디지털 신호처리 시간 영역에서의...

디지털 신호처리 - 시간 영역에서의 분석 IT CookBook, 영상을 이용한 디지털 신호처리

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시간 영역에서 이산 신호를 이해한다.

시간 영역에서 이산 시스템을 이해한다.

선형 시불변(LTI) 시스템을 이해한다.

컨벌루션에 대해 이해한다.

학습목표

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목 차

1. 서론

2. 시간 영역에서 본 이산 신호

3. 시간 영역에서 본 이산 시스템

4. 시간 영역에서 본 LTI 시스템 분석

5. 영상 신호로의 응용

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Section 01 서론

• 이산 신호 : 시간 영역과 변환 영역에서 해석 가능

• 이 장에서 배울 내용

- 시간 영역에서 이산 신호를 해석 및 처리하는 방법

- 기본적인 이산 신호의 성질 및 연산 과정

- 선형 시불변(LTI) 시스템 이해

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Section 02 시간 영역에서 본 이산 신호

연속 신호와 이산 신호의 관계

• 연속 신호: [그림 2-1]에서 점선으로 나타낸 함수,

• 이산 신호: 를 단위 시간 T 시점에서 샘플링하여 얻은 값,

• 연속 신호와 이산 신호의 관계식

)(txc

)(txc ][nx

nnTxnx c ),(][

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이산 신호의 기본적인 연산

이산 신호의 곱

과 이 주어질 때, 두 이산 신호의 곱 은 다음과 같이 구할 수 있다.

][1 nx ][2 nx ][ny

예제 2-1

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이산 신호의 합 또는 차

과 이 주어질 때, 두 이산 신호의 합 또는 차는 다음과 같이 구할 수 있다.

][1 nx ][2 nx

예제 2-2

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이산 신호의 스칼라 곱

의 스칼라 곱 은 다음과 같이 구할 수 있다. ][1 nx ][ny

예제 2-3

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이산 신호의 시간 천이

을 N 샘플만큼 이동하면 다음과 같은 신호 을 구할 수 있다.

][1 nx ][ny

N>0, 지연 이동 N<0, 선행 이동

예제 2-4

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이산 신호의 시간 반전

을 시간 반전을 수행하여, 다음과 같은 신호 을 구할 수 있다.

][1 nx ][ny

예제 2-5

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대표적인 이산 신호

단위 임펄스 신호

단위 샘플 또는 단위 임펄스 신호 은 아래와 같이 정의된다.

여기에 k 샘플만큼 이동시키면 다음과 같이 표현할 수 있다.

][n

예제 2-6

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단위 임펄스 신호

모든 이산 신호는 임펄스 신호의 조합으로 표현될 수 있다.

예제 2-7

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단위 계단 신호

단위 계단 신호 은 아래와 같이 정의된다.

여기에 k 샘플만큼 이동시키면 다음과 같이 표현할 수 있다.

][nu

예제 2-8

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여현파 신호

여현파 신호의 일반적인 형태는 아래와 같으며, 매개변수 를 각각 여현파 신호의 크기, 각 주파수, 위상이라고 한다.

,, 0A

예제 2-9

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지수 신호

지수 신호의 일반적인 형태는 아래와 같으며, 매개변수 는 실수 또는 복소수 형태를 갖는다.

,A

예제 2-10

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매트랩을 통한 이산 신호의 생성

여현파 신호의 생성

예제 2-11

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Section 03 시간 영역에서 본 이산 시스템

시간 영역에서 본 이산 시스템

• 이산 시스템 : 입력 이산 신호 를 목적에 맞게 조작 및 변형하여,

출력 이산 신호 를 생성하는 함수

• 이산 시스템의 입-출력 관계식

][nx

][ny

}{T

]}[{][ nxTny

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대표적인 이산 시스템

시간 천이 시스템

입력 신호 가 어떤 시스템을 통과해서 다음 식을 만족하는 출력 신호 를 생성할 때, 이 시스템을 시간 천이 시스템이라고 하며, 에 따라서 지연 시스템과 선행 시스템으로 나뉜다.

][nx ][ny

>0, 지연 시스템 <0, 선행 시스템

증폭 시스템

입력 신호 가 어떤 시스템을 통과해서 다음 식을 만족하는 출력 신호 를 생성할 때, 이 시스템을 증폭 시스템이라고 한다.

][nx ][ny

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시간 천이와 증폭 시스템

[그림 2-15]의 예제에서 출력 신호 는 입력 신호 를 2 샘플을 선행 이동시키는 선행 시스템과 2배로 증폭시키는 증폭 시스템을 통과시켜 생성할 수 있다.

][nx][ny

선행 이동

2x 증폭

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선형 시스템과 비선형 시스템

임의의 이산 시스템이 존재할 때, 입력 이산 신호 의 출력 과 또 다른 입력 이산 신호 의 출력 이 다음과 같은 관계를 만족하면 이 이산 시스템을 선형 시스템이라고 한다.

또한 선형 시스템이 아닌 시스템을 비선형 시스템이라고 한다.

][1 nx ][1 ny][1 nx ][1 ny

중첩합의 정리(superposition principle)

임의의 시스템의 선형을 검증할 때 사용되는 정리로 다음과 같은 두 가지 성질을 만족해야 한다.

