ed wilson espanol cortesia

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Computers and Structures, Inc.Berkeley, California, USA

Primera Edicin en Espaol

Anlisis Esttico y Dinmico

de Estructuras Un Enfoque Fsico

Con nfasis en Ingeniera Ssmica

Edward L. Wilson Profesor Emrito de Ingeniera Estructural

Universidad de California en Berkeley

Traduccin

www.morrisoningenieros.com

Revisin Tcnica

Ing. Carlos A. Prato, Ph.D. Profesor Titular Plenario del Departamento de Estructuras

Universidad Nacional de Crdoba, Argentina

Ing. Fernando Gonzalo Vsquez, Ph.D. Profesor Asociado

Universidad Nacional de Ingeniera, Per

Ing. Alberto Guzmn De La Cruz, Ph.D. Coordinador del Area de Estructuras

Universidad Politcnica de Puerto Rico, Puerto Rico

Ing. Emilio Cruz Herasme, M.Sc. Profesor Asociado

Universidad Nacional Pedro Henrquez Urea, Repblica Dominicana


Derechos Reservados por Computers and Structures, Inc. Ninguna parte de esta publicacin puede ser reproducida o distribuida de ninguna forma o por ningn

medio, sin un permiso escrito previo de Computers and Structures, Inc.

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LA INGENIERA ESTRUCTURAL

EL ARTE DE UTILIZAR MATERIALES Que Tienen Propiedades Que Slo Pueden Ser Estimadas

PARA CONSTRUIR ESTRUCTURAS REALES Que Slo Pueden Ser Analizadas Aproximadamente

QUE SOPORTAN FUERZAS

Que No son Conocidas con Precisin

DE MANERA QUE NUESTRA RESPONSABILIDAD CON

EL PBLICO SEA SATISFECHA.

Adoptado de un Autor Annimo


Anlisis Esttico y Dinmico de Estructuras

Edward L. Wilson, D. Ing.El Profesor Wilson posee ms de 45 aos de experiencia profesional en la Ingeniera Civil, Mecnica y A eroespacial. Fue P rofesor de I ngeniera E structural d e l a Universidad d e C alifornia e n B erkeley dur ante e l p erodo d e 1965 a l 1991 , y ha publicado ms de 180 artculos y libros. Sus aportes a la investigacin y al desarrollo le ha n cosechado numerosos p remios, incluyendo su eleccin a la A cademia Nacional de Ingeniera en el ao 1985.

En e l a o 1961, el P rofesor W ilson e scribi e l p rimer pr ograma a utomatizado de computadora de anlisis de elementos finitos, y fue quien origin el desarrollo de la serie de programas de computadora CAL, SAP y ETABS. Estos programas s on conocidos por su precisin y velocidad, y su empleo de algoritmos numricos muy eficientes y elementos finitos precisos. Durante los ltimos diez aos, Ed Wilson ha trabajado como Consultor Senior de la CSI en la programacin y la documentacin de dichos nuevos mtodos de anlisis estructural computacional.

El pr incipal objetivo de este l ibro es resumir el desarrollo terico de los elementos finitos y los mtodos numricos empleados en las ltimas versiones de los programas SAP y ETABS. La mayora de los elementos y mtodos numricos que se usan en estos programas son nuevos, y no se presentan en libros de texto actuales sobre el anlisis e structural. Adems, este libro resume l as ec uaciones fundamentales de l a mecnica.


Se r equieren conocimientos m atemticos m nimos pa ra comprender p lenamente e l material presentado en este l ibro. S in embargo, es imprescindible una comprensin del c omportamiento f sico de e structuras. N o s e r equieren c onocimientos de programacin de computadoras.

Se presenta un nuevo elemento de CSCARA cuadrilateral con grados de libertad de rotacin normales, el cual es preciso para placas finas y gruesas, y cscaras. Por lo tanto, se pueden conectar los elementos de cscara fcilmente a los elementos clsicos de PRTICO. Se puede utilizar el elemento SOLIDO tridimensional para modelar tanto lquidos como slidos.

Se pr esenta el an lisis d inmico como una e xtensin lgica de l anlisis es ttico donde se agregan fuerzas de inercia y amortiguamiento para satisfacer el equilibrio en cada punto cronolgico. El uso de Vectores Dependientes de Carga Ritz (LDR, por sus si glas en ingls) en un anlisis d inmico produce resultados m ucho ms precisos que el empleo de los autovectores dinmicos exactos.

El uso de vectores LDR permite que se extienda el mtodo clsico de superposicin modal al an lisis di nmico no-lineal, utilizando el mtodo de Anlisis Rpido No-Lineal (FNA, por sus siglas en ingls). Este nuevo mtodo de anlisis dinmico no-lineal permite que estructuras con un nmero limitado de elementos no-lineales sean analizadas casi en el mismo t iempo de computacin que lo que se requiere para un anlisis dinmico de la misma estructura.

Este libro es de lectura ob ligator ia para todo investigador y profesional que trabaja en el campo de la ingeniera estructural moderna.


Prlogo de la Cuarta Edicin

Esta edicin del libro contiene correcciones y adiciones a la edicin de Julio del 2000. A juzgar por los comentarios de los lectores, el libro ha sido muy exitoso desde la publicacin de la p rimera e dicin en 1 998. D e t odas f ormas, t odos l os libros t cnicos tienen existencia limitada y deben ser modificados y expandidos peridicamente. Ha sido agregado el Captulo 23 acerca de la interaccin fluido-estructura de los tipos de cargas d urante t erremotos. E n es te ca pitulo e sta d emostrado q ue el elemento S OLID tridimensional en S AP2000 puede ser u tilizado para modelar f luidos interactuando c on estructuras slidas. El elemento incluye el efecto de compresibilidad exacta y masa de los fluidos. Un Pequeo modulo de cortante es utilizado para estabilizar la malla y para aproximar la viscosidad del fluido. Problemas, tales como la respuesta ssmica de los sistemas de embalse de las presas, puedan ahora ser modelados de forma precisa con el programa SAP2000. Por t anto, la necesidad de utilizar programas para objetivos especficos p ara es ta clase de problemas ha si do eliminado. A dems, ya n o es requerida la adicin de aproximacin de masa. Esta edicin puede ser utilizada como un libro de referencia bsica por el elemento tecnologa y el mtodo numrico utilizado en SAP2000, ETABS y SAFE. De todos modos estos programas contienen muchas opciones practicas que no son cubiertas en el libro. Algunos ejemplos de estas opciones son carga incremental por construccin, anlisis de pushover, y degradacin de la rigidez de los elementos. Muchos de estos temas est n disponibles en la p agina w eb www.csiberkeley.como www.edwilson.org. Si usted tiene alguna pregunta terica relacionada con el material presentado en este libro me puede contactar a t ravs de correo electrnico en [email protected]. Para preguntas relacionadas con el uso de los programas de computadoras por favor contacte a CSI.

