Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Motivación

● Problema del paracaidista

d vd t= g−

cm

v t

● v: variable dependiente (incógnita)

● t: variable independiente (dato)

● EDOs: ● De primer orden● De segundo orden

d vd t= g−

cm

v t

md 2 x

d t 2 cd xd tk x=0

EDOs de segundo orden

● Se transforman en un sistema de EDOs de primer orden con una sustitución:

y=d xd t

⇒d yd x=d 2 x

d t 2

● reemplazando

md yd tc yk x=0 ⇒

d yd t=−

c yk xm

● El sistema,d xd t= y

d yd t=−

c yk xm

Solución de EDOs sin computadora

● En algunos casos se obtiene por integración indefinida:

d vd t= g−

cm

v t ⇒ v=∫ g− cm

v t d t ⇒ v t =g mc

1−e−

cm

t ● Técnica habitual: linealización

● Ejemplo: péndulo● EDO original (no lineal)

d 2

d t 2 gl

sin=0

● Si θ es pequeño (EDO lineal)d 2

d t 2 gl=0

Ejemplos de EDOs en Ingeniería● Segunda ley de Newton del movimiento:

d vd t=

Fm

● Ley del calor de Fourier:

q=−kd Td x

● Ley de difusión de Fick:

J=−Dd Cd x

● Ley de Faraday:

V=Ld id t

Solución de problemas

Antecedentes matemáticos

● Solución de una EDO: función de la v.i. Y de las condiciones iniciales.

● Supongamos

y=−0.5 x44 x3−10 x28.5 x1

● Derivando,

d yd x=−2 x3

12 x2−20 x8.5

● Graficando,

Antecedentes matemáticos

Antecedentes matemáticos

● Ahora suponemos que debemos resolver la EDO:

d yd x=−2 x3

12 x2−20 x8.5

● Integrando,

y=∫ −2 x312 x2−20 x8.5 dx

y= ...=−0.5 x44 x3

−10 x28.5 xC

Solución general

● Cuál de todas las curvas es? Falta más información...

Antecedentes matemáticos

● ... por ejemplo saber que cuando x = 0, y = 1 (condición inicial). Entonces:

y=−0.5 x44 x3−10 x28.5 x1Solución particular

● En general, una EDO de orden n requiere n condiciones:● Si todas se fijan en el mismo punto (p. ej. x = 0) es

un problema de valores iniciales● Si se fijan en distintos puntos, es un problema de

contorno

Orientación

Métodos de Runge-Kutta

● Solución de EDOs de la formad yd x= f x , y

● El problema del paracidista se resolvió como

Nuevo valor = valor anterior + pendiente x paso

y i1= y i h

=d yd x

.... donde??

Método de Euler

● La pendiente se estima como:

= f x i , y i

● Por lo tanto,

y i1= y i f x i , y i h

Ejemplo 25.1 pag. 720

● Resolver, para x entre 0 y 4 con h = 0.5, d yd x=−2 x3

12 x2−20 x8.5 , y 0=1

● solución exacta: y=−0.5 x44 x3−10 x28.5 x1

● Solución. En el primer paso,y 0.5= y 0 f 0,1×0.5=1.08.5×0.5=5.25

● La solución verdadera esy 0.5=−0.5×0.54

4×0.53−10×0.52

8.5×0.51=3.21875

● El error E t=3.21875−5.25=−2.03125

t=−63.1%

Ejemplo 25.1 pag. 720

● Solución completa: 25_1.ods

Análisis del error en el método de Euler

● Errores de● Truncamiento

– Local– Global

● Redondeo

● Serie de Taylor

y i1= y i y ' i hy ' ' i2!

h2

y iIII

3!h3 ...

y in

n!hnRn

● Es deciry i1= y i f x i , y i h

Euler

f ' x i , y i

2!h2 ...

