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Notas de Electrodinámica clásica Luis J. Garay Madrid, 2 de febrero de 2015 Universidad Complutense de Madrid FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA II Avda. Complutense s/n, E-28040 Madrid, España Luis J. Garay [email protected] Tel.: + 34 913944552, Fax: + 34 913944557 http://jacobi.fis.ucm.es/lgaray, https://sites.google.com/site/luisjgaray Tema 1 [v.1.2]; Tema 2 [v.1.2]; Tema 3 [v.1.0]; Tema 4 [v.1.0]; Tema 5 [v.1.0]; Ap. A [v.1.0]; Ap. C [v.1.0]; Ap. D [v.1.0]; Ap. F [v.1.0].

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Page 1: Edc Garay Notas

Notas de

Electrodinámicaclásica

Luis J. Garay

Madrid, 2 de febrero de 2015

Universidad Complutense de MadridFACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA IIAvda. Complutense s/n, E-28040 Madrid, España

Luis J. Garay [email protected].: + 34 913944552, Fax: + 34 913944557http://jacobi.fis.ucm.es/lgaray, https://sites.google.com/site/luisjgaray

Tema 1 [v.1.2]; Tema 2 [v.1.2]; Tema 3 [v.1.0]; Tema 4 [v.1.0]; Tema 5 [v.1.0];

Ap. A [v.1.0]; Ap. C [v.1.0]; Ap. D [v.1.0]; Ap. F [v.1.0].

Page 2: Edc Garay Notas
Page 3: Edc Garay Notas

[v.1.0]

Bibliografía

Básica

[LaL86] L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Teoría clásica de campos, Reverté,1986.

[Jac99] J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed., Wiley & Sons,1999.

[ThiCE] Bo Thidé, Classical Electrodynamics.http://www.plasma.uu.se/CED/Book.

[Bar80] A.O. Barut, Electrodynamics and Classical Theory of Fields andParticles, Dover, 1980.

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Electrodinámica clásica Luis J. Garay 0–3

Page 4: Edc Garay Notas

BIBLIOGRAFÍA [v.1.0]

Complementaria

[Roh90] F. Rohrlich, Classical Charged Particles, Addison-Wesley, 1990.

[SDM98] J. Schwinger, L.L. DeRaad Jr., K.A. Milton y Wu-yang Tsai, ClassicalElectrodynamics, Perseus Books, 1998.

[Ram90] P. Ramond, Field Theory: A Modern Primer, 2nd. ed., Addison-Wesley, 1990.

[Fre96] A.P. French, Relatividad Especial, Reverté, 1996.

[IbRAL] A. Ibort y M.A. Rodríguez, Notas de álgebra lineal,http://www.ucm.es/info/metodos/pdf/Apuntes/......alg-aimar/alg-aimar.pdf.

[Car97] S.M. Carroll, Lecture notes on general relativity, Capítulo 1http://es.arxiv.org/abs/gr-qc/9712019.

[IllSR] J.I. Illana, El significado de la relatividad,http://www.ugr.es/˜jillana/SR/sr.pdf.

[GarDG] L.J. Garay, Lecture notes: Differential geometry,https://sites.google.com/site/luisjgaray.

0–4 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 5: Edc Garay Notas

[2 de febrero de 2015]

Índice

1. Ecuaciones de Maxwell 1–1

1.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–3

1.1.1. Ecuaciones de Maxwell en el vacío . . . . . . . . . . . 1–3

1.1.2. Condiciones de empalme en una superficie . . . . . 1–4

1.2. Leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–5

1.2.1. Conservación de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–5

1.2.2. Conservación de energía. El teorema de Poynting . . 1–6

1.2.3. Conservación de momento. Tensor de tensiones deMaxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–7

1.2.4. Propiedades de transformación . . . . . . . . . . . . 1–8

1.3. Ondas planas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–10

1.3.1. Ecuación de onda para ~E y ~B . . . . . . . . . . . . . . 1–10

1.3.2. Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–11

1.3.3. Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–12

1.3.4. Flujo y densidad de energía . . . . . . . . . . . . . . . 1–13

1.4. Potenciales electromagnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–15

1.4.1. Ecuación de onda para el potencial electromagnético 1–15

1.4.2. Condición de gauge de Lorenz . . . . . . . . . . . . . 1–16

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 0–5

Page 6: Edc Garay Notas

ÍNDICE [2 de febrero de 2015]

1.4.3. Solución de la ecuación de onda . . . . . . . . . . . . 1–18

1.5. Guías de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–24

1.5.1. Modos TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–25

1.5.2. Modos TE y TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–25

1.5.3. Potencia y energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–29

1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–31

2. Teoría especial de la relatividad 2–1

2.1. Relatividad especial y transformaciones de Lorentz . . . . . 2–3

2.1.1. Postulados de la teoría especial de la relatividad . . . 2–3

2.1.2. Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . 2–5

2.1.3. Adición de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–7

2.1.4. Elemento de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–8

2.2. Espaciotiempo de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–10

2.2.1. Tensores lorentzianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–10

2.2.2. El pseudotensor de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . 2–14

2.2.3. Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–15

2.2.4. Hipersuperficies espaciales . . . . . . . . . . . . . . . 2–15

2.2.5. Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–16

2.2.6. Cuadrivelocidad y cuadriaceleración . . . . . . . . . 2–19

2.3. Grupo de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–21

2.3.1. Grupo de traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–21

2.3.2. Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–22

2.3.3. Operadores de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–27

2.4. Dinámica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–29

2.4.1. Principio variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–29

2.4.2. Cantidades conservadas. Teorema de Noether . . . . 2–30

2.4.3. Partícula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–37

2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–41

0–6 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 7: Edc Garay Notas

[2 de febrero de 2015] Índice

3. Teoría clásica de campos 3–1

3.1. Leyes de transformación: escalares y vectores . . . . . . . . 3–3

3.1.1. Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–4

3.1.2. Transformaciones de Lorentz: campos escalares . . 3–4

3.1.3. Transformaciones de Lorentz: campos vectoriales . 3–5

3.1.4. Transformaciones de Lorentz: campos tensoriales . 3–7

3.2. Principio variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–7

3.3. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–9

3.3.1. Invariancia bajo traslaciones . . . . . . . . . . . . . . 3–12

3.3.2. Invariancia Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–14

3.3.3. Invariancia Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–14

3.3.4. Invariancia gauge abeliana . . . . . . . . . . . . . . . 3–16

3.4. Partículas y campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–21

3.5. Formulación hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–23

3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–27

4. Partículas cargadas y campos electromagnéticos 4–1

4.1. Partícula en un campo electromagnético . . . . . . . . . . . 4–3

4.1.1. Formulación lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . 4–3

4.1.2. Formulación canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–7

4.1.3. Campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . 4–8

4.2. Cargas puntuales en campos electromagnéticos constantes 4–10

4.2.1. Campo eléctrico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 4–11

4.2.2. Campo eléctrico de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . 4–12

4.2.3. Campo magnético uniforme . . . . . . . . . . . . . . 4–16

4.2.4. Campo electromagnético uniforme . . . . . . . . . . 4–16

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 0–7

Page 8: Edc Garay Notas

ÍNDICE [2 de febrero de 2015]

4.2.5. Invariantes adiabáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–17

4.3. Dipolos en campos electromagnéticos constantes . . . . . 4–19

4.3.1. Dipolo eléctrico en un campo eléctrico constante . . 4–19

4.3.2. Dipolo magnético en un campo magnético constantey uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–21

4.3.3. Precesión de Thomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–25

4.4. Dinámica del campo electromagnético . . . . . . . . . . . . 4–26

4.4.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–27

4.4.2. Leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–28

4.4.3. Formulación hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . 4–31

4.4.4. Ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–33

4.4.5. Lagrangiano de dos partículas hasta segundo orden 4–35

4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–39

5. Radiación electromagnética 5–1

5.1. Radiación por cargas en movimiento . . . . . . . . . . . . . 5–3

5.1.1. Campo generado por una partícula cargada . . . . . 5–3

5.1.2. Potencia radiada por una carga acelerada . . . . . . 5–6

5.1.3. Distribución espectral y angular de la potencia . . . 5–10

5.2. Reacción de la radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–15

5.2.1. Estimación de los efectos radiativos . . . . . . . . . . 5–15

5.2.2. Fuerza de reacción radiativa . . . . . . . . . . . . . . 5–16

5.2.3. Renormalización electrodinámica de la masa . . . . 5–18

5.3. Radiación multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–20

5.3.1. Radiación dipolar eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . 5–23

5.3.2. Radiación dipolar magnética y cuadrupolar eléctrica 5–25

5.3.3. Intensidad de radiación multipolar . . . . . . . . . . 5–26

5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–29

0–8 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 9: Edc Garay Notas

[2 de febrero de 2015] Índice

A. Tensores A–1

A.1. Vectores y formas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–3

A.2. Cambios de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–3

A.3. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–4

A.4. Tensor métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–7

A.5. Símbolo y pseudotensor de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . A–8

A.6. Tensores cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–11

A.7. Transformaciones pasivas y activas . . . . . . . . . . . . . . A–13

C. On the Electrodynamics of Moving Bodies, by A. Einstein C–1

I. Kinematical part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C–4

§1. Definition of Simultaneity . . . . . . . . . . . . . . . . C–4

§2. On the Relativity of Lengths and Times . . . . . . . . C–6

§3. Theory of the Transformation of Co-ordinates andTimes from a Stationary System to another Systemin Uniform Motion of Translation Relatively to theFormer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C–9

§4. Physical Meaning of the Equations Obtained in Re-spect to Moving Rigid Bodies and Moving Clocks . . C–14

§5. The Composition of Velocities . . . . . . . . . . . . . C–16

II. Electrodynamical part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C–19

§6. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations forEmpty Space. On the Nature of the ElectromotiveForces Occurring in a Magnetic Field During Motion C–19

§7. Theory of Doppler’s Principle and of Aberration . . . C–22

§8. Transformation of the Energy of Light Rays. Theory ofthe Pressure of Radiation Exerted on Perfect Reflectors C–25

§9. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations whenConvection-Currents are Taken into Account . . . . C–28

§10. Dynamics of the Slowly Accelerated Electron . . . . C–29

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 0–9

Page 10: Edc Garay Notas

ÍNDICE [2 de febrero de 2015]

D. Does the Inertia of a Body Depend upon its Energy-Content?,by A. Einstein D–1

F. Fórmulas F–1

0–10 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 11: Edc Garay Notas

[v.1.2]

Tema 1

Ecuaciones de Maxwell

1.1. Ecuaciones de Maxwell

1.1.1. Ecuaciones de Maxwell en el vacío

1.1.2. Condiciones de empalme en una superficie

1.2. Leyes de conservación

1.2.1. Conservación de carga

1.2.2. Conservación de energía. El teorema de Poynting

1.2.3. Conservación de momento. Tensor de tensiones de Maxwell

1.2.4. Propiedades de transformación

1.3. Ondas planas libres

1.3.1. Ecuación de onda para ~E y ~B

1.3.2. Ondas planas

1.3.3. Polarización

1.3.4. Flujo y densidad de energía

1.4. Potenciales electromagnéticos

1.4.1. Ecuación de onda para el potencial electromagnético

1.4.2. Condición de gauge de Lorenz

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 1–1

Page 12: Edc Garay Notas

TEMA 1. ECUACIONES DE MAXWELL [v.1.2]

1.4.3. Solución de la ecuación de onda

1.4.3.1. Funciones de Green

1.4.3.2. Solución general

1.4.3.3. Dispersión

1.5. Guías de ondas

1.5.1. Modos TEM

1.5.2. Modos TE y TM

1.5.3. Potencia y energía

1.6. Ejercicios

1–2 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 13: Edc Garay Notas

[v.1.2] 1.1. Ecuaciones de Maxwell

1.1. Ecuaciones de Maxwell

1.1.1. Ecuaciones de Maxwell en el vacío

Una distribución de carga determinada por una densidad ρ y una co-rriente ~j = ρ~v , donde ~v es la distribución de velocidades, genera un campoelectromagnético (~E ,~B) que es solución de las ecuaciones de Maxwell ,

~∇·~E = ε−10 ρ, (1.1.1)

~∇×~B − c−2∂t~E =µ0~j , (1.1.2)

~∇×~E +∂t~B = 0, (1.1.3)

~∇·~B = 0, (1.1.4)

donde

µ0 := 4π ·10−7 N/A2 ∼ 1,2566370 ·10−6 N/A2 (1.1.5)

es, por definición, la permitividad magnética en el vacío,

c := 2,99792458 ·108 m/s (1.1.6)

es, por definición, la velocidad de la luz , y

ε0 := 1/(µ0c2) ∼ 8,8541878 ·10−12 F/m (1.1.7)

es la permitividad eléctrica en el vacío. En este curso, utilizaremos las uni-dades del Sistema Internacional (RD 2032/2009, BOE 18 de 21 de enero de2010, pág. 5607).

Las leyes de la electrostática y de la magnetostática se obtienen cuandolos campos son independientes del tiempo, es decir, cuando ∂t~E = ∂t~B = 0.Entonces, las ecuaciones de Maxwell se desacoplan: sin dependencia tem-poral, los campos eléctrico y magnético son independientes.

Una distribución de carga sometida a un campo electromagnético sufreuna densidad de fuerza de Lorentz dada por

~f = ρ~E +~j ×~B = ρ(~E +~v ×~B). (1.1.8)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 1–3

Page 14: Edc Garay Notas

TEMA 1. ECUACIONES DE MAXWELL [v.1.2]

Para una carga puntual q , que en el instante t se halla en la posición~x0 yque se mueve con velocidad ~v , las densidades de carga y de corriente son:

ρ(t ,~x) = qδ3(~x −~x0), ~j (t ,~x) = q~v(t ,~x)δ3(~x −~x0). (1.1.9)

Por tanto, en un campo electromagnético externo, una carga puntual q sufi-cientemente pequeña como para que podamos ignorar el campo generadopor ella misma (una carga de prueba) sufre la fuerza de Lorentz,

~F = q(~E +~v ×~B). (1.1.10)

Sin embargo, veremos en el Tema 5 que la utilización del concepto ideal departícula puntual, no extensa, da lugar a divergencias en la teoría.

1.1.2. Condiciones de empalme en una superficie

Sea f (~x) = 0 una superficie y sea n =~∇ f /‖~∇ f ‖ su normal. Esta superficiepuede tener una densidad superficial de carga σ y una densidad superficialde corriente ~K . En esta sección, relacionaremos el campo electromagnéticoen un lado de la superficie con el campo en el otro lado.

Las densidades de carga y de corriente se pueden escribir

ρ(t ,~x) = ρ+(t ,~x)θ[ f (~x)]+ρ−(t ,~x)θ[− f (~x)]+σ(t ,~x)δ[ f (~x)], (1.1.11)

~j (t ,~x) =~j+(t ,~x)θ[ f (~x)]+~j−(t ,~x)θ[− f (~x)]+ ~K (t ,~x)δ[ f (~x)], (1.1.12)

y los campos

~C (t ,~x) = ~C+(t ,~x)θ[ f (~x)]+~C−(t ,~x)θ[− f (~x)], ~C = ~E ,~B , (1.1.13)

donde θ( f ) es la función de Heaviside:

θ( f ) =

0 si f < 0,1 si f > 0.

(1.1.14)

1–4 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 15: Edc Garay Notas

[v.1.2] 1.2. Leyes de conservación

La divergencia y el rotacional de los campos adquieren entonces la forma:

~∇· ~C =~∇· ~C+θ( f )+~∇· ~C−θ(− f )+ n · (~C+−~C−)δ( f ),

~∇×~C =~∇×~C+θ( f )+~∇×~C−θ(− f )+ n × (~C+−~C−)δ( f ),

donde hemos usado las fórmulas (F.2.3), (F.2.4) y la propiedad distribucio-nal ∂ f θ( f ) = δ( f ). Si sustituimos estas expresiones en las ecuaciones deMaxwell, obtenemos las siguientes condiciones de empalme sobre la super-ficie f = 0:

n · (~E+−~E−) =σ/ε0, (1.1.16a)

n × (~B+−~B−) =µ0~K , (1.1.16b)

n × (~E+−~E−) = 0, (1.1.16c)

n · (~B+−~B−) = 0. (1.1.16d)

1.2. Leyes de conservación

1.2.1. Conservación de carga

La distribución de carga debe satisfacer la ecuación de continuidad, quese obtiene manipulando las ecuaciones de Maxwell. En efecto, si derivamoscon respecto al tiempo la ecuación (1.1.1), calculamos la divergencia de laecuación (1.1.2), sumamos las ecuaciones resultantes y tenemos en cuentaque la divergencia de un rotacional es nula (F.3.2), obtenemos

∂tρ+~∇·~j = 0. (1.2.1)

Esta ecuación representa la ley local de conservación de carga.

EJERCICIO: Escribir la ley global de conservación de carga. ♦

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 1–5

Page 16: Edc Garay Notas

TEMA 1. ECUACIONES DE MAXWELL [v.1.2]

1.2.2. Conservación de energía. El teorema de Poynting

Multiplicando la ecuación (1.1.2) por ~E y la ecuación (1.1.3) por ~B , utili-zando la fórmula (F.2.1) y combinando las ecuaciones resultantes, obtene-mos la expresión

1

2∂t (ε0~E

2 +µ−10~B 2)+~∇·~S =−~E ·~j (1.2.2)

donde

~S :=µ−10~E ×~B (1.2.3)

es el llamado vector de Poynting y representa el flujo de energía electromag-nética.

EJERCICIO: Obtener este resultado. ♦Si suponemos que no existe pérdida de masa, el término ~E ·~j se puede

escribir como la derivada temporal de la densidad de trabajo realizado por elcampo electromagnético y representa, por tanto, la densidad de potencia deconversión de energía electromagnética en energía mecánica y/o térmica.En efecto, la densidad de potencia es

~f ·~v = (ρ~E +~j ×~B) ·~v =~j ·~E +ρ~v · (~v ×~B) (1.2.4)

y el último término se anula en virtud de la fórmula (F.1.1).

Así, la ecuación (1.2.2) nos da la potencia en términos de la variación dela densidad de energía electromagnética interna

U := 1

2(ε0~E

2 +µ−10~B 2) (1.2.5)

y del flujo electromagnético ~S, es decir, representa una ecuación de conser-vación de la energía:

∂tU +~∇·~S +~E ·~j = 0. (1.2.6)

1–6 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 17: Edc Garay Notas

[v.1.2] 1.2. Leyes de conservación

1.2.3. Conservación de momento. Tensor de tensiones deMaxwell

Mediante la manipulación adecuada de la expresión de la densidad defuerza de Lorentz [en particular, sustituyendo las fuentes por sus expresionesen función de los campos según las ecuaciones de Maxwell y añadiendo eltérmino nulo µ−1

0~B(~∇·~B) = 0], obtenemos la siguiente expresión:

~f =−ε0∂t (~E ×~B)+ε0[~E(~∇·~E)−~E × (~∇×~E)]

+µ−10 [~B(~∇·~B)−~B × (~∇×~B)]. (1.2.7)

Utilizando la fórmula (F.2.2), esta expresión queda

~f =−ε0∂t (~E ×~B)+ε0[~E(~∇·~E)+ (~E ·~∇)~E −~∇~E 2/2]

+µ−10 [~B(~∇·~B)+ (~B ·~∇)~B −~∇~B 2/2].

(1.2.8)

EJERCICIO: Obtener este resultado. ♦Podemos escribir esta ecuación en componentes cartesianas1

f i =−∂t Si /c2 +∂k T i kM , (1.2.9)

donde hemos definido el tensor de tensiones de Maxwell T M mediante suscomponentes (cartesianas)

T i jM := ε0(E i E j − 1

2δi j~E 2)+µ−1

0 (B i B j − 1

2δi j ~B 2). (1.2.10)

EJERCICIO: Obtener este resultado. ♦Podemos interpretar la ecuación (1.2.9) como una ley de conservación

del momento. En efecto, ~f es la densidad de fuerza y, por tanto, representa lavariación temporal de la densidad de momento mecánico ~p de un sistema de

1En la ecuación (1.2.9) y en el futuro, utilizaremos el convenio de sumación de Einstein:dos índices repetidos, uno arriba y otro abajo, suponen una suma sobre todos los posiblesvalores de los mismos. Por ejemplo, αiβi =∑3

i=1αiβi .

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 1–7

Page 18: Edc Garay Notas

TEMA 1. ECUACIONES DE MAXWELL [v.1.2]

cargas y, por otro lado, ~S/c2 se interpreta como la densidad de momento delcampo electromagnético. Así, la ecuación (1.2.9) nos dice que la variación enel momento total ~p+~S/c2 se debe a un flujo de momento representado por la

divergencia del tensor de tensiones. Por tanto, la componente T i jM del tensor

de tensiones de Maxwell T M representa el flujo de la componente i delmomento a través de un elemento de superficie perpendicular a la direcciónj (o viceversa, puesto que el tensor de tensiones de Maxwell es simétrico)o, en otras palabras la fuerza ejercida en la dirección i sobre la unidad desuperficie perpendicular a j . Obviamente T i i es la tensión (presión negativa)en la dirección i y los elementos no diagonales representan las cizallas.

1.2.4. Propiedades de transformación

Las ecuaciones de Maxwell son invariantes al menos bajo las siguientestransformaciones, es decir, tienen el mismo aspecto antes y después dellevar a cabo la transformación:

(R) Rotaciones propias caracterizadas por una matriz ortogonal ω condeterminante unidad tal que transforma el vector de posición~x en elnuevo vector de posición rotado~x ′ = R~x de componentes x ′i = R i

j x j .

(S) Reflexiones generadas por la matriz −1 tal que transforma~x en~x ′ =−~x.Por tanto, los vectores se transforman bajo reflexiones mediante la ley~v ′ =−~v y los pseudotensores mediante ~p ′ = ~p.

(T) Inversiones temporales mediante las cuales el parámetro temporalcambia de signo.

Veamos cómo se comportan las cantidades electromagnéticas bajo estastransformaciones.

q . Experimentalmente la carga eléctrica es invariante bajo estas trans-formaciones.

q : R-escalar, S-escalar, T+.

1–8 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 19: Edc Garay Notas

[v.1.2] 1.2. Leyes de conservación

ρ. La densidad es carga por unidad de volumen. La carga es invariantey el volumen, obviamente, también. Por tanto, la densidad de carga esun escalar.

ρ: R-escalar, S-escalar, T+.

~j . Utilizamos su definición ~j = ρ~v . La velocidad es un vector y ladensidad un escalar. Por tanto,~j es un vector. Bajo inversión temporal,~v cambia de signo y también lo hace ~j .

~j : R-vector, S-vector, T−.

~F . La fuerza es ~F = md2~x/dt 2. La masa es invariante, luego ~F es unvector bajo rotaciones y reflexiones. No se ve afectado por inversióntemporal.

~F : R-vector, S-vector, T+.

~E . De ~F = q~E , vemos que ~F y ~E se comportan igual.

~E : R-vector, S-vector, T+.

~B . De ~F = q~v × ~B , vemos que ~B es un vector bajo rotaciones. Bajoreflexiones ~F y ~v son vectores y, por tanto, cambian de signo. Así, ~B lopreserva y es, por tanto, un pseudovector. Bajo inversión temporal, ~Fno cambia y~v sí. Por tanto, ~B cambia de signo bajo inversión temporal.

~B : R-vector, S-pseudovector, T−.

φ. De ~E = −∇φ, vemos que φ es un escalar bajo rotaciones y bajoreflexiones (tanto ~E como~∇ cambian de signo). Tampoco cambia bajoinversión temporal puesto que tampoco lo hacen ~E y~∇.

φ: R-escalar, S-escalar, T+.

~A. De ~B = ~∇× ~A, vemos que ~A es un vector bajo rotaciones. Bajoreflexiones, ~B no cambia de signo y ~∇ sí. Por tanto, ~A sí cambia designo y es, por tanto, un vector bajo reflexiones. Puesto que ~B cambiade signo bajo inversión temporal y~∇ no, ~A sí lo hace.

~A: R-vector, S-vector, T−.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 1–9

Page 20: Edc Garay Notas

TEMA 1. ECUACIONES DE MAXWELL [v.1.2]

~S. El vector de Poynting es ~S =µ−10~E ×~B . µ0 es invariante. Bajo rotacio-

nes, ~S es un vector. Bajo reflexiones, puesto que ~B no cambia de signo,~S se comporta como ~E , es decir, es un vector. Bajo inversión temporal,~E no cambia de signo y ~B sí, luego ~S sí lo hace.

~S: R-vector, S-vector, T−.

U . De su definición (1.2.5), vemos que la densidad de energía electro-magnética es un escalar bajo las tres transformaciones.

U : R-escalar, S-escalar, T+.

T i j . Puesto que δi j es un tensor cartesiano, es decir, se transformacomo un vector en cada uno de sus índices, de la definición del tensorde Maxwell (1.2.10), vemos que T i j es también un tensor. No se veafectado por las reflexiones (como le pasa al tensor xi x j ) y, por tanto,es un tensor bajo reflexiones. Tampoco se ve afectado por la inversióntemporal.

T i j : R-tensor, S-tensor, T+.

1.3. Ondas planas libres

1.3.1. Ecuación de onda para ~E y ~B

En las zonas espaciales y durante los periodos temporales en los queno hay cargas ni corrientes, es decir, en las que ρ = 0 y ~j = 0, podemosobtener ecuaciones de onda desacopladas para el campo eléctrico y campomagnético.

Para obtener la ecuación de onda para ~E , calculamos el rotacional dela ecuación (1.1.3) y usamos las ecuaciones (1.1.1) y (1.1.2). Mediante lautilización de la fórmula (F.3.1), obtenemos la ecuación

−~∇2~E + c−2∂2t~E = 0. (1.3.1)

1–10 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 21: Edc Garay Notas

[v.1.2] 1.3. Ondas planas libres

De forma enteramente análoga, obtenemos las ecuación de onda para elcampo magnético ~B :

−~∇2~B + c−2∂2t~B = 0. (1.3.2)

1.3.2. Ondas planas

Estas ecuaciones son lineales y su solución general compleja es combina-

ción lineal de ondas planas e i~k·~x−iωt con coeficientes vectoriales complejos,donde~k es un vector real llamado número de onda y ω un escalar real lla-mado frecuencia . Es fácil ver por simple sustitución (EJERCICIO) que ω y~kdeben satisfacer la relación de dispersión

ω2 = c2~k2. (1.3.3)

Además, nosotros estamos interesados en soluciones de las ecuaciones deMaxwell en vacío y no todas las soluciones de las ecuaciones de onda lassatisfarán. La condición de que lo hagan nos proporciona restriccionesadicionales, como veremos a continuación para el caso de ondas planas. Porotro lado, os campos electromagnéticos físicos se obtienen tomado la partereal de estas soluciones complejas. Sin embargo, el formalismo complejosimplifica notablemente el cálculo, por lo que mantendremos esta notación,recordando que para obtener resultados físicos es necesario tomar la partereal.

En este apartado, nos ocuparemos de una soluciones especialmentesimples, llamadas ondas planas , que son de la forma

~E~k (t ,~x) = ~E(~k)e i~k·~x−iωt , ~B~k (t ,~x) = ~B(~k)e i~k·~x−iωt , (1.3.4)

donde ~E(~k) y ~B(~k) son vectores constantes y uniformes. Para que sean real-mente soluciones de las ecuaciones de Maxwell, ambos campos deben tenerdivergencia nula (ya que estamos en vacío)y, por tanto, se debe satisfacer lacondición

k ·~E = 0, k ·~B = 0. (1.3.5)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 1–11

Page 22: Edc Garay Notas

TEMA 1. ECUACIONES DE MAXWELL [v.1.2]

Es decir, las ondas electromagnéticas planas son transversales. Por último,de la ecuación de Maxwell (1.1.3) y usando las fórmulas (F.2.2), (F.2.4) y(F.4.1) obtenemos una restricción adicional:

ω~B =~k ×~E ⇔ c~B = k ×~E . (1.3.6)

En las ondas planas, los campos eléctrico y magnético, no solo son perpen-diculares al vector de número de onda~k, sino que, además, son perpendicu-lares entre sí.

El campo electromagnético tiene dos grados de libertad. En efecto, encada punto, está determinado por seis funciones E i (~k) y B i (~k) sujetas a lascondiciones (1.3.6), lo que deja solo tres (por ejemplo E i ) y a la condiciónde transversalidad (1.3.5), lo que elimina otro grado de libertad.

1.3.3. Polarización

De las ecuaciones anteriores, vemos que ~E y c~B tienen la misma mag-nitud. Además, ~E y ~B son vectores complejos con la misma fase. Podemosentonces construir una base ortonormal ε1, ε2, k tal que la onda plana másgeneral será de la forma

~E(t ,~x) = (ε1E1 + ε2E2)e i~k·~x−iωt , (1.3.7)

donde E1 y E2 son escalares complejos que caracterizan los dos grados delibertad del campo electromagnético. Llamaremos vector de polarizaciónal vector unitario complejo

ε= ε1E1 + ε2E2√|E1|2 +|E2|2

. (1.3.8)

Si E1 y E2 tienen la misma fase, su vector de polarización forma unángulo arctan(E2/E1) con ε1 y ~E(t ,~x) siempre apunta en la mismadirección. Diremos que la onda plana tiene polarización lineal .

Si E1 y E2 tienen distintas fases, diremos que la onda tiene polariza-ción elíptica .

1–12 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 23: Edc Garay Notas

[v.1.2] 1.3. Ondas planas libres

La polarización circular corresponde al caso en el que E1 y E2 tienenel mismo módulo pero sus fases difieren en π/2. En efecto, en estecaso,

~E(t ,~x) = E0(ε1 ± i ε2)e i~k·~x−iωt ; (1.3.9)

el campo físico tiene la forma

~E(t ,~x) = E0[ε1 cos(~k ·~x −ωt )± ε2 sen(~k ·~x −ωt )

](1.3.10)

y, por tanto, en un punto fijo~r del espacio, el vector ~E barre el planoε1, ε2 con velocidad angular constante determinada por la frecuenciaω. Si el vector de polarización de la onda es ε+ = (ε1 + i ε2)/

p2, ~E gira

en sentido contrario de las agujas del reloj y decimos que la onda tienehelicidad positiva . Si la polarización es ε− = (ε1 − i ε2)/

p2, entonces

decimos que tiene helicidad negativa .

La base de ondas polarizadas circularmente (1.3.9) forman también unabase de polarizaciones.

1.3.4. Flujo y densidad de energía

En general, el vector de Poynting para un campo electromagnético defi-nido por campos complejos es

µ0~S = Re~E ×Re~B = 1

4(~E +~E∗)× (~B +~B∗)

= 1

4~E ×~B + 1

4~E ×~B∗+ 1

4~E∗×~B + 1

4~E∗×~B∗

= 1

2Re(~E ×~B)+ 1

2Re(~E ×~B∗). (1.3.11)

Los campos ~E y ~B de una onda plana tienen una dependencia temporal e iωt .Por tanto, al calcular el promedio temporal, definido mediante la expresión

⟨F (t )⟩ := lımT→∞

1

T

∫ +T /2

−T /2dt ′F (t + t ′), (1.3.12)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 1–13

Page 24: Edc Garay Notas

TEMA 1. ECUACIONES DE MAXWELL [v.1.2]

el primer término se anula por ser oscilante e2iωt y nos queda solo el segun-do término:

⟨~S⟩t = 1

2µ0Re(~E ×~B∗). (1.3.13)

Análogamente, la densidad de energía es

U = 1

2[ε0(Re~E)2 +µ−1

0 (Re~B)2]

= 1

4[ε0Re(~E 2)+µ−1

0 Re(~B 2)]+ 1

4(ε0~E ·~E∗+µ−1

0~B ·~B∗) (1.3.14)

y, por tanto, en el promedio temporal, el primer término se anula por seroscilante:

⟨U ⟩t = 1

4(ε0~E ·~E∗+µ−1

0~B ·~B∗). (1.3.15)

Teniendo en cuenta que las ondas planas satisfacen las propiedades

~B ·~B∗ = (k ×~E) · (k ×~E∗)/c2 = ~E ·~E∗/c2, (1.3.16)

~E ×~B∗ = ~E × (k ×~E∗)/c = (~E ·~E∗)k/c, (1.3.17)

donde hemos utilizado las ecuaciones 1.3.5, 1.3.6, F.1.2 y F.1.3, podemosconcluir que

⟨~S⟩t = 1

2µ0c(~E ·~E∗)k, ⟨U ⟩t = 1

2µ0c2~E ·~E∗ (1.3.18)

y que, por tanto, la velocidad de propagación de la energía en vacío es

~v := ⟨~S⟩t /⟨U ⟩t = ck, (1.3.19)

constante, uniforme e independiente de la frecuencia.

1–14 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 25: Edc Garay Notas

[v.1.2] 1.4. Potenciales electromagnéticos

1.4. Potenciales electromagnéticos

Las ecuaciones (1.1.3) y (1.1.4) son estructurales e implican que existenpotenciales electromagnéticos φ y ~A definidos localmente tales que

~E =−~∇φ−∂t~A, ~B =~∇×~A. (1.4.1)

En efecto, de la ecuación (1.1.4) concluimos que existe un campo vectorial~A definido localmente tal que ~B =~∇×~A [ver fórmula (F.3.2)]. Introducimoseste resultado en la ecuación (1.1.3) y reorganizamos la expresión resultantepara obtener la ecuación ~∇× (~E +∂t~A) = 0. Por tanto [ver fórmula (F.3.3)],localmente, existe una función φ tal que ~E +∂t~A =−~∇φ.

La relación entre los vectores ~E , ~B y φ, ~A no es unívoca. Los potenciales(φ,~A) y (φ′,~A′) relacionados mediante las fórmulas

φ′ =φ−∂t f , ~A′ = ~A+~∇ f , (1.4.2)

donde f (t ,~r ) es una función arbitraria, generan el mismo campo electro-magnético (~E ,~B). Estas transformaciones reciben el nombre de transforma-ciones de gauge .

EJERCICIO: Probar esta afirmación. ♦

1.4.1. Ecuación de onda para el potencial electromagnético

Al escribir el campo electromagnético en términos de potenciales lasecuaciones estructurales de Maxwell se convierten en identidades y solo nosquedan las dos ecuaciones que relacionan las fuentes con el campo escritoen términos de los potenciales.

Para obtener ecuaciones en las que solo aparece el potencial electro-magnético (φ,~A) en presencia de distribuciones de carga y de corriente,introducimos las relaciones (1.4.1) en las ecuaciones de Maxwell y obtene-mos:

~∇2φ=−ρ/ε0 −∂t (~∇·~A), (1.4.3)

~∇2~A− c−2∂2t~A−~∇(~∇·~A) =−µ0~j + c−2~∇∂tφ. (1.4.4)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 1–15

Page 26: Edc Garay Notas

TEMA 1. ECUACIONES DE MAXWELL [v.1.2]

Una sencilla manipulación de estas ecuaciones nos permite reescribirlas dela siguiente manera:

−c−2∂2tφ+~∇2φ=−ε−1

0 ρ−∂t (~∇·~A+ c−2∂tφ), (1.4.5)

−c−2∂2t~A+~∇2~A =−µ0~j +~∇(~∇·~A+ c−2∂tφ). (1.4.6)

Estas ecuaciones son equivalentes a las ecuaciones de Maxwell. Esto no esobvio a primera vista ya que, en apariencia, las soluciones de estas ecuacio-nes tienen cuatro grados de libertad: son cuatro ecuaciones diferencialesde segundo orden, por lo que hacen falta ocho funciones espaciales arbi-trarias en un instante inicial para caracterizar la solución de forma única.Sin embargo, cuatro de estas condiciones iniciales son espurias debido ala invariancia gauge, como veremos, lo que nos deja con cuatro funcionesespaciales arbitrarias en un instante dado, es decir, dos grados de libertad.

EJERCICIO: Demostrar que estas ecuaciones son invariantes bajo las trans-formaciones gauge (1.4.2). ♦

1.4.2. Condición de gauge de Lorenz

Las transformaciones gauge (1.4.2) definen una relación de equivalenciaen el conjunto de potenciales electromagnéticos y, por tanto, este conjuntoestá formado por clases de equivalencia. Todos los elementos de una cla-se están caracterizados por dar lugar al mismo campo electromagnético.La ambigüedad gauge representa la libertad de elegir cualquier miembrode una clase de equivalencia para representar al campo electromagnéti-co. Mediante condiciones adicionales adecuadas, que reciben el nombrede condiciones de fijación del gauge , podemos elegir los representantesde cada clase. Estas condiciones deben ser tales que elijan representantespara todas y cada una de las configuraciones, es decir, que los potencia-les elegidos deben cubrir todas las clases de equivalencia. Cuantos menosrepresentantes de cada clase haya (siempre que tengamos al menos uno),mejor será la fijación del gauge. Cuando tengamos más de un representantepor cada clase, diremos que queda una libertad gauge residual .

1–16 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 27: Edc Garay Notas

[v.1.2] 1.4. Potenciales electromagnéticos

Un ejemplo de condición de fijación del gauge es la llamada condiciónde Lorenz ,

c−2∂tφ+~∇·~A = 0. (1.4.7)

La imposición de esta condición convierte las ecuaciones de onda en

−c−2∂2tφ+~∇2φ=−ε−1

0 ρ, −c−2∂2t~A+~∇2~A =−µ0~j . (1.4.8)

Como hemos visto, debemos preguntarnos si la condición de fijación degauge de Lorenz siempre se puede imponer, es decir, si dada una configura-ción (φno,~Ano) que no satisface la condición de Lorenz, puede encontrarsemediante transformaciones gauge una nueva configuración (φ,~A) que sí lasatisfaga. En otras palabras, nos preguntamos si existe una función f tal que

φ=φno −∂t f , ~A = ~Ano +~∇ f , ~∇·~A+ c−2∂tφ= 0. (1.4.9)

Sustituyendo las dos primeras ecuaciones en la tercera vemos que, para quela respuesta sea afirmativa, f debe satisfacer la ecuación

−c−2∂2t f +~∇2 f =−(~∇·~Ano + c−2∂tφno). (1.4.10)

Dado que esta ecuación diferencial para f siempre tiene solución, la con-dición de Lorenz siempre se puede imponer. Si esta solución fuese única,el gauge estaría completamente fijado. Sin embargo, todavía queda unaarbitrariedad adicional puesto que, si f es una solución y le añadimos otrafunción f que satisfaga la ecuación

−c−2∂2t f +~∇2 f = 0, (1.4.11)

también obtendremos otra solución. Nos queda, por tanto, una libertadgauge residual.

Podemos ahora contar los grados de libertad físicos descritos por lospotenciales electromagnéticos, tarea que había quedado pendiente en elapartado anterior. Para ello, consideremos las ecuaciones de onda (1.4.5)y (1.4.6).

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 1–17

Page 28: Edc Garay Notas

TEMA 1. ECUACIONES DE MAXWELL [v.1.2]

Vemos que estas ecuaciones no contienen segundas derivadas tempo-rales de φ, por lo que concluimos que φ no es una variable dinámica.Además, notemos que la primera de estas ecuaciones no contiene de-rivadas segundas de ninguna variable, por lo que no es una ecuacióndinámica, sino una ligadura que deben satisfacer las variables dinámi-cas en todo momento y, en particular, en la superficie de condicionesiniciales. Por tanto, las condiciones iniciales están dadas por las tresfunciones Ai , las tres velocidades ∂t Ai y la función φ, evaluadas enla superficie de datos iniciales. De estas siete funciones iniciales, unaqueda fijada por la ligadura (la primera ecuación), por lo que quedanseis libres.

Por otro lado, la libertad gauge nos asegura que no necesitamos tan-tas funciones libres. Podemos eliminar esta libertad mediante unacondición de fijación de gauge (por ejemplo, la de Lorenz). De aquíconcluimos que dos de esas funciones corresponden a las dos con-diciones iniciales de la ecuación (1.4.10) [o, equivalentemente, de(1.4.11)] y son, por tanto, espurias.

En total, nos quedan cuatro funciones espaciales libres, es decir, dosgrados de libertad.

Existen otras formas de fijar el gauge como, por ejemplo:

Gauge de Coulomb: ~∇·~A = 0,

Gauge temporal: φ= 0,

Gauge axial: A3 = 0

1.4.3. Solución de la ecuación de onda

En esta sección, obtendremos la solución general de la ecuación de onda(1.4.8) para los potenciales electromagnéticos φ y ~A. Para ello, buscamos lasolución general G (t ,~x, t ; t ′,~x ′) de la ecuación(− c−2∂2

t +~∇2)G (t ,~x, t ; t ′,~x ′) =−δ3(~x −~x ′)δ(t − t ′). (1.4.12)

1–18 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 29: Edc Garay Notas

[v.1.2] 1.4. Potenciales electromagnéticos

Con el objeto de agrupar las expresiones correspondientes a ambos po-tenciales comenzaremos a introducir la notación relativista definiendoAµ := (φ/c,~A) y jµ := (cρ,~j ) donde µ = 0,1,2,3, de manera que las ecua-ciones de onda se escriben de la forma(− c−2∂2

t +~∇2)Aµ =−µ0 jµ. (1.4.13)

Entonces, la solución general se puede obtener mediante la expresión

Aµ(t ,~x) = Aµ0 (t ,~x)+µ0

∫R4

dt ′d3~x ′G (t ,~x; t ′~x ′) jµ(t ′,~x ′), (1.4.14)

donde Aµ0 es una solución de la ecuación homogénea. La función G (t ,~x; t ′~x ′)

recibe el nombre de función de Green o propagador .

1.4.3.1. Funciones de Green

La función de Green G solo puede depender de la diferencia de tiempost − t ′ y de posiciones~x −~x ′. Para verlo, basta con cambiar de variables de~x,t a~r =~x −~x ′, σ= t − t ′, de forma que la ecuación (1.4.12) se convierte en(− c−2∂2

σ+~∇2~r

)G (σ,~r ;0,0) =−δ3(~r )δ(σ). (1.4.15)

EJERCICIO: Comprobar que δ3(~r ) = δ(r )/(4πr 2). ♦Si escribimos el laplaciano en coordenadas esféricas para~r [ver fórmula

(F.6.1)] y usamos el resultado del ejercicio anterior, vemos que G no puededepender de la dirección de~r =~x −~x ′ sino solo de su módulo r . Por tanto,

−c−2∂2σG +∂2

r (r G )/r =−δ(σ)δ(r )/(4πr 2). (1.4.16)

Sustituyendo en esta ecuación G (σ,~r ) por su expresión en términos de sutransformada de Fourier temporal G (ω,~r ) dada por

G (σ,~r ) := 1p2π

∫R

dωG (ω,~r )e−iωσ (1.4.17)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 1–19

Page 30: Edc Garay Notas

TEMA 1. ECUACIONES DE MAXWELL [v.1.2]

y utilizando la fórmula (F.6.3), obtenemos la siguiente ecuación para latransformada de Fourier de la función de Green:

c−2ω2G +∂2r (sG )/r =−(2π)−1/2δ(r )/(4πr 2). (1.4.18)

Fuera de r = 0, la solución de esta ecuación es

G (ω,~r ) = 1p2π

1

4πr

(α+e iωr /c +α−e−iωr /c), (1.4.19)

donde α± son constantes que determinaremos a partir del comportamientoen r = 0.

Volvemos, mediante una transformación de Fourier inversa a G (σ,~r ),

G (σ,~r ) =α+G+(σ,~r )+α−G−(σ,~r ), (1.4.20)

donde

G±(σ,~r ) = 1

1p2π

∫R

dωe−iω(σ∓r /c)

r= δ(σ∓ r /c)

4πr. (1.4.21)

Si definimos

t ′± = t ∓ r /c = t ∓‖~x −~x ′‖/c, (1.4.22)

como los tiempos retardado y avanzado respectivamente, las funciones deGreen correspondientes se pueden escribir de la forma

G±(t ,~x; t ′,~x ′) = δ(t ′− t ′±)

4π‖~x −~x ′‖ , G =α+G++α−G−. (1.4.23)

EJERCICIO: Demostrar, mediante el estudio del comportamiento de lafunción de Green G (σ,~r ) en el origen~r = 0, que α++α− = 1.

Solución. Para obtener los valores de α±, introducimos esta función deGreen G en la ecuación (1.4.15):(− c−2∂2

σ+~∇2)G± = 1

4πr

(− c−2∂2σδ±+~∇2δ±

)+ 1

2π~∇δ±~∇1

r+ 1

4πδ±~∇2 1

r,

(1.4.24)

1–20 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 31: Edc Garay Notas

[v.1.2] 1.4. Potenciales electromagnéticos

donde hemos denotando por sencillez en la notación δ± = δ(σ∓ r /c). Usan-do las fórmulas (F.4.2,F.4.3,F.4.4) y teniendo en cuenta que

~∇δ± =∓c−1r ∂σδ±, ~∇2δ± = c−2∂2σδ±∓

2

cr∂σδ±, (1.4.25)

obtenemos (− c−2∂2σ+~∇2)G± =−δ±δ3(~r ). (1.4.26)

Si integramos este resultado en todo el tiempo y en un pequeño volumenδV alrededor de ~r = 0, el primer término se anula puesto que supone laevaluación de δ±(±∞) = 0; el segundo término contribuye con −1. Con estosresultados, vemos que la integral a todo tiempo y en un pequeño volumenδV alrededor de~r = 0 de la ecuación (1.4.15)∫

R×δVdσd3~r

(− c−2∂2σ+~∇2)G =−1 (1.4.27)

proporciona el resultado buscado α++α− = 1. ♦Las funciones de Green G± proporcionan la respuesta a la propagación

de una perturbación debida a que algo de intensidad unidad (puesto que∫δ= 1) ocurre en un cierto lugar puntual~x ′ en un instante t ′. Dado un punto

de observación~x, la respuesta a esta perturbación afecta a este punto solo enel instante t tal que t ′ = t±, es decir, tal que t = t ′±‖~x ′−~x‖/c : antes de estosinstantes, las funciones de Green se anulan y también lo hacen después. Lafunción de Green retardada G+ es la solución tal que la respuesta llega a lapunto de observación~x después de que haya habido una perturbación en~x ′. De forma análoga, la función de Green avanzada G− es tal que la señalllega al punto de observación antes de que se produzca la perturbación,situación físicamente inaceptable. Sin embargo, las soluciones avanzadasadmiten otra interpretación: permiten determinar qué señal es necesarioenviar en un instante t desde el punto~x para que empalme adecuadamentecon una perturbación que tendrá lugar en el punto ~x ′ y en el instante t ′.Comentaremos más sobre esta interpretación en la siguiente sección.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 1–21

Page 32: Edc Garay Notas

TEMA 1. ECUACIONES DE MAXWELL [v.1.2]

1.4.3.2. Solución general

La solución general de la ecuación de onda (1.4.8) para el potencialvector electromagnético Aµ es entonces

Aµ(t ,~x) = Aµ0 (t ,~x)+µ0

∫R4

dt ′d3~x ′ jµ(t ′,~x ′)G (t ,~x; t ′,~x ′)

= Aµ0 (t ,~x)+α+µ0

∫R3

d3~x ′ jµ(t ′+,~x ′)4π‖~x −~x ′‖ +α−µ0

∫R3

d3~x ′ jµ(t ′−,~x ′)4π‖~x −~x ′‖ ,

(1.4.28)

donde Aµ0 (t ,~x) es una solución arbitraria de la ecuación homogénea.

Si nos queremos ocupar de los efectos causados por una fuente (cuyadinámica está causada por causas externas), el principio de causalidad re-quiere que el potencial en (t ,~x) no dependa de lo que ocurrirá con la fuenteen el futuro. Por tanto, desde el punto de vista físico debemos quedarnoscon el propagador retardado, es decir, α− = 0, α+ = 1. Así obtenemos elpotencial vector electromagnético retardado

Aµ+(t ,~x) = µ0

∫R3

d3~x ′ jµ(t ′+,~x ′)‖~x −~x ′‖ , (1.4.29)

es decir,

φ+(t ,~x) = 1

4πε0

∫R3

d3~x ′ρ(t ′+,~x ′)‖~x −~x ′‖ , (1.4.30)

~A+(t ,~x) = µ0

∫R3

d3~x ′~j (t ′+,~x ′)‖~x −~x ′‖ . (1.4.31)

Conviene recordar que estos potenciales han sido obtenidos en el gauge deLorenz.

