een model van de synchrone machine met gelijkrichter ... · een model van de synchrone machine met...
TRANSCRIPT
Een model van de synchrone machine met gelijkrichter,geschikt voor regeldoeleindenHoeijmakers, M.J.; Vleeshouwers, J.M.
Gepubliceerd: 01/01/1989
Document VersionUitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the author's version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differencesbetween the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact theauthor for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.
Link to publication
General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.
• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal ?
Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediatelyand investigate your claim.
Download date: 10. Jul. 2018
";:: = - -~ - -~ -~ - -- ".
'" - ~ ~ ~-: - -- --: - ~ --
Een model van de synchrone machine met gelijkrichter, geschikt voor regeldoeleinden door M.J. Hoeijmakers en J.M. Vleeshouwers
EUT Report 89-E-215 ISBN 9O-6144-215-X
Maart 1989
ISSN 0167- 9708
Eindhoven University of Technology Research Reports
EINDHOVEN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Faculty of Electrical Engineering
Eindhoven The Netherlands
EEN MODEL VAN DE SYNCHRONE MACHINE
MET GELIJKRICHTER, GESCHIKT VOOR
REGELDOELEINDEN
door
M.J. Hoeijmakers
en
J.M. Vleeshouwers
EUT Report 89-E-215
ISBN 90-6144-215-X
Eindhoven
Maart 1989
Coden: TEUEDE
CIP-GEGEVEN5 KONINKLIJKE BIBLIOTHEEK, DEN HAAG
Hoeijrnakers, M.J.
Een model van de synchrone machine met gelijkrichter, geschikt voor regeldoeleinden / door M.J. Hoeijrnakers en J.M. Vleeshouwers. -Eindhoven: Eindhoven University of Technology, Faculty of Electrical Engineering. - Fig. - (EUT report, ISSN 0167-9708; 89-E-21S) Met lit. opg., reg. I5BN 90-6144-21S-X 5150 661.71 UDC 621.313.322:621.314.6 NUGI 832 Trefw.: synchrone machines; gelijkrichters.
- iii -
ABSTRACT
Starting with the derivation of the separate models of the
synchronous machine and the rectifier, a steady-state model and a
dynamic model are derived. The dynamic model is a global, rather
simple model, in which very fast phenomena, such as the ripple on
the direct current, are neglected.
For the estimation of the quadrature-axis machine parameters an
easy method has been developed. A similar method for the direct
axis parameters is not yet ready: it appears to be impossible,
using the well-known three-winding model, to estimate parameters
which satisfy both the transfer function from armature voltage to
armature current and the transfer function from armature voltage
to excitation current.
A comparison between measured and simulated results shows that
the (dynamic) model meets the requirement, except for the
phenomena in the excitation winding.
Hoeijmakers. M.J. and J.M. Vleeshouwers A MODEL OF THE SYNCHRONOUS MACHINE WITH RECTIFIER. ESPECIALLY FOR CONTROL PURPOSES. In Dutch. Faculty of Electrical Engineering. Eindhoven University of Technology, The Netherlands. 1989. EUT Report 89-E-215
Address of the authors:
Dr.ir. M.J. Hoeijmakers and ir. J.M. Vleeshouwers. Electromechanics and Power Electronics~ Faculty of Electrical Engineering. Eindhoven University of Technology, P.O. Box 513. 5600 MB EINDHOVEN. The Netherlands
- iv -
SAMENVATTING
Dit verslag beschrijft de hoofdlijn van het voornamelijk door
NOVEM (voorheen PEO) gefinancierde project "Ret dynamische gedrag
van de synchrone machine met ge1ijkrichter". Het project behe1sde
het ontwikkelen en experimenteel verifieren van een model van de
synchrone machine met a1 dan niet stuurbare gelijkrichter dat
geschikt is voor opname in een geintegreerd model van een wind
turbine.
Uitgaande van de afleiding van de model1en van de synchrone ma
chine en de gelijkrichter afzonderlijk wordt eerst een stationair
en vervolgens een dynamisch model voor de comb ina tie van deze
twee componenten afgeleid. Dit dynamische model is een globaal,
betrekkelijk eenvoudig model, waarin zeer snel1e verschijnselen
zoals de rimpel op de gelijkstroom buiten beschouwing gelaten
worden. De resterende informatie-inhoud is voor regeldoe1einden
echter voldoende en door de beperkte rekentijd is het model
geschikt voor opname in het complete model van een windturbine,
inclusief het mechanische systeem.
Voor de bepa1ing van de parameters van de dwarsas (q-as) van de
machine is een eenvoudig toe te passen methode ontwikkeld. De
ontwikkeling van een dergelijke methode voor de langsas is echter
nog niet afgerond: het b1eek niet mogelijk te zijn om met behu1p
van het meesta1 gebruikte driewikke1ingsmode1 de parameters
zodanig te kiezen dat zowel de overdracht van statorspanning naar
statorstroom als de overdracht van statorspanning naar bekrachti
gingsstroom goed berekend kan worden. Ret een en ander vereist
nag nader onderzoek.
Uit een verge1ijking van gemeten en gesimuleerde resultaten
blijkt dat het model, op de verschijnselen in de bekrachtigings
wikke1ing na, goed vo1doet.
Hoeijmakers, M.J. en J.M. Vleeshouwers Een model van de synchrone machine met gelijkrichter, geschikt voor regeldoeleinden. Faculteit Elektrotechniek, Technische Universiteit Eindhoven, 1989. EDT Report 89-E-215
Adres van de auteurs:
Dr.ir. M.J. Hoeijmakers en ir. J.M. Vleeshouwers, Vakgroep Elektromechanica en Vermogenselektronica, Faculteit Elektrotechniek, Technische Universiteit Eindhoven, Postbus 513, 5600 MB EINDHOVEN
- v -
INHOUD
1 INLEIDING
2 DE SYNCHRONE MACHINE
2.1 In1eiding
2.2 Afleiding van de verge1ijkingen
2.3 Machines met een poolpaartal groter dan een 2.4 De basisverge1ijkingen
2.5 Vervangingsschema's voor de q-as
2.6 Vervangingsschema's voor de d-as
2.7 De statorstromen en de rotorfluxen a1s
toestandsvariabelen
2.8 Een machinemode1 voor de combinatie synchrone
machine met ge1ijkrichter
3 DE DRIEFASENBRUGGELIJKRICHTER
3.1 In1eiding
3.2 Het stationaire model
3.3 Het dynamische model
3.4 De verge1ijkingen van de ge1ijkstroomtussentrap
4 HET STATIONAIRE MODEL VAN EEN SYNCHRONE MACHINE MET
GELIJKRICHTER
4.1 De koppe1ing van het model van de synchrone machine
met het model van de ge1ijkrichter
4.2 De verge1ijkingen
4.3 Een op1ossingsmethode
5 HET DYNAMISCHE MODEL VAN EEN SYNCHRONE MACHINE MET
GELIJKRICHTER
5.1 In1eiding
5.2 De verge1ijkingen
1
6
6
8
19
20
22
26
32
36
39
39
42
49
50
52
52
55
57
59
59
59
- vi -
6 DE PARAMETERBEPALING
6.1 Achtergronden en keuze van de bepa1ingsmethode
6.2 De meetopste11ing
6.3 De bepa1ing van de par ame'ters voor de q-as
6.4 De bepaling van de parameters voor de d~as
6.5 De parameters voor de modelverificatie
7 DE MODELVERIFICATIE
7 .. 1 In1eiding
7.2 Excitatie in het ge1ijkstroomcircuit
7.3 Excitatie aan de mechanische zijde
7.4 Excitatie in het bekrachtigingscircuit
7.5 Conclusie
8 CONLUSIES EN AANBEVELINGEN
LITERATUUR
BIJLAGE 1 EEN SUBROUTINE VOOR DE BEREKENING VAN DE
STATIONAIRE TOESTAND
62
62
67
69
77
77
78
78
79
84
88
88
92
94
97
BIJLAGE 2 EEN ACSL-PROGRAMMA ALS VOORBEELD 99
BIJLAGE 3 HET ACSL-PROGRAMMA VOOR DE MODELVERIFICATIE 103
1
1 INLEIDING
De synchrone machine met gelijkrichter voor wind turbines
Bij wind turbines kan men de systemen die zorgen voor de omzetting
van mechanische energie (roterende as) in e1ektrische energie
onderverde1en in systemen met een (vrijwe1) constant toerenta1 en
systemen met een variabel toerental.
In het algemeen zal een variabel-toerentalsysteem complexer en
duurder zijn dan een systeem met een constant toerental. Daar
staan echter be1angrijke voorde1en van het variabe1-toerenta1-
systeem tegenover:
de windturbine kan optimaa1 belast worden;
koppe1stoten (in het bijzonder die ten gevo1ge van verstoringen
op het e1ektriciteitsnet) in de mechanische overbrenging kunnen
door een goede koppe1rege1ing beperkt worden (goedkopere en
lichtere transmissie en tach een lange levensduur);
er is een buffering van kinetische energie in de rotor moge-
1ijk, waardoor korte-termijnf1uctuaties (ten gevo1ge van wind
sne1heidsvariaties) in het askoppe1 en in het e1ektrische
vermogen worden gereduceerd [Son 87] .
A1s men eenmaa1 voor een variabel toe rental heeft gekozen, kan
men nog kiezen uit een groot aanta1 systemen [Soh 86]. Bij de
vakgroep ~lektromechanica en yermogense1ektronica (EMV) van de
Technische Universiteit Eindhoven is reeds in een vroeg stadium
de keuze geva11en op een synchrone machine met ge1ijkstroomtus
sentrap [Koe 79]. Dit e1ektromechanische conversiesysteem is een
cascadeschakeling van een synchrone machine, een gelijkrichter,
een smoorspoel en een wisselrichter, zoals in figuur 1.1 is
aangegeven.
~JII Figuur 1.1 De synchrone machine met ge1ijkstroomtussentrap in
een windenergie-conversiesysteem
2
Een belangrijk voordeel van dit systeem ten opzichte van andere
systemen met een variabel toe rental is dat het een zeer hoog
rendement heeft. Voorts worden synchrone machines normaal gespro
ken borstelloos uitgevoerd, dat wil zeggen dat er geen sleep
ringen (of commutator) en borstels zijn. Omdat borstel-sleepring
combinaties relatief veel onderhoud vragen en het functioneren
ervan sterk afhankelijk is van atmosferische omstandigheden, is
dit een belangrijk gegeven voor de keuze van een variabel-toeren
talsysteem voor windturbines.
Het stationaire gedrag
De eerste plannen voar een systeem met een synchrone machine
(30 kVA) met gelijkrichter waren nog gebaseerd op een vrij een
VQudig, stationair model van de synchrone machine, waarin bij
voorbeeld de verliezen werden verwaarloosd. Uit een vergelijking
van de via dit eenvoudige model berekende karakteristieken met de
karakteristieken die in 1982 gemeten zijn aan een systeem in het
laboratorium, bleek dat dit model voor dit (kleine) systeem rede
lijk voldoet [Bon 82]. Uit de beproeving van hetzelfde systeem in
een windturbine op het testveld van het ECN bleek voorts dat het
conversiesysteem bij veranderingen van de windsnelheid de statio
naire karakteristiek bleef volgen: de elektrische overgangsver
schijnselen verlopen blijkbaar relatief snel ten opzichte van de
mechanische.
Hieruit kon de conclusie getrokken worden dat voor dit kleine
systeem het eenvoudige, stationaire model gebruikt mocht worden.
Verder bleek uit de experimenten op het testveld dat het systeem
aan de verwachtingen voldeed.
Later werd een uitgebreidere berekeningsmethode voor het statio
naire gedrag van de synchrone machine met gelijkrichter ontwik
keld [Hoe 84a]. Hiermee is het mogelijk om bijvoorbeeld stroom
en spanningsvormen in detail te berekenen. Ais deze eenmaal be
kend zijn, kunnen de extra verliezen die optreden bij de belas
ting van een synchrone machine met een gelijkrichter nader be
paald worden. Uit dit soort verliesbepalingen is gebleken dat bij
een goede keuze van de machine en een lichte overdimensionering
daarvan (10 %) de extra verliezen geen problemen behoeven op te
leveren.
3
De eerste problemen
In 1982 was al gebleken dat de beschouwing van alleen het statio
naire gedrag van het systeem onvoldoende was. Bij laboratorium
proeven was namelijk ontdekt dat het systeem soms instabiel werd:
het begon spontaan te oscilleren. Hoewel dit verschijnsel in
eerste instantie niet begrepen werd, werd er toch een oplossing
voor gevonden: door de bekrachtigingswikkeling uit een stroom- in
plaats van uit een spanningsbron te voeden verdween het ins tab ie
le gedrag. Het vermoeden bestond dat dit samenhing met het feit
dat hiermee de orde van het systeem met een werd verlaagd.
Bij literatuuronderzoek werd ontdekt dat het verschijnsel al wel
bekend was en dat Auinger en Nagel geprobeerd hadden het te ver
klaren [Aui 80]. In een later stadium heeft ook Ernst over deze
problemen geschreven [Ern 84].
Een synchrone machine zonder demperwikkelingen
De gevonden oplossing (stroom- in plaats van spanningsbronbe
krachtiging) kan om praktische redenen alleen bij kleinere machi
nes toegepast worden. Dit betekende dat bijvoorbeeld voor het
SEP-windpark in Friesland een andere oplossing gevonden moest
worden. Omdat het verschijnsel nog steeds niet volledig begrepen
werd. was dit niet eenvoudig. Er werd toen het idee geopperd om
de synchrone machine zonder de gebruikelijke demperwikkelingen
uit te voeren. Hierdoor zou de commutatie in de gelijkrichter
langzamer worden en dat zou weer een gunstige invloed op de
stabiliteit hebben.
Omdat men bij dergelijke grote machines (300 kW) het gedrag niet
eenvoudig experimenteel kan bepalen. werd het nader onderzocht
door middel van simulatie. Daartoe werd van het systeem een net
werkmodel gemaakt dat vervolgens in een netwerksimulatieprogramma
werd gebruikt [Hoe 84b].
Uit de simulaties bleek dat de voeding van de bekrachtigingswik
keling van deze demperloze machine aan praktisch niet realiseer
baar hoge eisen zou moeten voldoen. Hede in verband met de tijds
druk is toen voor het SEP-windpark een (iets duurdere) thyristor
in plaats van een diodegelijkrichter gekozen. waardoor het sys
teem beter beheersbaar is. Achteraf bezien lijkt dit een zeer
goede keuze.
4
Een eenvoudig model
De ontwikkelingen op het gebied van de demperloze machine hebben
geen wezenlijke bijdrage geleverd aan het begrip van - en daarmee
misschien een oplossing voor - de instabiliteiten. Om het sys
teemgedrag verder te kunnen verklaren werd het onderzoek in
eerste instantie gericht op het vinden van een geschikt model van
de synchrone machine met diodebruggelijkrichter. Dit model zou
tevens geschikt moe ten zijn voor het gebruik in een gelntegreerd
model van een complete windturbine voor onderzoek van het
systeem- (regel)gedrag van een turbine. Dit laatste is zeker van
belang als er een thyristor- in plaats van een diodegelijkrichter
wardt toegepast.
Voor de toepassing in een gelntegreerd model zijn netwerkmodellen
in het algemeen niet geschikt omdat simulaties ermee zeer tijd
rovend zijn en omdat zij niet direct geschikt zijn voor het ont
werpen van regelingen. Dit heeft geleid tot het opzetten van het
grotendeels via NOVEM (voorheen PEO) gefinancierde project "Het
dynamische gedrag van de synchrone machine met gelijkrichter",
waarbinnen het ontwikkelen en verifieren van een eenvoudig model
van de synchrone machine met gelijkrichter centraal staat. Dit
verslag geeft de afleiding van dit model en beschrijft tevens de
experimentele verificatie ervan.
Een gedetailleerd model
Bij het zoeken naar een eenvoudig model heeft de ontwikkeling van
een nieuw vervangingsschema van de synchrone machine een zeer
grote rol gespeeld. Met dit schema kan eenvoudig een netwerkmodel
van de synchrone machine (met dempers) met gelijkrichter gemaakt
worden dat geschikt is voor gedetailleerde simulaties met behulp
van een netwerksimulatieprogramma [Hoe 86]. Hierbij kan men bij
voorbeeld ook de toestanden in de gelijkrichter onderzoeken, wat
van belang is in geval van storingssituaties. Dit netwerkmodel
kan bovendien, in tegenstelling tot het eenvoudige model, ge
bruikt worden voor de berekening van zeer snelie overgangsver
schijnselen (enige milliseconden).
Voorts is dit netwerkmodel voor het geval dat een diodebrugge
lijkrichter wardt toegepast, gebruikt voor een eerste verificatie
van het in dit verslag beschreven eenvoudige model [Hoe 87a]. De
5
overeenkomst tussen de berekeningsresultaten met het gedetail
leerde netwerkmodel en die met het globale, eenvoudige model
bleek, op de zeer snelle verschijnselen (zoals de rimpel op de
gelijkstroom) na, goed te zijn.
Indeling van het verslag
In de hoofdstukken 2 en 3 van dit verslag worden de synchrone
machine en de gelijkrichter als afzonderlijke systeemcomponenten
behandeld. Vervolgens wordt in hoofdstuk 4 voor de stationaire
toestand uitgelegd hoe deze componenten in een model verenigd
kunnen worden. Dit wordt als basis gebruikt voor het in hoofdstuk
5 gegeven model dat ook voor dynamisch bedrijf geschikt is. In
hoofdstuk 6 wordt nader ingegaan op de bepaling van de parameters
van de synchrone machine, die vervolgens in hoofdstuk 7 worden
gebruikt bij de modelverificatie. Het verslag wordt afgesloten
met de conclusies uit het onderzoek en een aantal aanbevelingen.
Overige publikaties
Dit verslag beschrijft de hoofdlijn van het onderzoek "Het dyna
mische gedrag van de synchrone machine met gelijkrichter". Via
literatuurverwijzingen is in deze inleiding reeds de aandacht
gevestigd op een aantal zijsporen die al eerder beschreven zijn.
Een aantal publikaties, in het bijzonder die welke het eenvoudige
model gebruiken, zijn echter nog niet eerder vermeld: [Hoe 87b],
[Hoe 88a], [Hoe 88b], [Vie 87] en [Vie 88].
6
2 DE SYNCHRONE MACHINE
2.1 In1eiding
In dit hoofdstuk wordt een beschrijving van de synchrone machine
gegeven, waarbij er in eerste instantie uitgegaan wordt van een
tweepo1ige machine zoa1s geschetst is in figuur 1.1. In deze
figuur zijn reeds enke1e grootheden gedefinieerd.
Uc
+ I
I
q
d
-~---- Ua+
Figuur 2.1 Schematische doorsnede van de synchrone machine
Bij de beschrijving wordt gebruik gemaakt van de vo1gende
veronderste11ingen:
De binnenzijde van de stator is cirke1ci1indrisch; de borings
diameter is 2r en de kern1engte is 1.
De statorbinnenzijde is glad: gleufeffecten worden verwaar
loosd.
7
Hysteresis, wervelstromen (en skin-effect) en verzadigings
verschijnselen worden verwaarloosd.
Tussen de referentierichtingen van stroam en flux hestaat
hetzelfde verband als tussen de draairichting en de voorwaartse
richting van een rechtse schroef.
Het magnetische circuit van de rotor is symmetrisch ten op
zichte van twee onderling loodrechte assen: de d-as en de q-as.
De bekrachtingswikkeling, waarvan de as op de d-as ligt, is de
enige wikkeling van de rotor die toegankelijk is. Daarnaast
ligt er nog een demperwikkeling op de d-as en een demperwikke
ling op de q-as.
De statorwikkelingen zijn sinusvormig verdeeld langs de stator
amtrek: deze verdelingen kunnen worden beschreven met: A
Z (a ) Z sin(a ) (2.la) a s s A
sin(a -?~) 1b(as ) Z (2.lb) s 3
A 4 Z (a ) Z sin(a --~) (2.lc) c s s 3
waarin Z het aantal geleiders per meter is, met Z als maximum.
In de paragrafen 2.2 en 2.3, die overgeslagen kunnen worden door
lezers die de theorie van de synchrone machine beheersen, worden
de basisvergelijkingen van de synchrone machine afgeleid. Deze
vergelijkingen worden in paragraaf 2.4 gegeven. In de daarop vol
gende twee paragrafen wordt dieper ingegegaan op de vervangings
schema's van de machine. De hierbij afgeleide vergelijkingen wor
den gebruikt bij het opstellen van een beschrijving van de machi
ne met de statorstromen en de rotorfluxen als toestandsvariabe-
len. Deze beschrijving is de basis voor het af te leiden model
van de synchrone machine met gelijkrichter. In paragraaf 2.8
worden voor deze beschrijving nog enige vereenvoudigingen aange-
geven.
Alhoewel in beschrijvingen van synchrone machines vaak het begrip
reactantie gebruikt wardt, wardt dat hier niet gedaan omdat een
reactantie verhonden is aan een vaste frequentie. Aangezien een
synchrone machine gebruikt in combinatie met een gelijkrichter in
het algemeen geen vaste frequentie heeft, wordt hier de voorkeur
gegeven aan de term inductantie.
8
2.2 Afleiding van de vergelilkingen
Inleiding
In deze paragraaf zullen we een afleiding geven van de algemene
vergelijkingen van de synchrone machine zoals die in paragraaf
2.1 is beschreven. Voor de afleiding van de spanningsvergelijkin
gen van een wikkeling moe ten we de weerstand van die wikkeling
weten en moeten we een uitdrukking voor de met die wikkeling
gekoppelde flux als functie van de stromen in alle wikkelingen en
van de positiehoek van de rotor l kennen (zie figuur 2.1). Deze
hoekafhankelijkheid, die de vergelijkingen zeer onoverzichtelijk
maakt, kunnen we vermijden door de Park-transformatie toe te
passen. Deze transformatie zullen we verduidelijken door de
magnetische inductie in de luchtspleet te beschouwen. Om deze te
kunnen bepalen zullen we uitgaan van geschikte uitdrukkingen voor
de statorstroombelegging. Hierbij zullen we gebruik maken van een
tweetal fictieve wikkelingen die met de rotor meedraaien: een op
de d- en een op de q-as.
Nadat de flux gekoppeld met een willekeurige, sinusvormig ver
deelde statorwikkeling ten gevolge van de luchtspleetinductie is
bepaald, zullen we de resultaten van deze uitdrukking gebruiken
bij de berekening van de flux gekoppeld met de eerder genoemde
fictieve wikkelingen. Hierbij worden een aantal inductiecoeffici
enten ingevoerd die we zullen gebruiken bij de berekening van de
met de stator- en met de rotorwikkelingen gekoppelde fluxen.
Vervolgens worden de zo afgeleide spanningsvergelijkingen met
behulp van de Park-transformatie op forme1e wijze omgezet in
eenvoudiger te hanteren vormen. Ten s10tte zu11en we in deze
paragraaf het aan de statorkant afgegeven vermogen, het elektro
mechanische koppel en de homopolaire componenten van de stator
spanning, -stroom en -flux beschouwen.