error

⇒ Ea=O h2

Error local

Ejemplo 25.2

● Calcular el error del método de Euler en el primer paso del ejemplo 25.1

● Solución E t=f ' x i , y i

2!h2

f ' ' x i , y i

3!h3

f III x i , y i

4!h4

● dondef ' x i , y i =−6 x2

24 x−20 ⇒ f ' 0,1=−20

f ' ' x i , y i=−12 x24 ⇒ f ' ' 0,1=24

f III x i , yi =−12

● luego

E t=−202

0.52

246

0.53−

1224

0.54=−2.50.5−0.03125=−2.03125

Análisis del error en el método de Euler

● Error local O(h²) --> error global O(h)● El error se reduce reduciendo h● El método es exacto para y lineal (f' = 0)

Ejemplo 25.3

● Repita el ejemplo 25.1 con h = 0.25

● Solución: 25_3.ods

Algoritmo del método de Euler

● Código en Octave: euler.m

Ejemplo 25.4

● Resolver el problema del paracaidistad vd t= g−

cm

v t lineal

d vd t= g−

cm [ va v

vmax b

] No lineal

● Donde: a = 8.3 , b = 2.2 y vmax

= 46 son

constantes empíricas

● Datos: m = 68.1 kg ; c = 12.5 kg/s; v = 0 en t = 0

● Código en Octave: p25_4.m

Método de Heun

● Se predice por Euler:

y i10 = y i f x i , y ih

predictor

● Para estimar

y ' i1= f x i1 , y i10

● Que sirve para calcular

y i1= y iy ' i y ' i1

2h

corrector

y i1= y if x i , y i f x i1 , y i1

0

2h

Método de Heun

● Se puede plantear el esquema predictor – corrector en forma iterativa, hasta que

∣ t∣=∣ y i1j − y i1

j−1

y i1j ∣100% s

Ejemplo 25.5● Resolver, con h = 1

y '=4 e0.8 x−0.5 y , 0≤ x≤4 , y 0=2● Solución analítica:

y=4

1.3 e0.8 x

−e−0.5 x 2 e−0.5 x

● Primer paso: y ' 0=4 e0−0.5×2=3

predictor y10=23×1=5

y ' 1= f x1, y10=4 e0.8×1−0.5×5=6.402164

correctory1=2

36.4021642

×1=6.701082

● Solución completa: 25_5.ods

Error del método de Heun● Supongamos que y' = f(x,y) = f(x) entonces

y i1= y if x i f x i1

2h

regla del trapecio

d yd x= f x ⇒ ∫

y i

yi1

d y=∫x i

x i1

f x d x ⇒ y i1− y i=∫x i

x i1

f x d x

Por la regla del trapecio,

∫x i

x i1

f x d x=f x i f x i1

2h−

f ' ' 12

h3

y i1= y if x i f x i1

2hO h3 Error local

--> error global O(h²)

Error del método de Heun

d yd x=−2 x3

12 x2−20 x8.5Solución de

Método del punto medio

● Se calcula

y i1 / 2= y i f x i , y ih2

y ' i1 / 2= f x i1 / 2 , y i1 / 2

y i1= y i f x i1 / 2 , y i1 / 2 h

● Se basa en la fórmula de integración del punto medio:

∫x i

xi1

f x d x=h f x i1 / 2

Error local: O(h³)Error global: O(h²)

Algoritmos de los métodos de Heun y del punto medio

● Códigos en Octave:● heun.m● puntomedio.m

● Se resuelve el problema

y '=−2 x− y , y 0=1 , 0≤ x≤1

Métodos de Runge - Kutta

● Forma general y i1= y i x i , y i , hfuncion incremento

h

=a1k1a2k2 ...an kn

k1= f x i , y i

k2= f x i p1h , y iq11 k1h

k3= f x i p2h , y iq21k1hq22 k2h...

kn= f x i pn−1h , yi∑j=1

n−1

qn−1, j k j h

Métodos de Runge – Kutta de segundo orden

● Forma general

y i1= y ia1k1a2k2h

k1= f x i , y i

k2= f x i p1h , y iq11 k1h

● De la serie de Taylor, y i1= y i f x i , y i hf ' x i , y i

2!h2

f ' x i , y i=∂ f x i , y i

∂ x∂ f x i , y i

∂ yd yd x

Regla de la cadena

● reemplazando, y i1= y i f x i , y i h ∂ f∂ x∂ f∂ y

f h2

2!

