efie and mfie

IntroductionMetode IE-MEI

ResultatsConclusions i lınies de futur

Publicacions

Analysis of dielectric and plasmonic homogeneousmaterials with the IE-MEI method

Final Thesis

Gerard Planes Conangla

ETSETB, Universitat Politecnica de [email protected]

4th September 2015

Gerard Planes Conangla IE-MEI - plasmonica



Publicacions

Contents

1 IntroductionScattering problemsMaterials plasmonicsMetodes numerics en electromagnetisme

2 Metode IE-MEIMetode MEIIE-MEIIE-MEI per a dielectrics plasmonics i aportacions

3 Resultats

4 Conclusions i lınies de futurConclusionsFutur

5 Publicacions




Publicacions

Scattering problemsMaterials plasmonicsMetodes numerics en electromagnetisme

Introduction: scattering

Scattering is a process where electromagnetic radiation is forcedto deviate from a straight trajectory due to non-uniformities in themedium through which it passes.




Publicacions


Introduction 2: scattering

Scattering problems are modelled with Maxwell’s equations,forming a system of PDEs. Based on the penetration of the fieldsin the scatterer, we can distinguish between

1 Metals

2 Dielectrics




Publicacions


Introduction 3: scattering

Permittivity

We can classify the materials according to its relative permittivity

εr (ω) =ε(ω)

ε0= ε′r (ω) + ε′′r (ω)j

The relative permittivity depends on the frequency, so theresponse of the materials changes with the wavelength.

Real part: affects the wave velocity.

Imaginary part: affects the losses.




Publicacions


Introduccio 4: materials plasmonics

Materials plasmonics

Plasmonic materials are metals with relative permittivityexhibiting negative imaginary and real parts (at some wavelengths,usually around the visible). Plasmonic materials exhibit plasmonicresonances and are able to concentrate fields in very small spaces.




Publicacions


Introduction 5: plasmonic materials

Some possible applications

Sensors

Solar cells

Optoelectronics andcircuit integration

Lab-on-a-chip




Publicacions


Introduccio 6: metodes numerics

Les manipulacions algebraiques i simboliques a partir de lesequacions originals no son suficients a la practica: la majoria deproblemes amb geometries no canoniques no tenen solucioanalıtica. Els metodes numerics son un mitja per a obtenirsolucions

Particulars a problemes especıfics

Aproximades, amb precisio adaptable segons necessitats

Son una eina fonamental en matematica aplicada, fısica ienginyeries.




Publicacions


Introduccio 7: metodes numerics

Metodes de diferencies finites i integrals

Els metodes de diferencies finites (FD) necessiten una mallade volum (tancada per una condicio de contorn) i donen lloc asistemes lineals dispersos.

Els metodes integrals (IE) necessiten una malla de contorn idonen lloc a sistemes lineals densos. El principal exponentn’es el metode dels moments (MoM).




Publicacions

Metode MEIIE-MEIIE-MEI per a dielectrics plasmonics i aportacions

Metode IE-MEI: MEI

The Measured Equation of Invariance (MEI)

El metode MEI es un metode diferencial proposat pel Prof. Mei,R. Pous et al. el 1992-94 com una condicio de truncament demalla propera a l’scatterer:

Malla de 3 elements de gruix (gairebe una malla de contorn).

Coeficients de truncacio calculats numericament.

Coeficients adaptats a la geometria del contorn.




Publicacions


Metode IE-MEI 2: IE-MEI classic

El metode IE-MEI

El metode Integral-Equation MEI (IE-MEI) va ser proposatper J.M. Rius et al. el 1996 per a obtenir un sistema linealdispers per una malla de contorn de metode integral, usant laidea del metode MEI de coeficients que relacionen ~E s

t i ~Hst , al

contorn de l’objecte dispersor.

El 1997 el metode es va reformular com a CFIE, on funcionsde test calculades numericament son aplicades a l’EFIE iMFIE per tal de cancel·lar la matriu d’impedancia combinada.

En l’actualitat no s’utilitza.




