Obsah

1 PREHL’AH PROBLEMATIKY 3

1 Vrcholove pokrytie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 K-cestne vrcholove pokrytie . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 3-cestne vrcholove pokrytie . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Problem spatnej vazby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Problem vel’keho grafu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 Vazena verzia problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 MOTIVACIA 4

1 Tri prıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1 Bezpecna komunikacia v bezdrotovej senzorovej sieti . . 4

1.2 Rozmiestnenie kamier na krizovatkach . . . . . . . . . . 5

1.3 Statisticke monitorovanie siete . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Spolocny model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Zacyklenie problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 PROBLEM ODSTRANENIA MNOZINY VHODNYCH VR-

CHOLOV 7

1 Problem spatnej vazby (Ck-free) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Minimalne vrcholove pokrytie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 K-cestne vrcholove pokrytie (Pk-free) . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Zovseobecneny problem vrcholoveho pokrytia (Gk-free) . . . . . 8

4 K-CESTNE VRCHOLOVE POKRYTIE 9

1 Odhady a presne hodnoty invariantu . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1 Elementarne triedy grafov . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Dalsie typy grafov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Regularne grafy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 3-cestne vrcholove pokrytie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Pokrytie kartezianskeho sucinu elementarnych grafov . . . . . . 12

3.1 K-cestne vrcholove pokrytie . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 3-cestne vrcholove pokrytie . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Tri strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.1 I. Strategia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.2 II. Strategia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.3 III. Strategia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 PROBLEM VEL’KEHO GRAFU 18

1 Motivacia problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1 Problem urcenia komisie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Matematicky model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Exaktne vysledky pre elementarne triedy grafov . . . . . . . . . 22

6 VZAJOMNY VZTAH MEDZI PROBLEMAMI 27

POUZITA LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Kapitola 1

PREHL’AH PROBLEMATIKY

1 Vrcholove pokrytie

1.1 K-cestne vrcholove pokrytie

1.2 3-cestne vrcholove pokrytie

2 Problem spatnej vazby

3 Problem vel’keho grafu

4 Vazena verzia problemu

3

Kapitola 2

MOTIVACIA

Skumanie v matematike a teoretickej informatike nemusı mat’ vzdy povod v

realnom zivote. V minulosti sa mnohokrat ukazalo, ze aj problemy, ktore boli

skumane bez praktickej motivacie po kratsom ci dlhsom case nasli uplatnenie

pri riesenı problemov z realneho zivota.

1 Tri prıklady

Uvedieme tri prıklady z realneho zivota, ktore sa vseobecne daju reprezentovat’

jednym modelovym problemom.

1.1 Bezpecna komunikacia v bezdrotovej senzorovej sieti

Protokol pre zabezpecenu integritu dat vo WSN (t. j. v bezdrotovej senzoro-

vej sieti, z ang. Wireless Senzor Network), ktory pozname pod nazvom Canvas

scheme navrhol M. Novotny v [10]. Dany protokol sa opiera o skutocnost’, ze

kazdy vrchol v obsahuje kl’uc ku vsetkym vrcholom vzdialenym od neho nanajvys

ak k krokov. Teda modifikovana Canvas scheme nam garantuje bezpecnost’ siete

za predpokladu, ze kazda cesta radu najviac k − 1 obsahuje vrchol, ktory nie

je pokryty. To je mozne zabezpecit’ pomocou multifunkcnych senzorov, ktore su

odolne voci potencionalnym utokom.

4

1.2 Rozmiestnenie kamier na krizovatkach

Zvysujuci sa pocet dopravnych prostriedkov ma za nasledok aj zvysenie poctu

nehod v mestach, co si ziada riesenie. Jednou z moznostı je umiestnit’ na

krizovatky kamery, ktore by monitorovali situaciu. Ak by sme umiestnili kameru

na kazdu krizovatku, naklady na nakup a udrzbu by boli prılis vysoke a zbytocne.

Jednotlive kamery sa od seba mozu lısit’ cenou, ktora zavisı od roznych fakto-

rov. Optimalnym rozmiestnenım vsak budeme garantovat’ co najnizsie naklady

na instalaciu a udrzbu kamier a fakt, ze kazdy vodic narazı na aspon jednu

kameru po najviac ak k − 1 krizovatkach.

1.3 Statisticke monitorovanie siete

K-pozorovatel’na mnozina siete, je mnozina vrcholov (senzorov) taka, ze kazda

sprava, ktora prejde aspon k senzormi, urcite prejde aspon jednym sledovanym

senzorom. Ak najdeme taku mnozinu, ktora naviac neobsahuje viac vrcholov ako

ktorakol’vek ina taka mnozina, nazveme ju minimalna. Senzory v minimalnej

mnozine mozeme vyuzit’ na sledovanie sprav v sieti, najma na zber statistickych

udajov, odhal’ovanie DoS utokov (z ang. dental-of-service) alebo ako firewally na

identifikaciu a likvidaciu utokov.

2 Spolocny model

Vsetky tri spomınane prıklady maju niekol’ko spolocnych crt. V kazdom z nich sa

vyskytuje komunikacna alebo dopravna siet’, ktoru je mozne modelovat’ neorien-

tovanym grafom. V kazdom z prıpadov chceme zabezpecit’, aby na kazdej ceste

s k vrcholmi bol minimalne jeden vrchol, ktory bude mat’ specificke vlastnosti.

Prirodzenou poziadavkou je, aby tychto specifickych vrcholov bolo co najmenej,

kedze mozu predrazovat’ realizaciu celeho projektu a preto v kazdom z uvedenych

prıkladov je potrebne riesit’ aj optimalizacny problem.

To vedie k nasledovnej definıciı:

Nech G je graf, ktory reprezentuje danu komunikacnu strukturu. Potom

podmnozinu vrcholovej mnoziny S ⊆ V nazyvame k-cestne vrcholove pokrytie

grafu G, ak kazda cesta radu k v grafe obsahuje aspon jeden vrchol z mnoziny

S. Pri optimalizaciı ulohy hl’adame minimalne k-cestne vrcholove pokrytie, to

znamena najmensiu taku mnozinu, ktora splna danu vlastnost’.

