Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/gel2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus...
TRANSCRIPT
![Page 1: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/1.jpg)
Analyse des Signaux
Échantillonnage
![Page 2: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/2.jpg)
Analyse des Signaux
Échantillonnage
![Page 3: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/3.jpg)
Analyse des Signaux
Échantillonnage
Conversion analogique → numérique Version analogique
Version numérique ( ) ( )sinx t t=
kTeTe -0.8372 000102Te -0.7357 001003Te 0.4759 101114Te 0.9694 11111
( ) ( )sinx t t=
![Page 4: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/4.jpg)
Analyse des Signaux
Signal échantillonné
Conversion analogique → numérique Modélisation mathématique
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
ee T ek
e ek
x t x t t x t t kT
x kT t kT
δ δ
δ
+∞
=−∞
+∞
=−∞
= = −
= −
∑
∑
![Page 5: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/5.jpg)
Analyse des Signaux
Représentation mathématiques
![Page 6: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/6.jpg)
Analyse des Signaux
Spectre du signal échantillonné
![Page 7: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/7.jpg)
Analyse des Signaux
Domaine fréquentiel
Multiplication en temps ⇒ convolution en fréquence
( ) ( ) { }( )12
f t g t F G ωπ
⇔ ∗
( ) { }( )12 ee eX X ωω ω δ ωπ
= ∗
( ) ( ) ( )e e ek
x t x kT t kTδ+∞
=−∞
= −∑
( ) ( ){ }( )
( )
21
ee
k
eke
X u u k
X kT
ω δ ω ωπ
ω ω
+∞
=−∞
+∞
=−∞
= ∗ −
= −
∑
∑
![Page 8: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/8.jpg)
Analyse des Signaux
Échantillonnage « rapide »
![Page 9: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/9.jpg)
Analyse des Signaux
Échantillonnage « lente »
![Page 10: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/10.jpg)
Analyse des Signaux
Échantillonnage « insuffisante »
![Page 11: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/11.jpg)
Analyse des Signaux
Échantillonnage « insuffisante »
repliement spectral
![Page 12: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/12.jpg)
Analyse des Signaux
Fréquence de Nyquist
Signal limité en bande
critère de Nyquist
fréquence de Nyquist
( ) max0X Bω ω ω= ∀ > =
2e Bω =
2 2ee
BTπω = ≥
![Page 13: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/13.jpg)
Analyse des Signaux
Théorème de l'échantillonnage
![Page 14: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/14.jpg)
Analyse des Signaux
Théorème de l'échantillonnage
![Page 15: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/15.jpg)
Analyse des Signaux
Théorème de l'échantillonnage
![Page 16: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/16.jpg)
Analyse des Signaux
Théorème de l'échantillonnage
![Page 17: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/17.jpg)
Analyse des Signaux
« Aliasing » en vidéo
Taux d’échantillonnage fixe– 30 images / seconde
Vitesse dans l’image– Contenu spectral est une fonction de « l’action »– Taux d’échantillonnage peut être inadéquat – Quand « l’action » accélère,
le recouvrement du spectre manifeste …
![Page 18: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/18.jpg)
Analyse des Signaux
Film d’une roue …
Taux d’échantillonnage fixe Vitesse de roue qui change
lent
emen
t
![Page 19: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/19.jpg)
Analyse des Signaux
Film d’un roue …
Taux d’échantillonnage fixe Vitesse de roue qui change
lent
emen
t
plus
vite
![Page 20: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/20.jpg)
Analyse des Signaux
Film d’un roue …
Taux d’échantillonnage fixe Vitesse de roue qui change
lent
emen
t
plus
vite
2 éc
hant
illon
spa
r rot
atio
n
![Page 21: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/21.jpg)
Analyse des Signaux
Film d’un roue …
Taux d’échantillonnage fixe Vitesse de roue qui change
lent
emen
t
plus
vite
2 éc
hant
illon
spa
r rot
atio
n
très
vite
elle recule !
![Page 22: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/22.jpg)
Analyse des Signaux
Film d’un roue …
Taux d’échantillonnage fixe Vitesse de roue qui change
lent
emen
t
plus
vite
2 éc
hant
illon
spa
r rot
atio
n
1 éc
hant
illon
par r
otat
ion
très
vite
elle recule ! elle arrête !