De statorstroombelegging
Met (2.1) kan men zien dat de drie statorstromen i a , ib en ic de
vo1gende drie stroombe1eggingen veroorzaken: A
A (a ,i ) i Z sin(a ) (2.2a) a s a a s
A
sin(a _?w) ~(as'~) ib Z (2.2b) s 3
A
sin(a -~w) A (a ,i ) i Z (2.2c) c s c c s 3
9
Ret totale effect van deze drie stroombeleggingen is hetzelfde
als dat van de superpositie van deze beleggingen:
A(a ,i ,ib,i ) - Z{i sin(a ) + 5 a cas
2 4 ibsin(as-3~) + icsin(as-3~») (2.3)
Om het magnetische veld in de luchtspleet als functie van de
statorstromen te bepalen, wordt gebruik gemaakt van de symmetrie
van de rotor. Daartoe wardt de superpositie van de stroombeleg
gingen volgens (2.3) geschreven als functie van de referentiehoek
a in plaats van a (zie figuur 2.1). Met r s
" as - a r + 7 - 2
wordt dit:
A(ar,ia,ib,ic ) - Z{iasin(ar + "/
+ ibsin(ar + "/
+ i sin(a +"/ C r
~(i sin(a -~2-)cos(7) a r
(2.4)
+ i cos (a -"2-)sin(7) + a r
+ ibSin(ar-~)COS(7-~~) + ibcos(ar-~)sin("/-~~) +
~ 4 ,,4 + icsin(ar-2)coS(7-3~) + iccos(ar-2)sin("/-3~»)
~sin(ar-~){iaCOS("/)+ibCOS("/-~~)+icCOS(7-~"») +
+ ~Sin(ar){iaSin("/)+ibsin(7-~")+icsin(7-~"») (2.5)
Blijkbaar kan de stroomverdeling A(ar,ia,ib,ic ) ook veroorzaakt
worden door de stromen
(2.6a)
en
(2.6b)
in, respectievelijk, een fictieve spoel op de d-as met wikkelver
de ling
J3" Zd(ar ) - J2Zsin(ar-~) (2.7a)
en een fictieve spoel op de q-as met wikkelverdeling
4" Z (a ) - 2Zsin(a) q r r (2.7b)
tezamen. De factor J2/J3 in (2.6) is ingevoerd om de later te ge
bruiken Park-transformatie orthogonaal te maken. De statorstroom
belegging kan nu beschreven worden met
10
A(a ,id,i ) - Ad(a ,id) + A (a ,i ) r q r q r q
A (a ,i ) q r q
Zd(ar)id
Z (a )i q r q
De magnetische inductie in de luchtspleet
(2.8a)
(2.8b)
(2.8c)
Hoewel we met het voorgaande de magnetische inductie in de lucht
spleet ten gevolge van de statorstromen niet in detail kunnen
bepalen, kunnen we er toch al wat over zeggen: de stroombelegging
Ad volgens (2.8b) zal dankzij de rotorsymmetrie een magnetische
inductie langs het statoroppervlak veroorzaken die spiegelsymme
trisch is ten opzichte van de d-as en die bovendien verschui
vingssymmetrie vertoont. Tevens is de magnetische inductie een
periodieke functie van a r met periode 2w. Om deze redenen kunnen
we deze functie beschrijven met behulp van een Fourierreeks met
aIleen oneven cosinustermen volgens:
w
Bd(ar,id) - ~ Bdn(id)cos{(2n+1)(ar-~)J n-O
(2.9)
Op soortgelijke wijze kunnen we ook de inductie ten gevolge van
de stroom in de (niet-sinusvormig verdeelde) bekrachtigings
wikkeling if:
(2.10)
en ten gevolge van de stroom in de (eveneens niet sinusvormig
verdeelde) demperwikkeling op de d-as ild
:
(2.11)
beschrijven.
De stroombelegging
statoromtrek die op
A (0 ,i ) q r q veroorzaakt een indue tie 1angs de
B (a ,i ) -q r q
tweeeriei wijze symmetrisch
~ B (i )cos{(2n+1)a J n-O qn q r
is:
(2.12)
Voor de magnetische inductie ten gevolge van de demperwikkeling
op de q-as kunnen we schrijven:
Bl (a ,i1 ) - ~ Bl (i l )cos{(2n+l)a J q r q n-O qn q r
(2.13)
Omdat het magnetische circuit lineair verondersteld is, kunnen we
voor de berekening van de totale magnetische indue tie 1angs de
statoromtrek het superpositiebeginsel toepassen:
Bq(ar,iq) + B1q(ar,i1q)
Met (2.9) tot en met (2.13) wordt dit
11
(2.14)
+ B (i ,i1 )}cos(2n+1)a )] (2.15a) nq q q r
waarbij
Bnd(id,if,ild) - Bdn(id) + Bfn(if ) + Bldn(ild) (2.l5b)
Bnq(iq,ilq) - Bqn(iq) + Blqn(ilq) (2.1Sc)
De flux gekoppeld met een willekeurige, sinusvormig verdeelde
statorwikkeling ten gevolge van de luchtspleetinductie
Vervolgens wordt de flux gekoppeld met een sinusvormige stator
wikke1ing met een nog willekeurige as (a -a ) ten gevolge van de r 0
luchtspleetinductie bepaald (zie figuur 2.2). Voor deze spoe1
wordt hetze1fde aanta1 wikke1ingen genomen a1s bij de fictieve d
en q-spoe1en vo1gens (2.7):
q
F1suur 2.2 ne bepallng ven de flux gekoppeld met een nog wl11ekeurlge statorwlkkellng
(2.16)
12
De flux gekoppeld met een winding waarvan de zijden op de
posities 0' en 20 -0' 1iggen (zie figuur 2.2) wordt gegeven door: r 0 r
0'
J ~(o )lroo r r
Op het stukje aangegeven met 00' op de r
9z'
posities 0' en 20 -0' 1iggen r 2Zsin(o'-0 )00' r 0 r r 0 r
winding en. De flux
gekoppe1d met dit dee1spoe1tje is dus
0'
r9z~Sin(O~-Oo) ( J ~(Or)lrOOr) oo~ 2a -0' o r
De flux gekoppeld met de gehele spoe1 is dan
'" -m a 20 -0'
o 0 r
00' r
(2.17)
De index m geeft hierbij aan dat de flux in verband staat met het
luchtspleet- of hoofdveld (main field) van de machine. Als we
(2.15) in (2.17) substitueren, voIgt
"'m - 9z r2~lW(Bld(id,if,ild)COS(Oo-~)+Blq(iq,i1q)COS(Oo») (2.18)
Blijkbaar speelt aIleen de grondharmonische van de verdeling van
de magnetische inductie in de luchtspleet een ro1 bij de bepaling
van de met een sinusvormig verdeelde wikkeling gekoppelde flux:
de sinusvormig verdee1de wikkeling functioneert als een filter.
Als ° -w/2, beschrijft (2.16) de fictieve spoel op de d-as o
volgens (2.7a). De met deze spoel gekoppelde flux ten gevolge van
de 1uchtspleetinductie is dus vol gens (2.18):
. J3 2' "'md(id,lf,ild) - 72 r ZlwBld(id,if,ild) (2.19a)
A1s 0 -0, beschrijft (2.16) de fictieve spoel op de q-as vo1gens o
(2.7b), zodat de met deze spoe1 gekoppelde flux ten gevolge van
de luchtspleetinductie met (2.18) beschreven kan worden als
J3 2' "'mq(iq ,i1q) - 72 r ZlwBlq(iq,ilq) (2.19b)
Met (2.19) kan (2.18) geschreven worden a1s
"'m - Wmd(id,if,i1d)cos(oo-~) + Wmq(iq,i1q)cos(oo) (2.20)
De spoelen op de d- en op de q-as
Tot nu toe hebben we steeds de luchtsp1eetinductie a1s functie
van de stromen beschouwd zonder nader in te gaan op deze functie
13
ze1f. Dit is voor de hier te geven af1eiding ook niet nodig. We
zullen verder namelijk niet meer naar de magnetische inductie,
maar naar de met de spoe1en gekoppe1de fluxen kijken.
Om een later gemakke1ijk toe te passen ste1se1 uitdrukkingen voor
de fluxen als functies van de stromen te vinden, beschouwen we de
fictieve wikkelingen op de d- en op de q-as vo1gens (2.7) en de
rotorwikke1ingen. Omdat de d- en de q-as onder1ing loodrecht op
e1kaar staan, zijn de wikke1ingen op de d-as niet gekoppe1d met
die op de q-as en kunnen de ste1se1s spoe1en op elk van de assen
afzonder1ijk bekeken worden.
Dankzij het feit dat het ijzer magnetisch 1ineair verondersteld
is, kunnen we voor de beschouwde spoe1en op de d-as schrijven:
~md Lmdid + Lafdi f + La1di1d (2.21a)
~f Lafdid + Lffdif + Lf1di1d (2.21b)
~ld La1did
+ Lf1d i f + Ll1di1d (2.21c)
Hiermee worden imp1iciet een aanta1 inductiecoefficienten gedefi
nieerd. De indices d, f en 1d hebben be trekking op, respectieve-
1ijk, de fictieve wikke1ing op de d-as vol gens (2.7a), de
bekrachtigingswikke1ing en de demperwikke1ing op de d-as.
Voor de spoelen op de q·as noteren we:
~mq - L i + L 1 i1 mq q a q q (2.22a)
~lq - La1qiq + L11qi1q (2.22b)
Hiermee worden weer impliciet een aantal inductiecoeffienten
gedefinieerd; de indices q en 1q hebben be trekking op, respectie
ve1ijk, de fictieve wikke1ing op de q-as vo1gens (2.7b) en de
demperwikke1ing op de q-as.
De flux gekoppeld met de statorfasewikkelingen ten gevolge van de
luchtspleetinductie
Met (2.21b), (2.21c) en (2.22b) hebben we via (2.6) uitdrukkingen
voor de f1uxen gekoppe1d met de rotorwikke1ingen a1s functies van
de machinestromen gevonden. Om de f1uxen gekoppe1d met de stator
wikke1ingen te vinden, beschouwen we eerst de bijdrage van de
luchtsp1eetinductie tot deze f1uxen.
De statorfasespoe1en hebben J2/J3-maa1 zoveel wikkelingen a1s de
hiervoor beschouwde spoe1 volgens (2.16). A1s we verder bedenken
dat de as van de spoel van statorfase a bij Q -w/2-~ ligt, dan r
kunnen we voor de met deze fasewikke1ing gekoppe1de flux ten
14
gev01ge van de luchtspleetinductie met (2.20) schrijven:
~ = 4032 {~ dCOS7 + ~ sin71 rna 4J m mq (2.23a)
Voor de fasen b en c geldt:
_ ./23 2 2 ~mb ]3 (~mdcoS(7-3~) + ~mqsin(7-3~)1 (2.23b)
./2 4 4 ~mc - ]3 (~mdcoS(7-3~) + ~mqsin(7-3~)1 (2.23c)
De statorspreidingsflux
De met de statorspoelen gekoppelde flux bestaat behalve uit de
eerder genoemde bijdrage van de luchtspleetinductie nog uit een
bijdrage ten gevolge van het statorspreidingsveld. Dit is het
veld ten gevolge van de statorstromen waarvan de veldlijnen niet
door de rotor lopeno Er wordt hier verondersteld dat dit veld
niet afhankelijk is van de positie van de rotor. Omdat het ijzer
magnetisch lineair verondersteld wordt, is de spreidingsflux in
fasespoel a dus een lineaire functie van de statorstromen ia' ib
en i . c
Verder wordt verondersteld dat de machine symmetrisch
gebouwd is, zodat de bijdragen van de stromen ib
spreidingsflux in fase a gelijk zijn:
~ - L i ao aoo a L i aboO" c
en
Hierin zijn impliciet de inductiecoefficienten
gedefinieerd; de coefficient L b kan hierin zowel a ou negatief zijn. Voor de fasen b en c geldt:
L L L i-L i aoulb - aboo a ahoo c
L i aboo a L i abou b
i c
aan de
(2.24a)
L en L b aou a 00
positief als
(2.24b)
(2.24c)
In veel gevallen, en ook in het in dit rapport beschreven geval,
zijn de statorwikkelingen van de synchrone machine in ster
geschakeld en wordt dit sterpunt niet gebruikt. De homopolaire
stroam gedefinieerd als
iO - ~ {ia + ib + ic l (2.25)
is in deze stituatie gelijk aan nul. Voorlopig nemen we deze
stroom nog weI mee in de beschouwing.
Met (2.25) kan (2.24) geschreven worden als
~au (L +L )i aoO' aboa a ./3L b iO a ou
(2.26a)
~bu (L +L )i aoo aboo b ./3Labou i O (2.26b)
~cu (L +L )i aoa aboo c ./3L b iO a ou (2.26c)
15
Als iO-O, zien we in elk van de fasespoelen dus een spreidings
zelfinductiviteit
Lau - Laou + Labou (2.27)
Voor de met de statorspoelen gekoppelde flux kunnen we nu met
(2.23), (2.26) en (2.27) schrijven:
"'a - "'ma + "'ua -
- ~ ("'mdcoS(7)+"'mqsin(7»)
De spanningsbetrekkingen
+ L i - j3L b iO ao a a 00
+ L ib - j3L b iO aa a 00
+ L i au c - j3L b iO a ou
(2.28a)
(2.28b)
(2.28c)
De drie statorspanningsbetrekkingen zijn (generatorconventie):
u a
R i a a
u - - R i c a c
d", a
(2.29a) dt
(2.29b)
dt (2.29c)
Hierin is Ra de statorfaseweerstand; de index a komt van
"armature" .
De spanningsbetrekkingen voor de bekrachtigingswikkeling, de
demperwikkeling op de d-as en de demperwikkeling op de q-as zijn
respectievelijk:
(2.30a)
. d"'ld o - Rlld'ld + ~ (2.30b)
+ d"'lq o - Rllqilq dt (2.30c)
Met de spanningsbetrekkingen (2.29) en (2.30) en de vergelijkin
gen (2.6), (2.21), (2.22), (2.25) en (2.28) hebben we een
compleet stel elektrische vergelijkingen van de synchrone
machine. Voor de overzichtelijkheid worden de vergelijkingen
(2.6), (2.21), (2.22), (2.25) en (2.28) hier nog eens herhaald:
16
id - ~ (iacOS(l) + ibCOS(l-~~) + iCcOS(l-j~)1
iq - ~ (iasin(l) + ibsin(l-~~) + icSin(l-j~)1 1
iO - ]3 (ia + ib + ic l
~md - Lmdid + Lafdif + Laldild
~f - Lafdid + Lffdi f + Lfldild
~ld - Laldi d + Lf1d i f + Llldild
~mq - L i + L 1 il mq q a q q
~ - L i + L i lq alq q llq lq
~a - ~ (~mdcoS(l) +~mqsin(l)l /2 2 2
~b - ]3 (~mdcoS(1-3~)+~mqsin(1-3~)1
/2 4 4 ~c - ]3 (~mdcoS(1-3~)+~mqsin(1-3~)1
De Park-transformatie
+ L i au a
+ L ib au
+ L i aac
«2.6a»
«2.6b»
«2.25»
«2.21a»
«2.21b»
«2.21c»
«2.22a»
«2.22b»
/3L b iO «2.28a» a ou
/3L b iO «2.28b» a ou
/3L b iO «2.28c» a ou
Bovenstaande vergelijkingen kunnen met behulp van de Park-trans
formatie op een overzichtelijke wijze beschreven worden. Voor de
statorstromen hebben we deze transformatie eigenlijk al gebruikt
in (2.6) en (2.25). Deze vergelijkingen kunnen we ook schrijven
als:
[ ::J- ' [ ~ 1 (2.31)
waarbij P de Park-transformatiematrix is:
cosh) 2
COS(1-3~) 4
COS(1-3~)
P /2 -]3 sin(l) Sin(l-~~) 4
sin(1-3~) (2.32)
1 1 1 72 72 72
Met de factor /2//3 wordt ervoor gezorgd dat de matrix orthogo
nnnl is, waardoor de inverse van P gelijk is aan de getrBnspo
neerde van P. (Behalve deze orthogonale matrix komt men in de
literatuur ook we! niet-orthogonale matrices of matrices met min
tekens in een van de rijen tegen. Soms zijn de bovenste twee
rijen verwisseld.)
17
Voor de statorspanningen en fluxen kunnen we soortgelijke defini
ties geven:
Met de matrix P volgens (2.32) en vergelijking (2.31) kunnen we
(2.28) in matrixnotatie a1s voIgt schrijven:
De hoekafhankelijkheid van de fluxbetrekking (2.28) is in (2.35)
verwerkt in de matrix P. Als we (2.31) toepassen op de laatste
term van (2.35), kunnen we deze vergelijking schrijven als
[~ j- p-1
[:md : ~au~d 1- j3L b P-1j3 [~ j mq au q a ou
LauiO iO
-1 - P
[
>P d + L id I m au >P + L i mq au q (L -3L b )iO au a Oq
(2.36)
Vullen we (2.36) in in (2.34) dan zien we dat we met (2.2la),
(2.22a) en (2.27) kunnen schrijven:
>Pd - >Pmd + LQuid - (Lmd+Lau)id + Lafdi f + Laldild
>Pq - >Pmq + Lauiq - (Lmq+Lau)iq + Lalqilq
>PO - (Laou-2Labou)iO
(2.37)
(2.38)
(2.39)
Zoals we in bovenstaande uitdrukkingen kunnen zien, is het handig
om de volgende inductiecoefficienten te definieren:
Ld - Lau + Lmd L - L + L
q au mq L - L - 2L o aou abou
(2.40)
(2.41)
(2.42)
Met deze definities, (2.21b), (2.21c), (2.22b), (2.37), (2.38) en
(2.39) kunnen we de volgende fluxbetrekkingen voor de synchrone
machine opschrijven:
18
~d - Ldid + Lafdi f + La1di1d
~f - Lafdid + Lffdi f + Lf1di1d
~ld - La1di d + Lf1d i f + L11di1d
~q - \iq
~lq - La1qiq
+ L 1 i1 a q q
+ Lllqi1q
(2.43a)
(2.43b)
(2.43c)
(2.44a)
(2.44b)
(2.45)
Vervo1gens passen we de Park-transformatie toe op de statorspan
ningsbetrekkingen (2.29). Met (2.31). (2.33) en (2.34) kunnen we
voor (2.29) in matrixvorm schrijven:
" [:; ]- . R.'·' [ :; ] d
dt
Voorvermenigvu1diging met P en verdere uitwerking 1evert
Met (2.32) kan dit verder uitgewerkt worden tot
(2.46)
Na toepassing van de Park-transformatie vol gens (2.31) tot en met
(2.34) vormen de verge1ijkingen (2.30) en (2.43) tot en met
(2.46) een ste1se1 voor de beschrijving van de e1ektrische kant
van de synchrone machine.
Het vermogen en het koppel
Voor het aan de statorkant afgegeven elektrische vermogen kunnen
we met (2.31) en (2.33) schrijven:
p - uaia + ~ib + ucic - udid + uqiq + uOiO
Met (2.46) wordt dit:
p - _ [i ~ -i ~ ]!!:r _ R [i2+i
2+i
2] d q q d dt a d q 0
(2.47)
(2.48)
Het elektromechanische vermogen kamt overeen met de term in bet
midden van deze uitdrukking [Con 511. zodat voor het e1ektro-
mechanische koppel geldt:
m-i,p-i,p d q q d
De homopolaire componenten
19
(2.49)
Zoals reeds eerder is opgemerkt, beschouwen we in dit rapport een
in ster geschakelde synchrone machine waarbij het
is aangesloten. Dit betekent volgens (2.25) dat
stroom nul is: iO-O. Met (2.45) en (2.46) kunnen
zien dat ,pO en Uo ook nul zijn.
2.3 Machines met een poolpaartal groter dan een
sterpunt niet
de homopolaire
we vervolgens
In de vorige paragraaf zijn de vergelijkingen v~~r een 2-polige
machine afgeleid (poolpaartal p is 1). In deze paragraaf zullen
we zien wat we aan deze vergelijkingen moe ten veranderen om
ervoor te zorgen dat zij geschikt zijn voor machines met een
poolpaartal p groter dan 1.
Een dergelijke, zogenaamde meerpolige, machine kan men in
gedachten laten ontstaan door p identieke tweepolige machines op
een zelfde plaats open te snijden tot het hart van de as,
vervolgens uit te buigen en ten slatte te verenigen tot een nieuwe machine met vergrote diameter, waarbij de overeenkomstige
(wikkelings-)fasen in serie of eventueel parallel worden
geschakeld. In figuur 2.3 wordt geillustreerd hoe men op deze
wijze een machine met 4 polen (p-2) kan laten ontstaan uit twee
machines met elk 2 polen (p-l). In deze figuur zijn de rotorwik
kelingen niet getekend en zijn de polen aangeduid met N (Noord
pool) en Z (Zuidpool).
Als we een meerpolige machine hebben laten ontstaan op de wijze
zoals hiervoor is aangegeven, kunnen we tamelijk eenvoudig inzien
dat we voor de beschrijving van een meerpolige machine kunnen
volstaan met de beschouwing van een tweepolige machine. We moeten
er echter wel rekening mee houden dat de ruimtelijke hoeken die
we in de vorige paragraaf hebben gebruikt in werkelijkheid met
een factor lip moe ten worden vermenigvuldigd. De rotorpositie
hoek. de hoek tussen de positieve d-as en statorfase a, is dus in
werkelijkheid ~/p. Deze werkelijke positiehoek zullen we verder
20
aangeven met 0:
-y - pe (2.50)
Ret verband tussen de (mechanische) rotorhoeksne1heid w en -y is m
dus:
w m
(2.51)
Als we voor de berekening van het elektromechanische koppel weer
uitgaan van het elektromechanische vermogen vo1gens de term in
het midden van uitdrukking (2.48), dan vinden we met (2.51) voor
het elektromechanische koppel:
(2.52)
~'
'0'
e 0' 0'
Insntjdlnv
~u
aU a" aU
Figuur 2.3 Het ontstaan van een vierpolige machine uit twee
machines met elk twee polen.
2.4 De basisvergelilkingen
In deze paragraaf zullen we de eerder afgeleide vergelijkingen
van de synchrone machine nog eens samenvatten.
De Park-transformatie
Voor de Park-transformatie gebruiken we de vergelijkingen (2.31),
(2.32), (2.33) en (2.34):
e a'
21
(2.53a)
(2.53b)
(2.53c)
cos(-y) 2 cos(-y- 3")
4 cos(-y- 3")
p - ~ sin(-y) 2 sin(-Y-j'r)
4 sin(-Y-3") (2.53d)
1 1 1 7'i. 7'i. 7'i.
Bij de toepassing van de Park-trans forma tie moe ten we eraan
denken dat in ons geva1 de homopo1aire componenten i O' Uo en ~O
nul zijn, zoa1s we reeds aan het einde van paragraaf 2.2 hebben
besproken.
De vergelijkingen voor de d-as
De verge1ijkingen voor de d-as worden samengeste1d uit (2.46) met
(2.51), (2.30a), (2.30b) en (2.43):
d~d ud - - Raid - dt - PWm~q
~d - Ldid + Lafdi f + La1di1d
~f - Lafdid + Lffdif + Lf1di1d
~ld - La1di d + Lf1d i f + L11di1d
De vergelijkingen voor de q-as
(2.54a)
(2.54a)
(2.S4c)
(2.55a)
(2.55b)
(2.55c)
De verge1ijkingen voor de q-as worden samengeste1d uit de
verge1ijkingen (2.46) met (2.51), (2.30c) en (2.44):
22
d", u R i Tt + pwm"'d q a q
d"'l 0 - Rllqi 1q
+~ dt
"'q L i + L 1 i1 q q a q q
"'lq - L i a1q q + Lllqi 1q
De mechanische vergelijkingen
Hier worden de verge1ijkingen (2.51) en (2.52) herhaa1d:
1~ wm - i> dt
m - p(id"'q-ild)
2.5 Vervangingsschema's voor de 0·a5
Het transformatorschema
(2.56a)
(2.56b)
(2.57a)
(2.57b)
(2.58)
(2.59)
Voor de overzichte1ijkheid worden hier de verge1ijkingen voor de
q-as (2.56) en (2.57) herhaa1d:
d", u R i Tt + pwm"'d «2. 56a» q a q
d"'l 0 - Rllq i 1q
+~ «2.56b» dt
"'q - L i + L 1 i1 «2.57a» q q a q q
'" - L i + L i 1q a1q q 11q 1q «2. 57b»
Uit deze verge1ijkingen vo1gen direct de vervangingsschema's
vo1gens figuur 2.4.
