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Ecuaciones constitutivas
para geotecnia minera
Dr. Alejo O. Sfriso
Universidad de Buenos Aires materias.fi.uba.ar/6408 [email protected]
SRK Consulting (Argentina) latam.srk.com [email protected]
AOSA www.aosa.com.ar [email protected]
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Índice
• Ecuaciones constitutivas
• Plasticidad perfecta suelos: un rajo en Guatemala
• Plasticidad perfecta rocas: rajos en Santa Cruz
• Plasticidad con endurecimiento: rellenos en San Juan
• Rigidez a baja deformación: muro TEM en Perú
• Elementos de contorno: mina subterránea en Uruguay
• Modelos sísmicos: presa en Papúa Nueva Guinea
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Ecuaciones constitutivas
Una ecuación constitutiva es un conjunto de fórmulas que
determina el estado del material antes y después de
cualquier cambio en su configuración
• Entrada
– Valor actual de la tensión y de las variables de estado
– Incremento de deformación
• Salida
– Tensión actualizada
– Variables de estado
actualizadas
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𝜎𝑛+1 = 𝑓 𝜎𝑛, 𝜌𝑛 , Δ𝜖
𝜌𝑛+1 = 𝑓 𝜎𝑛, 𝜌𝑛, Δ𝜖
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Ecuaciones constitutivas
• El equilibrio relaciona fuerza con tensión
(vale para cualquier material)
• La cinemática relaciona deformación
con desplazamiento (cualquier material)
• Las ecuaciones constitutivas relacionan
tensión con deformación
(dependen del material)
– Sólido elástico…
– Fluido Newtoniano…
– Gas perfecto…
Las ecuaciones constitutivas
cierran la cadena de cálculo4
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Deformación
Fuerza
equilibrio
Tensión
Desplazamiento
ec. const.
compatibilidad
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Ecuaciones constitutivas
comunes en mecánica del sólido
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elástico lineal
elástico no lineal
rígido plástico
elastoplástico perfecto
elastoplástico
endurecimiento
elastoplástico
ablandamiento
ΤΔ𝑙 𝑙0
viscoelástico
Viscoplástico
(1hora|1día|1mes)
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Índice
• Ecuaciones constitutivas
• Plasticidad perfecta suelos: un rajo en Guatemala
• Plasticidad perfecta rocas: rajos en Santa Cruz
• Plasticidad con endurecimiento: rellenos en San Juan
• Rigidez a baja deformación: muro TEM en Perú
• Elementos de contorno: mina subterránea en Uruguay
• Modelos sísmicos: presa en Papúa Nueva Guinea
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El material elastoplástico perfecto tiene un comportamiento
elástico hasta la tensión en la que se produce la fluencia
(indicada por el histórico “criterio de falla”)
Si se aumenta la deformación el material
fluye a tensión constante
Ingredientes
• Rango elástico 𝜎 < 𝛽𝑠• Fluencia a tensión constante 𝛽𝑠• Descarga elástica
• Almacena energía elástica 𝑈𝑒
• Disipa trabajo plástico 𝑊𝑝
La idea de la plasticidad
perfecta
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𝜖𝑝 𝜖𝑒 𝜖
𝜎𝛽𝑠
𝑊𝑝
𝐸
𝑈𝑒
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Lo que puede modelarse
con plasticidad perfecta
Con plasticidad perfecta pueden modelarse
los geomateriales en falla
• Empuje de suelos
• Estabilidad de taludes
• Capacidad de carga
El resultado de los modelos es un
factor de seguridad o una carga última
En general, las deformaciones calculadas
no son realistas
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Lo que no debe modelarse
con plasticidad perfecta
No deben modelarse problemas de interacción terreno –
estructura o aquellos en los que la interacción de rigideces
controla el comportamiento
• Asentamiento de fundaciones
• Túneles (excepto seguridad del frente)
• Compresión y consolidación
• Problemas acoplados (p.ej. no drenado)
Si se requiere una predicción de
desplazamientos y/o solicitaciones
estructurales conviene emplear
plasticidad con endurecimiento
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El modelo de Mohr-Coulomb
en el ensayo triaxial
• Cinemática de la elastoplasticidad
¿cuales son los mecanismos que
producen deformación?
