eigenvectors,eigenvalues and finite strain_detallado

8/18/2019 Eigenvectors,Eigenvalues and Finite Strain_detallado

1/29

!"#$"#$

#

&'()*+),-./01 &'()*+234)01 2*5

6'*'-) 7-/2'*

889:91 ;:#9

!?

!"#$"#$ #889:9

!@ &A8&BC&DEFG71 &A8&BCH=I&71 HBJ 6ABAE& 7EGHAB

A K2'* E.L',0

H &3)M)*-2/N 3'*)2/ 23()>/2 /)32O.*0

P &Q42O.*0 R./ 2* )33'L0)

D &Q42O.* .R S.M.()*).40 5)R./M2O.*

J &'()*+234)")'()*+),-./ )Q42O.*

& 7.34O.*0 R./ 0NMM)-/', S.M.()*).405)R./M2O.* M2-/',)0

6 7.34O.*0 R./ ()*)/23 S.M.()*).40

5)R./M2O.* M2-/',)0

8 G.-2O.*0 '* S.M.()*).40 5)R./M2O.*

!"#$"#$ 889:9 ;


2/29

!"#$"#$

;


!"#$"#$ 889:9 9

F =2 0

0 0.5

!

"#

$

%&

F =2 1

1 2

!

"#

$

%&

F =1 1

1 0

!

"#

$

%&

&T2ML3)0 .R ;J S.M.()*).40 5)R./M2O.*

B.-) -S2- -S) 0NMM)-/N .R -S) 5'0L32,)M)*-

U)350 V./ 32,W -S)/).RX '* -S) )T2ML3)0

,.//)0L.*50 -. -S) 0NMM)-/N V./ 32,W -S)/).RX '*

-S) 5)R./M2O.* (/25')*- M2-/'T Y6Z@

[S2- '0 2 0'ML3) \2N -. 5)0,/'>) S.M.()*).40

5)R./M2O.* -S2- '0 ().M)-/',233N M)2*'*(R43]

[S2- '0 -S) ().3.(', /)3)+2*,)]


AA &3)M)*-2/N 3'*)2/ 23()>/2 /)32O.*0

H A*+)/0) YHZ^# .R 2 /)23 M2-/'T H

# YHZYHZ^# _ YHZ^#YHZ _ YAZ1\S)/) YAZ _ '5)*O-N M2-/'T V)@(@1 X

; YHZ 2*5 YHẐ # M40- >) 0Q42/) *T* M2-/',)0

9 A*+)/0) YHZ^# .R 2 ;T; M2-/'T

` A*+)/0) YHZ^# .R 2 9T9 M2-/'T 230. /)Q4'/)05)-)/M'*2*- aHa -. >) *.*^b)/.

!"#$"#$ 889:9 `

A[ ] =a b

c d

!

"#

$

%& A[ ]

!1=

1

ad ! bc

d !b

!c a

"

#$

%

&' =

1

A

d !b

!c a

"

#$

%

&'

I [ ]=1 0

0 1

!

"#

$

%&


3/29

!"#$"#$

9


AA &3)M)*-2/N 3'*)2/ 23()>/2 /)32O.*0P J)-)/M'*2*- aHa .R 2 /)23 M2-/'T H

# H *4M>)/ -S2- L/.+'5)0 0,23'*('*R./M2O.* .* 2 0Q42/) M2-/'T

; J)-)/M'*2*- .R 2 ;T; M2-/'T

9 J)-)/M'*2*- .R 2 9T9 M2-/'T

!"#$"#$ 889:9 $

A =a b

c d

!

"#

$

%&, A = ad ' bc

A =

a b c

d e f

g h i

!

"

###

$

%

&&&

,

A = a e f

h i' b

d f

g i+ c

d e

g h

HW'* -.c

D/.00 L/.54,- V2* 2/)2X

7,232/ -/'L3) L/.54,- V2 +.34M)X


AA &3)M)*-2/N 3'*)2/ 23()>/2 /)32O.*0

D E/2*0L.0)

J E/2*0L.0) .R 2 M2-/'T L/.54,-

!"#$"#$ 889:9 d

For A[ ] =a b

c d

!

"#

$

%&, A[ ]

T

=

a c

b d

!

"#

$

%&

If A[ ] =a b

c d

!

"#

$

%& and B[ ]=

e f

g h

!

"##

$

%&&, then A[ ]

T =

a c

b d

!

"#

$

%& and B[ ]

T =

e g

f h

!

"##

$

%&&

A[ ] B[ ]= ae+ bg af + bh

ce+ dg cf + dh!

"##

$

%&&, A[ ] B[ ]!" $%

T

=ae+bg ce+ dgaf + bh cf + dh

!

"##

$

%&&

B[ ]T

A[ ]T =

ea + gb ec + gd

fa + hb fc + hd

!

"##

$

%&&= A[ ] B[ ]!" $%

T

ES'0 '0 -/4) R./ 2*N /)23 *T* M2-/',)0


4/29

!"#$"#$

`


AA &3)M)*-2/N 3'*)2/ 23()>/2 /)32O.*0& G)L/)0)*-2O.* .R 2 5.- L/.54,- 40'*(

M2-/'T M43OL3',2O.* 2*5 -S) M2-/'T

-/2*0L.0)

!"#$"#$ 889:9 e

!

a•!

b = a x ,a y,a z • b x ,b y ,b z = a xb x + a yb y + a zb z

= a x a y a z!" #

$

b x

b y

b z

!

"

%%%

%

#

$

&&&

&

= a[ ]T

b[ ]


AAA &Q42O.*0 R./ 2* )33'L0)

H &Q42O.* .R 2 4*'- ,'/,3)

#

;

9

!"#$"#$ 889:9 f

x2+ y

2=

!

X •

!

X = 1

x y!" #

$ x

y

!

"%%

#

$&&= X [ ]

T X [ ] = 1

x = cos'

y = sin'


5/29

!"#$"#$

$


AAA &Q42O.*0 R./ 2* )33'L0)P &33'L0) ,)*-)/)5 2- V:1:X1

23'(*)5 23.*( T1N 2T)0

#

7-2*52/5 R./M

;

8)*)/23 R./M

9

K2-/'T R./M

!"#$"#$ 889:9 !

x

a

! " # $ % & 2

+ y

b

! " # $ % & 2

= 1

x y!"

#$

A 0

0 D

!

"

%#

$

& x

y

!

"

%%

#

$

&&= x y!"

#$

Ax

Dy

!

"

%%

#

$

&&= 'F

x y!"

#$

A 'F 0

0 D 'F

!

"

%%

#

$

&&

x

y

!

"%%

#

$&&=1

X [ ]T

Matrixofconstants[ ] X [ ]=1

Ax2+ Dy

2+ F = 0

H1 J1 2*5 6 2/)

,.*0-2*-0 S)/)1

*.- M2-/',)0


AAA &Q42O.*0 R./ 2* )33'L0)

P &33'L0) ,)*-)/)5 2- V:1:X1

23'(*)5 23.*( T1N 2T)0

` g2/2M)-/', R./M

$ C),-./ R./M

!"#$"#$ 889:9 #:

x = a cos!

y = bsin!

