egilea:iñaki gómez arriaran 1 bero-transmisio mekanismoak

11

Egilea:Iñaki Egilea:Iñaki Gómez ArriaranGómez Arriaran

Bero-transmisio mekanismoakBero-transmisio mekanismoak

22

© Iñaki Gómez Arriaran

Beroa 3 mekanismoren bitartez transmititu Beroa 3 mekanismoren bitartez transmititu daiteke:daiteke:

• KONDUKZIOA (Fourier-en legea)

• KONBEKZIOA (Newton-en hozketa-legea)

• ERRADIAZIOA (Stefan-Boltzman-en legea)

TT11

TT22

QQ

G

33


KONDUKZIOAKONDUKZIOA

•Tenperatura eremua Tenperatura eremua = = (x,y,z,t ) (x,y,z,t )

•Tenperatura gradientea Grad Tenperatura gradientea Grad = ( = (//n) nn) n

n

• Grad Grad = = = ( = (//x) i + (x) i + (//y) j + (y) j + (//z) k z) k

q = qq = qxx i+ q i+ qyy j+ q j+ qzz k= -[ k k= -[ kxx ( () ) ] i - [k] i - [kyy ( () ) ] j - [k] j - [kzz ( () ) ] k] k

z

x y

q = Q/A = - k (q = Q/A = - k (θθ))

44


Energia-balantzea eginez:Energia-balantzea eginez:

dQsartu + dQgaratu = dQirten + dEmetatudQsartu + dQgaratu = dQirten + dEmetatu

dQsartu = qdQsartu = qx x dydz + qdydz + qy y dxdz + qdxdz + qzz dxdy dxdy

dQgaratu = qdQgaratu = qGG dV dV

dQirten = qdQirten = qx+dx x+dx dydz + qdydz + qy+dy y+dy dxdz + qdxdz + qz+dzz+dz dxdy dxdy

dEmetatu = cdEmetatu = cpp //t dm = t dm = dV c dV cpp //tt

qqGG= elementuan = elementuan

barne garatutako barne garatutako

beroa (W/mberoa (W/m33))

qyqy+dy

qz

qx

qz+dz

qx+dx

x

z

y

qG

Kondukzioaren

ekuazio orokorra:

55


qqx x dydz + qdydz + qy y dxdz + qdxdz + qzz dxdy + q dxdy + qGG dV = q dV = qx+dx x+dx dydz + qdydz + qy+dy y+dy dxdz + qdxdz + qz+dzz+dz dxdy + dxdy + dV c dV cpp //tt

Taylor-en seriean garatuz: qTaylor-en seriean garatuz: qx+dxx+dx = = qx + (qx + ( qqxx//x) dxx) dx

qqx x + [ + [ (-k((-k())//x) / x) / x ] dxx ] dx

qqGG dV = [ dV = [ (-k((-k())//x) / x) / x ] dxx ] dx dydz + [ dydz + [ (-k((-k())//y) / y) / y ] dyy ] dy dxdz + [ dxdz + [ (-k((-k())//z) / z) / z ] z ]

dz dxdy + dz dxdy + dV c dV cpp //t = t = [ -k([ -k()) ] dV + ] dV + dV c dV cpp //t t

qqGG = = [ -k([ -k()) ] + ] + c cpp //t t

Fourier aplikatuz: qFourier aplikatuz: qxx = -k( = -k())//xx

66


Hipotesiak: Hipotesiak:

• materiale isotropoa K(materiale isotropoa K())xx = K( = K())yy = K( = K())zz

• propietate fisikoak konstanteak K(propietate fisikoak konstanteak K() = K = Kte ) = K = Kte

• qqGG = kte = kte

k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t Kondukzioaren ekuazio Kondukzioaren ekuazio orokorraorokorra

22 = laplaziarra: = laplaziarra:

• Koordenatu kartesiarretan Koordenatu kartesiarretan 22 = = 22//xx22 + + 22//yy22 + + 22//zz22

• Koordenatu zilindrikotan Koordenatu zilindrikotan 22 = 1/r = 1/r (r(r//r)/r)/r + 1/rr + 1/r2 2 2 2//22 + + 22//zz22

• Koordenatu esferikotan Koordenatu esferikotan 22 = 1/r = 1/r22 (r(r22//r)/r)/r + ...r + ...

77


xx

yy

zz


• koordenatu kartesiarrak koordenatu kartesiarrak 22 = = 22//xx22 + + 22//yy22 + + 22//zz22

88


rr

zz

22 = laplaziarra = laplaziarra

• koordenatu zilindrikoak koordenatu zilindrikoak 22 = 1/r = 1/r (r(r//r)/r)/r + 1/rr + 1/r2 2 2 2//22 + + 22//zz22


koordenatu esferikoak koordenatu esferikoak 22 = 1/r = 1/r22 (r(r22//r)/r)/r + 1/(rr + 1/(r22sensenΦΦ) ) (sen(senΦΦ //ΦΦ)/ )/ ΦΦ + + 1/(r1/(r22sensen22ΦΦ) ) 22//22

r

Φ

99

© Iñaki Gómez ArriaranPareta laua bero garapenik gabePareta laua bero garapenik gabe

Errejimen egonkorraErrejimen egonkorra

LL

xxp2p2

p1p1

aa 22 + q + qGG/ / cp cp = = //t t

= = ( x,y,z ) ( x,y,z )

Condukzioaren ekuazio Condukzioaren ekuazio orokorraorokorra

= = ( x,y,z,t ) ( x,y,z,t )Tenperatura eremuaTenperatura eremua

//t = 0t = 0

zz

yy

Bero garapenik gabe qBero garapenik gabe qGG = 0 = 0

λλ

aa 22 = 0 = 0 λλ 22 = 0 = 0

1010


x

y

z

= = ( x ) ( x )

Fluxu dimentsiobakarrekoaFluxu dimentsiobakarrekoa

Grad Grad = = = ( = (//x) i + (x) i + (//y) j + (y) j + (//z) k z) k

Grad Grad = = = ( = (//x) = dx) = d/dx/dx

Pareta laua bero garapenik gabePareta laua bero garapenik gabe

1111


qq

Laplaziarra Laplaziarra 22 = = 22//xx2 2 = d = d22/dx/dx22

22 = d = d22/dx/dx2 2 = 0 = 0

dd/dx = C/dx = C11

(x) = C(x) = C11 x + C x + C2 2 → Lerro zuzena→ Lerro zuzena

λλ22 = 0 = 0

LL

xx

22

11


(x)(x)

1212


1. ing. bald.: x = 0 1. ing. bald.: x = 0 = = 11

2. 2. ing. bald.:ing. bald.: x = L x = L = = 22

CC11 eta C eta C22 integrazio konstanteak ingurune-baldintzak integrazio konstanteak ingurune-baldintzak

aplikatuz askatzen dira:aplikatuz askatzen dira:

1.i.b.: 1.i.b.: 11 = C = C11· 0 + C· 0 + C2 2 →→ CC22 = = 11

2.i.b.: 2.i.b.: 22 = C = C11·L + ·L + 1 1 →→ CC11 = ( = (22 - - 11) / L ) / L

(x) = (x) = 1 1 + (+ (22 - - 11) x / L ) x / L

Tenperatura-distribuzioaTenperatura-distribuzioaqq

LL

xx22

11

(x)(x)

1313


Fourier-en legea aplikatuz:Fourier-en legea aplikatuz:

qqxx = - = - λλ = - = - λλ d d/dx = - /dx = - λλ [ ([ (22 - - 11) / L ] = ) / L ] = λλ / L · ( / L · ( 11 - - 22 ) = kte ) = kte

1414


Ejercicio pared simpleEjercicio pared simple Pared plana sin generación interna de calorPared plana sin generación interna de calor

En un almacén frigorífico la temperatura superficial interior es de -20 ºC. En un almacén frigorífico la temperatura superficial interior es de -20 ºC. Sobre la pared metálica se desea colocar una aislamiento plástico rígido Sobre la pared metálica se desea colocar una aislamiento plástico rígido de conductividad térmica 0.03 W / m K. Una de las paredes del almacén, de conductividad térmica 0.03 W / m K. Una de las paredes del almacén, con un área transversal de 100 mcon un área transversal de 100 m2,2, tiene una ganancia de calor por tiene una ganancia de calor por transmisión de 2 kW, Si el aire exterior tiene una temperatura de rocío de transmisión de 2 kW, Si el aire exterior tiene una temperatura de rocío de 15 ºC, cálcúlese el espesor del aislamiento mínimo para que no se 15 ºC, cálcúlese el espesor del aislamiento mínimo para que no se produzcan condensaciones superficiales en la cara exterior del produzcan condensaciones superficiales en la cara exterior del aislamiento.aislamiento.

