ejercicios de cuadripolos con solucion.pdf

98 Anlisis de Redes. Teora y problemas

PROBLEMAS

Problema V.1

LCR1 R2 +V2-

+

V1-

I1 I21

2

3

4

1:a

El cuadripolo de la figura adjunta funciona enrgimen sinusoidal permanente a una frecuenciaangular .

1.- Hallad los parmetros de transmisin delcuadripolo.

2.- Suponiendo que se cortocircuitan losnudos 3 y 4, qu impedancia se observara desdelos nudos 1-2?

Solucin

A PARTADO 1 . -

El comportamiento de un cuadripolo en funcin de los parmetros de transmisin est definido porV1 = AV2 BI2

;

I1 = CV2 DI2

Adems, debido a la restriccin impuesta por el transformador ideal, se verifica queI1 = aI2

Por tanto,

I2 = 0 I1 = 0 A =V1V2 I2 =0

=V1aV1

=1a

B = V1I2 V2 =0

=

I1 R1 j 1C 1a I2 R2 + jL( )

I2= aR1 +

R2a

+ j La

a

C

C = I1V2 I2 =0

=aI2V2

= 0

D = I1I2 V2 =0

= aI2

I2= a

A PARTADO 2 . -

Z12 =V1I1 V2 =0

=V1

aI2 V2 =0=

1a

B = R1 +R2a2

+ j La2

1C

Cuadripolos 99

Problema V.2

Vg

ZgZL

+

V1-

+

V2-

I1 I2Dado el cuadripolo de la figura,1.- Calculad la funcin de transferencia V2/Vg

en funcin de los parmetros de admitancia, Zg y ZL.2.- Calculad el valor de ZL necesario para obte-

ner mxima transferencia de potencia en funcin de Zgy de los parmetros de transmisin.

3.- Calculad la ganancia de corriente I2/I1 enfuncin de ZL y los parmetros hbridos (h).

Solucin

A PARTADO 1 . -

El cuadripolo queda definido por las expresionesI1 = y11V1 + y12V2 ; I2 = y21V1 + y22V2

Por otra parte,

V2 = I2ZL = (y21V1 + y22V2 )ZL V1 = V21 + y22ZL

y21ZL

Vg = I1Zg + V1 = V1(1 + y11Zg ) + V2y12Zg = V2 y12Zg (1 + y11Zg )(1 + y22ZL )

y21ZL

Despejando,V2Vg

=y21ZL

y12y21ZgZL (1 + y11Zg )(1 + y22ZL )

A PARTADO 2 . -

V2

Zg

I1I2+

V1-

El valor de ZL que provoca mayor transferencia de potencia esZTh

*. Utilizando los parmetros de transmisin, junto con el cir-

cuito mostrado en la figura adjunta, se puede escribirV1 = I1Zg AV2 BI2 = (CV2 DI2 )Zg

Luego,

ZTh =V2I2

=

B + DZgA + CZg

A PARTADO 3 . -

El cuadripolo queda definido por las expresionesV1 = h11I1 + h12V2 ; I2 = h21I1 + h22V2

y, como V2 = -I2ZL, se puede escribir

I2 = h21I1 h22I2ZL I2I1

=h21

1 + h22ZL


Problema V.3

M

Z2+

V2-

I2

Z1

+

V1

-

I1

c

d

L2

L1

El circuito de la figura funciona en rgimen sinusoidal permanente.1.- Obtened los parmetros Z del cuadripolo equivalente.2.- Suponiendo que entre los terminales a-b se conecta una fuente de

tensin sinusoidal (frecuencia angular: ; fasor: Vg, real, terminal positivo enel nudo a), en serie con una impedancia Zg, obtened el equivalente Thveninentre los puntos c-d (expresado exclusivamente en funcin de Vg, Zg y losparmetros Z anteriormente calculados).

