Matemáticas 2º ESOEcuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones

IGUALDAD

IDENTIDAD

6 + 7 – 4 = 9

(a + b)2 = a2 + 2·a·b + b2

6x + 7 – 4x = 9

Antes de empezar a resolver ecuaciones debemos distinguir entre:

Una igualdad se da entre dos expresiones diferentes del mismo valor. Una identidadse verifica para cualquier valor que demos a la incógnita o incógnitas que aparezcanen ellas, en cambio una ecuación se va a cumplir únicamente para algún o algunosvalores de la incógnita o incógnitas.

Las ecuaciones con las que vamos a trabajar son ecuaciones de primer y de segundogrado, así como sistemas de ecuaciones de primer grado. Dentro de las ecuacionesde primer grado veremos primero ecuaciones sencillas, luego ecuaciones conparéntesis y por último ecuaciones con denominadores.

Identidad, Igualdad ecuación

Ecuaciones SencillasPara resolver una ecuación de primer grado como esta, usamos el métodoconocido como transposición de términos, que consiste en agrupar en un mismomiembro de la ecuación los términos semejantes. Normalmente en el primermiembro pondremos los términos con “x” y en el segundo los números ocoeficientes.

2x + 6 - 5x - 2 = 3x - 8

2x + 6 – 5x - 2 = -8

Recuerda: “Cuando un término cambia de lado en la igualdad, pasa a hacer lo contrario de lo que estaba

haciendo”. Por tanto, 3x va a pasar restando.

2x – 5x – 3x = -8 – 6 + 2

Primero vamos apasar 3x restando alprimer miembro

El 6 y el 2 que estabansumando, van a pasarrestando al otro lado de laigualdad.

Cuando los términos semejantes ya están agrupados en el mismo ladode la igualdad es el momento de hacer operaciones: -6x = -12

Ahora tenemos que buscar el número que multiplicado por -6 da -12. Ese número es:

Siguiendo el proceso habitual, lo que hacemos es pasar lo que multiplica a la

x (-6 en este caso) dividiendo al otro lado de la igualdad: 28-

16-x

Ecuaciones de Primer Grado

• Básicamente, lo que hacemos para resolver una ecuación con paréntesis sólo sedistingue en un paso del caso anterior, ya que una vez que suprimamos losparéntesis nos encontraremos con una ecuación sencilla. Veamos un ejemplopráctico para resolver la ecuación:

3·(5x – 2) – 2·(3 – x) = 2x + 18

• Para eliminar los paréntesis, debemos aplicar la propiedad distributiva, y asíobtenemos:

• 3·5x – 3·2 – 2·3 – 2·(-x) = 2x + 18

• 3·(5x – 2) – 2·(3 – x) = 2x + 18

215

30x

Para eliminar los paréntesis, debemos aplicar la propiedad distributiva, y asíobtenemos: 3·5x – 3·2 – 2·3 – 2·(-x) = 2x + 18

Ecuaciones con ParéntesisBásicamente, lo que hacemos para resolver una ecuación con paréntesis sólo se distingue enun paso del caso anterior, ya que una vez que suprimamos los paréntesis nos encontraremoscon una ecuación sencilla. Veamos un ejemplo práctico para resolver la ecuación:

• 3·(5x – 2) – 2·(3 – x) = 2x + 18

Para eliminar los paréntesis, debemos aplicar la propiedad distributiva, y asíobtenemos:

3·5x – 3·2 – 2·3 – 2·(-x) = 2x + 18

¡OJO! Observa que en elsegundo paréntesis elnúmero que multiplica es –2, y por eso –2·3 = -6 y –2·(-x) = +2x

15x – 6 – 6 + 2x = 2x + 18

15x + 2x - 2x = 18 + 6 + 6

15x = 30

215

30x

Ecuaciones con DenominadoresPara resolver una ecuación de este tipo, vamos a hacerlo en dos fases: primero la pasaremosuna ecuación con paréntesis, y a continuación, la transformaremos en una ecuación normalsuprimiendo estos.

6

5

4

53

3

52 xxx

12

)5·(2

12

)53·(3

12

)52·(4 xxx

12

)5·(2

12

)53·(3)52·(4 xxx

4·(2x + 5) + 3·(3x – 5) = 2·(x – 5)

Hallamos el m.c.m. de los denomi-nadores:m.c.m.(3,4,6) =22 · 3 = 12, y reducimos acomún denominador

8x + 20 + 9x – 15 = 2x – 10

Al tener una suma de fracciones del mismodenominador, pongo el mismo denominadory sumo los numeradores.

A continuación, “eliminar denominadores”

Resolvemos los paréntesis

8x + 9x – 2x = – 10 – 20 + 15

15x = – 15

Para eliminar los paréntesis, debemos aplicar la propiedaddistributiva, y así obtenemos:3·5x – 3·2 – 2·3 – 2·(-x) = 2x + 18

Problemas de EcuacionesNo hay porque asustarse. Esto significa que vamos a tratar de resolver problemasutilizando ecuaciones. Pero para ello, debemos dar una serie de pasos básicos:

a) leer atentamente el enunciado, las veces que sean necesarias, hasta asegurarnos de

haberlo entendido correctamente.

b) identificar lo que me dan y lo que me piden (datos e incógnitas).

c) guiándome por el enunciado, plantear la ecuación.

d) resolver la ecuación.

e) comprobar que el resultado corresponde con lo que me piden.

f) si el resultado no es coherente con lo que me piden, volver a empezar.

g) no olvidarse nunca de poner la unidad correspondiente:

pesetas, kilos, litros, metros, etc.

