Dynamiques lentes associées aux bifurcations turbulentes

Ont contribué à ces travaux:

Sébastien Aumaître,Mathilde Colmet-Daâge,Pierre-Philippe Cortet,Bérengère Dubrulle, Adrien Escoffier,Cécile Gasquet,Louis Marié,

Romain Monchaux,Vincent Padilla,Mattéo Smerlak

et l’équipe VKS

Arnaud Chiffaudel,Florent Ravelet,

& François Daviaud

Groupe Instabilités et TurbulenceService de Physique de l’Etat Condensé

Direction des Sciences de la MatièreCEA Saclay - CNRS URA 2464

« Dynamiques lentes » :un certain point de vue ?

un système complexe,

un ou plusieurs états moyens,

des fluctuations importantes (constituant ou conséquence de la complexité ?),

des transitions/bifurcations vers ou entre des états moyens sur des échelles de temps très supérieures à celles des fluctuations.

- 0 –

Into the wild

Des dynamiques lentes dans les systèmes naturels... aux expériences modèles

« (a) The tornado with a nearlyconical funnel. (b) The tornado a short time later with the bulge on the visible core. The tornado laterreassumed the form shown in (a), followed once more by the appearance of the bulge midway up the core. »

Burggraf & Foster, J. Fluid Mech. 80, 685 (1977).

Modeled by Shtern & Hussain, Phys. Fluids A 5, 2183 (1993).

Tornade :dynamique entre deux états

Circulation atmosphérique

Zonale Bloquée

Weeks et al. Science 278, 1598 (1997)

Etats persistants océaniques : “le Kuroshio”

Persistent states, abrupt transitions. Scales: ~500 km, 2-5 years.

Known since 1960s (Taft 1972). Numerous articles (observations, numerical, theoretical).

M. Kawabe, JPO, 25, 3103 (1995)

(http://www.rs.noda.sut.ac.jp/~kaiyou/eddy.htm)

De la circulation océanique globale au climat planétaire

a -The 800,000-year records of atmospheric carbon dioxide (red; parts per million, p.p.m.) and methane (green; parts per billion, p.p.b.) from the EPICA Dome C ice core, together with a temperature reconstruction (relative to the average of the past millennium) based on the deuterium–hydrogen ratio of the ice, reinforce the tight coupling between greenhouse-gas concentrations and climate observed in previous, shorter records. The 100,000-year 'sawtooth' variability undergoes a change about 450,000 years ago, with the amplitude of variation, especially in the carbon dioxide and temperature records, greater since that point than it was before. Concentrations of greenhouse gases in the modern atmosphere are highly anomalous with respect to natural greenhouse-gas variations (present-day concentrations are around 380 p.p.m. for carbon dioxide and 1,800 p.p.b. for methane). b - The carbon dioxide and methane trends from the past 2,000 years.

800.000 ans de paléoclimat (EPICA-Dome C ice core)

Lüthi, Le Floch, Bereiter, Blunier, Barnola, Siegenthaler, Raynaud, Jouzel, Fischer, Kawamura & Stocker, Nature 453, 291-292 (15 May 2008)

Y ’a t-il un troisième état... plus chaud ? Ou pas ?

Champ magnétique de la Terre : inversions erratiques

Un écoulement fermé Reynolds élevé Turbulent / Fluctuant

Peut-on quantifier la stabilité « en moyenne » d’un système fluctuant ou d’un écoulement ?

Peut-on étudier les échanges de stabilité ? Rôle du bruit ?

Peut-on comparer à des systèmes dynamiques non-linéaires de basse dimensionnalité ?

Proposition :

Peut-on réaliser des expériences modèles « simples »

pour comprendre la dynamique et la « stabilité »de tels systèmes naturels ?