● De la serie de Taylor, g x r , y s= g x , y r∂ g∂ x s∂ g∂ y ...

Métodos de Runge – Kutta de segundo orden

● Se tiene,

f x i p1h , y iq11 k1h= f x i , y i p1h∂ f∂ xq11k1h

∂ f∂ yO h2

● reemplazando,

y i1= y ia1h f x i , y i a2 p1h2 ∂ f∂ xa2q11h

2 f x i , y i∂ f∂ yO h3

● reordenando,

y i1= y i a1a2 f x i , y i h [ a2 p1∂ f∂ xa2q11 f x i , y i

∂ f∂ y ] h2

O h3

● comparando, a1a2 =1 , a2 p1=12

, a2q11=12

● Es decir a1=1−a2 , p1=q11=1

2a2

Métodos de Runge – Kutta de segundo orden

● Si a2=12⇒ a1=

12⇒ p1=q11=1

se tiene y i1= y i 12k1

12k 2 h

con k1= f x i , y i , k 2= f x ih , yik1h Método de Heun

● Si a2=1 ⇒ a1=0 ⇒ p1=q11=12

se tiene y i1= y ik 2h

con k1= f x i , y i , k 2= f x i12h , y i

12k1h Método del punto

medio

Método de Ralston

● Si a2 = 2/3, se minimiza el error de

truncamiento.

● Si a2=23⇒ a1=

13⇒ p1=q11=

34

se tiene y i1= y i 13k1

23k 2 h

k1= f x i , y i , k 2= f x i34h , y i

34k1h Método de Ralston

Ejemplo 25.6 pag. 744

● Comparación de varios esquemas de RK de segundo orden d y

d x=−2 x3

12 x2−20 x8.5 , y 0=1

● Solución en 25_6.ods

Métodos de Runge-Kutta de tercer orden

● Una versión común es

y i1= y i16 k14 k2k3 h

● donde

k2= f x i12h , y i

12k1h

k3= f x ih , y i−k1h2k2h

k1= f x i , y i

● Si f = f(x) se transforma en la Regla 1/3 de Simpson --> error local O(h4) y error global O(h³)

Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden

● Una versión común es

y i1= y i16 k12k22 k3k4 h

● donde

k2= f x i12h , y i

12k1h

k1= f x i , y i

k3= f x i12h , y i

12k2h

k4= f x ih , y ik3h

Ejemplo 25.7 pag. 747

● Resolver, con h = 0.5d yd x=−2 x3

12 x2−20 x8.5 , y 0=1

● Se calculan (...):

k1=8.5 , k2=4.21875 , k3=4.21875 , k4=1.25

● reemplazando:

y 0.5=1168.52×4.218752×4.218751.25 0.5=3.21875

Solución exacta

Ejemplo 25.7 pag. 747● Resolver, con h = 0.5

y '=4 e0.8 x−0.5 y , 0≤ x≤0.5 , y 0=2

● Solución.k1= f 0,2=4 e0.8×0

−0.5×2=3 ⇒ y 0.25=23×0.25=2.75

k 2= f 0.25,2.75=4 e0.8×0.25−0.5×2.75=3.510611

y 0.25=23.510611×0.25=2.877653k 3= f 0.25,2.877653=4 e0.8×0.25

−0.5×2.877653=3.446785

y 0.5=23.446785×0.5=3.723392k 4= f 0.5,3.723392=4 e0.8×0.5

−0.5×3.723392=4.105603

=16[ 32×3.5106112×3.4467854.105603 ]=3.503399

y 0.5=23.503399×0.5=3.751669 Exacta : 3.751521

Métodos de Runge-Kutta de orden superior● Método RK de quinto orden de Butcher:

y i1= y i1

90 7 k132k 312k 432 k57 k6 h

● con k1= f x i , y i

k 2= f x i14h , y i

14k1h

k 3= f x i14h , y i

18k1h

18k 2h

k 4= f x i12h , y i−

12k 2hk 3h

k 5= f x i34h , y i

316

k 1h9

16k 4h

k 6= f x ih , y i−37k1h

27k 2 h

127k 3h−

127

k 4h87k 5h

Algoritmo de los métodos de Runge-Kutta

● Código en Octave para el método de RK de 4to orden

● rk4.m

Sistemas de ecuaciones

● Requiere n condiciones iniciales en x0

d y1

d x= f 1 x , y1, y2, ... , yn

d y2

d x= f 2 x , y1, y2, ... , yn

...d yn

d x= f n x , y1, y2, ... , yn

Ejemplo 25.9, pag. 752

● Resolver el sistema de ecuacionesd y1

d x=−0.5 y1 ;

d y2

d x=4−0.3 y2−0.1 y1

● Por el método de Euler, con h = 0.5, sabiendo que en x = 0, y

1 = 4 y y

2 = 6.

● Solución en planilla de cálculo: 25_9.ods

Ejemplo 25.10 pag. 752

● Resolver por el método de Runge-Kutta de 4to orden el problema anterior.

● Solución en planilla de cálculo: 25_10.ods

Métodos adaptativos

● Los métodos de paso constante pueden ser ineficientes

● Se puede “adaptar” el paso estimando el error de truncamiento local en cada paso.

● También se pueden aplicar al cálculo de integrales

Método adaptativo de RK o de mitad de paso

● Cada paso se calcula dos veces:

● De un solo paso h, obteniendo y1.

● En dos pasos h/2, obteniendo y2.

● El error Δ se representa por: Δ = y2 - y

1

● Se realiza la corrección y2 = y

2 + Δ/15

● Exactitud de quinto orden

Problemas 25.1 a 25.26, pag. 764

Problemas de valores en la frontera (problemas de contorno) y de

valores propios● Problemas de EDOs:

● Problemas de valores iniciales

● Problemas de contorno– Valores propios,

autovalores o eigenvalores

Ejemplo● Distribución de

temperaturas en una barra uniforme no aislada

d 2T

d x2h' T a−T =0

● Condiciones de contorno

T 0=T 1

T L=T 2

● Si L = 10 m, Ta = 20 °C, T

1 = 40 °C, T

2 = 200 °C y

h' = 0.01 m-2, la solución analítica es:

T=73.4523 e0.1 x−53.4523 e−0.1 x20

El método del disparo

● Consiste en convertir el problema de contorno en un problema de valores iniciales.

● Se realizan dos estimaciones y luego una interpolación.

Ejemplo 27.1

● Resolver con

se transforma en un sistema de EDOs de primer orden:

d 2T

d x2h' T a−T =0

T 0=40T 10=200

d Td x= z ,

d zd x=h' T−T 0

Suponemos un valor inicial para z, z(0) = 10

Aplicando RK4 con h = 2, (27_1.ods) se obtiene T(10) = 168.3797

Suponemos z(0) = 20, y con lo que se obtiene (27_1.ods) T(10) = 285.8980

Ejemplo 27.1

● Como la EDO es lineal, se interpola linealmente el valor de z(0) para obtener T(10) = 200:

z 0=200−168.3797

285.8980−168.379720

200−285.8980168.3797−285.8980

10

z 0=12.6907

● Con este valor se resuelve el sistema de EDOs de primer orden para determinar T a lo largo de la barra

Problemas no lineales

● Se reformula como un problema de raíces, considerando que

T 10= f z0

● Se busca la raíz deg z0= f z0−200

Ejemplo 27.2

● Suponer la siguiente EDO no lineal para la barra calentada, con h'' = 5 x 10-8:

d 2T

d x2h' ' T a−T

4=0

● Se reduce a un sistema de EDOs de 1er orden:

d Td x= z ,

d zd x=h' T−T 0

4

● Solución en: 27_2.ods

Ejemplo 27.2

Método de diferencias finitas*

● Se sustituyen las derivadas por diferencias finitas divididas

● La EDO se transforma en un sistema de ecuaciones algebraicas● Lineales, si la EDO es lineal● No lineales, si la EDO es no lineal

● Para resolverlo se aplican los métodos de la parte 3

Ejemplo 27.3

● Resolver por diferencias finitas, el problema de la transmisión de calor en la barra