3 Zacyklenie problemu

V grafoch reprezentujucich nacrtnute prıklady sa snazıme monitorovat’ vsetky

mozne cesty a zabezpecit’ ich. V niektorych realnych situaciach moze nastat’, ze

niektore z krokov problemu vyvolaju cyklenie, co je problem najma pri tvorbe

algoritmov.

Jednym z realnych prıkladov su operacne systemy, ktore rozvrhuju rozne pro-

cesy. Casto sa stava, ze dane procesy obsahuju poziadavky na ine zdroje, ktore

musia byt’ pouzite pred spustenım procesu. Ak sa vsak tieto poziadavky zacyklia,

dochadza k zablokovaniu a kazdy proces v cykle bude cakat’ na ziadany prostrie-

dok, avsak neuvol’nı prostriedky, ktore mu uz boli priradene. Riesenım takeho

problemu je mozna eliminacia niektorych procesov bokom, aby sa uvol’nili cykly.

Prirodzenou poziadavkou vsak je eliminovat’ co najmenej procesov.

Operacne systemy sa daju vhodne reprezentovat’ grafom, kde vrcholy budu jed-

notlive procesy a hrany budu znazornovat’ vzt’ah, ze dany proces musı byt’ spus-

teny pred aktualnym procesom. Potom tento problem mozeme formulovat’ ako

problem spatnej vazby, teda ak G je graf reprezentujuci dany operacny system,

snazıme sa najst’ minimalnu mnozinu P ⊆ V , po ktorej odstranenım ostane

acyklicky graf G− P .

Kapitola 3

PROBLEM ODSTRANENIA

MNOZINY VHODNYCH

VRCHOLOV

Problemy popısane v tejto casti su specialnymi prıpadmi problemu odstranenia

mnoziny vhodnych vrcholov (ang. Vertex deletion problem), kde sa snazıme

najst’ minimalnu mnozinu vrcholov grafu, ktorej odstranenım dostavame graf

splnajuci danu vlastnost’.

1 Problem spatnej vazby (Ck-free)

Problem spatnej vazby, ktory pochadza z oblasti kombinacnych obvodov,

bol dlhy cas najmenej vyjasnenym z pomedzi vsetkych kombinatoricko-

-optimalizacnych problemov, kvoli nedostatku efektıvnych vysledkov a presnych

aproximaciı algoritmov. Tato situacia sa zmenila vd’aka pokroku aproximacnych

algoritmov s preukazatel’nym vykonom.

Motivaciou pre dany problem je cyklenie problemu. Formalnejsie ako bolo

naznacene v (1.3), zovseobecneny problem spatnej vazby (z ang. feedback prob-

lem) spocıva v najdenı minimalnej mnoziny vrcholov P ⊆ V v grafe G takej,

7

ze graf G − P neobsahuje cykly. Dany problem zovseobecnuje rad problemov,

vratane problemu najdenia minimalnej mnoziny spatnej vazby na orientovanych

a neorientovanych grafoch, jej vlastnej podmoziny alebo aj bipartitny problem,

kedy pozadujeme, aby graf po odstanenı danej mnoziny splnal podmienku bi-

partitnosti.

2 Minimalne vrcholove pokrytie

Vrcholovym pokrytım grafu rozumieme podmnozinu vrcholovej mnoziny S ⊆ V

taku, ze kazda hrana v danom grafe ma aspon jeden zo svojich incidentnych

vrcholov v mnozine S. Tento problem je zakladnym pilierom, od ktoreho sa

odrazaju mnohe vysledky v skupine modifikovanych problemov vrcholoveho po-

krytia.

3 K-cestne vrcholove pokrytie (Pk-free)

Problem k-cestneho vrcholoveho pokrytia nadvazuje priamo na motivacne

prıklady, kedy sa snazıme zabezpecit’ vsetky cesty radu k v danej topografic-

kej strukture reprezentovanej grafom. Formalne, podmozinu S ⊆ V vrcholovej

mnoziny grafu G budeme nazyvat’ k-cestne vrcholove pokrytie, ak kazda cesta

radu k v grafe obsahuje aspon jeden vrchol z mnoziny S. Pocet vrcholov v tejto

minimalnej mnozine k-cestneho vrcholoveho pokrytia budeme oznacovat ψk.

4 Zovseobecneny problem vrcholoveho pokry-

tia (Gk-free)

Uvazujme l’ubovol’ny graf G radu k, ozn. Gk. Problem zovseobecneneho vrcho-

loveho pokrytia spocıva v najdenı minimalnej mnoziny vrcholov S ⊆ V grafu

H takej, ze graf H − S splna nami stanovenu podmienku, t. j. neobsahuje ako

podraf graf Gk.

Kapitola 4

K-CESTNE VRCHOLOVE

POKRYTIE

Problem k-cestneho vrcholoveho pokrytia je prirodzenym zovseobecnenım kla-

sickeho vrcholoveho pokrytia. V tejto kapitole sa venujeme co najpresnejsım

odhadom invariantu ψk na elementarnych grafoch a zlozitejsıch strukturach.

1 Odhady a presne hodnoty invariantu

Zovseobecnenım vzt’ahov (??) a (4.1) zıskame ohranicenie Caro-Wei vety, ktora

je spolu s dokazom uvedena v [2] a to

ψk(G) ≤ |V (G)| − k − 1

k

∑u∈V (G)

2

1 + d(u).

Toto tvrdenie platı pre l’ubovol’ny graf G bez izolovanych vrcholov.

1.1 Elementarne triedy grafov

Presne hodnoty invariantu ψk pre niektore elementarne triedy grafov sme

popısali aj s dokazmi v [1].