Edward L. WilsonAgosto 2004


Prlogo de la Tercera Edicin

Esta edicin del libro contiene correcciones y adiciones a la edicin de julio del 2000. L a mayor parte del material nuevo ha sido agregado en respuesta a l as preguntas y comentarios de los usuarios del SAP2000, ETABS, y SAFE. El Captulo 22 ha sido escrito acerca del empleo directo de cargas ssmicas por desplazamiento absolutos que a ctan en la b ase d e la estructura. Varios t ipos nuevos de er rores numricos han s ido identificados para ca rgas de desplazamiento ab soluto. Primero, l a naturaleza f undamental de la ca rga por desplazamiento absoluto es significativamente diferente a la carga por aceleracin en la base empleada tradicionalmente en l a i ngeniera s smica. Segundo, s e requiere u n intervalo de i ntegracin menor para de finir los desplazamientos ssmicos y p ara resolver l as ecu aciones d el equilibrio d inmico. Tercero, s e necesita de un nm ero elevado de modos para que la carga de desplazamiento absoluta arroje la misma precisin que la producida cuando una aceleracin en la base es utilizada como carga. Cuarto, la regla del 90 por ciento de la masa, no se aplica para la carga de desplazamiento absoluto. Finalmente el amortiguamiento modal efectivo para cargas por desplazamiento es mayor que cuando se emplea la carga por aceleracin. Para reducir los errores asociados a la carga por desplazamiento, se ha introducido en el cap tulo 13 un m todo de or den superior d e integracin b asado en u na variacin cbica de las cargas con respecto al lapso. Adicionalmente, los factores por participacin esttico y dinmico han sido definidos para permitir al ingeniero estructural m inimizar los errores as ociados c on c argas por desplazamiento. Adicionalmente el captulo 19 de amortiguamiento viscoso ha sido ampliado para ilustrar el efecto fsico del amortiguamiento modal en los resultados del anlisis dinmico. El Apndice H, acerca de la velocidad de las computadoras personales modernas ha sido actualizado. H oy e s pos ible c omprar un a c omputadora pe rsonal por aproximadamente $1 ,500.00 que e s 2 5 v eces m s r pida que la CRAY d e $10,000,000 producida en 1974. Otras adiciones y modificaciones han sido realizadas en esta impresin. Por favor enve sus comentarios y preguntas [email protected] .

Edward L. Wilson Agosto 2000


Comentarios Personales

Mi profesor de fsica de primer ao de la universidad adverta dogmticamente a la clase no usen una ecuacin que no puedan demostrar. El mismo instructor una vez declar Si un a pe rsona tiene cinco minutos p ara r esolver u n problema de l cual dependiera su vida, el individuo debe de emplear tres minutos leyendo y entendiendo claramente el pr oblema. En los ltimos cuarenta aos e sta simple observacin prctica ha guiado mi trabajo y espero que la misma filosofa haya sido transmitida a mis est udiantes. Con respecto a la i ngeniera estructural m oderna uno pu ede reformular esas observaciones como no utilicen un programa de anlisis estructural a menos que usted entienda completamente la teora y aproximaciones contenidas en el pr ograma y no ha ga un m odelo d e c omputadora hasta que l as cargas, propiedades de l os m ateriales y c ondiciones de frontera no estn claramente definidos. Por lo tanto, el propsito principal de este libro es presentar los antecedentes tericos necesarios de manera que el usuario de programas de computadoras para el anlisis estructural pueda e ntender l as ap roximaciones b sicas implementadas dentro de l programa, verifique y asuma su responsabilidad profesional de los resultados. Se asume que el l ector t iene conocimientos de esttica, mecnica de slidos y anlisis estructural elemental. El nivel de conocimientos esperado es igual al de un individuo con una l icenciatura en Ingeniera Civil o Mecnica. Notacin matricial y vectorial elementales son definidos en los apndices y son usados profusamente. Antecedentes en notacin tensorial y variables complejas no son requeridos. Todas l as ecuaciones son desarrolladas usando un enfoque fsico puesto que este libro est escrito para estudiantes y profesionales de l a i ngeniera, y no pa ra mis colegas acadmicos. E l anlisis es tructural tridimensional e s r elativamente simple debido a l a a lta v elocidad de l a computadora m oderna. P or l o t anto, todas l as ecuaciones son presentadas en forma tridimensional, y se incluyen automticamente las pr opiedades de los materiales anisotrpicos. N o se r equieren antecedentes de programacin de com putadoras para ut ilizar un pr ograma de c omputadora inteligentemente. Sin embargo, algoritmos numricos detallados han sido dados para que el lector entienda completamente los mtodos computacionales que se resumen en e ste l ibro. Los apndices contienen un sumario elemental de los mtodos numricos usados; s in embargo, no debera ser necesario emplear tiempo adicional leyendo artculos de investigacin para entender la teora presentada en este libro.

El autor h a d esarrollado y p ublicado m uchas t cnicas de computacin p ara el a nlisis esttico y dinmico de estructuras. H a sido motivo de satisfaccin personal el hecho de que muchos profesionales de la ingeniera hayan encontrado tiles estos m todos d e computacin. Por lo tanto, una razn por la cual compilar este libro terico y de aplicacin


es co nsolidar en una p ublicacin dicha investigacin y d esarrollo. Adicionalmente, e l reciente d esarrollado an lisis n o lineal rpido (FNA), y ot ros m todos numricos s on presentados en detalle por primera vez.

Las leyes fundamentales de la fsica, que son la base del anlisis esttico y dinmico de estructuras, t ienen ms de 100 aos de edad. Por lo tanto, cualquiera que crea que haya descubierto un principio nuevo de mecnica, es vctima de su propia ignorancia. Este libro contiene trucos computacionales que el autor ha considerado efectivos para el desarrollo de programas de anlisis estructural.

El anlisis esttico y dinmico ha sido automatizado a un alto grado por la existencia de computadoras personales econmicas. Sin embargo, el campo de la ingeniera estructural, en mi opinin, nunca ser automatizado. La idea de que un sistema experto de programas de c omputadoras con in teligencia ar tificial r eemplazar la c reatividad hum ana e s un insulto a todos los ingenieros estructurales.