Es la hipótesis básica de la compatibilidad
Esta simple fórmula implica que no hay
deformaciones dependientes del tiempo
𝜖
𝜎 𝑐 − 𝜙
𝐸
𝜖𝑣
𝜈𝜓
ሶ𝝐 = ሶ𝝐𝑒 + ሶ𝝐𝑝
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El modelo de Mohr-Coulomb
en el ensayo triaxial
• Cinemática de la elastoplasticidad
• Relación tensión-deformación
¿cuál es la rigidez?
Permite calcular las tensiones conociendo
sólo la parte elástica de las deformaciones
ሶ𝝐 = ሶ𝝐𝑒 + ሶ𝝐𝑝
𝜖
𝜎
𝐸
𝜖𝑣
𝜈
ሶ𝝈 = 𝐃: ሶ𝝐𝑒
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El modelo de Mohr-Coulomb
en el ensayo triaxial
• Cinemática de la elastoplasticidad
• Relación tensión-deformación
• Función de fluencia: criterio Mohr-Coulomb
¿cuando falla?
Permite establecer cuando se produce la
plasticidad (la “falla”) del material
𝑓𝑠 = 𝜎3 − 𝜎1 + 𝜎1 + 𝜎3 sin 𝜙 − 2𝑐 cos 𝜙 = 0
ሶ𝝐 = ሶ𝝐𝑒 + ሶ𝝐𝑝
𝜖
𝜎 𝑐 − 𝜙
𝜖𝑣
ሶ𝝈 = 𝐃: ሶ𝝐𝑒
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El modelo de Mohr-Coulomb
en el ensayo triaxial
• Cinemática de la elastoplasticidad
• Relación tensión-deformación
• Función de fluencia
• Ley de flujo (ángulo de dilatancia)
¿hacia donde se deforma?
Permite establecer que dirección tendrán
las deformaciones permanentes del material 𝜖
𝜎
𝜖𝑣
𝜓
𝑓𝑠 = 0
ሶ𝝐 = ሶ𝝐𝑒 + ሶ𝝐𝑝
ሶ𝝈 = 𝐃: ሶ𝝐𝑒
𝑔𝑠 = 𝜎3 − 𝜎1 + 𝜎1 + 𝜎3 sin 𝜓 − 2𝑐 cos 𝜓 = 0
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Un rajo en Guatemala
Un talud temporario de
un rajo minero (níquel)
falló horas después de
una tormenta que
descargó 130mm de
lluvia en dos horas
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0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
Jun-16
Jun-19
Jun-23
Jun-25
Jun-27
Jul-3
Jul-5
Jul-8
Jul-10
Jul-17
Jul-19
Jul-24
Jul-28
Jul-30
Ago-2
Ago-4
Ago-6
Ago-12
Ago-14
Ago-16
Ago-22
Ago-28
Ago-31
Sep-3
Sep-5
Sep-8
Sep-10
Sep-13
Sep-18
Sep-20
Sep-22
Sep-24
Sep-27
Sep-29
Precipitación(mm)
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Causas de inestabilidad
Estación seca
• Agua fluye a través de
discontinuidades de saprock
• Presión de poros lejos
de materiales débiles
Estación húmeda
• Agua freática llega a la
cobertura de suelo residual
• Estructuras borradas:
baja permeabilidad
• Presión de poros desestabilizante
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Modelo conceptual
Conocido el espesor 𝑏 de suelo residual,
el análisis conceptual se reduce a hallar
(ℎ y 𝜅) que minimicen 𝐹𝑆
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Modelo numérico
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Recomendaciones para
estación húmeda
• Exponer roca tempranamente para facilitar drenaje
• Monitorear con piezómetros
• Inspeccionar crestas en busca de grietas de tracción
• Restringir acceso al pie de excavaciones
luego de fuertes lluvias
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Índice
• Ecuaciones constitutivas
• Plasticidad perfecta suelos: un rajo en Guatemala
• Plasticidad perfecta rocas: rajos en Santa Cruz
• Plasticidad con endurecimiento: rellenos en San Juan
• Rigidez a baja deformación: muro TEM en Perú
• Elementos de contorno: mina subterránea en Uruguay
• Modelos sísmicos: presa en Papúa Nueva Guinea
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El modelo de Hoek-Brown
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Es un modelo enteramente análogo
a Mohr-Coulomb
• Elasticidad lineal isotrópica
• Plasticidad perfecta isotrópica
Sólo cambian
• Función de fluencia
• Regla de flujo
Cada implementación comercial tiene su propia regla de
flujo: resultados no comparables
𝑓𝑠 = 𝜎3 − 𝜎1 − 𝜎𝑐𝑖 𝑠 − 𝑚𝑏 Τ𝜎3 𝜎𝑐𝑖𝑎
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Críticas “académicas” al criterio
de Hoek-Brown
• Un mismo criterio para falla al corte y a tracción
• Plano de ruptura oblicuo en el ensayo de tracción simple
(indetectable en la práctica, error 0.5%|1.0%)