![Page 23: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/23.jpg)
Analyse des Signaux
« Aliasing » en vidéo
Taux d’échantillonnage fixe– 30 images / seconde
Vitesse dans l’image– Contenu spectral est une fonction de « l’action »– Taux d’échantillonnage peut être inadéquat – Quand « l’action » accélère,
le recouvrement du spectre manifeste …
http://www.youtube.com/watch?v=Y1yHMy0-4TM
![Page 24: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/24.jpg)
Analyse des Signaux
Interprétation physique
![Page 25: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/25.jpg)
Analyse des Signaux
La voix
Contenu spectral– 300 Hz → 3400 Hz
Radio mobile– fe =8 kHz 1.2kHz de plus que
Nyquist
![Page 26: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/26.jpg)
Analyse des Signaux
Autres …
CD audio– L’oreille 0 Hz → 20,000 Hz– fe = 44.1kHz
Vidéo– Signal de télévision 6 MHz– Échographie 100 Hz
4kHz de plus que Nyquist
Il faut connaître notre signal pour bien choisir le taux d’échantillonnage …
![Page 27: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/27.jpg)
Analyse des Signaux
Reconstruction idéale
![Page 28: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/28.jpg)
Analyse des Signaux
Inverse de l’échantillonnage (?)
Conversion analogique à numérique– Pour transmission– Pour mémoire numérique
Conversion numérique à analogique– Écouter …– Voir …
analogique – numérique – analogique– Possible sans perte????
Oui, en principe, si nous respectons le critère de NyquistNon, en réalité, ça prend des composants idéales…
![Page 29: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/29.jpg)
Analyse des Signaux
Graphiquement
analogue
numérique
analogue
filtre passe-bas idéal
![Page 30: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/30.jpg)
Analyse des Signaux
Reconstruction idéale
Conditions– Signal limité en bande (B )– Filtre passe-bas idéal– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist
échan.x(t)filtre
passe-bas Β
( )recx txe(t)
![Page 31: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/31.jpg)
Analyse des Signaux
Signal échantillonné
( ) ( ) ( )e e ek
x t x kT t kTδ+∞
=−∞
= −∑
( ) ( )1e e
ke
X X kT
ω ω ω+∞
=−∞
= −∑
![Page 32: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/32.jpg)
Analyse des Signaux
Après filtrage
Filtre passe-bas idéal
Signal reconstruit – domaine fréquentiel
Signal reconstruit – domaine temporel
( ) ( )Rect 2eH T Bω ω=
( ) ( ) ( )1rec e
ke
X X k HT
ω ω ω ω+∞
=−∞
= − ⋅∑
( ) ( ) ( ) ( )rec e ek
x t x kT t kT h tδ+∞
=−∞
= − ∗∑
multiplication
convolution
( ) ( ) ( )2 Sa 2 Sa 22
e eBT BTh t t B t Bπ π
= =
![Page 33: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/33.jpg)
Analyse des Signaux
Interpolation temporelle
Évaluation de la convolution
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Saee e e e
k k
BT Btx kT t kT h t x kT t kTδ δ
π
+∞ +∞
=−∞ =−∞
− ∗ = − ∗∑ ∑
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Sa
2 Sa
erec e e
k
e eke
BTx t x kT Bt kBT
B x kT B t kT
π
ω
+∞
=−∞
+∞
=−∞
= −
= −
∑
∑
coefficients courbes continues somme infinie
![Page 34: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/34.jpg)
Analyse des Signaux
La reconstruction
courbes continues
coefficients
signal original
somme infinie
cont
inu
écha
ntill
onné
reco
nstr
uit
![Page 35: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/35.jpg)
Analyse des Signaux
Graphiquement
bande passante = B
bande passante = Be
( ) ( ) ( )Sa2
ee e
kx t x kT t kTω+∞
=−∞
= − ∑
![Page 36: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/36.jpg)
Analyse des Signaux
Résumé
échantillonnage ⇒ spectre répété éviter recouvrement ⇒
critère de Nyquist reconstruction idéale
– Signal limité en bande (B )– Filtre passe-bas idéal– Be>B (critère de Nyquist)
échan.x(t)filtre
passe-bas Β
( )recx txe(t)
![Page 37: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/37.jpg)
Analyse des Signaux
Échantillonnage de signaux à bande étroite
![Page 38: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/38.jpg)
