構造力学の構造 構造力学の構造 -...
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構造力学の構造 構造力学の構造
構造力学 構造力学 Ⅰ Ⅰ 復習 復習
変位
断面力 応力
ひずみ
ひずみ－変位関係 力の釣合い
応力－ひずみ 関係
外力
静力学の構造
釣合い条件
構成法則
適合条件
大事
変位
断面力 応力
ひずみ
ひずみ－変位関係 力の釣合い
応力－ひずみ 関係
外力
静力学の構造
釣合い条件
構成法則
適合条件
大事
第5章
第6章
第7章 第5章，第7章
第6章
第6章
第5章
第8章
p.53 p.53 図 図4.9 4.9
x
l
( ) w x w =
EI
v 荷重
問題
l部材各部の断面力（応力，内力）は？
l部材の変位は？
l部材のひずみは？
x
l EI
v
2
8 wl
−
x
力の釣合 力学的境界条件
荷重
断面力（応力・内力）
M(x)
( ) w x w =
x
l EI
v
2
8 wl
−
x x
力の釣合 力学的境界条件
応力－ひずみ関係
荷重
ひずみ（曲率）
M(x) φ(x)
断面力（応力・内力）
( ) w x w =
x
l EI
v
2
8 wl
−
x
x
反曲点
x
力の釣合 力学的境界条件
ひずみ－変位関係
応力－ひずみ関係
荷重
ひずみ（曲率）
変位（たわみv(x)）
M(x)
v(x)
φ(x)
断面力（応力・内力）
( ) w x w =
l EI
v
x
x
反曲点
x
力の釣合 力学的境界条件
応力－ひずみ関係
荷重
ひずみ（曲率）
変位（たわみv(x)）
M(x)
v(x)
φ(x)
ひずみ－変位関係
x
断面力（応力・内力）
( ) w x w =
x
l EI
v
2
8 wl
−
x
x
反曲点
x
力の釣合 力学的境界条件
ひずみ－変位関係
応力－ひずみ関係
荷重
ひずみ（曲率）
変位（たわみv(x)）
M(x)
v(x)
φ(x)
断面力（応力・内力）
力学の構造の円がとじた 力学の構造の円がとじた
( ) w x w =
x
l EI
v
2
8 wl
−
x
x
反曲点
x
力の釣合 力学的境界条件
ひずみ－変位関係
応力－ひずみ関係
荷重
ひずみ（曲率）
変位（たわみv(x)）
M(x)
v(x)
φ(x)
断面力（応力・内力）
( ) w x w =
数学 数学 は は 科学 科学 の の 言葉 言葉 である である ガリレオ ガリレオ
力学 力学 は は 建築構造 建築構造 の の 言葉 言葉 である である
力学 力学 が が 構造 構造 を生み， を生み，
構造 構造 が が 空間 空間 を実体化し， を実体化し，
空間 空間 が が 建築 建築 を規定する を規定する
｢ ｢力学 力学－ －構造 構造－ －空間 空間－ －建築 建築｣ ｣の流れにおいて， の流れにおいて，
｢ ｢力学 力学｣ ｣は は｢ ｢建築 建築｣ ｣に結びつく． に結びつく．
斎藤公男： 斎藤公男：｢ ｢建築の構造とデザイン 建築の構造とデザイン｣ ｣の序より の序より
x
l
( ) w x
EI
v
M(x)
2
8 wl
−
x
x
v(x)
反曲点
φ(x)
x
荷重
ひずみ（曲率）
変位（たわみv(x)） ( ) ( ) M x w x ′′ = −
( ) ( ) ( ) ( )
M x Q x Q x w x
′ = ′ = −
( ) 0 M l = 上図の場合，
( ) ( ) M x EI x φ =
( ) ( ) x v x φ ′′ = −
E σ ε =
( , ) ( , ) u x y x y x
ε ∂
= ∂
断面力（応力・内力）
x
l
( ) w x
EI
v
M(x)
2
8 wl
−
x
x
v(x)
反曲点
φ(x)
x
荷重
ひずみ（曲率）
変位（たわみv(x)） ( ) ( ) M x w x ′′ = −
( ) ( ) ( ) ( )
M x Q x Q x w x
′ = ′ = −
( ) 0 M l = 上図の場合，
( ) ( ) M x EI x φ =
( ) ( ) x v x φ ′′ = −
E σ ε =
( , ) ( , ) u x y x y x
ε ∂
= ∂
断面力（応力・内力）
p.68 &p.73 p.68 &p.73
p.146 p.146