1.4.3.3. Dispersión

Como hemos visto en la sección anterior la solución retardada másgeneral es de la forma (hemos omitido las dependencias espaciotemporales

1–22 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 33: Edc Garay Notas

[v.1.2] 1.4. Potenciales electromagnéticos

por claridad)

Aµ = Aµ

in +∫

jµG+, (1.4.32)

donde Aµ

in es una solución de la ecuación homogénea. Esta solución tienela interpretación de campo incidente, puesto que es el campo en t →−∞,cuando la fuente está todavía inactiva. Por otro lado, la solución avanzadamás general es de la forma

Aµ = Aµout +

∫jµG−, (1.4.33)

donde Aout es una solución de la ecuación homogénea. Esta solución tienela interpretación de campo saliente, puesto que es el campo en t → ∞,cuando la fuente está ya inactiva.

Si consideramos que estas dos soluciones corresponden al mismo campoelectromagnético generado por la misma fuente pero descrito en términosde condiciones iniciales y finales, respectivamente, tenemos una relaciónentre el campo saliente y el entrante en un proceso de dispersión del campoelectromagnético por una distribución de cargas:

Aµout − Aµ

in =∫

jµG , (1.4.34)

donde G =G+−G− es una solución de ecuación homogénea llamada con-mutador por razones que no veremos aquí.

Otra forma alternativa de ver esta relación es la siguiente. Sabemos queuna distribución de carga genera un campo Aµ

+ = ∫jµG+. Por otro lado, si la

distribución de carga está generada por un campo Aµ−, esto quiere decir queAµ− = ∫

jµG−. Si restamos ambas ecuaciones obtenemos una ecuación iguala la anterior pero para los campos Aµ

± que son las soluciones de la ecuacióninhomogénea y no de la homogénea. La relación entre Aµ

out y Aµ+ es clara:

ambos coinciden en el futuro de la fuente y fuera de ella. Análogamente Aµ

iny Aµ− coinciden en el pasado de la fuente y fuera de ella.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 1–23

Page 34: Edc Garay Notas

TEMA 1. ECUACIONES DE MAXWELL [v.1.2]

1.5. Guías de ondas

Consideremos una cavidad hueca infinita en una de las dimensionesy con paredes conductoras. Sea ez la dirección hueca. Entonces, el campoelectromagnético satisface la ecuación de onda en el interior de la guía

−c−2∂2t~C +~∇2~C = 0, ~C = ~E ,~B , (1.5.1)

junto con las condiciones de contorno en las paredes del conductor obteni-das de las condiciones de empalme (1.1.16):

~E‖|S = ~B⊥|S = 0, (1.5.2)

donde ‖ y⊥ indican las componentes paralela y perpendicular a la super-ficie del conductor respectivamente. En efecto, dentro del conductor, lascargas se mueven libremente y adaptan su posición y velocidad para que~E = ~B = 0. En la superficie, tienen menos libertad (solo sobre la superficiey hacia el interior) y hacen que las densidades superficiales de carga y decorriente se adapten a las condiciones externas (e internas). Así, la libertadde movimiento superficial obliga a que se satisfagan las condiciones decontorno (1.5.2).

La simetría del problema nos permite escribir

~C (t ,~x) = ~C ′(x, y)e i (±kz−ωt ), (1.5.3)

de forma que la ecuación de onda para ~C ′ queda

~∇2T~C ′+ (ω2/c2 −k2)~C ′ = 0, (1.5.4)

donde el laplaciano transversal es~∇2T =~∇2−∂2

z . Las condiciones de contornopara la ecuación de onda para ~C ′ son las mismas que para ~C y están dadaspor la ecuación (1.5.2). Si solo utilizamos~∇T y no el operador ∂z , podemoseliminar la prima de ~C puesto que los resultados no se ven afectados porla multiplicación por el factor e i (±kz−ωt ). Además, es conveniente separarlas componentes longitudinales y transversales de los campos eléctrico ymagnético:

~C = ~CT +Cz ez . (1.5.5)

1–24 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 35: Edc Garay Notas

[v.1.2] 1.5. Guías de ondas

1.5.1. Modos TEM

Si Ez = Bz = 0 en toda la guía, entonces se obtiene una solución especial:las ondas TEM (transversales electromagnéticas) cuyas únicas componen-tes ~CT = ~CTEM son perpendiculares a la dirección de propagación. El campoeléctrico es solución de las ecuaciones

~∇T ×~ETEM = 0, ~∇T ·~ETEM = 0, (1.5.6)

con la condición de contorno ~ETEM,‖|S = 0 y, por tanto, ~ETEM es solucióndel problema electrostático bidimensional. El campo magnético se obtienetambién mediante sustitución de ~B = ~BTEM en la ecuación de Maxwell (1.1.2)en vacío:

~BTEM =±c−1ez ×~ETEM, (1.5.7)

que obviamente satisface la condición de contorno ~BTEM,⊥|S = 0

EJERCICIO: Obtener estos resultado mediante sustitución directa en lasecuaciones de Maxwell de ~C = ~CTEM. ♦

Si calculamos el rotacional de la primera ecuación de (1.5.6) y hacemosuso de la fórmula (F.3.1) y de la segunda ecuación, obtenemos~∇2

T~ETEM = 0,

de manera que la ecuación (1.5.4) también nos indica que ω2 = c2k2, comoen un medio infinito.

Es interesante notar que, en un cilindro hueco, este modo TEM no puedeexistir puesto que la superficie del conductor es equipotencial y, en conse-cuencia, dentro de la guía no puede existir campo eléctrico ni magnético: esnecesaria una guía coaxial.

1.5.2. Modos TE y TM

A partir de las ecuaciones de Maxwell se pueden obtener las siguientesexpresiones para los campos transversales en función de los longitudinales:

~ET = iγ−2(±k~∇TEz −ωez ×~∇TBz), (1.5.8)

~BT = iγ−2[±k~∇TBz + (ω2/c2)ez ×~∇TEz], (1.5.9)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 1–25

Page 36: Edc Garay Notas

TEMA 1. ECUACIONES DE MAXWELL [v.1.2]

donde γ2 =ω2/c2 −k2.

Además, se pueden obtener condiciones de contorno para los camposlongitudinales a partir de las condiciones de contorno para los campostotales y de las ecuaciones de Maxwell:

Ez |S = 0, n ·~∇TBz |S = ∂nBz |S = 0. (1.5.10)

EJERCICIO: Obtener estos resultados.

Solución. Para las componentes transversal y longitudinal, las ecuacionesde Maxwell quedan

±i k~ET + iωez ×~BT =~∇TEz , (1.5.11a)

ez · (~∇T ×~ET) = iωBz , (1.5.11b)

±i k~BT − i (ω/c2)ez ×~ET =~∇TBz , (1.5.11c)

ez · (~∇T ×~BT) =−i (ω/c2)Ez , (1.5.11d)

~∇T ·~ET =∓i kEz , (1.5.11e)

~∇T ·~BT =∓i kBz . (1.5.11f)

~ET se obtiene multiplicando la ecuación (1.5.11c) vectorialmente por laizquierda por ez y después usando (1.5.11a); ~BT se obtiene multiplicando laecuación (1.5.11a) vectorialmente por la izquierda por ez y después usando(1.5.11c).

La condición de contorno para la parte longitudinal del campo eléctricoEz se deduce inmediatamente de ~E‖|S = 0 y la condición de contorno paraBz se deduce directamente de (1.5.11c), si multiplicamos escalarmente estaecuación por la normal a la superficie n y recordamos que ~B⊥|S = 0. ♦

Así, tenemos una ecuación de onda bidimensional (1.5.4) para Ez y Bz

con las condiciones de contorno (1.5.10). Como estas condiciones son dife-rentes, los autovalores asociados al campo eléctrico y al campo magnéticoserán diferentes en general.

En esta sección, consideraremos soluciones tales que Ez o Bz son dife-rentes de cero. Llamaremos ondas TM (transversales magnéticas) a las que

1–26 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 37: Edc Garay Notas

[v.1.2] 1.5. Guías de ondas

satisfacen

Bz = 0 en toda la guía, Ez |S = 0 (TM) (1.5.12)

y ondas TE (transversales eléctricas) a las que satisfacen

Ez = 0 en toda la guía, ∂nBz |S = 0 (TE). (1.5.13)

Una vez conocidos (Ez ,Bz) 6= 0 podemos calcular ~ET y ~BT a partir de lasecuaciones (1.5.9). De estas ecuaciones, vemos que, tanto para los modosTE como para los TM, los campos eléctrico y magnético están relacionados:

~BT = ±µ0

Zez ×~ET, (1.5.14)

donde Z es la impedancia de la onda:

Z =

k/(ε0ω) (TM)µ0ω/k (TE).

(1.5.15)

Así, basta con conocer uno de ellos para tener una solución completa.

Las ecuaciones (1.5.9) nos permiten determinar las componentes trans-versales a partir de Ez y Bz :

~ET =± i k

γ2~∇TEz (TM), ~BT =± i k

γ2~∇TBz (TE). (1.5.16)

Estos campos ~CT obviamente satisfacen las condiciones de contorno

~ET,‖|S = 0, ~BT,⊥|S = 0, (1.5.17)

como es fácil comprobar.

EJERCICIO: Realizar esta comprobación.

Solución. De la ecuación (1.5.14) y de la fórmula (F.1.4), vemos que

BT,⊥ = n ·~BT ∝ n · (ez ×~ET) = ~ET · (n × ez) = ET,‖ (1.5.18)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 1–27

Page 38: Edc Garay Notas

TEMA 1. ECUACIONES DE MAXWELL [v.1.2]

y, por lo tanto, ~ET,‖|S = 0 ⇔ ~BT,⊥|S = 0.

Para los modos TE, ~BT ∝~∇TBz , luego BT,⊥|S = n ·~BT|S ∝ ∂nBz |S = 0.

Para los modos TM, ~ET ∝ ~∇TEz , luego, si p es un vector paralelo a lasuperficie, E‖ = p ·~ET ∝ p ·~∇TEz = ∂p Ez . Puesto que Ez |S = 0, tenemos que∂p Ez |S = 0. Por tanto, E‖|s ∝ ∂p Ez |s = 0. ♦

La función Cz = Ez ,Bz satisface la ecuación de onda bidimensional(~∇2

T +γ2)Cz = 0 (1.5.19)

y está sujeta a las condiciones de contorno

Ez |S = 0 (TM), ∂nBz |S = 0 (TE), (1.5.20)

como hemos visto. Nos encontramos pues ante un problema de autovalores.

EJERCICIO: Demostrar que los autovalores γ2 ≥ 0 para que se puedansatisfacer las condiciones de contorno. ♦

El resultado es un espectro de autovalores γn , y sus correspondientesautofunciones ortonormales Cz,n , que son los modos de la guía. De losautovalores γn podemos obtener, para cada frecuencia, el número de onda

k2n =ω2/c2 −γ2

n . (1.5.21)

Definiendo ωn = cγn , la frecuencia más baja posible para el modo n, pode-mos escribir la relación de dispersión

kn = c−1√ω2 −ω2

n . (1.5.22)

Así, solo los modos para los que ωn ≤ ω se pueden propagar en la guía.Puesto que γn son los autovalores en una sección finita de una cavidad,están cuantizados y γn ∼ n/R donde R es una longitud característica de lasección (el lado de una guía de sección cuadrada, por ejemplo). Por tanto,existe solo un número finito de modos tales queωn ≤ω y, a menudo, se eligela guía de forma que solo exista un modo.

Es interesante notar que, puesto que ω/c es el número de onda en elespacio libre y kn ≤ω/c, la velocidad de fase v f ,n =ω/kn ≥ c y, de hecho, esinfinita para ω=ωn .

1–28 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 39: Edc Garay Notas

[v.1.2] 1.5. Guías de ondas

1.5.3. Potencia y energía

El promedio temporal del vector de Poynting es

⟨~S⟩t = 1

2µ0

~E ×~B∗ = 1

2µ0

(~ET ×~B∗

T

)+ 1

2µ0B∗

z~ET × ez + 1

2µ0Ez ez ×~B∗

T .

(1.5.23)

Para las ondas TEM, la situación es idéntica a la de las ondas libres:

⟨~S⟩t = 1

2µ0c

(~ETEM ·~E∗

TEM

)k, ⟨U ⟩t = 1

2µ0c2~ETEM ·~E∗

TEM (1.5.24)

y la velocidad de propagación de la energía es, entonces,

⟨~S⟩t /⟨U ⟩t = cez . (1.5.25)

Para ondas TM, Bz = 0, usamos las expresiones (1.5.14) y (1.5.16), juntocon la fórmula (F.1.2), y obtenemos

⟨~S⟩t = k2

2γ4Z

[±|~∇TEz |2ez + i (γ2/k)Ez~∇TE∗z

]. (1.5.26)

Si integramos la componente axial (en la dirección ±ez) de este resultadosobre toda la sección ΣT de la guía, obtenemos la potencia transmitida en laguía:

P =±∫ΣT

d2~xT⟨~S⟩t · ez = k2

2γ4Z

∫ΣT

d2~xT~∇TEz ·~∇TE∗

z . (1.5.27)

Teniendo en cuenta la fórmula (F.3.4) y que∫ΣT

d2~xT~∇T ·~u = ∮

∂ΣTdlTn ·~u,

podemos escribir

P = k2

2γ4Z

[∮∂ΣT

dlTE∗z (n ·~∇TEz)−

∫ΣT

d2~xTE∗z~∇2

TEz

]= k2

2γ4Z

[∮∂ΣT

dlTE∗z (∂nEz)−

∫ΣT

d2~xTE∗z~∇2

TEz

].

(1.5.28)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 1–29

Page 40: Edc Garay Notas

TEMA 1. ECUACIONES DE MAXWELL [v.1.2]

El primer término se anula por las condiciones de contorno y, por tanto,utilizando la ecuación de onda para Ez , la potencia transmitida por unaonda TM resulta

P = cε0

2

ωn

)2 √1− (ωn/ω)2

∫ΣT

d2~xT|Ez |2 (TM). (1.5.29)

Análogamente, para una onda TE,

P = c

2µ0

ωn

)2 √1− (ωn/ω)2

∫ΣT

d2~xT|Bz |2 (TE). (1.5.30)

EJERCICIO: Obtener este resultado. ♦Por último, es muy fácil calcular (EJERCICIO) el promedio de la densidad

de energía por unidad de longitud. El resultado es:

U =∫

d2~xT⟨U ⟩t =(c√

1− (ωn/ω)2

)−1

P. (1.5.31)

Teniendo en cuenta que de la relación de dispersión (1.5.22) obtenemos unavelocidad de grupo vg = dω/dk = c

√1− (ωn/ω)2, vemos directamente que

la velocidad de propagación de la energía de las ondas TM y TE en la guíaP/U es, como no podía ser de otra manera, la velocidad de grupo:

P/U = vg. (1.5.32)

1–30 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 41: Edc Garay Notas

[v.1.2] 1.6. Ejercicios

1.6. Ejercicios

1.1 Un monopolo magnético de carga magnética qm situado en el origencrea un campo magnético cuya expresión es

~Bm = µ0qm

~x

‖~x‖3.

a. Demostrar que este campo es incompatible con las ecuaciones deMaxwell.

Un cierto solenoide rectilíneo semiinfinito colocado en el semieje ez positivogenera un campo magnético ~Bs =µ0qmδ(x)δ(y)θ(−z)ez .

b. Demostrar que si añadimos este campo al del monopolo, la incom-patibilidad anterior desaparece.

1.2 Si existiesen cargas magnéticas, como en el problema 1.1, las ecuacionesde Maxwell tendrían la siguiente forma:

∇·~E = ρe/ε0, ∇×~E +∂t~B =−µ0~Jm,

∇·~B =µ0ρm, ∇×~B − c−2∂t~E =µ0~J

e.

a. Demostrar que estas ecuaciones son invariantes bajo las transforma-ciones de dualidad

~E ′ = ~E cosθ+ c~B senθ, c~B ′ =−~E senθ+ c~B cosθ,

cρe′ = cρe cosθ+ρm senθ, ρm′ =−cρe senθ+ρm cosθ,

c~J e′ = c~J e cosθ+~J m senθ, ~J m′ =−c~J e senθ+~J m cosθ.

b. Determinar y explicar el carácter (escalar, vectorial, etc.) bajo rota-ciones propias, reflexiones espaciales e inversión temporal de todaslas cantidades electromagnéticas involucradas. Ídem con la conjuga-ción de carga q → q ′ =−q .

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 1–31

Page 42: Edc Garay Notas

TEMA 1. ECUACIONES DE MAXWELL [v.1.2]

1.3 Demostrar las siguientes afirmaciones:

a. Para un sistema estacionario con una densidad de corriente ~j (~x), laenergía total del campo magnético puede escribirse de la siguienteforma:

U = µ0

∫R3

d3~x∫R3

d3~x ′~j (~x) ·~j (~x ′)‖~x −~x ′‖ .

b. Si un sistema está compuesto por n circuitos por los que circulancorrientes I1, I2 . . . In , la energía total del campo magnético puedeescribirse de la siguiente forma:

U = 1

2

∑i

Li I 2i +

∑i

∑j<i

Mi j Ii I j .

Obtener expresiones integrales para las autoinductancias Li y lasinductancias mutuas Mi j .

1.4 Dos ondas planas monocromáticas con amplitudes diferentes, polari-zaciones lineales ortogonales y un desfase entre ambas se propagan en elvacío. Hallar la polarización de la onda resultante.

1.5 Calcular la presión magnética debida al campo magnético terrestre enlos polos magnéticos y compararla con la presión atmosférica. Si suponemosque el momento dipolar magnético de la Tierra es proporcional a su velo-cidad angular, calcular la velocidad de rotación para que ambas presionessean comparables.

1.6 Sea una región del espacio en la que existen cargas móviles. En estaregión, la densidad de corriente es proporcional al campo eléctrico (ley deOhm) : ~j =σ~E , donde σ es la conductividad eléctrica.

a. Derivar, en esta región, la ecuación de onda para el campo eléctrico,suponiendo que este solo depende de la distancia ζ a un cierto planodado, por ejemplo, una superficie plana que separa esta región deotro medio (ecuación del telégrafo).

1–32 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 43: Edc Garay Notas

[v.1.2] 1.6. Ejercicios

b. Probar que para la componente de Fourier ~E(ζ, t) = ~E0(ζ)e iωt , laecuación del telégrafo independiente del tiempo es

(∂2ζ+K 2)~E(ζ) = 0

y calcular K en función de los parámetros del problema, es decir, deω y σ.

c. Encontrar la solución general de esta ecuación e interpretarla física-mente.

d. Cuando ε0ω¿σ, es decir, cuando el medio es un buen conductor,se puede hacer un desarrollo en serie de potencias de ε0ω/σ. Sedefine la longitud de penetración δ como la distancia que penetrauna onda plana en un conductor para que su amplitud disminuya en1/e. Probar que para buenos conductores δ2 = 2/(µ0ωσ). Explicar entérminos de la longitud de penetración la definición de conductorperfecto como aquél para el que la conductividad es infinita.

1.7 Considérese una guía de ondas coaxial de radio interior a y radio ex-terior b cuyas paredes son dos conductores perfectos distintos. Encontrarlos modos TEM que pueden transmitirse en dicha guía. Calcular el flujo deenergía a lo largo de la guía para los modos obtenidos.

1.8 Sea una guía de ondas de sección rectangular de lados a en la direcciónex y b en la dirección ey con a < b cuyas paredes son conductores perfectos.Se sabe que el modo fundamental es de tipo TE y que la componente en ladirección ex del campo eléctrico es Ex = E0 sen(πy/b)e i (kz−ωt ), donde E0 esuna constante.

a. Obtener la componente Ey del campo eléctrico.

b. Calcular la frecuencia mínima de propagación de este modo.

1.9 Sea una guía de ondas como la del problema 1.8 con b = 3a/2. Se sabeque existe un modo de tipo TE y que la componente en la dirección ey delcampo eléctrico es Ey = E0 sen(πx/a)e i (kz−ωt ), donde E0 es una constante.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 1–33

Page 44: Edc Garay Notas

TEMA 1. ECUACIONES DE MAXWELL [v.1.2]

a. Obtener la componente Ex del campo eléctrico.

b. Calcular la frecuencia mínima de propagación de este modo.

c. Encontrar el campo magnético ~B .

1.10 Demostrar las siguientes afirmaciones.

a. El gauge de Coulomb, el gauge temporal y el gauge axial son buenascondiciones de fijación del gauge.

b. El resultado de dos transformaciones gauge sucesivas es indepen-diente del orden en que se realicen.

1.11 Consideremos una densidad de carga ρ y una densidad de corriente ~jen el vacío.

a. Teorema (Helmholtz): Mostrar que la densidad de corriente (ocualquier campo vectorial tal que tanto él como sus derivadas seanulen asintóticamente suficientemente rápido) puede ser escritacomo

~j =~jT +~jL,

donde la parte longitudinal ~jL es irrotacional y la transversal ~jT tienedivergencia nula. Más aún, demostrar que estos campos se puedenescribir de la forma

~jT(~x) = 1

4π~∇×

∫R3

d3~x ′~∇′×~j (~x ′)‖~x −~x ′‖ ,

~jL(~x) =− 1

4π~∇

∫R3

d3~x ′~∇′ ·~j (~x ′)‖~x −~x ′‖ .

b. Escribir la ecuación de onda para el potencial vector y escalar engauge de Coulomb.

1–34 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 45: Edc Garay Notas

[v.1.2] 1.6. Ejercicios

c. Escribir una expresión cerrada para el potencial escalar en la queconste explícitamente el tiempo. Dilucidar si esta dependencia in-volucra el tiempo retardado, el avanzado o ambos e interpretarlofísicamente. Demostrar que, en este gauge y en ausencia de fuentes,el potencial escalar es idénticamente nulo.

d. Demostrar que, en el gauge de Coulomb, el término fuente de laecuación de onda para el potencial vector depende solo de la partetransversal de la corriente.

1.12 Un campo de radiación está representado por el potencial vector

~A = ey A0 exp i (kx x +ky y −ωt ).

Determinar:

a. El potencial escalar en el gauge de Lorenz.

b. La transformación gauge que transformaría los potenciales anterio-res en los correspondientes al gauge de Coulomb (o de radiación).

1.13 Calcular los potenciales escalar y vector creados por una carga puntualen movimiento (potenciales de Liénard–Wiechert) .

1.14 Si a una placa conductora se le aplica un campo eléctrico tangencialy un campo magnético transversal, aparece una componente de campoeléctrico en la dirección perpendicular a ambos y lineal en la densidad decorriente (efecto Hall). Demostrar, estudiando el carácter de las cantidadesinvolucradas bajo rotaciones y reflexiones, que la generalización de la ley deOhm para un conductor isótropo sometido a estos campos es

~E = r~j +R(~B ×~j )+αB 2~j +β(~B ·~j )~B +O (B 3),

donde r es la resistividad en ausencia de campo magnético, R es el llamadocoeficiente de Hall y α y β son coeficientes constantes. ¿Cómo se comportaesta ley bajo inversión temporal? ¿Por qué?

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 1–35

Page 46: Edc Garay Notas
Page 47: Edc Garay Notas

[v.1.2]

Tema 2

Teoría especial de la relatividad

2.1. Relatividad especial y transformaciones de Lorentz

2.1.1. Postulados de la teoría especial de la relatividad

2.1.2. Transformaciones de Lorentz

2.1.3. Adición de velocidades

2.1.4. Elemento de línea

2.2. Espaciotiempo de Minkowski

2.2.1. Tensores lorentzianos

2.2.2. El pseudotensor de Levi-Civita

2.2.3. Derivación

2.2.4. Hipersuperficies espaciales

2.2.5. Integración

2.2.5.1. Integración a lo largo de una curva

2.2.5.2. Intregración sobre una superficie bidimensional

2.2.5.3. Integración en una hipersuperficie

2.2.5.4. Integración en un volumen cuadrimensional

2.2.5.5. Generalizaciones de los teoremas de Gauss y de Stokes

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–1

Page 48: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

2.2.6. Cuadrivelocidad y cuadriaceleración

2.3. Grupo de Poincaré

2.3.1. Grupo de traslaciones

2.3.2. Grupo de Lorentz

2.3.3. Operadores de Casimir

2.4. Dinámica relativista

2.4.1. Principio variacional

2.4.2. Cantidades conservadas. Teorema de Noether

2.4.2.1. Cuadrimomento

2.4.2.2. Momento angular

2.4.2.3. Centro de inercia

2.4.2.4. Invariantes de Casimir

2.4.3. Partícula libre

2.5. Ejercicios

2–2 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 49: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.1. Relatividad especial y transformaciones de Lorentz

2.1. Relatividad especial y transformacionesde Lorentz

2.1.1. Postulados de la teoría especial de la relatividad

Un sistema de referencia es un sistema de coordenadas para señalar laposición espacial de una partícula y un reloj.

Un sistema de referencia inercial es aquél en el que se satisface la prime-ra ley de Newton: los cuerpos libres, sobre los que no actúa ninguna fuerza,se mueven con velocidad constante. Dos sistemas inerciales se mueven conuna velocidad relativa constante.

Postulado 1. Principio de relatividad: todas las leyes de la física, en au-sencia de fuerzas gravitatorias, son idénticas en todos los sistemas de refe-rencia inerciales.

Según este principio de relatividad, las ecuaciones que describen las le-yes de la naturaleza tienen la misma forma en todos los sistema de referenciainerciales.

El principio de relatividad de Galileo está basado en la propagacióninstantánea de señales y su rango de aplicación es la mecánica clásica onewtoniana: todas las leyes de la mecánica son idénticas en todos los siste-mas de referencia inerciales.

Sin embargo, no existen interacciones instantáneas. Al introducir el cam-po electromagnético, es necesario tener este hecho en cuenta. La velocidadde la luz en el vacío es la velocidad máxima que puede alcanzar una interac-ción. Esta es una ley física y, por tanto, debe ser válida en todos los sistemasde referencia. Más concretamente, el segundo postulado sobre el que estábasada la relatividad especial es el siguiente.

Postulado 2. La velocidad de la luz en el vacío c es constante e indepen-diente del estado de movimiento del emisor.

Estos dos postulados constituyen la base de la teoría especial de la relati-vidad. La mecánica newtoniana se recupera en el límite c →∞, es decir, en

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–3

Page 50: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

el límite de interacciones instantáneas. Debe notarse la importancia funda-mental de las ecuaciones de Maxwell en el advenimiento de la relatividadespecial. El primer postulado permanece inalterado en esta nueva teoría. Ladiferencia entre la relatividad especial galileana y la einsteniana estriba enque «todas» las leyes de la física a las que alude el principio galileano sonlas de la mecánica, mientras que el principio einsteniano debe incluir lateoría electrodinámica de Maxwell, representada en el segundo postuladomediante la invariancia de la velocidad de la luz.

En la mecánica clásica, el espacio es relativo: la distancia entre dossucesos no simultáneos depende del sistema de referencia. En efecto, sean~x1(t1) y~x2(t2) los vectores de posición de dos sucesos con respecto al sistemade referencia S. Con respecto a otro sistema de referencia inercial S′, que semueve con velocidad ~v , el vector de posición está dado por

~x ′(t ) =~x(t )−~v t (2.1.1)

(ya que el vector de posición del origen de S′ con respecto a S es ~v t ) y, portanto, para los dos sucesos que estamos considerando,

|~x ′2(t2)−~x ′

1(t1)|2 = |~x2(t2)−~x1(t1)|2 + v2(t2 − t1)2

−2(t2 − t1)~v · [~x2(t2)−~x1(t1)]. (2.1.2)

Sin embargo, el tiempo es absoluto: dos sucesos simultáneos en un sistemainercial lo son en cualquier otro y, por tanto, t ′ = t . Como consecuencia,tenemos la ley de suma de velocidades: si en S una partícula tiene velocidad~V y S′ se mueve con velocidad ~v con respecto a S, entonces la velocidad dela partícula en S′ es ~V ′ = ~V −~v . En efecto, para dos instantes próximos t1 yt2 = t1 +dt ,

~V ′ = d~x ′

dt ′= d~x ′

dt= d~x

dt−~v = ~V −~v . (2.1.3)

Esta ley de composición es incompatible con el carácter universal yfinito de la velocidad de la luz. De hecho, debido a la constancia y finitudde la velocidad de la luz, en relatividad especial, el tiempo es relativo, es

2–4 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 51: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.1. Relatividad especial y transformaciones de Lorentz

decir, depende del sistema de referencia en el que se mida: dos sucesossimultáneos en un sistema de referencia inercial no son necesariamentesimultáneos en otro.

En relatividad especial, el tiempo y el espacio son relativos, pero no todoes relativo como a menudo se dice. Veremos que existen cantidades absolu-tas y que son de gran importancia. Entre ellas, el intervalo espaciotemporalocupa un lugar sobresaliente.

Es importante notar que el cambio de sistema de referencia que esta-mos analizando no afecta al carácter vectorial euclídeo de los vectores deposición. Por eso, hemos mantenido la notación vectorial.

2.1.2. Transformaciones de Lorentz

En un sistema de referencia inercial S, consideremos los siguientes suce-sos: «emisión de una señal luminosa en un punto con coordenadas xi

1 enel instante t1» y «recepción de la señal en el punto de coordenadas xi

2 enel instante t2». Puesto que la velocidad de propagación de la señal es c, sesatisface la relación:

−c2(t2 − t1)2 + (~x2 −~x1)2 = 0, (2.1.4)

donde~x1,2 son los vectores de posición correspondientes. En otro sistemade referencia inercial S′, estos dos sucesos estarán caracterizados por susvectores de posición espacial~x ′

1 y~x ′2 con respecto a S′ y los instantes en que

se producen t ′1 y t ′2, respectivamente. Como la velocidad de propagación dela señal es también c, se satisface la relación

−c2(t ′2 − t ′1)2 + (~x ′2 −~x ′

1)2 = 0. (2.1.5)

Nos preguntamos cuál es la transformación de coordenadas y tiemposque satisfacen la condición de invariancia que acabamos de exponer. Por unlado, si S y S′ solo se distinguen en una rotación (sin que tengan velocidadrelativa, es claro que dicha condición de invariancia se preserva. Por otro la-do, si S′ no está girado con respecto a S pero tiene una velocidad~v , entonces

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–5

Page 52: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

comparten la base ortonormal de vectores ei . En estas circunstancias, paraencontrar una transformación que satisfaga la condición de invariancia,probamos con una transformación lineal1. Los coeficientes solo puedendepender de~v , la velocidad relativa de los dos sistemas de referencia inercia-les que supondremos, por sencillez y sin pérdida de generalidad, que tienela dirección del eje x y sentido positivo, ~v = vex . Teniendo en cuenta queel origen~x ′

0′ = 0 de S′ tiene como trayectoria en S la dada por~x0′ = v t ex yque hacemos coincidir el origen de tiempos, la transformación más generaltiene la forma

t ′ = γ(v)[ f (v)x + t ], (2.1.6)

x ′ = a(v)(x − v t ), (2.1.7)

y ′ = y, z ′ = z, (2.1.8)

donde a, γ y f dependen solo de v . Introducimos estas relaciones en laecuación (2.1.5) y haciendo uso de (2.1.4), obtenemos:

(c2γ2 f 2 −a2 +1)(x2 −x1)2 + (c2γ2 −a2v2 − c2)(t2 − t1)2

+2(c2γ2 f +a2v)(x2 −x1)(t2 − t1) = 0. (2.1.9)

Dado que a,γ, f no dependen de las posiciones ni de los tiempos, cadatérmino debe anularse por separado, lo que implica que

f =− v

c2, a = γ= 1p

1− v2/c2, (2.1.10)

de forma que podemos concluir que la relación (2.1.4) es invariante bajo lasllamadas transformaciones de Lorentz :

t ′ = γ[t − (v/c2)x], (2.1.11)

x ′ = γ(x − v t ), (2.1.12)

y ′ = y, z ′ = z. (2.1.13)

1También existen transformaciones no lineales que satisfacen esta condición de inva-riancia. Sin embargo, su uso y significado queda fuera de los contenidos de este curso.

2–6 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 53: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.1. Relatividad especial y transformaciones de Lorentz

Si S′ se mueve con una velocidad ~v arbitraria, entonces las transforma-ciones de Lorentz adquieren la forma

t ′ = γ(t − c−2~v ·~x), (2.1.14)

~x ′ =~x + (γ−1)(v ·~x)v −γ~v t , (2.1.15)

donde v =~v/‖~v‖ y

γ(~v) = 1p1−~v2/c2

. (2.1.16)

En componentes, estas transformaciones se pueden escribir como

t ′ = γ(t − c−2vi xi ), (2.1.17)

x ′i = xi + (γ−1)x j v j v i /v2 −γv i t . (2.1.18)

EJERCICIO: Obtener estas expresiones. ♦EJERCICIO: Demostrar que el resultado de aplicar dos transformacionesde Lorentz depende en general del orden, es decir, que a diferencia de lastransformaciones de Galileo, las transformaciones de Lorentz no conmu-tan. ♦EJERCICIO: Demostrar que las transformaciones de Lorentz pueden escri-birse en términos de «rotaciones» hiperbólicas. ♦

2.1.3. Adición de velocidades

Sea ~V la velocidad de una partícula en S, ~V ′ su velocidad en S′ y ~v lavelocidad de S′ con respecto a S. Entonces

~V ′ = d~x ′

dt ′= d~x ′

dt

dt

dt ′= d~x ′

dt

/dt ′

dt. (2.1.19)

Derivando las ecuaciones (2.1.17) y (2.1.18) con respecto a t y teniendo encuenta que ~V = d~x/dt , obtenemos la ley de adición de velocidades:

~V ′ =~V + (γ−1)(v ·~V )v −γ~v

γ(1− c−2~v ·~V ). (2.1.20)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–7

Page 54: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

Es ilustrativo escribir las leyes de transformación para la componente para-lela V‖ a ~v y la componente perpendicular ~V⊥ de ~V =V‖v +~V⊥:

V ′‖ =

V‖− v

1− c−2vV‖, ~V ′

⊥ =~V⊥

γ(1− c−2vV‖). (2.1.21)

A veces resulta conveniente introducir la operación suma relavitistaque denotaremos con el símbolo +:

~v1+~v2 := ~v2 + (γ1 −1)(v1 ·~v2)v1 +γ1~v1

γ1(1+ c−2~v1 ·~v2). (2.1.22)

Es importante notar que esta operación es no conmutativa. En términos deesta suma relativista, la ecuación (2.1.20) adquiere la forma

~V ′ = (−~v)+~V . (2.1.23)

2.1.4. Elemento de línea

Podemos definir el intervalo espaciotemporal entre dos sucesos (~x1, t1)y (~x2, t2) cualesquiera (no necesariamente conectados mediante una señalluminosa) como la cantidad s12 tal que

s212 =−c2(t2 − t1)2 + (~x2 −~x1)2. (2.1.24)

EJERCICIO: Demostrar que esta cantidad también es invariante bajo lastransformaciones de Lorentz. ♦

Resulta útil introducir el elemento de línea ds2 entre dos sucesos próxi-mos (t ,~x) y (t +dt ,~x +d~x):

ds2 =−c2dt 2 +d~x2, (2.1.25)

que es invariante bajo las transformaciones de Lorentz.

Decimos que dos sucesos están separados temporalmente o que suintervalo es de género tiempo cuando el cuadrado de su intervalo s2 es

2–8 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 55: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.1. Relatividad especial y transformaciones de Lorentz

negativo. Entonces existe un sistema de referencia inercial en el que ambossuceso ocurren en el mismo lugar pero en distintos instantes de tiempo.Decimos que dos sucesos están separados espacialmente o que su intervaloes de género espacio cuando el cuadrado de su intervalo s2 es positivo.Entonces existe un sistema de referencia inercial en el que ambos sucesoocurren en el mismo instante pero en distintos lugares. Finalmente, decimosque el intervalo de dos sucesos es de género luz o nulo cuando su intervalos2 se anula. Entonces ambos sucesos están conectados mediante una señalluminosa. Es importante notar que esta clasificación de los intervalos engénero tiempo, espacio o luz es independiente del sistema de referenciainercial elegido y, por tanto, es absoluta.

EJERCICIO: Demostrar estas afirmaciones. ♦En cada instante de tiempo, llamaremos sistema de referencia propio

Sp de una partícula a un sistema de referencia solidario con la partícula.Evidentemente, todos los sistema de referencia propios comparten el mis-mo origen y están en reposo unos con respecto a otros; solo se diferencianen que unos pueden estar rotados respecto a otros y, en este sentido, sonequivalentes. Si la partícula en cuestión es libre, su sistema de referenciapropio es inercial y su velocidad (con respecto a otro sistema inercial S)coincide con la de la partícula, es decir, ~V =~v . Si la partícula no es libre, elsistema de referencia propio no es inercial. Sin embargo, en cada instanteexisten sistemas de referencia inerciales S′ que en ese instante tienen la mis-ma velocidad que el sistema propio y los llamaremos sistemas de referenciainerciales comóviles .

El tiempo propio τ de una partícula es el tiempo medido por un relojque se mueve con la partícula, es decir, el tiempo medido en el sistemade referencia propio. Puesto que en cada instante el sistema propio Sp y elinercial comóvil S′ tienen la misma velocidad ~v vistos desde otro sistemainercial S, los tiempos propios y comóviles coinciden, dτ= dt ′. En términosdel tiempo t medido en S , el tiempo propio τ se puede obtener a partir dela ley de transformación de Lorentz 2.1.17:

dτ= dt ′ = γ(1− v2/c2)dt = dt/γ. (2.1.26)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–9

Page 56: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

Por otro lado, el intervalo de tiempo propio y el intervalo espaciotemporalestán íntimamente relacionados. En efecto,√

−ds2

c2=

√− ds2

c2dt 2dt = dt

√1− 1

c2

(d~x

dt

)2= dt

γ= dτ. (2.1.27)

El intervalo de tiempo propio es siempre menor que el tiempo medido encualquier otro sistema de referencia inercial.

2.2. Espaciotiempo de Minkowski

2.2.1. Tensores lorentzianos

Consideremos un sistema de referencia inercial S definido por la baseortonormal ei , i = 1,2,3 y un reloj que mide el tiempo t . Las coordenadasespaciales xi del vector de posición ~x = xi ei y el instante t de un sucesoespaciotemporal pueden considerarse como las componentes xµ = (ct , xi ),µ= 0,1,2,3 de un cuadrivector x = xµeµ, en un espaciotiempo cuadridimen-sional, donde hemos introducido una base de vectores eµ, µ= 0,1,2,3 deR4 que llamaremos base lorentziana . A veces, cuando no exista peligro deconfusión, también escribiremos xµ = (ct ,~x).

El elemento de línea (2.1.25) entre dos sucesos muy próximos (t ,~x) y(t +dt ,~x +d~x) se puede escribir en estas coordenadas espaciotemporalescomo

ds2 =−(dx0)2 +∑i

(dxi )2. (2.2.1)

Si introducimos la matriz (ηµν) y su inversa (ηµν),

ηµν = diag(−1,1,1,1), ηµν = diag(−1,1,1,1), (2.2.2)

este elemento de línea, que nos indica de alguna forma la distancia espacio-temporal entre dos sucesos, se puede escribir de una forma más compacta:

ds2 = ηµνdxµdxν. (2.2.3)

2–10 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 57: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.2. Espaciotiempo de Minkowski

A la vista de esta ecuación, definimos el tensor métrico lorentziano η

como aquel tensor doblemente covariante y simétrico cuyas componentesen la base lorentziana eµ asociada al sistema de referencia inercial departida son

η(eµ, eν) = ηµν (2.2.4)

EJERCICIO: Demostrar que η satisface todas las propiedades que debesatisfacer un tensor métrico. ♦

Debe que notarse que la signatura (el número de autovalores positi-vos y negativos) de la métrica espaciotemporal es diferente de la elegidaen la mayoría de la bibliografía presentada, si bien es la estándar para lacomunidad relativista.

En otro sistema de referencia inercial S′, los mismos sucesos espaciotem-porales próximos anteriores (t ,~x) y (t +dt ,~x +d~x) se pueden escribir comox = x ′µe ′

µ y x +dx = (x ′µ+dx ′µ)e ′µ y el elemento de línea (2.1.25) mediante

la expresión

ds2 =−(dx ′0)2 +∑i

(dx ′i )2 = ηµνdx ′µdx ′ν. (2.2.5)

Esto no es más que una consecuencia de los dos postulados de la relatividadespecial, es decir, de que la velocidad de la luz es la misma en todos lossistemas inerciales, como vimos.

El conjunto de todas las transformaciones que dejan el elemento delínea invariante es el grupo de Poincaré y contiene los siguientes tipos detransformaciones: traslaciones en el espaciotiempo, reflexiones en el espa-cio y en el tiempo y transformaciones de Lorentz ortocronas propias . Estasúltimas, a su vez, contienen transformaciones de Lorentz puras (boosts ),como las que hemos estudiado, y rotaciones espaciales propias. Llamare-mos transformación de Lorentz ortocrona propia a aquella que se puedeobtener de forma continua a partir de la unidad. A partir de ahora, soloconsideraremos transformaciones ortocronas propias.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–11

Page 58: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

SeaΛ la matriz que transforma la base lorentziana eµ en la base loren-tziana e ′

µ, es decir,Λ es tal que

e ′µ =Λ ν

µ eν. (2.2.6)

Entonces las componentes de los vectores contravariantes y, en particular,las del vector de posición espaciotemporal, se transforman mediante lamatriz inversa traspuesta Λ= (ΛT)−1, de componentes Λµν = (Λ−1) µ

ν :

v ′µ = Λµνvν. (2.2.7)

Por otro lado, las componentes de los vectores covariantes se transformanmedianteΛ:

v ′µ =Λ ν

µ vν. (2.2.8)

EJERCICIO: Probar estas afirmaciones. ♦De la invariancia del elemento de línea bajo transformaciones de Lo-

rentz, obtenemos la expresión (EJERCICIO)

ηµν = ηρσΛρµΛσν (2.2.9)

Multiplicando porΛ dos veces obtenemos

ηµν = ηρσΛ ρµ Λ

σν , (2.2.10)

que es precisamente la ley de transformación de las componentes del tensormétrico. Esta ecuación también nos permite escribir la matriz Λ en términosdeΛ y viceversa de una forma sencilla (EJERCICIO):

Λµν = ηµρηνσΛ σ

ρ , Λ νµ = ηµρηνσΛρσ. (2.2.11)

El tensor métrico permite establecer un isomorfismo entre los espaciosvectoriales de vectores covariantes y contravariantes, de manera que a cadavector contravariante de componentes vµ le asociamos de forma unívoca elvector covariante de componentes vµ y viceversa mediante las relaciones

vµ = ηµνvν, vµ = ηµνvν. (2.2.12)

2–12 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 59: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.2. Espaciotiempo de Minkowski

Por lo tanto, la relación explícita entre las componentes covariantes y con-travariantes es

v0 =−v0, vi = δi j v j . (2.2.13)

Por tanto, el tensor métrico se puede utilizar para «subir y bajar índices».Conviene notar que ηi j = δi j y que los índices espaciales (latinos) se subeny bajan tanto con la métrica euclídea δi j como con ηi j , gracias a que hemosescogido la signatura (−,+,+,+). Nótese también que las componentes es-paciales covariantes y contravariantes coinciden numéricamente mientrasque las componentes temporales covariante y contravariante son iguales enmódulo pero de signos contrarios.

Definimos el producto escalar de dos vectores lorentzianos u y v comoel número real

u ·v :=η(u, v ) = ηµνuµvν = uµvµ, (2.2.14)

que no es definido positivo. De hecho, diremos que el vector v es

de género espacio si y solo si v 2 > 0,

de género tiempo si y solo si v 2 < 0,

de género nulo o luz si y solo si v 2 = 0

y definimos su norma como

‖v‖ :=+√|v 2|. (2.2.15)

Dado un tensor T de componentes T ···µ···ν···, llamamos contracción deíndices a la operación del cálculo de su traza en los índices elegidos (sintocar los demás)

T ··· µ ··· ···µ = ηµνT ···µ···ν···. (2.2.16)

A partir de ahora, por abuso del lenguaje cuando no haya peligro deconfusión, muchas veces identificaremos las componentes del tensor con elpropio tensor y utilizaremos expresiones como «. . . el tensor Tµν» cuando,en sentido estricto, deberíamos decir «. . . las componentes covariantes Tµνdel tensor T ».

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–13

Page 60: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

2.2.2. El pseudotensor de Levi-Civita

Definimos el pseudotensor de Levi-Civita como aquel cuyas compo-nentes en cualquier base orientada están dadas por

εµνρσ =

+1, si los índices son una permutación par de 0123,−1, si los índices son una permutación impar de 0123,

0, si hay dos índices repetidos.(2.2.17)

Debe notarse que ε0123 =−ε0123 =−1. Además, el tensor de Levi-Civita esinvariante bajo transformaciones de Lorentz ortocronas propias. No lo esbajo reflexiones espaciales o temporales.

EJERCICIO: Demostrarlo. ♦EJERCICIO: Contracciones del tensor de Levi-Civita:

εµνρσεµνρσ =−4!, εµνρσεανρσ =−3!1! δµα,

εµνρσεαβρσ =−2!2! δµ[αδνβ], εµνρσεαβγσ =−1!3! δµ[αδ

νβδ

ρ

γ],

donde [· · · ] denota la antisimetrización de los índices incluidos en los cor-chetes; por ejemplo, α[µν] = (αµν−ανµ)/2. ♦

Dado un tensor antisimétrico cualquiera, se define su dual de Hodgecomo su contracción (en todos los índices) con el pseudotensor de Levi-Civita en sus primeros índices:

∗Qµνρσ :=Qεµνρσ, ∗Rµνρ :=Rσεσµνρ, ∗Sµν := 1

2!Sρσερσµν,

∗Tµ := 1

3!T νρσενρσµ, ∗U := 1

4!T µνρσεµνρσ. (2.2.18)

EJERCICIO: Demostrar que ∗∗T = (−1)1+k(4−k)T , donde k es el número deíndices del tensor. ♦

2–14 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 61: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.2. Espaciotiempo de Minkowski

2.2.3. Derivación

Definimos el gradiente cuadridimensional como el operador que, ac-tuando sobre funciones escalares, da un vector covariante cuyas componen-tes son:

∂µ f := ∂ f /∂xµ = (∂0 f ,∂i f ). (2.2.19)

Algunas veces puede ser conveniente utilizar la versión contravariante delgradiente:

∂µ := ηµν∂ν = ∂/∂xµ. (2.2.20)

EJERCICIO: Comprobar la veracidad de la última igualdad de esta expre-sión. ♦

Finalmente, introducimos el operador de D’Alembert , como el lapla-ciano cuadridimensional con la métrica ηµν

ä := ηµν∂µ∂ν =−c−2∂2t +~∇2. (2.2.21)

EJERCICIO: Interpretar y demostrar la siguiente afirmación: ∂µ se compor-ta como un vector covariante, ∂µ como un vector contravariante y ä comoun escalar. ♦

2.2.4. Hipersuperficies espaciales

Una hipersuperficie (tridimensional) Σ es de género espacio si y solo sila separación entre dos puntos cualesquiera de la superficie es espacial. Estacondición es equivalente a exigir que la normal a la hipersuperficie sea degénero tiempo en todo punto, es decir, nµ(x)nµ(x) =−1, ∀x ∈Σ (EJERCICIO).

Recordemos que una hipersuperficie Σ está definida de forma implícitamediante una ecuación de la forma F (x) = 0 y que la normal es, salvo signo,

nµ =±∂µF /‖∂F‖. (2.2.22)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–15

Page 62: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

Puesto que n es un vector, el carácter espacial de una hipersuperficie sepreserva bajo transformaciones de Lorentz. Así, las hipersuperficies det = constante son de género espacio pues nµ =±(1,0,0,0) y nµnµ =−1.

Nótese que, bajo transformaciones de Lorentz, las hipersuperficies defi-nidas por t = constante no se transforman en hipersuperficies definidas port ′ = constante sino en t ′+~v ·~x ′/c2 = constante.

2.2.5. Integración

2.2.5.1. Integración a lo largo de una curva

Sea x(λ) una curva en el espaciotiempo de Minkowski parametrizadapor λ. Entonces el elemento de línea a lo largo de esa curva está dado por elvector tangente infinitesimal de componentes

dxµ = ∂λxµdλ, (2.2.23)

que es paralelo a la curva en cada punto.