θθii = -20 ºC = -20 ºC

λλ = 0.03 W / m K = 0.03 W / m K

Despreciando la resistencia térmica que Despreciando la resistencia térmica que supone la pared metálica dada su alta supone la pared metálica dada su alta conductividad, y considerando régimen conductividad, y considerando régimen estacionario y flujo unidimensional:estacionario y flujo unidimensional:

λλ22 = 0 = 0

dd/dx = C/dx = C11

(x) = C(x) = C11 x + C x + C22

xx

θθee = 15 ºC = 15 ºC

ee

1515


Condiciones de contorno:Condiciones de contorno:

1. cond. contorno: x = 0 1. cond. contorno: x = 0 = -20 ºC = -20 ºC

2. cond. contorno: x = e 2. cond. contorno: x = e = 15 ºC = 15 ºC

1.c.c.: -20 = C1.c.c.: -20 = C11· 0 + C· 0 + C2 2 CC22 = -20 = -20

2.c.c.: 15 = C2.c.c.: 15 = C11·e - 20·e - 20 CC11 = 35 / e = 35 / e

Aplicando Ley de Fourier:Aplicando Ley de Fourier:

Q = q · A = - Q = q · A = - λλ ·A= - ·A= - λλ d d/dx · A= - /dx · A= - λλ 35/e · A 35/e · A

e = - λλ 35 · A 35 · A / Q = - 0.03 · 35 · 100 / -2000 = 0.0525 m = 5.25 cm/ Q = - 0.03 · 35 · 100 / -2000 = 0.0525 m = 5.25 cm

xx

ee

Pared plana sin generación interna de calorPared plana sin generación interna de calor

1616


Cond. Contorno de 2ª especie: Flujo de calor conocido Cond. Contorno de 2ª especie: Flujo de calor conocido

x = 0, L qx = 0, L qxx = q = q

Cond. Contorno de 3ª especie: Contacto con fluidoCond. Contorno de 3ª especie: Contacto con fluido

x = 0, L qx = 0, L qxx = q = qconvecciónconvección

Otras posibles condiciones de contornoOtras posibles condiciones de contorno


qq

L1

x

2(x)

qqconvecciónconvección

λλ11

1717


Cond. Contorno de 4ª especie: Contacto con otra capaCond. Contorno de 4ª especie: Contacto con otra capax = 0, L qx = 0, L qxx = q = qconducción superficie 2conducción superficie 2

- - λλ11 11 xx = - = - λλ22 22 x x

qq11

L1

x

2(x)

qq22

L2

1(x)

λλ11λλ22


1818


Ohm-en legea Fourier-en legeaOhm-en legea Fourier-en legea

L

21

k

qI

R

V1

V2

I = I = VV2-12-1 / R / R q = q = 2-1 2-1 / (L / / (L / λλ ) )

Analogia elektrikoa Analogia elektrikoa

R ( mR ( m2 2 º C / W )º C / W ) pareta lauaren pareta lauaren erresistentzia erresistentzia termikoatermikoa

I = flujo de carga eléctricaI = flujo de carga eléctrica q = Flujo de calorq = Flujo de calor VV2-1 2-1 = Potentzial elektriko = Potentzial elektriko

diferenciadiferencia

2-12-1 = potentzial termiko diferentzia = potentzial termiko diferentzia RR = erresistentza elektrikoa= erresistentza elektrikoa L / L / λλ = erresistentzia termikoa= erresistentzia termikoa

1919


Ejercicio resuelto por analogía eléctricaEjercicio resuelto por analogía eléctrica

En un almacén frigorífico la temperatura superficial interior es de -20 ºC. En un almacén frigorífico la temperatura superficial interior es de -20 ºC. Sobre la pared metálica se desea colocar una aislamiento plástico rígido Sobre la pared metálica se desea colocar una aislamiento plástico rígido de conductividad térmica 0.03 W / m K. Una de las paredes que tiene un de conductividad térmica 0.03 W / m K. Una de las paredes que tiene un área transversal de 100 márea transversal de 100 m22 tiene una ganancia de calor por transmisión tiene una ganancia de calor por transmisión de 2 kW, Si el aire exterior tiene una temperatura de rocío de 15 ºC, de 2 kW, Si el aire exterior tiene una temperatura de rocío de 15 ºC, cálcúlese el espesor del aislamiento mínimo para que no se produzcan cálcúlese el espesor del aislamiento mínimo para que no se produzcan condensaciones superficiales en la cara exterior del aislamiento.condensaciones superficiales en la cara exterior del aislamiento.

θθii = -20 ºC = -20 ºC

λλ = 0.03 W / m K = 0.03 W / m K Considerando queConsiderando que λλpared metálicapared metálica >> >> λλaislamientoaislamiento → →

RRpared metálicapared metálica << R << Raislamientoaislamiento::

xx

θθee = 15 ºC = 15 ºC

ee

RRaislamientoaislamiento

θθii = -20 ºC = -20 ºCθθee = 15 ºC = 15 ºC

RRpared metálicapared metálica

qqqq

RRaislamiento aislamiento = (= (θθee - - θθii ) / ) / q = (15 –(-20)) / (2000/100) = 1.75 ºC/Wmq = (15 –(-20)) / (2000/100) = 1.75 ºC/Wm22

RRaislamiento aislamiento = L / = L / λλ → L = R→ L = Raislamientoaislamiento · · λλ = = 1.75 · 0.03 = 0.0525 m 1.75 · 0.03 = 0.0525 m

2020

© Iñaki Gómez ArriaranPareta konposatuaPareta konposatua

LL11

xx44

11

λλ 22 =0 =0

Kondukzioaren ekuazio orokorra, errejimen Kondukzioaren ekuazio orokorra, errejimen egonkorrean, fluxu unidimentsionala eta egonkorrean, fluxu unidimentsionala eta bero garapenik gabe :bero garapenik gabe :

zz

yyλλ22

LL22 LL33

λλ11 λλ33

Geruza bakoitzarentzat:Geruza bakoitzarentzat:

22 ii = d = d22ii/dx/dx2 2 = 0 = 0

ddii/dx = C/dx = C11

ii(x) = C(x) = C11 x + C x + C2 2 → Recta→ Recta

λλ ii22 ii = 0 = 0

n geruzen kasuan 2n integrazio konstante n geruzen kasuan 2n integrazio konstante sortuko dira ( Csortuko dira ( C11,…., C,…., C2n 2n ) eta askatzeko 2n ) eta askatzeko 2n

ingurune baldintza beharko diraingurune baldintza beharko dira

2121


1. i.b.: x = 0 1. i.b.: x = 0 = = 11

2. i.b.: x = L2. i.b.: x = L11+L+L22+L+L33+…L+…Lnn = = n+1n+1

• 1. mailako 1. mailako 2 ingurune baldintza:2 ingurune baldintza:


3. i.b.: x = L3. i.b.: x = L11 11(x) = (x) = 22(x)(x)

..

..

n+1. i.b.: x = Ln+1. i.b.: x = L11+L+L22+L+L33+…L+…Ln-1n-1 n-1n-1 (x) = (x) = nn (x) (x)

• 1. mailako 1. mailako n-1 ingurune baldintza:n-1 ingurune baldintza:

n+2. i.b.: x = Ln+2. i.b.: x = L11 q(x) q(x)11 = q(x) = q(x)22

..

..

2n. i.b.: x = L2n. i.b.: x = L11+L+L22+L+L33+…L+…Ln-1n-1 q(x) q(x)n-1n-1 = q(x) = q(x)nn

• 4. mailako n-1 ing. bald.:4. mailako n-1 ing. bald.:

qq11

L1

x

1(x)

qq22

L2

2(x)

λλ11λλ22

qq33

L3

3(x)

λλ22

2n ekuazio-sistema garatzen da 2n ezezagunekin2n ekuazio-sistema garatzen da 2n ezezagunekin

2222


q = - (q = - (22- - 11) / (L) / (L11//λλ11) ) → → 1 1 - - 22 = q · L= q · L11/ / λλ11

• Fourier aplikatuz 1. geruzanFourier aplikatuz 1. geruzan::qq11

L1

1(x)

qq22

L2

2(x)

λλ11λλ22

qq33

L3

3(x)

λλ22

Geruza bakoitza banaka aztertuz:Geruza bakoitza banaka aztertuz:

q = - (q = - (33- - 22) / (L) / (L22//λλ22) → ) → 2 2 - - 33 = q · L = q · L22/ / λλ22

..