Analyse des Signaux
Signal à bande étroite
Signal où
largeur de bande << fréquence centrale
Exemple: signaux avec porteuse
– Moins d’atténuation aux hautes fréquences
cωcω−
B
X b gcB ω
![Page 39: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/39.jpg)
Analyse des Signaux
Fréquence de Nyquist
Énorme pour les signaux à bande étroite
– Taux d’information n’est pas élevé– Électronique très chère
cωcω−
X b g
2 2c Bω +
![Page 40: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/40.jpg)
Analyse des Signaux
Solution …
Ramener le spectre en bande de base
2 1 2ω ω+2 1ωB−B− −2 1 2ω ω −2 1ω
ω1−ω 2 ω 2−ω1
B
X b g
modulation par cos(ω1t)
![Page 41: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/41.jpg)
Analyse des Signaux
Signal en bande de base
Éliminer les hautes fréquences
Signal à échantillonner
2 1 2ω ω+2 1ωB−B− −2 1 2ω ω −2 1ω
B−B
2 2Nyquist cBω ω=
![Page 42: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/42.jpg)
Analyse des Signaux
Envoi du signal
Comment retourner le signal à ωc?
– Processus inverse …• Moduler par cosinus
• Couper le spectre
2ω1ω2ω− 1ω−
X b g
2ω1ω2ω− 1ω−
Filtre passe-bande
![Page 43: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/43.jpg)
Analyse des Signaux
Filtrage pratique
éviter les filtres avec coupures prononcées
B + ∆ω
ω1−ω 2 ω 2−ω1
Y ωb g
∆ω− −B ∆ω −∆ω
ω ω1 − ∆
2 2Nyquist Bω ω= + ∆
![Page 44: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/44.jpg)
Analyse des Signaux
Reconstruction pratique
Comment et pourquoi éviter le recouvrement du spectre
![Page 45: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/45.jpg)
Analyse des Signaux
Repliement duspectre
Signaloriginal
Signalrestitué
ω e 2−ω e 2
Repliement du spectre
Taux d’échantillonnage trop faible
Spectre modifié
![Page 46: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/46.jpg)
Analyse des Signaux
Filtrage de garde
Couper le spectre pour respecter le taux d’échantillonnage réduit
Spectre modifié
Signaloriginal
Signal restituéaprès
échantillonnage
−ω u
filtrage degarde
ω u
![Page 47: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/47.jpg)
Analyse des Signaux
Repliement vs. filtrage de garde
Signal original
Signal restitué
filtrage de garde
Repliement duspectre
Signaloriginal
Signalrestitué
ω e 2−ω e 2
Quel spectre modifié est meilleur ?
![Page 48: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/48.jpg)
Analyse des Signaux
Placement des filtres …
échan.x(t)filtre
passe-bas
( )x txe(t)
échan.x(t)filtre
passe-bas
( )x tfiltreanti-
repliementxe(t)
![Page 49: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/49.jpg)
Analyse des Signaux
Meilleur dans quel sens?
Harmoniques audio– Apparition de tonalités non supportables
Images– Subjectif – l’image la plus jolie
Impulsions carrés– Lobes secondaires réduits
L’erreur quadratique minimale
![Page 50: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/50.jpg)
Analyse des Signaux
L’erreur quadratique
Signal analogique avant échantillonnage Signal analogique après reconstruction Erreur quadratique entre les deux
Théorème de Parseval
( )x t
( ) ( ) 2e x t x t dt
+∞
−∞
= −∫
( ) ( ) 212
e X X dω ω ωπ
+∞
−∞
= −∫
échan.x(t)filtre
passe-bas ωu
( )x tfiltre? xe(t)
( )x t
![Page 51: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/51.jpg)
Analyse des Signaux
L’erreur quadratique (2)
Deux termes
Erreur minimisée pour
Solution: ne pas changer le contenu dans la bande passante, i.e., le filtrage anti-repliement
( ) ( ) ( ) 221 12 2
u
u u
e X d X X dω
ω ω ω
ω ω ω ω ωπ π≥ −
= + −∫ ∫
( ) ( ) 21 02
u
u
X X dω
ω
ω ω ωπ −
− =∫
1 1 12 2 2
u
u u
e d d dω
ω ω ω
ω ω ωπ π π
+∞
−∞ ≥ −
= = +∫ ∫ ∫
( ) 0X ω =
![Page 52: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/52.jpg)
Analyse des Signaux
Les images
Version analogique – Contenu spectral aux hautes fréquences
Version numérique– Grosseur de fichier à minimiser (e.g. web)– Réduire le fichier équivalent à un échantillonnage moins serré spatialement
Vision humaine– Le recouvrement des fréquences spatiales n’est pas beau!