!

r = a cos! !

i + bsin! !

j


6/29

!"#$"#$

d


AAA &Q42O.*0 R./ 2* )33'L0)D &33'L0) ,)*-)/)5 2- V:1:X1

2/>'-/2/N ./')*-2O.*

#

8)*)/23 R./M

L/.+'5)5 `HJ h VPiDX;

; K2-/'T R./M

!"#$"#$ 889:9 ##

x y!"

#$

A B

C D

!

"%

#

$&

x

y

!

"%%

#

$&&= x y!"

#$

Ax + By

Cx + Dy

!

"%%

#

$&&= 'F

x y!"

#$

A 'F B 'F

C 'F D 'F

!

"

%%

#

$

&&

x

y

!

"%%

#

$&&=1

X [ ]T

Matrixof constants[ ] X [ ]=1

Ax2+ B+C ( ) xy+ Dy2 + F = 0

H1 P1 D1 J1 2*5 6

2/) ,.*0-2*-0 S)/)1

*.- M2-/',)0

!@ &A8&BC&DEFG71 &A8&BCH=I&71 HBJ 6ABAE& 7EGHAB AAA &Q42O.*0 R./ 2* )33'L0)

J g.0'O.* +),-./ R./ 2* )33'L0)

& J)/'+2O+) .R L.0'O.* +),-./R./ 2* )33'L0) V5!"5jX

6 J.- L/.54,- .R ! 2*5 5!"5j

8 ES) L.0'O.* +),-./ 2*5 '-0-2*()*- 2/) L)/L)*5',432/ 'R

2*5 .*3N 'R# 2_>1 ./

; j _ :k1 ./

9 j _ !:k

!"#$"#$ 889:9 #;

!

r = a cos! !

i + bsin! !

j

d !

r

d ! = "asin!

!

i + bcos! !

j

!

r•

d !

r

d ! = b

2" a

2( )sin! cos!

H3.*( 2T)0

.R )33'L0)[) \'33 40) -S)0) /)043-0 0S./-3N

7. -S) 2T)0 .R 2* )33'L0)")33'L0.'5

2/) L)/L)*5',432/1 2*5 -S)

-2*()*-0 -. 2* )33'L0)")33'L0.'5 2-

-S) )*50 .R -S) 2T)0 2/)

L)/L)*5',432/@ ES.0) -2*()*-0

L2/233)3 -S) 2T)0@


7/29

!"#$"#$

e


AC&Q42O.* .R S.M.()*).40 5)R./M2O.*H YlmZ _ Y6ZYlZ

P ;J

D 9J

!"#$"#$ 889:9 #9

d ! x

d ! y

"

#$$

%

&''=

( ! x

( x

( ! x

( y

( ! y

( x

( ! y

( y

"

#

$$$$$

%

&

'''''

dx

dy

"

#$$

%

&'')

! x

! y

"

#$$

%

&''=

a b

c d

"

#$

%

&'

x

y

"

#$$

%

&''=

F ! x x F ! x y

F ! y x F ! y y

"

#

$$

%

&

''

x

y

"

#$$

%

&''

d ! xd ! y

d ! z

"

#

$$$

%

&

'''

=

( ! x

( x

( ! x

( y

( ! x

( z

( ! y

( x( ! y

( y( ! y

( z

( ! z

( x

( ! z

( y

( ! z

( z

"

#

$$

$$$$$$

%

&

''

''''''

dxdy

dz

"

#

$$$

%

&

'''

) ! x! y

! z

"

#

$$$

%

&

'''

=

F ! x x F ! x y F ! x z

F ! y x F ! y y F ! y z

F ! z x F ! z y F ! z z

"

#

$$$$

%

&

''''

x y

z

"

#

$$$

%

&

'''

6./

S.M.()*).40

0-/2'*1 -S)

5)/'+2O+)0 2/)

4*'R./M

V,.*0-2*-0X 1 2*5

5T1 5N ,2* >)

0M233 ./ 32/()


AC &Q42O.* .RS.M.()*).405)R./M2O.* YlmZ _ Y6ZYlZ

J D/'O,23 M2n)/cI*5)/0-2*5'*( -S)().M)-/N .R -S)5)R./M2O.*

& A* S.M.()*).405)R./M2O.*1 2 4*'-

,'/,3) -/2*0R./M0 -.2* )33'L0) V2*5 20LS)/) -. 2*)33'L0.'5X

6 g/..R

!"#$"#$ 889:9 #`

X [ ]T X [ ]=1

! X [ ]= F [ ] X [ ]

F [ ]"1

! X [ ]= F [ ]"1

F [ ] X [ ]= I [ ] X [ ]= X [ ]

X [ ]= F [ ]"1

! X [ ]

X [ ]T = F [ ]

"1! X [ ]#$

%&

T

= ! X [ ]T

F [ ]"1#

$ %

&

T

X

[ ]

T X

[ ]= ! X

[ ]

T F

[ ]

"1#

$

%

&

T

F

[ ]

"1! X

[ ]=1

! X [ ]T

Symmetricmatrix[ ] ! X [ ]=1

"a"a_#

B.\ 0.3+) R./ YlZ

B.\ 0.3+) R./ YlZE

B.\ 04>0O-4-) R./ YlZE 2*5 YlZ '* U/0- )Q42O.*

&Q42O.* .R )33'L0)

7)) 03'5) ##


8/29

!"#$"#$

f


AC &Q42O.* .R S.M.()*).405)R./M2O.* YlmZ _ Y6ZYlZ

8).M)-/', M)2*'*(0 .R Y6Z1 Y6Z^#

8 Y6Z -/2*0R./M0 2 4*'- ,'/,3) -. 2


9/29

!"#$"#$

!


H ES) )'()*+234) M2-/'T )Q42O.* YHZYlZ _ rYlZV,.*-@X

d ES) +),-./0 YYHZYlZZ1 rYlZ1 2*5 YlZ 0S2/) -S)02M) 5'/),O.* 'R YlZ '0 2* )'()*+),-./

e AR YlZ '0 2 4*'- +),-./1 r '0 -S) 3)*(-S .R YHZYlZ

f &'()*+),-./0 Yl'Z S2+) ,.//)0L.*5'*()'()*+234)0 Yr'Z1 2*5 +',)^+)/02

! A* K2-32>1 Y+),1+23Z _ )'(VHX1 U*50)'()*+),-./0 V+),X 2*5 )'()*+234)0 V+23X

!"#$"#$ 889:9 #e


C &'()*+),-./0 2*5 )'()*+234)0 V,.*-@X

P &T2ML3)0

# A5)*O-N M2-/'T YAZ

H33 +),-./0 '* -S) T1N^L32*) M2'*-2'* -S)'/./')*-2O.* \S)* .L)/2-)5 .* >N -S) '5)*O-NM2-/'T1 0. 233 +),-./0 2/) )'()*+),-./0 .R YAZ1

2*5 233 +),-./0 M2'*-2'* -S)'/ 3)*(-S1 0. 233)'()*+234)0 .R YAZ )Q423 #@ ES) )'()*+),-./02/) *.- 4*'Q4)3N 5)-)/M'*)5 >4- ,.435 >),S.0)* -. >) L)/L)*5',432/@

!"#$"#$ 889:9 #f

1 0

0 1

!