Une expérience « géophysique » de laboratoireWeeks et al. Science 278, 1598 (1997)

un cylindre tournant avec pompage radial une une « chaîne de montagne

m = 2 »

Zonalem=2

Bloquéem=4

Couette-plan et Taylor-Couette ― Γ >> 1

UUdd

LLxx

LLzz

Ωo Ωi

d

ri

L

Andereck, Liu, Swinney, JFM (1986)

Prigent et al., PRL 2002

Bandes turbulentes Spirales turbulentes

d << ri

Dynamiques lentes spatio-temporelles

Ecoulement de

von Kármán

−1 0 1−0.9

0

0.9

r/R

z/R

−0.8

0

0.8

L'écoulement de von Kármán turbulent

et ses trois échelles

Temps de moyennage : 60 s500 f -1

Temps de moyennage : 1/20 s1/2 f -1

Temps de moyennage : 1/500 s1/50 f -1

- 1 –

Bifurcation turbulente sous-critique et multistabilité

Changement de topologie et brisure de la symétrie SO(2)

101

102

103

104

105

106

10−1

100

Re

Kp

(+) s

(−) s

(−) b

Multiplicité des solutions

Rec= 330 Ret = 3300

−1.4

−0.7

0

0.2

0 1−0.9

0

0.9

r/R

z/R

0 300 600 900 12000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

t.f

Kp1

Turbulent Bifurcation of the von Kármán flow : two different mean

flows exchange stability. A symmetry is broken

0 1−0.9

0

0.9

r/R

z/R

−1

0

1

Bifurcated flow (b) : no more shear layerbroken symmetry

two cells

one state

one cell

two states

Paramètres de contrôle avec moteurs indépendants

Bifurcation turbulente, multistabilité, « effet mémoire »

−1 −0.5 0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

Kp

θ

(s)

(b1) (b

2)

−1 −0.5 0 0.5 1−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

∆ K

p

θ

(s)

(b1)

(b2)

0 1200 2400 3600 480010

−3

10−2

10−1

100

θ = 0.0267

θ = 0.0204

θ = 0.0163

t.f

0 600 12000

0.2

0.4

0.6

0.8

(s)

(b2)

t.f

Kp

1

tbif

. f

0 600 12000

0.2

0.4

0.6

0.8

(s)

(b2)

t.fK

p2

Statistique des temps de persistance dans l’état central (s)

0 100 200 300 400 500 6000

20

40

60

80

100

120

140

tbif

(s)

Distribution of transition times is exponential

0.007 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.03510

1

102

103

104

105

|θ|

τ . f

Stabilité de la branche centrale (s)

« zone interdite » en régime stationnaire

−1 −0.5 0 0.5 1−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

γ

θθ = (F1-F2)/(F1+F2)

γγ γγ=

(Kp 1

-Kp 2

)/(K

p 1+K

p 2)

Stabilitédes

étatsbifurqués

(b1) & (b2)−1 −0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

f 0/f

θ

−0.3 −0.2 −0.1 00

0.05

0.1

0.15

(f0/f

)2

Le temps caractéristique

diverge en (θ-θc)

-p

La fréquence de précession tend

vers zéro

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−0.15

−0.10

−0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

γ

θ

(b2)

(b1)

θ = (F1-F2)/(F1+F2)

γγ γγ=

(Kp 1

-Kp 2

)/(K

p 1+K

p 2)

(s)

0 200 400 600 800 1000 12000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

time (s)

Kp1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Kp1

Kp

2

0 200 400 600 800 1000 12000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

time (s)

Kp1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Kp1

Kp

2

(b2) (b2)

(b2) (b1)

A t = 0, l’état (b2) est amené à

θ = -0.116

En traversant la « zone interdite »,

on voit apparaître état intermédiaire, transitoire...

...proche de l’état (s).

