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ConcoursBlanc-SciencesIndustriellespourl’Ingénieur LycéeFermatToulouse-CPGEMPSI/PCSI

MaximeNAJDA Page1sur6

V

B

A

J

I

C

1

4

5

2

3

K

Duréedel'épreuve:3h00Aucundocumentautorisé-L’usagedelacalculatriceestautorisé

Lesrésultatsdoiventêtreencadrés.L’écrituredoitêtreàl'encrebleue.Siuncandidatestamenéàrepérercequipeutluisemblerêtreuneerreurd’énoncé,illesignalerasursacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdes

initiativesqu’ilaétéamenéàprendre.Ilestconseillédelirelatotalitédel'énoncéavantdecommencerl'épreuve.Les2partiessontindépendantes

PARTIE1:Vérificationdelacapacitédefreinaged’uneéolienne

On se propose dans cette partie de réaliser l’étudestatique d’une éolienne. Cette étude va permettre devérifierl’exigencedecapacitédefreinagedel’éolienne.Cetteétudepourraaussipermettre,dansunautrecadrede dimensionner les organes de liaison et de freinagenécessaires pour transmettre les efforts calculés. Onconsidère donc une phase particulière defonctionnement, lorsque l’éolienne est bloquée par unfrein.

La Fig. 1 présente l’architecture du mécanisme : enfonctionnement non bloqué, le vent entraine les palesenrotation.Lespaleset lerotor1sonten liaisonpivotavec le carter0 (cettepivotest réaliséeparune rotuleen 𝐴 et une linéaire annulaire en 𝐵). Un engrenageconiquetransmetlemouvementdel’arbre1àl’arbre2.Lecontacten𝐼entre1et2seramodéliséparuneliaisonponctuelledecentre𝐼denormale𝑢:

𝑢 = cos𝛼 . 𝑦 + sin 𝛼 sin 𝛿 . 𝑥 + cos 𝛿 . 𝑧

𝑢 = sin 𝛼 . sin 𝛿 . 𝑥 + cos𝛼 . 𝑦 + sin 𝛼 . cos 𝛿 . 𝑧

(lesangles𝛼et𝛿sontdesdonnéesquidépendentdelagéométriedesdenturesdel’engrenage).

LaFig.2donnelemodèlenormalisédelaliaison).L’arbre2estenliaison pivot d’axe 𝐶, 𝑧 avec le bâti. Un second engrenagetransmet le mouvement à une génératrice de courant 3 (lagénératrice3n’intervientpasicicarlesystèmeestétudiéàl’arrêt).

Fig.1.Schémacinématiquedu

système.

Fig.2.Modélisationducontactentredentsdel'engrenage.B

A

I

C

𝑧

�⃗�

1

𝑢%⃗

Priorité = hauteSource = législationStatut = à valider

Id= ″1.3.1″Text= ″La rotation de l’éolienne doit pouvoir être stoppée pour rafales de 200 km/h.″

«Requirement»Capacité de freinage



Unfreinconstituédessolides4et5permetdebloquerl’éolienne(voirFig.4).Nousconsidéreronsdanscetteétudequel’éolienneestbloquéeetdoncquelefreinestserré.

L’actionduventsurunepaleestmodéliséeparunerépartitionlinéiqueuniformedeforces.Onsupposeraquelespalessontbloquéesenpositionverticale.Onpeutalorsécrirel’actionduventsuruntronçon𝑑𝑧(voirFig.3)endespoints𝑀et𝑀’respectivementdespalessupérieureetinférieuresouslaforme:

𝑑𝐹(𝑎𝚤𝑟 → 1) = − 𝐶! . 𝑥 − 𝐶! . 𝑦 𝑉𝑑𝑧

𝑑𝐹′(𝑎𝚤𝑟 → 1) = − 𝐶! . 𝑥 + 𝐶! . 𝑦 𝑉𝑑𝑧

Avec𝑉lavitesseduventetlescoefficientsaérodynamiques𝐶! = 𝐶! = 0,1 𝑁. 𝑠/𝑚!.

B

A

�⃗�

𝑧

�⃗�

1

𝑑𝑧

𝑑𝐹′(𝑎𝑖𝑟 → 1)000000000000000000000000000⃗ = −3𝐶𝑥 . �⃗� + 𝐶𝑦 . �⃗�7𝑉𝑑𝑧

𝑑𝐹(𝑎𝑖𝑟 → 1)00000000000000000000000000⃗ = −3𝐶𝑥. �⃗� − 𝐶𝑦 . �⃗�7𝑉𝑑𝑧

O

Fig.3.Actionmécaniquedel'airsurlespales.

DE

J

4

02 5

Pressionp

C

Fig.4.Systèmedefreinage.

Donnéesadditionnelles:

• 𝐴𝐵 = 𝐿 = 500 𝑚𝑚• 𝐵𝑂 = 𝑙 = 30 𝑚𝑚• 𝐴𝐼 = !

!. 𝑥 − !!