Solucin

A PARTADO 1 . -

El cuadripolo de la figura queda definido por las expresionesV1 = I1(Z1 + jL1 + jL2 + j2M) + I2( jL2 + jM)

V2 = I1( jL2 + jM) + I2(Z2 + jL2 )Identificando trminos con la definicin funcional de los parmetros Z, se obtiene

z11 = Z1 + jL1 + jL2 + j2M ; z12 = jL2 + jM

z21 = jL2 + jM ; z22 = Z2 + jL2

A PARTADO 2 . -

Vg

Zg+

VTh-

a

b

c

d

I1+

V1-

Utilizando la notacin mostrada en la figura adjunta,

I1 =Vg V1

Zg=

Vg z11I1Zg

I1 =Vg

Zg + z11

VTh = z21I1 =z21Vg

Zg + z11

Vg

Zg a

b

c

d

I1 I2+

V1-

Utilizando la notacin mostrada en la figura adjunta,Isc = I2 =

z21z22

I1

I1 =Vg V1

Zg=

Vg (z11I1 + z12I2 )Zg

I1 =Vg z12I2

Zg + z11

Isc = I2 =z21Vg

z22Zg + z11z22 z12z21

La impedancia del equivalente de Thvenin est dada por

ZTh =VThIsc

= z22 z12z21

Zg + z11

Cuadripolos 101

Problema V.4

L

R

C

+

V1-

+

V2-

I1 I2

El circuito de la figura funciona en rgimen sinusoidal permanente.1.- Obtened los parmetros de admitancia del circuito.El circuito es insertado entre una fuente de tensin sinusoidal (el fasor

representativo de su voltaje es Vg, y su resistencia interna en serie esnula) y una carga resistiva (de valor RL). La fuente se conecta a la izquierda delcircuito, y la carga a la derecha.

2.- Obtened la relacin I2/Vg en funcin de RL y de los parmetros calculados anteriormente.3.- Calculad la frecuencia angular para la que el mdulo de I2 es mximo.

Solucin

A PARTADO 1 . -

y11 =I1V1 V2 =0

=1

jL + R1 + jRC

=1 + jRC

jL 2RLC + R

y12 =I1V2 V1 =0

=

I2jRL

R + jL

1jL

I21

jC +jRL

R + jL

= jRC

jL 2RLC + R

y21 =I2V1 V2 =0

=

I1jC R1 + jRC

I1 jL + R1 + jRC

= jRC

jL 2RLC + R

y22 =I2V2 V1 =0

=1

1jC +

jRLR + jL

=jRC 2LC

jL 2RLC + R

A PARTADO 2 . -

Vg RL

+

V2-

I1 I2+

V1-

Empleando la notacin utilizada en la figura adjunta se tieneI2 = y21Vg + y22V2 = y21Vg y22RLI2

I2Vg

=y21

1 + y22RL

A PARTADO 3 . -

Aplicando el resultado del apartado anterior y los valores calculados en el primero, se puede escribir

I2 =

jRCjL 2RLC + R

1 + jRC 2LC

jL 2RLC + R RLVg =

VgL

RC+ RL + j L 1 + RLR

1C

I2 ser mxima cuando la parte imaginaria del denominador se anule. Es decir,

L 1 + RLR

1C = 0 =R

LC(R + RL )


Problema V.5

kV2

a

b

L R

C

+

V2-

I2+

V1-

I1

El cuadripolo de la figura adjunta funciona en rgimen sinusoi-dal permanente.

1.- Obtened los parmetros hbridos (h).El circuito es insertado entre una fuente de tensin sinusoidal

(el fasor representativo de su voltaje es Vg, y su impedancia internaen serie es Zg) y una carga (de valor ZL). La fuente se conecta ala izquierda del circuito, y la carga a la derecha.

2.- Calculad la expresin de I1 en funcin de los parmetros h y de Vg, Zg y ZL.3.- Calculad la potencia reactiva en la fuente de tensin. Se absorbe o se libera?4.- Calculad el equivalente Norton del cuadripolo cargado entre los terminales a y b en funcin de los pa-

rmetros h y de Vg, Zg y ZL.

Solucin

A PARTADO 1 . -

El cuadripolo de la figura queda definido por las expresiones

V1 = I1jL + kV2I2 = jCV2 + V2 kV2R = jC +

1 kR

V2Por tanto,

V1

I2

=

h11 h12

h21 h22

I1

V2

=

jL k0 jC + 1 k

R

I1

V2

A PARTADO 2 . -

Vg

Zg

ZL

+

VL-

I1 I2+

V1-

a

b

Con la notacin de la figura adjunta se puede escribirI2 = h22VL =

VLZL

En general, h22 -1/ZL, por lo que tiene que cumplirseque VL = 0. Luego,

V I V I IV

1 11 1 1 111

= = =+

h ZZ hg g

g

g

A PARTADO 3 . -

En la fuente (entendida como el conjunto formado por el generador y la impedancia interna) la potenciacompleja es

