total de la placa si se ignoran las

conductividades, debe ser determinado.

- Conductividades térmicas constantes

k placa=386W

m.℃ k materialepoxico=0.26

Wm.℃

hc=¿ 6000W

m2 .℃

Rcontacto=1

hc Ac

= 1

(6000W

m2 .℃ )(1m2 )=0.00017

℃W

Rplaca=L

k . A= 0.001 m

(386W

m.℃) (1 m2)

=2.6× 10−6 ℃W

Rmaterial epoxico=L

k . A= 0.005 m

(0.26W

m .℃)( 1m2 )

=0.01923℃W

Rtotal=2 Rcontacto+R placa+Rmaterialepoxico=2× 0.00017+2.6 × 10−6 ℃W

+2 ×0.01923℃W

=0.03880℃W

%Error=2 Rcontacto

R total

× 100=2×0.000170.03880

×100=0.88 %

CONDUCCIÓN DEL CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO EN PAREDES

PLANAS


34

1. Un elemento resistor cilíndrico en un tablero de circuito disipa 0,15 W de

potencia en un medio a 40ºC. El resistor tiene 1,2 cm de largo y un diámetro de

0,3 cm. Si se supone que el calor se transfiere de manera uniforme desde todas

las superficies, determine:

a) La cantidad de calor que este resistor disipa durante un periodo de 24 h

b) El flujo de calor sobre la superficie el resistor, en W/m2.ºC

c) La temperatura superficial del resistor para un coeficiente combinado de

transferencia de calor por convección y radiación de 9 W/m2.ºC

Solución:

Q=Q . ∆ t

Q=(0.15 W x24 h)

Q=3,6 W .h

A=2 π D 2

4+πDLA=

2 π (0,003 m)2

4+π (0,003 m)(0,012 m)

A=0,000 127 m2

q=QA


35

q= 0,15W

0,000 127 m2

q=1 179W

m2

Q=h . A .(T 1−T 2)

T 1=T 2+ Qh . A

T 1=40 ºC+ 0,15 W

(9W

m2 .ºC )(0,000127 m2)

T 1=171ºC

2. Considere un transistor de potencia que disipa 0,2 W de potencia en un medio a

30ºC. El transistor tiene 0,4 cm de largo y un diámetro de 0,5 cm. Si se supone

que el calor se transfiere de manera uniforme desde todas las superficies,

determine:

a) La cantidad de calor que este transistor disipa durante un periodo de 24 h, en

kW

b) El flujo de calor sobre la superficie del transistor, W/m2, y

c) La temperatura superficial del transistor para un coeficiente combinado de

transferencia de calor por convección y radiación de 18 W/m2.ºC


36

Solución:

Q=Q . ∆ T

Q= (0,2W ) (24 h )

Q=4,8 Wh

Q=0,004 8 kWh

A=2 π D 2

4+πDLA=

2 π (0,005 m)2

4+π (0,005 m)(0,004 m)

A=0,000 1021m2

q=QA

q= 0,2 W

0,000 1021 m2

q=1 959W

m2

Q=h . A .(T 1−T 2)

T 1=T 2+ Qh. A


37

T 1=30ºC+ 0,2W

(18W

m2. ºC )(0,0001021m2)

T 1=139ºC

3. Un tablero de circuito de 12 cm x 18 cm aloja sobre su superficie 100 chips

lógicos con poco espacio entre ellos, disipando cada uno 0,07 W en un medio a

40ºC. La transferencia e calor desde la superficie posterior del tablero es

despreciable. Si el coeficiente de transferencia de calor sobre la superficie del

tablero es de 10 W/m2.ºC, determine:

a) El flujo de calor sobre la superficie del tablero de circuito, en W/m2;

b) La temperatura superficial de los chips y

c) La resistencia térmica entre la superficie del tablero y el medio de

enfriamiento, en ºC/W

Solución:

A=(0,12 m ) (0,18 m )

A=0,021 6 m2

q=QA

q=(100 x 0,06)W

0,021 6m2


38

q=278W

m2

Q=h . A .(T 1−T 2)

T 1=T 2+ Qh. A

T 1=40 ºC+(100 x 0,06 ) W

(10W

m2 .ºC )(0,021 6 m2)