"#

$

%&

x

y

!

"##

$

%&&=

x

y

!

"##

$

%&&= 1

x

y

!

"##

$

%&&

YHZ YlZ _ ! YlZ


10/29

!"#$"#$

#:


C &'()*+),-./0 2*5 )'()*+234)0 V,.*-@X

P &T2ML3)0 V,.*-@X

; H M2-/'T R./ /.-2O.*0 '* -S) T1N L32*)

H33 *.*^b)/. /)23 +),-./0 /.-2-)s 2 ;J

/.-2O.* M2-/'T S20 *. /)23 )'()*+),-./0

2*5 S)*,) *. /)23 )'()*+234)0

!"#$"#$ 889:9 #!

cos! sin!

"sin! cos!

#

$%

&

'(

x

y

#

$%%

&

'((= )

x

y

#

$%%

&

'((

YHZ YlZ _ ! YlZ


C &'()*+),-./0 2*5 )'()*+234)0 V,.*-@X

P &T2ML3)0 V,.*-@X

9 H 9J /.-2O.* M2-/'T

2 ES) .*3N 4*'- +),-./ -S2- '0 *.- /.-2-)5 '023.*( -S) 2T'0 .R /.-2O.*

> ES) /)23 )'()*+),-./ .R 2 9J /.-2O.*M2-/'T ('+)0 -S) ./')*-2O.* .R -S) 2T'0 .R

/.-2O.*, H /.-2O.* 5.)0 *.- ,S2*() -S) 3)*(-S .R+),-./01 0. -S) /)23 )'()*+234) )Q4230 #

!"#$"#$ 889:9 ;:


11/29

!"#$"#$

##


C &'()*+),-./0 2*5 )'()*+234)0 V,.*-@X

P &T2ML3)0 V,.*-@X

`

!"#$"#$ 889:9 ;#

A =0 2

2 0

!

"#

$

%&

A2 2

2 2

!

"

##

$

%

&&=

0 2

2 0

!

"#

$

%&

2 2

2 2

!

"

##

$

%

&&=

2

2

!

"

##

$

%

&&= 2

2 2

2 2

!

"

##

$

%

&&

A2 2

! 2 2

"

#

$$

%

&

''=

0 2

2 0

"

#$

%

&'

2 2

! 2 2

"

#

$$

%

&

''=

! 2

2

"

#

$$

%

&

''= !2

2 2

! 2 2

"

#

$$

%

&

''

&'()*+),-./0

&'()*+234)0


C &'()*+),-./0 2*5 )'()*+234)0 V,.*-@X

P &T2ML3)0 V,.*-@X

$

!"#$"#$ 889:9 ;;

A =9 3

3 1

!

"#

$

%&

A !3 0.1

! 0.1

"

#

$

$

%

&

'

'

=

9 3

3 1

"

#

$%

&

' !3 0.1

! 0.1

"

#

$

$

%

&

'

'

=

!30 0.1

!10 0.1

"

#

$

$

%

&

'

'

= 10 !3 0.1

! 0.1

"

#

$

$

%

&

'

'

&'()*+),-./0

&'()*+234)0

A 0.1

!3 0.1

"

#

$$

%

&

'' =

9 3

3 1

"

#$

%

&'

0.1

!3 0.1

"

#

$$

%

&

'' =

0

0

"

#$

%

&' = 0

0.1

!3 0.1

"

#

$$

%

&

''


12/29

!"#$"#$

#;


C &'()*+),-./0 2*5 )'()*+234)0 V,.*-@X& 8).M)-/', M)2*'*(0 .R -S) /)23

M2-/'T )Q42O.* YHZYlZ _ YPZ _ :

# aHa t : s

2 YHZ^# )T'0-0

> J)0,/'>)0 -\. 3'*)0 V./ 9L32*)0X -S2- '*-)/0),- 2--S) ./'('*

, l S20 2 4*'Q4) 0.34O.*

; aHa _ : s

2 YHZ^# 5.)0 *.- )T'0-

> J)0,/'>)0 -\. ,.^3'*)2/3'*)0 -S2- -S2- L200-S/.4(S -S) ./'('* V./-S/)) L32*)0 -S2- '*-)/0),-'* 2 3'*) ./ 2 L32*)-S/.4(S -S) ./'('*X

, YlZ S20 *. 4*'Q4) 0.34O.*

!"#$"#$ 889:9 ;9

Parallel lines have parallel normals

nx(1) ny

(1) x d1=0nx

(2) ny(2) y d2=0

AX = B = 0

=

|A| = nx(1) * ny

(2) - ny(1) * nx

(2) = 0 n1 x n2 = 0

Intersecting lines have non-parallel normals

nx(1) ny

(1) x d1=0nx

(2) ny(2) y d2=0

AX = B = 0

=

|A| = nx(1) * ny

(2) - ny(1) * nx

(2) ≠ 0 n1 x n2 ≠ 0

*# *;

*#

*;


C &'()*+),-./0 2*5 )'()*+234)0 V,.*-@X

6 H3-)/*2O+) R./M .R 2* )'()*+234) )Q42O.*

# YHZYlZ_rYlZ

74>-/2,O*( rYAlZ _ rYlZ R/.M >.-S 0'5)0 N')350c

; YHÂrZYlZ_: V02M) R./M 20 YA ZYlZ_:X

8 7.34O.* ,.*5'O.*0 2*5 ,.**),O.*0 \'-S 5)-)/M'*2*-0

# I*'Q4) -/'+'23 0.34O.* .R YlZ _ : 'R 2*5 .*3N 'R aHÂrat:; &'()*+),-./ 0.34O.*0 VYlZ t :X 'R 2*5 .*3N 'R aHÂra_:

u 7)) L/)+'.40 03'5)

!"#$"#$ 889:9 ;`


13/29

!"#$"#$

#9


C &'()*+),-./0 2*5 )'()*+234)0 V,.*-@X

o DS2/2,-)/'0O, )Q42O.*c aH^Ara_:

# ES) /..-0 .R -S) ,S2/2,-)/'0O, )Q42O.* 2/) -S)

)'()*+234)0

!"#$"#$ 889:9 ;$


C &'()*+),-./0 2*5 )'()*+234)0 V,.*-@X

o DS2/2,-)/'0O, )Q42O.*c aH^Ara_: V,.*-@X

; &'()*+234)0 .R 2 ()*)/23 ;T; M2-/'T

2

>

,

5

!"#$"#$ 889:9 ;d

A ! I " =a ! I b

c d ! " = 0

a ! " ( ) d ! " ( ) ! bc = 0

! 2" a + d ( )! + ad " bc( ) = 0

! 1,!

2 =

a + d ( ) ± a + d ( )2" 4 ad " bc( )

2

V2i5X _ -/VHX

V25^>,X _ aHa

A =a b

c d

!

"#

$

%&

! 1+ !