S = 12

V1I1*

= 12

I12 h11 =

12

VgZg + jL

2

jL

Como S es imaginaria, la potencia reactiva (Q) coincide con la compleja y, por ser negativa, se libera.A PARTADO 4 . -

La tensin de Thvenin es, en este caso, V1. Aplicando el resultado del apartado 2,

VTh = V1 = I1h11 =Vgh11

Zg + h11

Cuadripolos 103

Por otra parte, la corriente en cortocircuito es

IN = Isc =VgZg

Luego,

ZN =VThIN

=

Zgh11Zg + h11

Problema V.6

Ri

Ro

+

V2-

+

V1-

I1 I2

AV2 BI1

a

b

c

d

Dado el cuadripolo de la figura adjunta, al que se co-necta una carga RL entre los terminales c-d,

1.- Obtened, en funcin de RL y de los parmetros hdel cuadripolo, las expresiones algebraicas de las gananciasde corriente (Gi = I2/I1) y de tensin (Gv = V2/V1).

2.- Sabiendo que A = 0.02, B = 10, Ro = 50 k,Gi = 5 y Gv = 100, calculad los valores de RL y Ri, y losde los parmetros h del cuadripolo.

Solucin

A PARTADO 1 . -

Una vez conectada RL y utilizando la notacin mostrada en la figura, se puede escribir

I2 = h21I1 + h22V2 = h21I1 h22I2RL Gi =I2I1

=h21

1 + h22RL

I2 = V2RL

= h21I1 + h22V2 = h21V1 h12V2

h11

+ h22V2 Gv =

V2V1

=h21RL

h21h12RL h11h22RL h11

A PARTADO 2 . -V1 = I1Ri + AV2 h11 = Ri ; h12 = A = 0.02

I2 = BI1 +V2Ro

h21 = B = 10 ; h22 =1

Ro= 20S

RL =1

h22h21Gi

1

= 50 k

Ri = h11 =1

(h22RL + 1)h21h12RL

h21RLGv

= 2.5k

Problema V.7

+

V1

I1

Ri

+

V2

I2

RdgmV1

1

2

3

4

El cuadripolo de la figura adjunta funciona en rgimen sinu-soidal permanente.

1.- Hallad los parmetros de transmisin, de admitancia ehbridos (g) del cuadripolo.

2.- Se aplica una fuente de tensin (Vg, terminal positivohacia el nudo 1) en serie con una impedancia Zg entre los nudos 1y 2, y una carga ZL entre 3 y 4. Obtened V2/Vg en funcin de los parmetros g, Zg y ZL. Cunto vale estarelacin si Ri ?


Solucin

A PARTADO 1 . -

El comportamiento de un cuadripolo en funcin de los parmetros de transmisin est definido porV1 = AV2 BI2 ; I1 = CV2 DI2

En el circuito se verifican las relaciones

gmV1 = I2 V2Rd

V1 = V2

gmRd+

I2gm

V1 = I1Ri I1 = V2

gmRdRi+

I2gmRi

Por tanto,

A = 1gmRd

; B = 1gm

; C = 1gmRdRi

; D = 1gmRi

El comportamiento de un cuadripolo en funcin de los parmetros de admitancia est definido porI1 = y11V1 + y12V2 ; I2 = y21V1 + y22V2


I1 =V1Ri

; I2 = gmV1 +V2Rd

Por tanto,

y11 =1

Ri ; y12 = 0 ; y21 = gm ; y22 =

1Rd

El comportamiento de un cuadripolo en funcin de los parmetros hbridos (g) est definido porI1 = g11V1 + g12I2 ; V2 = g21V1 + g22I2


I1 =V1Ri

; V2 = gmRdV1 + RdI2

Por tanto,

g11 =1

Ri ; g12 = 0 ; g21 = gmRd ; g22 = Rd

A PARTADO 2 . -

Vg

Zg

ZL

+

V2-

I1 I2+

V1-

1

2

3

4

En el circuito de la figura se verifica

V2 = g21V1 + g22I2 = g21V1 g22V2ZL

Vg = I1Zg + V1 = (g11Zg + 1)V1 + g12ZgI2con lo que

Vg = (g11Zg + 1)ZL + g22

g21ZLV2 g12Zg

V2ZL

V2Vg

=g21ZL

(g11Zg + 1)(ZL + g22 ) g21g12ZgCuando Ri , g11 0, y, aplicando los valores de los parmetros g obtenidos antes,

V2Vg

=

gmRdZLZL + Rd

Cuadripolos 105

Problema V.8

L

RC

L

2R

CLR+vi-

2Rvi/RMa

b

c

d

1.- Obtened los parmetros Z del cuadripolo abcdfuncionando en continua.