T 1=67,8 ºC

Rconv= 1h . A

Rconv= 1

(10W

m2. ºC )(0,0216 m2)

4. Considere una casa cuyas paredes tienen 12 pies de alto y 40 pies de largo. Dos

de las paredes no tienen ventanas, en tanto que cada una de las otras dos tienen

cuatro ventanas hechas de vidrio (k = 0,45 BTU/h.pie.ºF) de 0,25 m de espesor y

con un tamaño de 3 pies x 5 pies. Está certificado que las paredes tienen un valor

R de 19 (es decir, un valor de L/k de 19 h.pie2.ºF/BTU). Si se descarta cualquier

pérdida o ganancia por radiación directa a través de las ventanas y si se toma el

coeficiente de transferencia e calor en la superficies interior y exterior de la casa

como de 2 y 4 BTU/h.pie2.ºF, respectivamente, determine la velocidad de la

transferencia de calor a través de las paredes con y sin ventanas.


39

Solución:

A=(12 pies ) (40 pies )

A=480 pies2

Ri= 1hi . A

Ri= 1

(2 BTU

h. pie2. ºF )( 480 pies2 )

Ri=0,001 0417h .ºFBTU

Rp= Lk . A

Rp=19

h . pie2. ºFBTU

480 pies2

Rp=0,03958h . ºFBTU

Ro= 1h0. A


40

Ro= 1

(4BTU

h. pie2 .ºF ) ( 480 pies2 )

Ro=0,00052h . ºFBTU

Rt 1=Ri+Rp+Ro

Rt 1=0,001 041 7h . ºFBTU

+0,03958h. ºFBTU

+0,000 52h .ºFBTU

Rt 1=0,041 141 7h .ºFBTU

Av=4 (3 pies x 5 pies)

Av=60 pies2

Ap=At−Av

Ap=480 pies2−60 pies2

R 2= Lk . A

R 2=

0,2512 pies

¿¿

R 2=0,000 771 6h . ºFBTU

R 4= Lk . A

R 4=19

h . pie2 . ºFBTU

420 pies2

R 4=0,045 24h .ºFBTU

1Reqv

= 1R 2

+ 1R 4


41

1Reqv

= 1

0,000 7716h .ºFBTU

+ 1

0,045 24h .ºFBTU

Reqv=0,000 76h . ºFBTU

Rt 2=Ri+ Reqv+Ro

Rt 2=0,001 041 7h . ºFBTU

+ , 00076h .ºFBTU

+0,000 52h .ºFBTU

Rt 2=0,002 327h . ºFBTU

Qt2Qt1

=

∆ TRt 2∆ TRt 1

Rt 2Rt 1

=0,041 1417

h .ºFBTU

0,002 327h .ºFBTU

Rt 1Rt 2

=17,7

CONDUCCION DEL CALOR EN CILINDROS Y ESFERAS

1. Se usa un tanque esférico con un diámetro interior de 5cm, hecho de lámina de

acero inoxidable (k =15 W/m · °C) de 1.5 cm de espesor, para almacenar agua

con hielo a 0°C. El tanque está ubicado en un cuarto cuya temperatura es de

30°C. Las paredes del cuarto también están a 30°C. La superficie exterior del

tanque es negra (emisividadε =1) y la transferencia de calor entre la superficie

exterior del tanque y los alrededores es por

convección natural y radiación. Los coeficientes

de transferencia de calor por convección en las

superficies interior y exterior del tanque son de 80

W/m2· °C y 10 W/m2·°C, respectivamente.

Determine:


42

a) La razón de la transferencia de calor hacia el agua con hielo que está en el

tanque

b) La cantidad de hielo a 0°C que se funde durante un periodo de 24 h. El calor

de fusión del agua a la presión atmosférica es hif =333.7 KJ/Kg.