2.2.5.2. Intregración sobre una superficie bidimensional

Sea x(λ1,λ2) una superficie bidimensional que no sea de género nuloparametrizada por λ1 y λ2. El elemento de área estará determinado por elárea del paralelogramo formado por los dos vectores tangentes canónicosinfinitesimales, de componentes,

dvµ1 = ∂1xµdλ1, dvν2 = ∂2xνdλ2. (2.2.24)

De la geometría elemental, sabemos que el área de tal paralelogramo esigual al producto de los módulos de los dos vectores y por el seno del ánguloque forman:

d2S = ‖dv 1‖‖dv 2‖senα12, (2.2.25)

2–16 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 63: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.2. Espaciotiempo de Minkowski

donde cosα12 := dv 1 ·dv 2/‖dv 1‖‖dv 2‖. Esta expresión para el área infinite-simal se puede reescribir de la siguiente manera:

(d2S)2 = (dv 1)2(dv 2)2(1−cos2α12) = [(dv 1)2(dv 2)2 − (dv 1 ·dv 2)2]

= 2δα[ρδβ

σ]dvρ1 dvσ2 dv1αdv2β = εµναβεµνρσdvρ1 dvσ2 dv1αdv2β

= dSµνdSµν, (2.2.26)

donde hemos definido el elemento de área

dSµν := εµνρσdvρ1 dvσ2 . (2.2.27)

Notemos que este elemento de área es la generalización al espaciotiem-po cuadridimensional de Minkowski del elemento de área en el espacioeuclídeo tridimesional dSi = (d~v1 ×d~v2) = εi j k dv j

1dvk2 . De hecho, es fácil

ver (EJERCICIO) que, si los vectores tangentes a la superficie son de géneroespacio, entonces las únicas componentes no nulas de elemento de área enel espaciotiempo de Minkowski dSµν son dS0i = εi j k dv j

1dvk2 .

Este tensor antisimétrico es perpendicular a la superficie en el sentidode que, para cualquier vector tangente z a la superficie, se verifica quezµdSµν = 0. Convencionalmente se representa el elemento de superficiemediante este tensor perpendicular y no mediante el paralelo

d∗Sµν = 1

2ερσµνdSρσ, (2.2.28)

que es análogo al elemento de línea dxµ.

Aunque en esta derivación del elemento de superficie hemos supuestoque los vectores tangentes no son de género luz, la expresión final es tambiénválida en este caso (no lo demostraremos aquí).

2.2.5.3. Integración en una hipersuperficie

Sea x(λ1,λ2,λ3) una hipersuperficie tridimensional no nula en el espa-ciotiempo de Minkowski parametrizada por λ1, λ2 y λ3. De forma entera-mente análoga al caso anterior, llegamos fácilmente a la conclusión de que

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–17

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TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

la (hiper)área (el volumen) infinitesimal d3σ del paralelepípedo formadopor los tres vectores tangentes canónicos infinitesimales

dvµ1 = ∂1xµdu1, dvµ2 = ∂2xµdu2, dvµ3 = ∂3xµdu3 (2.2.29)

se puede escribir de la siguiente manera:

d3σ=√|dσµdσµ|, (2.2.30)

donde, si nµ es una normal a la hipersuperficie,

dσµ := εµνρσdvν1 dvρ2 dvσ3 =±nµd3σ. (2.2.31)

EJERCICIO: Deducir estas expresiones. ♦Notemos que este vector es perpendicular a la superficie en el sentido

de que para cualquier vector tangente z a la superficie zµdσµ = 0. Conven-cionalmente se representa el elemento de superficie mediante este vectorperpendicular y no mediante el tensor antisimétrico dual

d∗σµνρ = εσµνρdσσ, (2.2.32)

que es paralelo a la hipersuperficie y, por tanto, análogo al elemento delínea dxµ.

EJERCICIO: Demostrar que el elemento de volumen de una superficiet = constante es tal que su única componente no nula es dσ0 =±d3~x. ♦

Aunque, en esta derivación del elemento de superficie, hemos supuestoimplícitamente que los vectores tangentes no son de género luz, la expresiónfinal es también válida en este caso.

2.2.5.4. Integración en un volumen cuadrimensional

El elemento de volumen cuadrimensional es

d4Ω= ε0123d4x , d4x = dx0dx1dx2dx3. (2.2.33)

EJERCICIO: Demostrar que el elemento de volumen d4Ω es invariante bajoel grupo de Poincaré. Demostrar que d4x es invariante bajo el grupo dePoincaré ortocrono propio. ♦

2–18 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 65: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.2. Espaciotiempo de Minkowski

2.2.5.5. Generalizaciones de los teoremas de Gauss y de Stokes

Sea M una región cuadrimensional, ∂M su frontera tridimensional y T µ

un campo vectorial. Entonces∫M

d4x∂µT µ =∫∂M

dσµT µ. (2.2.34)

Sea Σ una hipersuperficie tridimensional, ∂Σ su frontera bidimensionaly T µν un campo tensorial antisimétrico. Entonces∫

Σdσµ∂νT µν = 1

2

∫∂Σ

dSµνT µν. (2.2.35)

Sea S una superficie bidimensional, ∂S su frontera unidimensional y T µ

un campo vectorial. Entonces∫S

dSµνεµνρσ∂ρTσ =

∫∂S

dxµTµ. (2.2.36)

Estos tres teoremas integrales requieren una definición adecuada dela orientación relativa de las fronteras con respecto a los interiores de lasmismas, para poder determinar los signos de las integrales involucradas. Eneste curso, no llevaremos a cabo dicho análisis, que se puede encontrar, porejemplo, en la referencia [GarDG].

2.2.6. Cuadrivelocidad y cuadriaceleración

Dada una trayectoria x(τ) parametrizada por el tiempo propio τ, defini-mos la cuadrivelocidad u como el vector cuyas componentes son

uµ := dxµ

dτ= xµ. (2.2.37)

Denotaremos las derivadas con respecto al tiempo propio con un punto:α := dα/dτ. Puesto que x es el vector de posición y τ es invariante, u esclaramente un vector. Además, su cuadrado es

uµuµ = dxµ

dxµdτ

= ds2

dτ2=−c2, (2.2.38)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–19

Page 66: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

es decir, la cuadrivelocidad es un vector de género tiempo. A menudo, com-pararemos un sistema de referencia inercial cualquiera con el sistema dereferencia propio cuya velocidad ~v con respecto al sistema de referenciainercial original es la misma que la de la partícula. Así,

uµ = (γc,γv i ). (2.2.39)

Obviamente, en el sistema de referencia propio, uµ0 = (c,~0).

Definimos el vector cuadriaceleración b como la derivada de la cuadri-velocidad con respecto al tiempo propio:

bµ := duµ

dτ= d2xµ

dτ2. (2.2.40)

Teniendo en cuenta que en un sistema de referencia inercial cualquiera,

dγ/dt = γ3~v ·~a/c2, (2.2.41)

es fácil ver (EJERCICIO) que

b0 = γ4~v ·~a/c, ~b = γ4(~v ·~a)~v/c2 +γ2~a (2.2.42)

y que

bµbµ = γ4[γ2(~v ·~a)2/c2 +~a2]≥ 0, (2.2.43)

es decir, que la cuadriaceleración es un vector de género espacio.

EJERCICIO: Deducir la ley de transformación Lorentz de la aceleración(~a = a‖v +~a⊥; ~V es la velocidad de la partícula en S; ~v es la velocidad de S′

respecto a S):

a′‖ =

a‖γ3(1− c−2vV‖)3

, (2.2.44)

~a′⊥ = ~a⊥

γ2(1− c−2vV‖)2+ va‖~V⊥

c2γ2(1− c−2vV‖)3. ♦ (2.2.45)

2–20 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 67: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.3. Grupo de Poincaré

EJERCICIO: Demostrar que la cuadrivelocidad y la cuadriaceleración sonperpendiculares, es decir, que

uµbµ = 0. ♦ (2.2.46)

EJERCICIO: Demostrar que todo vector perpendicular a uno de génerotiempo es de género espacio y que los vectores perpendiculares a un vectorde género espacio o nulo pueden ser de género espacio, nulo o tiempo. ♦

2.3. Grupo de Poincaré

En esta sección consideraremos transformaciones activas.

2.3.1. Grupo de traslaciones

El grupo de traslaciones está compuesto por todas las transformacio-nes tales que desplazan el origen de coordenadas. En la versión activa deesta transformación, el vector de posición espaciotemporal x es el que setransforma mediante un desplazamiento constanteα, de forma que las com-ponentes del nuevo vector de posición x ′ se pueden escribir en términos delas de x mediante la expresión

x ′µ = xµ+αµ, (2.3.1)

donde αµ es un cuadrivector constante. Consideremos una traslación infini-tesimal (con δαµ muy pequeño)

δxµ = x ′µ−xµ = δαµ. (2.3.2)

Es claro que cualquier traslación se puede obtener mediante una aplica-ción sucesiva de traslaciones infinitesimales. Si introducimos el operadorPµ =−i∂µ entonces podemos escribir

δxµ = δαµ = iδανPνxµ. (2.3.3)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–21

Page 68: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

Finalmente, cualquiera traslación finita se puede obtener mediante laintegración sobre α de esta ecuación:

x ′µ = e iανPνxµ. (2.3.4)

Los operadores Pµ son los generadores infinitesimales del grupo de trasla-ciones y están íntimamente relacionados con el momento total del sistema,como veremos2. Estos operadores obviamente conmutan:

[Pµ, Pν] = 0. (2.3.5)

2.3.2. Grupo de Lorentz

El grupo de Lorentz está formado por todas las matricesΛ que satisfacenla ecuación (2.2.10) y que, en particular, implica que det(Λ) = ±1. Puestoque la transformación unidad tiene determinante +1, todas las transfor-maciones propias tienen también determinante +1. Además, no puedencontener reflexiones ni temporales ni espaciales y, por tanto, Λ 0

0 > 0. Porotro lado, la ecuación (2.2.10) proporciona dieciséis condiciones sobre lasdieciséis posibles componentes de Λ. Sin embargo, es claro que no todasson independientes: por ejemplo, la ecuación para µ,ν= 0,1 es la mismaque para µ,ν= 1,0. Las ecuaciones independientes son las cuatro que co-rresponden a µ = ν más las tres correspondientes µ,ν = 0, i más las dosde µ,ν= 1, i ≥ 2 más µ,ν= 2,3. En total son diez ecuaciones para dieciséisparámetros. Nos quedan seis parámetros libres.

Las transformaciones de Lorentz puras (boosts) activas transforman elvector de posición espacial~x de un suceso y el instante t en el que ocurre enotros~x ′ y t ′ dados en el mismo sistema de referencia S por las expresiones

t ′ = γ(t + c−2~v ·~x), (2.3.6)

~x ′ =~x + (γ−1)(v ·~x)v +γ~v t (2.3.7)

2 En esta sección, se introducirán los generadores infinitesimales del grupo de Poincaréque llamaremos momento y momento angular, si bien estos operadores no tendrán lasdimensiones adecuadas. Sin embargo, bastará con multiplicarlos por una constante condimensiones de momento angular como ×, para obtener operadores con las dimensionesadecuadas.

2–22 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 69: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.3. Grupo de Poincaré

El cambio de signo en la velocidad con respecto a las leyes de transformación(2.1.14) y (2.1.15) se debe al carácter activo de las primeras frente al pasivode las segundas. Las matricesΛ y Λ correspondientes a este boost son fáciles(EJERCICIO) de obtener a partir estas las leyes de transformación y de laecuación (2.2.11):

Λ00 = γ, Λ0

i = γvi /c, Λi0 = γv i /c, Λi

j = δij + (γ−1)v i v j /v2,

Λ 00 = γ, Λ i

0 =−γv i /c, Λ 0i =−γvi /c, Λ

ji = δi

j + (γ−1)v i v j /v2.

(2.3.8)

Por tanto, la velocidad del boost proporciona tres de los seis parámetros quedeterminan una transformación de Lorentz general. Los otros tres paráme-tros corresponden a las rotaciones espaciales como veremos a continuación.

Consideremos una transformación de Lorentz infinitesimal con pará-metros δω ν

µ (notemos que esta matriz se puede ver como las componentesdel tensor que asigna a cada vector su variación bajo la correspondientetransformación activa):

Λ νµ = δνµ+δω ν

µ , Λµν = δµν+δωµν, (2.3.9)

Las condiciones (2.2.9) y (2.2.10) implican (ignorando los términos cuadrá-ticos) que tanto δω como δω son tensores antisimétricos (EJERCICIO). Porotro lado, teniendo que en cuenta que Λ= (Λ−1)T, de nuevo hasta primerorden en δω, tenemos

δµν = ΛµρΛ ρ

ν = δµν+δωµν+δω µν (2.3.10)

por lo que podemos concluir que δω= δω, es decir,

δωµν = δωµν =−δωνµ. (2.3.11)

En consecuencia, una transformación de Lorentz infinitesimal activa

δxµ = δωµνxν (2.3.12)

está caracterizada por las seis componentes independientes del tensor anti-simétrico δωµν.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–23

Page 70: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

Para boosts infinitesimales con velocidades δv i , las únicas componentesno nulas son

δω0i =−δvi /c :=−δζi , (2.3.13)

como se puede ver fácilmente si expandimos (2.3.8) hasta primer orden enla velocidad. En las rotaciones infinitesimales, solo intervienen las compo-nentes espaciales. Por tanto, podemos escribir las únicas componentes nonulas de la forma

δωi j :=−εi j kδθk , (2.3.14)

donde δθi son los tres parámetros asociados a las rotaciones y que interpre-taremos como los ángulos de rotación alrededor de los tres ejes espacialesen sentido antihorario como es habitual (EJERCICIO).

Podemos describir las transformaciones de Lorentz en términos de ope-radores, como en el caso de las traslaciones. Si introducimos el operador

Lµν = xµPν−xνPµ =−i (xµ∂ν−xν∂µ), (2.3.15)

entonces, podemos escribir una transformación de Lorentz infinitesimalcomo

δxµ = δωµνxν =− i

2δωρσLρσxµ, (2.3.16)

como es fácil de comprobar (EJERCICIO) mediante cálculo directo.

Los operadores Lµν son los generadores infinitesimales del grupo deLorentz y están íntimamente relacionados con el momento angular orbitaltotal del sistema, como veremos. Podemos escribir la transformación deLorentz infinitesimal (2.3.16) en términos de los parámetros infinitesimalesδθi y δζi :

δxµ =−i(δωi 0Li 0 + 1

2δωi j Li j

)xµ

= i(δζi Li 0 + 1

2εi j kδθk Li j

)xµ

= i(δζi Ki +δθk Lk)

= i(δ~θ ·~L+δ~ζ · ~K )

xµ, (2.3.17)

2–24 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 71: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.3. Grupo de Poincaré

donde hemos definido los nuevos operadores

Li = 1

2εi j k L j k , Ki = Li 0, (2.3.18)

que satisfacen las reglas de conmutación

[Li , L j ] = iεi j k Lk , [Li , K j ] = iεi j k K k , [Ki , K j ] =−iεi j k Lk . (2.3.19)

La primera regla de conmutación es la del momento angular, la segundaindica que ~K es un vector (bajo rotaciones) y la última que al llevar a cabo dosboosts consecutivos en orden diferente, el resultado difiere en una rotación.

Por otro lado, las reglas de conmutación entre los generadores de lastraslaciones Pµ y los generadores de las transformaciones de Lorentz sonfáciles de obtener (EJERCICIO) y reflejan el hecho de que Pµ es un vector bajotransformaciones de Lorentz.

EJERCICIO: Demostrar que, para cualquier vector unitario n,(n ·~L)3 = n ·~L,

(n · ~K )3 =−n · ~K . ♦ (2.3.20)

Integrando formalmente la ecuación (2.3.16) sobre todos los parámetrosω, obtenemos la versión finita de una transformación de Lorentz (ortocronapropia) en términos de sus generadores infinitesimales:

x ′ = exp

(− i

2ωρσLρσ

)x . (2.3.21)

Así, cualquier transformación de Lorentz se puede escribir como x ′ = Λx ,donde

Λ= exp

(− i

2ωρσLρσ

)= exp

(i~θ ·~L+ i~ζ · ~K )

, (2.3.22)

con los parámetros θi y ζi definidos como θi =−εi j kω j k /2 y ζi =−ω0i .

Puesto que~ζ son los parámetros de boost, deben ser función de la veloci-dad del boost. Aunque a primer orden δ~ζ= δ~v/c , esta identidad no tiene por

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–25

Page 72: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

qué mantenerse en la versión finita y, de hecho, no lo hace. Para obtener estarelación, aplicamos una transformación de Lorentz finita (2.3.22) con~θ = 0,hacemos uso del resultado del problema 2.6 y comparamos con (2.3.8). Así,obtenemos (EJERCICIO)

~ζ= v arctanh(v/c). (2.3.23)

EJERCICIO: Haciendo uso de que x ′µ = Λxµ = Λµνxν, probar que, si~ζ= ζe1

y~θ = 0,

Λ=

coshζ sinhζ 0 0sinhζ coshζ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

, (2.3.24)

es decir, que un boost en la dirección x es una rotación hiperbólica en elplano t , x. Análogamente, probar que para~ζ= 0,~θ = θe3,

Λ=

1 0 0 00 cosθ senθ 00 −senθ cosθ 00 0 0 1

, (2.3.25)

es decir, que una transformación de Lorentz con estos parámetros es unarotación alrededor del eje z. ♦EJERCICIO: Demostrar que las matrices

S1 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 i0 0 −i 0

, S2 =

0 0 0 00 0 0 −i0 0 0 00 i 0 0

, S3 =

0 0 0 00 0 i 00 −i 0 00 0 0 0

,

K1 =

0 −i 0 0−i 0 0 00 0 0 00 0 0 0

, K2 =

0 0 −i 00 0 0 0−i 0 0 00 0 0 0

, K3 =

0 0 0 −i0 0 0 00 0 0 0−i 0 0 0

,

(2.3.26)

2–26 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 73: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.3. Grupo de Poincaré

proporcionan una representación vectorial del grupo de Lorentz, es decir,que su actuación sobre x es la misma,

Li xµ = (Si )µνxν := Si xµ, Ki xµ = (Ki )µνxν := Ki xµ, (2.3.27)

y que los operadores matriciales ~S y~K satisfacen las mismas reglas de conmu-

tación que los operadores diferenciales ~L y ~K . Si definimos los operadoresmatriciales covariantes Si 0 := Ki y Si j := εi j k Sk , entonces Lµνx = Sµνx . ♦

Hemos visto que las transformaciones de Lorentz se pueden describirequivalentemente en términos de matrices y de operadores, en el caso quehemos analizado de una sola partícula. En general, los sistemas físicos estándescritos por campos y las transformaciones de Lorentz actúan sobre ellos através de los operadores L (en lo que se refiere a su dependencia —orbital —en la posición) y matricialmente, en lo que se refiere a su carácter tensorial.Esta última actuación, estará caracterizada por operadores S de espín queconmutan con el operador de momento angular orbital y que, aunqueno admiten una descripción en términos de la posición y del momento,satisfacen las mismas reglas de conmutación. Así, podemos construir eloperador de momento angular total J := L + S que es la suma del momentoangular orbital L y el espín o momento angular intrínseco S, cuyas reglas deconmutación son obviamente las ya descritas.

2.3.3. Operadores de Casimir

Los operadores de Casimir o, simplemente, casimires del grupo dePoincaré son aquellos operadores que conmutan con todos los elemen-tos del grupo o, dicho de otra manera, que son invariantes bajo cualquiertransformación del grupo, es decir, bajo traslaciones y bajo transformacio-nes de Lorentz. Aunque no lo demostraremos aquí, el grupo de Poincarétiene dos casimires independientes. Cualquier otro se puede escribir entérminos de ellos.

El operador momento Pµ es invariante bajo traslaciones y es un vectorbajo transformaciones de Lorentz. Por tanto, el operador

−P 2 =−PµPµ = ∂µ∂µ =−c−2∂2t +∂i∂

i =ä (2.3.28)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–27

Page 74: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

es un operador de Casimir puesto que es invariante bajo todo el grupo dePoincaré.

Para encontrar sus autovalores, basta con imponer condiciones de con-torno adecuadas sobre los camposΦ(x) que definen nuestro sistema. Unacondición de contorno natural es que los sistemas tengan una extensiónfinita, es decir, queΦ(t ,~x =±∞) = 0. Mediante separación de variables, obte-nemos inmediatamente un espectro continuo de autovalores m2c2 positivos(ver nota 2). Veremos que m es la masa del sistema.

Para encontrar otro casimir independiente, supongamos que el casimir−P 2 6= 0, es decir, que la masa m es no nula. Entonces, definimos el operadorde Pauli-Lyubarskii

W µ := 1

2εµνρσPν Jρσ. (2.3.29)

La parte orbital de este operador se anula ya que L ∼ xP y W ∼ εP xP = 0por antisimetría (EJERCICIO). Por tanto, el operador de Pauli-Lyubarskii solodepende del operador del espín:

W µ = 1

2εµνρσPνSρσ. (2.3.30)

Este operador conmuta con los generadores de traslaciones y es un vectorbajo transformaciones de Lorentz. Por tanto, su cuadrado es un operador in-variante bajo el grupo de Poincaré. Si tomamos como sistema de referenciaaquel en el que la configuración que define nuestro sistema no depende desu posición global en el espacio (es decir, el sistema de centro de inercia ),entonces Pi se anulará en su actuación. Puesto que W 2 es un escalar Poin-caré, podemos evaluarlo en cualquier sistema de referencia inercial y, enparticular, en el del centro de inercia. Así,

W 2 = WµW µ = WCI,µW µCI = (PCI,0)2~S 2 = (− PµPµ

)~S 2, (2.3.31)

donde hemos definido el operador tridimensional de espín como

Si = 1

2εi j k S j k . (2.3.32)

2–28 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 75: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.4. Dinámica relativista

Los autovalores de este operador de Casimir son de la forma m2c2s(s +1),siendo s un número semientero (conviene recordar que los autovalores delcuadrado del momento angular tienen esta forma).

Puesto que estos dos operadores −P 2 y W 2 son invariantes bajo trans-formaciones de Poincaré, su actuación sobre la configuración de un sistemadado, nos proporcionará información intrínseca sobre el sistema, es decir,independiente del sistema de referencia.

Si la masa es nula, entonces, además de la relación de ortogonalidadW · P = 0, tenemos que P 2 = W 2 = 0 y, por tanto, los operadores vectorialesW y P son proporcionales. Si llamamos helicidad al operador h que esta-blece la proporcionalidad, entonces tenemos W µ = hPµ. El cálculo de la

helicidad es sencillo: puesto que W 0 = ~P · ~S = hP 0, obtenemos inmediata-mente que

h = ~P · ~S/P 0. (2.3.33)

De las componentes espaciales W i del vector de Pauli-Lyubarskii, obtene-mos el mismo valor de h, como cabía esperar. En efecto,

W i = P 0Si −εi j k P j S0k = hP i . (2.3.34)

Multiplicando por Pi y teniendo en cuenta que (P 0)2 = ~P 2, obtenemos elresultado deseado. La helicidad es un escalar bajo el grupo de Poincarépuesto que W y P son vectores bajo el grupo de Lorentz e invariantes bajotraslaciones.

2.4. Dinámica relativista

2.4.1. Principio variacional

Principio de acción estacionaria: existe al menos un funcional (llama-do acción ) de las trayectorias que puede seguir un sistema de partículas tal

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–29

Page 76: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

que sus trayectorias físicas se obtienen mediante una condición de estacio-nariedad sobre dicha acción bajo variaciones que no afectan a las posicionesinicial y final.

Habitualmente, la acción S de un sistema de partículas se puede escribiren términos de una función L llamada lagrangiano de las posiciones espa-ciotemporales xn (donde n = 1,2. . .), de las velocidades xn de cada una delas partículas con respecto a un parámetro s y del propio parámetro s:

S =∫ s2

s1

dsL(s, xn , xn), (2.4.1)

Las ecuaciones del movimiento se obtienen mediante la condición deque la acción sea estacionaria bajo cambios infinitesimales de las posicionesδxn tales que se anulen en s1,2. La variación de la acción es:

δS =∑n

∫ s2

s1

ds

(∂L

∂xµnδxµn + ∂L

∂xµnδxµn

)=∑

n

∫ s2

s1

ds

(∂L

∂xµn− d

ds

∂L

∂xµn

)δxµn +∑

n

[∂L

∂xµnδxµn

]s2

s1

. (2.4.2)

Por tanto, las trayectorias clásicas son soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange

δS

δxµn:= ∂L

∂xµn− d

ds

∂L

∂xµn= 0. (2.4.3)

2.4.2. Cantidades conservadas. Teorema de Noether

Si la variación de la acción en un entorno de una trayectoria física bajouna variación continua de las posiciones δxn es nula, entonces la cantidad

δQ =∑n

∂L

∂xµnδxµn (2.4.4)

se conserva, es decir, d(δQ)/ds = 0 (teorema de Noether).

2–30 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 77: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.4. Dinámica relativista

Demostración. Hemos visto que la variación general de la acción de unatrayectoria física (que satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange) es

δS = δQ∣∣s2

s1. (2.4.5)

Por tanto, δS = 0 si y solo si δQ(s1) = δQ(s2) ∀s1,2, es decir, si y solo si δQ nodepende de s. o

2.4.2.1. Cuadrimomento

Supongamos que la acción de una sola partícula no depende explíci-tamente de posición y, por tanto, que es invariante bajo desplazamientosarbitrarios constantes δx = nδα en la dirección espaciotemporal n. Enton-ces, δQ = (∂L/∂xµ)nµδα es constante y también lo es el la proyección n ·pdel cuadrimomento

pµ := ∂L

∂xµ(2.4.6)

sobre la dirección n. En efecto,

nµpµ = nµ d

ds

∂L

∂xµ= nµ ∂L

∂xµ= ∂L

∂(nµxµ), (2.4.7)

donde hemos usado las ecuaciones de movimiento. Por tanto, la proyeccióndel cuadrimomento a lo largo de una dirección espaciotemporal es la can-tidad conservada asociada a la invariancia de la acción bajo traslacionesespaciotemporales en esa dirección.

Para un sistema de varias partículas, el tratamiento es completamenteanálogo. Si la acción es invariante bajo traslaciones, el cambio de la acciónbajo traslaciones arbitrarias δxn = δα es nula y, por tanto, δQ =∑

n pn ·δαes constante. Consecuentemente, también el cuadrimomento total

P =∑n

pn (2.4.8)

se conserva en la evolución.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–31

Page 78: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

Obviamente, cuando el sistema es invariante solo bajo traslaciones enuna dirección específica n, es decir, bajo transformaciones de la formaδxn = nδα, entonces la cantidad conservada correspondiente es la proyec-ción del momento total es esa dirección, n ·P =∑

n n ·pn .

La cantidad cP 0 tiene dimensiones de energía y se conserva si la acciónes invariante bajo traslaciones temporales constantes δx0

n = δα0. Luego laenergía total del sistema (por definición, la cantidad conservada asociada ala invariancia bajo cambios del origen de tiempos) es E = cP 0.

Análogamente, ~P tiene dimensiones de momento y se conserva si laacción es invariante bajo traslaciones espaciales constantes δ~xn = δ~α. Portanto, ~P es el trimomento total del sistema (por definición, la cantidadconservada asociada a la invariancia bajo cambios del origen del sistema dereferencia).

2.4.2.2. Momento angular

Si la acción de una partícula es invariante bajo una transformación deLorentz (activa) infinitesimal

δxµ = δωµνxν, (2.4.9)

entonces existe una cantidad conservada asociada a dicha simetría:

δQ = ∂L

∂xµδxµ = ∂L

∂xµxνδωµν =−1

2δωµν Jµν. (2.4.10)

donde hemos definido el cuadrimomento angular asociado a las transfor-maciones de Lorentz

Jµν := xµpν−xνpµ, (2.4.11)

que es también una cantidad conservada.

Si definimos δθi =−εi j kδω j k /2 y δζi = δωi 0, como hicimos en las sec-ciones anteriores, podemos escribir

δQ = δ~θ ·~J +δ~ζ · ~K , (2.4.12)

2–32 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 79: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.4. Dinámica relativista

donde el momento angular~J asociado a las rotaciones espaciales y el vector~K asociado a los boosts se pueden extraer inmediatamente de Jµν:

J i = 1

2εi j k J j k , Ki = Ji 0. (2.4.13)

Por tanto, si la acción es invariante bajo rotaciones espaciales alrededor deuna cierta dirección n parametrizadas por δ~θ = nδθ, entonces se conserva lacomponente el momento angular en esa dirección n ·~J . Además, si la acciónes invariante bajo boosts δ~ζ= nδζ a lo largo de la dirección n, entonces lacomponente del vector ~K en esa dirección n · ~K se conserva.

El momento angular adquiere especial relevancia en sistemas con másde una partícula. En este caso, si la acción es invariante bajo transformacio-nes de Lorentz δxµn = δωµνxνn , existe una cantidad conservada

δQ =−1

2δωµν

∑n

(xµn pν

n −xνn pµn). (2.4.14)

Por tanto, también se conserva el momento angular total

Jµν =∑n

(xµn pν

n −xνn pµn). (2.4.15)

2.4.2.3. Centro de inercia

Consideremos ahora un sistema de referencia inercial en el que las par-tículas, en el instante x0 = ct , se hallan en las posiciones ~xn . Entoncesdefinimos el centro de inercia como el vector

~X =∑n~xn p0

n/P 0. (2.4.16)

Debe notarse que esta definición no es covariante y que, por tanto, dependedel sistema de referencia inercial elegido. Sumando y restando x0~P/P 0,podemos reescribir la posición del centro de inercia de la siguiente manera:

~X =−~K /P 0 +x0~P/P 0. (2.4.17)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–33

Page 80: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

Si el lagrangiano del sistema de partículas es invariante bajo transforma-ciones de Lorentz puras y bajo traslaciones temporales, tanto ~K como P 0

son cantidades conservadas. Entonces vemos que ~K , las cantidades conser-vadas asociadas a la invariancia bajo transformaciones de Lorentz puras, sepueden interpretar como las posiciones iniciales del centro de inercia

~Y =−~K /P 0 (2.4.18)

en el sistema de referencia inercial escogido, que son cantidades conserva-das equivalentes a ~K . Si además la acción es invariante bajo traslacionesespaciales, ~P también se conserva y el centro de inercia se mueve con velo-cidad ~P/P 0 constante.

Llamaremos sistema de referencia del centro de inercia a cualquier sis-tema de referencia inercial propio del centro de inercia, es decir, tal que~P = 0. Obviamente, la trayectoria del centro de inercia en un sistema delcentro de inercia es ~X = ~Y .

Es posible dar una expresión covariante para estas cantidades conserva-das. En efecto, el cuadrivector

Y µ = 1

P 2 JµνPν (2.4.19)

adquiere la forma Y µCI =

[Jµ0P0/(P 0P0)

]CI= (0,−K i /P 0)|CI en un sistema del

centro de inercia. Así, tenemos un cuadrivector que, en un sistema de re-ferencia inercial dado, adquiere la forma (0,−K i /P 0), que es la posiciónespaciotemporal inicial del centro de inercia. Por tanto, el cuadrivector Yproporciona una expresión covariante para la posición inicial del centro deinercia. Obviamente, las cuatro componentes de este vector son cantidadesconservadas. Sin embargo, puesto que Y es perpendicular a P , solo tres deellas son independientes.

2.4.2.4. Invariantes de Casimir

Si la acción es invariante bajo transformaciones de Poincaré (traslacionesy transformaciones de Lorentz), el cuadrimomento total P y el cuadrimo-mento angular total J se conservan en la evolución pero, obviamente, no

2–34 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 81: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.4. Dinámica relativista

son invariantes bajo el grupo de Poincaré. Existen, sin embargo, cantidadesconservadas que también son invariantes Poincaré y que, por tanto, sonindependientes del sistema de referencia inercial elegido.

El momento P es un vector bajo transformaciones de Lorentz que, ob-viamente, es invariante bajo traslaciones (es decir, bajo cambios del origende coordenadas). Por tanto, −P 2 es un invariante Poincaré que, además,es conservado. De hecho, nos proporciona la masa total del sistema o, almenos, una definición apropiada de la misma. En efecto, puesto que −P 2

es un invariante, podemos evaluarlo en cualquier SRI. P es el momentototal del sistema y, por tanto, en el sistema inercial del centro de inercia delsistema ~PCI = 0 por definición. En este inercial,

−P 2 = P 2CI,0 =

(∑n

p0CI,n

)2 := m2c2, (2.4.20)

donde m es la masa total del sistema en el siguiente sentido: es el valor másbajo que puede tomar la energía en cualquier sistema inercial. En efecto, encualquier otro inercial, la energía total del sistema será

cP 0 =√

m2c4 + c2~P 2, (2.4.21)

que es siempre mayor o igual que mc2. Conviene también notar que mcontiene contribuciones no solo de las masas de las partículas individualessino que también tiene contribuciones de las energías cinéticas en el sistemadel centro de inercia y de las energías internas, es decir, de las energíaspotenciales de atracción y/o repulsión entre ellas.

Consideremos ahora el vector de Pauli-Lyubarskii

W µ = 1

2εµνρσPν Jρσ. (2.4.22)

EJERCICIO: Demostrar que este vector es invariante bajo traslaciones. ♦Por definición, W es ortogonal a P y además es invariante bajo traslacio-

nes. Por tanto, W 2 es también invariante Poincaré y es conservado. Veamos

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–35

Page 82: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

cuál es su interpretación física. Puesto que W 2 es invariante, podemos eva-luarlo en cualquier sistema inercial, en particular, en el propio del sistema,es decir en el del centro de inercia. Puesto que, en este inercial, ~PCI = 0,

W µCI =

1

2εµ0ρσPCI,0 JCI,ρσ = 1

2εµ0 j k PCI,0 JCI, j k . (2.4.23)

Así, vemos que

W 0CI = 0, W i

CI =1

2P 0

CIεi j k JCI, j k (2.4.24)

y, por tanto,

W 2 = m2c2~S 2, (2.4.25)

donde Si = 12ε

i j k JCI, j k es el momento angular del sistema de partículas en elsistema inercial propio del centro de inercia y recibe el nombre de espín .

Consideremos un sistema de partículas con posiciones espaciotempora-les xn . En el sistema de referencia del centro de inercia,

Si = 1

2εi j k JCI, j k = εi j k

∑n

xCI,n, j pCI,n,k . (2.4.26)

Este es el espín del sistema y es intrínseco: solo depende de la configuracióninterna (posiciones y momentos lineales relativos de las partículas que locomponen). Que solo depende de los momentos lineales relativos y no deltotal es obvio puesto que ~PCI =∑

n ~pCI,n = 0. Que no depende del origen quese tome para calcular el momento angular y que, por tanto, solo depende delas posiciones relativas, es fácil de ver. En efecto, si desplazamos el origende coordenadas en una cantidad ~R , entonces el espín definido con respectoal nuevo origen será

S′i = εi j k∑n

(xCI,n, j +R j )pCI,n,k = Si +εi j k∑n

R j pCI,n,k , (2.4.27)

pero el último término se anula debido a que∑

n ~pCI,n = 0. Es decir, el espínsolo depende de la configuración interna del sistema.

2–36 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 83: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.4. Dinámica relativista

La masa total del sistema m y su momento angular intrínseco ~S 2 sonlas únicas cantidades conservadas e invariantes bajo el grupo de Poincaréindependientes. Cualquier otra se puede escribir en términos de ellas. Lademostración de esta afirmación se basa en que ambos son los casimiresdel grupo de Poincaré y no la presentaremos aquí.

2.4.3. Partícula libre

Sabemos que podemos derivar toda la mecánica no relativista a partirde un principio variacional. Lo mismo ocurre con la mecánica relativistacomo hemos visto. Comencemos por definir la acción de una partículalibre relativista :

S =−mc2∫

dτ=−mc2∫

dt/γ=−mc2∫

dt√

1−~v2/c2. (2.4.28)

La elección de esta acción está determinada por los siguientes factores:

Debe ser invariante bajo transformaciones de Lorentz, para que seaindependiente del sistema de referencia inercial escogido.

El factor −mc2 aparece para que S tenga unidades de acción y paraque coincida con su expresión no relativista en el límite de velocidadespequeñas. En efecto, podemos expandir la acción elegida en serie depotencias de v/c:

S =−mc2∫

dt1−~v2/(2c2)+O

[(v/c)4]

=−mc2∫

dt +∫

dtm~v2/2+O[(v/c)4]. (2.4.29)

El primer término es constante y el segundo es la acción de una partí-cula libre en el límite no relativista.

El lagrangiano de una partícula relativista es, por tanto,

L =−mc2√

1−~v2/c2 (2.4.30)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–37

Page 84: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

y las trayectorias clásicas obececen las ecuaciones de Euler-Lagrange

d

dt(γm~v) = 0. (2.4.31)

El momento se obtiene mediante la derivada variacional de la acción conrespecto a la velocidad como es habitual,

~p = δS

δ~v= ∂L

∂~v= mγ~v , (2.4.32)

y el hamiltoniano mediante la transformación de Legendre (EJERCICIO)

H = (~p ·~v −L)~v→~v(~p) =√

m2c4 + c2~p2. (2.4.33)

Para obtener esta expresión basta notar que ~v2/c2 = 1−γ−2 y que, por tanto,γ2 = 1+~p2/(mc)2. Las ecuaciones de Hamilton resultantes son

d~x

dt= ~x, H = ~p/(mγ),

d~p

dt= ~p, H = 0, (2.4.34)

por lo que el momento se conserva como ya sabíamos ya que~r es cíclica.

También podemos obtener el cuadrimomento variacionalmente notan-do que la acción se puede escribir

S =−mc∫ √

−ηµνdxµdxν =−mc∫

dτ√

−xµxµ. (2.4.35)

El momento quedaría pues definido de la siguiente manera:

pµ = δS

δxµ= mxµ. (2.4.36)

Sin embargo, aunque el resultado es correcto, el procedimiento es inadecua-do puesto que xµxµ =−c2 es una ligadura que debemos introducir medianteun multiplicador de Lagrange. Nosotros seguiremos un procedimiento alter-nativo equivalente. Escribamos la acción como

S =−mc∫

ds√−xµxµ, (2.4.37)

2–38 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 85: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.4. Dinámica relativista

donde s es una función arbitraria creciente de τ y xµ = dxµ/ds = (dτ/ds)xµ,de manera que quedan liberadas las velocidades. Entonces las ecuacionesde movimiento de la partícula libre son

δS

δxµ= ∂L

∂xµ− d

ds

∂L

∂xµ=− d

ds

mcxµ√−xνxν

=−τ(mxµ) = 0, (2.4.38)

which meansmxµ = 0, (2.4.39)

por lo que el momento

pµ = δS

δxµ= mcxµ√

−xνxν= mxµ (2.4.40)

se conserva, como ya sabíamos ya que xµ son cíclicas. De hecho, comoya vimos, el momento es la carga Noether asociada a la invariancia bajotraslaciones espaciotemporales.

La componente temporal del cuadrimomento está relacionada con laenergía de la partícula mediante la fórmula cp0 = E que, en el sistema dereferencia inercial propio propio, se convierte en la famosa ecuación

E = mc2. (2.4.41)

De hecho, el cuadrado del cuadrimomento pµpµ =−m2c2 es un invariantecomo ya sabemos y, de esta ecuación, es fácil obtener la expresión

cp0 =√

m2c4 + c2~p2, (2.4.42)

que es precisamente la energía como hemos visto. Escribiendo esta ecuaciónen términos de la velocidad

E = mc2√

1+ c−2γ2~v2 (2.4.43)

y expandiendo en serie, obtenemos

E = mc2 +m~v2/2+O [(~v/c)4], (2.4.44)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–39

Page 86: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

que es la expresión no relativista de la energía total (energía en reposo másenergía cinética) de una partícula libre en la mecánica de Newton.

Además la acción de la partícula libre es invariante bajo transformacio-nes de Lorentz

δxµ = δωµνxν. (2.4.45)

y la carga Noether asociada a esta invariancia es el momento angular

Jµν = xµpν−xνpµ. (2.4.46)

Obviamente, en el caso de una partícula libre clásica, los dos casimiresindependientes, es decir, las dos cantidades conservadas e invariantes bajoel grupo de Poincaré se reducen a su masa. En efecto, su momento angularintrínseco, es decir, en el sistema de referencia inercial propio, es nulo. Enmecánica cuántica, las partículas pueden tener espín aun cuando seanpuntuales. En ese caso, el vector de Pauli-Lyubarskii ya no será nulo.

2–40 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 87: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.5. Ejercicios

2.5. Ejercicios

2.1 ¿Qué intervalo de tiempo en la Tierra duraría el viaje de ida y vueltahasta Próxima Centauri que se halla a 4 años luz si se realiza a una veloci-dad v =p

0,9999c? ¿Cuánto duraría el viaje para los tripulantes? Explicar elresultado.

2.2 Una nave despega de la Tierra el 1 de enero de 2050 y viaja durante 5años según el calendario de a bordo con una aceleración g también medidacon los instrumentos de a bordo. Luego desacelera al mismo ritmo duranteotros 5 años, da media vuelta y regresa de idéntica manera. ¿Cual es la fechade llegada en la Tierra? ¿A qué distancia llegó la nave?

2.3 Determinar el movimiento relativista uniformemente acelerado, es de-cir, el movimiento rectilíneo para el que la aceleración propia es constante.

2.4 Demostrar que la composición de dos boosts a lo largo de direccionesperpendiculares no es otro boost, sino la composición de un boost y unarotación alrededor de la dirección perpendicular a ambas (esta es la llamadaprecesión de Thomas ). Calcular la velocidad del boost y el ángulo de larotación resultantes.

2.5 Determinar las leyes de transformación de:

a. los elementos de volumen en el espacio de configuración (espacial),de momentos y de fases;

b. las distribuciones de densidad de número de partículas en el espaciode configuración, de momentos y de fases.

2.6 Demostrar que

a. exp(i~ζ · ~K ) = 1+ i ζ · ~K sinhζ− (ζ · ~K )2(coshζ−1),

b. exp(i~θ ·~L) = 1+ i θ ·~L senθ+ (θ ·~L)2(cosθ−1),

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–41

Page 88: Edc Garay Notas

TEMA 2. TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD [v.1.2]

donde ~K y~L son los generadores de boosts y de rotaciones espaciales, res-pectivamente.

2.7 Comparar la energía disponible en una colisión frontal de dos partículascon la misma masa m en las siguientes situaciones y compararlas:

a. Ambas se aceleran hasta obtener una energía E y chocan.

b. Solo una se acelera hasta obtener una energía 2E y choca con otraque está en reposo.

2.8 Un fotón de energía ×ω incide sobre un electrón de masa m en reposo.Como consecuencia de la interacción entre ambos, el fotón sale desviadoen una dirección que forma un ángulo θ con la incidente. Demostrar que laenergía del fotón saliente es

×ω′ = ×ω1+ ×ω

mc2(1−cosθ)

.

2.9 Una partícula de masa m se desintegra en otras dos de masas m1 ym2. Demostrar que la energía de la partícula 1 en el sistema de referenciasolidario con la partícula desintegrada es

E1 =m2 +m2

1 −m22

2mc2.

2.10 Sea un sistema compuesto por partículas que decaen en pares departículas idénticas y que se mueve con una cierta velocidad. Calcular ladistribución energética (número de partículas con una energía dada) de laspartículas producidas en el sistema de laboratorio.

2.11 La partículaΛ es un barión neutro de masa mΛ = 1115 MeV que decaecon una vida media de 2,9·10−10 s en un nucleón de masa 939 MeV y un piónde masa 140 MeV. Se observó en vuelo por primera vez gracias a su modo dedecaimiento Λ→ p++π− en cámaras de burbujas. Las trayectorias de laspartículas cargadas surgen de un único punto y tienen la forma de una V

2–42 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 89: Edc Garay Notas

[v.1.2] 2.5. Ejercicios

invertida. Se puede inferir la naturaleza de las partículas producidas y susmomentos a partir de sus recorridos y de las curvaturas de las trayectoriasen el campo magnético de la cámara de burbujas.

a. Demostrar que si se mide el ángulo inicial θ entre las dos trayectorias,la masa de la partículaΛ puede obtenerse mediante la fórmula

m2Λ = m2

p +m2π+2Ep Eπ−2pp pπ cosθ,

donde pp , pπ son los módulos de los trimomentos de las dos partí-culas producidas y Ep ,Eπ sus energías.

Supongamos que se produce una partículaΛ con una energía de 10 GeV.

b. ¿Qué distancia viajará en promedio antes de decaer?

c. ¿Cuál es el rango de posibles valores para el ángulo θ si el decaimien-to es isótropo en el sistema propio?

2.12 Sea un sistema de partículas no relativistas en interacción medinateun potencial dependiente de la distancia relativa.

a. Demostrar que se conserva el momento lineal y momento angulartotales del sistema.

b. Estudiar la invariancia de este sistema bajo transformaciones deGalileo y las cantidades conservadas correspondientes.

2.13 Una partícula con velocidad relativista entra en un medio en el quefrena hasta pararse debido a una fuerza de rozamiento proporcional a suvelocidad. Calcular el tiempo que le cuesta pararse.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 2–43

Page 90: Edc Garay Notas
Page 91: Edc Garay Notas

[v.1.0]

Tema 3

Teoría clásica de campos

3.1. Leyes de transformación: escalares y vectores

3.1.1. Traslaciones

3.1.2. Transformaciones de Lorentz: campos escalares

3.1.3. Transformaciones de Lorentz: campos vectoriales

3.1.4. Transformaciones de Lorentz: campos tensoriales

3.2. Principio variacional

3.3. Teorema de Noether

3.3.1. Invariancia bajo traslaciones

3.3.2. Invariancia Lorentz

3.3.3. Invariancia Poincaré

3.3.4. Invariancia gauge abeliana

3.3.4.1. Transformaciones gauge globales

3.3.4.2. Transformaciones gauge locales

3.4. Partículas y campos

3.5. Formulación hamiltoniana

3.6. Ejercicios

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 3–1

Page 92: Edc Garay Notas
Page 93: Edc Garay Notas

[v.1.0] 3.1. Leyes de transformación: escalares y vectores

3.1. Leyes de transformación: escalares y vectores

Sea un campo local, es decir, una función que asigna un valor o con-junto de valores a cada suceso espaciotemporal. En un cierto sistema dereferencia inercial, llamaremosΦ(x) a este campo, donde x es el vector deposición espaciotemporal del suceso en dicho sistema inercial, cuyas com-ponentes son xµ. Bajo una transformación activa del vector de posición y delcampo,Φ(x) se transformará enΦ′(x ′). En principio,Φ(x) yΦ′(x ′) podríanser diferentes (y lo serán, en general). Consideremos una transformacióninfinitesimal activa:

δΦ(x) =Φ′(x ′)−Φ(x) =Φ′(x +δx)−Φ(x)

=Φ′(x)−Φ(x)+δxµ∂µΦ′(x)+O (δx2). (3.1.1)

Sea δ0Φ(x) =Φ′(x)−Φ(x), es decir, δ0Φ(x) da cuenta del cambio funcionaldel campo en el mismo punto x . Por tanto, la variación δ0 es independientedel punto x , es decir, conmuta con las derivadas espaciotemporales,

[δ0,∂µ] = 0. (3.1.2)

En las secciones siguientes veremos ejemplos explícitos que ilustran estepunto. En términos de δ0Φ, podemos escribir

δΦ(x) = δ0Φ(x)+δxµ∂µΦ(x), (3.1.3)

donde hemos sustituido ∂µΦ′(x) por ∂µΦ(x), puesto que el error cometidoδxµ∂µδ0Φ(x) es de orden superior. Así, bajo una transformación infinite-simal, Φ sufre un cambio intrínseco independiente de la posición espa-ciotemporal y otro heredado de la transformación de dicha posición. Esteúltimo recibe el nombre de término de transporte .

En lo que sigue, veremos cuánto vale δ0Φ para distintas transformacio-nes y campos. De hecho, para estudiar las transformaciones de Lorentz,consideraremos distintos tipos de campos con leyes de transformación di-ferentes: campos escalares, vectoriales y tensoriales. No estudiaremos loscampos de espín semiimpar (los fermiones de espín 1/2, en particular),fundamentales en una descripción de la naturaleza y, más específicamente,de la electrodinámica cuántica.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 3–3

Page 94: Edc Garay Notas

TEMA 3. TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS [v.1.0]

3.1.1. Traslaciones

Los campos locales físicamente relevantes dependen de la posiciónespaciotemporal relativa a un punto dado (el origen de coordenadas) y, portanto, son invariantes bajo traslaciones:

Φ′(x ′) =Φ(x). (3.1.4)

Luego, bajo traslaciones infinitesimales activas δx = δα, la variación generaldel campo será

δΦ= 0 (3.1.5)

y, por tanto, su variación intrínseca será

δ0Φ=−δαµ∂µΦ=−iδαµPµΦ, (3.1.6)

donde, recordemos, Pµ =−i∂µ. Puede parecer que la actuación de la varia-ción intrínseca δ0 depende de la posición x , pero no es así. En efecto,

[δ0,∂µ]Φ= δ0(∂µΦ)−∂µ(δ0Φ) =−δαν∂ν∂µΦ+∂µ(δαν∂νΦ) = 0, (3.1.7)

es decir, la operación de calcular δ0 y la de derivar conmutan.

