ejercicio 3.3, pagina 132 – a. smith, corripio
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Considérese el proceso mostrado en la figura, en el cual el tanque es esférico con un radio de 4 pies; el flujo nominal de entrada y de salida del tanque es de 30.000 lbm/hr; la densidad del líquido es de 70 lbm/pies3; y el nivel de estado estacionario es de 5 pies. El volumen de una esfera es 4r3/3, y la relación entre volumen y altura se expresa medianteTRANSCRIPT
CONTROL AUTOMATICO DE PROCESOS
Ejercicio 3.3, Pagina 132 – A. Smith, Corripio.
Considérese el proceso mostrado en la figura, en el cual el tanque es esférico con un radio de 4 pies; el flujo nominal de entrada y de salida del tanque es de 30.000 lbm/hr; la densidad del líquido es de 70 lbm/pies3; y el nivel de estado estacionario es de 5 pies. El volumen de una esfera es 4r3/3, y la relación entre volumen y altura se expresa mediante
El flujo a través de las válvulas es:
Donde:
= radio de la esfera,
= volumen del líquido en el tanque,
= volumen total del tanque,
= altura del líquido en el tanque,
P3 = 45 psig
h(t)
1
2
P2 = 50 psig
P1 = 65 psig
P´
1
= tasa de flujo,
= coeficiente de la válvula,
= 20.2 y = 28
= Caída de presión a través de la válvula, psi
= gravedad específica del fluido
= posición de la válvula, fracción de apertura de la válvula
La presión sobre el nivel del líquido se mantiene al valor constante de 50 psig. Obténganse las funciones de transferencia que relacionan el nivel del líquido en el tanque con los cambios de posiciones de las válvulas 1 y 2. También se deben graficarlas ganancias y las constantes de tiempo contra los diferentes niveles de operación cuando se mantiene constante la posición de las válvulas.
Solución:
Tenemos que la Ecuación General del Balance dinámico del Sistema es:
Donde es la densidad del líquido.
Linealizando a cada término de (1):
Donde
2
Dado que los coeficientes de las variables evaluados en los puntos de operación son constantes, por simplificación, tenemos lo siguiente:
En estado estable
De igual manera linealizando qo
Donde
Del mismo modo que para el caso de qi por simplificación llamaremos a los coeficientes como sigue:
3
En estado estable:
Linealizando V(t):
En estado estable:
Sustituyendo las ecuaciones (2), (3) y (4) en (1) se obtiene la ecuación Linealizada en Estado Estable del Sistema:
4
Ec. Linealizada en Estado
Estable
Aplicando Transformada de Laplace:
La Función de Transferencia de H(s) respecto a Vp1(s):
La Función de Transferencia de un Sistema de Primer Orden presentada en su forma general es:
Entonces:
La Función de Transferencia del Nivel respecto a la Apertura de la Válvula 1 es:
La Función de Transferencia del Nivel respecto a la Apertura de la Válvula 2 es:
5
Calculando los valores de K1, K2 y τ:
500 es un factor de conversión de gpm a lbm/hr
6
Se calcula Vp2 en estado estacionario qi = qo = 30.000 bm/hr
Calculando τ:
7
Cálculo de K2:
Sustituyendo los valores de K1, τ y K2 en las Funciones de Transferencia:
8
Graficando las ganancias y las constantes de tiempo contra los diferentes niveles de operación cuando se mantiene constante la posición de las válvulas.
K1 (ft) K2 (ft) τ (hr) h (ft) C1 ρgh C4 C3 C6
36,2878978 -30,4197151 1,34877333 1 41416,1581 0,48611111 1141,3215 34718,6749 21,9912
37,8614716 -33,1151328 2,41244741 2 41416,1581 0,97222222 1093,88664 36224,2015 37,6992
39,3722051 -35,8105506 3,13588492 3 41416,1581 1,45833333 1051,9136 37669,6053 47,124
40,8270748 -38,5059684 3,46854526 4 41416,1581 1,94444444 1014,42874 39061,5611 50,2656
42,2318545 -41,2013862 3,36364792 5 41416,1581 2,43055556 980,68528 40405,593 47,124
43,5913872 -43,896804 2,77754468 6 41416,1581 2,91666667 950,099566 41706,3345 37,6992
44,9097822 -46,5922218 1,6692374 7 41416,1581 3,40277778 922,207947 42967,7172 21,9912
46,1905623 -49,2876396 0 8 41416,1581 3,88888889 896,636803 44193,1116 0
46,3166924 -49,5571814 -0,19920566 8,1 41416,1581 3,9375 894,195072 44313,7874 -2,544696
-60
-40
-20
0
20
40
60
1 2 3 4 5 6 7 8 8,1
K1
K2
T
9