Solución:

Si el recipiente esfuerce está lleno con aguay hielo. Entonces la transferencia de calor

es por convección y radiación en la superficie exterior, para lo cual se debe determinar

la velocidad de transferencia de calor y la cantidad de hielo que se funde por día

Calculo de áreas:

A1 π D12=π (5m)2=78,5398 m2 ≅ 78,5m2

A1 π D22=π (5.03m)2=79,4851 m2 ≅ 79,5m2

El coeficiente de transferencia de calor por radiación, se expresa por:

hrad=εσ (t¿¿12−t¿2

2 )(t 2−t ¿2)¿

Pero como no se conoce la temperatura t 2 de la superficie exterior del tanque y en

consecuencia, no se puede calcular hrad por lo tanto se necesita suponer un valor de t 2 y

comprobar más adelante la exactitud de esta suposición. Si es necesario, se repetirá

los cálculos usando un valor revisado para t 2 .

Debe notarse que t 2debe estar entre 0°c y 30°c. pero debe estar más cercana a 0°c.

dado que el coeficiente de transferencia de calor dentro del tanque es mucho mayor . si


43

se toma t 2= 5°c = 278k, se determina que el coeficiente de transferencia de calor por

radiación es:

hrad=(1)(5.67 x10−8 w /m2 .k 4)+[(303 k )2+(278 k)2] [(303+278)k]

hrad=2.5 w /m2 .°C

Entonces cada una de las resistencias térmicas será:

Ri=Rconv ,1=1

h1 A1 =

1

80 w /m2 .° C = 1.59 x10−4 °C/w

R1=Resfera=1

4 πkr2 r1 =

(2.515−2.5)m4 π (15 w /m .° C)(2.515 m)(2.5 m) = 1.27 x10−5°C/w

Ri=Rconv .2=1

h2 A2 =

1

(10 w /m2. °C )(79,5 m2) = 1.26 x10−3°C/w

Rrad=1

hrad 1 A2 =

1

(2.5 w /m2. °C )(79.5 m2) = 5.03 x10−3°C/w

Las dos resistencias en paralelo R0 y Rrad, se pueden remplazar por una resistencia

equivalente R¿ .determinada a partir de:

1R¿

=1

R0 +

1R rad

=1

1.26 x10−3 + 1

5.03 x 10−3 = 992.46 °C/w

R¿= 1.0076 x10−3w/°C


44

Como ahora todas la Resistencia están en serie, la resistencia total es:

Rtotal = Ri+R1+R¿=1.59 x10−4 °C/w + 1.27 x10−5+1.0076 x10−3

Rtotal =1.18 x10−3°C/w

Ahora se debe comprobar la suposición original de la temperatura, calculando la

temperatura de la superficie exterior a partir de:

q=(t ¿¿12¿− t2)

R¿¿

t 2=t 2−q R¿

t 2=30 °C−(25423,7 w)(1,0076 x 10−5 °c / w)

t 2=4.3837°C ≅ 4°c

El °c es muy cercano a los 5 ° c supuestos en la determinación del coeficiente de

transferencia de calor por radiación, por lo que no es necesario repetir los cálculos

usando 4°cpara t 2

b) y la transferencia de calor para un periodo de 24 horas es:

Q = q∆ t = (25,423 kJ/s) (24h) (3600 s/h)

Q = 2196547.2 KJ

Como se requiere 333.7 kJ de energía para fundir 1kg. De hielo a 0°c, entonces la

cantidad de hielo que se fundirá en 24 horas es:

Q= mhielo-h fus


45

2196547.2kj = mhielo(333.7kj/kg)

mh ielo= 6585.40 kg.

2. En un tubo de acero inoxidable (k=15 W/m · °C) cuyos diámetros interior y

exterior son de 5 cm y 5.5 cm, respectivamente, fluye vapor de agua a 320°C. El

tubo está cubierto con aislamiento de lana de vidrio (k=0.038 W/m · °C) de 3 cm

de espesor. El calor se pierde hacia los alrededores que están a 5°C por

convección natural y radiación, con un coeficiente combinado de transferencia

de calor por convección natural y radiación de 15 W/m2· °C. Si el coeficiente de

transferencia de calor dentro del tubo es 80 W//m2 · °C.

Determine: La velocidad de la pérdida de calor del vapor por unidad de

longitud del tubo.

Determine también las caídas de temperatura a través del casco del tubo y del

aislamiento.