De fysische betekenis van de inductiviteiten in figuur 2.4b is
niet duide1ijk: vaak za1, bijvoorbee1d, L 1 vee1 groter zijn dan a q
L11q , zodat L11q-La1q negatief is.
23
Lo1 q Ro +
~1q 1 - l~q R11q Uq
pr.l m 'VI d +
i 1 q iq
a
L11q-L o 1q L q -Lo 1q
'VI 1 q 'VIq Ro +
R11q Uq
L o 1q pr.l m 'VI d +
i 1 q iq
b
Figuur 2.4 Het transformatorvervangingsschema voor de q-as
Bet reduceren
Vervolgens gaan we de dempergrootheden (subscript lq) reduceren.
Dit kunnen we doen door de demperstroom i1q
door de nog nader te
bepalen factor CQ
te delen en de demperflux ~lq met dezelfde
factor te vermenigvuldigen. Hierdoor ontstaan de gereduceerde
demperstroom iQ en de gereduceerde demperflux ~Q:
1 iQ - C
Q i 1q ~Q - CQ~lq
Met (2.60) kunnen we (2.56) en (2.57) schrijven als:
d~
uq - - Raiq ~ + PWm~d
2 d~Q o - CQRllqiQ + dt
~ -q
(2.60)
(2.6la)
(2.61b)
(2.62a)
(2.62b)
24
Met (2.61) en (2.62) kunnen we het schema vo1gens figuur 2.5
tekenen. In dit schema kunnen we zien dat we met de grootte van
de inductiviteiten in het schema kunnen beinvloeden. In het
geva1 van CQ-1, komt figuur 2.5 (natuur1ijk) overeen met figuur
2.4b.
Figuur 2.5 Het genormeerde transformatorvervangingsschema voor
de q-as
Het T-schema
Het meestal bebruikte T-vervangingsschema voor de q-as kunnen we
vinden door de stator flux ~ eerst te sp1itsen in een 1uchtq
sp1eetdee1 ~ en een spreidingsdee1 L i (In paragraaf 2.2 mq au q
hadden we reeds veronderste1d dat de rotorstromen geen bijdrage
1everen tot de statorspreidingsf1ux). Met L -L +L «2.41» en q ao mq
(2.62a) kunnen we nu voor het 1uchtsp1eetdee1 schrijven:
~mq - ~q- Lauiq (Lq-Lau)iq+ CQLa1qiQ - Lmqiq + CQ
La1qiQ (2.63)
A1s
L mq
we CQ
zo kiezen dat
- CQLa1q
ge1dt (zie figuur 2.5), kunnen we de flux ~mq zien als
(2.64)
de flux
gekoppeld met een spoel met zelfinductie Lmq
, waardoor de stroom
iq+iQ
loopt.
Met (2.64) en L -L +L gaat (2.62) over in: q au mq
~ -q L i + L (i +iQ) au q mq q (2.65a)
~Q - (C~L11q-Lmq)iQ + Lmq(iq+iQ) (2.65b)
Met (2.61) en (2.63) kan het bekende T-vervangingsschema vol gens
figuur 2.6 (vergelijk figuur 2.5) getekend worden.
25
La 0-
Ra + 1/I q
Uq
P'" m 1/1 d +
iq
Figuur 2.6 Het vaak gebruikte T-vervangingsschema voor de q-as
Het hier gebruikte schema
Als we op het in figuur 2.6 getekende circuit een spanningssprong
op de klemmen zetten. dan "zien" we in eerste instantie de zoge
naamde subtransiente dwarsinductantie. Zoals later zal blijken.
speelt deze subtransiente inductantie een belangrijke rol bij de
commutatie in de gelijkrichter die aan de synchrone machine wordt
gekoppeld. In het schema vol gens fig. 2.6 kunnen we deze induc-
tantie niet direct zien. Ais we de dempergrootheden i lq en ~lq
anders reduceren. is dat echter weI mogelijk.
We gaan daarvoor uit van figuur 2.5. Ais we ervoor zorgen dat de
"spreiding" in de linkertak van deze figuur G~Lllq -GQLalq gelijk
aan nul is, zien we voar zeer snelle spanningsvariaties aan de
klemmen aIleen de "spreiding" in de rechtertak L -GQL I . Om dit q a q
te realiseren kiezen we dus:
(2.66)
Voorts worden de volgende parameters ingevoerd:
RQ 2 2
; LaQ - GQLalq ; L" - L -L - GQRllq LQ - GQLllq q q aQ (2.67)
Met (2.66) en (2.67) gaan (2.61) en (2.62) over in:
d~ u R i - -.:.g + PWm~d q a q dt (2.68a)
0 d"'Q
RQiQ + dt (2.68b)
"'q L"i + LaQ(iq +iQ} q q (2.69a)
"'Q + LaQ(iq +iQ} (2.69b)
26
Met (2.68) en (2.69) kan het hier verder in dit verslag gebruikte
vervangingssehema vol gens figuur 2.7 getekend worden.
1/J q Ra +
~Ql RQ Uq
p W m 1/Jd L
aQ + iQ iq
Figuur 2.7 Ret hier gebruikte vervangingssehema voor de q-as
2,6 Veryangingsschema's voor de d-as
Het transformatorschema
Voor de overziehtelijkheid worden hier de vergelijkingen voor de
d-as (2.54) en (2.55) herhaald:
- R i d1/>d
P"'m1/>q' «2.54a» u - dt d ad
Rfi f
d1/>f «2.54a» uf + --dt
0 . d1/>ld
- Rlld'ld + ~ «2.54e»
1/>d Ldid + Lafdif + Laldild «2.55a»
1/>f Lafdid + Lffdif + Lfldild «2.55b»
1/>ld - Laldid + Lfldif + LUdi1d «2. SSe»
Deze vergelijkingen komen overeen met die van een driewikkelings
transformator zoals die sehematiseh in figuur 2.8 is weergegeven.
Met (2.54) en (2.55) als basis kunnen nog tal van andere vervan
gingssehema's worden getekend. In figuur 2.9 is een tweetal dat
hier van belang is weergegeven.
27
+
Figuur 2.8 Het transformatorvervangingsschema voor de d-as
Het reduceren
Vervolgens gaan we de bekrachtigingsgrootheden (subscript f) en
de dempergrootheden (subscript ld) reduceren. Hierbij worden de
factoren CF , respectievelijk CD gebruikt. De gereduceerde
grootheden zijn:
1 iF - C if
F 1
iD - C i 1d D
Met (2.70) kunnen we (2.54) en (2.55) schrijven a1s
- R i dV>d
pWmV>q u - dt d ad
2 dV>F u - CfRfiF +-F dt
V> -d Ldid + CFLafdiF + CDLa1diD
V> - CFLafdid + 2
CDCFLfldiD F CFLffdiF +
V> - CDLa1did + CFCDLfldiF + 2
D CDLlldiD
(2.70)
(2.71a)
(2.71b)
(2.71c)
(2.72a)
(2.72b)
(2.72c)
Met (2.71) en (2.72) kunnen we de schema's vol gens figuur 2.10
tekenen, die voor CF-l en CO-l overeenkomen met die van figuur
28
2.9. In figuur 2.10 kunnen we de grootten van de inductiviteiten
beinv10eden met CF en CD.
Lffd -Lf1d+
+
La 1d
a
Lffd -Lafd+ Lf1 d if
Ld-Lofd- Ldld T T T T T T
UfI ) "'f )
"'d Ra ~
+
>-Rf ~
Lf1d T Y Y Lafd
'" 1d >-R11d >-
T >- p6lm "'q
• • • IL o1 d -f"\+
L11 d-Lald+Lfld ild id \.J
b
Figuur 2.9 Twee schema's die overeenkomen met (2.54) en (2.55)
+
+
"'F
COCF Lfld+
-COLald
>>r
a
Ld-CFLafd- COLOld y y y
b
29
"'d
+
Figuur 2.10 De gereduceerde vervangingsschema's voor de d-as
Het schema volgens Canay
Voor de d-as wordt vaak het door Canay afge1eide vervangings
schema gebruikt [Can 68]. Dit schema kan op soortge1ijke wijze
afge1eid worden a1s het T-vervangingsschema bij de q-as. Het
schema is gebaseerd op figuur 2.10a.
Evena1s bij de q-as wordt de statorf1ux gesp1itst in een 1ucht-
spleetdee1
«2.40»
schrijven:
en een spreidingsdee1: ~d-~ d+L id· Met Ld-L +L d m au au m en (2.72a) kunnen we nu v~~r het 1uchtsp1eetdeel
+
30
~md - ~d - Laaid - (Ld-Laa)id + CFLafdiF + COLa1di O -
- Lmdid + CFLafdiF + COLa1di O
A1s we CF en Co zo kiezen dat
Lmd - CFLafd - CoLa1d
(2.73)
(2.74)
geldt, kunnen we de flux ~md zien a1s de flux gekoppe1d met een
spoe1 met ze1finductie Lmd , waardoor de stroom id+iF+io loopt. In
figuur 2.10a heeft (2.74) tot gevo1g dat de ze1finductie
CFLafd-COLa1d nul wordt.
Met (2.74) en Ld-L +L d gaat (2.72) over in: aa m
(2.75a)
~F - Lmd(id+iF+io)+(CFCoLf1d-Lmd)(iF+io)+(C~Lffd-COCFLf1d)iF (2.75b)
~O - Lmd(id+iF+io)+(CFCoLf1d-Lmd)(iF+io)+(C~L11d-COCFLf1d)i0 (2.75c)
Met (2.71) en (2.75) ontstaat het vervangingsschema vo1gens Canay
zoa1s dat in figuur 2.11 is weergegeven. In dit schema wordt de
inductiviteit CFCOLf1d-Lmd in de praktijk vaak verwaar1oosd. Oeze
inductiviteit is bij synchrone machines met cilindirische rotor
gewoon1ijk positief en bij machines met 1ichame1ijke polen nega
tief [Can 77].
Figuur 2.11 Het vervangingsschema voor de d-as vo1gens Canay
31
Het hier gebruikte schema
A1s we op het in figuur 2.11 getekende circuit een spannings
sprong op de klemmen zetten, dan "zien" we in eerste instantie de
zogenaamde subtransiente langsinductantie. In het schema vol gens
figuur 2.11 kunnen we deze inductantie niet direct zien. Om een
schema te vinden waarin dit weI moge1ijk is, gaan we niet uit van
figuur 2.11, maar van figuur 2.10b.
A1s we ervoor zorgen dat de "spreidingen" in de twee 1inkertakken
van· deze figuur C~ffd-CFLafd+CDCFLfld en C~Llld-CDLa1d+CDCFLfld ge1ijk aan nul zijn, zien we voor zeer sne11e spanningsvariaties
aan de k1emmen alleen de "spreiding" in de rechtertak
2 CFLffd-CFLafd+CDCFLfld - 0
of:
C _ LafdL11d - La1dLfld F - 2
LffdLlld Lfld
C _ La1dLffd - LafdLfld D - 2
LffdLlld Lfld
Voorts worden de volgende parameters ingevoerd:
RF C?f L -2
LaF CFLafd F CFLffd
R -2 2
CDRlld ~ CDLlld L - CD
Lald D aD
~F - CFCDLfld L" -d Ld - L - L aF aD
Met (2.76) en (2.77) gaan (2.71) en (2.72) over in:
d"'d Raid - dt u -d
o
"'d - Ldid + LaF(id+iF) + LaD(id+iD)
"'F - LaF(id+iF) + ~F(iD-iF)
"'D - LaD(id+iD) + ~F(iF-iD)
(2.76)
(2.77)
(2.78a)
(2.78b)
(2.78c)
(2.79a)
(2.79b)
(2.79c)
Met (2.78) en (2.79) kan het hier verder in dit vers1ag gebruikte
vervangingsschema vo1gens figuur 2.12 getekend worden.
32
iF L'd
uF Ra + + 1/IF
RF
LOF LaF Ud
1/10
RO
LaO PWm 1/Iq
+ iO id
Figuur 2.12 Het hier gebruikte vervangingsschema voor de d-as
2.7 Oe statorstromen en de rotorf1uxen a1s toestandsvariabe1en
De vergelijkingen
In verband met later gebruik kiezen we de stromen i q
fluxen WQ
, wF en Wo als toestandsvariabelen voor de
en id en de
beschrijving
van de synchrone machine (1 wordt als een gegeven beschouwd).
Met (2.68) en (2.69) voigt nu door elimineren van W en q
de beschrijving van de q-as:
di u
q (R +R)i - L"----.9. +
a Q q q dt
d1/>Q dt
Voor W q
W
RQ[L~Q - iJ en iQ voigt uit (2.69):
1/>q - L"i + W q q Q
i _l i Q LaQ q
voor
(2.80a)
(2.80b)
(2.81a)
(2.81b)
Met (2.78) en (2.79) voigt door elimineren van wd ' iF en iO voor
de beschrijving van de d-as:
did ud - - (Ra+RF+~)id - uF - Ld dt - PWm~q +
(LaO-LnF)WF - LnFWO + RF 2 +
(LaF-LnF)(LaO-LnF) - LOF
(LaF-LnF)WO - LnFWF
d~F --u dt F
Voor Wd , iF en iO voigt uit (2.79):
~d - Ldid + wF + Wo
Een eenvoudigere vorm
33
(2.82a)
(2.82b)
(2.82c)
(2.83a)
(2.83b)
(2.83c)
Hoewel het stelsel vergelijkingen (2.80), (2.81), (2.82) en
(2.83) in feite simpel is, ziet het er toch gecompliceerd uit. Om
de vorm te vereenvoudigen voeren we de volgende coefficienten in:
(2.84a)
(2.84b)
(2.84c)
Met deze coefficienten kunnen we uit de vergelijkingen (2.80),
(2.81), (2.82) en (2.83) na substitutie van (2.83a) in (2.80a) en
van (2.81a) in (2.82a) afleiden:
34
di· RQ u + (R +RQ)i + L"--'! - pw L" i - LaQ~Q + PWm(~F+~D) (2.85a) q a q q dt m d d
(Ra+RF+~)id + did
pw LOi ud + L"-- + - - uF + d dt m q q
GF ~~ [~ RF ~ (2.85b) + ~F -2-, -~ + ~D LO - GFLf
- PWm~Q fLf F
dV>Q - ~[~ - iJ (2.86a) dt
dV>F u - R GF -
~D - i d] (2.86b) dt F F 2
L, GFLfD
F f
(2.86c)
(2.87a)
(2.87b)
(2.87c)
De vergelijkingen zonder reductie van bekrachtigingsgrootheden
De reductie van de bekrachtigingsgrootheden (met subscript f of
F) is aileen gedaan in verband met het opstellen van het vervan
gingsschema. Deze reductie zullen we nu met (2.70) weer ongedaan
maken. Voorts voeren we de spanningen eq
en ed
in volgens:
+ pw LOi m q q
(2.88a)
(2.88b)
Deze spanningen zijn constant als de statorstromen iq en id zeer
snel veranderen (bij constante uF
en wm
). In dat geval kunnen de
rotorfluxen ~Q' ~F en ~D namelijk als constant beschouwd worden,
zodat vol gens (2.85) en (2.88) ook eq
en ed
als constant
beschouwd kunnen worden. De spanningen eq
en ed
spelen bij de
koppeling van dit model met het model van de gelijkrichter een
centrale rol (zie hoofdstuk 4). We kunnen nu voor de vergelij
kingen (2.85) tot en met (2.88) schrijven:
35
di u - e (R +RQ)i L"~ + pw L"i
q q a q q dt m d d (2.89a)
(Ra+C~f+~)id -did
P'" L"i u - ed L"- -d d dt m q q
(2.89b)
(2.90a)
(2.90b)
(2.91a)
(2.9lb)
(2.91c)
(2.92a)
(2.92b)
(2.92c)
We kunnen zien dat de reductiefactor CF , ondanks het feit dat de
reductie voor de bekrachtiging ongedaan is gemaakt, nag steeds in
de vergelijkingen voorkomt.
Voor de beschrijving van de synchrone machine hebben we dus de
volgende parameters nodig: P, Ral RQ, Rf, ~,eF' L~1 Ld, LaQ ,
Lt , LO en LfD , waarbij de parameters Lt , LD en LfD met (2.84)
bepaald kunnen worden uit CF, LaF , ~F en Lao'
De mechanische vergelijkingen
Volledigheidshalve wordt hier de mechanische vergelijking (2.58)
nag eens herhaald:
'" -m !!!I p dt (2.93)
Als we (2.83a) met (2.70) en (2.8la) in (2.59) substitueren,
vinden we voor het elektromechanische koppel:
m - p ( id(L~iq+WQ) - iq(Ldid+CFWf+WD) } (2.94)
36
2.8 Een machinemodel voor de combinatie synchrone machine met
gelijkrichter
Als we de synchrone machine met een gelijkrichter willen belas
ten, is het handig om een aantal d-q-grootheden terug te trans
formeren naar het statorstelsel (a,b,c-stelsel). Oat levert in
eerste instantie een aantal ingewikkelde uitdrukkingen op, die
echter vereenvoudigd kunnen worden. Als we (2.89) met (2.53b)
terugtransformeren vinden we met uO-O:
/2 2 did ua - 73 [{ed-(Ra+CfRf+~}id-Ld dt -PWmL~iq)Cos(~} +
di + {e -(R +RQ}i -L"~d +pw Ld"id)sin(~}l q a q q t m
(2.95a)
/2 2 did 2 ~ ~ 73 [{ed-(Ra+CfRf+~}id-Ld dt -PWmL~iq)Cos(~-3~} +
di 2 + Ie -(R +RQ}i -L"~d +pw Ld"id)sin(~-3-w}1 q a q q t m
(2.95b)
Uc - ~ [{ed-(Ra+C~f+RD}id-Ldd~~ -PWmL~iq)COS(~-~W} +
di 4 + {eq-(Ra+RQ}iq-L~-if +pwmLdid)sin(~-3w}1 (2.95c)
Vervolgens kunnen we iq en id in deze vergelijkingen met (2.53a)
vervangen door i , ib en i . Als we bovendien gebruik maken van a c
i +ib+i -0 en d~/dt-pw , vinden we: a c m
L"·L" ~
3
2 CfRf+~+RQ
(R I 2 }i a a
L"+L" di ~ a
2 dt +
(2.96b)
37
L"+L" di ~ c
2 dt +
+ .
(2.96c)
Voor praktische situaties kunnen deze verge1ijkingen ge1ukkig
meestal sterk vereenvoudigd kunnen worden. De eerste vereenvoudi
ging is de verwaar10zing van de termen met Ld-L~ ten opzichte van
die met Ld+L~. De tweede vereenvoudiging is de verwaar10zing van
de weerstandstermen ten opzichte van de inductietermen. Met deze
vereenvoudigingen gaat (2.96) over in:
Deze
L"+L" di ~~
2 dt
L"+L" di ~~
2 dt
L"+L" di ~~
2 dt
uitdrukkingen zijn schematisch weergegeven
+
t.:'d+l'q '/2 . 1/3 Iedcos(7)+eqsrn(7)1
2 +
L'd+l'q 1/2 2 1/3 ledcos(7- 3'1I')+eqsln(7- 3'11')1
2 +
t.:'d+l'q 1/2 4 . 4 1/3 Iedcos(7- 3'1I')+eqsrn('Y- 3'11')1 2
Figuur 2.13 Het vereenvoudigde statorcircuit.
(2.97a)
(2.97b)
(2.97c)
in figuur 2.13.
+
la ua
+
Ib ub
+
Ic Uc
De Park-transformatie voor de spanningen is in (2.97) reeds ver
werkt; de benodigde Park-transformatie voor de stromen «2.53a))
wordt hier, in verband met de overzichte1ijkheid, nog eens her
haa1d:
38
. /2 (i cos(-y) 2 4 (2.98a) ld - ]3 + ibcos(-Y-j") + iccos(-Y-j"») a
. ~ (i sin(-y) 2 4 (2.98b) 1 - + ibsin(-Y-j") + icsin(-Y-j"») q 3 a
Het vereenvoudigde model van de synchrone machine kunnen we nu
beschrijven met de vergelijkingen (2.90). (2.91). (2.97). en
(2.98). waarbij de verwaar10zing van de weerstandstermen en de
termen met Ld-L~ a1leen ge1dt voor verge1ijking (2.97).
39
3 DE DRIEFASENBRUGGELIJKRICHTER
3 1 Inleiding
In dit hoofdstuk wordt een beschrijving gegeven van de gelijk
richter die in het in dit verslag beschouwde systeem wordt
gebruikt. Zoals vaak het geval is, is dat een volledig stuurbare
driefasenbruggelijkrichter. Voordat we in dit hoofdstuk de later
in dit verslag te gebruiken modellen zullen afleiden, zullen we
eerst de werking van de gelijkrichter behandelen v~~r het geval
dat deze uit een ideale driefasige spanningsbron wordt gevoed.
Degenen die thuis zijn op het gebied van de gelijkrichtertheorie
kunnen de rest van deze inleiding en de paragrafen 3.2 en 3.3
overslaan. Een meer uitgebreide behandeling dan die welke hier
weergegeven wordt, staat in [Sch 80].
T, +
Figuur 3.1 De volledig stuurbare driefasenbruggelijkrichter
De werking van de gelijkrichter wordt beschreven aan de hand van
de in figuur 3.1 weergegeven schakeling. Bij de beschrijving
wordt voor de spanningen ua ' ~ en Uc in figuur 3.1 gebruikt: ,
u u cos(wt) (3.la) a , 2
~ u coS(wt-jlf) (3.lb) ,
4 u - u coS(wt-jlf) (3.lc) c , Hierin is u de amplitude en w de hoekfrequentie van de
fasespanningen.
Door middel van periodiek schake len van de thyristoren kunnen
verbindingen tot stand gebracht worden tussen elk van de wissel-
40
spanningsfasen a, b en c en de gelijkspanningsklemmen (u ). g
Telkens na 60 0 (elektrisch) wordt een thyristor ontstoken. Deze
blij ft in principe gedurende 1200 in geleiding. De ontsteek-
volgorde is hierbij: - Tl - T6 - T3 - T2 - TS - T4 - Tl - T6 .... ,
zoals in figuur 3.2 schematisch is weergegeven.
T1 T3 T5 T1 T4 I T6 I T2 I T4 I T6
I .. 1. .I .. (Ut
60 0 1200
Figuur 3.2 De volgorde van de thyristorontsteekpulsen
We kunnen de gelijkrichter sturen door de zogenaamde ontsteekhoek
te varieren. De ontsteekhoek Q is de hoek tussen de natuurlijke
ontsteekhoek van een thyristor (dat wil zeggen de hoek waarbij de
thyristor in geleiding zou gaan als hij zich als een diode zou
gedragen) en de hoek waarbij deze thyristor door middel van een
gate-puIs wordt ontstoken. In figuur 3.3 is dit aangegeven voor
thyristor T3 bij waarden van Q van 00 , 900 en 1500 ; een diode
bruggelijkrichter is te beschouwen als een (volledig stuurbare)
thyristorbruggelijkrichter) met een ontsteekhoek Q van 00 . De
dikgetrokken lijn stelt hierin de in figuur 3.1 gedefinieerde
spanning u voor. Hierbij is aangenomen dat de spanning over een g
thyristor in geleiding nul is en dat de zogenaamde commutatietijd
verwaarloosbaar klein is. Hierop komen we in de volgende para
graaf nog terug.
In figuur 3.4 is het verloop van de fasespanning
stroam i weergegeven voor een ontsteekhoek van a
Hierbij is tevens verondersteld dat de spoel L g
stroomcircuit (zie figuur 3.1) oneindig groot
u a
00 ,
in
is,
en de fase-
90 0 en 1500 .
het gelijk-
zodat i een g
echte gelijkstroom is (i -I ). Het faseverschil van de fasespan-g g
ning en de grondharmonische van de fasestroom (in figuur 3.4
aangegeven met een onderbroken lijn) is gelijk aan de ontsteek
hoek Q.