![Page 53: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/53.jpg)
Analyse des Signaux
Placement des filtres …
échan.x(t) filtre"flou" ( )x txe(t)
échan.x(t)filtre
passe-bas
( )x tfiltreanti-
repliementxe(t)
![Page 54: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/54.jpg)
Analyse des Signaux
Filtrage anti-recouvrement
http://www.helsinki.fi/~ssyreeni/articles/antial/antial
pas de filtrage
Image → A/D → → D/A
filtre anti-recouvrement
Image → Filtre → A/D → → D/A
Image → A/D → → Filtre → D/A
Flou (blur)
![Page 55: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/55.jpg)
Analyse des Signaux
Impulsion carrée
Signal rectangulaire– Spectre infini F(ω) τ
2π/τ−2π/τ
ω0
![Page 56: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/56.jpg)
Analyse des Signaux
-0.2
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t
Rect(t)
Sans filtreantirepliement
Avec filtreantirepliement
échan.x(t)filtre
passe-bas
( )x txe(t)
échan.x(t)filtre
passe-bas
( )x tfiltreanti-
repliementxe(t)
![Page 57: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/57.jpg)
Analyse des Signaux
Reconstruction
échan.x(t)filtre
passe-bas
filtre xxe(t)
ADC
analogique à numérique
DAC
numérique à analogique
![Page 58: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/58.jpg)
Analyse des Signaux
Échantillonnage non-idéal
échan.x(t)filtre
passe-bas
filtre xxe(t)
ADC
analogique à numérique
DAC
numérique à analogique
![Page 59: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/59.jpg)
Analyse des Signaux
Échantillonnage par maintien
Échantillonnage idéal
Échantillonnage non-idéal
( ) ( ) ( )e e ek
x t x kT t kTδ+∞
=−∞
= −∑
( ) ( ) Recte ee e
k
T t kTx t x kTτ τ
+∞
=−∞
− =
∑
( ) ( ) ( ) 1 Recte e e ek
tx t T x kT t kTδτ τ
+∞
=−∞
= − ∗
∑
![Page 60: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/60.jpg)
Analyse des Signaux
Spectre
convolution temporelle ⇒multiplication spectrale
( ) ( )
( )
Sa2
Sa2
ωτω ω ω
ωτ ω ω
+∞
=−∞
+∞
=−∞
= −
= −
∑
∑
r ek
ek
X X k
X k
( ) ( ) ( ) 1 Recte e e ek
tx t T x kT t kTδτ τ
+∞
=−∞
= − ∗
∑
X ωb g
B− B
![Page 61: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/61.jpg)
Analyse des Signaux
Échantillonnage idéale
Autant que le taux de échantillonnage (1/Ts) est plus grand que 2*B, il n’yu a pas de repliement spectrale
Plus que le taux de échantillonnage (1/Ts) est proche de 2*B, plus que les copies du spectres sont rapprochées
![Page 62: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/62.jpg)
Analyse des Signaux
Échantillonnage non-idéale
Plus que τ est mince, plus que sinus sur argument est large Plus que le taux de échantillonnage (1/Ts)
est proche de B, plus que les copiesdu spectres sont rapprochées Sa
2ωτ
![Page 63: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/63.jpg)
Analyse des Signaux
τ vs. Ts
![Page 64: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/64.jpg)
Analyse des Signaux
Exemple – Ts=1 sec, τ=1 ms
![Page 65: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/65.jpg)
Analyse des Signaux
τ vs. Ts
![Page 66: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/66.jpg)
Analyse des Signaux
Spectre périodisé
1 eT
ω
Xe(ω) distorsion Sa(ωτ/2)
taux d’échantillonnage
1 eT
durée d’échantillon
1 τ
( )ωrX
![Page 67: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/67.jpg)
Analyse des Signaux
Reconstruction non-idéal
échan.x(t)filtre
passe-bas
filtre xxe(t)
ADC
analogique à numérique
DAC
numérique à analogique
![Page 68: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/68.jpg)
Analyse des Signaux
Reconstruction non-idéal
( ) ( ) ( )e e ek
f t f kT t kTδ+∞
=−∞
= −∑
valeurs en mémoire