• Fuerte curvatura deviatórica cerca de vértice
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𝜏
𝜎𝑛𝜎𝑡𝑐𝑝
𝜃 =𝜋
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𝜃 = −𝜋
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Hoek-Brownlejos de 𝑐𝑝cerca de 𝑐𝑝
Mohr-Coulomb
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Hoek-Brown complementado con
falla por tracción simple
Hoek (2014) propuso un “tension cut-off”
• Mecanismos de corte y tracción independientes
• Resuelve el problema de la “falla oblicua”
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Hoek
(2002)
Fairhust
(1964)
𝜏
𝜎𝑛𝜎𝑡
(Hoek 2014)
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Ventajas y limitaciones del
modelo de Hoek-Brown
Ventajas
• Superficie curva mejor que M-C para macizos rocosos
• Amplia aceptación por parte de la industria
• Proceso de calibración bien establecido
Limitaciones
• No tiene un buen fundamento físico
• Plasticidad isotrópica poco realista para macizos rocosos
• Calibración con GSI: falsa sensación de robustez
• No hay criterio para reducción de parámetros resistentes
• Reglas de flujo discontinuas (FLAC)
Propuesta: Hoek-Brown como Mohr-Coulomb con 𝝓 𝒑23
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Nuestra propia implementación
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(Google Earth, 2011)
Escala global Escala local
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La mina Cerro Vanguardia
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60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
0 40 80 120 160 200
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Core run [m]
Level [m]
UCSLMDDH-2794UCS avg.
QSI
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(Google Earth, 2011)26
Escala global Escala local
Roca intacta
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Fracturamiento del macizo
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Modelación numérica
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Malla RS²
(elementos de 6 nodos)
Malla Plaxis
(elementos de 15 nodos)
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Zona con “daño” por voladura
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Zona con “daño” por voladura
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Zona con “daño” por voladura
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Índice
• Ecuaciones constitutivas
• Plasticidad perfecta suelos: un rajo en Guatemala
• Plasticidad perfecta rocas: rajos en Santa Cruz
• Plasticidad con endurecimiento: rellenos en San Juan
• Rigidez a baja deformación: muro TEM en Perú
• Elementos de contorno: mina subterránea en Uruguay
• Modelos sísmicos: presa en Papúa Nueva Guinea
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El concepto de la plasticidad con
endurecimiento
Función de fluencia
Mientras 𝑓 < 0 el material está en
estado elástico
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𝑓 𝜎 = 𝜎 − 𝜎𝑓𝑙 + 𝛼 ∙ 𝜖𝑝 = 0
𝜖
𝜎
𝝈𝒇𝒍
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El concepto de la plasticidad con
endurecimiento
Función de fluencia
Cuando 𝑓 = 0 comienzan las
deformaciones plásticas
34
Ecuacio
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𝜖𝑝 = 0
𝜖
𝜎
𝝈𝒇𝒍
𝑓 𝜎 = 𝜎 − 𝜎𝑓𝑙 + 𝛼 ∙ 𝜖𝑝 = 0
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El concepto de la plasticidad con
endurecimiento
Función de fluencia
Cuando 𝑓 = 0 comienzan las
deformaciones plásticas
El material “endurece”, o sea,
aumenta su tensión de fluencia
35
Ecuacio
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𝜖𝑝
𝜖
𝜎
𝝈𝒇𝒍
𝑓 𝜎 = 𝜎 − 𝜎𝑓𝑙 + 𝛼 ∙ 𝜖𝑝 = 0
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El concepto de la plasticidad con
endurecimiento
Función de fluencia
Cuando 𝑓 = 0 comienzan las
deformaciones plásticas
El material “endurece”, o sea,
