DVIJE RAVNINEDVIJE RAVNINE

Višnjica ElčićVišnjica Elčić

DVIJE RAVNINEDVIJE RAVNINE

Mogući položaji:Mogući položaji:

1.Dvije se ravnine podudaraju1.Dvije se ravnine podudaraju 2.Dvije se ravnine sijeku 2.Dvije se ravnine sijeku 3.Dvije ravnine nemaju presijek3.Dvije ravnine nemaju presijek

Prvi će se slučaj dogoditi,na primjer,kad Prvi će se slučaj dogoditi,na primjer,kad ravnine (pi) i p imaju tri zajedničke ravnine (pi) i p imaju tri zajedničke nekolinearne točke,jer će se onda nekolinearne točke,jer će se onda podudarati,po aksiomu podudarati,po aksiomu AA2.2.

2. Po aksiomu 2. Po aksiomu AA4 4 dvije ravninedvije ravnine koje imajukoje imaju zajedničkih točaka,a nisu podudarne sijeku zajedničkih točaka,a nisu podudarne sijeku se po pravcu.se po pravcu.

..

Presjek dviju ravnina. Po aksiomu APresjek dviju ravnina. Po aksiomu A4 4 presjekpresjek

dviju ravnina mora biti pravac.Ovo je svojstvo dviju ravnina mora biti pravac.Ovo je svojstvo

ravnina povezano s dimenzijom prostora.ravnina povezano s dimenzijom prostora.

Kad bi naš prostor bio četiridimenzionalan umjesto Kad bi naš prostor bio četiridimenzionalan umjesto

trodimenzionalan,tada bi se dvije ravnine trodimenzionalan,tada bi se dvije ravnine

mogle sjeći samo u jednoj točkimogle sjeći samo u jednoj točki

3. Ako su dvije ravnine istovjetne ili se ne 3. Ako su dvije ravnine istovjetne ili se ne sijeku,za njih kažemo da su paralelne sijeku,za njih kažemo da su paralelne (usporedne)(usporedne)

Dvije ravnineDvije ravnine

Dvije ravnine mogu biti ili paralelne ili je Dvije ravnine mogu biti ili paralelne ili je njihov presjek pravac.Pritom njihov presjek pravac.Pritom paralelnost uključuje slučaj kad su paralelnost uključuje slučaj kad su ravnine istovjetne,a u protivnom se ravnine istovjetne,a u protivnom se ravnine sijeku po pravcuravnine sijeku po pravcu

TRI RAVNINETRI RAVNINE

Tri ravnine u prostoruTri ravnine u prostoruMogu biti u jednom od 5 položajaMogu biti u jednom od 5 položaja1. postoji samo jedna točka zajednička za sve 1. postoji samo jedna točka zajednička za sve

tri ravninetri ravnine2. sijeku se duž jednog pravca 2. sijeku se duž jednog pravca 3. po dvije ravnine sijeku se u trima 3. po dvije ravnine sijeku se u trima

paralelnim pravcimaparalelnim pravcima4. dvije su ravnine paralelne,a treća ih siječe 4. dvije su ravnine paralelne,a treća ih siječe

duž dvaju u paralelnih pravacaduž dvaju u paralelnih pravaca5. sve su tri ravnine paralelne5. sve su tri ravnine paralelne

MEĐUSOBNI POLOŽAJI TRI RAZLIČITE MEĐUSOBNI POLOŽAJI TRI RAZLIČITE RAVNINE U PROSTORURAVNINE U PROSTORU

Opći položaj triju ravnina.Opći položaj triju ravnina.

svake dvije ravnine sijeku se svake dvije ravnine sijeku se

duž jednoga pravca ,a sve tri duž jednoga pravca ,a sve tri

ravnine imaju jednu zajedničkuravnine imaju jednu zajedničku

točku.točku.

Tri se ravnine sijeku duž jednog pravca.Tri se ravnine sijeku duž jednog pravca.

Svake se dvije ravnineSvake se dvije ravnine

sijeku duž jednog sijeku duž jednog

pravca. Presječni pravca. Presječni

pravci su paralelni pravci su paralelni

pa ne postoji presječnapa ne postoji presječna

točka svih triju ravninatočka svih triju ravnina

Dvije su ravnine paralelne.Dvije su ravnine paralelne.

Treća ih siječe duž dvajuTreća ih siječe duž dvaju

pravaca.Ta dva pravca pravaca.Ta dva pravca

moraju biti paralelna jermoraju biti paralelna jer

se ne smiju sjeći (prvese ne smiju sjeći (prve

se dvije ravnine ne sijeku se dvije ravnine ne sijeku

niti pravci koji leže u njima)niti pravci koji leže u njima)

Sve su tri ravnine paralelne.Sve su tri ravnine paralelne.

Tri dijagonalna presjeka kocke leže u Tri dijagonalna presjeka kocke leže u

ravninama koje se sijeku u jednoj točkiravninama koje se sijeku u jednoj točki

HVALA NA PAŽNJI!!!HVALA NA PAŽNJI!!!