Publicacions


Metode IE-MEI 3: IE-MEI classic

IE-MEI: pros

1 Permet extrapolacio en frequencia

2 Coeficients del sistema lineal calculats amb FFT en 2D.

3 Molt eficient per a conductors perfectes: matriu 3-diagonal,memoria O (N)

IE-MEI: contres

1 Nomes aplicable a geometries convexes.

2 Extrapolacio en freq. difıcil en 3D.

3 Sistemes en 3D no gaire disperses i amb gran error.

4 Problemes amb objectes dielectrics.




Publicacions


Metode IE-MEI 4: discretitzacio EFIE i MFIE amb MoM

Camps dispersats:

[E s ] =[ZE]

[J]

[Hs ] =[ZH]

[J]

Condicions de contorn:[E i]

+ [E s ] = 0[H i]

+ [Hs ] = [J]

EFIE:

−[E i]

=[ZE]

[J]

MFIE:

−[H i]

=([

ZH]− [D]

)[J]




Publicacions


Metode IE-MEI 5: funcions de test

Canvi de funcions de test

Les funcions de test es poden modificar amb multiplicacio perl’esquerra per una matriu [A]:

[A][E i]

=∑m

anm⟨~wm, ~E

i⟩

=

⟨∑m

anm~wm, ~Ei

⟩Les noves funcions seran: ∑

m

anm~wm




Publicacions


Metode IE-MEI 6: IE-MEI com a CFIE

Multipliquem totes dues equacions per [A] i [B]

− [A][E i]

= [A][ZE]

[J]

− [B][H i]

=([B][ZH]− [B] [D]

)[J]

on [A] i [B] son matrius de banda diagonal.




Publicacions



Multipliquem totes dues equacions per [A] i [B]

− [A][E i]

= [A][ZE]

[J]

− [B][H i]

=([B][ZH]− [B] [D]

)[J]

on [A] i [B] son matrius de banda diagonal.

Les sumem i obtenim una CFIE (combined field integral equation)

− [A][E i]− [B]

[H i]

=([A][ZE]

+ [B][ZH]− [B] [D]

)[J]

CFIE:[ZC]

= [A][ZE]

+ [B][ZH]

− [A][E i]− [B]

[H i]

= (

FULL︷︸︸︷[ZC]−

SPARSE︷︸︸︷[B] [D]) [J]




Publicacions



IE-MEI

− [A][E i]− [B]

[H i]

= (

FULL︷︸︸︷[ZC]−

SPARSE︷︸︸︷[B] [D]) [J][

ZC]

= [A][ZE]

+ [B][ZH]

Els coeficients de les noves funcions de test [A] i [B] son calculadesnumericament per tal d’obtenir

[ZC]

[J] ' 0:

− [A][E i]− [B]

[H i]

= −SPARSE︷︸︸︷[B] [D] [J]

Dispersa

Matriu obtinguda dispersa [B][D]




Publicacions


Metode IE-MEI 9: dielectrics

IE-MEI per a dielectrics 2D

En aquest treball s’ha repetit un procediment similar per aobjectes dispersors dielectrics homogenis 2D. El sistemad’equacions discretitzades per obtingut d’aquesta manera es:

EFIE:

(Ei

0

)=

(ZEJ

1 ZEM1 + I

ZEJ2 ZEM

2

)(JM

)

MFIE:

(Hi

0

)=

(ZHJ

1 ZHM1 + I

ZHJ2 ZHM

2

)(JM

)




Publicacions


Metode IE-MEI 10: dielectrics


Multiplicant la primera equacio per una matriu [A] i la segona peruna matriu [B] obtenim

[Z ] = [A][ZE ] + [B][ZH ] ' 0

Hem de trobar [A] i [B] per tal que la matriu d’impedanciaobtinguda sigui tan diagonal com sigui possible, per a reduirmemoria i temps de calcul.

Problema

[A][EFIE ] + [B][MFIE ] condueix a sistemes mal condicionats pera calcular els coeficients amn, bmn




Publicacions


Metode IE-MEI 11: aportacions


Si en comptes prenem matrius N × N s’obte

EFIE: ~M = −[Zem2]−1[Zej2]~J

~Ei =([Zej1]− ([Zem1] + I )[Zem2]−1[Zej2]

)~J

MFIE: ~J = −[Zhj1]−1[Zhm1] ~M

~Hi =([Zhm2]− ([Zhj2]− I )[Zhj1]−1[Zhm1]

)~M




Publicacions




Per a materials plasmonics, les matrius [Zhj1] i [Zem2] son quasidiagonals i per tant la seva inversio es trivial. Aixı, el sistema queda

[A]~Ei + [B]~Hi = ([A][ZE ] + [B][ZH ])~J = [Z ]~J

Millora del numero de condicio

Amb aquesta formulacio els numeros de condicio i resultats sonconsiderablement millors que abans.