..

• Fourier aplikatuz 2. geruzanFourier aplikatuz 2. geruzan::

q = - (q = - (n+1n+1- - nn) / (L) / (Lnn//λλnn) → ) → n n - - n+1n+1 = q · L = q · Lnn/ / λλnn

• Fourier aplikatuz n. geruzanFourier aplikatuz n. geruzan::

11- - n+1n+1 = q · ( L = q · ( L11/ / λλ11 + + L L22/ / λλ22 …+ …+ L Lnn/ / λλnn ) )

q = ( q = ( 11- - n+1n+1 ) / ( L ) / ( L11/ / λλ11 + + L L22/ / λλ22 +…..+ +…..+ L Lnn/ / λλnn ) )

R pareta konposatuaren R pareta konposatuaren erresistentzia termikoaerresistentzia termikoa

Ln

2323


L1

1(x)

L2

λλ11 λλ22

L3

λλ55

L5

2(x)

3(x)

Zirkuito elektriko baliokidea:Zirkuito elektriko baliokidea:

RR22

λλ44λλ33

RR11RR33 RR44

RR55

L4

Analogia elektrikoa Analogia elektrikoa

2424


LL11

44

11λλ11

qq

LL22 LL33

λλ22 λλ33

q = ( q = ( 11 - - 4 4 ) / ( R) / ( R11 + R + R22 + R + R33 ) )

RR11RR22 RR33

qq

22

11λλ11

QQ

λλ22

λλ33

LL

RR11

RR22

RR33

Q = ( Q = ( 11 - - 2 2 ) · ( 1/ R) · ( 1/ R11 +1/ R +1/ R22 + 1/ R + 1/ R33 ) )

qq

Pareta konposatuaren analogia elektrikoaPareta konposatuaren analogia elektrikoa

RRi i = L= Lii / A / Aii λλii

2525


Ejercicio pared compuestaEjercicio pared compuesta Pared plana sin generación interna de calorPared plana sin generación interna de calor

Calcúlese el flujo de calor a través Calcúlese el flujo de calor a través del muro de la figuradel muro de la figura

θθ44 = 100 ºC = 100 ºC

λλ A A = 75 W / m K= 75 W / m K

λλ BB = 58 W / m K = 58 W / m K

λλ CC = 60 W / m K = 60 W / m K

λλ DD = 20 W / m K = 20 W / m Kθθ11 = 500 ºC = 500 ºC

2020

BB

CCAA DD

aa

aa

A = 2 mA = 2 m22

2525 4040

cmcm

El circuito eléctrico equivalente será:El circuito eléctrico equivalente será:

RRAA = L = LAA / A / A λλAA

RRCC = L = LCC / A / AccλλCC

RRBB = L = LBB / A / ABBλλBB

RRDD = L = LDD / A / A λλDD

QQAA

QQCC

QQBB

QQDD

2626



Resolviendo el circuito:Resolviendo el circuito:

θθ44 = 100 ºC = 100 ºC

θθ11 = 500 ºC = 500 ºC

2020

BB

CCAA DD

aa

aa

2525 4040

cmcm

RRAA

RRCC = L = LCC / (A / (AccλλCC )= 0’25 / [(A/2)·60] = 0’00834/A )= 0’25 / [(A/2)·60] = 0’00834/A ºC / W ºC / W

RRBB = L = LBB / (A / (ABB λλBB )= 0’25 / [(A/2) 58] = 0’00862/A )= 0’25 / [(A/2) 58] = 0’00862/A ºC / W ºC / W

Q = ( Q = ( θθ11 - - θθ44 ) / R ) / RD D = ( 500 – 100 ) / (0’0269/A) = 29.730 W = ( 500 – 100 ) / (0’0269/A) = 29.730 W

QQ

RRAA = L = LAA / (A / (A λλAA)= 0’2 / (A·75)= 0’2 / (A·75 )= 0’00267/A ºC / W)= 0’00267/A ºC / W

RRCC

RRBB

RRDD

RRCC·R·RB B / (R / (RCC + R + RBB ) )R = RR = RAA + [ R + [ RBB·R·RCC / ( R / ( RBB + R + RCC ) ] + R ) ] + RDD

RRDD = L = LDD / (A / (A λλDD )= 0’4 / (A·20) = 0’02/A )= 0’4 / (A·20) = 0’02/A ºC / W ºC / W

R = RR = RAA + [ R + [ RBB·R·RCC / ( R / ( RBB + R + RCC ) ] + R ) ] + RD D = =

(1/A)·[0’00267+ [ 0’00862·0’00834 / (0’00862 + 0’00834) ] + 0’02 =(1/A)·[0’00267+ [ 0’00862·0’00834 / (0’00862 + 0’00834) ] + 0’02 =

0’0269/A ºC / W 0’0269/A ºC / W

2727


Ejercicio Ejercicio

Una nave industrial de 100 m x 25 x 5 m tiene unas pérdidas de calor por transmisión a través Una nave industrial de 100 m x 25 x 5 m tiene unas pérdidas de calor por transmisión a través de los muros de 100 kW. La composición de los muros es de ladrillo macizo de 25 cm y de los muros de 100 kW. La composición de los muros es de ladrillo macizo de 25 cm y conductividad térmica 1 W / m K y enfoscado de yeso de 2 cm de espesor y conductividad conductividad térmica 1 W / m K y enfoscado de yeso de 2 cm de espesor y conductividad 0,93 W / m K. Si la temperatura superficial exterior de los muros es de -1 ºC, calcúlese la 0,93 W / m K. Si la temperatura superficial exterior de los muros es de -1 ºC, calcúlese la temperatura superficial interior. temperatura superficial interior.

Para reducir las pérdidas de calor a través de muros en un 50 %, se pretende instalar un Para reducir las pérdidas de calor a través de muros en un 50 %, se pretende instalar un aislamiento de fibra de vidrio de conductividad 0,095 W / m K mediante planchas que se aislamiento de fibra de vidrio de conductividad 0,095 W / m K mediante planchas que se adosarán al enfoscado de yeso sujetándolas por medio de un tabique de ladrillo macizo de 10 adosarán al enfoscado de yeso sujetándolas por medio de un tabique de ladrillo macizo de 10 cm de espesor y conductividad 0,98 W / m K, que a su vez será revestido de un enlucido de cm de espesor y conductividad 0,98 W / m K, que a su vez será revestido de un enlucido de yeso como el que tenía inicialmente. yeso como el que tenía inicialmente.

Calcúlese el espesor mínimo de aislante que será necesario instalar para conseguir dicha Calcúlese el espesor mínimo de aislante que será necesario instalar para conseguir dicha reducción en las perdidas por transmisión de calor a través de los muros, siendo la reducción en las perdidas por transmisión de calor a través de los muros, siendo la temperatura en el interior de la nave la calculada anteriormente.temperatura en el interior de la nave la calculada anteriormente.

2828


Un techo raso como el de la figura está constituido con montantes de madera Un techo raso como el de la figura está constituido con montantes de madera y aislamiento de fibra de vidrio entre ellos. El interior del techo raso está y aislamiento de fibra de vidrio entre ellos. El interior del techo raso está enyesado y en el exterior se colocó una lámina metálica delgada. Calcúlese enyesado y en el exterior se colocó una lámina metálica delgada. Calcúlese el flujo de calor por unidad de área de techo si la temperatura superficial el flujo de calor por unidad de área de techo si la temperatura superficial exterior es de -10 ºC y la superficial interior de 20 ºC.exterior es de -10 ºC y la superficial interior de 20 ºC.

66

PinoPino

30 cm30 cm

15 cm15 cm

Fibra de vidrioFibra de vidrioYesoYeso

Lámina metálicaLámina metálica

22

λλ fibra de vidrio fibra de vidrio = 0,035 W / m K= 0,035 W / m K

λλ yesoyeso = 0,814 W / m K = 0,814 W / m K

λλ pinopino = 0,15 W / m K = 0,15 W / m K

2929



θθsisi = 25 ºC = 25 ºC

λλ fibra de vidrio fibra de vidrio = 0,035 W / m K= 0,035 W / m K

λλ yesoyeso = 0,814 W / m K = 0,814 W / m K

λλ pinopino = 0,15 W / m K = 0,15 W / m K

θθsese = -10 ºC = -10 ºC

1515

PinoPino

30 cm30 cm 66Fibra de vidrioFibra de vidrio

YesoYeso

Lámina metálicaLámina metálica

22

3030



Se coloca una capa de ladrillo refractario Se coloca una capa de ladrillo refractario de 5 cm de espesor entre dos placas de de 5 cm de espesor entre dos placas de acero de 0,6 cm. Las caras de la capa de acero de 0,6 cm. Las caras de la capa de ladrillo adyacente a las placas son ladrillo adyacente a las placas son asperas, por lo que el contacto sólido con asperas, por lo que el contacto sólido con sólido es de sólo el 30% del área total, sólido es de sólo el 30% del área total, con una altura promedio de las asperezas con una altura promedio de las asperezas de 0,08 cm. Si las temperaturas de 0,08 cm. Si las temperaturas superficiales de las placas de acero son superficiales de las placas de acero son de 93 ºC y 427 ºC respectivamente, de 93 ºC y 427 ºC respectivamente, determínese el flujo de calor por unidad determínese el flujo de calor por unidad de área.de área.