2.- Obtened los parmetros Z del cuadripolo abcdfuncionando en rgimen sinusoidal permanente, siendo = 1 / LC .

En la entrada del cuadripolo (nodos a y b) se co-necta un generador independiente de tensin (vg), y en lasalida (nodos c y d) se conecta una carga (vase figura).

3.- Obtened la expresin instantnea de v0.4.- Obtened la expresin instantnea de la potencia

en la resistencia marcada con !.

C

L2R

2R

c

d

+

v0

-

!g

a

b

vg(t) = 30 + 9 cos(t + 45) V

= 1 / LC = 103 rad/s

L = 1 mHM = 0.5 mHR = 0.5

Solucin

A PARTADO 1 . -

vi/R 2R 2R

+vi-

R

a

b

c

d

+v1-

+v2-

i1 i2En continua, el cuadripolo original es equivalente al dela figura, donde

v1 = vi = i1R

v2 = i2 viR

R = i1R + i2RIdentificando trminos con los parmetros Z de un cuadripolo

z11 = R ; z12 = 0 ; z21 = R ; z22 = R

A PARTADO 2 . -

Vi/R 2R

c

d

+V2-

+Vi-

a

b

+V1- R

I2I1

Z

A la frecuencia sealada, el cuadripolo original es equiva-lente al de la figura donde

Z = jL + (M)2

R

V1 = I1 R + jL + (M)2

R

V2 = I2 ViR

2R = 2I1R + 2RI2


Identificando trminos con los parmetros Z de un cuadripolo

z11 = R + jL + (M)2

R ; z12 = 0 ; z21 = 2R ; z22 = 2R

A PARTADO 3 . -

VgZL

+V0-

I1 I2La situacin general en este caso es la representada en la

figura, dondeVg = I1z11 + I2z12

V0 = I1z21 + I2z22

I2 = V0ZL

Despejando, se obtieneI1 =

1z11

Vg +z12

z11ZLV0

V0 =z21ZL

z11ZL z12z21 + z11z22Vg

Las anteriores son expresiones genricas; para hallar el valor concreto de v0 en este caso, y teniendo encuenta que la seal de entrada tiene dos componentes (una continua y otra cosenoidal), emplearemos el principiode superposicin. As, para la parte continua tenemos que

z11 = R ; z12 = 0 ; z21 = R ; z22 = R ; Vg = 30 V ; ZL = 2R

Por tanto,

V0 =2R2

2R2 + R2Vg = 20 V

Para la componente cosenoidal, y teniendo en cuenta la frecuencia de trabajo, tenemos

z11 = R + jL + (M)2

R ; z12 = 0 ; z21 = 2R ; z22 = 2R ; Vg = 9e

j45 V ; ZL = R

Por tanto,

V0 =2R2

R + jL + (M)2

R

3R

Vg =3

2 V

Entonces, la expresin temporal de v0 completa ser

v0(t) = 20 32

cos(103t) V (con t en s)

A PARTADO 4 . -

Por la resistencia indicada no circula corriente continua, puesto que sta es bloqueada por la capacidad desu rama. Por tanto, la potencia disipada depender slo de la parte cosenoidal de v0. Adems, a la frecuencia in-dicada, la induccin y la capacidad de la rama de inters se hallan en resonancia, por lo que las tensiones de am-bos elementos se anulan y en la resistencia estudiada se observa directamente una tensin v0. Por tanto,

p(t) = v0alterna2

2R= 4.5cos2(103t) W (con t en s)

Cuadripolos 107

Problema V.9

R1

R2

+

V1-

I1+

V2-

I2AI1

1 2

3 4

(a) L

R3

+

V2

-

+

V1

-

I1 I2

6

8

(b)