41
a -"'t
a =900 u
b ~~~~~~~rI~~_ "'t
c f-~~~*1~~~T:=_ "'t
Figuur 3.3 voor De spanning ug
en de ontsteekhoek a van T3
gelijkrichten (a), gemiddelde spanning nul
wisselrichten (c)
(b) en
a
b
c
io
r I 1 1 1 I 1
,I
2" 1 1 1 1 1 1
1 'I -~ -------t..u.=- I 1 1
• 1 1
d I9 --- ---j< I IO~ I I a=l~~~,{ ! t"q
1
Figuur 3.4 De fasespanning en -stroam voar gelijkrichten
(a-O 0), gemiddelde spanning nul (a_900) en
wisselrichten (a-lSO O)
42
Daar de stroom i altijd positief is, wordt de richting van de g
energiestroom bepaald door de polariteit van u. Voor g
de
gemiddelde
hier
waarde hiervan, die we hier U g
noemen, geldt bij de
U g
beschreven driefasige
3/3 A --- U COS Q ~
bruggelijkrichter:
(3.2)
Hiermee kunnen we voor de gemiddelde energiestroom de volgende
mogelijkheden onderscheiden:
U > 0: gelijkrichterbedrijf; 0° S a < 900; figuur 3.3a g
U O· g a-90°; figuur 3.3b
U < 0: wisselrichterbedrijf; 900 < a < 1800; figuur 3.3c g
In plaats van de in dit hoofdstuk beschreven volledig stuurbare
driefasenbruggelijkrichter met thyristoren wordt vaak een (niet
stuurbare) bruggelijkrichter met dioden gebruikt. Zoals reeds
eerder vermeld, komt deze diodebruggelijkrichter komt overeen met
een thyristorbruggelijkrichter met a-00.
In de volgende twee paragrafen worden het stationaire en het
dynamische model van de driefasenbruggelijkrichter behandeld,
zoals we die in dit verslag verder zullen gebruiken. In de
laatste paragraaf van dit hoofdstuk worden de later te gebruiken
betrekkingen nog eens samengevat.
3,2 Het stationaire model
In de vorige paragraaf hadden we verondersteld dat de commutatie
tijd verwaarloosbaar klein is. Deze veronderstelling is echter
niet realistisch en we zullen hem dan ook niet gebruiken. In deze
paragraaf zullen we beginnen met de bestudering van de commuta·
tie. Vervolgens zullen we de stromen en spanningen in de gelijk
richter bepalen, waarmee we de gemiddelde spanning aan gelijk
spanningszijde en de grondharmonische stromen aan de wisselspan
ningszijde zullen bepalen. Hiermee hebben we het later benodigde
stationaire model gevonden.
43
Enkele uicgangspuncen
Bij de afleiding zullen we er weer van uitgaan dat de inductivi
teit in het gelijkstroomcircuit zo groot is dat we de stroom i B
kunnen voorstellen als een constante (rimpelloze) gelijkstroom:
i-I g g
(3.3)
Verder zullen we veronderstellen dat de gelijkrichter gevoed
wordt uit een driefasige wisselspanningsbron met inwendige
inductiviteit L en inwendige spanningen volgens c
e - e cos(wt) a A
2 eb - e cos(wt-jW) A 4
e - e cos(wt-j~) c
(3.4a)
(3.4b)
(3.4c)
waarin ween constante hoekfrequentie en e een constante amplitu
de voorstelt. De thyristoren worden als ideale schakelaars voor
gesteld; weerstanden in het circuit worden verwaarloosd.
Met de nu gemaakte veronderstellingen wordt het schema in figuur
3.5 het basisschema voor de beschrijving van de gelijkrichter.
T1 T3 TS +
U g
ee Ib
Ie T6
Figuur 3.5 Het basisschema voor de beschrijving van de
gelijkrichter
De commuCatie van de stromen door de thyristoren
Ig
Om de commutatieverschijnselen te bestuderen, zullen we de commu
tatie (stroomovername) van de stroom ig van thyristor TS naar
thyristor Tl nader bekijken. De commutatie van deze stroom van T4
naar T6 , van Tl naar T3 , van T6 naar T2 , van T3 naar TS en van T2
naar T4 gebeurt op dezelfde manier.
44
Zoals we in figuur 3.2 kunnen zien, geleiden de thyristoren TS en
T4 op het moment dat thyristor Tl wordt ontstoken. Als de span
ning over Tl nu positief is, zal hij in geleiding gaan. Direct
voor het ontsteken staat over thyristor Tl de spanning
(zie figuur 3.6; de spanningen over de spoelen zijn nul
e -e-e ac a c
omdat er
een ideale gelijkstroom door loopt). Deze spanning is in figuur
3.7 weergegeven.
+
Figuur 3.6 De beschouwde commutatie van TS naar Tl
(,It 21f ""3
ontsteekmoment T 1
Figuur 3.7 De commutatiespanning voor thyristor Tl
Het heeft dus aIleen zin om thyristor TI te ontsteken als de
spanning e positief is. Het moment waarop e positief wardt, ac ac
is het referentietijdstip voar de ontsteekhoek a van thyristor
45
Voor thyristor Tl voIgt dit referentietijdstip dus uit
wt--~/3 (zie figuur 3.7). Als we thyristor Tl zouden vervangen
door een diode, zou deze diode op dit tijdstip op natuurlijke
wijze in geleiding gaan. Dit is de herkomst van de eerder genoem
de naam "natuurlijke ontsteekhoek". Het tijdstip waarop thyristor
T1 wordt ontstoken voIgt uit wt--~/3+a. In figuur 3.7 kunnen we
direct zien dat de ontsteekhoek Q tussen 0 en ~ moet liggen.
Vanaf het moment dat thyristor T1 in geleiding is gegaan,
ge1eiden de drie
schema vo1gens
vergelijkingen:
diT
- L [ dtl e ae c
I - i + iT g Tl 5
thyristoren
figuur 3.6
diT
] 5 dt
Tl , T5 en T4 en kunnen we dus het
gebruiken. Uit deze figuur vo1gen de
(3.5)
(3.6)
Als we (3.6) differentieren, vinden we met (3.3):
o -diT
1 + dt dt
(3.7)
Met (3.5) en (3.7) kunnen we ook de volgende betrekking afleiden:
e ae - 2 L c dt - -2 L e dt (3.8)
Uit (3.5) voIgt dat de (positieve) spanning e ervoor zorgt dat ac de stroom door thyristor Tl (deze was nul) toeneemt en dat de
stroom door thyristor T5 (deze was I ) afneemt. De spanning e g ae
is blijkbaar de drijvende "kraeht" aehter de overname of commuta-
tie van de gelijkstroom van thyristor T5 naar thyristor Tl
. Oat
is de reden waarom e de commutetiespanning behorende bij thy-ee ristor T1 genoemd wordt.
Op het moment van in geleiding gean van thyristor Tl gelden:
iT 1
Met
iT 1
Deze
- 0 iT I voor wt - - " 3 + a 5 g (3.9)
(3.9), e -e -e en (3.4) voIgt uit (3.8): ac a c , j3e " - 2wL (COSQ - eos(wt+j») (3.10a)
c , ~ 2wL
c op1ossing
~ (COSQ - cos(wt+3») (3.10b)
is geldig tot op het moment waarap de stroam door
thyristor T5 nul wordt (thyristor TS dooft). Op dat moment is de
commutatie afge10pen en loopt de gelijkstroom volledig door
46
thyristor Tl (en natuurlijk nog door thyristor T4). Het produkt
van de hoekfrequentie w en de tijd die is verstreken vanaf het
moment dat thyristor Tl in geleiding ging tot het moment waarop
thyristor T5 doofde, wordt de commutatiehoek genoemd. Deze wordt
symbolisch weergegeven met ~.
Naarmate de commutatiespanning, bij een gegeven waarde van de
gelijkstroom, groter is, zal de commutatie sneller verlopen, en
zal dus de commutatiehoek ~ kleiner zijn. Zoals we in figuur 3.7
voor thyristor T1 kunnen zien, is de
waarden van a in de buurt van 0 of
commutatiespanning e voor ac w veel kleiner dan voor
waarden van 0 in de buurt van ~/2. Bij zeer lage (0 weinig groter
dan 0) en zeer hoge (0 weinig kleiner dan ~) waarden van 0 is de
commutatiehoek ~ dus relatief groot.
De commutatiehoek kunnen we berekenen met (3.l0b) door hierin de
stroom door thyristor T5 nul te stellen en voor het moment waarop
deze stroom nul wordt wt--~/3+a+~ in te vullen:
2wL I coso - cos(o+~)
c g A (3.11)
j3e
Na afloop van de commutatie geleiden de thyristoren Tl en T4 .
Deze situatie verandert op het moment dat thyristor T6 ontstoken
wordt (zie figuur 3.2). We hebben hier impliciet verondersteld
dat de commutatie afgelopen is voordat thyristor T6 ontstoken
wordt. Dit betekent dat de commutatiehoek ~ steeds kleiner moet
zijn dan ~/3:
1f I' < -3
(3.12)
Voorts moet deze eommutatie afgelopen zijn voordat de spanning
e negatief wordt. Als dat niet het geval is, wordt de stroom ae weer terug geeommuteerd van thyristor Tl naar T5 . Het gevolg zal
dan zijn dat thyristor T1 dooft en de stroom ig weer volledig
door thyristor T5 loopt. De commutatie is dan mislukt en de
gelijkrichter (die dan als wisselrichter werkt) kipt. Voor de
hoeken 0 en ~ ge1dt dus de voorwaarde:
o :S 0 < ~-~ (3.13)
Het verloop van enkele grootheden sis funetie van de tijd
Dankzij de symmetrie in de gelijkrichter is het voldoende om de
gelijkrichter gedurende slechts l/6e deel van een periode van de
voedende wisselspanning te onderzoeken om het verloop van de
47
spanningen en stromen in de gelijkrichter te bepalen. We zullen
hier het tijdsinterval onderzoeken dat verloopt vanaf het moment
dat thyristor Tl ontstoken wordt (wt--~/3+a) tot het moment
waarop thyristor T6 ontstoken wordt (wt-a).
Dit interval kunnen we in twee delen splitsen:
- De tijd dat de thyristoren Tl , TS en T4 geleiden (de hiervoor
beschreven commutatie):
w w - 3 + a < wt < - 3 + a + ~
Voor dit deel kunnen we met figuur 3.6 en de vergelijkingen
(3.4) en (3.10) afleiden: ,
i _ J3e w
(3.l4a) (COSet - cos(wt+3)} a 2wL c
ib I (3.l4b) g
i I J3e w (3.l4c) c g 2wL (COSet - cos(wt+3)}
c 3' "
(3.l4d) u - -ecos(wt+-) g 2 3
De tijd dat de thyristoren Tl en T4 geleiden:
" - 3 + a + ~ < wt < a
Voor dit deel kunnen we met figuur 3.6 en en vergelijking (3.4)
afleiden:
i a
i c
I g
o
(3.1Sa)
(3.1Sb)
(3.1Sc)
(3.1Sd)
Het overgangspunt tussen de twee deelintervallen kunnen we met
(3.11) bepalen.
Gebruik makend van de symmetrie in de schake ling kunnen we nu de
tijdsverlopen van
weergegeven. Het
i en u bepalen zoals die in figuur 3.8 z1Jn a g beschouwde interval is in deze figuur met een
dik lijnstukje op de tijdas voor de spanningen aangegeven.
48
I I I I I I I I t'll
u UgO
wt
io1
---Figuur 3.8 Het ver100p van enke1e grootheden a1s functie van
wt voor a-O.25 en ~-O.4.
De gemiddelde spanning aan de gelijkspanningszijde
De gemidde1de waarde van de ge1ijkgerichte spanning u (zie fig
guur 3.5) vo1gt uit de verge1ijkingen (3.14d), (3.15d) en (3.11):
a
- ~ J u dwt " "g a- 3
3 A 3 - -j3ecosa - -wL I
" " c g (3.16)
In figuur 3.9 is een vervangingsschema van de gelijkrichter
gegeven dat opgeste1d is op grond van (3.16). Bij het gebruik van
dit vervangingsschema moe ten we bedenken dat de getekende weer
stand geen "echte" weerstand is. In deze "weerstand" wordt geen
vermogen gedissipeerd. Hij vertegenwoordigt slechts het span
ningsverlies ten gevolge van de commutatie.
49
-; V3 e COS ex ~L_C>_I _:7r_3_W_L_IC ______ I_·9--<>~, Figuur 3.9 Een vervangingsschema van de gelijkrichter.
De grondharmonische stromen aan de wisselspanningszijde
Met behulp van Fourieranalyse kunnen we voor de grondharmonischen
van de (periodieke) stromen i • ib en i schrijven: a c
ial (wt)
i bl (wt)
iel (wt)
i cos(wt) + act
2 i cos(wt-3-,,)
act
i cos(wt-43-,,)
act
i sin(wt) rea 2 + i sin(wt-3-,,)
rea
+ i sin(wt- 43-,,)
rea
(3.l7a)
(3.l7b)
(3.l7c)
Hierbij komen de coefficienten
tievelijk. het grondharmonische
i en i overeen met, respec-act rea
vermogen (active power) en het
grondharmonische blindvermogen (reactive power). Gebruik makend
van de symmetrie in de schakeling en in het ontsteekpatroon van
de thyristoren kunnen we voor deze coefficienten met (3.14) en
(3.15) schrijven:
i act
i rea
3e 2wL "sinpsin(2a+p)
c A
~I (cosa + cos(a+p)} " g
3e 2wL ,,(p
c sinpcos(2a+p)}
In veel praktische geva1len mag de rimpe1 op
(3.18a)
(3.18b)
de gelijkstroom
verwaarloosd worden, zodat de bovenstaande beschrijving dan
gebruikt kan worden voor de stationaire toestand.
3.3 Het dynamische model
De in de vorige paragraaf gegeven beschrijving van de stationaire
toestand kan ook gebruikt worden bij langzame variaties in de
amplitude of de frequentie van de fasespanningen en de gemidde1de
waarde van de gelijkstroom.
Het op deze manier ingevoerde dynamiscbe model kunnen we nag ver
beteren door de spoe1 in het ge1ijkstroomcircuit te vergroten met
50
2L [Sue 77]. Deze vergroting komt overeen met de inductiviteit c
die vanaf de gelijkstroomzijde gezien wordt a1s er twee thyristo-
ren ge1eiden. Op deze manier kunnen we figuur 3.9 uitbreiden tot
figuur 3.10.
Figuur 3.10 Een vervangingsschema van de ge1ijkrichter
3.4 De vergelilkingen van de gelijkstroomtussentrap
In deze paragraaf zu11en de verge1ijkingen behorend bij het
schema in figuur 3.11 gegeven worden, voor zover die verderop in
dit verslag nodig zijn. Hierbij gaan we uit van de in de vorige
twee paragrafen gegeven vergelijkingen en het vervangingsschema
vo1gens figuur 3.10. Overa1 waar wt staat zu11en we echter wt-<
schrijven.
Figuur 3.11 De ge1ijkstroomtussentrap
Hiermee gaat (3.4) over in: A
e - e cos(wt-.) a
A 2 eb - e cos(wt-'-j~)
51
(3.19a)
(3.19b)
(3.19c)
De uitdrukkingen voor de grondharmonischen van de fasestromen
(3.17) gaan nu over in: A A
ia1 (wt) i tcos(wt-.) + i sin(wt-.) (3.20a) ac rea
A 2 A 2 ib1
(wt) i cos(wt-.--~) + i sin(wt-.--~) (3.20b) act 3 rea 3
A A
i c1 (wt) - i cos(wt-.-~~) . . ( 4 ) (3.20c) + ~ s~n wt-(--~ act 3 rea 3
Vol1edigheidsha1ve worden hier nog de verge1ijkingen (3.11) en
(3.18) en de voorwaarden (3.12) en (3.13) herhaa1d:
cosa
A
i act
A
cos (a+l')
A
2wL I c g x
j3e
3e 2wL ~sinpsin(2a+l')
c A
i rea 3e
- 2wL ~(I' c
~
I' < 3 o S a < ~-I'
- ~I (cosa + cos(a+I'») ~ g
(3.21)
(3.22a)
(3.22b)
(3.23)
A1s we het vervangingsschema van de ge1ijkrichter vol gens figuur
3.10 combineren met het ge1ijkstroomcircuit in figuur 3.11,
vinden we het vervangingsschema voor het gelijkstroomcircuit
volgens figuur 3.12
3 ,~" - V 3 e cos ()( .". ~I-&I>l+-C:I :=J~c:;::::Jcp+_ Ub 3 2lc ig 19 Rg
-WLc .".
Figuur 3.12 Een vervangingsschema van het gelijkstroomcircuit
Voor dit circuit ge1dt
di 3 A
(L +2L )--d g - -j3ecosa g c t ~
(i >0): g
3 (-wL +R)i - U
b ~ c g g (3.24)
Voor de beschrijving van de ge1ijkstroomtussentrap kunnen we ver
der vo1staan met de in deze paragraaf gegeven verge1ijkingen.
52
4 HET STATIONAIRE MODEL VAN EEN SYNCHRONE MACHINE MET
GELIJKRICHTER
4.1 De koppeling van het model van de synchrone machine met het
model van de gelilkrichter
In de voorgaande twee hoofdstukken zijn de synchrone machine en
de gelijkrichter als afzonderlijke componenten beschouwd. De
modellen die we voor deze twee componenten ontwikkeld hebben,
kunnen we niet zonder meer aan elkaar koppelen. In dit hoofdstuk
zullen we een methode behandelen waarmee een model van de
combinatie van de twee componenten samengesteld kan worden. Dat
zul1en we doen voor de stationaire toestand, waarbij we het
systeem volgens figuur 4.la zullen beschouwen.
Lg
a
Lg Rg
Figuur 4.1 De afsplitsing van de subtransiente inductantie
53
Naast de methode die we hier gaan behandelen zijn er echter ook
andere modellen mogelijk. Twee vereenvoudigde modellen [Rai 85;
Ern 85J zijn in [VIe 88J vergeleken met de hier behandelde
methode. Uit deze vergelijking is gebleken dat deze modellen
meestal te grote fouten opleveren.
Om de interactie tussen de machine en de gelijkrichter verder te
onderzoeken zullen we de harmonischeninhoud van de fasestromen
nader bekijken. Dankzij de symmetrie in de machine, de gelijk
richter en het pulspatroom van de thyristoren, zullen de fase
stromen een symmetrisch driefasig systeem vormen. Voor de fase
stromen kunnen we dan de volgende Fourierreeksen opschrijven:
~ A
i ~ i cos(npw top ) (4.1a) a 1 n m n n-
ib ~ A 2
(4.1b) ~ i cos(n(pw t-jw)-P )} 1 n m n n-
i ~ A 4
(4.1c) ~ i cos(n(pw t-jw)-P )} c 1 n m n n-
Dankzij de symmetrie-eigenschap i(pw t-w)--i(pw t) weten we dat m m aIle even harmonischen nul zijn. Voorts weten we dat het sterpunt
van de machine niet gebruikt wordt, zodat de fasestromen geen
harmonischen bevatten met een hoekfrequentie die een geheel
veelvoud is van 3pw . Hiermee kunnen we v~~r (4.1) schrijven: m
A
(4.2a)
Vervolgens passen we op de fasestromen de Park-trans forma tie
volgens (2.53) toe, waarbij we
W 7 - pwmt + 2
kiezen:
(4.3)
54
i - 0 o
(4.4a)
(4.4b)
(4.4c)
We zien in deze uitdrukkingen dat de grondharmonischen van de
fasestromen getransformeerd worden naar de gelijkstroomcomponen-
ten van
sehen de
iq en i d . We veronderstellen even dat deze grondharmoni
(synchrone) inductantie L aan de klemmen van de machine s
zien (plus een sinusvormige spanning).
De hogere harmonischen resulteren in componenten van iq en id met
hoekfrequenties die een veelvoud zijn van 6pw . Dit zijn relatief m
zeer hoge frequenties, zodat deze componenten vrijwel geen veran-
deringen in de rotorfluxen ~Q' ~F en ~D tot gevolg hebben.
we in paragraaf 2.7 gezien hebben, betekent dit dat we de
Zoals
span-
ningen eq
en ed
als constanten kunnen beschouwen, zodat de span
ningsbronnen in figuur 2.13 een sinusvormige spanning hebben. De
hogere harmonischen in de fasestromen zien aan de klemmen van de
machine dus alleen de (subtransiente) inductantie L"-(L~+Ld)/2.
Deze subtransiente inductantie zullen we van de synchrone induc
tantie aftrekken, zoals in figuur 4.1b is aangegeven. Op deze
manier vinden we de zogenaamde inwenrlige machine: de originele
machine min de subtransiente inductantie L"-(L~+Ld)/2.
weer een gewane synchrone machine, met dit verschil dat
Dit
hij
is
een
kortsluiting vormt voar hogere harmonischen, zodat de klemspan-.
ningen steeds sinusvormig zijn. Deze klemspanningen zijn alleen
afhankelijk van de bekrachtigingsstroom en de grondharmonischen
van de fasestromen (of de gelijkstroomcomponenten van iq en i d).
De inwendige machine kunnen we dus vervangen door drie sinus-
vormige spanningsbronnen e a , eb
,
gegeven. Met figuur 2.13 kunnen
schrijven:
zoals in fiuur 4.1c is weer-
voar deze spanningsbronnen
e a - ~(edCOS(7)+eqSin(7)} /2 2 2
eb - j3(edcos(7-3w)+eqsin(7-3w)}
/2 4 4 ec - j3(edcos(7-jw)+eqsin(7-3w)}
Met (4.3) kunnen we dit schrijven als:
ea ecos(pwmt-f) , 2
eb ecos(pwmt-f- 3W) , 4
ec - ecos(pwmt-f- 3W)
met:
; - 4 /e 2 +e 2 ,,3 d q
-arctan(:d) q
f -
55
(4.5a)
(4.5b)
(4.5c)
(4.6a)
(4.6b)
(4.6b)
(4.7a)
(4.7b)
Figuur 4.lc komt overeen met figuur 3.11 en de uitdrukkingen
(4.6) met de uitdrukkingen (3.19), zodat we bij gegeven e de
grondharmonischen in de fasestromen met de in paragraaf 3.4
gegeven vergelijkingen kunnen uitrekenen als we
gekozen. Hierbij moe ten we verder kiezen:
L" + L" d q
2
w-pw hebben m
(4.8)
Met de in hoofdstuk 2 gegeven vergelijkingen kan vervolgens de
spanning weer berekend worden. Via een iteratieproces kan de
stationaire toestand berekend worden.
In paragraaf 4.2 worden het benodigde stelsel vergelijkingen
opgesteld; in paragraaf 4.3 zal een methode gegeven worden om
deze vergelijkingen op te lossen.
4,2 De vergelilkingen
Voor de vergelijkingen voor de gelijkstroomcomponenten van id en
i gaan we uit van de vergelijkingen (2.54) tot en met (2.57). q
Daarbij houden we er rekening mee dat de afgeleiden hierin nul
zijn (stationaire toestand) en dat er geen stromen in de demper
wikkelingen lopen (i ld en i 1q zijn nul):
56
Ud - - R i - pw '" ad m q
uf Rfi f
"'d - Ldid + Lafdif
U - - R i + pw '" q a q m d
"'q L i q q
of:
U - Raid pc.> L i (4.9a) d m q q
- R i pwm(Ldid + u
f (4.9b) U + Lafd Rf
) q a q
Met (2.88) en (2.77) kunnen we nu uitdrukkingen voor e q en e d afleiden (de afgeleiden in (2.88) zijn nul):
u
eq pwm[(Ld-Ld)id + Lafd R:l + RQiq (4.10a)
ed - - PWm(Lq-L~)iq + (C~f+~)id (4.1Db)
De weerstandstermen in deze uitdrukkingen kunnen meestal verwaar-
loosd worden. Als het hier behandelde stationaire model echter
gebruikt wordt om de beginwaarden voor een dynamische simulatie
te berekenen, kan het nodig zijn om deze termen mee te nemen, om
te voorkomen dat er bij het begintijdstip van de sirnulatie een
klein sprongetje optreedt.