El material en este libro ha evolucionado a travs de lo ltimos 35 aos con la ayuda de mis antiguos estudiantes y colegas profesionales. Sus contribuciones s on reconocidas. Ashraf H abibullah I qbal S ubarwardy, R obert M orris, S yed H asanain, Dolly G urola, M arilyn Wilkes y Randy C orson de Computers and S tructures, Inc., merecen un reconocimiento especial. Adicionalmente, me gustara agradecer al gran nmero de i ngenieros es tructurales que ha n usado la ser ie de p rogramas T ABS y SAP. Ellos han provisto la motivacin para esta publicacin. El material presentado en la primera edicin de Anlisis Dinmico Tridimensional de Estructuras est inc luido y actualizado en e ste l ibro. E spero a nsiosamente por comentarios y preguntas adicionales de los lectores en orden de expandir el material en futuras ediciones de este libro.

Edward L. Wilson

Agosto 2004


CONTENIDO1. Propiedades de los Materiales

1.1 Introduccin

1.2 Materiales Anisotrpicos

1.3 Uso de las Propiedades de los Materiales en Programas de Computadora

1.4 Materiales Ortotrpicos

1.5 Materiales Isotrpicos

1.6 Deformacin en el Plano en Materiales Isotrpicos

1.7 Esfuerzo en el Plano en Materiales Isotrpicos

1.8 Propiedades Materiales Parecidos a Fluidos

1.9 Velocidades de Onda de Cortante y Compresin

1.10 Propiedades de Materiales Axisimtricos

1.11 Relaciones de Fuerza-Deformacin

1.12 Resumen

1.13 Referencias

2. Equilibrio y Compatibilidad2.1 Introduccin

2.2 Ecuaciones Fundamentales de Equilibrio

2.3 Resultantes de Esfuerzo - Fuerzas y Momentos

2.4 Requisitos de Compatibilidad

2.5 Ecuaciones de Desplazamiento de Deformacin

2.6 Definicin de Rotacin

2.7 Ecuaciones en la Frontera entre Materiales

2.8 Ecuaciones de Acoplamiento en Sistemas de Elementos Finitos

2.9 Estructuras Estticamente Determinadas

2.10 Matriz de Transformacin de Desplazamientos

2.11 Matrices de Rigidez y Flexibilidad del Elemento

2.12 Solucin de Sistemas Estticamente Determinados


ANLISIS ESTTICO Y DINMICOii

2.13 Solucin General de Sistemas Estructurales

2.14 Resumen

2.15 Referencias

3. Energa y Trabajo3.1 Introduccin

3.2 Trabajo Virtual y Trabajo Real

3.3 Energa Potencial y Energa Cintica

3.4 Energa de Deformacin

3.5 Trabajo Externo

3.6 Principio de Energa Estacionaria

3.7 Mtodo de la Fuerza

3.8 Ecuacin de Movimiento de Lagrange

3.9 Conservacin del Momento

3.10 Resumen

3.11 Refererencias

4. Elementos Unidimensionales4.1 Introduccin

4.2 Anlisis de un Elemento Axial

4.3 Elemento de Prtico Bidimensional

4.4 Elemento de Prtico Tridimensional

4.5 Liberacin del Extremo del Elemento

4.6 Resumen 4-13

5. Elementos Isoparamtricos5.1 Introduccin 5-1

5.2 Ejemplo Sencillo Unidimensional

5.3 Frmulas de Integracin Unidimensionales

5.4 Restriccin sobre las ubicaciones de los Nodos Intermedios

5.5 Funciones de Formas Bidimensionales

5.6 Integracin Numrica en Dos Dimensiones

5.7 Funciones de Forma Tridimensionales


CONTENIDO iii

5.8 Elementos Triangulares y Tetradricos

5.9 Resumen

5.10 Referencias

6. Elementos Incompatibles6.1 Introduccin

6.2 Elementos con Cortante Fijo

6.3 Adicin de Modos Incompatibles

6.4 Formacin de la Matriz de Rigidez del Elemento

6.5 Elementos Bidimensionales Incompatibles

6.6 Ejemplo Usando Desplazamientos Incompatibles

6.7 Elementos Tridimensionales Incompatibles

6.8 Resumen

6.9 Referencias

7. Condiciones de Bordes y Restricciones Generales7.1 Introduccin

7.2 Condiciones de Frontera de Desplazamientos

7.3 Problemas Numricos en el Anlisis Estructural

7.4 Teora General Asociada a las Restricciones

7.5 Restricciones sobre el Diafragma del Piso

Restricciones Rgidas

Uso de Restricciones en Anlisis de Viga-Losa

Uso de Restricciones en el Anlisis de Muro de Cortante

Uso de Restricciones para Transiciones de Malla

Multiplicadores Lagrange y Funciones de Penalidad

Resumen

8. Elementos de Flexin en Losa8.1 Introduccin

8.2 El Elemento Cuadrilateral

8.3 Ecuaciones Deformacin-Desplazamiento

8.4 La Rigidez del Elemento Cuadrilateral


ANLISIS ESTTICO Y DINMICOiv

8.5 Satisfaciendo la Prueba de Grupo

8.6 Condensacin Esttica

8.7 Elemento de Flexin en Placa Triangular

8.8 Otros Elementos de Flexin de Placa

8.9 Ejemplos Numricos 8.9.1 Un Elemento Viga 8.9.2 Carga Puntual en Placa Cuadrada con Soporte Simple 8.9.3 Carga Uniforme en Placa Cuadrada con Soporte Simple 8.9.4 Evaluacin de Elementos de Flexin en Placa Triangular 8.9.5 Uso de Elementos Placas para Modelar Torsin en Vigas

