พทาโกรสพทาโกรส

จดท ำโดย : นางสาว รตพร หนค า 563050125-2 ชนปท 2 คณตศาสตรศกษา

ค าน า

หนงสอเลมเลก “Let’s Learn พทาโกรส” ฉบบนเปนสวนหนงของวชา นวตกรรมและเทคโนโลยสารสนเทศเพอการเรยนร รหสวชา 241208 จดท าขนเพอเปนสอการเรยนร และแหลงขอมลแกผทสนใจศกษาในเรองทฤษฎบทพทาโกรสในระดบพนฐาน ซงประกอบดวยเนอหา 3 สวนดวยกน นนคอ สมบตของรปสามเหลยมมมฉาก, ทฤษฎบทพทาโกรส และ บทกลบของทฤษฎบทพทาโกรส ขอบพระคณทานอาจารย ดร. อนชา โสมาบตร อาจารยประจ าวชา เปนอยางสง ทใหค าชแนะ และค าแนะน าในการจดท าสมดเลมเลกฉบบน

ผจดท า

สารบญ

สมบตของรปสามเหลยมมมฉาก

ทฤษฎบทพทาโกรส

บทกลบของทฤษฎบทพทาโกรส

หวเรอง หนา

8 1

9 15

16 23

-

-

-

ทฤษฎบทพทาโกรส

สมบตของรปสามเหลยมมมฉาก

ทฤษฎบทพทาโกรส

บทกลบของทฤษฎบทพทาโกรส

ConceptConceptConcept

เพอนๆ รจกรปสามเหลยมไหมเอย?

สงทพบในชวตประจ าวนมอะไรบางทเปนรปสามเหลยม?

สมบตของรปสามเหลยมมมฉาก

1

มารจก “รปสามเหลยมมมฉาก”

กนเถอะ

จากรปสามเหลยม ABC มมม ACB ทเปนมมฉาก (มขนาด 90o) เรยก AB วา “ดานตรงขามมมฉาก” เรยก AC และ BC วา “ดานประกอบมมฉาก”

^

___ ___

___

2

ลองวดดนะ

เครองมอวด: ไมโปรแทรกเตอร และไมบรรทด

รปสามเหลยมดานบนเปนรปสามเหลยมมมฉากไหมนะ

ถาเปนรปสามเหลยมมมฉากแลวรปนนมดานตรงขามมมฉาก และดานประกอบมมฉากยาวเทาไรบางเอย

?

?

3

จากกจกรรม “ลองวดดนะ” เพอนๆสงเกตเหนอะไรบาง?

รปสามเหลยม

ความยาวของดานประกอบมมฉาก

(1)

ความยาวของดานประกอบมมฉาก

(2)

ความยาวของดานตรงขามมมฉาก

ABC

กขค

MNO

มบล

จากตารางเพอนๆพบความสมพนธของดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉากอยางไรบาง ?

4

ผลทไดจากกจกรรมขางตน

เมอก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก ทม ACB เปนมมฉาก ดงรป

ให c แทน ความของดานตรงขามมฉาก นนคอ AB a แทน ความยาวของดานประกอบมมฉาก นนคอ BC b แทน ความยาวดานประกอบมมฉาก นนคอ AC

จะได c2=a2+ b2

___

___

___

^

5

ความสมพนธระหวางความยาวของดานของรปสามเหลยมฉากขางตน เปนไปตามสมบตของรปสามเหลยมฉากทกลาววา “ส าหรบรปสามเหลยมมมฉากใดๆ ก าลงสองของความยาวของดานตรงขามมมฉาก เทากบผลบอกของก าลงสองของความยาวของดานประกอบมมฉาก” สมบตขางตนน เรยกวา ทฤษฎบทพทาโกรส ซงถกตงชอตามผคดคนทฤษฎนนนเอง