- 합 성질

- 스칼라 곱 성질

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선형 시스템 예제

예제 2-13

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비선형 시스템 예제

예제 2-14

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시불변 시스템과 시가변 시스템

임의의 시스템이 만큼의 시간 천이가 일어난 입력 신호 에 대해 출력 신호 를 생성하는 경우, 이 시스템을 시불변 시스템이라고 한다.

][ 0nnx

][ 0nny 0n

예제 2-15

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시불변 시스템과 시가변 시스템

시간에 따라 출력 신호의 상태가 변할 때 이 시스템을 시가변 시스템이라고 한다.

예제 2-16

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인과 시스템과 비인과 시스템

임의의 시스템이 일 때의 출력 신호 값이 에 해당하는 과거 입력 신호에만 영향을 받을 때, 이 시스템을 인과 시스템이라고 한다. 반면에 출력 신호 값이 미래 입력 신호의 영향을 받는 시스템을 비인과 시스템이라고 한다.

0nn 0nn

예제 2-17

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안정 시스템

임의의 시스템이 유계 입력 신호(Bounded Input)에 대해 유계 출력 신호(Bounded Output)를 생성하면, 이 시스템을 안정 시스템이라고 한다. 여기서 유계 신호는 임의의 양수 에 대해 다음 식 (2.35)를 만족하는 신호 을 의미한다.

xB ][nx

,]}[{][ 2nxny

예제 2-18

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임펄스 응답 시스템

임의의 시스템에 임펄스 입력 을 넣어 나오는 출력 을 임펄스 응답(impulse response) 또는 임펄스 응답 시스템이라고 한다.

][n ][nh

예제 2-19

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Section 04 시간 영역에서 본 LTI 시스템

LTI (Linear Time-Invariant) 시스템

LTI 시스템의 정의

이산 시스템의 특성 중 선형성 (Linear)과 시불변성 (Time-Invariant property)을 동시에 만족하는 시스템

식 (2.37)과 같이 임펄스 신호의 선형 결합으로 생성된 신호 를 시스템 에 입력하면, 생성된 출력 신호 은 식 (2.38)과 같다.

][nx }{T][ny

여기에 선형성과 시불변성이 만족한다고 가정하면, 식 (2.38)은 다음 식 (2.39)와 같이 나타낼 수 있다.

시스템 의 임펄스 응답을 이라고 하면, 식 (2.39)는 다음 식 (2.40)과 같이 쓸 수 있다.

}{T ][nh

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LTI (Linear Time-Invariant) 시스템

LTI 시스템의 정의

이산 시스템의 특성 중 선형성 (Linear)과 시불변성 (Time-Invariant property)을 동시에 만족하는 시스템

컨벌루션

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컨벌루션 합 (Convolution Sum)

컨벌루션 합 / 컨벌루션

입력 신호 과 이 다음과 같은 출력 신호 을 생성할 때, 이 관계를 컨벌루션 합 또는 컨벌루션이라고 한다.

][nx ][ny][nh

다음 그림과 같은 두 신호가 있을 때, 두 신호의 컨벌루션을 구하라.

예제 2-20

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식 (2.41)의 컨벌루션 식을 이용해서, 계산하면

예제 2-20

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최종적으로 다음과 같이 얻을 수 있다.

위의 결과 값을 그림으로 나타내면 아래의 [그림 2-19]와 같은 출력 신호를 얻 을 수 있다.

예제 2-20

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매트랩을 이용한 컨벌루션 예제

예제 2-21

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LTI 시스템의 주요 성질

교환 연산

LTI 시스템은 다음 식 (2.43)과 같은 교환 연산을 만족한다.

분배 연산

입력 신호 은 두 개의 임펄스 응답 에 대해 식 (2.44)와 같은 분배 연산을 만족한다.

][nx ],[1 nh ][2 nh

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직렬 연결

LTI 시스템의 두 개의 임펄스 응답 은 [그림 2-22]와 같이 직렬 연결이 가능하다.

],[1 nh ][2 nh

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병렬 연결

LTI 시스템의 두 개의 임펄스 응답 은 [그림 2-23]와 같이 병렬 연결이 가능하다.

][2 nh],[1 nh

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안정성 판정

LTI 시스템의 임펄스 응답 이 식 (2.47)과 같이 절대 수렴할 때, 이 LTI 시스템은 안정 시스템이다.

][nh

인과성 판정

LTI 시스템의 임펄스 응답 이 식 (2.48)을 만족할 때, 이 LTI 시스템은 인과 시스템이다.

][nh

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Section 05 영상 신호로의 응용

영상 신호에서 컨벌루션의 적용

영상 신호: 512x512 해상도의 Lena 영상

임펄스 응답 : [0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2], 저대역 통과 필터

][nh

X 축 방향으로 컨벌루션 수행

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임펄스 응답 : [0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2], 저대역 통과 필터

][nh

Y

축

방향으로

컨벌루션

수행

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임펄스 응답 : [0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2], 저대역 통과 필터

][nh

Y

축

방향으로

컨벌루션

수행


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임펄스 응답 : [-1, 2, 1], 고대역 통과 필터

][nh


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][nh

Y

축

방향으로

컨벌루션

수행

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][nh

Y

축

방향으로

컨벌루션

수행


2장 디지털 신호처리 - 시간 영역에서의 분석 끝

디지털 신호처리 시간 영역에서의...

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