● Se sustituyen las derivadas:

d 2T

d x2h' T a−T =0 ⇒

T i1−2T iT i−1

x2−h' T i−T a=0

Ecuación sustituta o molécula de cálculo

● reordenando:

−T i−1 2h' x2 T i−T i1=h' x2T a

Ejemplo 27.3

● Se aplica la molécula de cálculo a cada nodo:

● Se genera un sistema de n-1 ecuaciones:● Cada una con 3 incógnitas,● Excepto la primera y la última con 2 incógnitas

Ejemplo 27.3

● Eligiendo Δx = 2, se tiene:● Nodo 1:● Nodo 2:● Nodo 3:● Nodo 4:

● En forma matricial

2.04T 1−T 2=0.01 x 2 x 4040=40.8

−T 12.04T 2−T 3=0.8

−T 22.04T 3−T 4=0.8

−T 32.04T 4=0.8200=200.8

[2.04 −1 0 0−1 2.04 −1 00 −1 2.04 −10 0 −1 2.04 ] {

T 1

T 2

T 3

T 4} = {

40.80.80.8

200.8}

Ejemplo 27.3

● Sistema tridiagonal → algoritmo de Thomas● Solución● Algoritmo en Octave: diferencias.m

{T }T= [ 65.9698 93.7785 124.5382 159.4795 }

Condiciones de borde en la derivada*

● Resolver● Para● Con

● Ahora hay n+1 incógnitas (incluido yn+1

):

y ' '−2 y ' y= x

0.0≤ x≤1.0

h=0.1 , y 0.0=−1, y ' 1.0=1

Condiciones de borde en la derivada*

● La condición de borde en 1.0 se iguala a una diferencia finita dividida centrada:

y ' 1.0= y ' n=yn1− yn−1

2h=1

● La (n+1)-ésima ecuación surge de la anterior :

yn1− yn−1=2h

Problemas de valores propios

● El sistema tiene solución única si det(A) ≠ 0

● El sistema tiene solución única trivial si det(A) ≠ 0, y soluciones no triviales (∞) si det(A) = 0

● Los problemas de valores propios son de la forma:

[ A ] {X }={B}

[ A ] {X }=0

a11− x1 a12 x2 ...a1n xn=0a21 x1 a22− x2 ... a2n xn=0

........... ..........an1 x1 an2 x2 ... ann− xn=0

Problemas de valores propios

● O más brevemente,● Los valores λ que hacen

se denominan valores propios del sistema, y su solución vector propio

[ [ A]− [ I ] ] {X }=0

det [ [ A]− [ I ] ]=0

Ejemplo: oscilación masa-resorte

● Sabiendo que

m1

d 2 x1

d t2=−k1 xk x2− x1

m2

d 2 x2

d t2=−k x2− x1−k x2

x i=Ai sin t

x ' ' i=−Ai2 sin t

● Se llega a

[2 km1

− 2 −km1

−km2

2km2

−2 ] { A1

A2}= { 00 }

Ejemplo: pandeo

● Deformación de la columna:

● Donde M = -P.y● Reemplazando,

d 2 y

d x2=

ME I

d 2 y

d x2 p2 y=0

● con p2=

PE I

● Para y(0) = y(L) = 0

Ejemplo: pandeo

● Solución analítica: ● Para x = 0,● Para x = L,● Reemplazando(...),

y=Asin pxB cos px

y=Asin 0B cos0=0 ⇒ B=0

y=Asin pL=0 ⇒ pL=n , n=1, 2, 3,...

P=n2

2 E I

L2

● Si n = 1 (primer modo):

P=

2 E I

L2 Fórmula de Euler

Ejemplo: pandeo

● Ej. 27.5● Datos:

● E = 10 x 109 Pa● I = 1.25 x 10-5 m4

● L = 3 m

1 1,0472 137,0782 2,0944 548,3113 3,1416 1233,7014 4,1888 2193,2455 5,2360 3426,9466 6,2832 4934,8027 7,3304 6716,8148 8,3776 8772,982

n p (m^-2) P (kN)

Método del polinomio

● Se reemplaza la EDO por una ecuación en diferencias finitas, se iguala a 0 el determinante de la matriz de coeficientes y se resuelve el polinomio resultante.