Tvrdenie 1.1. Nech k ≥ 2 a n ≥ k > 0. Potom:

9

• Ak Pn je cesta na n vrcholoch, tak ψk(Pn) =⌊nk

⌋• Ak Cn je kruznica na n vrcholoch, tak ψk(Cn) =

⌈nk

⌉• Ak Kn je kompletny graf na n vrcholoch, tak ψk(Kn) = n− k + 1

• Ak Sn je hviezda na n vrcholoch a platı:

(1) neexistuju dve ramena, ktorych pocet vrcholov v sucte prevysuje rad

k, tak ψk(Sn) = 0.

(2) existuju aspon dve ramena, ktorych pocet vrcholov v sucte prevysuje

rad k a zaroven rad kazdeho ramena neprevysuje rad k, tak ψk(Sn) =

1.

(3) exituje aspon jedno rameno, ktore poctom vrcholov prevysuje rad k a

naviac

(3.1) ak pre nejake i = 1, 2, . . . ,m k delı ri, tak ψk(G) = 1 +∑mi=1

⌊ri−1k

⌋;

(3.2) ak existuju zvysky uj, ul ramien rj, rl po delenı cıslom k take, ze

uj + ul ≥ k + 1, tak ψk(G) = 1 +∑m

i=1

⌊rik

⌋;

(3.3) ak take zvysky neexistuju, tak ψk(G) =∑m

i=1

⌊rik

⌋.

• Ak Wn je jednoduche koleso na n vrcholoch, tak ψk(W?,?) = 1 + ψk(Cn−1)

Invariant ψk je monotonny pokial’ ide o pripustanie podgrafov, co mozeme vyuzit’

pri dedicnych vlastnostiach grafov.

Veta 1.2 (Dedicnost’). Nech G, H su dva grafy, G ⊆ H. Potom ψk(G) ≤ ψk(H).

1.2 Dalsie typy grafov

Pre uplnost’ a pozorovania v nasledujucich kapitolach uvadzame vysledky studiı

uvedenych v [8] a [9].

1.2.1 Regularne grafy

Graf, ktoreho vsetky vrcholy maju rovnaky stupen rovny d budeme nazvyvat’

d-regularnym grafom. Teda pre taky graf platı degGu = d, pre vsetky u ∈ V (G).

Potom pre d-regularny graf, ktoreho stupen je aspon k − 1 bola v [8] ukazana

hranica

ψk(G) ≥ d− k + 2

2d− k + 2|V (G)|.

Avsak existuje aj taky d-regularny graf, pre ktory je tato hranica hornou, co

bolo taktiez ukazane v [8].

Ak v d-regularnom grafe pripustıme okrem vrcholov stupna d aj vrcholy stupna

jedna, dostavame semi d-regularny graf.

Specialny prıpadom d-regularneho grafu pre d = 3 je kubicky graf. Pre kubicke

grafy na n vrcholoch bol skumany problem 3-cestneho vrcholoveho pokrytia, kde

Tu a Yang [9] ukazali2

5n ≤ ψ3(G) ≤ n

2,

pricom ohranicenia su najlepsie mozne.

2 3-cestne vrcholove pokrytie

Specialnym prıpadom k-cestneho vrcholoveho pokrytia, ktore sa skumalo oso-

bitne je 3-cestne vrcholove pokrytie. Odhady tykajuce sa tohto pokrytia su uzko

spojene s disociacnym cıslom grafu diss(G), ktore je definovane ako maximalna

mohutnost’ disociacnej mnoziny, to znamena mohutnost’ mnoziny, na ktorej in-

dukovany graf ma maximalny stupen vrchola 1. Potom vzt’ah medzi 3-cestnym

vrcholovym pokrytım a disociacnym cıslom je

ψ3(G) = |V (G)| − diss(G).

Problem 3-cestneho vrcholoveho pokrytia bol studovany v [6], kde bolo ukazane

horne ohranicenie

ψ3(G) ≤ |V (G)| −∑

u∈V (G)

1

1 + d(u)−

∑uv∈E(G)

2

|N(u) ∪N(v)|(|N(u) ∪N(v)| − 1),

(4.1)

kde N(x) vo vseobecnosti oznacuje mnozinu vrcholov vrcholu x. Horne

ohranicenie vzhl’adom na maximalny stupen δ v grafe ukazal Lovasz v [7]

ψ3(G) ≤d∆−1

2e

d∆+12e|V (G)|.

Dalsım ohranicenım ψ3(G) pre graf G na n vrcholoch s m hranami je horna

hranica ukazana v [8]:

ψ3(G) ≤ 2n+m

6.

Na druhej strane, ak upresnıme podmienky pre pocet vrcholov a hran a to

mn

= ab, kde a, b su prirodzene cısla, pre ktore platı b ≤ a ≤ 2b dostavame

dolne ohranicenie

ψ3(G) ≥ 2n+m

6.

Problem 3-cestneho vrcholoveho pokrytia bol skumany aj pre vonkajskoplanarne

grafy, teda grafy, v ktorych ziaden vrchol nie je uplne obklopeny hranami. Pre

l’ubovol’ny vonkajskoplanarny graf na n vrcholoch bola v [8] ukazana najtesnejsie

horne ohranicenie

ψ3(G) ≤ n

2.

3 Pokrytie kartezianskeho sucinu ele-

mentarnych grafov

V danej kapitole sa budeme zaoberat’ odhadmi mohutnosti mnoziny ψk, na-

sledovne aj odhadmi mohutnosti mnoziny ψ3 na grafoch, ktore su vysledkom

kartezianskeho sucinu dvoch ciest alebo cesty a kruznice.

3.1 K-cestne vrcholove pokrytie

Mohutnost’ mnoziny ψk pre sucin dvoch ciest roznych dlzok sledovali autori v

[2]. Ich vysledkom boli nasledujuce ohranicenia mohutnosti danej mnoziny.

Pozorovanie 3.1. Pre k ≥ 4, n ≥ 2d√ke,m ≥ 3d

√ke platı

nm

24d√ke≤ ψk(Pn�Pm)

Pozorovanie 3.2. Pre k ≥ 4 platı

ψk(Pn�Pm) ≤ 2nm

b√kc− 2nm

k

3.2 3-cestne vrcholove pokrytie

Nasledujuce odhady pre 3-cestne vrcholove pokrytie kartezianskeho sucinu dvoch

ciest su uvedene v [3].