8.10 Resumen 8.11 Referencias

9. Elemento de Membrana con Rotaciones Normales9.1 Introduccin

9.2 Suposiciones Bsicas

9.3 Aproximacin de Desplazamiento

9.4 Introduccin de Rotacin de Nodo

9.5 Ecuaciones de Deformacin - Desplazamiento

9.6 Relacin Esfuerzo - Deformacin

9.7 Transformacin Relativa a Rotaciones Absolutas

9.8 Elemento de Membrana Triangular

9.9 Ejemplo Numrico

9.10 Resumen

9.11 Referencias

10. Elementos de Cscara10.1 Introduccin

10.2 Un Simple Elemento de Cscara Cuadrilateral

10.3 Modelos de Cscaras Curvos con Elementos Planos

10.4 Elementos de Cscara Triangulares

10.5 Elementos Slidos para Anlisis de Cscaras

10.6 Anlisis de Bveda de Can Scordelis-Lo

10.7 Ejemplo de Cscara Hemisfrica


CONTENIDO v

10.8 Resumen

10.9 Referencias

11. Rigidez Geomtrica y Efectos P-Delta11.1 Definicin de Rigidez Geomtrica

Anlisis Aproximado de Pandeo

Anlisis P-Delta de Edificios

Ecuaciones para Edificios Tridimensionales

Magnitud de Efectos P-Delta

Anlisis P-Delta usando Programa de Computo sin Modificacin

Longitud Efectiva Factores K

Formulacin General de la Rigidez Geomtrica

Resumen

Referencias

12. Anlisis Dinmico12.1 Introduccin

12.2 Equilibrio Dinmico

12.3 Mtodo de Solucin Paso a Paso

12.4 Mtodo de Superposicin Modal

12.5 Anlisis Espectral

12.6 Solucin en el Dominio de Frecuencia

12.7 Solucin de Ecuaciones Lineales

12.8 Respuesta Armnica no Amortiguada

12.9 Vibracin Libre no Amortiguada

12.10 Resumen

12.11 Referencias

13. Anlisis Dinmico Utilizando la Superposicin de Modo13.1 Ecuaciones a Resolver

13.2 Transformacin a Ecuaciones Modales

13.3 Respuesta Debida a Condiciones Iniciales

13.4 Solucin General Debido a Carga Arbitraria


ANLISIS ESTTICO Y DINMICOvi

13.5 Solucin para Cargas Peridicas

13.6 Factores de Masa Participante

13.7 Factores de Participacin de Cargas Estticas

13.8 Coeficientes de Participacin de Carga Dinmica

13.9 Resumen

14. Clculo de Vectores Ortogonales de Rigidez y Masa14.1 Introduccin

14.2 Mtodo de Bsqueda del Determinante

14.3 Chequeo de Secuencia Sturm

14.4 Iteracin Inversa

14.5 Ortogonalizacin de Gram-Schmidt

14.6 Iteracin en el Sub-espacio

14.7 Solucin de Sistemas Singulares

14.8 Generacin de Vectores Ritz Dependientes de Carga

14.9 Explicacin Fsica del Algoritmo LDR

14.10 Comparacin de Soluciones usando Vectores Eigen y Ritz

14.11 Correccin para Truncado de Modos Superiores

14.12 Respuesta Ssmica en la Direccin Vertical

14.13 Resumen

14.14 Referencias

15. Anlisis Dinmico con Carga Ssmica de Espectro de Respuesta 15.1 Introduccin

15.2 Definicin de un Espectro de Respuesta

15.3 Clculo de Respuesta Modal

15.4 Curvas Tpicas del Espectro de Respuesta

15.5 Mtodo CQC de Combinacin Modal

15.6 Ejemplo Numrico de Combinacin Modal

15.7 Espectros de Diseo

15.8 Efectos Ortogonales en el Anlisis Espectral

15.8.1 Ecuaciones Bsicas para el Clculo de Fuerzas Espectrales

15.8.2 El Mtodo General CQC3


CONTENIDO vii

15.8.3 Ejemplos de Anlisis de Espectros Tridimensionales

15.8.4 Recomendaciones sobre Efectos Ortogonales 15.9 Limitaciones del Mtodo de Espectro de Respuesta

15.9.1 Clculos de las Deriva de Piso 15.9.2 Estimacin de Esfuerzos Espectrales en Vigas 15.9.3 Revisin de Diseo para Vigas de Acero y Concreto 15.9.4 Clculo de Fuerza Cortante en Pernos

15.10 Resumen

15.11 Referencias

16. Interaccin Suelo Estructura16.1 Introduccin

16.2 Anlisis de Respuesta de Sitio

16.3 Cinemtica o Interaccin Suelo Estructura

16.4 Respuesta debido a Movimientos Mltiples de Apoyos

16.5 Anlisis de Presa de Gravedad y Fundacin

16.6 Aproximacin de Fundacin sin Masa

16.7 Condiciones Aproximadas de Radiacin de Frontera

16.8 Uso de Resortes en la Base de una Estructura

16.9 Resumen

16.10 Referencias

17. Modelado en Anlisis Ssmico Cumpliendo con Cdigos de Edificaciones17.1 Introduccin

17.2 Modelo Computarizado Tridimensional

17.3 Formas y Frecuencias de los Modos Tridimensionales 17.4 Anlisis Dinmico Tridimensional

17.4.1 Cortante Dinmico de Cortante Base 17.4.2 Definicin de Direcciones Principales 17.4.3 Efectos Direccionales y Ortogonales 17.4.4 Mtodo Bsico de Anlisis Ssmico 17.4.5 Escalando Resultados 17.4.6 Desplazamientos Dinmicos y Fuerzas de Elementos 17.4.7 Efectos por Torsin