Dados los circuitos de la figura (en rgimen sinusoidal permanente):1.- Calculad los parmetros Z de los cuadripolos (a) y (b).2.- Los circuitos (a) y (b) se conectan uniendo los terminales 3-5 y 4-6. Indicad de qu tipo de conexin

se trata y calculad los parmetros Z del cuadripolo resultante.El circuito resultante de la conexin realizada en el apartado anterior es conectado entre una fuente de ten-

sin senoidal vg(t) (con resistencia interna Rg, en serie) y una carga ZL.3.- Sabiendo que vg = 10 cos(2000t) V, Rg = 2 , R1 = R2 = R3 = 1 , A = 3 V/A y L = 1 mH, calcu-

lad el valor de ZL que proporciona mxima transferencia de potencia a la carga.4.- Usando los valores numricos del apartado anterior, calculad la potencia media entregada a la carga ZL

y los valores instantneos de tensin y corriente en dicha carga.

Solucin

A PARTADO 1 . -

El cuadripolo de la figura (a) queda definido por las expresionesV1 = I1R1 ; V2 = AI1 + I2R2

Identificando trminos con la definicin funcional de los parmetros z se obtieneza11 = R1 ; za12 = 0 ; za21 = A ; za22 = R2

El cuadripolo de la figura (b) queda definido por la expresinV1 = V2 = (I1 + I2) (R3 + jL)

Luego,zb11 = zb12 = zb21 = zb22 = R3 + jL

A PARTADO 2 . -

Al unir los terminales 3-5 y 4-6 se realiza una conexin en serie, por tanto

z11 = R1 + R3 + jL ; z12 = R3 + jL ; z21 = A + R3 + jL ; z22 = R2 + R3 + jL

A PARTADO 3 . -

Rg

V

1

7

2

8

I1I2+

V1-

El valor de ZL que provoca mayor transferencia de potencia esZTh

*. Para hallar ZTh puede emplearse el circuito mostrado en la fi-

gura adjunta, en el queV = z21I1 + z22I2

I1 =V1Rg

=(z11I1 + z12I2 )

Rg I1 =

z12I2Rg + z11

ZTh =VI2

= z22 z12z21

Rg + z11


Aplicando los valores numricos, se obtiene

z11 = 2+ j2 ; z12 = 1 + j2 ; z21 = 4 + j2 ; z22 = 2 + j2 Luego,

ZTh = 1 ZL = ZTh*

= 1

A PARTADO 4 . -

Vg

Rg

ZL

+

VL-

1

7

2

8

I1 I2+

V1-

En el circuito de la figura adjunta,VL = z21I1 + z22I2 = -I2ZL

I1 =Vg V1

Rg=

Vg (z11I1 + z12I2 )Rg

I1 =Vg z12I2Rg + z11

Despejando,

I2 =z21Vg

(Rg + z11)(z22 + ZL ) z12z21= 5 A i2 (t) = 5cos(2000t) A (con t en s)

VL = I2ZL = 5 V vL (t) = 5cos(2000t) V (con t en s)

P = 12

I22 RTh = 12.5 W

Problema V.10

+

V1-

2I1

I1 R

RR

+

V2-

I2

1.- Calculad los parmetros de transmisin del cuadripolo dela figura.

2.- Hallad los parmetros de transmisin del cuadripolo resul-tante de la conexin en cascada de dos cuadripolos como el mostradoen la figura.

El cuadripolo resultante de la conexin mencionada en la pre-gunta anterior es insertado entre una fuente de tensin continua (de voltaje Vg y resistencia interna Rg en serie) yuna carga resistiva (de valor RL). La fuente se conecta a la izquierda de la figura y la carga a la derecha.

3.- Calculad la ganancia de tensin V2 / Vg . Esta ganancia deber ser expresada en funcin de Rg, RL ylos parmetros de transmisin.

4.- Obtened el valor de RL para el que se obtiene la mxima potencia media en la carga. Este valor deberser expresado en funcin de Rg y de los parmetros de transmisin.

5.- Obtened el valor numrico de la carga calculada en la pregunta anterior si Rg = R = 1 .