● Para el ejemplo anterior, se tiene

● reordenando,

y i1−2 y i y i−1

h2 p2 y i=0

y i−1−2−h2 p2 y i y i1=0

Método del polinomio

● Con 5 tramos (4 nodos interiores) se tiene:

[2−h2 p2 −1 0 0

−1 2−h2 p2 −1 0

0 −1 2−h2 p2 −1

0 0 −1 2−h2 p2] {

y1

y2

y3

y4} =0

Ejemplo 27.6

● Determinar los valores propios del ej. 27.5, con a) 1, b) 2, c) 3, y d) 4 nodos interiores.

● a) h = 3/2−2−2.25 p2 y i=0

det A=2−2.25 p2=0

p=±0.9428 ⇒ t≈10%

Ejemplo 27.6

● b) h = 3/3 = 1

[ 2− p2−1

−1 2− p2 ] { y1

y2}=0

det A= 2− p2 2−1=0

p=±1 ⇒ t≈4.5%

p=±1.73205 ⇒ t≈17%

Ejemplo 27.6

● c) h = 3/4

[2−0.5625 p2

−1 0−1 2−0.5625 p2

−10 −1 2−0.5625 p2 ] {

y1

y2

y3}=0

det A= 2−0.5625 p2 3−2 2−0.5625 p2 =0

p=±1.0205 ⇒ t≈2.5%

p=±1.8856 ⇒ t≈10%

2−0.5625 p2=0

2−0.5625 p2= 2

p=±2.4637 ⇒ t≈22%

Ejemplo 27.6

El método de potencias

● El problema de valores propios se escribe como:

[ A] {X }= {X }

● Puesto en forma iterativa:

[ A] {X k−1}= k {X k }

● El método permite obtener el mayor valor propio

Ejemplo 27.7

● Determine el valor propio mayor del punto c) del ejemplo 27.6

● Se escribe como:

3.5556 x1 −1.7778 x2 −1.7778 x1 3.5556 x2 −1.7778 x3

−1.7778 x2 3.5556 x3

===

x1

x2

x3

y i1−2 y i y i−1

h2 p2 y i=0

Ejemplo 27.7

● Se asume {x0}= [ 1 1 1 ]T

● Se reemplaza

3.5556 1 −1.77781 −1.7778 1 3.5556 1 −1.77781 −1.77781 3.5556 1

===

1.77780

1.7778

● Se normaliza el vector de la derecha y se obtiene la primera estimación de λ:

{1.7778

01.7778 }=1.7778 {

101 } ⇒ 1=1.7778

Ejemplo 27.7

● Ahora se reemplaza [1 0 1]T en el lado izquierdo:

3.5556 1 −1.77780 −1.7778 1 3.5556 0 −1.77781 −1.77780 3.55561

===

3.5556−3.55563.5556

● Normalizando,

{3.5556−3.55563.5556 }=3.5556 {

1−11 } ⇒ 2=3.5556

● El error relativo es, ∣ a∣=∣ 3.5556−1.77783.5556 ∣100%=50 %

Ejemplo 27.7● Tercera iteración

[3.5556 −1.7778 0−1.7778 3.5556 −1.7778

0 −1.7778 3.5556 ] {1−11 }= {

5.334−7.1125.334 }=−7.112 {

−0.751

−0.75 }● Cuarta iteración

[3.5556 −1.7778 0−1.7778 3.5556 −1.7778

0 −1.7778 3.5556 ] {−0.75

1−0.75 }= {

−4.4456.223−4.445 }=6.223 {

−0.7141

−0.714 }● Quinta iteración

[3.5556 −1.7778 0−1.7778 3.5556 −1.7778

0 −1.7778 3.5556 ] {−0.714

1−0.714 }= {

−4.3176.095−4.317 }=6.095 {

−0.7081

−0.708 }

Determinación del valor propio menor

● Se aplica el método de potencias a A-1

● El método converge al valor mayor de 1/λ, es decir al menor valor de λ

● Algoritmo en Octave: potencias.m

Problemas 27.1 a 27.29, pag. 822