3.1.2. Transformaciones de Lorentz: campos escalares

Los campos escalares son invariantes bajo transformaciones de Lorentzpor definición. Por tanto, si φ(x) es un campo escalar, no se transformarábajo transformaciones de Lorentz infinitesimales δxµ = δω

µνxν, es decir,

δφ= 0. Así,

0 = δφ= δ0φ+δxµ∂µφ= δ0φ+δωµνxν∂µφ. (3.1.8)

A la vista de la definición (2.3.15) del momento angular orbital, el generadorinfinitesimal de las transformaciones de Lorentz, podemos escribir

δ0φ=−δωµνxν∂µφ= i

2δωµνLµνφ. (3.1.9)

3–4 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 95: Edc Garay Notas

[v.1.0] 3.1. Leyes de transformación: escalares y vectores

Sin embargo, el generador de las transformaciones de Lorentz J podríacontener un operador adicional de espín S, como ya vimos, i.e. J = L + S.Este operador de espín no está presente en la ley de transformación de loscampos escalares que acabamos de ver. Puesto que Sµν es el operador de

momento angular intrínseco (espín) y Sµνφ= 0, vemos que ~S2φ= 0. Por tan-to, los sistemas descritos por campos escalares son autoestados del operadorde espín con autovalor s(s +1) = 0, es decir, con s = 0. En otras palabras, loscampos escalares tienen espín cero. En la siguiente sección, veremos que eloperador de espín tiene una actuación no trivial sobre campos vectoriales,de forma que

Tenemos pues la siguiente ley de transformación intrínseca (indepen-diente de las coordenadas) de los campos escalares:

δ0φ= i

2δωµν Jµνφ, ~S 2φ= 0. (3.1.10)

Los dos casimires que caracterizan un campo escalar son su masa m (elautovalor de −P 2) y su espín cero [el autovalor de ~S2 = W 2/(m2c2)]. Si su

masa es nula, consideramos su helididad h = ~P · ~S/P 0, que también es nula.

3.1.3. Transformaciones de Lorentz: campos vectoriales

Un campo vectorial V es aquel que, bajo transformaciones de Lorentzactivas infitesimales δxµ = δωµνxν, se transforma de acuerdo con la ley

δV µ = δωµνV ν. (3.1.11)

EJEMPLO: Consideremos el gradiente de un campo escalar Vµ = ∂µφ. En-tonces,

δ∂µφ= [δ,∂µ]φ+∂µδφ. (3.1.12)

Puesto que φ es un escalar, δφ= 0 y, por tanto, el último término se anula.Además, hemos visto que δ= δ0 +δxµ∂µ y, por tanto,

δ∂µφ= [δ,∂µ]φ= [δ0,∂µ]φ+ [δxν∂ν,∂µ]φ. (3.1.13)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 3–5

Page 96: Edc Garay Notas

TEMA 3. TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS [v.1.0]

Como δ0 no depende de las coordenadas, el primer término se anula y, dadoque δxν = δωνρxρ, tenemos

δ∂µφ= δω νµ ∂νφ, (3.1.14)

es decir, ∂µφ es un vector covariante, como era de esperar. p

Teniendo en cuenta que δxν∂ν =− i2δω

ρσLρσ, podemos calcular δ0V :

δ0V µ = δV µ−δxν∂νV µ = δωµνV ν+ i

2δωνρLνρV µ. (3.1.15)

Podemos escribir esta expresión extrayendo δω como factor común. Paraello, escribimos el primer término de la siguiente manera:

δV µ = δωµνV ν =−δωνρδµρδσνVσ = i

2δωνρ2iδµ[ρδ

σν]Vσ

= i

2δωνρ(Sνρ)µσV σ, (3.1.16)

donde hemos definido

(Sνρ)µσ :=−2iδµ[νδσρ] (3.1.17)

como la matriz de espín . Por tanto,

δ0V µ = i

2δωρσ JρσV µ, (3.1.18)

donde

Jρσ = Lρσ+ Sρσ y SρσV µ = (Sρσ)µνV ν. (3.1.19)

Aparentemente, δ0 depende de las coordenadas, pero no es así: en primerlugar, lo hemos construido específicamente con el requisito de que seaindependiente de las coordenadas; en segundo lugar, se puede comprobarexplícitamente que [∂,δ0]V = 0 (EJERCICIO).

Los dos casimires independientes son

−P 2 = m2c2, ~S2 = W 2/(m2c2) (si m 6= 0), (3.1.20)

donde, como vimos, (Si )µν = 12ε

i j k (S j k )µν, de forma que ~S2 = 2 diag[0,1,1,1],es decir, sus autovalores son s(s +1) = 2, lo que implica que s = 1. Si m = 0,

la helicidad es h = ~P · ~S/‖~P‖, cuyos autovalores son h =±1.

3–6 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 97: Edc Garay Notas

[v.1.0] 3.2. Principio variacional

3.1.4. Transformaciones de Lorentz: campos tensoriales

Un campo tensorial T de componentes T µν···ξ es aquel que se transfor-ma como un campo vectorial en cada uno de sus índices y, por tanto, su leyde transformación intrínseca es:

δ0T µν···ξ = i

2δωρσ JρσT µν···ξ, (3.1.21)

donde el operador Sρσ actúa sobre T de la siguiente manera:

SρσT µν···ξ = (Sρσ)µν···ξµ′ν′···ξ′T

µ′ν′···ξ′ (3.1.22)

y sus componentes son

(Sρσ)µν···ξµ′ν′···ξ′ = (Sρσ)µ

µ′δνν′ · · ·δξξ′

+δµµ′(Sρσ)νν′ · · ·δξξ′

+·· ·+δµ

µ′δνν′ · · · (Sρσ)ξ

ξ′ . (3.1.23)

EJERCICIO: Comprobar explícitamente que, dado un tensor cualquieraT , δ0T representa la transformación intrínseca de T , independiente de lascoordenadas, es decir, que [δ0,∂]=0. ♦

3.2. Principio variacional

Dado un conjunto de campos cualquiera Φ= Φn , n = 1,2. . . N , pode-mos construir una acción a partir de la cual obtener mediante un principiovariacional las ecuaciones clásicas de movimiento para los camposΦ. Cuan-do las ecuaciones de movimiento obtenidas se puedan convertir en unproblema de autovalores para el casimir ä= ∂µ∂

µ del grupo de Poincaré,diremos que nos hallamos ante campos libres . La acción debe satisfaceralgunos requerimientos ad hoc para que dé lugar a teorías físicas aceptables.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 3–7

Page 98: Edc Garay Notas

TEMA 3. TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS [v.1.0]

Consideraremos solo acciones locales, es decir, que dependan solo delos campos, sus derivadas y, quizá, de la posición espaciotemporal.

Debe contener como mucho dos derivadas de los campos en cadatérmino para que las ecuaciones de movimiento sean de segundoorden; mediante integraciones por partes, los términos que contienenderivadas segundas se pueden escribir como términos que depen-den solo de primeras derivadas más términos de superficie que noafectan a las ecuaciones de movimiento. Los sistemas con ecuacionesde evolución que contienen derivadas superiores tienen, en general,comportamientos acausales.

Además, requeriremos que la acción sea real; acciones complejas danlugar a disipación y absorción, es decir, a la desaparición de materia.

Si pretendemos describir sistemas con invariancia Poincaré, es con-veniente que la acción sea invariante bajo estas transformaciones, loque eliminaría, en este caso, la posible dependencia espaciotemporalexplícita.

A la vista de estos comentarios, consideraremos acciones de la siguienteforma:

S =∫M

d4xL (Φ,∂Φ, x), (3.2.1)

donde M es un cierto volumen espaciotemporal y L es la llamada densidadlagrangiana o, simplemente, lagrangiana. Cabe notar que hemos incluidouna posible dependencia espaciotemporal explícita.

El siguiente principio variacional nos proporciona la teoría clásica decampos: los campos físicos, cuyos valores están fijados en una cierta hiper-superficie, son aquellos para los que la acción del sistema es estacionaria,es decir, aquellos campos para los que pequeñas variaciones intrínsecas delos mismos no afectan al valor de la acción.

3–8 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 99: Edc Garay Notas

[v.1.0] 3.3. Teorema de Noether

Bajo un cambio cualquiera de campos δ0Φ que no afecte a las posicionesespaciotemporales, la acción cambia de la siguiente manera1:

δ0S =∫M

d4x δ0L =∫M

d4x[∂L

∂Φδ0Φ+ ∂L

∂(∂µΦ)δ0(∂µΦ)

]. (3.2.2)

Puesto que δ0 no afecta a las posiciones espaciotemporales, conmuta con∂µ, así que, integrando el segundo término por partes, obtenemos

δ0S =∫M

d4x(∂L

∂Φ−∂µ ∂L

∂(∂µΦ)

)δ0Φ+

∫∂M

d3σnµ∂L

∂(∂µΦ)δ0Φ, (3.2.3)

donde ∂M es la hipersuperficie que es frontera del volumen espaciotempo-ral M , n es la normal a ∂M y d3σ su elemento de superficie.

Si exigimos que las variaciones de los campos se anulen en la frontera∂M , es decir, que δ0Φ|∂M = 0, el requerimiento de que δ0S = 0 se traduceen las ecuaciones de Euler-Lagrange

∂L

∂Φ−∂µ ∂L

∂(∂µΦ)= 0, (3.2.4)

que son las ecuaciones clásicas de movimiento para el sistema de camposdescrito por la acción S.

Debemos notar que, si añadimos un término de superficie a la acción o,lo que es lo mismo, una derivada total a la lagrangiana, obtenemos las mis-mas ecuaciones de movimiento y lo único que cambian son las condicionesde contorno.

3.3. Teorema de Noether

Consideremos una transformación de las posiciones espaciotemporalesy de los campos determinada por δx y δ0Φ. La variación de la acción bajo

1Puesto queΦ puede tener varias componentes, se sobreentiende una suma sobre todasellas.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 3–9

Page 100: Edc Garay Notas

TEMA 3. TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS [v.1.0]

esta transformación infinitesimal es

δS =∫M

[δ(d4x)L +d4xδL

]. (3.3.1)

La variación del elemento de volumen es

δ(d4x) = d4x ∂µδxµ, (3.3.2)

como se puede comprobar fácilmente. En efecto, a primer orden,

d4x ′ = det

(∂x ′µ

∂xν

)d4x = det

(δµν+∂νδxµ

)d4x

= [1+ tr(∂νδxµ)

]d4x = (

1+∂µδxµ)d4x , (3.3.3)

donde hemos utilizado la propiedad matricial (EJERCICIO)

det(1+ A) = 1+ trA+O (A2). (3.3.4)

Por tanto, podemos escribir la variación de la acción de la forma

δS =∫M

d4x[(∂µδxµ)L +δL

]=

∫M

d4x[(∂µδxµ)L +δxµ∂µL +δ0L

]=

∫M

d4x[∂µ(δxµL )+ ∂L

∂Φδ0Φ+ ∂L

∂(∂µΦ)∂µδ0Φ

], (3.3.5)

donde hemos utilizado el hecho de que, puesto que δ0 no afecta a las po-siciones, δ0 y ∂µ conmutan. El uso de las ecuaciones de movimiento nospermite escribir la variación de la acción como

δS =∫M

d4x∂µ

(δxµL + ∂L

∂(∂µΦ)δ0Φ

). (3.3.6)

Las transformaciones de las posiciones espaciotemporales y de los cam-pos dependerán de unos parámetros δεa independientes de la posición demanera que

δxµ = δxµ

δεaδεa , δ0Φ= δ0Φ

δεaδεa , δΦ= δΦ

δεaδεa . (3.3.7)

3–10 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 101: Edc Garay Notas

[v.1.0] 3.3. Teorema de Noether

Entonces, en términos de estos parámetros, la variación de la acción adquie-re la expresión

δS =∫M

d4x(∂µ jµa

)δεa , (3.3.8)

donde hemos definido la densidad de corriente Noether asociada a la trans-formación determinada por δεa como

jµa :=Lδxµ

δεa+ ∂L

∂(∂µΦ)

δ0Φ

δεa. (3.3.9)

Otra expresión equivalente para esta densidad de corriente se puede obtener(EJERCICIO) sustituyendo la expresión δ0Φ= δΦ−δxµ∂µΦ:

jµa =[Lδ

µν−

∂L

∂(∂µΦ)∂νΦ

]δxν

δεa+ ∂L

∂(∂µΦ)

δΦ

δεa. (3.3.10)

Si la acción no cambia bajo la transformación parametrizada por εa ,entonces δS/δεa = 0 y, por tanto, existe una densidad de corriente ja , dadapor la expresión (3.3.10), cuya divergencia sea anula (teorema de Noether):

∂µ jµa = 0. (3.3.11)

Debe notarse que existe una ambigüedad en la definición de ja . En efec-to, si definimos j ′µa = jµa +∂νκµνa , dondeκa es un tensor antisimétrico, vemosque ∂µ j ′µa = ∂µ jµa . Esta ambigüedad está relacionada con la ambigüedad dela definición de la lagrangiana (si añadimos una derivada total se obtienenlas mismas ecuaciones de movimiento). Existe, además, una ambigüedadadicional en la definición de ja : puesto que hemos utilizado las ecuacionesde movimiento para deducir su conservación, podemos añadir a ja cual-quier cantidad cuya divergencia se anule en virtud de las ecuaciones delmovimiento.

Si M es el espaciotiempo comprendido entre dos superficies infinitasde género espacio Σ1 y Σ2 y si suponemos que los campos se anulan en elinfinito espacial, entonces

0 = δS

δεa=

∫M

d4x ∂µ jµa =∫Σ2

d3σnµ jµa −∫Σ1

d3σnµ jµa . (3.3.12)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 3–11

Page 102: Edc Garay Notas

TEMA 3. TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS [v.1.0]

Por tanto, puesto que la elección de las superficies Σ1 y Σ2 no interviene enel argumento,

Qa =∫Σ

d3σn · ja (3.3.13)

es independiente de la superficie espacial en la que se evalúa.

Hasta ahora, toda nuestra discusión ha sido explícitamente covariante.Si rompemos esta covariancia explícita y suponemos que M es un volumenespaciotemporal que consiste en todo el espaciotiempo contenido entre dosinstantes de tiempo coordenado en un cierto sistema de referencia inercial,es decir, M =R3 × [t1, t2], entonces

0 = δS

δεa=

∫ t2

t1

dt∫R3

d3~x(∂t j 0

a + c~∇·~ja). (3.3.14)

Si los campos se anulan en el infinito espacial, el último término se anula ynos queda

0 =∫ t2

t1

dt∂tQa , (3.3.15)

donde

Qa :=∫R3

d3~x j 0a (3.3.16)

son las cargas Noether asociadas a la transformación y, por tanto, conclui-mos que Qa(t1) = Qa(t2). Puesto que el procedimiento no depende de laelección de los límites de integración y dt = γdτ, vemos que

Qa = 0, (3.3.17)

es decir, las cargas Noether se conservan en la evolución.

3.3.1. Invariancia bajo traslaciones

Si el sistema es invariante bajo traslaciones, es decir, bajo transformacio-nes infinitesimales de la forma

δx = δα, δΦ= 0, (3.3.18)

3–12 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 103: Edc Garay Notas

[v.1.0] 3.3. Teorema de Noether

es decir, δS/δαµ = 0, entonces existe una corriente Noether cuya divergenciase anula:

T µν := ( jν)µ =Lδ

µν−

∂L

∂(∂µΦ)∂νΦ, ∂µT µν = 0, (3.3.19)

llamada tensor de energía-momento . El tensor T no es en general simétrico.Cuando el sistema sea también invariante bajo transformaciones de Lorentz,podremos definir un tensor de energía-momento simétrico equivalente,como veremos.

A partir de T , podemos definir una cantidad (vectorial) conservada einvariante bajo traslaciones espaciotemporales

Pν =∫Σ

d3σnµT µν =∫R3

d3~xT 0ν, (3.3.20)

que es el momento total del sistema. En la última igualdad hemos evaluadola integral de superficie en el sistema de referencia en el que Σ es de la format = constante.

Por último, demostraremos que ∂µT µν = 0 si y solo si la lagrangiana nodepende explícitamente de las coordenadas, es decir, si y solo si ∂µL = 0,donde ∂µ es la derivada parcial explícita (que no afecta a los campos). Paraello, escribamos

∂µT µν = ∂νL −∂µ(∂L

∂(∂µΦ)∂νΦ

)= ∂L

∂Φ∂νΦ+ ∂L

∂(∂ρΦ)∂ν∂ρΦ+ ∂νL −∂µ

(∂L

∂(∂µΦ)∂νΦ

).

(3.3.21)

El uso de las ecuaciones de movimiento implica directamente (EJERCICIO)que todos los términos salvo el tercero se cancelan entre sí, por lo que

∂µT µν = ∂νL , (3.3.22)

como queríamos demostrar.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 3–13

Page 104: Edc Garay Notas

TEMA 3. TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS [v.1.0]

3.3.2. Invariancia Lorentz

Consideremos un sistema cuya acción es invariante bajo transformacio-nes de Lorentz δxµ = δωµνxν. Entonces, existe una corriente de divergencianula

Jµρσ := ( jρσ)µ = Lµρσ+Sµρσ, ∂µ Jµρσ = 0, (3.3.23)

donde

Lµρσ := xρT µσ−xσT µ

ρ, Sµρσ :=−i∂L

∂(∂µΦn)(Sρσ)n

mΦm (3.3.24)

son las densidades de corriente de momento angular orbital y de espín ,respectivamente.

Puede demostrarse, de manera análoga al caso de las traslaciones, queJµρσ tiene divergencia nula si y solo si la acción es invariante Lorentz, puestoque se puede ver que

1

2δωρσ∂µ Jµρσ = δL . (3.3.25)

Por último, el momento angular total

Jρσ =∫Σ

d3σnµ Jµρσ =∫R3

d3~x J 0ρσ (3.3.26)

es una cantidad conservada en la evolución, es decir, es independiente de lasuperficie de género espacio en la que se evalúe.

EJERCICIO: Reproducir los resultados de esta subsección. ♦

3.3.3. Invariancia Poincaré

Vimos que las corrientes Noether están sujetas a una ambigüedad en sudefinición: la suma de la divergencia de un tensor antisimétrico arbitrarioproporciona otra corriente Noether equivalente. Si la acción de un sistema

3–14 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 105: Edc Garay Notas

[v.1.0] 3.3. Teorema de Noether

es invariante Poincaré, entonces podemos aprovechar esta ambigüedadpara encontrar un tensor de energía-momento simétrico de divergencianula:

T µν = T µν+∂ρ f ρµν, f ρµν = 1

2(Sρµν+Sµνρ−Sνρµ). (3.3.27)

Es fácil ver que, puesto que Sρµν es antisimétrico en sus dos últimos ín-dices, f ρµν es antisimétrico en sus dos primeros y, en consecuencia, lasdivergencias de T µν y de T µν son iguales:

∂µT µν = ∂µT µν = ∂νL . (3.3.28)

Por tanto, como el sistema es invariante bajo traslaciones, T µν tiene diver-gencia nula. Para demostrar que es simétrico, basta con calcular

T µν−T νµ = T µν− T νµ+∂ρSρµν = ∂ρ Jρµν = 0. (3.3.29)

Evidentemente, la última igualdad se satisface si la última acción es inva-riante Lorentz.

Por otro lado, si definimos el tensor

Jµρσ = xρT µσ−xσT µρ, (3.3.30)

vemos que

∂µ Jµρσ = ∂µ Jµρσ = 0. (3.3.31)

Por último, es fácil ver∫Σ

d3σnµ(T µν− T µν) = 0,∫Σ

d3σnµ(Jµρσ− Jµρσ) = 0 (3.3.32)

y, por tanto, las cantidades conservadas Pµ y Jµν obtenidas a partir de T µν yJµρσ son las mismas que las obtenidas a partir de T µν y Jµρσ.

EJERCICIO: Reproducir los resultados de esta subsección. ♦

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 3–15

Page 106: Edc Garay Notas

TEMA 3. TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS [v.1.0]

3.3.4. Invariancia gauge abeliana

Para ilustrar las ideas fundamentales de la invariancia gauge, considere-mos el caso de un campo escalar complejo φ, que tiene dos componentesindependientes:Φ1 = Reφ yΦ2 = Imφ∗. Ya discutimos que la acción debeser real y es un hecho que los resultados experimentales no dependen de lafase del campo φ.

3.3.4.1. Transformaciones gauge globales

Comencemos considerando acciones que son invariantes bajo cambiosconstantes y uniformes de fase, es decir, bajo transformaciones de la forma

φ′(x) = e iαφ(x), (3.3.33)

donde α es el parámetro de la transformación, independiente de la posiciónespaciotemporal. Estas transformaciones reciben el nombre de transfor-maciones gauge globales o rígidas . Más explícitamente, consideraremosacciones de la forma

S =∫M

d4x[−∂µφ∂µφ∗−V (φ)

], (3.3.34)

donde la dependencia del potencial V (φ) en el campo es siempre a travésdel módulo de φ.

La formulación infinitesimal de la transformación que cambia la fasede φ es δφ= δ0φ= iφδα, puesto que δxµ = 0. Bajo esta transformación, lavariación de la acción es

δS =∫M

d4x(−∂µδφ∂µφ∗−∂µφ∂µδφ∗−δ|φ|∂V /∂|φ|)

=∫M

d4x(− iδα∂µφ∂

µφ∗+ iδα∂µφ∂µφ∗)= 0. (3.3.35)

Por tanto, existe una corriente conservada

jµ = ∂L

∂(∂µφ)

δφ

δα+ ∂L

∂(∂µφ∗)

δφ∗

δα=−i

(φ∂µφ∗−φ∗∂µφ

), (3.3.36)

3–16 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 107: Edc Garay Notas

[v.1.0] 3.3. Teorema de Noether

cuya divergencia se anula sobre soluciones clásicas, ∂µ jµ = 0.

Podemos definir una carga

Q =∫Σ

d3σnµ jµ =∫R3

d3~x j 0 = i

c

∫R3

d3~x(φ∂tφ

∗−φ∗∂tφ), (3.3.37)

cuya derivada temporal se anula, si usamos de las ecuaciones de movimien-to.

EJERCICIO: Demostrar explícitamente que esta carga gauge se conservaen la evolución. ♦

Como cualquier otra simetría que hemos visto hasta ahora, la invarian-cia gauge global indica que existen grados de libertad (aquellos que sediferencian en una fase constante y uniforme) que son equivalentes bajola evolución clásica, es decir, los siguientes procedimientos producen lamisma configuración final:

primero efectuamos la transformación en los datos iniciales y despuésevolucionamos los datos transformados;

primero evolucionamos los datos iniciales y después transformamosel resultado.

El teorema de Noether refleja esta comutación de procedimientos en laexistencia de una cantidad que permanece inalterada a lo largo de evolución.

Notemos finalmente que el resultado de llevar a cabo dos cambios defase consecutivos es independiente del orden en que ejecuten y, por ello, re-ciben el nombre de transformaciones gauge abelianas . Los cambios de fasecorresponden a multiplicación por números complejos de módulo unidady forman el grupo abeliano U (1), que es el grupo gauge de la electrodiná-mica, como veremos. Otras interacciones gauge están descritas por gruposde transformaciones no abelianos como SU (2) para la interacción débil ySU (3) para la cromodinámica.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 3–17

Page 108: Edc Garay Notas

TEMA 3. TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS [v.1.0]

3.3.4.2. Transformaciones gauge locales

La acción (3.3.34) es invariante bajo cambios constantes de la fase glo-bal del campo φ, como hemos visto. Sin embargo, cambios de la fase enregiones causalmente inconexas no deberían afectar al resultado. Además,como ya hemos dicho, los resultados de medidas experimentales no puedendeterminar dicha fase. Por tanto, queremos que nuestra teoría no solo seainvariante bajo cambios de fase globales sino también locales, es decir, dife-rentes en cada punto del espaciotiempo. En otras palabras, queremos quelos sistemas físicos estén descritos por campos cuya acción sea invariantebajo transformaciones que cambien la fase en cada puntoφ′(x) = e iα(x)φ(x),cuya versión infinitesimal es

δφ(x) = δ0φ(x) = iφ(x)δα(x), δx = 0. (3.3.38)

Estas transformaciones reciben el nombre de transformaciones gauge lo-cales . Bajo estas transformaciones gauge, la variación de la acción (3.3.34)es

δS =∫M

d4x(−∂µδφ∂µφ∗−∂µφ∂µδφ∗−δ|φ|∂V /∂|φ|)

=∫M

d4x(−iφ∂µδα∂

µφ∗+ iφ∗∂µφ∂µδα)

=−i∫M

d4x∂µδα(φ∂µφ∗−φ∗∂µφ

)=

∫M

d4x jµ∂µδα=−∫Σ

d3σnµ jµδα=∫R3

d3~x j0δα 6= 0. (3.3.39)

Luego la acción (3.3.34) no sirve para describir campos invariantes ba-jo cambios locales de fase. Para recuperar la invariancia gauge, podemosdefinir una nueva acción a partir de la anterior introduciendo un campovectorial adicional A, llamado conexión gauge , mediante la sustitución dela derivada ∂µ por la derivada covariante

Dµ := ∂µ− i g Aµ, (3.3.40)

3–18 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 109: Edc Garay Notas

[v.1.0] 3.3. Teorema de Noether

donde g es una constante con las dimensiones adecuadas, y tal que la leyde transformación de Aµ sea

δAµ(x) = ∂µδα(x), (3.3.41)

cuya versión finita es

A′µ(x) = Aµ(x)+∂µα(x), (3.3.42)

de forma que (EJERCICIO)

δDφ= iδαDφ. (3.3.43)

En efecto, tras esta sustitución, la nueva acción queda (EJERCICIO)

S =∫M

d4x[−Dµφ

(Dµφ

)∗−V (φ)]

(3.3.44)

=∫M

d4x−∂µφ∂µφ∗− [

V (φ)+ g 2 A2φφ∗]− g jµAµ

, (3.3.45)

cuya variación bajo la transformación infinitesimal dada por las ecuaciones(3.3.38) y (3.3.41) se anula (EJERCICIO). El teorema de Noether nos propor-ciona la densidad de corriente de divergencia nula (EJERCICIO)

jµA =−i[φ(Dµφ)∗−φ∗Dµφ

]. (3.3.46)

La derivada covariante tiene las siguientes propiedades (EJERCICIO):

Es lineal: D(aφ+bψ) = aDφ+bDψ, donde a,b ∈R.

Satisface la regla de Leibniz: Dµ(φψ) =ψDφ+φDψ.

No conmuta consigo misma: [Dµ,Dν] =−i g Fµν, donde

Fµν := ∂µAν−∂νAµ (3.3.47)

es un campo invariante bajo transformaciones gauge que recibe elnombre de tensor de curvatura de la conexión gauge.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 3–19

Page 110: Edc Garay Notas

TEMA 3. TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS [v.1.0]

Satisface la identidad de Bianchi: εµνρσ[Dν, [Dρ,Dσ]] = 0 o, equi-valentemente,

∂µ∗Fµν = 0. (3.3.48)

Mediante este procedimiento de acoplo mínimo hemos construido unaacción invariante gauge a cambio de introducir un campo vectorial gaugeadicional, con una ley de transformación adecuada. Puesto que tenemos uncampo nuevo, deberemos añadir a la acción el término cinético correspon-diente a este campo, que para preservar la invariancia gauge, debe ser a suvez invariante gauge. Un término del tipo

∫d4xFµνFµν puede desempeñar,

obviamente, ese papel. Los campos gauge surgen así como campos repara-dores de la invariancia gauge, que aseguran la invariancia de la acción bajocambios de fase locales de los campos cuando la acción ya es invariantebajo cambios de fase globales. El potencial del campo electromagnético Aes precisamente este campo gauge vectorial y, como veremos, su curvaturaF es el campo electromagnético.

Notemos que, aunque las transformaciones gauge globales y locales pre-sentan un aspecto parecido, las consecuencias físicas de ambas invarianciasson radicalmente diferentes. Frente a la degeneración que supone la existen-cia de una invariancia gauge global (soluciones equivalentes), como vimos,la invariancia gauge local implica que existen grados de libertad que sonirrelevantes (en el caso de transformaciones abelianas, la fase) y el precio apagar es la existencia de un nuevo campo que garantice dicha invariancia.

También es importante notar que, a pesar de que existan grados de li-bertad irrelevantes, no siempre es posible (de hecho no lo es casi nunca)eliminarlos y quedarnos solo con los grados de libertad relevantes. Esta im-posibilidad se debe a dos razones. Por un lado, se puede ver que para poderdescribir campos vectoriales sin masa (como el campo electromagnético)de un forma explícitamente invariante Lorentz requiere de la invarianciagauge y del uso de los grados de libertad irrelevantes correspondientes. Porotro lado, en general, existen obstrucciones topológicas que tampoco des-cribiremos aquí (por ejemplo, el efecto Aharanov-Bohm o las ambigüedadesde Gribov).

3–20 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 111: Edc Garay Notas

[v.1.0] 3.4. Partículas y campos

3.4. Partículas y campos

Consideremos un sistema formado por una partícula en interacción conun campo Φ. Entonces, la acción de este sistema, puede escribirse de laforma

S = SPL[z]+S INT[z ,Φ]+SCL[Φ], (3.4.1)

donde

SPL =−mc∫

ds√−z 2 (3.4.2)

es la acción de la partícula libre, SCL es la acción del campo libre y S INT es laacción de interacción.

La forma de esta interacción puede ser muy variada dependiendo delsistema físico que estemos describiendo, es decir, de los campos y de losacoplamientos a los mismos. Sin embargo, existen algunas restriccionesen la forma de esta acción, además de las ya impuestas por la condiciónde que preserven las simetrías del sistema y las mencionadas en los temasanteriores. En efecto, las ecuaciones de movimiento de la partícula son de laforma

mzµ = δS INT

δzµ(3.4.3)

y, puesto que, la aceleración es perpendicular a la velocidad, z · z = 0, vemosque S INT debe satisface la condición de que la fuerza que genere también losea:

zµδS INT

δzµ= 0. (3.4.4)

Por ejemplo, si tenemos un campo escalar externo φ, una posible acciónde interacción es S INT = −g

∫ds |φ[z(s)]|2, donde g es una constante de

acoplo con las dimensiones adecuadas. Las ecuaciones de movimiento sonmzµ =−g∂µ|φ(z)|2, lo que significa que |φ| debe ser constante (debido a laortogonalidad de z y z), por lo que la interacción no es tal.

Otro ejemplo más interesante es el de una interacción del tipo

S INT = g∫

ds z · j (z), (3.4.5)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 3–21

Page 112: Edc Garay Notas

TEMA 3. TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS [v.1.0]

donde j (z) es la densidad de corriente del campo complejo evaluada en latrayectoria z(s). En este caso, las ecuaciones de movimiento son (EJERCICIO)

mzµ = g (zν∂µ jν− zν∂ν jµ) (3.4.6)

y es claro que la contracción del miembro de la derecha con zµ se anula, loque hace que este acoplamiento sea permitido.

En el tema siguiente, analizaremos el acoplo de una partícula con uncampo vectorial, lo que nos permitirá describir el movimiento de partículascargadas en campos electromágnéticos externos.

Otra forma alternativa de escribir la acción de de la partícula libre es

SPL[z] =∫M

d4xLPL(z , x), (3.4.7)

donde la densidad lagrangiana de la partícula libre es

LPL(z , x) =−mc2∫

dτδ4[x − z(τ)] =− mc

γ(~v)δ3[~x −~z(t )], (3.4.8)

donde ~v = d~z/dt . En la obtención del último miembro, hemos utilizado lasiguiente relación entre las deltas de Dirac:

δ4[x − z(τ)] = δ3[~x −~z(τ)]δ[ct − z0(τ)]

= 1

cγ(~v)δ3[~x −~z(t )]δ(τ− τ), (3.4.9)

donde τ es tal que ct = z0(τ). En términos de la densidad de masa, que tienela forma µ(x) := mδ3[~x −~z(t )],

LPL(z , x) =−cµ(x)/γ(~v). (3.4.10)

Esta expresión es válida para una distribución puntual o continua de masa.

Por otro lado, la acción de interacción también se puede escribir entérminos de una densidad lagrangiana

S INT[z ,Φ] =∫M

d4xLINT(z , z ,Φ,∂Φ, x),

LINT(z , z ,Φ,∂Φ, x) =∫

ds δ4[x − z(s)]L INT(z , z ,Φ,∂Φ). (3.4.11)

3–22 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 113: Edc Garay Notas

[v.1.0] 3.5. Formulación hamiltoniana

3.5. Formulación hamiltoniana

En esta sección, romperemos la covariancia explícita de la formulación,puesto que escogeremos un sistema de referencia con un tiempo dado.Entonces, definimos el momento canónico conjugado como

Π= ∂(cL )

∂(∂tΦ)(3.5.1)

y la densidad hamiltoniana como la obtenida mediante una transformaciónde Legendre sobre la densidad lagrangiana:

H = (Π∂tΦ− cL )∂tΦ→∂tΦ(Π). (3.5.2)

De esta definición es muy fácil ver que la componente temporal del tensorde energía-momento es precisamente (salvo por un factor c) la densidadhamiltoniana si sustituimos el momento por su valor ∂L /∂(∂0Φ):

T 00 =H /c. (3.5.3)

Dados los corchetes de Poisson a tiempos iguales

Φn(~x),Πm(~y) = δnmδ3(~x −~y)

Φn(~x),Φm(~y) = 0,

Πn(~x),Πm(~y) = 0,

(3.5.4)

y el hamiltoniano

H =∫

d3~xH (~x), (3.5.5)

las ecuaciones de movimiento hamiltonianas son

∂tΦ= Φ, H , ∂tΠ= Π, H , (3.5.6)

y, en general, el corchete de Poisson de cualquier funcional de los camposcon el hamiltoniano nos proporciona la evolución temporal de dicha can-tidad. Estas ecuaciones son enteramente equivalentes a las ecuaciones deEuler-Lagrange.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 3–23

Page 114: Edc Garay Notas

TEMA 3. TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS [v.1.0]

Es interesante calcular el corchete de Poisson de los campos con el mo-mento total Pµ y el momento angular total Jµν. Para ello, escribamos primeroestas cantidades conservadas en términos de las variables canónicas:

P 0 =∫

d3~xT 00 =∫

d3~xH /c = H/c, (3.5.7)

Pi =∫

d3~xT 0i =−

∫d3~x

∂L

∂(∂0Φ)∂iΦ=−

∫d3~xΠ∂iΦ, (3.5.8)

Ji 0 =∫

d3~x(xi T 0

0 −x0T 0i +S0

i 0

)= tPi −

∫d3~xxi H /c + i

∫d3~xΠS0iΦ, (3.5.9)

Ji j =∫

d3~x(xi T 0

j −x j T 0i +S0

i j

)=

∫d3~x

(−xiΠ∂ jΦ+x jΠ∂iΦ− iΠSi jΦ). (3.5.10)

Entonces, obtenemos las expresiones

Φ(t ,~x),cP 0 = Φ(t ,~x), H = ∂tΦ(t ,~x) (3.5.11)

Φ(t ,~x),Pi =−∫

d3~yΦ(t ,~x),Π(t ,~y)∂iΦ(t ,~y)

=−∂iΦ(t ,~x), (3.5.12)

Φ(t ,~x), Ji 0 =−xi∂tΦ(t ,~x)− t∂iΦ(t ,~x)− i Si 0Φ(t ,~x), (3.5.13)

Φ(t ,~x), Ji j =−xi∂ jΦ(t ,~x)+x j∂iΦ(t ,~x)− i Si jΦ(t ,~x), (3.5.14)

y expresiones análogas para los momentos. Por tanto, podemos concluirque

Pµ :=−i∂µ = i · ,Pµ, Ji 0 = i · , Ji 0, Ji = i · , Ji . (3.5.15)

También es fácil ver que si el hamiltoniano es invariante bajo traslacionesespaciales, no depende explícitamente de xi y, por tanto,

Pi = Pi , H = ∂i H = 0, (3.5.16)

es decir, el momento lineal se conserva. Lo mismo ocurre con P0 si el hamil-toniano es invariante bajo traslaciones temporales y con Ji si es invariante

3–24 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 115: Edc Garay Notas

[v.1.0] 3.5. Formulación hamiltoniana

bajo rotaciones. Por último, si además tenemos invariancia bajo transfor-maciones de Lorentz puras, Ji 0 es una cantidad conservada que dependeexplícitamente del tiempo y cuyo corchete de Poisson con el hamiltonianoes

Ji 0, H = Pi , (3.5.17)

de forma que Ji 0 = ∂t Ji 0 + Ji 0, H = 0 (EJERCICIO).

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 3–25

Page 116: Edc Garay Notas
Page 117: Edc Garay Notas

[v.1.0] 3.6. Ejercicios

3.6. Ejercicios

3.1 Demostrar que el operador de D’Alembert ä = ηµν∂µ∂ν es invariantebajo transformaciones de Lorentz. Teniendo en cuenta que Aµ = (φ/c,~A) yjµ = (cρ,~j ) son cuadrivectores, probar que la condición de gauge de Lorenz,la ecuación de onda y la de continuidad tienen la misma forma en todos lossistemas de referencia inerciales.

3.2 Estudiar un campo escalar real libre cuya acción es

S =−∫

d4x[

1

2(∂φ)2 +V (φ)

],

donde V (φ) es una función arbitraria de φ. Estudiar, en particular, el poten-cial cuadrático V (φ) =µ2φ2/2.

3.3 Estudiar un campo complejo ψ escalar bajo rotaciones (tridimensiona-les) cuya lagrangiana es

L =− ×2

2m~∇ψ∗ ·~∇ψ+ i×

2(ψ∗∂tψ−ψ∂tψ

∗)−V (t ,~x)ψ∗ψ,

donde V (t ,~x) es una función real de las coordenadas y × es una constantecon unidades de acción.

3.4 Estudiar un campo vectorial Uµ cuya lagrangiana es

L =−1

4FµνFµν+ 1

2µ2UµUµ,

donde Fµν = ∂µUν−∂νUµ. Estudiar, en particular, el caso µ= 0.

3.5 Una cuerda de longitud y densidad lineal de masa dadas está sujeta porlos extremos y sometida a una cierta tensión.

a. Escribir una acción para esta cuerda.

b. Encontrar las ecuaciones de movimiento y resolverlas.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 3–27

Page 118: Edc Garay Notas

TEMA 3. TEORÍA CLÁSICA DE CAMPOS [v.1.0]

c. Demostrar que esta cuerda se comporta como un número infinitode osciladores armónicos desacoplados y hallar sus frecuencias deoscilación.

3.6 Consideremos un campo escalar real con masa y sometido a un poten-cial de la forma gφα donde g es una constante de acoplo y α> 2.

a. Estudiar cómo se comporta este sistema bajo dilataciones, es decirbajo transformaciones de la forma

x ′ =λx , φ′(x) =λ−dφ(λ−1x),

donde d ∈R es la dimensión bajo dilataciones del campo.

b. Encontrar la corriente Noether correspondiente a la invariancia bajodilataciones cuando la haya.

c. Repetir el ejercicio para un espaciotiempo de dimensión arbitraria.

3.7 SeaΦ= φa , a = 1,2,3 un triplete de campos reales.

a. Escribir una acción para este sistema que sea invariante bajo rotacio-nes internas (isospín ) de los campos, es decir, bajo transformacionesde la forma φ′a = Ra

bφb donde R es cualquier matriz del grupo de

rotaciones SO(3).

b. Encontrar las corrientes Noether correspondientes y las cargas con-servadas asociadas.

3–28 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 119: Edc Garay Notas

[v.1.0]

Tema 4

Partículas cargadas y camposelectromagnéticos

4.1. Partícula en un campo electromagnético

4.1.1. Formulación lagrangiana

4.1.1.1. Acción

4.1.1.2. Invariancia gauge

4.1.1.3. Ecuaciones de movimiento

4.1.2. Formulación canónica

4.1.3. Campo electromagnético

4.1.3.1. Campo eléctrico y campo magnético

4.1.3.2. Invariancia gauge

4.1.3.3. Invariantes Lorentz

4.2. Cargas puntuales en campos electromagnéticos constantes

4.2.1. Campo eléctrico uniforme

4.2.2. Campo eléctrico de Coulomb

4.2.3. Campo magnético uniforme

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–1

Page 120: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

4.2.4. Campo electromagnético uniforme

4.2.5. Invariantes adiabáticos

4.3. Dipolos en campos electromagnéticos constantes

4.3.1. Dipolo eléctrico en un campo eléctrico constante

4.3.2. Dipolo magnético en un campo magnético constante y uniforme

4.3.3. Precesión de Thomas

4.4. Dinámica del campo electromagnético

4.4.1. Ecuaciones de Maxwell

4.4.2. Leyes de conservación

4.4.3. Formulación hamiltoniana

4.4.4. Ecuación de onda

4.4.5. Lagrangiano de dos partículas hasta segundo orden

4.5. Ejercicios

4–2 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 121: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.1. Partícula en un campo electromagnético

4.1. Partícula en un campo electromagnético

4.1.1. Formulación lagrangiana

4.1.1.1. Acción

Para describir la dinámica de una partícula cargada en un campo elec-tromagnético externo, comencemos considerando una partícula acopladaa un campo vectorial externo A de forma que la dinámica de la partículano se vea afectada por la transformación gauge Aµ→ Aµ+∂µα del campovectorial externo. La acción de dicha partícula ha de ser, como ya vimos, in-variante bajo reparametrizaciones temporales e invariante Lorentz. Además,como en el lagrangiano aparecerá el campo A, la acción debe ser invariantebajo transformaciones gauge del campo.

Los únicos cuadrivectores de los que disponemos para construir la ac-ción son zds y A, donde z(s) es la trayectoria de la partícula en términosdel parámetro temporal s. Además, disponemos también del tensor métri-co η y del pseudotensor de Levi-Civita ε. Los únicos invariantes Lorentzindependientes que podemos construir con estos elementos son

A2, A · z ds, z 2(ds)2. (4.1.1)

Así, el término más general invariante Lorentz e invariante bajo repara-metrizaciones deberá estar construido con estos elementos y deberá ser,además, homogéneo en las velocidades (para asegurar la invariancia bajoreparametrizaciones). Su forma más general es (EJERCICIO)∫

ds√−z 2H

(A2, A · z/

√−z 2

), (4.1.2)

donde H(x, y) es una función arbitraria. La invariancia de la acción bajotransformaciones gauge del campo vectorial elimina todos los posiblestérminos salvo dos: ∫

ds√−z 2,

∫ds A · z , (4.1.3)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–3

Page 122: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

correspondientes a H(x, y) = 1 por un lado, y a H(x, y) = y por el otro(EJERCICIO).

Así, la acción más general de una partícula relativista sometida a uncampo vectorial con invariancia gauge será

S =∫

ds[−mc

√−z 2 +q A(z) · z

], (4.1.4)

donde q es la carga de la partícula. En términos del tiempo propio, estaacción se puede escribir de la forma

S =−mc2∫

dτ+q∫

dτA(z) ·u. (4.1.5)

Esta acción también puede escribirse en términos de las posiciones y ve-locidades medidas en un sistema de referencia inercial y de las componentestemporal y espaciales del vector contravariante A = (φ/c,~A),

S =∫

dtL, L =−mc2√

1−~v2/c2 +q~A ·~v −qφ. (4.1.6)

Otra forma alternativa de escribir esta acción es

S = SPL +S INT =∫

d4x(LPL +LINT

), (4.1.7)

donde SPL es la acción de la partícula libre y S INT es la acción que proporcionala interacción entre la partícula y el campo electromagnético.

La parte libre de la densidad lagrangiana es, como ya vimos,

LPL =−µc/γ (4.1.8)

donde µ es la densidad de masa.

Análogamente, la parte de interacción se puede escribir como

LINT = c−1 j · A, (4.1.9)

4–4 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 123: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.1. Partícula en un campo electromagnético

donde la densidad de corriente j (x) es [haciendo uso de la identidad (3.4.9)]

j (x) = qc∫

dτzδ4[x − z(τ)] = q zγ−1δ3[~x −~z(t )] = ρ(x)u/γ, (4.1.10)

donde hemos introducido la densidad de carga ρ(x) = qδ3[~x −~z(t)]. Estaexpresión es válida para cualquier distribución de carga (no solo para cargaspuntuales). Notemos que ρ/γ es invariante (ver problema 2.5). Teniendo encuenta que u = (γc,γ~v), vemos inmediatamente que

j = (cρ,~j ), ~j = ρ~v , (4.1.11)

donde ~j es la densidad de corriente tridimensional.

EJERCICIO: Comprobar explícitamente que la densidad de corriente cua-dridimensional para una carga puntual tiene divergencia nula (ecuación decontinuidad), es decir, que

∂µ jµ = ∂tρ+~∇·~j = 0. ♦ (4.1.12)

4.1.1.2. Invariancia gauge

Acabamos de ver que la densidad de corriente tiene divergencia nula.Esto es consecuencia directa de la invariancia de la acción bajo transforma-ciones gauge del campo. En efecto, la condición de invariancia restringe losposibles términos de interacción a j ·A, con j dado por (4.1.10), como únicaopción [ver ecuación (4.1.3)].

Por otro lado, un término de interacción de la forma j · A es invarian-te gauge (y, por tanto, lo será la acción total) si j es un cuadrivector dedivergencia nula. En efecto, bajo transformaciones gauge del campo,

δS =∫

d4x jµ∂µδα/c =−∫

d4x∂µ jµδα/c. (4.1.13)

Puesto que j es de divergencia nula por hipótesis, esta variación se anula.La cantidad conservada correspondiente es

Q = c−1∫

d3~x j 0 =∫

d3~xρ, (4.1.14)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–5

Page 124: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

que, en el caso de una sola partícula, es precisamente q .

El hecho de que la corriente j no tenga divergencia implica la inva-riancia gauge de la acción. La evolución de una partícula no depende delpotencial A sino de su derivada antisimetrizada, que no se ve afectada portransformaciones gauge del potencial

A′µ = Aµ+∂µα, δAµ = ∂µδα, (4.1.15)

luego la evolución también es invariante gauge.