!. 𝑧

• 𝐽𝐶 = ℎ = 100 𝑚𝑚• 𝐽𝐼 . 𝑧 = 𝐻 = 150 𝑚𝑚• 𝐽𝐷 = 𝑟. 𝑥avec 𝑟 = 150 𝑚𝑚

• Diamètredelarouedentéedel’arbre1:𝐷! = 200 𝑚𝑚• Diamètredelarouedentéedel’arbre2:𝐷! = 50 𝑚𝑚• L’épaisseur𝐷𝐸 = 𝑒estsupposéetrèspetite(doncnégligeable)

devantlerayon𝑟.• Longueurd’unepâle:𝜆 = 3 𝑚• L’actiondelapesanteurestnégligéedevantl’intensitédes

effortsmisenjeu.

Problématique:onseproposedevérifierquelesystèmedefreinageestadaptépourmaintenirlespâlesàl’arrêt.

Legraphed’analyseci-dessoussynthétise lesdifférents isolementseffectuésdans la suitedusujet.Chaquepartiepourraêtretraitéeséparément.

0

2

1 5

4

Pivotglissant(D,z )

Glissièrez

RotuleenA

0Bâti1Rotor+pales2Arbre+disque4Etrier5Piston

Linéaire

annu

laire

en

B de

dire

ction

x

Air

Q2.2

Q4.1

Q3.4

Q3.3

vent



Notation préconisée: on utilisera l’écriture suivante pour les torseurs des actionsmécaniques transmissibles dusolide𝑖ausolide𝑗aupointA:

𝒯(𝑖 → 𝑗) =𝑋!" . 𝑥 + 𝑌!" . 𝑦 + 𝑍!" . 𝑧𝐿!" . 𝑥 +𝑀!" . 𝑦 + 𝑁!" . 𝑧

!

1. ActionmécaniquesurlespâlesQ1.1. Enintegrantlemodèlelocal,exprimerletorseurdesactionsmécaniquesdel’airsurlapalesupérieureau

pointO.

Q1.2. Donnerparanalogieletorseurdesactionsmécaniquesdel’airsurlapaleinférieureaupointOetmontrerqueletorseurglobaldel’airsurlesdeuxpalespeutsemettresouslaformeci-dessous.

𝒯(𝑎𝑖𝑟 → 2𝑝) = 𝑅. 𝑥𝐶. 𝑥!

Onpréciseralesexpressionslittéralesde𝑅et𝐶.Ongarderacetorseursouscetteformepourlasuite.

2. Efforttransmisparl’engrenageconiqueOnnote𝐹! lanormedel’effort delarouedentéede2 sur larouedentéede1 en I.

Q2.1. Donner la forme du torseur des actions mécaniques de 𝟐 → 𝟏 en I ainsi que les torseurs des actionsmécaniquesdesliaisonsen𝐴et𝐵dubâti𝟎surl’arbre𝟏.

Q2.2. En écrivant le PFS au point𝐴 appliqué à l’arbre𝟏, déterminer le système d’équations permettant decalculer les efforts dans les liaisons rotule et linéaire annulaire ainsi que l’effort 𝐹! transmis parl’engrenageenfonctiondeC,Retdes dimensionsetanglesdonnés.

On nerésoudra pas ce système entièrement maison montreraqu’il yasuffisammentd’équationspourlenombred’inconnues.

Q2.3. Exprimerl’effort𝐹! enfonctiondesdimensionsetanglesdonnés.

3. EtudedufreinOn suppose une égalité entre coefficient de frottement et coefficient d’adhérence. Les composantes depivotement/roulementsontnulles.

Q3.1. Donner la forme du torseur des actions mécaniques transmissibles par les liaisons ponctuelles avecfrottementen𝐷et𝐸.(Onjustifieral’orientationdescomposantestangentielles).

Préciserlaconditionsurlecoefficientdefrottement𝑓etlescomposantesdeseffortspourqu’iln’yaitpasglissement.

Q3.2. Exprimerl’effort𝐹del’airsouspressionsurlepistonenfonctiondudiamètre𝑑 = 50 𝑚𝑚dupistonetdelapression𝑝 = 6 𝑏𝑎𝑟 del’air.Effectuerl’applicationnumérique.

Q3.3. Isolerlepiston𝟓etappliquerleTRSenprojectionsur𝑧pourexprimerlacomposantenormaledel’efforten𝐷de𝟓sur𝟐.



Q3.4. Isolerl’étrieretlepiston{𝟒 + 𝟓}afind’exprimerlacomposantenormaledel’efforten𝐸de𝟒sur𝟐.(Onpréciseral’équationutileissueduPFS).

4. Isolementde2etconclusion.Q4.1. Isolerl’arbre𝟐afind’exprimerlesactionstangentiellesen𝐷et𝐸enfonctionde𝐹!(Onsupposeraqueles

actionstangentiellesen𝐷et𝐸sontégalesetonn’écriraquel’équationutileissueduPFS).

Q4.2. EntraduisantlaconditiondenonglissementaupointD(ouE),etenutilisantlesrésultatsdesparties1,2et3,exprimerlavitesselimiteduvent𝑉!"#nécessairepourfairedéraperlefrein(Onprendralecoefficientdefrottement𝑓 = 0,1).Conclurevis-à-visducahierdescharges.