La transition « bifurqué – bifurqué »

Que se passe-t-il lorsqu’on impose un déséquilibre de couple dans cette « zone interdite ? »

- 2 –

La bifurcation turbulente contrôlée en couple

Dynamiques lentes de bifurcations turbulentes entre états de topologies différentes

—O2 / SO2

Régulation en couple : Exploration de la « zone interdite »

−1 −0.5 0 0.5 1−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2γ

θ

Etats intermittents (i)

θ = (F1-F2)/(F1+F2)

γγ γγ=

(Kp 1

-Kp 2

)/(K

p 1+K

p 2)

Etats intermittents (i)

(s)

(b2)

(b1)

0 300 600 9000

300

600

900

f1 (rpm)

f 2 r

pm

(b2)

(s)

excursions intermittentes

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.210

0

101

102

103

104

105

θ

0.028

−0.084

−0.205

−1 −0.5 0 0.5 1−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

γ

θ

1 1.002 1.004 1.006 1.008 1.01 1.012

x 104

0

300

600

900

temps (s)

Près de (s)

0 300 600 9000

300

600

900

f1 (rpm)

f 2 (

rpm

)

(s)

(b2)

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.110

0

101

102

103

104

105

θ

−0.212

0.030

−1 −0.5 0 0.5 1−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

γ

θ

1 1.002 1.004 1.006 1.008 1.01 1.012

x 104

0

300

600

900

temps (s)

Près de (b)

0 300 600 9000

300

600

900

f1 (rpm)

f 2 (

rpm

)

(s)

(b2)

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.110

0

101

102

103

104

105

θ

0.028

−0.062 −0.272

−0.202

−1 −0.5 0 0.5 1−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

γ

θ

1 1.002 1.004 1.006 1.008 1.01 1.012

x 104

0

300

600

900

temps (s)

Entre (s) et (b)

−1 −0.5 0 0.5 1−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2γ

θθ = (F1-F2)/(F1+F2)

γγ γγ=

(Kp 1

-Kp 2

)/(K

p 1+K

p 2)

θ, f

Comportements à long terme dans la zone interdite : transitions stochastiques entre états à 1 et 2 cellules

Kp1 proche de Kp2,le système “oscille”entre deux états

Kp1 ≠ Kp2 ⇒ 1 cellule

Kp1 ≈ Kp2 ⇒ 2 cellules

- 3 –

Bifurcations turbulentes quasi-continues...

...ca dépend de l’échelle de temps d’observation

A Pampelune : un von Kármán jamais symétrique…

Alberto de la Torre & Javier Burguete,

PRL 2007

La couche de cisaillement n’est jamais au centre sauf… en moyenne !

Le cas de l’expérience VKS (von Karman Sodium)

0.7

51

.00

0.4

0.3018516

20

65

61

78

41

15

5Oil cooling circulation

Na at rest

x

z

y0.9040

R

+

Turbines

TM73

Anneau méridien

Faible courbure, diamètre 3/4

−0.8

−0.4

0

0.4

0.8p

(b)

−0.8

−0.4

0

0.4

0.8

(a)p

0 0.5-0.5 1-1

Position de la couche de cisaillement en fonction de θ

Forme de la séparatrice par SPIV

θ = 0.05, sans anneau

Posi

tion

zde

la s

épar

atri

ce θc = 0.09

θc = 0.175

sans anneau

avec anneau

θ = (F1-F2)/(F1+F2)

L’anneau stabilise et retient la séparatrice

Point de stagnation

r = 0.7

Sens (+) avec anneau ― couple et fluctuations

θ = (F1-F2)/(F1+F2)

σ(C i

)/C i

Coup

les

C1,

2(N

.m.)

Transition « 1 cellule - 2 cellules » à θθθθc= ±±±± 0.175

θ = (F1-F2)/(F1+F2)−1 −0.5 0 0.5 1

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

∆ K

p

θ

(s)

(b1)

(b2)

- Transition quasi-continue

- Faible hystérésis

- Faible différence de Kp

- Faible saut de Kp

- Très différent de TM60

<Kp>

<∆Kp

> = <K

p 1> -

<Kp 2

>

TM60

Que se passe-t-il à θθθθc= ±±±± 0.175 ?