θθ44 = 100 ºC = 100 ºCλλ ladrillo ladrillo = 1,731 W / m K= 1,731 W / m K

λλ aceroacero = 51,93 W / m K = 51,93 W / m K

λλ aireaire = 0,0346 W / m K = 0,0346 W / m K

θθ11 = 500 ºC = 500 ºC

2020

DD

A = 2 mA = 2 m22

2525 4040

cmcm

3131

© Iñaki Gómez ArriaranPared plana con generación interna de calorPared plana con generación interna de calor

Régimen permanenteRégimen permanente

L

x

2

1

qG

aa 22 + q + qGG/ / cp cp = = //t t

λλ22 + q + qGG = 0 = 0

= = ( x,y,z ) ( x,y,z )

Ecuación general de la Ecuación general de la conducciónconducción

= = ( x,y,z,t ) ( x,y,z,t )Campo temperaturasCampo temperaturas

//t = 0t = 0

zy

3232


x

y

z

= = ( x ) ( x )

Flujo unidimensionalFlujo unidimensional

Grad Grad = = = ( = (//x) i + (x) i + (//y) j + (y) j + (//z) k z) k

Grad Grad = = = ( = (//x) = dx) = d/dx/dx

Pared plana con generación interna de calorPared plana con generación interna de calor

3333


QQ

Laplaciana Laplaciana 22 = = 22//xx2 2 = d = d22/dx/dx22

λλ 22 + q + qGG = = λλ d d22/dx/dx2 2 + q+ qGG = 0 = 0

dd2 2 /dx/dx2 2 = -q= -qG G / / λλ

dd/dx = -q/dx = -qGG·· x / x / λλ + C + C11

(x) = -q(x) = -qGG·x·x2 2 / 2 / 2 λλ + C + C11 x + C x + C22

λλ22 + q + qGG = 0 = 0

L

x

2

1

qG


Flujo unidimensionalFlujo unidimensional

3434


Las constantes de integración CLas constantes de integración C11 y C y C22 se calculan se calculan

aplicando las condiciones de contorno:aplicando las condiciones de contorno:

1.cond. de contorno: x = 0 1.cond. de contorno: x = 0 = = 11

2. cond. de contorno: x = L 2. cond. de contorno: x = L = = 22

1.c.c.: 1.c.c.: 11 = -q = -qG G ·0·022/2 /2 λλ + C + C11· 0 + C· 0 + C2 2 CC22 = = 11

2.c.c.: 2.c.c.: 22 = -q = -qGG ·L ·L2 2 /2 /2 λλ + C + C11·L + ·L + 1 1 CC11 = ( = (22 - - 11) / L + q) / L + qGG L /2 L /2λλ

(x) = -q(x) = -qGG· x· x2 2 / 2 / 2 λλ + ( + (22 - - 11) x / L + q) x / L + qGG x L /2 x L /2λλ + + 1 1 ==

Distribución de temperaturas Distribución de temperaturas en la pareden la pared

L

x

2

1

QQ

qG

(x)

(x) = (x) = 11 + ( + (22 - - 11) x / L + q) x / L + qGG· x (L-x) / 2 · x (L-x) / 2 λλ (Parábola invertida) (Parábola invertida)


3535


Aplicando ley de Fourier: Aplicando ley de Fourier:

qqxx = - = - λλ = - = - λλ d d/dx = - /dx = - λλ [ ([ (22 - - 11) / L + q) / L + qGG (L / 2 – x) / (L / 2 – x) / λλ ] ]

Para x = 0 qPara x = 0 q0 0 = = λλ ((11 - - 22) / L - q) / L - qGG L / 2 L / 2

Para x = L qPara x = L qLL = = λλ ((11 - - 22) / L + q) / L + qGG L / 2 L / 2

Flujo de calor a través de la pared Flujo de calor a través de la pared Pared plana con generación interna de calorPared plana con generación interna de calor

x

max max → → dd/dx =0 → q = 0 Plano adiabático/dx =0 → q = 0 Plano adiabático

q = qq = qL L + Iq+ Iq00I = qI = qGG · L · L

Flujo total de calor que sale (entra) de la pared Flujo total de calor que sale (entra) de la pared

por conducción:por conducción:

x

qqxx

qqLL

qq00

Q = qQ = qGG · L · A = q · L · A = qG G · V· V

3636

© Iñaki Gómez ArriaranPared plana con generación de calorPared plana con generación de calor

Si qSi qGG = 0 = 0 → q→ q00 = = ((11 - - 22)) / R / R Pared sin generaciónPared sin generación

Si qSi qGG L / 2 < ( L / 2 < (1 1 - - 22) /) / R R → q→ q00 > 0 > 0 entra calorentra calor

Si qSi qGG > 0 (fuente) > 0 (fuente) →→

Si qSi qGG < 0 (sumidero) < 0 (sumidero) →→

→ → qq00 > 0 > 0 entra calorentra calor

qq00 = = λλ ((11 - - 22) / L - q) / L - qGG L / 2 L / 2

Si qSi qGG L / 2 > ( L / 2 > (1 1 - - 22) /) / R R → q→ q00 < 0 < 0 sale calorsale calor

x

qqLL

qq00

qqLL = = λλ ((11 - - 22) / L + q) / L + qGG L / 2 L / 2

→ → qqLL > 0 > 0 sale calorsale calor

Si qSi qGG L / 2 < ( L / 2 < (1 1 - - 22) /) / R R → q→ qLL > 0 > 0 sale calorsale calor

Si qSi qGG L / 2 > ( L / 2 > (1 1 - - 22) /) / R R → q→ qLL < 0 < 0 entra calorentra calor

3737


Caso particular: Caso particular: 11 = = 22 = = pp

1.c.c.: 1.c.c.: pp = -q = -qG G ·0·022/2 /2 λλ + C + C11· 0 + C· 0 + C2 2 CC22 = = pp

2.c.c.: 2.c.c.: pp = -q = -qGG ·L ·L2 2 /2 /2 λλ + C + C11·L + ·L + p p CC11 = q = qGG L /2 L /2λλ

(x) = -q(x) = -qGG· x· x2 2 / 2 / 2 λλ + q + qGG x L /2 x L /2λλ + + p p ==

Distribución de temperaturas Distribución de temperaturas en la pareden la pared

L

x

pp

QQ

qG

(x)

(x) = (x) = pp + q + qGG· x (L-x) / 2 · x (L-x) / 2 λλ (Parábola invertida y simétrica) (Parábola invertida y simétrica)


3838


Aplicando ley de Fourier: Aplicando ley de Fourier:

qqxx = - = - λλ = - = - λλ d d/dx = - /dx = - λλ [ q[ qGG (L / 2 – x) / (L / 2 – x) / λλ ] = ] = q qG G (x - L/2 )(x - L/2 )

Para x = 0 qPara x = 0 q0 0 = - q= - qGG L / 2 L / 2

Para x = L qPara x = L qLL = q = qGG L / 2 L / 2

Flujo de calor a través de la pared Flujo de calor a través de la pared Pared plana con generación interna de calorPared plana con generación interna de calor

x

qqLL

qq00

3939

© Iñaki Gómez ArriaranPared plana compuesta con generación de calorPared plana compuesta con generación de calor

LL11

44

11

λλ11 22 =0 =0

λλ22

LL22 LL33

λλ11 λλ33

Para la capa con generación interna de calor:Para la capa con generación interna de calor:

λλii22 ii = 0 = 0

qqGG

Para las capas sin generación interna de Para las capas sin generación interna de calor:calor:

λλ22 22 =0 =0

λλ33 22 + q + qGG= 0= 0

qq11 = - ( = - (22- - 11) / (L) / (L11//λλ11) )

qq33 = - ( = - (44- - 33) / (L) / (L33//λλ33) )

qqxx = - = - λλ22 [ ([ (33 - - 22) / L) / L22 + q + qGG (L (L22 / 2 – x) / / 2 – x) / λλ22 ] ]