Veta 3.3. (i) ψ3(P2n+1�P2k) = 2nk +⌊

2k3

⌋(ii) ψ3(P2n�P2k) = 2nk

(iii) ψ3(P2n+1�P2k+1) = n(2k + 1) +⌊

2k+13

⌋

3.3 Tri strategie

V d’alsom sme sa zamerali na 3-cestne vrcholove pokrytie kartezianskeho sucinu

cesty a kruznice. Pre najdenie optimalneho pokrytia sme zvolili 3 strategie

pokryvania.

3.3.1 I. Strategia

Mame dany graf P4�C5, ktory chceme 3-cestne vrcholovo pokryt’ prvou zo

strategiı.

Najprv pokryjeme kazdu k-tu kruznicu, so zaciatkom v l’ubovol’nom vrchole prvej

kruznice. Dostaneme:

Nasledovne sa sustredıme na vrcholy kruznıc, ktore sme vynechali. Pri takomto

pokryvanı je nutne zobrat’ vsetky vrcholy medzi nepokrytymi vrcholmi po-

krytych kruznıc. Teda:

Touto strategiou zıskame presny vzt’ah pre pokrytie.

Pozorovanie 3.4.

ψ3(Pn�Cm) =

ψ3(Pn)ψ3(Cm) + (n− ψ3(Pn))(m− ψ3(Cm)) ak n ≡ 0(mod3)

(ψ3(Pn) + 1)ψ3(Cm) + (n− ψ3(Pn)− 1)(m− ψ3(Cm)) inak

ψ3(Pn)ψ3(Cm)+(n−ψ3(Pn))(m−ψ3(Cm)) =

⌊n

3

⌋⌈m

3

⌉+

(n−⌊n

3

⌋)(m−

⌈m

3

⌉)≤

≤ nm

3+

2n

3

2m

3=nm

3+

4nm

9=

5

9nm

(ψ3(Pn) + 1)ψ3(Cm) + (n− ψ3(Pn)− 1)(m− ψ3(Cm)) =(⌊n

3

⌋+ 1

)⌈m

3

⌉+

(n−

⌊n

3

⌋− 1

)(m−

⌈m

3

⌉)≤

≤ n+ 3

3

m

3+

2n− 3

3

2m

3=nm

9+m

3+

4nm

9− 2m

3=

5

9nm− m

3

Teda v tom horsom prıpade sme nutenı do pokrytia vziat’ 59

vrcholov.

3.3.2 II. Strategia

Vyuzitım grafu z prvej strategie demonstrujeme druhu, v ktorej vyuzijeme po-

stupne otacanie pokrytych vrcholov. Teda, postupne pokryvame vsetky kruznice,

beruc do uvahy, ze zaciatocny vrchol pokryvania d’alsej kruznice je o jeden vrchol

posunuty.

Takto nam vznikne m−ψ3(Cm)2

disjunktnych ciest dlzky 2n.

Tieto cesty nasledne pokryjeme 3-cestne vrcholovo.

Pozorovanie 3.5.

ψ3(Pn�Cm) =

nψ3(Cm) +(m−ψ3(Cm)

2

)ψ3(P2n) ak m ≡ 0(mod3)

nψ3(Cm) +⌊m−ψ3(Cm)−1

2

⌋ψ3(P2n) inak

Aj pri tejto strategiı ako v predchadzajucej sme v najhorsom prıpade nutenı do

pokrytia vziat’ 59

vrcholov.

3.3.3 III. Strategia

Tretiu strategiu budeme prezentovat’ na prıklade z predchadzajucich dvoch.

Vyuzili sme podobnu myslienku ako v druhej zo strategiı, avsak zaciatocny vr-

chol pokrytia kruznice nebude vzdy d’alsı, ale po prvom posunutı sa vratime do

povodneho stavu.

Nepokrytych zostane⌊m−ψ3(Cm)−1

2

⌋usekov dlzky n+ 2, ktore maju nasledovnu

strukturu:

V danej strukture sa stacı zamerat’ na vnutorne styri vrcholy, na ktore si vy-

stacıme s 2-cestnym vrcholovym pokrytım a tym vybavıme celu strukturu.

Pozorovanie 3.6.

ψ3(Pn�Cm) =

nψ3(Cm) +(m−ψ3(Cm)

2

)ψ2(Pn) ak m ≡ 0(mod3)

nψ3(Cm) +⌊m−ψ3(Cm)−1

2

⌋ψ2(Pn) inak

nψ3(Cm) +(m− ψ3(Cm)

2

)ψ2(Pn) = n

⌈m

3

⌉+

(m− dm

3e

2

)⌊n

2

⌋≤

≤ nm

3+

2m

6

n

2=

1

2nm

nψ3(Cm) +⌊m− ψ3(Cm)− 1

2

⌋ψ2(Pn) = n

⌈m

3

⌉+⌊m− dm

3e − 1

2

⌋⌊n2

⌋≤

≤ nm

3+

2m− 3

6

n

2=nm

3+nm

6− n

4=

1

2nm− n

4

Pri tejto strategiı si v pokrytı vystacıme s polovicou vrcholov, teda zda sa byt’

najvhodnejsou pre d’alsie odhady.

Kapitola 5

PROBLEM VEL’KEHO GRAFU

V nasledujucej kapitole sa budeme zaoberat’ grafmi s obmedzenymi stupnami,

ktorymi budeme popisovat’ specificke konfliktne situacie.