4.1.1.3. Ecuaciones de movimiento

Las ecuaciones de movimiento que se obtienen a partir de esta acciónson (EJERCICIO)

muµ = quν(∂µAν−∂νAµ) (4.1.16)

donde u = z es la cuadrivelocidad (EJERCICIO). Escribamos las compo-nentes espaciales y temporales explícitamente. Para ello, recordemos queu = (cγt ,γ~v) y que A = (φ/c,~A). Entonces,

md

dt(γvi ) = q(−∂iφ−∂t Ai )+qv j (∂i A j −∂ j Ai ), (4.1.17)

−mc2 dγ

dt= qv i (∂t Ai +∂iφ). (4.1.18)

o, en notación vectorial,

d

dt(γm~v) = q

(−~∇φ−∂t~A)+q~v × (~∇×~A), (4.1.19)

d

dt(γmc2) = q~v · (−~∇φ−∂t~A

). (4.1.20)

Por tanto, la razón para considerar la acción (4.1.5) es que proporcio-na las ecuaciones de movimiento de una partícula cargada en un campoelectromagnético si identificamos A con el potencial electromagnético eintroducimos los campos eléctrico y magnético

~E =−~∇φ−∂t~A, ~B =~∇×~A, (4.1.21)

4–6 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 125: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.1. Partícula en un campo electromagnético

en términos de los cuales las ecuaciones de movimiento adquieren la forma

d~p

dt= q(~E +~v ×~B),

dEc

dt= q~v ·~E , (4.1.22)

donde hemos introducido el momento cinético y la energía cinética defi-nidos por

~p := γm~v , Ec := γmc2. (4.1.23)

4.1.2. Formulación canónica

La acción (4.1.6) puede fácilmente ponerse en forma canónica. El mo-mento canónico es

~P = ∂L

∂~v= mγ~v +q~A. (4.1.24)

El hamiltoniano es entonces [recordemos que ~v2 = (1−γ−2)c2]

H =~v ·~P −L = γmc2 +qφ. (4.1.25)

Calculando el cuadrado de mγ~v en la ecuación (4.1.24) obtenemos

(~P −q~A)2 = m2γ2v2 = m2c2(γ2 −1) (4.1.26)

y por tanto podemos escribir γ en función de ~P :

γ2 = (mc)−2(~P −q~A)2 +1. (4.1.27)

Sustituyendo esta expresión en el Hamiltoniano obtenemos finalmente

H =√

m2c4 + c2(~P −q~A)2 +qφ. (4.1.28)

Equivalentemente, de la expresión relativista de la acción obtenemos

Pµ = ∂L

∂uµ= muµ+q Aµ. (4.1.29)

Las componentes espaciales proporcionan ~P obtenido anteriormente y

E = cP 0 = mcu0 +qc A0 = mγc2 +qφ. (4.1.30)

expresión que coincide (necesariamente) con la ya obtenida para el hamil-toniano. Cuando el potencial vector A, que en la acción aparece como uncampo externo, es independiente del tiempo, la energía total se conserva.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–7

Page 126: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

4.1.3. Campo electromagnético

A la vista de las ecuaciones de movimiento de una partícula cargada,podemos definir el tensor campo electromagnético de la siguiente manera:

Fµν := ∂µAν−∂νAµ, (4.1.31)

de manera que la ecuación de movimiento de Lorentz se puede escribir

muµ = quνFµν. (4.1.32)

La fuerza de Lorentz quνFµν es perpendicular a la velocidad ya que

quνFµνuµ = 0. (4.1.33)

Esto era de esperar puesto que la aceleración es perpendicular a la velo-cidad y, por tanto, cualquier fuerza cuadridimensional f µ satisface quef µuµ = muµuµ = 0, como ya vimos.

De su definición (4.1.31), vemos directamente que

∂[µFνσ] = 0, (4.1.34)

o, equivalentemente,∂µ

∗Fµν = 0, (4.1.35)

como ya vimos en § 3.3.4.2.

4.1.3.1. Campo eléctrico y campo magnético

El tensor campo electromagnético F tiene las siguientes componentes(EJERCICIO):

Fµν =

0 −E 1/c −E 2/c −E 3/c

E 1/c 0 B 3 −B 2

E 2/c −B 3 0 B 1

E 3/c B 2 −B 1 0

. (4.1.36)

4–8 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 127: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.1. Partícula en un campo electromagnético

El dual de Hodge del campo electromagnético ∗Fµν = 12ε

µνρσFρσ tienecomo componentes

∗Fµν =

0 B 1 B 2 B 3

−B 1 0 E 3/c −E 2/c−B 2 −E 3/c 0 E 1/c−B 3 E 2/c −E 1/c 0

, (4.1.37)

es decir, se obtiene de Fµν mediante la transformación de dualidad ~E →−c~B ,~B → ~E/c. Además, los campos eléctrico y magnético son

E i = cF 0i , B i =−∗F 0i . (4.1.38)

Debe recordarse que ∗∗F =−F debido al carácter Lorentziano del espacio-tiempo, que tiene signatura (−+++). Así, la ecuación (4.1.35) se puedeescribir en términos de ~E y ~B de la forma

~∇×~E +∂t~B = 0, ~∇·~B = 0, (4.1.39)

que son las ecuaciones de Maxwell estructurales. Hemos visto así que estasecuaciones son covariantes Lorentz y que son ciertamente estructuralespues solo nos indican que el campo electromagnético se puede obtener apartir de un potencial cuadrivector A.

EJERCICIO: Probar que los campos eléctrico y magnético se transformande la siguiente manera bajo transformaciones de Lorentz puras:

~E ′ = γ(~E +~v ×~B)− γ2

γ+1(~v ·~E)~v/c2,

~B ′ = γ(~B −~v ×~E/c2)− γ2

γ+1(~v ·~B)~v/c2. ♦ (4.1.40)

4.1.3.2. Invariancia gauge

Ya probamos en el tema 1 que el campo electromagnético es invariantegauge. En la formulación relativista, tal demostración es inmediata por serF la derivada antisimetrizada del potencial vector.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–9

Page 128: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

4.1.3.3. Invariantes Lorentz

Hemos visto que el campo electromagnético F es un tensor. Con él po-demos construir dos cantidades que son invariantes bajo transformacionesde Lorentz:

1

4µ0FµνFµν =−1

2(ε0~E

2 −µ−10~B 2), (4.1.41)

c ∗FµνFµν = c

2εµνρσFµνFρσ = ~E ·~B . (4.1.42)

Se puede probar que estas son las únicas cantidades invariantes indepen-dientes. Las líneas generales de la demostración son las siguientes. Cons-truyamos el vector complejo ~F = ~E + i c~B . Esta cantidad es un vector bajorotaciones de ángulo complejo. Los seis parámetros de estas rotacionescomplejas corresponden a las tres rotaciones espaciales y a los tres boosts.Por tanto, ~F 2 = (~E 2 − c2~B 2)+2i c~E ·~B es el único invariante bajo rotacionescomplejas (rotaciones más boosts) que se puede construir a partir de ~F y,por tanto, también lo son sus partes real e imaginaria.

Nota: ~E ·~B es un pseudoescalar y, por tanto, no es invariante bajo todoel grupo de Lorentz. Solo lo es bajo transformaciones propias. Esto no essorprendente ya que, en su definición aparece el tensor de Levi-Civita. Lacantidad (~E ·~B)2 sí es escalar bajo todo el grupo de Lorentz.

EJERCICIO: Comprobar que la cantidad (4.1.42) es una derivada total, esdecir,

∗FµνFµν∝ ∂µ(εµνρσAν∂ρAσ). ♦ (4.1.43)

4.2. Cargas puntuales en campos electromagnéti-cos constantes

Los campos electromagnéticos constantes satisfacen, obviamente, lasecuaciones

∂0 Aµ = 0, ∂0Fµν = 0, ∂t~E = ∂t~B = 0. (4.2.1)

4–10 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 129: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.2. Cargas puntuales en campos electromagnéticos constantes

En esta sección, estudiaremos el movimiento de partículas cargadas encampos electromagnéticos externos constantes e ignoraremos el campoelectromagnético creado por la propia partícula cargada en movimiento.

4.2.1. Campo eléctrico uniforme

Como ilustración del movimiento de una partícula cargada en un cam-po eléctrico constante y uniforme, consideremos una partícula que partede~r (0) = 0 con una velocidad inicial ~v0 perpendicular al campo eléctricoconstante. Sin pérdida de generalidad, podemos escoger el campo eléctricoen la dirección e1 y la velocidad inicial en la e2:

~E = E0e1, ~v0 = v0e2. (4.2.2)

Las ecuaciones de movimiento nos quedan:

dp1

dt= qE0,

dp2

dt= 0,

dp3

dt= 0,

dEc

dt= qv1E0. (4.2.3)

La solución de estas ecuaciones se puede obtener de forma directa:

p1 = qE0t , p2 = p0 = mγ0v0, p3 = 0,

Ec = qE0x1 +mγ0c2. (4.2.4)

Teniendo en cuenta que

~p = mγ~v = Ec~v/c2, E 2c = m2γ2

0c4 +q2E 20 t 2c2, (4.2.5)

vemos que

v1 = qE0t√m2γ2

0 +q2E 20 t 2/c2

, v2 = mγ0v0√m2γ2

0 +q2E 20 t 2/c2

, v3 = 0.

(4.2.6)Podemos integrar estas ecuaciones y obtener así~r (t ):

x1(t ) = 1

qE0

(√m2γ2

0c4 +q2E 20 t 2c2 −mγ0c2

),

x2(t ) = mγ0v0c

qE0arcsinh

qE0t

mγ0c, (4.2.7)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–11

Page 130: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

movimiento que tiene lugar en el plano x3 = 0. También podemos escribir latrayectoria en el plano eliminando la dependencia temporal:

x1 = mγ0c2

qE0

(cosh

qE0x2

mγ0v0−1

), (4.2.8)

que es la ecuación de una catenaria.

4.2.2. Campo eléctrico de Coulomb

Consideremos un campo eléctrico constante cuyo potencial es φ=α/r ,dondeα es una constante [si el campo eléctrico está generado por una cargaQ, entonces α=Q/(4πε0)]. Las ecuaciones de movimiento son

d~p

dt=−q~∇φ,

dEc

dt=−q~v ·~∇φ. (4.2.9)

Esta segunda ecuación se puede integrar directamente para obtener unaconstante del movimiento, la energía total de la partícula:

E =√

m2c4 +~p2c2 +qα/r. (4.2.10)

El movimiento tiene lugar en el plano perpendicular al vector~L =~x ×~p, quees constante. En efecto,

d~L

dt=~x × d~p

dt∝~x ×~E = 0, (4.2.11)

por ser ~E = −~∇φ = ‖~E‖x un campo central. Por tanto, el vector~L es cons-tante y, además, ~x ·~L = 0, luego el movimiento se desarrolla en el planoperpendicular a~L. Si utilizamos coordenadas polares (r,ϕ) en el plano dela órbita, podemos escribir ~p2 = p2

r +p2ϕ/r 2. Puesto que el potencial φ solo

depende de r , el momento angular pϕ se conserva y

E =√

m2c4 +p2r c2 +p2

ϕc2/r 2 +qα/r = H(~x,~p). (4.2.12)

4–12 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 131: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.2. Cargas puntuales en campos electromagnéticos constantes

Para encontrar las trayectorias, utilizamos la ecuación de Hamilton-Jacobi. Se trata de encontrar una función S(~x, t) que satisfaga la ecuación

∂t S +H(~x,~∇S) = 0. (4.2.13)

La función S dependerá de tantas constantes de integración ai como varia-bles. Entonces, las trayectorias clásicas satisfacen las ecuaciones

∂S/∂ai = constante. (4.2.14)

A la vista de la expresión del hamiltoniano, la ecuación de Hamilton-Jacobiqueda

(∂t S +qα/r )2 + c2(∂r S)2 + c2(∂ϕS)2/r 2 +m2c4 = 0, (4.2.15)

cuya solución se puede obtener mediante separación de variables:

S(t ,r,ϕ) = At +Bϕ+∫

dr√

c−2(A+qα/r )2 −B 2/r 2 −m2c2 +C , (4.2.16)

donde A, B y C son constantes de integración. Además, se satisfacen lasrelaciones ~p =~∇S, E =−∂t S y, en particular,

pϕ = ∂ϕS = B , E =−∂t S =−A, (4.2.17)

que son constantes del movimiento como ya sabíamos. La constante aditivaC es irrelevante. Por otro lado, las derivadas de S con respecto a las otras dosconstantes de integración que, como hemos visto, resultan ser la energíay el momento angular, son constantes (que se pueden identificar con losorígenes de tiempo y de ángulo y, por tanto, se pueden tomar como nulas)y estas ecuaciones nos dan la trayectoria clásica. Consideremos la ecua-ción ∂S/∂pϕ = 0. Esta ecuación nos proporciona la siguiente trayectoria en

términos del parámetro β=√|1−q2α2/(p2

ϕc2)|:

si cpϕ > |qα|, entonces

cpϕβ2/r =

√E 2 −m2c4β2 cos

(βϕ

)−E qα/(pϕc); (4.2.18)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–13

Page 132: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

Figura 4.1: Órbitas para distintos valores de los parámetros del sistemaque corresponden a movimientos acotados. Cada figura se acerca más allímite no relativista.

si cpϕ < |qα|, entonces

cpϕβ2/r =−signo(α)

√E 2 +m2c4β2 cosh

(βϕ

)+E qα/(pϕc);(4.2.19)

si cpϕ = |qα|, entonces

2E qα/r = E 2 −m2c4 −ϕ2E 2. (4.2.20)

Centrémonos en el primer caso, que contiene el límite no relativista. Si lafuerza es atractiva, qα < 0, y la energía total es menor que la energía enreposo, entonces la constante que acompaña al coseno es menor que la otray, por tanto, el radio nunca se hace infinito: el movimiento es acotado. Enel límite no relativista obtenemos una elipse. Cuando las contribucionesrelativistas no son pequeñas, el movimiento no es cerrado debido al factorβ que acompaña al ángulo en el coseno, de forma que la órbita tiene unaprecesión. En la figura 4.1, vemos distintas órbitas para distintos valores delos parámetros del sistema. Para energías mayores que la energía en reposo,el movimiento es no acotado (figura 4.2).

Cuando cpϕ ≤ |qα|, el movimiento es una espiral hacia el centro quetermina en tiempo finito (figura 4.3).

4–14 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 133: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.2. Cargas puntuales en campos electromagnéticos constantes

Figura 4.2: Órbitas para distintos valores de los parámetros del sistemaque corresponden a movimientos no acotados. Cada figura se acerca másal límite no relativista.

Figura 4.3: Órbita para valores de los parámetros del sistema que corres-ponden a un movimiento espiral.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–15

Page 134: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

4.2.3. Campo magnético uniforme

Consideremos un campo magnético constante y uniforme. Las ecuacio-nes de movimiento son

d~p

dt= q~v ×~B ,

dEc

dt= 0. (4.2.21)

Puesto que Ec = γmc2 es constante, γ y v son constantes y, por tanto, laecuación de movimiento para ~p se convierte en

d~v

dt=~v ×~ωB , donde ~ωB = q~B/(mγ). (4.2.22)

Esta ecuación puede reescribirse en términos de las componentes de lavelocidad paralela v‖ωB y perpendicular ~v⊥ al campo magnético:

dv‖dt

= 0,d~v⊥dt

=~v⊥×~ωB , (4.2.23)

y su solución es v‖ = constante, ~v⊥ =ωB rB (e1 cosωB t + e2 senωB t), dondee1 y e2 son dos vectores ortonormales que generan el plano perpendicular a~B . El radio de giro rB se determina notando que el módulo de la velocidad y,por tanto, el de la componente transversal, se conserva, luego v⊥ =ωB rB o,lo que es lo mismo, p⊥ = qBrB . Si integramos la velocidad obtenemos

~x(t ) =~x0 + v‖tωB + rB (e1 senωB t − e2 cosωB t ), (4.2.24)

que es una hélice caracterizada por el ángulo arctan(v‖/(ωB rB )

)entre el eje

~ωB y la velocidad ~v . Obviamente,~x y ~v⊥ satisfacen la relación ~v⊥ =~x ×~ωB .

4.2.4. Campo electromagnético uniforme

Consideremos un campo electromagnético uniforme. Puesto que ~E ·~Bes un invariante Lorentz, si el campo eléctrico y el campo magnético sonperpendiculares en un sistema inercial, lo serán en todos. En este caso, es

4–16 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 135: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.2. Cargas puntuales en campos electromagnéticos constantes

fácil ver que, si ‖~E‖ < c‖~B‖, un boost con velocidad ~v1 = ~E ×~B/~B 2 elimina elcampo eléctrico dejando solo un campo magnético perpendicular a ~v1:

~B ′ = ~B/γ1 =√

1−~E 2/(c2~B 2) ~B . (4.2.25)

EJERCICIO: Obtener este resultado. ♦En este nuevo sistema de referencia, el campo magnético tiene la misma

dirección que el original pero es más débil y el movimiento es una espiralalrededor de ~B , como hemos visto en la sección anterior. En el sistema dereferencia original, el movimiento de la partícula será la composición deesta espiral con un desplazamiento con velocidad constante en la direcciónde ~v1, que es perpendicular tanto al campo magnético como al eléctrico.

Por tanto, si una partícula, entra en una región con un campo electro-magnético de estas características con velocidad ~v1, no sufrirá deflexiónalguna, puesto que la fuerza de Lorentz se anula: la fuerza eléctrica se can-cela exactamente con la magnética. Esto nos permite utilizar estos camposcruzados para seleccionar las partículas en función de su velocidad y obte-ner así haces de partículas con la misma velocidad.

Si los campos son perpendiculares pero sus módulos son tales que‖~E‖ > c‖~B‖, un boost con velocidad ~v2 = c2~E ×~B/~E 2 elimina el campo cam-po magnético dejando únicamente un campo eléctrico perpendicular a ~v2

(EJERCICIO):

~E ′′ = ~E/γ2 =√

1− c2~B 2/~E 2 ~E . (4.2.26)

En este nuevo sistema de referencia, el campo eléctrico tiene la mismadirección que el original pero es más débil.

Por último, si los campos no son perpendiculares, coexistirán en to-dos los sistemas inerciales puesto que ~E · ~B 6= 0 es invariante Lorentz y laresolución no es tan sencilla.

4.2.5. Invariantes adiabáticos

Cuando las condiciones bajo las que se desarrolla el movimiento cam-bian lentamente comparadas con los periodos característicos, existen canti-

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–17

Page 136: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

dades que permanecen constantes. Son los invariantes adiabáticos1, queson las integrales de acción

Ja =∮

dqa pa , (4.2.27)

donde pa y qa son la variables canónicas del sistema.

Consideremos el movimiento de una partícula en un campo magnéticocuasiuniforme y cuasiconstante, es decir, que cambia lentamente en eltiempo y en el espacio ~B(t ,~x). Sea ~P⊥ la proyección del momento canónicoen el plano perpendicular al campo magnético. Entonces, puesto que elmovimiento en ese plano es periódico (es una circunferencia de radio rB ),la integral de acción definida sobre un periodo completo del movimiento

J = 1

∮d~x⊥ ·~P⊥, (4.2.28)

es invariante como hemos visto. Teniendo en cuenta que ~P = ~p + q~A, laintegral de acción la podemos escribir

J = 1

∮d~x⊥ ·~p⊥+ q

∮d~x⊥ ·~A. (4.2.29)

La primera integral es igual a p⊥rB , puesto que~v⊥ = d~x⊥/dt ∝ d~x⊥. Ademásp⊥ = qBrB , luego la primera integral es qBr 2

B . El teorema de Stokes nospermite calcular la segunda integral:

q

∫d2~x⊥~B · n =−1

2qBr 2

B , (4.2.30)

donde n es el vector normal al plano orientado en sentido contrario a ~B yaque el movimiento tiene lugar en sentido antihorario (mirado en la direcciónde ~B ya que~x ×~ωB ). Así, concluimos que

J = 1

2qBr 2

B . (4.2.31)

1Ver, por ejemplo, L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Mecánica, Reverté, 1978; I. Percival y D.Richards, Introduction to dynamics, Cambridge University Press, 1982.

4–18 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 137: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.3. Dipolos en campos electromagnéticos constantes

Es decir, las cantidades Br 2B , p2

⊥/B son invariantes adiabáticos.

Como ejemplo, consideremos el caso en el que el campo magnético esconstante pero ligeramente inhomogéneo. Hemos visto que p2

⊥/B = 2q J esun invariante adiabático, de donde obtenemos la expresión p⊥ =√

2q JB .Además, el campo magnético es constante, luego la energía de la partícu-la se conserva, es decir, ~p2 es constante. Así, la componente paralela delmomento satisface

p2‖ = ~p2 −p2

⊥ = ~p2 −2q JB. (4.2.32)

Si el campo es suficientemente intenso en alguna región (2q JB ≥ ~p2), lapartícula no podrá penetrar. Puesto que rB ∝ 1/

pB y p2

‖ = ~p2 −2q JB , alaumentar B , el radio de la hélice disminuye (y la velocidad de avance de lahélice disminuye hasta pararse). La partícula se refleja y manteniendo ladirección de giro vuelve hacia regiones de campo menor. En efecto, si supo-nemos que ~B = B(z)e3 +~B⊥ donde ~B⊥ es muy pequeño, p‖p‖ =−q J v‖∂zBlo que implica que p‖ =−q J∂zB/(mγ).

4.3. Dipolos en campos electromagnéticos cons-tantes

En esta sección estudiaremos las fuerzas y los momentos de fuerzasejercidos por campos electromagnéticos constantes sobre distribuciones decarga localizadas. Supondremos que fuera de una región espacial Σ, no exis-ten cargas ni corrientes. Llamaremos ζ a la escala de longitud característicade la región Σ y~x ∈Σ un punto de referencia de la misma (ver figura 4.4).

4.3.1. Dipolo eléctrico en un campo eléctrico constante

Consideremos una distribución de carga localizada definida por unadensidad ρ(t ,~x +~z). La fuerza eléctrica sobre esta distribución de carga es

~F (~x, t ) =∫

d3~zρ(t ,~x +~z)~E(~x +~z). (4.3.1)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–19

Page 138: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

1

ζ~x ~x ′

~z

O

Σ

HHj

Figura 4.4: Región espacial Σ de tamaño característico ζ en la que estáconfinada una distribución estacionaria (en promedio temporal) de carga.

Expandimos el campo eléctrico en serie de potencias de~z:

~E(~x +~z) = ~E(~x)+ (~z ·~∇)~E(~x)+O (ζ2), (4.3.2)

de manera que la expresión de la fuerza queda

~F (t ,~x) =∫

d3~zρ(t ,~x +~z)~E(~x)+∫

d3~zρ(t ,~x +~z)(~z ·~∇)~E(~x)+O (ζ2)

= q~E(~x)+ (~p~x ·~∇)~E(~x)+O (ζ2), (4.3.3)

donde q = ∫d3~zρ(t ,~x +~z) es la carga total del sistema y

~p~x(t ) =∫

d3~zρ(t ,~x +~z)~z (4.3.4)

es el momento dipolar eléctrico del sistema con respecto al punto de refe-rencia~x.

4–20 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 139: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.3. Dipolos en campos electromagnéticos constantes

Podemos calcular también el lagrangiano de interacción en esta aproxi-mación, que será

L INT(~x) =−∫

d3~x ′ρ(~x ′)φ(~x ′) =−∫

d3~zρ(~x +~z)[φ(~x)+~z ·~∇φ(~x)

](4.3.5)

=−qφ(~x)+~p~x ·~E(~x). (4.3.6)

Por último, el momento de fuerza que actúa sobre la distribución será

~M(t ,~x) =∫

d3~zρ(t ,~x +~z)(~x +~z)×~E(~x +~z)

=∫

d3~zρ(t ,~x +~z)(~x +~z)× [~E(~x)+ (~z ·~∇)~E(~x)

]= q~x ×~E(~x)+~p~x ×~E(~x)+~x × [

(~p~x ·~∇)~E(~x)], (4.3.7)

donde hemos ignorado términos de orden O (ζ2).

4.3.2. Dipolo magnético en un campo magnético constantey uniforme

Sea una densidad de carga y de corriente estacionaria [en promedio tem-poral, definido en la fórmula (1.3.12)] localizada en un región Σ e inmersaen un campo magnético constante. Por ser una distribución estacionaria,tanto ⟨ρ(t ,~x)⟩ como ⟨~j (t ,~x)⟩ son independientes del tiempo, para lo quebasta con que ρ(t ,~x) y ~j (t ,~x) permanezcan acotados2.

Antes de calcular la fuerza y el momento de fuerza sobre esta distribu-ción, es conveniente obtener algunos resultados preliminares que seránútiles posteriormente. Dada una función suave arbitraria f (~x), se verificaque

0 =⟨∫

d3~x ~∇· [ f (~x)~j (t ,~x)]⟩

=⟨∫

d3~x[~∇ f (~x) ·~j (t ,~x)− f (~x)ρ(t ,~x)

]⟩, (4.3.8)

2Sea f (t ) una función que toma valores en un rango finito de longitud ∆. Entonces, severifica que |⟨ f (t )⟩| ≡ | lımT→∞

∫ T /2−T /2 dt ′ f (t + t ′)/T | ≤ lımT→∞∆/T = 0.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–21

Page 140: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

donde hemos usado la fórmula (F.2.3) y la ecuación de continuidad. Paradistribuciones estacionarias (en promedio temporal), ⟨ρ⟩ = 0 y, por tanto,⟨∫

d3~x ~∇ f (~x) ·~j (t ,~x)⟩= 0. (4.3.9)

Eligiendo f = xi , obtenemos el resultado⟨∫d3~x ~j (t ,~x)

⟩= 0. (4.3.10)

Con la elección f = xi x j , obtenemos⟨∫d3~x

[xi j j (t ,~x)+x j j i (t ,~x)

]⟩= 0. (4.3.11)

Eligiendo f = ‖~x‖, obtenemos el resultado⟨∫d3~x ~x ·~j (t ,~x)

⟩= 0. (4.3.12)

El promedio temporal de la fuerza que actúa sobre una distribución decorriente (ignorando términos de orden O (ζ2)) es

⟨~F (t ,~x)⟩ =⟨∫

d3~x ′~j (t ,~x ′)×~B(~x ′)⟩

=⟨∫

d3~z ~j (t ,~x +~z)× [~B(~x)+ (~z ·~∇)~B(~x)

]⟩. (4.3.13)

El primer término solo depende de~z y t a través de ~j , luego tiene la forma⟨∫ ~j ⟩×~B , que se anula en virtud de la ecuación (4.3.10). En componentes, elpromedio temporal de la fuerza es

⟨Fi (t ,~x)⟩ = εi j k

⟨∫d3~z j j (t ,~x +~z)z l∂l B k (~x)

⟩= 1

2εi j k

⟨∫d3~z ( j j z l − j j z l )

⟩∂l B k

= 1

2εi j kε

l j m⟨∫

d3~z (~z ×~j )m

⟩∂l B k , (4.3.14)

4–22 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 141: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.3. Dipolos en campos electromagnéticos constantes

donde, en la segunda igualdad hemos empleado el resultado (4.3.11).

Definimos el momento dipolar magnético como

~m~x = 1

2

⟨∫d3~z ~z ×~j (~x +~z, t )

⟩. (4.3.15)

Aparentemente, el momento dipolar magnético depende del punto de re-ferencia ~x, pero no es así. En efecto, si escribimos ~x ′ = ~x +~z, vemos que

~m~x =~m~0 −1

2

⟨∫d3~x ′~x ×~j (t ,~x ′)

⟩. (4.3.16)

El segundo término se anula para distribuciones estacionarias en virtudde la ecuación (4.3.10) y concluimos que ~m~x = ~m~0 := ~m. Notemos que estecomportamiento es similar al del espín, el momento angular intrínseco. Estarelación no es casual. Si llamamos µ(t ,~x) a la densidad de masa del sistema,podemos escribir

~m= 1

2

⟨∫d3~z ~z × (ρ~v)

⟩= 1

2

⟨∫d3~z (ρ/µ)~z × (µ~v)

⟩. (4.3.17)

Así, para sistemas en los que la masa y la carga están igualmente distribuidas,es decir, para sistemas con ρ/2µ= constante,

~m= ρ

2µ⟨~S⟩, (4.3.18)

donde ~S es el momento angular del sistema calculado en un sistema dereferencia en el que el momento lineal total se anula, es decir, es el mo-mento angular intrínseco: ⟨∫ µ~v⟩ ∝ ⟨∫ ρ~v⟩ = ⟨∫ ~j ⟩ = 0. Esta relación entremomento magnético y espín clásico no se mantiene necesariamente ensistemas cuánticos para los que, en general, el factor de proporcionalidadentre ~m y ~S no es la mitad de la relación carga-masa.

En términos del momento dipolar magnético y teniendo en cuenta que~∇·~B = 0, podemos escribir

⟨Fi (t ,~x)⟩ = εi j kεl j mmm∂l B k

=mk∂i B k −mi∂k B k = ∂i (~m ·~B), (4.3.19)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–23

Page 142: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

es decir,⟨~F (t ,~x)⟩ =~∇(~m ·~B)+O (ζ2). (4.3.20)

El promedio del momento de fuerzas será

⟨~M(t ,~x)⟩ =⟨∫

d3~x ′ ~x ′× [~j (t ,~x ′)×~B(~x ′)

]⟩=

⟨∫d3~x ′ [(~x ′ ·~B(~x ′)

)~j − (~j ·~x ′)~B(~x ′)

]⟩. (4.3.21)

Si escribimos ~x ′ = ~x +~z y expandimos ~B(~x +~z) = ~B(~x)+O (ζ), vemos quebasta con el primer término, pues los siguientes dan contribuciones deorden O (ζ2) (EJERCICIO).

Entonces el segundo término de (4.3.21) se anula en virtud de la ecua-ción (4.3.12) y, utilizando (4.3.10), el momento de fuerzas queda

⟨~M(t ,~x)⟩ =⟨∫

d3~z[~z ·~B(~x)

]~j (t ,~x +~z)

⟩, (4.3.22)

que, en componentes, adquiere la forma

⟨M i ⟩ =⟨∫

d3~zz j B j (~x) j i⟩= 1

2

⟨∫d3~z

(z j j i + z j j i )⟩B j

= 1

2

⟨∫d3~z

(z j j i − zi j j )⟩B j = ε j i kmk B j . (4.3.23)

Por tanto, la expresión del momento de fuerzas es

⟨~M(t ,~x)⟩ =~m×~B(~x)+O (ζ2). (4.3.24)

El promedio temporal del lagrangiano de interacción

⟨L INT(t ,~x)⟩ =⟨∫

d3~x ′~j (t ,~x ′) ·~A(~x ′)⟩

(4.3.25)

se puede calcular de forma análoga. Expandiendo ~A(~x+~z) = ~A(~x)+(~z ·~∇)~A(~x)y teniendo en cuenta las ecuaciones 4.3.10 y 4.3.11, esta expresión se puede

4–24 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 143: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.3. Dipolos en campos electromagnéticos constantes

escribir de la forma

⟨L INT(t ,~x)⟩ =⟨∫

d3~z j i (t ,~x +~z)zk∂k Ai (~x)⟩

= 1

2

⟨∫d3~z

(j i zk + j i zk)⟩

∂k Ai

= 1

2

⟨∫d3~z

(j i zk − j k zi )⟩∂k Ai

= εki jm j∂k Ai =~m · (~∇×~A) =~m ·~B . (4.3.26)

4.3.3. Precesión de Thomas

Sea un cuerpo cargado con un momento angular intrínseco ~S y un mo-mento magnético ~m = ζ~S. En un campo electromagnético, el momentoangular de este cuerpo obedecerá la ecuación (en el sistema de referenciainercial propio o comóvil, obtenido mediante boosts infinitesimales conse-cutivos)

d~S

dt

∣∣∣∣prop

=~m×~B ′, (4.3.27)

donde ~B ′ es el campo magnético visto en el sistema de referencia inercialpropio. Sin embargo, vamos a ver que, desde el punto de vista del laboratorio,esta ecuación es incompleta pues el sistema de referencia propio está, engeneral, rotando.

Si en un instante t , el sistema propio tiene una velocidad ~v relativaal laboratorio y en el instante siguiente t +δt tiene una velocidad ~v +δ~v ,la diferencia relativista de velocidades, es decir, la velocidad que tendráel sistema en t +δt vista desde el sistema en t será ∆~v = γ2δv‖v +γδ~v⊥como puede verse fácilmente haciendo uso de la ley relativista de suma develocidades (2.1.22).

EJERCICIO: Demostrar esta afirmación. ♦Para relacionar los sistemas de referencia en los que el cuerpo que es-

tamos estudiando está en reposo obtenidos mediante boosts del sistemade laboratorio, aplicamos un doble boost: el primero de velocidad −~v para

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–25

Page 144: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

pasar del sistema en el que el cuerpo está en reposo en el instante t al sis-tema de laboratorio y el segundo de velocidad ~v +δ~v para pasar al sistemaen el que el cuerpo está en reposo en el instante t +δt . El resultado no esel sistema de referencia propio del cuerpo sino uno que está en reposo conrespecto a éste pero rotado un ángulo (EJERCICIO, ver problema 2.4)

δ~θ = γ2

(γ+1)c2~v ×δ~v . (4.3.28)

Por tanto, el sistema de referencia propio rota con una velocidad angular~ωT con respecto al sistema de referencia en reposo fiduciario del sistema delaboratorio determinada por

~ωT = lımδt→0

−δ~θδt

= γ2

(γ+1)c2~a ×~v . (4.3.29)

Si el cuerpo no está acelerado o su aceleración es solo tangencial, entoncesel sistema propio no rota con respecto al del laboratorio. Este fenómeno espuramente cinemático y se debe a la no conmutatividad de las transforma-ciones de Lorentz en distintas direcciones.

La evolución del momento angular intrínseco en el sistema de referenciafiduciario del sistema del laboratorio y, por tanto, no rotante, será

d~S

dt

∣∣∣∣no-rot

= d~S

dt

∣∣∣∣prop

+~ωT ×~S =~m× (~B ′−~ωT/ζ), (4.3.30)

es decir, el cuerpo ve un campo magnético efectivo ~B ′ef = ~B ′−~ωT/ζ.

4.4. Dinámica del campo electromagnético

Hasta ahora hemos considerado el campo electromagnético como uncampo externo en el que se mueven las partículas cargadas. Sin embargo,para poder estudiar el sistema cerrado que contenga tanto a las partículascargadas como al campo electromagnético, debemos incluir la dinámica del

4–26 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 145: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.4. Dinámica del campo electromagnético

campo electromagnético, es decir, debemos introducir un término cinéticopara A en la acción. Así, podremos obtener las ecuaciones de evolucióndel campo electromagnético, las ecuaciones de Maxwell, como las ecuacio-nes de Euler-Lagrange obtenidas al exigir que la acción sea extrema bajovariaciones del campo A.

El término cinético debe contener a lo sumo dos derivadas del potencialvector, debe ser a lo sumo cuadrático en A y debe ser invariante gauge yLorentz. El único invariante que satisface estas condiciones y que no esuna derivada total es FµνFµν/(4µ0). En última instancia, proporciona lasecuaciones de Maxwell como ecuaciones de movimiento, como veremos.

Además del término cinético, podríamos considerar la adición de otrostérminos que proporcionasen masa al campo electromagnético, autointe-racciones, etc. Puesto que estos términos, dan lugar a contribuciones queno están contempladas en las ecuaciones de Maxwell no los consideraremosaquí (ver problema 4.16).

Consideremos pues la acción

S = SL +S INT +SEM, (4.4.1)

donde SL es la acción libre de un sistema cargado (partículas o campos),

S INT = 1

c

∫d4x jµAµ (4.4.2)

es el término de interacción del sistema cargado con el campo electromag-nético y, por último, SEM es la acción del campo electromagnético libre

SEM =− 1

4cµ0

∫d4xFµνFµν. (4.4.3)

4.4.1. Ecuaciones de Maxwell

La derivada variacional de la acción total S con respecto a las variablesde configuración del sistema cargado nos proporcionan las ecuaciones de

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–27

Page 146: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

movimiento de dicho sistema, como ya hemos visto, y producen, en general,un término de fuerza de la forma jνFµν.

Por otro lado, la derivada variacional de la acción con respecto a Aµ nosproporciona las ecuaciones de Maxwell. En efecto,

∂µ∂L

∂(∂µAν)=−(cµ0)−1∂µFµν,

∂L

∂Aν= c−1 jν, (4.4.4)

y las ecuaciones del campo electromagnético son entonces

∂νFµν =µ0 jµ. (4.4.5)

Por ser Fµν antisimétrico, derivando esta ecuación obtenemos la ecuaciónde continuidad: ∂ν jν = 0. Las componentes temporal y espaciales de estaecuación son precisamente las ecuaciones de Maxwell con fuentes:

~∇·~E = ε−10 ρ, ~∇×~B + c−2∂t~E =µ0~j . (4.4.6)

Si bien es posible probar la covariancia de estas ecuaciones directamente,su obtención a partir de (4.4.5) la garantiza.

EJERCICIO: Probar la covariancia de las ecuaciones de Maxwell directa-mente. ♦

Así, podemos reunir las ecuaciones (4.1.35) y (4.4.5) en el conjunto com-pleto de ecuaciones de Maxwell en su formulación relativista explícitamentecovariante:

∂ν∗Fµν = 0, ∂νFµν =µ0 jµ. (4.4.7)

4.4.2. Leyes de conservación

La energía de una partícula cargada en un campo electromagnéticoexterno se conserva solo cuando el campo externo es independiente deltiempo. Análogamente, el momento de la partícula se conserva cuandoA es independiente de la posición espacial. Al introducir el campo elec-tromagnético como una cantidad dinámica, veremos que la energía y el

4–28 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 147: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.4. Dinámica del campo electromagnético

momento total del sistema partícula más campo se conservan puesto que lalagrangiana no depende de la posición espaciotemporal explícitamente.

Comencemos con el tensor de energía momento de una partícula libre.Sabemos que el cuadrimomento cinético p = mu es una cantidad conserva-da. En términos de la densidad de masa µ, podemos escribir p = ∫

d3~xµu.

Puesto que queremos encontrar un tensor T PL tal que pµ = ∫d3~x T 0µ

PL , unansatz adecuado es

T µνPL =µuµuν/(cγ). (4.4.8)

En efecto, µ/γ es invariante luego µu/γ es un vector (que resulta ser ladensidad de corriente de masa, análoga a la densidad de corriente de carga)y, por tanto, T PL es un tensor y T 0µ

PL =µuµ. Nos queda probar que T PL tienedivergencia nula (en ausencia de campos electromagnéticos):

∂µT µνPL = ∂µ

[µuµ/(cγ)

]uν+µuµ∂µuν/(cγ) =µuν/(cγ). (4.4.9)

El primer término se anula en virtud de la conservación de la masa. Así,para partículas libres, el tensor de energía-momento tiene divergencia nulaya que u = 0. En presencia de campos electromagnéticos, la ecuación demovimiento µuµ = ρuνFµν, nos permite escribir

∂µT µνPL = jµFνµ/c. (4.4.10)

Calculemos ahora el tensor de energía-momento del campo electromag-nético. Puesto que la acción es invariante Poincaré, podemos escoger estetensor simétrico. Como ya vimos, la expresión para este tensor es

T µνEM =LEMη

µν− ∂LEM

∂(∂µAρ)∂νAρ+∂ρ f ρµν, (4.4.11)

donde

f ρµν = 1

2(Sρµν+Sµνρ−Sνρµ), Sρµν =−i

∂LEM

∂(∂ρAσ)(Sµν)σλAλ (4.4.12)

y (Sµν)σλ =−iδσ[µδλν] es el operador de espín para campos de espín 1.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–29

Page 148: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

Haciendo todos estos cálculos, obtenemos la siguiente expresión pa-ra el tensor de energía-momento simétrico del campo electromagnético(EJERCICIO):

T µνEM =− 1

cµ0

(Fµ

λFλν+ 1

4ηµνFρσFρσ

), (4.4.13)

cuya divergencia, sobre soluciones clásicas es (EJERCICIO)

∂µT µνEM =−Fνρ jρ/c. (4.4.14)

Para campos electromagnéticos libres, esta divergencia se anula. Enpresencia de partículas cargadas, esta divergencia no se anula pero sí lohace la del tensor de energía momento total del sistema T = T PL +T EM:

∂µT µν = 0. (4.4.15)

Escribamos ahora las componentes del tensor de energía-momento entérminos de los campos eléctrico y magnético (EJERCICIO):

T 00EM = 1

2c(ε0~E

2 +µ−10~B 2) =U /c, T 0i

EM = 1

c2µ0(~E ×~B)i = Si /c2, (4.4.16)

T i jEM =−1

c(ε0E i E j +µ−1

0 B i B j )+ 1

2c(ε0~E

2 +µ−10~B 2)ηi j =−T i j

M /c, (4.4.17)

donde U es la densidad de energía del campo electromagnético y ~S esel vector de Poynting. Así, la componente 00 es la densidad de energíadel campo electromagnético, la componentes 0i constituyen el vector dePoynting y las componentes i j son el tensor de tensiones de Maxwell.

La divergencia nula del tensor de energía-momento total nos proporcio-na las ecuaciones de conservación de la densidad de energía y de momento.

Comencemos con la densidad de energía:

∂µT µ0PL =µu0/(cγ) =µ∂tγ= ∂tEC/c2 −γ∂tµ, (4.4.18)

donde EC = µγc2 es la densidad de energía cinética y el segundo términorepresenta la pérdida de densidad de masa. Por otro lado,

∂µT µ0EM = ∂tU /c2 +~∇·~S/c2, (4.4.19)

4–30 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 149: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.4. Dinámica del campo electromagnético

de manera que

0 = c2∂µT µ0 = ∂tEC −γc2∂tµ+∂t U +~∇·~S. (4.4.20)

La densidad de momento total también se conserva. En efecto, por unlado,

c∂µT µiPL =µui /γ=µ∂t (γv i ) = ∂t (µγv i )−γv i∂tµ (4.4.21)

Por otro lado,c∂µT µi

EM = ∂t Si /c −∂ j T j iM , (4.4.22)

de manera que

0 = c∂µT µi = ∂t (µγv i )−γv i∂tµ+∂t Si /c2 −∂ j T j iM . (4.4.23)

Podemos integrar las ecuaciones (4.4.20) y (4.4.23) en un volumen espa-cial que contenga a todas las partículas involucradas. Entonces obtenemos

dEc

dt+ dU

dt+

∫Σ

d2σ ~S · n = 0,dp i

dt+ dΠi

dt−

∫Σ

d2σ T i jM n j = 0, (4.4.24)

donde U y~Π es la energía y el momento del campo electromagnético conte-nido en el volumen que estamos estudiando, Ec y ~p son la energía cinéticay el momento cinético total de las partículas contenidas en ese volumen ylas integrales de superficie se extienden a toda la frontera bidimensional Σ(cuya normal es n) de dicho volumen.

4.4.3. Formulación hamiltoniana

Comencemos por calcular el momento canónico conjugado al potencialelectromagnético:

πi = c∂L

∂(∂t Ai )= c

∂LEM

∂(∂t Ai )= 1

cµ0F0i =−ε0Ei = ε0(∂t Ai +∂iφ),

π0 = c∂L

∂(∂t A0)= c

∂LEM

∂(∂t A0)= 0.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–31

Page 150: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

La densidad hamiltoniana electromagnética podemos entonces escribirlacomo

HEM =πi∂t Ai − cLEM = ε−10 ~π

2 −~π ·~∇φ− 1

2

[ε0~E

2 −µ−10 (~∇×~A)2]. (4.4.25)

Escribiendo ~E =−~π/ε0 e integrado el segundo término por partes obtene-mos

HEM = 1

2ε0~π2 + 1

2µ0(~∇×~A)2 +φ~∇·~π. (4.4.26)

Por tanto, la densidad hamiltoniana total del sistema será

H =√µ2c4 + c2( ~P −ρ~A)2 + 1

2ε0~π2 + 1

2µ0(~∇×~A)2 +φ(ρ+~∇·~π), (4.4.27)

dondeµ es la densidad de masa, ρ es la densidad de carga y ~P es la densidadde momento de la partícula.

Es importante notar que el potencial escalar φ es una variable canónicacuyo momento canónico se anula, es decir, que no tiene dinámica. El poten-cial escalar es, por tanto, un multiplicador de Lagrange que está forzando laligadura

~∇·~π=−ρ =⇒ ~∇·E = ε−10 ρ. (4.4.28)

En la formulación canónica de la electrodinámica, la ley de Gauss se ob-tiene como una ligadura y, en el lenguaje de las simetrías, la expresiónG =−ρ−~∇·~π es el generador de las transformaciones gauge:

Ai (t ,~x),

∫d3~yδα(~y)G(~y)

=−

∫d3~yδα(y)∂y, j Ai (x),π j (y)

=−∫

d3~yδα(~y)∂y,iδ3(~x −~y)

=∫

d3~yδ3(~x −~y)∂y,iδα(~y) = ∂iδα(~x)

= δAi (~x). (4.4.29)

4–32 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 151: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.4. Dinámica del campo electromagnético

4.4.4. Ecuación de onda

Las ecuaciones de Maxwell ∂νFµν =µ0 jµ se pueden escribir en términosdel potencial, simplemente introduciendo la definición de Fµν:

äAµ−∂µ(∂νAν) =−µ0 jµ. (4.4.30)

En el gauge de Lorenz, ∂νAν = 0, la ecuación de onda queda

äAµ =−µ0 jµ. (4.4.31)

La resolución de esta ecuación fue llevada a cabo en el tema 1 en térmi-nos de funciones de Green. Repetimos aquí el resultado. Las funciones deGreen retardada y avanzada G±(x , x ′) son soluciones de la ecuación

äG (x , x ′) =−δ4(x −x ′), (4.4.32)

que se pueden escribir como

G±(x , x ′) = δ(x ′0 −x ′0± )

4π‖~x ′−~x‖ , (4.4.33)

donde x ′0± = x0 ∓‖~x ′−~x‖ es el tiempo retardado (+) o avanzado (−).

Podemos escribir las funciones de Green avanzada y retardada en unaforma explícitamente invariante Lorentz. Para ello, notemos que

δ[(x ′−x)2]= δ[

(x ′0 −x0)2 −‖~x −~x ′‖2]= 1

2‖~x −~x ′‖[δ(x ′0 −x0 −‖~x −~x ′‖)+δ(

x ′0 −x0 +‖~x −~x ′‖)]= 1

2‖~x −~x ′‖[δ(x ′0 −x ′0

+ )+δ(x ′0 −x ′0− )

]. (4.4.34)

Si multiplicamos esta expresión por θ[±(x0−x ′0)

], solo uno de los términos

sobrevive en cada caso. Por tanto,

G±(x , x ′) = 1

2πθ[± (x0 −x ′0)

]δ[(x ′−x)2]. (4.4.35)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–33

Page 152: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

El factor δ[(x ′−x)2

]es invariante Lorentz. La función θ

[± (x0 −x ′0)]

no loes por sí sola. Sin embargo, multiplicada por la delta sí lo es. Para probarlo,basta con demostrar que si z0 ≡ x0 − x ′0 es positivo en un sistema de refe-rencia lo es en todos. Bajo un boost de velocidad v en la dirección e1, z0 setransforma en

z ′0 =Λ00z0 +Λ0

1z1 = γ(z0 − v z1/c). (4.4.36)

La función delta fuerza que z sea de género luz, es decir, que

z1 =±√

(z0)2 − (z2)2 − (z3)2. (4.4.37)

Por tanto,

z0z ′0 = γ[(z0)2 ±|v/c|z0

√(z0)2 − (z2)2 − (z3)2

]≥ γ(z0)2(1−|v/c|) = 1/

√1+|v/c| > 0,

(4.4.38)

es decir, z0 y z ′0 tienen siempre el mismo signo.

Entonces, la solución de la ecuación de onda para un campo electromag-nético generado por una fuente es

A(x) =µ0

∫d4x ′ j (x ′)G+(x , x ′) =µ0

∫d3~x ′ j (x ′0+ ,~x ′)

4π‖~x −~x ′‖ . (4.4.39)

Existen otras soluciones de la ecuación de onda que son de interés enfísica. La solución retardada más general es de la forma

A(x) = Ain(x)+µ0

∫d4x ′ j (x ′)G+(x , x ′), (4.4.40)

donde Ain(x) es una solución de la ecuación homogénea. La aparición delpropagador retardado asegura que en t →−∞, cuando no actúa la fuente,solo existe el campo Ain(x). La solución avanzada más general es de la forma

A(x) = Aout(x)+µ0

∫d4x ′ j (x ′)G−(x , x ′), (4.4.41)

donde Aout(x) es una solución de la ecuación homogénea. La aparición delpropagador avanzado asegura que en t →+∞, cuando no actúa la fuente,

4–34 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 153: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.4. Dinámica del campo electromagnético

solo existe el campo Aout(x). Así, la diferencia entre los campos asintóticosde salida Aout y de entrada Ain es:

Aout(x)− Ain(x) =µ0

∫d4x ′ jµ(x ′)G(x , x ′), (4.4.42)

donde G(x , x ′) =G+(x , x ′)−G−(x , x ′).

4.4.5. Lagrangiano de dos partículas hasta segundo orden

Como aplicación, calculemos el lagrangiano de dos partículas carga-das en interacción teniendo en cuenta las correcciones relativistas hastasegundo orden.

El lagrangiano completo para las dos partículas a y b será

L =−mac2√

1−~v2a/c2 −mbc2

√1−~v2

b/c2

+qa~va ·~Ab(t ,~xa)−qaφb(t ,~xa), (4.4.43)

donde Ab(t ,~xa) es el potencial electromagnético generado por la partículab en la posición~xa de la partícula a.