4040


LL11

44

11 λλ22

LL22 LL33

λλ11 λλ33

qqGG

qq33 = = λλ33 ( (33 - - 44) / L) / L3 3 = q= q11 + q + qG G LL2 2 (3)(3)

qq33 = q = q11 + q + qGG L L22

qq11 = ( = (11- - 22) / (L) / (L11//λλ11) ) (1)(1)

qq11 ( L ( L1 1 / / λλ11 + L + L22 / / λλ2 2 + L+ L33 / / λλ33 ) + ) + qqGG L L2 2 ( L( L22 / 2 / 2 λλ22 + L + L33//λλ33) = ) = ((1 1 - - 44))

RRTT RRG-3G-3

qq11 = ( = (1 1 - - 44) /) / R RT T - - qqGG L L2 2 ( R( RG-3G-3 / R / R TT ) )

qq221212 = = λλ22 ((22 - - 33) / L) / L22 - q - qGG L L22 / 2 = q / 2 = q1 1

(2)(2)

qq222323 = = λλ22 ((22 - - 33) / L) / L22 + q + qGG L L22 / 2 = q / 2 = q33

Ordenando Ordenando (1)(1), , (2)(2) y y (3)(3):: qq11 (L (L11//λλ11) = () = (11- - 22) ) (1)(1)

qq11 (L (L2 2 / / λλ22) + q) + qGG L L2222 / 2 / 2λλ2 2 = = ((22 - - 33) ) (2)(2)

qq11 (L (L33 / / λλ33) + q) + qGG L L22· L· L33 / / λλ33 = = ((33 - - 44) ) (3)(3)

4141


Si qSi qGG = 0 = 0 → q→ q11 = = ((11 - - 44)) / R / RTT → → Pared compuesta sin generaciónPared compuesta sin generación


Pared antes del sumidero/fuente:Pared antes del sumidero/fuente:

qq33 = q = q11 + q + qGG L L22

Pared después del sumidero/fuente:Pared después del sumidero/fuente:

qq33 = ( = (1 1 - - 44) /) / R RT T - - qqGG L L2 2 ( R( RG-3G-3 / R / R T T -1 )-1 )

= (= (11 - - 44) /) / R RTT + + qqGG L L22 ( R ( R1-G1-G / R / R TT ) )

LL11

44

11 λλ22

LL22 LL33

λλ11 λλ33

4242



Si qSi qGG L L2 2 ( R( RG-3G-3 / R / R TT ) < ( ) < (1 1 - - 44) /) / R RT T → →

qq11 > 0 > 0 entra calorentra calor

Si qSi qGG L L2 2 ( R( RG-3G-3 / R / R TT ) > ( ) > (1 1 - - 44) /) / R RT T →→

qq11 < 0 < 0 sale calorsale calor

Si qSi qGG > 0 (fuente) > 0 (fuente) →→

Pared antes del sumidero/fuente:Pared antes del sumidero/fuente: Pared después del sumidero/fuente:Pared después del sumidero/fuente:

qq33 > 0 > 0 sale calor sale calor

qq33 = ( = (11 - - 44) /) / R RTT + + qqGG L L22 ( R ( R1-G1-G / R / R TT ) )

LL11

44

1122

LL22 LL33

11 33

qqGG

4343



Si qSi qGG < 0 (sumidero) < 0 (sumidero) →→

Pared antes del sumidero/fuente:Pared antes del sumidero/fuente: Pared después del sumidero/fuente:Pared después del sumidero/fuente:

qq33 = ( = (11 - - 44) /) / R RTT + + qqGG L L22 ( R ( R1-G1-G / R / R TT ) )

LL11

44

1122

LL22 LL33

11 33

→ → qq11 > 0 > 0 entra calorentra calor

Si qSi qGG L L2 2 ( R( R1-G1-G / R / R TT ) < ( ) < (1 1 - - 44) /) / R RT T

→ → qq33 > 0 > 0 sale calorsale calor

Si qSi qGG L L2 2 ( R( R1-G1-G / R / R TT ) > ( ) > (1 1 - - 44) /) / R RT T

→ → qq33 < 0 < 0 entra calorentra calor

qqGG

4444



Un almacén industrial de 9x9 mUn almacén industrial de 9x9 m22 en planta se mantiene en invierno a 21 º C mediante en planta se mantiene en invierno a 21 º C mediante un conjunto de emisores que disipan un total de 8.500 kcal/h.un conjunto de emisores que disipan un total de 8.500 kcal/h.

Determínese la temperatura interior de las paredes del almacén si se sustituye este Determínese la temperatura interior de las paredes del almacén si se sustituye este sistema de calefacción por una fuente de calor igual 5.600 kcal/hmsistema de calefacción por una fuente de calor igual 5.600 kcal/hm33 distribuida distribuida uniformemente en el suelo y ocupando toda su superficie.uniformemente en el suelo y ocupando toda su superficie.

λλ loseta loseta = 2,5 kcal/ h m K= 2,5 kcal/ h m K

λλ capa nivelacióncapa nivelación = 0,8 kcal/ h m K = 0,8 kcal/ h m K

λλ fuentefuente = 14 kcal/ h m K = 14 kcal/ h m K

losetacm32233

λλ aislante aislante = 0,03 kcal/ h m K= 0,03 kcal/ h m K

λλ capa antivaporcapa antivapor = 1 kcal/ h m K = 1 kcal/ h m K

C C forjadoforjado = 1,43 kcal/ h m = 1,43 kcal/ h m22 K K

capa nivelaciónfuente de caloraislantecapa antivaporforjado

θsuelo = 8 ºC

θexterior = 0 ºC

4545


El suelo se trata de una pared plana compuesta con generación de calor:El suelo se trata de una pared plana compuesta con generación de calor:

losetacm32233

capa nivelaciónfuente de caloraislante

forjado

qsuelo = (i - suelo) / RT - qG LG ( RG-suelo / R T )

RT = ( 3/2,5 + 2/0,8 + 2/14 +3/0,03 +3/1 ) 10 -2 + 1/1,43 = 1,7677 K m2 h / kcal

RG-suelo = ( 1/14 +3/0,03 +3/1 ) 10 -2 + 1/1,43 = 1,73 K m2 h / kcal

capa antivapor

Qparedes-techo = (i - ext) / Rparedes-techo

Qsuelo = qsuelo · Asuelo

θθextext = 0 ºC = 0 ºC

Qsuelo

Qtecho

Qparedes

4646


Para calcular la resistencia térmica de paredes y techos consideramos el caso de Para calcular la resistencia térmica de paredes y techos consideramos el caso de suelo sin fuente de calor:suelo sin fuente de calor:

losetacm3233

capa nivelaciónaislante

forjado

Qsuelo = A suelo · qsuelo = (i - suelo) / Rsuelo

Rsuelo = ( 3/2,5 + 2/0,8 + 3/0,03 +3/1 ) 10 -2 + 1/1,43 = K m2 h / kcal

capa antivapor


= (i - ext) / Rparedes-techo

Q = 8.500 = Qsuelo + Qparedes-techo

Qsuelo

Qtecho

QparedesQQparedes-techo = 8.500 - Qsuelo

Qsuelo = A suelo · qsuelo = 81 · (21 - 8) / Rsuelo = 596,16 kcal/h

Qparedes-techo = 8.500 – Qsuelo = 8.500 – 596,16 = 7.903,8 kcal/h

Rparedes-techo = (i - ext) / Qparedes-techo = (21-0) / 7.903,8 = 0,002657 h K / kcal

4747



Volviendo al caso de suelo con fuente de calor:Volviendo al caso de suelo con fuente de calor:

Qparedes-techo = (i - ext) / Rparedes-techo

Qsuelo = qsuelo · Asuelo

Qsuelo

Qtecho

Qparedes

qsuelo = (i - ext) / (Asuelo ·Rparedes-techo)

IQsuelo I= Qparedes-techo

λλ

4848


rr22

zz

1122

QQ

rr11

r

Pareta zilindrikoa bero-garapenik gabePareta zilindrikoa bero-garapenik gabe

aa 22 + q + qGG/ / cp cp = = //t t Kondukzioaren ekuazio Kondukzioaren ekuazio orokorraorokorra

Tenperatura eremuaTenperatura eremua


= = ( ( r,r,ΦΦ,z,z ) )

= = ( r, ( r,ΦΦ, z ), z )