1 Motivacia problemu

1.1 Problem urcenia komisie

V roznych odboroch existuje vel’a akciı, kde medzi sebou sut’azia ci uz viacclenne

druzstva alebo jednotlivci. Ich vykony alebo vedomosti posudzuju clenovia ko-

misie. Mozeme predpokladat’, ze l’udia v takychto uzavretych komunitach sa

navzajom poznaju, preto je vel’kym problemom zostavit’ bezuhonnu komisiu tak,

aby jednotlivy clenovia poznali co najmenej ucastnıkov danej akcie. Pokial’ po-

volıme hranicu, kol’ko sut’aznych druzstiev, resp. sut’aziacich moze konkretny clen

komisie poznat’, potom tento problem vieme popısat’ nasledujucim modelom.

2 Matematicky model

Vychadzajuc z motivacie, dany problem budeme charakterizovat’ jednoduchym,

neorientovanym grafom, ktoreho prvky splnaju doplnujucu obmedzovaciu pod-

18

mienku.

Formalne, nech t je fixovane prirodzene cıslo a G je graf radu n. Hovorıme, ze

graf nie je t-defektny, ak pre kazdy vrchol v grafu G platı degG(v) ≤ t. Vrchol,

ktory nesplna danu podmienku budeme nazyvat’ vel’ky.

Nech mnozina H ⊆ V obsahuje vsetky vel’ke vrcholy grafu G. Pre zjednodusenie

d’alsıch uvah budeme pozadovat’, aby ak H = {v1, v2, . . . , vk}, tak deg(v1) ≥(v2) ≥ . . . ≥ deg(vk) > t. Pre kazdy vrchol vi ∈ H definujeme rezervu ci =

degGvi − t, teda konstantu, ktora zaprıcinuje, ze dany vrchol je vel’ky.

Nech mnozina N ⊆ V popisuje okolia vel’kych vrcholov v grafe G. To znamena

N = {N(v1), N(v2), . . . , N(vk)},kde N(vi) je mnozina susedov i-teho vel’keho

vrchola.

Problem spocıva v odstranenı co najmensieho poctu vrcholov z grafu G

tak, aby graf nebol defektny. Formalne, mnozinu M ⊆ V budeme nazyvat’

”??????”mnozinou grafu G, ak stupen kazdeho vrcholu v grafe G − M bude

nanajvys t . Mohutnost’ najmensej takej mnoziny M , pre ktoru platı dana vlast-

nost’ budeme oznacovat’ ϕt.

Na zaklade zvoleneho oznacenia realnu situaciu popısanu v ?? vieme popısat’

jednoduchym, neorientovanym grafom, ktoreho mnozinu vel’kych vrcholov budu

tvorit’ clenovia komisie a zvysne vrcholy budu reprezentovat’ sut’aziacich. Dva

vrcholy v grafe spojıme hranou, ak sa l’udia reprezentovanı danymi vrcholmi

navzajom poznaju. V tomto prıklade, kazdy clen komisie moze poznat’ nanajvys

ak t sut’aziacich, inak je potrebne vymenit’ bud’ clena komisie, alebo sut’aziaceho

priradit’ k inej komisii, t. j. vyradit’ ho z dosahu zvolenej komisie.

Komplikacie pri vybere odstranovanych vrcholov demonstrujeme na jednodu-

chom prıklade.

Prıklad 1. Majme dany l’ubovol’ny graf W . Hl’adame najmensie cıslo ϕ4(W )

take, aby graf nebol 4-defektny.

v3

v1

v2

v4v5 v6v7 v8 v9

v10 v11

Zrejme, mnozinu H vel’kych vrcholov tvoria vrcholy v1 a v2, ktorych stupne su

rovne 5. Trivialne, ich odstranenım graf W−H splna pozadovanu podmienku pre

4-defektıvnost’. Takymto prıstupom sme nasli cıslo ϕ4(W ) = 2, este potrebujeme

zistit’, ci je najmensie.

Ked’ze sa sustredıme na eliminaciu vel’kych vrcholov, zaujıma nas najma okolie

tychto vrcholov.

N(v1) = {v3, v6, v7, v8, v9}

N(v2) = {v3, v4, v5, v10, v11}

Stupne oboch vel’kych vrcholov potrebujeme znızit’ o 1. Neuvazenou eliminaciou

susednych vrcholov pre kazdy vel’ky vrchol zvlast’, bude opat’ ϕ4(W ) = 2.

Ked’ze hl’adame najmensie ϕ4(W ), je vyhodne skumat’, ci vel’ke vrcholy nemaju

niektorych susedov spolocnych. A ked’ze N(v1) ∩ N(v2) = {v3}, odstranenım

tohoto vrchola znızime stupen obom vel’kym vrcholom naraz.

v1

v2

v4v5 v6v7 v8 v9

v10 v11

Graf W − {v3} splna pozadovanu podmienku pre 4-defektnıvnost’, ale naviac

ϕ4(W ) = 1, teda sme nasli mensie prıpustne ϕ4(W ).

V prıklade sme uvazovali jednoduchy graf, ked’ stacilo odobrat’ jeden vrchol z

prieniku okolı vel’kych vrcholov, aby graf splnal pozadovanu podmienku. Nejed-

noznacnost’ vyberu vrcholovej mnoziny sa prejavuje aj v zlozitejsıch strukturach.

V d’alsom, uvazujme zlozitejsı graf G, ktoreho mnozinu vel’kych vrcho-

lov tvoria vrcholy v1, . . . , vk so stupnami (deg(v1), . . . , deg(vk)) a okoliami

(N(v1), . . . , N(vk)). Pre ne mame definovane rezervy (c1, . . . , ck), kde ci =

degG(vi) − t pre vsetky i ∈ {1, 2, . . . , k}. Pozadujeme, aby graf nebol vel’ky

pre l’ubovol’ne prirodzene cıslo t.

Ked’ze stupen vrchola je lokalnou vlastnost’ou v grafe, vrcholy musıme vyberat’

na zaklade globalnejsıch vlastnostı, teda potrebujeme vediet’ ako navzajom vel’ke

vrcholy suvisia.

Pozorovanie 2.1. Nech v1, v2, . . . vk su vel’ke vrcholy l’ubovol’neho grafu G,

nech t je l’ubovol’ne prirodzene cıslo. Ak N(vi) ∩ N(vj) = ∅ pre vsetky i, j ∈{1, 2, . . . , k}, i 6= j, tak ϕt(G) = k.