aumenta su tensión de fluencia
Mas deformación implica más
endurecimiento
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Ecuacio
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ros
𝜖𝑝
𝝈𝒇𝒍
𝜖
𝜎
𝑓 𝜎 = 𝜎 − 𝜎𝑓𝑙 + 𝛼 ∙ 𝜖𝑝 = 0
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El concepto de la plasticidad con
endurecimiento
Función de fluencia
Cuando 𝑓 = 0 comienzan las
deformaciones plásticas
El material “endurece”, o sea,
aumenta su tensión de fluencia
Mas deformación implica más
endurecimiento
La línea inclinada es una
“horizontal” que se mueve
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Ecuacio
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𝜖
𝜎
𝝈𝒇𝒍
𝛼
𝑓 𝜎 = 𝜎 − 𝜎𝑓𝑙 + 𝛼 ∙ 𝜖𝑝 = 0
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El modelo de Mohr-Coulomb
en plasticidad perfecta y con endurecimiento
Plasticidad perfecta
• Función de fluencia
• Regla de flujo
Plasticidad con endurecimiento
• Función de fluencia
• Regla de flujo
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Ecuacio
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𝑓𝑠 = 𝜎3 − 𝜎1 + 𝜎1 + 𝜎3 𝑠𝑖𝑛 𝜙 = 0
𝑔𝑠 = 𝜎3 − 𝜎1 + 𝜎1 + 𝜎3 𝑠𝑖𝑛 𝜓 = 0
𝑓𝑠 = 𝜎3 − 𝜎1 + 𝜎1 + 𝜎3 𝑠𝑖𝑛 𝜙 𝜖𝑝 = 0
𝑔𝑠 = 𝜎3 − 𝜎1 + 𝜎1 +𝜎3 𝑠𝑖𝑛 𝜓 𝜖𝑝 = 0 𝜖
𝜎
𝜙 𝜖𝑝
𝐸
𝜖𝑣
𝜈
𝜓 𝜖𝑝
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Tanques en San Juan
• 18 tanques para lixiviado en pila instalados sobre un
terraplén heterogéneo de gran espesor
• Asentamiento del terraplén podría afectar la planta
• Se requirió una predicción de la interacción entre tanques
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Caracterización mecánica
del terreno
• Cinco (enormes) calicatas a
cielo abierto
• Medición de densidad in situ
• Ensayos triaxiales de muestras
reconstituidas
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Estrategia de minimización
de asentamientos
Precarga mediante
llenado total con
agua y arena
En sector de
mayor riesgo
• Monitoreo minucioso
• Relleno de anillos
con hormigón
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Riesgo
menor
Riesgo
mayor
Riesgo
interme
dio
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Secuencia constructiva de precargas
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Simulación de secuencia
constructiva de precargas
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Modelización de tanque aislado
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Relleno de hormigón
Relleno no controlado
Tanque
Suelo natural
Roca
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Efecto del relleno del anillo
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-0.35
-0.30
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00
Influencia del POP
Caso 1 - POP = 100 kPa
Caso 1 - POP = 0
Caso 2 - POP = 100 kPa
Caso 2 - POP = 0
Distancia al eje de rotación [m]
Asentamiento. [m]
Caso 1
Hormigón
Caso 2
Suelo
Caso 3
Hº sin fricción
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Índice
• Ecuaciones constitutivas
• Plasticidad perfecta suelos: un rajo en Guatemala
• Plasticidad perfecta rocas: rajos en Santa Cruz
• Plasticidad con endurecimiento: rellenos en San Juan
• Rigidez a baja deformación: muro TEM en Perú
• Elementos de contorno: mina subterránea en Uruguay
• Modelos sísmicos: presa en Papúa Nueva Guinea
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Caso 1: Muro TEM fundado en roca
efecto del stock-pile
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Interfaz
Geogrillas
Stockpile: material
Stockpile: carga
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Posición del stock-pile
Posición de stock-pile: 𝜹𝒉 del muro TEM
Muro TEM toca la estructura (se agota huelgo de interfaz)
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𝛿ℎ >Interfaz
geogrillas sin carga
𝛿ℎ <Interfaz
geogrillas con carga