17.5 Ejemplo Numrico


ANLISIS ESTTICO Y DINMICOviii

17.6 Resumen del Mtodo de Anlisis Dinmico

17.7 Resumen

17.8 Referencias

18. Anlisis No-Lineal Rpido18.1 Introduccin

18.2 Estructuras que Tengan un Nmero Limitado de Elementos No-Lineales

18.3 Ecuaciones Fundamentales de Equilibrio

18.4 Clculo de Fuerzas No-Lineales

18.5 Transformacin a Coordenadas Modales

18.6 Solucin de Ecuaciones Modales No-Lineales

18.7 Anlisis Esttico No-Lineal para Estructura de Prtico

18.8 Anlisis Dinmico No-Lineal para Estructura de Prtico

18.9 Anlisis Ssmico de Tanque Elevado de Agua

18.10 Resumen

19. Amortiguamiento Viscoso Lineal19.1 Introduccin

19.2 Disipacin de Energa en Estructuras Reales

19.3 Interpretacin Fsica del Amortiguamiento Viscoso

19.4 El Amortiguacin Modal Viola Equilibrio Dinmico

19.5 Ejemplo Numrico

19.6 Amortiguamiento Proporcional de Rigidez y Masa

19.7 Clculo de Matriz Ortogonal de Amortiguamiento

19.8 Estructuras con Amortiguamiento No-Clsico

19.9 Disipacin No-Lineal de Energa

19.10 Resumen

19.11 Referencias

20. Anlisis Dinmico Utilizando la Integracin Numrica20.1 Introduccin

20.2 Familia de Mtodos Newmark

20.3 Estabilidad del Mtodo Newmark


CONTENIDO ix

20.4 El Mtodo de la Aceleracin Promedio

20.5 El Factor de Wilson

20.6 Uso de Amortiguamiento Proporcional de Rigidez

20.7 Mtodo Hilber, Hughes y Taylor

20.8 Seleccin de un Mtodo de Integracin Directa

20.9 Anlisis No-Lineal

20.10 Resumen

20.11 Referencias

21. Elementos No-Lineales21.1 Introduccin

21.2 Elemento General Tridimensional de Dos Nudos

21.3 Elemento de Plasticidad General

21.4 Diferentes Propiedades Positivas y Negativas

21.5 Elemento Brecha Bilineal de Tensin-Fluencia

21.6 Elemento No-Lineal Brecha-Choque

21.7 Elementos de Amortiguamiento Viscoso

21.8 Elemento Tridimensional Friccin-Brecha

21.9 Resumen

22. Anlisis Ssmico Utilizando Carga de Desplazamiento22.1 Introduccin

22.2 Ecuaciones de Equilibrio para entrada de Desplazamiento

22.3 Uso de Desplazamientos Pseudo-Estticos

22.4 Solucin de Ecuaciones de Equilibrio Dinmico

22.5 Ejemplo Numrico 22.5.1 Estructura de Ejemplo 22.5.2 Carga Ssmica 22.5.3 Efecto del Lapso para Amortiguamiento Cero 22.5.4 Anlisis Ssmico Para Amortiguamiento Finito 22.5.5 Efecto del Truncamiento de Modos

22.6 Uso de Vectores Dependendientes de Carga Ritz

22.7 Solucin usando Integracin Paso-a-Paso

22.8 Resumen


ANLISIS ESTTICO Y DINMICOx

23. INTERACCIN FLUIDO-ESTRUCTURA 23.1 Introduccin

23.2 Interaccin Fluido-Estructura

23.3 Modelo De Elementos Finitos De La Interfaz Presa-Fundacin

23.4 Cargas Debidas Al Empuje De Boyamiento Y Presin De Poro Del Agua

23.5 Clculo De Las Presiones De Poro Del Agua Empleando El Sap 2000

23.6 Seleccin Del Valor De La Rigidez Del Elemento Gap

23.7 Ecuaciones Fundamentales De La Dinmica De Fluidos

23.8 Relacin Entre Presin Y Velocidad

23.9 Equilibrio En La Interfaz De Dos Materiales

23.10 Condiciones De Frontera De Irradiacin

23.11 Modos De Oleaje De La Superficie

23.12 Propagacin Vertical De Las Ondas

23.13 El Documento Westergaard

23.14 Anlisis Dinmico De Emblases Rectangulares

23.15 Fronteras Absorbedoras De Energa Del Embalse

23.16 Formulaciones Relativa Vs Absoluta

23.17 Efecto Del Escaln De La Compuerta En La Presin

23.18 Anlisis Ssmico De Compuertas Radiales

23.19 Observaciones Finales

23.20 Referencias

Apndice A Notacin de VectorA.1 Introduccin

A.2 Producto Vectorial

A.3 Vectores para Definir un Sistema Referencia Local

A.4 Subrutinas Fortran para Operaciones Vectoriales


CONTENIDO xi

Apndice B Notacin de MatricialB.1 Introduccin

B.2 Definicin de notacin Matricial

B.3 Transpuesta de una Matriz y Multiplicacin Escalar

B.4 Definicin de una Operacin Numrica

B.5 Programacin de Productos Matriciales

B.6 Orden de Multiplicacin de Matriz

B.7 Resumen

Apndice C Solucin o Inversin de Ecuaciones LinealesC.1 Introduccin

C.2 Ejemplo Numrico

C.3 Algoritmo de Eliminacin Gauss

C.4 Solucin de un Sistema General de Ecuaciones Lineales

C.5 Alternativa de Pivotaje

C.6 Inversin de Matrices

C.7 Interpretacin Fsica de Inversin de Matricial

C.8 Eliminacin Parcial Gauss, Condensacin Esttica y de Sub-estructura

C.9 Almacenamiento de Ecuaciones en Banda o de Perfil

C.10 Factorizacin LDL

C10.1 Triangularizacin o Factorizacin de la Matriz A

C10.2 Reduccin por Adelantado de Matriz b

C10.3 Clculo de X por Substitucin Regresiva

C.11 Cancelacin Diagonal y Precisin Numrica

C.12 Resumen

C.13 Referencias

Apndice D El Problema de Autovalores

D.1 Introduccin

D.2 El Mtodo Jacobi


ANLISIS ESTTICO Y DINMICOxii

D.3 Clculo de Esfuerzos Principales 3d

D.4 Solucin del Problema General de Valores Caractersticos

D.5 Resumen

Apndice E Transformacin de Propiedades de MaterialesE.1 Introduccin

E.2 Resumen

Apndice F Un Elemento de Viga en Base a Desplazamiento con Deformaciones a CortanteF.1 Introduccin

F.2 Suposiciones Bsicas

F.3 rea Efectiva de Cortante

Apndice G Integracin NumricaG.1 Introduccin

G.2 Cuadratura Unidimensional Gauss

G.3 Integracin Numrica en Dos Dimensiones

G.4 Una Regla Bidimensional de Ocho Puntos

G.5 Una Regla de Orden Inferior de Ocho Puntos

G.6 Una Regla de Integracin de Cinco Puntos

G.7 Reglas de Integracin Tridimensional

G.8 Integracin Selectiva

G.9 Resumen

Apndice H Velocidad de Sistemas De ComputadoraH.1 Introduccin

H.2 Definicin de Una Operacin Numrica

H.3 Velocidad de Diferentes Sistemas de Computadoras

H.4 Velocidad de Sistemas de Computadoras Personales

H.5 Sistemas Operativo de Enlace

H.6 Resumen


CONTENIDO xiii

Apndice I Mtodo del Mnimo CuadradoI.1 Ejemplo Simple

I-2 Formulacin General

I-3 Clculo de Esfuerzos Dentro de Elementos Finitos

Apndice J Registros Consistentes de Aceleracin y Desplazamiento Ssmicos

J.1 Introduccin

J.2 Registros de Aceleracin del Terreno

J.3 Clculo de Registros de Aceleracin por Registros de Desplazamiento

J.4 Creacin de un Registro Consistente de Aceleracin

J.5 Resumen

ndice


1.