∆Kp moyen est continu

0.155 0.16 0.165 0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195 0.24

5

6

7

8

9

10

11

12

13

x 10−3

θ

∆K

p

Visualisation du chemin parcouru lors de l’acquisition

aller

retour

θ = (F1-F2)/(F1+F2)

Passage stochastique d’une àdeux cellules

(s) (b) (s)… … (b) …

État (b)

État (s)

acquisitions de 10 minutes :

: θ croissant

: θ décroissant

<∆Kp

>

0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.213

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x 10−3

theta

DK

p

θ = (F1-F2)/(F1+F2)

<∆Kp

>Que se passe-t-il à θθθθc= ±±±± 0.175 ?

Mesures de différentes durées : 2 – 200 mn

0.155 0.16 0.165 0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195 0.2

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x 10−3

Theta

DK

p

0.169 0.17 0.171 0.172 0.173 0.174 0.175 0.176 0.177 0.178 0.1790

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Thetaθ = (F1-F2)/(F1+F2)Prob

abili

téde

pré

senc

e p(

s), p

(b)

D’un état à l’autre

θc = 0.174

0.17 0.171 0.172 0.173 0.174 0.175 0.176 0.177 0.178 0.179 0.1810

−3

10−2

10−1

100

101

102

103

Theta

p(s)

/p(b

)

θ = (F1-F2)/(F1+F2)

0.169 0.17 0.171 0.172 0.173 0.174 0.175 0.176 0.177 0.178 0.1790

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Thetaθ = (F1-F2)/(F1+F2)

Prob

abili

téde

pré

senc

e p s

, pb

Echelles de temps ≥ 3000 tours de turbine

0.17 0.171 0.172 0.173 0.174 0.175 0.176 0.177 0.178 0.179 0.180

50

100

150

200

250

300

350

400

Theta

Ms

en

ble

u e

t M

b e

n r

ou

ge

θc = 0.174

θ = (F1-F2)/(F1+F2)

T s, T

b(1

0 s)

Ts = Tb ~ 300s pour θ = θc

Echelles de temps courtes ~ 1s = 10 tours de turbine

3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Temps

Co

up

le 1

(e

n N

.m)

1.6 1.65 1.7 1.75 1.8

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

Temps

Co

up

le 2

(e

n N

.m)

Temps (100s)

5s

Diagramme des états VKS – avec anneau

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

Rm

[(F

1+

F2

)/2

]

|θ| =(F1−F2)/(F1+F2)

STAT1 STAT2 STAT3 OSC

BASC RENV BURSTEXT

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900−300

−200

−100

0

100

200

300

time (s)

Bθ(t

) (G

)

θ = 0.15-0.17

θ = (F1-F2)/(F1+F2)

Inversions erratiques de BBerhanu et al. Europhys. Lett. (2007)

Un mécanisme simple de déclenchement des inversions de champ magnétique ?

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900−300

−200

−100

0

100

200

300

time (s)

Bθ(t

) (G

)

θ = (F1-F2)/(F1+F2)

<∆Kp

>

Hypothèse : θc diminue avec l’intensité de B dynamo… confirmée ?

- Etat initial : B ≠ 0 et θ = 0.16 < θc(B)- Fluctuation : B -> B’ > B - Si θc(B’) < θ : passage (s) -> (b) en ~ 2s- disparition de la dynamo ~ 2s : B = 0- θc remonte à θc(0) = 0.175- La dynamo repousse -> B ou –B (≠ 0)

θc(0) = 0.175

−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

θ = (F1− F

2) / (F

1+ F

2)

γ =

(Γ

1−

Γ2)

/ (Γ

1+

Γ2) θc(B) ~ 0.16

θ = (F1-F2)/(F1+F2)

γ=

∆Kp

/ΣKp

C’est fini !

Merci de votre attention.