V d’alsıch prıpadoch takyto prıstup moze sposobit’ komplikacie v realnej situaciı,

ktoru grafom znazornujeme. Je vsak zrejme, ze pocet odstranovanych vrcholov

nepresiahne pocet vel’kych vrcholov, teda ϕt(G) ≤ k.

Pozorovanie 2.2. Nech t je l’ubovol’ne prirodzene cıslo. Nech v1, v2, . . . vk su

vel’ke vrcholy l’ubovol’neho grafu G a nech c1, c2, . . . ck su prirodzene cısla, pricom

cıslo ci definuje rezervu vrchola vi pre vsetky i ∈ {1, 2, . . . , k}. Ak |⋂ki=1N(vi)| ≥

maxki=1 (ci), tak ϕt(G) = maxki=1 (ci).

Netrivialne prıpady nastavaju, ked’ vel’ke vrcholy maju neprazdne prieniky okolı.

Tieto vlastnosti budeme pozorovat’ na jednotlivych triedach grafov.

3 Exaktne vysledky pre elementarne triedy

grafov

Tvrdenie 3.1. Nech G je cesta alebo kruznica na n vrcholoch. Nech ∆(G) ≥t ≥ 1. Potom platı:

ϕt(G) =

0 ak t ≥ 2

ψ3(G) ak t = 1

Dokaz. V oboch prıpadoch sa dokaz opiera o maximalny stupen vrchola v grafe.

(1) Nech G je cesta na n vrcholoch.

Ak t ≥ 2 v grafe su povolene vrcholy stupna nanajvys 2 a kedze ∆(Pn) = 2,

nepotrebujeme odstranovat’ ziadne vrcholy.

Pokial’ t = 1, musıme eliminovat’ vsetky vrcholy s maximalnym stupnom.

Najjednoduchsım sposobom je pre dva vel’ke vrcholy odstranit’ jeden vel’ky

vrchol susedny s oboma. Takto odstranime kazdy tretı vrchol na ceste, co

je rovne⌊n3

⌋= ψ3(Pn).

(2) Nech G je kruznica na n vrcholoch.

Ak t ≥ 2, opat’ su v grafe povolene vrcholy stupna nanajvys 2 a ked’ze

v kruznici platı, ze stupne vsetkych jej vrcholov su rovne maximalnemu

stupnu a to ∆(Cn) = 2, preto ziaden vrchol neporusuje podmienku t-

-defektıvnosti.

Pokial’ t = 1, opat’, z rovnakych dovodov ako pri ceste potrebujeme od-

stranit’ kazdy tretı vrchol pricom sa musıme vysporiadat’ s cyklom, preto

dostavame⌈n3

⌉= ψ3(Cn).

Tvrdenie 3.2. Nech Kn je kompletny graf na n vrcholoch a t je prirodzene cıslo.

Potom

ϕt(Kn) =

0 ak t ≥ n− 1

n-1-t ak 1 ≤ t ≤ n− 2

Dokaz. V kompletnom grafe na n vrcholoch nadobudaju vsetky vrcholy ma-

ximalny stupen grafu, teda ∆(Kn) = n− 1. Preto ak t ≤ n− 1, tak graf nie je

t-defektny.

V opacnom prıpade je nutne odstranit’ tol’ko vrcholov, aby sa maximalne stupne

vrcholov vyrovnali pozadovanemu t, teda ϕt(Kn) = (n− 1)− t.

Tvrdenie 3.3. Nech Sr1,r2,...,rm je hviezda na n vrcholoch s maximalnym

stupnom ∆(Sr1,r2,...,rm) = r. Potom platı:

ϕt(Sr1,r2,...,rm) =

0 ak t ≥ r

1 ak 2 ≤ t < r

ψ3(Sr1,r2,...,rm) ak t = 1

Dokaz. Maximalny stupen r vo hviezde nadobuda jediny a to centralny vrchol,

preto je zrejme, ak t ≥ r, tak nepotrebujeme odstranit’ ziaden vrchol.

Pokial’ 2 ≤ t < r a centralny vrchol spaja r ciest, jedinym vel’kym vrcholom

je prave centralny vrchol. Nema zmysel znizovat’ mu stupen ostranenım r −t vrcholmi, ked’ze tento pocet moze byt’ pre male t prılis vysoky. Minimum

odstranovanych vrcholov zabezpecıme odstranenım prave centralneho vrchola a

dostavame ϕt(Sr1,r2,...,rm) = 1.

V poslednom prıpade mame n−r vel’kych vrcholov, ktorych stupne potrebujeme

znızit’ na dovolene t. Vyuzitım argumentu pre cesty, ramena hviezdy budeme

pokryvat’ 3-cestne a potom vyriesime situaciu pri centralnom vrchole. Rovnaku

strategiu sme pouzili pri k-cestnom vrcholovom pokrytı hviezd v [1], pre k =

3. Ked’ze rozbor situacii, ktore mozu nastat’ je vyrieseny v pokryvanı hviezdy,

zvolıme najvhodnejsie 3-cestne pokrytie a teda minimalny pocet odstranovanych

vrcholov bude ϕt(Sr1,r2,...,rm) = ψ3(Sr1,r2,...,rm).

Tvrdenie 3.4. Nech W je koleso prveho alebo druheho typu na n vrcholoch s

maximalnym stupnom ∆(W ) = r. Potom platı:

ϕt(W ) =

0 ak 3 ≤ r ≤ t

1 ak 2 = t < r

1 + ϕt(Cn−1) ak 1 = t < r

Dokaz. Uvazujme koleso W prveho typu. Potom ∆(W ) = r, naviac koleso ob-

sahuje r vrcholov stupna 3.

Pokial’ 3 ≤ r ≤ t, ani vrchol s maximalnym stupnom neporusuje podmienku

t-defektıvnosti a teda nepotrebujeme znizivat’ stupne ziadnym vrcholom. Preto

ϕt(W ) = 0.