p.135 p.135
x
l EI
v
M
2
8 wl
−
x
x
v
反曲点
φ
x
荷重
ひずみ（曲率）
変位（たわみv(x)）
断面力（応力・内力）
( ) w x w =
４つの量
外力・荷重 外力，サンブナンの原理，
体積力，分布荷重
x
変形前
外力・荷重 1
p.57
集中荷重，モーメント荷重
応力・断面力 応力・断面力の正負，座標変換,テンソル
断面力（M，Q，N） ⇔ 応力（σ，τ）
x
断面力・応力 1
S x x=0
M(x) M(x)
Q(x)
Q(x)
断面力の正方向
作用・反作用の法則
右の面，左の面
右の面 左の面
正の方向
p.65，75
x
断面力・応力 2
S x x=0
曲げモーメント図
M(x)
x
M
x
p.75
右の面 左の面
左
右 左
右
柱のように材軸が鉛直
方向になった時，Q，N の方向はどちらの面を
左としても同じだが，M は方向が変わる．
→ 引張側にモーメント
図を描く．
正の方向
時計回り90゜回転 反時計回り90゜回転
曲げモーメント図
x
x
x p.65
l応力 物体内の任意の１点 P (0) の応力
6個の側面に作用する
単位面積当りの内力 のdx→0，dy→0，dz→0 とした極限の値
z yz xz
zy y xy
zx yx x
σ τ τ τ σ τ τ τ σ
x
y
変形前
S P Q
(x, 0)
(x, y)
, 2 D x
断面力・応力 4
xの座標を持つ3つの点 S，P，Q
x
y
S P Q
断面力・応力 5
(x, 0)
(x, y)
, 2
D x
( ) ( ) , M x
x y y I
σ =
( )
( ) ( ) , 2 2
2
M x D D x I
M x M x I Z D
σ = ⋅
= ≡
( ) , x y σ
, 2 D x σ
( ) , x y τ
( ) ,0 x τ S
P
Q
p.150，158
変位・たわみ 変位ベクトル，平面保持の仮定
x
v
変形前
変形後
変位・たわみ1
S x
v(x)
p.168
x
y
変形前
変形前の点S（x, 0）
( ) S ,0 x
S( ,0) x
変位・たわみ2
A
B
x
v
変形前
変形後 S
S’
( ) ( ) , S x v x ′
変形後の点S’（x, 0）
変位・たわみ3
x
v
変形前
変形後 S
S’
( ) ( ) , S x v x ′
変形後の点S’（x, v(x)）
変位・たわみ4
( ) v x
変形後の点：点Sが材軸と直交方向に動く 材軸線は伸び縮みしないこととしていることになる．
変位ベクトル
変形後 変形前
変形前物体にとりつけられていた微小直6面体 P (0) Q (0) R (0) S (0) T (0) は変形後PQRSTに変形する
u
x
v
変形前
変形前の点P（x, y）
( ) S ,0 x
( ) P , x y
変位・たわみ5
p.131
x
v
変形前
変形後の点P’
( ) P , x y
変位・たわみ6
P′
v
x
v
( ) P , x y P′
変形前
P′
( ) P , x y
x y
θ θ
( ) v x
変位・たわみ7
sin y θ cos y θ
y
( ) ( ) P sin , cos x y v x y θ θ ′ − +
x
平面保持の仮定
P′
( ) P , x y
x y
θ θ
( ) v x
変位・たわみ8
sin y θ cos y θ
( ) ( ) P sin , cos x y v x y θ θ ′ − +
x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
PP OP OP
sin , cos
sin , 1 cos
tan ,
,
x y x v x y y
y v x y
y v x
yv x v x
θ θ
θ θ
θ
′ ′ = −
= − − + −
= − − −
≈ −
′ = −
uuuv uuuv uuuv p.131
ひずみ 線素，長さの変化，角度の変化，テンソル
曲率
lひずみ 変形後 変形前
P (0) のひずみ
RPS 2 , TPR
2 , SPT
2
T P T P PT ,
S P S P PS ,
R P R P PR
) 0 ( ) 0 (
) 0 ( ) 0 (