Solución:

Un tubo de vapor de agua cubierto con aislamiento de fibra de vidrio está sujeto

a convención sobre sus superficies se deben determinar la velocidad de la


46

transferencia de calor por unidad de longitud y la caída de temperatura a través

del tuvo y el aislamiento.

Considerando que la resistencia por contacto térmico en la interface es

despreciable.

Según el problema las conductividades térmicas son k=15w/m.C para el hierro,

y k=0.038w/m.C para el aislamiento de fibra de vidrio.

Para este problema, la red de resistencia térmica comprende cuatro dispuestas

en serie que se presenta en la figura si L=1m, se detrmina que las áreas de las

superficies expuestas a la convención son:

A1 =2π r1 L=2 π (0.025 m)(1 m)=0.157 m2

A2 =2π r3 L=2 π (0.0575 m)(1 m)=0.361m2

Entonces cada una de las resistencias térmicas será:

Ri=Rconv ,1=1

h1 A1 =

1

80 w /m2 .° C (0,157 m2) = 0,079 °C/w

R1=Rtuvo=ln (r2/r1)2 πkr1 L

=ln (2.75/2.5)

4 π (15 w /m .° C)(1 m) = 1.011 x10−3°C/w

R2=Raislam=ln (r3/r2)2 πkr2 L

=ln (5,75 /2.75)

2π (0.038w/m2 .° C)(1m2) = 3.098 °C/w

R0=Rconv 2=1

h2 A3 =

1

(15 w /m2. °C )(0.0361 m2) = 0.185 °C/w

Como todas las Resistencias estan en serie se determina que la Resistencia total es:


47

Rtotal=R i+R1+R2+R0

Rtotal=0.079°C/w +1.011x10−3°C/w +3.089°C/w +0.185°C/w

Rtotal=3.35 °C/w

Entonces la velocidad estacionaria de perdida de calor del vapor por m de longitud de

tubo será:

q=(t ¿¿1¿−t2

¿ )R total

¿ = (320−5 )° c3.35 ° C / w

= 95,52°C/w

Para determinar la perdida de calor para una longitud dada de tubo, se multiplica esta

última cantidad por la longitud L de este tubo.

La caída de temperatura a través del tuvo y el aislamiento se determina con la ecuación

que se expresa como:

∆ t tubo =q Rtubo = (96w) (1.11x10−3 C/w) =0, 09 °C

∆ t aislam =q Raislam = (96w) (3,089C/w) =296,544°C

Es decir, las temperaturas entre las superficies interior y exterior del tubo difieren 0,

09 °C, en tanto que las temperaturas entre las superficies interior y exterior del

aislamiento difieren en 296,544°C.

3. Considere una bebida fría enlatada en aluminio que está inicialmente a una

temperatura uniforme de 4 °C . La lata tiene 12.5 cm de alto y un diámetro de 6 cm. Si el


48

coeficiente combinado de transferencia de calor por convección/radiación entre la lata y

el aire circundante a 25 °C es de 10 W /m2 · ° C, determine cuánto tiempo pasará para que

la temperatura promedio de la bebida se eleve hasta 15 °C .En un esfuerzo por hacer más

lento el calentamiento de la bebida fría, una persona pone la lata en un aislamiento

cilíndrico de caucho (k=0.13 W /m ·° C) de 1 cm de espesor y que ajusta perfectamente.

¿Ahora cuánto tiempo pasará para que la temperatura de la bebida se eleve hasta 15 °C?

Suponga que la parte superior de la lata no está cubierta.

Ao=π D o L+2π D2

4=π (0.06 m ) (0.125 m )+2

π (0.06 ) m2

4=0.02922 m2

Q=ho A (T aire−T bebida )=(10W /m2 · °C ) (0.02922m2 ) (25−9.5 )℃=4.529W

m=ρV =ρπ r2L=(1000

kg

m3 ) π (0.03 m2) (0.125 m )=0.3534 kg

q=m c p ∆ T=(0.3534 kg )(4.180J

kg ) (15−4 )℃=16.250 J

∆ t= qQ

=16.250 J

4.529Js

=3588 s=59.8 min

Q=hO A (T aire−T )=(10W

m2℃ ) [ π (0.03 m )2 ] (25−9.5 )℃=0.44 W

Ao=π D o L=π (0.08 m ) (0.125 m )=0.03142 m2


49

Ro=1

ho Ao

= 1

(10W

m2℃)(0.03142 m2)