Ak 2 = t < r podmienku t-defektıvnosti porusuju vsetky vrcholy, teda r + 1

vrcholov. Preto odstranenım centralneho vrchola eliminujeme stupne ostatnych

r vrcholov na pozadovanu hranicu. V kolese nam odstranenım centralneho vr-

chola vznikne kruznica na r vrcholoch, pre ktoru ∆(Cr) = 2, teda neporusuje

t-defektıvnost’ kolesa. Preto pre tento prıpad ϕt(W ) = 1.

Nakoniec, ak 1 = t < r, vsetkym vrcholom kolesa potrebujeme znızit’ stupen na

pozadovanu hranicu. Ked’ze odstranenım centralneho vrchola, znızime vsetkym

ostatnym vrcholom stupen o 1, je vhodne ho odstranit’. Zıskame kruznicu na

r vrcholoch, na ktorej potrebujeme odstranit’ ϕt(Cr = n− 1) vrcholov. Preto

dokopy mame ϕt(W ) = 1 + ϕt(Cn−1).

Analogicky, tato analyza platı aj pre koleso druheho typu. Jedinou zmenou je

r 6= n− 1, teda ∆(W ) = r a koleso ma r vrcholov stupna 3. Zvysnych n− 1− rvrcholov maju stupen 2. Tieto vrcholy vsak analyzu nenarusaju, ked’ze v prvom

a druhom prıpade neporusuju podmienku t-defektıvnosti a v tret’om prıpade su

zahrnute v ϕt(Cn−1).

Tvrdenie 3.5. Nech W je koleso tretieho alebo stvrteho typu na n vrcholoch s

maximalnym stupnom ∆(W ) = r. Potom platı:

(i) ϕt(W ) = 0, ak 3 ≤ r ≤ t

(ii) ϕt(W ) ≤ 1 + r, ak 2 = t < r

(iii) ϕt(W ) ≤ 1 + r + ϕt(Sr1,r2,...,rm), ak 1 = t < r

Tvrdenie 3.6. Nech t,m, n su prirodzene cısla, m > n. Nech Km,n je uplny

bipartitny graf s maximalnym stupnom ∆(Km,n) = m. Potom platı:

ϕt(Km,n) =

0 ak m,n ≤ t

m− t ak m > t a n ≤ t

m+ n− 2t ak m,n > t

Dokaz. Ak m,n ≤ t mame uplny bipartitny graf s maximalnym stupnom

∆(Km,n) = m ≤ t, teda ziaden vrchol neporusuje podmienku t-defektnosti,

preto ϕt(Km,n) = 0.

Ak m > t a n ≤ t, mame uplny bipartitny graf s maximalnym stupnom

∆(Km,n) = m > t, ktory obsahuje n vel’kych vrcholov. Znızit’ stupen vel’kych

vrcholov v tomto prıpade znamena odstranit’ dostatocny pocet vrcholov z vacsej

partıcie. Ked’ze predpoklame m > n, potrebujeme odstranit’ m − t vrcholov.

Preto platı ϕt(Km,n) = m − t. Analogicka uvaha platı aj v opacnom prıpade,

ked’ n > m.

Pokial’m,n > t mame uplny bipartitny graf, ktory obsahuje m vel’kych vrcholov

stupna n v jednej partıciı a n vel’kych vrcholov stupna m v druhej partıciı. Ked’ze

ostranenım l’ubovol’neho vrchola z prvej partıcie znızime stupen vsetkych vel’kych

vrcholov v druhej partıciı o jedna, opakovanım tohto sposobu odtranime n − tvel’kych vrcholov stupna m a m − t vel’kych vrcholov stupna n. Pre dodrzanie

podmienky t-defektıvnosti grafu dokopy odstranime ϕt(Km,n) = (n− t) + (m−t) = n+m− 2t vrcholov.

Dosledok 3.7. Uplny bipartitny graf Km,n nie je t-defektny vtedy a len vtedy,

ak neobsahuje K1,t+1 ako podgraf.

Dokaz. Predpokladajme, ze graf Km,n nie je t-defektny. Potom pre kazdy vrchol

v je splnena podmienka degKm,nv ≤ t, teda aj pre ∆(Km,n) ≤ t. To znamena, ze

v grafe neexistuje vrchol so stupnom vacsım ako t, preto neexistuje ani podgraf

K1,t+1.

Na druhej strane predpokladajme, ze Km,n neobsahuje ako podgraf K1,t+1, teda

neobsahuje ako podgraf ani K1,t+l pre l ≥ 2. To znamena, ze vacsia z partıciı

obsahuje nanajvys t vrcholov a teda ∆(Km,n) ≤ t, cım je splnena podmienka

pre t-defektnost’.

Pozorovanie 3.8. Nech H je kocka. Potom

ϕt(H) =

2 ak t = 2

4 ak t = 1

Pozorovanie 3.9. Nech H je hyperkocka. Potom

ϕt(H) =

4 ak t = 3

6 ak t = 2

8 ak t = 1

Kapitola 6

VZAJOMNY VZTAH MEDZI

PROBLEMAMI

V nasledujucej casti hl’adame vzt’ah medzi jednotlivymi vlastost’ami grafu.

Tvrdenie 0.10. Pre l’ubovol’ny graf platı: ϕ1(G) = ψ3(G).

Dokaz. Ukazeme, ze ϕ1(G) ≤ ψ3(G) a zaroven ϕ1(G) ≥ ψ3(G).

V l’ubovol’nom grafe nam stacı odstranit’ ψ3(G) = P vrcholov, cım dosiahneme

∆(G − P ) ≤ 1. Teda v grafe G − P nam ostanu len cesty na dvoch vrcholoch

alebo izolovane vrcholy. Potom ϕ1(G) ≤ ψ3(G), lebo ziaden vrchol neporusuje

podmienku 1-defektıvnosti.