PROPIEDADES DE LOS MATERIALESLa s Propiedades de los Ma ter ia les Deben Ser Eva lua das

Media nte Pr ueba s de La bor a tor io o de Ca mpo

1.1 INTRODUCCIN

Las ecuaciones fundamentales de la mecnica estructural pueden ser clasificadas en tres categoras [1]. En primer lugar, la relacin esfuerzo-deformacin contiene informacin s obre l as propiedades de los materiales que de ben ser ev aluadas mediante expe rimentos d e l aboratorio o d e c ampo. E n s egundo l ugar, l a estructura g lobal, c ada e lemento, y c ada pa rtcula infinitesimal de ntro de c ada elemento deben estar en equilibrio de f uerzas e n su pos icin de formada. En tercer l ugar, se deben cumplir las condiciones de com patibilidad de desplazamientos.

De cum plirse l as tres ec uaciones en todo momento, se s atisfacen de m anera automtica otras c ondiciones. Por e jemplo, e n c ualquier m omento da do, el trabajo total de las cargas externas debe ser equivalente a la energa cintica y de deformacin almacenada d entro del s istema est ructural, ms cua lquier e nerga que ha ya sido di sipada por el si stema. El trabajo virtual y los pr incipios d e variacin son de un v alor i mportante en la de rivacin matemtica de ciertas ecuaciones; sin e mbargo, no c onstituyen ecuaciones fundamentales de la mecnica.

1.2 MATERIALES ANISOTRPICOS

Las relaciones l ineales es fuerzo-deformacin contienen las co nstantes d e l as propiedades de m ateriales, que nicamente pueden ser ev aluadas a travs de experimentos de l aboratorio o de c ampo. Las p ropiedades m ecnicas para l a mayora de los materiales comunes, tales como el acero, son bien conocidas, y se


1-2 ANLISIS ESTTICO Y DINMICO

definen en funcin de tres nmeros: el mdulo de elasticidad E, l a relacin de Poisson , y el coeficiente de dilatacin trmica . Adems, el peso especfico wy la densidad se consideran propiedades fundamentales de los materiales.

Antes del desarrollo del mtodo del elemento finito, la mayora de las soluciones analticas en la mecnica de slidos se limitaban a los m ateriales i sotrpicos (propiedades i guales en t odas d irecciones) y hom ogneos ( las m ismas propiedades en todos los puntos de ntro de l s lido). Desde l a i ntroduccin del mtodo de elemento finito, ya no existe esta limitacin. Por lo tanto, es razonable comenzar c on una de finicin de m aterial a nisotrpico, qu e pue de s er m uy diferente en cada elemento de una estructura.

La de finicin d e los esfuerzos positivos, en referencia a un sistema 1-2-3 ortogonal, se presenta en la Figura 1.1.

F igura 1.1 Convencin de los Esfuerzos Positivos

1

2

3

2

3

1 21

23

31

12

32 13


PROPIEDADES DE LOS MATERIALES 1-3

Por de finicin, t odos los esfuerzos vienen dados en uni dades de fuerza-por-unidad de rea. En notacin matricial, los seis esfuerzos independientes pueden ser definidos mediante:

[ ]233121321 =Tf (1.1)

Del e quilibrio, 12 = 21, 31 = 13 y 32 = 23. Las s eis de formaciones correspondientes de ingeniera son:

[ ]233121321 =Td (1.2) La f orma ms g eneral de l a r elacin t ridimensional esf uerzo-deformacin pa ra materiales estructurales l ineales sujetos tanto a los esfuerzos mecnicos como a cambios de temperatura puede expresarse de manera matricial como [2]:

+

=

23

31

21

3

2

1

23

31

21

3

2

1

65

65

4

64

3

63

2

62

1

61

6

56

54

54

3

53

2

52

1

51

6

46

5

45

43

43

2

42

1

41

6

36

4

35

4

34

32

32

1

31

6

26

5

25

4

24

3

23

21

21

6

16

5

15

4

14

3

13

2

12

1

23

31

21

3

2

1

1

1

1

1

1

1

T

EEEEEE

EEEEEE

EEEEEE

EEEEEE

EEEEEE

EEEEEE

(1.3)

O en forma matricial simblica:

aCfd T+= (1.4)

La matriz C se conoce como la matriz de correlacin, y puede considerarse como la definicin ms fundamental de las propiedades de materiales porque todos los trminos pueden ser evaluados directamente a t ravs de sencillos experimentos de l aboratorio. C ada columna de l a m atriz C representa las de formaciones causadas por la aplicacin de un esfuerzo unitario. El incremento de temperatura

T viene dado en referencia a la temperatura a esfuerzo cero. La matriz a indica las deformaciones causadas por un incremento unitario de temperatura.



Los pr incipios b sicos de e nerga requieren qu e l a m atriz C para m ateriales lineales sea simtrica. Por lo tanto,

i

ji

j

ij

EE

= (1.5)

Sin embargo, debido a errores de medicin o algn pequeo comportamiento no lineal del material, no se satisface esta co ndicin de manera idntica para l a mayora de l os materiales. P or ende, esos v alores e xperimentales no rmalmente son promediados de manera que los valores simtricos puedan ser aprovechados en el anlisis.

1.3 USO DE LAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES EN PROGRAMAS DE COMPUTADORA

La ma yora de l os pr ogramas modernos de c omputadoras para e l anlisis d e elementos finitos ex igen que l os e sfuerzos se an expresados en trminos de l as deformaciones y cambios de temperatura. Por lo tanto, se requiere una ecuacin de la siguiente forma dentro del programa:

0fEdf += (1.6)

donde E = C-1. Por lo tanto, los e sfuerzos trmicos de cero-deformacin se

definen como sigue:

aEf0 - T= (1.7)

La i nversin num rica d e l a matriz C 6x6 para m ateriales a nisotrpicos complejos s e r ealiza de ntro del p rograma de computadora. Por l o tanto, no s e requiere calcular la matriz E en forma analtica segn se indica en muchos libros clsicos sobre la mecnica de slidos. Adems, los esfuerzos trmicos iniciales se evalan numricamente dentro del programa. Por consiguiente, para la mayora de los m ateriales an isotrpicos, los da tos b sicos di gitados se rn veintiuna constantes elsticas, ms seis coeficientes de dilatacin trmica.

Adems de los esfuerzos trmicos, pueden existir esfuerzos iniciales para muchos tipos diferentes de s istemas estructurales. Dichos esfuerzos iniciales pueden ser el resultado de la fabricacin o el historial de la construccin de la estructura. De



conocerse dichos esfuerzos iniciales, stos pueden ser agregados directamente a la Ecuacin (1.7).