Si las velocidades son pequeñas, expandimos en serie hasta términosde orden O (v2/c2) incluidos. El término cinético para cada una de las partí-culas (donde hemos suprimido el término constante correspondiente a lasenergías en reposo) queda

1

2ma~v

2a +

1

8ma~v

4a/c2 +O (1/c4), (4.4.44)

y el potencial vector

Ab(t ,~xa) =µ0

∫d3~x ′ j b(t ′+,~x ′)

4π‖~xa −~x ′‖= µ0

∫d3~x ′

[ j b(t ,~x ′)‖~xa −~x ′‖ −

1

c∂t j b(t ,~x ′)

+ 1

2c2∂2

t j b(t ,~x ′)‖~xa −~x ′‖]+O (µ0/c3). (4.4.45)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–35

Page 154: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

En esta expresión, dado que las velocidades de las partículas son pequeñas,hemos expandido j b(t ′+,~x ′), con t ′+ = t −‖~x −~x ′‖/c, en potencias de 1/c. Elpotencial escalar hasta orden cero, es decir, ignorando términos de ordenO (µ0/c) (el mismo de la expansión que hemos hecho puesto de j 0 = cρ yA0 =φ/c), es

φb(~xa , t ) = µ0c2

qb

r+ µ0

8πqb∂

2t r +O (µ0/c), (4.4.46)

donde~r =~xa −~xb El potencial vector, también hasta orden O (µ0/c), que esmenor que el de la expansión original pero suficiente puesto que en total esel mismo que el de φ, queda

~Ab(t ,~xa) = µ0

qb~vb

r+O (µ0/c). (4.4.47)

Realicemos ahora una transformación gauge

φ′b =φb −∂tαb , ~A′

b = ~Ab +~∇aαb , αb = µ0

8πqb∂t r. (4.4.48)

Los nuevos potenciales son [teniendo en cuenta que µ0 = 1/(c2ε0) y la fór-mula (F.4.6)]

φ′b(t ,~ra) = 1

4πε0

qb

r+O (1/c),

~A′b(t ,~xa) = qb

4πε0c2

(~va

r+ 1

2∂t r

)+O (1/c3). (4.4.49)

Para evaluar ∂t r , debemos notar que~xa es fijo, puesto que es el punto en elque estamos evaluando el campo. Por tanto, la única dependencia temporales a través de~xb . Así,

∂t r = ∂t (~r /r ) = −~vb + (~vb · r )r

r(4.4.50)

y el potencial vector queda

~A′b(t~xa) = 1

8πε0c2

qb

r

[~vb + (~vb · r )r

]+O (1/c3). (4.4.51)

4–36 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 155: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.4. Dinámica del campo electromagnético

Podemos ya escribir el lagrangiano para dos partículas incluyendo hastael segundo orden en v/c:

L = 1

2ma~v

2a +

1

2mb~v

2b −

1

4πε0

qa qb

r+ 1

8ma~v

4a/c2 + 1

8mb~v

4b/c2

+ 1

8πε0c2

qa qb

r

[~va ·~vb + (~va · r )(~vb · r )

]. (4.4.52)

Tras definir los momentos canónicos hasta segundo orden en v/c y realizarla transformación de Legendre correspondiente, obtenemos el hamiltoniano

H = ~p2a

2ma+~p2

b

2mb+ 1

4πε0

qa qb

r− ~p4

a

8m3ac2

−~p4

b

8m3bc2

− 1

8πε0c2

qa qb

mambr

[~pa ·~pb + (~pa · r )(~pb · r )

]. (4.4.53)

También podemos estudiar este problema en el centro de inercia. Eneste sistema de referencia, el momento total se anula, luego ~p := ~pa =−~pb y~r son las nuevas coordenadas canónicas y, por tanto,

HCI = 1

2

( 1

ma+ 1

mb

)~p2 + 1

4πε0

qa qb

r− 1

8c2

( 1

m3a+ 1

m3b

)~p4

+ 1

8πε0c2

qa qb

mambr

[~p2 + (~p · r )2]. (4.4.54)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–37

Page 156: Edc Garay Notas
Page 157: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.5. Ejercicios

4.5. Ejercicios

4.1 Encontrar la trayectoria de una partícula en un campo electromagnéticoconstante y uniforme tal que los campos eléctrico y el magnético tienen lamisma magnitud (‖~E‖ = c‖~B‖), cuando

a. ambos son paralelos;

b. ambos son perpendiculares.

4.2 Determinar la frecuencia de vibración de un oscilador cargado en uncampo magnético constante en el límite no relativista.

4.3 Dado un campo electromagnético,

a. ¿Es posible que sea puramente eléctrico en un inercial y puramentemagnético en otro?

b. ¿Qué deben cumplir los campos eléctrico y magnético para queexista un inercial sin campo eléctrico?

c. Determinar la velocidad del sistema de referencia en el que el campoeléctrico y el magnético son paralelos.

4.4 Sea un cierto sistema de referencia en el que hay un campo eléctricoy otro magnético que forman un ángulo θ y tales que su intensidad es‖~B‖ = 2‖~E‖/c.

a. Determinar la velocidad relativa del sistema en el que ambos camposson paralelos.

b. Describir los campos en ese sistema en los casos θ→ 0 y θ =π/2.

4.5 Un cable cargado de longitud infinita y sección despreciable se muevecon velocidad uniforme en dirección paralela al mismo.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–39

Page 158: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

a. Hallar los campos eléctrico y magnético en el sistema de referenciadel cable y en el sistema de referencia del laboratorio.

b. Hallar las densidades de carga y de corriente del cable en ambossistemas de referencia.

c. Calcular los campos eléctrico y magnético en el sistema de referen-cia del laboratorio partiendo del resultado del apartado anterior ycomparar con los obtenidos en el apartado a).

4.6 En el sistema de referencia propio SRI’ de un medio conductor, la densi-dad de corriente satisface la ley de Ohm ~j ′ =σ~E ′.

a. Teniendo en cuenta que pueden existir corrientes de convecciónademás de las de conducción, demostrar que la generalización cova-riante de la ley de Ohm

jµ+uν jνuµ/c2 =σFµνuν,

donde u es la velocidad del medio.

b. Demostrar que, si el medio tiene velocidad ~v con respecto a algúninercial, entonces la densidad de corriente en ese inercial es

~j = γσ[~E +~v ×~B −~v(~v ·~E)

]+ρ~v ,

donde ρ es la densidad de carga en ese inercial.

c. Si el medio es neutro en su sistema en reposo, ¿cuál es la densidad decarga y de corriente en el sistema de referencia del apartado anterior?

4.7 Comparar la fuerza entre dos electrones separados por una distancia deD , en los siguientes casos:

(i) ambos están en reposo;

4–40 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 159: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.5. Ejercicios

(ii) ambos se mueven con una velocidad relativista común perpendiculara su separación.

4.8 Determinar el centro de inercia de un sistema de partículas cargadas eninteracción (hasta segundo orden).

4.9 El campo magnético terrestre puede representarse por un dipolo mag-nético de momento M = 8,1 ·1025 gauss·cm3 orientado hacia el sur. Consi-deremos el movimiento de electrones energéticos en las proximidades de laTierra (cinturón de electrones de Van Allen).

a. Probar que la ecuación de las líneas de campo es r = r0 sen2θ, dondeθ es el ángulo polar, y calcular la magnitud del campo magnético alo largo de cualquier línea de fuerza como función del ángulo polar.

b. Una partícula con carga positiva gira alrededor de una línea de fuerzaen plano ecuatorial con radio de giro a y distancia media al centrode la Tierra R, donde a ¿ R. Probar que el azimut de la partículacambia linealmente con el tiempo (aproximadamente) de acuerdocon la fórmula

φ=φ0 − 3

2

( a

R

)2ωB (t − t0),

donde ωB es la frecuencia de sincrotrón a la distancia R.

c. Si, además de este movimiento circular, la partícula tiene una pe-queña componente de la velocidad paralela a las líneas de campo,demostrar que oscila alrededor del plano ecuatorial con frecuencia

Ω= 3p2

a

RωB .

Calcular el cambio en la longitud por cada ciclo de oscilación enlatitud.

d. Calcular cuánto tiempo le cuesta a un electrón que se halla a 3·107 mdar una vuelta a la Tierra y cuánto le cuesta hacer una oscilación enlatitud si la energía del electrón es 10 Mev. Ídem si tiene una energíade 10 keV.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–41

Page 160: Edc Garay Notas

TEMA 4. PARTÍCULAS CARGADAS Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS [v.1.0]

4.10 Una partícula cargada y con espín se mueve con velocidad no relati-vista en un campo electrostático central. Calcular la energía de interaccióndel espín con el campo eléctrico en el orden más bajo no nulo, teniendo encuenta la precesión de Thomas.

4.11 Una densidad lagrangiana para el campo electromagnético es

L =− 1

2cµ0∂µAν∂

µAν+ 1

cjµAµ.

a. Encontrar las ecuaciones de movimiento y decidir en qué condicio-nes coinciden con las ecuaciones de Maxwell.

b. Demostrar que bajo ciertas condiciones esta densidad lagrangiana sediferencia de la estándar en una divergencia. ¿Afecta esta divergenciaa la acción y/o a las ecuaciones de movimiento?

4.12 Consideremos las ecuaciones de Maxwell en vacío.

a. Demostrar que äFµν = 0.

b. ¿Qué condición debe satisfacer k para que la onda plana fµνe i k ·x seasolución de esta ecuación?

c. Sean dos sistemas inerciales con velocidad relativa~v . Demostrar quela ley de transformación para las frecuencias es

ω′ = γω[1− (v/c)cosθ],

donde θ es el ángulo formado por~k y ~v . Si θ′ es el ángulo formadopor~k ′ y ~v , demostrar que

tanθ′ = senθ

γ(cosθ− v/c).

4.13 ¿Es admisible la condición de fijación de gauge AµAµ = 0? Si lo es, ¿cuáles el gauge residual?

4–42 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 161: Edc Garay Notas

[v.1.0] 4.5. Ejercicios

4.14 Hallar la fuerza que ejerce una onda electromagnética plana sobre unapared conductora perfecta. Ídem si la pared perfectamente absorbente.

4.15 Sean dos planos paralelos con densidades superficiales de carga igua-les en módulo y de signos opuestos. Uno de ellos se mueve paralelamentea sí mismo y el otro se aleja en la dirección perpendicular a ambos planos.Analizar las fuerzas que actúan sobre las cargas de ambos planos y discutirel resultado a la luz de la ley de conservación del momento lineal.

4.16 Considerar la densidad lagrangiana de Proca

LP =− 1

4cµ0FµνFµν+ 1

cjµAµ+ 1

2cµ0m2 AµAµ.

1. Encontrar las ecuaciones de movimiento e interpretar el último tér-mino. ¿Qué es m y en qué unidades está medido?

2. ¿Cómo afecta este término a la invariancia gauge?

3. Calcular el tensor de energía-momento y escribir las ecuaciones deconservación.

4.17 Consideremos la siguiente acción, que describe un campo axiónicoa(x) acoplado a un campo gauge Aµ(x) cuya intensidad es Fµν(x):

S =− 1

2

∫d4x∂µa∂µa − 1

4

∫d4xFµνFµν

− 1

f

∫d4x

[aFµν

∗Fµν−2∂µ(a Aν

∗Fµν)]

,

donde ∗F es el dual de F y f es una constante.

1. ¿Bajo qué condiciones es esta acción invariante Lorentz?

2. Escribir las ecuaciones dinámicas.

3. Demostrar que esta acción es invariante bajo la transformación delcampo a(x) → a(x)+ε, donde ε es una constante.

4. Calcular la corriente Noether asociada a esta invariancia.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 4–43

Page 162: Edc Garay Notas
Page 163: Edc Garay Notas

[v.1.0]

Tema 5

Radiación electromagnética

5.1. Radiación por cargas en movimiento

5.1.1. Campo generado por una partícula cargada

5.1.2. Potencia radiada por una carga acelerada

5.1.2.1. Partícula no relativista

5.1.2.2. Partícula relativista

5.1.3. Distribución espectral y angular de la potencia

5.1.3.1. Estimaciones

5.1.3.2. Amplitud espectral y angular

5.2. Reacción de la radiación

5.2.1. Estimación de los efectos radiativos

5.2.2. Fuerza de reacción radiativa

5.2.3. Renormalización electrodinámica de la masa

5.3. Radiación multipolar

5.3.1. Radiación dipolar eléctrica

5.3.2. Radiación dipolar magnética y cuadrupolar eléctrica

5.3.3. Intensidad de radiación multipolar

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 5–1

Page 164: Edc Garay Notas

TEMA 5. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA [v.1.0]

5.4. Ejercicios

5–2 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 165: Edc Garay Notas

[v.1.0] 5.1. Radiación por cargas en movimiento

5.1. Radiación por cargas en movimiento

5.1.1. Campo generado por una partícula cargada

Comenzaremos por calcular el potencial electromagnético generado poruna partícula cargada que se mueve a lo largo de una trayectoria z(τ) dada.Podemos escribir la densidad de corriente para esta partícula

j (x ′) = qc∫

dτu(τ)δ4[x ′− z(τ)]. (5.1.1)

Por otro lado, el potencial electromagnético generado por una densidad decorriente es

A(x) = µ0

∫d4x ′ j (x ′)θ(x0 −x ′0)δ

[(x ′−x)2]. (5.1.2)

Combinando ambas expresiones obtenemos

A(x) = qµ0c

∫dτu(τ)

∫d4x ′θ(x0 −x ′0)δ

[(x ′−x)2]δ4[x ′− z(τ)]

= qµ0c

∫dτu(τ)θ[R0(τ)]δ[R(τ)2], (5.1.3)

donde R(τ) := x − z(τ). Para calcular la integral sobre el tiempo propio τ,notemos que la función delta de Dirac solo da contribución en aquellos τ0

para los que R(τ0) está sobre el cono de luz, es decir, R(τ0)2 = 0 lo que impli-ca que R0(τ0) =±‖~R(τ0)‖. Además, la función paso de Heaviside garantizaque solo contribuye el tiempo retardado R0(τ0) > 0, es decir, x0 > z0(τ0), loque nos obliga a considerar solo la solución con signo positivo. Por tanto,

θ[R0(τ)]δ[R(τ)2] = 1

2|R ·u|δ(τ−τ0), R0(τ0) = ‖~R(τ0)‖. (5.1.4)

Así, el potencial electromagnético queda

A(x) = µ0c

qu

|R ·u|∣∣∣∣τ0

, (5.1.5)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 5–3

Page 166: Edc Garay Notas

TEMA 5. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA [v.1.0]

donde τ0 está determinado por la condición de tiempo retardado

R0(τ0) = ‖~R(τ0)‖, es decir, x0 − z0(τ0) = ‖~x −~z(τ0)‖. (5.1.6)

Definiendo t ′+ := z0(τ0)/c, la condición de tiempo retardado se traduceen evaluar todas las dependencias temporales en el tiempo retardado t ′+,solución de la ecuación t ′+ = t −‖~R(t ′+)‖ [conviene notar que, estrictamente,el argumento de ~R es τ0 tal que ct ′+ = z0(τ0)]. En este tema, por sencillezen la notación, eliminaremos el subíndice “+” del tiempo retardado, quedenotaremos simplemente por t ′.

También podemos escribir este potencial en forma no covariante. Paraello, notemos que el denominador es

|R ·u|ret = γc∣∣−R0 +~v ·~R/c

∣∣ret = γcR(1−~v · R/c)

∣∣ret, (5.1.7)

donde R = ‖~R‖, R = ~R/R es el vector unitario en la dirección de ~R y “ret”indica que estamos evaluando la expresión en τ0 o en el tiempo retardadot ′ (es decir, sustituyendo la dependencia en t por t ′), según el contexto.Entonces,

φ(t ,~x) = 1

4πε0

q

R(1−~v · R/c)

∣∣∣∣ret

, ~A(t ,~x) = µ0

q~v

R(1−~v · R/c)

∣∣∣∣ret

. (5.1.8)

De la expresión (5.1.5) para el potencial electromagnético, podemos ob-tener directamente el campo electromagnético F mediante diferenciación.Sin embargo, es más sencillo derivar la expresión (5.1.3). Comencemos porevaluar ∂νAµ.

∂νAµ =qµ0c

∫dτuµ∂ν

[θ(R0)δ(R2)

]=qµ0c

∫dτuµ

[δ0νδ(R0)δ(R2)+θ(R0)∂νδ(R2)

]. (5.1.9)

Para calcular el segundo término, notemos que

∂νδ(R2) = ∂νR2 d

dR2δ(R2) = ∂νR2 d

dτδ(R2)

(dR2

)−1, (5.1.10)

5–4 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 167: Edc Garay Notas

[v.1.0] 5.1. Radiación por cargas en movimiento

de manera que

∂νδ(R2) =− Rν

R ·u

d

dτδ(R2). (5.1.11)

Si introducimos este término en la expresión para ∂νAµ e integramos porpartes, obtenemos

∂νAµ = qµ0c

∫dτ

[(uµδ

0ν+

u0uµRν

R ·u

)δ(R0)+θ(R0)

d

(uµRν

R ·u

)]δ(R2).

(5.1.12)El primer término solo contribuye en ~R = 0. Nosotros consideraremos pun-tos que no están en la trayectoria de la partícula~x 6=~z(τ), es decir, puntostales que ~R(τ) 6= 0. Por tanto, el primer término no da ninguna contribución.El segundo tiene la misma forma que la expresión (5.1.3) si reemplazamos lavelocidad por el factor con la derivada y, para obtener el resultado deseado,basta con hacer esta sustitución en la fórmula (5.1.5). Así, el tensor campoelectromagnético fuera de la trayectoria de la partícula es

Fµν = ∂µAν−∂νAµ = µ0c

q

R ·u

d

(Rµuν−RνuµR ·u

)∣∣∣∣ret

. (5.1.13)

Vemos que el campo electromagnético depende tanto de la velocidad de lapartícula como de su aceleración. Esta dependencia queda explícita si desa-rrollamos la derivada con respecto al tiempo propio. Entonces, en términosde la velocidad u = z y de la aceleración b = u, el campo electromagnéticoadquiere la forma

F = F vel +F rad, (5.1.14)

donde

F velµν =− 1

4πε0

cq

(R ·u)3(Rµuν−Rνuµ)

∣∣∣ret

, (5.1.15)

F radµν = q

4πε0c

1

(R ·u)3

[RσRµ(uσbν−uνbσ)− (µ↔ ν)

]∣∣∣ret

. (5.1.16)

En estas expresiones, vemos que la parte que solo depende de la velocidadF vel decae con la distancia como 1/R2 y es, por tanto, de corto alcance

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 5–5

Page 168: Edc Garay Notas

TEMA 5. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA [v.1.0]

comparada con la parte que depende de la aceleración F rad puesto que estaúltima decae como 1/R. Es el llamado campo de radiación .

Teniendo en cuenta que, como ya vimos en el tema 2,

b = (γ4~v ·~a/c,γ4(~v ·~a)~v/c2 +γ2~a

), (5.1.17)

el campo eléctrico y el campo magnético quedan

~E(t ,~x) = q

4πε0

1

(1−~v · R/c)3

R −~v/c

γ2R2+ R × [(R −~v/c)×~a]

c2R

∣∣∣∣ret

, (5.1.18)

~B(t ,~x) = R(t ′)×~E(t ,~x)/c. (5.1.19)

El primer término del campo eléctrico es el campo que depende solo de lavelocidad ~Evel y, en el límite v/c → 0, es el campo de Coulomb. El segundotérmino, que depende de la aceleración, es el campo de radiación ~Erad. Sinuestro punto de observación está colocado a gran distancia de la carga quegenera el campo, solo veremos el campo de radiación, puesto que el quedepende de la velocidad decae con el cuadrado de la distancia. Entonces,en esta zona lejana , el campo electromagnético está determinado por ~Erad.Además, veremos en la siguiente sección que el término que depende solode la velocidad no contribuye a la energía emitida por la partícula.

5.1.2. Potencia radiada por una carga acelerada

El vector de Poynting correspondiente al campo de radiación determinael flujo de energía

~S = 1

µ0

~Erad ×~Brad = 1

µ0c~Erad × [R(t ′)×~Erad] = 1

µ0c~E 2

radR(t ′). (5.1.20)

Por tanto, la potencia radiada en elemento de superficie esférico de radioR(t ′) será

dP = (~S · R)R2d2Ω= 1

µ0c~E 2

radR2d2Ω, (5.1.21)

5–6 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 169: Edc Garay Notas

[v.1.0] 5.1. Radiación por cargas en movimiento

de donde obtenemos la distribución angular de potencia

dP

d2Ω= 1

µ0c~E 2

radR(t ′)2. (5.1.22)

Sustituyendo la expresión del campo eléctrico en la zona de radiación, dadopor el segundo término de la ecuación (5.1.18), obtenemos

dP

d2Ω= q2

16π2ε0c3

R × [(R −~v/c)×~a]

2

(1−~v · R/c)6

∣∣∣∣ret

. (5.1.23)

Esta expresión nos proporciona la distribución angular de energía radiadapor unidad de tiempo de observación t . Sin embargo, en general, la cantidadrelevante es la distribución angular de energía por unidad de tiempo dela partícula, es decir, de tiempo retardado t ′, de manera que la energíatotal radiada W esté dada por la integral sobre t ′. La relación entre ambaspotencias P = dW /dt (en tiempo de observación) y P ′ = dW /dt ′ (en tiemporetardado) se obtiene mediante la relación de ambos tiempos

t = t ′+‖~R(t ′)‖/c, dt = [1−~v(t ′) · R(t ′)/c]dt ′, (5.1.24)

de forma que

P ′ = dW

dt ′= dt

dt ′dW

dt= (1−~v · R/c)

∣∣retP. (5.1.25)

Así, la distribución angular de potencia en tiempo retardado adquiere laexpresión

dP ′

d2Ω= q2

16π2ε0c3

R × [(R −~v/c)×~a]

2

(1−~v · R/c)5

∣∣∣∣ret

. (5.1.26)

En este cálculo de la potencia radiada no hemos incluido la contribuciónde los campos que dependen solo de la velocidad. Es fácil ver que estacontribución contiene términos que decaen con 1/R y 1/R2 y que, por tanto,en la zona lejana se anulan. La energía correspondiente a estos canales nollega al infinito y, en este sentido, podemos considerarla como un aura de lapartícula cargada.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 5–7

Page 170: Edc Garay Notas

TEMA 5. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA [v.1.0]

~aφϑ

Figura 5.1: Diagrama de radiación (distribución angular de potencia) emi-tida por una partícula cargada no relativista. La figura, que tiene simetríade revolución alrededor de la aceleración, muestra el diagrama en un planoque contiene a ésta.

5.1.2.1. Partícula no relativista

Supongamos que la velocidad de la carga que genera el campo es pe-queña o, en otras palabras, la observamos desde un inercial en el que suvelocidad es pequeña. Entonces, si nos quedamos con el orden más bajoen v/c de la expresión anterior, la potencia radiada por unidad de ángulosólido adquiere la forma

dP ′ = q2

16π2ε0c3[R × (R ×~a)]2

∣∣retd

= q2

16π2ε0c3~a2 sen2ϑ

∣∣retd

2Ω, (5.1.27)

donde ϑ es el ángulo que forma la dirección de observación R con la ace-leración ~a. Así, la máxima cantidad de radiación se obtiene en la direcciónperpendicular a la aceleración, sea cual sea la dirección de la velocidad(pequeña), como se muestra en la figura 5.1.

5–8 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 171: Edc Garay Notas

[v.1.0] 5.1. Radiación por cargas en movimiento

La potencia total radiada se obtiene integrando sobre todo el ángulo sóli-do y resulta así la fórmula de Larmor para una partícula cargada aceleradano relativista:

P ′ = q2~a2

6πε0c3

∣∣∣∣ret

. (5.1.28)

Notemos que el tiempo de observación t y el retardado t ′ se diferencianen términos de orden v/c (aparte del origen de tiempos) y, por tanto, en laaproximación no relativista coinciden:

t = t ′+‖~x‖/c +O (v/c), dt = dt ′+O (v/c). (5.1.29)

5.1.2.2. Partícula relativista

La fórmula de Larmor (5.1.28) es estrictamente válida en el sistema dereferencia en el que la partícula está en reposo. Para encontrar la potenciaradiada en cualquier otro sistema de referencia (es decir, para cargas convelocidades arbitrarias), debemos notar que la potencia es la derivada tem-poral de la energía, que es la componente temporal de un cuadrivector cΠµ.

Las componentes espaciales de este cuadrivector son precisameffnteel momento del campo electromagnético~Π= ∫

d3~x~S/c2. Puesto que, en elinercial en el que la partícula está en reposo, el momento en direccionesopuestas es igual en magnitud pero de sentido contrario (ver figura 5.1), estaintegral se anula. Más explícitamente, el vector de Poynting es

~S ∝ P ′R−2 sen2θR. (5.1.30)

El promedio angular sus componentes perpendiculares al eje de simetríaobviamente se anula. El promedio de la componente paralela contiene unaintegral angular de la forma

∫ π0 dθ sen3θcosθ que también se anula.

Además, en este sistema de referencia, la cuadriaceleración es b = (0,~a),es decir, ~a2 = b2. Así, en este sistema de referencia,

dΠ0 = q2

6πε0c4b2

∣∣retdt ′, dΠi = 0, (5.1.31)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 5–9

Page 172: Edc Garay Notas

TEMA 5. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA [v.1.0]

que, en forma covariante válida en cualquier sistema de referencia inercial,queda

dΠµ = q2

6πε0c5b2dxµ

∣∣ret. (5.1.32)

Si escribimos el cuadrado de la cuadriaceleración en términos de la acelera-ción y velocidad tridimensionales,

b2 =−γ8(~v ·~a)2/c2 + [γ4(~v ·~a)~v/c2 +γ2~a]2

= γ6[~a2 + (~v ·~a)2/c2 −~v2~a2/c2] = γ6[~a2 − (~v ×~a)2/c2], (5.1.33)

la potencia en un inercial arbitrario queda

P ′ = cdΠ0

dt ′= q2

6πε0c3γ6[~a2 − (~v ×~a)2/c2]

∣∣ret. (5.1.34)

Si llamamos α al ángulo entre la velocidad y la aceleración, vemos que lapotencia P ′

0 emitida cuando la velocidad y la aceleración son paralelas es

P ′0 =

q2

6πε0c3γ6~a2

∣∣ret (5.1.35)

y que ésta es la máxima potencia, es decir, que

P ′α/P ′

0 = [1− (v2/c2)sen2α]ret ≤ 1. (5.1.36)

El caso más desfavorable se obtiene cuando la velocidad y la aceleraciónson perpendiculares, en cuyo caso

P ′π/2 = γ−2P ′

0. (5.1.37)

5.1.3. Distribución espectral y angular de la potencia

5.1.3.1. Estimaciones

En general, la distribución angular de la potencia depende de la di-rección relativa entre la velocidad y la aceleración. Hemos visto que, para

5–10 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 173: Edc Garay Notas

[v.1.0] 5.1. Radiación por cargas en movimiento

velocidades no relativistas, tal dependencia desaparece y la potencia seemite en la dirección perpendicular a la aceleración y en ambos sentidos.En el caso ultrarrelativista, la situación es completamente diferente, comoveremos a continuación. Para ello, elegimos un parámetro que sea peque-ño en este límite para poder hacer una expansión en serie. Puesto queγ−1 =

p1− v2/c2 → 0 cuando v → c, escogeremos γ−1 ¿ 1 como paráme-

tro de expansión ultrarrelativista. El numerador de la distribución angularde potencia, dada por la ecuación (5.1.23), dependerá de los detalles de latrayectoria de la partícula, pero permanecerá dentro de un rango finito. Eldenominador, sin embargo, es una potencia de

1−~v ·R/c = 1−(v/c)cosθ = 1−√

1−γ−2 cosθ ∼ 1−cosθ+O (γ−2), (5.1.38)

donde θ es el ángulo que forma la dirección de observación R con la velo-cidad ~v . Así, la máxima potencia de radiación ocurrirá aproximadamenteen aquellas direcciones de observación para las que esta cantidad sea míni-ma [salvo términos O (γ−2)], es decir, para ángulos θmáx de la dirección deobservación con la velocidad tal que

cosθmáx ∼ 1+O (γ−2), θmáx ∼O (γ−1). (5.1.39)

En esta dirección, 1−~v · R/c ∼O (γ−2). Además, debido a que esta cantidadaparece elevada a la quinta potencia, la radiación en las demás direccionesestá fuertemente suprimida. Por tanto, la casi totalidad de la radiacióntiene lugar a la largo de las generatrices de un cono muy agudo de ánguloaproximadamente igual a γ−1, es decir, prácticamente en la dirección ysentido del movimiento de la partícula.

Como ilustración, podemos calcular la distribución en el caso en el quela velocidad y la aceleración son paralelas (ver figura 5.2). Entonces,

dP ′

d2Ω= q2

16π2ε0c3

|R × (R ×~a)|2(1−~v · R/c)5

∣∣∣ret

= q2~a2

16π2ε0c3

sen2θ

[1− (v/c)cosθ]5

∣∣∣ret

. (5.1.40)

El máximo de esta distribución se obtiene para

cosθmáx =p

1+15v2/c2 −1

3v/c. (5.1.41)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 5–11

Page 174: Edc Garay Notas

TEMA 5. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA [v.1.0]

~a‖~vφ

θmáx = 1

2γv ¿ cv . c

Figura 5.2: Diagrama de radiación emitida por una partícula cargada quese mueve con aceleración paralela a la velocidad en los casos de velocidadno relativista y ultrarrelativista. La figura, que tiene simetría de revoluciónalrededor de la velocidad, muestra el diagrama en un plano que contiene aésta. La figura no está a escala.

Para velocidades no relativistas v ¿ c, recuperamos los resultados de lasección 5.1.2.1, es decir, la dirección de máxima radiación es perpendicu-lar a la dirección de movimiento: θmáx ∼ π/2+O (v/c). Para velocidadesultrarelativistas, v/c ∼ 1−γ−2/2, de forma que

cosθmáx ∼ 1− 1

8γ−2, θmáx ∼ 1

2γ(5.1.42)

y la potencia emitida en esta dirección es

dP ′

d2Ω

∣∣∣∣máx, v . c

∼ γ8 dP ′

d2Ω

∣∣∣máx, v ¿ c

(5.1.43)

Para estimar la frecuencia de la radiación emitida por una partículacargada ultrarrelativista, hagamos uso del siguiente argumento cualitativo.Sea a⊥ la norma de la componente de la aceleración perpendicular a lavelocidad. Entonces, la velocidad angular de la partícula será, aproximada-mente, a⊥/v . Puesto que la partícula emite en una apertura angular γ−1,

5–12 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 175: Edc Garay Notas

[v.1.0] 5.1. Radiación por cargas en movimiento

nos irradiará durante un tiempo γ−1v/a⊥. El frente del pulso viajará duranteese tiempo una distancia γ−1vc/a⊥. Por otro lado, la parte trasera del pulsoestará en la posición de la partícula en ese instante γ−1v2/a⊥. El tamaño delpulso será pues la diferencia de ambas cantidades

∆λ∼ vc

γa⊥(1− v

c) ∼ vc

2γ3a⊥. (5.1.44)

Por tanto, la frecuencia será

ω∼ c

2∆λ∼ a⊥

vγ3. (5.1.45)

5.1.3.2. Amplitud espectral y angular

Si definimos

~A (t ,Ω) := 4π

µ0R(t ′)~Erad(t ,~x) = q

R × [(R −~v/c)×~a]

(1−~v · R/c)3

∣∣∣ret

, (5.1.46)

integramos la distribución angular de potencia (5.1.23) sobre todo el tiempoe introducimos la constante κ2 := µ0/(16π2c), obtenemos la distribuciónangular de energía radiada

dW

d2Ω= κ2

∫dt ‖ ~A (t ,Ω)‖2. (5.1.47)

En lugar de utilizar la dependencia temporal, nos interesamos por ladistribución espectral. Para ello, introducimos la transformada de Fourierde ~A (t ,Ω):

~A (ω,Ω) = 1p2π

∫ ∞

−∞dt ~A (t ,Ω)e iωt . (5.1.48)

Es interesante notar que, puesto que ~A (t ,Ω) es real, ~A∗

(ω,Ω) = ~A (−ω,Ω).Entonces, la distribución angular de la energía radiada se puede escribir

dW

d2Ω= κ2

∫ ∞

−∞dω‖ ~A (ω,Ω)‖2 = 2κ2

∫ ∞

0dω‖ ~A (ω,Ω)‖2 =

∫ ∞

0dω

d2W

d2Ωdω,

(5.1.49)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 5–13

Page 176: Edc Garay Notas

TEMA 5. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA [v.1.0]

donde hemos definido la distribución angular y espectral de la energía deradiación como

d2W

d2Ωdω:= 2κ2‖ ~A (ω,Ω)‖2. (5.1.50)

La expresión (5.1.46) nos permite calcular ~A (ω,Ω) y, por tanto, estadistribución de intensidad:

~A (ω,Ω) = qp2π

∫ ∞

−∞dte iωt R × [(R −~v/c)×~a]

(1−~v · R/c)3

∣∣∣∣ret

, (5.1.51)

donde debemos notar la evaluación en el tiempo retardado t ′. El cambio devariable de integración de t a t ′ = t −R(t ′)/c, tal que dt = dt ′(1−~v · R/c)),nos permite escribir esta integral de la siguiente forma:

~A (ω,Ω) = qp2π

∫ ∞

−∞dt ′e iω[t ′+R(t ′)/c] R × [(R −~v/c)×~a]

(1−~v · R/c)2

∣∣∣∣t ′

. (5.1.52)

Por otro lado, si suponemos que el punto de observación está muy alejadode la zona en la que se halla la carga acelerada,

R = ‖~x −~z‖ = ‖~x‖[1− R ·~z/‖~x‖+O (~z2/~x2)]∼ ‖~x‖− R ·~z. (5.1.53)

Además, el vector R es aproximadamente constante puesto que estamossuponiendo que la extensión de la zona en la que se mueve la partícula esmucho menor que la distancia de observación (conviene notar que, aunqueR apunte aproximadamente en la misma dirección, puede variar rápida-mente de forma que su derivada no se anule). Así,

~A (ω,Ω) = qp2π

e iω‖~x‖∫ ∞

−∞dt ′e iω[t ′−R·~z(t ′)/c] R × [

(R −~v/c)×~a](1−~v · R/c)2

∣∣∣∣t ′

. (5.1.54)

La distribución de intensidad solo depende del módulo de esta expresión y,por tanto, el factor de fase global e iω‖~x‖ es irrelevante.

Es posible obtener otra expresión para la amplitud ~A (ω,Ω) que involu-cra solo la trayectoria~z(t) y la velocidad ~v(t) de la partícula cargada. Paraello, escribimos (EJERCICIO)

R × [(R −~v/c)×~a]

(1−~v · R/c)2= d

dt

R × (R ×~v)

1− R ·~v/c. (5.1.55)

5–14 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 177: Edc Garay Notas

[v.1.0] 5.2. Reacción de la radiación

Una integración por partes nos proporciona el resultado (salvo faseglobal) para la amplitud

~A (ω,Ω) = qωp2π

lımε→0

∫ ∞

−∞dt ′e iω[t ′−R·~z(t ′)/c]−ε|t ′|R × (R ×~v)

∣∣t ′ . (5.1.56)

En esta expresión, hemos añadido un factor de convergencia e−ε|t ′| quegarantiza la validez de esta expresión teniendo en cuenta que para tiemposgrandes la velocidad es constante (duración finita de la aceleración).

Si tenemos una densidad de carga en vez de una sola partícula, la ampli-tud espectral y angular ~A (ω,Ω) se puede escribir

~A (ω,Ω) = ωp2π

lımε→0

∫ ∞

−∞dt ′

∫d3~x ′ e iω[t ′−R·~x/c]−ε|t ′|R × (R ×~j )

∣∣t ′ . (5.1.57)

Para obtener esta expresión, basta con reemplazar en la expresión anterior

q~v(t ′)e−iωR·~z(t ′)/c −→∫

d3~x ′ ~j (t ′,~x ′)e−iωR·~x ′/c , (5.1.58)

como es fácil comprobar (EJERCICIO).

5.2. Reacción de la radiación

5.2.1. Estimación de los efectos radiativos

Los efectos de la radiación se pueden ignorar en ciertas condiciones, queestán definidas por el régimen en el que la energía radiada es notablementemenor que la energía característica del sistema, aunque tendrá efectosacumulativos. Supongamos que una partícula no relativista está sometidaa una fuerza que produce una aceleración a durante un tiempo T . De lafórmula de Larmor (5.1.28), podemos obtener la energía total radiada en esetiempo T :

Erad ∼ q2a2T

6πε0c3= ma2ξT, (5.2.1)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 5–15

Page 178: Edc Garay Notas

TEMA 5. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA [v.1.0]

donde hemos definido el tiempo característico electromagnético de la par-tícula como ξ= q2/(6πε0mc3). Nótese que esta relación también se puedeescribir como una comparación entre la energía en reposo y la electro-magnética a una distancia cξ, puesto que podemos escribirla de la formamc2 = q2/(6πε0cξ). Esta distancia cξ recibe a menudo el nombre de radioclásico de la carga puntual.

Supongamos que una partícula en reposo se acelera durante un tiem-po finito T . La energía característica del sistema será su energía cinéticaEc ∼ ma2T 2. Entonces, los efectos de la radiación serán despreciables siErad ¿ Ec, lo que implica que T À ξ, es decir, para tiempos de actuación dela aceleración mucho mayores que el tiempo característico electromagnéti-co de la partícula.

Si la partícula cargada sigue un movimiento periódico, el tiempo de ace-leración T será el periodo y la aceleración a ∼ r /T 2 donde r es la amplituddel movimiento. La energía característica de la partícula será su energía deoscilación E ∼ mr 2/T 2, por lo que la radiación será despreciable (Erad ¿ E)cuando T À ξ, es decir, para oscilaciones cuyo periodo sea mucho mayorque el tiempo característico de la partícula.

5.2.2. Fuerza de reacción radiativa

Si ignoramos la radiación, una partícula no relativista obedece la ecua-ción de Newton1

m~v = ~Fext, (5.2.2)

donde ~Fext es una fuerza externa que actúa sobre la partícula cargada yque es responsable, en primera instancia, de la aceleración de la partícula.Debido a esta aceleración, la partícula emitirá radiación con una potenciadeterminada por la fórmula de Larmor (5.1.28)

P = mξ~v2. (5.2.3)

1En lo que queda de capítulo, el punto denotará derivada con respecto al tiempo coor-denado y no con respecto al propio como hasta ahora.

5–16 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 179: Edc Garay Notas

[v.1.0] 5.2. Reacción de la radiación

Esta pérdida de energía estará producida por una fuerza ~Frad que debemosañadir a la ecuación de Newton. Esta fuerza debe anularse cuando no hayaaceleración y debe ser proporcional a ξ, por ser el único parámetro relevanteque aparece en la potencia radiada. Además, el trabajo realizado por estafuerza debe compensar la energía emitida y, por tanto,

1

t

∫ t

0dt (~Frad ·~v +mξ~v · ~v) = 0. (5.2.4)

Podemos reescribir esta ecuación como

1

t

∫ t

0dt (~Frad ·~v −mξ~v ·~v) =−1

tmξ(~v ·~v)

∣∣t0. (5.2.5)

Tanto si el movimiento es periódico (con periodo T ) como si la fuerza exter-na actúa solo durante un cierto tiempo T , el miembro de la derecha es delorden de la energía radiada durante el tiempo T y no se acumula. Podemos,por tanto, ignorarlo para grandes tiempos t . Así, es posible elegir la fuerzade reacción radiativa que da cuenta aproximada y en promedio temporal delos efectos de la emisión de radiación

~Frad = mξ~v, (5.2.6)

y que es proporcional a la segunda derivada de la velocidad. La ecuación demovimiento (ecuación de Abraham-Lorentz) queda entonces

m(~v −ξ~v) = ~Fext. (5.2.7)

Esta ecuación debe ser tratada con especial cuidado puesto que tiene so-luciones autoalimentadas inaceptables. En efecto, si, por ejemplo, la fuerzaexterna no está presente, esta ecuación admite la solución ~v =~v0 +~aξe t/ξ

que crece sin límite ni motivo. Se puede obtener una ecuación alternativaque no presenta estos problemas notando que

mξ~v = ξ~Fext +O (ξ2) = ξ[∂t~Fext + (~v ·~∇)~Fext]+O (ξ2), (5.2.8)

de forma que la ecuación de movimiento que incluye la reacción radiativase puede escribir

m~v = ~Fext +ξ[∂t~Fext + (~v ·~∇)~Fext

]. (5.2.9)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 5–17

Page 180: Edc Garay Notas

TEMA 5. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA [v.1.0]

Esta ecuación está libre de soluciones inaceptables. De hecho, a pesar de queaquí se ha deducido esta ecuación como una aproximación, puede demos-trase que es la versión no relativista de la ecuación exacta que describe elmovimiento de una carga puntual [F. Rohrlich, Phys. Lett. A283 (2001) 276].

5.2.3. Renormalización electrodinámica de la masa

Para dar una descripción más adecuada de la reacción de la radiacióngenerada por un cuerpo sobre él mismo, es necesario contemplar la propiaestructura del cuerpo. En definitiva, queremos encontrar una ecuación dela forma «M~v = ~Fext» a partir de la ecuación «m~v = ~Fext +~Frad», con untratamiento adecuado del término de radiación.

Aunque no lo haremos en este curso, puede probarse que un cuerpo norelativista de masa desnuda m0 y densidad de carga ρ(~x) sometido a unafuerza externa satisface la ecuación de movimiento espectral

−iωM(ω)~v(ω) = ~F ext(ω), (5.2.10)

donde ~v(ω) y ~F ext(ω) son las transformadas de Fourier de la velocidad y lafuerza externa, respectivamente, y

M(ω) = m0 + 1

6πε0c3

∫d3~x d3~x ′ρ(~x)ρ(~x ′)

e iωR/c

R, (5.2.11)

con ~R =~x −~x ′, es la masa espectral efectiva del cuerpo. La solución de laecuación de movimiento queda entonces completamente determinada unavez conocida la función M(ω).

Definamos ahora el factor de forma f (~k) de la distribución de cargamediante una representación espectral de la distribución espacial de carga:

ρ(~x) = q

(2π)3

∫d3~k f (~k)e i~k·~x . (5.2.12)

Mediante una integración directa (añadiendo a ω una pequeña parte imagi-naria positiva), obtenemos la expresión de M(ω) en términos del factor de

5–18 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 181: Edc Garay Notas

[v.1.0] 5.2. Reacción de la radiación

forma:

M(ω) = m0 + q2

12π3ε0c2

∫d3~k

| f (~k)|2~k2 −ω2/c2

, (5.2.13)

La masa física del cuerpo (incluyendo la autointeracción) es m = M(0). Enefecto, la ecuación de evolución se convierte en la ecuación de Newtonpara un cuerpo de masa M(0) más correcciones si sustituimos M(ω) porsu expansión en serie de potencias de ω. La expresión de la masa física esentonces

m = m0 + q2

12π3ε0c2

∫d3~k

| f (~k)|2~k2

(5.2.14)

y la masa efectiva espectral queda en términos de la masa física

M(ω) = m + q2ω2

12π3ε0c4

∫d3~k

| f (~k)|2~k2(~k2 −ω2/c2)

. (5.2.15)

La solución de la ecuación de movimiento queda entonces completamentedeterminada una vez conocida la función M(ω).

Es necesario hacer algunos comentarios sobre esta solución a la ecua-ción de movimiento para un cuerpo cargado:

1. La contribución de la autointeracción a la masa física (ecuación 5.2.14)diverge para partículas puntuales f (~k) = 1. La contribución de la inte-gral de la ecuación (5.2.15) a la masa efectiva espectral, sin embargo,es finita.

2. La masa física es la suma de la masa desnuda m0 y la energía de auto-interacción que diverge. Por tanto, para obtener un resultado finito, lamasa desnuda también debe ser infinita m0 =−∞. En realidad, esteparámetro no es observable porque la partícula siempre aparecerávestida por su autointeracción electromagnética, que no se puedeignorar: m0 no es un buen parámetro de masa.

3. Para una partícula puntual, se recupera la fuerza de Abraham-Lorentz,que presenta soluciones que crecen sin límite. Para factores de formacorrespondientes a cuerpos con un tamaño mayor que su tamaño

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 5–19

Page 182: Edc Garay Notas

TEMA 5. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA [v.1.0]

clásico cξ, la ecuación del movimiento no presenta ninguna anomalíani posee soluciones inaceptables.

4. El resultado relativista difiere en pequeños factores numéricos de laaproximación no relativista.

5.3. Radiación multipolar

Los potenciales electromagnéticos son soluciones de la ecuación deonda y, por tanto, tienen la forma

Aµ(t ,~x) = µ0

∫d3~x ′ jµ(t ′,~x ′)

‖~x −~x ′‖ , (5.3.1)

donde t ′ = t −‖~x −~x ′‖/c es el tiempo retardado. Sin pérdida de generali-dad y por sencillez en la notación, colocaremos el origen del sistema decoordenadas en el interior de la esfera de radio ζ que circunscribe a todala distribución de carga (ver figura 5.3). Para grandes distancias a la fuente(comparadas con su tamaño ζ), podemos escribir

‖~x −~x ′‖ ∼ ‖~x‖−~x ′ · x,1

‖~x −~x ′‖ ∼ 1

‖~x‖ +~x ′ · x

‖~x‖2. (5.3.2)

La contribución del segundo término de esta última expresión al potencialvector decae demasiado rápido por lo que no está presente en el campo deradiación. Por tanto, podemos escribir

Aµ(t ,~x) = µ0

1

‖~x‖∫

d3~x ′ jµ(t ′,~x ′), (5.3.3)

donde hemos expandido el tiempo retardado hasta primer orden

t ′ = t −‖~x‖/c +~x ′ · x/c. (5.3.4)

Podemos calcular la transformada de Fourier de estos potenciales:

Aµ(ω,~x) = µ0

1

‖~x‖1p2π

∫d3~x ′

∫dt jµ(t ′,~x ′)e iωt . (5.3.5)

5–20 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 183: Edc Garay Notas

[v.1.0] 5.3. Radiación multipolar

1

ζ~x ′~x

~x −~x ′

O

Σ

@@

@@

@@

@@@I

XXXXX

XXXXXXy

Figura 5.3: Región espacial Σ de tamaño característico ζ en la que estáconfinada la distribución de carga.

Cambiamos la variable de integración de t a t ′ de manera que

Aµ(ω,~x) = µ0

1

‖~x‖1p2π

∫d3~x ′

∫dt ′ jµ(t ′,~x ′)e iωt ′e i~k·~x−i~k·~x ′

, (5.3.6)

donde~k =ωx/c y así obtenemos

Aµ(ω,~x) = µ0

e i~k·~x

‖~x‖∫

d3~x ′ jµ(ω,~x ′)e−i~k·~x ′. (5.3.7)

Puesto que la integral es independiente del punto de observación, vemosque, para regiones suficientemente alejadas de la fuente, el campo electro-magnético en un región suficientemente pequeña puede ser consideradocomo una onda plana. Para ello, no solo necesitamos que ‖~x ′‖¿‖~x‖, sinoque debemos introducir la longitud de onda en la comparación:

~k ·~x À 1. (5.3.8)

Esta es la llamada zona lejana, zona de radiación o zona de onda .