Naopak, ak odstranime ϕ1(G) = Q vrcholov, platı ∆(G−Q) ≤ 1 a teda v grafe

G−Q sa nachadzaju len vrcholy stupna nanajvys 1. Potom ϕ1(G) ≥ ψ3(G), lebo

neexistuje cesta na troch vrcholoch, ktoru by trebalo 3-cestne vrcholovo pokryt’.

Z ukazanych nerovnostı vyplyva ϕ1(G) = ψ3(G).

Pozorovanie 0.11. Nech G je l’ubovol’ny graf, k ≥ 2 je prirodzene cıslo. Potom

ϕk(G) 6= ψk+2(G).

Pozorovanie 0.12. Nech G je l’ubovol’ny graf, k ≥ 2 je prirodzene cıslo. Potom

ϕk(G) 6= ψ3k(G).

27

Najjednoduchsım kontraprıkladom pre dane nerovnosti v pozorovaniach je cesta

na n vrcholoch. Maximalnym stupnom je ∆(Pn) = 2, preto pre k ≥ 2 je

ϕk(Pn) = 0, co sa so zvysujucim poctom vrcholov na ceste nezmenı. Naopak, pre

dostatocne vel’ke n, stacı pre n ≥ k + 2, sa bude ψk+2(Pn) zvysovat’. Podobny

agrument platı aj pre druhu rovnost’. Pre k ≥ 2 stacı zobrat’ cestu na n = 3k

vrcholoch a dostaneme ψ3k(P3k) = 1 6= 0 = ϕk(P3k). Teda, dane nerovnosti

neplatia pre l’ubovol’ne grafy iba v prıpade, ked’ k = 1.

Pozorovanie 0.13. Nech k je l’ubovol’ne prirodzene cıslo. Potom existuje graf,

pre ktory ϕk(G) � ψk(G).

Pozorovanie demonstrujeme na prıklade.

Prıklad 2. Majme jednoduchu hviezdu S10. Hl’adame cıslo ϕ5(S10) take, aby graf

nebol 5-defektny, naviac chceme tuto hviezdu 5-cestne vrcholovo pokryt’.

• ϕ5(S10) =?

Z podmienky defektıvnosti, v danom grafe povol’ujeme len vrcholy stupna

nanajvys 5. Tuto podmienku porusuje jediny a to centralny vrchol,

ktoreho maximalny stupen je rovny 9. Aby sme minimalizovali pocet od-

stranovanych vrcholov, nebudeme odstranovat’ 4 visiace vrcholy, ktore

by zredukovali stupen centralneho vrchola na dovolenu hodnotu, ale od-

stranime prave centralny vrchol, ktory danu podmienku porusuje, cım za-

chovame optimalitu. Preto ϕ5(S10) = 1.

• ψ5(S10) =?

Pri 5-cestnom vrcholovom pokrytı danej hviezdy sa snazıme eliminovat’

vsetky cesty na piatich vrcholoch v grafe. Ked’ze v nami danom grafe vieme

najst’ cestu radu maximalne 3, nepotrebujeme eliminovat’ ziadne cesty a

preto ψ5(S10) = 0.

Z celeho je zrejme ϕ5(S10) = 1 � 0 = ψ5(S10).

Pozorovanie 0.14. Nech k je l’ubovol’ne prirodzene cıslo. Potom existuje graf,

pre ktory ϕk(G) � ψk(G).

Pozorovanie ukazeme na prıklade.

Prıklad 3. Majme danu cestu P10. Hl’adame cıslo ϕ5(S10) take, aby graf nebol

5-defektny, naviac chceme tuto cestu 5-cestne vrcholovo pokryt’.

• ϕ5(S10) =?

Z vlastnosti cesty plati ∆(P10) = 2. Ked’ze na l’ubovol’nej ceste sa ne-

nachadza ani jeden vrchol, ktory by porusoval podmienku 5-defektıvnosti,

nepotrebujeme odstranovat’ ziaden vrchol a teda ϕ5(P10) = 0.

• ψ5(S10) =?

Pri 5-cestnom vrcholovom pokrytı danej cesty vyuzijeme vzt’ah pre vypocet

definovany [1].

ψk(Pn) =⌊nk

⌋⇔ ψ5(P10) =

⌊10

5

⌋= 2

Preto ψ5(P10) = 2.

Z celeho je zrejme ϕ5(P10) = 0 � 2 = ψ5(P10).

Danymi prıkladmi sme ukazali, ze uz v triede elementarnych grafov nedokazeme

porovnavat’ hodnoty ψk(G) a ϕt(G) pre t = k.

Skutocne, mohutnosti odstranovanych mnozın vrcholov sa rovnaju len v prıpade,

ak k = 3 a t = 1. Pre d’alsie hodnoty k, t sa tieto mohutnosti vyrazne lısia bez

nejakeho blizsieho vzt’ahu.

Zoznam pouzitej literatury

[1] A. Gencova, G. Semanisin Monitorovanie komunikacie v siet’ach Bachalor

thesis, 2013

[2] B. Bresar, M. Jakovac, J. Katrenic, G. Semanisin, A. Taranenko On the

Vertex k-Path Cover (submitted do Discrete Applied Mathematics)

[3] M. Jakovac, A. Tatarenko On the k-path vertex cover of some graph products

(Discrete Mathematics 313 (2013) 94–100)

[4] Y. Caro New results on the independence number Technical Report, Tel-

-Aviv University, (1979)

[5] V. Wei A lower bound on the stability number of a simple graph Technical

memorandum 81, Bell laboratories, (1981)

[6] F. Goring, J. Harant, D. Rautenbach, I. Schiermeyer On f-independence in

graphs Discussiones Mathematicae Graph Theory, 29 (2009), 377–383

[7] L. Lovasz On decompositions of graphs Studia Sci. Math Hungar 1 (1966),

237–238

[8] J.Katrenic Algorithms on graph structures PhD. Thesis, 2011

[9] J. Tu, F. Yang The vertex cover P3 problem in cubic graph

[10] M. Novotny xxx

30