=3.183℃W

Rlado deaislamiento=ln ¿¿

Rtotal=Ro+Raislamiento=3.183+2.818=6.001℃W

Qlado=T aire−T

Rconvección

=(25−9.5 )℃

6.001℃W

=2.58 W

Qaislamiento=Q lado+abajo+Qencima=1.12× 2.58+0.44=3.33 W

∆ t= qQ

=16.250 J

3.33Js

=4880 s=81.3 min

4. Está fluyendo vapor de agua a través de un tubo de acero (k = 8.7 BTU/h · pie · °F)

cuyos diámetros interior y exterior son 3.5 in y 4.0 in, respectivamente, en un medio a

55°F. El tubo está aislado con fibra de vidrio (k = 0.020 BTU/h · pie · °F) de 2 in de

espesor. Si los coeficientes de transferencia de calor sobre el interior y el exterior del

tubo son 30 y 5 BTU/h · pie2 · °F, respectivamente, determine la velocidad de la

pérdida de calor del vapor por pie de longitud del tubo. ¿Cuál es el error en que se

incurre al despreciar la resistencia térmica del tubo de acero en los cálculos?

SOLUCIÓN:

Hipótesis 1: La transferencia de calor es constante ya que no hay indicios de ningún

cambio con el tiempo.

Hipótesis 2: La transferencia de calor es unidimensional ya que no hay simetría térmica

sobre la línea central y no hay variación en la dirección axial.

Hipótesis 3: Las conductividades térmicas son constantes.

Hipótesis 4: La resistencia térmica de contacto en la interfaz es despreciable.

Propiedades: Las conductividades térmicas son k= 8.7 BTUh . pie .℉

para el acero y

k=0.020 BTUh . pie.℉

para el aislamiento de fibra de vidrio.

Análisis: Las áreas de la superficie interior y exterior

Ai=π . Di . L=3.1416 x 3.5 pulgx1 pie

12 pulgx 1 pie=0.916 pie2


50

Ao=π .Do . L=3.1416 x 8 pulgx1 pie

12 pulgx1 pie=2.094 pie2

Las resistencias individuales son:

Ri=1

hi x A i

= 1

(30 BTU /h . pie2 .℉ ) (0.916 pie2 )=0.036 h .℉ /BTU

R1=R tubo=ln r2/r1

2 π k 1 L= ln 2/1.75

2 x 3.1416 x¿¿

R2=Raislamiento=ln r3/r2

2 π k2 L= ln 4 /2

2 π ¿¿

Ro=1

ho x Ao

= 1¿¿

RTOTAL=R i+R1+R2+RO=0.036 h .℉ / BTU+0.002 h .℉ / BTU+5.516 h .℉ / BTU+0.096 h .℉ /BTU=5.65 h .℉ /BTU

Entonces la velocidad de la pérdida de calor del vapor por pie de longitud es:

Q=T 1−T 2

RTOTAL

= 450℉−55℉5.65 h .℉ /BTU

=69.91 BTU /h

Si se desprecia la resistencia térmica de la tubería de acero, el nuevo valor de la

resistencia total será:

RTOTAL=¿ Ri+R2+RO=0.036+5.516+0.096=5.648 h .℉ /BTU ¿

El error en que se incurre es:

error %=(5.65−5.648 )h .℉ /BTU

5.65 h.℉ / BTUX 100=0.035 %

5. Fluye agua caliente a una temperatura promedio de 90°C a través de una sección de

15 m de un tubo de hierro fundido (k = 52 W/m · °C) cuyos diámetros interior y exterior

son 4 cm y 4.6 cm, respectivamente. La superficie exterior del tubo, cuya emisividad es

0.7, está expuesto al aire frío a 10°C en el sótano, con un coeficiente de transferencia de

calor de 15 W/m2 · °C. El coeficiente de transferencia de calor en la superficie interior

del tubo es de 120 W/m2 · °C. Si se considera que las paredes del sótano también están a

10°C, determine la velocidad de la pérdida de calor del agua caliente. Determine

también la velocidad promedio del agua en el tubo si la temperatura de aquélla cae en

3°C a medida que pasa a través del sótano.