2 = tr A( )

! 1! 2 = A


14/29

!"#$"#$

#`


C &'()*+),-./0 2*5 )'()*+234)0 V,.*-@X

A E. 0.3+) R./ )'()*+),-./01 04>0O-4-) )'()*+234)0 >2,W

'*-. Hl_ 3l 2*5 0.3+) R./ l

p 7)) *.-)0 .R 3),-4/) #! R./ 5)-2'30 .R 2*23NO,

0.34O.* R./ )'()*+),-./0 .R ;J M2-/',)0

!"#$"#$ 889:9 ;e


C &'()*+),-./0 2*5 )'()*+234)0 V,.*-@X

q K2-32> 0.34O.*c Y+),1+23Z _ )'(VKX

#

K _ M2-/'T -. 0.3+) R./

;

+), _ M2-/'T .R 4*'- )'()*+),-./0 V'* ,.34M*0X

9

+23 _ M2-/'T .R )'()*+234)0 V'* ,.34M*0X

= &T2ML3)chh Y+),1+23Z_)'(VY; ;s; ;ZX+), _

^:@e:e# :@e:e#

:@e:e# :@e:e#

+23 _

: :

: `

!"#$"#$ 889:9 ;f


15/29

!"#$"#$

#$


CA 7.34O.*0 R./ 0NMM)-/', M2-/',)0

H &'()*+234)0 .R 2 !"##$%&'( ;T; M2-/'T

#

;

9

`

!"#$"#$ 889:9 ;!

! 1,!

2 =

a + d ( ) ± a + d ( )2" 4 ad " b

2( )2

G25',23 -)/M ,2**.-

>) *)(2O+)s '- '0-S) 04M .R -\.

0Q42/)0@

&'()*+234)0 2/)

/)23@

A =a b

b d

!

"#

$

%&

! 1,!

2 =

a + d ( ) ± a + 2ad + d ( )2" 4ad + 4b

2

2

! 1,!

2 =

a + d ( ) ± a " 2ad + d ( )2+ 4b

2

2

! 1,!

2 =

a + d ( ) ± a " d ( )2 + 4b2

2

G)L32,) N ? '*

)Q*0@ FR

03'5) ;d


CA 7.34O.*0 R./ 0NMM)-/', M2-/',)0 V,.*-@X

P H*N 5'0O*,- )'()*+),-./0 V"$% "&X .R 2 !"##$%&'(*T* M2-/'T 2/) L)/L)*5',432/ V"$ ' "& _ :X

#2 Hl# _r#l# #> Hl; _r;l;Hl# L2/233)30 l#1 Hl; L2/233)30 l; VL/.L)/-N .R

)'()*+),-./0X

J.v*( Hl# >N l; 2*5 Hl; >N l# ,2* -)0- \S)-S)/

l# 2*5 l; 2/) ./-S.(.*23@;2 ";wHl# _ ";wr#"# _ r# V";w"#X

;> "#wHl; _ "#wr;"; _ r; V"#w";X

!"#$"#$ 889:9 9:


16/29

!"#$"#$

#d


Pm J'0O*,- )'()*+),-./0 V"$% "&X .R 2 0NMM)-/', ;T; M2-/'T 2/)L)/L)*5',432/ V"$ ' "& _ :X V,.*-@X

ES) M2-)/'23 >)3.\ 0S.\0 "#wHl; _ ";wHl# R./ -S) ;J ,20)c

92

9>

ES) 04M0 .* -S) /'(S- 0'5)0 2/) 0,232/01 >4- -S) ./5)/'*( .R -S)-)/M0 '* -S) 04M0 3..W 3'W) -S) )3)M)*-0 .R -/2*0L.0)5M2-/',)0

!"#$"#$ 889:9 9#

x1

y1

!

"

##

$

%

&&•

a b

b d

!

"#

$

%&

x2

y2

!

"

##

$

%

&&=

x1

y1

!

"

##

$

%

&&•

ax2 + by

2

bx2 + dy

2

!

"

##

$

%

&&=

ax1 x

2 + bx

1 y

2

+by1 x

2 + dy

1 y

2

x2

y2

!

"

##

$

%

&&•

a b

b d

!

"#

$

%&

x1

y1

!

"

##

$

%

&&=

x2

y2

!

"

##

$

%

&&•

ax1+ by

1

bx1+ dy

1

!

"

##

$

%

&&=

ax1 x

2 + by

1 x

2

+bx1 y

2 + dy

1 y

2

!@ &A8&BC&DEFG71 &A8&BCH=I&71 HBJ 6ABAE& 7EGHABP? J'0O*,- )'()*+),-./0 V"$% "&X .R 2 0NMM)-/', 9T9 M2-/'T 2/)

L)/L)*5',432/ V"$ ' "& _ :X V,.*-@X

ES) M2-)/'23 >)3.\ 0S.\0 "#wHl; _ ";wHl# R./ -S) 9J ,20)c

9,

95

H(2'*1 -S) 04M0 .* -S) /'(S- 0'5)0 2/) 0,232/01 >4- -S) ./5)/'*(.R -S) -)/M0 '* -S) 04M0 3..W 3'W) -S) )3)M)*-0 .R -/2*0L.0)5M2-/',)0

!"#$"#$ 889:9 9;

x1

y1

z1

!

"

###

$

%

&&&•

a b c

b d e

c e f

!

"

###

$

%

&&&

x2

y2

z2

!

"

###

$

%

&&&=

x1

y1

z1

!

"

###

$

%

&&&•

ax2 + by

2 + cz

2

bx2 + dy

2 + ez

2

cx2 + ey

2 + fz

2

!

"

###

$

%

&&&=

ax1 x

2 + bx

1 y

2 + cx

1 z2

+by1 x

2 + dy

1 y

2 + ey

1 z2

+cz1 x

2 + ez

1 y

2 + fz

1 z2

x2

y2

z2

!

"

###

$

%

&&&•

a b c

b d e

c e f

!

"

###

$

%

&&&

x1

y1

z1

!

"

###

$

%

&&&=

x2

y2

z2

!

"

###

$

%

&&&•

ax1+ by

1+ cz

1

bx1+ dy

1+ ez

1

cx1+ ey

1+ fz

1

!

"

###

$

%

&&&=

ax1 x

2 + by

1 x

2 + cz

1 x

2

+bx1 y

2 + dy

1 y

2 + ez

1 y

2

+cx1 z2 + ey

1 z2 + fz

1 z2


17/29

!"#$"#$

#e


Pm? J'0O*,- )'()*+),-./0 V"$% "&X .R 2 0NMM)-/',

*T* M2-/'T 2/) L)/L)*5',432/ V"$ ' "& _ :X V,.*-@X

ES) ;J 2*5 9J /)043-0 04(()0- M2-/'T -/2*0L.0)0

,.435 -)0- \S)-S)/ "#wHl; _ ";wHl# '* ()*)/23

!"#$"#$ 889:9 99

X1•AX

2 = X

1[ ]T

A[ ] X 2[ ]

X2 • AX

1 = X

2[ ]T

A[ ] X 1[ ] = X 2[ ]T

A[ ] X 1[ ]!" #

$

T

= A[ ] X 1[ ]!" #$T

X 2[ ]

T !"