) 0 ( ) 0 (
) 0 ( ) 0 (
) 0 ( ) 0 (
) 0 ( ) 0 (
∠ − π
∠ − π
∠ − π
− − − のdx→0， dy=0，dz=0と
した極限の値
変形前物体にとりつけられていた微小直6面体 P (0) Q (0) R (0) S (0) T (0) は変形後PQRSTに変形する
p.129
x
v
変形前
変形後
ひずみ1
S x
v(x)
線であれば，伸び縮みしかない
x
v
変形前
P’(x, y)の点は材長方向に縮んでいる．y≠0 の点の伸び縮みを曲率φで表現するのである．
P′
ひずみ2
dθ ρ
長さds
ρy
d ds ρ θ = 1 d
ds θ φ
ρ ≡ =
d y y ds θ ε φ = =
符号
４つの量の関係
変位
断面力
応力
ひずみ
ひずみ－変位関係 （適合条件）
釣合方程式 力学的境界条件
応力－ひずみ 関係（構成則）
外力 静力学の構造
0
0
0
i
i
i
X
Y
M
= = =
∑ ∑ ∑ 2
2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
dM x Q x dx
dQ x w x dx
d M x w x dx
= = −
= −
A
A
N dA
M ydA
σ
σ
=
= ⋅
∫ ∫
P A
σ =
l l
ε ∆
=
2
A I y dA = ∫
max
I Z y
= E G
σ ε τ γ
= =
c c
t t
M Z M Z
σ
σ
=
=
( ) M y y I
σ = ⋅
u x
ε ∂
= ∂
( ) ( ) M x EI x ϕ =
( ) ( ) x v x ϕ ′′ = −
( ) ( ) 0 , x x ε ϕ
( ) v x
平面保持の仮定，微小変形の仮定
( ) ( ) , u x y y v x ′ = − ⋅
( ) ( ) ( ) 0 du x dx
x y v x ε ′′ = − ⋅
( ) ( ) ( ) 0 , x x y y x ϕ ε ε = + ⋅
幾何学的的境界条件
平面保持の仮定 平面保持の仮定
p.131 p.131
x
y 片持ち梁
x
y 重心軸
x
y 線材にモデル化
x
y いくつかの断面
x
y 曲がった形状
x
y 断面は変形後，材軸に 直交する全く同じ平面に 移る．
平面保持の仮定
x
y
2つの断面
v(x)
1つの断面の拡大図
v(x)
たわみ曲線の接線
v(x)
たわみ曲線の接線
v(x)
たわみ曲線の接線
v(x)
たわみ曲線の接線
v(x)
θ
たわみ角θ
v(x)
θ
変形後の断面は材軸に直交
v(x)
θ
水平軸と垂直軸
v(x)
θ
v(x)
θ
v(x)
θ
θ
変形後の断面と鉛直軸の角度
v(x)
θ
θ
tan ( ) v x θ ′ = たわみ角θとたわみvの関係
v(x) θ
tan ( ) v x θ ′ =
θ
v(x)
θ y
変形後のyの位置の点
v(x)
θ y ysinθ
水平方向への移動量
v(x)
sin tan ( ) y y y yv x θ θ θ ′ ≈ ≈ =
θ y ysinθ
x
y
重心軸のy方向変位をv(x)とすると，重心からyだ け離れた点のx方向の変位は， y v'(x)となる．
ひずみー変位関係 ひずみー変位関係
p.132 p.132
67
変断面材の伸び
F
F
F
F
l
y
B B´
l+∆x
どちらも長方 形断面
A A´ x
A
y
x+∆x ∆x
x u(x) u(x+∆x)
棒の伸びが
一様でない
ときは，そ
の部分ごと
のひずみ度
を定義する．
l l
ε ∆
=
( ) d u x d x
ε =
68
Aからx離れていた点はx´に，Aから(x+∆x)離れていた点は (x+∆x)´に移動したとする.このとき，点xの変位u(x)は，
F F A
y
x+∆x ∆x
x u(x) u(x+∆x)
( ) d u x d x
ε =
( ) u x x x ′ = − 同様に点(x+∆x) の変位は
( ) ( ) ( ) u x x x x x x ′ + ∆ = + ∆ − + ∆
x´
x+∆x (x+∆x)´
u(x+∆x)－u(x)+∆x
69
変形前∆x離れていた２
つの点x, x +∆xは，変形
後は，
離れていることになる.