6

เราสามารถน าความสมพนธระหวางความยาวของดานของรปสามเหลยมมมฉากขางตน หาความยาวดานใดดานหนงของรปสามเหลยมมมฉากทตองการทราบไดเสมอ เมอเราทราบความยาวของดานสองดานของรปสามเหลยมมมฉากนน

ตวอยางท 1 จากรปสามเหลยมมมฉากทก าหนดให จงหาคาความยาวของ c

วธท า จากความสมพนธระหวางความยาวของดานของรปสามเหลยมมมฉาก จะได c2 = 82+152 = 64 + 225 = 289

= 17x17 ดงนน c = 17 ตอบ 17 หนวย

ใชความสมพนธยงไงนะ?

7

ตวอยางท 2 จากรปสามเหลยมมมฉากทก าหนดให จงหาคาความยาวของ a

วธท า จากความสมพนธระหวางความยาวของดานของรปสามเหลยมมมฉาก จะได 242 = 252+a2 a2 = 252-242 = 625-576 = 49 = 7x7 ดงนน a = 7 ตอบ 7 หนวย

8

เราไดรจกความสมพนธระหวางความยาวของดานของรปสามเหลยมมมฉาก กนมาแลว นนคอ “ส าหรบรปสามเหลยมมมฉากใดๆ ก าลงสองของความยาวของดานตรงขามมมฉาก เทากบผลบอกของก าลงสองของความยาวของดานประกอบมมฉาก” รหรอไม? วาความสมพนธดงกลาวเปนทรจกกนมานานกวา 3,000ปมาแลว ในชอทฤษฎบทพทาโกรส แตคนในสมยกอนสงเกตเหนความสมพนธน ในลกษณะทเปนความสมพนธของพนทของรปสเหลยมจตรสบนดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉาก ดงตวอยางตอไปน . . .

ทฤษฎบทพทาโกรส

9

ให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก ทม ACB เปนมมฉาก ม BC ยาว 3 หนวย, AC ยาว 4 หนวย และ AB ยาว 5 หนวย สรางรปสเหลยมจตรส ABIH, รปสเหลยมจตรส BCED และ รปสเหลยมจตรส ACGF บนดาน AB , ดาน BC และ ดาน AC ตามล าดบ ดงรป

จะได พนทของรปสเหลยมจตรส ABIH เทากบ 52 = 25 ตารางหนวย พนทของรปสเหลยมจตรส BCED เทากบ 32 = 9 ตารางหนวย

พนทของรปสเหลยมจตรส ACGF เทากบ 42 = 16 ตารางหนวย ซง 25 = 9+16

ดงนน พนทของรปสเหลยมจตรส ABIH เทากบ ผลบวกของพนทของรปสเหลยมจตรส BCED และ พนทของรปสเหลยมจตรส ACGF

10

ตวอยางขางตนเปนการแสดงความสมพนธตามทฤษฎบทพทาโกรสทกลาวไดอกแบบหนงดงน “ส าหรบรปสามเหลยมมมฉากใดๆ พนทของรปสเหลยมจตรสบทดานตรงขามมมฉาก เทากบผลบวกของพนทของรปสเหลยมจตรสบนดานประกอบมมฉาก”

คดสนก

ตงแตสมยกรกโบราณ นกคณตศาสตรไดพยายามหาวธพสจนทฤษฎบทพทาโกรสหลายๆวธ วธขางตนกเปนหนงในนน ลองมาชวยกนหาวธอนอกดกวา ใชวธไหนดนะ? ..