#$

T

= X 1[ ]T A[ ]T X 2[ ]T !" #$

T

= X 1[ ]

T

A[ ]T

X 2[ ]!" #$

= X 1[ ]

T

A[ ] X 2[ ]!" #$

H/) -S)0) )Q423]

ES) -/2*0L.0) .R 2 0,232/

'0 -S) 02M) 0,232/

ES'0 0-)L 2*5 -S) *)T- '*+.W) YPDZE _ YDZ EYPZ E

X 2[ ]

T !"

#$

T

= X 2[ ]

x)0yAR YHZ '0 0NMM)-/',1 YHZE _ YHZ


P J'0O*,- )'()*+),-./0 V"#1 ";X .R 2 0NMM)-/', *T* M2-/'T 2/)L)/L)*5',432/ V,.*-@X

7'*,) -S) 3)z 0'5)0 .R V;2X 2*5 V;>X 2/) )Q4231 -S) /'(S- 0'5)0 M40- >))Q423 -..@ o)*,)1

`

r# V";w"#X _r; V"#w";X

B.\ 04>-/2,- -S) /'(S- 0'5) .R V`X R/.M -S) 3)z

$

Vr# { r;XV";w"#X _:

w ES) )'()*+234)0 ()*)/233N 2/) 5'|)/)*-1 0. r# { r; t :@

w ES'0 M)2*0 R./ V$X -. S.35 -S2- ";w"# _:@

w ES) )'()*+),-./0 V"#1 ";X .R 2 0NMM)-/', *T* M2-/'T 2/)

L)/L)*5',432/ V./ ,2* >) ,S.0)* -. >) L)/L)*5',432/Xw [) ,2* L',W /)R)/)*,) R/2M)0 \'-S ./-S.(.*23 2T)0 -. 0'ML3'RN

L/.>3)M0 2*5 (2'* '*0'(S- '*-. -S)'/ 0.34O.*0

!"#$"#$ 889:9 9`


18/29

!"#$"#$

#f


CA 7.34O.*0 R./ 0NMM)-/', M2-/',)0 V,.*-@XD K2T'M4M 2*5 M'*'M4M 0Q42/)53)*(-S0

7)- 5)/'+2O+) .R 0Q42/)5 3)*(-S0 -.b)/.

J g.0'O.* +),-./0 V"(X \'-S M2T'M4M2*5 M'*'M4M V0Q42/)5X 3)*(-S0 2/)-S.0) -S2- 2/) L)/L)*5',432/ -.-2*()*- +),-./0 V5"(X 23.*( )33'L0)

!"#$"#$ 889:9 9$

!

!X •!

!X = AX( )• AX( ) = L f 2

d !

!X •!

!X( )d "

=

!

!X •d !

!Xd "

+d !

!Xd "

•

!

!X = 0

2!

!X •d !

!Xd "

# $ %

& ' ( = 0

!

!X •d !

!Xd "

# $ %

& ' ( = 0

!@ &A8&BC&DEFG71 &A8&BCH=I&71 HBJ 6ABAE& 7EGHAB CA 7.34O.*0 R./ 0NMM)-/',

M2-/',)0 V,.*-@X

& H"_r"

6 7'*,) )'()*+),-./0 .R0NMM)-/', M2-/',)0 2/)M4-4233N L)/L)*5',432/10. -.. 2/) -S) L2/233)3-/2*0R./M)5 +),-./0 r"

8 H- -S) L.'*- '5)*OU)5 >N-S) -/2*0R./M)5 +),-./r"1 -S) .-S)/)'()*+),-./V0X '0 V2/)X

L)/L)*5',432/ 2*5 S)*,)M40- L2/233)3 5"m 2*5 >)-2*()*- -. -S) )33'L0)

!"#$"#$ 889:9 9d


19/29

!"#$"#$

#!


CA 7.34O.*0 R./ 0NMM)-/', M2-/',)0V,.*-@X

o G),233 -S2- L.0'O.* +),-./0 V"(X\'-S M2T'M4M 2*5 M'*'M4MV0Q42/)5X 3)*(-S0 2/) -S.0)-S2- 2/) L)/L)*5',432/ -.-2*()*- +),-./0 V5"(X 23.*()33'L0)@ o)*,)1 -S) 0M233)0-2*5 32/()0- -/2*0R./M)5+),-./0 r" R./ 2 0NMM)-/',M2-/'T ('+) -S) M'*'M4M 2*5M2T'M4M 5'0-2*,)0 -. 2*)33'L0) R/.M '-0 ,)*-)/ 2*5 -S)5'/),O.*0 .R -S) )33'L0) 2T)0@

A ES) r +234)0 2/) -S) L/'*,'L230-/)-,S)0 200.,'2-)5 \'-S 2

0NMM)-/', Y6Z M2-/'Tp ES)0) ,.*,340'.*0 )T-)*5 -.

-S/)) 5'M)*0'.*0 2*5)33'L0.'50

!"#$"#$ 889:9 9e


CAA7.34O.*0 R./ ()*)/23S.M.()*).40 5)R./M2O.*M2-/',)0

H &'()*+234)0

# 7-2/- \'-S -S)5)U*'O.* .R!"#$%#&' )3.*(2O.*}1 \S',S '0 2 0,232/

; &TL/)00 40'*( 5.-L/.54,-0

9

D3)2/ -S)5)*.M'*2-./@ J.-L/.54,-0 2*5 } 2/)0,232/0@

!

! X •!

! X !

X •!

X =Q

!

! X •!

! X =!

X •!

X ( )Q

L f 2

L0

2 =Q

!"#$"#$ 9f889:9


20/29

!"#$"#$

;:


CAA 7.34O.*0 R./ ()*)/23 S.M.()*).405)R./M2O.* M2-/',)0

H &'()*+234)0

`

G)L32,) lm \'-S Y6lZ

$

G)^2//2*() >.-S 0'5)0

d

P.-S 0'5)0 .R -S'0 )Q42O.* 3)25.| \'-S YlZE1 \S',S ,2**.- >) 2b)/. +),-./1 0. '- ,2* >) 5/.LL)5R/.M >.-S 0'5)0 -. N')35 2*)'()*+),-./ )Q42O.*

e Y6E6Z '0 0NMM)-/',c Y6E6ZE_Y6E6Z

f

ES) )'()*+234)0 .R Y6E6Z 2/) -S)

L/'*,'L23 Q425/2O, )3.*(2O.*0} _ V=R "=:X ;

!

ES) )'()*+234)0 .R Y6E6Z #"; 2/) -S)L/'*,'L23 0-/)-,S)0 7 _ V=R "=:X

F [ ]nxn

X [ ]nx1

!

"#$

%&

T

F [ ]nxn

X [ ]nx1

!

"#$

%&= X

nx1

!"

$%

T

X [ ]nx1

Q1 x1

X nx1

!"

#$

T

F nxn

!"

#$

T

F nxn X nx1

!"

#$= X

nx1

!"

#$

T

Q1 x1

X nx1

!"

#$

F nxn

T F

nxn

!"

#$

X nx1

!"

#$=Q X

nx1

!"

#$

!

! X •!

! X =!

X •!