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 5–21

Page 184: Edc Garay Notas

TEMA 5. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA [v.1.0]

Al tratarse de ondas planas, los campos eléctrico y magnético (sus trans-formadas de Fourier) están relacionados mediante las expresiones

k ·~E = 0, k ·~B = 0, ~E = c~B × k, (5.3.9)

como ya vimos en el tema 1. En efecto, tal relación se obtiene de la ecuaciónde Maxwell~∇×~E +∂t~B = 0 y de que, en vacío (como es el caso en la zonalejana),~∇·~E =~∇·~B = 0. Además, puesto que ~B =~∇×~A, solo nos hace falta elpotencial vector y no el escalar para determinar el campo electromagnéticoen la zona lejana. Para cada componente de Fourier,

~B =~∇×~A = i~k ×~A− k ×~A/‖~x‖ ∼ iωk ×~A/c. (5.3.10)

Debemos notar que todas las componentes de Fourier comparten la mis-ma dirección de propagación k y, por tanto, todas las relaciones espectralesque solo involucren k son válidas también para los campos con dependen-cia temporal. En particular, los campos electromagnéticos en la zona lejanase pueden obtener a partir del potencial vector a partir de las siguientesexpresiones:

c~B = ~A× k, ~E = c~B × k. (5.3.11)

La distribución angular de energía está dada por

dW

d2Ω= κ2

∫dt ‖ ~A (t ,Ω)‖2, (5.3.12)

donde κ2 :=µ0/(16π2c) y hemos definido

~A (t ,Ω) := 4π

µ0‖~x‖~E(t ,~x). (5.3.13)

Introducimos la transformada de Fourier de ~A (t ,Ω),

~A (ω,Ω) = 1p2π

∫ ∞

−∞dt ~A (t ,Ω)e iωt (5.3.14)

5–22 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 185: Edc Garay Notas

[v.1.0] 5.3. Radiación multipolar

y notamos que, puesto que ~A (t ,Ω) es real, ~A∗

(ω,Ω) = ~A (−ω,Ω). Entonces,la distribución angular de la energía radiada se puede escribir de la forma

dW

d2Ω= κ2

∫ ∞

−∞dω‖ ~A (ω,Ω)‖2 = 2κ2

∫ ∞

0dω‖ ~A (ω,Ω)‖2 =

∫ ∞

0dω

d2W

d2Ωdω,

(5.3.15)donde hemos definido la distribución angular y espectral de la energía deradiación como

d2W

d2Ωdω:= 2κ2‖ ~A (ω,Ω)‖2. (5.3.16)

Es fácil ver (EJERCICIO) que

‖ ~A (ω,Ω)‖ = 4π

µ0ω‖~x‖∥∥k × [

k ×~A(ω,~x)]∥∥, (5.3.17)

por lo que la distribución angular y espectral de la energía de radiaciónadquiere la expresión

d2W

dωd2Ω= µ0

8π2cω2

∥∥∥∫d3~x ′ e−i~k·~x ′

k × [k ×~j (ω,~x ′)

]∥∥∥2. (5.3.18)

Sin embargo, después de hacer un desarrollo multipolar, podremos encon-trar expresiones explícitas más útiles para la intensidad.

5.3.1. Radiación dipolar eléctrica

El potencial vector contiene una integral con un factor e−i~k·~x ′. Cuando el

tamaño de la fuente es más pequeño que las longitudes de onda,~k ·~x ′ ¿ 1,podemos expandir este exponencial en una serie de potencias. El términode orden más bajo corresponde a la radiación dipolar eléctrica:

~A(~x,ω) = µ0

e i~k·~x

‖~x‖∫

d3~x ′ ~j (ω,~x ′). (5.3.19)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 5–23

Page 186: Edc Garay Notas

TEMA 5. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA [v.1.0]

Si escribimos esta ecuación en componentes, obtenemos

Ai (ω,~x) = µ0

e i~k·~x

‖~x‖∫

d3~x ′ j i (ω,~x ′)

= µ0

e i~k·~x

‖~x‖∫

d3~x ′ ∂′j x ′i j j (ω,~x ′), (5.3.20)

Mediante una integración por partes, podemos escribir esta expresión de laforma

Ai (ω,~x) =−µ0

e i~k·~x

‖~x‖∫

d3~x ′ x ′i∂′j j j (ω,~x ′)

=−iωµ0

e i~k·~x

‖~x‖∫

d3~x ′ x ′iρ(ω,~x ′). (5.3.21)

Para obtener la última igualdad hemos empleado la ecuación de continuidadespectral~∇·~j − iωρ = 0. Vemos entonces que

~A(ω,~x) =−iωµ0

e i~k·~x

‖~x‖~p(ω), (5.3.22)

donde~p(ω) es la transformada de Fourier del momento dipolar eléctrico~p(t ). Por tanto, el potencial vector es

~A(t ,~x) =−iµ0

1

‖~x‖1p2π

∫dωe−iωt e i~k·~xω~p(ω)

=−iµ0

1

‖~x‖1p2π

∫dωe−iω(t−‖~x‖/c)ω~p(ω)

= µ0

1

‖~x‖1p2π

d

dt ′

∫dωe−iωt ′~p(ω)

= µ0

~p(t ′)‖~x‖ . (5.3.23)

5–24 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 187: Edc Garay Notas

[v.1.0] 5.3. Radiación multipolar

5.3.2. Radiación dipolar magnética y cuadrupolar eléctrica

El siguiente orden en~k ·~x ′ en la expresión del potencial vector es

~A(ω,~x) =−iωµ0

4πc

e i~k·~x

‖~x‖∫

d3~x ′ ~j (ω,~x ′)(k ·~x ′). (5.3.24)

Si escribimos esta expresión en componentes,

Ai (ω,~x) =−iωµ0

4πc

e i~k·~x

2‖~x‖∫

d3~x ′ [ j i (ω,~x ′)k j x ′ j + j i (ω,~x ′)k j x ′ j ], (5.3.25)

manipulamos el segundo término término integrando por partes∫d3~x ′ j i k j x ′ j =

∫d3~x ′ ∂′k x ′i j k k j x ′ j

=−∫

d3~x ′ (x ′i∂′k j k k j x ′ j +x ′i j k kk)

(5.3.26)

y utilizamos la ecuación de continuidad espectral, obtenemos

~A(ω,~x) =− iωµ0

4πc

e i~k·~x

2‖~x‖∫

d3~x ′~j (ω,~x ′)(k ·~x ′)

− iω~x ′ρ(ω,~x ′)(k ·~x ′)−~x ′[~j (ω,~x ′) · k]

. (5.3.27)

El primer y el tercer término se combinan en k × (~j ×~x ′) (ver fórmula F.1.2)

de manera que

~A(ω,~x) = µ0

4πc

e i~k·~x

2‖~x‖∫

d3~x ′− iω

[~x ′×~j (ω,~x ′)

]× k −ω2~x ′ρ(ω,~x ′)(k ·~x ′)

.

(5.3.28)En el primer término, reconocemos la transformada de Fourier del momentodipolar magnético

~m(ω) = 1

2

∫d3~x ′ ~x ′×~j (ω,~x ′). (5.3.29)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 5–25

Page 188: Edc Garay Notas

TEMA 5. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA [v.1.0]

Además, notemos que si añadimos un término proporcional a k, los cam-pos no varían puesto que involucran productos vectoriales con k (libertadgauge). Sustituimos pues el segundo término por

−ω2

3ρ(ω,~x ′)

[3~x ′(k ·~x ′)− k~x ′2]. (5.3.30)

Definimos el momento cuadrupolar eléctrico (su transformada de Fourier)como el tensor (bajo rotaciones espaciales) simétrico

Q(ω) =∫

d3~x ′ ρ(ω,~x ′)(3~x ′⊗~x ′−~x ′21

)(5.3.31)

cuyas componentes son

Qi j (ω) =∫

d3~x ′ ρ(ω,~x ′)(3x ′i x ′ j −δi j~x ′2). (5.3.32)

Así, la transformada de Fourier del potencial vector en la zona lejanaqueda

~A(ω,~x) = µ0

e i~k·~x

‖~x‖[− 1

ciω~m(ω)× k − 1

6cω2Q(ω) · k

](5.3.33)

y el potencial propiamente dicho

~A(t ,~x) = µ0

1

‖~x‖[1

c~m(t ′)× k + 1

6cQ(t ′) · k

]. (5.3.34)

5.3.3. Intensidad de radiación multipolar

A modo de resumen, la transformada de Fourier del potencial vectoren la zona de radiación hasta primer orden en~k ·~x ′ (aproximación dipolareléctrica y magnética y cuadrupolar eléctrica) es

~A(ω,~x) = µ0

e i~k·~x

‖~x‖[− iω~p(ω)− i

cω~m(ω)× k − 1

6cω2Q(ω) · k

](5.3.35)

5–26 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 189: Edc Garay Notas

[v.1.0] 5.3. Radiación multipolar

y el potencial propiamente dicho

~A(t ,~x) = µ0

1

‖~x‖[~p(t ′)+ 1

c~m(t ′)× k + 1

6cQ(t ′) · k

]. (5.3.36)

Los campos eléctrico y magnético se obtienen directamente haciendo usode la ecuación (5.3.11).

El vector de Poynting para la radiación es

~S = 1

µ0

~E ×~B = c

µ0(~B × k)×~B = c

µ0

~B 2k. (5.3.37)

Así, la distribución angular de potencia es

dP =~S · k ~x2d2Ω= c

µ0

~B 2~x2d2Ω. (5.3.38)

Puesto que el campo es inversamente proporcional a la distancia a la fuente,la distribución angular de potencia es independiente de la distancia. Dehecho,

dP = κ2‖ ~A (t ,Ω)‖2d2Ω, (5.3.39)

donde κ2 =µ0/(16π2c) y

~A (t ,Ω) =[~p(t ′)+ 1

c~m(t ′)× k + 1

6c

...Q(t ′) · k

]× k. (5.3.40)

Así, vimos que la distribución espectral de intensidad es

d2W

dωd2Ω= 2κ2‖ ~A (ω,Ω)‖2. (5.3.41)

Aunque no vamos a hacer el promedio angular aquí, la potencia total radiadaresulta ser

P = 1

6πε0c3

(~p2 + 1

c2~m2 + 1

120c2

...Q

2)

ret(5.3.42)

y la intensidad espectral

dW

dω= ω4

3πε0c3

[‖~p(ω)‖2 + 1

c2‖~m(ω)‖2 + ω2

120c2‖Q(ω)‖2

]. (5.3.43)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 5–27

Page 190: Edc Garay Notas

TEMA 5. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA [v.1.0]

Puesto que~k ·~x ′‖¿ 1 la radiación dipolar eléctrica será mucho mayoren general que la cuadrupolar eléctrica y la dipolar magnética. Otra formade verlo es que la condición ω‖~x ′‖ ¿ c se puede interpretar como quelas velocidades características internas de la fuente tienen que ser muchomenores que la de la luz. Así, los términos cuadrupolar eléctrico y dipolarmagnético corresponden al segundo orden en v/c, como vemos en lasexpresiones de la intensidad radiada.

Conviene recordar que hemos utilizado los campos físicos reales. Siutilizamos notación compleja o realizamos promedios temporales,

⟨~S⟩ = 1

2µ0

~E ×~B∗ = c

2µ0‖~B‖2k. (5.3.44)

5–28 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 191: Edc Garay Notas

[v.1.0] 5.4. Ejercicios

5.4. Ejercicios

5.1 Hallar la potencia de radiación emitida por una partícula cuya acelera-ción es paralela a su velocidad y su distribución angular.

5.2 Durante un cierto intervalo de tiempo, una partícula sometida a unafuerza constante frena hasta detenerse.

a. Hallar la energía radiada y su distribución angular.

b. ¿Cuál será la duración del pulso radiado para un observador lejanoen reposo?

5.3 Una partícula relativista se mueve con aceleración perpendicular a suvelocidad.

a. Hallar la distribución angular de la potencia radiada.

b. Determinar las direcciones en las que no se emite radiación.

c. Calcular la energía perdida por radiación (sincrotrón) en cada vueltade la órbita circular seguida por un electrón sometido a la acciónde un campo magnético homogéneo y expresarla en función de laenergía y de la masa del electrón.

5.4 En el decaimiento beta, un núcleo con número atómico Z se transformaen otro con número atómico Z ±1 y emite un electrón y un antineutrino oun positrón y un neutrino:

Z → (Z +1)+e−+ ν, Z → (Z −1)+e++ν.

Si se desprecia la influencia del neutrino y se supone que en un instanteinicial se crea un electrón que se mueve con velocidad constante a partirde ese momento, calcular el flujo de radiación generada en el proceso yanalizar el límite no relativista.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 5–29

Page 192: Edc Garay Notas

TEMA 5. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA [v.1.0]

5.5 Calcular la distribución angular y la potencia total radiada en un procesode dispersión Thomson (el límite clásico de la dispersión Compton): unaonda plana y linealmente polarizada incide sobre un electrón y éste emiteradiación dispersada. Ignorar los efectos relativistas.

5.6 Dos dipolos eléctricos de igual magnitud que forman un cierto ánguloentre ellos oscilan con igual frecuencia y desfasados en π/2. Si la distanciaentre ambos es pequeña comparada con la longitud de onda, hallar el campomagnético, la distribución angular y la intensidad total de la radiación en lazona lejana.

5.7 Una esfera con magnetización uniforme gira con velocidad constanteen torno a un cierto eje. Hallar el campo electromagnético que produce, supolarización y la distribución angular y la intensidad total de la radiación.

5.8 Calcular la distribución angular de la potencia radiada por una antenade una cierta longitud y sección despreciable y que es alimentada en sucentro por una corriente sinusoidal que se anula en los extremos. Estudiarel caso en el que la antena es mucho menor que la longitud de onda de lacorriente sinusoidal y comparar el resultado con la radiación de un dipoloeléctrico.

5.9 Una antena lineal paralela al eje ez y centrada en el origen se alimentacon una corriente I0e i (kz−ωt ). Hallar la distribución angular de la radiaciónemitida.

5.10 Un dipolo eléctrico rota en un plano con velocidad angular constante.Hallar el campo electromagnético en la zona lejana, la distribución angulary la potencia total emitida.

5.11 Un cable de sección despreciable uniformemente cargado tensado en-tre dos puntos de sujeción oscila transversalmente en el modo fundamentalcon una cierta frecuencia. Calcular en el orden más bajo la potencia totalemitida, en el supuesto de que la longitud del cable sea mucho menor quela longitud de onda de la radiación.

5–30 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 193: Edc Garay Notas

[v.1.0] 5.4. Ejercicios

5.12 Los púlsares son estrellas de neutrones en rotación con campos mag-néticos extremadamente intensos y emiten radiación que llega a la Tierraperiódicamente. El púlsar del Cangrejo rota con un periodo de 33 ms y sehalla a una distancia de 3300 años-luz. Calcular el momento magnético deeste púlsar si suponemos que es perpendicular al eje de rotación de la estre-lla y que, además, este eje es perpendicular a la dirección de observación.La intensidad de la radiación recibida en la Tierra es de 6,2 ·10−10 W/m2.

5.13 Se colocan dos antenas dipolares de media onda en una línea rectasin solapamiento. Determinar el flujo de radiación emitido si se ignora lainfluencia mutua de ambas antenas y se supone que se alimentan con lamisma corriente y que están en fase.

5.14 Una espira circular se alimenta con una corriente monocromática deamplitud constante. Calcular, en el orden más bajo, la radiación emitida porla espira si se supone que la espira es mucho más pequeña que la longitudde onda.

5.15 En un átomo de hidrógeno, como consecuencia de una transiciónatómica del estado ψ210(~x) al estado fundamental ψ100(~x), aparecen unadensidad de carga y una densidad de corriente que, en coordenadas esféri-cas, están dadas por

ρ(r,θ,φ, t ) =p

2e

4πa40

r e−3r /(2a0) cosθ e−iωt

~j (r,θ,φ, t ) =−iαc

2

[er

(1

2+ a0

r

)− a0

rtanθ eθ

]ρ(r,θ,φ, t ),

donde e es la carga del electrón, α= e2/(4πε0ħc) ∼ 1/137 es la constante deestructura fina, a0 =ħ/(mcα) es el radio de Bohr, m la masa del electrón yω= 3αc/(8a0) es la frecuencia asociada a la diferencia de energías entre losniveles mencionados.

a. Comprobar que la densidad de corriente jµ = (cρ,~j ) se conserva.

b. Calcular los momentos dipolares eléctrico y magnético.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay 5–31

Page 194: Edc Garay Notas

TEMA 5. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA [v.1.0]

c. Determinar la zona lejana.

d. Hallar la intensidad total radiada en términos de α y a0.

5–32 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 195: Edc Garay Notas

[v.1.0]

Apéndice A

Tensores

A.1. Vectores y formas lineales

A.2. Cambios de base

A.3. Tensores

A.4. Tensor métrico

A.5. Símbolo y pseudotensor de Levi-Civita

A.6. Tensores cartesianos

A.7. Transformaciones pasivas y activas

Electrodinámica clásica Luis J. Garay A–1

Page 196: Edc Garay Notas
Page 197: Edc Garay Notas

[v.1.0] A.1. Vectores y formas lineales

A.1. Vectores y formas lineales

Sea V un espacio vectorial. Una forma lineal es una aplicación linealα : V →R, es decir, si u, v ∈V y λ,µ ∈R, entonces

α(λu +µv ) =λα(u)+µα(v ). (A.1.1)

El conjunto de formas lineales V ∗ sobre V es un espacio vectorial llamadoespacio vectorial dual de V .

Los vectores de V también pueden considerarse como aplicacioneslineales v : V ∗ →R tales que v (α) ≡α(v ). En efecto, la estructura de espaciovectorial de V ∗ implica que

(λα+µβ)(v ) =λα(v )+µβ(v ), (A.1.2)

que podemos releer como la propiedad de linealidad de la acción de vsobre V ∗. Para hacer explícita esta dualidad utilizaremos la notación

α(v ) = v (α) := ⟨α, v⟩. (A.1.3)

Sea ea , a = 1,2. . . una base de V . Definiremos la base dual de V ∗ comoel conjunto de formas ea , a = 1,2. . . tal que (ea ,eb) = δa

b .

EJERCICIO: Demostrar que las bases duales son realmente bases. ♦Una forma linealα=αaea actuará sobre un vector v = v aea como

⟨α, v⟩ =αa vb⟨ea ,eb⟩ =αa vbδab =αa v a . (A.1.4)

En particular es interesante notar que

⟨ea , v⟩ = v a , ⟨α,ea⟩ =αa . (A.1.5)

A.2. Cambios de base

Consideremos el cambio de base en V dado por e ′a = e b

a eb , donde (e ba )

es la matriz de cambio de base y, en consecuencia, det(e) 6= 0. Considere-mos también el cambio de base en V ∗ dado por e ′a = ea

bea con det(e) 6= 0.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay A–3

Page 198: Edc Garay Notas

APÉNDICE A. TENSORES [v.1.0]

Entonces, si tanto las nuevas bases de V y V ∗ como las antiguas son duales,tenemos

δab = ⟨e ′a ,e ′

b⟩ = eac e d

b ⟨ec ,ed ⟩ = eac e d

b δcd = ea

c e cb = (e ·e T)a

b (A.2.1)

y, por tanto, las matrices e y e T son inversas:

e = (e T)−1, eab = (e−1) a

b . (A.2.2)

Veamos ahora cómo se transforman las componentes de los vectores:

v ′a = ⟨e ′a , v⟩ = eab⟨eb , v⟩ = ea

b vb , (A.2.3)

es decir, se transforman de forma inversa (transpuesta) a como se transfor-man los elementos de la base de V y, por ello, reciben a veces el nombre devectores contravariantes . Por otro lado, la componentes de las formas linea-les se transforman como los elementos de la base de V y, por ello, recibentambién el nombre de vectores covariantes :

α′a = ⟨α,e ′

a⟩ = e ba ⟨α,eb⟩ = e b

a αb . (A.2.4)

A.3. Tensores

Un tensor de tipo(r

s

)es una aplicación multilineal T : V r ⊗ (V ∗)s → R.

Dada una base ea de V y su base dual ea de V ∗, la acción de T quedadeterminada por su acción sobre elementos de las mismas

T (ea1 , . . . ,ear ,eb1 , . . . ,ebs ) = T a1···arb1···bs

, (A.3.1)

de manera que su acción sobre vectores y formas arbitrarios es

T (ω,σ, . . . v , w , . . .) = T ab···cd ···ωaσb · · ·vc w d · · · . (A.3.2)

Los números reales T a1···arb1···bs

son las componentes del tensor T en labase ea. En general, el orden de los argumentos de T es importante y, portanto, también lo será el orden de los índices de sus componentes.

A–4 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 199: Edc Garay Notas

[v.1.0] A.3. Tensores

Los vectores son tensores de tipo (1,0) y las formas son tensores de tipo(0,1). Un escalar es un tensor de tipo (0,0), es decir, un número real cuyascomponentes (él mismo) son invariantes bajo cambios de base.

Bajo cambios de base los tensores se transforman como vectores en cadaíndice contravariante y como formas en cada índice covariante (EJERCICIO).Así, por ejemplo,

T ′abc = e d

c eae eb

f T e fd . (A.3.3)

A la vista de esta ley de transformación, podemos dar una definiciónalternativa (pero, por supuesto, equivalente) de tensor como la clase de equi-valencia de todos los pares

(ea, T a1···ar

b1···bs)

tales que obedecen dicharegla de transformación tensorial.

Las operaciones tensoriales son aquellas que operaciones con tensoresque proporcionan otro tensor, aunque algunas pueden cambiar el tipo detensor. Obviamente, el resultado es independiente de la base elegida pararealizar la operación.

Operaciones que preservan el tipo tensorial:

La suma de dos tensores del mismo tipo y la multiplicación de un tensorpor un número real dan lugar a otro tensor del mismo tipo. Estas operacio-nes dotan al espacio de tensores de tipo (r, s) con la estructura de espaciovectorial real.

Dado un tensor T con componentes T a1···arb1···bs

en una base dada, de-finimos su parte simétrica en los índices covariantes como el tensor concomponentes

T a1···ar(b1···bs )

:= 1

s!

∑π

T a1···arπ(b1)···π(bs ), (A.3.4)

donde la suma se extiende a todas las permutaciones π(b1) · · ·π(bs) de losíndices b1 · · ·bs . Su parte antisimétrica en los índices covariantes se definecomo el tensor

T a1···ar[b1···bs ]

:= 1

s!

∑π

(−1)πT a1···arπ(b1)···π(bs ), (A.3.5)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay A–5

Page 200: Edc Garay Notas

APÉNDICE A. TENSORES [v.1.0]

donde (−1)π toma valores positivos o negativos para permutaciones pareso impares, respectivamente. Las simetrizaciones en los índices contrava-riantes o en subconjuntos de índices del mismo tipo se definen de maneraenteramente análoga.

EJEMPLO: Dado un tensor contravariante T ab , sus partes simétrica y anti-simétrica son los tensores de componentes

T (ab) = (T ab +T ba)/2, T [ab] = (T ab −T ba)/2. (A.3.6)

Dado un tensor covariante Tabc , sus partes simétrica y antisimétrica son lostensores de componentes

T(abc) = (Tabc +Tbca +Tcab +Tbac +Tcba +Tacb)/6, (A.3.7)

T[abc] = (Tabc +Tbca +Tcab −Tbac −Tcba −Tacb)/6. p (A.3.8)

Un tensor T es simétrico (antisimétrico ) en un subconjunto de susargumentos si y solo si sus componentes son simétricas (antisimétricas) enlos índices correspondientes, es decir, si y solo si (EJERCICIO)

Tb1b2···bm ···bm+p ···

a1a2··· = Tb1b2···(bm ···bm+p )···

a1a2··· , (A.3.9)(T

b1b2···bm ···bm+p ···a1a2··· = T

b1b2···[bm ···bm+p ]···a1a2···

). (A.3.10)

Operaciones que preservan el tipo tensorial:

Sean R y T dos tensores cuyas componentes en una base dada sonRa1···ar

b1···bsy T

a1···ap

b1···bq, respectivamente. Su producto tensorial R ⊗T es

otro tensor cuyas componentes son:

(R ⊗T )a1···ar+p

b1···bs+q:= Ra1···ar

b1···bsT

ar+1···ar+p

bs+1···bs+q. (A.3.11)

Puesto que el producto tensorial es una operación bilineal, dota al conjuntode todos los tensores (de todos los tipos) con la estructura de álgebra1. Esimportante notar que el producto tensorial no es conmutativo.

1Un algebra es un espacio vectorial A dotado con una operación bilineal adicional deA ×A en A que es distributiva respecto a la suma y es compatible con el producto pornúmeros reales.

A–6 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 201: Edc Garay Notas

[v.1.0] A.4. Tensor métrico

EJERCICIO: Demostrar que, en general, un tensor de tipo (2,0) no se puedeescribir como producto tensorial de dos vectores. ♦

Dado un tensor de componentes T a1···arb1···bs

, definimos su contraccióncon respecto a su primer índice covariante y su primer índice contravariantecomo el tensor R de componentes

Ra2···arb2···bs

:= T a1a2···ara1b2···bs

(A.3.12)

y análogamente para cualquier par de índices covariante y contravariante.

EJERCICIO: Demostrar que la contracción es independiente de la base enla que se lleve a cabo y que, por tanto, es un operación tensorial. Demos-trar que, si los índices que se contraen fuesen del mismo tipo, el resultadodependería de la base y, consecuentemente, no sería un tensor. ♦EJEMPLO: La acción de una forma sobre un vector se puede ver como lacontracción del producto tensorial de ambos. p

A.4. Tensor métrico

Si el espacio vectorial V está dotado con un producto escalar « · », pode-mos definir el tensor métrico como el el tensor doblemente covariante, esdecir de tipo (0,2), y simétrico tal que a cada par de vectores u y v le asociasu producto escalar:

g (u, v ) := u ·v , ∀u, v ∈V. (A.4.1)

Dada una base ea de V , sus componentes son gab = g (ea ,eb) = ea ·eb .

Puesto que el producto escalar es definido estrictamente positivo, la ma-triz gab es invertible y denotaremos su inversa g ab , de forma que gab g bc = δc

a .Además, si la base ea es ortonormal, entonces gab = δab .

La existencia de un tensor métrico nos permite establecer un isomorfis-mo entre V y V ∗ definido por v ≡ g (v , · ) o, en componentes,

va = gab vb , v a = g ab vb (A.4.2)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay A–7

Page 202: Edc Garay Notas

APÉNDICE A. TENSORES [v.1.0]

ya que gab es una matriz invertible por lo que la aplicación v 7→ v es biyecti-va. Además, el tensor métrico induce un producto escalar g en V ∗ tal quesus componentes son g (ea ,ee ) = g ab .

Así, la existencia de un tensor métrico nos permite identificar tensorescovariantes y contravariantes como distintas representaciones del mismoobjeto.

EJERCICIO: Demostrar que g ab son las componentes contravariantes deltensor métrico gab y que δa

b son sus componentes co-contravariantes. ♦Hemos definido el tensor métrico en términos de un producto escalar

definido sobre V . Sin embargo, el procedimiento inverso también es facti-ble: dado un tensor doblemente covariante, simétrico y definido positivo,podemos definir un producto escalar en V mediante (A.4.1). Más aún, po-demos relajar la condición de que sea definido positivo, puesto que la únicapropiedad importante que hemos utilizado es que no sea degenerado, esdecir, que no exista ningún vector no nulo u tal que g (u,u) = 0. De hecho,esta definición más general de tensor es necesaria en teorías relativistas.

A.5. Símbolo y pseudotensor de Levi-Civita

El símbolo de Levi-Civita εa1···an = εa1···an es, por definición, completa-mente antisimétrico en todos sus índices y tal que ε123··· = 1. Más explícita-mente,

εa1···an :=

1, if a1 · · ·an es una permutación par de 1 · · ·n;

−1, if a1 · · ·an es una permutación impar de 1 · · ·n;

0, otherwise.

(A.5.1)

EJEMPLO: En dos dimensiones, ε12 = −ε21 = 1 y ε11 = ε22 = 0. En tresdimensiones, las únicas componentes no nulas son

ε123 = ε312 = ε231 = 1, ε213 = ε321 = ε132 =−1. p (A.5.2)

Si consideramos el símbolo de Levi-Civita como las componentes de unaaplicación ε en cualquier base, entonces es fácil ver que ε no es un tensor:

A–8 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 203: Edc Garay Notas

[v.1.0] A.5. Símbolo y pseudotensor de Levi-Civita

Desde el punto de vista intrínseco no es una aplicación multilineal

Desde el punto de vista de las leyes de transformación bajo cambiosde base, sus componentes no se transforman como las componentesde un tensor.

La situación es completamente análoga a la de definir un objeto v cuyascomponentes sean (1,0, . . . ,0) en todas las bases, que claramente no es unvector. Por supuesto, podemos construir una aplicación multilineal ε talque, en una base concreta, sus componentes estén dadas por el símboloLevi-Civita pero, entonces, sus componentes en otras bases ya no estarándadas por el símbolo de Levi-Civita. De nuevo, esta situación es enteramenteanáloga a definir el vector v cuyas componentes en una base concreta sean(1,0, . . . ,0); en cualquier otra base sus componentes no serán estas sino queestarán dictadas por las leyes de transformación apropiadas.

EJERCICIO: Comprobar que la aplicación ε tal que sus componentes encualquier base están dadas por el símbolo de Levi-Civita no es lineal. Estu-diar la ley de transformación del tensor ε y de la aplicación ε. ♦

Los símbolos de Levi-Civita sirven para calcular determinantes Si M esuna matriz cuadrada(no un tensor) cuyos elementos son M a

b , su determi-nante es

det(M) := εb1b2···bn M 1b1

M 2b2· · ·M n

bn

= εa1a2···an M a11M a2

2 · · ·M ann . (A.5.3)

EJERCICIO: Comprobar que esta definición coincide con la regla ya cono-cida para calcular determinantes. ♦

Si M es una matriz cuadrada cuyos elementos son M ab , se satisface la

siguiente identidad (EJERCICIO):

εb1···bn M a1b1· · ·M an

bn= det(M c

d )εa1···an . ♦ (A.5.4)

EJERCICIO: Demostrar la identidad ε−δ:

εa1···ak ak+1···anεa1···ak bk+1···bn = k !(n −k)!δak+1[bk+1

· · ·δanbn ]. (A.5.5)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay A–9

Page 204: Edc Garay Notas

APÉNDICE A. TENSORES [v.1.0]

Algunos casos particulares son:

εabcεade = δbdδ

ce −δb

eδcd = 2δb

[dδce], (A.5.6)

εabe f εcde f = 2(δac δ

bd −δb

cδad ) = 4δa

[cδbd ], (A.5.7)

· · · · · · · · ·εa1···anεb1···bn = n!δa1

[b1· · ·δan

bn ], (A.5.8)

εa1...anεa1...an = n!. ♦ (A.5.9)

Definimos el pseudotensor de Levi-Civita como la aplicación ε queactúa sobre n vectores (tantos como la dimensión de V ) tal que sus compo-nentes en una base dada, que llamaremos orientada positivamente , son

εa1···an :=√

|g|εa1···an , (A.5.10)

donde g := det(gab) es el determinante de la matriz de componentes deltensor métrico en esa base. Conviene notar que hemos utilizado el valorabsoluto del determinante del tensor métrico para incluir el caso en el queeste no es definido positivo, como ocurre en relatividad especial y general.

EJERCICIO: Demostrar que ε es un pseudotensor , es decir, que sus com-ponentes se transforman como la de un tensor bajo cambios propios debase (tales que la matriz de transformación tiene determinante positivo y,por tanto, no incluye reflexiones) pero no bajo reflexiones. ♦

Dado el carácter tensorial del tensor de Levi-Civita, podemos escribirsus componentes covariantes

εb1···bn = g a1b1 · · ·g an bnεa1···an . (A.5.11)

Teniendo en cuenta la relación entre el tensor contravariante de Levi-Civitay el símbolo correspondiente y las reglas para calcular determinantes A.5.4,tenemos

εb1···bn =√

|g|g a1b1 · · ·g an bnεa1···an =√|g|g

εb1···bn . (A.5.12)

A–10 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 205: Edc Garay Notas

[v.1.0] A.6. Tensores cartesianos

EJERCICIO: Sea T ab un tensor. Probar las siguientes identidades (pseu-

do)tensoriales:

εb1···bn T a1b1· · ·T an

bn= det(T a

b)εa1···an ,

εb1···bn Ta1b1 · · ·Tan bn = det(T ab)εa1···an = g−1 det(Tab)εa1···an . ♦ (A.5.13)

EJERCICIO: Demostrar la identidad ε−δ:

εa1···ak ak+1···anεa1···ak bk+1···bn == k !(n −k)! sign(g) δak+1

[bk+1· · ·δan

bn ]. ♦ (A.5.14)

Dado un tensor T completamente antisimétrico de k ≤ n índices, sedefine su dual de Hodge ∗T como su contracción (en todos sus índices) conlos k primeros índices del pseudotensor de Levi-Civita:

∗Ta1···an−k:= 1

k !T b1···bkεb1···bk a1···an−k . (A.5.15)

EJERCICIO: Demostrar que ∗∗T = (−1)k(n−k)sign(g)T . ♦

A.6. Tensores cartesianos

Una vez que hemos especificado un tensor métrico definido positivo,siempre podemos encontrar una base ortonormal. Dos bases ortonormalesestán relacionadas por una matriz ortogonal con determinante ±1, es decir,por un elemento del grupo de rotaciones n-dimensionales SO(n).

Llamaremos componentes cartesianas de un tensor arbitrario a suscomponentes en una base ortonormal y utilizaremos índices latinos i , j , . . .para denotarlas. Las componentes cartesianas de un tensor se transformanen cada índice covariante (contravariante) de la misma manera (inversatranspuesta) a como lo hacen los elementos de una base ortonormal.

Llamaremos tensor cartesiano a la clase de equivalencia de todos lospares

(e i , T i1···ir

j1··· js), donde la primera componente del par es una base

Electrodinámica clásica Luis J. Garay A–11

Page 206: Edc Garay Notas

APÉNDICE A. TENSORES [v.1.0]

ortonormal y la segunda un conjunto de números asociados a esa baseque se transforma como las componentes de un tensor al cambiar de baseortonormal.

Dada una métrica definida positiva g , sus componentes cartesianasson δi j . Por tanto, no sería necesario distinguir entre componentes carte-sianas covariantes y contravariantes ya que los valores numéricos de a j ya j coinciden: a j = g i j ai = δi j ai . Nosotros mantendremos esta distinciónpara utilizar el convenio de sumación de Einstein. Además denotaremos losvectores cartesianos mediante una flecha, por ejemplo, ~u, aunque manten-dremos la notación para tensores generales.

Dado que el tensor métrico cartesiano tiene componentes δi j , su deter-minante es la unidad y, por tanto, las componentes cartesianas del pseudo-tensor de Levi-Civita están dadas por el símbolo.

EJEMPLO: Demostremos las siguientes identidades cartesianas en R3 utili-zando la identidad ε−δ:

~u × (~v × ~w) = (~u · ~w)~v − (~u ·~v)~w . (A.6.1)

Las componentes del pseudovector~t =~v × ~w y del vector~s =~u × (~v × ~w)son

t k = εki j v i w j , sl = εl

mk um t k . (A.6.2)

Por tanto,

sl = εlmk um t k = εl

mk um(εki j v i w j ) = εl

mkεk

i j um v i w j . (A.6.3)

Si usamos la identidad ε−δ, obtenemos

sl = (δliδm j −δl

jδmi )um v i w j

= δliδm j um v i w j −δl

jδmi um v i w j

= v l (u j w j )−w l (ui v i ) (A.6.4)

y, teniendo en cuenta que ui v i =~u ·~v , obtenemos el resultado. p

A–12 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 207: Edc Garay Notas

[v.1.0] A.7. Transformaciones pasivas y activas

EJERCICIO: Probar la siguiente identidad cartesiana en R3:

(~u ×~v) · (~w ×~t ) = (~u · ~w)(~v ·~t )− (~u ·~t )(~v · ~w). ♦ (A.6.5)

EJERCICIO: Demostrar que, para tensores euclídeos en R3 de cero, uno,dos y tres índices respectivamente, se satisface

∗Ri j k = Rεi j k , ∗Si j = Skεki j , ∗Ti = 1

2T j kε j ki , ∗U = 1

3!U i j kεi j k.

(A.6.6)

Demostrar también que, para tensores euclídeos antisimétricos de k ≤ 3índices, se tiene

∗∗U =U . ♦ (A.6.7)

A.7. Transformaciones pasivas y activas

En este apéndice hemos adoptado un punto de vista pasivo , en el quehemos estudiado cómo se transforman las componentes de un tensor ba-jo cambios de base e ′

a = e ba eb . El tensor es siempre el mismo, pero sus

componentes cambian en función de los cambios de base.

Sin embargo, a menudo es conveniente adoptar un punto de vista ac-tivo en el que transformamos las componentes de un tensor T cualquieradando lugar a un nuevo tensor T cuyas componentes en la base originalea son las que tendría el tensor original T en la base transformada e ′

a.Más específicamente, el tensor E que genera dicha transformación activade vectores es aquel cuya matriz de componentes en la base original es ea

b :

v = E (v ) = v aea = eab vbea . (A.7.1)

El tensor E que genera los cambios activos de formas tiene como compo-nentes en la base ea la matriz e b

a :

ω= E (ω) = ωaea = e ba ωbea . (A.7.2)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay A–13

Page 208: Edc Garay Notas

APÉNDICE A. TENSORES [v.1.0]

En general, las transformaciones activas de tensores arbitrarios se obtienenmediante la actuación del producto tensorial de E y E con tantos factores Ecomo índices covariantes tenga el tensor y tantos factores E como índicescontravariantes.

Por otra parte, dada una transformación activa E de componentes e ba ,

podemos preguntarnos cuál es la base e ′′a en la que v tiene las mismas

componentes que v en la base original ea. La matriz de cambio de basee ′′b

a será tal quev a = v ′′a = e ′′a

b vb = e ′′ab eb

c vc , (A.7.3)

de donde deducimos que e ′′ = e−1.

Las leyes de la física se suelen formular en términos de tensores porqueestos objetos matemáticos son intrínsecos, independientes del observador.Por tanto, desde el punto de vista pasivo, cuando se expresan en términosde sus componentes deben transformarse adecuadamente bajo los cambiosde base permitidos. Desde el punto de vista activo, las ecuaciones deben serinvariantes bajo las transformaciones tensoriales adecuadas. Por ejemplo,es un hecho experimental que la forma en que se comportan los sistemasmecánicos newtonianos es independiente de su orientación. Por tanto, lasleyes de la mecánica newtoniana deben reflejar este hecho, es decir, debenser invariantes bajo rotaciones, lo que lleva a formularlas en términos detensores cartesianos.

A–14 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 209: Edc Garay Notas

[v.1.0]

Apéndice C

On the Electrodynamics of MovingBodies, by A. Einstein

I. Kinematical part

§1. Definition of Simultaneity

§2. On the Relativity of Lengths and Times

§3. Theory of the Transformation of Co-ordinates and Timesfrom a Stationary System to another System in Uniform Mo-tion of Translation Relatively to the Former

§4. Physical Meaning of the Equations Obtained in Respect toMoving Rigid Bodies and Moving Clocks

§5. The Composition of Velocities

II. Electrodynamical part

§6. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations for EmptySpace. On the Nature of the Electromotive Forces Occurringin a Magnetic Field During Motion

§7. Theory of Doppler’s Principle and of Aberration

§8. Transformation of the Energy of Light Rays. Theory of thePressure of Radiation Exerted on Perfect Reflectors

Electrodinámica clásica Luis J. Garay C–1

Page 210: Edc Garay Notas

APÉNDICE C: ON THE ELECTRODYNAMICS. . . , BY A. EINSTEIN [v.1.0]

§9. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations when Con-vection-Currents are Taken into Account

§10. Dynamics of the Slowly Accelerated Electron

C–2 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 211: Edc Garay Notas

[v.1.0] On the Electrodynamics of Moving Bodies

On the Electrodynamics of Moving Bodies

by A. Einstein

June 30, 1905

It is known that Maxwell’s electrodynamics—as usually understood atthe present time—when applied to moving bodies, leads to asymmetrieswhich do not appear to be inherent in the phenomena. Take, for example,the reciprocal electrodynamic action of a magnet and a conductor. Theobservable phenomenon here depends only on the relative motion of theconductor and the magnet, whereas the customary view draws a sharpdistinction between the two cases in which either the one or the other ofthese bodies is in motion. For if the magnet is in motion and the conductorat rest, there arises in the neighbourhood of the magnet an electric field witha certain definite energy, producing a current at the places where parts of theconductor are situated. But if the magnet is stationary and the conductorin motion, no electric field arises in the neighbourhood of the magnet. Inthe conductor, however, we find an electromotive force, to which in itselfthere is no corresponding energy, but which gives rise—assuming equality ofrelative motion in the two cases discussed—to electric currents of the samepath and intensity as those produced by the electric forces in the formercase.

Examples of this sort, together with the unsuccessful attempts to dis-cover any motion of the earth relatively to the “light medium,” suggest thatthe phenomena of electrodynamics as well as of mechanics possess no prop-erties corresponding to the idea of absolute rest. They suggest rather that, ashas already been shown to the first order of small quantities, the same lawsof electrodynamics and optics will be valid for all frames of reference forwhich the equations of mechanics hold good.1 We will raise this conjecture(the purport of which will hereafter be called the “Principle of Relativity”)to the status of a postulate, and also introduce another postulate, which isonly apparently irreconcilable with the former, namely, that light is always

1The preceding memoir by Lorentz was not at this time known to the author.

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APÉNDICE C: ON THE ELECTRODYNAMICS. . . , BY A. EINSTEIN [v.1.0]

propagated in empty space with a definite velocity c which is independentof the state of motion of the emitting body. These two postulates suffice forthe attainment of a simple and consistent theory of the electrodynamicsof moving bodies based on Maxwell’s theory for stationary bodies. The in-troduction of a “luminiferous ether” will prove to be superfluous inasmuchas the view here to be developed will not require an “absolutely stationaryspace” provided with special properties, nor assign a velocity-vector to apoint of the empty space in which electromagnetic processes take place.

The theory to be developed is based—like all electrodynamics—on thekinematics of the rigid body, since the assertions of any such theory haveto do with the relationships between rigid bodies (systems of co-ordinates),clocks, and electromagnetic processes. Insufficient consideration of thiscircumstance lies at the root of the difficulties which the electrodynamics ofmoving bodies at present encounters.

I. Kinematical part

§1. Definition of Simultaneity

Let us take a system of co-ordinates in which the equations of Newtonianmechanics hold good.2 In order to render our presentation more preciseand to distinguish this system of co-ordinates verbally from others whichwill be introduced hereafter, we call it the “stationary system.”

If a material point is at rest relatively to this system of co-ordinates,its position can be defined relatively thereto by the employment of rigidstandards of measurement and the methods of Euclidean geometry, andcan be expressed in Cartesian co-ordinates.

If we wish to describe the motion of a material point, we give the valuesof its co-ordinates as functions of the time. Now we must bear carefully inmind that a mathematical description of this kind has no physical meaningunless we are quite clear as to what we understand by “time.” We have

2i.e. to the first approximation.

C–4 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

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[v.1.0] I. Kinematical part

to take into account that all our judgments in which time plays a part arealways judgments of simultaneous events. If, for instance, I say, “That trainarrives here at 7 o’clock,” I mean something like this: “The pointing of thesmall hand of my watch to 7 and the arrival of the train are simultaneousevents.”3

It might appear possible to overcome all the difficulties attending thedefinition of “time” by substituting “the position of the small hand of mywatch” for “time.” And in fact such a definition is satisfactory when we areconcerned with defining a time exclusively for the place where the watchis located; but it is no longer satisfactory when we have to connect in timeseries of events occurring at different places, or—what comes to the samething—to evaluate the times of events occurring at places remote from thewatch.

We might, of course, content ourselves with time values determinedby an observer stationed together with the watch at the origin of the co-ordinates, and co-ordinating the corresponding positions of the hands withlight signals, given out by every event to be timed, and reaching him throughempty space. But this co-ordination has the disadvantage that it is notindependent of the standpoint of the observer with the watch or clock, as weknow from experience. We arrive at a much more practical determinationalong the following line of thought.

If at the point A of space there is a clock, an observer at A can determinethe time values of events in the immediate proximity of A by finding thepositions of the hands which are simultaneous with these events. If there isat the point B of space another clock in all respects resembling the one at A,it is possible for an observer at B to determine the time values of events inthe immediate neighbourhood of B. But it is not possible without furtherassumption to compare, in respect of time, an event at A with an event at B.We have so far defined only an “A time” and a “B time.” We have not defineda common “time” for A and B, for the latter cannot be defined at all unlesswe establish by definition that the “time” required by light to travel from A to

3We shall not here discuss the inexactitude which lurks in the concept of simultaneity oftwo events at approximately the same place, which can only be removed by an abstraction.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay C–5

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APÉNDICE C: ON THE ELECTRODYNAMICS. . . , BY A. EINSTEIN [v.1.0]

B equals the “time” it requires to travel from B to A. Let a ray of light start atthe “A time” tA from A towards B, let it at the “B time” tB be reflected at B inthe direction of A, and arrive again at A at the “A time” t ′A.

In accordance with definition the two clocks synchronize if

tB − tA = t ′A − tB.

We assume that this definition of synchronism is free from contradictions,and possible for any number of points; and that the following relations areuniversally valid:

1. If the clock at B synchronizes with the clock at A, the clock at Asynchronizes with the clock at B.

2. If the clock at A synchronizes with the clock at B and also with theclock at C, the clocks at B and C also synchronize with each other.

Thus with the help of certain imaginary physical experiments we havesettled what is to be understood by synchronous stationary clocks located atdifferent places, and have evidently obtained a definition of “simultaneous,”or “synchronous,” and of “time.” The “time” of an event is that which is givensimultaneously with the event by a stationary clock located at the place ofthe event, this clock being synchronous, and indeed synchronous for alltime determinations, with a specified stationary clock.

In agreement with experience we further assume the quantity

2AB

t ′A − tA= c,

to be a universal constant—the velocity of light in empty space.

It is essential to have time defined by means of stationary clocks inthe stationary system, and the time now defined being appropriate to thestationary system we call it “the time of the stationary system.”

§2. On the Relativity of Lengths and Times

The following reflexions are based on the principle of relativity and onthe principle of the constancy of the velocity of light. These two principles

C–6 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

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[v.1.0] I. Kinematical part

we define as follows:

1. The laws by which the states of physical systems undergo change arenot affected, whether these changes of state be referred to the one or theother of two systems of co-ordinates in uniform translatory motion.

2. Any ray of light moves in the “stationary” system of co-ordinates withthe determined velocity c , whether the ray be emitted by a stationary or by amoving body. Hence

velocity = light path

time interval

where time interval is to be taken in the sense of the definition in § 1.

Let there be given a stationary rigid rod; and let its length be l as mea-sured by a measuring-rod which is also stationary. We now imagine the axisof the rod lying along the axis of x of the stationary system of co-ordinates,and that a uniform motion of parallel translation with velocity v along theaxis of x in the direction of increasing x is then imparted to the rod. Wenow inquire as to the length of the moving rod, and imagine its length to beascertained by the following two operations:

(a) The observer moves together with the given measuring-rod and therod to be measured, and measures the length of the rod directly by super-posing the measuring-rod, in just the same way as if all three were at rest.

(b) By means of stationary clocks set up in the stationary system andsynchronizing in accordance with § 1, the observer ascertains at what pointsof the stationary system the two ends of the rod to be measured are locatedat a definite time. The distance between these two points, measured bythe measuring-rod already employed, which in this case is at rest, is also alength which may be designated “the length of the rod.”

In accordance with the principle of relativity the length to be discoveredby the operation (a)—we will call it “the length of the rod in the movingsystem”—must be equal to the length l of the stationary rod.

The length to be discovered by the operation (b) we will call “the lengthof the (moving) rod in the stationary system.” This we shall determine onthe basis of our two principles, and we shall find that it differs from l .

Electrodinámica clásica Luis J. Garay C–7

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APÉNDICE C: ON THE ELECTRODYNAMICS. . . , BY A. EINSTEIN [v.1.0]

Current kinematics tacitly assumes that the lengths determined by thesetwo operations are precisely equal, or in other words, that a moving rigidbody at the epoch t may in geometrical respects be perfectly represented bythe same body at rest in a definite position.

We imagine further that at the two ends A and B of the rod, clocks areplaced which synchronize with the clocks of the stationary system, that isto say that their indications correspond at any instant to the “time of thestationary system” at the places where they happen to be. These clocks aretherefore “synchronous in the stationary system.”

We imagine further that with each clock there is a moving observer, andthat these observers apply to both clocks the criterion established in § 1 forthe synchronization of two clocks. Let a ray of light depart from A at thetime4 tA, let it be reflected at B at the time tB, and reach A again at the timet ′A. Taking into consideration the principle of the constancy of the velocityof light we find that

tB − tA = rAB

c − vand t ′A − tB = rAB

c + v

where rAB denotes the length of the moving rod—measured in the stationarysystem. Observers moving with the moving rod would thus find that thetwo clocks were not synchronous, while observers in the stationary systemwould declare the clocks to be synchronous.

So we see that we cannot attach any absolute signification to the conceptof simultaneity, but that two events which, viewed from a system of co-ordinates, are simultaneous, can no longer be looked upon as simultaneousevents when envisaged from a system which is in motion relatively to thatsystem.

4“Time” here denotes “time of the stationary system” and also “position of hands of themoving clock situated at the place under discussion.”