Als we (3.20) in (2.98) substitueren vinden we met 7-pw t+~/2 en m
(4.11a)
(4.11b)
Voor de stationaire toestand geldt voor de gelijkstroom di Idt-D. g
Hierrnee gaat (3.24) over in (w-pw ): m
3 ' 3 -J3ecosa - (-pw L +R)i + Ub ~ ~ m c g g
(4.12)
Volledigheidshalve worden hier nog de vergelijkingen (3.21),
(3.22) en (4.7) en de voorwaarden (3.23) herhaald (w-pw ): m
COSO'
i act
i rea
cos(a+l') -2pw L i m c g
x
j3e
3e 2 L sifll'sin(2a+l') pw ~
m c
3e [ 2pw L " I'
m c
(4.13)
(4.14a)
(4.14b)
; - !J Je 2 +e 2 ,,3 d q
• _ -arctan[:d) q
p < ! 0 S a < ~-p 3
57
(4.15a)
(4.15b)
(4.16)
De verge1ijkingen (4.10) tot en met (4.15) vormen een stelsel van
10 vergelijkingen met als 10 onbekenden: ed' eq , i d , A A
i , q
E, e,
iact' i rea , ig en p. Een mogelijke oplossingsmethode voor dit
stelsel zullen we in de volgende paragraaf bespreken.
4.3 Een oplossingsmethode
Een ana1ytische op1ossing voor het ste1se1 uit de vorige para
graaf is niet gevonden. Er zijn echter vele moge1ijkheden om dit
ste1se1 verge1ijkingen iteratief op te lossen. In deze paragraaf
zu11en we er een bespreken.
Bij de hier te bespreken methode kiezen we een waarde van p die
ligt tussen de waarden 0 en PM" Deze laatste waarde voIgt uit
(4.16): voor a<2~/3 ge1dt PM-~/3 en voor 2~/3<a<~ ge1dt PM-~-a.
Met de gekozen waarde van p kunnen we achtereenvolgens een aantal
grootheden berekenen met de in de vorige paragraaf gegeven
vergelijkingen. De overb1ijvende vergelijking wordt gebruikt als
een foutcriterium, op grand waarvan weer een nieuwe waarde van p
gekozen kan worden. Voor deze iteratie wordt in de bijbehorende
software (zie bij1age 1) de methode Newton-Raphson gebruikt.
A1s we i uit (4.12) en (4.13) elimineren, vinden we: g
A
2~pw L Ub m c
j3(3pw L +d ) e _ __ __________ -=m~c~~g~~-------
6pw L m c
cos(a+p) + cosa(3 L R - 1) pw +~ m c g
(4.17)
Dit is dus een uitdrukking voor e a1s functie van p. Met (4.14)
kunnen we vervolgens bepa1en:: A
A 3e i 2 L sinpsin(2a+p) (4.18a) act pw ~ m c A
A 3e i 2pw L ~(p - sinpcos(2a+p)} (4.18b) rea m c
58
Uit (4.15) voIgt:
j3 • ed - - l2 e sinE (4.19)
A1s we nu (4.11) en (4.19) in (4.10b)substitueren, vinden we een
verge1ijking waaruit E voIgt: A A A 2 A A
esim-pw (L -L")(i cosE-i sinE)+(C::Rf+R-)(i sinE+i COSE) m q q act rea ~- ~~ act rea
of:
Vervo1gens kunnen we e berekenen met (4.15): q
(4.20)
j3 • eq - l2 e COSE (4.21)
en id en iq met (4.11):
~ . .
id - - 2 (i sinE + i COSE) (4.22a) act rea j3 • •
i 7n2 (i COSE - i sinE) (4.22b) q .£ act rea
A1s we nu e , id en i in (4.10a) substitueren, kunnen We zien of q q
de gekozen waarde van ~ vo1doet:
u ? pwm{(Ld-Ld)id + Lafd R~) + RQiq - eq 0 (4.23)
Tijdens de iteratie moet er steeds voor gezorgd worden dat O<~<~M
ge1dt.
In deze paragraaf is in verband met de overzichte1ijkheid ~ a1s
iteratievariabe1e gebruikt. In een aanta1 geva11en is echter
gebleken dat de iteratie in minder slagen verloopt a1s in p1aats
van ~ de grootheid e a1s variabe1e gekozen wordt. Deze methode is
echter minder overzichtelijk, zodat hij waarschijn1ijk aIleen
interessant is in geval1en waarbij de stationaire toestand vele
malen berekend moet worden.
59
5 HET DYNAMISCHE MODEL VAN EEN SYNCHRONE MACHINE MET
GELIJKRICHTER
5.1 In1eiding
Voor het dynamische model van de synchrone machine met ge1ijk
richter zu11en we, net a1s in hoofdstuk 4, a11een de grondharmo
nischen van de fasestromen beschouwen. Nu mogen de amplitude, de
fase en de hoekfrequentie van deze grondharmonischen echter weI
veranderen. Om toch het ge1ijkrichtermode1 vo1gens paragraaf 3.4
te mogen gebruiken, moe ten deze veranderingen 1angzaam zijn ten
opzichte van de commutatieverschijnse1en.
Zoa1s we in paragraaf 4.1 hebben gezien, worden de grondharmoni
sche componenten in de fasestromen getransformeerd naar ge1ijk-
stroomcomponenten in de stromen id en iq
. In het
beschouwden we a11een deze ge1ijkstroomcomponenten.
mach inemode 1
A1s de grond-
harmonischen "langzaam" varieren, zu11en ook de "ge1ijkstroom"
componenten in id en iq dat doen. Deze "ge1ijkstroom"-componen
ten, een soort korte-termijn-gemidde1den, zu11en we gebruiken in
het machinemodel.
In het stationaire geval nemen we aIleen de gelijkstroomcomponen-
ten in id en iq
frequenties die
mee en verwaarlozen we de componenten met hoek
een gehee1 vee1voud zijn van 6pw (zie (4.4». De m hoekfrequentie van de variatie van de "ge1ijkstroom'-component
moet dan ook vee1 k1einer zijn dan 6pw . Dit betekent dat a1s, m bijvoorbeeld, de frequentie van de grondharmonisch van de fase-
stroom 50 Hz is, de frequentie van de verandering van de grond
harmonische veel kleiner moet zijn dan 6x 50 Hz - 300 Hz.
Verder wordt, net a1s in hoofdstuk 3, de rimpe1 op de ge1ijk
stroom verwaarloosd.
5.2 De verge1iikingen
Voor de verge1IjkIngen van de ge1Ijkrichter kunnen we uItgaan van
de In paragraaf 3.4 gegeven betrekkingen (3.21), (3.22) en (3.24)
met w-pw (i >0): m g
60
2pc.> L i cosa cos(a+~) _ mAc g
i act
J3e
3e 2 L sinpsin(2a+~) pc.> 1< m c
3e i 2 L (~- sin~cos(2a+~») rea pWm c1r
di 3 A 3 (L +2L )--d g - -J3ecosa - (-pc.> L +R )i g c t 1< 1< m c g g
De "gelijkstroomn-componenten van id
de in hoofdstuk 4 afge1eide betrekking J3 A A
id - - 72 (iactsine + ireacose) J3 A A
iq - 72 (iactcose - ireasine)
(5.1)
(S.2a)
(S.2b)
(5.3)
en i kunnen we vinden met q
(4.11):
(S.4a)
(S.4b)
Voor de beschrijving van de synchrone machine grijpen we terug
naar de paragrafen 2.7 en 2.8. Hieruit kunnen we de verge1ijkin
gen (2.90) en (2.91) rechtstreeks gebruiken:
~
- R [l - iJ Q LaQ
_ u _ R [~f _ ~D f f L f LfD
Verder hebben we verge1ijking (4.7) nog nodig:
A J2 e - -r-; Je 2 +e 2
,,3 d q
(S.Sa)
(S.Sb)
(S.Sa)
(S.6b)
(S.6c)
(S.7a)
e - -arctan[:d) (5. 7b) q
Voor de parameters in de bovenstaande verge1ijkingen zijn de
uitdrukkingen (2.84) en (4.8) nog van be1ang:
(S.8a)
(S.8b)
L e
L" + L" d q
2
61
(5.8e)
(5.8d)
De verge1ijkingen (5.1) tot en met (5.7) met (5.8) besehrijven
een model van de synchrone machine met ge1ijkrichter met wQ' wf '
wD en ig a1s toestandsvariabelen, uf en ~ a1s ingangsgrootheden
en p, Ld , L~, LaF , LaD' ~F' CF, RQ, Rf , ~, Rg en Lg a1s para
meters voor het geva1 dat w gegeven is. Dit ste1se1 kan met een m
simu1atieprogramma betrekke1ijk eenvoudig opgelost worden. Daar-
toe kunnen, uitgaande van de toestandsvariabe1en, achtereenvol
gens de vo1gende bewerkingen uitgevoerd worden:
- berekening van ed en eq
met (5.5); A
berekening van e en • met (5.7);
berekening van ~ met (5.1); A ,
berekening van i en i met (5.2); act rea
berekening van id en iq met (5.4);
integratie van de verge1ijkingen (5.3) en (5.6).
Bij het op1ossen van het stelsel moe ten we er steeds voor zorgen
dat aan voorwaarde (3.23) vo1daan is:
" 1'<3 o oS Q < "-I' (5.9)
Voorts zu1len we vaak graag de rotorstromen willen weten. Deze
kunnen we met (2.92) uit de toestandsvariabelen bepa1en:
W i _l
Q LaQ
i - - i D d
i q
Wf +u f
Het e1ektromechanische koppel vo1gt uit (2.94):
(5.10a)
(5.10b)
(5.10c)
m - P(id(Lqiq+WQ) - iq(Ldid+CFWf+WD») (5.11)
In bij1age 2 wordt een voorbeeld van het gebruik van het hier
beschreven model gegeven.
62
6 DE PARAMETERBEPALING
6.1 Achtergronden en keuze van de bepalingsmethode
Inleiding
am het ontwikkelde model te kunnen verifieren en toepassen,
moeten we de modelparameters weten. Van de in de paragraaf 5.2
genoemde parameters zijn er een aantal vrij eenvoudig te bepalen.
Bij andere treden echter complicaties op, doordat er in het model
geen rekening is gehouden met bijvoorbeeld skin- of hysterese
effect, of doordat een fysische interpretatie van de parameter
ontbreekt. Verder wordt de bepaling van parameters vaak bemoei
lijkt doordat veel (gewenste) metingen in de praktijk niet uit
voerbaar zijn. Vanwege deze complicaties zullen we het probleem
van de parameterbepaling in deze paragraaf in een wat breder ka
der bekijken. Omdat de parameters voor de gelijkstroomtussentrap
vrij eenvoudig te bepalen zijn, zullen we onze aandacht in dit
hoofdstuk aIleen richten op de bepaling van de machineparameters.
OverzichC van gebruikeliJke meChoden voor parameCerbepaling
Parameterbepaling wordt in de literatuur gezien als een speciaal
geval van identificatie: het bepalen van een model binnen een
gegeven klasse van modellen, dat zo goed mogelijk het gemeten
ingang-uitganggedrag van een gegeven systeem beschrijft. Het hier
beschreven model van de synchrone machine met gelijkrichter,
waarin de parameters nog niet vastliggen, vormt een bepaalde
klasse van modellen; het bepalen van parameters kamt neer op het
selecteren van een model uie deze hele klasse.
In de literatuur kunnen we een aantal strategieen vlnden om de
parameters van de synchrone machine te bepalen. Hierbij kunnen we
de verschillende methoden op de volgende vier aspecten onder
scheiden: on-line tegenover off-line, klein tegenover groat sig
naal, parametrisch tegenover niet-parametrisch en stategieen die
al dan niet ruis op de meetsignalen in de bepaling meenemen.
On-line-metingen en -schattingen worden vaak voorgesteld als een
onderdeel van systeemregelingen [Lan 83; Bol 82]. Zij verlangen
kleine excitatie-signalen, waardoor aIleen het klein-signaal
gedrag kan worden beschouwd.
63
Om hysterese- en verzadigingseffecten te kunnen schatten zullen
echter grote excitatie-signalen toegepast moe ten worden.
Niet-parametrische schattingen onderscheiden zich van hun para
metrische tegenhangers in de grootheden die geschat worden: niet
parametrische methoden zijn gericht op de bepaling van impuls- of
stapresponsies, terwijl parametrische methoden de parameters van
een bepaald model bepalen.
Het als laatste genoemde onderscheid betreft de rol van ruis in
de schattingsstrategie. In experimenten en laboratoriumsituaties
kunnen de meetsignalen vaak zo gekozen worden dat de ruis niet
significant is. In deze gevallen worden schattingsmethoden voor
gesteld die ruis-effecten niet in beschouwing nemen. In andere
situaties kunnen de meetsignalen soms sterk vervuild zijn met
(onvermijdelijke) ruis. In deze gevallen moet in de schattings
methode met zowel ruiseffecten als deterministische effecten
rekening gehouden worden.
Een ander belangrijk aspect van de schattingsstrategieen uit de
literatuur 'is de keuze van de excitatie van het systeem. Globaal
kunnen we twee soorten excitaties onderscheiden: de determinis
tische en de (pseudo-)stochastische. Het laatste type lijkt veel
belovend voor toepassingen in combinatie met correlatietechnieken
bij on-line-schattingen, maar kan niet over een groot vermogens
bereik toegepast worden. Deterministische signalen zijn gewoon
lijk stapvormig [Sha 77; Rit 86J, ramp-vormig [Iri 86J of sinuso
idaal [Wat 74J. Stap- en ramp-functies zijn relatief eenvoudig te
realiseren, maar zijn praktisch beperkt in bandbreedte; metingen
met sinusvormige signalen moe ten voor een groot aantal frequen
ties uitgevoerd worden en vergen daardoor nogal veel tijd.
In ons geval lijkt een stilstandsproef met een stapvormige exci
tatie aan de statorkant het meest geschikt, omdat in verb and met
de toepassing bij ander onderzoek de praktische bruikbaarheid een
grote rol speelt. Een dergelijke schattingsprocedure kan worden
geklassificeerd als off-line en werkt met een groot signaal en
een geparametriseerd model. Met ruiseffecten wordt geen rekening
gehouden.
Wiskundige achtergrond
De wiskundige achtergrond van de gekozen parameterbepalings
methode is vrij algemeen bekend; zie bijvoorbeeld [Eyk 74J. In de
64
hie rna volgende summiere beschrijving beschouwen we een systeem
waarvan we de in~ en de uitgangsgrootheden kunnen meten en waar~
voor een geparametriseerd model beschikbaar is. Veronderstel dat
dit model de ingang-uitgangrelatie beschrijft met
(6.1)
waarin ~, y, 0 and 8 vectoren voorstellen die, respectievelijk,
de ingangssignalen, de uitgangssignalen, de nulvector en de
parameters representeren. Elke component van ~ en y stelt een
ingangs· of een uitgangssignaal voor en aIle componenten zijn dus
functies van de tijd. De componenten van de vector 8 zijn
cons tan ten. De vectorfunctie f is bekend. In het geval van een
lineair model is f een stelsel lineaire differentiaalvergelij
kingen.
Als we het systeem (fysisch) exciteren met het ingangssignaal
~~~O(t), kunnen we de responsie van het systeem, het uitgangs
signaal YO-Yo(t), meten. Substitutie van ~ en Yo in (6.1) resul
teert in
(6.2)
Dit is een vergelijking waaruit ! kan worden opgelost als ~O goed
gekozen is en als het algemene model het systeem exact be
schrijft. In praktische situaties zullen meetfouten, ruis en mo
delonvolkomenheden tot gevolg hebben dat er geen oplossing voor ! is. In dat geval kan er alleen een zodanige ! bepaald worden dat
zo goed mogelijk aan (6.2) wordt voldaan. Om deze 8 wiskundig te
kunnen bepalen hebben we een foutcriterium nodig. Dit criterium
wordt geformuleerd als een scalaire functie Evan !, ~O en
waarvan het minimum per definitie overeenkomt met de "beste'
waarde van 9. We zullen deze waarde fa noemen.
De functie E (de zogenaamde kostenfunctie) kan tamelijk vrij
gekozen worden. Omdat verschillende keuzen in het algemeen tot
verschillende schattingsresultaten zullen leiden, moet bij het
maken van de keuze rekening gehouden worden met het doel waarvoor
het model gebruikt gaat worden. In sommige gevallen bepaalt de
toegepaste schattingsmethode de kostenfunctie (bijvoorbeeld bij
de nmaximum likelihood estimation" gebaseerd op a-priori-
statistische informatie).
Meestal zijn ~ and Yo functies van de tijd en zijn ze gegeven
als een verzameling monsters op K opeenvolgende momenten tl tot
65
tK" Als we het k·de monster van ~O en Yo aangeven met, respectie
velijk, ~O(k) en YO(k) , en we de modelfunctie i beperken tot een
dimensie, kunnen we de kostenfunctie E definieren als:
K 2 E - E e
k-l k (6.3)
waarin de K functies ek
, de zogenaamde residu-functies, gegeven
worden door:
(6.4)
In een ideaal geval (dat wil zeggen dat het model het systeem
exact kan beschrijven en dat er geen ruis optreedt) zal er een
!-!O zijn, zo dat aan (6.2) wordt voldaan. Daarmee zijn alle ek (en dus E) gelijk aan nul. Omdat E een kwadratische functie van
ek is, bereikt E een minimum voor deze !o. Als dit minimum uniek
is zal het zoeken naar het minimum van E exact !O' opleveren:
onze schattingsstrategie is dus correct. Als de situatie afwijkt
van het ideale geval, zal het minimum van E groter dan 0 zijn:
hoe groter de afwijking, hoe groter het minimum. E(!o) en ek(!O)
zullen op deze manier een indruk geven van de mate waarin het
model feitelijk verband kan leggen tussen de beschouwde meetgege
vens. De grootheden zijn een algemene maat voor de nauwkeurigheid
waarmee het model het systeem beschrijft (voor zover de meetgege
vens informatie over het systeem bezitten).
Een minimalisatie van (6.3) kan bereikt worden met algemeen
bekende numerieke minimalisatiemethoden (bijvoorbeeld kleinste
kwadraten, Newton-Raphson, Steepest Descent en Marquardt).
In sommige gevallen heeft E geen uniek minimum. Het zoeken naar
het minimum zal dan theoretisch tot meer dan een set parameters
leiden. Als het minimum numeriek gezocht wordt, kan er zich een
aantal problemen voordoen, die meestal tot gevolg hebben dat het
zoeken mislukt. Een niet-uniek minimum van E wordt meestal ver·
oorzaakt door een ongeschikte keuze van de modelvergelijking, de
excitatie ~ of een combinatie van deze twee.
De keuze van ~ is niet willekeurig en evenmin voor de hand lig
gend. Er bestaan excitaties ~ waarbij geen parameters geschat
kunnen worden (beschouw bijvoorbeeld het triviale geval van de
nul-excitatie, ~-Q). Een excitatie die de noodzakelijke informa
tie voor een schatting levert, wardt persistently exciting ge
noemd. Dit houdt over het algemeen in dat het frequentie-spectrum
van de excitatie een grotere bandbreedte heeft dan het gedrag van
66
het systeem.
Een nadere behandeling van het probleem van de keuze van de
modelvergelijking en de excitatie valt buiten het kader van dit
verslag.
We kunnen concluderen dat er in theorie drie mogelijke beperkin
gen zijn aan de beschreven manier van parameterbepaling:
In hoeverre parameters zinvol bepaald kunnen worden, hangt in
hoge mate af van hoe nauwkeurig het model de werkelijkheid
beschrijft.
Parameters kunnen niet zinvol bepaald worden, als er in de
gemeten gegevens geen informatie over de parameters aanwezig
is. De gekozen excitatie moet het systeem voldoende exciteren.
Als het model niet exact is zijn de bepaalde parameterwaarden
aileen geldig bij de gemeten signalen. Er is geen garantie dat
de waarden gelden voor de beschrijving van ander gedrag.
De benodigde parameters
Zoals we in paragraaf 2.7 en paragraaf 3.4 kunnen terugvinden,
hebben We voor het ontwikkelde model van de synchrone machine met
gelijkrichter de volgende parameters nodig:
voor het geliJ·kstroomcircuit en de mutator: L en R . g g' voor de
LFD , ~, Rf en CF .
Het poolpaartal p is een duide11jk gegeven. De overige parameters
kunnen in drie groepen bepaald worden. De eerste groep bestaat
uit R en L, g g
de tweede uit de parameters voor de q-as van de
synchrone machine (R , L", L Q en R-) en de laatste uit de para-a q a 4
meters voor de d-as (Ra , Ld, LaD' LaF , LFD , ~, Rf en CF).
Omdat de bepaling van R en L eenvoudig is, zal hier geen aan-g g
dacht aan besteed worden. In dit hoofdstuk zullen we verder kij-
ken naar de bepaling van de parameters van de synchrone machine
met behulp van een stilstandsproef. Hiertoe wardt eerst de meet
opstelling beschreven en wordt vervolgens de bepaling van de
parameters voor de q-as, respectievelijk, de d-as beschouwd.
67
6.2 De meetopsteiiing
De gebruikte machine
De schattingen werden uitgevoerd aan een in het laboratorium
beschikbare synchrone machine die ook voor de modeiverificatie
gebruikt is. Dit is een vierpoiige (p-2) machine van 24 kVA die
geinverteerd is uitgevoerd (driefasenwikkeiing op de rotor;
bekrachtigingswikkeiing op de stator). De machine heeft demper
wikke1ingen in de vorm van een demperkooi met massieve ci1indri
sche staven in ha1fges1oten gleuven in de stator. De stator is
geiamineerd zonder iso1atie tussen de 1ame11en.
Hoewe1 de beschrijving in feite een geinverteerde machine
betreft, zijn alle tekeningen in dit vers1ag van een "gewone"
machine (met de driefasenwikke1ing op de stator en de bekrachti
gingswikke1ing op de rotor).
De stilstandsproef
Bij de stiistandsproef maken we gebruik van twee van de drie
statork1emmen. Hier zu11en we de k1emmen a en b gebruiken, zoais
in figuur 6.1 is aangegeven. Voor de in deze figuur aangegeven te
meten grootheden u en i geidt:
u -u ~ a
i ib - i a
Verder ge1dt:
i c - 0
bran
transient
recorder
+ u
Figuur 6.1 Het meetcircuit
if + uf
'-...... -----
(6.5a)
(6.5b)
(6.6)
68
Als we de d-as in de richting van de veldas van de twee in serie
geschakelde spoelen a en b draaien, meten we de d-grootheden van
de machine (zie figuur 6.2a). Dit is het geval voor de positie
hoeken 7--~/6 en 7-5w/6. We kunnen dit ook afleiden met de verge
lijkingen (6.5) en (6.6) en de Park-transformatie volgens (2.53):
~
id - J2i - J2u i 0 (6.7a) 7 - 6 u d q
5 id - J2i u - - J2u i 0 (6.7b) 7 - 6~ d q
u u
Figuur 6.2 De rotor in de d-positie (a) en in de q-positie (b)
Als we de q-as in de richting van de veldas van de twee in serie
geschakelde spoelen a en b draaien, meten we de q-grootheden van
de machine (zie figuur 6.2b). Dit is het geval voor de positie
hoeken 7-~/3 en 7--2~/3. Dit kunnen we ook afleiden met de verge
lijkingen (6.5) en (6.6) en de Park-transformatie vol gens (2.53):
~ i - - J2i J2u id - 0 (6.8a) 7 - 3 u-
q q 2 i J2i - J2u id - 0 (6.8b) 7 3~ u -q q
Om er voor te zorgen dat de q- of de d-as in de richting van de
veldas van de twee in serie geschakelde spoelen a en b komt te
staan, wardt de rotor langzaam gedraaid terwijl er een wissel
stroom door het bekrachtigingscircuit wordt gestuurd. Als de d
positie is bereikt, zal de (wissel)spanning u maximaal zijn
(u -0). Deze spanning zal juist nul zijn als de q-as in de rich-c
ting van de veldas van de twee in serie geschakelde spoelen
staat.
