Lema: Si m = infx2If (x) , M = sup

x2If (x) y S = sup

x;yjf (x) f (y)j,

entonces S =M m .

En efectoi) 8" > 0 existe un x 2 I y un y 2 I tales que

M "2< f (x) M

ym f (y) < m+ "

2

EntoncesM m+ " < f (x) f (y) M m

o bien,mM f (y) f (x) < mM + "

Combinando ambos casos obtenemos

M m+ " < jf (x) f (y)j M m

Pero esto no es ms que la denicin (o la propiedad que surja de algunaotra denicin equivalente) de sup

x;yjf (x) f (y)j

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