C–8 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 217: Edc Garay Notas

[v.1.0] I. Kinematical part

§3. Theory of the Transformation of Co-ordinates andTimes from a Stationary System to another System in

Uniform Motion of Translation Relatively to theFormer

Let us in “stationary” space take two systems of co-ordinates, i.e. twosystems, each of three rigid material lines, perpendicular to one another, andissuing from a point. Let the axes of X of the two systems coincide, and theiraxes of Y and Z respectively be parallel. Let each system be provided with arigid measuring-rod and a number of clocks, and let the two measuring-rods,and likewise all the clocks of the two systems, be in all respects alike.

Now to the origin of one of the two systems (k) let a constant velocity v beimparted in the direction of the increasing x of the other stationary system(K), and let this velocity be communicated to the axes of the co-ordinates,the relevant measuring-rod, and the clocks. To any time of the stationarysystem K there then will correspond a definite position of the axes of themoving system, and from reasons of symmetry we are entitled to assumethat the motion of k may be such that the axes of the moving system are atthe time t (this “t” always denotes a time of the stationary system) parallelto the axes of the stationary system.

We now imagine space to be measured from the stationary system K bymeans of the stationary measuring-rod, and also from the moving systemk by means of the measuring-rod moving with it; and that we thus obtainthe co-ordinates x, y , z, and ξ, η, ζ respectively. Further, let the time t of thestationary system be determined for all points thereof at which there areclocks by means of light signals in the manner indicated in § 1; similarly letthe time τ of the moving system be determined for all points of the movingsystem at which there are clocks at rest relatively to that system by applyingthe method, given in § 1, of light signals between the points at which thelatter clocks are located.

To any system of values x, y , z, t , which completely defines the placeand time of an event in the stationary system, there belongs a system ofvalues ξ, η, ζ τ, determining that event relatively to the system k, and our

Electrodinámica clásica Luis J. Garay C–9

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APÉNDICE C: ON THE ELECTRODYNAMICS. . . , BY A. EINSTEIN [v.1.0]

task is now to find the system of equations connecting these quantities.

In the first place it is clear that the equations must be linear on accountof the properties of homogeneity which we attribute to space and time.

If we place x ′ = x − v t , it is clear that a point at rest in the system k musthave a system of values x ′, y , z, independent of time. We first define τ as afunction of x ′, y , z, and t . To do this we have to express in equations that τis nothing else than the summary of the data of clocks at rest in system k,which have been synchronized according to the rule given in § 1.

From the origin of system k let a ray be emitted at the time τ0 alongthe X-axis to x ′, and at the time τ1 be reflected thence to the origin of theco-ordinates, arriving there at the time τ2; we then must have 1

2 (τ0+τ2) = τ1,or, by inserting the arguments of the function τ and applying the principleof the constancy of the velocity of light in the stationary system:

1

2

[τ(0,0,0, t )+τ

(0,0,0, t + x ′

c − v+ x ′

c + v

)]= τ

(x ′,0,0, t + x ′

c − v

).

Hence, if x ′ be chosen infinitesimally small,

1

2

(1

c − v+ 1

c + v

)∂τ

∂t= ∂τ

∂x ′ +1

c − v

∂τ

∂t,

or∂τ

∂x ′ +v

c2 − v2

∂τ

∂t= 0.

It is to be noted that instead of the origin of the co-ordinates we mighthave chosen any other point for the point of origin of the ray, and the equa-tion just obtained is therefore valid for all values of x ′, y , z.

An analogous consideration—applied to the axes of Y and Z—it beingborne in mind that light is always propagated along these axes, when viewedfrom the stationary system, with the velocity

pc2 − v2 gives us

∂τ

∂y= 0,

∂τ

∂z= 0.

C–10 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 219: Edc Garay Notas

[v.1.0] I. Kinematical part

Since τ is a linear function, it follows from these equations that

τ= a(t − v

c2 − v2x ′

)where a is a function φ(v) at present unknown, and where for brevity it isassumed that at the origin of k, τ= 0, when t = 0.

With the help of this result we easily determine the quantities ξ, η, ζ byexpressing in equations that light (as required by the principle of the con-stancy of the velocity of light, in combination with the principle of relativity)is also propagated with velocity c when measured in the moving system. Fora ray of light emitted at the time τ= 0 in the direction of the increasing ξ

ξ= cτ or ξ= ac(t − v

c2 − v2x ′

).

But the ray moves relatively to the initial point of k, when measured in thestationary system, with the velocity c − v , so that

x ′

c − v= t .

If we insert this value of t in the equation for ξ, we obtain

ξ= ac2

c2 − v2x ′.

In an analogous manner we find, by considering rays moving along the twoother axes, that

η= cτ= ac(t − v

c2 − v2x ′

)when

ypc2 − v2

= t , x ′ = 0.

Thusη= a

cpc2 − v2

y and ζ= acp

c2 − v2z.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay C–11

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APÉNDICE C: ON THE ELECTRODYNAMICS. . . , BY A. EINSTEIN [v.1.0]

Substituting for x ′ its value, we obtain

τ = φ(v)β(t − v x/c2),

ξ = φ(v)β(x − v t ),

η = φ(v)y,

ζ = φ(v)z,

where

β= 1p1− v2/c2

,

and φ is an as yet unknown function of v . If no assumption whatever bemade as to the initial position of the moving system and as to the zero pointof τ, an additive constant is to be placed on the right side of each of theseequations.

We now have to prove that any ray of light, measured in the movingsystem, is propagated with the velocity c, if, as we have assumed, this is thecase in the stationary system; for we have not as yet furnished the proof thatthe principle of the constancy of the velocity of light is compatible with theprinciple of relativity.

At the time t = τ= 0, when the origin of the co-ordinates is common tothe two systems, let a spherical wave be emitted therefrom, and be propa-gated with the velocity c in system K. If (x, y, z) be a point just attained bythis wave, then

x2 + y2 + z2 = c2t 2.

Transforming this equation with the aid of our equations of transforma-tion we obtain after a simple calculation

ξ2 +η2 +ζ2 = c2τ2.

The wave under consideration is therefore no less a spherical wave withvelocity of propagation c when viewed in the moving system. This shows

C–12 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 221: Edc Garay Notas

[v.1.0] I. Kinematical part

that our two fundamental principles are compatible.5

In the equations of transformation which have been developed thereenters an unknown function φ of v , which we will now determine.

For this purpose we introduce a third system of co-ordinates K′, whichrelatively to the system k is in a state of parallel translatory motion parallel tothe axis of Ξ,** such that the origin of co-ordinates of system K′ moves withvelocity −v on the axis of Ξ. At the time t = 0 let all three origins coincide,and when t = x = y = z = 0 let the time t ′ of the system K′ be zero. We callthe co-ordinates, measured in the system K′, x ′, y ′, z ′, and by a twofoldapplication of our equations of transformation we obtain

t ′ = φ(−v)β(−v)(τ+ vξ/c2) = φ(v)φ(−v)t ,x ′ = φ(−v)β(−v)(ξ+ vτ) = φ(v)φ(−v)x,y ′ = φ(−v)η = φ(v)φ(−v)y,z ′ = φ(−v)ζ = φ(v)φ(−v)z.

Since the relations between x ′, y ′, z ′ and x, y , z do not contain the timet , the systems K and K′ are at rest with respect to one another, and it is clearthat the transformation from K to K′ must be the identical transformation.Thus

φ(v)φ(−v) = 1.

We now inquire into the signification of φ(v). We give our attention to thatpart of the axis of Y of system k which lies between ξ = 0,η = 0,ζ = 0 andξ= 0,η= l ,ζ= 0. This part of the axis of Y is a rod moving perpendicularly

5The equations of the Lorentz transformation may be more simply deduced directlyfrom the condition that in virtue of those equations the relation x2 + y2 + z2 = c2t 2 shallhave as its consequence the second relation ξ2 +η2 +ζ2 = c2τ2.

**Editor’s note: In Einstein’s original paper, the symbols (Ξ,H,Z) for the co-ordinates ofthe moving system k were introduced without explicitly defining them. In the 1923 Englishtranslation, (X,Y,Z) were used, creating an ambiguity between X co-ordinates in the fixedsystem K and the parallel axis in moving system k. Here and in subsequent referenceswe use Ξ when referring to the axis of system k along which the system is translating withrespect to K. In addition, the reference to system K′ later in this sentence was incorrectlygiven as “k” in the 1923 English translation.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay C–13

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APÉNDICE C: ON THE ELECTRODYNAMICS. . . , BY A. EINSTEIN [v.1.0]

to its axis with velocity v relatively to system K. Its ends possess in K theco-ordinates

x1 = v t , y1 = l

φ(v), z1 = 0

andx2 = v t , y2 = 0, z2 = 0.

The length of the rod measured in K is therefore l/φ(v); and this gives usthe meaning of the function φ(v). From reasons of symmetry it is nowevident that the length of a given rod moving perpendicularly to its axis,measured in the stationary system, must depend only on the velocity andnot on the direction and the sense of the motion. The length of the movingrod measured in the stationary system does not change, therefore, if v and−v are interchanged. Hence follows that l /φ(v) = l /φ(−v), or

φ(v) =φ(−v).

It follows from this relation and the one previously found that φ(v) = 1, sothat the transformation equations which have been found become

τ = β(t − v x/c2),

ξ = β(x − v t ),

η = y,

ζ = z,

whereβ= 1/

√1− v2/c2.

§4. Physical Meaning of the Equations Obtained in Respectto Moving Rigid Bodies and Moving Clocks

We envisage a rigid sphere6 of radius R, at rest relatively to the movingsystem k, and with its centre at the origin of co-ordinates of k. The equation

6That is, a body possessing spherical form when examined at rest.

C–14 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

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[v.1.0] I. Kinematical part

of the surface of this sphere moving relatively to the system K with velocityv is

ξ2 +η2 +ζ2 = R2.

The equation of this surface expressed in x, y , z at the time t = 0 is

x2

(p

1− v2/c2)2+ y2 + z2 = R2.

A rigid body which, measured in a state of rest, has the form of a sphere,therefore has in a state of motion—viewed from the stationary system—theform of an ellipsoid of revolution with the axes

R√

1− v2/c2, R, R.

Thus, whereas the Y and Z dimensions of the sphere (and thereforeof every rigid body of no matter what form) do not appear modified bythe motion, the X dimension appears shortened in the ratio 1 :

p1− v2/c2,

i.e. the greater the value of v , the greater the shortening. For v = c allmoving objects—viewed from the “stationary” system—shrivel up into planefigures.** For velocities greater than that of light our deliberations becomemeaningless; we shall, however, find in what follows, that the velocity oflight in our theory plays the part, physically, of an infinitely great velocity.

It is clear that the same results hold good of bodies at rest in the “station-ary” system, viewed from a system in uniform motion.

Further, we imagine one of the clocks which are qualified to mark thetime t when at rest relatively to the stationary system, and the time τ whenat rest relatively to the moving system, to be located at the origin of theco-ordinates of k, and so adjusted that it marks the time τ. What is the rateof this clock, when viewed from the stationary system?

Between the quantities x, t, and τ, which refer to the position of the clock,we have, evidently, x = v t and

τ= 1p1− v2/c2

(t − v x/c2).

**Editor’s note: In the 1923 English translation, this phrase was erroneously translated as“plain figures”. I have used the correct “plane figures” in this edition.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay C–15

Page 224: Edc Garay Notas

APÉNDICE C: ON THE ELECTRODYNAMICS. . . , BY A. EINSTEIN [v.1.0]

Therefore,τ= t

√1− v2/c2 = t − (1−

√1− v2/c2)t

whence it follows that the time marked by the clock (viewed in the station-ary system) is slow by 1−

p1− v2/c2 seconds per second, or—neglecting

magnitudes of fourth and higher order—by 12 v2/c2.

From this there ensues the following peculiar consequence. If at thepoints A and B of K there are stationary clocks which, viewed in the stationarysystem, are synchronous; and if the clock at A is moved with the velocityv along the line AB to B, then on its arrival at B the two clocks no longersynchronize, but the clock moved from A to B lags behind the other whichhas remained at B by 1

2 t v2/c2 (up to magnitudes of fourth and higher order),t being the time occupied in the journey from A to B.

It is at once apparent that this result still holds good if the clock movesfrom A to B in any polygonal line, and also when the points A and B coincide.

If we assume that the result proved for a polygonal line is also valid for acontinuously curved line, we arrive at this result: If one of two synchronousclocks at A is moved in a closed curve with constant velocity until it returnsto A, the journey lasting t seconds, then by the clock which has remained atrest the travelled clock on its arrival at A will be 1

2 t v2/c2 second slow. Thencewe conclude that a balance-clock7 at the equator must go more slowly, by avery small amount, than a precisely similar clock situated at one of the polesunder otherwise identical conditions.

§5. The Composition of Velocities

In the system k moving along the axis of X of the system K with velocityv , let a point move in accordance with the equations

ξ= wξτ,η= wητ,ζ= 0,

where wξ and wη denote constants.

7Not a pendulum-clock, which is physically a system to which the Earth belongs. Thiscase had to be excluded.

C–16 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 225: Edc Garay Notas

[v.1.0] I. Kinematical part

Required: the motion of the point relatively to the system K. If with thehelp of the equations of transformation developed in § 3 we introduce thequantities x, y , z, t into the equations of motion of the point, we obtain

x = wξ+ v

1+ v wξ/c2t ,

y =p

1− v2/c2

1+ v wξ/c2wηt ,

z = 0.

Thus the law of the parallelogram of velocities is valid according to ourtheory only to a first approximation. We set

V 2 =(

d x

d t

)2

+(

d y

d t

)2

,

w 2 = w 2ξ +w 2

η,

a = tan−1 wη/wξ, **

a is then to be looked upon as the angle between the velocities v and w .After a simple calculation we obtain

V =√

(v2 +w 2 +2v w cos a)− (v w sin a/c)2

1+ v w cos a/c2.

It is worthy of remark that v and w enter into the expression for the resultantvelocity in a symmetrical manner. If w also has the direction of the axis of X,we get

V = v +w

1+ v w/c2.

It follows from this equation that from a composition of two velocities whichare less than c, there always results a velocity less than c. For if we set

**Editor’s note: This equation was incorrectly given in Einstein’s original paper and the1923 English translation as a = tan−1 wy /wx .

Electrodinámica clásica Luis J. Garay C–17

Page 226: Edc Garay Notas

APÉNDICE C: ON THE ELECTRODYNAMICS. . . , BY A. EINSTEIN [v.1.0]

v = c −κ, w = c −λ, κ and λ being positive and less than c, then

V = c2c −κ−λ

2c −κ−λ+κλ/c< c.

It follows, further, that the velocity of light c cannot be altered by compo-sition with a velocity less than that of light. For this case we obtain

V = c +w

1+w/c= c.

We might also have obtained the formula for V, for the case when v andw have the same direction, by compounding two transformations in ac-cordance with § 3. If in addition to the systems K and k figuring in § 3 weintroduce still another system of co-ordinates k ′ moving parallel to k, itsinitial point moving on the axis of Ξ** with the velocity w , we obtain equa-tions between the quantities x, y , z, t and the corresponding quantities ofk ′, which differ from the equations found in § 3 only in that the place of “v”is taken by the quantity

v +w

1+ v w/c2;

from which we see that such parallel transformations—necessarily—form agroup.

We have now deduced the requisite laws of the theory of kinematics cor-responding to our two principles, and we proceed to show their applicationto electrodynamics.

**Editor’s note: “X” in the 1923 English translation.

C–18 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 227: Edc Garay Notas

[v.1.0] II. Electrodynamical part

II. Electrodynamical part

§6. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations forEmpty Space. On the Nature of the Electromotive ForcesOccurring in a Magnetic Field During Motion

Let the Maxwell-Hertz equations for empty space hold good for thestationary system K, so that we have

1

c

∂X

∂t= ∂N

∂y− ∂M

∂z,

1

c

∂L

∂t= ∂Y

∂z− ∂Z

∂y,

1

c

∂Y

∂t= ∂L

∂z− ∂N

∂x,

1

c

∂M

∂t= ∂Z

∂x− ∂X

∂z,

1

c

∂Z

∂t= ∂M

∂x− ∂L

∂y,

1

c

∂N

∂t= ∂X

∂y− ∂Y

∂x,

where (X, Y, Z) denotes the vector of the electric force, and (L, M, N) that ofthe magnetic force.

If we apply to these equations the transformation developed in § 3, byreferring the electromagnetic processes to the system of co-ordinates thereintroduced, moving with the velocity v , we obtain the equations

Electrodinámica clásica Luis J. Garay C–19

Page 228: Edc Garay Notas

APÉNDICE C: ON THE ELECTRODYNAMICS. . . , BY A. EINSTEIN [v.1.0]

1

c

∂X

∂τ= ∂

∂η

β

(N− v

cY)

− ∂

∂ζ

β

(M+ v

cZ)

,

1

c

∂τ

β

(Y− v

cN

)= ∂L

∂ξ− ∂

∂ζ

β

(N− v

cY)

,

1

c

∂τ

β

(Z+ v

cM

)= ∂

∂ξ

β

(M+ v

cZ)

− ∂L

∂η,

1

c

∂L

∂τ= ∂

∂ζ

β

(Y− v

cN

)− ∂

∂η

β

(Z+ v

cM

),

1

c

∂τ

β

(M+ v

cZ)

= ∂

∂ξ

β

(Z+ v

cM

)− ∂X

∂ζ,

1

c

∂τ

β

(N− v

cY)

= ∂X

∂η− ∂

∂ξ

β

(Y− v

cN

),

whereβ= 1/

√1− v2/c2.

Now the principle of relativity requires that if the Maxwell-Hertz equa-tions for empty space hold good in system K, they also hold good in systemk; that is to say that the vectors of the electric and the magnetic force—(X′,Y′, Z′) and (L′, M′, N′)—of the moving system k, which are defined by theirponderomotive effects on electric or magnetic masses respectively, satisfythe following equations:

1

c

∂X′

∂τ= ∂N′

∂η− ∂M′

∂ζ,

1

c

∂L′

∂τ= ∂Y′

∂ζ− ∂Z′

∂η,

1

c

∂Y′

∂τ= ∂L′

∂ζ− ∂N′

∂ξ,

1

c

∂M′

∂τ= ∂Z′

∂ξ− ∂X′

∂ζ,

1

c

∂Z′

∂τ= ∂M′

∂ξ− ∂L′

∂η,

1

c

∂N′

∂τ= ∂X′

∂η− ∂Y′

∂ξ.

Evidently the two systems of equations found for system k must expressexactly the same thing, since both systems of equations are equivalent tothe Maxwell-Hertz equations for system K. Since, further, the equations ofthe two systems agree, with the exception of the symbols for the vectors, it

C–20 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 229: Edc Garay Notas

[v.1.0] II. Electrodynamical part

follows that the functions occurring in the systems of equations at corre-sponding places must agree, with the exception of a factor ψ(v), which iscommon for all functions of the one system of equations, and is independentof ξ,η,ζ and τ but depends upon v . Thus we have the relations

X′ =ψ(v)X, L′ =ψ(v)L,

Y′ =ψ(v)β(Y− v

cN

), M′ =ψ(v)β

(M+ v

cZ)

,

Z′ =ψ(v)β(Z+ v

cM

), N′ =ψ(v)β

(N− v

cY)

.

If we now form the reciprocal of this system of equations, firstly bysolving the equations just obtained, and secondly by applying the equationsto the inverse transformation (from k to K), which is characterized by thevelocity −v , it follows, when we consider that the two systems of equationsthus obtained must be identical, that ψ(v)ψ(−v) = 1. Further, from reasonsof symmetry8 and therefore

ψ(v) = 1,

and our equations assume the form

X′ = X, L′ = L,

Y′ =β(Y− v

cN

), M′ =β

(M+ v

cZ)

,

Z′ =β(Z+ v

cM

), N′ =β

(N− v

cY)

.

As to the interpretation of these equations we make the following remarks:Let a point charge of electricity have the magnitude “one” when measured inthe stationary system K, i.e. let it when at rest in the stationary system exerta force of one dyne upon an equal quantity of electricity at a distance of onecm. By the principle of relativity this electric charge is also of the magnitude“one” when measured in the moving system. If this quantity of electricity is

8If, for example, X=Y=Z=L=M=0, and N 6= 0, then from reasons of symmetry it is clearthat when v changes sign without changing its numerical value, Y′ must also change signwithout changing its numerical value.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay C–21

Page 230: Edc Garay Notas

APÉNDICE C: ON THE ELECTRODYNAMICS. . . , BY A. EINSTEIN [v.1.0]

at rest relatively to the stationary system, then by definition the vector (X,Y, Z) is equal to the force acting upon it. If the quantity of electricity is atrest relatively to the moving system (at least at the relevant instant), then theforce acting upon it, measured in the moving system, is equal to the vector(X′, Y′, Z′). Consequently the first three equations above allow themselves tobe clothed in words in the two following ways:

1. If a unit electric point charge is in motion in an electromagnetic field,there acts upon it, in addition to the electric force, an “electromotive force”which, if we neglect the terms multiplied by the second and higher powersof v/c, is equal to the vector-product of the velocity of the charge and themagnetic force, divided by the velocity of light. (Old manner of expression.)

2. If a unit electric point charge is in motion in an electromagnetic field,the force acting upon it is equal to the electric force which is present at thelocality of the charge, and which we ascertain by transformation of the fieldto a system of co-ordinates at rest relatively to the electrical charge. (Newmanner of expression.)

The analogy holds with “magnetomotive forces.” We see that electro-motive force plays in the developed theory merely the part of an auxiliaryconcept, which owes its introduction to the circumstance that electric andmagnetic forces do not exist independently of the state of motion of thesystem of co-ordinates.

Furthermore it is clear that the asymmetry mentioned in the introduc-tion as arising when we consider the currents produced by the relativemotion of a magnet and a conductor, now disappears. Moreover, questionsas to the “seat” of electrodynamic electromotive forces (unipolar machines)now have no point.

§7. Theory of Doppler’s Principle and of Aberration

In the system K, very far from the origin of co-ordinates, let there be asource of electrodynamic waves, which in a part of space containing the

C–22 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 231: Edc Garay Notas

[v.1.0] II. Electrodynamical part

origin of co-ordinates may be represented to a sufficient degree of approxi-mation by the equations

X = X0 sinΦ, L = L0 sinΦ,

Y = Y0 sinΦ, M = M0 sinΦ,

Z = Z0 sinΦ, N = N0 sinΦ,

where

Φ=ω

t − 1

c(l x +my +nz)

.

Here (X0, Y0, Z0) and (L0, M0, N0) are the vectors defining the amplitude ofthe wave-train, and l ,m,n the direction-cosines of the wave-normals. Wewish to know the constitution of these waves, when they are examined byan observer at rest in the moving system k.

Applying the equations of transformation found in § 6 for electric andmagnetic forces, and those found in § 3 for the co-ordinates and the time,we obtain directly

X′ = X0 sinΦ′, L′ = L0 sinΦ′,Y′ =β(Y0 − vN0/c)sinΦ′, M′ =β(M0 + vZ0/c)sinΦ′,Z′ =β(Z0 + vM0/c)sinΦ′, N′ =β(N0 − vY0/c)sinΦ′,

Φ′ =ω′τ− 1

c(l ′ξ+m′η+n′ζ)

,

where

ω′ = ωβ(1− l v/c),

l ′ = l − v/c

1− l v/c,

m′ = m

β(1− l v/c),

n′ = n

β(1− l v/c).

Electrodinámica clásica Luis J. Garay C–23

Page 232: Edc Garay Notas

APÉNDICE C: ON THE ELECTRODYNAMICS. . . , BY A. EINSTEIN [v.1.0]

From the equation for ω′ it follows that if an observer is moving withvelocity v relatively to an infinitely distant source of light of frequency ν, insuch a way that the connecting line “source-observer” makes the angle φwith the velocity of the observer referred to a system of co-ordinates which isat rest relatively to the source of light, the frequency ν′ of the light perceivedby the observer is given by the equation

ν′ = ν1−cosφ · v/cp1− v2/c2

.

This is Doppler’s principle for any velocities whatever. When φ = 0 theequation assumes the perspicuous form

ν′ = ν√

1− v/c

1+ v/c.

We see that, in contrast with the customary view, when v =−c,ν′ =∞.

If we call the angle between the wave-normal (direction of the ray) in themoving system and the connecting line “source-observer” φ′, the equationfor φ′** assumes the form

cosφ′ = cosφ− v/c

1−cosφ · v/c.

This equation expresses the law of aberration in its most general form. Ifφ= 1

2π, the equation becomes simply

cosφ′ =−v/c.

We still have to find the amplitude of the waves, as it appears in themoving system. If we call the amplitude of the electric or magnetic force Aor A′ respectively, accordingly as it is measured in the stationary system orin the moving system, we obtain

A′2 = A2 (1−cosφ · v/c)2

1− v2/c2

**Editor’s note: Erroneously given as “l ′” in the 1923 English translation, propagating anerror, despite a change in symbols, from the original 1905 paper.

C–24 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 233: Edc Garay Notas

[v.1.0] II. Electrodynamical part

which equation, if φ= 0, simplifies into

A′2 = A2 1− v/c

1+ v/c.

It follows from these results that to an observer approaching a source oflight with the velocity c , this source of light must appear of infinite intensity.

§8. Transformation of the Energy of Light Rays. Theory ofthe Pressure of Radiation Exerted on Perfect Reflectors

Since A2/8π equals the energy of light per unit of volume, we have toregard A′2/8π, by the principle of relativity, as the energy of light in themoving system. Thus A′2/A2 would be the ratio of the “measured in motion”to the “measured at rest” energy of a given light complex, if the volume of alight complex were the same, whether measured in K or in k. But this is notthe case. If l ,m,n are the direction-cosines of the wave-normals of the lightin the stationary system, no energy passes through the surface elements of aspherical surface moving with the velocity of light:

(x − lct )2 + (y −mct )2 + (z −nct )2 = R2.

We may therefore say that this surface permanently encloses the same lightcomplex. We inquire as to the quantity of energy enclosed by this surface,viewed in system k, that is, as to the energy of the light complex relatively tothe system k.

The spherical surface—viewed in the moving system—is an ellipsoidalsurface, the equation for which, at the time τ= 0, is

(βξ− lβξv/c)2 + (η−mβξv/c)2 + (ζ−nβξv/c)2 = R2.

If S is the volume of the sphere, and S′ that of this ellipsoid, then by a simplecalculation

S′

S=

p1− v2/c2

1−cosφ · v/c.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay C–25

Page 234: Edc Garay Notas

APÉNDICE C: ON THE ELECTRODYNAMICS. . . , BY A. EINSTEIN [v.1.0]

Thus, if we call the light energy enclosed by this surface E when it is measuredin the stationary system, and E′ when measured in the moving system, weobtain

E′

E= A′2S′

A2S= 1−cosφ · v/cp

1− v2/c2,

and this formula, when φ= 0, simplifies into

E′

E=

√1− v/c

1+ v/c.

It is remarkable that the energy and the frequency of a light complex varywith the state of motion of the observer in accordance with the same law.

Now let the co-ordinate plane ξ = 0 be a perfectly reflecting surface,at which the plane waves considered in § 7 are reflected. We seek for thepressure of light exerted on the reflecting surface, and for the direction,frequency, and intensity of the light after reflexion.

Let the incidental light be defined by the quantities A, cosφ, ν (referredto system K). Viewed from k the corresponding quantities are

A′ = A1−cosφ · v/cp

1− v2/c2,

cosφ′ = cosφ− v/c

1−cosφ · v/c,

ν′ = ν1−cosφ · v/cp

1− v2/c2.

For the reflected light, referring the process to system k, we obtain

A′′ = A′

cosφ′′ = −cosφ′

ν′′ = ν′

C–26 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 235: Edc Garay Notas

[v.1.0] II. Electrodynamical part

Finally, by transforming back to the stationary system K, we obtain for thereflected light

A′′′ = A′′ 1+cosφ′′ · v/cp1− v2/c2

= A1−2cosφ · v/c + v2/c2

1− v2/c2,

cosφ′′′ = cosφ′′+ v/c

1+cosφ′′ · v/c=− (1+ v2/c2)cosφ−2v/c

1−2cosφ · v/c + v2/c2,

ν′′′ = ν′′1+cosφ′′ · v/cp

1− v2/c2= ν1−2cosφ · v/c + v2/c2

1− v2/c2.

The energy (measured in the stationary system) which is incident uponunit area of the mirror in unit time is evidently A2(c cosφ−v)/8π. The energyleaving the unit of surface of the mirror in the unit of time isA′′′2(−c cosφ′′′+ v)/8π. The difference of these two expressions is, by theprinciple of energy, the work done by the pressure of light in the unit of time.If we set down this work as equal to the product Pv , where P is the pressureof light, we obtain

P = 2 · A2

(cosφ− v/c)2

1− v2/c2.

In agreement with experiment and with other theories, we obtain to a firstapproximation

P = 2 · A2

8πcos2φ.

All problems in the optics of moving bodies can be solved by the methodhere employed. What is essential is, that the electric and magnetic force ofthe light which is influenced by a moving body, be transformed into a systemof co-ordinates at rest relatively to the body. By this means all problems inthe optics of moving bodies will be reduced to a series of problems in theoptics of stationary bodies.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay C–27

Page 236: Edc Garay Notas

APÉNDICE C: ON THE ELECTRODYNAMICS. . . , BY A. EINSTEIN [v.1.0]

§9. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations whenConvection-Currents are Taken into Account

We start from the equations

1

c

∂X

∂t+uxρ

= ∂N

∂y− ∂M

∂z,

1

c

∂L

∂t= ∂Y

∂z− ∂Z

∂y,

1

c

∂Y

∂t+uyρ

= ∂L

∂z− ∂N

∂x,

1

c

∂M

∂t= ∂Z

∂x− ∂X

∂z,

1

c

∂Z

∂t+uzρ

= ∂M

∂x− ∂L

∂y,

1

c

∂N

∂t= ∂X

∂y− ∂Y

∂x,

where

ρ = ∂X

∂x+ ∂Y

∂y+ ∂Z

∂z

denotes 4π times the density of electricity, and (ux ,uy ,uz) the velocity-vector of the charge. If we imagine the electric charges to be invariablycoupled to small rigid bodies (ions, electrons), these equations are the elec-tromagnetic basis of the Lorentzian electrodynamics and optics of movingbodies.

Let these equations be valid in the system K, and transform them, withthe assistance of the equations of transformation given in §§ 3 and 6, to thesystem k. We then obtain the equations

1

c

∂X′

∂τ+uξρ

′= ∂N′

∂η− ∂M′

∂ζ,

1

c

∂L′

∂τ= ∂Y′

∂ζ− ∂Z′

∂η,

1

c

∂Y′

∂τ+uηρ

′= ∂L′

∂ζ− ∂N′

∂ξ,

1

c

∂M′

∂τ= ∂Z′

∂ξ− ∂X′

∂ζ,

1

c

∂Z′

∂τ+uζρ

′= ∂M′

∂ξ− ∂L′

∂η,

1

c

∂N′

∂τ= ∂X′

∂η− ∂Y′

∂ξ,

C–28 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 237: Edc Garay Notas

[v.1.0] II. Electrodynamical part

where

uξ = ux − v

1−ux v/c2

uη = uy

β(1−ux v/c2)

uζ = uz

β(1−ux v/c2),

and

ρ′ = ∂X′

∂ξ+ ∂Y′

∂η+ ∂Z ′

∂ζ

= β(1−ux v/c2)ρ.

Since —as follows from the theorem of addition of velocities (§ 5)— thevector (uξ,uη,uζ) is nothing else than the velocity of the electric charge,measured in the system k, we have the proof that, on the basis of our kine-matical principles, the electrodynamic foundation of Lorentz’s theory ofthe electrodynamics of moving bodies is in agreement with the principle ofrelativity.

In addition I may briefly remark that the following important law mayeasily be deduced from the developed equations: If an electrically chargedbody is in motion anywhere in space without altering its charge when re-garded from a system of co-ordinates moving with the body, its charge alsoremains—when regarded from the “stationary” system K—constant.

§10. Dynamics of the Slowly Accelerated Electron

Let there be in motion in an electromagnetic field an electrically chargedparticle (in the sequel called an “electron”), for the law of motion of whichwe assume as follows:

Electrodinámica clásica Luis J. Garay C–29

Page 238: Edc Garay Notas

APÉNDICE C: ON THE ELECTRODYNAMICS. . . , BY A. EINSTEIN [v.1.0]

If the electron is at rest at a given epoch, the motion of the electronensues in the next instant of time according to the equations

md 2x

d t 2= εX

md 2 y

d t 2= εY

md 2z

d t 2= εZ

where x, y, z denote the co-ordinates of the electron, and m the mass of theelectron, as long as its motion is slow.

Now, secondly, let the velocity of the electron at a given epoch be v . Weseek the law of motion of the electron in the immediately ensuing instantsof time.

Without affecting the general character of our considerations, we mayand will assume that the electron, at the moment when we give it our at-tention, is at the origin of the co-ordinates, and moves with the velocity valong the axis of X of the system K. It is then clear that at the given moment(t = 0) the electron is at rest relatively to a system of co-ordinates which is inparallel motion with velocity v along the axis of X.

From the above assumption, in combination with the principle of rel-ativity, it is clear that in the immediately ensuing time (for small values oft) the electron, viewed from the system k, moves in accordance with theequations

md 2ξ

dτ2= εX′,

md 2η

dτ2= εY′,

md 2ζ

dτ2= εZ′,

in which the symbols ξ, η, ζ, X′, Y′, Z′ refer to the system k. If, further, wedecide that when t = x = y = z = 0 then τ= ξ= η= ζ= 0, the transformation

C–30 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 239: Edc Garay Notas

[v.1.0] II. Electrodynamical part

equations of §§ 3 and 6 hold good, so that we have

ξ=β(x − v t ), η= y, ζ= z, τ=β(t − v x/c2),

X′ = X, Y′ =β(Y− vN/c), Z′ =β(Z+ vM/c).

With the help of these equations we transform the above equations ofmotion from system k to system K, and obtain

d 2x

d t 2= ε

mβ3X

d 2 y

d t 2= ε

(Y− v

cN

)(A)

d 2z

d t 2= ε

(Z+ v

cM

)Taking the ordinary point of view we now inquire as to the “longitudinal”

and the “transverse” mass of the moving electron. We write the equations(A) in the form

mβ3 d 2x

d t 2= εX = εX′,

mβ2 d 2 y

d t 2= εβ

(Y− v

cN

)= εY′,

mβ2 d 2z

d t 2= εβ

(Z+ v

cM

)= εZ′,

and remark firstly that εX′, εY′, εZ′ are the components of the ponderomotiveforce acting upon the electron, and are so indeed as viewed in a systemmoving at the moment with the electron, with the same velocity as theelectron. (This force might be measured, for example, by a spring balance atrest in the last-mentioned system.) Now if we call this force simply “the forceacting upon the electron,”9 and maintain the equation—mass × acceleration

9The definition of force here given is not advantageous, as was first shown by M. Planck.It is more to the point to define force in such a way that the laws of momentum and energyassume the simplest form.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay C–31

Page 240: Edc Garay Notas

APÉNDICE C: ON THE ELECTRODYNAMICS. . . , BY A. EINSTEIN [v.1.0]

= force—and if we also decide that the accelerations are to be measured inthe stationary system K, we derive from the above equations

Longitudinal mass = m

(p

1− v2/c2)3.

Transverse mass = m

1− v2/c2.

With a different definition of force and acceleration we should naturallyobtain other values for the masses. This shows us that in comparing differenttheories of the motion of the electron we must proceed very cautiously.

We remark that these results as to the mass are also valid for ponderablematerial points, because a ponderable material point can be made into anelectron (in our sense of the word) by the addition of an electric charge, nomatter how small.

We will now determine the kinetic energy of the electron. If an electronmoves from rest at the origin of co-ordinates of the system K along the axisof X under the action of an electrostatic force X, it is clear that the energywithdrawn from the electrostatic field has the value

∫εXd x. As the electron

is to be slowly accelerated, and consequently may not give off any energy inthe form of radiation, the energy withdrawn from the electrostatic field mustbe put down as equal to the energy of motion W of the electron. Bearing inmind that during the whole process of motion which we are considering,the first of the equations (A) applies, we therefore obtain

W =∫εXd x = m

∫ v

0β3v d v

= mc2

1p1− v2/c2

−1

.

Thus, when v = c, W becomes infinite. Velocities greater than that oflight have—as in our previous results—no possibility of existence.

This expression for the kinetic energy must also, by virtue of the argu-ment stated above, apply to ponderable masses as well.

C–32 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 241: Edc Garay Notas

[v.1.0] II. Electrodynamical part

We will now enumerate the properties of the motion of the electronwhich result from the system of equations (A), and are accessible to experi-ment.

1. From the second equation of the system (A) it follows that an electricforce Y and a magnetic force N have an equally strong deflective action onan electron moving with the velocity v , when Y = Nv/c. Thus we see thatit is possible by our theory to determine the velocity of the electron fromthe ratio of the magnetic power of deflexion Am to the electric power ofdeflexion Ae , for any velocity, by applying the law

Am

Ae= v

c.

This relationship may be tested experimentally, since the velocity ofthe electron can be directly measured, e.g. by means of rapidly oscillatingelectric and magnetic fields.

2. From the deduction for the kinetic energy of the electron it followsthat between the potential difference, P, traversed and the acquired velocityv of the electron there must be the relationship

P =∫

Xd x = m

εc2

1p

1− v2/c2−1

.

3. We calculate the radius of curvature of the path of the electron when amagnetic force N is present (as the only deflective force), acting perpendicu-larly to the velocity of the electron. From the second of the equations (A) weobtain

−d 2 y

d t 2= v2

R= ε

m

v

cN

√1− v2

c2

or

R = mc2

ε· v/cp

1− v2/c2· 1

N.

These three relationships are a complete expression for the laws accord-ing to which, by the theory here advanced, the electron must move.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay C–33

Page 242: Edc Garay Notas

APÉNDICE C: ON THE ELECTRODYNAMICS. . . , BY A. EINSTEIN [v.1.0]

In conclusion I wish to say that in working at the problem here dealt withI have had the loyal assistance of my friend and colleague M. Besso, and thatI am indebted to him for several valuable suggestions.

C–34 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

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[v.1.0] II. Electrodynamical part

ABOUT THIS DOCUMENT

This edition of Einstein’s On the Electrodynamics of Moving Bodies is basedon the English translation of his original 1905 German-language paper (pub-lished as Zur Elektrodynamik bewegter Körper, in Annalen der Physik 17(1905) 891) which appeared in the book The Principle of Relativity, pub-lished in 1923 by Methuen and Company, Ltd. of London. Most of thepapers in that collection are English translations from the German Das Rela-tivatsprinzip, 4th ed., published by in 1922 by Tuebner. All of these sourcesare now in the public domain; this document, derived from them, remainsin the public domain and may be reproduced in any manner or mediumwithout permission, restriction, attribution, or compensation.

Numbered footnotes are as they appeared in the 1923 edition; editor’snotes are marked by a dagger (†) and appear in sans serif type. The 1923English translation modified the notation used in Einstein’s 1905 paper toconform to that in use by the 1920’s; for example, c denotes the speed oflight, as opposed the V used by Einstein in 1905.

This edition was prepared by John Walker. The current version of thisdocument is available in a variety of formats from the editor’s Web site:

http://www.fourmilab.ch/

Electrodinámica clásica Luis J. Garay C–35

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Page 245: Edc Garay Notas

[v.1.0]

Apéndice D

Does the Inertia of a Body Dependupon its Energy-Content?,by A. Einstein

Electrodinámica clásica Luis J. Garay D–1

Page 246: Edc Garay Notas
Page 247: Edc Garay Notas

[v.1.0] Does the Inertia of a Body Depend upon its Energy-Content?

Does the Inertia of a Body Depend upon itsEnergy-Content?

by A. Einstein

September 27, 1905

The results of the previous investigation lead to a very interesting con-clusion, which is here to be deduced.

I based that investigation on the Maxwell-Hertz equations for emptyspace, together with the Maxwellian expression for the electromagneticenergy of space, and in addition the principle that:

The laws by which the states of physical systems alter are independent ofthe alternative, to which of two systems of coordinates, in uniform motionof parallel translation relatively to each other, these alterations of state arereferred (principle of relativity).

With these principles* as my basis I deduced inter alia the followingresult (§ 8):

Let a system of plane waves of light, referred to the system of co-ordinates(x, y, z), possess the energy l ; let the direction of the ray (the wave-normal)make an angle φ with the axis of x of the system. If we introduce a newsystem of co-ordinates (ξ,η,ζ) moving in uniform parallel translation withrespect to the system (x, y, z), and having its origin of co-ordinates in motionalong the axis of x with the velocity v , then this quantity of light—measuredin the system (ξ,η,ζ)—possesses the energy

l∗ = l1− v

c cosφp1− v2/c2

where c denotes the velocity of light. We shall make use of this result in whatfollows.

*The principle of the constancy of the velocity of light is of course contained in Maxwell’sequations.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay D–3

Page 248: Edc Garay Notas

APÉNDICE D: DOES THE INERTIA. . . ?, BY A. EINSTEIN [v.1.0]

Let there be a stationary body in the system (x, y, z), and let its energy—referred to the system (x, y, z) be E0. Let the energy of the body relative tothe system (ξ,η,ζ) moving as above with the velocity v , be H0.

Let this body send out, in a direction making an angleφwith the axis of x,plane waves of light, of energy 1

2 L measured relatively to (x, y, z), and simul-taneously an equal quantity of light in the opposite direction. Meanwhilethe body remains at rest with respect to the system (x, y, z). The principle ofenergy must apply to this process, and in fact (by the principle of relativity)with respect to both systems of co-ordinates. If we call the energy of thebody after the emission of light E1 or H1 respectively, measured relativelyto the system (x, y, z) or (ξ,η,ζ) respectively, then by employing the relationgiven above we obtain

E0 = E1 + 1

2L+ 1

2L,

H0 = H1 + 1

2L

1− vc cosφp

1− v2/c2+ 1

2L

1+ vc cosφp

1− v2/c2

= H1 + Lp1− v2/c2

.

By subtraction we obtain from these equations

H0 −E0 − (H1 −E1) = L

1p

1− v2/c2−1

.

The two differences of the form H−E occurring in this expression havesimple physical significations. H and E are energy values of the same bodyreferred to two systems of co-ordinates which are in motion relatively toeach other, the body being at rest in one of the two systems (system (x, y, z)).Thus it is clear that the difference H−E can differ from the kinetic energyK of the body, with respect to the other system (ξ,η,ζ), only by an additiveconstant C, which depends on the choice of the arbitrary additive constantsof the energies H and E. Thus we may place

H0 −E0 = K0 +C,

H1 −E1 = K1 +C,

D–4 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 249: Edc Garay Notas

[v.1.0] Does the Inertia of a Body Depend upon its Energy-Content?

since C does not change during the emission of light. So we have

K0 −K1 = L

1p

1− v2/c2−1

.

The kinetic energy of the body with respect to (ξ,η,ζ) diminishes as aresult of the emission of light, and the amount of diminution is independentof the properties of the body. Moreover, the difference K0−K1, like the kineticenergy of the electron (§ 10), depends on the velocity.

Neglecting magnitudes of fourth and higher orders we may place

K0 −K1 = 1

2

L

c2v2.

From this equation it directly follows that:

If a body gives off the energy L in the form of radiation, its mass diminishesby L/c2. The fact that the energy withdrawn from the body becomes energyof radiation evidently makes no difference, so that we are led to the moregeneral conclusion that

The mass of a body is a measure of its energy-content; if the energychanges by L, the mass changes in the same sense by L/9×1020, the energybeing measured in ergs, and the mass in grammes.

It is not impossible that with bodies whose energy-content is variable toa high degree (e.g. with radium salts) the theory may be successfully put tothe test.

If the theory corresponds to the facts, radiation conveys inertia betweenthe emitting and absorbing bodies.

Electrodinámica clásica Luis J. Garay D–5

Page 250: Edc Garay Notas

APÉNDICE D: DOES THE INERTIA. . . ?, BY A. EINSTEIN [v.1.0]

ABOUT THIS DOCUMENT

This edition of Einstein’s Does the Inertia of a Body Depend upon its Energy-Content is based on the English translation of his original 1905 German-language paper (published as Ist die Trägheit eines Körpers von seinem En-ergiegehalt abhängig?, in Annalen der Physik 18 (1905) 639) which appearedin the book The Principle of Relativity, published in 1923 by Methuen andCompany, Ltd. of London. Most of the papers in that collection are Englishtranslations by W. Perrett and G.B. Jeffery from the German Das Relativat-sprinzip, 4th ed., published by in 1922 by Tuebner. All of these sourcesare now in the public domain; this document, derived from them, remainsin the public domain and may be reproduced in any manner or mediumwithout permission, restriction, attribution, or compensation.

The footnote is as it appeared in the 1923 edition. The 1923 Englishtranslation modified the notation used in Einstein’s 1905 paper to conformto that in use by the 1920’s; for example, c denotes the speed of light, asopposed the V used by Einstein in 1905. In this paper Einstein uses L todenote energy; the italicised sentence in the conclusion may be written asthe equation “m = L/c2” which, using the more modern E instead of L todenote energy, may be trivially rewritten as “E = mc2”.

This edition was prepared by John Walker. The current version of thisdocument is available in a variety of formats from the editor’s Web site:

http://www.fourmilab.ch/

D–6 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 251: Edc Garay Notas

[v.1.0]

Apéndice F

Fórmulas

~u · (~u ×~v) = 0 (F.1.1)

~u × (~v × ~w) = (~u · ~w)~v − (~u ·~v)~w (F.1.2)

(~u ×~v) · (~w ×~z) = (~u · ~w)(~v ·~z)− (~u ·~z)(~v · ~w) (F.1.3)

~u · (~v × ~w) =~v · (~w ×~u) = ~w · (~u ×~v) (F.1.4)

~∇· (~u ×~v) =~v · (~∇×~u)−~u · (~∇×~v) (F.2.1)

~∇(~u ·~v) = (~u ·~∇)~v + (~v ·~∇)~u +~u × (~∇×~v)+~v × (~∇×~u) (F.2.2)

~∇· ( f ~u) =~∇ f ·~u + f~∇·~u (F.2.3)

~∇× ( f ~u) =~∇ f ×~u + f~∇×~u (F.2.4)

~∇× (~u ×~v) =~u(~∇·~v)−~v(~∇·~u)+ (~v ·~∇)~u − (~u ·~∇)~v (F.2.5)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay F–1

Page 252: Edc Garay Notas

APÉNDICE F. FÓRMULAS [v.1.0]

~∇× (~∇×~v) =~∇(~∇·~v)−~∇2~v (F.3.1)

~∇· (~∇× ~G) = 0 (F.3.2)

~∇× (~∇G) = 0 (F.3.3)

~∇· ( f~∇g ) =~∇ f ·~∇g + f~∇2g (F.3.4)

~∇×~x = 0 (F.4.1)

~∇·~x = 3 (F.4.2)

~∇ 1

‖~x‖ =− x

‖~x‖2(F.4.3)

~∇2 1

‖~x‖ =−4πδ3(~x) (F.4.4)

~∇· ~x

‖~x‖3=−~∇2 1

‖~x‖ = 4πδ3(~x) (F.4.5)

~∇‖~x‖ = x (F.4.6)

Cambio de base: de coordenadas cartesianas a esféricas

ex = senθcosϕ er +cosθcosϕ eθ− senϕ eϕ (F.5.1)

ey = senθ senϕ er +cosθ senϕ eθ+cosϕ eϕ (F.5.2)

ez = cosθ er − senθ eθ (F.5.3)

er = senθcosϕ ex + senθ senϕ ey +cosθ ez (F.5.4)

eθ = cosθcosϕ ex +cosθ senϕ ey − senθ ez (F.5.5)

eϕ =−senϕ ex +cosϕ ey (F.5.6)

F–2 Luis J. Garay Electrodinámica clásica

Page 253: Edc Garay Notas

[v.1.0]

Laplaciano en coordenadas esféricas:

~∇2 f = 1

r 2∂r (r 2∂r f )+ 1

r 2 senθ∂θ(senθ∂θ f )+ 1

r 2 sen2θ∂2φ f (F.6.1)

Laplaciano bidimensional en coordenadas polares:

~∇2 f = 1

r∂r (r∂r f )+ 1

r∂2ϕ f (F.6.2)

La delta de Dirac y la transformada de Fourier:

p2πδ(x) = 1p

∫ ∞

−∞dke−i kx (F.6.3)

Electrodinámica clásica Luis J. Garay F–3

Page 254: Edc Garay Notas