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Influencia de las interfaces
El stock-pile como carga
• Aporta rigidez
• Disminuye asentamiento de manera
no realista (porque es intermitente)
Interfaces entre geogrillas
• Mejoran comportamiento numérico
• Inducen asentamiento
(por espesor “virtual” 𝑑𝑖𝑛𝑡)
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Sin interfaces
δmax = 0.72m
Con interfaces
δmax = 0.97m
(Lino 2015)
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Caso 2: Muro fundado en relleno
Estructura sobre pilotes
Muro TEM construido
simultáneamente con
fundaciones:
fricción negativa
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Simulación de ensayo de carga
Ensayo de carga
numérico: menor
rigidez que analítico
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-
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
P [MN]
d [m]
Curvas Carga - Desplazamiento Compresión
Analítico - Min
Plaxis - Carga monotónica
Plaxis - Descarga
Plaxis - Descarga
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Simulación de ensayo Oesterberg
Cargas iguales y
opuestas en la punta
del pilote
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-
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
-0,013 -0,010 -0,008 -0,005 -0,003 0,000 0,003
P [MN]
d [m]
Curvas Carga - Desplazamiento Compresión
Plaxis - Coronamiento pilote
Plaxis - Punta pilote
Plaxis - Punta suelo
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Compresión del relleno y
asentamiento del cabezal
Desplazamiento en los pilotes inducido
por asentamiento de relleno (carga TEM)
• Dimensionamiento de armaduras
• Verificación de giro de cabezal
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-30.00
-25.00
-20.00
-15.00
-10.00
-5.00
0.00
-120-100-80-60-40-200
Desplazamientover cal
Modelo1
Modelo2
Modelo3
Modelo4
Prof[m]
Desplazamiento[mm]
-30.00
-25.00
-20.00
-15.00
-10.00
-5.00
0.00
-60 -40 -20 0 20 40 60
Desplazamientohorizontal
Modelo1
Modelo2
Modelo3
Modelo4
Prof[m]
Desplazamiento[mm]
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Índice
• Ecuaciones constitutivas
• Plasticidad perfecta suelos: un rajo en Guatemala
• Plasticidad perfecta rocas: rajos en Santa Cruz
• Plasticidad con endurecimiento: rellenos en San Juan
• Rigidez a baja deformación: muro TEM en Perú
• Elementos de contorno: mina subterránea en Uruguay
• Modelos sísmicos: presa en Papúa Nueva Guinea
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Funcionamiento del método
de los elementos de contorno
Método basado en la aplicación
extensiva del “principio de
superposición de efectos”
• Se conoce la respuesta de un sólido
infinito para una fuente puntual (sol. de Green)
• Se malla sólo el contorno (la
superficie libre) de los cuerpos 3D
• Se calculan las fuerzas en los
nodos que cumplen equilibrio
Método apto para problemas
lineales de equilibrio estático
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Primera generación de modelos
de elementos de contorno (Examine3D)
• Solución elástica
• Único material
• No tiene en cuenta
secuencia constructiva
• No hay plasticidad:
las tensiones pueden
alcanzar cualquier
valor
Una “reserva de resis-
tencia” menor a 1.0
“sugiere” daño local
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𝑞𝑢𝑞
𝑞𝑢𝑞
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Segunda generación (Map3D)
• Permite varios materiales
• Tiene en cuenta la
secuencia constructiva
• Permite geometrías más complejas
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𝜎1
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Una mina en Uruguay
Interacción entre rajo a cielo
abierto, cámaras IRP y cámaras TS
• El BEM ya tiene en cuenta la
secuencia constructiva
• Permite geometrías más complejas
• Mantiene “indicadores” de zonas
plásticas