69
6,3 De bepaling van de parameters voor de q-as
In deze paragraaf komt de gevolgde procedure voor de bepaling van
de parameters v~~r de q-as in detail aan bod. De paragraaf wordt
afgesloten met enkele schattingsresultaten.
De gebruikte meetopstelling
In onze experimenten hebben we twee bronnen gebruikt: een batte
rij en een gelijkspanningsnetvoedingsapparaat. Beide werden via
de thyristorschakeling volgens figuur 6.3 met de fasewikkelingen
verbonden. Nadat de schakelaar S is gesloten. wordt de thyristor
T ontstoken. De vrijloopdiode 0 is in de schakeling opgenomen om
schade te vermijden die kan optreden ten gevolge van de hoge
inductiespanningen die ontstaan bij het plotseling onderbreken
van de stroom i.
S T +
+ gelijkspan- 0 u ningsbron
Figuur 6.3 Het verkrijgen van de excitatie
Een meting wordt uitgevoerd door de thyristor te ontsteken en de
spanning u en de stroom i gedurende een voldoende lange tijd te
registreren.
Hetingen
Met de hiervoor beschreven meetopstelling zijn negen metingen
uitgevoerd. Oit nam Minder dan een half uur in beslag. Voor de
meting en registratie van de stroom i. via een nulfluxstroom
transformator. en de spanning u werd gebruik gemaakt van een
transi~ntrecorder en een personal computer. De gebruikte recorder
70
heeft een pre-trigger-mode en kan met twee simu1tane tijdbases
werken. Beide moge1ijkheden werden gebruikt: van 2 ms voor de
ontsteking van de thyristor tot 140 ms daarna werd een bemonste
ringstijd van 0,2 ms gebruikt; de volgende 1300 ms werden met een
bemonsteringstijd van 2 ms opgenomen. Na beeindiging van de regi
stratie werd de stroom uitgeschake1d en werden de meetgegevens
met behulp van een personal computer op een floppy disk gezet.
Bij de eerste 7 metingen werd een batterij van 4 V gebruikt als
voeding; bij meting 8 werd een batterij van 10,5 V en bij meting
9 werd een ge1ijkspanningsnetvoedingsapparaat van 5 V gebruikt.
De metingen 1 tot en met 7 bestonden uit positieve en negatieve
stapexcitaties in de vo1gorde 1:+, 2:+, 3:-, 4:-, 5:+, 6:+ en
7:+. Het doel van het afwisselen van positieve en negatieve exci
taties was om de invloed van hysterese op de schattingsresultaten
te onderzoeken.
Hodelvergelijkingen en residuen
Voor de q-as hebben we vier parameters nodig: Ln, L Q' R , en R
Q. q a a
Deze parameters kunnen we in verband brengen met u en i met een q q
modelvergelijking
(2.85a) en (2.86a)
die we kunnen vinden door ~Q te elimineren uit
met w -0: m
L du (t) o - u (t) + aQ q + R i (t) +
q RQ dt a q
+ (L~ + LaQ + R di (t) L d2i (t) ~ ) ----'Q~- + L" aQ _-;-,QL-_
RQ aQ dt q RQ dt (6.9)
Het verband tussen u en de gemeten spanning u en tussen i en de q q
gemeten stroom i kunnen we met (6.8) berekenen.
Zoals we later zullen zien is het beter om deze vergelijking over
de tijd te integreren en met RQ/LaQ te vermenigvuldigen:
R t
o - ~ Ju (T)dT + U (t) aQ q q
-'"
R t
+ LQ R Ji (T)dT + aQ a q
-'" di (t)
+ V' q q dt
(6.10)
Met de meetgegevens en de mOdelvergelijking kunnen we voor de K
tijdstippen
RQ Lalk
aQ met
_00
a 2k uq(tk )
tk
a3k - f iq(T)dT _00
a4k - iq(tk )
diq(t)1 aSk d t t-t
k
De coefficienten
71
(6.11b)
(6.11c)
(6.11d)
(6.11e)
(6.11f)
a ik volgen direct (a2k , a4k) of indirect (alk
,
a3k , aSk) uit de meetgegevens. We kunnen diverse numerieke
methoden gebruiken om de integralen en de afgeleide te berekenen
(zie bijvoorbeeld [Dah 74]).
Zoals we nu gemakkelijk kunnen zien, zou de keuze van (6.9) in
plaats van (6.10) als basis voor de residufuncties ertoe geleid
hebben dat we informatie over de afgeleide van u (du Idt) zouden q q
moe ten hebben. Bij het gebruik van een stapvormige excitatie is
deze informatie geconcentreerd op het moment van de sCap, waar
door de afgeleide alleen goed bepaald kan worden wanneer een zeer
hoge bemonsteringsfrequentie wordt toegepast. Dit zou leiden tot
een minder praktische meeting, terwijl het probleem eenvoudig met
(6.10) vermeden kan worden.
Nadat de coefficienten alk
, a3k en aSk zijn berekend, kunnen we K
vergelijkingen in de vier onbekende parameters R , L Q' RQ en L" a a q
opstellen. De kostenfunctie (6.3) kan nu geminimaliseerd worden
ten aanzien van deze parameters. Voor redelijke resultaten moet K
aanzienlijk groter zijn dan 4. Voor de minimalisatie gebruiken we
het algoritme van Marquardt [Mar 63].
Resultaten van de schattlngen
In dit onderdeel van deze paragraaf bespreken we een aantal re
sultaten van de parameterschattingsprocedure. Allereerst bekijken
we hoe de schatting belnvloed wordt door het feit, dat de begin
helling van de gemeten stroom niet constant is, terwijl het model
een constante beginhelling kent bij een stapvormige excitatie.
Daarna bekijken we wat de invloed van hysterese op de schattings
resultaten is.
De gegevens van meting 1 werden gebruikt voor S schattingen. Voor
72
elk van deze schattingen werd een andere deelverzameling van de
monsters gebruikt. We kunnen een deelverzameling van de monsters
aangeven met de tijdstippen ~ van de monsters:
(6.12)
Hierin is t1 het eerste tijdstip waarop bemonsterd wordt na het
moment van ontsteken en is T de bemonsteringsperiodetijd. Er
worden vijf deelverzamelingen gekozen met oplopende t1 (zie tabel
6.1). K is steeds zodanig gekozen dat het laatste bemonsterings
tijdstip op ongeveer 0,6 s 1igt.
NtuDlDer deel- t1
(ms) T (ms) K
verzameling
1 1 4 ISO
2 2 4 ISO
3 4 4 149
4 8 4 148
S 16 4 146
Tabe1 6.1 De verschil1ende deelverzamelingen
De figuren 6.Sa tot en met 6.Sd geven de schattingsresultaten als
functie van tl
. Figuur 6.Se geeft de waarde van de kostenfunctie
E gedeeld door het aantal monsters K. Deze waarde geeft een
globale indicatie van hoe goed het model verband kan leggen
tussen de meetgegevens. Bij kleiner wordende tl wordt E fors gro
ter. De eerste bemonsteringstijdstippen na het ontsteken van de
thyristor bevatten informatie die niet door het model verklaard
kan worden. Het kiezen van een kleinere waarde van tl resulteert
zo in een slechtere "fit". Aan de andere kant wordt bij grotere
tl Minder deterministische informatie uit de meetgegevens in de
schatting meegenomen en krijgen de schattingsresultaten dus een
beperktere geldigheid. Dit overwegende, kunnen we constateren dat
de beslissing welke waarde van t1 de beste schattingsresultaten
geeft een compromis zal zijn.
0.2270
'2 4
V Ro(a), 0.195
0.190
0.185
0.180
0.175
'2 4
V !:('O -<lV2) K
Z5
'5
,a
5
a '2 4
8
8
o
8
,. t,(ms)-
• •
,. t,(m.)-
,. t ,(ms).-
73
~ 4.2
L~ (mH) ,
• 4.0
3.8
3 ••
3.4
'2 4 8 ,. t,(m.)_
V (mH) ,
17.6
./ LaQ+L~ 17.4
'4-0
LaQ 13.8
• 13.6 • 13.4
'2 4 8 ,. t,(ms)_
Figuur 6.5 Schattingsresultaten voor verschillende deelverza
melingen volgens tabel 6.1.
Het feit dat het model blijkbaar onvolkomen is, kan veroorzaakt
worden door het skin-effect. Hierdoor veranderen de weerstand en
de inductiviteit van de demper als het ware als functie van de
tijd die verlopen is nadat de stap-excitatie is toegevoerd:
74
meteen na de stap zal de inductiviteit kleiner en de weerstand
groter zijn dan op een later tijdstip.
Om het effect van hysterese te kunnen beoordelen, worden de para
meters geschat met behulp van de gegevens van de metingen 1 tot
en met 9. Hierbij wordt gebruik gemaakt van deelverzameling 2 in
tabel 6.1. De resultaten zijn in figuur 6.6 weergegeven als
functie van het nummer van de meting.
v
V
RaCD),
Q.2271I • •
azen
a.2Z7!l ~ 0.2273
, 2 3 4 • • 7 • • h_
Raca)! 0 ....
0.195
0.'00
•
123 + 5 8 7 e 9
h-
~
V
~CmH) ... , •
• 3.5
3.+
, 2 3 4 • • 7 • • h-
LQQ(mH)
10.5 , , ... •
•
'4.5
'4.0
1 Z 345 8 7 e 9
h_
Figuur 6.6 Herhalingsresultaten als functie van het nummer van
de meting voor deelverzameling 2: tl
-2ms; T-4ms;
K-150ms. Voedingsbron:
batterij van 4 V
o batterij van 10,5
6 netspanningsvoedingsapparaat van 5 V
75
Het hystereseverschijnse1 is de be1angrijkste bron van verschi1
tussen opeenvo1gende metingen. De gemidde1de toename van de
waarde van R wordt waarschijn1ijk veroorzaakt door een stijging a
van de temperatuur, maar de verschi11en zijn klein in verge1ij-
king tot de meetonnauwkeurigheid.
Nauwkeurigheid
De nauwkeurigheid van de bepaa1de parameterwaarden hangt niet
a11een af van mode1vereenvoudigingen (zoa1s skin-effekt en hyste
rese, die hiervoor besproken zijn) , maar ook van de mate waarin
meet- en rekenfouten doorwerken op de schattingsresultaten.
In tabe1 6.2 staan de nauwkeurigheidsgegevens van de gebruikte
apparatuur. G1obaa1 komen de meetonnauwkeurigheden voor zowel de
spannings- a1s de stroommeting neer op 0,1%.
nauwkeu-
righeid
off-set
ruis
Tabe1 6.2
transient- nu1f1uxstroom-
recorder transformator
0,05% + 0.01%
0,05% van bereik (ratio fout)
+ 1 LSB 0.2mV (vol
(van de 14 bits) bereik is 10V)
20 I'V RMS 0.5 mV RMS (vol
+ 1/2 LSB bereik is 10V) -
Nauwkeurigheidsgegevens van de gebruikte
instrumenten.
Uit enke1e numerieke experimenten vo1gen waarden voor de mate
waarin deze onnauwkeurigheden doorwerken. In tabel 6.3 zijn aile
betrokken gegevens samengevat. De rekennauwkeurigheid wordt in
hoofdzaak begrensd door de berekening van de afge1eiden en
integra1en van de meetseries.
76
R L" RQ LaQ a q
meetonnauw-
keurigheid 0.1% 0.1% 0.1% 0.1%
rekenfouten 0.0% 1% 0.4% 0.4%
skin-effect z 0.2% z 10% z 5% z 2%
hysterese 0.2% z 5% z 5% z 10%
Tabel 6.3 Totale onnauwkeurigheid van geschatte parameter
waarden
In tabel 6.3 kunnen we duidelijk zien dat voor de beschouwde
machine een verfijnde schattingsmethode niet zinnig is, of schoon
enige extra nauwkeurigheid verkregen kan worden bij de berekening
van de integralen (door verhoging van de bemonsteringsfrequentie
bij de registratie van de spanning u) en de afgeleide (door toe
passing van een hogere-orde-benadering).
Bij aIle parameters veroorzaken modelonvolkomenheden de belang
rijkste schattingsverschillen. Zoals verwacht werd, veroorzaken
hystereseverschijnselen en het skin-effect in de demper verschil
len tussen het systeem- en het modelgedrag.
We kunnen de met de hier beschreven methode behaalde schattings
resultaten vergelijken met die van eerdere metingen [Hoe 84a]:
R 0.232 0 a
L" 3.5 mH (bij 50 Hz) q
RQ 0.2 0
L" + LaQ 19.3 mH q
De weerstand R is waarschijnlijk lets hoger doordat de temperaa
tuur bij de eerdere metingen iets hoger was. De waarden van L" en q
RQ zijn met een sinusvormige excitatie bepaald en zijn afhanke-
lijk van de frequentie. De waarde van L"+L Q is gemeten met een q a
positieve stapvormige excitatie nadat eerst een grate negatieve
stroom i was toegevoerd. De uit deze (eerdere) proef volgende
waarde
waarde
LaQ
-15.8mH moet
in figuur 6.6d.
dan oak vergeleken worden met de hoogste
77
6.4 De bepaling van de parameters voor de d-as
Er is geprobeerd om de parameters voor de d-as op soortgelijke
wijze als bij de q-as te bepalen. Rierbij werd de stator met een
(ongeveer) stapvormige spanning u geexciteerd en werden de
statorstroom i en de bekrachtigingsstroom if in de kortgesloten
bekrachtigingswikkeling als responsies beschouwd. Ret bleek
echter niet mogelijk te zijn om de parameters zodanig te kiezen
dat zowel de overdracht van statorspanning naar statorstroom als
de overdracht van statorspanning naar bekrachtigingsstroom goed
berekend kan worden.
Dit leidt tot de conclusie dat het zeer vaak gebruikte driewikke-
1 ingsmode 1 voor de d-as niet geschikt is voor de berekening van
verschijnselen in het bekrachtigingscircuit. Vermoedelijk moet
het driewikkelingsmodel met een tweede demperwikkeling uitgebreid
worden tot een vierwikkelingsmodel.
De voor de verificatie benodigde parameters zijn via een aantal
andere (omslachtige) metingen bepaald. De resultaten van deze
metingen zijn in de volgende paragraaf vermeld.
6.S De parameters voor de modelverificatie
Bij de modelverificatie zijn de volgende machineparameters
gebruikt:
p - 2
L -aQ 15.7 mH
L" 3.2 mH q
RQ 0.2 0
L -aF 9.16 mH
LaD 24.25 mH
~F- 6.42 mH
Rf 4.45 0
L" d 3.2 mH
CF
0.02082
78
7 DE MODELVERIFICATIE
7.1 In1eiding
In dit hoofdstuk wordt de experimente1e verificatie van het in
dit vers1ag afge1eide model beschreven voor het geva1 dat de
ge1ijkrichter een driefasendiodebrug (een thyristorbrug met a-O)
is. Hierbij wordt gebruik gemaakt van de proefopste11ing vo1gens
figuur 7.1.
r
Figuur 7.1 De gebruikte proefopste11ing
De te be schouwen synchrone machine wordt aangedreven via een
Ward-Leonard-omzetter; de ge1ijkrichter wordt be1ast via een
accubatterij. waarbij een e1ektro1ytische condensator is aange
bracht om de rimpe1 op de spanning ~ te beperken. In deze
opste11ing worden de spanningen uf en ~. de
de rotorhoeksnelheid w gemeten. Van deze m
en stromen if en ig
grootheden worden de
spanningen uf
en ~ en de rotorhoeksne1heid wm a1s ingangs- en de
stromen if en ig a1s uitgangsgrootheden van het systeem "synchro
ne machine met ge1ijkrichter" beschouwd.
Bij de verificatie worden de gemeten ingangsgrootheden gebruikt
voor de simu1atie. De hierbij berekende uitgangsgrootheden kunnen
vervo1gens verge1eken worden met de gemeten uitgangsgrootheden.
--
79
Dit is gedaan voor een drietal experimenten die in de volgende
drie paragrafen beschreven worden. Het bij de verificatie
gebruikte ACSL-programma is in bijlage 3 gegeven. De gemeten uit
gangsgrootheden worden in het vervolg met het subscript m voor
zien (if en i ); in plaats van de rotorhoeksnelheid zal de fre-m ~
quentie van de fasegrootheden f bebruikt worden (pw -2~f). m
Voor de verificatiesimulaties is het model van de synchrone ma-
chine met gelijkrichter iets uitgebreid. Deze uitbreiding is
vooral van belang voor machines met een klein vermogen en een
lage spanning, zoals bij de hier beschreven modelverificatie, en
is tot stand gekomen na een aantal gedetailleerde simulaties van
een gelijkrichter aangesloten op een driefasennet met het net
werksimulatieprogramma PSPICE. Hieruit is gebleken dat het span
ningsverlies over de thyristoren in rekening kan worden gebracht
door
Omdat
dit bij de batterijspanning ~ op te tellen (uthy - 1.8 V).
de gebruikte synchrone machine geinverteerd is uitgevoerd,
wordt er bij dit spanningsverlies over de thyristoren nog het
spanningsverlies over de borstelsleepringovergangen (2 V) opge
teld: u h - 3.8 V. t Y
Voorts is uit de simulaties met PSPICE gebleken dat bij deze
kleine machines de invloed van de weerstand in het commutatiecir
cuit beter niet verwaarloosd kan worden. Dit is bij de afleiding
in hoofdstuk 3 wel gedaan. Het is gebleken dat de door de ver
waarlozing ontstane fout redelijk gecompenseerd kan worden door
iets minder (ongeveer 80 %) dan de weerstand die per fase gezien
wordt twee maal in het gelijkstroomcircuit op te nemen. Het een
en ander is echter niet diepgaand onderzocht. Bij de simulaties
0.5 0 gebruikt. is R g
Voor de spoel in het gelijkstroomcircuit geldt: L - 44 mHo g
Omdat in het model geen rekening is gehouden met verzadiging in
het ijzer van de machine, zijn de proeven zodanig gedaan dat het
ijzer niet in verzadiging ging.
7.2 Excitatie in het gelilkstroomcircuit
Bij het in deze paragraaf behandelde experiment zijn de schake
laars Sl en S2 gesloten en is S3 geopend. Eerst worden het toe-
80
rental en de bekrachtigingsstroom van de synchrone machine op de
gewenste waarden gebracht. Vervolgens wordt thyristor T3 ontsto
ken, waardoor er een snelle verandering van ~ optreedt (er wordt
geen schakelaar toegepast, omdat die meestal "contactdender" ver
toont).
Het verloop van ~ is in figuur 7.2a weergegeven. De gemeten
(i ) en de berekende (i ) gelijkstroom zijn in figuur 7.2b weer-~ g
gegeven. De gemeten (ifm ) en de berekende (if) bekrachtigings-
stroom zijn weergegeven in respectievelijk figuur 7.2c en 7.2d.
De figuren 7.2e en f geven de ingangsgrootheden frequentie (f) en
bekrachtigingsspanning (uf).
De "ruis" op de gemeten gelijkstroom in figuur 7.2b is de rimpel
die in het model verwaarloosd wordt. We kunnen echter nog een
rimpel met een lagere frequentie (ongeveer 25 Hz) waarnemen. Die
is vooral goed te zien op de berekende gelijkstroom en wordt
waarschijnlijk veroorzaakt doordat de gelijkstroommotor de
synchrone machine niet met een helemaal constante hoeksnelheid
aandrijft. We kunnen deze rimpel ook herkennen op de frequentie
in figuur 7.2e.
De afwijking tussen de gemeten en de berekende waarde van de
gelijkstroom kan worden verklaard uit hystereseverschijnselen in
het ijzer van de synchrone machine. Deze kunnen we nader beschou
wen met behulp van de nullastkarakteristiek van de gebruikte ma
chine, die is weergegeven in figuur 7.3 [Hoe 84a). Hierin is het
hysteresiseffect duidelijk te zien.
We kunnen deze karakteristiek ook be schouwen als het verband tus
sen flux en magnetiseringsstroom. Bij het model is aileen reke
ning gehouden met lineair ijzer: voor de inductiviteiten in het
model is gebruik gemaakt van het lineaire deel van de middelste
curve. Tijdens de proef zou de curve van A naar B naar C (in fi-
guur 7.3) doorlopen kunnen zijn, zodat de berekende waarde van i g
steeds hoven de gemeten waarde ligt, b~ A echter meer dan b~ C.
Het verloop van de piek op de bekrachtigingsstroom is b~ de
gemeten stroam scherper dan b~ de berekende. Op grond van de
verklaring in paragraaf 6.4 (het driewikkelingsmodel voor de d-as
voldoet niet) konden we afwijkingen in de berekende bekrachti
gingsstroom verwachten.
N tlltJ(X100 V)
o
"" N
If)
'" N
o
'" N
If) If) tIs) --N1---------.---------r--------;---------,
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
Figuur 7.2a Excitatie in het ge1ijkstroomcircuit: ~
o
o
o
tIs) --0.00 0.25 0.50 0.75 I. 00
Figuur 7.2b Excitatie in het ge1ijkstroomcircuit: i en i gm g
81
82
o If)
o OJ
0.00 0.25 0.50
US) --+-
0.75 I. 00
Figuur 7.2c Excitatie in het gelijkstroomcircuit: ifm
o
o "IT)
o IT)
IT)
o t~ OJ --+-N'~--------~--------r-------~r--------'
0.00 0.25 0.50 0.75 l.OO
Figuur 7.2d Excitatie in het gelijkstroomcircuit: if
a
a
a tis) ~
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
Figuur 7.2e Excitatie in het gelijkstroomcircuit: f
a
"
a
'" -a It)
o t(s) ~
q:4---------r--------r--------r-------~ 0.00 0.25 0.50 0.75 1. 00
Figuur 7.2f Excitatie in het gelijkstroomcircuit: uf
83
84
500
f~ ~O
~O
350
300
250
200
150
100
50
0 0 2 4 5 6 7 8
Figuur 7.3 De nu11astkarakteristiek van de gebruikte machine
7.3 Excitatie aan de mechanische zilde
Bij het in deze paragraaf behande1de experiment zijn de schake-
1aars S2 en S3 ges10ten en is S1 geopend. Nadat her toerental en
de bekrachtigingsstroom van de synchrone machine op de gewenste
waarden zijn gebracht, wordt thyristor Tl ontstoken, waardoor er
een sne11e verandering in het toerenta1. en dus in de frequentie
f. optreedt. De meet- en de berekeningsresu1taten zijn in figuur
7.4 weergegeven.
o
tlfHZ)
o
0.00 0.25 0.50 0.75
Figuur 7.4a Excitatie aan mechanische zijde: f
o
o
o
o
00 0.25 0.50 0.75
tiS) --l.00
1(51 --l.00
Figuur 7.4b Excitatie aan mechanische zijde: i en i gm g
85
86
o If)
o en
0.00 0.25 .50
t(5) --0.75 1. 00
Figuur 7.4c Excitatie aan mechanische zijde: iFm
rii
o
o
'" .,;
0 en N
0.00
Figuur 7.4d
I 0.25
Excitatie
tIS) ...... I I I
0.50 0.75 1. 00
- -- --aan mechanische zij de: if
o I\.
o
'" -~ .......... .,...........,...,..""".I"fi"""II~~ o Itl
o t~
~4----------;----------'----------r--------~-' 0.00 0.25 0.50 0.75
Figuur 7.4e Excitatie aan mechanische zijde: u~
Itl I\.
o I\.
o
'"
Itl Itl
0.00 0.25 0.50 0.75
Figuur 7.4f Excitatie aan mechanische zijde: ~
1.00
1.00
87
88
7.4 Excitatie in het bekrachtigingscircuit
Bij het in deze paragraaf behandelde experiment zijn de schake
laars Sl en S3 gesloten en is S2 geopend. Nadat het toe rental en
de bekrachtigingsstroom van de synchrone machine op de gewenste
waarden zijn gebracht, wordt thyristor T2 ontstoken, waardoor er
een snelle verandering in de bekrachtigingsspanning uf
optreedt.