PARTIE2:Étudedel’asservissementdepositiondelanacelledel’éolienneOnseproposedanscettepartied’étudierl’asservissementdepositiondumoduled’orientationdel’éoliennefaceauvent.Lemoteurhydraulique,liéàlanacelle,permet,quandlamachineestàl’arrêt,delapositionnerfaceauventgrâceàlagirouette.Àcettefin,unpignonsolidairedumoteurvients’engrenersurunecouronneliéeaumât.Unefoisl’éoliennecorrectementplacée,lemoteurestarrêté,lecircuithydrauliqueresteouvertetpermetd’amortirlesfaibleschangementsdedirectionduvent.Silanacellen’estpasalignéefaceauventpendantplusde5secondes,lemoteurhydrauliqueentreenactionpourréalignerlanacelledansladirectiondelagirouette.

1:Pales2:Moyeu3:Nacelle5:Arbrelent6:Multiplicateur7:Freinàdisqued’urgence8:Arbrerapide9:Génératrice11:Girouette12:Moduled’asservissement14:Moteurhydraulique15:Couronne17:Mât

Ondésireasservirlapositionangulaireθdelanacelleàlapositionangulaireθc,delagirouette.LapositionangulaireθcdelagirouetteestconvertieenunetensionVc,proportionnelleàθc,parunpotentiomètreangulairedegainKc.Lapositionangulaireθde lanacelleestmesuréeparuncapteurdepositiondont legainestKp=5V.rad-1,etquifournitunetensionVproportionnelleàθ.L’écart entre la tension de consigneVc et la tensionmesuréeV est évalué au niveau d’un comparateur idéal quiélaborelesignalεV=Vc−V.LesignalεVesttraitéparuncorrecteurdefonctiondegainCpourfournirlatensionUauxbornesd’unamplificateurdegainKA=0,2mA·V−1,permettantdefournirlecourantI(p)àlaservovalvedegainKSV=40cm3·(s·mA−1)−1.OnappelleQledébitd’huileensortiedelaservovalve;cedébitpilotelemoteurhydrauliqueentraînantlanacelle.LavitesseangulaireΩ(p)delanacellesedéduitdeQparlafonctiondetransfert:

𝐻 𝑝 = !(!)!(!)

=!!!

!!!,!"!!!,!"!!avecQ0=8.10-6m3.rad-1.

Enfin,unintégrateurpermetfinalementd’obtenirlapositionangulaireθdelanacelle.



Extraitducahierdescharges:

Exigence CritèreetniveauStabilité Margedegain=6dBRapidité BandepassantedelaBOtellequeωco>0,5rad.s-1Précision Écartstatiquenul

Q5.1. Mettreenplaceleschémabloccompletdel’asservissementenindiquantlesfonctionsdetransfertetlenomdescomposantsconstituantchaquebloc,lesgrandeursintermédiairesetleursunités.Q5.2. Quelledoit-êtrelarelationentreKcetKpafinquelesystèmesoitcorrectementasservi? OnretiendracettevaleurdeKpdanslasuite.OnsupposedansunpremiertempsC=1.

Q5.3. Exprimerlafonctiondetransfertenboucleouvertedecesystèmeasservi:𝑭𝑻𝑩𝑶 𝒑 = 𝑽(𝒑)𝜺(𝒑)

.Q5.4. ReprésentersurleDR1,lesdiagrammesdeBodeasymptotiquesengain(dB)etenphase(°)deFTBO(p). Tracerl’alluredesdiagrammesréels.Lescalculspréalablesàcettereprésentationdevrontêtreprésentésdemanièrestructuréeetavecunegrandeclartéafindejustifierlesdifférentstracés.OnindiquerasurlestracésréelslespointsremarquablesUnasservissementeststable,silaréponseharmoniquedesaboucleouverte(BO)présenteungaindBnégatifàlapulsation(ω-180)pourlaquellelaphasevaut-180°.Ondéfinitalorslamargedegain(MG)par𝑴𝑮 = −𝟐𝟎𝒍𝒐𝒈 𝑭𝑻𝑩𝑶(𝒋𝝎!𝟏𝟖𝟎) Q5.5. PourC=1,l’asservissementdelapositiondelanacelleest-ilstable?JustifiervotreréponseOnsouhaitedoncréglerlecorrecteur(valeurdeC)pourrespecterl’exigencedestabilité.Q5.6. Quelleestl’influencedeCsurlediagrammedeBodeenphasedelaFTBO?Justifiervotreréponse.Q5.7. JustifierquemodifierCrevientàtranslaterlediagrammedeBodeengain(dB)tracéenQ5.4.dansunedirectionquel’onpréciseraetd’unevaleurquel’onprécisera.Q5.8. CalculerlavaleurdeCpermettantderespecterlamargedegainimposéeparlecahierdescharges.Q5.9. PourlavaleurdeCcalculéeprécédemment,vérifierquel’exigencederapiditéestrespectée.Q5.10. PourlavaleurdeCcalculéeprécédemment,vérifierquel’exigencedeprécisionestrespectée.



DR1:TracédesdiagrammesdeBode: NOM:______________________________________________________________

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