//t = 0t = 0

Bero-garapenik gabe qBero-garapenik gabe qGG = 0 = 0

aa 22 = 0 = 0 λλ 22 = 0 = 0

4949


Φrr

zz = = ( r ) ( r )


= r(= r(//r) + 1/r (r) + 1/r (//) + () + (//z) z)

Grad Grad = = = r( = r(//r) = rdr) = rd/dr/dr

Pareta zilindrikoa bero-garapenik gabePareta zilindrikoa bero-garapenik gabe

5050


λλ22 = 0 = 0Fluxu unidimentsionalaFluxu unidimentsionala

1/r d(rd1/r d(rd/dr)/dr /dr)/dr = 0= 0

d(rdd(rd/dr)/dr = 0/dr)/dr = 0

rdrd/dr = C/dr = C1 1 →→ dd/dr = C/dr = C11/ r/ r

(r) = C(r) = C1 1 lnr + Clnr + C2 2 → exponentziala→ exponentziala

1.ing. baldintza: r = r1.ing. baldintza: r = r11 = = 11

2. ing. baldintza2. ing. baldintza : r = r: r = r2 2 = = 22

Laplaziarra Laplaziarra

22 = 1/r · = 1/r · (r(r//r)/r)/r = 1/r · d(rdr = 1/r · d(rd/dr)/dr/dr)/dr

rr22

zz

11

22

QQ

rr11

r

5151


1.i.b. : 1.i.b. : 11 = = CC11 lnr lnr11 + C + C22

2.i.b. : 2.i.b. : 22 = = CC11 lnr lnr22 + C + C22

CC1 1 = ( = ( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 ) )

CC22 = = 11 - lnr - lnr11 [( [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )]

(r) = [( (r) = [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )] lnr + lnr + 11 - lnr - lnr11 [( [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )]

(r) = [( (r) = [( 11 - - 22 ) ) ln ( r / rln ( r / r11 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] + )] + 11

1

2r

Pared cilíndrica sin generación interna de calorPared cilíndrica sin generación interna de calor

5252


Fourier aplikatuz: Fourier aplikatuz:

Bero-fluxua pareta zilindrikoanBero-fluxua pareta zilindrikoan

R ( º C / W ) pareta zilindrikoaren errresistentzia termikoa R ( º C / W ) pareta zilindrikoaren errresistentzia termikoa

QQrr = - = - λλ A A = - = - λλ A d A d/dr = - /dr = - λλ 2 2 r L · ( r L · ( 11 - - 22 ) / r ln ( r ) / r ln ( r11 / r / r22 ) = ) =

QQrr = ( = ( 11 - - 22 ) / [ ln ( r ) / [ ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 λλ L ] L ]

R = ln ( rR = ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 λλ L L

5353


rr33rr22

rr11

RR11RR22

QQ

RR11 = ln ( r = ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 λλ11 L L

RR22 = ln ( r = ln ( r33 / r / r22) / 2) / 2 λλ22 L L

Pareta zilindriko konposatuaPareta zilindriko konposatua

5454

© Iñaki Gómez ArriaranPareta esferikoa bero-garapenik gabePareta esferikoa bero-garapenik gabe

errejimen egonkorraerrejimen egonkorra

aa 22 + q + qGG/ / cp cp = = //t t

= = ( (r,r,ΦΦ,,φφ ) )

Kondukzioaren ekuazio Kondukzioaren ekuazio orokorraorokorra

= = ( r, ( r,ΦΦ,,φφ,t ),t )Tenperatura-eremuaTenperatura-eremua

//t = 0t = 0

Bero-garapenik gabe qBero-garapenik gabe qGG = 0 = 0

aa 22 = 0 = 0 λλ 22 = 0 = 0

rr22

rr11ΦΦ

φ

5555


rr22

r1

= = ( r) ( r)

Fluxu unidimentsionalaFluxu unidimentsionala

Grad Grad = = = = //r + 1/rsenr + 1/rsenφφ ((//ΦΦ) + 1/r () + 1/r (//φφ) )

Grad Grad = = = ( = (//r) = dr) = d/dr/dr

22 = 0 = 1/r = 0 = 1/r22 d(r d(r22dd/dr)/dr/dr)/dr

d(rd(r22dd/dr)/dr = 0/dr)/dr = 0

rr22dd/dr = C/dr = C1 1 dd/dr = C/dr = C1 1 / r/ r22

(r) =C(r) =C1 1 / r + C/ r + C22

5656


1.i.b.: r = r1.i.b.: r = r11 = = 11

2. i.b.: r = r2. i.b.: r = r2 2 = = 22

1.i.b. : 1.i.b. : 11 = = CC1 1 / r/ r11 + C + C22

2.i.b.: 2.i.b.: 22 = = CC1 1 / r/ r22 + C + C22

CC1 1 = ( = ( 11 - - 2 2 ) / ( 1/ r) / ( 1/ r11 - 1/ r - 1/ r22 ) )

CC22 = = 11 - ( - ( 11 - - 2 2 ) / r) / r11 ( 1/ r ( 1/ r11 - 1/ r - 1/ r22 ) )

(r) =C(r) =C1 1 / r + C/ r + C2 2 = ( = ( 11 - - 2 2 ) / r ( 1/r) / r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) + ) + 11 - ( - ( 11 - - 2 2 ) / r) / r11 ( 1/r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) = ) =

(r) = (r) = 11 + ( + ( 11 - - 2 2 ) · [ ( 1/r - 1/r) · [ ( 1/r - 1/r11 ) / ( 1/r ) / ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) ] ) ]

5757


Fourier-en legea: Fourier-en legea:

QQrr = - = - λλ A A = - = -λλ A d A d/dr = -/dr = -λλ 4 4 r r22 ( ( 11 - - 2 2 ) / r) / r22( 1/r( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) = ) =

QQrr = ( = ( 11 - - 2 2 ) / [( 1/r) / [( 1/r22 - 1/r - 1/r11 )/ 4 )/ 4 λλ ] ]

Pareta esferikoaren erresistentzia termikoa : Pareta esferikoaren erresistentzia termikoa :

R = ( 1/ rR = ( 1/ r22 - 1/ r - 1/ r11 )/ 4 )/ 4 λλ = ( r = ( r22 -r -r11 ) / 4 ) / 4 λλ r r2 2 rr1 1

rr22

rr11

QQ

II

RR

Bero-fluxua pareta esferikoanBero-fluxua pareta esferikoan

5858


Errejimen egonkorrean /t = 0

k 2 + qG = 0

1.kondukzioaren ekuazio orokorra ebatzi 1.kondukzioaren ekuazio orokorra ebatzi tenperatura-distribuzioatenperatura-distribuzioa

(ariketaren ingurune baldintzak aplikatuz)(ariketaren ingurune baldintzak aplikatuz)

2. Fourier-en legea aplikatu 2. Fourier-en legea aplikatu bero-transmisioabero-transmisioa

Aztertuko ditugun kasuak:Aztertuko ditugun kasuak:

•Pareta laua bero-garapenarekin eta garapenik gabePareta laua bero-garapenarekin eta garapenik gabe

•Pareta zilindrikoa “ “Pareta zilindrikoa “ “

•Pareta esferikoa “ “Pareta esferikoa “ “

5959


1. Kasua: pareta laua bero-garapenarekin1. Kasua: pareta laua bero-garapenarekin

= = ( x,y,z,t ) ( x,y,z,t )


Fluxu unidimentsionalaFluxu unidimentsionala = = ( x ) ( x )

non non 22 = = 22//xx2 2 = d = d2 2 /dx/dx22

k k 22 + q + qGG = k d = k d2 2 /dx/dx2 2 + q+ qGG = 0 = 0

dd2 2 /dx/dx2 2 = -q= -qGG/k/k

dd/dx = -q/dx = -qG G x / k + Cx / k + C11

(x) = -q(x) = -qGGxx22/2k + C/2k + C11 x + C x + C22

LL

x

pp

QQ

qG

k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t

k k 22 + q + qGG = 0 = 0

6060


CC11 eta C eta C22 integrazio konstanteak kalkulatzeko, ingurune integrazio konstanteak kalkulatzeko, ingurune

baldintzak aplikatu:baldintzak aplikatu:

1.ingurune baldintza: x= 0 q1.ingurune baldintza: x= 0 qx=0 x=0 dd/dx = 0/dx = 0

2. Ingurune baldintza: x = 2. Ingurune baldintza: x = ++ L L = = pp

1.i.b. aplikatuz: d1.i.b. aplikatuz: d/dx = 0 = -q/dx = 0 = -qGG/k 0 + C/k 0 + C1 1 CC11 = 0 = 0