1.4 MATERIALES ORTOTRPICOS

El t ipo de m aterial anisotrpico ms com n es aquel en el cua l los esfuerzos cortantes, actuando en los tres planos de referencia, no provocan deformaciones normales. Para este c aso espe cial, el m aterial se de fine c omo ortotrpico, pudindose expresarse la Ecuacin (1.3) como sigue:

+

=

0

0

0

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

3

2

1

23

31

21

3

2

1

6

5

4

32

32

1

31

3

23

21

21

3

13

2

12

1

23

31

21

3

2

1

T

G

G

G

EEE

EEE

EEE

(1.8)

Para el m aterial ortotrpico, la m atriz c tiene nueve c onstantes de materiales independientes, y existen tres coeficientes de dilatacin trmica independientes. Este tipo de propiedad material es muy comn. Por ejemplo, las rocas, el concreto, la m adera y muchos m ateriales r eforzados c on f ibra e xhiben un comportamiento or totrpico. S in e mbargo, s e d ebe s ealar que pr uebas d e laboratorio indican que la Ecuacin (1.8) constituye solamente una aproximacin al comportamiento real de los materiales.

1.5 MATERIALES ISOTRPICOS

Un material isotrpico posee propiedades iguales en todas direcciones, siendo la aproximacin d e m ayor us o pa ra p ronosticar e l comportamiento de materiales elsticos lineales. Para materiales isotrpicos, la E cuacin (1.3) adopta la siguiente forma:



+

=

0

0

0

1

1

1

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

23

31

21

3

2

1

23

31

21

3

2

1

T

G

G

G

EEE

EEE

EEE

(1.9)

Parece que l a m atriz de corr elacin posee t res co nstantes de l os materiales independientes. Se puede demostrar fcilmente que la aplicacin de un esfuerzo cortante pur o de be pr oducir de formaciones pur as de t ensin y de c ompresin sobre el e lemento si ste se g ira unos 4 5 grados. Usando e sta restriccin, s e puede demostrar que:

)1(2 +

=E

G (1.10)

Por l o tanto, para m ateriales isotrpicos, se t ienen que de finir sol amente el mdulo de Young E y la relacin de Poisson . La mayora de los programas de computadora usan la Ecuacin (1.10) para calcular el mdulo de cortante, en el caso de que no sea especificado.

1.6 DEFORMACIN EN EL PLANO EN MATERIALES ISOTRPICOS

En l os c asos donde 231323131 y , , , , son cero, la e structura se enc uentra en

un e stado de de formacin en el pl ano. Para e ste caso se r educe l a matriz a un arreglo de 3x3. Puede co nsiderarse que l as secciones t ransversales de m uchas presas, tneles y slidos con una dimensin casi infinita a lo largo del eje 3, se encuentran en un estado de deformacin en el plano para carga constante en el plano 1-2. Para materiales isotrpicos y de deformacin en el plano, la relacin esfuerzo-deformacin es:



=

0

1

1

2

2100

01

01

12

2

1

12

2

1

ETE

(1.11)

donde

)21)(1( +

=E

E (1.12)

Para el caso de deformacin en el plano, el desplazamiento y la deformacin en la direccin 3 son cero. Sin embargo, por la Ecuacin (1.8) el esfuerzo normal en la direccin 3 es:

TE += )( 213 (1.13)

Es importante notar que a medida que la relacin de Poisson se acerca a 0.5, algunos trminos en l a relacin e sfuerzo-deformacin t ienden al i nfinito. Estas propiedades reales existen para un material casi incomprensible con un m dulo de cortante relativamente bajo.

1.7 ESFUERZO EN EL PLANO EN MATERIALES ISOTRPICOS

Si 23133 y , , son cero, la estructura se encuentra en un estado de esfuerzo en el plano. Para e ste caso la matriz esf uerzo-deformacin se r educe a un a rreglo 3x3. El comportamiento como membrana de losas y las estructuras de muro de cortante puede considerarse en un estado de deformacin en el plano para carga constante en el plano 1-2. Para materiales isotrpicos y de esfuerzo en el plano, la relacin esfuerzo-deformacin es:

=

0

1

1

2

100

01

01

12

2

1

12

2

1

ETE

(1.14)

donde

)1( 2=

EE (1.15)



1.8 PROPIEDADES DE MATERIALES PARECIDOS A FLUIDOS

Muchos materiales isotrpicos diferentes, que tienen un mdulo de cortante muy bajo en c omparacin c on su m dulo de v olumen, pos een u n c omportamiento parecido al de un fluido. Muchas veces se refiere a estos materiales como slidos casi i ncompresibles. L a terminologa i ncompresible es engaosa, puesto que la compresibilidad, o el mdulo volumtrico, de dichos materiales es normalmente inferior a la de otros slidos. La relacin presin-volumen de un slido o de un fluido puede expresarse como sigue:

= (1.16)

donde es e l m dulo de e xpansin volumtrica del m aterial, q ue debe s er evaluado m ediante pr uebas de l aboratorio de pr esin-volumen. E l c ambio de volumen es equivalente a 1+2+3, y la presin hidrosttica indica esfuerzo constante en todas las d irecciones. De la E cuacin (1.9) se pue de exp resar e l mdulo volumtrico en trminos del mdulo de Young y la relacin de Poisson como sigue:

) 2 - 1

E =

(3 (1.17)

Para l os fluidos, e l m dulo volumtrico es un a c onstante i ndependiente, la relacin de Poisson es 0.5, y e l mdulo de Young y e l mdulo de cortante son cero. Para l os materiales isotrpicos, e l m dulo v olumtrico y e l m dulo d e cortante se conocen como constantes elsticas de Lame, y deben ser considerados como propiedades fundamentales de los materiales tanto para slidos como para fluidos. De la Ecuacin (1.10), l a relacin de P oisson y e l m dulo de Y oung pueden ser calculados en base a lo siguiente:

26

G

+

G 2 3

=

y G = E )1(2 + (1.18a y 1.18b)

Si e l m dulo de cortante s e v uelve pe queo en c omparacin con e l m dulo volumtrico, entonces 5.0 y G E 3 . La Ta bla 1.1 resume l as p ropiedades materiales aproximadas de varios materiales comunes.