11

รหรอเปลา? พทาโกรสอยรอบตวเรา

ตวอยางท 1 เราใชความยาวของเสนทแยงมมของหนาจอโทรทศน เพอบอกขนาดของโทรทศน โทรทศนเครองหนงมหนาจอทวดตามแนวเสนทแยงมมได 20 นว ถาหนาจอโทรทศนสง 12 นว

วธท า ก าหนดให x แทน ความยาวของหนาจอโทรทศน จากความสมพนธระหวางความยาวของดานของรปสามเหลยมมมฉาก จะได 202= 122 + x2 x2 = 202-122 = 400 – 144 = 256 = 17x17 ดงนน x = 17 ตอบ หนาจอโทรทศนยาว 17 นว

12

ตวอยางท 2 ทรงสเหลยมมมฉาก ABCDEFGH มดาน AF ยาว 8 เซนตเมตร ดาน AB ยาว 12 เซนตเมตร และดาน BC ยาว 9 เซนตเมตร จงหาความยาวของ FC ___

วธท า เนองจาก AFC ม FAC เปนมมฉาก ดงนน FC2 = AF2 + AC2…………(1) หา AC2 จาก ABC เนองจาก ABC ม ABC เปนมมฉาก ดงนน AC2 = AB2 + BC2………..(2) แทนสมการ (2) ลงสมการ (1) ; FC2 = AF2 + (AB2 + BC2) = 82+ (122+92) = 64 + 144 +81 = 289 = 17 x 17 ดงนน FC = 17 นนคอ FC ยาว 17 เซนตเมตร ตอบ 17 เซนตเมตร

^

___

^

13

ตวอยางท 3 อเลกซสง 6 ฟต ยนอยหางจากจดปลอยบอลลน 400 ฟต บอลลนลอยขนไปจากจดปลอยบอลลน 306 ฟต ศรษะของอเลกซอยหางจากบอลลนกฟต

วธท า วาดแบบจ าลอง โดยใหจด B เปนจดปลอยบอลลน จด A เปนจดทอเลกซยนอย จด C เปนต าแหนงทบอลลนลอยอย และ AP แทนความสงของอเลกซ ให PQ = AB และ PQ ตงจากกบ BC ทจด Q ดงรป จะได AB = PQ = 400 BC = 306 และ AP = BQ = 6 ดงนน CQ = 306-6 = 300

เนองจาก PQC ม PQC เปนมมฉาก จะได PC2 = PQ2 + CQ2 = 4002 + 3002 = 160,000 + 90,000 = 250,000 = 500 X 500 ดงนน PC = 500 นนคอ ศรษะของอเลกอยหางจากบอลลน 500 ฟต ตอบ 500 ฟต

^

14

แกโจทยปญหาพทาโกรส

อานโจทย แลวหา... สงทโจทยก าหนดให สงทโจทยถาม

วาดรป แลวเขยน... สงทร สงทตองการหา

แกโจทย

ตรวจค าตอบ

Finish 15

บทกลบของทฤษฎบทพทาโกรส

มาเตะฟตบอลกนเถอะ ... กอนเราจะไปเตะฟตบอลกน เพอนๆสงเกตหรอไมวาสนามฟตบอลทเราเคยเหนกนตางกมเสนสขาวๆ บอกเขตแดน “เรามาชวยกนตเสนสนามหญาบานอเลกซใหกลายเปนสนามบอลกนเถอะ !!”

16

เรามปนขาวไวใชโรยบนสนามหญาแลว .. แตเราจะตเสนอยางไรใหตรงนะ? เอ... แลวตรงบรเวณมมสนามละ !!?? เราจะท าอยาไรใหเปนมมฉาก มาชวยอเลกซตเสนสนามฟตบอลใหส าเรจท :)

Write it down

ในสมยอยปตโบราณ เกษตรกรทอาศยอยรมฝงแมน าไนลมกจะประสอบปญหาน าทวมทดนจนไมสามารถชแนวเขตทดนของตนได จงตองรงวดทดนใหมเกอบทกป ในสมยนนเมอตองการรงวดทดนเปนมมฉาก ชาวบานจะใชเชอกทม 13 ปม ระยะหางระหวางปมเปน 1 หนวยเทากน มาขงเปนรปสามเหลยมทมดานยาว 3, 4 และ 5 หนวย กจะไดรปสามเหลยมมมฉากทมดานตรงขามมมฉากเปน 5 หนวยนนเอง “... เพอนๆคดวามจ านวนสามจ านวนชดอนๆ ทเปนความยาวของดานทงสามของรปสามเหลยม แลวท าใหไดรปสามเหลยมมมฉาก อกหรอไม?... ”