2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: p = -qp = -qGG L L2 2 /2k + 0 + C/2k + 0 + C2 2 CC22 = = p + qp + qGG L L2 2 /2k /2k

(x) = -q(x) = -qGG (L (L22 -x -x2 2 )) /2k + /2k + ppParetan barneko Paretan barneko tenperatura-distribuzioatenperatura-distribuzioa

LL

x

pp

QQ

qG

(x)

6161


Fourier-en legea aplikatuz: Fourier-en legea aplikatuz: QQxx = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dx = -k A ( -q/dx = -k A ( -qGGx/k )x/k )

Paretatik kanpo guzira transmititutako bero-jarioa:Paretatik kanpo guzira transmititutako bero-jarioa:

Q = QQ = Qx = Lx = L + Q + Qx = -L x = -L = 2AL q = 2AL qG G = V q= V qGG

QQxx= A q= A qGG x x

6262


2. Kasua: pareta laua bero-garapenik gabe2. Kasua: pareta laua bero-garapenik gabe

x

L

2

1

Q

Kasu honetan qKasu honetan qGG = 0 = 0

1.ingurune baldintza: x = 0 1.ingurune baldintza: x = 0 = = 11

2. Ingurune baldintza: x = L 2. Ingurune baldintza: x = L = = 22

22 = d = d2 2 /dx/dx22 = 0 = 0

dd/dx = C/dx = C11

(x) = C(x) = C11 x + C x + C22

(x) = ((x) = (22 - - 11) x/L + ) x/L + 11 Ordezkatuz:Ordezkatuz:

(x)

k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t

k k 22 = 0 = 0

6363


Fourier-en legea aplikatuz: Fourier-en legea aplikatuz: QQxx = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dx = -k A C/dx = -k A C1 1 ==

Q = k A ( Q = k A ( 11 - - 22 )/ L )/ L

Analogia elektrikoa:Analogia elektrikoa:

Ohm-en legea Fourier-en legeaOhm-en legea Fourier-en legea

L

21

k

QI

R

V1

V2

I = I = VV2-12-1 / R / R Q = Q = 2-1 2-1 / (L / k A )/ (L / k A )

Pareta Pareta lauaren lauaren erresistentzia erresistentzia termiko termiko baliokidea: baliokidea:

RRTPTP = L / k A = L / k A

6464


Pareta konposatuak:Pareta konposatuak:

L1

4

1k1

Q

L2 L3

k2 k3

Q = ( Q = ( 11 - - 4 4 )/ ( R)/ ( R11 + R + R22 + R + R33 ) )

R1R2 R3

Q

2

1k1

Qk2

k3

L

R1

R2

R3

Q = ( Q = ( 11 - - 2 2 ) x ( 1/R) x ( 1/R11 +1/ R +1/ R22 + 1/R + 1/R33 ) )

Q

6565


3. Kasua: pareta zilindrikoa bero-garapenarekin3. Kasua: pareta zilindrikoa bero-garapenarekin

= = ( r, ( r, ,z,t ),z,t )


Fluxu unidimentsionalaFluxu unidimentsionala

R

r

z

pp

QQ

qG

= ( r )

kk22 + q + qGG = 0 = k [1/r d(rd = 0 = k [1/r d(rd/dr)/dr] + q/dr)/dr] + qG G

1/r d(rd1/r d(rd/dr)/dr /dr)/dr = -q= -qGG/k/k

d(rdd(rd/dr)/dr = - r q/dr)/dr = - r qGG/k/k

rdrd/dr = - r/dr = - r22 q qGG/2k + C/2k + C1 1 dd/dr = - r q/dr = - r qGG/2k + C/2k + C11/r/r

(r) = - r(r) = - r22 q qGG/4k + C/4k + C1 1 lnr + Clnr + C22

k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t

k k 22 + q + qGG = 0 = 0

6666


1.ingurune baldintza: r= 0 q1.ingurune baldintza: r= 0 qr=0 r=0 dd/dr = 0/dr = 0

2. Ingurune baldintza: r = R 2. Ingurune baldintza: r = R = = pp

1.i.b. aplikatuz: d1.i.b. aplikatuz: d/dr = 0 /dr = 0 CC11 = 0 = 0

2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: p = -qp = -qGG R R2 2 /4k + 0 + C/4k + 0 + C2 2 CC22 = = p + qp + qGG R R2 2 /4k /4k

(r) = (r) = p + qp + qG G ( R( R2 2 - r- r22 ) /4k ) /4k Ordezkatuz:Ordezkatuz:

Fourier-en legea aplikatuz: QFourier-en legea aplikatuz: Qrr = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dr = -k 2/dr = -k 2 r L ( - r L ( -

r r qqGG/2k ) = /2k ) = L r L r22 q qGG

QQrr = = L r L r22 q qGG = V q = V qGG = Q = QGG

z

p

r

6767


4. Kasua: pareta zilindrikoa bero-garapenik gabe4. Kasua: pareta zilindrikoa bero-garapenik gabe

rr22

zz

1122

QQ

rr11

r

Kasu honetan qKasu honetan qGG = 0 = 0

22 = 0 = [1/r d(rd = 0 = [1/r d(rd/dr)/dr]/dr)/dr]

1/r d(rd1/r d(rd/dr)/dr /dr)/dr = 0= 0

d(rdd(rd/dr)/dr = 0/dr)/dr = 0

rdrd/dr = C/dr = C1 1 dd/dr = C/dr = C11/r/r

(r) = C(r) = C1 1 lnr + Clnr + C22

1.ingurune baldintza: r= r1.ingurune baldintza: r= r11 = = 11

2. Ingurune baldintza: r = r2. Ingurune baldintza: r = r2 2 = = 22

k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t

k k 22 = 0 = 0

6868


1.i.b. aplikatuz: 1.i.b. aplikatuz: 11 = = CC11 lnr lnr11 + C + C22

2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: 22 = = CC11 lnr lnr22 + C + C22

CC1 1 = ( = ( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 ) )

CC22 = = 11 - lnr - lnr11 [( [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )]

(r) = [( (r) = [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )] lnr + lnr + 11 - lnr - lnr11 [( [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )]

(r) = [( (r) = [( 11 - - 22 ) ) ln ( r / rln ( r / r11 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] + )] + 11

1

2r

6969


Fourier-en legea aplikatuz: Fourier-en legea aplikatuz:

QQrr = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dr = -k 2/dr = -k 2 r L( r L( 11 - - 22 ) / r ln ( r ) / r ln ( r11 / r / r22 ) = ) =

QQrr = ( = ( 11 - - 22 ) / [ ln ( r ) / [ ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 k L ] k L ]

Pareta zilindrikoaren erresistentzia termiko baliokidea: Pareta zilindrikoaren erresistentzia termiko baliokidea:

RRTZTZ = ln ( r = ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 k L k L

Pareta konposatuak:Pareta konposatuak:

rr33

rr22rr11

RR11RR22

QQ

RR11 = ln ( r = ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 k k11 L L

RR22 = ln ( r = ln ( r33 / r / r22) / 2) / 2 k k22 L L

7070


5.Kasua: pareta esferikoa bero-garapenarekin5.Kasua: pareta esferikoa bero-garapenarekin

= = ( r, ( r, ,z,t ),z,t )


Jario unidimentsionalaJario unidimentsionala = = ( r ) ( r )

kk22 + q + qGG = 0 = k [1/r = 0 = k [1/r22 d(r d(r22dd/dr)/dr] + q/dr)/dr] + qG G

1/r1/r22 d(r d(r22dd/dr)/dr /dr)/dr = -q= -qGG/k/k

d(rd(r22dd/dr)/dr = - r/dr)/dr = - r22 q qGG/k/k

rr22dd/dr = - r/dr = - r33 q qGG/3k + C/3k + C1 1 dd/dr = - r q/dr = - r qGG/3k + C/3k + C1 1 / r/ r22

(r) = - r(r) = - r22 q qGG/6k - C/6k - C1 1 / r + C/ r + C22

1.ingurune baldintza: r = 0 q1.ingurune baldintza: r = 0 qr=0 r=0 dd/dr = 0/dr = 0

2. Ingurune baldintza: r = R 2. Ingurune baldintza: r = R = = pp

R

k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t

7171


1.i.b. aplikatuz: d1.i.b. aplikatuz: d/dr = 0 /dr = 0 CC11 = 0 = 0

2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: p = -qp = -qGG R R2 2 /6k + 0 + C/6k + 0 + C2 2 CC22 = = p + qp + qGG R R2 2 /6k/6k