![Page 69: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/69.jpg)
Analyse des Signaux
Reconstruction non-idéal
( ) ( ) ( )e e ek
f t f kT t kTδ+∞
=−∞
= −∑
choix de τ
![Page 70: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/70.jpg)
Analyse des Signaux
Spectre périodisé
ω
Xe(ω) ( )ωrX
![Page 71: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/71.jpg)
Analyse des Signaux
Spectre périodisé
ω
Xe(ω) filtre passe-bas pour éliminer les répétitions
( )ωrX
![Page 72: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/72.jpg)
Analyse des Signaux
Choix de duré de la boite
Choix particulier du duré τ• τ = Te
Les zéros de l’enveloppe coincident avec les copies du spectre …– Atténuation naturelle des copies
![Page 73: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/73.jpg)
Analyse des Signaux
Bloqueur d'ordre 0
Xe(ω)
ω
( ) ( )Sa2ωω ω ω
+∞
=−∞
= −
∑
er e
k
TX X k
( )ωrX
![Page 74: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/74.jpg)
Analyse des Signaux
Compenser pour la distorsion introduit par Sinc Filtrage
– Sortie = entrée × filtre
– Filtre
Filtrage d’égalisation
( ) ( )Sa2r e
k
X X kωτω ω ω+∞
=−∞
= −
∑
( ) 1
Sa2
ωωτ
=
H
![Page 75: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/75.jpg)
Analyse des Signaux
Filtrage d’égalisation
Xe(ω)
ω
( ) ( )[ ]
1 Sa 2
pour 2, 2e
e e
HT
ωω
ω ω ω
=
∈ −
![Page 76: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/76.jpg)
Analyse des Signaux
Chaine de reconstruction
DAC
![Page 77: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/77.jpg)
Analyse des Signaux
Reconstruction non-idéal : oversampling
échan.x(t)filtre
passe-bas
filtre xxe(t)
ADC
analogique à numérique
DAC
numérique à analogique
![Page 78: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/78.jpg)
Analyse des Signaux
Examen Final 2002, Prob. 2
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1ωe=ωNyquist
fréquence en kHz
CD de musique– contenu limités à 20
kHz
Deux choix– ωe=ωNyquist
– ωe=8ωNyquist
-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 8000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1ωe=8ωNyquist
fréquence en kHz
Quels sont les avantages de faire un DAC avec un échantillonnage huit fois plus vite que le taux de Nyquist?
![Page 79: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/79.jpg)
Analyse des Signaux
Choix ωe=ωNyquist
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1ω
e=ωNyquist
fréquence en kHz
Distorsion importante
signal remplie la plupart du lobe primaire du sync
Copies du spectre assez fortes
![Page 80: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/80.jpg)
Analyse des Signaux
-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 8000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1ω
e=8ω
Nyquist
fréquence en kHz
Choix ωe=8ωNyquist
Très peu de distorsion
signal petit par rapport au lobe primaire du sync
Copies du spectre très atténuées
![Page 81: Échantillonnagewcours.gel.ulaval.ca/2014/a/GEL2001/default/chap7.pdf– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist x (t) échan. filtre passe-bas Β x x t rec ( ) e (t)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081605/5b94f6ce09d3f2130d8de0ae/html5/thumbnails/81.jpg)
Analyse des Signaux
-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 8000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1ω
e=8ω
Nyquist
fréquence en kHz
Choix ωe=8ωNyquist
Presque pas de distorsion – notre intuition qu’une échantillonnage plus vite doit aider
Les images très atténuées– pas besoin d’un filtre passe-bas
(les images sont déjà très petites) – pas besoin d’un filtre égalisateur
(pas de distorsion à corriger).