17

บทกลบของทฤษฎพทาโกรส กลาววา “ส าหรบรปสามเหลยมใดๆ ถาก าลงสองของความยาวของดานดานหนงเทากบผลบวกของก าลงสองของความยาวของดานอกสองดาน แลวรปสามเหลยมรนนเปนรปสามเหลยมมมฉาก”

หรอกลาวไดวา “ถารปสามเหลยม ABC มดายยาว a, b และ c หนวย และ c2 = a2 +b2 จะไดวา รปสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก” นนเอง

18

การพสจนบทกลบของทฤษฎบทพกาโกรส ท าไดดงน

ก าหนดให ABC ม AB = c หนวย, BC = a หนวย, AC = b หนวย และ c2 = a2 +b2 ตองการพสจนวา ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก ทม ACB เปนมมฉาก

พสจน สรางรปสามเหลยมมมฉาก DEF ใหดานประกอบมมฉาก EF และ DF ยาว a หนวย และ b หนวยตามล าดบ และให DFE เปนมมฉาก ดงรป

^

19

^

EF = BC = a และ DF = AC = b (จากการสราง) จาก DEF จะได DE2 = a2 + b2 (โดยทฤษฎบทพทาโกรส) จาก ABC จะได c2 = a2 + b2 (ก าหนดให) ดงนน DE2= c2 (สมบตของการเทากน) นนคอ DE = c จะได DEF ABC (ดาน-ดาน-ดาน) ดงนน DFE = ACB = 90o (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะมขนาดเทากน) นนคอ ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากทม ACB เปนมมฉาก

^ ^

^

20

ลองใชบทกลบของทฤษฎพทาโกรสในการแกไขปญหาตอไปน

ก าหนด รปสามเหลยม ABC ดงรป จงแสดงวา ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก

ท าไดหรอเปลา?

21

ทฤษฎบทพทาโกรสไมยากอยางทคดใชไหมคะ?

ทฤษฎนเปนทฤษฎทมประโยชนสามารถน าไปใชไดในชวตประจ าวนไดอยางคาดไมถง ทงในการสรางอาคารบานเรอน ทฤษฎนกถกหยบไปใชในการค านวณตางๆมากมาย เชน การสรางหลงคาบาน การออกแบบบนไดทสามารถขน-ลงไดงาย ทงในการผลตเครองมอทางการแพทย และทางดานอนทเราคาดไมถงเลยทเดยว

แตทแนๆ ทฤษฎนถอเปนพนฐานในการตอยอดสการเรยนรในเรองทนาสนใจ ทงในวชาคณตศาสตร วทยาศาสตร และวชาอนๆอกมากมายเลยนะคะ

22

ท าไดไหมนา...?

บนไดยาว 6.5 เมตร วางพงผนงตกใหเชงบนไดหางจากผนง 2.5 เมตร 1. อยากรจงวา ปลายบนของบนได อยสงจากพนกเมตร 2.ถาตองการพงบนได ใหปลายบนของบนไดอยสงกวาพนไมถง 6 เมตร ควรจะวางเชงบนไดหางจากตกมากกวา

ตลาดอยหางจากบานญาญา 1,800 เมตร และอยหางจากโรงเรยน 2.4 กโลเมตร ทกๆวนญาญาจะปนจกรยานแวะซอกบขาวทตลาดหลงเลกเรยน แตในตอนเชาญาญาจะปนจกรยานไปโรงเรยนโดยไมผานตลาด ในแตละวนญาญาจะปนจกรยานเปน

23

บรรณานกรม

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2553). ทฤษฎพทาโกรส. กรงเทพมหานคร: สกสค. ลาดพราว.