Tabla 1.1 Propiedades Mecnicas Aproximadas de Materiales Tpicos

Material E

Mdulo de Young

ksi

Relacin

de Poisson

G Mdulo de Cortante

ksi

Mdulo

Volumtrico ksi

Dilatacin Trmica

-610

wPeso

especfico lb/in3

Acero 29,000 0.30 11,154 16,730 6.5 0.283

Aluminio 10,000 0.33 3,750 7,300 13.0 0.100

Concreto 4,000 0.20 1,667 1,100 6.0 0.087

Mercurio 0 0.50 0 3,300 - 0.540

Agua 0 0.50 0 300 - 0.036

Agua* 0.9 0.4995 0.3 300 - 0.036 * Estas son propiedades aproximadas que pueden ser utilizadas para modelar el agua como un material slido.

Es aparente que la principal diferencia entre lquidos y slidos es que los lquidos poseen un m dulo de c ortante m uy pe queo en comparacin c on e l mdulo volumtrico, y que los lquidos no son incompresibles.

1.9 VELOCIDADES DE ONDA DE CORTANTE Y COMPRESIN

La medicin de las velocidades de onda de compresin y de corte de materiales, que utilizan experimentos de laboratorio o campo constituye otro mtodo sencillo que se ut iliza f recuentemente para definir l as propiedades de los materiales. La velocidad de la onda compresiva, Vc, y la velocidad de onda de corte, Vs vienen dadas por:

G 2+

= Vc (1.19)

G

= Vs (1.20)

donde es l a de nsidad del material. Por lo tanto, es pos ible calcular todas l as dems prop iedades el sticas d e los materiales is otrpicos a p artir d e estas ecuaciones. Est claro que las ondas de corte no pueden propagarse en los fluidos porque el mdulo de cortante es cero.



1.10 PROPIEDADES MATERIALES AXISIMTRICAS

Muchas clases comunes de estructuras, tales como tuberas, recipientes a presin, tanques para a lmacenar l quidos, cohetes, y ot ras estructuras e spaciales, es tn incluidas en la c ategora de estructuras axi simtricas. Un g ran nne ro d e estructuras axi simtricas pos een materiales an isotrpicos. Para el c aso de l os slidos axisimtricos que quedan sujetos a c argas no-axisimtricas, la matriz de correlacin, segn se define en la Ecuacin (1.3), puede expresarse en trminos del sistema de referencia y , zr como la Ecuacin (1.21). Se puede obtener la solucin de e ste caso e special de un s lido tridimensional expresando l os desplazamientos y cargas del punto nodal por una serie de funciones armnicas. Luego se expr esa la solucin como la sum a de l os r esultados de una s erie d e problemas axisimtricos bidimensionales [3].

+

=

00

10000

10000

001

001

001

001

65

65

6

56

5

43

43

2

42

1

41

4

34

32

32

1

31

4

24

3

23

21

21

4

14

3

13

2

12

1

rz

z

r

z

r

rz

z

r

z

r

rz

z

r

T

EE

EE

EEEE

EEEE

EEEE

EEEE

(1.21)

1.11 RELACIONES DE FUERZA-DEFORMACIN

Las ecua ciones e sfuerzo-deformacin que s e pre sentan en las se cciones anteriores cons tituyen las leyes constitutivas fundamentales d e los materiales lineales. Sin em bargo, para elementos un idimensionales en l a i ngeniera estructural, muchas v eces r eformulamos di chas ecuaciones en trminos de esfuerzos y de formaciones. Por e jemplo, pa ra un e lemento uni dimensional axialmente c argado de l ongitud L y r ea A , l a de formacin a xial total y e l esfuerzo axial P son = L y P = A. Ya que = E, la r elacin esfuerzo-deformacin es:



= akP (1.22)

donde L

AEka = y se define com o la rigidez axial del elemento. Tambin, s e

puede expresar la Ecuacin (1.22) en la siguiente forma:

Pfa= (1.23)

donde AELfa = y se de fine como la flexibilidad axial d el e lemento. Es

importante notar que los trminos de rigidez y flexibilidad no son una funcin de la c arga, s ino que dependen solamente de las p ropiedades de l os materiales y geomtricas del elemento.

Para u n e lemento un idimensional de seccin transversal cons tante, la f uerza torsional T en trminos de la r otacin relativa entre los ext remos del elemento viene dada por:

TkT = (1.24)

donde LJGkT = y J es el momento torsional de inercia. Asimismo, el inverso de

la rigidez torsional es la flexibilidad torsional.

En el caso de flexin pura de una viga con un e xtremo fijo, la integracin de la distribucin de l e sfuerzo t orsional s obre l a seccin t ransversal p roduce u n momento M . La distribucin del deformacin lineal produce una rotacin en el extremo de la viga de . Para esta viga de longitud finita, la relacin momento-rotacin es:

bkM = (1.25)

donde l a r igidez de f lexin LEIkb = . Para una s eccin transversal t pica de la

viga de longitud dx, la relacin momento-curvatura en el punto x es:

)()( xEIxM = (1.26)

Estas relaciones fuerza-deformacin se consideran fundamentales en los campos tradicionales del anlisis y el diseo estructurales.



1.12 RESUMEN

Las prop iedades de l os materiales de ben ser determinadas a t ravs d e experimentos. Exmenes c uidadosos de las propiedades de la mayora de los materiales estructurales indican que no son isotrpicos ni hom ogneos. Sin embargo, constituye u na prctica c omn el u so de la ap roximacin isotrpica para la m ayora de l os a nlisis. Sin e mbargo, e n el f uturo de l a i ngeniera estructural, el us o de los m ateriales anisotrpicos compuestos aum entar d e manera si gnificativa. La r esponsabilidad del i ngeniero es ev aluar l os er rores asociados con dichas aproximaciones l levando a cabo varios anlisis ut ilizando diferentes propiedades de los materiales.

Se de be r ecordar qu e e l r esultado obt enido d e u n m odelo c omputarizado constituye un estimado del com portamiento de l a es tructura r eal. El comportamiento de la e structura es t regido por l as l eyes f undamentales de la fsica, y no s e l e requiere cumplir con n ingn cdigo de construccin o con e l manual de usuario de un programa de computadora.

1.13 REFERENCIAS

1. Popov, E . P . 1990. Engineering M echanics of Solids. Prentice-Hall, Inc. ISBN 0-13-279258-3.

2. Boresi, A. P. 1985. Advanced Mechanics of Materials. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88392-1.

3. Wilson, E . L . 1965. Structural A nalysis of A xisymmetric S olids. AIAA Journal. Vol. 3, pp.2269-2274.


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