51

SOLUCIÓN:

Hipótesis 1: La transferencia de calor es constante ya que no hay indicios de ningún

cambio con el tiempo.

Hipótesis 2: La transferencia de calor es unidimensional ya que no hay simetría térmica

sobre la línea central y no hay variación en la dirección axial.

Hipótesis 3: Las propiedades térmicas son constantes.

Propiedades: La conductividad térmica y emisividad de hierro fundido son

k=52W /m.℃ y ε = 0,7 respectivamente.


Ai=π Di L=3.1416 x ( 0.04 m ) x 15 m=1.885 m2

AO=π DO L=3.1416 x (0.046 m ) x15 m=2.168 m2

Ri=1

hi x A i

= 1

(120 W /m2 .℃ ) x1.885 m2=0.00442℃ /W

Rtubo=ln ¿¿¿

La temperatura de la superficie exterior del tubo estará por debajo de la temperatura del

agua, por lo que se asume el valor de 60℃.

El coeficiente de transferencia de calor por radiación es:

hrad=εσ (T22+T superficial

2 ) (T 2+T superficial )

(0.7)¿

Hallando el coeficiente de transferencia de calor combinado

hcombinado=hrad+hconvec 2=4,67+15=19.67 W /m .℃

RO= 1hcombinado x AO

= 1¿¿

RTOTAL=R i+R tubo+RO=0.00442+0.00003+0.02345=0.0279℃ /W

La velocidad de la pérdida de calor del agua caliente es:

Q=T 1−T 2

RTOTAL

=(70−10)℃

0.0279℃/W=2151W

Para una caída de temperatura de 3℃, la velocidad promedio del agua en el tubo será:

Q=mc p ∆ T m= Qc p ∆ T

= 2151 J /s(4180 J /kg .℃)(3℃)

=0.172 kg /s

m=ρV Ac V= mρ Ac

=0.172 kg /s¿¿


52

6. El vapor que sale de la turbina de una planta generadora a 100°F se condensa en un

gran condensador, por enfriamiento con agua que fluye por tubos de cobre (

k=223 BTU /h . pie.℉ ¿¿ con diámetro interior de 0.4 pulg y exterior de 0.6 pulg a una

temperatura promedio de 70°F. El calor de vaporización del agua a 100°F es 1 037

BTU /lbm . Los coeficientes de transferencia de calor son de 1 500 BTU /h . pie2 .℉ en

el lado del vapor, y de 35 BTU /h . pie2 .℉ en el lado del agua. Determine la longitud

requerida del tubo para condensar el vapor a razón de 120 lbm/h.

SOLUCIÓN:

La conductividad térmica del tubo de cobre es k=223 BTU /h . pie.℉ , el calor de

vaporización del agua a 100 ° F es 1.037 BTU /lbm .


Ai=π Di L=3.1416 x0.4 pulgx1 pie

12 pulgx 1 pie=0.105 pie2

AO=π DO L=3.1416 x0.6 pulgx1 pie

12 pulgx1 pie=0.157 pie2

Ri=1

hi x A i

= 1¿¿

Rtubo=ln ¿¿¿

RO= 1hO x AO

= 1

(1500 BTU /h . pie2 x℉ )(0.157 pie2)=0.00425 h .℉ /BTU

RTOTAL=R i+R tubo+RO=0.27211+0.00029+0.00425=0.27665 h.℉ / BTU

La velocidad de transferencia de calor del tubo es:

Q=(T1−T 2)

RTOTAL

=(100−70)℉

0.27665h .℉ /BTU=108.44 BTU /h

La velocidad de transferencia de calor requerida para condensar el vapor a razón de

120 lbm/h es:

QTOTAL=mh fg=(120lbm /h ) (1037 B TU / lbm )=124440 BTU /h

Longitud del tubo: QTOTAL

Q=124440

108.44=1148 pie


53Ms. Ing. Segundo Albertano Parrera Espinoza

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