De meet- en de berekeningsresultaten staan in figuur 7.5.
In tegenstelling tot de proeven in de vorige twee paragrafen
leidt deze proef er toe det de verlopen van de gemeten en de
berekende gelijkstroom qua vorm van elkaar verschillen. Dit hangt
waarschijnlijk samen met het feit det het driewikkelingsmodel
niet voldoet voor de d-as (zie paragraaf 6.4)
7.5 Conclusie
Uit de hiervoor gegeven meet- en berekeningsresultaten kunnen we
concluderen dat het in dit verslag afgeleide eenvoudige model van
de synchrone machine met gelijkrichter aan de verwachtingen vol
doet als het ijzer in de machine niet in verzadiging is: in het
algemeen is de overeenkomst tussen metingen en berekeningen van
de gelijkstroom goed. De verschillen zijn voornamelijk te wijten
aan hysteresisverschijnselen in het ijzer van de machine. Bij de
bekrachtigingsstroom is de overeenkomst minder goed. Dit is waar
schijnlijk een gevolg van het feit dat het driewikkelingsmodel
niet voldoet voor de d-as. Hierdoor kan ook de excitatie in het
bekrachtigingscircuit niet goed verwerkt worden.
o
o
o
o
o ... 0.00 0.25 0.50
89
tiS) -0.75 1.00
Figuur 7.Sa Excitatie in het bekrachtigingscircuit: uf
o
o
o t(S)
0.00 0.25 50 0.75 1. 00
Figuur 7.Sb Excitatie in het bekrachtigingscircuit: i en i gm g
90
o .,
o '"
0.00
Figuur
0 ., ...
0
...
o "-
'"
o '" o-i
01 ~i
7.Se
ti,(Al
0.00
tIs) --0.25 0.50 0.75 1.00
Exeitatie in het bekraehtigingseireuit: i fm
i 0.25
tIS) ---,-----------~i~--------,i
~.50 0.75 1.00
Figuur 7.Sd Exeitatie in het bekraehtigingscircuit: if
o
tf(Hz)
o
o tIS) --0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
Figuur 7.Se Excitatie in het bekrachtigingscircuit: f If) I\.
o <.D
If) If)
0.00 0.25
tiS) -0.50 0.75 1.00
Figuur 7.Sf Excitatie in het bekrachtigingscircuit: ~
91
92
8 CONCLUSIES EN AANBEVELINGEN
Uit hoofdstuk 7 is gebleken dat het in dit verslag afgeleide een
voudige model van de synchrone machine met gelijkrichter aan de
verwachtingen voldoet als het ijzer in de machine niet in verza
diging is: de met het model berekende gelijkstroom bij gegeven
verloop van het toe rental komt goed overeen met de in een proef
opstelling gemeten gelijkstroom. De belangrijkste verschillen
worden veroorzaakt door hystereseverschijnselen in het ijzer van
de machine. Deze verschijnselen zijn echter inherent aan het sys
teem. Dit soort afwijkingen in de stationaire toestand kan echter
ook optreden doordat bijvoorbeeld de weerstand van de bekrachti
gingswikkeling varieert als functie van de temperatuur.
Bij de modelverificatie is de weerstand in het commutatiecircuit
in rekening gebracht door de weerstand in het gelijkstroomcircuit
te vergroten (paragraaf 7.1). Deze correctie is vooral van belang
bij kleine machines, waarbij de invloed van de weerstand in het
commutatiecircuit eigenlijk niet verwaarloosbaar klein is; bij
grotere machines (groter dan 100 kW) zal de verwaarlozing van de
weerstand in het commutatiecircuit meesta! zander meer toegestaan
zijn. Voor het gebruik van het eenvoudige model bij kleinere sys
temen lijkt het dan ook raadzaam om de invloed van de weerstand
in het commutatiecircuit met bijvoorbeeld de in [Hoe 84a] be
schreven methode nader te onderzoeken.
De ontwikkeling van een methode om de parameters van de d-as te
bepalen is niet afgerond, omdat het niet mogelijk bleek te zijn
om de parameters zodanig te kiezen dat zowel de overdracht van
statorspanning naar statorstroom als de overdracht van stator
spanning naar bekrachtigingsstroom goed berekend kan worden. Dit
leidt tot de conclusie dat het zeer vaak gebruikte driewikke
lingsmodel van de d-as niet geschikt is voor de berekening van
verschijnselen zowel in het bekrachtigingscircuit als aan de
statorzijde en dat het waarschijnlijk beter is Om het model van
de synchrone machine met gelijkrichter uit te breiden met een
tweede demperwikkeling op de d-as.
In het hier afgeleide model is geen rekening gehouden met verza
digingsverschijnselen in het magnetische circuit van de machine.
Aangezien de machine meestal bedreven wardt in een werkgebied
93
waar weI verzadiging optreedt, is het belangrijk om verzadiging
in het model in rekening te brengen.
Voorts worden synchrone machines tegenwoordig vrijwel altijd met
een borstelloze opwekker uitgevoerd. Deze opwekker is nog onvol
doende onderzocht om er een model voor te kunnen opstellen.
Met het hier afgeleide model zijn een aantal onderzoeksresultaten
bereikt, waarover door ons inmiddels is gepubliceerd. Uit de in
[Hoe 88a] getoonde simulatieresultaten blijkt dat men in veel ge
vallen de voorkeur moet geven aan een stuurbare thyristorgelijk-
richter boven een
gebleken dat een
(375 kVA) stabiel
tingen van Auinger
niet-stuurbare diodegelijkrichter. Voorts is
praktisch realiseerbaar systeem van 300 kW
kan zijn, wat niet overeenkomt met de verwach
en Nagel [Aui 80], en dat het gebruik van sta-
tionaire koppeltoerenkarakteristieken van de synchrone machine
met gelijkrichter voor onderzoek aan het mechanische deel van een
windturbine in het algemeen niet zinnig is {Hoe 87b].
94
LITERATUUR
[Aui 80] Auinger, H.; G. Nagel: Vom transienten Betriebsverhalten herrUhrende Schwingungen bei einem uoer Gleichrichter belasteten Synchrongenerator. Siemens Forschungs- und Entwicklungsberichte, vol.9 (1980). Teil 1: Theoretische Untersuchungen. No.1, p.1-7 Teil 2: Abhilfemassnahmen. No.2, p.85-87.
[Boh 86] Bohlander, G.A.; Hans Lodder: Het kritisch volgen van de ontwikkelingen op het gebied van de elektro-mechanische conversiesystemen (840201 850630). Integraal voorstel conversiesystemen voor NOW 11-2. Eindrapport van de projecten. Multidisciplinair Energie Centrum, Technische Universiteit Delft, 1985. Rapportnummer 743l.P69, (Juni 1986). Onderzoek in het kader van het Nationaal Programma Windenergie.
[Bo182] Bollinger, K.E.; H.S. Khalil; L.C.C. Li ; W.E. Norum: A method for on-line identification of power system model parameters in the presence of noise. IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, vol.PAS-lOl (1982), no.9, p.3l05-3lll
[Bon 82] Bonte, J.A.N. de; M.J. Hoeijmakers: Windturbinesysteem met variabel PT/Elektrotechniek/Elektronica. vol.37 p.66-73
[Bon 87] Bonte, J.A.N. de; M.J. Hoeijmakers:
toerental. (1982), no.8,
Elektrische conversiesystemen voor windturbines. PTfWerktuigbouw, vol.42 (1987), no.4, p.32-35
[Bue 77] BUhler, H.: Einfuhrung in die Theorie geregelter Drehstromantriebe. Band 1: Grundlagen. Band 2: Anwendungen. Basel: Birkhauser, 1977, Lehrbucher der Elektrotechnik, Band 6 und 7
[Can 68] Canay, M.: Ersatzschemata der Synchronmaschine sowie Vorausberechnung der Kenngrossen mit Beispielen. These presentee a l'Ecole Poly technique de l'Universite de Lausanne, 1968
[Can 77] Canay, I.M.: Extended synchronous-machine model for the calculation of transient processes and stability. Electric Machines and Electromechanics, vol.l (1977), p.137-l50
[Con 51] Concordia, C.: Synchronous machines. New York: Wiley / London: Chapman & Hall, 1951. General Electric Series
[Dah 74] Dahlquist, G.; A. Bjorck: Numerical Methods. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, 1974
95
[Ern 84] Ernst, J.: Control of a variable speed wind energy converter with a synchronous generator and a d.c. link converter. In: Proc. European Wind Energy Conf., Hamburg, 22-26 October 1984, Ed. by W. Pa1z. Bedford: Stephens, 1985. Commission of the European Communities. P.606-611
[Ern 85] Ernst, J.: Wind energy farm with synchronous generators operating on a common dc link. In: Proc. 1st European Conf. on Power Electronics and Applications, Brussels, 16-18 October 1985. Ed. by G. Maggetto and Ph. Lataire. Antwerpen: Techno1ogisch Instituut Konink1ijke V1aamse Ingenieursvereniging, 1985. Vo1.1, p.2.1-2.6
[Eyk 74] Eykhoff, P.: System Identification: Parameter and State Estimation. London: Wiley, 1974
[Hoe 84a] Hoe ij makers , M.J.: On the steady-state performance of a synchronous machine with convertor: with special attention to wind energy conversion systems. Proefschrift Technische Universiteit Eindhoven, 1984
[Hoe 84b] Hoeijmakers, M.J.: Resultaten van enkele simulaties van overgangsverschijnse1en bij een demper10ze synchrone generator met ge1ijkrichter. Vakgroep E1ektromechanica en Vermogense1ektronica, Faculteit E1ektrotechniek, Technische Universiteit Eindhoven, 1984. Rapport EMV 84-33
[Hoe 86] Hoeijmakers, M.J.: Simulation of a synchronous machine with diode rectifier by means of a network model. In: Proc. 7th Int. Conf. on Electrical Machines, Munchen, 8-10 Sept. 1986. Ed. H. Bausch, H.W. Lorenzen and D. Schroder. Technische Universitat Munchen / Universitat der Bundeswehr Munchen. p.733-736
[Hoe 87a] Hoe ij makers , M.J.: A simple model of a synchronous machine with diode rectifier using state variables. In: Proc. 2nd Int. Symp. on Modeling and Simulation of Electrical Machines, Converters and Power Systems. Quebec, 24-25 Aug. 1987. Quebec: Universite Laval. P.191-199
[Hoe 87b] Hoe ij makers , M.J.: Some numerical experiments with a linearized model of a synchronous machine with rectifier. In: Advances in Windfarming, Proc. Int. Conf. and Exhibition on Windfarms, Leeuwarden, 13-16 Oct. 1987. Ed. by G.G. Piepers. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, vo1.27 (1988), special issue, p.27-38
[Hoe 88a] Hoeijmakers, M.J.: De synchrone machine met gelijkrichter. In: Windenergie: van optie naar realiteit, Proe. Nat. Windenergie Conf., Noorwijkerhout, 22-24 Feb. 1988, p.318-323. Verkrijgbaar bij: Stichting Energie Anders, Postbus 21421, 3001 AK Rotterdam
96
[Hoe 88bJ Hoeijmakers, M.J.: A simple model of a synchronous machine with convertor. In: Proc. 8th Int. Conf. on Electrical Machines, Pisa, 12-14 Sept. 1988. Vol.2, p.237-242
[Iri 86J Irisa, T.; S. Takata; R. Ueda; T. Sonoda T. Mochizuki: A novel approach on a parameter self-tuning method in an ac servo system. Automatica, vol.22 (1986), no.3, p.287-294
[Koe 89J Koenraads, A.J.T.M.; L.J.J. Offringa; F.J.C. Schellens; W.J. de Zeeuw: Some aspects of the Dutch National Research Programme for Wind Energy. Journal A, vol.20 (1979), no.3, p.15l-159
[Lan 83J Lang, R.D.; M.A. Hutchison; H. Yee: Microprocessor-based identification system applied to synchronous generators with voltage regulators. lEE Proc. C, vo1.130 (1983), no.5, p.257-265
[Mar 63J Marquardt, D.W.:
[Rai 85J
An algorithm for least squares estimation of nonlinear parameters. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, vol.1l (1963), p.43l-44l
Raina, G.; O.P. Malik: Variable speed wind energy conversion using machines. IEEE Trans. on Aerospace and Systems, vol.AES-2l (1985), no.l, p.lOO-l05
synchronous Electronic
[Rit 86J Ritter, C.: Bestimmung der Parameter einer Synchronmaschine mit Hilfe von Gleichspannungsversuchen im Stillstand. etzArchiv, vol.8 (1986), no.6. p.189-l94
[Sch 80J Schrage, J.J.; W.J. de Zeeuw:
[Sha 77J
Vermogenselektronica. Culemborg: Educaboek, 1980
Shackshaft, G.; A.T. Poray: Implementation of new approach to synchronous-machine parameters from vol.124 (1977), no.12, p.1170-ll78
determination of tests. Proc. lEE
[VIe 87J Vleeshouwers, Jan.: Enkele onderwerpen in verband met de modelvorming van de synchrone machine met mutator. Afstudeerverslag. Vakgroep Elektromechanica en Vermogenselektronica, Faculteit Elektrotechniek, Technische Universiteit Eindhoven, 1987, Rapport EMV 87-17
[VIe 88J Vleeshouwers, J.; M.J. Hoeijmakers; J.A. Schot: Een vergelijking van enkele eenvoudige modellen van een synchrone machine met gelijkrichter. Elektrotechniek, vol.66 (1988), no.6, p.523-53l
[Wat 74J Watson, W.; G. Manchur: Synchronous machine operational impedances from low voltage measurements at the stator terminals. IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, vol.PAS-93 (1974), p.777-784
97
BIJLAGE 1 EEN SUBROUTINE VOOR DE BEREKENING VAN DE STATIONAIRE
TOESTAND
In deze bijlage wordt een Fortran77-subroutine gegeven voor de
berekening van de stationaire toe stand , die gebaseerd is op de
beschrijving in paragraaf 4.3. De subroutine heeft als invoer
grootheden:
Xd pWm(Ld+LaF+LaD)
Xq pw (L"+L Q) m q a
Xc pw L m c
Rd C?f+~ Rq RQ
Alfa: a
Ub
Epq
Rg
EE
NI
R g
een maat voor de nauwkeurigheid
het maximale aantal iteratieslagen
De uitvoergrootheden zijn:
EF "error flag"; deze is 0.0 als er iets mis gaat en 1.0 als
het goed gaat
Id
Iq
Ig i g
Subroutine Stat(EF,Id,Iq,Ig,Xd,Xq,Xc,Rd,Rq,Alfa,Ub,Epq,Rg,EE,NI) Real Iact,Irea,Id,Iq,Ig,Hu,HuO,Hu2,HuH EF -Pi -Wa Con -CT CN FO -
0.0 4. O*ATan(l. 0) Sqrt(l. 5) 1.5/Pi/Xc 2.0*Pi*Xc*Ub/Sqrt(3.0)/(3.0*Xc+Pi*Rg) Cos(Alfa)*(6*Xc/(3.0*Xc+Pi*Rg)-1) Epq - Ub/3.0/Sqrt(3.0)*Pi/Cos(Alfa)*Wa
98
If (FO.LE.O.O) Then Write(6,'("FO <- 0")') GoTo 99
EndIf Write(6,'("MuO-0 FO-",F14.7)') FO MuM - Pi/3.0 If (A1fa.GT.(2.0*Pi/3.0» MuM - Pi - A1fa E - CT/(Cos(A1fa+MuM) + CN) Iact - Con*E*Sin(MuM)*Sin(2.0*A1fa+MuM) Irea - Con*E*(MuM - Sin(MuM)*Cos(2.0*A1fa+MuM» Y - (Xq-Xc)*Iact+Rd*Irea X - E + (Xq-Xc)*Irea-Rd*Iact Sq - Sqrt(X*X+Y*Y) SinEps- Y/Sq CosEps- X/Sq Id - - Wa*(Iact*SinEps+Irea*CosEps) Iq - Wa*(Iact*CosEps-Irea*SinEps) F - Epq + (Xd-Xc)*Id + Rq*Iq - Wa*E*CosEps If (F.GE.O.O) Then
Write(6,'("FM >- 0")') GoTo 99
EndIf Write(6,'("MuM-",F10.8," FM-",F14.7)') MuM,F Mu - MuM/2.0 MuO - 0.0 Do 8 K-1,NI
E - CT/(Cos(A1fa+Mu) + CN) Iact - Con*E*Sin(Mu)*Sin(2.0*A1fa+Mu) Irea - Con*E*(Mu-SIN(Mu)*Cos(2.0*A1fa+Mu» Y - (Xq-Xc)*Iact+Rd*Irea X - E + (Xq-Xc)*Irea-Rd*Iact Sq - Sqrt(X*X+Y*Y) SinEps- Y/Sq CosEps- X/Sq Id - - Wa*(Iact*SinEps+Irea*CosEps) Iq - Wa*(Iact*CosEps-Irea*SinEps) F - Epq + (Xd-Xc)*Id + Rq*Iq - Wa*E*CosEps Write(6,'("Mu -",F10.8," F- ",F14.7)') MU,F If (Abs(F).LE.EE) Then
EF - 1.0 GoTo 99
EndIf If (Mu.EQ.MuO) Then
WRITE(6,'("Mu-MuO-",F9.4," F-" ,F11.7)') MU,F GoTo 99
Endlf FF - (F-FO)/(Mu-MuO) Mu2 - Mu - F/FF IF (Mu2.GT.MuM) Mu2 - (MuM+Mu)/2.0 IF (Mu2.LT.0.0) Mu2 - Mu/2.0 FO - F MuO - Mu Mu - Mu2
8 Continue 99 Continue
Ig - Sqrt(3.0)*E/2.0/Xc*(Cos(A1fa)-Cos(A1fa+Mu» If (EF.LT.O.S) Write(*,'("**** Stat loopt niet goed ****")')
End
99
BIJLAGE 2 EEN ACSL-PROGRAMMA ALS VOORBEELD
In deze bij1age wordt een ACSL-programma gegeven a1s voorbee1d
voor de in paragraaf 5.2 gegeven vergelijkingen. Dit programma
kan gebruikt worden voor de simu1atie van het windturbinesysteem
met een synchrone machine van 375 kVA vo1gens [Hoe 87b; Hoe 88a].
Hierbij is veronderste1d dat de mechanische overbrenging tussen
de turbine ze1f en de generator oneindig stijf is.
Eerst wordt de stationaire toestand berekend v~~r een bepaa1de
generatorfrequentie. Het systeem wordt vervolgens geexciteerd
door een verandering in de ge1ijkspanning. De ontsteekhoek van de
ge1ijkrichter wordt gebruikt om de ge1ijkstroom via een propor
tione1e rege1aar te rege1en. De koppe1toerenkarakteristiek van de
turbine is een rechte 1ijn door het stationaire punt, waarvan de
he11ing gekozen kan worden.
Gebruikers van dit programma dienen erop bedacht te zijn dat dit
voorbee1d niet "beveiligd" is voor het geva1 dat de gelijkstroom
k1einer dan nul wordt.
Rede1ijke resu1taten kan men bereiken met A1fa1-0.2 en KP-0.01.
PROGRAM SYNCHRONE MACHINE MET THYRISTORBRUG; PEO; 89-01-17 '375 kVA; stationair beginnend in windturbine met starre as'
Integer NI
INITIAL CONSTANT KM -5.0 $' (Nms/rad); he11ing koppe1/hoeksn.' CONSTANT JT 90.0 $' (kgmm); massatraagheid turbine' CONSTANT JG - 12.5 $' (kgmm); massatraagheid generator' CONSTANT P - 2.0 $' (-); poo1paarta1 generator' CONSTANT Freq - 50.0 $' (Hz); frequentie' CONSTANT CF 1.0 $' ( -) , CONSTANT Uf 0.4 $' (V); bekrachtigingsspanning' CONSTANT Rf 0.00024 $' (Ohm); bekrachtigingsweerstand' CONSTANT LaF 0.001121 $' (H) , CONSTANT LDF 0.000668 $' (H) , CONSTANT LaD 0.001779 $' (H) , CONSTANT RD - 0.0028 $' (Ohm); demperweerstand in d-as' CONSTANT Ld11 - 0.00016 $' (H) ; subtransiente d-inductantie' CONSTANT LaQ - 0.0018 $' (H) , CONSTANT RQ - 0.0045 $' (Ohm); demperweerstand in q-as' CONSTANT Lq11 0.00016 $' (H) ; subtransiente q-inductantie' CONSTANT Alfa1 0.0 $' (rad); beginontsteekhoek ge1ijkr.' CONSTANT KP 0.0 $' (rad/A); versterking stroomregel.' CONSTANT Lg 0.0015 $' (H) ; ze1finductie ge1ijkstroomcir.' CONSTANT Rg 0.06 $' (Ohm); weerstand ge1ijkstroomcirc.'
100
CONSTANT Ub - 400.0 $' (V) ; gelijkspanning' CONSTANT UStep - -10.0 $' (V) ; grootte van de spanningsstap' CONSTANT TUStep - 0.1 $' (s); begintijd van spanningsstap' CONSTANT TUDuur - 10.0 $' (s) ; duur van de spanningsstap' CONSTANT EE - 1. OE-4 $' (V) ; maxima1e fout in Stat' CONSTANT NI - 15 $' (-) ; max. aanta1 iteraties CONSTANT TFIN - 1.99 $' (9); eindtijdstip' JTot - JT +JG Lc - (Ld11+Lq11)/2.0 LgT - Lg + 2.0*Lc Pi - 4.0*ATAN(1.0) W3 - SQRT(3.0) Wa - SQRT(1.5) CI - 3.0*W3/Pi C2 - 1.5/Lc/Pi C3 - 2.0*Lc/W3 Lc3Pi - Lc*3.0/Pi RFD - CF*CF*Rf + RO Lfl - (LaF-LDF - LDF*LDF/(LaD-LDF»/CF/CF LD1 - LaD-LDF - LDF*LDF/(LaF-LDF) LfD - «LaF-LDF)*(LaD-LDF) -LDF*LDF)/LDF/CF CFF - CF*Rf/Lf1 - RO/LfD CDD - RO/LDI - CF*Rf/LfD CQQ - RQ/LaQ Xd - 2.0*Pi*Freq*(LaF+LaD+Lc) Xq - 2.0*Pi*Freq*(LaQ+Lc) Xc - 2.0*Pi*Freq*Lc Epq - 2.0*Pi*Freq*LaF/CF*Uf/Rf
in Stat'
Call Stat(EF,Id,Iq,Ig1,Xd,Xq,Xc,RFD,RQ,A1fa1,Ub,Epq,Rg,EE,NI) PsfO - LaF/CF*Id + (LaF-LDF)/CF/CF*Uf/Rf PsDO - LaD*Id + LDF*Uf/Rf/CF PsQO - LaQ*Iq IgO - Ig1 MT1 - - P*(Id*(Lq11*Iq+PsQO) - Iq*(Ld11*Id+PsFO+PsDO» OmAsl - 2.0*Pi*Freq/P OmAsO - OmAsl
END $ .. INITIAL ..