X ( )Q

" A[ ] X [ ] = ! X [ ]"

!"#$"#$ 9!889:9


CAA 7.34O.*0 R./ ()*)/23 S.M.()*).405)R./M2O.* M2-/',)0

P 7L),'23 D20)c Y6Z '0 0NMM)-/',

#

Y6E6Z _ Y6 ; Z >),240) 6 _ 6E

;

ES) L/'*,'L23 0-/)-,S)0 V7X 2(2'* 2/)-S) 0Q42/) /..-0 .R -S) L/'*,'L23Q425/2O, )3.*(2O.*0 V}X V'@)@1 -S)0Q42/) /..-0 .R -S) )'()*+234)0 .RY6 ;ZX

9

ES) L/'*,'L23 0-/)-,S)0 V7X 230. 2/)-S) )'()*+234)0 .R Y6 Z1 5'/),-3N

`

ES) 5'/),O.*0 .R -S) L/'*,'L230-/)-,S)0 V7X 2/) -S) )'()*+),-./0.R Y6 Z1 2*5 .R Y6E6Z _ Y6 ; Zy

$

ES) 2T)0 .R -S) L/'*,'L23 V(/)2-)0-2*5 3)20-X 0-/2'* 5. *.- /.-2-)

F T

F !" #$ X [ ]= Q X [ ]

Q = L f

2

L0

2 ; S =

L f

L0

! Q = S

F 2!" #$ X [ ]= Q X [ ]

F [ ] X [ ]= S X [ ]

!"#$"#$ `:889:9


21/29

!"#$"#$

;#


CAAA G.-2O.*0 '* S.M.()*).405)R./M2O.*

H p40- ()v*( -S) 0'b) 2*50S2L) .R -S)2,W -. 2 4*'-,'/,3)

8 AR 6 '0 *.- 0NMM)-/',1 -S) 2T)0.R -S) /)5 )33'L0) 2*5 -S)/)-/.^5)R./M)5 V>32,WX 2T)0\'33 S2+) 2 5'|)/)*- #)*+,"-../')*-2O.*

o ES) -/2*0R./M2O.* R/.M -S)-S) /)-/.^5)R./M)5 V>32,WX2T)0 -. -S) -S) ./')*-2O.* .R-S) L/'*,'L23 2T)0 ('+)0 -S)/.-2O.* .R -S) 2T)0

!"#$"#$ 889:9 `;


22/29

!"#$"#$

;;

!@ &A8&BC&DEFG71 &A8&BCH=I&71 HBJ 6ABAE& 7EGHAB CAAA G.-2O.*0 '* S.M.()*).40

5)R./M2O.*

A [) W*.\ S.\ -. U*5 -S)L/'*,'L23 0-/)-,S M2(*'-45)0c-S)N 2/) -S) 0Q42/) /..-0 .R-S) )'()*+234)0 .R -S)0NMM)-/', M2-/'T Y Y6EZY6Z Z

p ES) )'()*+),-./0 .R Y Y6EZY6Z Z('+) -S) 0.M) .R -S)'*R./M2O.* *))5)5 -. U*5-S) 5'/),O.* .R -S) L/'*,'L230-/)-,S 2T)0@ ES) /.-2O.*5)0,/'>)0 -S) ./')*-2O.*5'|)/)*,) >)-\))* -S)L/'*,'L23 0-/2'* V0-/)-,SX 2T)02*5 -S)'/ /)-/.^5)R./M)5

,.4*-)/L2/-0

!"#$"#$ 889:9 `9

!@ &A8&BC&DEFG71 &A8&BCH=I&71 HBJ 6ABAE& 7EGHAB CAAA G.-2O.*0 '* S.M.()*).40

5)R./M2O.*

q E. U*5 -S) /.-2O.* .R -S)L/'*,'L23 2T)01 0-2/- \'-S-S) L2/2M)-/', )Q42O.* R./2* )33'L0) 2*5 '-0 -2*()*-12*5 -S) /)Q4'/)M)*- -S2--S) L.0'O.* +),-./0 R./ -S)0)M'^2T)0 .R -S) )33'L0) 2/)L)/L)*5',432/ -. -S)-2*()*-

!"#$"#$ 889:9 ``

!

! X = acos" + bsin" ( )!

i + ccos" + d sin" ( )!

j

d !!

X

d " = #asin" + bcos" ( )

!

i + #csin" + d cos" ( )

!

j

!!

X •d !!

X

d " = 0

G),233 -S) j ('+)0 -S) ./')*-2O.* .R

2 4*'- +),-./ -S2- '0 40)5 -. 5)U*)

2 4*'- ,'/,3)c T _ ,.0js N _ 0'*j


23/29

!"#$"#$

;9


CAAA G.-2O.*0 '*S.M.()*).405)R./M2O.*

B.\ 0.3+) R./ j

!"#$"#$ 889:9 `$

!

! X = acos" + bsin" ( )!

i + ccos" + d sin" ( )!

j

d !!

X

d " = #asin" + bcos" ( )

!

i + #csin" + d cos" ( )!

j

!!

X •d !!

X

d " = 0

= #a2 sin" cos" + abcos2" # absin2" + b2 sin" cos"

# c2 sin" cos" + cd cos2" # cd sin2" + d 2 sin" cos"

= # a2# b

2+ c2 # d

2( )sin" cos" + ab + cd ( )cos2" # ab + cd ( )sin2"

= # a2 # b2 + c2 # d 2( )sin" cos" + ab + cd ( ) cos2" # sin2" ( )

=

# a2 # b2 + c2 # d 2( )2

sin2" + ab + cd ( )cos2"

=

a2 # b2 + c2 # d 2( )2

sin #2" ( )+ ab + cd ( )cos #2" ( ) = 0


CAAA G.-2O.*0 '*

S.M.()*).40

5)R./M2O.*

D.*O*4'*(~@

!"#$"#$ 889:9 `d

a2 ! b2 + c2 ! d 2( )

2sin !2" ( )+ ab+ cd ( )cos !2" ( ) = 0

tan !2" ( ) =!2 ab+ cd ( )

a2 ! b2 ! c2 ! d 2

" 1 = 1

2tan

!1 2 ab+ cd ( )a

2 ! b2 ! c2 ! d 2# $ %

& ' ( ,"

2 =

1

2tan

!1 2 ab+ cd ( )a

2 ! b2 ! c2 ! d 2# $ %

& ' ( ± 90

!