Hay extensiones a problemas
inelásticos basadas en cambios de
“rigidez tangente” y anisotropía
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𝑆𝐹𝐴
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Mallas muy complejas: problemas
de calidad de la solución numérica
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Elementos de contorno
para problemas no lineales
• Los elementos de contorno se
complementan con celdas en
el interior del cuerpo
• Muy conveniente para problemas
que tienen plasticidad en una
región localizada
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(Prazeres 2012)
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Índice
• Ecuaciones constitutivas
• Plasticidad perfecta suelos: un rajo en Guatemala
• Plasticidad perfecta rocas: rajos en Santa Cruz
• Plasticidad con endurecimiento: rellenos en San Juan
• Rigidez a baja deformación: muro TEM en Perú
• Elementos de contorno: mina subterránea en Uruguay
• Modelos sísmicos: presa en Papúa Nueva Guinea
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Deformaciones durante
construcción
• Modelo 2D: v: 0.97m | h: 0.23m
• Modelo 3D: v: 1.03m | h: 0.32m
• Desplazamientos de largo plazo
v: 0.18m | h: 0.08m
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Sensibilidad: compactación,
secuencia de construcción
OCR = 2.0 no es parámetro
de entrada: truco numérico
que simula la compactación
El recrecimiento downstream
produce mayor deformación
Sin
compactación
Con
compactación
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Factor de seguridad:
1.46 (2D) – 1.53 (3D)
3D
2D
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Tensiones en cara de asfalto
Operación
Modelo: membrana elástico-lineal
Dir. horizontal
• -1240 kN/m (620kPa)
• +860 kN/m (430kPa)
Dir. buzamiento
• -2765 kN/m (1380kPa)
• 806kN/m (403kPa)65
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Análisis sísmico en
escala de tiempo
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Estrategia de sismólogo: 4 registros sísmicos, PGA = 1.09,
Filtrado espectral
Estrategia aplicada
• Modelo Proxy (+8400 registros)
– R 50km to 70km
– AI 3m/s to 6m/s
– T0 > 70 sec
• 15 registros PGA = 1.09
(descarta AI no realista)
• 25 registros AI = 13.8 m/s
(descarta PGA no realista)
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Resumen de registros sísmicos
• Modelos 2D: los 44 registros
• Modelos 3D: los tres registros más representativos
Se obtienen aceleraciones no realistas cuando se escala a
IA = 13.8m/s
4 (sismólogo) PGA = 1.09 15 x PGA = 1.09
(deconvolucionados)
25 x IA=13.8m/s
Ecuacio
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Hector, Mexico y Chi-Chi
Chi-Chi
• AI: 20.30 m/s
• PGA: 1.01
• t: 50 sec
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Despl. vertical
Hector EQ: 2.30m
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Despl. vertical
Hector EQ: 2.30m
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Despl. vertical
Mexico EQ: 2.00m
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Los cuarenta y cuatro sismos
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¿Porqué 44 simulaciones?
• Hay correlación pobre entre los asentamientos y cualquier
número índice del registro sísmico
• La aplicación de fuerza bruta permite calcular parámetros
estadísticos del desempeño de la presa: confiabilidad
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
0 5 10 15 20
Settlement[m
]
IA[m/s]
PGA=0.66g
PGA=0.55g
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
Settlem
ent[m
]
Totalduration[s]
PGA=0.66g
PGA=0.55g
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Un terremoto asesino
Un terremoto produce la falla del talud aguas abajo:
asentamiento de ocho metros
Plastic shear strains
Deformed mesh
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