DYNAMIC DERIVATIVE
CINTERVAL CInt - 0.02 Omega - P*OmAs MT - MT1 + KM*(OmAs-OmAs1) Alfa - Alfa1 + KP*(Ig-Ig1) CosAlf- COS(Alfa) Ed - - Omega*PsQ - CF*Uf + CFF*Psf + PsD*CDD Eq - Omega*(CF*Psf+PsD) + CQQ*PsQ Sq - SQRT(Ed*Ed+Eq*Eq) SinEps- -Ed/Sq CosEps- Eq/Sq E - Sq/Wa Mu - - A1fa + ACOS(CosAlf - C3*Omega*Ig/E) SinMu - Sin(Mu) Con - C2/Omega*E Iact - Con*SinMu*Sin(2.0*A1fa+Mu) Irea - Con*(Mu-SinMu*Cos(2.0*A1fa+Mu» Id - - (Iact*SinEps + Irea*CosEps)*wa Iq - (Iact*CosEps - Irea*SinEps)*wa Ifs - - CF*Id + Psf/Lfl - PsD/LfD
MG - - P*(Id*(Lqll*Iq+PsQ) - Iq*(Ldll*Id+PsF+PsD» UbI - Ub + UStep*(STEP(TUStep)-STEP(TUStep+TUDuur» OmAsD - (MT-MG)/JTot PsfDot - Uf - Rf*Ifs PsDDot - - RD*(- Id + PsD/LOl - Psf/LfD) PsQDot - - RQ*(- Iq + PsQ/LaQ) IgDot - (E*Cl*CosAlf-(Rg + Omega*Lc3Pi)*Ig - Ubl)/LgT OmAs - Integ(OmAsD,OmAsO) Psf - Integ(PsFDot,PsfO) PsD - Integ(PsDDot,PsDO) PsQ - Integ(PsQDot,PsQO) Ig - Limint(IgDot,IgO,O.O,lOOOOO.O)
END $ .. DERIVATIVE .. MAs - (JG*MT + JT*MG)/JTot TERMT«T.GT.TFIN).OR.(EF.LT.0.5»
END $ .. DYNAMIC ..
TERMINAL END $ .. TERMINAL ..
END $ .. PROGRAM ..
101
Subroutine Stat(EF,Id,Iq,Ig,Xd,Xq,Xc,Rd,Rq,Alfa,Ub,Epq,Rg,EE,NI) Real Iact,Irea,Id,Iq,Ig,Mu,MuO,Mu2,MuM EF - 0.0 Pi - 4.0*ATan(1.0) Wa - Sqrt(1.5) Con - 1. 5/Pi/Xc CT - 2.0*Pi*Xc*Ub/Sqrt(3.0)/(3.0*Xc+Pi*Rg) CN - Cos(Alfa)*(6*Xc/(3.0*Xc+Pi*Rg)-1) FO - Epq - Ub/3.0/Sqrt(3.0)*Pi/Cos(Alfa)*Wa If (FO.LE.O.O) Then
Write(6,'("FO <- 0")') GoTo 99
EndIf Write(6,'("MuO-0 FO-",FI4.7)') FO MuM - Pi/3.0 If (Alfa.GT.(2.0*Pi/3.0» MuM - Pi - Alfa E - CT/(Cos(Alfa+MuM) + CN) Iact - Con*E*Sin(MuM)*Sin(2.0*Alfa+MuM) Irea - Con*E*(MuM - Sin(MuM)*Cos(2.0*Alfa+MuM» Y - (Xq-Xc)*Iact+Rd*Irea X - E + (Xq-Xc)*Irea-Rd*Iact Sq - Sqrt(X*X+Y*Y) SinEps- Y/Sq CosEps- X/Sq Id - - Wa*(Iact*SinEps+Irea*CosEps) Iq - Wa*(Iact*CosEps-Irea*SinEps) F - Epq + (Xd-Xc)*Id + Rq*Iq - Wa*E*CosEps If (F.GE.O.O) Then
Write(6,'("FM >- 0")') GoTo 99
EndIf Write(6,'("MuM-",FlO.8," FM-",F14.7)') MuM,F Mu - MuM/2.0 MuO - 0.0 Do 8 K-l,NI
E - CT/(Cos(Alfa+Mu) + CN) Iact - Con*E*Sin(Mu)*Sin(2.0*Alfa+Mu)
102
Irea - Con*E*(Mu-SIN(Mu)*Cos(2.0*Alfa+Mu» Y - (Xq-Xc)*Iact+Rd*Irea X - E + (Xq-Xc)*Irea-Rd*Iact Sq - Sqrt(X*X+Y*Y) SinEps- Y/Sq CosEps- X/Sq Id - - Wa*(Iact*SinEps+Irea*CosEps) Iq - Wa*(Iact*CosEps-Irea*SinEps) F - Epq + (Xd-Xc)*Id + Rq*Iq - Wa*E*CosEps Write(6,' ("Mu -" ,FlO. 8," F-" ,F14. 7)') Mu, F If (Abs(F).LE.EE) Then
EF - 1.0 GoTo 99
EndIf If (Mu.EQ.MuO) Then
WRITE(6,'("Mu-MuO-",F9.4," F-" ,Fll.7)') MU,F GoTo 99
EndIf FF - (F-FO)/(Mu-MuO) Mu2 - Mu - F/FF IF (Mu2.GT.MuM) Mu2 - (MuM+Mu)/2.0 IF (Mu2.LT.0.0) Mu2 - Mu/2.0 FO - F MuO - Mu Mu - Mu2
8 Continue 99 Continue
Ig - Sqrt(3.0)*E/2.0/Xc*(Cos(Alfa)-Cos(Alfa+Mu» If (EF.LT.O.S) Write(*,'("**** Stat loopt niet goed ****")')
End
103
BIJLAGE 3 HET ACSL-PROGRAMMA VOOR DE MODELVERIFICATIE
In deze bijlage wordt het bij de verificatie gebruikte ACSL
programma gegeven.
PROGRAM SYNCHRONE MACHINE MET DIODEBRUG; VERI; 89-01-04 'Verificatie met Siemens-machine'
Integer IU,NI
INITIAL CONSTANT CF - 0.02082 CONSTANT LaF - 0.00916 CONSTANT LaD - 0.02425 CONSTANT LDF - 0.00642 CONSTANT Rf - 4.45 CONSTANT RD - 0.0737 CONSTANT Ldll - 0.0032 CONSTANT LaQ - 0.0157 CONSTANT RQ - 0.2 CONSTANT Lqll - 0.0032 CONSTANT Alfa - 0.0 CONSTANT UThy - 3.8 CONSTANT Lg - 0.044 CONSTANT Rg - 0.5 CONSTANT EE - 1.0E-4 CONSTANT NI - 15 CONSTANT TFIN - 0.99 Call InitU(IU) Call ResetDat(IU) Call NextV(IU,Tl,Frl,Ufl,Ifl,Ubl,Igl) Call NextV(IU,T2,Fr2,Uf2,If2,Ub2,Ig2) Pi - 4.0*ATAN(1.0) W3 - SQRT(3.0) Wa - SQRT(1.5) Lc - (Ldll+Lqll)/2.0 C2 - 1.5/Lc/Pi C3 - 2.0*LcjW3 Lc3Pi - Lc*3.0/Pi LgT - LG + 2.0*LC CosAlf- Cos(Alfa) CAlfa - 3.0*W3/PI*Cos(Alfa) RFD - CF*CF*Rf + RD Lfl - (LaF-LDF - LDF*LDF/(LaD-LDF) )/CF/CF LDl - LaD-LDF - LDF*LDF/(LaF-LDF) LfD - «LaF-LDF)*(LaD-LDF) -LDF*LDF)/LDF/CF CFF - CF*Rf/Lfl - RD/LfD CDD - RD/LD1 - CF*Rf/LfD CQQ - RQ/LaQ Ub - Ubl + UThy Xd - 2.0*Pi*Frl*(LaF+LaD+Lc) Xq - 2.0*Pi*Frl*(LaQ+Lc) Xc - 2.0*Pi*Frl*Lc Epq- 2.0*Pi*Frl*LaF/CF*Ufl/Rf
104
Call Stat(EF,ld,lq,lgO,Xd,Xq,Xc,RFD,RQ,Alfa,Ub,Epq,Rg,EE,NI) PsfO _ LaF/CF*ld + (LaF-LDF)/CF/CF*UfljRf PsDO - LaD*ld + LDF*Ufl/Rf/CF PsQO - LaQ*lq
END $ " INITIAL "
DYNAMIC DERIVATIVE
CINTERVAL Clnt - 0.0005 Procedural(Fr,Uf,liM,Ub,lgM-)
LA .. Continue If (T .LT. T2) GoTo LI Tl-T2 Frl-Fr2 Uil-Uf2 lil-H2 Ubl-Ub2 Igl-lg2 Call NextV(IU,T2,Fr2,Uf2,lf2,Ub2,lg2) GoTo LA
LI .. Continue
End
Fr - Linlnt(T,Tl,Frl,T2,Fr2) Uf - Linlnt(T,Tl,Ufl,T2,Uf2) liM - Linlnt(T,Tl,lfl,T2,If2) Ub - Linlnt(T,Tl,Ubl,T2,Ub2) IgM - LinlnT(T,Tl,Igl,T2,lg2)
Omega - 2.0*Pi*Fr Ed - - Omega*PsQ - CF*Uf + CFF*Psf + PsD*CDD Eq - Omega*(CF*Psf+PsD) + CQQ*PsQ Sq - SQRT(Ed*Ed+Eq*Eq) SinEps- -Ed/Sq CosEps- Eq/Sq E - Sq/Wa Mu - - Alfa + ACOS(CosAlf - C3*Omega*Ig/E) SinMu - Sin(Mu) Con - C2/Omega*E lact - Con*SinMu*Sin(2.0*Alfa+Mu) Irea - Con*(Mu-SinMu*Cos(2.0*Alfa+Mu» Id - - (Iact*SinEps + Irea*CosEps)*wa Iq - (Iact*CosEps - Irea*SinEps)*wa Ifs - - CF*Id + Psf/Lfl - PsD/LfD PsfDot - Uf - Rf*Ifs PsDDot - - RD*(- Id + PsD/LDl - Psf/LfD) PsQDot - - RQ*(- Iq + PsQ/LaQ) IgDot - (E*CAlfa - (Rg+Omega*Lc3Pi)*Ig Ub - UThy)/LgT Psf - Integ(PsFDot,PsfO) PsD - Integ(PsDDot,PsDO) PsQ - Integ(PsQDot,PsQO) Ig - Limint(IgDot,IgO,O.O,lOOOOO.O)
END $ • DERIVATIVE • TERMT«T.GT.TFIN).OR.(EF.LT.O.5»
END $ • DYNAMIC •
TERMINAL Call ExitU(IU)
END $ • TERMINAL •
END $ • PROGRAM •
105
Subroutine Stat(EF,Id,Iq,Ig,Xd,Xq,Xc,Rd,Rq,A1fa,Ub,Epq,Rg,EE,NI) Real Iact,Irea,Id,Iq,Ig,Mu,HuO,Hu2,MuM EF - 0.0 Pi - 4.0*ATan(1.0) Wa - Sqrt(1. 5) Con - 1. 5/Pi/Xc CT - 2.0*Pi*Xc*Ub/Sqrt(3.0)/(3.0*Xc+Pi*Rg) CN - Cos(Alfa)*(6*Xc/(3.0*Xc+Pi*Rg)-l) FO - Epq - Ub/3.0/Sqrt(3.0)*Pi/Cos(Alfa)*Wa If (FO.LE.O.O) Then
Write(6,'("FO <- 0")') GoTo 99
EndIf Write(6,'("MuO-0 FO-' , ,Fl4.7)') FO MuM - Pi/3.0 If (Alfa.GT.(2.0*Pi/3.0» MuM - Pi - Alfa E - CT/(Cos(Alfa+MuM) + CN) Iact - Con*E*Sin(MuM)*Sin(2.0*A1fa+MuM) Irea - Con*E*(MuM - Sin(MuM)*Cos(2.0*A1fa+MuM» Y - (Xq-Xc)*Iact+Rd*Irea X - E + (Xq-Xc)*Irea-Rd*Iact Sq - Sqrt(X*X+Y*Y) SinEps- Y/Sq CosEps- X/Sq Id - - Wa*(Iact*SinEps+Irea*CosEps) Iq - Wa*(Iact*CosEps-Irea*SinEps) F - Epq + (Xd-Xc)*Id + Rq*Iq - Wa*E*CosEps If (F.GE.O.O) Then
Write(6,'("FM >- 0")') GoTo 99
EndIf Write(6,'("MuM-",FlO.a," FM-",F14.7)') MuM,F Mu - MuM/2.0 MuO - 0.0 Do a K-1,NI
E - CT/(Cos(Alfa+Mu) + CN) Iact - Con*E*Sin(Mu)*Sin(2.0*Alfa+Mu) Irea - Con*E*(Mu-SIN(Mu)*Cos(2.0*Alfa+Mu» Y - (Xq-Xc)*Iact+Rd*Irea X - E + (Xq-Xc)*Irea-Rd*Iact Sq - Sqrt(X*X+Y*Y) SinEps- Y/Sq CosEps- X/Sq Id - - Wa*(Iact*SinEps+Irea*CosEps) Iq - Wa*(Iact*CosEps-Irea*SinEps) F - Epq + (Xd-Xc)*Id + Rq*Iq - Wa*E*CosEps Write(6,'("Mu -" ,FlO.a," F-" ,Fl4.7)') MU,F If (Abs(F).LE.EE) Then
EF - 1.0 GoTo 99
EndIf If (Mu.EQ.MuO) Then
WRITE(6,'("Mu-MuO-",F9.4," F-",F11.7)') MU,F GoTo 99
EndIf FF - (F-FO)/(Mu-MuO) Mu2 - Mu - F/FF IF (Mu2.GT.MuM) Mu2 - (MuM+Mu)/2.0
106
IF (Mu2.LT.0.0) Mu2 - Mu/2.0 FO - F MuO - Mu Mu - Mu2
8 Continue 99 Continue
Ig - Sqrt(3.0)*E/2.0/Xc*(Cos(Alfa)-Cos(Alfa+Mu» If (EF.LT.O.S) Write(*,'("**** Stat loopt niet goed ****")')
End
Subroutine InitU(InUnit) C Opent datafile met op te geven naam bij een eveneens op te ge-even unit-nummer.
Integer Code Logical UnitOpen,FileExist Character*lS InFi1e
C Inlezen te gebruiken Unit-nummer Write(*,'("OSpecificeer data-file; bijbehorend unit·nummer")')
110 Continue Write(*,'(" Geef Unit-nummer: ",\)') Read(*,*) InUnit
C Nagaan of dat nummer in gebruik is Inquire(Unit-InUnit,Opened-UnitOpen) If (UnitOpen) Then
Write(*,'(" Unit-nummer" ,11," bezet.")') lnUnit GoTo 110
EndIf C Input filenaam van data-file
140 Continue Write(*,'(" Geef Data-filenaam: ",\)') Read(*,'(A1S)') InFile
C Nagaan of file bestaat, en zo ja, openen Inquire(File-InFile,Exist-FileExist) If (.Not. FileExist) Then
Write(*,'(" Opgegeven file bestaat niet.")') GoTo 140
EndIf Open(Unit-InUnit,File-InFile,Status-'OLD') End
Subroutine ResetDat(InUnit) C Positioneer filepointer van OAT-file na identifikatie
Integer Code 200 Continue
Read(InUnit,210) Code 210 Format(I2)
If (Code .NE. 99) GoTo 200 End
Subroutine NextV(InUnit,T,YI,Y2,Y3,Y4,YS) C Leest volgende meetwaarden uit file (Eventuee1 lijst uitbreiden)
Ta-T Yla-Yl Y2a-Y2 Y3a-Y3 Y4a-Y4 YSa-YS Read(InUnit,*,Err-300) T,YI,Y2,Y3,Y4,YS Return
300 Continue Write(*,'(" Fout in (NextV).")') T-Ta Yl-Yla Y2-Y2a Y3-Y3a Y4-Y4a YS-YSa End
Real Function LinInt(T,Tl,Yl,T2,Y2)
107
C Geeft bij gevraagde Teen waarde van Y, die geinterpoleerd is C tussen (Tl,Yl) en (T2,Y2). Als T>T2 of Tl-T2 dan wordt Y-Y2. C Als T<Tl dan wordt Y-Yl
If (T .LT. Tl) Then LinInt-Yl
ElseIf «T .GT. T2) .Or. (Tl .EQ. T2» Then LinInt-Y2
Else LinInt-Yl+(T-Tl)*(Y2-Yl)!(T2-Tl)
EndIf End
Subroutine ExitU(InUnit) C Sluiten van datafile
Close(InUnit) End
Eindhoven University of Technology Research Reports Faculty of Electrical Engineering
(188) Jozwiak, J.
ISSN 0167-9708 Coden: TEUEDE
THE FULL DECOMPOSITION OF SEQUENTIAL MACHINES WITH THE STATE AND OUTPUT BEHAVIOUR REALIZATION. EUT Re~ort 8B-E-188. 1988. ISBN 90-6144-188-9
(189) Pineda de Gyvez, J. ALWAYS: A system for wafer yield analysis. EUT Report 88-E-189. 1988. ISBN 90-6144-189-7
(190) Siuzdak, J. OPTICAL COUPLERS FOR COHERENT OPTICAL PHASE DIVERSITY SYSTEMS. EUT Report 88-E-19D. 19B8. ISBN 90-6144-190-0
(191) Bastiaans, M.J. LOCAL-FREOUENCY DESCRIPTION OF OPTICAL SIGNALS AND SYSTEMS. EUT Report 88-E-191. 1988. ISBN 90-6144-191-9
(192) Worm, S.C.J. A MULTI-FREQUENCY ANTENNA SYSTEM FOR PROPAGATION EXPERIMENTS WITH THE OLYMPUS SATELLITE.
(193 )
EUT Report 88-E-192. 19B8. ISBN 90-6144-192-7
Kersten, W.F.J. and G.A.P. Jacobs ANALOG AND DIGITAL SIMULATION OF LINE-ENERGIZING OVER VOLTAGES AND COMPARISON WITH MEASUREMENTS IN A 400 kV NETWORK. EUT Report 8B-E-193. 198B. ISBN 90-6144-193-5
(194) Hosselet, L.M.L.F.
( 195)
( 196)
MARTINUS VAN MARUM: A Dutch scientist in a revolutionary time. EUT Report B8-E-194. 1988. ISBN 90-6144-194-3
Bondarev, V.N. ON SYSTEM IDENTIFICATION USING PULSE-FREQUENCY MODULATED SIGNALS. EUT Report 88-E-195. 1988. ISBN 90-6144-195-1
Liu Wen-Jiang, Zhu Yu-Cai and Cai Da-Wei MODEL BUILDING FOR AN INGOT HEATING PROCESS: Physical modelling approach and identification approach. EUT Report 88-E-196. 1988. ISBN 90-6144-196-X
(197) Liu Wen-Jiang and Ye Dau-Hua x-NEW METHOD FOR DYNAMIC HUNTINC EXTREMUM CONTROL, BASED ON COMPARISON OF MEASUREO AND ESTIMATED VALUE. EUT Report 8B-E-197. 198B. ISBN 90-6144-197-B
(198) Liu Wen-Jiang ANlEXTREMUM HUNTING METHOD USING PSEUDO RANDOM BINARY SIGNAL. EUT Report 88-E-198. 1988. ISBN 90-6144-198-6
(199) Jozwiak, L. THE FULL DECOMPOSITION OF SEQUENTIAL MACHINES WITH THE OUTPUT BEHAVIOUR REALIZATION. EUT Report 88-E-199. 1988. ISBN 90-6144-199-4
(200) Huts in It Veld, R.J. A FORMALISM TO DESCRIBE CONCURRENT NON-DETERMINISTIC SYSTEMS AND AI~ APPLICATION OF IT BY ANALYSING SYSTEMS FOR DANGER OF DEADLOCK. EUT Report B8-E-200. 19B8. ISBN 90-6144-200-1
(201) Woudenberg, H. van and R. van den Born HARDWARE SYNTHESIS WITH THE AID Or-nvNAMIC PROGRAMMING. EUT Report 88-E-201. 1988. ISBN 90-6144-201-X
(202) Engelshoven, R.J. van and R. van den Born COST CALCULATION FOR INCREMENTAL HARDWARE SYNTHESIS. EUT Report 88-E-202. 1988. ISBN 90-6144-202-8
(203) Delissen, J.G.M. THE LINEAR REGRESSION MODEL: Model structure selection and biased estimators. EUT Report B8-E-203. 19B8. ISBN 90-6144-203-6
(?()il) I\d13~t'k, V.K.I. CllNPAH I ~llN or AN ANAl.Y fI CAL STUDY AND Emr I t-1PLH1ENTAT I ON OF COt-1PLI eATED IHRLE-I'HASI:. SCH~:J1ES FOR RI:.ACTOR INTERRUI'l ION. EUT Report H8-E-204. 1988. ISBN 90-6144-204-4
Eindhoven Univer~ity of Technology Research Reports Faculty of Electrical Engineering
(205) Hutterweck, H.J. and J.H.F. Ritzerfeld, M.J. Werter FINITE WORDLENGTH EFFECTS IN DIGITAL FILTERS: A review. EUT Report 88-E-205. 1988. ISBN 90-6144-205-2
ISSN 0167-9708 Coden: TEUEDE
(206) Bollen, M.H.J. and G.A.P. Jacobs ExlENSIVE TESTING OF AN ALTIORTiRM FOR TRAVELLING-WAVE-BASED DIRECTIONAL DETECTION AND PHASE-SELECTION BY USING TWONFIL AND EMTP. EUT Report 88-E-206. 1988. ISBN 90-6144-206-0
(207) Schuurman, W. and M.P.H. Weenink STABILITY OF A TAYLOR-RELAXED CYLINDRICAL PLASMA SEPARATED FROM THE WALL BY A VACUUM LAYER. EUT Report 88-E-2D7. 1988. ISBN 90-6144-207-9
(208) Lucassen, F.H.R. and H.H. van de Ven A NOTATION CONVENTION IN RIGID ROBOT MODELLING. EUT Report 88-E-208. 1988. ISBN 90-6144-208-7
(209) Jozwiak, L. MINIMAL REALIZATION OF SEQUENTIAL MACHINES: The method of maximal adjacencies. EUT Report 88-E-209. 1988. ISBN 90-6144-209-5
(210) Lucassen, F.H.R. and H.H. van de Ven OPTIMAL BODY FIXED COORDINATE SYSTEMS IN NEWTON/EULER MODELLING. EUT Report 88-E-210. 1988. ISBN 90-6144-210-9
(211) Boom, A.J.J. van den Hoo-CONTROL: An exploratory study. EUT Report 88-E-211. 1988. ISBN 90-6144-211-7
(212) Zhu Yu-Cai ~THE ROBUST STABILITY OF MIMO LINEAR FEEDBACK SYSTEMS. EUT Report 88-E-212. 1988. ISBN 90-6144-212-5
(213) Zhu Yu-Cai, M.H. Driessen, A.A.H. Damen and P. Eykhoff x-NEW SCHEME FOR IDENTIFLCATION AND>CONTROL. EUT Report 88-E-213. 1988. ISBN 90-6144-213-3
(214) Bollen, t~.H.J. and G.A.P. Jacobs IMPLEMENTATION OF AN ALGORTTRM:fOR TRAVELLING-WAVE-BASED DIRECTIONAL DETECTION. EUT Report 89-E-214. 1989. ISBN 90-6144-214-1
(215) Hoe; imakers, M.J. en J.M. Vleeshouwers EEN MODEL VAN DE SYNCHRONE MACHINE MET GELIJKRICHTER, GESCHIKT VOOR REGELDOELEINDEN. EUT Report 89-E-21S. 1989. ISBN 90-6144-21S-X