efeito allee

EFEITO ALLEE

IFT – UNESP Curso de Métodos Matemáticos em Biologia de Populações

18 a 24 de fevereiro de 2008

Aline AlvarengaTaiana Brito

Humberto SannaAdriane Schelin

Alexandre Soares

1. DEFINIÇÃO

2. EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO 3. EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA

EFEITO ALLEE

APRESENTAÇÃO EFEITO ALLEE

DEFINIÇÃOEFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE

DEFINIÇÃO

WARDER CLYDE ALLE (1885–1955)

EFEITO ALLEE

Relação positiva entre qualquer componente de aptidão individual e o número ou densidade de indivíduos.

DEFINIÇÃOEFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE

DEFINIÇÃO EFEITO ALLEE

EFEITO ALLEE EM UMAPOPULAÇÃO

EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE

EFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE

MODELAGEM

• EQUAÇÃO LOGÍSTICA:

EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO



• PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja Nc = número crítico de indivíduos da população N* = número de indivíduos na saturação

1. para N < Nc

MODELAGEM





1. para N < Nc

MODELAGEM


EXTINÇÃO




1. para N < Nc

MODELAGEM


EXTINÇÃO

2. para Nc < N < N*




1. para N < Nc

MODELAGEM


EXTINÇÃO

2. para Nc < N < N* CRESCIMENTO




1. para N < Nc

MODELAGEM


EXTINÇÃO


3. para N > N*




1. para N < Nc

MODELAGEM


EXTINÇÃO


3. para N > N* DECRESCIMENTO


MODELAGEM

EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO• FUNÇÃO F(N):

• NOVA EQUAÇÃO PARA POPULAÇÃO:

• ADIMENSIONALISANDO...

MODELAGEM



MODELAGEM

EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO• GRÁFICO:

ANÁLISE QUALITATIVA



MODELAGEM

EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO• PONTOS FIXOS ( ESTÁVEIS E INSTÁVEIS)

MODELAGEM

EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃOMODELAGEM




MODELAGEM

EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃOANÁLISE QUALITATIVA



MODELAGEM

EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO• VALORES DE α E β ONDE É VÁLIDO EFEITO ALLEE:

MODELAGEM

EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃOEFEITO EFEITO ALLEEEFEITO ALLEE

MODELAGEM




MODELAGEM

EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO• VARIANDO β E MANTENDO α FIXO:


MODELAGEM




MODELAGEM

EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO • VARIANDO α E MANTENDO β FIXO:


MODELAGEM




MODELAGEM


A variação de α afeta a ocorrência do efeito Allee. Para valores de α < 1, não ocorre o efeito.

α VARIANDO β VARIANDO


MODELAGEM




MODELAGEM

EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO• EXEMPLOS COM DIFERENTES CONDIÇÕES INICIAIS:


MODELAGEM

EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃOSIMULAÇÃO


EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X

PRESA



CASOS:

- SIMPLES

- SIMPLES COM SAZONALIDADE

- SIMPLES RANDÔMICO

- COM SATURAÇÃO DO PREDADOR

- COM SATURAÇÃO DA PRESA

EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA

SIMPLES




MODELAGEM

• EQUAÇÃO LOTKA-VOLTERRA :

Seja: P - Presa V - Predador



MODELAGEM

EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA

• NOVO SISTEMA PARA PREDADOR X PRESA:

• ADIMENSIONALISANDO...

α, β e γ : novas constantes

PresaPredador


SIMPLES


MODELAGEM


MODELAGEM


• PONTOS FIXOS ( ESTÁVEIS E INSTÁVEIS)

- 0, 0Log

, 0

, 12 -

-

λ1 = 1 – α , λ2 = - γ

Re λ > 0


SIMPLES




MODELAGEM

EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA• PONTOS FIXOS ( ESTÁVEIS E INSTÁVEIS)

α = 0γ = 10

α = 10β = 0.1γ = 10

α = 0.1β = 0.1γ = 10

α = 10β = 1γ = 10

MODELAGEM

EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESASIMPLES




MODELAGEM

EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA•

MODELAGEM



SIMULAÇÃO


MODELAGEM


MODELAGEM




SIMPLES RANDÔMICO





• SISTEMA PREDADOR-PRESA COM EFEITO ALLEE

• COM EFEITO ALLEE RANDÔMICO

PresaPredador

MODELAGEM

α=α0 X, com X entre 0 e 1



MODELAGEMSIMULAÇÃO

SIMPLES COM SAZONALIDADE






• COM EFEITO ALLEE SAZONAL

PresaPredador

MODELAGEM



MODELAGEMSIMULAÇÃO

COM SATURAÇÃO DO PREDADOR






• COM SATURAÇÃO DO PREDADOR

PresaPredador

MODELAGEM


MODELAGEM



SIMPLES


ANÁLISE QUALITATIVA• COM SATURAÇÃO DO PREDADOR

α = 10β = 1 γ = 10 δ = 5

COM SATURAÇÃO DA PRESA






• COM SATURAÇÃO DA PRESA

PresaPredador

MODELAGEM



• PONTOS FIXOS ENCONTRADOS ANALITICAMENTE:

MODELAGEM


( 0 , 0 )

( γ , 1-α e-βγ2-γδ )



MODELAGEM


α= 10β = 1γ = 10δ= 0.08

• CAMPO VETORIAL DO SISTEMA:



MODELAGEM

SIMULAÇÃO



MODELAGEM


CONCLUSÃO



CONCLUSÃO

• OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO;


CONCLUSÃO


• MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA;


CONCLUSÃO


• ENCONTRAMOS DUAS REGIÕES PARA O SISTEMA PRESA-PREDADOR SIMPLES: UMA COM DINÂMICA EM ESPIRAL E OUTRA DECAINDO DIRETAMENTE A ZERO;



CONCLUSÃO




• A VARIAÇÃO RANDÔMICA DO EFEITO ALLEE ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES;


CONCLUSÃO





• A VARIAÇÃO SAZONAL DO EFEITO ALLEE TAMBÉM ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES. QUANDO ESSA VARIAÇÃO ESTAVA EM FASE COM A DINÂMINCA DAS POPULAÇÕES, A POPULAÇÃO NÃO SE EXTINGUIU;


CONCLUSÃO


• ENCONTRAMOS UMA REGIÃO PARA O SISTEMA PRESA-PREDADOR SIMPLES COM UMA DINÂMICA EM ESPIRAL E OUTRA DECAINDO DIRETAMENTE A ZERO;


• COM UM TERMO DE SATURAÇÃO PARA AS PRESAS, NOTAMOS UMA REGIÃO ATRAÍDA PARA UM PONTO FIXO, E OUTRA PARA A EXTINÇÃO DE AMBAS AS ESPÉCIES;


• A VARIAÇÃO SAZONAL DO EFEITO ALLEE TAMBÉM ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES. QUANDO ESSA VARIAÇÃO ESTAVA EM FASE COM A DINÂMICA DAS POPULAÇÕES, A POPULAÇÃO NÃO SE EXTINGUIU;

efeito allee

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