Publicacions



Perfil de la matriu

Les matrius [A] i [B] usadesson de tipus banda diagonalcirculant;[Z ] = ([A][ZE ] + [B][ZH ])tambe, per imposicio. Perono es necessari forcar zerosa tots els elements fora dela diagonal.




Publicacions



Distribucio de zeros

En l’IE-MEI aplicat a conductors perfectes s’havia provat de forcarzeros nomes al voltant de la diagonal; la resta d’elements,unicament pel fet de ser propers als zeros, disminuıen demagnitud fins a ser quasi negligibles. En l’IE-MEI per a dielectricss’ha experimentat distribuint els zeros en funcio de la geometria, ino unicament al costat de les bandes.

Disminucio de l’error

Per a un numero de zeros forcats fix, una distribucio de zeros quetingui en compte la geometria permet reduir considerablementl’error




Publicacions



Distribucio de zeros per a geometria circular i el·lıptica




Publicacions

Resultats: sparsificacio de matrius

Cilindre 2D

Incidencia normalpolaritzacio TMkr = 80, N = 2400ε = −5.84 − 2.11j(or λ0 = 546nm)

IE-MEI

36 no-zeros in [A], [B]28 no-zeros a [ZC ]

36 no-zeros usats a [ZC ]1.5% dispersio de [ZC ]

Resultat: 0.2% errorquadratic

en [J] vs. MoM




Publicacions

ConclusionsFutur

Conclusions

Aportacions del PFC

L’IE-MEI ha estat aplicat a dispersors plasmonics homogenis 2D

En les matrius [A] i [B] del metode IE-MEI, l’augment del numerod’elements de discretitzacio resulta en un gran increment delnumero de condicio del sistema.

Tot i aixo, els problemes en formulacio N ×N (introduıda al treball)proporcionen millors resultats que en formulacio 2N × 2N. Elsegon s’ha abandonat en favor del primer.

La distribucio de zeros te un efecte molt important en l’error. Unadistribucio intel·ligent permet reduir l’error i el temps de calculper la disminucio d’incognites, fins a dispersions de l’ordre de 2-5%en la matriu a invertir.




Publicacions

ConclusionsFutur

Lınies de futur

Futur

Reduccio dels numeros de condicio o us d’una tecnicadiferent de minimitzacio, com L1 i famılia.

Implementacio d’un numero de zeros variable per fila.

Exportacio del IE-MEI a objectes plasmonics 3D amb elszeros imposats distribuıts.




Publicacions

ConclusionsFutur

Lınies de futur

Futur

Combinacio del IE-MEI amb fast solvers com el MLFMM, en elcamp proper.




Publicacions

Publicacions

Publicacions

Els resultats del treball s’han presentat a:

1 “Integral Equation MEI (IE-MEI) analysis of homogeneus dielectric andplasmonic media in 2D”, Juan M. Rius, G. Planes, E. Ubeda and A.Heldring, IX Iberian Meeting on Computational Electromagnetics(EIEC2015), Baeza, Spain, 6-8 May 2015.

2 “Efficient analysis of homogeneous dielectric and plasmonic media withintegral equation MEI (IE-MEI)”, Juan M. Rius, G. Planes, E. Ubeda andA. Heldring, International Conference on Electromagnetics in AdvancedApplications (ICEAA 2015), Torino, Italia, Setembre 7-11, 2015.

3 “Sparsification of the MLFMA near field matrix with IE-MEI for high-lossdielectric objects”, article en preparacio per a IEEE Trans. on Antennasand Propag.




Publicacions

Moltes gracies


efie and mfie

Documents

mei plasmo

nicsmaterials plasmo

ctrics plasmo

todes nume

chipgerard planes conangla

rics en electromagnetisme2

tode meiiemeiie

nicsplasmonic materials