Solucin

A PARTADO 1 . -

En el circuito se verifica que

I1 =V1R

+V1 V2

R

V1 V2R

V2R

+ 2I1 + I2 = 0

A partir de estas expresiones, se obtiene

V1 =45

V2 R5

I2 ; I1 =3

5RV2

25

I2

Cuadripolos 109

Identificando estas ecuaciones con las que definen los parmetros ABCD de un cuadripolo resulta

V1

I1

=

A B

C D

V2

I2

=

4 / 5 R / 5

3 / (5R) 2 / 5

V2

I2

A PARTADO 2 . -

A B

C D

=

A B

C D

A B

C D

=

19 / 25 6R / 25

18 / (25R) 7 / 25

A PARTADO 3 . -

Vg

Rg

RL

+

V2-

I1 I2+

V1-

Utilizando la notacin mostrada se puede escribir

I2 = V2

RL

Vg = I1Rg + V1 = ( C Rg + A ) V2 ( D Rg + B ) I2

V2Vg

=RL

C RgRL + A RL + D Rg + B

A PARTADO 4 . -

El valor necesario de RL para obtener mxima transferencia de potencia es RTh.

VTh = V2 I2 =0 = V2 RL = =Vg

C Rg + A

Isc = I2 V2 =0 = V2

RL RL =0=

VgD Rg + B

RTh =VThIsc

=

D Rg + BC Rg + A

A PARTADO 5 . -

RTh =D Rg + BC Rg + A

=1337

Problema V.11

C

Ri

RogVi

+Vi-

Ia1 Ia2+

Va1-

+

Va2-

A

B

C

D

(a)Ib1+

Vb1-

E

F

G

H

Ib2 +Vb2

-

L (b)

Los circuitos de la figuras adjuntas funcionan en rgimen sinusoidal permanente.1.- Obtened los parmetros Z del cuadripolo (a).2.- Obtened los parmetros Z del cuadripolo (b).


Vg

Zg

ZL

+

VL-

A

F

C

H

(c)

Conectando B con E y D con G, se forma el cuadripoloAFCH (figura c).

3.- Obtened los parmetros Z de dicho cuadripolo.4.- Hallad la funcin de transferencia VL/Vg.5.- Cunto vale la funcin de transferencia del apartado

anterior si la impedancia de carga es sustituida por un cortocir-cuito? Y si es sustituida por un circuito abierto?

Solucin

A PARTADO 1 . -

El cuadripolo de la figura (a) queda definido por las expresiones

Va1 = Ia1 Ri j 1C ; Va2 = Ia2 + j gIa1C

RoIdentificando trminos con la definicin funcional de los parmetros Z, se obtiene

za11 = Ri j 1C ; za12 = 0 ; za21 = jgRoC

; za22 = Ro

A PARTADO 2 . -

El cuadripolo de la figura (b) queda definido por la expresinVb1 = Vb2 = (Ib1 + Ib2 )jL

Identificando trminos con la definicin funcional de los parmetros Z, se obtiene

zb11 = zb12 = zb21 = zb22 = jL

A PARTADO 3 . -

La conexin de los terminales B-E y D-G es una conexin en serie, por lo que la matriz de parmetros zdel cuadripolo resultante es la suma de las matrices de parmetros z de los cuadripolos originales. Por tanto

z11 = Ri + j L 1C ; z12 = jL ; z21 = j gRoC + L

; z22 = Ro + jL

A PARTADO 4 . -

Vg

Zg

ZL

+

VL-

A

F

C

H

I1 I2+

V1-

Utilizando la notacin de la figura adjunta, se tieneVL = z21I1 + z22I2 = -I2ZL

I1 =Vg V1

Zg=

Vg (z11I1 + z12I2 )Zg

I1 =Vg z12I2

Zg + z11

Por tanto,

I2 =z21Vg

(Zg + z11)(z22 + ZL ) z12z21 ;

VLVg

=z21ZL

(Zg + z11)(z22 + ZL ) z12z21

A PARTADO 5 . -

Si la carga es sustituida por un cortocircuito, VL = 0, independientemente de la entrada; luego VLVg

= 0 .

Si es sustituida por un circuito abierto, ZL = ; luego VLVg

=z21

Zg + z11.

PROBLEMASProblema V.1Problema V.2Problema V.3Problema V.4Problema V.5Problema V.6Problema V.7Problema V.8Problema V.9Problema V.10Problema V.11

ejercicios de cuadripolos con solucion.pdf

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