Ordezkatuz:Ordezkatuz: (r) = (r) = p + qp + qG G ( R( R2 2 - r- r22 ) /6k ) /6k

Fourier-en legea aplikatuz: QFourier-en legea aplikatuz: Qrr = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dr = /dr =

-k 4-k 4 r r22 (- r q (- r qGG/3k ) = 4/3 ( /3k ) = 4/3 ( r r33 ) q ) qGG

QQrr = 4/3 ( = 4/3 ( r r33 ) q ) qGG = V q = V qGG = Q = QGG

QQ

7272


6. Kasua: pareta esferikoa bero-garapenik gabe

rr22

rr11

22 = 0 = 1/r = 0 = 1/r22 d(r d(r22dd/dr)/dr/dr)/dr

d(rd(r22dd/dr)/dr = 0/dr)/dr = 0

rr22dd/dr = C/dr = C1 1 dd/dr = C/dr = C1 1 / r/ r22

(r) =C(r) =C1 1 / r + C/ r + C22

1.ingurune baldintza: r= r1.ingurune baldintza: r= r11 = = 11

2. Ingurune baldintza: r = r2. Ingurune baldintza: r = r2 2 = = 22

1.i.b. aplikatuz: 1.i.b. aplikatuz: 11 = = CC1 1 /r/r11 + C + C22

2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: 22 = = CC1 1 / r/ r22 + C + C22

CC1 1 = ( = ( 11 - - 2 2 ) / ( 1/r) / ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) )

CC22 = = 11 - ( - ( 11 - - 2 2 ) / r) / r11 ( 1/r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) )

k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t

7373


(r) =C(r) =C1 1 / r + C/ r + C2 2 = ( = ( 11 - - 2 2 ) / r ( 1/r) / r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) + ) + 11 - ( - ( 11 - - 2 2 ) / r) / r11 ( 1/r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) = ) =

(r) = (r) = 11 + ( + ( 11 - - 2 2 ) · [ ( 1/r - 1/r) · [ ( 1/r - 1/r11 ) / ( 1/r ) / ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) ] ) ]

Fourier-en legea aplikatuz: Fourier-en legea aplikatuz:

QQrr = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dr = -k 4/dr = -k 4 r r22 ( ( 11 - - 2 2 ) / r) / r22( 1/r( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) = ) =

QQrr = ( = ( 11 - - 2 2 ) / [( 1/r) / [( 1/r22 - 1/r - 1/r11 )/ 4 )/ 4 k ] k ]

Pareta esferikoaren erresistentzia termiko baliokidea: Pareta esferikoaren erresistentzia termiko baliokidea:

RRTETE = ( 1/r = ( 1/r22 - 1/r - 1/r11 )/ 4 )/ 4 k = ( r k = ( r22 -r -r11 )/ [r )/ [r2 2 rr1 1 4 4 k ] k ]

rr22

rr11

QQ

II

RRTETE

7474


KONBEKZIOA

Molekulen arteko loturak aulak izanik, bero dagoen molekula fluidoan barne mugi daiteke, berarekin batera energia termikoa garraiatuz bero-transmisioa.

Fluidoaren molekulen arteko distantzia handia dela eta, kondukzio bidezko bero-transmisioarekiko erresistentzia termikoa handia da.

Materia garraio bitartez gertatzen den bero-transmisio mekanismo honi KONBEKZIO deritzaio.

7575


Konbekzio bidezko bero-transmisioa, faktore askoren araberakoa da:

•Jariakinaren abiadura ( c )

•Ukipen-azaleraren geometria eta ezaugarriak

•Jariakinaren propietate fisikoak ( , )

•Solidoaren propietate fisikoak ( k , cp )

•etab.

Denak laburbiltzeko, koefiziente bat erabiltzen da: hh = konbekzio-koefiziente edota pelikula-koefizientea.

h pelikula-koefizientea, korrelazio esperimentalen bitartez kalkulatzen da.

7676


Q = h A h ( W/m2K)

Analogia elektrikoa:

R

I

Q

h

R = 1 / h A

7777


h2

kL

2

1h1

k

b

R1R2 R3

Q QQKONBEKZIOA KONDUKZIOA KONBEKZIOA

R = R1 + R2 + R3 = 1/A ( 1/h1 + L/k + 1/h2 )

Q = ( b - k ) / R = A ( b - k ) / [ 1 / h1 )+ L / k + 1 / h2 ]

Q = U A U =1 / [ 1 / h1 )+ L / k + 1 / h2 ]

U : Bero-transmisio koefiziente orokorra

7878


h1

h2

R1R2 R3

Q QQKONBEKZIOA KONDUKZIOA KONBEKZIOA

R = R1 + R2 + R3 = 1/2L ( 1/r1h1 + 1/k ln(r2/r1) + 1/r2h2 )

Q = ( b - k ) / R = 2 r2 L ( b - k ) / [ (r2 / r1 h1 )+ ( r2 / k )ln(r2/r1) + 1 / h2 ]

Q = U2 A2

U2 =1 / [ (r2 / r1 h1 )+ ( r2 / k )ln(r2/r1) + 1 / h2 ]

7979


Reynolds zenbakia: Jariakinaren inertzia indarren eta liskatasun indarren arteko erlazioa.

Re = c /

Prandtl zenbakia: Jariakinean barne beroa zein abiaduraz transmititzen den adierazten du.

Pr = cP / k

Nusselt zenbakia: jarikaina eta paretaren arteko bero-transmisioa adierazten du.

Nu = h / k

Nu = f ( Re,Pr )Parametro hauen arteko erlazioa esperimentalki lortu behar da, ereduekin entsaiatuz.

KONBEKZIO BEHARTUA

8080


1.kasua: Tutueria baten barnekaldeko konbekzioa, jarioa zurrunbilotsua denean.

Dittus-Boelter Nu = 0,023 Re 0,8 Pr n

D.B. aplikatzeko baldintzak:

- Re >2100 (zurrunbilotsua)

- parametro adimentsionalak jariakinaren batazbesteko

tenperaturan

ZENBAIT KORRELAZIO ESPERIMENTAL

n=3 hoztutzen bada

n= 4 berotzen bada

cc

= D

= 4A/Pbustita

8181


2.kasua: Gainazal lau batean zeharreko konbekzio behartua.

= L

Re > 5·104 5·105 Nu = 0,036 ReL0,8 Pr 1/3

Re < 5·104 5·105 Fluxu laminarra NuL = 0,664 ReL 1/2 Pr 1/3 L xkr

L xkr

Parametroak pelikula--batazbesteko tenperaturan neurtuak:

Nu = 0,036 Pr 1/3 (ReL0,8 -23.200) L xkr

m = ( p + f ) / 2L

xkr

Fluxu zurrunbilotsua

Fluxu mistoa

8282


3.kasua: Zilindro baten kanpokaldeko gainazalarekiko korronte gurutzatu baten konbekzio behartua.

= D

Churchill-Bernstein

Nu = 0,3+ [(0,62 Re1/2Pr 1/3)/ [1+(0,4/Pr)2/31/4 · [1+(Re/282.000)1/2

Parametroak pelikula--batazbesteko tenperaturan neurtuak:

4.kasua: Esfera baten kanpokaldeko gainazalarekiko korronte gurutzatu baten konbekzio behartua.

= D Whitaker

Nu = 2+(0,4Re1/2+0,06Re2/3)Pr0,4

c

8383


KONBEKZIO NATURALA

Gr = g32 / 2

Grashof zenbakia: Fluidoaren igotze indarren eta liskatasun indarren arteko erlazioa.

Gas idealetan : = 1/T

Grashof zenbakia handiagoa den neurrian, handiagoa izango da jariakinaren mugimendu librea

θ

x

cparetapareta

Liskatasun indarrakLiskatasun indarrak

Flotazio-indarrakFlotazio-indarrak

Nu = f ( Gr, Pr )Rayleigh-en zenbakia: Ra = Gr · Pr

8484


Gr·Pr > 108 jario zurrunbilotsua

1.kasua: Zilindro horizontal baten kanpokaldeko gainazalarekiko konbekzio naturala.

= D

104< Gr <109 h = 1,32 [ (-f) / D ]1/4

109< Gr <1012 h = 1,25 (-f)1/3

= gainazal tenperaturaf = jariakinaren tenperatura

2.kasua: Plaka bertikal baten gainazalarekiko konbekzio naturala.

= L

104< Gr <109 h = 1,42 [ (-f) / L ]1/4

109< Gr <1012 h = 1,31 (-f)1/3

egilea:iñaki gómez arriaran 1 bero-transmisio mekanismoak

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