G),233 -S2- -\. 2*(3)0

-S2- 5'|)/ >N #f:k S2+)

-S) 02M) -2*()*-

7. j# 2*5 j; 2/) !:k 2L2/-7. -S) 4*'- +),-./0 -S2- 2/) -/2*0R./M)5 -. ('+)

-S) L)/L)*5',432/ L/'*,'L23 2T)0 .R -S) 0-/2'* )33'L0)

2/) -S)M0)3+)0 L)/L)*5',432/@

ES) 2*(3) >)-\))* -S) -S.0) L)/L)*5',432/ 4*'-

+),-./0 2*5 -S) ,.//)0L.*5'*( +),-./0 23.*( -S) 2T)0

.R -S) L/'*,'L23 0-/2'*0 '0 -S) 2*(3) .R /.-2O.*@


24/29

!"#$"#$

;`

!@ &A8&BC&DEFG71 &A8&BCH=I&71 HBJ 6ABAE& 7EGHAB CAAA G.-2O.*0 '* S.M.()*).40 5)R./M2O.*

ES) 3.*()0- 2*5 0S./-)0- +234)0 .R lm 2/) -S)L)/L)*5',432/ +),-./0 23.*( -S) 2T)0 .R -S) )33'L0)1\S',S S2+) -S) R.33.\'*( ./')*-2O.*0c

ES) ,.//)0L.*5'*( >2, W^-/2*0R./M)5 +),-./0 2/)c

ES) >2,W^-/2*0R./M)5 +),-./0 V23.*( -S) >32,W 2T)0X2/) •40- 4*'- +),-./0 '* -S) 5'/),O.*0 .R j# 2*5 j;1/)0L),O+)3N@ ES'0 M)2*0 -S) > 2,W^-/2*0R./M)5+),-./0 M2'*-2'* -S) !:k 2*(3) >)-\))* -S)L/'*,'L23 5'/),O.*0@ ES) 2*(3) .R /.-2O.* '0 5)U*)520 -S) 2*(3) >)-\))* -S) L)/L)*5',432/ L2'/ €"Vj#X2*5 "Vj;X 23.*( -S) >32,W 2T)0 .R -S) 4*'- ,'/,3) 2*5-S) L)/L)*5',432/ L/'*,'L23 L2'/ €"(Vj#X 2*5 "(Vj;X23.*( -S) /)5 2T)0 .R -S) )33'L0)@ ES)0) /)043-0 ,2//N.+)/ -. -S/)) 5'M)*0'.*0 'R 233 -S/)) 0),O.*0 23.*(-S) L/'*,'L23 2T)0 .R -S) 34) )33'L0)0@ G.-2-)5

)'()*+),-./0 .R

YIZ ('+) L/'*,'L23 0-/)-,S

5'/),O.*0


25/29

!"#$"#$

;$


!"#$"#$ 889:9 `!

F =2 2

0. 5 1

!

"#

$

%&

R =0 .8 9 0 .4 5

!0.45 0.89

"

#$

%

&'

! X [ ]= F [ ] X [ ]; F [ ]= V [ ] R[ ]

F [ ]=2 2

0.5 1

"

#$

%

&'; F [ ]

T

=

2 0.5

2 1

"

#$

%

&'

V [ ]= F [ ] F [ ]T "

# %

&

1/2

=

8 3

3 1 .5

"

#$

%

&'

1/2

=

2.68 0.89

0.89 0.67

"

#$

%

&'

R[ ]= V [ ](1

F [ ]=0.67 (0.89

(0.89 2.68

"

#$

%

&'

2 2

0.5 1

"

#$

%

&' =

0.89 0.45

(0.45 0.89

"

#$

%

&'

6'/0-1 /.-2-) -S)

4*'- ,'/,3) 40'*(

YGZ

7),.*51 0-/)-,S-S) /.-2-)5 4*'-

,'/,3)

0NMM)-/',233N

40'*( YCZ

Y6Z _ YCZ YGZ

R =0 .8 9 0 .4 5

!0.45 0.89

"

#$

%

&'

F =2 2

0.5 1

!

"#

$

%&

V [ ]=2.68 0.89

0.89 0.67

!

"#

$

%&

F [ ] X [ ] X [ ]

X [ ] R[ ] X [ ] R[ ] X [ ]V [ ] R[ ] X [ ]

&T2ML3) ; &'()*+234)0 .R YCZ

230. ('+) L/'*,'L23

0-/)-,S M2(*'-45)0

I*/.-2-)5

)'()*+),-./0 .R

YCZ ('+) L/'*,'L23

0-/)-,S 5'/),O.*0

5'/),-3N


CAAA G.-2O.*0 '* S.M.()*).40 5)R./M2O.*

w J),.ML.0'O.* .R 6 _ CG >N M)-S.5 .R

G2M02N 2*5 o4>)/ VR./ ;JX@ D.*0'5)/ -S)

)|),- .R 2* '//.-2O.*23 V0NMM)-/',X 0-/2'* YCZ

-S2- R.33.\0 2 L4/) /.-2O.* YGZ .R 2* +)0.'-

V*.- 2 /'('5 /.-2O.* .R -S) /)R)/)*,) R/2M)X

!"#$"#$ 889:9 $:

F =a b

c d

!

"#

$

%& =

A B

B D

!

"#

$

%&

cos' (sin'

sin' cos'

!

"#

$

%& = VR


26/29

!"#$"#$

;d


CAAA G.-2O.*0 '*

S.M.()*).40

5)R./M2O.*

w q)N R2,- 2>.4-

/.-2O.* M2-/',)0c

YGZ^# _ YGZE

!"#$"#$ 889:9 $#

R ! ( ) =cos! " sin!

sin! cos!

#

$%

&

'(

R"1= R "! ( ) = cos! sin!

"sin! cos! #$% &

'(

RT =

cos! sin!

"sin! cos!

#

$%

&

'(

! X [ ]= R[ ] X [ ]

X [ ]= R[ ]!1

" X [ ]

!@ &A8&BC&DEFG71 &A8&BCH=I&71 HBJ 6ABAE& 7EGHABCAAA G.-2O.*0 '*

S.M.()*).40

5)R./M2O.*

w q)N R2,- 2>.4- /.-2O.*

M2-/',)0c YGZ^# _ YGZE

w 9J -/)2-M)*-c /.-2O*(

2 /)R)/)*,) R/2M) 5.)0

*.- ,S2*() -S) 3)*(-S

.R 2 +),-./1 0."'")"('"(@ ES'0 230.

3)250 -. YGZ^# _ YGZEc

!"#$"#$ 889:9 $;

! X [ ] = R[ ] X [ ]!

X •!

X = !!

X • !!

X

!

X •!

X = X [ ]T

X [ ] = X [ ]T

I [ ] X [ ]

!!

X • !!

X = R[ ] X [ ]"# $%T

R[ ] X [ ]"# $%

= X [ ]T

R[ ]T

R[ ] X [ ]

R[ ]T

R[ ] = I [ ], but

R[ ]&1

R[ ] = I [ ]

' R[ ]T

= R[ ]&1


27/29

!"#$"#$

;e


CAAA G.-2O.*0 '* S.M.()*).40 5)R./M2O.*

#

;

PN '*0L),O.*1 ,^> _ VHiJX0'*‚1 2*5 2i5 _ VHiJX,.0‚

9 AR ,_>1 -S)* 6 '0 0NMM)-/', 2*5 ‚_:y

6/.M 9 .*) ,2* .>-2'* ‚ 2*5 S)*,) G@

!"#$"#$ 889:9 $9

F =a b

c d

!

"#

$

%& =

A B

B D

!

"#

$

%&

cos' (sin'

sin' cos'

!

"#

$

%& = VR

a b

c d

!

"#

$

%& =

Acos' + B sin' ( Asin' + B cos'

Bcos' + D sin' ( Bsin' + D cos'

!

"#

$

%&

c ! b

a + d

= tan"

R[ ]=cos! "sin!

sin! cos!