Para facilitar las cosas vamos a dividir los problemas en dos tipos: los que me piden unsolo valor y los que me piden más de un valor.

Problemas de un solo valor

2

x

En este caso, identificaremos dicho valor (lo que me pide el problema) con la incógnita(x). O sea:

Pedro gastó la mitad de su dinero en un regalo, la tercera parte en invitar al cine a losamigos y todavía le quedan 12 euros. ¿Cuánto dinero tenía?

Dinero: x

Es decir, si el dinero totalque tenía era x, y en elregalo gastó la mitad, esolo represen-tamos comox/2, y si en el cine gastó latercera parte, lopondremos co-mo x/3 y yatenemos la ecuaciónplanteada:

3

xx = 12

Como gastó, tenemos que restar.

A continuación, guiándonos por el enunciado, plantearemos la ecuación que nos permitaresolver dicho problema. En algunos casos, un dibujo o un esquema sencillo puedenayudarnos en el planteamiento. Observa:

Observa que esta ecuación con denominadores es bastante mássencilla que otras que has resuelto como ejercicios de la unidad.Normalmente, en estos problemas lo complicado es plantear laecuación, no resolverla.

Ecuaciones con denominadoresPara resolver una ecuación de este tipo, vamos a hacerlo en dos fases: primero la pasaremosuna ecuación con paréntesis, y a continuación, la transformaremos en una ecuación normalsuprimiendo estos.

6

5

4

53

3

52 xxx

12

)5·(2

12

)53·(3

12

)52·(4 xxx

12

)5·(2

12

)53·(3)52·(4 xxx

4·(2x + 5) + 3·(3x – 5) = 2·(x – 5)

Hallamos el m.c.m. de los denomi-nadores:m.c.m.(3,4,6) =22 · 3 = 12, y reducimos acomún denominador

8x + 20 + 9x – 15 = 2x – 10

Al tener una suma de fracciones del mismodenominador, pongo el mismo denominadory sumo los numeradores.

A continuación, “eliminar denominadores”

Resolvemos los paréntesis

8x + 9x – 2x = – 10 – 20 + 15

15x = – 15Pulsa cuando sepas la

respuesta

IGUALDAD

IDENTIDAD

6 + 7 – 4 = 9

(a + b)2 = a2 + 2·a·b + b2

6x + 7 – 4x = 9

Antes de empezar a resolver ecuaciones debemos distinguir entre:

Una igualdad se da entre dos expresiones diferentes del mismo valor. Una identidadse verifica para cualquier valor que demos a la incógnita o incógnitas que aparezcanen ellas, en cambio una ecuación se va a cumplir únicamente para algún o algunosvalores de la incógnita o incógnitas.

Las ecuaciones con las que vamos a trabajar son ecuaciones de primer y de segundogrado, así como sistemas de ecuaciones de primer grado. Dentro de las ecuacionesde primer grado veremos primero ecuaciones sencillas, luego ecuaciones conparéntesis y por último ecuaciones con denominadores.

Identidad, Igualdad ecuación

Ecuaciones de Primer GradoPara resolver una ecuación de primer grado como esta, usamos el métodoconocido como transposición de términos, que consiste en agrupar en un mismomiembro de la ecuación los términos semejantes. Normalmente en el primermiembro pondremos los términos con “x” y en el segundo los números ocoeficientes.

2x + 6 - 5x - 2 = 3x - 8

2x + 6 – 5x - 2 = -8

Recuerda: “Cuando un término cambia de lado en la igualdad, pasa a hacer lo contrario de lo que estaba

haciendo”. Por tanto, 3x va a pasar restando.

2x – 5x – 3x = -8 – 6 + 2

Primero vamos apasar 3x restando alprimer miembro

El 6 y el 2 que estabansumando, van a pasarrestando al otro lado de laigualdad.

Cuando los términos semejantes ya están agrupados en el mismo ladode la igualdad es el momento de hacer operaciones: -6x = -12

Ahora tenemos que buscar el número que multiplicado por -6 da -12. Ese número es:

Siguiendo el proceso habitual, lo que hacemos es pasar lo que multiplica a la

x (-6 en este caso) dividiendo al otro lado de la igualdad: 28-

16-x

Ecuaciones con Paréntesis

• Resolvemos las multiplicaciones 3·(5x – 2) –2·(3 – x) = 2x + 18

• Para eliminar los paréntesis, debemos aplicarla propiedad distributiva, y así obtenemos:

Ahora transposición de términos, calculamosde nuevo 3·5x – 3·2 – 2·3 – 2·(-x) = 2x + 18

215

30x

Ecuaciones con denominadoresPara resolver una ecuación de este tipo, vamos a hacerlo en dos fases: primero la pasaremosuna ecuación con paréntesis, y a continuación, la transformaremos en una ecuación normalsuprimiendo estos.

6

5

4

53

3

52 xxx

12

)5·(2

12

)53·(3

12

)52·(4 xxx

12

)5·(2

12

)53·(3)52·(4 xxx

4·(2x + 5) + 3·(3x – 5) = 2·(x – 5)

Hallamos el m.c.m. de los denomi-nadores:m.c.m.(3,4,6) =22 · 3 = 12, y reducimos acomún denominador

8x + 20 + 9x – 15 = 2x – 10

Al tener una suma de fracciones del mismodenominador, pongo el mismo denominadory sumo los numeradores.

A continuación, “eliminar denominadores”

Resolvemos los paréntesis

8x + 9x – 2x = – 10 – 20 + 15

15x = – 15Pulsa cuando sepas la

respuesta

Titulo del subtema

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