変形量を元の長さで除してひずみ度を求めると，
F F A
y
x+∆x ∆x
x u(x) u(x+∆x)
( ) d u x d x
ε =
x´
x+∆x (x+∆x)´
u(x+∆x)－u(x)+∆x
F F A
y
x+∆x ∆x
x u(x) u(x+∆x)
( ) d u x d x
ε =
x´
x+∆x (x+∆x)´
u(x+∆x)－u(x)+∆x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x x x x u x x x u x
x x x u x x
+ ∆ + + ∆ ′ ′ + ∆ − =
−
+ −
= + ∆ + ∆
( ) ( ) ( ) l u l x
x x u x x x ∆ = + ∆ − + − ∆
= ∆
∆
( ) ( ) ( ) / u x x u x x ε = + ∆ − ∆
70
ひずみと変位の関係式
∆x→０とすると
( ) 0
( ) ( ) ( ) lim x
u x x u x du x x dx
ε →
+ ∆ − = =
∆
( ) ( ) ( ) / u x x u x x ε = + ∆ − ∆
大事
変位を微分するとひずみが得られる！
( ) , sin tan ( ) u x y y y y yv x θ θ θ ′ = ≈ ≈ =
平面保持の仮定より，x方向変
位は下式となった．
したがって，ひずみは
( ) ( ) ( ) ( ) d yv x du x y v x dx dx
ε ′ −
′′ = = = − ⋅
( ) ( ) , x y y v x ε ′′ = − ⋅
テキストp．134～135の説明に あるように，曲率φをひずみと
して，下式の関係がある．
( ) ( ) x v x φ ′′ = −
( ) v x ′′ −
力の釣合 力の釣合
p.68 p.68
N(x+∆x) N(x)
Q(x)
Q(x+∆ x)
M(x+∆ x) M(x)
x
w(x)
∆x
∆x
w(x)
分布荷重
N(x+∆ x) N(x)
Q(x)
Q(x+∆ x)
M(x+∆ x) M(x)
⊿x
w(x)
x y
y方向の力の釣合→ΣY i =0
( ) ( ) ( ) 0 Q x w x x Q x x − ⋅ ∆ − + ∆ = 積分の平均値の定理
N(x+∆ x) N(x)
Q(x)
Q(x+∆ x)
M(x+∆x) M(x)
⊿x
w(x)
x y
A点のモーメントの釣合→ΣM i =0
0 ) ( ) ( 2
) ( ) ( = ∆ ⋅ ∆ + + ∆ + − ∆
⋅ ∆ ⋅ + x x x Q x x M x x x w x M
A点
積分の平均値の定理
− = ∴
− =
=
) ( ) (
) ( ) (
) ( ) (
2
2
x w dx
x M d
x w dx x dQ
x Q dx x dM
釣合い微分方程式
丸暗記
断面力 断面力 ー ー ひずみ関係 ひずみ関係 x A
x A
N dA
M y dA
σ
σ
=
= −
∫ ∫
E σ ε =
梁の場合 梁の場合
0 N EAε = M EIφ = p.146 p.146
79
軸方向力－伸びひずみ関係 曲げモーメントー曲率関係（つづき）
断面２次モーメント • 軸方向力-伸びひずみ関係
• 曲げモーメント-曲率関係
• 断面２次モーメント
大事
0 0 ( ) A A A
N dA E dA E d y A EA ε σ ε ε φ = = = − = ∫ ∫ ∫
0
0 2 2
( )
( ) A A A
A A A
y y y y
y
M dA E dA E dA
E dA E dA y y dA
EI
y E
ε
ε
σ ε ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ
= − = − = − −
= − − = =
=
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 0, A A ydA I y dA = ≡ ∫ ∫ Q
80
断面２次モーメント
• 断面図形の形状に依存する断面量で，z軸
に関する断面２次モーメントとよばれる
2 z A I y dA = ∫
大事
断面係数
p.150 p.150 ～ ～
82
たわみ曲線をかく (変形図を書いてみる）
• 曲率とはある点でその付近の曲がり方の大小を示
す量です．右の式によればEIが同じとき曲げモーメ
ントが大きいほど曲率が大きくなりますので，曲がり
方も大きくなります．
( ) ( ) ( ) EI x y x M x ′′ = −
( ) y x φ ′′ ≈ − ( ) ( ) EI x M x φ =
83
曲げを受ける梁要素 • 軸方向力Nが作用していない梁では，軸方向力－伸びひず
み関係の式から
0 /( ) 0 N EA ε = = であり，曲げモーメント－曲率関係の式
z
M EI
φ =
を，図心からyの位置での伸びひずみの式および方向垂
直応力度の式に代入する．
0 ( ) x z
M y y y y EI
ε ε φ φ = + = =
( ) ( ) x x z
M y E y E y y I
σ ε φ = = ⋅ = ⋅
84
曲げを受ける梁要素の 軸方向伸びひずみと垂直応力度の分布
( ) x z
M y y EI
ε =
( ) x z
M y y I
σ = ⋅
大事
85
曲げを受ける梁 応力ブロックと中立軸
( ) x z
M y y I
σ = ⋅ ( ) x z
M y y EI
ε =
� σ x (y)=0となる位置は，ε x (y)=0となる位置すなわち伸
び縮みが生じない位置であり，中立軸と呼ばれる．
中立軸
この式の状態を示している
86
断面係数と上下縁応力度
• 軸力が0のとき，梁の上下縁での応力度σ 1 , σ 2 は，z 軸から上下最外縁までの距離をそれぞれc 1 , c 2 とす
ると，
c 1
c 2
σ 1
σ 2
1 1 2 2 , z z
M M c c I I
σ σ = − =
• ここで，
とおくと，これらは断面２次
モーメントI z と同様，断面図形の
形状寸法のみで定まる定数であ
り，断面係数とよばれる．
1 2 1 2
, z z I I Z Z c c
≡ ≡
87
曲げを受ける棒材断面の 上下縁応力度
1 2 1 2
, M M Z Z
σ σ = − =
1 2 1 2
, z z I I Z Z c c
≡ ≡
断面係数