#

$%

&

'(

!@ &A8&BC&DEFG71 &A8&BCH=I&71 HBJ 6ABAE& 7EGHABCAAA G.-2O.*0 '* S.M.()*).40 5)R./M2O.*

g.0-̂ M43OL3N'*( >.-S 0'5)0 .R V#X >N YGZ^# _ GE

N')350 C1 -S) 0NMM)-/',


28/29

!"#$"#$

;f


Al D3.0'*( ,.MM)*-0

# F4/ 0.34O.*0 0. R2/ 5)L)*5 .* W*.\'*( -S) 5'0L32,)M)*- U)35@

; ['-S 02-)33'-) 'M2('*( \) ,2* ()- 2* 2LL/.T'M2-) +234) R./ -S) 5'0L32,)M)*- U)35 2- -S)04/R2,) .R -S) &2/-S R./ ,4//)*- 5)R./M2O.*0

9 &+2342O*( 0-/2'*0 R./ L20- 5)R./M2O.*0 /)Q4'/) ,)/-2'* 2004MLO.*0 2>.4- '*'O23 0'b)0 2*50S2L)0 .R >.5')01 -S) ./'('*23 3.,2O.*0 .R L.'*-1 2*5"./ -S) 5'0L32,)M)*- U)35@

`

H3-)/*2O+) 2LL/.2,Sc R./M432O.* 2*5 0.34O.* .R >.4*52/N +234) L/.>3)M0 -. 0.3+) R./ -S)5'0L32,)M)*- 2*5 0-/2'* U)350@

$ ES) 5)R./M2O.* (/25')*- M2-/'T 6 S20 0-/2'* 2*5 /.-2O.* '*-)/-\'*)5s -S) -\. ,2* >)0)L2/2-)5 40'*( M2-/'T M43OL3',2O.*@ A* -S) '*U*'-)0'M23 0-/2'* M2-/'T YƒZ1 -S) /.-2O.* '023/)25N 0)L2/2-)5@

d G)R)/)*,)0

2 G2M02N1 p@8@1 2*5 o4>)/1 K@A@1 #!f91 ES) -),S*'Q4)0 .R M.5)/* 0-/4,-4/23 ().3.(N1 +.34M)#c 0-/2'* 2*23N0'0c H,25)M', g/)001 =.*5.*1 9:e L@ V7)) )Q42O.*0 .R 0),O.* $1 L@ ;!#X@

> G2M02N1 p@8@1 2*5 ='03)1 K@A@1 #!f91 ES) -),S*'Q4)0 .R M.5)/* 0-/4,-4/23 ().3.(N1 +.34M) 9c2LL3',2O.*0 .R ,.*O*44M M),S2*',0 '* 0-/4,-4/23 ().3.(Nc H,25)M', g/)001 =.*5.*1 9:e

L@ V7)) )0L),'233N 0)00'.*0 99 2*5 9dX@, K23+)/*1 =@&@1 #!d!1 A*-/.54,O.* -. -S) M),S2*',0 .R 2 ,.*O*4.40 M)5'4Mc g/)*O,)^o2331

&*(3)\..5 D3'|01 B)\ p)/0)N1 e#9 L@ V7)) )Q42O.*0 `@d@#1 `@d@9 21 `@d@9> .* L@ #e;^#e`X@X

!"#$"#$ 889:9 $$

HLL)*5',)0

!"#$"#$ 889:9 $d


29/29

!"#$"#$


!"#$"#$ 889:9 $e

F =2 2

0.5 1

!

"#

$

%&

V [ ]= F [ ] F [ ]T !

" #

$

1/2

=

2.68 0.89

0.89 0.67

!

"%

#

$&

•

66E 2*5 6E6 N')35 -S) 02M)Q425/2O, )3.*(2O.*0 Y}Zs -S)NS2+) -S) 02M) )'()*+234)0

!

! X •!

! X !

X •!

X = Q

!

! X •!

! X = Q!

X •!

X

X [ ] = F "1#$ %& ! X [ ]

! X [ ]T

! X [ ] = Q F "1#$ %& ! X [ ]#$ %&T

F "1#$ %& ! X [ ]#$ %&

! X [ ]T

! X [ ] = Q ! X [ ]T

F "1#$ %&

T #$

%&

F "1#$ %& ! X [ ]#$ %&

! X [ ] = Q F "1#$ %&T #

$ %

& F

"1#$ %& ! X [ ]#$ %&

! X [ ] = Q F T #$

%

&

"1#

$

%

&

F "1#

$

%

&

! X [ ]#

$

%

&F

T #$ %& ! X [ ] = F T #$ %&Q F

T #$ %&"1#

$ %

& F

"1#$ %& ! X [ ]#$ %& = Q F "1#$ %& ! X [ ]#$ %&

F [ ] F T #$ %& ! X [ ] = F [ ]Q F "1#$ %& ! X [ ]#$ %& = Q ! X [ ]

7-2/- \'-S 5)U*'O.* .R }

J)*.M'*2-./ ,3)2/)5

6./M432 R./ /),'L@ 0-/2'* )33'L0)

Hz)/ /)L32,'*( Y6^#ZE >N Y6EZ^#

A* u /)L32,) YlZ >N Y6^# lmZ

['-S Y6^# lmZE )TL2*5)5

u Hz)/ Y lmZE '0 5/.LL)5 R/.M R/.*-

&'()*+234) )Q42O.*

u

lm '0 2* )'()*+),-./ .R Y66EZ

} '0 2* )'()*+234) .R Y66EZ


!"#$"#$ 889:9 $f

• 66E 2*5 Y6^#ZEY6^#Z S2+)

-S) 02M) )'()*+),-./0! X [ ]=Q F "1#$ %&

T #$

%&

F "1#$ %& ! X [ ]#$ %&

1

Q! X [ ]= F "1#$ %&

T #$

%&

F "1#$ %& ! X [ ]#$ %&

F "1#$ %&

T #$

%&

F "1#$ %& ! X [ ]#$ %& =

1

Q! X [ ]

7-2/- \'-S u .R L/)+'.40 L2()

J'+'5) >.-S 0'5)0 >N }

Hz)/ 0\'-,S'*( 3)z 2*5 /'(S- 0'5)0

&'()*+234) )Q42O.*

u

7. lm '0 2* )'()*+),-./ .R >.-S Y66EZ 2*5 Y6^#ZEY6^#Z

S2+) -S) 02M) )'()*+),-./0 YlmZ1 23-S.4(S -S)'/

)'()*+234)0 2/) /),'L/.,230@ B.\1 )'()*+),-./ YlZ

VY6ZEY6Z YlZ _ }YlZX '0 200.,'2-)5 \'-S -S) Q425/2O,

)3.*(2O.*0 V0)) /)5 2T)0X1 2*5 -S) 320- )Q42O.*

2>.+) S20 -S) 02M) R./M1 \'-S Y6^#Z /)L32,'*( Y6Z

2*5 #"} /)L32,'*( }@ ES'0 M)2*0 )'()*+),-./ YlmZ

'0 200.,'2-)5 \'-S -S) /),'L/.,23 Q425/2O,

)3.*(2O.*0 V0)) ./2*() 2T)0X@

lm '0 2* )'()*+),-./ .R YY6^#Z EY6^#ZZ

#"} '0 2* )'()*+234) .R YY6^#Z EY6^#ZZ

eigenvectors,eigenvalues and finite strain_detallado

Documents